Matemticas Generales para Maestros Carlos Maza Gmez

3.1

ENUNCIADOS

Mltiplo y divisor

1) El nmero aba es mltiplo de 3 y de 5 cunto valdrn entonces a y b si a,b distintos de 0?.

2) El nmero aba es mltiplo de 5 y de 9 cunto valdrn a y b si a,b distintos de 0?.

3) Si 4n es mltiplo de 2 y 2n es mltiplo de 2, ser su suma mltiplo de 2? Y su diferencia?.

4) Si un nmero a es divisible por otro b, lo es tambin por todos los divisores de b?.Comprubalo para 180 y 30.

5) Escribe un nmero de tres cifras (abc). Vuelve a escribirlo a continuacin (abcabc). Divide elnmero resultante por 13, luego el cociente obtenido por 11. Finalmente, el nuevo cociente lodivides por 7. Por qu todas las divisiones son exactas?. A qu se debe que el cociente finalsea el que es?.

6) Probar que, dados dos nmeros que no son mltiplos de tres, se puede afirmar que su sumao diferencia s es mltiplo de 3.

7) Demostrar o poner un contraejemplo para las siguientes afirmaciones:a) Si d es divisor de a + b, entonces d divide a a y d divide a b.b) Si d es divisor de a + b, entonces d divide a a o bien d divide a b.c) d es divisor de 0.d) Si a es divisor de b y b es divisor de a, entonces a = b.e) Si d es divisor de a2 , entonces d es divisor de a.

Conjunto de divisores

8) Cuntos divisores tienen los nmeros 36, 50, 100, 360, 540?. Qu nmeros de losanteriores ser divisible por otro observando slo su descomposicin en nmeros primos?.

9) De cuntas maneras se pueden colocar 24 rboles en rectngulos de varias filas? Y 30rboles? y 42 rboles?.

3: DivisibilidadProblemas

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3.2

Criterios de divisibilidad

10) Deduce el criterio de divisibilidad por 4 y por 8.

11) Un nmero de tres cifras y las tres iguales puede ser mltiplo de 11?. Explcalo.

12) El nmero 247.742 es capica. Es divisible por 11? Todos los nmeros capicas sondivisibles entre 11?.

13) Consideramos el nmero 528. Se separan tantos grupos de dos cifras como se puedaempezando por la derecha, lo que da lugar a dos grupos (5 y 28). Se suman (5 + 28 = 33).Como el resultado de la suma es divisible entre 11, el nmero 528 tambin lo es. Es ciertoel procedimiento en general?. Por qu?.

14) Dos nmeros son amigos si la suma de los divisores de cada uno, excluyendo el propionmero, nos da el otro. Comprobar que la pareja (220, 284) son amigos.

15) Un nmero es perfecto si es igual a la suma de sus divisores excluyendo al propio nmero.Comprobar que los nmeros 6, 28 y 496 son perfectos.

16) Para averiguar si 499 es primo hemos hecho una serie de divisiones y al dividir por 23 hemosencontrado de cociente 21 y 16 de resto. Debemos seguir dividiendo? Es primo 499?.

Mcd y mcm

17) Los soldados de un cuartel no pasan de 500 y pueden formar en grupos de 16, 20 y 25 sin quesobre ni falte ninguno. Cuntos soldados son?

18) Simplificar la fraccin 240/288.

19) Dos reglas divididas en partes iguales estn yuxtapuestas y tienen el primer trazo comn. Cadadivisin d ela primera regla vale 18 mm y las de la segunda regla, 42 mm. En qu trazoscoincidirn las dos reglas, si su longitud es de 1,5 metros?..

20) Dos cometas se aproximan al Sol, uno cada 25 aos y el otro cada 60 aos. Habindoseaproximado juntos en 1950, cul es la fecha siguiente en que volvern a aproximarse juntos?.

21) Tienes un nmero de tres dgitos con la siguiente propiedad: Si le restas 7, el resultado esdivisible entre 7; si restas 8, la diferencia es divisible entre 8 y si restas 9, el resultado esdivisible entre 9. Cul es el nmero?.

22) Hallar el mcd (720, 1080, 2160).

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3.3

23) Un pasillo de 860 cms de largo y 240 cms de ancho se ha embaldosado con baldosascuadradas, de la mayor dimensin posible, para caber un nmero entero de veces en cadalado. a) Cunto mide el lado de cada baldosa?; b) cuntas baldosas se emplearon?.

24) Halla el mayor nmero que divide a 247, 367 y 427, dejando en todos los casos 7 de resto.

25) Las dimensiones de un paraleleppedo son 1,65 m, 2,1 m y 3 metros. Se hacen construir cajascbicas con las que puede llenarse completamente el paraleleppedo. Hallar la arista de estascajas cbicas.

26) Calcula el lado del menor cuadrado que se puede descomponer exactamente en rectngulosiguales cuyas dimensiones son 61,5 cm y 36 cm.

27) Al contar las canicas de 4 en 4, de 5 en 5 y de 6 en 6, unos nios se dan cuenta de que cadavez le sobran dos. Cuntas canicas son, sabiendo que es un nmero comprendido entre 100y 150?.

28) Hallar el menor nmero que dividido por 5, 7 y 15 da siempre de resto 2.

29) Las ruedas delanteras de una locomotora tienen 54 cm de dimetro y las ruedas traseras, 1,04m. Las ruedas de los vagones del tren tienen 86 cm de dimetro. Al cabo de cuntas vueltastodas estas ruedas tomarn la misma posicin?.

30) Cul es el mayor nmero que divide a 2000, dando de resto 11, y que divide a 2708, dandode resto 17?.

31) Un motociclista tarda en recorrer una pista circular 1' 48" y otro 2'. Si los dos salen al mismotiempo de la meta, a) cundo volvern a coincidir en la misma?; b) cuntas vueltas habrndado cada uno?..

32) Se desea construir una cuba tan pequea como sea posible, de manera que se pueda llenar conun nmero exacto de botellas de 0,64 litros, 1,50 l., 2 l. y 3,50 litros de capacidad. Cul serla capacidad de la cuba?.

33) Demostrar que si mcd (a,b) = D siendo D H = a, D T = b, entonces H y T no tienen divisorescomunes distintos de la unidad (relacin conocida como ser primos entre s).

34) Halla dos nmeros cuyo cociente es 26/34 y su mcd es 40.

35) Calcular dos nmeros a, b, tales que su suma es 144 y su mcd (a,b) = 12.

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3.4

36) Hallar dos nmeros cuya suma es 176 y y mcd es 11.

37) Calcular dos nmeros a, b, tales que su suma sea 144 y su mcm (a,b) = 420.

38) Halla dos nmeros, sabiendo que su diferencia es 240 y su mcm es 1260.

SOLUCIONES

1) Si aba es mltiplo de 5 terminar en 0 5. Como a es distinto de 0, a = 5. Si el nmero 5b5es mltiplo de 3, la suma de sus cifras (10 + b) debe ser mltiplo de 3. Eso slo sucede parab = 2, b = 8 ya que b = 5 hara a las tres cifras iguales. El nmero por tanto es el 525 el 585.

2) Por el mismo motivo anterior, el nmero es el 5b5. Al ser mltiplo de 9 debe ser mltiplo de3 tambin, lo que hace que las posibles solucione sean 525 585, como antes. Una simpleprueba descarta 525 quedando como nica solucin 585.Al ser mltiplo de 5 y 9 el nmero ser mltiplo de 45. Basta probar con nmeros mltiplos

de este tipo superiores a 500 para encontrar la misma solucin.

3) La suma es 4n + 2n = 6n, que puede expresarse como 6n = 2 . (3n) observndose quecumple la condicin para ser mltiplo de 2. La diferencia 4n - 2n = 2n y 2n - 4n = -2n lo es tambin por la misma razn.

4) Si a es divisible por b quiere decir que b es divisor de a. Por tanto, existir un entero L tal que b L = a. Si d es divisor de b, quiere decir que existe un entero M tal que d M = bSustituyendo se encuentra que (d M) L = a de donde d (M L) = a Por lo que d resultar

tambin divisor de a. En particular 30 divide a 180 y 5 divide a 30, de donde 5 divide tambin a 180.

5) 7 . 11 . 13 = 1001. Teniendo en cuenta que abcabc = abc . 1000 + abc = abc . 1001 = abc . 7 . 11 . 13Es por ello que, al dividir por 13, resulta el nmero abc . 7. 11. Al dividir por 11 resulta el

nmero abc .7 y, finalmente, al dividir por 7, da de nuevo el nmero abc.

6) Los mltiplos de 3 son de la forma 3n, siendo n un nmero entero. El siguiente nmero ser3n+1 seguido por 3n+2. El que viene a continuacin es 3n+3 = 3 (n+1) que es nuevamentemltiplo de 3. Por tanto, si dos nmeros no son mltiplos de 3 pueden obtenerse las siguientescombinaciones:a) 3n+1, 3m+1 b) 3n+1, 3m+2 c) 3n+2, 3m+2 Examinemos cada uno.

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3.5

a) (3n+1) - (3m+1) = 3n - 3m = 3 (n-m) Es mltiplo de 3.b) (3n+1) + (3m+2) = 3n + 3m + 3 = 3 (n+m+1) Es mltiplo de 3.c) (3n+2) - (3m+2) = 3n - 3m = 3 (n-m) Es mltiplo de 3

7) a) d divisor de a + b significa que existe un entero L, tal que d L = a + b. Pero de aquno se deduce que d divida a y divida b a la vez. Por ejemplo, 3 es divisor de 6 pero 6 = 2 + 4 de donde 3 es divisor de 2 + 4 pero no divide a ninguno de ellos.

b) Como hemos visto en el contraejemplo anterior, d puede no ser divisor ni de a ni deb.

c) d es divisor de cero porque existe un entero, en particular el 0, tal que d . 0 = 0d) a divisor de b significa que existe un entero L tal que a L = b

b divisor de a significa que existe un entero M tal que b M = aSustituyendo, (a L) M = a ; a (L M) = a ; L M = 1 La nica posibilidad de queel producto de dos enteros sea la unidad es que L = M = 1 de donde a = b

e) d divisor de a2 quiere decir que existe un entero L tal que d L = a2 = a a. De aqu sededuce que d L tiene que ser un factor que aparezca en la descomposicin de a ay, por tanto, de a. Puede ser entonces que L divida a mientras que d slo sea divisorde a2 pero no de a. Con esta gua se puede encontrar un contraejemplo como elsiguiente: 8 . 2 = 42 = 16 Para d = 8, 8 divide a 42 pero, sin embargo, no es divisorde 4.

8) 36 = 22 32 Divisores: (2+1)(2+1) = 9 50 = 2 52 Divisores: (1+1)(2+1) = 6100 = 22 52 Divisores: (2+1)(2+1) = 9 360 = 23 32 5 Divisores: 24540 = 22 33 5 Divisores: 2436, por ejemplo, es divisor de 540 por cuanto todos los factores del primero estn en el

segundo con un exponente menor o igual. As 540 = 22 33 5 = (22 32 ) 3 .5 = 36 . 3. 5

9) 24 = 23 . 3 de forma que para obtener un rectngulo cuyo producto de dimensiones nos d24 tendremos que tomar el largo y ancho como factores de esta descomposicin. Algunoscasos seran 24 = 2 . (22 3) = 2 . 12 24 = 22 (2. 3) = 4 . 6 De manera que habr tantasdescomposiciones en dos factores como divisores podamos colocar como una de lasdimensiones, en total, (3+1)(1+1) = 8De igual modo, 30 = 2.3.5 dara lugar a 8 y 42 = 2.3.7 a otros ocho divisores.

10) N = d . 1000 + c . 100 + b . 10 + aN = d . 250 . 4 + c . 25 . 4 + b . (2 . 4 + 2) + a = 4 . (d . 250 + c . 25 + b . 2) + 2b + ade donde N ser divisible entre 4 cuando lo sea 2 b + aN = d . 125 . 8 + c . (12 . 8 + 4) + b . (8 + 2) + a = 8 . (d 125 + c 12 + b) + (4c + 2b + a)por lo que N ser divisible entre 8 cuando lo sea 4c + 2 b + a.

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3.6

11) aaa para que sea divisible entre 11 tiene que cumplir que 2 a - a = a sea 0 o mltiplo de 11.No puede ser cero porque el nmero no tendra tres cifras en ese caso y mltiplo de 11tampoco porque a es un solo dgito.

12) 247.742 es divisible entre 11 porque (4 + 7 + 2) - (4 + 7 + 2) = 0. Sin embargo, no sucedelo mismo con todos los nmeros capicas, en particular los que tienen un nmero impar decifras. Por ejemplo 24742 no es divisible entre 11 porque (2 + 7 + 2) - (4 + 4) = 3

13) Sea el nmero abcde que es separable en grupos de a/bc/de. Si se suman los tres gruposformados se obtiene a + bc + de en la cifra de las unidades (a+c+e) y en la de las decenas(b + d). Esta suma ser divisible entre 11 cuando (a+c+e) - (b+d) sea cero o mltiplo de 11,justamente la condicin para que sea divisible entre 11 el nmero original. En caso de que(a+c+e) superase la decena, el resultado sera (a+c+e-10) - (b+d+1) = (a+c+e) - (b+d) - 11 sin variacin en el razonamiento anterior.

14) 220 = 22 5 11 por lo que sus divisores sern (1, 2, 4, 5, 10, 20, 11, 22, 44, 55, 110, 220)por lo que excluyendo al 220, 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 20 + 11 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284284 = 22 71 por lo que los divisores son (1, 2, 4, 71, 142, 284) de manera que excluyendo

al ltimo sale 1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220.

15) 6 = 2.3 de forma que la suma de sus divisores ser 1 + 2 + 3 = 628 = 22 . 7 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28496 = 24 . 31 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 = 496

16) 499 = 23 . 21 + 16 Si d es divisor de 499, debe ser divisor a la vez de 23 . 21 y de 16. Dado que 21 y 23 son

primos, no admiten un divisor distinto de ellos mismos. Ni 21 ni 23 son divisores de 16 y, por tanto,no hay ningn divisor comn a los dos sumandos. Por tanto, 499 es primo.

17) El nmero buscado ha de ser mltiplo de 16, 20, 25 e inferior a 500, por lo que se halla elmnimo comn mltiplo de estos nmeros.16 = 24 20 = 22 . 5 25 = 52 mcm (16, 20, 25) = 24 . 52 = 400 El siguiente mltiplo comn sera 800 y no sera vlido

18) Para simplificar 240/288 se halla el denominador comn mximo de ambos nmeros medianteel algoritmo de Euclides: mcd (240, 288) = mcd (240, 48) = mcd (192, 48) = mcd (144, 48) = mcd (96, 48) == mcd (48, 48) De donde el mcd (240, 288) = 48 As, 240/288 = 5 . 48 / 6 . 48 = 5/6

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3.7

19) Coincidirn por primera vez en el mltiplo comn de 18 y 42 ms pequeo, repitindose lacoincidencia en mltiplos de este nuevo nmero.18 = 2 . 32 42 = 2 . 3 . 7 mcm (18, 42) = 2 . 32 . 7 = 126 mm = 12,6 cmCoincidirn en 12,6 / 25,2 / 37,8 / 50,4 / 63 / 75,6 / 88,2 ...

20) Se volvern a aproximar al Sol en un mltiplo comn de 25 y 60.25 = 52 60 = 22 . 3 . 5 mcm (25, 60) = 22 . 3 . 52 = 300Es decir, se vuelven a reunir en 1950 + 300 = 2250

21) Sea un nmero a > 100. a - 7 es divisible entre 7, a - 8 es divisible entre 8 y a - 9 es divisibleentre 9. Entoncesa - 7 = 7 L a = 7 L + 7 = 7 (L + 1) a es divisible entre 7a - 8 = 8 M a = 8 M + 8 = 8 (M + 1) a es divisible entre 8a - 9 = 7 R a = 9 R + 9 = 9 (R + 1) a es divisible entre 9mcm (7, 8, 9) = 504 Que resulta ser el nmero buscado.

22) 720 = 24 . 32 . 5 1080 = 23 . 33 . 5 2160 = 24 . 33 . 5mcd (720, 1080, 2160) = 23 . 32 . 5 = 360Ms rpida sera la aplicacin del algoritmo de Euclides:mcd (720, 1080) = mcd (720, 360) = mcd (360, 0) = 360 Que sera tambin el de

2160 por ser el doble de 1080.

23) El lado cuadrado de la baldosa debe ser una longitud que quepa un nmero exacto de vecesen 860 y 240, es decir, su lado L debe ser divisor de ambos nmeros y el mayor posible parautilizar el menor nmero de baldosas que se pueda.Mcd (860, 240) = mcd (240, 140) = mcd (140, 100) = mcd (100, 40) == mcd (40, 20) = mcd (20, 0) = 20 cms860 : 20 = 43 240 : 20 = 12Se han empleado 43 x 12 = 516 baldosas

24) Si ese nmero M deja de resto 7 quiere decir que 247 = M . C + 7 de donde M . C = 240y lo mismo M . C = 360 , M . C = 420, luego M es divisor de 240, 360, 420. Siendo elmayor, mcd (240, 360, 420) = 60 que resulta ser el nmero buscado.

25) Para que quepa en el paraleleppedo un nmero exacto de cajas, cada dimensin de una cajadebe dividir a la dimensin correspondiente del paraleleppedo. De forma que lo que se buscaes un divisor comn de las siguientes dimensiones enteras en centmetros: 165, 210, 300:mcd(165, 210, 300) = 15 cm.

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3.8

26) Si el cuadrado se puede descomponer en rectngulos es porque las dimensiones de esosrectngulos (615, 360 mm) caben exactamente en los lados de ese cuadrado y, por tanto, eselado resulta ser mltiplo comn de estas dimensiones:mcm (615, 360) = 14760 mm = 14,76 m.

27) Si el nmero de canicas es H y, agrupndolas de cuatro en cuatro sobran 2, ser porque H =4 C + 2. Del mismo modo, H = 5 C + 2, H = 6 C + 2 de donde resultar que ese nmeroH cumple: H - 2 = 4 C = 5 C = 6 C. Es decir, H-2 ser mltiplo a la vez de 4, 5 y 6.Entonces, H - 2 = mcm (4, 5, 6) = 60 por lo que H = 62 canicas. Sin embargo, como elnmero final debe estar comprendido entre 100 y 150, habr que elegir, en vez de 60, elsiguiente mltiplo comn, 120 de manera que finalmente quedara 122 canicas.

28) De forma similar, H - 2 = mcm (5, 7, 15) = 105 de donde H = 105 + 2 = 107

29) Para que tomen la misma posicin de partida, el camino recorrido por la circunferencia de cadarueda debe ser un nmero entero mltiplo comn de dichas circunferencias. Por ello, se halla mcm (54 pi, 104 pi, 86 pi) = pi mcm (54, 104, 86) = 120744 piEl clculo del nmero de vueltas se hallar dividiendo esta distancia recorrida por la longitud

de cada circunferencia: 120744 pi/54 pi = 2236 v., as como 1161 v y 1404 vueltas.

30) Ese nmero M cumplir: 2000 = M . C + 11 y 2708 = M . C + 17 de donde1989 = M . C y 2691 = M . C luego M = mcd (1989, 2691) = 117

31) Coincidirn de nuevo cuando el tiempo empleado en total sea mltiplo comn del que empleanen dar una vuelta cada uno, es decir, en segundos 108 y 120. Mcm (108, 120) = 1080 sgs = 18 minutos Las vueltas dadas sern: 1080/108 = 10 vueltas y 1080/120 = 9 vueltas

32) La capacidad de la cuba ha de ser mltiplo a la vez de 64, 150, 200 y 350 cl. De manera quese halla mcm (64, 150, 200, 350) = 33600 cl = 336 litros

33) Siendo mcd (a,b) = D, resulta entonces que DH = a, DT = b. Queremos demostrar que Hy T no tienen divisores en comn distintos de la unidad. Por el contrario, vamos a suponer ques tienen un divisor comn distinto de la unidad, d. Al ser divisor de ellos resultar que existenlos enteros K, L tales que d K = H, d L = T. Sustituyendo,D d K = a, D d L = b, con lo que resultara que (D d) es un divisor comn de a, b y adems

resulta ser ma que el mximo comn divisor D. Este resultado absurdo proviene de haber tomado unahiptesis errnea, es decir, que existiera un divisor comn d de H y T, distinto de la unidad.

34) Sean los nmeros a, b tales que a/b = 26/34 de forma que mcd (a,b) = 40.Debido a esta ltima condicin, existirn dos enteros L, R tales que 40 L = a, 40 R = b siendo

L, R primos entre s. Sustituyendo en la fraccin dada por la primera condicin,

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3.9

40 L / 40 R = 26/34 de donde L/R = 13/17 es decir, 17 L = 13 R, o bien L = 13 R / 17 deforma que, para que L sea entero, R tiene que ser mltiplo de 17. Surgen as varias posibilidades:

R 17 34 51 ...L 13 26 39 ...Por la propia formacin de las parejas de nmeros se observa que 34, 26 se obtiene

multiplicando por 2 los valores de la pareja inicial 17, 13 mostrando as un divisor comn (el 2) distintode la unidad, por lo que no son primos entre s. En consecuencia, R = 17, L = 13 es la nica soluciny, correspondientemente, a = 520, b = 680.

35) Si el mcd (a,b) = 12 entonces existirn dos enteros L, R tales que 12 L = a, 12 R = b siendo L, R primos entre s. Como la suma es 144, se sustituyea + b = 144 12 L + 12 R = 12 (L + R) = 144 L + R = 144/12 = 12Las posibles parejas de valores que pueden tomar L y R son:L 1 2 3 4 5 6R 11 10 9 8 7 6de las cuales slo dan primos entre s dos de ellas, 1, 11 y 5, 7 que corresponden a valores

de a, b siguientes: 12, 132 y 60, 84 respectivamente.

36) Si el mcd (a,b) = 11 entonces existirn dos enteros L, R tales que 11 L = a, 11 R = b siendo L, R primos entre s. Como la suma es 176, se sustituyea + b = 176 11 L + 11 R = 11 (L + R) = 176 L + R = 176/11 = 16Las posibles parejas de valores que pueden tomar L y R son:L 1 2 3 4 5 6 7 8R 15 14 13 12 11 10 9 8de las cuales slo dan primos entre s cuatro de ellas, (1,15), (3,13), (5,11) y (7,9) que

corresponden a valores de a, b siguientes: (11,165), (33,143), (55,121), y (77,99) respectivamente.

37) Si el mcm (a,b) = 420 entonces existirn dos enteros L, R tales que a L = 420, b R = 420, es decir, a = 420/L, b = 420/R . Como la suma es 144, se sustituye420/L + 420/R = 144 1/L + 1/R = 144/420 L + R / L R = 144/420

Pero L y R son los nmeros enteros ms pequeos que cumplen las condiciones antedichas por lo queL + R / L R = 144/420 = 12/35 de donde L + R = 12 L R = 35

que llevan a la solucin L = 7 R = 5. Consecuentemente, a = 60, b = 84.

38) Si el mcm (a,b) = 1260 entonces existirn dos enteros L, R tales que a L = 1260, b R = 1260, es decir, a = 1260/L, b = 1260/R . Como la diferencia es 240, se sustituye1260/L - 1260/R = 240 1/L - 1/R = 240/1260 L - R / L R = 240/1260

Pero L y R son los nmeros enteros ms pequeos que cumplen las condiciones antedichas por lo queL - R / L R = 240/1260 = 4/21 de donde L - R = 4 L R = 21

que llevan a la solucin L = 7 R = 3. Consecuentemente, a = 180, b = 420.