M.C. Bosc, U. de Granada1 MTODOS MATEMTICOS ESPACIOS DE HILBERT Y OPERADORES LINEALES Profesora: M Cruz Bosc TEMA 2: ESPACIOS EUCLDEOS Y DE HILBERT Sea un espacio linealL (X, +, ) sobre el cuerpok . Producto interno o escalar y espacio pre-Hilbert Definicin:Una productoescalarointerno, sobreL esunaaplicacin deL L sobrek , , : L L k , tal que satisface los axiomas: Ax.1:, 0 xx x L Ax.2:, 0 0 xx x = = Ax.3: *, ,, xy yx xy L = (hermiticidad) Ax.4:, , , x y xy xy L = k(homogeneidad a la derecha) Ax.5:, , ,, , xy z xy xz xyz L + = + (distributividad o aditividad) -Nota: esta definicin es la de una forma sesquilineal hermtica. Definicin: El par( , , ) L define un espacio pre-Hilbert o espacio eucldeo.

( , , ) L es espacio normado,( , ) L , con la norma derivada del producto escalar segn = + ,x xx x L . Sea un espacio pre-Hilbert( , , ) L L y seala norma inducida: Propiedades y definiciones , 0 0, =0x x x L = , 0 0 xy y L x = = , ,xy z y y L x z = =* *, , ,y, , , , x,y,z L x y z xy x z x y z x z y z + = + + = + k M.C. Bosc, U. de Granada2 Desigualdad de Schwarz-Cauchy-Buniakowskii:a) 2, , , ( , ) , xy xx yy xy x y xy L ; b) 2, , ,y= x , xy xx yy xy L = k. nguloentredosvectores:Si= k ,entonceselngulo entredos vectores no nulos de L se define segn ,cos,x, , 0, 0xyy L x yx y = .

Identidad de polarizacin:a) 2 2 1, ,,4Si entonces xy x y x y xy L (= = + k. b) 2 2 2 2 1, , ( ),4Si entonces xy x y x y i x iy x iy xy L (= = + + k. Ley del paralelogramo: 2 2 2 22( ) , x y x y x y xy L + + = + . -Nota:estaleynosecumpleenunespacionormadoarbitrario;scuandolanorma deriva de un producto escalar. Adems, se tiene: Unespacionormado( , ) L esespaciopre-Hilbert( , , ) L enlse satisface la ley del paralelogramo. Y,entonces,, quedadefinidoporlaidentidaddepolarizacin.Yeste productointernoinducelanormaespecficadelespacionormadode partida:unespacionormadoadmite,ensucaso,unanicaestructura eucldea. Un espacio eucldeo es un espacio normado cuya norma satisface la ley del paralelogramo. , es una funcin continua. Sean nxe nydos sucesiones de Cauchy en( , , ) L ,n nx yes sucesin de Cauchy enk. Definicin:Dosespaciospre-Hilbert 1 11( , , ) L L y 2 22( , , ) L L son isomorfos en producto escalar1 2 : L L T , aplicacin lineal de1 Len2 L , tal que: a) Tes un isomorfismo entre los espacios lineales. b) Tpreserva el producto escalar: 12 1, , x,y L Tx Ty xy = . Dosespacioseucldeossonisomorfosenproductoescalarson isomorfos en norma. -Notacin: 1 2L L . Todoslosespacioseucldeosdeigualdimensinfinitan sonisomorfos entre s topolgica y mtricamente. M.C. Bosc, U. de Granada3 Sea un espacio pre-Hilbert( , , ) L L y seala norma inducida: Ortogonalidad Definicin: Dado( , , ) L , dos vectores x, y de L son ortogonales , 0 xy = . -Notacin:x y x y y x 0x x L

0 x x x = x y x y x y + = Definicin: Un vectorx L es ortogonal a un subconjuntoS L x y y S . -Notacin:x S Definicin: Un conjunto{ }AS x= , A conjunto indicial de cualquier cardinalidad, es ortogonal 2 ,/,, x x A x x x A = . Definicin: Dos subconjuntos 1S L y 2S L son mutuamente ortogonales 1 2 x y x S y S . -Notacin: 1 2S S Teorema de Pitgoras generalizado: Sea { }0,card nn Ix L I , un conjunto ortogonal tal que nn Ix x=. Entonces, 2nn Ix es convergente, con suma22 2n nn I n Ix x x = = . Dado{ }AS x L= ,conjuntoortogonal,S esconjuntolinealmente independiente 0 S

. M.C. Bosc, U. de Granada4 Definicin:Seaunsubconjunto,A A L .Sedefinesucomplemento ortogonalA como el subconjunto{ } /A x L x y y A L= . Dado,A A L A L . Dados,AB ,BA L y L A B B A A A A B A B A A =

{}A 0 A A A = =

0 x A A x =

( )A A=

{} {}0 0 L y L= = [ ] A A=SiAes denso en L, esto es,A L = , entonces {}0 A =

Proyectores ortogonales Definicin:Dadosdossubespacioslineales 1M L < y 2M L < talesque 1 2L M M = ,unproyectordeL sobre 1M enladireccinde 2M , 21 11:MM MP P L M , se dice que es un proyector ortogonal 1 2M M . DadosunproyectorortogonalP yeloperadoridentidadI enL el operadorI P es proyector ortogonal con recorrido( ) kerRI P P =y ncleo ker( ) ( ) I P RP = . Todo proyector ortogonal MP es continuo y, sii {}0 M

, de norma unidad. DadoPproyector ortogonal enL ker P L ( ) RP L ker ( ( )) P RP= ( ) (ker ) RP P= DadosdossubespacioslinealesM L < yN L < talesqueL M N = y M N , entonces! (existe un nico) proyector ortogonalPcon( ) RP M =yker P N M= = . -Nota: Obsrvese que, dado unM L , no est garantizado que exista un proyector ortogonal MMP, o sea, no siempre se tendrL M M= (algo que s ocurre cuando el espacio es completo, esto es, un Hilbert). M.C. Bosc, U. de Granada5 Conjuntos ortonormales Definicin:Unconjunto{ }AS x L= ,A conjuntoindicialdecualquier cardinalidad, es ortonormalS es ortogonal y ,1 ,, x A x x A = = . Dado{ }AS x L= , conjunto ortonormalSes conjunto linealmente independiente. Dado{ }AS x L= , conjunto ortonormal0 S

. Dado{ }AS x L= , conjunto ortogonal,0 S

, entonces 0AxSx = ` )es conjunto ortonormal 0S es conjunto linealmente independiente. Mtodo de ortonormalizacin de Gram-Schmidt: Dado{ }nn IS x L= , 0cardI , conjunto linealmente independiente, entonces existe un conjunto ortonormal 0S de la misma cardinalidad, construible segn0nnnn IyS u Ly = = ` ), donde 11 11 ;,,1,nn n k n kky x y x u x u n n I== = > , y que es tal que [ ] [ ]0S S = . Definicin:Dadosunconjuntoortonormal{ }AS x L= yunvector x L ,sedefinenlascomponentesdeFourierdelvectorx respectoal conjuntoortonormalS comoelconjuntodeescalares,,x x A k , notndose{ }( , ),x SFAC x x= k . DadounespacioeucldeoL yunsubconjuntoortonormalfinitodel mismo,{ }nn IS x L= ,card, I mm = y finito, entonces a)2 221 1 /, , ,x m mn n n nn ny L y x y y x y x S n I= = = + b) Desigualdad de Bessel finita: 221/ , ,mn nny L y x y x S n I= Dado( , , ) L yunsubconjuntoortonormalalosumonumerabledel mismo,{ }nn IS x L= , 0card I , entonces : a) Desigualdad de Bessel: 22/ , , n nn Iy L y x y x S n I b):lim , =0,n nny L x y x S n I c), / , , , n n nn Iyz L yx x z y z x S n I . M.C. Bosc, U. de Granada6 -Nota: Obsrvese que el conjunto de escalares,, nnx u I k , no son sino las componentes de Fourier del vectorurespecto al conjunto ortonormal{ }nn IS x L= . Dados( , , ) L ,{ }AS x L= ,conjuntoortonormaldeL ,y { }( , ),x SFAC x x= k ,conjuntodelascomponentesdeFourierdeun vectorx L respecto aS , entonces { } { }( )/ , 0xnn J AS x S x x x S = = es numerable, esto es:

{ } { }( )0cardcard/ , 0 cardcard xnn J AS x S x x x J = = = y

{ }( , ) ( , ) ( , ) ( , )0 0 0card C , / , 0; Cx S x S x S x SF F F FAx x C x x C = k. 2 2( ) /, , lim , =0, xn n nnn Jy L y x y x y x S n J (paray x = ) 2 2( ), , lim , 0, xn n nnn Jx x x x x x S n J =

( ),/, ,,xn n nn Jyz L y z yx x z x S n J (paray x = ) ( ) z/, , ,xn n nn JL x z xx x z x S n J . Dados( , , ) L ,{ }0, nn IS x L card S= , conjunto ortonormal deLa losumonumerable,y{ }nn IC = k,conjuntodeescalaresdeigual cardinalidadqueS ,entonces,si/ n nn Iy L x y =(estoes,silaserie convergeenLcon sumay ) a),n nx y n I = b) 2 2 2,n nn I n Iy x y = = (Identidad de Parseval) -Nota1:Obsrveseque,engeneral, 2 nn Iconvergente

n nn Ix convergente ; adems,yaunaunque { }( , )0,x Sn n Fx x C = y,n n n nn I n Ix x x x = fuera convergente,susumapodraser , ,n n n nn I n Iy L y x x x x x = = ,tenindose entonces,segnlaidentidaddeParsevalyladesigualdaddeBessel,que,dado n nn Ix y =,entonces2 2 2 2 2, ,n n nn I n I n Iy x y x x x = = = ,con , , n n nx x x y n I = = . -Nota2:Enparticular,enespacioseucldeoscompletos(hilbertianos),ssetienela dobleimplicacin 2

n n nn I n Iconvergente x convergente ;adems,siS noes unconjuntoortonormalnumerablecualquiera,sinounabaseortonormalnumerable, entoncessetendrgarantizadoy x = enlasfrmulasdelaanteriornota1,estoes, 2 2, , ,n n nn I n Ix x x x x x x = = . M.C. Bosc, U. de Granada7 Bases ortonormales Definicin:UnabaseortonormaldeL esunconjuntoB L ortonormal maximal(estoes,B L esconjuntoortonormalyS L conjunto ortonormal /B S). Todo conjunto ortonormal puede ampliarse a base ortonormal. Todoespacioeucldeo{}( , , ) , 0 L L L

,poseealmenosunabase ortonormal. Definicin: Un conjunto ortonormalS L es un conjunto total {}0 S =

. Un conjuntoB L es base ortonormal deL B es un conjunto total. Todas las bases ortonormales de un espacio pre-Hilbert o eucldeo tienen la misma cardinalidad. Definicin: La dimensin ortogonal o hilbertiana de un espacio eucldeo se definecomoelcardinaldesusbasesortonormales:dim card H L B = , B base ortonormal deL . Por convenio, si {}0 L =

, entoncesdim 0H L = . Dado( , , ) L con 0dim L(dimensin lineal)a)Dado{ }nn IS x L= ,carddimI L = ,basedeHameldeL ,el conjunto{ }0 nn IS u L= ,obtenidoapartirdelS medianteelmtodode ortonormalizacin de Gram-Schmidt, es b.o.n. deL . b) Toda base ortonormal es base de Hamel. c) una base ortonormal numerable ( b.o.n),{ }nn IB e=, con0cardcardB I = , tal que 1 ( ) ,m/ ,mn nnx L mx N finito x e x e= = , donde { }1,mnne x=sonlascomponentesdeFourierdelvectorx respectoalabase B .

d)dim dimH L L = . -Notas: 1) SiLes completo (cualquier dimensin)dim dimHL L .2) Lcompleto (Banach) con 0dimL =.3)Engeneral,puedeserdim dimHL L > (i.e.:loesparaL completocon 0dimH L ). M.C. Bosc, U. de Granada8 Interrelaciones en un eucldeo En un( , , ) L , espacio eucldeo general, se tiene: {}0 L

espacio eucldeo un B base ortonormal deL , y puede unS L ,conjuntoortonormal(si,estambinbase ortonormal)paraelquesecumplenlassiguientespropiedadese interrelaciones: -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -Nota: En todas las series que aparecen se cumplen los requisitos que garantizan que la convergencia de las mismas,yen su casoel valor de la suma, no se ven afectados por reordenaciones. -Nota sobre terminologa: Algunos autores definen, alternativamente: 1)UnconjuntoortonormalcompletocomoaqulS talque {}0 S=

(aqu:cuando {}0 S=

, entoncesS es un conjunto ortonormal total). 2)Unabaseortonormalcomounconjuntoortonormaltalque[ ] L S = (aqu:lo primero, un conjunto ortonormal maximal; lo segundo, un conjunto Sque expande L). 3) Un conjunto ortonormal cerradoS como aqul tal que[ ] L S = . -Nota sobre convergencia de las series:Entodaslasseriesqueaparecenenespaciosnormadosyeucldeos,sesatisfacen siempre, en cada caso, las condiciones que garantizan que ni la convergencia ni el valor de la suma quedan afectados por reordenaciones de trminos en la serie. B b.o. de L S , si, es b.o. deL L S( =( )2 2: ,xnnx Sx L x x x = ( ) ( )( ), : , , ,x ynn nx S Sxy L xy xx x y = ( ): ,xnn nx Sx L x x x x = M.C. Bosc, U. de Granada9 Espacio eucldeo separable Definicin:( , , ) L esseparableexisteunsubconjuntonovacoalo sumo numerable denso enL : Les separable 0 ,D, card D/D L D L = . Dados( , , ) L separable yS L conjunto ortogonal (u ortonormal ) Ses a lo sumo numerable: 0cardS . Dado( , , ) L separable 0dimH L . La separabilidad es un invariante topolgico. ------------------------------------------------------------------------------------- Interrelaciones en un eucldeo separable Enun( , , ) L eucldeoseparable(nonecesariamente completo) se tiene: {}0 L

espacioeucldeoseparableun 0S L ,conjunto ortonormala lo sumo numerable (00card S ) / L S( =. Interrelaciones: 0 es b.o.n. deB S L0L S ( = 2 2: ,nnxx L x x x = , : , , ,nn nxxy L xy xx x y = : ,nn nxx L x x x x = M.C. Bosc, U. de Granada10 Sea un espacio linealL (X, +, ) sobre el cuerpok . Espacio de Hilbert Definicin: Dado un espacio eucldeo o pre-hilbertiano( , , ) L , constituye un espacio de Hilbert es completo respecto de la topologa inducida por el producto escalar toda sucesin de Cauchy es convergente. -Nota:algunosautoresdefinenunHilbertrequiriendo,adems,laseparabilidaddel espacio; otros, tambin, una dimensin lineal no finita.

( , , ) L esespaciodeHilbert( , ) L ,conlanormaderivadadel producto escalar segn = + ,x xx x L , es espacio de Banach. Complecin Definicin: Dado( , , ) L L = espacio eucldeo no completo, se define una complecin del mismo como un espacio ( , , ) L L> >> tal que: a)L> es espacio completo, esto es, hilbertiano. b) Contiene un subconjunto 0Ldenso enL>, esto es, 0L L>= . c) 0( , , ) L> es isomorfo en producto escalar con( , , ) L , 0L L . Todo espacio eucldeo admite una complecin, nica salvo isomorfismos en producto escalar. Ejemplos 2( , )n k ,donde{ }1( , , ), 1, ,n ix i n k y ( )21221nxii==, es espacio Hilbert (separable). 2 22( , ) l l k k, dondeplk k , es el subconjunto de las sucesionesde cuadrado sumable, esto es, de las sucesiones { } { }1 2 01( , , , , ), 1, 2, , , ,i n iix i I n card I == = = k , tales que 21ii=< , l . DadoH , 0dim= H H ( H separablecondimensinnofinita) 0dim>H . 0/dim H H = M.C. Bosc, U. de Granada13 Isomorfismos Dados dos espacios de Hilbert 1Hy 2H , 1 2dim dimH HH H = 1Hy 2Hson isomorfos en producto escalar. Paracadacardinal,ensucaso,unnicoespaciodeHilbert(osea: puede existir o no, pero si existe, es nico, salvo isomorfismos isomtricos). Interrelaciones en un Hilbert Enun( , , ) H L , espaciodeHilbert(nonecesariamente separable), se tiene: {}0 H

espacio de HilbertB H , base ortonormal de H (y almenosuna),secumplenlassiguientespropiedadese interrelaciones: Bes b.o. de H [ ]H B =( )2 2: ,xnnx Bx H x x x = ( ) ( )( ), : , , ,x ynn nx B Bxy H xy xx x y = ( ): ,xnn nx Bx H x x x x = M.C. Bosc, U. de Granada14 Espacio de Hilbert separable Caracterizacin: Un espacio de Hilbert {}0 H

es separable existe una base ortonormal a lo sumo numerable del mismo.-Nota: recordar la definicin: H es separable 0,,/ D H D card D D H = . La separabilidad es un invariante topolgico. TodoespaciodeHilbertseparablecondimensinhilbertianainfinitaes isomorfo isomtricamente con el espacio de Hilbert 2lk. DadoHespacio de Hilbert separable, ( , , ) M H M es espacio de Hilbert separable. -Nota: En general, dado( , ) Xdseparable todoA X es separable. ------------------------------------------------------------------------------------- PostuladoIdelaMecnicaCuntica:Acadasistemafsicoquesepretenda describirenelmarcodelaMC,selehacecorresponderunespaciodeHilbertH complejo ( = k ) y separable. ------------------------------------------------------------------------------------- Interrelaciones en un Hilbert separable En un( , , ) H L , espacio de Hilbert separable, se tiene: { }0 H

espaciodeHilbertseparable 0B H ,base ortonormal (y al menos una, y toda base deHha de serfinita o a lo sumo inf. numerable: b.o.n., con 00B card ), se cumplen las siguientes propiedades e interrelaciones: 0B es b.o.n. de H 0H B (= 2 2: ,nnxx H x x x = , : , , ,nn nxxy H xy xx x y =: ,nn nxx H x x x x = M.C. Bosc, U. de Granada15 Teorema de proyeccin ortogonal Teorema de proyeccin ortogonal: DadosH (nonecesariamenteseparable)yM H ,ydefinida x H la distancia dexaMsegn ( , ) infy Mdx M x y= , entonces x H a) /( , ) !M Mx M x x dxM = ( ( )M Mx x x ) b)( )Mx x M ; , / ( )My M y x x y M c) Mx M x x = ( ( , ) 0) dx M = . d) Corolario 1:H M M= e) Corolario 2:M M= . -permite demostrar fcilmente el anterior teorema de Riesz-Fisher. Un enunciado alternativo, en trminos de proyectores ortogonales, sera: DadosH yM H ! MM MP P ,proyectorortogonalenladireccinde M(MMP P I+ = ;H M M= ;M MPx x x H = ). DadosHy sus subconjuntos no vacos, , AMB : {} ( ;A 0 ) A H A A A H < = = =

{} ( M ;MM 0 ) M H M H = = =

[ ] A A= [ ]{}( , )( ) A 0en LHen HA H= =

,B , A H HA B A B H + . Aproximacin ptima a un vector Definicin: Dado un conjunto{ }CA x L= ,C conjunto indicial de cualquier cardinalidad, subconjunto de un espacio normado( , ) L , si existe y es nico, se define la aproximacin ptima a un vectorxdel espacioL en trminos de los vectores deA L como el vector ( ) ( ) /A Aopt optx A L x x x y y A , pudiendo entonces definirse la distancia del vectorxal conjuntoA como el real( )( , )AoptdxA x x = . Definicin: Dado un subespacioM H , se define la aproximacin ptima a un vectorxdel espacio Hen trminos deMcomo el vector ( ) ( ) /M Mopt optx M H x x x y y M , siendo ( ) Moptx x la distancia del vectorxal subespacioM , ( )( , )Moptdx M x x = . -Nota: por serM H , est garantizada la existencia y unicidad de ( ) Moptx . M.C. Bosc, U. de Granada16 DadosM H yx H ( ) Mopt M Mx Px x = = . Dados{ }nn IS x H= , 0cardI