15/11/2017

1

TEMA 3ARITMÈTICA MERCANTIL

3.4 AMORTITZACIÓ DE

PRÉSTECS

15/11/2017

2

Un crèdit hipotecari és la quantitatrebuda per l’adquisició d’un bé immoble(pis, casa, parcel·la), la devolució de laqual queda garantida amb el bé adquirit(hipoteca).

Habitualment l’amortització es famitjançant pagaments periòdics i estasotmesa a uns interessos pactats apriori.

A més dels interessos, un préstechipotecari comporta altres despeses:comissió d’apertura, taxació, notari,...que es carreguen al client en el momentde rebre el préstec .

Estudiem l’operació de préstec, en general:

Les característiques que, inicialment, coneixemd’aquesta operació són:◦ C El nominal del préstec o quantia inicialment cedida.

◦ T El termini de l’operació: ens informa del nombred’anys que dura l’operació

◦ m La freqüència dels termes amortitzatius: ensinforma sobre quants termes amortitzatius es fanefectius cada any.

◦ im El preu de l’operació En general treballarem enrègim financer d’interès compost i el preu donat esrefereix a l’interès nominal amb freqüència igual a lafreqüència dels termes amortitzatius.

15/11/2017

3

L’amortització d’un préstec es fa mitjançant diversos

pagaments ajornats:

1. Cada pagament salda per una banda els

interessos del deute pendent i per l’altra banda part

del principal del deute.

2. L’últim pagament salda els interessos pendents del

pagament anterior i amortitza la totalitat del deute

pendent.

3. Normalment es fan pagaments amb la mateixa

periodicitat (mensualitats, anualitats,.....)

Comprovem que podem amortitzar un deute

de 10000 € al 10% anual amb quatre

pagaments trimestrals de 2658,18 € cada un:

(10% anual equival a 2,5% trimestral)

TRIMESTRE DEUTE ABANS DEL

PAGAMENTINTERESSOS

PENDENTS

2,5% deute

pendent

PAGAMENT QUANTITAT

AMORTITZADA

Pagament -

interessos

DEUTE

PENDENT

Deute –

quantitat

amortitzada

1 10 000,00 250,00 2 658,18 2 408,18 7 591,82

2 7 591,82 189,80 2 658,18 2 468,38 5 123,44

3 5 123,44 128,09 2 658,18 2 530,09 2 593,35

4 2 593,35 64,83 2 658,18 2 539,35 0

15/11/2017

4

2.6 Càlcul d’anualitats o

mensualitats d’amortització

Anualitats d’amortització

S’anomena amortització l’operació financeraque consisteix a cancel·lar un deutemitjançant una anualitat fixa durant n anys.

Tenim un deute C que es veu augmentat ambels seus interessos de n anys a interèscompost:

𝐶 · 1 + 𝑖 𝑛

Hem de preveure n anualitats iguals, de valora, tals que lliurada cadascuna al final de cadaany, entre elles i els seus interessoscancel·len el deute.

15/11/2017

5

Cada anualitat a es transforma en el

seu import a interès compost, segons

el temps segons el quadre següent: (i

= r/100)

ANUALITAT ANYS (fins

cancel·lació)

IMPORT

1 n - 1 𝑎 · 1 + 𝑖 𝑛−1

2 n – 2 𝑎 · 1 + 𝑖 𝑛−2

3 n – 3 𝑎 · 1 + 𝑖 𝑛−3

n - 1 1 𝑎 · 1 + 𝑖

n Cancel·lat el deute a

El deute amb els seus interessos en elmoment de la contractació delpréstec:

𝐶 · 1 + 𝑖 𝑛

ha de coincidir amb la suma delsimports de les anualitats:

Sn =𝑎1+𝑖 𝑛−1

𝑖(els imports abonats formen una progressió geomètrica)

15/11/2017

6

Igualant les dues expressions podem

aïllar l’anualitat a pagar:

C · 1 + 𝑖 𝑛 = 𝑎1 + 𝑖 𝑛 − 1

𝑖

𝑎 = 𝐶1 + 𝑖 𝑛 · 𝑖

1 + 𝑖 𝑛 − 1

En Pau vol comprar-se un pis que costa 120.000 €.

Demana un crèdit hipotecari al banc a un interès

anual del 4% que haurà de retornar en 15 anys.

A) Calculeu l’anualitat d’amortització

B) Calcula quan ha pagat en Pau pel pis.

A) 𝑎 = 1200001+0,04 15·0,04

1+0,04 15−1

a = 10 792,93€

B) 15 anys

10972,93 · 15 = 161 893,95 €

15/11/2017

7

Demanem un crèdit hipotecari de 150.000euros al 4,5% d’interès compost anual.Sabent que només podem pagar unaanualitat de 12.000 euros, quant de tempstrigarem a pagar el crèdit?

12000 = 1500001 + 0,045 𝑛 · 0,045

1 + 0,045 𝑛 − 112000 ·1,045n - 12000 = 6750 · 1,045n

5250 · 1,045n = 12000 ; 1,045n = 2,2857

𝑛 =log 2,2857

log 1,045= 18,78 ≅ 19 𝑎𝑛𝑦𝑠

Mensualitat d’amortització

En aquest cas s’amortitza un préstec C,

a un interès del r % anual mitjançant n

pagaments mensuals: i = r / 1200

𝑚 = 𝐶1+𝑖 𝑛·𝑖

1+𝑖 𝑛−1

15/11/2017

8

Resol el problema del pis d’en Pau ambpagaments trimestrals:

C = 120000 i = 4/400 = 0,01 n = 60 trimestres

𝑡 = 1200001 + 0,01 60 · 0,01

1 + 0,01 60 − 1

t = 2669,33€

En total pagarà: 60·2669,33 = 160159,8€En aquest cas, la quantitat total de diners que el Paupaga pel pis és menor, ja que, en ingressar diners enel banc des del primer trimestre, comença a saldar eldeute abans i, per tant, ha d'abonar una quantitatd'interessos menor.

Per pagar-se els estudis universitaris unjove ha demanat un crèdit d’estudis de30.000 €. Els diners els haurà deretornar quan comenci a treballar.

a) Si l’entitat financera que li ha donat elpréstec li ofereix un interès anual del7,2% que haurà de retornar en 20 anys,quina quantitat haurà de pagarmensualment durant aquests vint anysel jove per amortitzar el crèdit?

b) Quants diners haurà abonat a l’entitat financera que li ha concedit el préstec en acabar aquests vint anys?

15/11/2017

9

DADES:

C = 30000 €

n = 20 · 12 = 240 mensualitats

i = 7,2/1200 = 0,006

a) 𝑚 = 300001+0,006 240·0,006

1+0,006 240−1

m= 236,20€

b) En total pagarà: 240·236,20 = 56688€