Sistemas de ecuaciones lineales y matriz Inversa por Método de Gauss-Jordan

Mtro. Javier Solis Noyola

*A x b

1

2

3

1

1

1

0 0

0 0

0 0

R

R

R

Objetivos

Conocer y comprender El Método de Solución de Gauss-Jordan para solucionar sistemas de Ecuaciones Lineales.

Aplicar la el Método de Solución de Gauss-Jordan a la solución de ejercicios de sistemas de ecuaciones lineales.

Aplicar proceso metodológico de Gauss-Jordan para la obtención de la Matriz Inversa.

Carl Friedrich Gauss

Junto con el físico alemán Eduard Weber, investigó sobre el magnetismo y la electricidad; una unidad de inducción magnética recibe su nombre.

El más grande matemático del siglo XIX, Johann Carl Friedrich Gauss se considera uno de los tres matemáticos más importante de todos los tiempos, siendo Arquímedes y Newton los otros dos.

Las aportaciones de Gauss en todos los campos de la Matemática son inestimables: Teoría de números, Astronomía, Magnetismo, Geometría, Análisis... Cualquier gran descubrimiento matemático a lo largo de este siglo encuentra detrás la alargada sombra de Gauss.

(1777- 1855)

Gauss nació en Brunswick, Alemania

Cuando nos planteamos la resolución de varias ecuaciones a la vez con varias incógnitas, estamos ante un sistema y en el caso más sencillo, donde todas las ecuaciones sean lineales, se llama sistema de ecuaciones lineales. Existen muchas formas de resolver dichos sistemas, empezando por las clásicas de reducción, sustitución e igualación que son las primeras que nos enseñan, puesto que son muy fáciles de asimilar.

¿Qué es un Sistema de Ecuaciones Lineales?

donde x1, ..., xn son las incógnitas, b1, ..., bm se denominan términos independientes y los números aij se llaman coeficientes de las incógnitas.

• Dado un sistema de ecuaciones, el objetivo principal es hallar todas sus soluciones, es decir, hallar todos los valores de x1, ..., xn que verifican todas las ecuaciones.

• Atendiendo al número de soluciones, los sistemas de ecuaciones lineales podemos clasificarlos en tres tipos:• Sistema incompatible: son aquellos que no poseen solución.• Sistema compatible: son aquellos que poseen solución. Dentro de ellos,

podemos hablar de:Sistema compatible determinado: sistemas con una única solución.Sistema compatible indeterminado: sistemas con infinitas soluciones..

a) Solución única b) Sin solución c) Infinidad de soluciones

Los ejemplos gráficos presentados corresponden a un sistema de 2 ecuaciones lineales con 2 incógnitas

Las Soluciones gráficas de un sistema de ecuaciones lineales de tres ecuaciones con tres incógnitas, son: Solución única con tres planos se cruzan en un punto (x,y,z). Infinidad de soluciones con tres planos coincidentes. Y sin solución con tres planos paralelos, 2 planos paralelos cortados por un plano, etc.

SoluciónÚnica(x,y,z)

MÉTODO DE GAUSS-JORDAN PARA UN SISTEMA DE

ECUACIONES LINEALES DE nxn Este método se aplica para resolver sistemas lineales de la forma: A*X = B. Básicamente este método es continuación del Método de Eliminación Gaussiana. Consiste en escalonar la matriz aumentada original (inicial) hasta llevar la parte de los coeficientes que multiplican a las X´s a una MATRIZ IDENTIDAD de un sistema de ecuaciones lineales de nxn. Ésta MATRIZ AUMENTADA (Matriz Identidad y de términos independientes B) nos indican los resultados de las incógnitas Xi

Sistema con Solución Directa:

Donde la notación a‘ij se usa simplemente para denotar que el elemento aij cambió.

0

0 0

Sistema de Ecuaciones Original Matriz Aumentada OriginalMatriz Identidad que indica los

resultados de Xi

0 … 0 0

MÉTODO DE GAUSS-JORDAN PARA UN SISTEMA DE

ECUACIONES LINEALES DE nxn

Ejemplo de un sistema de ecuaciones lineales concreto :

De este modo, el sistema tiene la solución directa única:

x = 35/28 ; y = -19/28, z = 87/28

~ ~ ~

Matriz Aumentada

Proceso de escalonado de Matriz aumentada original:

Matriz Escalonada

1 2 1 3

0 1 -3 -10

0 -8 -4 - 7

1 2 1 3

0 1 -3 -10

0 0 1 87/28

*

~

Matriz Escalonada

1 0 7 23

0 1 -3 -10

0 0 1 87/28

* ~

Matriz Escalonada

1 0 0 35/28

0 1 0 -19/28

0 0 1 87/28

Operaciones Fundamentales para obtener la Matriz Aumentada que directamente arroja los resultados de Xi

Sistema con solución directa:

Sistema de Ecuaciones Original

…0

0 0

• Multiplicar un Renglón o fila por un escalar K . Rin = KRi ;

donde: Rin = Renglón i nuevo (equivalente); K es el escalar; Ri = Renglón i (anterior)

• Intercambiar Renglones o filas Ri ↔ Rj ;

Donde: el símbolo ↔ significa intercambio; Ri = Renglón 1; Rj = Renglón 2

• Sumar Renglones o filas Rjn = KRi + Rj ;

Donde: Rjn = Renglón 2 nuevo; KRi = K es el escalar y Ri = Renglón i (anterior) ; Rj = Renglón 2

~ = 0

0 0

0 … 0 0

MÉTODO DE GAUSS-JORDAN PARA UN EJEMPLO CONCRETO

Proceso de escalonado de Matriz aumentada original:



R1 ↔ R2R1

R2

R3

R1

R2

R3

Matriz Aumentada Original

Matriz Aumentada Equivalente

Proceso de escalonado de Matriz aumentada (continuación):

R1

R2

R3



• Sumar Renglones R1 y R2 R2n = -2R1 + R2

-2R1 = -2 (1 2 1 │ 3 ) = -2 -4 -2 │ -6 R2 = 2 5 -1 │-4 = 2 5 -1 │ -4 R2n = 0 1 -3 │ -10


-3R1 = -3 (1 2 1 │ 3 ) = -3 -6 -3 │ -9 R3 = 3 -2 -1 │2 ) = 3 -2 -1 │ 2 R3n = 0 -8 -4 │ -7

1 2 1 3 0 1 -3 -10 0 -8 -4 - 7

R1

R2

R3

Proceso de escalonado de Matriz aumentada (Eliminación Gaussiana):

• Sumar Renglones R2 y R3 R3n = 8R2 + R3

8R2 = 8 ( 0 1 -3 │-10 ) = 0 8 -24 │ -80 R3 = 0 -8 -4 │ -7 = 0 -8 -4 │ -7 R3n = 0 0 -28 │ -87

1 2 1 3 0 1 -3 -10 0 -8 -4 - 7

R1

R2

R3

1 2 1 3 0 1 -3 -10 0 0 -28 -87

R1

R2

R3

• Multiplicar un R3 por un escalar K . R3n = (-1/28) R3

R3n = (-1/28) ( 0 0 -28 │ -87 )

R3n = 0 0 -28/-28 │ -87/-28

R3n = 0 0 1 │ 87/28

1 2 1 3 0 1 -3 -10 0 0 1 87/28

R1

R2

R3

X + 2 Y + Z = 3 Y - 3Z = -10 Z = 87/28

X = 35/28

Y = -19/28

Z = 87/28

Solución única

http://es.slideshare.net/javiersolisp/sistemas-de-ecuaciones-lineales-por-gauss-simple




Proceso de seguimiento para obtener la solución directa por Gauss-Jordan

1 0 7 23 0 1 -3 -10 0 0 1 87/28

R1

R2

R3

1 2 1 3 0 1 -3 -10 0 0 1 87/28

R1

R2

R3


-2R2 = -2 ( 0 1 -3 │-10 ) = 0 -2 6 │ 20 R1 = 1 2 1 │ 3 = 1 2 1 │ 3 R1n = 1 0 7 │ 23

• Sumar Renglones R3 y R2 R2n = 3R3 + R2

3R3 = 3 ( 0 0 1 │ 87/28 ) = 0 0 3 │261/28 R2 = 0 1 -3 │ -10 = 0 1 -3 │-10 R2n = 0 1 0 │ -19/28

Sumar Renglones R3 y R1 R1n = -7R3 + R1

-7R3 = -7 ( 0 0 1 │ 87/28 ) = 0 0 -7 │- 609/28 R1 = 1 0 7 │ 23 = 1 0 7 │ 23 R1n = 1 0 0 │ 35/28

X = 35/28 Y = -19/28 Z = 87/28

1 0 0 35/28 0 1 0 -19/28 0 0 1 87/28

R1

R2

R3

MÉTODO DE GAUSS-JORDAN PARA LA MATRIZ INVERSA

DE UNA MATRIZ nxn

Para calcular la matriz inversa podemos emplear el método de Gauss-Jordan que consiste en construir la matriz ampliada (A | I) y aplicarle a los renglones o filas de esta matriz, una serie de transformaciones elementales hasta conseguir otra matriz en la que la Matriz Identidad quede a la izquierda, (I | B). Entonces la matriz B que se obtiene es A-1.

http://www.catedu.es/matematicas_blecua/bacmat/temario/bac2/mat2_02matrices.htm

(A | I) (I | B).

B=A-1

Operaciones entre

Renglones



OPERACIONES ENTRE RENGLONES POR MÉTODO DE GAUSS-JORDAN


(A | I) (I | B) B=A-1Operaciones

entre Renglones

• Multiplicar un Renglón o fila por un escalar K . Rin = KRi ;

donde: Rin = Renglón i nuevo (equivalente); K es el escalar; Ri = Renglón i (anterior)







Ejemplo de Obtención de A-1 por Método de GaussJordan

1 1 -12 1 -13 -1 2

A =

1 1 -1 1 0 0 2 1 -1 0 1 03 -1 2 0 0 1

(A | I)

1 0 0 -1 1 0 0 1 0 5 -3 1 0 0 1 3 -2 1

(I | B)

B=A-1

Operaciones entre

Renglones

http://es.onlinemschool.com/math/assistance/matrix/inverse/

Ver proceso de transformación en línea, en:








REFERENCIAS INFORMÁTICAS (textos):

•Cárdenas, Humberto y Emilio Luis R., y Francisco Tomas. ÁLGEBRA SUPERIOR. Editorial Trillas, 2002.

•Frank S Budnick. MATEMÁTICAS APLICADAS PARA ADMINISTTRACIÓN, ECONOMÍA Y CIENCIAS SOCIALES. Editorial Mc Graw Hill.

•Haeussler, Ernest F.. MATEMÁTICAS PARA LA ADMINISTRACIÓN, ECONOMÍA, CIENCIAS SOCIALES Y DE LA VIDA. Editorial Prentice Hall.

•Reyes Guerrero, Araceli. ÁLGEBRA LINEAL. Editorial Thomson, 2005.

•Richar Hill. ÁLGEBRA LINEAL CON APLICACIONES. Editorial Prentice Hall.

•Stanley I Grossman. ÁLGEBRA LINEAL CON APLICACIONES. Editorial Mc Graw Hill

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