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“SISTE
MAS LINEALE
S. EL
MÉTODO DE GAUSS”
JUAN CARLO
S VILLEGAS
CI 24926573
ÍNDICE
Introducción HistóricaSistema de Ecuaciones LinealesLa ecuación LinealLas siguientes son algunas transformaciones
que nos permiten pasar de un sistema l ineal a otros equivalente
Clasif icación de los sistemas de ecuaciones l ineales
Esquematicamente lo anteriorDescripción del método de GaussEl método de Gauss
INTRODUCCIÓN HISTÓRICACHARLES HERMITE (1822 – 1901), MATEMÁTICO FRANCÉS, FUE PROFESOR EN LA FACULTAD DE CIENCIAS DE PARÍS. REALIZÓ INVESTIGACIONES SOBRE LAS TEORÍAS DE LAS FORMAS ALGEBRAICAS Y DESCUBRIÓ LA LEY DE RECIPROCIDAD QUE LLEVA SU NOMBRE.
“SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES”ABORDAMOS AQUÍ SISTEMAS LINEALES CUALESQUIERA COMO COMPLEMENTO A LO ESTUDIADO RECIENTEMENTE. EL OBJETIVO ES FACILITAR AL ALUMNO UNA MANERA SENCILLA Y SISTEMÁTICA DE RESOLVER SISTEMAS LINEALES CON CUALQUIER NÚMERO DE INCÓGNITAS.
SISTEMAS DE ECUACIONES Y MATRICES EN LA PÁGINA QUE COLOCARE A CONTINUACIÓN:
HTTP://OLMO.CNICE.MECD.ES/~JROL0022/EULER/POOL/SIST2.PDF
LA ECUACIÓN LINEALES UNA EXPRESIÓN DE LA FORMA A1X1 + A2X2 +...+ ANXN = B, DONDE A1, A2... AN SON NÚMEROS CONOCIDOS LLAMADOS COEFICIENTES; B ES OTRO NÚMERO CONOCIDO LLAMADO TERMINO INDEPENDIENTE, Y X1, X2,... XN SON LAS INCÓGNITAS, ES DECIR, LOS VALORES A DETERMINAR.SISTEMAS LINEALES, PERO DE FORMA DINÁMICA:HTTP://ES.WIKIPEDIA.ORG/WIKI/SISTEMA_DIN%C3%A1MICO
EJEMPLO 12X + 3Y = -1; X – Y + 8Z = O SON ECUACIONES
LINEALES.UN CONJUNTO DE ECUACIONES LINEALES, TALES
COMO: (1) A11X1 + A12X2 +...+ A1NXN = B1
A21X1 + A22X2 +...+ A2NXN = B2
......................................... AM1X1 + AM2X2 +...+ AMNXN=BM
SE LLAMA SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES ( EN ESTE CASO, DE M ECUACIONES CON N
INCÓGNITAS)
EJEMPLO 2X – 2Y + 2Z – T = 1
2X + Y – Z + 4T =
-X + 3Z – 8T = 2
ES UN SISTEMA DE M = 3 ECUACIONES Y N = 4 INCÓGNITAS.
UNA SOLUCIÓN DEL SISTEMA LINEAL (1) ES UN CONJUNTO DE N NÚMEROS ( S1, S2,..., SN) TALES QUE, AL SUSTITUIRLOS EN LUGAR DE X1, X2,..., XN, RESPECTIVAMENTE, ORIGINAN M IDENTIDADES.
EJEMPLO 3 EN EL SISTEMA 2X – Y + 2Z = 5 X + 2Y = 5 3X + Y + Z = 10LA TERNA ( 3, 1, 0), O BIEN X = 3 Y = 1 Z = 0
ES SOLUCIÓN, PUES AL SUSTITUIR X, Y, Z POR DICHOS VALORES OBTENEMOS TRES IDENTIDADES.
DOS SISTEMAS CON UN MISMO NÚMERO DE INCÓGNITAS SON EQUIVALENTES SI TIENE EXACTAMENTE LAS MISMAS SOLUCIONES ( EL NÚMERO DE ECUACIONES PUEDE SER DISTINTO). LO EXPRESAREMOS CON ESTE SÍMBOLO
VEREMOS LOS TIPOS DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE SISTEMAS LINEALES A CONTINUACIÓN:
HTTP://WWW20.BRINKSTER.COM/FMARTINEZ/ALGEBRA7.HTM
LAS SIGUIENTES SON ALGUNAS TRANSFORMACIONES QUE NOS PERMITEN PASAR DE UN SISTEMA LINEAL A OTROS EQUIVALENTE
I . SI A LOS DOS MIEMBROS DE UNA ECUACIÓN LINEAL SE LE SUMA UN MISMO NÚMERO O UNA MISMA EXPRESIÓN LINEAL SE OBTIENE OTRA ECUACIÓN LINEAL EQUIVALENTE.
II . SI LOS DOS MIEMBROS DE UNA ECUACIÓN LINEAL SE MULTIPLICAN POR UN MISMO NÚMERO DISTINTO DE CERO, SE OBTIENE OTRA ECUACIÓN LINEAL EQUIVALENTE.
II I . EL CAMBIO EN EL ORDEN DE SITUACIÓN DE LAS ECUACIONES O DE LAS INCÓGNITAS NO AFECTA AL CONJUNTO DE SOLUCIONES DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES.
IV. SI EN UN SITEMA DE ECUACIONES LINEALES SE SUPRIME O SE AÑADE UNA ECUACIÓN QUE SEA COMBINACIÓN LINEAL DE LAS DEMÁS, SE OBTIENE UN SITEMA EQUIVALENTE AL DADO
EJEMPLO 1 2X - Y = 4
X – Y = -1 2X – Y = 4
3X –2Y = 3 X – Y = 1
PUESTO QUE LA TERCERA ECUACIÓN ES LA SUMA DE LAS DOS ANTERIORES Y NO IMPONE NINGUNA NUEVA CONDICIÓN.
PÁGINA DE SISTEMAS LINEALES:
http://www.matematicas.unal.edu.co/cursos/ecuadif/sislin.html
CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
SEGÚN SEAN LAS SOLUCIONES DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES, ÉSTE PUEDE SER:
INCOMPATIBLES: SI NO ADMITE SOLUCIÓN.
COMPATIBLES: SÍ ADMITE SOLUCIÓN ( O SOLUCIONES). EN ESTE CASO DISTINGUIREMOS:
- DETERMINADO: SI TIENE SOLUCIÓN ÚNICA
- INDETERMINADO: SÍ TIENE INFINITAS SOLUCIONES
HTTP://WWW.UNLU.EDU.AR/~MAPCO/APUNTES/230/MAPCO230.HTM
ESQUEMATICAMENTE LO ANTERIORSISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
INCOMPATIBLES COMPATIBLESNO TIENE SOLUCIÓN TIENEN SOLUCIÓN
DETERMINADOS INDETERMINADOS LA SOLUCIÓN ES ÚNICA TIENEN INFINITAS SOLUCIONES
DISCUTIR UN SISTEMA LINEAL ES AVERIGUAR SÍ ES INCOMPATIBLE, DETERMINADO O INDETERMINADO
DESCRIPCIÓN DEL MÉTODO DE GAUSSEL SISTEMA LINEAL DE M ECUACIONES Y N INCÓGNITAS
A11X1 + A12X2 +...+ A1NXN = B1
A21X1 + A22X2 +...+ A2NXN = B2
.........................................
AM1X1 + AM2X2 +...+ AMNXN = BM
PUEDE SER DESCRITO DE FORMA ABREVIADA MEDIANTE LA MATRIZ:
A11 A12 ...A1N B1
A21 A22 ... A2N B2
... ... ...
AM1 AM2 ... AMN BM
EJEMPLOLA MATRIZ CORRESPONDE AL SISTEMA
5X + 2Y – 3Z = 51
4X + 7Y + 5Z = 5 ES
6X + 8Y = 3
5 2 –3 51
4 7 5 53
6 8 0 3
DIREMOS QUE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES ES TRIANGULAR SI TODOS LOS COEFICIENTES SITUADOS POR DEBAJO DE LA DIAGONAL PRINCIPAL SON NULOSEJEMPLO:
LOS SISTEMAS 3X – 5Y + 4Z – T = 6 Y – 3Z + 4T = 1 Z – T = 2Y5X – 4Y + Z = 4 2Y – Z = 1 Z = 2ESTÁN ESCRITOS EN FORMA TRIANGULAR
EL MÉTODO DE GAUSSEL MÉTODO DE GAUSS PARA LA RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CONSISTE EN TRANSFORMAR UN SISTEMA EN OTRO EQUIVALENTE CON FORMA TRIANGULAR, CUYA RESOLUCIÓN ES SENCILLA.
PARA ELLO SE MANTIENE INVARIABLE LA PRIMERA ECUACIÓN Y SE SUSTITUYEN LAS SIGUIENTES ECUACIONES POR LAS QUE RESULTAN DE ELIMINAR LA PRIMERA INCÓGNITA ENTRE LA PRIMERA ECUACIÓN Y CADA UNA DE LAS RESTANTES
A CONTINUACIÓN SE MANTENDRÁN INVARIABLES LAS ECUACIONES POR LAS QUE SE OBTIENEN DE ELIMINAR LA SEGUNDA INCÓGNITA ENTRA LA SEGUNDA ECUACIÓN Y CADA UNA DE LAS SIGUIENTES.
SE CONTINÚA ASÍ EL PROCESO HASTA OBTENER UN SISTEMA EN FORMA TRIANGULAR
POR COMODIDAD Y PARA AHORRAR ASÍ UN ESFUERZO INNECESARIO EFECTUAREMOS LAS TRANSFORMACIONES DE EQUIVALENCIA SOBRE EL DIAGRAMA EN VEZ DE HACERLO SOBRE EL PROPIO SISTEMAA CONTINUACIÓN INTRODUCIRÉ A UNA PÁGINA DEL MÉTODO DE GAUSS PARA EXPLICARLO UN POCO MÁS:
HTTP://THALES.CICA.ES/RD/RECURSOS/RD99/ED99-0024-03/ED99-0024-03.HTML
EJEMPLOREDUCIR A FORMA TRIANGULAR LOS SIGUIENTES SISTEMAS:
• X + Y + Z = 3
X+ 2Y + 3Z = 2
X + 4Y + 9Z = - 2
SOBRE LA MATRIZ DEL SISTEMA ELIMINAMOS LA X ENTRE LA PRIMERA ECUACIÓN Y LAS DOS RESTANTES. PARA ELLO:
( m =3, n = 3)
1 1 1 3 1 1 1 3 1 2 3 2 0 1 2 -1 1 4 9 -2 -F1 + F2 0 3 8 -5 -F1 + F3
AHORA ELIMINAMOS LA Y ENTRE LA SEGUNDA Y LA TERCERA ECUACIÓN, 1 1 1 3 1 1 1 31 2 3 -1 0 1 2 -1 0 3 8 -5 -3 / 2 + F3 0 0 2 -2
OBTENEMOS ASÍ EL SISTEMA EQUIVALENTE EN FORMA TRIANGULAR X + Y + Z = 3 Y + 2Z = -1 2Z = -2
-2X + Y + Z = 1 X – 2Y + Z = -2 (M = N = 3) X + Y – 2Z = 4
-2 1 1 1 -2 1 1 1 1 -2 1 -2 0 -3 3 -3 1 1 -2 4 F1 + 2F2 0 3 -3 9 F2 + F3
F1 + 2F3
-2 1 1 10 -3 3 –3 0 0 0 6
OBTENIENDO EL SISTEMA TRIANGULAR EQUIVALENTE AL ORIGINAL: -2X + Y + Z = 1 -3Y + 3Z = -3 0 = 6
2X + Y +Z = 1 (M = 2 N =3)3X + Y – Z = 0
EFECTUANDO TRANSFORMACIONES: 2 1 1 1 2 1 1 13 1 -1 0 -3F1 + 2F2 0 –1 –5 -3
Y OBTENEMOS EL SISTEMA TRIANGULAR : 2X + Y + Z = 1 -Y – 5Z = -3