TEMA II. Esfuerzos en Vigas

8/18/2019 TEMA II. Esfuerzos en Vigas

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Esfuerzos en Vigas

2.1. Esfuerzos. Esfuerzos en el plano. Esfuerzos combinados. Esfuerzosprincipales.

ESFUERZOS.

ESFUERZOS PLANO.

Las condiciones de esfuerzo que encontramos en los captulos anteriores!cuando analizamos barras en tensi"n # compresi"n! los e$es en torsi"n # las

%i&as en 'e(i"n son e$emplos de un estado de esfuerzo llamado esfuerzoplano. El estado &eneral de esfuerzo en un punto se caracteriza medianteseis componentes independientes de esfuerzo normal # esfuerzo cortante!que act)an sobre las caras de un elemento de material ubicado en esepunto! *&ura +a. sin embar&o! este estado de esfuerzo no se encuentra confrecuencia en la pr,ctica de la in&eniera. En su lu&ar los in&enieros suelen-acer apro(imaciones o simpli*caciones de las car&as sobre un cuerpo conel *n de que el esfuerzo producido en un elemento de la estructura o unelemento mec,nico puede analizarse en un solo plano.

uando se presenta este caso! se dice que el material est, sometido aesfuerzo plano! *&ura +b. por e$emplo! si no -a# car&a en la super*cie de


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un cuerpo! entonces las componentes de los esfuerzos normal # cortanteser,n i&uales a cero sobre la cara de un elemento que se encuentre en estasuper*cie. En consecuencia! las componentes de esfuerzoscorrespondientes en la cara tambi/n ser, cero! por lo que el material en el

punto estar, sometido a esfuerzo plano.

Fi&ura 0Por lo tanto! el estado &eneral de esfuerzo plano en un punto se representamediante una combinaci"n de los componentes de esfuerzos normales 1( #1#2! # una componente de esfuerzo cortante! 3(#! que act)a en las cuatroscaras del elemento. Por con%eniencia aqu se %er, este estado esfuerzosobre el plano (4# de la *&ura +a! si este estado de esfuerzo se de*ne sobre

un elemento que tiene una orientaci"n diferente como la mostrada en la*&ura +b! entonces estar, sometido a tres componentes de esfuerzosdiferentes como 1(2! 1#2!3(2#2. En otras palabras! el estado de esfuerzo

plano en el punto está representado únicamente por dos

componente de esfuerzo cortante que actúan sobre un elemento

que tiene una orientación especíca en el punto.

5a 5b


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Esfuerzos sobre secciones inclinadas.

2cA-ora podemos considerar los esfuerzos que act)an sobre seccionesinclinadas suponiendo que conocemos los esfuerzos 1 x ! 1 y # 3 xy 6*&uras7.0a # b8. Para representar los esfuerzos que act)an sobre una secci"ninclinada! consideramos un nue%o elemento de esfuerzo 6*&ura 7.0c8 queest, ubicado en el mismo punto en el material que el elemento ori&inal6*&ura 7.0b8. Sin embar&o! el nue%o elemento tiene caras que son paralelas# perpendiculares a la direcci"n inclinada. Asociados con este nue%oelemento se tienen los e$es x 0! y 0 # z 0! tales que el e$e z 0 coincide con el

e$e z # los e$es x 0 y 0 est,n &irados en sentido contrario al de las manecillasdel relo$ un ,n&ulo 9 con respecto a los e$es xy .Los esfuerzos normales # cortantes que act)an sobre este nue%o elementose denotan 1 x 0! 1 y 0! 3 x 0 y 0 # 3 x 0 y 0 empleando las mismas desi&nacionescon subndices # con%enciones de si&nos descritas antes para los esfuerzosque act)an sobre el elemento xy . Las conclusiones anteriores relati%as a losesfuerzos cortantes aun son aplicables! de manera que

3 x 0 y 0 :3 y 0 x 0

A partir de esta ecuaci"n # del equilibrio del elemento! obser%amos que losesfuerzos cortantes que actúan sobre los cuatro lados de un

elemento en esfuerzo plano se conocen si determinamos el

esfuerzo cortante que actúa sobre cualquiera de los lados. Los esfuerzos que act)an sobre el elemento inclinado x 0 y 0 6*&ura 7.0c8pueden e(presarse en t/rminos de los esfuerzos sobre el elemento xy 6*&ura 7.0b8 al utilizar ecuaciones de equilibrio. Para este *n ele&imos unelemento de esfuerzo con forma de cuña 6*&ura 7.5a8 que tiene unacara inclinada que es i&ual que la cara x 0 del elemento inclinado que se


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muestra en la *&ura 7.0c. Los otros dos lados de la cu;a son paralelos a lose$es x # y .

Esfuerzos que act)an sobre el elemento

A *n de escribir las ecuaciones de equilibrio para la cu;a! necesitamoselaborar un dia&rama de cuerpo libre que muestre las fuerzas que act)ansobre las caras.


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41#A= tan9 sen9 43#(A= tan9 cos9:=

ec.a

ec.b

Las ecuaciones 67.?a8 # 67.?b8 dan los esfuerzos normales # cortantes queact)an sobre el plano x 0 en t/rminos del ,n&ulo 9 # los esfuerzos 1 x ! 1 y #3 xy que act)an sobre los planos x # y . Para el caso especial cuando 9 : =!obser%amos que las ecuaciones 67.?a8 # 67.?b8 dan 1 x 0 1 x # 3 x 0 y 0 3 xy !como se esperaba. Adem,s! cuando 9 : @=! las ecuaciones dan 1 x 0: 1 y #3 x 0 y 0 :43 xy=- 3 yx . En el )ltimo caso! como el e$e x 0 es %ertical cuando 9: @=! el esfuerzo t x 0 y 0 ser, positi%o cuando actu/ -acia la izquierda. Sinembar&o! el esfuerzo 3 yx act)a -acia la derec-a # por tanto! 3 x 0 y 0 3 yx .

Ecuaciones de transformacin para esfuerzo plano

Las ecuaciones 67.?a8 # 67.?b8 para los esfuerzos sobre una secci"ninclinada pueden e(presarse de una manera m,s con%enienteintroduciendo las si&uientes identidades tri&onom/tricas

Al -acer estas sustituciones! las ecuaciones se transforman en


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Estas ecuaciones se conocen como ecuaciones de transformacin paraesfuerzo plano debido a que transforman las componentes de esfuerzo deun con$unto de e$es en otro. No obstante! como #a se e(plico! el estado deesfuerzo intrnseco en el punto en consideraci"n es el mismo! #a sea que lo

representen esfuerzos que act)an sobre el elemento xy 6*&ura 7.0b8 osobre el elemento inclinado x 0 y 0 6*&ura 7.0c8.

Esta ecuaci"n muestra que la suma de los esfuerzos normales que act)ansobre caras perpendiculares de elementos de esfuerzo 6en un punto dadoen un cuerpo sometido a esfuerzo8 es constante e independiente del ,n&ulo9.La manera en que %aran los esfuerzos normales # cortantes se muestra enla fi&ura 7.?! que es una &rafica de 1 x 0 # 3 x 0 y 0 en funci"n del ,n&ulo 9 6de las

ecuaciones 7.Ba # 7.Bb8. La &ra*ca est, trazada para el caso particular de1 y : =.51 x # 3 xy : =.1 x ! donde obser%amos que los esfuerzos %arancontinuamente conforme cambia la orientaci"n del elemento. En ciertos,n&ulos el esfuerzo normal alcanza un %alor m,(imo o mnimo en otros se%uel%e cero. Una in%esti&aci"n detallada de esos %alores m,(imo # mnimose -ace en la secci"n 7.?.

F!E"#$% &"''&*+E% , E%F!E"#$% $"-*-E% /0'$%

Las ecuaciones de transformaci"n para esfuerzo plano muestran que losesfuerzos normales 1 x 0 # los esfuerzos cortantes 3 x 0 y 0 %aran


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continuamente conforme se &iran los e$es a tra%/s de un ,n&ulo 9. Esta%ariaci"n se representa en la *&ura 7.? para una combinaci"n particular deesfuerzos. En la *&ura obser%amos que los esfuerzos normales # loscortantes alcanzan %alores m,(imos # mnimos en inter%alos de @=. Estos

%alores m,(imos # mnimos suelen requerirse para *nes de dise;o. Pore$emplo! las fallas por fati&a de estructuras como maquinas # aerona%es amenudo se asocian con los esfuerzos m,(imos! # de aqu que susma&nitudes # orientaciones se deban determinar como parte del procesode dise;o

Esfuerzos principalesLos esfuerzos normales m,(imo # mnimo! denominados esfuerzosprincipales! se pueden determinar a partir de la ecuaci"n detransformaci"n para el esfuerzo normal 1 x 0 6ecuaci"n 7.Ba8. Al deri%ar 1 x 0con respecto a 9 # al i&ualar a cero! obtenemos una ecuaci"n para la cualpodemos encontrar los %alores de u para los que 1 x 0 es un m,(imo o unmnimo. La ecuaci"n para la deri%ada es

Resol%iendo esta ecuaci"n obtenemos la orientaci"n 9:9 p de los planos deesfuerzo normal m,(imo # mnimo.

ec. 7.00

El subndice p indica que el ,n&ulo 9 p de*ne la orientaci"n de los planosprincipales! es decir! los planos sobre los que act)an los esfuerzosprincipales. on la ecuaci"n 67.008 se pueden encontrar dos %alores del,n&ulo 59 p en el inter%alo de = a ?G=. Estos %alores di*eren en 0=! conun %alor entre = # 0= # el otro entre 0= # ?G=. Por tanto! el ,n&ulo 9 ptiene dos %alores que di*eren en @=! un %alor entre = # @= # el otro entre@= # 0=. Los dos %alores de 9 p se conocen como los ngulosprincipales. Para uno de estos ,n&ulos el esfuerzo normal 1 x 0 es unesfuerzo principal máximo para el otro! es un esfuerzo principal mínimo.


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Representaci"n &eom/trica de la ecuaci"n 67.008.

Hambi/n podemos obtener formulas &enerales para los esfuerzosprincipales. Para -acer esto nos referimos al trian&ulo rect,n&ulo en la*&ura7.0=! que est, elaborado a partir de la ecuaci"n 67.008. Obser%e quela -ipotenusa del trian&ulo! obtenida con el teorema de Pit,&oras! es

La cantidad R siempre es un numero positi%o #! al i&ual que los otros doslados del trian&ulo! tiene unidades de esfuerzo.

A-ora sustituimos estas e(presiones para cos 59 p # sen 59 p en la ecuaci"n67.Ba8 # obtenemos el m,s &rande al&ebraicamente de los dos esfuerzosprincipales! denotado por 10>


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torsi"n. Sin embar&o! con frecuencia la secci"n trans%ersal de un elementoest, sometida a %arias de esas car&as de manera simult,nea.

En &eneral! esfuerzo combinado se re*ere a casos en que dos o m,s tipos

de esfuerzo act)an en un punto dado al mismo tiempo. Los esfuerzoscomponentes pueden ser normales 6es decir! de tensi"n o compresi"n8 oesfuerzos cortantes.

uando un miembro de car&a se somete a dos o m,s clases diferentes deesfuerzos! la primera tarea es calcular el esfuerzo producido por cadacomponente. Lue&o se decide sobre qu/ punto del miembro soporta lam,(ima combinación de esfuerzos # el an,lisis del esfuerzo combinado endic-o punto se completa. En al&unos casos especiales! se desea conocer lacondici"n de esfuerzo en un punto dado -aciendo caso omiso de si es no elpunto de esfuerzo m,(imo. Al&unos e$emplos serian puntos cercanos asoldaduras en una estructura fabricada! situados a lo lar&o de la %eta de unmiembro de madera o cercanos a un punto de cone(i"n entre miembros.

Los miembros estructurales a menudo requieren soportar m,s de un tipo decar&a. Por e$emplo! una barra e$e en torsi"n puede estar tambi/n sometidoa 'e(i"n! o una %i&a puede estar sometida a la acci"n simult,nea demomento 'e(ionante # car&as a(iales. El an,lisis de un miembro sometidoa tales car&as combinadas puede realizarse usualmente mediante la

superposici"n de los esfuerzos debidos a cada car&a que act)aseparadamente. La superposici"n es permisible si los esfuerzos sonfunciones lineales de las car&as # si no -a# efectos interacti%os entrediferentes car&as 6esto es! si los esfuerzos debidos a una car&a no est,nafectados por la presencia de cualesquiera otras8. El )ltimo requisito sesatisface usualmente si las de'e(iones # rotaciones de la estructura sonpeque;as.El an,lisis se inicia con la determinaci"n de los esfuerzos debidos a lasfuerzas a(iales! pares! fuerzas cortantes # momentos 'e(ionante. Lue&o!

tales esfuerzos se combinan para obtener los esfuerzos resultantes!despu/s de lo cual pueden analizarse los esfuerzos que act)an endirecciones inclinadas mediantes las ecuaciones de transformaci"n o elcrculo de Jo-r. En particular! pueden calcularse los esfuerzos principales #los esfuerzos cortantes m,(imos.


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!na 4ez desarrollada los dems temas 4er si es necesario colocar

el procedimiento de567 de 8ible

2.2. -ipos de Vigas estticamente determinadas e indeterminadas

Recuerde la de*nici"n de una %i&a.Una viga es un miembro que soporta cargas transversales! es decir !

perpendiculares a su ee largo!uando se analiza una %i&a para determinar reacciones! fuerzas cortantesinternas # momentos 'e(ionante internos! con%iene clasi*car el patr"n decar&a! el tipo de apo#os # el tipo de %i&a.

Las %i&as se someten a %arios patrones de car&a! incluidos>ar&as concentradas normalesar&as concentradas inclinadasar&as uniformemente distribuidasar&as distribuidas %ariablesJomentos concentrados

+os tipos de apo9o inclu9en:Apo#o simple de rodillo

Apo#o de pasadorApo#o *$o

+os tipos de 4iga inclu9en:Ki&as simplemente apo#adas o %i&as simplesKi&as salientesKi&as en %oladizo o %oladizasKi&as compuestasKi&as continuas

De acuerdo al número y tipo de los apoyos que soportan la viga, existen dos grandesgrupos de vigas:

Vigas estticamente determinadas

1.1.1 Vigas Isostáticas o estáticamente determinadas: en estas vigas el número dereacciones externas coincide con el número de ecuaciones de equilibro disponibles.No sobra ni faltan reacciones para que el sólido permanezca en equilibrio estable,tiene grado de indeterminación !."# cero. $ continuación se muestran algunose%emplos:

Las %i&as se describen por la manera en que est,n apo#adas.


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Viga Simplemente Apoyada o viga simple: está articulada en un extremo y tiene soporte de

rodillo en el otro.

La característica esencial de un apoyo articulado es que evita la translación en el extremo de

una viga pero no evita su rotación. De esta manera, el extremo A de la viga de la figura 4 no

puede moverse horizontal o verticalmente pero el ee de la viga puede girar en el plano de la

figura. !n consecuencia, un apoyo articulado es capaz de desarrollar una fuerza de reacción con

componentes tanto horizontal como vertical " HA y RA#, pero no puede desarrollar una reacción

de momento.

!n el extremo B de la viga "figura # el apoyo de rodillo evita la translación en la dirección

vertical pero no en la dirección horizontal$ de aquí que este apoyo puede resistir una fuerza

vertical " RB# pero no una fuerza horizontal. %or supuesto, el ee de la viga puede girar en B y

en A. Las reacciones verticales en los apoyos de rodillo y en los apoyos articulados pueden

actuar hacia arri&a o hacia a&ao y la reacción horizontal en el apoyo articulado puede actuar

hacia la izquierda o hacia la derecha.

Viga en Cantiliver o Voladizo: esta empotrada en un extremo y está li&re en el otro.

La viga que se muestra en la figura, que está fia en un extremo y li&re en el otro, se denomina

viga en voladizo. !n el apoyo fijo "o apoyo empotrado# la viga no puede trasladarse ni girar,en tanto que en el extremo li&re puede hacer am&as cosas. !n consecuencia, en el apoyo

empotrado pueden existir tanto reacciones de fuerza como de momento.

Viga con Saliente: descansa so&re dos apoyos, de tal manera que se extiende con li&ertad más

allá del apoyo de uno o de am&os extremos.

Vigas estticamente indeterminadas

1.1.& ' (igas )iperest*ticas o est*ticamente indeterminadas: presentan un númeromayor de reacciones externas que de ecuaciones de equilibrio disponibles, lo cual


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discontinuas8 tambi/n ocurren en ese plano! entonces nos referimos a /stecomo el plano de


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Los momentos 'e(ionantes se de*nen como si&ue>

Los momentos exionantes son momentos internos que se generan

en el material de una viga para equilibrar la tendencia de las

fuerzas externas de acer que gire cualquier parte de ella.

Los momentos 'e(ionantes -acen que la %i&a asuma su forma 'e(ionadaM!una cur%a caracterstica. Hal como lo -izo en la acti%idad al principio de este captulo! es con%enienteutilizar una %i&a plana 'e(ible para %isualizar el comportamiento &eneral deuna %i&a en respuesta a diferentes patrones de car&a # condiciones deapo#o.

RELACIÓN ENTRE CARGA, CORTE Y MOMENTO FLECTOR.

Resulta particularmente importante! conocer no solo el %alor del corte # delmomento 'e(ionante en un punto de la %i&a! sino mas bien a lo lar&o detodo el elemento! debido a que en su dise;o! se debe considerar lacondici"n m,s desfa%orable de esfuerzo resistente en el interior del s"lido!por lo&rar esto se constru#en los llamados dia&ramas de fuerza cortante #momento 'ector. La realizaci"n de estos dia&ramas requiere conocer larelaci"n e(istente entre las car&as e(ternas # las fuerzas internas de corte #momento 'ector.

Se e(aminan las relaciones que e(isten entre las car&as aplicadas! lasfuerzas cortantes # los momentos 'e(ionantes en una %i&a cualquiera.


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de las fuerzas aplicadas en la parte de %i&a a la izquierda del elementodiferencial se reduce a una fuerza cortante # # al momento 'e(ionante $! #el sistema de las fuerzas aplicadas a la porci"n de %i&a a la derec-aequi%ale a la fuerza cortante # % d# # al momento 'e(ionante $ % d$!

diferentes de los anteriores. Aunque la car&a repartida sea %ariable! sepuede suponer contante # de intensidad & en la peque;a lon&itud dx #! portanto! en el elemento diferencial tambi/n la fuerza & dx -acia arriba! quecompleta el dia&rama de cuerpo libre.Aplicando las condiciones del equilibrio estatico al elemento de la *&ura! lasuma de las fuerzas %erticales da>

Lo cual se reduce a

a

Homando con respecto al punto ' resulta!

I teniendo en cuenta que el tercer sumando contiene el cuadrado deuna diferencial! es decir! es un diferencial de se&undo orden que se puededespreciar frente a los de primer orden! la ecuaci"n se puede escribir en la

forma>

nte&rando la e(presi"n 6a8 se obtiene!

En donde los limites de inte&raci"n son # ( en el punto x ( # # ) en elpunto x ). El primer miembro es! pues! f,cilmente inte&rable! #a que se

reduce a # ) + # ( # representa el incremento! positi%o o ne&ati%o! de # alpasar de x ( a x )! es decir! K. En el se&undo miembro! el producto & dx


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representa el ,rea de un elemento diferencial de ,rea del dia&rama decar&as! como el ra#ado en la *&ura! por lo que la inte&ral de*nida! quemide la suma de estos t/rminos diferenciales! representa el ,rea deldia&rama de car&as comprendidas entre (0 # (5. Por tanto! la inte&raci"n

de 6a8 da>

An,lo&amente! inte&rando 6b8 se obtienen>

O bien

Puesto que el producto # dx del se&undo miembro representa el ,reade un elemento diferencial de ,rea del dia&rama de fuerza cortante #! portanto! la inte&ral representa el ,rea de este dia&rama comprendida entrelas ordenadas en los puntos x( # x). La e(presi"n 6B8 indica la %ariaci"n delmomento 'e(ionante entre dos secciones cualesquiera es i&ual al ,rea deldia&rama de fuerza cortante en ese mismo inter%alo.

Las fuerzas cortantes positi%as se representan &r,*camente porencima del e$e ! es de decir! -acia arriba! por lo que un ,rea positi%a es lasituada por encima del e$e e indica incrementos positi%os del momento

'e(ionante. En cambio! el dia&rama de car&as! las fuerzas se suelenrepresentar actuando! aunque -acia aba$o! en la parte superior de la %i&a!#a que es su posici"n natural! por lo que el ,rea de tales car&as! aunque sedibu$e por encima del e$e ! al estar diri&idas -acia aba$o! es ne&ati%a #representa una disminuci"n de la fuerza cortante.

Las e(presiones 6?8 # 6B8 proporcionan un m/todo interesante paracalcular la %ariaci"n de K # J #! por tanto! su %alor num/rico en cualquiersecci"n! como se %er, en los pr"(imos e$ercicios.


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Se&)n 6B4D8 el dia&rama de fuerza cortante de la *&ura B45=b debetener una pendiente que ba$a constantemente -acia la derec-a! #a que Qes siempre ne&ati%a. La inclinaci"n %aria directamente con la ordenadacorrespondiente del dia&rama de car&as! siendo m,(ima en el punto en quela car&a es m,(ima! # -orizontal! de pendiente nula! en los e(tremos dondela intensidad de la car&a es cero.


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D. alcular los %alores del momento 'e(ionante en los puntos dediscontinuidad o cambio de car&as # en /l puntos de fuerza cortantenula! empleando para ello J: 6V8izq : 6V8der! o bien! V :6rea8cortante! se&)n la con%eniencia en cada caso.

G. Hrazar el dia&rama de momento 'e(ionantes! que pasa por los puntosdeterminados en el inicio D! # teniendo en cuenta que su pendienteen cada punto est, determinada por 6B4G8! es decir! i&ual a laordenada del dia&rama de fuerza cortante en ese mismo punto.

2.5. F="!+* DE F+E0'=

Una %i&a constitu#e un miembro estructural que se somete a car&as queact)an trans%ersalmente al e$e lon&itudinal! como se e(plico anteriormente.Las car&as ori&inan acciones internas! o resultantes de esfuerzos en formade fuerzas cortantes # momentos 'e(ionantes. Aqu se estudian # deducenlas relaciones entre el momento 'e(ionante # los esfuerzos normales por'e(i"n que se producen! # entre fuerzas cortantes %erticales # los esfuerzoscortantes! # asimismo! di%ersos temas de importancia pr,ctica en el dise;o

de %i&as. Se consideran )nicamente %i&as que tienen inicialmente e$eslon&itudinales rectos. Para obtener estar relaciones se -acen las -ip"tesissi&uientes>

La secciones planas de la %i&a! inicialmente planas! permanecen planas.

0. El material es -omo&/neo # obedece a la le# de WooXe.5. El modulo el,stico es i&ual a tensi"n que a compresi"n.?. La %i&a es inicialmente recta # de secci"n constante.B. El plano en el que act)an las fuerzas contiene a uno de los e$es

principales de la secci"n recta de la %i&a # las car&as act)anperpendicularmente al e$e lon&itudinal de aquella.


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Deduccin de la formula de la


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La deformaci"n se obtiene di%idiendo el alar&amiento entre la lon&itudinicial ef de la *bra>

Llamando Y 6letra &rie&a r-o8 al radio de cur%atura de la superficie neutra!la lon&itud ef es i&ual a Y d9! por lo que la deformaci"n unitaria %ale

Suponiendo que el material es -omo&/neo # obedece la le# de WooXe!-ip"tesis 5! el esfuerzo en la *bra g, %iene dado por>

Ecua. A

Esta e(presi"n indica que el esfuerzo en cualquier *bra esperpendicularmente proporcional a su distancia y a la super*cie neutra! #aque se -a supuesto que el modulo el,stico es i&ual a tensi"n que acompresi"n! -ip"tesis ?! # el radio de cur%atura Y de la superficie neutra esindependiente de la ordenada y de *bra. A-ora bien! los esfuerzos no

deben sobrepasar el lmite de proporcionalidad! pues en caso contrariode$ara de cumplirse la le# de WooXe en la que se -a basado ladeterminaci"n de la forma de distribuci"n de los esfuerzos.

Para completar la deducci"n de la formula de la 'e(i"n se aplican lascondiciones de equilibrio. omo se -a %isto en la secci"n B4?! las fuerzase(teriores que actuan a un lado de la secci"n en estudio quedanequilibradas por la fuerza cortante # el momento 'e(ionante resistentes.Para que se produzca este equilibrio! un elemento diferencial cualquiera dela secci"n de e(ploraci"n esta sometido a las fuerzas que indican la *&ura

D45. La intersecci"n de la super*cie neutra con la secci"n se llama e$eneutro! abre%iatura E.N.

Para satisfacer la condici"n de que las fuerzas e(teriores no ten&acomponentes se&)n el e$e ! -ipotesis D! se tiene!

En donde 1( equi%ale a 1 de la ecuaci"n 6a8. Sustitu#endo 1( por su %alor

.y/0 # resulta


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Los t/rminos E # Y! constantes! se -an sacado fuera del si&nointe&ral. omo # dA es el momento est,tico del ,rea diferencial dA respecto

de E.N.! la inte&ral ∫ y dA es el momento est,tico total del ,rea. Portanto!

Sin embar&o! como solamente en esta e(presi"n puede ser nulo! sededuce que la distancia a E.N.! e$e de referencia! del centro de &ra%edad de

la secci"n recta debe ser cero! es decir! que la lnea neutra pasa por elcentroide del ,rea de la secci"n trans%ersal.

La condici"n I : = que da # = #r1 conduce a la f"rmula del esfuerzocortante! cu#a deducci"n se de$a para m,s adelante.


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La condici"n Z:= conduce ∫ τxydA=0 . Puesto que las fuerzas

e(teriores no tienen componente se&)n el e$e Z! en el sistema de fuerzascortantes 3(# dA esta en equilibrio.

onsideremos a-ora la condici"n J#:=. Las fuerzas e(teriores noproducen momento con respecto al e$e I! ni tampoco las fuerzas cortantesinteriores. Por tanto!

Sustitu#endo 1( por E#[Y! resulta!

La inte&ral ∫ zy dA=0 es el producto de inercia P(#! que es nulo si I# Z son e$es de simetra o e$es principales de la secci"n. Esto constitu#e la $usti*caci"n de la -ip"tesis D.

La )ltima condici"n de equilibrio Jz := requiere que el momento'e(ionante sea equilibrado por el momento resistente! es decir! J:Jr. Elmomento resistente con respecto a E.N.! de un elemento cualquiera es y 62x dA8 #! por tanto!

Sustitu#endo 1( por E#[Y! resulta!

Puesto que ∫ y2dA=0 es el momento de inercia del ,rea con respecto al

e$e de referencia! que en este caso es E.N.! que pasa por el centro de&ra%edad! se obtiene *nalmente!

6 8Esta se utilizara para -allar la deformaci"n de las %i&as. Puesto que la

cur%atura es el reciproco del radio de cur%atura! la ecuaci"n 6 8 indica quela cur%atura es directamente proporcional al momento 'e(ionante.

&ualando la relaci"n E[Y deducida de 6 8 con el %alor de la ecuaci"n6a8 se obtiene


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\ue conduce directamente a la formula de la 'e(i"n! tambi/nllamada formula de la escuadraM>

Esta e(presi"n indica que el esfuerzo debido a la 'e(i"n en cualquiersecci"n es directamente proporcional a la distancia del punto considerado ala lnea neutra. Una forma m,s com)n de la formula de la 'e(i"n se obtienesustitu#endo y por la distancia c del elemento m,s ale$ado de la lneaneutra. on esto se obtiene el esfuerzo m,(imo>

El cociente [c se llama modulo de resistencia de la secci"n o simplemente!modulo de secci"n! # se suele desi&nar por S! por lo que la formula de la'e(i"n adquiere la forma>

Esta f"rmula es mu# empleada en %i&as de secci"n constante! #

muestra como es esfuerzo m,(imo se produce en la secci"n de momento'e(ionante m,(imo. En la tabla se dan los %alores del modulo deresistencia de las formulas m,s comunes de secci"n recta.


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Un an,lisis mu# interesante! an,lo&o al que se emplea en el estudiode las %i&as de concreto armado es el de la %ariaci"n de esfuerzos de'e(i"n en una secci"n rectan&ular! como se indica en la *&ura.


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Las fuerzas # H act)an en el centro de &ra%edad de la car&a trian&ular a

una distancia X de E.N.! # como2

3c=

2

3(

h

2) ! el brazo del par resistente es

e=2k =2

3 h . &ualando el momento 'e(ionante al momento resistente

resulta>

2.>. F="!+* DE E%F!E"#$ $"-*-E ?$"'#$-*+

onsideremos dos secciones ad#acentes 608 # 658 de una %i&a!

separadas una d(! como se indica en la *&ura D450! # aislemos la partera#ada del elemento comprendido entre ellas. La *&ura D455 representa! enperspecti%a! esta parte aislada.

Supon&amos que el momento 'e(ionante en la secci"n 658 es ma#orque en la secci"n 608! por lo que los esfuerzos normales tambi/n ser,ndistintos! 15 ma#or que 10! # la resultante -orizontal de las fuerzas decompresi"n en la secci"n 658 ser, ma#or que la de la secci"n 608! 3)43(.

Esta diferencia entre 3) # 3( solo puede equilibrarse por la fuerza cortante


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resistente d5 que actu/ en la cara inferior del elemento aislado! #a que lasrestantes caras de este no act)an fuerza e(terior al&una.omo W5 + W0 es la suma de las diferencias de las compresiones 15dA #10dA que act)an en cada elemento diferencial contenido en el elemento

aislado! como se obser%a en la *&ura D455! aplicando la condici"n de laest,tica W : = resulta!]W : =^

Sustitu#endo 1 por su %alor J#[!


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*plicacin a la seccin rectangular

La distribuci"n del esfuerzo cortante en una secci"n rectan&ular sepuede obtener aplicando la ecuaci"n 6D4B8 a la *&ura D45D. En un plano adistancia # de la lineal neutra!

Simpli*cando!

Lo que demuestra que el esfuerzo cortante se distribu#e conforme auna le# parab"lica en la altura de la secci"n.

El esfuerzo cortante m,(imo tiene lu&ar en el E.N.! # su %alor seobtiene aplicando 6D4B8 directamente!

Simpli*cando!

2.A. Resoluci"n de e$ercicios para el an,lisis de %i&as est,ticamentedeterminadas usando la relaci"n car&a4fuerza cortante4momento 'ector porel m/todo &r,*co.2.B. Resoluci"n de e$ercicios para determinar el m,(imo esfuerzo por'e(i"n producido en una %i&a ba$o ciertas condiciones de car&a # apo#o!mediante la f"rmula de 'e(i"n # utilizando el dia&rama de corte # momentorespecti%o.


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2.C. Resoluci"n de e$ercicios para el an,lisis de la distribuci"n de losesfuerzos normales de 'e(i"n en una secci"n de e(ploraci"n de una %i&adiferenciando la ma&nitud de las fuerzas -orizontales 6tensi"n4comprensi"n8! producidas en dic-a secci"n.

2.. Resoluci"n de e$ercicios para el c,lculo de los %alores de fuerzacortante # momento 'ector en los puntos de discontinuidad de car&asaplicadas.2.17. Resoluci"n de e$ercicios aplicando la f"rmula de 'e(i"n.2.11. Resoluci"n de e$ercicios para determinar el m,(imo # mnimoesfuerzo cortante en una secci"n considerada de una %i&a! mediante laaplicaci"n de la f"rmula de esfuerzo cortante -orizontal.

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TEMA II. Esfuerzos en Vigas