Probabilidades y Estadística I

TEMA 11

Intervalos de confianza

Probabilidades y Estadística I

Esquema inicial

1. Introducción 2. Método de la variable pivote 3. Intervalo de confianza en poblaciones normales 4. Intervalo de confianza asintóticos

Probabilidades y Estadística I

Esquema inicial

1. Introducción 2. Método de la variable pivote 3. Intervalo de confianza en poblaciones normales 4. Intervalo de confianza para proporciones

Probabilidades y Estadística I

1. Introducción (1/3)

0 1 2 3 40

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

( , )Erlang k λ

Asignación

Probabilidades y Estadística I

1. Introducción (2/3)

0 1 2 3 40

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

( , )Erlang k λ

Problemas

1. Determinar el valor de los parámetros a partir de los datos (Estimación puntual)

( )1 2ˆ ˆ , ,..., nk k X X X= ( )1 2

ˆ ˆ , ,..., nX X Xλ λ=

1. Determinar el valor de los parámetros a partir de los datos (Estimación intervalar)

( ) ( )1 1 2 2 1 2ˆ ˆ, ,..., , ,..., 0.90n nP k X X X k k X X X ≤ ≤ =

( ) ( )1 1 2 2 1 2ˆ ˆ, ,..., , ,..., 0.95n nP k X X X k k X X X ≤ ≤ =

( ) ( )1 1 2 2 1 2ˆ ˆ, ,..., , ,..., 0.99n nP k X X X k k X X X ≤ ≤ =

Probabilidades y Estadística I

1. Introducción (3/3)

Ejemplo Sea X1,X2,…,Xn una muestra aleatoria simple de una

( ,1)N µ

1 2 ... 1( , )nn

X X XX Nn n

µ+ + += ∼ (Estimador puntual)

(tipificando) (de la tabla)

Probabilidades y Estadística I

Esquema inicial

1. Introducción 2. Método de la variable pivote 3. Intervalo de confianza en poblaciones normales 4. Intervalo de confianza asintóticos

Probabilidades y Estadística I

2. Método de la variable pivote (1/2)

Objetivo

Variables aleatoria

Constante

Nivel de confianza

Se trata de encontrar una variable aleatoria que sea función de la muestra y del parámetro desconocido, de la que se conozca su distribución y, además, ésta no dependa del parámetro

Probabilidades y Estadística I

2. Método de la variable pivote (2/2)

Objetivo

Se trata de encontrar una variable aleatoria que sea función de la muestra y

del parámetro desconocido, de la que se conozca su distribución y, además,

ésta no dependa del parámetro

Probabilidades y Estadística I

Esquema inicial

1. Introducción 2. Método de la variable pivote 3. Intervalo de confianza en poblaciones normales 4. Intervalo de confianza asintóticos

Probabilidades y Estadística I

3. I.C. en poblaciones normales (1/15)

Sea X1,X2,…,Xn una muestra aleatoria simple de una ( , )N µ σ

Casuística

1.

2.

3.

4.

4.1

4.2

5.

Probabilidades y Estadística I

3. I.C. en poblaciones normales (2/15)

Caso 1

(Variable pivote)

/ 2zα/ 2zα−

(Intervalo de confianza)

Probabilidades y Estadística I

3. I.C. en poblaciones normales (3/15)

Caso 2

(Variable pivote)

(Intervalo de confianza)

1, / 2nt α−− 1, / 2nt α−

Probabilidades y Estadística I

3. I.C. en poblaciones normales (4/15)

Caso 2

Probabilidades y Estadística I

3. I.C. en poblaciones normales (5/15)

Caso 2

Probabilidades y Estadística I

3. I.C. en poblaciones normales (6/15)

Caso 3

(Variable pivote)

21, / 2n αχ −

21,1 / 2n αχ − −

(Intervalo de confianza)

Probabilidades y Estadística I

3. I.C. en poblaciones normales (7/15)

Caso 3

Probabilidades y Estadística I

3. I.C. en poblaciones normales (8/15)

Caso 4

4.1

4.2

2 2 21 2σ σ σ= =

Probabilidades y Estadística I

3. I.C. en poblaciones normales (9/15)

Caso 4 2 2 21 2σ σ σ= =

(Estimador de varianza común)

(Variable pivote)

(Intervalo de confianza)

Probabilidades y Estadística I

3. I.C. en poblaciones normales (10/15)

Caso 4 2 2 21 2σ σ σ= =

Probabilidades y Estadística I

3. I.C. en poblaciones normales (11/15)

Probabilidades y Estadística I

3. I.C. en poblaciones normales (12/15)

Caso 4

(Variable pivote) ( ) ( )

1 2

1 222 2

1 2

1 2

n n

X Yt

S Sn n

µ µ+ − −∆

− − −∼

+

Probabilidades y Estadística I

3. I.C. en poblaciones normales (13/15)

Caso 4

Probabilidades y Estadística I

3. I.C. en poblaciones normales (14/15)

Caso 5

(Variable pivote)

(Intervalo de confianza)

Probabilidades y Estadística I

3. I.C. en poblaciones normales (15/15)

Caso 5

Probabilidades y Estadística I

Esquema inicial

1. Introducción 2. Método de la variable pivote 3. Intervalo de confianza en poblaciones normales 4. Intervalo de confianza asintóticos

Probabilidades y Estadística I

4. Intervalos de confianza asintóticos (1/3)

Sea X1,X2,…,Xn una muestra aleatoria simple con n ≥ 30

Casuística

1.

2.

Probabilidades y Estadística I

4. Intervalos de confianza asintóticos (2/3)

Caso 1

(Variable pivote. Por T.C.L)

(Intervalo de confianza)

(1 ), p pN pn− ∼

Probabilidades y Estadística I

4. Intervalos de confianza asintóticos (3/3)

Caso 2