TEMA5 _Grado ICT Refracción, Difracción y Rotura 2012

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TEMA V

REFRACCIÓN, DIFRACCIÓN Y ROTURA

Tema 5. Los niveles del mar y las variaciones del nivel medio. Convergencia con el oleaje

5.1 Niveles del mar y nivel medio del mar

5.2 Marea astronómica y otras fluctuaciones periódicas

5.3 Marea meteorológica y otras variaciones de origen climático

5.4 Propagación y transformación del oleaje: refracción, difracción y rotura

5.5 Efectos de la rotura del oleaje sobre las costas: erosión y transporte de

sedimentos

Vicente Negro Valdecantos

Doctor Ingeniero de Caminos, Canales y Puertos

Profesor Titular de Universidad

Curso Académico 2012 – 2013

Refracción, difracción y rotura Grado en Ingeniería Civil y Territorial Obras Marítimas

2

REFRACCIÓN. Razonamiento teórico del problema

La determinación del oleaje es absolutamente imprescindible en la Ingeniería Marítima,

Portuaria y Costera. Los datos de partida son generalmente obtenidos en aguas profundas,

d/L > 1/2, y es necesaria la transformación del fenómeno ondulatorio hasta el área de interés,

en zonas de relativa y escasa lámina de agua, zonas de transición, profundidades reducidas e

incluso en procesos de descomposición ondulatoria con fenómenos de rotura.

La modificación de la onda con los procesos de refracción o expansión frontal de la energía

del oleaje, difracción o expansión lateral, shoaling o asomeramiento, disipación, fricción,

reflexión y otros fenómenos que pueden afectar a la onda son elementos básicos en el

análisis. La onda es un ente matemático, la ola es un ente físico.

Los modelos de propagación se basan en múltiples teorías.

⋅ Matemática aplicada a la onda con su ecuación de Laplace basada en las hipótesis de

incompresibilidad del fluido (ρ = constante), e irrotacionalidad del flujo (rotacional del

campo “φ” = 0), en la ecuación de continuidad como operador diferencial divergencia y

la velocidad como función gradiente del potencial.

div u = 0, la divergencia de un campo vectorial es un escalar

u = - grad φ, el gradiente de un campo escalar es vectorial

div (grad φ) = ∆φ = 0 Ecuación de Laplace, por operador de campo compuesto

⋅ Soluciones basadas en la ecuación de pendiente suave de Berkoff, 1972 o "mild slope

equation ".

⋅ Resoluciones de manera elíptica

⋅ Resoluciones en aproximaciones parabólicas

⋅ Modelos basados en las ecuaciones de conservación



3

. Conservación de la acción de onda

. Irrotacionalidad del número de onda

Estos elementos o herramientas tan sofisticadas han servido para, en cierta medida,

complementar a los modelos clásicos gráficos basados en dibujos de evolución mediante

semiavances, Iribarren, o la teoría de rayos, Snell.

⋅ Iribarren

H Altura de ola, m

B Ancho del cuadrilátero de avance, m

o Subíndice de profundidad indefinida, -

i Subíndice de profundidad considerada, -

⋅ Snell

α Oblicuidad, Ángulo que forma el frente con la batimetría, º

C Celeridad del movimiento, m/s

Hi Altura de ola, m

1, 2 Indicadores de referencia, punto 1 y punto2

cte = c · H , cte = c

seng

2αααα

Los subíndices representan la misma significación que la teoría clásica del Profesor Iribarren.

cte = cos · c · H ; cte = c · H ; BB =

HH

g2

g2

1

0

0

1 αααα

αααααααααααααααα

222

112

2

2

1

1 cos · H = cos · H ; c

sen =

c

sen



4

Han sido múltiples los intentos de obtener ábacos de determinación del coeficiente de

refracción (Kr) y asomeramiento (Ks) y combinado (Kr x Ks) en función de criterios de batimetría

rectilínea, sensiblemente paralela a la línea de costa, más o menos homogénea que permitían

definir,

obteniendo resultados como el proporcionado por el U.S. Army Coastal Engineering Research

Center 1.977, o ábaco del Shore Protection Manual.

Con hipótesis semejantes y en función de parámetros espectrales direccionales (Smax),

dependientes de la pulsación angular y la velocidad del viento, y para oleajes tipo Sea y Swell

con pequeño y gran "decay", decaimiento, como representantes del peraltamiento de la ola,

Goda 1.985, en fondo paralelo - regular define el coeficiente de refracción para un campo

irregular direccional de oleaje tomando en abscisas h/L0 y en ordenadas α0.

Mitsoyashu con hipótesis semejantes y en función de d/L > 0.50 y αo define la variación

angular para obtener el ángulo αp y con ello, el coeficiente de refracción correspondiente.

) , T . g

d ( f = K 02 αααα

αααααααα

i

0r

cos cos

= K

indefinida celeridad ; · 2T · g

= c 0 ππππ



5

cp celeridad a profundidad "p", m/s

El hecho cierto es que la matemática aplicada a la teoría de ondas y los avances en las

técnicas de resolución de ecuaciones diferenciales, bien empleando elementos finitos o

diferencias finitas, sirvió para desarrollar el campo de la propagación de los fenómenos

ondulatorios.

La clásica ecuación de Laplace,

con las hipótesis de incomprensibilidad e irrotacionalidad y discretización,

y la ecuación de Helmholtz,

L

d · · 2 th ·

· 2T · g

= cp

pππππ

ππππ

cte = c

sen =

c

sen

0

0

p

p αααααααα

0 = z

+

y

+

x

2

2

2

2

2

2

∂∂∂∂φφφφ∂∂∂∂

∂∂∂∂φφφφ∂∂∂∂

∂∂∂∂φφφφ∂∂∂∂

φφφφ∆∆∆∆−−−−φφφφφφφφ∆∆∆∆ = u ; ) grad ( diver = 0 =

e · ) z ( w · ) y, x ( A = )t , z , y, (x )t * * i - ( ωωωωφφφφ

L · 2

= k ; d · k ch

) z + d ( · k ch = ) z (

ππππωωωω

0 = A · k + y

A +

x

A 22

2

2

2

∂∂∂∂∂∂∂∂

∂∂∂∂∂∂∂∂



6

Esta ecuación fue empleado en expansión lateral y fue básico para estudiar la propagación de

ondas sobre fondos suaves - variables, definiendo un potencial.

φ (x, y, z, t) = φ* (x, y) x w(z) x exp(- iwt)

φ* (x, y) = A(x, y) x exp {is (x, y)}

A(x, y) Amplitud

s(x, y) Fase

Transformando la ecuación de Laplace de 3D a 2D, integrando,

La descripción completa de los fenómenos de propagación de ondas monocromáticas lineales

sobre un fondo cualquiera, batimetría arbitraria fue descrita y formulada por Berkoff, 1972, con

la única restricción de taludes suaves, expresando su ecuación de "pendiente suave", "mild

slope equation" mediante un potencial “Φ” y una expresión matemática de naturaleza elíptica.

siendo:

c Celeridad de la onda, m/s

cg Celeridad del grupo, m/s

ω Frecuencia, s-1

dz · ) z ( amplitudh - φφφφ∆∆∆∆ωωωω∫∫∫∫

0 = · cc · + · c · c g2

g φφφφωωωωφφφφ∆∆∆∆



7

k Número de onda, m-1

L Longitud de onda en profundidad reducida, m

L0 Longitud de onda en profundidad indefinida, m

d Profundidad, m

φ Función potencial, -

La solución numérica empleó dos tendencias claramente diferenciadas, el método de los

elementos finitos y los esquemas en diferencias finitas.

MEF Berkoff, 1.972

Houston, 1.981

MDF William, 1.980

Holmes, 1.980

Ambos modelos presentan un largo tiempo de cálculo computacional con los inconvenientes

que esto conlleva.

La resolución del problema elíptico requería además de un tiempo de computación muy

elevado, condiciones de contorno en todo el dominio, así como reflexiones no deseadas en las

condiciones de absorción, ante incidencia oblicua. Las grandes mallas conducen a enormes

matrices y como consecuencia, procesos laboriosos de cálculo.

d · k th · k · g = 2ωωωω

L · 2

= kππππ



8

El conocimiento de la condición de contorno en la costa casi siempre desconocida, obliga a

pensar en otros planteamientos de cálculo que obviarán la misma y simplificarán notablemente

la resolución numérica del problema.

Para simplificar el modelo elíptico y descomponiendo la función potencial en una componente

de reflexión que se dispersa y en una difracción, donde en dirección de avance es más

reducido que en expansión lateral, se obtiene una ecuación representativa del fenómeno de

propagación, transformando el problema de elíptico a parabólico, empleando conceptos de

función potencial complejo.

Está simplificación origina los modelos llamados "Parabólicos" que funcionan en esquemas en

diferencias finitas; destacando:

Berkoff, Booij y Radder, 1.982

Radder, 1.982 (Ecuación parabólica de Radder)

Mei, 1.983

Kirby, 1.986

Equipo de la Universidad de Delaware (Mei, Kirby y Dalrymple) 1.988

REF - DIF

Vincent, 1.988

J.M. Grassa, REF - DIF, 1.988 – 90. Win Waves, 2.000 y siguientes

SMC, Sistema de Modelado Costero, Universidad de Cantabria, 2.001

La principal desventaja del modelo parabólico se centra en la malla o celda de integración,

sensiblemente paralela a la dirección de propagación, lo que proporciona soluciones erróneas

para batimetrías irregulares, complejas, con alternancia de bajos, y giros pronunciados. La

ecuación representativa de los fenómenos de propagación resulta:

) y

· C · C ( y

· C · C · 2

1 + ) K · C · C (

x ·

C · C · K · 21

- K · i = x

gg

gg δδδδ

φφφφδδδδδδδδδδδδφφφφ

δδδδδδδδ

δδδδφφφφδδδδ



9

donde "x" define ahora la dirección principal de propagación y haciendo la hipótesis de

descomposición del potencial en una componente dispersiva hacia adelante y una reflejada,

despreciando la componente de reflexión y suponiendo que los efectos de difracción en la

dirección de propagación son mucho menores que los producidos en la dimensión

perpendicular a la de avance, tal como se exponía brevemente con anterioridad.

Tal como queda demostrado en la figura adjunta, para onda plana y pequeño valor del ángulo

α, el error cometido es despreciable, para ángulos mayores de 45° los errores son más

grandes, debiendo delimitar el campo de aplicación de la aproximación parabólica.

Los modelos tipo Booij y Radder presentan una malla en la dirección de propagación con eje X

en la dirección del oleaje y el eje Y en perpendicular antihorario. Los casos de oblicuidad

requieren la reorientación de la malla de forma que el modelo Radder garantiza propagaciones

de onda ± 45°; Booij maneja rangos de ± 60°; debido al tratamiento en particiones de la matriz

elíptica y el número de términos en la aproximación de las derivadas transversales. Kirby con

una aproximación en minimax alcanzó rangos de validez de 70°.

Así mismo, no es igual emplear estos esquemas en puertos que en playas, donde la

componente reflexión es de gran importancia en el primer caso y despreciable en el segundo,

de manera que puedan despreciarse frente al oleaje incidente.

Los modelos numéricos de propagación para ondas monocromáticas lineales funcionan fuera

de rotura entre gamas d/L = 0.20 a d/L < 1/25, debiendo cambiar la función potencial para

caso de H/d ó H/L, fenómeno de rotura por fondo o peralte.

Los otros métodos de cálculo responden:

1. Clásicos. Teoría de Rayos



10

2. Flujo de energía.

Teorías de Boussinesq, empleando la integración de las ecuaciones de cantidad de

movimiento en el eje x, eje y, conservación de masa, con una aproximación en la componente

vertical dada por las ecuaciones de Boussinesq de aproximación cuasilineal.

El modelo, aquí empleado, está basado en el estudio de Kirby y Dalrymple, Universidad de

Delaware, con aproximación no lineal que incluye la celeridad de una onda en cada uno de los

dominios de existencia en función del modelo teórico.

El clásico modelo REF - DIF incluye la teoría de Dally y Dean para el proceso de rotura y post -

rotura asumiendo que tras ésta existe una altura de ola estable proporcional a la profundidad y

que la tasa de disipación de la energía en la zona de rompientes es proporcional a la

diferencia entre el flujo de energía real y el flujo de energía estable.

REF - DIF incluye también efectos de capas límites laminares de superficie y fondo, capa

límite de fondo turbulenta y propagación sobre lechos porosos, preferentemente arena.

La técnica de resolución mediante el método de Crank - Nicholson mediante esquema en

diferencias finitas implícito en dobles pasadas o barridos permiten progresar en la

determinación de la respuesta numérica al problema.

El modelo parabólico, de fondo de pendiente suave, restringido en el parámetro de Ursell a

valores inferiores a 40º y con dirección predominante del oleaje, permite obtener resultados

bastante aproximados al proceso refracción - difracción y a la combinación del fenómeno

oleaje - corriente.

En dominios relativamente reducidos y efecto profundidad bastante importante, donde la

solución teórica es la onda solitaria y la onda cnoidal, las ecuaciones que modelan la

propagación son las de Boussinesq, con soluciones numéricas en 2D y fondo irregular.



11

Modelos actuales tipo Liu o Kirby permiten incluir efectos rotura, fricción e incidencia oblicua.

Los modelos de teoría de rayos están basados en las sencillas ecuaciones descritas

anteriormente y se basan en hipótesis muy sencillas de física general. Éstas son:

Primera Hipótesis : T, el período, es constante en la propagación

sabiendo las celeridades se puede obtener,

Por consecuencia,

Segunda Hipótesis : Flujo de energía entre dos ortogonales es constante

Por tanto,

i

0

i

0

i

0

i

0

LL

T·cT·c

cc =

sensen

========αααααααα

K = L

d · · 2coth =

Ld · · 2

th

1 =

cc

ii

0 ππππππππ

K

sen - 1

cos = K ;

K

sen = sen

i2

02

0r

i

0i


ααααρρρρ

ααααρρρρ

ii2

i

002

0

cos · H · g · · 81

= E

cos · H · g · · 81

= E



12

Tercera Hipótesis : La celeridad solo depende de la profundidad, c = f(h)

Cuarta Hipótesis : El avance es ortogonal en cualquier profundidad

Quinta Hipótesis : La batimetría es rectilínea y paralela

Con estos criterios, se obtiene el coeficiente de refracción por teoría clásica de ortogonales.

Esta situación puede complementarse con el concepto de asomeramiento o shoaling,

obtenido mediante el modelo clásico de Blunt siguiente:

obteniendo el tradicional y clásico Kr x Ks mediante esta teoría. Estos modelos siempre se

fundamentan en los principios siguientes:

- El período es constante en la propagación

- El flujo de energía entre dos ortogonales se mantiene constante

- La dirección de avance de la onda es perpendicular en cada momento de avance

- La celeridad solamente depende de la profundidad

k = coscos

= HH

cos · H = cos · H ; E = E

ri

0

0

i

ii2

002

i0

αααααααα

αααααααα

Lh··2

th·

Lh··4

sh

Lh··4

1

1CC

KG

0Gs

ππππ

ππππ

ππππ

++++

========



13

- Se desprecian efectos corrientes, reflexiones, vientos,...

- La batimetría es rectilínea, paralela, en la misma configuración que la línea de costa

- Los cambios en fondo se consideran graduales, no existiendo discontinuidades

La refracción, como consecuencia, es la expansión frontal de la energía del oleaje por efecto

fondo (kR), pudiendo presentar una componente de rayo (kr) y un efecto grupo (ks). Si

suponemos que el fondo es homogéneo, todo el tren de ondas avanza con la misma celeridad

y se modifica en la propagación de manera semejante, concepto que se define como

asomeramiento o shoaling (ks).

La existencia de irregularidades, variaciones de profundidad, entre otros, condiciona la

refracción (kr).

El concepto global kR resulta como kr x ks. La refracción o expansión frontal es un fenómeno

de muchas longitudes de onda; al contrario, que la difracción o expansión lateral, que es un

fenómeno de muy pocas longitudes de onda.

Merece destacar también en los modelos denominados clásicos, los conceptos de Iribarren

fundamentados en los siguientes aspectos:

1.- Definición del proceso de refracción, d/L < 1/2.

2.- Definición del cuadrilátero de avance, nL0/2, nL0/2.

3.- Selección de "n", recomendando valores entre 2 y 5

4.- Definición del avance en el proceso desde profundidad indefinida a reducida.



14

5.- Conociendo la ecuación de onda y el avance, se define:

6.- Esta situación a período constante permite la propagación y obtención de la relación

siguiente:

Estos esquemas se encuentran basados en la constancia del período y en la conservación del

flujo de energía entre dos ortogonales.

Esta clásica descripción del método de Iribarren se observa en las figuras adjuntas, donde se

determina la curva de avances, en nuestra caso de semiavances, y en segundo lugar como se

aplica en tramos sucesivos de viaje desde profundidades indefinidas a reducidas pasando por

transición del frente.

Debe recordarse que la teoría de ondas responde a entes matemáticos que transportan

energía, mientras que la solas son entes físicos que transportan masa, diferencia fundamental

en los dos conceptos que se manejan en este capítulo de modificaciones de las ondas. Los

gráficos siguientes son suficientemente explicativos, adjuntando el clásico de Goda de Kr y

Shutto de Ks.

2L · n

= S 00∆∆∆∆

2S

d · · n · 2 th ·

4L · n

= 2S

S

d · · n th ·

2L · n

= S

· 2T · g

= L ; L

d · · 2 th · L = L ;

nS · 2

= L

0

0

2

00

∆∆∆∆ππππ∆∆∆∆

∆∆∆∆ππππ∆∆∆∆

ππππππππ∆∆∆∆

BB =

HH

i

0

0

i



15

Gráfico de Goda de refracción (1985). Gráfico de Shuto de shoaling - asomeramiento (1973)



16

Esquema general de Iribarren de expansión frontal de energía del oleaje



17

Esquema general de la propagación de oleaje. Teoría de ortogonales

Diferencias entre los modelos elípticos y parabólicos de propagación de oleaje



18

DIFRACCIÓN

Aunque resulta complejo separarlo del fenómeno anterior (refracción y asomeramiento), la

difracción es la expansión lateral de la energía del oleaje cuando un tren de ondas incide

sobre un obstáculo emergido o sumergido a una determinada profundidad.

Al encontrarse con el dique se modifica la configuración del tren de ondas y se crea una zona I

de Incidencia y reflexión. Esta zona es la de máxima agitación. La onda continúa sin estar

perturbada en su zona II o de Incidencia. Cuando la onda disminuye su energía por el efecto

obstáculo, estamos en la zona III o de Alimentación. La zona IV de expansión está formada

por la aparición verdadera de la expansión lateral de energía cedida por la zona de

alimentación. Finalmente, aparece una zona abrigada o V de calma. La planta de la difracción

queda planteada en la figura adjunta.

Esquema de difracción o expansión lateral de energía. Iribarren, 1.954



19

Para su comprensión teórica, el fluido se considera perfecto y cumple la ecuación de

continuidad. No hay cesión de energía entre la zona I y la II. El morro del dique es el emisor de

ondas, cediendo la energía a lo largo de las líneas de fase. La celeridad transversal coincide

con la de las ondas longitudinales, debido a la constancia del período y al análisis de la

profundidad en cada celda o paralelepípedo de avance. Tanto el método del Profesor Iribarren

como de Wiegell son de indudable valor práctico, aplicable a un tren monocromático que en su

avance se encuentra un dique.

Forma en alzado de la expansión lateral de Iribarren

Esquema de difracción de Wiegell



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ROTURA O DESCOMPOSICIÓN DE LA ONDA. EFECTO FONDO

1.- Munk - Mac Cowan

2.- Gumbak

3.- Weggel

4.- Battjes

5.- Kimshi - Saeki

0.78 = dH

0.66 > ;1.20 = dH

0.66 < < 0.20 ;0.63 + · 0.87 = dH

0.20 < ;0.80 = dH

ξξξξ

ξξξξξξξξ

ξξξξ

(((( ))))

) i · 19.5 ( exp + 11.56

= b

) i·19( exp - 1 · 43.70 = a ;

T · gd · a

+ 1

b =

dH

2

−−−−

−−−−

T · g

H · · 2 = s ; ) s · 33 ( th · 0.40 + 0.50 =

dH

z2

s00

ππππ

m ·5.618 = dH 0.40



21

6.- Collins

7.- Miche (1949), Latoine (1962), Longuet - Higgins y Fenton (1974)

Hasta un número de treinta modelos de rotura por fondo.

EFECTO FORMA.

1.- Miche en profundidades indefinidas

2.- Miche en profundidades reducidas

m·5.60+ 0.72 = dH

Higgins -Longuet ; 0.827 = dH

Latoine ;0.73 = dH

Miche;0.88 =dH

71

= LH

L · 2

= K ; ) h·k ( th ·0.142= LH ππππ

L

d · · 2 th · L = L ;

· 2T · g

= L 0

2

0ππππ

ππππ



22

siendo,

H1/3 Altura de ola significante o promedio del tercio de olas más altas, m

H1/10 Altura de ola promedio del décimo de olas más altas, m

H1/50 Altura de ola promedio de 1/50 x N olas más altas, m

Hmax Altura máxima del registro de N olas, m

Hd Altura de ola de diseño, m

Hb Altura de ola en rotura, m

ξ Número de Iribarren, -

som Peralte adimensional, -

tag α Talud de la plataforma, º

i Pendiente del terreno natural, -

m Pendiente del terreno natural, - (la notación varía según formulaciones)

d Profundidad de la lámina de agua, m

h Profundidad de la lámina de agua, m (la notación varía según formulaciones)

L0 Longitud de onda en profundidades indefinidas, m

L Longitud de onda en profundidades reducidas, m

g Aceleración de la gravedad, m/s2

T Período ondulatorio, s

K Número de onda, -

a, b Constantes de ajuste

π Número pi

N Número de olas activas de un registro de oleaje, -

Los Ejercicios presentados a continuación representan casos prácticos y reales de estudio.

Se adjuntan igualmente los gráficos de Goda y Weggel explicativos de la rotura.

s

tag = ,

T · gH · · 2

= s ,

LH

tag =

omz2

som

ααααξξξξππππααααξξξξ



23

Esquema de Goda para la determinación de la ola rota en función de la pendiente de la

plataforma, el período ondulatorio y la altura de ola H0’



24



25

Ejercicio 1

El morro de una estructura de abrigo convencional se encuentra situado a la profundidad de

diez metros en una zona de 4.50 metros de carrera de marea. El período del oleaje es de 15

segundos, y la altura de ola significante en profundidades indefinidas es de 14.25 metros. El

viento generador del temporal más desfavorable es 26 m/s. El temporal tiene dirección NW

teniendo una orientación angular del frente con relación a la batimetría en aguas profundas de

22.50º, α0 = 22.50º.

Aplicando el ábaco de Goda - Mitsoyasu para un oleaje “swell” totalmente desarrollado,

calcular el coeficiente de refracción - shoaling.

Aplicando la fórmula de Blunt determinar el coeficiente de shoaling.

Determinar la altura de ola de diseño en función de la tipología estructural y del posible análisis

de rotura, tanto por peralte (H/L) o forma como por fondo (H/h).



26

FORMULACIÓN DE REFRACCIÓN Y SHOALING:

Coeficiente de refracción según la ley de Snell

Coeficiente de asomeramiento según el modelo clásico de Blunt

Modelo de Iribarren de refracción

BB =

HH

i

0

0

i

donde,

Kr Coeficiente de refracción

B0 Ancho del cuadrilátero de avance en profundidades indefinidas, m

Bi Ancho del cuadrilátero de avance en profundidades reducidas, m

α0 Angulo del frente con la batimetría en profundidades indefinidas, º

αi Angulo del frente con la batimetría en profundidades reducidas, º

i Subíndice de profundidades reducidas

0 Subíndice de profundidades indefinidas

Ks Coeficiente de shoaling, -

d Profundidad de la lámina de agua, m

L0 Longitud de onda en profundidades indefinidas, m

L Longitud de onda en profundidades reducidas, m

T Período ondulatorio, s

K

sen - 1

cos = K ;

K

sen = sen

i2

02

0r

i

0i


Ld · · 4

+ L

d · · 4sh

Ld · · 2

th · L

d · · 4sh

= K s ππππππππ

ππππππππ



27

g Aceleración de la gravedad, m/s2

sh Seno hiperbólico, -

th Tangente hiperbólica, -

cth Cotangente hiperbólica, -

CUANDO HAY REFRACCIÓN

d/L0 > 0.50 No hay refracción

d/L0 < 0.50 Hay refracción

d/L0 Entre 0.50 a 0.20 la refracción es muy poco pronunciada

d/L0 Desde 0.20 a 0.050, la refracción es muy acusada

SOLUCIÓN EJERCICIO 1

T = 15 segundos, L0 = 351 metros, Lpleamar = 173 metros, Lbajamar = 143 metros

Ki,p = 2.01, Ki,b = 2.43; Kr,pleamar = 0.97; Kr,bajamar = 0.97

Para la Bajamar Máxima Viva Equinoccial, se obtiene:

Para la Pleamar Máxima Viva Equinoccial, se obtiene:

Empleando Snell y Blunt, kr x ks = 1.04 en P.M.V.E. y 1.08 en B.M.V.E., adoptando 1.05

L

d · · 2 th · L = L ;

· 2T · g

= L 0

2

0ππππ

ππππ

1.12 = k ; 0.413 = L

d · · 2 th ; 1 =

Ld · · 4

sh ; 0.878 = L

· 4s

ππππππππππππ

1.061 = k ; 0.483 = L

d · · 2 th ; 1.259 =

Ld · · 4

sh ; 1.053 = L · 4

sππππππππππππ



28

ÁBACO DE GODA

d/L0 = 0.042 en pleamar y 0.028 en bajamar. Smax = 25, swell con bajo decay. Kr > 0.96 en

ambos casos

El coeficiente de shoaling calculado en pleamar resulta 0.84.

La altura de ola resultante será:

Hs, indefinida x Ks x Kr = Hs, pie de dique

H0 = 14.25 x 1.05 = 14.96 m; H s = 15.00 metros

Figura 1 Ábaco de Goda de refracción



29

Ábaco 2 Diagrama de refracción - shoaling del Shor e Protection Manual

Empleando este modelo, resulta:

Adoptando un valor medio de 1.05, se obtiene una ola de cálculo a pie de dique de 15.00

metros.

1.08 = k · k ; 0.00453 = T ·g

h

1.05 = k · k ; 0.00657 = T· g

h

sr2

sr2



30

Ejercicio 2

Calcular con el procedimiento de Goda la altura de ola en rotura a una profundidad de 10

metros, en una zona de playa con pendiente 1/30 cuando sobre ella inciden oleajes de 10

segundos.

Ejercicio 3

Calcular lo mismo que el concepto anterior pero con la aproximación de Osterdoff y Madsen

Ejercicio 4

Utilizando los ábacos de Goda estimar la altura de ola significante en rotura a 8.00 metros de

profundidad cuando un swell H0'= 6.00 metros, T1/3 = 15 segundos, cuando incide sobre una

playa de pendiente 1/30.



31

Ejercicio 2

Empleando la fórmula de Goda, previo al empleo de ábacos, se obtiene:

Para el caso que nos ocupa,

Entrando en la fórmula, se obtiene, Hb = 7.80 metros

Ábaco de Goda, límite de rotura de oleaje regular

ββββππππ−−−−−−−− )) (tag·15 + 1( · Lh · ·1.50 ( exp 1 ·L · 0.17= H 3

4

0

b0b

0.064 = 15610

= Lh ; m 156 = L ;

·2T · g

= L0

b0

2

0 ππππ



32

Ejercicio 3

La fórmula de Osterdoff y Madsen, 1.979, resulta:

La longitud de onda en profundidad indefinidas es de 156 metros. La longitud de onda en

profundidades reducidas es 92.50 metros. La pendiente es 1/30, se toma la primera parte de

la fórmula de Osterdoff y Madsen,

Ejercicio 4

Utilizando los ábacos de Goda, la longitud de onda en profundidades indefinidas es 351

metros. El peralte equivalente y la profundidad relativa se obtienen:

Entrando en el ábaco de pendiente 1/30, se obtiene la relación:

Se adjuntan los ábacos representativos.

0.10 > tag ; L

h · · 2 · 1.30 th · 0.14 =

LH

0.10 < tag ; L

h · · 2 · ) tag ·5 + 0.80 ( th · 0.14 =

LH

b

b

b

b

b

b

b

b

ββββ

ππππ

ββββ

ππππββββ

(((( )))) metros 7.50 = 0.14 · 92.50 = Hb

1.33 = 68

= H

h ;0.0171 =

3516

= LH

0*

0

0*

metros 5.20 = 6 · 0.87 = H ; 0.87 = H

H

3

1

0*

3

1



33

Diagramas para la estima de la altura de ola en la zona surf o de rompiente de Goda



34

Diagramas para la estima de la altura de ola en la zona de surf o de rompiente de Goda



35

Ejercicio 5

Sea un oleaje de período 20 segundos y altura de ola de 1.00 metro propagándose sobre un

fondo en pendiente y formando un ángulo de 30 grados con la batimétrica de - 20.00 metros.

Se pide, definir la oblicuidad y la altura de ola a 10 metros de calado.

Ejercicio 6

Calcúlese la altura de ola de una onda unitaria a una profundidad de 20 metros cuando

alcance la profundidad de 10 metros. Se supone que la oblicuidad inicial respecto al fondo es

de 0 grados. Es de aplicación la teoría lineal.

Ejercicio 7

Mismo ejemplo anterior pero con oblicuidad de 30 grados.

NOTA: Aplíquese la teoría lineal de ondas para aguas poco profundas, es decir,

c = d · g = c g



36

Ejercicio 5

La ley de Snell puede escribirse de la forma siguiente,

La expresión en alturas de ola resulta,

El ángulo crítico se define,

Por tanto, en este caso resulta, c1 = 14.00 m/s, c2 = 9.90 m/s, empleando la Ley de

Snell,

La altura de ola resulta, H2 = 1.00 x (cos 30º/cos 20.70º)0.50 = 0.96 metros

Ejercicio 6

La celeridad a diez metros de profundidad resulta, 9.90 m/s. La celeridad a 20.00 metros de

profundidad es de 14.00 m/s.

d · g = c ; d · g = c ; c

sen=

c

sen2211

2

2

1

1 αααααααα

αααααααα 222

112 cos · H = cos· H

1 < sen · cc

11

2 αααα

grados 20.70 =

14

30 sen =

9.90 sen

2

2

αααα

αααα

m 1.19 = H ;9.90 ·H= 14 ·1

cte = cos · c · H ;cte = c · H

2222

g2

g2 αααα



37

Ejercicio 7

La relación es:

Ejercicio 8

Empleando los diversos esquemas de rotura por fondo definir la altura de ola en rotura en un

punto con seis metros de profundidad, 3.40 metros de carrera de marea y la sobrelevación

meteorológica dada por una borrasca de gradiente de presión de 953 milibares. La pendiente

del lecho es 1/20. El período es de 12 segundos.

Solución del Ejercicio 8

Empleando el criterio de sobrelevación por gradiente clásico:

La sobrelevación sale 1013 - 953 = 60 cm. Por tanto, la lámina de agua es la profundidad con

la carrera de marea y la sobrelevación, es decir, 6.00 + 3.40 + 0.60 = 10.00 metros.

a.- Modelo de Mac Cowan, H = 0.78 x 10 = 7.80 metros

b.- Modelo de Miche, H = 0.88 x 10 = 8.80 metros

c.- Modelo de Latoine, H = 0.73 x 10 = 7.30 metros

d.- Modelo de Longuet - Higgins y Fenton, H = 0.827 x 10 = 8.27 metros

e.- Modelo de Collins, H = 10 x (0.72 + 5.60/20) = 10.00 metros

m 1.14 = H ;0.9355 · 9.90 · H = 0.866 · 14 · 1 2222

milibares P ;) P 1013 ( ·0.010 = aan

p −−−−ηηηη∆∆∆∆∆∆∆∆



38

f.- Modelo de Weggel, a = 26.79, b = 1.13, H = 9.49 metros

g.- Modelo de Gumbak, Número de Iribarren inferior a 0.20, H = 8.00 metros

Se observa la notable variación entre los distintos modelos, si bien, se puede decir,

Ejercicio 9

Determinar mediante el método de las ortogonales, para un frente de ondas en profundidades

indefinidas de 10 segundos de período y 5 metros de amplitud de onda, la amplitud de la

misma a la sonda o batimétrica - 15.00 metros de profundidad, sabiendo que las isobatas son

líneas rectas, paralelas entre ellas, el período permanece constante y el frente forma en

indefinidas un ángulo de 45 grados.

Ejercicio 10

Calcular el ángulo del frente a profundidad de 15 metros, el coeficiente de refracción individual

y el coeficiente de refracción - shoaling mediante el ábaco del Shore Protection Manual

1.00 < < 0.70 ; < hH γγγγγγγγ



39

Ejercicio 9

FORMULACIÓN DE REFRACCIÓN Y SHOALING:

Coeficiente de refracción según la ley de Snell

Coeficiente de asomeramiento según el modelo clásico de Blunt

Modelo de Iribarren de refracción

BB =

HH

i

0

0

i

Kr Coeficiente de refracción, -

B0 Ancho del cuadrilátero de avance en profundidades indefinidas, m

Bi Ancho del cuadrilátero de avance en profundidades reducidas, m

θ0 Angulo del frente con la batimetría en profundidades indefinidas, º

θi Angulo del frente con la batimetría en profundidades reducidas, º

i Subíndice de profundidades reducidas, -

0 Subíndice de profundidades indefinidas, -

Definimos los parámetros de la onda, es decir, la longitud de onda en profundidades

indefinidas y a 15 metros, resultando:

K

sen - 1

cos = K ;

K

sen = sen

i2

02

0r

i

0i


Ld · · 4

+ L

d · · 4sh

Ld · · 2

th · L

d · · 4sh

= K s ππππππππ

ππππππππ



40

L0 = 1.56 x T2 = 156 metros

L, tanteando en la ecuación trascendente, 109 metros

La constante Ki sale 1.43, que al elevarla al cuadrado es 2.048.

El ángulo del frente con la batimetría en indefinidas es 45 grados. Aplicando la ley de Snell, se

obtiene un coeficiente de refracción de 0.90177, por lo que la altura de ola es de 4.51 metros.

Ejercicio 10

Empleando el SPM

El ábaco del Shore Protection Manual tiene en abscisas d/gT2 y α0 valiendo respectivamente,

0.015 y 45 grados.

El ángulo obtenido en profundidad de 15 metros es 30 grados, y el cociente de las funciones

coseno a la potencia 0.50, resulta:

En este caso, Hi = 0.9035 x 5 = 4.51 metros

El coeficiente de refracción - shoaling resulta 0.84, y por tanto, la ola es de 4.20 metros.

0.9035 = 0.8660.707

= 30cos45cos

= K ;icos

cos =K r

0r αααα

αααα



41

550600 550800 551000 551200 551400 551600 551800 552000 552200 552400 552600 552800 553000 553200 553400

4794600

4794800

4795000

4795200

4795400

4795600

4795800

4796000

4796200

4796400

4796600

4796800

4797000

Batimetría real reproduciendo un cañón submarino



42

551100 551200 551300 551400 551500 551600 551700 551800 551900 552000 552100 552200 552300 552400 552500 552600

4795400

4795500

4795600

4795700

4795800

4795900

4796000

4796100

4796200

4796300

4796400

4796500

Ejemplo de propagación mediante un modelo numérico de refracción - difracción

Febrero 2013

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TEMA5 _Grado ICT Refracción, Difracción y Rotura 2012