Il Teorema di RolleIl Teorema di Rolle

Chi era Michel Rolle?

Cosa dice il Teorema di Rolle?Cosa dice il Teorema di Rolle?

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Ricostruisci e controllaRicostruisci e controlla

A cura della V A del Liceo Scientifico “Jacopone da Todi” di Todi

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Michel Rolle nasce a Ambert nel 1652. Dal 1685 è Michel Rolle nasce a Ambert nel 1652. Dal 1685 è membro dell’Accademia di Parigi come “géomètre membro dell’Accademia di Parigi come “géomètre pensionnaire”. Fu uno dei matematici più abili del pensionnaire”. Fu uno dei matematici più abili del suo tempo, tuttavia si distinse per un suo tempo, tuttavia si distinse per un atteggiamento critico verso i nuovi metodi del atteggiamento critico verso i nuovi metodi del calcolo differenziale che si andavano allora calcolo differenziale che si andavano allora affermando, dando luogo a vivaci polemiche con P. affermando, dando luogo a vivaci polemiche con P. Varignon e Jean Bernoulli e fu al centro di alcune Varignon e Jean Bernoulli e fu al centro di alcune polemiche contro l’Hôpital sul concetto di infinito e polemiche contro l’Hôpital sul concetto di infinito e contro la geometria di Cartesio. La sua fama è contro la geometria di Cartesio. La sua fama è dovuta soprattutto al Teorema che porta il suo dovuta soprattutto al Teorema che porta il suo nome: Teorema di Rolle, da lui dimostrato nel 1691.nome: Teorema di Rolle, da lui dimostrato nel 1691.

Le sue opere più importanti sono: “Traité Le sue opere più importanti sono: “Traité d’algebre” 1690 e “Methode pour résudre les d’algebre” 1690 e “Methode pour résudre les égalités” 1691.égalités” 1691.

IPOTESI:IPOTESI:

• f continua in f continua in [a,b][a,b]

• f derivabile in f derivabile in ]a,b[ ]a,b[

• f(a) = f(b)f(a) = f(b)

TESI:TESI:

Esiste almeno un Esiste almeno un punto c in (a,b) tale punto c in (a,b) tale che che

 

Data una funzione qualsiasi Data una funzione qualsiasi f(x)f(x), continua in un intervallo , continua in un intervallo chiuso [chiuso [a,ba,b] e derivabile in ] e derivabile in ]a,b[]a,b[ vi è almeno un punto vi è almeno un punto cc dell’intervallo [dell’intervallo [a,ba,b] dove la derivata della funzione si annulla.] dove la derivata della funzione si annulla.

Dimostrazione:Dimostrazione:

Sia Sia f(x)f(x) continua in continua in [a,b][a,b], derivabile in , derivabile in ]a,b[]a,b[ , tale che , tale che f(a) = f(b).f(a) = f(b).

In virtù dell’ipotesi della continuità, vale il teorema Bolzano-Weierstrass, che ci assicura che esistono almeno un punto di massimo e un punto di minimo in [a,b].

• Supponiamo che entrambi cadano negli estremi Supponiamo che entrambi cadano negli estremi a a e e bb dell’intervallo.dell’intervallo.

Ad esempio, se:

Max = f(a) e min = f(b), in virtù dell’ipotesi che f(a) = f(b), si ha che Max = min e quindi f(x) è costante in tutto l’intervallo [a,b]. Quindi f’(x) = 0 in tutto [a,b].

• Supponiamo ora che almeno uno dei due, il massimo o il minimo, cada nell’intervallo ]a,b[.

Ad esempio, se:

Max = f(c), con c appartenente all’intervallo ]a,b[ ,allora il rapporto incrementale sinistro

mentre il rapporto incrementale destro è

Come si può notare dal seguente grafico:Come si può notare dal seguente grafico:

RI-<0 RI+>0

In virtù dell’inverso del Teorema della permanenza del segno ne segue che, il

elim ≥ 0cx

cfxf

)()(

cx

lim cx

cfxf

)()(

cx≤ 0

E in virtù dell’ipotesi della derivabilità, i due limiti devono essere uguali e quindi:

lim cx

cfxf

)()(

cx= lim

cx

cfxf

)()(

cx=

0

Esaminiamo le ipotesi del Teorema di Rolle e analizziamo cosa Esaminiamo le ipotesi del Teorema di Rolle e analizziamo cosa accade se cadono le ipotesi.accade se cadono le ipotesi.

  ]2,1[]4,0[: fConsideriamo ad Consideriamo ad esempioesempio così definita:così definita:

,4,0,2,40,1

)( xxsexse

xf

La cui rappresentazione La cui rappresentazione grafica è la seguente grafica è la seguente

Se cade l’ipotesi di continuità della funzione in Se cade l’ipotesi di continuità della funzione in [a,b],[a,b], la tesi continua a valere solo in alcuni casi.la tesi continua a valere solo in alcuni casi.

Come è evidente, la funzione non è continua in , tuttavia la Come è evidente, la funzione non è continua in , tuttavia la tesi continua a valere, mentre ciò non accade per la funzione , così tesi continua a valere, mentre ciò non accade per la funzione , così definitadefinita

]4,0[

]1,0[]1,0[: f

,0,1,10,

)( xsexsex

xf

La cui rappresentazione La cui rappresentazione grafica ègrafica è

Si vede che in questo caso la tesi non Si vede che in questo caso la tesi non vale.vale.

Si possono fare considerazioni analoghe a quanto accade per la Si possono fare considerazioni analoghe a quanto accade per la continuità, cioè, se cade l’ipotesi che continuità, cioè, se cade l’ipotesi che ff sia derivabile in ] sia derivabile in ]a,ba,b[, la [, la tesi del Teorema di Rolle continua a valere solo in alcuni casi. tesi del Teorema di Rolle continua a valere solo in alcuni casi.

Infatti, se si considera la funzioneInfatti, se si considera la funzione ]1,0[]2,2[: f così definitacosì definita

x f(x)=

- x - 1 se –2 ≤ x ≤ -1 0 se -1 < x < 1 x - 1 se 1 ≤ x ≤ 2

rappresentata cosìrappresentata così

La funzioneLa funzione f(x) f(x) è continua in è continua in [-2,2][-2,2]; ; ff(-2(-2)=f( )=f( 22) ) == 1,1, ma ma non è derivabile in non è derivabile in x x = -1= -1 ee x x = 1; tuttavia esistono infiniti= 1; tuttavia esistono infiniti punti punti x x tra tra ]-1,1[ ]-1,1[ in cui in cui f’(x) = f’(x) = 00..

]1,0[]1,0[: f xxf )(

]1,0[ [1,0] )1(10)0( ff

]4,0[]2,1[: f2)( xxf )2()1( ff

00 x 0)(' 0 xf

Di nuovo si ritrova che la tesi continua a valere soltanto in alcuni casi. Di nuovo si ritrova che la tesi continua a valere soltanto in alcuni casi.

Infatti, se si considera Infatti, se si considera definita definita da da

la funzione è continua in , derivabile in, derivabile in , , ma ma

e la tesi del Teorema di Rolle non e la tesi del Teorema di Rolle non vale.vale. Se invece si considera la funzione

definita da definita da

, in tal caso, sebbene risulta , in tal caso, sebbene risulta che che

nel punto nel punto

si ha che

Utilizzando il Teorema di Rolle, si può affermare che se l’equazione Utilizzando il Teorema di Rolle, si può affermare che se l’equazione

xn + an-1xn-1 + … +a1x + a0 = 0

ammette radici reali, allora, fra due di esse, l’equazione

nxn-1+ (n-1)xn-2 + … + a1 =0

ammette almeno una radice. Infatti, poiché

f (x)= xn + an-1 xn-1 + … + a1x + a0

1) è continua in R 2) è derivabile in R, 3) se x1 e x2 sono radici di f (x), allora f(x1) = f(x2) = 0

Per il Teorema di Rolle almeno ] x1, x2 [ tale che f ( ) = 0 cioè

0x0x

f ( ) = nxn-1+ (n-1)xn-2+ … + a1 = 0.0x0x

0x

Attraverso il Teorema di Rolle, si riesce a dire, ad esempio, che Attraverso il Teorema di Rolle, si riesce a dire, ad esempio, che l’equazione l’equazione 3x3x55+ 15x – 12+ 15x – 12 = 0 ammette una sola radice reale = 0 ammette una sola radice reale..

Infatti, il Teorema fondamentale dell’algebra ci assicura che Infatti, il Teorema fondamentale dell’algebra ci assicura che l’equazione, essendo di grado dispari, ha almeno una radice l’equazione, essendo di grado dispari, ha almeno una radice reale. reale. Se per assurdo esistessero due radici Se per assurdo esistessero due radici xx1 1 , x, x22 reali tali che reali tali che

f(xf(x11) ) = = f(xf(x22) ) = 0, allora dovrebbe esistere un = 0, allora dovrebbe esistere un xx00 appartenente appartenente

all’intervallo aperto ] all’intervallo aperto ] xx11, x, x22[ tale che la derivata prima calcolata [ tale che la derivata prima calcolata

nel punto nel punto xx00 è uguale a zero, ma è uguale a zero, ma f’(x)= 15xf’(x)= 15x4 4 + 15+ 15 non si annulla non si annulla

mai nel campo reale.mai nel campo reale.