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Propiedades y aplicaciones de las funciones derivables. Monotonía y derivada de una función Teorema de Rolle Teorema del valor medio de Lagrange Curvatura de una función

Propiedades y aplicaciones de las funciones derivables. Monotonía y derivada de una función Teorema de Rolle Teorema del valor medio de Lagrange Curvatura

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Propiedades y aplicaciones de las funciones derivables.

Monotonía y derivada de una función Teorema de Rolle Teorema del valor medio de Lagrange Curvatura de una función

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Teorema de Rolle

Si f es continua en [a,b] y derivable en (a,b) y se cumple

f(a) = f(b), entonces, existe un número c perteneciente al

intervalo (a,b) tal que f ‘ (c) = 0

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Ejemplo.-

Si f(x) = x4 – 8x2, como f(-1) = f(1)= - 7, se cumple las

condiciones del teorema de Rolle en el intervalo [-1,1],

existe un c del intervalo (-1,1) tal que f’(c) =0.

Para hallar c, resolvemos la ecuación

f’(c) = 4 x 3 – 16 x = 0 x = {-2,0,2}

Y tomando c = 0, es f ‘(0) = 0

La interpretación geométrica de este teorema, es que en el intervalo (a,b)

existe al menos un punto en el cual la recta tangente a la curva es horizontal

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Teorema del valor medio

Si f es continua en [a,b] y derivable en (a,b), existe un

número c perteneciente al intervalo (a,b) tal que

f(b) – f(a) = f ‘ (c) . ( b – a)

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Ejemplo.-

Si f(x) = x3 – 2 x + 1, como f(-1) = 2; f(1) = 0, y se cumplen las

condiciones del teorema del valor medio en el intervalo [-1,1],

existe un c del intervalo (-1,1) tal que (f(1)-f(-1)) = f’(c).(1-(-1))

Para hallar c, resolvemos la ecuación

(0-2) = f’(c) . (1-(-1)) c = {-3/3, 3/3}

y basta tomar c = -3/3 ó c = 3/3

La interpretación geométrica de este teorema, es que existe al menos una tangente

paralela a la cuerda que une los puntos (a,f(a)) y (b,f(b))

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Ejemplo.-

Podemos utilizar la función f(x) = x, para calcular de aproximadamente

51, pues si tomamos el intervalo [49,51], y aplicamos el teorema del

valor medio, tendremos la ecuación

(51- 49) = (2c) (-1) . (51-49) 51 = 7 + (c) (-1)

y teniendo en cuenta que

49 < c < 51 49 (-1) > c (-1) > 51 (-1) (49)(-1) > (c)(-1) > (51)(-1)

Luego

51 = 7 + (49) (-1) = 7,1428 > 7 + (c) (-1) = 51

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= 0 es

> 0 es

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Matemática de DESCARTES del

Ministerio de Educación y ciencia

(http://recursostic.educacion.es/descartes/web/)

En la siguiente diapósitiva

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Matemática de GAUSS del Ministerio

de Educación y ciencia

(http://recursostic.educacion.es/gauss/web)

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lasmatemáticas.es

Videos del profesor

Dr. Juan Medina Molina

(http://www.dmae.upct.es/~juan/mate

maticas.htm)

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Manuel Sada

(figuras de GeoGebra)

(http://docentes.educacion.navarra.es/msa

daall/geogebra/)

En la siguiente diapósitiva

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