TEMA 5. FUNCIONES DERIVABLES.TEOREMA DE TAYLOR

5.1 DERIVADA DE UNA FUNCIÓN5.1.1 Definición de derivadaDefinición: Sea I in intervalo abierto,f : I ⊂ → y a ∈ I . Diremos que f esderivable en a si existe y es finito ellímite:

h→0lim fa h − fa

h x→alim fx − fa

x − a l

En este caso, el límite se designa porf ´a y recibe el nombre de derivada def en a.Si este límite existe cuando h → 0 óh → 0−, a este límite se le llama derivadapor la derecha ó derivada por laizquierda de f en a (derivadas laterales) yse escriben como f ´a, f− ´arespectivamente.Proposición: La condición necesaria ysuficiente para que una función sea

derivable en un punto es quelasderivadas laterales existan y seaniguales.

Definición: (Función derivable en unintervalo)Sea I un intervalo abierto y f : I → unafunción. Si f es derivable en cada uno delos puntos de I diremos que f esderivable en I.Diremos que f es derivable en unintervalo a,b siempre que sea derivableen el intervalo abiertoa,b y, además,existan las derivadas laterales f ´a yf− ´b5.1.2 Interpretación geométrica de laderivada1.De entre todas las rectas que pasanpor el punto a, fa, la tangente es laque mejor aproxima a la curva y fx enlas proximidades de x a.2. La ecuacion de la recta tangente en elpunto x a sería:

y fa f´ax − a

3. Si la función admite derivada por laderecha en el punto x a, entoncespuede hablarse de semitangente por laderecha a la curva en el puntoa, fa.Dicha semitangente es lasemirecta:

y fa f´ax − a x a

Análogamente, si existe la derivada porla izquierda f´−a,se define lasemitangente por la izquierda.De hecho si tiene derivadas lateralesfinitas y distintas, la gráfica presenta unpico en el punto x a y se suele decirque el punto a es un punto anguloso.4. Si f´a 0, la tangente a la curvay fx en el punto a es una rectahorizontal.5. La recta perpendicular a la tangenteen el punto a, fa es la normal a lacurva en dicho punto.La ecuación de la normal a f en a, si

f´a ≠ 0 es:y fa − 1

f´a x − a

Si f´a 0, la normal sería x a6. En el caso en el que

h→0lim fa h − fa

h .

La gráfica va presentar una tangentevertical.

5.1.3 Tabla de derivadas

Función fx Derivada f´x

c constante 0

x x−1

n x x1n 1

n n xn−1 1

n x1n −1

x 12 x

logax (a 0 1x loga

logx 1x

ax a 0 ax loga

ex ex

senx cosx

cosx −senx

tgx 1 tg2x 1cos2x

cotgx −1 − cot2x −1sen2x

arcsenx 11 − x2

arccosx −11 − x2

arctgx 11 x2

shx chxchx shx

5.2 PROPIEDADES DE LASFUNCIONES DERIVABLES5.2.1 Continuidad de las funcionesderivables

Teorema: Si f es derivable en x a fes continua en x a.El recíproco es falso.

5.2.2 Propiedades algebraicasTeorema: Sean f y g dos funcionesreales definidas en I, si son derivablesen x a

i (f g es derivable en x a, siendo

f g ´a f ´a g ´a

ii (fg es derivable en x a, siendo

fg ´a f ´aga g ´afa

iii fg es derivable en x a, si ga ≠ 0,

siendo

fg

´a f ´aga − g ´afa

ga2

vi kf es derivable en x a, k ∈ , siendo

kf ´a kf ´a

5.2.3 Derivada de la funcióncompuesta y del la inversaTeorema: Sean f : I → y g : J → confI ⊂ . Si f es derivable en el puntox a y g es derivable en fa ∈ J,entonces h g ∘ f es derivable en x a ysu derivada es:g ∘ f ´a g ´faf ´a.

Teorema: Sea f : A → derivable enx a, con f ´a ≠ 0, y sea f−1 : fA → la inversa de f, cuya existenciasuponemos. Entonces f−1 es derivable enfa y se cumple.

f−1 ´b 1f ´f−1b

5.3 EXTREMOS LOCALES DEFUNCIONESDefinición: Sea f : I ⊂ unafunción definida en un intervalo I , y seax0 un punto interior de I, diremos que x0es un máximo relativo si fx0 ≥ fx ∀ x ∈x0 − ,x0 ∩ I.Diremos que x0 es un mínimo relativo sifx0 ≤ fx ∀ x ∈ x0 − ,x0 ∩ I.Diremos que x0 es un máximo absoluto sifx0 ≥ fx ∀ x ∈ I.Diremos que x0 es un mínimo absoluto sifx0 ≤ fx ∀ x ∈ I.A los máximos y mínimos relativos se lesllama extremos relativos.A los máximos y mínimos absolutos seles llama extremos absolutos.Teorema(condición necesaria deextremo relativo):Sea f : I ⊂ unafunción derivable en un punto x0 ∈ I . Six0 es interior de I y f tiene un extremorelativo en x0 , entonces f´x0 0

Observaciones1. La condición anterior no es unacondición suficiente para la existencia deextremo relativo.

2. La condición anterior deja de ser ciertasi el punto x0 deja de ser interior, esdecir, si x0 es el origen ó el extremo de I.

3. La condición anterior asegura que laexistencia de un tal extremo de f en x0implica que si existe f´x0 esta es cero.Pero si la derivada no existe el teoremano es de aplicación. La función puedetener un extremo relativo en un puntodonde la función no sea derivable.5.4 EXTREMOS ABSOLUTOSDaremos un procedimiento para resolverel siguiente problema:Sea f : a,b . Encontrar susextremos absolutos.

1. Calculamos los candidatos a extremosabsolutos, estos serían:

i Los puntos x0 que hacen cero laprimera derivada, siendo f derivable enx0 y x0 interior.

ii Los extremos del intervalo.iii Los puntos donde la función no

sea derivable.

2. Se evalúa f en todos los puntosobtenidos en el apartado anterior. Elvalor máximo de todas estasevaluaciones corresponde al máximo (omáximos) absoluto; y el valor mínimo detodas ellas corresponde al mínimo (omínimos )absoluto.

5.5 TEOREMA DE ROLLETeorema de Rolle: Sea f : a,b ,con f continua en a,b y derivable ena,b si fa fb,entonces existe un

c ∈ a,b tal que f´c 0.

5.6 TEOREMAS DEL VALOR MEDIODE LAGRANGE. CONSECUENCIASTeorema del valor medio de Lagrange:Sea f : a,b , con f continua en a,by derivable en a,b, entonces ∃ c ∈ a,btal que

fb − fa f´cb − a

Consecuencias del teorema del valormedio1. Teorema: Sea f continua en a,b yderivable en a,b, con f´x 0∀x ∈ a,b entonces la función f esconstante.

2. Teorema: Si f y g son continuas ena,b y derivables en a,b conf´x g´x ∀x ∈ a,b entonces ∃ c ∈a,b tal que fx gx cte

3. Funciones monótonas derivables:Sea f : I , derivable en I, entonces :

i f´x ≥ 0 f es monótonacreciente.

ii f´x ≤ 0 f es monótonadecreciente.

iii Si f´x 0 f es estrictamentecreciente.

iv Si f´x 0 f es estrictamentedecreciente.Condiciones suficientes de extremorelativoTeorema. Sea f : a,b → una funcióncontinua en (a,b y derivable en todos lospuntos de a,b salvo a lo mas en unpunto c ∈ a,b. Supongamos que secumple.

f´x ≤ 0 si x ∈ a,cf´x ≥ 0 si x ∈ c,b

Entonces f tiene en c un mínimo relativo.Si se cumple que:

f´x ≥ 0 si x ∈ a,cf´x ≤ 0 si x ∈ c,b

Entonces f tiene en c un máximo relativorelativo.Nota: La continuidad de la función f en elintervalo a,b es imprescindible.

5.7 TEOREMA DE CAUCHY. REGLADE L´HOPITAL

Teorema de Cauchy: Sean f y g dosfunciones continuas en a,by derivablesen a,b entonces existe un c ∈ a,b talque

f´cgb − ga g´cfb − fa

Supongamos que además se cumplealguna de las siguientes condiciones:

i) g´x ≠ 0 ∀x ∈ a,bii) gb ≠ ga y f´x y g´x no se

anulan simultáneamente en ningún puntox ∈ a,b.

Entonces la conclusión anterior se puedeexpresar:

fb − fagb − ga f´c

g´c

Regla de L´Hôpital.

Caso1. 00

Teorema: Sean f y g continuas en a,byderivables en a,bcon g´x ≠ 0∀x ∈ a,b.Si se cumple que

x→alim fx 0,

x→alim gx 0,

x→alim f´x

g´x l x→alim fx

gx l

Caso2. En las mismas condiciones que elteorema anterior si se cumple

x→alim fx ,

x→alim gx ,

x→alim f´x

g´x l x→alim fx

gx l

Nota: El punto a puede ser un número

real ó − .Lo mismo que l puede ser

real ó − 5.8 DERIVADAS SUCESIVAS .Sea f : I ⊂ → una función derivableen un intervalo I, es decir, en todos lospuntos del intervalo I. Se llama funciónderivada o derivada de orden uno a:

f´ : I x f´x.

Si existe la derivada de f´ en un punto ade I a ésta se le llamará derivadasegunda y se denotará por f´´a.Si esta derivada segunda existe paratodo punto x de I podremos hablar dederivada segunda como

f´´ : I x f´´x.

En general hablaremos la existencia dela derivada n-ésima ó derivada de orden

n en el punto x cuando la función esderivable n-veces en el punto x yescribiremos como fnx. Si la función esderivable n-veces en I, hablaremos de lafunción derivada n-ésima.

Derivada de orden n de un producto.Regla de Leibnitz.Dadas las funciones f y g que admitenderivada de orden n en el punto x.Entonces f.g admite derivada de orden nen x , verificándose:

fgnx n

k0

∑ nk fn−kxgkx

n0 fnxgx n

1 fn−1xg´x . . . . . . . .

nn fxgnx

5.9 TEOREMA DE TAYLOR.

Teorema: Sea f una función con derivadan-ésima en el punto x0 . Entonces existeun polinomio Px y sólo uno de grado≤ n que llamaremos de Taylor que

satisface :fx0 Px0; f´x0 P´x0; ......;fnx0 Pnx

Dicho polinomio viene dado por:

Pnx fx0 f´x0x − x0 12! f´´x0x − x02

. . . . . . 1n! fnx0x − x0n

Nota: Este polinomio proporciona unaaproximación razonable de f en lospuntos cercanos a x0.Nota: Cuando el desarrollo lo hacemosen el punto x0 0, decimos al polinomiode Mac-Laurin.Teorema: Sea n ∈ ℕ, f : a,b → tal quef y sus derivadas f´, f´´, . . . . , fn soncontinuas en a,b y fn1 existe en a,b.Si x0 ∈ a,b entonces para cualquier xen a,b existe un c entre x y x0 tal quefx fx0 f´x0x − x0 1

2! f´´x0x − x02

. . . . 1n! fnx0x − x0n Rnx

donde Rnx 1n 1! fn1cx − x0n1 y

le llamaremos resto de Lagrange.Luego fx Pnx RnxTeorema: Si f es una función n vecesderivable en el punto x0 y Pnx es supolinomio de Taylor se cumple:

x→x0lim fx − Pnx

x − x0n 0

Polinomios de Taylor de orden 1 y 2de la función fx expx

2.51.250-1.25

20

15

10

5

0

x

y

x

y

5.9.1 Aplicación al cálculo aproximado

de valores de una función1. El Rn en el teorema de Taylor sepuede usar para estimar el error alaproximar una función mediante supolinomio de Taylor.Si el número n se fija de antemano,entonces se plantea la cuestión de laprecisión de la aproximación .Si se especifica la precisión entonces lacuestión será encontrar un n adecuado.

2. La sustitución de una función por supolinomio de Taylor tiene validez local,es decir, la aproximación es buena en unentorno del punto.

3. La fórmula de Taylor también puedeevaluarse si una función cumple losrequisitos del teorema de Taylor en unintervalo x,x0 teniendo en cuenta que,en ese caso, c pertenecería al intervalox,a.

5.9.2 Aplicación al cálculo deextremos relativosUna forma de determinar si c es unmáximo ó mínimo relativo (o ninguno delos dos), es usar el criterio de la primeraderivada (estudiando el signo de laprimera derivada a ambos lados delpunto).Las derivadas n-ésimas, en caso deexistir, también se pueden utilizar paradeterminar si el punto crítico es unextremo relativo.

Teorema: Sea I un intervalo, sea x0 unpunto interior de I y sea n ≥ 2 .Supongamos que existen las derivadasf´, f´´, . . . . . . , fn y que son continuas en unentorno del punto x0 y quef´x0 . . . . fn−1x0 0, perofnx0 ≠ 0.

i Si n es par y fnx0 0, entonces ftiene un mínimo relativo en x0.

ii Si n es par y fnx0 0, entonces f

tiene un máximo relativo en x0.iii Si n es impar, entonces f no tiene

un máximo relativo ni un mínimo relativoen x0.

5.9.3 Aplicación al estudio de lacurvatura de una funciónDefinición: Sea f : D ⊂ → . Sea c∈ a,b ⊂ D con f derivable en c. Diremosque f es cóncava en x c cuando en unentorno de c, la gráfica de la función fqueda por encima de la recta tangente ala gráfica en (c, fc.Diremos que f es convexa en x ccuando en un entorno de c, la gráfica dela función f queda por debajo de la rectatangente a la gráfica en (c, fc.

Definición: Una función escóncava(convexa) en un intervalo de sudominio, si lo es en cada uno de suspuntos.

Definición: Diremos que la función tieneen c un punto de inflexión si la función escóncava en c − ,c y convexa enc,c ó viceversa.Caracterización de la concavidad y laconvexidadTeorema: Sea f una función n vecesderivable en a y que verificaf´´a 0, . . . , fn−1a 0, fna ≠ 0,n ≥ 2.Entonces se tiene:

i Si n es par y fna 0 f esconcava en a.

ii Si n es par y fna 0 f esconvexa en a.

iii Si n es impar y f presenta unpunto de inflexión en a.

5.10 ESTUDIO LOCAL DE UNAFUNCIÓNDefinición: Una recta no vertical deecuación y mx n se llama asíntotaoblicua de la gráfica de la función f si:

x→−

lim (fx − mx n 0.

Para el caso particular de m 0, sellama asíntota horizontal.Cálculo de asíntotas.

x→−

lim fxx m

x→−

lim fx − mx nSi ambos límites existen y son finitos,tendremos una asíntota oblicua deecuación y mx n.Definición: Una recta vertical de ecuacióny c se llama asíntota vertical de lagráfica de la función f si:

x→c−lim fx −