Tema 2:Principios de la electrostáticaPrincipios de la electrostática

Antonio González Fernández

ánde

z Departamento de Física Aplicada IIIUniversidad de Sevilla

nzál

ez F

erná

P t 4/7

Anto

nio

Gon Parte 4/7

Leyes de la electrostática

© 2

010,

A

y

Leyes de la electrostática: d t i ió d l f tdeterminación de las fuentes

El cálculo del campo eléctrico mediante integración directaEl cálculo del campo eléctrico mediante integración directa

3 3 3 3

0

' ' '1 ' d ' ' d ' ' d '4 ' ' '

k ks

k kS

qS l

r r r r r r r r

E r r r rr r r r r r r r

es impracticable salvo en los casos más simples, o mediante métodos numéricos

kS

ánde

z Se necesitan formulaciones alternativas de la electrostática

nzál

ez F

erná

Con ayuda del teorema de Helmholtz, podemos ·E = ???

Se deducirán a partir de la ley de

Anto

nio

Gon

pdeterminar el campo electrostática si

f t×E = ???

Coulomb y el principio de superposición

© 2

010,

A

2

conocemos sus fuentes superposición

Flujo del campo eléctrico de una carga t lpuntual

SSupongamos una carga puntual q

304

qr

rE r

Situamos O en q

Fl j d

ánde

z

Flujo de su campo eléctrico a través de una superficie abierta

nzál

ez F

erná una superficie abierta

·dS

E r S 3 ·d4

qr

r S4q

Anto

nio

Gon

S04 S r 04

En una fi i 0d

q

0E S

© 2

010,

A

3

superficiecerrada

0·d0

E r S

0

Flujo del campo de una distribución: L d GLey de Gauss

Si tenemos una distribución se superponen los flujosSi tenemos una distribución, se superponen los flujos

·d ·d E S E E E S 1 2 3d d

E S E E E S kq

0 1

kq intQ

ánde

z

0kq 0

kq

0 k

kq

q 0

nzál

ez F

erná

Ley deGauss

int·d Q

E S

La carga exterior no contribuyeal flujo, pero sí produce campo

Anto

nio

Gon Gauss 0

á é

Permite hallar la carga encerradaPermite hallar la carga encerrada

© 2

010,

A

4

Válida también en situaciones no electrostáticas

encerradaencerradaint 0 ·dQ

E S

Forma diferencial de la ley de Gaussy G

La forma integral es válida para QLa forma integral es válida para

cualquier superficie cerradaint

0

·d Q

E S τ

τρSe aplica el teorema de Gauss a la ley de Gauss

·d · d E S E

ánde

z

·d · d

E S Eint 1 dQ

0

· d d

E

Ley de Gauss0

·

EPara todo τ

nzál

ez F

erná

0 0

d

y(forma diferencial)

Las cargas eléctricas son manantiales y sumideros del campo

Anto

nio

Gon

Ej l

Las cargas eléctricas son manantiales y sumideros del campo eléctrico: el campo va de las cargas positivas a las negativas

© 2

010,

A Ejemplo:carga puntual 3

04q

r

rE

50 · E 3·

4q

r

r q r

Discontinuidad del campo eléctrico en fi i duna superficie cargada

Una distribución de carga que seUna distribución de carga que se reduce a una superficie produce una discontinuidad en el campo eléctrico

Se descompone en un pequeño disco alrededor de P, más el resto de la distribución: E = E0 + E′

1 P×2××

ánde

z

, 0

E′: campo del restodel universo

E0: campo d l di

E02

×2×× 2×E′1

E′2

×

nzál

ez F

erná del universodel disco

ContinuoDiscontinuoE01

1 P×1

× P×

Anto

nio

Gon

n 0

Condición de saltoasociada a la ·[ ] sn E

2 1 E E E 02 2 01 1' ' E E E E

© 2

010,

A

6

0

02 01 2 10

' 's

s

n 0

E E E E n asociada a la

ley de Gauss 0

·[ ]

n E

Rotacional del campo electrostáticop

El campo pelectrostático de una carga puntual

l

Es irrotacional

q res central 3

04qq

r

rE 0

El l t táti

ánde

z

El campo electrostáticode una distribuciónes irrotacional

k kk k

q qq q

E E E 0

nzál

ez F

erná es irrotacional

Irrotacionalidad del E 0El campo electrostáticocarece de f entes

Anto

nio

Gon campo electrostático E 0 carece de fuentes

vectoriales

© 2

010,

A

7

No vale en situaciones dependientes del tiempo

El campo electrostático es conservativop

L i l ió d l l t tátiLa circulación del campo electrostáticoa lo largo de una curva cerrada es nula

·d E r

Γ

S ·dS

E S ·d 0S

0 S

ánde

z

El campo electrostáticoes conservativo

·d 0

E rΓ

nzál

ez F

erná

El campo electrostáticono puede tener líneas de

EE

dr

Anto

nio

Gon

pcampo cerradas

La circulación a lo largo de ΓE

E

© 2

010,

A

8

La circulación a lo largo de dicha línea sería no nula ·d d 0E l

E r

Continuidad de la componente t i l d l lé t itangencial del campo eléctrico

La anulación de la circulación impide que la componenteLa anulación de la circulación impide que la componente tangencial del campo eléctrico sea discontinua en una superficie (cargada o no).superficie (cargada o no).

2×

E2 Si Et es discontinua, la circulación sobre

2×

E2

EE2t

E2n

Γ E

E2n

Γ

ánde

z 1×

E1

la circulación sobre Γ no sería nula 1

××

E1

E1t

E1n

E2t E2tE1t

E1n

Γ

nzál

ez F

erná 1

Et(2) = Et(1) E1

Condición de saltotangencial

[ ] n E 0 [Et] = 0

Anto

nio

Gon

u v nE E E E u v n

E E E 0 n E n u n v n nn

2E

© 2

010,

A

9

u v n

u v

E E E

E E

0 n E n u n v n n

v u 0uE 0vE u v1

Resumen de las leyes de la l t táti

Fuerza Irrotacionalidad del

electrostática

FuerzaLey de Gauss Irrotacionalidad del

campo electrostáticoF1 = q1E(r1)

Forma integral El flujo de E es proporcional

l g dEl campo electrostático es

ti

int 0·d Q

E S ·d 0

E r

ánde

z

a la carga encerrada conservativo

Forma dif i l Las cargas son manantiales y El campo electrostático es

0· E E 0

nzál

ez F

erná diferencial Las cargas son manantiales y

sumiderosEl campo electrostático es

irrotacional

C di ió 0· s n E n E 0

Anto

nio

Gon Condición

de saltoLa componente normal es

discontinua en las superficies cargadas

La componente tangencial es siempre continua

0s

© 2

010,

A

10

cargadas siempre continua

Validez Universal Sólo en electrostática

Aplicaciones de las leyes: el campo de t l (I)una carga puntual (I)

A partir de las leyes de la electrostática puede deducirse elA partir de las leyes de la electrostática puede deducirse el campo creado por cualquier distribución

Para una carga puntual empleandoPara una carga puntual, empleando coordenadas esféricas

E E E E u u uq

ánde

z

r rE E E E u u u

Simetría de revolución: al rotar el sistema no cambia:

nzál

ez F

erná Simetría de revolución: al rotar el sistema no cambia:

Las componentes no dependen de θ ni de φ; Ek = Ek(r)

Por ser conservativo: Tomando un

Anto

nio

Gon Por ser conservativo:

Tomando un paralelo

Tomando un meridiano y un diámetroq

Γθ

© 2

010,

A

11Eφ = 0

p

0 ·d 2 senr E E r

un diámetro

Eθ = 0

q

Aplicaciones de las leyes: el campo de t l (II)una carga puntual (II)

Por tanto el campo EdSPor tanto, el campo

de la carga es central

Q q

r rE rE u

H ll d l fl j intQ q

2 q

Hallando el flujosobre una esfera concéntrica iQ

ánde

z

2

0

4 qr E

concéntrica con la carga

int

0

·d Q

E S

nzál

ez F

erná

204 r

qr

E ucte

·dr E S 2

cte· sen d dr rr

E r

u u 24 r E

Anto

nio

Gon

Constante sobrela superficie

d dS

Paralelos:1

Trasladando el origen q r r

© 2

010,

A

12

la superficie 2 dr

ur·ur = 1 03

0 04q

r rE

r r

Deducción de la ley de Coulomb y el i i i d i ióprincipio de superposición

U d d id l d t l tiUna vez deducido el campo de una carga puntual se tiene la ley de Coulomb

111 3

0 14

q

r rE r

r r 2 11 2

21 2 1 2 30 2 1

4q qq

r rF E r

r r

ánde

z El principio de superposición es consecuencia de la linealidad de las ecuaciones

nzál

ez F

erná linealidad de las ecuaciones

1· E E 0 ·

E

Anto

nio

Gon

1 2

10

E 1 E 0

1 2 E E E0

E

© 2

010,

A

13

22

0

·

E E 02 E 0

Campo eléctrico de una esfera cargada if t fi iuniformemente en su superficie

Las simetrías son las Eθ = 0Ek = Ek(r)Las simetrías son las mismas que para la carga puntual Eφ = 0

Eθ 0Ek Ek(r)

E = E(r)urφ

Hallando el flujo sobre una esfera de radio r, concéntrica

( ) r

ánde

z

r R

0int 0·d Q E S 2·d 4 r E E S

Nulo

nzál

ez F

erná

204 r

Q r Rr

EuLa carga encerrada depende de r

C

Anto

nio

Gon

0 RrR r

RCarga puntual

© 2

010,

A

14int

0 r RQ

Q r R

Si r > R, toda la carga Si r < R, ninguna

Campo eléctrico de una esfera cargada if t l luniformemente en el volumen

D i t Eθ = 0Ek = Ek(r)Q De nuevo, existe simetría esférica

Eφ = 0

Eθ 0Ek Ek(r)

E = E(r)ur

0 34 3QR

φ

Hallando el flujo sobre una esfera de radio r, concéntrica

( ) r

ánde

z

01 r r R u

2·d 4 r E E S Qint = Qint(r) Lineal

nzál

ez F

erná 0

0

2

3

4

r

r

r r R

Q r R

uE

urR rR

C

Anto

nio

Gon

204 rr

3 3Q R R

r Carga puntualSi r < R, depende

34

© 2

010,

A

15

3 3

intQr R r R

QQ r R

Si r > R, toda la carga

3

int 04( )

3rQ r

Comparación de los campos de las f desferas cargadas

ánde

z

Superficie Volumen

nzál

ez F

erná

Discontinuo en r = R

Continuo en r = R

Anto

nio

Gon ·r R R u E E·[ ]n E

s24Q RrQ

u 0

Pueden superponerse+Q en el volumen

Q l fi i

© 2

010,

A

160

s0

Q

20

·4

rr

QR

u 0 −Q en la superficie

¿E?

Esfera con hueco: superposición de l i i ét isoluciones simétricas

Una esfera de radio b tiene un agujero esférico de radio a con su centro a g juna distancia c del centro. Hay una carga Q distribuida uniformemente. ¿Cuánto vale el campo en el interior del hueco? ¿Cuánto vale el campo en el exterior?el exterior?

Se superponen las densidades de carga

ánde

z = + 0 3 3

3Q Q

densidades de carga

nzál

ez F

erná 0 3 34 b a

1 1

Anto

nio

Gon

1 00

13A

E r 2 00

13A c

E r r1 2A A A E E EEl campo es uniforme dentro

© 2

010,

A

17 0 0 0 3 3

0 0 0 0

1 1 13 3 3 4

cA c c

Qb a

rE r r r rdel hueco

Esfera con hueco: solución exterior= d t lsuma de cargas puntuales

En el exterior de la distribución, también se aplica superposición, p p p

0 3 3

34

Q Qb a

+= 4 b a

El campo exterior de d f l d

ánde

z

Q r

cada esfera es el de una carga puntual

Q r r En puntos

nzál

ez F

erná 1

1 304B

Qr

rE1 2B B B E E E

34 Qb 3QaCargas

22 3

04c

Bc

Q

r rE

r rEn puntos alejados, se aproxima a

l g

Anto

nio

Gon

33b El l d l

31 0 3 3

43

QbQ bb a

2 3 3

QaQb a

Cargas desiguales

una sola carga puntual Q

© 2

010,

A

18 33

333 304

cB

c

aQ brb a

r rrEr r

El campo total es suma del de dos cargas puntuales

Campo de un hilo infinito (I):i t í t lsimetrías y componentes nulas

Empleando coordenadas cilíndricas: E = E u +E u +E uEmpleando coordenadas cilíndricas: E Eρuρ+Eφuφ+Ezuz

Simetría l i l

Simetría l i l

0kE Simetría

i lSimetría

i l0kE

k kE E traslacionaltraslacional

0z rotacionalrotacional

k k

Por ser irrotacional deriva de un potencial escalar

ánde

z

Por ser irrotacional deriva de un potencial escalar E Por las simetrías

nzál

ez F

erná

Hallando el di t

0 0

1

E u u u

λ0

Anto

nio

Gon gradiente zz

E u u u

También aplicable a otros

© 2

010,

A

19

E E u También aplicable a otros sistemas con simetría cilíndrica

Campo de un hilo infinito (II): cálculo de l t di lla componente radial

Flujo sobre una superficie cilíndricaFlujo sobre una superficie cilíndrica0 0

·d ·d ·d ·d

E S E S E S E S

En las bases, 0 ctez z h Φ = 0, por

ser E ┴ dS 2

0 0· d d 2

hE z hE

u u

ánde

z Carga encerrada dentro del cilindro

Campo de un hilo

nzál

ez F

erná dentro del cilindro

int 0dQ l h 0

02

E u

Anto

nio

Gon

Análogamentepara un

0 0

2

2

2

R

R R

uE

© 2

010,

A

20

pcilindro macizo 2

0 02R R u

Cuándo la ley de Gauss es útil... á d l...y cuándo no lo es

La ley de Gauss siempre es cierta pero no siempre es útilLa ley de Gauss siempre es cierta, pero no siempre es útil

Solo es útil cuando las simetrías permiten extraer el campo eléctrico de la integral del flujo

No es útil si no hay suficiente simetría

ánde

z

No es útil si no hay suficiente simetría

Espira o segmento: i li l l

No hay simetríatraslacional

nzál

ez F

erná no sirve aplicar la ley

de Gausstraslacional

Anto

nio

Gon

A menudo hay que combinarla con el

Si no hay simetría

d ES E S

© 2

010,

A

21

principio de superposición

·d ES E S

Sevilla noviembre de 2010

ánde

z

Sevilla, noviembre de 2010

nzál

ez F

erná

Anto

nio

Gon

© 2

010,

A

22