LAPLACEOVA LAPLACEOVA TRANSFORMACIJATRANSFORMACIJA

Ivana ŠoljićIvana Šoljić

Sadržaj:Sadržaj: UvodUvod Laplaceova transformacija i inverzna Laplaceova transformacija i inverzna

Laplaceova transformacijaLaplaceova transformacija Svojstva Laplaceovih transformacijaSvojstva Laplaceovih transformacija Parcijalni razlomciParcijalni razlomci Primjena Laplaceovih transformacijaPrimjena Laplaceovih transformacija LiteraturaLiteratura

PIERE SIMON DE LAPLACE PIERE SIMON DE LAPLACE (1749 – 1827) (1749 – 1827)

Veliki francuski matematičar

i fizičar, jedan od utemeljitelja

metričkog sustava, bavio se teorijom

potencijala i matematičkom

statikom. Dokazao stabilnost sunč-

evog sustava.

Uvod:Uvod:

Laplaceova transformacija je metoda rješavanja Laplaceova transformacija je metoda rješavanja

linearnih diferencijalnih jednadžbi koja se sastojilinearnih diferencijalnih jednadžbi koja se sastoji

od tri koraka:od tri koraka:

1.1. Jednadžba se transformira u algebarskuJednadžba se transformira u algebarsku

jednadžbujednadžbu

2. Tako dobivena jednadžba se rješi2. Tako dobivena jednadžba se rješi

3. Rješenje se transformira u traženo rješenje 3. Rješenje se transformira u traženo rješenje originalne difrencijalne jednadžbeoriginalne difrencijalne jednadžbe

U tehničkoj literaturi, posebice u radovima U tehničkoj literaturi, posebice u radovima o o vođenju procesa, dinamici procesa i sl.vođenju procesa, dinamici procesa i sl. općenitoopćenito je je prihvaćenaprihvaćena i i uobičajena uobičajena primjenaprimjena Laplaceove Laplaceove transformacije.transformacije.

Pomoću te se transformacije računskiPomoću te se transformacije računski postupci svode na algebarske, a upotrebapostupci svode na algebarske, a upotreba transformacijskih tablica skraćuje radtransformacijskih tablica skraćuje rad..

2. 2. Laplaceova transformacija i inverzna Laplaceova transformacija i inverzna Laplaceova transformcija Laplaceova transformcija

Slika 1. Laplaceova transformacija

Za funkciju Za funkciju f(t) f(t) realne varijable realne varijable tt kažemo da je original kažemo da je original (dakle (dakle pripada pripada području području definicije Laplaceovedefinicije Laplaceove transformacijetransformacije )) , , ako ako je je ona definirana za ona definirana za t t ≥ 0≥ 0,, integrabilna na intervaluintegrabilna na intervalu (0,(0,)),, i ako jei ako je (1) (1)

Ako je Ako je ss kompleksna varijabla, tj. kompleksna varijabla, tj. ,, ondaonda funkcijufunkciju

(2)(2) nazivamo slikom (transformatom) funkcije nazivamo slikom (transformatom) funkcije f(t)f(t) i i

pišemopišemo F(s)=F(s)= [f(t)]. [f(t)].

0

( ) ( ) stF s e f t dt

const =K i )( 0 toKetf

is

Integrali su izračunati za različite realne funkcije, Integrali su izračunati za različite realne funkcije,

i sastavljene su tablice transformacijskih parova. i sastavljene su tablice transformacijskih parova. Ista tablica služi za preslikavanje iz realnog Ista tablica služi za preslikavanje iz realnog područja u Laplaceovo područje i obrnuto. Za područja u Laplaceovo područje i obrnuto. Za razliku od razliku od F(s) = F(s) = [f(t)],[f(t)], kao izravne kao izravne transformacije, inverzna se transformacija transformacije, inverzna se transformacija

označavaja s označavaja s f(t) = f(t) = -1-1[F(s)] :[F(s)] :

(3)(3)

gdje je gdje je cc tako izabran da integral (3) konvergira tako izabran da integral (3) konvergira..

1 1( ) ( )

2

c jst

c j

f t F s F s e dsj

3. Svojstva Laplaceovih transformacija3. Svojstva Laplaceovih transformacija

FunkcijaFunkcija ff((tt)) sese momožžee transformiratitransformirati akakoo

zadovoljavazadovoljava slijedeslijedeććee uvjeteuvjete::

a ) a ) definirana je i jednoznačna za definirana je i jednoznačna za t > 0t > 0

b ) b ) po odsječcima je kontinuirana unutar svakogpo odsječcima je kontinuirana unutar svakog

konačnog intervala konačnog intervala 0 < a < t < b 0 < a < t < b

c ) c ) njen Laplaceov intergral mora bitinjen Laplaceov intergral mora biti konvergentankonvergentan

Sljedeći teoremi čine osnovu za široku primjenuSljedeći teoremi čine osnovu za široku primjenu

Laplaceove transformacijeLaplaceove transformacije. .

1. Teorem1. Teorem

Ako je Ako je kk kontanta ili veličina nezavisna od kontanta ili veličina nezavisna od tt i i ss, ,

i ako se funkcija i ako se funkcija f(t)f(t) može transformirati, tada može transformirati, tada

vrijedivrijedi

{ k f(t) } = k { k f(t) } = k { f(t) } = k F(s){ f(t) } = k F(s)

2. Teorem o linearnosti.2. Teorem o linearnosti.

Laplaceova transformacija je linearna operacija, Laplaceova transformacija je linearna operacija,

dakle za bilo koje funkcije dakle za bilo koje funkcije f(t)f(t) i i g(t)g(t) za koje Laplaceova za koje Laplaceova transformacija postoji i bilo koju konstantu transformacija postoji i bilo koju konstantu aa i i bb imamo: imamo:

( ) ( )af t bg t a f t b g t

3. Teorem o pomaku.3. Teorem o pomaku.

Ako je Ako je [f(t)] = F(s)[f(t)] = F(s) kada je kada je s s s s00 , tada je , tada je

[ [ eeatatf(t)] = F( s - a )f(t)] = F( s - a ) ( s ( s s s00 + a); + a);

Dakle, množenje Dakle, množenje s es eatat u realnom području u realnom područjuekvivalentno je pomaku u Laplaceovom području.ekvivalentno je pomaku u Laplaceovom području.Primjer Primjer 11..Dokažimo da jeDokažimo da je a prema teoremu o pomaku,a prema teoremu o pomaku,

2 2cos

( )at s a

e ts a

2 2(cos )

st

s

2 2cos

( )at s a

e ts a

4. Teorem o diferenciranju.4. Teorem o diferenciranju.

Ako je Laplaceov transformat od Ako je Laplaceov transformat od f(t) f(t) jednak jednak F(s) F(s) ii

ako se prva derivacija od ako se prva derivacija od f(t) f(t) po vremenu po vremenu

možemomožemo transformirati, tada jetransformirati, tada je::

Transformacija druge derivacije je:Transformacija druge derivacije je:

( )d

f tdt

( ) ( ) (0)d

f t sF s fdt

22 '

2( ) ( ) (0) (0)

df t s F s sf f

dt

Transformacija n-te derivacije je:Transformacija n-te derivacije je:

Vidimo da Vidimo da se kod se kod diferencijalnihdiferencijalnih jednadžba jednadžba početni uvjetipočetni uvjeti f(0), f'(0)…. f f(0), f'(0)…. f (n-1)(n-1) (0) (0) uključuju uključuju automatski,automatski, dok dok se se kodkod klasičnih klasičnih metoda metoda rješavanja rješavanja oni oni uvode uvode odvojeno u odvojeno u rješenje.rješenje.

1 2 ( 1)( ) ( ) (0) (0) .... (0)n

n n n nn

df t s F s s f s f f

dt

5. Teorem o integriranju.5. Teorem o integriranju.

Ako je Laplaceov transformat od Ako je Laplaceov transformat od f(t) f(t) jednak jednak F(s), F(s), tada je transformat integrala tada je transformat integrala f(t):f(t):

(s > 0, s > s(s > 0, s > s00).).

6. Teorem o retardaciji .6. Teorem o retardaciji .

Ako je Laplaceov transformat od Ako je Laplaceov transformat od f(t) f(t) jednak jednak F(s), F(s), tada za vremenski pomak funkcije tada za vremenski pomak funkcije f(t) f(t) za vrijdnost za vrijdnost aa (pozitivan realni broj) daje transformat:(pozitivan realni broj) daje transformat:

0

1( ) ( )

t

f d F ss

( ) ( )asaf t a u t e F s

gdje je gdje je uuaa(t)(t) Heavisideova funkcija (jedinična Heavisideova funkcija (jedinična

skokomična funkcija):skokomična funkcija):

0( )

1a

za t<au t

za t>a

(a (a ≥ 0)

(a ≥ 0)

Primjer 2.Primjer 2.

Slika 2. Ilustracijski primjer f(t-a)ua(t) gdje je f(t) = cost

7. Teorem početne vrijednosti7. Teorem početne vrijednosti..

Ako se Ako se f(t)f(t) i i df(t)/dtdf(t)/dt mogu transformirati i ako je mogu transformirati i ako jetransformat odtransformat od f(t)f(t) jednak jednak F(s)F(s), a lim , a lim f(t)f(t) postoji postojikad kad tt,, tada je: tada je:

8. Teorem konačne vrijednosti.8. Teorem konačne vrijednosti.

Ako se Ako se f(t)f(t) i i df(t)/dtdf(t)/dt mogu transformirati i ako j mogu transformirati i ako jeetransformat od transformat od f(t)f(t) jednak jednak F(s),F(s),a postoji lim a postoji lim sF(s),sF(s),tada je :tada je :

0lim ( ) lim ( )s t

sF s f t

0lim ( ) lim ( )s t

sF s f t

4. Parcijalni razlomci4. Parcijalni razlomci

Za primjene je osobito važna inverznaZa primjene je osobito važna inverzna transformacija razlomljene racionalne transformacija razlomljene racionalne funkcije s obzirom na funkcije s obzirom na ss. . Takve funkcije rastavljamo na parcijalne razlomke Takve funkcije rastavljamo na parcijalne razlomke i onda i onda se se prema prema teoremu teoremu o o linearnostilinearnosti možemo možemo

ograničiti ograničiti nana inverzne inverzne transformacije transformacije parcijalnih parcijalnih razlomaka. razlomaka.

Rješenje je tada zbroj svih pojedinih razlomaka Rješenje je tada zbroj svih pojedinih razlomaka preslikanih u realnopreslikanih u realno područje. područje.

OpćenitoOpćenito se transformat se transformat F(s)F(s) može može prikazati prikazati kao omjer kao omjer dvaju polinoma dvaju polinoma G(s)G(s) i i H(s)H(s), koji su redova , koji su redova mm i i n n, i koji se , i koji se mogu mogu prikazati prikazati padajućim padajućim redom potencija varijable redom potencija varijable ss::

aamm i b i bnn su su realnerealne konstante, konstante, a a koeficijent najviše koeficijent najviše potencije od potencije od ss u nazivniku u nazivniku može se izjednačiti s može se izjednačiti s jedinicom. Uz to pretpstavljamo da je jedinicom. Uz to pretpstavljamo da je n > mn > m i da je i da je stoga stoga F(s)F(s) pravi razlomak. pravi razlomak.

**

11 1 0

11 1 0

( )( )

( )

m mm m

n nn

a s a s a s aG sF s

H s s b s b s b

5. Primjena Laplaceovih 5. Primjena Laplaceovih transformacijatransformacija

Primjer Primjer 33. . Diferencijalna jednadžba koja opisujeDiferencijalna jednadžba koja opisuje linearnilinearni proces prvog reda ima oblik:proces prvog reda ima oblik:

x(t)x(t) – ulazna veličina – ulazna veličina y(t)y(t) – izlazna veličina – izlazna veličina ττ – vremenska konstanta – vremenska konstanta kk – statička osjetljivost – statička osjetljivost dy(t)/dtdy(t)/dt - - brzina promjene ili derivacija izlazne veličinebrzina promjene ili derivacija izlazne veličine

( )( )

dy ty kx t

dt

Radi ispitivanja dinamičkog vladanja procesa uvodi seRadi ispitivanja dinamičkog vladanja procesa uvodi se jedinična skokomična pobuda ( jedinična skokomična pobuda (x(t)x(t) je Heavisideova funkcija). je Heavisideova funkcija). Nađimo prijelaznu pojavu tog procesa (Nađimo prijelaznu pojavu tog procesa (y(t)y(t)) uz nulte početne) uz nulte početne

uvjete uvjete y(0) = x(0) = 0y(0) = x(0) = 0..

Prevođenje u Laplaceovo područjePrevođenje u Laplaceovo područje

( ) (0) ( ) ( )

( ) 1 ( )

sY s y y s kX s

Y s s kX s

( ) ( )1

kY s X s

s

u Laplaceovom području 1( )X s

s

1( )

1 11 ( ) ( )

kk k

Y ss s s s s s

kK

( )1 1

( )

1( )

K A BY s

ss s s

K As B s

1 1 1 1 1( ) ( ) ( )s : K A B A A k

1 10 0 (0 )s : K A B B B k

1 1( )

1Y s k k

ss

Nakon rješenja jednadžbe u Laplaceovom području Nakon rješenja jednadžbe u Laplaceovom području vraćamo se u realno područje:vraćamo se u realno područje:

1

1( ) 1t

y t Y s k e k

Odzivna funkcija: ( ) (1 )t

y t k e

0 t

x(t)

y + y = k xx(t) y(t)

0t

y(t)

k

Za krivulju svojstveno ulazno eksponencijalno smirenje nakon trajanja od 4 vremenske konstante i u procesu se uspostavlja novo ustaljeno stanje.

6. Literatura6. Literatura

Ervin Kreyszig: Advanced Engineering Ervin Kreyszig: Advanced Engineering Mathematics secondMathematics second edition, John Wiley & Sons, edition, John Wiley & Sons, Inc. New York-London-SydneyInc. New York-London-Sydney 19671967

I. N. Bronštejn i K.A. Semendjajev: Matematički I. N. Bronštejn i K.A. Semendjajev: Matematički priručnik zapriručnik za inženjere i studente, Tehnička knjiga, inženjere i studente, Tehnička knjiga, Zagreb 1991.Zagreb 1991.

J. Božićević: Automatsko vođenje procesa, J. Božićević: Automatsko vođenje procesa, Tehnička knjiga,Tehnička knjiga, Zagreb 1971.Zagreb 1971.