Temezadiplomskeradove zaak.godinu2019/2020 · 2020. 8. 18. · Temezadiplomskeradove zaak.godinu2019/2020 PMF–Matematičkiodsjek Popistema AntonićNenad:Razlomljenederivacijeiprimjene

Teme za diplomske radoveza ak. godinu 2019/2020

PMF–Matematički odsjek

Popis temaAntonić Nenad: Razlomljene derivacije i primjene 1

Antonić Nenad: Matematički pristup relativističkoj elektrodinamici 2

Antonić Nenad: Tricomijeva jednadžba 3

Antonić Nenad: Degenerirana difuzija 4

Berić Tomislav: Numerička slika operatora i matrica 5

Berić Tomislav: Uvjetna konvergencija redova 6

Berić Tomislav: Müntz–Szászov teorem 7

Berić Tomislav: Perron-Frobeniusov teorem 8

Bombardelli Mea: Baricentrične koordinate - primjena na geometriju tro-kuta 9

Bombardelli Mea: Apolonijev problem 10

Bombardelli Mea: Tetivno-tangencijalni četverokut 11

Bosner Nela: Točnost i stabilnost numeričkih algoritama 12

Bosner Tina: Numerička integracija 13

Bosner Tina: Određivanje vidljivih ploha 14

Bosner Tina: Numeričke metode za rješavanje običnih diferencijalnih jed-nadžbi 15

Bosner Tina: Globalno konvergentne modifikacije Newtonove metode 16

Bukal Mario: Primjena algebarske geometrije u analizi nelinearnih parci-jalnih diferencijalnih jednadžbi 17

Bukal Mario: Modeli informacijske geometrije u analizi medijskog sadržaja 18

Bukal Mario: Numeričke simulacije matematičkog modela za biofilm s pri-mjenom u obradi otpadnih voda 19

Bukal Mario: Entropijske metode u analizi Maxwell-Stefanovog sustava 20

© PMF–MOi

Ciganović Igor: Ciklotomska polja 21

Ciganović Igor: Adeli i ideli 22

Ciganović Igor: Adjungirani funktori 23

Ciganović Igor: Peter-Weylov teorem 24

Cota Boris: Bihevioralni novokejnezijanski model u uvjetima zamke likvid-nosti 25

Cota Boris: Makroekonomski model sa kognitivnim ograničenjima 27

Filjar Renato: Procjena položaja satelitskim sustavom korištenjem čestič-nog filtra 28

Gogić Ilja: Primitivni prstenovi i Jacobsonov teorem gustoće 29

Gogić Ilja: Izometrično injektivni Banachovi prostori 30

Gogić Ilja: Refleksivni Banachovi prostori 31

Hanzer Marcela: p–adski redovi potencija 32

Hanzer Marcela: Reprezentacije grupe GL2(Fq), gdje je Fq konačno polje 33

Hanzer Marcela: Teorija reprezentacija konačnih grupa; Artinov teorem 34

Ilišević Dijana: Konvergencija niza operatora 35

Ilišević Dijana: Jordanovi homomorfizmi i derivacije 36

Ilišević Dijana: Hahn-Banachov teorem 37

Jurak Mladen: Mrežno programiranje pomoću Boost.Asio biblioteke 38

Kazalicki Matija: Kvantni algoritmi 39

Kazalicki Matija: Teorem o 27 pravaca na kubičnoj plohi 40

Kazalicki Matija: Magična matematika 41

Kazalicki Matija: Modularne forme i Lagrangeov teorem o četiri kvadrata 42

Kožić Slaven: Teorem četiri boje 43

Kožić Slaven: Rogers-Ramanujanovi identiteti 44

Kožić Slaven: Origami u nastavi matematike 45

Kožić Slaven: Hallov teorem 46

Kožić Slaven: Youngovi dijagrami i reprezentacije simetrične grupe 47

Kožić Slaven: R-matrice 48

Kožić Slaven: Liejeva algebra sl2(C) 49

© PMF–MOii

Kožić Slaven: Asocijativne algebre pridružene Liejevim algebrama 50

Kožić Slaven: Dynkinovi dijagrami i sistemi korijena 51

Martinjak Ivica: Inkluzije konačnih geometrija 52

Martinjak Ivica: Rupertovo svojstvo Arhimedovih tijela 53

Martinjak Ivica: Napredni identiteti za rekurzivne nizove 54

Martinjak Ivica: Eulerova funkcija u teoriji particija 55

Marušić Miljenko: Eksponencijalni integratori 56

Marušić Miljenko: Kolokacija splajnom za rubni problem za ODJ 57

Marušić Miljenko: Eksponencijalno prilagođene diferencijske sheme 58

Marušić Miljenko: Splajn kolokacija za singularno perturbirane rubne pro-bleme 59

Marušić-Paloka Eduard: Uvod u varijacijski račun 60

Marušić-Paloka Eduard: Sturm-Liouvilleov problem 61

Marušić-Paloka Eduard: Fourierova transformacija 62

Mihelčić Matej: Algoritamske i implementacijske optimizacije pristupa zatraženje redeskripcija CLUS-RM 63

Mihelčić Matej: Traženje podgrupa iz višepoglednih podataka 65

Mrazović Rudi: Vjerojatnost da je slučajna matrica singularna 66

Muha Boris: Nash–Kuiperov teorem 67

Muha Boris: Kompaktni skupovi u Lp(0, T ;B) prostorima 68

Muha Boris: Numeričke simulacije problema interakcije fluida i strukture 69

Muić Goran: Konstruktivni dokaz Hilbertovog teorema o nulama 70

Muić Goran: Teorija eliminacije varijable i primjene u geometriji 71

Muić Goran: Konstrukcije ireducibilnih polinoma u više varijabli 72

Muić Goran: Normalizacija projektivnih krivulja 73

Muić Goran: Regularna preslikavanja nesingularnih projektivnih mnogos-trukosti 74

Muić Goran: Racionalna preslikavanja projektivnih mnogostrukosti 75

Najman Filip: Riemann-Rochov teorem i primjene 76

Najman Filip: Ciklotomska polja 77

© PMF–MOiii

Najman Filip: Kummerova teorija 78

Nakić Ivica: Princip jedinstvenog produljenja i njegove primjene u teorijiupravljanja 79

Ott Katarina: Socio-ekonomske odrednice transparentnosti državnih pro-računa 80

Ott Katarina: Institucionalne odrednice transparentnosti državnih prora-čuna 81

Pandžić Pavle: Reprezentacije konačnih grupa 82

Pandžić Pavle: Proste kompleksne Liejeve algebre 83

Pandžić Pavle: Realne forme prostih Liejevih algebri 84

Pandžić Pavle: Konačne grupe refleksija 85

Pažanin Igor: Asimptotička analiza i primjene 86

Pažanin Igor: Stokesov sustav 87

Pažanin Igor: Reynoldsov zakon 88

Pažanin Igor: Neizotermni tok fluida u poroznoj sredini 89

Pejković Tomislav: Fareyjevi nizovi 90

Perše Ozren: Jordanove algebre 91

Perše Ozren: Poluproste Liejeve algebre 92

Perše Ozren: Liejeve grupe i Liejeve algebre 93

Radunović Goran: Geometrijska zeta funkcija fraktalne strune 94

Radunović Goran: Fraktalni skupovi generirani transformacijama 95

Radunović Goran: Fraktalna svojstva grafova nigdje diferencijabilnih funk-cija 96

Radunović Goran: Egzistencija meromorfnih funkcija i teorem o Rieman-novom preslikavanju 97

Resman Maja: Redovi potencija i asimptotski razvoji 98

Resman Maja: Dinamika racionalnih preslikavanja na Riemannovoj sferi iizračunljivost njihovih Julia skupova 99

Resman Maja: Lokalna i globalna verzija Cauchyjeve integralne formule iprimjene 100

Resman Maja: Divergentni redovi i Gevreyeva sumabilnost 101

Singer Sanja: Randomizirani algoritmi za rješavanje linearnih sustava 102

© PMF–MOiv

Singer Sanja: Računanje generalizirane singularne dekompozicije 103

Slijepčević Siniša: Dinamika reakcijsko-difuzijske jednadžbe s entropijskomstrukturom 104

Šiftar Juraj: Steinerovih 10 teorema o potpunom četverostranu 105

Šiftar Juraj: Primjene konačnih geometrija u kriptografiji 106

Širola Boris: Harmonijske funkcije 107

Širola Boris: Transcendentnost brojeva e i π 108

Širola Boris: Neprekidne funkcije na kompaktima: Stone–Weierstrassov iAscolijev teorem 109

Širola Boris: Realna kvadratna proširenja 110

Štimac Sonja: Kaos u jednodimenzionalnoj dinamici 111

Tambača Josip: Numerička metoda za problem interakcije 3D elastičnog ti-jela i 1D elastičnog štapa 112

Tambača Josip: C++ implementacija metode konačnih elemenata za Nagh-dijev model elastične ljuske 113

Tambača Josip: Optimizacija forme zakrivljenog štapa 114

Tambača Josip: Redukcija dimenzije korištenjem POD dekompozicije u te-oriji elastičnosti 115

Vuković Mladen: Automatski dokazivači teorema 116

Vuković Mladen: Skupovi u nastavi matematike u osnovnoj i srednjoj školi117

© PMF–MOv

Slobodna tema

Mentor: Antonić Nenad

Razlomljene derivacije i primjene

Područje: matematička analiza, matematičko modeliranje u fizici

Prikladno za studij: svi studiji

Preduvjeti: Parcijalne diferencijalne jednadžbe, Normirani prostori i Operatori nanormiranim prostorima, Mjera i integral

Opis teme: Razlomljene derivacije se u matematici proučavaju od devetnaestog sto-ljeća, da bi tek nedavno postale izvor novih modela u fizici i inženjerskim strukama.Za više informacija v. http://lebesgue.math.hr/~nenad/Diplomski/

Literatura:R. Hilfer (ur.), Applications of fractional calculus in physics, World Scientific, 2000.

S. G. Samko, A. A. Kilbas, O. I. Marichev, Fractional integrals and derivatives - Theoryand application, Gordon and Breach, 1993.

K. B. Oldham, J. Spanier, The fractional calculus - Theory and applications of differen-tiation and integration to arbitrary order, Academic Press, 1974.

© PMF–MO1

http://lebesgue.math.hr/~nenad/Diplomski/

Slobodna tema


Matematički pristup relativističkojelektrodinamici

Područje: matematičko modeliranje u fizici


Preduvjeti: Parcijalne diferencijalne jednadžbe, Diferencijalna geometrija

Opis teme: Neki fizikalni zakoni, poput Maxwellovih jednadžbi, koje su invarijantnena Lorentzove transformacije, tj. u skladu su s posebnom teorijom relativnosti, po-sebno se elegantno mogu zapisati korištenjem diferencijalnih formi.Za više informacija v. http://lebesgue.math.hr/~nenad/Diplomski/

Literatura:S. Parrott, Relativistic electrodynamics and differential geometry, Springer, 1987.

P. Bamberg, S. Sternberg, A course in mathematics for students of physics 1,2, Cambrid-ge, 1988.

C. W. Misner, K. S. Thorne, J. A. Wheeler, Gravitation, Freeman, 1973.

© PMF–MO2


Slobodna tema


Tricomijeva jednadžba

Područje: parcijalne diferencijalne jednadžbe



Opis teme: Tricomijeva jednadžba, koja mijenja tip, je jednostavanmodel za prijelaziz podzvučnog toka u nadzvučni tok fluida.Za više informacija v. http://lebesgue.math.hr/~nenad/Diplomski/

Literatura:A. Kuz’min, Boundary–value problems for transonic flow, Wiley, 2002.

J. M. Rassias, Lecture notes on mixed type partial differential equations, World Scienti-fic, 1990.

© PMF–MO3


Slobodna tema


Degenerirana difuzija

Područje: parcijalne diferencijalne jednadžbe



Opis teme: Jednadžba provođenja topline prototip je za paraboličke parcijalne di-ferencijalne jednadžbe. Međutim, ponekad modeliranje realne pojave difuzije po-kazuje druga svojstva, koja se mogu opisati nelinearnom jednadžbom oblika ut =divgrad(um). Za m > 1 imamo sporu difuziju (jednadžbu porozne sredine), za mc <m < 1 nadkritičnu brzu difuziju, a za m ≤ mc podkritičnu brzu difuziju (mc =(d− 2)+/d).Za više informacija v. http://lebesgue.math.hr/~nenad/Diplomski/

Literatura:P. Daskalopoulos, C. E. Kenig, Degenerate diffusion, EMS, 2007.

© PMF–MO4


Slobodna tema

Mentor: Berić Tomislav

Numerička slika operatora i matrica

Područje: Linearna algebra


Preduvjeti: Vektorski prostori

Opis teme: Numerička slika operatora A ∈ L(X) je podskup W (A) = ⟨Ax, x⟩ :∥x∥ = 1 kompleksne ravnineC. U ovom radu cilj je proučiti svojstva numeričke slikei njenu vezu sa spektrom operatora. Poseban naglasak će biti na proučavanju oblikanumeričke slike i što iz njega možemo zaključiti o svojstvima operatora.

Literatura:K. E. Gustafson, D. K. M. Rao,Numerical Range: The Field of Values of Linear Operatorsand Matrices, Springer, 1996.

S. Kurepa, Funkcionalna analiza, Školska knjiga, 1990.

© PMF–MO5

Slobodna tema


Uvjetna konvergencija redova

Područje: Matematička analiza


Preduvjeti: nema

Opis teme: U ovom radu istražit će se utjecaj poretka članova reda na konvergencijureda. Važni su pojmovi apsolutno konvergentnog, bezuvjetno konvergentnog i uvjet-no konvergentnog reda. Za uvjetno konvergentne redove dokazat će se Riemannovteorem koji kaže da za takve redove možemo postići bilo koji limes (uključujući +∞ i−∞) različitim odabirima poretka njegovih članova.Također će se proučiti dvostruko indeksirani redovi i pitanje njihove konvergencije,kao i konvergencija produkta dva reda. Rezultati će biti popraćeni brojnim primjeri-ma i kontraprimjerima.

Literatura:S. Kurepa, Matematička analiza 2: Funkcije jedne varijable, Tehnička knjiga, Zagreb,1984.

T. Apostol, Calculus, Vol. 1: One–Variable Calculus, with an Introduction to Linear Al-gebra, 2nd edition, Wiley, 1991.

© PMF–MO6

Slobodna tema


Müntz–Szászov teorem

Područje: Funkcionalna analiza

Prikladno za studij: Teorijska matematika, Primijenjena matematika

Preduvjeti: dobro poznavanje gradiva kolegijaNormirani prostori i Operatori na nor-miranim prostorima

Opis teme: Weierstrassov teorem aproksimacije govori da se svaka neprekidna funk-cija na segmentu može proizvoljno dobro aproksimirati polinomom. Ekvivalentnaformulacija je da je skup 1, x, x2, . . . fundamentalan skup u C [0, 1]. Müntz i Szászsu (nezavisno) proučavali do koje se mjere taj skup može reducirati da i dalje budefundamentalan skup za C [0, 1]. Oni su dokazali da je za 0 = λ0 < λ1 < λ2 < . . . takveda je limi→∞ λi = ∞, skup

xλi : i ∈ N0

fundamentalan u C [0, 1] ako i samo ako je∑∞

i=11λi

= ∞.U ovom radu će se obraditi dokaz i neke posljedice ovog teorema.

Literatura:E. W. Cheney, Introduction to Approximation Theory, AMS Chelsea Publishing, Provi-dence, Rhode Island, 1982.

J. M. Almira,Müntz Type Theorems I, Surveys in Approximation Theory, 3(2007) ,152–194

P. Borwein, T. Erdélyi, The Full Müntz-Szász Theorem in C[0, 1] and L1(0, 1), Jou. Lon-don Math. Soc. 54 (1996), 102–110

© PMF–MO7

Slobodna tema


Perron-Frobeniusov teorem

Područje: Linearna algebra

Prikladno za studij: Teorijska matematika, Primijenjena matematika, Matematičkastatistika, Računarstvo i matematika, Financijska i poslovna matematika


Opis teme: Kažemo da je matrica pozitivna ako su joj svi elementi pozitivni. Perron-Frobeniusov teorem (među ostalim) kaže da je maksimalna svojstvena vrijednost po-zitivnematrice jedinstvena, pozitivna i da ima pozitivan pridruženi svojstveni vektor.Kako se u primjenama često javljaju pozitivne matrice, ovaj teorem ima brojne pri-mjene u raznim područjima poput teorije grafova, Markovljevim lancima, ekonomiji,epidemiologiji i drugdje.U radu će se napraviti dokaz ovog teorema, neka poopćenja i diskutirat će se njegoveprimjene.

Literatura:R. A. Horn, C. R. Johnson,Matrix Analysis, Cambridge University Press, 1990.

A. Berman, R. J. Plemmons, Nonnegative Matrices in the Mathematical Sciences, SIAM,1994.

© PMF–MO8

Slobodna tema

Mentor: Bombardelli Mea

Baricentrične koordinate - primjena nageometriju trokuta

Područje: geometrija

Prikladno za studij: nastavnički studiji

Preduvjeti: nema

Opis teme: U ovom diplomskom radu će se koristeći baricentrične koordinate doka-zati brojni poznati rezultati iz geometrije trokuta.

Literatura:Z. Abel (2007), Barycentric Coordinates,http://zacharyabel.com/papers/Barycentric_A07.pdf

M. Schindler, E. Chen (2012), Barycentric Coordinates in Olympiad Geometry,https://s3.amazonaws.com/aops-cdn.artofproblemsolving.com/resources/articles/bary.pdf

© PMF–MO9

http://zacharyabel.com/papers/Barycentric_A07.pdf

https://s3.amazonaws.com/aops-cdn.artofproblemsolving.com/resources/articles/bary.pdf

https://s3.amazonaws.com/aops-cdn.artofproblemsolving.com/resources/articles/bary.pdf

Slobodna tema


Apolonijev problem



Preduvjeti: Konstruktivne metode u geometriji

Opis teme: Slavni Apolonijev problem bavi se konstrukcijom kružnice koja dodirujedane tri kružnice (točke, pravca), pomoću ravnala i šestara. U ovom radu pratit će seGergonneov pristup. Sve konstrukcije izradit će se u programu dinamične geometrije.

Literatura:Paul Kunkel (2007), The tangency problem of Apollonius: three looks, BSHM Bulletin,22:1, 34–46, https://doi.org/10.1080/17498430601148911

© PMF–MO10

https://doi.org/10.1080/17498430601148911

Slobodna tema


Tetivno-tangencijalni četverokut



Preduvjeti: nema

Opis teme: Tetivno–tangencijalni četverokut je četverokut kome se može upisati iopisati kružnica. Takvi četverokuti, osim što imaju sva svojstva tetivnih i tangenci-jalnih četverokuta imaju još neka zanimljiva svojstva. U radu će se istražiti ta svojstvai dokazati neki teoremi o karakterizaciji tetivno-tangencijalnog četverokuta.

Literatura:M. Josefsson, Characterizations of bicentric quadrilaterals, Forum Geometricorum, 10(2010) 165–173. http://forumgeom.fau.edu/FG2010volume10/FG201019.pdf

A. Hess, Bicentric Quadrilaterals through Inversion, Forum Geometricorum, 13 (2013)11–15. http://forumgeom.fau.edu/FG2013volume13/FG201303.pdf

© PMF–MO11

http://forumgeom.fau.edu/FG2010volume10/FG201019.pdf

http://forumgeom.fau.edu/FG2013volume13/FG201303.pdf

Slobodna tema

Mentor: Bosner Nela

Točnost i stabilnost numeričkih algoritama

Područje: Numerička analiza; Znanstveno računanje

Prikladno za studij: Primijenjena matematika, Računarstvo i matematika

Preduvjeti: Poželjno znanje iz kolegija Numerička analiza 1 i 2

Opis teme: Ova radnja bi trebala dati opis ponašanja raznih numeričkih algoritamau aritmetici konačne preciznosti. Tema obuhvaća algoritamske izvode, teoriju per-turbacije i analizu grešaka zaokruživanja. Teorija perturbacije ima centralnu ulogujer otkriva osjetljivost problema koji se rješava i daje ograde grešaka. U naslovu temetočnost se odnosi na apsolutnu ili relativnu grešku aproksimacije y veličine y = f(x)koju želimo izračunati, i to želimo izraziti za neke važne algoritme. Dobivena aprok-simacija je najčešće dobivena primjenom algoritma u aritmetici konačne preciznosti.S druge strane, možemo se pitati za koje ulazne parametre smo zaista egzaktno rješiliproblem, tj. za koje ∆x je y = f(x + ∆x)? Vrijednost od |∆x| (ili |∆x|/|x|) naziva sepovratnom greškom. Proces računanja ograde na povratnu grešku nam je zanimljivjer greške zaokruživanja interpretira kao perturbaciju ulaznih podataka, a grešku urezultatu možemo dobiti iz teorije perturbacija. Za mnoge algoritme možemo dobititek slabiji izraz za grešku y +∆y = f(x+∆x), što u principu znači da se izračunati ymalo razlikuje od izraza y +∆y, koji se dobiva iz ulaznih podataka x +∆x, pri čemuse oni malo razlikuju od pravih ulaznih podataka x. Takve algoritme nazivamo nu-merički stabilnim algoritmima, i ova vrsta stabilnosti se odnosi na probleme u kojimasu greške zaokruživanja dominantni oblik greške. U radnji bi se razradila analiza po-vratnih grešaka i stabilnosti, te teorija perturbacije za nekoliko važnih algoritama iznumeričke matematike.

Literatura:N. J. Higham, Accuracy and Stability of Numerical Algorithms, Second Edition, Phila-delphia, SIAM., 2002.

G. H. Golub, C. F. van Loan, Matrix Computations, Third Edition, The Johns HopkinsUniversity Press, Baltimore, 1996.

© PMF–MO12

Slobodna tema

Mentor: Bosner Tina

Numerička integracija

Područje: Numerička matematika

Prikladno za studij: Matematika i informatika; smjer: nastavnički

Preduvjeti: Primijenjena matematička analiza

Opis teme: Ovaj diplomski rad zamišljen je kao pregled najčešćihmetoda za aproksi-mativno računanje integrala: Newton–Cotesove formule, Gaussove integracijske for-mule i Rombergov algoritam. Napravili bi se izvodimetoda, izračunale greške, a zatimbi se usporedile njihove efikasnosti na konkretnim primjerima.

Literatura:Z. Drmač, V. Hari, M. Marušić, M. Rogina, S. Singer, S. Singer, Numerička analiza,skripta, PMF–MO, Zagreb, 2003.

© PMF–MO13

Slobodna tema

Mentor: Bosner Tina

Određivanje vidljivih ploha

Područje: Računarstvo i numerička matematika

Prikladno za studij: Računarstvo i matematika

Preduvjeti: po mogućnosti Računalna grafika

Opis teme: Za dani skup 3D objekata i danu projekciju, želimo odrediti koje linijeili plohe su vidljive iz središta projekcije ili duž pravaca projekcije, tako da se moguprikazati samo one koje to jesu. Ideja ovog diplomskog rada je predstaviti nekolikorazličitih algoritama koji se bave tim problemom.

Literatura:J. D. Foley, A. van Dam, S. K. Feiner, J. F. Hughes, Computer Graphics: Principles andPractice, Addison–Wesley, 2005.

© PMF–MO14

Slobodna tema

Mentor: Bosner Tina

Numeričke metode za rješavanje običnihdiferencijalnih jednadžbi


Prikladno za studij: Matematika i informatika; smjer: nastavnički

Preduvjeti: Primijenjena matematička analiza

Opis teme: Ovaj diplomski rad zamišljen je kao pregled najčešćih numeričkih meto-da, jednokoračnih i višekoračnih, za rješavanje običnih diferencijalnih jednadžbi. Uzosvrt na osnovne teorije, vezane uz konvergenciju metoda, predstavila bi se i nekasvojstva danih metoda, te njihove točnosti, a zatim bi se usporedile njihove efikas-nosti na konkretnim primjerima.

Literatura:M. Schatzman, Numerical Analysis, Clarendon Press, Oxford, 2002.

E. Isaacson, H. B. Keller,Analysis of Numerical Methods, JohnWiley and Sons, London,1966.

L. N. Trefethen, Finite Difference and Spectral Methods for Ordinary and Partial Diffe-rential Equations, Cornell University, 1996.

© PMF–MO15

Slobodna tema

Mentor: Bosner Tina

Globalno konvergentne modifikacijeNewtonove metode


Prikladno za studij: Primijenjena matematika, Matematička statistika, Financijskai poslovna matematika

Preduvjeti: Numerička matematika, a poželjni su i Numerička analiza 1 i 2

Opis teme: U primjeni se dosta često pojavljuje potreba za rješavanjem bezuvjet-nih minimizacijiskih problema ili rješavanjem sistema nelinearnih jednadžbi. Za obaproblema koriste se skoro iste numeričke metode, gdje je jedna od najpopularnijihNewtonova metoda. Poznat je kao jedan od glavnih nedostataka Newtonove metodenepostojanje globalne konvergencije, pa je cilj ovog diplomskog rada ponuditi neko-liko mogućih modifikacija Newtonove metode kojima se taj problem rješava.

Literatura:J. E. Dennis Jr., R. B. Schnabel, Numerical Methods for Unconstrained Optimization andNonlinear Equations, SIAM, 1996., (Originally published by Prentice-Hall, Inc., En-glewood Cliffs, N.J., 1983.)

© PMF–MO16

Slobodna tema

Mentor: Bukal Mario Suvoditelj: Muha Boris

Primjena algebarske geometrije u analizinelinearnih parcijalnih diferencijalnih jednadžbi

Područje: primijenjena matematika; matematička fizika; algebarska geometrija


Preduvjeti: Parcijalne diferencijalne jednadžbe 1

Opis teme: Mnoge jednadžbe matematičke fizike poput jednadžbi porozne sredine,jednadžbi tankih slojeva, jednadžbi u modelima kvantnih poluvodiča i Bose–Einstei-novih kondenzata imaju strukturu diferencijalnog operatora koji dopušta polinomi-jalnu reprezantaciju u klasi polinoma više varijabli određene homogenosti. Ta poli-nomijalna struktura diferencijalnog operatora može se iskoristiti u konstrukciji en-tropija, odnosno Ljapunovljevih funkcionala za dinamiku jednadžbi na način da seintegralni problem disipacije entropije refurmulira u odgovarajući polinomijalni pro-blem odluke. Rješavanje polinomijalnog problema odluke daje dovoljne uvjete nakonstrukciju entropija diferencijalnih jednadžbi. Cilj ovog rada je proučiti detaljnijepolinomijalne probleme odluke i primijeniti njihovo rješenje na konstrukciju entro-pija za poznate jednadžbe matematičke fizike.

Literatura:A. Jüngel, D. Matthes, An algorithmic construction of entropies in higher–order nonli-near PDEs, Nonlinearity 19 (2006), 633–659

M. Bukal, A. Jüngel, D. Matthes, Entropies for radially symmetric higher–order nonline-ar diffusion equations, Commun. Math. Sci. 9 (2011), 353–382

© PMF–MO17

Slobodna tema


Modeli informacijske geometrije u analizimedijskog sadržaja

Područje: primijenjana matematika; računarstvo


Preduvjeti: Uvod u vjerojatnost

Opis teme: Informacijska geometrija interdisciplinarno je područje u kojem se pros-tori parametara u familiji parametarskih vjerojatnosnih distribucija poput Gaussove,von Mises-Fisherove, Dirichletove itd. promatraju kao Riemannove mnogostrukostite se u statističkoj analizi takvih modela koriste tehnike diferencijalne geometrije.Cilj ovog diplomskog rada je za dani medijski sadržaj poput teksta, slike ili videa im-plementirati odgovarajući statistički model, koji će biti zadan kao konveksna kom-binacija vjerojatnosnih distribucija iste parametarske familije (tzv. mixture model) izatim pomoću takvog modela provesti klasifikaciju veće količine medijskog sadržajau odgovarajuće klastere. U postupku klasifikacije koriste se različite mjere sličnostiizmeđu vjerojatnostnih distribucija poput Kullback-Leiblerove i Renyjevih divergen-cija, a sam algoritam klasifikacije bazira se na metodi k-sredina.

Literatura:M. Bukal, I. Marković, I. Petrović, Composite distance based approach to von Misesmixture reduction. Information fusion, 20 (2014), 136–145

A. Banerjee, S. Merugu, I. S. Dhillon, J. Ghosh, Clustering with Bregman divergences,J. Mach. Learn. Res. 6 (2005) 1705–1749.

© PMF–MO18

Slobodna tema


Numeričke simulacije matematičkog modela zabiofilm s primjenom u obradi otpadnih voda

Područje: parcijalne diferencijalne jednadžbe; matematička biologija

Prikladno za studij: Teorijska matematika, Primijenjena matematika, Matematičkastatistika, Računarstvo i matematika

Preduvjeti: Parcijalne diferencijalne jednadžbe 1; Numerička analiza

Opis teme: U radu [Rahman, Sudarsan, Eberl, 2015] izveden je matematički modelkoji opisuje dinamiku volumnih udjela pojedinih vrsta mikroorganizama u biofilmu.Model se sastoji od sustava parcijalnih diferencijalnih jednadžbi drugog reda u kojemsu specifičnost tzv. članovi križne difuzije. Ti članovi modeliraju utjecaj prisustvajedne vrste mikroorganizama na slučajno gibanje druge vrste u biofilmu. Svrha pro-učavanja ovakvih modela je njihova primjena u sustavima za obradu otpadnih voda.Cilj diplomskog rada je provesti odgovarajuću diskretizaciju početno-rubnog susta-va koja čuva specifičnu entropijsku strukturu kontinuiranog modela na diskretnomnivou. Tako dobivena numerička shema je robustna i pogodnija za analizu stabilnos-ti i konvergencije. Numerička metoda biti će implementirana u nekoj od bibliotekaza numeričko rješavanje parcijalnih diferencijalnih jednadžbi (FreeFem++, Dune, ilislično) i simulacijski rezultati modelnih primjera biti će prikazani.

Literatura:K.A. Rahman, R. Sudarsan, H. Eberl,Amixed-culture biofilmmodelwith cross–diffusion,Bull. Math. Biol. 77 (2015), 2086-2124.

E. S. Daus, J.-P. Milišić, N. Zamponi, Analysis of a degenerate and singular volume–filling cross–diffusion system modeling biofilm growth, SIAM J. Math. Anal. 51 (2019),3569–3605

© PMF–MO19

Slobodna tema


Entropijske metode u analiziMaxwell-Stefanovog sustava

Područje: primijenjena matematika; matematička fizika


Preduvjeti: Parcijalne diferencijalne jednadžbe 1 i 2

Opis teme: Maxwell-Stefanov sustav je matematički model koji opisuje dinamikumolarnih koncentracija komponenata u mješavini plinova. Sustav čine parcijalne di-ferencijalne jednadžbe koje predstavljaju fizikalni zakon sačuvanja mase (jednadž-ba kontinuiteta) i ravnotežu kemijskih potencijala. Cilj diplomskog rada je provestidetaljnu analizu danog sustava uz odgovarajuće početno-rubne uvjete korištenjemtakozvane entropijske metode. Ključ entropijske metode je nalaženje odgovaraju-ćih funkcionala (entropija) za dani sustav, koji zadovoljavaju određenu diferencijal-nu nejednakost (entropijska nejednakost). Dobivena entropijska nejednakost glavnije izvor apriornih ocjena na rješenje sustava i služi u konstrukciji slabih nenegativnihrješenja (dokaz egzistencije rješenja) te analizi dugoročnog ponašanja sustava.

Literatura:A. Jüngel, I. Stelzer, Existence analysis of Maxwell–Stefan systems for multicomponentmixtures, SIAM J. Math. Anal. 45 (2013), 2421-2440.

A. Jüngel, The boundedness-by-entropy method for cross–diffusion systems, Nonline-arity 28 (2015), 1963-2001.

© PMF–MO20

Slobodna tema

Mentor: Ciganović Igor

Ciklotomska polja

Područje: Teorija brojeva

Prikladno za studij: Teorijskamatematika, Primijenjenamatematika, Računarstvo imatematika, Matematika; smjer: nastavnički, Matematika i informatika; smjer: nas-tavnički, Matematika i fizika; smjer: nastavnički

Preduvjeti: Algebarske strukture

Opis teme: Ciklotomska polja su važna za proučavanje algebarskih proširenja poljai Galoisovu teoriju.

Literatura:S. Lang, Algebraic Number theory, Second Edition, Springer, 1984.

© PMF–MO21

Slobodna tema


Adeli i ideli




Opis teme: Adeli i ideli predstavljaju konstrukciju u kojoj se sva upotpunjenja poljaracionalnih brojeva promatraju zajedno kao jedan objekt.

Literatura:S. Lang, Algebraic Number theory, Second Edition, Springer, 1984.

© PMF–MO22

Slobodna tema


Adjungirani funktori

Područje: Algebra



Opis teme: Postojanje adjungiranih funktora indicira, na apstraktnom nivou, u jezi-ku teorije kategorija, optimalnost konstrukcije.

Literatura:T. W. Hungerford, Algebra, Springer–Verlag, 1996.

© PMF–MO23

Slobodna tema


Peter-Weylov teorem

Područje: Algebra, funkcionalna analiza


Preduvjeti: Algebarske strukture te Normirani prostori

Opis teme: Peter-Weylov teorem je osnovni rezultat za teoriju reprezentacija kom-paktnih grupa i Fourierovu analizu na njima.

Literatura:G. B. Folland, A Course in Abstract Harmonic Analysis, CRC Press, 1995.

© PMF–MO24

Slobodna tema

Mentor: Cota Boris

Bihevioralni novokejnezijanski model uuvjetima zamke likvidnosti

Područje: Makroekonomija

Prikladno za studij: Financijska i poslovna matematika

Preduvjeti: nema

Opis teme: Tema se bavi djelovanjem ograničene racionalnosti agenata na mone-tarnu i fiskalnu politiku na temelju novokeynezijanskog modela u uvjetima zamkelikvidnosti. Zato se temeljni model proširuje uvođenjem čimbenika ponašanja age-nata koji nemogu savršeno anticipirati budućnost. Analiza takovogmodela zahtijevaobjašnjenje učinkovitosti fiskalne politike s obzirom na tradicionalni model, te objaš-njenje učinkovitosti monetarne politike sa aspekta budućih smjernica. Istraživanjeteme rada zahtjeva davanje odgovora na pitanje održivost ekonomske stabilnosti zaekonomiju koja je u zamci likvidnosti dugo vremensko razdoblje.Model obuhvaća jednadžbe agregatne potražnje i agregatne ponude (novokejnezijan-ska Phillipsova krivulja) uz pretpostavku, za razliku od tradicionalnog modela, kakoagenti nisu potpuno racionalni.

Literatura:A. Bénassy–Quéré, B. Coeuré, P. Jacquet, J. Pisani–Ferry (2018). Economic Policy:Theory and Practice, Oxford University Press, 2010.

R. Clarida, J. Gali, M. Gertler, (1999). The science of monetary policy, a new Keynesianperspective, Journal of Economic Literature, 37, 1661–1707

Galí, Jordi (2015). Monetary Policy, Inflation and the Business Cycle: An Introduction tothe New Keynesian Framework and Its Applications, Princeton University Press

Galí, Jordi (2018). The State of New Keynesian Economics: A Partial Assessment, Jour-nal of Economic Perspectives 32, 87–112

Gabaix, Xavier. (2017). A Behavioral New Keynesian Model, NBER Working Paper,22954

M. García–Schmidt, M. Woodford, (2019). Are Low Interest Rates Deflationary? A Pa-radox of Perfect-Foresight Analysis, American Economic Review,109, 86–120

© PMF–MO25

M. Woodford, (2003). Interest and Prices: Foundations of a Theory of Monetary Policy,Princeton: Princeton University Press

© PMF–MO26

Slobodna tema

Mentor: Cota Boris

Makroekonomski model sa kognitivnimograničenjima

Područje: Makroekonomija


Preduvjeti: nema

Opis teme: Tema se bavi bihevioralnimmakroekonomskimmodelom u kojem agentiimaju kognitivna ograničenja te stoga predviđaju budućnost jednostavnimpristranimpravilima. Taj model uključuje endogene valove optimizma i pesimizma koji nastajukorelacijom pristranih uvjerenja, a nazivaju se životinjski nagoni (eng. animal spi-rits). Zato je neophodno objasniti uvjete u kojima životinjski nagoni nastaju, procesučenja na greškama i utjecaj namonetarnupolitiku. U analizi utjecaja životinjskih na-gona na poslovne cikluse, bihevioralni makroekonomski model sa kognitivnim ogra-ničenjimaproširuje se uključivanjembankarskog sektora, čime se pokazuje kako samopostojanje bankarskog sektora djeluje na poslovni ciklus. Model obuhvaća jednadž-be agregatne potražnje i agregatne ponude (novokejnezijanska Phillipsova krivulja)te Taylorovo pravilo, a njegovo proširenje zahtijeva uključivanje pravila predviđanjabudućnost i bankarski sektor.

Literatura:G. Akerlof, R. Shiller, Animal Spirits. How Human Psychology Drives the Economy andWhy it Matters for Global Capitalism, Princeton University Press, 2009.

W. A. Branch, B. McGough, (2009). A New Keynesian model with heterogeneous expec-tations, Journal of Economic Dynamics and Control, 33(5), 1036–1051.

R. Clarida, J. Gali, M. Gertler, (1999). The science of monetary policy, a new Keynesianperspective, Journal of Economic Literature 37, 1661–1707.

P. De Grauwe, (2010). Animal spirits and monetary policy, Springer–Verlag

P. De Grauwe, C. Macchiarelli, (2015) Animal spirits and credit cycles, Journal of Eco-nomic Dynamics and Control, 59, 95–117.

N. Gennaioli, A. Shleifer, (2018), A Crisis of Beliefs, Princeton University Press

© PMF–MO27

Slobodna tema

Mentor: Filjar Renato Suvoditelj: Grubišić Luka

Procjena položaja satelitskim sustavomkorištenjem čestičnog filtra

Područje: Računarstvo i matematika


Preduvjeti: Poželjno znanje iz kolegija: Numerička matematika, Primijenjena sta-tistika, Oblikovanje i analiza algoritama

Opis teme: Procjena položaja koju prikazuje korisnički prijamnik za satelitsku navi-gaciju izvodi se iz niza pojedinačnih procjena (engl. Single Point Position). Neline-arna priroda postupka i pogrešaka određivanja položaja upućuje na korištenje čestič-nog filtra kao metode za statističku fuziju pojedinačnih procjena položaja. U radu jepotrebno pregledno prikazati postupak određivanja položaja satelitskim sustavom terazmotriti vrste i prirodu pogrešaka određivanja položaja. Potrebno je prikazati te-oriju čestičnog filtra te razviti čestični filtar za fuziju pojedinačnih procjena položajasatelitskim sustavom radi dodatnog poboljšanja točnosti procjene položaja. Razvi-jenu metodu treba izvesti u programskom okruženju za statističko računarstvo R tedemonstrirati njenu ispravnost na izabranom numeričkom primjeru.

Literatura:M. Filić, (2017). Analiza postupaka procjene položaja temeljem zadanih pseudoudalje-nosti u programski određenom prijamniku za satelitsku navigaciju (diplomski rad). Ma-tematički odsjek, Prirodoslovno-matematički fakultet, Sveučilište u ZagrebuDostupno na: https://repozitorij.pmf.unizg.hr/islandora/object/pmf:3230

F. Gustafsson, et al. (2002). Particle filters for positioning, navigation, and tracking.IEEE Trans on Sig Proc, 50(2), 425–437Dostupno na: http://users.isy.liu.se/en/rt/fredrik/reports/01SPpf4pos.pdf

N. Mischaud, et al. (2017). Sequential Monte Carlo Methods in the nimble R package(preprint). arXiv: 1703.06206Dostupno na: https://arxiv.org/pdf/1703.06206.pdf

© PMF–MO28

https://repozitorij.pmf.unizg.hr/islandora/object/pmf:3230

http://users.isy.liu.se/en/rt/fredrik/reports/01SPpf4pos.pdf

https://arxiv.org/pdf/1703.06206.pdf

Slobodna tema

Mentor: Gogić Ilja

Primitivni prstenovi i Jacobsonov teoremgustoće

Područje: Algebra



Opis teme: U ovom diplomskom radu proučavala bi se struktura primitivnih prste-nova te bi se dokazao Jacobsonov teorem gustoće koji kaže da je prsten R primitivanako i samo ako postoji vektorski prostor V nad prstenom s dijeljenjem ∆, takav da jeR je izomorfan gustom potprstenu svih linearnih operatora End∆(V ) na V .

Literatura:M. Brešar, Introduction to Noncommutative Algebra, Springer, 2014.

T. W. Hungerford, Algebra, Springer, 1996.

S. Lang, Algebra, Springer, 2002.

© PMF–MO29

Slobodna tema

Mentor: Gogić Ilja

Izometrično injektivni Banachovi prostori

Područje: funkcionalna analiza


Preduvjeti: Operatori na normiranim prostorima, Metrički prostori, Mjera i integral

Opis teme: Za Banachov prostor X kažemo da je izometrično injektivan ako se za sveBanachove prostore Y ⊆ Z, svaka linearna kontrakcija ϕ : Y → X može proširiti dolinearne kontrakcije ϕ : Z → X. Drugim riječima, X je injektivan objekt u kategorijiBanachovih prostora s linearnim kontrakcijama kao morfizmima. Najjednostavni-ji primjer izometrično injektivnog Banachovog prostora je X = C (Hahn-Banachovteorem). Općenitiji primjeri izometrično injektivnih Banachovih prostora su pros-tori L∞(Ω, µ), gdje je (Ω, µ) σ-konačan prostor mjere, te biduali funkcijskih prostoraC(K), gdje jeK kompaktan Hausdorffov prostor.Osnovni cilj ovog diplomskog rada je dokazati Goodner-Nachbin-Kelleyjev teorem kojikaže da je Banachov prostor X izometrično injektivan ako i samo ako postoji eks-tremno nepovezan kompaktan Hausdorffov prostor K takav da je X izometrički izo-morfan s C(K). Jedna od interesantnih posljedica te karakterizacije (u kombinaciji sdekompozicijskom tehnikom Pełczyńskog) je da su Banachovi prostori ℓ∞ i L∞([0, 1])izometrički izomorfni.

Literatura:F. Albiac, N. J. Kalton, Topics in Banach space theory, Graduate Texts in Mathematics,vol. 233, Springer, New York, 2006.

M. Fabian, P. Habala, P. Hájek, V. Montesinos, V. Zizler, Banach Space Theory: TheBasis for Linear and Nonlinear Analysis, CMS Books in Mathematics, Springer, NewYork, 2011.

H. G. Dales, F. K. Dashiell, Jr., A. T.-M. Lau, D. Strauss, Banach Spaces of ContinuousFunctions as Dual Spaces, Springer, 2016.

D. Hadwin, V. Paulsen, Injectivity and projectivity in analysis and topology, AbstractSci. China Math. 54 (2011), no. 11, 2347–2359https://arxiv.org/abs/0706.2995

© PMF–MO30

https://arxiv.org/abs/0706.2995

Slobodna tema

Mentor: Gogić Ilja

Refleksivni Banachovi prostori

Područje: funkcionalna analiza

Prikladno za studij: Teorijska matematika, Primijenjena matematika, Matematičkastatistika

Preduvjeti: Operatori na normiranim prostorima, Metrički prostori, Mjera i integral

Opis teme: Svaki Banachov (ili općenitije normiran) prostorX nad poljem F realnihili kompleksnih brojeva možemo na kanonski način uložiti kao potprostor njegovog(topološkog) biduala X∗∗. Naime, za x ∈ X definirajmo preslikavanje x : X∗ → F sx(f) := f(x). Tada je x ograničen linearni funkcional na X∗ (dakle element od X∗∗) i∥x∥ = ∥x∥, pa preslikavanje QX : x 7→ x definira linearnu izometriju s X u X∗∗. Akoje QX također surjektivno, onda za prostor X kažemo da je refleksivan. Refleksivniprostori igraju bitnu ulogu u teoriji i primjeni (posebno u parcijalnim diferencijalnimjednadžbama) te za razliku od općenitih Banachovih prostora dijele neka dosta dobrasvojstva. U osnovne primjere refleksivnih prostora spadaju svi konačnodimenzional-ni normirani prostori, Hilbertovi prostori te Lp-prostori (za 1 < p < ∞). Cilj ovogdiplomskog rada je iskazati i dokazati razne karakterizacije refleksivnosti. Također bise opisala konstrukcija tzv. Jamesovog prostora J , koji je fundamentalni primjer ne-refleksivnog Banachovog prostora koji je, s druge strane, izometrički izomorfan svombidualu.

Literatura:R. E. Megginson, An introduction to Banach space theory, Graduate Texts in Mathema-tics, vol. 183, Springer–Verlag, New York, 1998.

J. B. Conway, A Course in Functional Analysis, Springer-Verlag, New York, 1985.

P. Hájek, V. Montesinos, V. Zizler, Banach Space Theory: The Basis for Linear and No-nlinear Analysis, CMS Books in Mathematics, Springer, New York, 2011.

F. Albiac, N. J. Kalton, Topics in Banach space theory, Graduate Texts in Mathematics,vol. 233, Springer, New York, 2006.

© PMF–MO31

Slobodna tema

Mentor: Hanzer Marcela

p–adski redovi potencija

Područje: Algebra; teorija brojeva


Preduvjeti: položen kolegij Algebarske strukture

Opis teme: Tehnike nearhimedske analize imaju mnoštvo primjena u modernoj ma-tematici, npr. u teoriji brojeva i teoriji reprezentacija. U radu bi se krenulo s bazičnimkonceptima: najprije bi se uveli p–adskih brojevi i proučavala njihova aritmetika, azatim bi se izgradilo proširenje polja p–adskih brojeva koje je i algebarski zatvoreno ipotpuno, time dajući p–adski analog kompleksnih brojeva (koji su i potpuni i algebar-ski zatvoreni). Nakon toga bi se bavilo osnovnom temom rada, a to su p–adski redovipotencija. Proučavali bi se neki interesantni primjeri, kao npr. p–adski logaritam ieksponencijalna funkcija, p–adska gamma i Artin–Hasseova eksponencijalna funkci-ja. Proučavalo bi se i Newtonove poligone i dokazala p–adska verzijaWeierstrassovogpripremnog teorema.

Literatura:A. Weil, Basic number theory, Springer, 1995.

N. Koblitz, p–adic Numbers, p–adic Analysis and Zeta functions, Springer, 1984.

© PMF–MO32

Slobodna tema


Reprezentacije grupe GL2(Fq), gdje je Fqkonačno polje

Područje: Algebra; Teorija reprezentacija


Preduvjeti: položen kolegij Algebarske strukture

Opis teme: Opće linearne grupe (nad proizvoljnim poljima) čine jednu od najzna-čajnih serija grupa koje se javljaju u najrazličitijim granama matematike. Najjednos-tavnije je razumjeti njihove reprezentacije ako je riječ o grupama koje su i konačne,dakle, nad konačnim poljima. U radu bi se prvo objasnili osnovni pojmovi vezani uzteoriju reprezentacija konačnih grupa nužni za razvoj teorije, posebno konjugacijskeklase i karakteri. Naglasak u radu bi bio na korištenju tih osnovnih pojmova u eks-plicitnom izračunu svih ireducibilnih reprezentacija opće linearne grupe ranga 2 nadkonačnim poljima.

Literatura:W. Fulton, J. Harris, Representation theory – A first course, Springer, 1991.

© PMF–MO33

Slobodna tema


Teorija reprezentacija konačnih grupa; Artinovteorem

Područje: Algebra; Teorija reprezentacija

Prikladno za studij: Teorijska matematika, Primijenjena matematika, Matematičkastatistika, Računarstvo i matematika, Financijska i poslovna matematika, Matemati-ka; smjer: nastavnički

Preduvjeti: položen kolegij Algebarske strukture, poželjno je da je položen i kolegijAlgebra

Opis teme: Reprezentacije konačnih grupa su vrlo značajne za primjene u fizici ilikvantnoj kemiji, a u matematici su, zajedno s klasičnom harmonijskom analizom, is-hodišna točka u razvoju teorije reprezentacija i drugih klasa grupa, npr. algebarskih.U radu bi se trebao dati osvrt na osnove teorije reprezentacija konačnih grupa, teori-ju karaktera i osnovne koncepte (sume, tenzorski produkti, induciranje) uz analizunekoliko primjera konkretnih grupa. U radu bi se trebali dokazati Artinov i Brauerovteorem, koji imaju značajnu ulogu u primjeni teorije reprezentacija, npr. u prouča-vanju L–funkcija.

Literatura:J.-P. Serre, Linear representations of finite groups, Springer, 1977.

C. W. Curtis, I. Reiner, Representation theory of finite groups and associative algebras,Wiley, 1962.

© PMF–MO34

Slobodna tema

Mentor: Ilišević Dijana

Konvergencija niza operatora

Područje: Teorija operatora


Preduvjeti: Kolegiji ”Normirani prostori” i ”Operatori na normiranim prostorima”

Opis teme: Neka su X i Y normirani prostori nad istim poljem. Niz (An) operatoraiz L(X, Y ) konvergira operatoru A0 ∈ L(X, Y ):

(a) uniformno ako ∥An − A0∥ → 0,

(b) jako ako |Anx− A0x| → 0 za svaki x ∈ X,

(c) slabo ako y∗(Anx) → y∗(A0x) za svaki x ∈ X i svaki y∗ ∈ Y ∗.

Zadatak ovog diplomskog rada je proučiti uniformnu, jaku i slabu konvergenciju nizaoperatora.

Literatura:T. Kato, Perturbation theory for linear operators, Springer–Verlag, Berlin–Heidelberg–New York, 1966.,

S. Kurepa, Funkcionalna analiza, Školska knjiga, Zagreb, 1990.

© PMF–MO35

Slobodna tema


Jordanovi homomorfizmi i derivacije

Područje: Teorija prstena

Prikladno za studij: Teorijska matematika, Matematika; smjer: nastavnički, Mate-matika i informatika; smjer: nastavnički, Matematika i fizika; smjer: nastavnički

Preduvjeti: Kolegiji ”Algebra 1 i 2” ili ”Algebarske strukture”

Opis teme: Aditivno preslikavanje f s prstenaR u prstenR′ se naziva homomorfizamako je f(ab) = f(a)f(b) za sve a, b ∈ R, antihomomorfizam ako je f(ab) = f(b)f(a)za sve a, b ∈ R, a Jordanov homomorfizam ako je f(a2) = f(a)2 za sve a ∈ R. Adi-tivno preslikavanje f : R → R se naziva derivacija ako je f(ab) = f(a)b + af(b) zasve a, b ∈ R, a Jordanova derivacija ako je f(a2) = f(a)2 za sve a ∈ R. Očigledno jesvaki (anti)homomorfizam ujedno i Jordanov homomorfizam, a svaka derivacija ujed-no i Jordanova derivacija. Obrati ovih tvrdnji su u posljednjih pedesetak godina bilipredmetom proučavanja mnogih matematičara i općenito ne vrijede. Zadatak ovogdiplomskog rada je opisati strukturu Jordanovih homomorfizama i Jordanovih deri-vacija u nekim posebnim slučajevima.

Literatura:P. Ara, M. Mathieu, Local multipliers of C*–algebras, Springer–Verlag, London, 2003.

M. Brešar, Jordan mappings of semiprime rings, Jou. Algebra 127 (1989), 218–228

I. N. Herstein, Topics in ring theory, Univ. of Chicago, Chicago, 1969.

T. W. Palmer, Banach algebras and the general theory of ∗-algebras, Cambridge Univer-sity Press, Cambridge, 1994.

© PMF–MO36

Slobodna tema


Hahn-Banachov teorem



Preduvjeti: Kolegiji ”Normirani prostori” i ”Operatori na normiranim prostorima”

Opis teme: Hahn-Banachov teorem predstavlja jedan od temelja funkcionalne ana-lize. Njegova klasična verzija se odnosi na proširenje linearnih funkcionala. Zadatakovog diplomskog rada je predstaviti nekoliko formulacija Hahn-Banachovog teoremai pristupa njegovom dokazu.

Literatura:S. K. Berberian, Lectures in functional analysis and operator theory, Springer–Verlag,New York-Heidelberg, 1974.

S. Kurepa, Funkcionalna analiza, Školska knjiga, Zagreb, 1990.

© PMF–MO37

Slobodna tema

Mentor: Jurak Mladen

Mrežno programiranje pomoću Boost.Asiobiblioteke

Područje: Računarstvo


Preduvjeti: Operacijski sustavi, Objektno programiranje (C++)

Opis teme: Boost.Asio je biblioteka za mrežno programiranje u C++-u. U radu trebaopisati arhitekturu i način korištenja biblioteke te implementirati web server korište-njem Boost.Asio sučelja.Potrebno je kratko opisati TCP i UDP protokole te zatimHTTP protokol. Centralni dioradnje predstavlja implementaciju http klijenta i http servera u programskom jezikuC++. Kao osnovnu literaturu koristiti [1]. Pored [1] i [2] treba koristiti dokumentacijuBoost.Asio biblioteke te resurse na web-u.

Literatura:[1] Boost.Asio C++ Network Programming Cookbook, Pact Publishing, 2016.

[2] Boost.Asio C++ Network Programming - Second Edition, Pact Publishing, 2015.

[3] Dokumentacija za Boost.Asio

© PMF–MO38

Slobodna tema

Mentor: Kazalicki Matija

Kvantni algoritmi

Područje: računarstvo


Preduvjeti: nema

Opis teme: Cilj ovog diplomskog je obraditi neke teme i algoritme iz kvantnog raču-nanja. Moguće teme su: algoritmi pretraživanja, kvantna Fourierova transformacija(i primjene) i kvantni kodovi za ispravljanje grešaka.

Literatura:M. A. Nielsen, I. L. Chuang, Quantum Computation and Quantum Information, Cam-bridge University Press, 2010.

© PMF–MO39

Slobodna tema


Teorem o 27 pravaca na kubičnoj plohi

Područje: Algebarska geometrija

Prikladno za studij: Teorijska matematika

Preduvjeti: Algebarske krivulje

Opis teme: Cilj ovog diplomskog rada je obraditi Cayley-Salmonov teorem iz klasičnealgebarske geometrije koji kaže da svaka glatka kubična ploha nad algebarski zatvo-renim poljem sadrži 27 pravaca.

Literatura:M. Reid, Undergraduate Algebraic Geometry,https://homepages.warwick.ac.uk/staff/Miles.Reid/MA4A5/UAG.pdf

© PMF–MO40

https://homepages.warwick.ac.uk/staff/Miles.Reid/MA4A5/UAG.pdf

Slobodna tema


Magična matematika

Područje: diskretna matematika


Preduvjeti: nema

Opis teme: Cilj ovog diplomskog je objasniti (često netrivijalnu) matematičku poza-dinu nekih kartaških trikova. Mogu se obraditi odabrane teme iz knjige P. Diaconis,R. Graham, Magical Mathematics: The Mathematical Ideas That Animate Great MagicTricks. Primjerice, jedan primjer teme bi mogli biti kartaški trikovi zasnovani na svoj-stvima De Bruijnovih nizova.

Literatura:P. Diaconis, R. Graham, Magical Mathematics: The Mathematical Ideas That AnimateGreat Magic Tricks, Princeton University Press, 2015

© PMF–MO41

Slobodna tema


Modularne forme i Lagrangeov teorem o četirikvadrata



Preduvjeti: Kompleksna analiza

Opis teme: Cilj ovog diplomskog rada je obraditi osnove teorije klasičnih modular-nih formi (modularna grupa i modularne krivulje, kusp forme, Eisensteinovi redovi,dimenzije prostora modularnih formi, theta funkcije). Ta teorija bi se onda primije-nila za dokazivanje Lagrangeovog teorema, tj. na određivanje formule za broj prikazaprirodnog broja kao sume četiri kvadrata.

Literatura:F. Diamond, J. Shurman, A First Course in Modular Forms, Springer, 2005.

© PMF–MO42

Slobodna tema

Mentor: Kožić Slaven

Teorem četiri boje

Područje: Povijest matematike, Teorija grafova


Preduvjeti: nema

Opis teme: Koliki je najmanji broj boja potreban da bi se svaka država na zemljopisnojkarti mogla obojiti tako da su svake dvije susjedne države različite boje? 1852. godine F.Guthrie iznosi slutnju da su za rješenje takvog problema dovoljne samo četiri boje. Utom trenutku je već bilo poznato da je za rješenje dovoljno pet boja, no dokaz origi-nalne Guthrieove slutnje se pokazao puno težim problemom. Dokazali su je K. Appeli W. Haken tek 1976. godine uz pomoć računala. Cilj ovog diplomskog rada je datipovijesni pregled pristupa i rezultata koji su doveli do napretka u rješenju Problemačetiri boje te njegovu preciznumatematičku formulaciju. Ovisno o afinitetu studenta,dio radamože biti posvećen različitim aspektima problema kao što su razvoj pripadneopće teorije, Teorem pet boja, primjene u drugim područjima matematike itd.

Literatura:M. Aigner, G. M. Ziegler, Proofs from The Book, Springer 2014.

D. Barnette,Map Coloring, Polyhedra And The Four–Color Problem, The MathematicalAssociation of America, 1983.

R. Fritsch, G. Fritsch, The Four-Color Theorem: History, Topological Foundations, andIdea of Proof, Springer, 1998.

© PMF–MO43

Slobodna tema


Rogers-Ramanujanovi identiteti

Područje: Kombinatorika, Povijest matematike


Preduvjeti: nema

Opis teme: Rogers-Ramanujanovi identiteti su dva analitička identiteta

∏m≥0

1

(1− q5m+1+a)(1− q5m+4−a)=

∑m≥0

qm2+am

(1− q)(1− q2) · · · (1− qm),

gdje je a = 0, 1, koji se javljaju u brojnim područjima matematike. Cilj ovog di-plomskog rada je proučiti Rogers-Ramanujanove identitete, njihovu kombinatornuintepretaciju i vezu sa zlatnim rezom te dati pregled njihovih najvažnijih svojstava.Ovisno o afinitetu studenta, dio rada može biti posvećen generalizacijama Rogers-Ramanujanovih identiteta i njihovim primjenama ili pregledu njihove povijesti odnjihovog otkrića 1984. pa sve do danas.

Literatura:G. E. Andrews, The theory of partitions, Addison-Wesley 1976.

A. V. Sills, An invitation to the Rogers–Ramanujan identities, CRC Press 2018.

© PMF–MO44

Slobodna tema


Origami u nastavi matematike

Područje: Algebra, Geometrija, Kombinatorika


Preduvjeti: nema

Opis teme: Origami je tradicionalna japanska vještina izrade modela od papira. Ciljovog diplomskog rada je proučiti veze između origamija i tema koje se javljaju u nas-tavi matematike na različitim razinama obrazovanja. Ovisno o afinitetu studenta,naglasak rada može biti na primjeni origamija u interpretaciji i rješavanju različitihproblema iz geometrije (trisekcija kuta, podjela dužine na n jednakih dijelova itd.),algebre (rješavanje kvadratnih i kubnih jednadžbi, homomorfizmi grupa itd.) ili iznekog drugog područja (analiza, kombinatorika, teorija grafova itd.).

Literatura:T. Hull, Project Origami: Activities for Exploring Mathematics, CRC Press, 2013.

R. J. Lang,OrigamiDesign Secrets: MathematicalMethods for anAncient Art, CRCPress,2012.

© PMF–MO45

Slobodna tema


Hallov teorem

Područje: Kombinatorika


Preduvjeti: nema

Opis teme: Neka su S1, . . . , Sn neprazni (i ne nužno disjunktni) skupovi. Tada Hallovteorem kaže da postoji uređena n-torka (x1, . . . , xn) međusobno različitih elemenataxi ∈ Si, i = 1, . . . , n, ako i samo ako za svaki k = 1, . . . , n unija bilo kojih k skupova Si

sadrži barem k elemenata. Hallov teorem predstavlja jedan od centralnih teorema izpodručja kombinatorike. Cilj ovog diplomskog rada je proučiti neke njegove primje-ne (npr. iz područja teorije grafova, magičnih pravokutnika itd.) te iskazati i dokazatineke njemu ekvivalentne rezultate (npr. Birkhoff–von Neumannov teorem, Dilwort-hov teorem itd.).

Literatura:M. Hall, Combinatorial Theory, John Wiley & Sons, 1986.

S. Jukna, Extremal Combinatorics, Springer–Verlag 2011.

P. F. Reichmeider, The equivalence of some combinatorial matching theorems, PolygonalPublishing House, 1984.

© PMF–MO46

Slobodna tema


Youngovi dijagrami i reprezentacije simetričnegrupe

Područje: Kombinatorika, Teorija reprezentacija


Preduvjeti: nema

Opis teme: Particija prirodnog broja n je svaki rastav n = a1 + . . . + ak, gdje sua1 ⩾ . . . ⩾ ak prirodni brojevi. Particiju možemo grafički prikazati pomoću tzv. Youn-govog dijagrama koji se sastoji od n kvadratića raspoređenih u k lijevo poravnatih re-daka tako da se u i-tom retku nalazi točno ai kvadratića. Upisivanjem brojeva 1, . . . , nu kvadratiće Youngovog dijagrama (u određenom poretku) dobivamo tzv. Youngovetablice. Cilj ovog diplomskog rada je uvesti osnovne pojmove iz područja Youngovihdijagrama i tablica te proučiti njihovu ulogu u teoriji reprezentacija simetrične grupe.

Literatura:W. Fulton, Young Tableaux: With Applications to Representation Theory and Geometry,Cambridge University Press 1997.

W. Fulton, J. Harris, Representation Theory: A First Course, Springer 1991.

© PMF–MO47

Slobodna tema


R-matrice

Područje: Linearna algebra, Kombinatorika


Preduvjeti: nema

Opis teme: R-matrice predstavljaju istaknutu klasu linearnih operatora koji se javlja-ju kao rješenja kvantneYang–Baxterove jednadžbe. Najjednostavniji primjerR-matriceje Yangova R-matrica koja se može zadati kao preslikavanje R(z) : Cn ⊗ Cn → Cn ⊗Cn[z] formulom

R(u⊗ v) = (u⊗ v)z − v ⊗ u, gdje su u, v ∈ Cn.

Cilj ovog diplomskog rada je istražiti osnovna svojstva Yangove R-matrice te još ne-kih (racionalnih) R-matrica. Ovisno o afinitetu studenta dio rada može biti posvećenkombinatornim aspektima R-matrica (npr. postupku fuzije), primjenama u kvantnojalgebri (npr. Yangijanima) ili detaljnijem proučavanju Yang–Baxterove jednadžbe.

Literatura:M. Jimbo, Introduction to the Yang–Baxter equation, Internat. Jou. Modern Phys. A 4(1989), 3759–3777

A. Molev, Yangians and Classical Lie algebras, American Mathematical Society 2007.

© PMF–MO48

Slobodna tema


Liejeva algebra sl2(C)

Područje: Algebra


Preduvjeti: Poželjno je predznanje iz algebarskih kolegija

Opis teme: Liejeva algebra je vektorski prostor L opskrbljen s bilinearnim presli-kavanjem L × L → L koje zadovoljava određena svojstva. Liejeva algebra sl2(C)je trodimenzionalna kompleksna Liejeva algebra svih kvadratnih matrica iz M2(C)traga 0. Reprezentacije Liejeve algebre sl2(C) su određeni istaknuti linearni operatorisl2(C) → Mn(C). Glavni cilj ovog diplomskog rada je proučiti osnovne rezultate izteorije konačnodimenzionalnih Liejevih algebri te klasificirati ireducibilne reprezen-tacije od sl2(C).

Literatura:J. E. Humphreys, Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Springer–Verlag, 1972.

W. Fulton, J. Harris, Representation Theory: A First Course, Springer–Verlag, 1991.

© PMF–MO49

Slobodna tema


Asocijativne algebre pridružene Liejevimalgebrama

Područje: Algebra


Preduvjeti: nema

Opis teme: Liejeva algebra je vektorski prostorL opskrbljen s bilinearnim preslikava-njem L×L → L koje zadovoljava određena svojstva. Svakoj Liejevoj algebri možemopridružiti različite asocijativne algebre, npr. simetričnu ili univerzalnu omotačku al-gebru. Glavni cilj ovog diplomskog rada je proučiti njihove konstrukcije i osnovnasvojstva. Ovisno o afinitetu studenta, naglasak rada može biti na određenim funda-mentalnim rezultatima vezanim uz te algebre ili na njihovim primjenama u teorijireprezentacija.


© PMF–MO50

Slobodna tema


Dynkinovi dijagrami i sistemi korijena

Područje: Algebra, geometrija


Preduvjeti: nema

Opis teme: Sistemi korijena su određeni istaknuti konačni sistemi izvodnica euklid-skih prostora, koji se često prikazuju pomoćuDynkinovih dijagrama. Cilj ovog diplom-skog rada je klasificirati (ireducibilne) sisteme korijena te proučiti njihovu konstruk-ciju i osnovna svojstva. Ovisno o afinitetu studenta, naglasak rada može biti na općojteoriji sistema korijena te njihovim svojstvima ili na primjenama u teoriji reprezen-tacija prostih Liejevih algebri.


W. Fulton, J. Harris, Representation Theory: A First Course, Springer–Verlag, 1991.

© PMF–MO51

Slobodna tema

Mentor: Martinjak Ivica

Inkluzije konačnih geometrija

Područje: kombinatorika

Prikladno za studij: Teorijska matematika, Računarstvo i matematika

Preduvjeti: nema

Opis teme: Konačna projektivna ravnina reda n je struktura koja se sastoji od n+1 to-čaka i n+1 pravaca, pri čemu se svaka dva pravca sijeku u jednoj točki. Poznati primjertakve strukture je Fanova ravnina, koja je ujedno i primjer nekih drugih incidencijskihstruktura. U diplomskom radu se primarno bavimo konačnim projektivnim i afinimravninama te dvoravninama. Poznato je da neke familije ovih struktura sadrže drugeincidencijske strukture, kao što su asocijacijske sheme, što je uža tema rada.

Literatura:S. Ball, Finite geometry and combinatorial applications, Cambridge University Press,2015.

J. Mataoušek, Lectures on Discrete Geometry, Springer, 2002.

© PMF–MO52

Slobodna tema


Rupertovo svojstvo Arhimedovih tijela



Preduvjeti: nema

Opis teme: Rupertova kocka je najveća kocka koja jediničnu kocku ne presjeca na dvadijela. Analogno svojstvo je od interesa i kod drugih konveksnih geometrijskih tijela.U ovom diplomskom radu prvenstveno se bavimo Rupertovim svojstvom Arhimedo-vih tijela.

Literatura:G. Ziegler, Lectures on Polytopes, Springer, 2013.

Y. Chai, L. Yuan, T. Zamfirescu,Rupert Property of Archimedean Solids, Amer.Math.Mon-thly, 125(6):(2018) 497–504.

© PMF–MO53

Slobodna tema


Napredni identiteti za rekurzivne nizove

Područje: kombinatorika


Preduvjeti: nema

Opis teme: Ovaj diplomski rad se bavi složenim identitetima za Fibonaccijeve bro-jeve, s atraktivnim kombinatornim dokazima. Brzi uvid u temu daje naslov 1.2 tepoglavlje 9. u referenci Benjamin, Quinn.

Literatura:Graham, Knuth, Patashnik, Concrete mathematics, Addison–Wesley, 1994.

Benjamin, Quinn, Proofs that realy count, MAA, 2003.

© PMF–MO54

Slobodna tema


Eulerova funkcija u teoriji particija

Područje: teorija brojeva

Prikladno za studij: Teorijska matematika, Računarstvo i matematika

Preduvjeti: nema

Opis teme: Za svaki prirodan broj n, broj neparnih particija jednak je broju striktnihparticija. Poznati su i drugi fascinantni identiteti za particijsku funkciju te postojebogate veze teorije partcija s drugim područjima matematike kao i nekim područji-ma fizike. Eulerova funkcija se pojavljuje i u kontekstu partcija (vidi reference u raduM. Merca, M.D. Schmidt). U diplomskom radu se prikazuju osnove teorije particija,osnove aritmetičkih funkcija, te spomenute relacije za Eulerovu funkciju. Opcija jeprikaz formalnih redova i funkcija izvodnica i njihova primjena u dokazima koji seizvode u diplomskom radu.

Literatura:G. Andrews, K. Eriksson, Integer Partitions, Cambridge University Press, 2004.

M. Merca, M. D. Schmidt, A Partition Identity Related to Stanley’s Theorem,Amer. Math. Monthly, 125(10), 2018.

© PMF–MO55

Slobodna tema

Mentor: Marušić Miljenko

Eksponencijalni integratori

Područje: numerička matematika


Preduvjeti: nema

Opis teme: U diplomskom radu treba prikazati i usporediti nekoliko eksponencijalnoprilagođenih metoda koje se primjenjuju za numeričko rješavanje inicijalnog proble-ma za obične diferencijalne jednadžbe. Od posebnog je interesa primjena na kruteprobleme.

Literatura:M. Hochbruck, A. Ostermann, Exponential integrators, Acta Numerica, 19 (2010) 209–286

© PMF–MO56

Slobodna tema


Kolokacija splajnom za rubni problem za ODJ



Preduvjeti: nema

Opis teme: U diplomskom radu treba opisati metodu kolokacije splajn funkcijamaprimjenjenu na rubni problem za običnu diferencijalnu jednadžbu oblika a(t)y′′(t) +b(t)y′(t) + c(t)y(t) = f(t). Treba prikazati rezultate o konvergenciji metode te na ne-koliko primjera ilustrirati metodu.

Literatura:C. de Boor, A Practical Guide to Splines, Springer–Verlag, New York, 1978.

A. Lamniia, H. Mraoui, Spline collocation method for solving boundary values problem,International Journal of Mathematical Modelling & Computations, 3 (2013) 11–23.

© PMF–MO57

Slobodna tema


Eksponencijalno prilagođene diferencijskesheme



Preduvjeti: nema

Opis teme: U diplomskom radu treba prikazati i usporediti nekoliko diferencijskihshema koje se primjenjuju za numeričko rješavanje singularno perturbiranog rubnogproblema za ODJ. Singularno perturbirani problem je rubni problem za diferencijalnujednadžbu oblika εy′′ + by′ + cy = f , gdje je ε jako mali realni broj.

Literatura:J. J. H. Miller, E. O’Riordan, G. I. Shishkin, Fitted Numerical Methods for Singular Per-turbation Problems, World Scientific, Singapore, 1996.

© PMF–MO58

Slobodna tema


Splajn kolokacija za singularno perturbiranerubne probleme



Preduvjeti: nema

Opis teme: U diplomskom radu treba opisati i usporediti nekolikometoda koje koris-te splajn funkcije za numeričko rješavanje singularno perturbiranog rubnog problemaza ODJ. Singularno perturbirani problem je rubni problem za diferencijalnu jednadž-bu oblika εy′′ + by′ + cy = f , gdje je ε jako mali realni broj.

Literatura:J. J. H. Miller, E. O’Riordan, G. I. Shishkin, Fitted Numerical Methods for Singular Per-turbation Problems, World Scientific, Singapore, 1996.

© PMF–MO59

Slobodna tema

Mentor: Marušić-Paloka Eduard

Uvod u varijacijski račun

Područje: Primijenjena matematika

Prikladno za studij: Teorijska matematika, Primijenjena matematika, Matematika;smjer: nastavnički, Matematika i fizika; smjer: nastavnički

Preduvjeti: Matematička analiza 1,2,3. + Obične diferencijalne jednadžbe ili Dife-rencijalni i integralni račun 1 i 2 + Primijenjena matematička analiza

Opis teme: Cilj rada je uvesti osnovne pojmove i rezultate vezane uz varijacijski ra-čun. Struktura diplomskog rada bi trebala biti: formulacija problema, primjeri i mo-tivacija, Hamiltonov princip i Lagrangeove jednadžbe, Eulerove jednadžbe.

Literatura:P. J. Collins, Differential and integral equations, Oxford University Press, 2005.

© PMF–MO60

Slobodna tema


Sturm-Liouvilleov problem

Područje: Diferencijalne jednadžbe

Prikladno za studij: Teorijska matematika, Primijenjena matematika, Matematika;smjer: nastavnički, Matematika i fizika; smjer: nastavnički

Preduvjeti: Obične diferencijalne jednadžbe ili Primijenjena matematička analiza.

Opis teme: Cilj rada je iznijeti osnovne rezultate vezane uz Sturm-Liouvilleov pro-blem. Rad bi trebao obraditi sljedeće teme: diferencijalna jednadžba 2. reda, svoj-stvene vrijednosti i svojstvene funkcije, Greenova funkcija, specijalne funkcije.

Literatura:P. J. Collins, Differential and integral equations, Oxford University Press, 2005.

© PMF–MO61

Slobodna tema


Fourierova transformacija

Područje: Matematička analiza

Prikladno za studij: Teorijska matematika, Primijenjena matematika, Matematičkastatistika, Matematika; smjer: nastavnički

Preduvjeti: Matematička analiza 1,2,3 ili Diferencijalni i integralni račun 1, 2 + Os-nove matematičke analize

Opis teme: Cilj rada je definirati i navesti osnovna svojstva Fourierove transformaci-je. Rad bi trebao obraditi sljedeće teme: Fourierova transformacija uL1. Plancharelovteorem. Fourierova transformacija u L2. Formula inverzije. Fourierova transforma-cija u Lp. Housdorff-Youngova nejednakost. Konvolucije.

Literatura:E. H. Lieb, M. Loss, Analysis, American Mathematical Society, 2001.

© PMF–MO62

Slobodna tema

Mentor: Mihelčić Matej Suvoditelj: Vuković Mladen

Algoritamske i implementacijske optimizacijepristupa za traženje redeskripcija CLUS-RM

Područje: Dubinska analiza podataka


Preduvjeti: Položen kolegij Računarski praktikum 3. Spremnost na upoznavanje sprogramskim jezikom Java.

Opis teme: Traženje redeskripcija je važan problem u području dubinske analize po-dataka. Zadani podatci se sastoje od jednog skupa objekata koji su opisani koristećijedan, ili više disjunktnih skupova atributa. Glavni cilj metoda iz navedenog područjaje pronaći koji podskupovi objekata se mogu opisati na više načina te pronaći redes-kripcije različitih podskupova objekata. Uglavnom se objekti opisuju koristeći dva iliviše disjunktnih skupova atributa. Ti atributi opisuju različite aspekte objekata, ili sudobiveni koristeći razne izvore podataka. Rjeđe, metodologija se koristi i na jednomskupu atributa.Cilj diplomskog rada je provesti detaljnu teorijsku i empirijsku analizu te algoritam-sku i implementacijsku optimizaciju algoritma CLUS-RM za traženje redeskripcija.CLUS-RM se bazira na uzastopnom učenju modela Prediktivnih Stabala Klasterira-nja, koja se pretvaraju u skupove pravila od kojih se tvore redeskripcije.

Literatura:E. Galbrun,Methods for RedescriptionMining, Phd thesis, University of Helsinki, 2013.

D. Kocev, C. Vens, J. Struyf, S. Džeroski, Tree ensembles for predicting structured out-puts, Pattern Recognition, 2013.

M. Mihelčić, S. Džeroski, N. Lavrač, T. Šmuc, Redescription Mining with Multi-targetPredictive Clustering Trees, In proceedings of the InternationalWorkshoponNewFron-tiers in Mining Complex Patterns (NFMCP 2015),125–143

M.Mihelčić, S. Džeroski, N. Lavrač, T. Šmuc, Redescriptionmining augmented with ran-dom forest of multi-target predictive clustering trees, Journal of Intelligent InformationSystems, 2018., 63–96

M. Mihelčić, Construction and exploration of redescription sets, Phd thesis, Internati-onal Postgraduate School Jožef Stefan, Ljubljana, 2018.

© PMF–MO63

N. Ramakrishnan, D. Kumar, B. Mishra, M. Potts, R. F. Helm, Turning CARTwheels: analternating algorithm for mining redescriptions, Proceedings of the tenth ACM SIGKDDinternational conference on Knowledge discovery and data mining, 2004., 266–275

© PMF–MO64

Slobodna tema

Mentor: Mihelčić Matej Suvoditelj: Vuković Mladen

Traženje podgrupa iz višepoglednih podataka

Područje: Dubinska obrada podataka


Preduvjeti: Računarski praktikum 3, Matematička logika

Opis teme: Cilj diplomskog rada je proučiti problem otkrivanja podgrupa iz više-poglednih podataka. Podgrupe su skupine instanci koje imaju zanimljivu statističkudistribuciju ciljnih labela. Trenutni pristupi uglavnom omogućavaju otkrivanje pod-grupa iz skupova podataka koji sadrže samo jedan skup atributa. Proširenje pristu-pa na višepogledne podatke bi znatno doprinjelo razumijevanju brojnih problema uznanstvenim disciplinama kao što su medicina, biologija, ekologija itd.Glavni zadatak rada bi bio proučiti jedan algoritam za otrivanje podgrupa (recimoCN2-SD) i proširiti njegove mogućnosti na način da otkriva podgrupe iz višepogled-nih podataka.

Literatura:P. Clark, T. Niblett, The CN2 Induction Algorithm, Machine Learning Journal, 1989.,261–283

D. Gamberger, M. Mihelčić, N. Lavrač, Multilayer Clustering: A Discovery Experimenton Country Level Trading Data, In Proceedins of International Conference on Disco-very Science, DS2014, 87–98

F. Herrera, C. J. Carmona, P. González, M. J. del Jesus, An overview on subgroup disco-very: foundations and applications, Knowledge Information Systems, 2011.

N. Lavrač, B. Kavšek, P. Flach, Lj. Todorovski, Subgroup Discovery with CN2–SD, Jour-nal of Machine Learning Research, 2004., 153–158

L. Umek, B. Zupan, M. Toplak, A. Morin, J.-H. Chauchat, G Makovec, D. Smrke, Sub-group Discovery in Data Sets with Multi–dimensional Responses: A Method and a CaseStudy in Traumatology, In proceedings of Conference on Artificial Intelligence in Me-dicine in Europe, AIME 2009., 265–274

© PMF–MO65

Slobodna tema

Mentor: Mrazović Rudi

Vjerojatnost da je slučajna matrica singularna

Područje: matematička analiza, linearna algebra, teorija vjerojatnosti


Preduvjeti: nema

Opis teme: Neka je An slučajna matrica dimenzija n× n dobivena tako da je za svakinjen element, nezavisno od ostalih, na slučajan način (fifty-fifty) odabrana vrijednost+1 ili −1. Kolika je vjerojatnost da je An singularna?Jedan očiti razlog zbog kojeg bi An mogla biti singularna je da ima dva retka koji sujednaki ili im je suma nul-redak. Ovakvo razmatranje daje donju ogradu od n(n −1)2−n. Pretpostavlja se da je navedeni jednostavni razlog ujedno i glavni, odnosnoda je tražena vjerojatnost oblika (1 + o(1))n22−n. Dokaz ove hipoteze još uvijek nijepoznat, a kao ilustracija o koliko se teškom problemu radi dovoljno je reći da je već idokaz da vjerojatnost od interesa teži u 0 iznimno netrivijalan.Prvu eksponencijalnu gornju ogradu dali su Kahn, Komlós i Szemerédi koji su ponudiligornju ogradu od 0.999n, a cilj diplomskog rada je prezentirati njihov dokaz. Trenutnunajbolju gornju ogradu dokazali su Bourgain, Vu i Wood i ona iznosi ( 1√

2+ o(1))n.

Literatura:J. Kahn, J. Komlós, E. Szemerédi, On the probability that a random ±1 matrix is singu-lar, J. Amer. Math. Soc. 8: 223–240, 1995.https://www.ams.org/journals/jams/1995-08-01/S0894-0347-1995-1260107-2/S0894-0347-1995-1260107-2.pdf

© PMF–MO66

Slobodna tema

Mentor: Muha Boris

Nash–Kuiperov teorem

Područje: Diferencijalna geometrija, Parcijalne diferencijalne jednadžbe


Preduvjeti: Diferencijalna geometrija ili Parcijalne diferencijalne jednadžbe

Opis teme: Cilj radnje je dokazati Nash-Kuiperov teorem o C1 izometričkim ulaga-njimam-dimenzonalne mnogostrukostiM u Rn, n ≥ m+ 1.

Literatura:J. Nash, C1 isometric imbeddings, Ann. of Math. (2), 60:383–396, 1954.

© PMF–MO67

Slobodna tema

Mentor: Muha Boris

Kompaktni skupovi u Lp(0, T ;B) prostorima



Preduvjeti: Normirani prostori, Mjera i integral

Opis teme: Cilj radnje je dokazati neke kriterije kompaktnosti u Lp(0, T ;B) prosto-rima, pri čemu je B Banachov prostor.

Literatura:T. Roubiček,Nonlinear Partial Differential Equations with Applications (2nd ed.), Basel:Birkhäuser, 2013.

J. Simon, Compact sets in the space Lp(O, T ;B), Annali di Matematica Pura ed Appli-cata 146 (1986), 65–96

© PMF–MO68

Slobodna tema

Mentor: Muha Boris

Numeričke simulacije problema interakcijefluida i strukture

Područje: Numerička analiza, Znanstveno računanje


Preduvjeti: Numerička analiza

Opis teme: Problemi interakcije fluida i strukture opisuju multifizikalne sustave kojise sastoji od krute/elastične strukture i fluida. Takvi sustavi se često javljaju u pri-mjenama (npr. biomedicini ili industriji). Cilj radnje je implementirati numeričkumetodu baziranu na konačnim elementima za rješavanje tog tipa sustava. Metoda ćebiti implementirana koristeći neki od dostupnih open source paketa (npr. FreeFem,DUNE-FEM, FEniCS ili sl.). Metoda će se testirati pomoću standardnih benchmarkprimjera iz literature.

Literatura:S. Badia, A. Quaini, A. Quarteroni,Modular vs. non-modular preconditioners for fluid–structure systems with large added-mass effect, Computer Methods in Applied Mecha-nics and Engineering. 2008 Sep 15;197(49-50):4216–32

M. Bukač, S. Čanić, R. Glowinski, B. Muha, A. Quaini, A modular, operator-splittingscheme for fluid–structure interaction problems with thick structures. International jo-urnal for numerical methods in fluids. 2014 Mar 20;74(8):577–604

S. Turek, J. Hron, Proposal for numerical benchmarking of fluid-structure interactionbetween an elastic object and laminar incompressible flow. In Fluid-structure interacti-on 2006 (pp. 371–385), Springer, Berlin, Heidelberg

© PMF–MO69

Slobodna tema

Mentor: Muić Goran

Konstruktivni dokaz Hilbertovog teorema onulama

Područje: algebra, algebarska geometrija



Opis teme: Hilbertov teorem o nulama je osnovni teorem algebarske geometrije. Uradu će se dati elementaran dokaz temeljen na teoriji eliminacije varijabli.

Literatura:D. A. Cox, J. Little, D. O. ’Shea, Ideals, Varietries, and Algorithms: An Introduction toComputational Algebraic Geometry and Commutative Algebra, Undergraduate Texts inMathematics, Springer, 2015.

© PMF–MO70

Slobodna tema

Mentor: Muić Goran

Teorija eliminacije varijable i primjene ugeometriji




Opis teme: Dokazati će se osnovni rezultati teorije eliminacije varijable za polinomes kompleksnim koeficijentima i dobiveni rezultati primjeniti na probleme presjekakrivulja u ravnini.


© PMF–MO71

Slobodna tema

Mentor: Muić Goran

Konstrukcije ireducibilnih polinoma u viševarijabli




Opis teme: Iznijeti će se pregled teorije eliminacije varijabli s posebnim naglaskomna kompleksne polinome više varijabli. Dobiveni rezultati primijeniti će se na kons-trukciju ireducibilnih polinoma u više varijabli.


© PMF–MO72

Slobodna tema

Mentor: Muić Goran

Normalizacija projektivnih krivulja




Opis teme: Uvodi se pojam normalizacije projektivne mnogostrukosti. Dokazuje seniz svojstava te se konstruira normalizacija projektivnih krivulja koja se koristi da sedobije nesingularni model krivulje.

Literatura:I. Shafarevich, Basic algebraic geometry I, Springer–Verlag, 1993.

© PMF–MO73

Slobodna tema

Mentor: Muić Goran

Regularna preslikavanja nesingularnihprojektivnih mnogostrukosti




Opis teme: Uvodi se pojam nesingularnih projektivnih mnogostrukosti i odgovara-juci lokalni parametri u svakoj točki. Dokazuju se Bertinijevi teoremi.


© PMF–MO74

Slobodna tema

Mentor: Muić Goran

Racionalna preslikavanja projektivnihmnogostrukosti




Opis teme: Uvodi se pojam projektivnih mnogostrukosti i studiraju se svojstva raci-onalnih preslikavanja i diferencijalnih formi.


© PMF–MO75

Slobodna tema

Mentor: Najman Filip

Riemann-Rochov teorem i primjene

Područje: Algebarska geometrija


Preduvjeti: Položen kolegij Uvod u algebarsku geometriju

Opis teme: Riemann-Rochov teorem za krivulje je jedan od osnovnih alata za rad sakrivuljama i divizorima na krivuljama. U ovom diplomskom radu će se iskazati i do-kazati Riemann-Rochov teorem, te će biti prikazane neke njegove primjene, kao štosu Riemann-Hurwitzova formula i Cliffordov teorem o specijalnim divizorima.

Literatura:I. R. Shafarevich, Basic algebraic geometry 1: Varieties in projective space, Springer,1995.

R. Hartshorne, Algebraic Geometry, Springer, 1997.

© PMF–MO76

Slobodna tema


Ciklotomska polja

Područje: Algebarska teorija brojeva


Preduvjeti: Položeni kolegiji Algebarska teorija brojeva 1 i 2

Opis teme: Ciklotomsko polje je polje dobiveno proširivanjem racionalnih brojevanekim n-tim korijenom iz jedinice. Ciklotomska polja imaju mnoga posebno lijepa ivažna svojstva, te će se u ovom diplomskom radu iskazati i dokazati neka od najvaž-nijih takvih svojstava.

Literatura:D. A. Marcus, Number Fields, third edition, Springer–Verlag, 1977.

L. C. Washington, Introduction to Cyclotomic Fields, Graduate Texts in Mathematics,83 (2 ed.), New York: Springer–Verlag, 1997.

© PMF–MO77

Slobodna tema


Kummerova teorija

Područje: Algebarska teorija brojeva


Preduvjeti: Položeni kolegiji Algebarska teorija brojeva 1 i i 2

Opis teme: Kummerova teorija opisuje proširenja dobivena dodavanjem n-tih kori-jena nekom polju algebarskih brojeva koje sadrži n-te korijene iz jedinice. U ovomdiplomskom radu će se iskazati i dokazati osnovni teorem Kummerove teorije, te nje-gove primjene i generalizacije.

Literatura:H. Cohen, Number Theory, Volume I: Tools and Diophantine Equations, Springer, 2007.

J. W. Cassels i A. Frohlich, Algebraic number theory, Springer, 1997.

© PMF–MO78

Slobodna tema

Mentor: Nakić Ivica

Princip jedinstvenog produljenja i njegoveprimjene u teoriji upravljanja

Područje: Parcijalne diferencijalne jednadžbe


Preduvjeti: Parcijalne diferencijalne jednadžbe, Normirani prostori

Opis teme: Princip jedinstvenog produljenja, koj tvrdi da svako rješenje parcijalnediferencijalne jednadžbe koje isčezava na maloj kugli mora biti svugdje nula funda-mentalno je svojstvo s raznim primjenama.U diplomskom radu student bi izložio osnovne rezultate vezane uz princip jedins-tvenog produljenja, s naglaskom na pitanja upravljivosti parcijalnih diferencijalnihjednadžbi.

Literatura:L. Rosier, A survey of controllability and stabilization results for partial differential equ-ations, Journal européen des systèmes automatisés, vol. 41, no. 3–4, 365–411 (2007)

S. Micu, E. Zuazua, An Introduction to the Controllability of Partial Differential Equ-ations, In: Quelques questions de théorie du contrôle, Collection Travaux en Cours,Editions Hermann, 69–157 (2005)

D. Borisov, I. Nakić, C. Rose, M. Tautenhahn, I. Veselić,Multiscale unique continuationproperties of eigenfunctions, In:Operator semigroups meet complex analysis, harmo-nic analysis and mathematical physics, Birkhäuser Basel, 2015.

© PMF–MO79

Slobodna tema

Mentor: Ott Katarina

Socio-ekonomske odrednice transparentnostidržavnih proračuna

Područje: ekonomija


Preduvjeti: položen kolegij Ekonomika javnog sektora

Opis teme: Cilj je rada utvrditi varijable koje bi mogle biti povezane s transparent-nošću državnih proračuna zemalja obuhvaćenih istraživanjem Open Budget Surveyu okviru kojeg International Budget Partnership iz Washingtona izračunava razinutransparentnosti državnih proračuna (Open Budget Index - OBI). Varijable koje bimogle biti povezane s OBI-jem pokušat će se utvrditi na temelju dostupnih socio-ekonomskih podataka. Student/ica će se upoznati s područjem proračunske trans-parentnosti i literaturom i bazama potrebnim za utvrđivanje povezanih varijabli, teekonometrijskim metodama pokušati utvrditi povezanost odabranih varijabli s tran-sparentnošću državnih proračuna odabranih zemalja.

Literatura:https://www.internationalbudget.org/open-budget-survey

https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/S0305750X12001647?via%3Dihub

https://www.ijf.hr/hr/istrazivanja/hrzz-projekti/1053/olbi/1064/literatura/1150/

© PMF–MO80

https://www.internationalbudget.org/open-budget-survey





Slobodna tema

Mentor: Ott Katarina

Institucionalne odrednice transparentnostidržavnih proračuna

Područje: ekonomija


Preduvjeti: položen kolegij Ekonomika javnog sektora

Opis teme: Cilj je rada utvrditi varijable koje bi mogle biti povezane s transparent-nošću državnih proračuna zemalja obuhvaćenih istraživanjem Open Budget Surveyu okviru kojeg International Budget Partnership iz Washingtona izračunava razinutransparentnosti državnih proračuna (OpenBudget Index -OBI). Varijable koje bimo-gle biti povezane s OBI-jem pokušat će se utvrditi na temelju dostupnih institucional-nih podataka. Student/ica će se upoznati s područjem proračunske transparentnostii literaturom i bazama potrebnim za utvrđivanje povezanih varijabli, te ekonometrij-skim metodama pokušati utvrditi povezanost odabranih varijabli s transparentnošćudržavnih proračuna odabranih zemalja.

Literatura:https://www.internationalbudget.org/open-budget-survey



© PMF–MO81

https://www.internationalbudget.org/open-budget-survey





Slobodna tema

Mentor: Pandžić Pavle

Reprezentacije konačnih grupa

Područje: algebra


Preduvjeti: nema

Opis teme: Uovoj se temi obrađuju osnove teorije konačnodimenzionalnih reprezen-tacija i karaktera u primjeru konačnih grupa. Uključene su i standardne konstrukcijekao induciranje i tenzorski produkti reprezentacija. Sve je ilustrirano konkretnim pri-mjerima.

Literatura:J.-P. Serre, Linear representations of finite groups, Springer, 1977.

W. Fulton, J. Harris, Representation theory. A first course., Springer, 1991.

© PMF–MO82

Slobodna tema


Proste kompleksne Liejeve algebre

Područje: algebra


Preduvjeti: nema

Opis teme: U ovoj se temi obrađuju osnove teorije Liejevih algebri te klasifikacijakompleksnih prostih Liejevih algebri pomoću njihovih sistema korijena.

Literatura:J. Humphreys, Introduction to Lie algebras and Representation Theory, Springer, 1997.

W. Fulton, J. Harris, Representation theory. A first course., Springer, 1991.

© PMF–MO83

Slobodna tema


Realne forme prostih Liejevih algebri

Područje: algebra


Preduvjeti: nema

Opis teme: U ovoj se temi pretpostavlja klasifikacija kompleksnih prostih Liejevihalgebri i na osnovu nje se dobiva klasifikacija realnih prostih Liejevih algebri. Osnov-na metoda je korištenje tzv. Voganovih dijagrama.

Literatura:A. W. Knapp, Lie groups: beyond an introduction, Birkhäuser, Boston, 1996.

W. Fulton, J. Harris, Representation theory. A first course, Springer, 1991.

© PMF–MO84

Slobodna tema


Konačne grupe refleksija

Područje: algebra


Preduvjeti: nema

Opis teme: U ovoj se temi obrađuju osnove teorije konačnih grupa refleksija. Osnov-ni su primjeri Weylove grupe sistema korijena.

Literatura:L. C. Grove, T. C. Benson, Finite reflection groups, Springer, 1985.

J. Humphreys, Introduction to Lie algebras and Representation Theory, Springer, 1997.

W. Soergel, Spiegelungsgruppen und Wurzelsysteme,

http://home.mathematik.uni-freiburg.de/soergel/Skripten/XXSPIEG.pdf

© PMF–MO85

http://home.mathematik.uni-freiburg.de/soergel/Skripten/XXSPIEG.pdf

Slobodna tema

Mentor: Pažanin Igor

Asimptotička analiza i primjene


Prikladno za studij: Primijenjena matematika

Preduvjeti: nema

Opis teme: Cilj ovog rada upoznati je studenta sa osnovnimmetodama asimptotičkeanalize i mogućnostima njihove primjene. Posebna pažnja posvetila bi se primjeniasimptotičkih metoda pri proučavanju višeskalnih problema koji se javljaju u meha-nici fluida.

Literatura:J.K.Hunter, Asymptotic Analysis and Singular Perturbation Theory, University of Cali-fornia at Davis, 2004.

R.Kh.Zeytounian, Asymptotic Modelling of Fluid Flow Phenomena, Kluwer AcademicPublishers, 2002.

I.Aganović, Uvod u rubne zadaće mehanike kontinuuma, Element, 2003.

© PMF–MO86

Slobodna tema


Stokesov sustav



Preduvjeti: nema

Opis teme: Stokesov sustav predstavlja linearizaciju Navier-Stokesovih jednadžbi idobro opisuje tok newtonovskog fluida za male Reynoldsove brojeve. U ovom radurazmatrale bi se stacionarne Stokesove jednadžbe u ograničenom području. Nakonizvoda jednadžbi iz temeljnih zakona sačuvanja, uveli bi se odgovarajući funkcijskiprostori te izložila njihova osnovna svojstva. Glavni dio rada bio bi posvećen varija-cijskoj formulaciji polaznog problema i dokazu egzistencije i jedinstvenosti rješenja.

Literatura:R. Temam, Navier-Stokes equations, Vol I, North-Holland, 1977.

G. P. Galdi, An Introduction to the Mathematical Theory of the Navier-Stokes Equations,Vol I, Springer, 1997.

I. Aganović, Uvod u rubne zadaće mehanike kontinuuma, Element, 2003.

© PMF–MO87

Slobodna tema


Reynoldsov zakon



Preduvjeti: nema

Opis teme: U teoriji lubrikacije (podmazivanja) promatra se tok tankog sloja mazi-va koji razdvaja dvije hrapave površine koje se gibaju jedna u odnosu na drugu. Ciljovog rada izvesti je osnovni Reynoldsov zakon i dovesti ga u vezu s temeljnim zakoni-ma sačuvanja. Također, diskutirali bi se i određeni modeli iz recentne literature kojipredstavljaju korekcije Reynoldsovog zakona.

Literatura:A. Z. Szeri, Fluid Film Lubrication, Cambridge University Press, 2010.

G. Bayada, M. Chambat, The transition between the Stokes equations and the Reynoldsequation: A mathematical proof, Appl .Math. Opt. 14 (1986), 73–93.

© PMF–MO88

Slobodna tema


Neizotermni tok fluida u poroznoj sredini



Preduvjeti: nema

Opis teme: Proučavanje toka fluida u poroznoj sredini od iznimnog je značaja sapraktičnog stanovišta. Polazeći od temeljnih zakona sačuvanja, u ovom radu izvelibi osnovne jednadžbe koje opisuju neizotermni tok u poroznoj sredini te diskutiralipripadne rubne uvjete. Također, bavili bi se i primjerima jednostavnih tokova za kojeje moguće odrediti točna rješenja.

Literatura:D. A. Nield, A. Bejan, Convection in Porous Media, Springer, 2017.

P. M. Adler, Porous Media: Geometry and Transports, Butterworth–Heinemann, 1992.

© PMF–MO89

Slobodna tema

Mentor: Pejković Tomislav

Fareyjevi nizovi

Područje: teorija brojeva, kombinatorika

Prikladno za studij: Teorijska matematika, Računarstvo i matematika, Matematika;smjer: nastavnički, Matematika i informatika; smjer: nastavnički, Matematika i fizi-ka; smjer: nastavnički

Preduvjeti: nema

Opis teme: U radu će se proučiti svojstva Fareyjevih nizova, njihovih podnizova tepreslikavanjameđu njima koja zadovoljavaju neka svojstva (bijektivnost, monotonostitd.).

Literatura:A. Hatcher, Topology of Numbers, preprint.

A. O. Matveev, Farey sequences. Duality and maps between subsequences, De Gruyter,Berlin 2017.

© PMF–MO90

Slobodna tema

Mentor: Perše Ozren

Jordanove algebre

Područje: Algebra


Preduvjeti: Dobro poznavanje gradiva kolegija ”Vektorski prostori” i ”Algebra”

Opis teme: U ovom radu se planira proučavati strukturna teorija Jordanovih algebri.

Literatura:K. McCrimmon, A Taste of Jordan algebras, Springer, 2004.

© PMF–MO91

Slobodna tema


Poluproste Liejeve algebre

Područje: Algebra


Preduvjeti: Dobro poznavanje gradiva kolegija ”Vektorski prostori” i”Algebra”

Opis teme: Uovom radu planiraju se obraditi neke osnovne teme iz strukturne teorijepoluprostih Liejevih algebri i njihovih reprezentacija, kao što su Cartanova podalge-bra, korijenska dekompozicija, moduli najveće težine i sl.

Literatura:J. E. Humphreys, Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, GraduateTexts in Mathematics, Springer–Verlag, New York-Berlin, 1972.

© PMF–MO92

Slobodna tema


Liejeve grupe i Liejeve algebre

Područje: Algebra


Preduvjeti: Dobro poznavanje gradiva kolegija ”Vektorski prostori” i ”Algebra”

Opis teme: U ovom radu se planiraju proučavati pojmovi Liejeve grupe i Liejeve al-gebre, te njihove međusobne veze.

Literatura:J. S. Milne, Lie Algebras, Algebraic Groups, and Lie Groups (online)

N. Bourbaki, Elements of Mathematics, Lie Groups and Lie Algebras, Springer 2005.

© PMF–MO93

Slobodna tema

Mentor: Radunović Goran

Geometrijska zeta funkcija fraktalne strune

Područje: fraktalna geometrija, kompleksna analiza


Preduvjeti: kompleksna analiza, mjera i integal, metrički prostori

Opis teme: Proučile bi se osnove teorije geometrijske zeta funkcije definirane za frak-talne strune, tj. fraktalne podskupove realnog pravca te pripadajuće teorije komplek-snih dimenzija. Kompleksne dimenzije su definirane kao polovi pripadajuće fraktalnezeta funkcije te poopćuju dobro poznati pojam dimenzije Minkowskog. Poseban na-glasak bi se dao specijalnom slučaju sebi-sličnih fraktalnih struna.

Literatura:M. L. Lapidus, M. van Frankenhuijsen, Fractal Geometry, Complex Dimensions and ZetaFunctions: Geometry and Spectra of Fractal Strings, SpringerMonographs inMathema-tics, 2nd Edition, Springer, 2012.

M. L. Lapidus, G. Radunović, D. Žubrinić, Fractal Zeta Functions and Fractal Drums:Higher–Dimensional Theory of Complex Dimensions, Springer Monographs in Mathe-matics, Springer, 2017.

K. Falconer, Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications, 3rd Editi-on, Wiley, 2014.

© PMF–MO94

Slobodna tema


Fraktalni skupovi generirani transformacijama

Područje: fraktalna geometrija


Preduvjeti: integral i mjera, metrički prostori

Opis teme: Proučavali bi se fraktalni skupovi generirani transformacijama, tj. sis-temima iteriranih funkcija. Najvažniji primjeri ovakvih fraktala su sebi-slični i sebi-afini skupovi. Prethodno bi se uvelo pojmove Hausdorffove dimenzije, box dimenzijei dimenzije Minkowskog te proučilo njihova glavna svojstva. Dokazali bi se glavni te-oremi o dimenzijama sebi-sličnih i sebi-afinih skupova.

Literatura:K. Falconer, Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications, 3rd Editi-on, Wiley, 2014.

G. David, S. Semmes, Fractured Fractals and Broken Dreams: Self-Similar Geometrythrough Metric and Measure, Oxford Lecture Series in Mathematics and Its Applicati-ons (Book 7), Clarendon Press, 1998.

© PMF–MO95

Slobodna tema


Fraktalna svojstva grafova nigdjediferencijabilnih funkcija

Područje: fraktalna geometrija, realna analiza


Preduvjeti: metrički prostori

Opis teme: Proučavala bi se fraktalna svojstva grafova neprekidnih funkcija koje nisunigdje diferencijabilne. Neke od poznatih takvih funkcija su Knoppova i Weierstra-ssova. Prethodno bi se uveo pojam fraktalne dimenzije te proučila glavna svojstva.

Literatura:C. Tricot, Curves and Fractal Dimension, Springer, 1995.

K. Falconer, Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications, 3rd Editi-on, Wiley, 2014.

© PMF–MO96

Slobodna tema


Egzistencija meromorfnih funkcija i teorem oRiemannovom preslikavanju

Područje: kompleksna analiza


Preduvjeti: kompleksna analiza

Opis teme: Proučavali bi se napredniji koncepti kompleksne analize kao što su anali-tička proširivost, konformna preslikavanja i kompaktifikacija s ciljem dokazivanja trifundamentalna teorema: Mittag-Lefflerov teorem o egzistenciji meromorfnih funk-cija s unaprijed predodređenim polovima; Weierstrassov teorem o egzistenciji holo-morfnih funkcija s unaprijed predodređenim nulama te teorem o Riemannovom pres-likavanju.

Literatura:W. Schlag, A Course in Complex Analysis and Riemann Surfaces, Graduate Studies inMathematics (Book 154). Amer. Mathematical Society, 2014.

S. Lang, Complex Analysis, Graduate Texts in Mathematics (Book 103), Springer, 4thedition, 2003.

© PMF–MO97

Slobodna tema

Mentor: Resman Maja

Redovi potencija i asimptotski razvoji

Područje: Analiza


Preduvjeti: nema

Opis teme: U radu će se promatrati osnovna teorija redova potencija u kompleksnojravnini, formalni redovi, te razlika između asimptotskih razvoja i konvergencije. Pro-učavat će se i mogućnost deriviranja asimptotskog razvoja član po član, na realnompravcu, te u kompleksnoj ravnini.

Literatura:S. Lang, Complex analysis, Graduate texts in mathematics, Springer, 2002.

W. Wasow, Asymptotic expansions for ordinary differential equations, Dover Publicati-ons, 2018.

© PMF–MO98

Slobodna tema

Mentor: Resman Maja

Dinamika racionalnih preslikavanja naRiemannovoj sferi i izračunljivost njihovih Julia

skupova

Područje: Kompleksna analiza, Dinamički sustavi


Preduvjeti: nema

Opis teme: U radu će se proučavati osnovna svojstva dinamike racionalnih preslika-vanja na Riemannovoj sferi i njihovi Julievi skupovi. Osnovno pitanje je asimptotskoponašanje diskretnih trajektorija pod iteracijama. Vezano uz to, proučavaju se Julieviskupovi racionalnih preslikavanja-komplementi skupova oko kojih se iteracije pona-šaju asimptotski stabilno. Julievi skupovi su obično fraktalni objekti i od posebnoginteresa je moći ih za dano preslikavanje nacrtati na računalu. Na nekim primjerimase proučava izračunljivost Julievih skupova racionalnih preslikavanja, tj. pokušava seodgovoriti pitanje pod kojim uvjetima se može nacrtati Julia skup na računalu do naproizvoljnu preciznost.

Literatura:M. Braverman, M. Yampolsky, Computability of Julia sets, Springer-Verlag Berlin He-idelberg (2009)

L. Carleson, T. W. Gamelin, Complex dynamics, (Universitext). Springer, New York,1993.

J. Milnor, Dynamics in one complex variable, 3rd edition, Princeton University Press,2011.

© PMF–MO99

Slobodna tema

Mentor: Resman Maja

Lokalna i globalna verzija Cauchyjeve integralneformule i primjene

Područje: Kompleksna analiza


Preduvjeti: nema

Opis teme: U radu se dokazuju standardna lokalna i globalna verzija Cauchyjeve for-mule za lance. Cauchyjeva formula ima mnogobrojne vrlo važne primjene koje kom-pleksnu ravninu čine boljim okruženjem od realne i opravdava u njoj mnoge željenerezultate koji ne vrijede u realnom svijetu: opravdava deriviranje asimptotskih ra-zvoja član po član, analitičnost uniformnog limesa analitičkih funkcija, analitičnostderivabilne funkcije itd. U radu će biti raspravljene neke primjene.

Literatura:L. V. Ahlfors, Complex analysis, 3rd edition, McGraw Hill, 1979.

S. Lang, Complex analyis, 4th edition, Springer–Verlag, New York, 1999.

T. Needhan, Visual complex analysis, Oxford University Press, 1997.

W. Wasow, Asymptotic expansions for ordinary differential equations, Dover, 2018.

© PMF–MO

100

Slobodna tema

Mentor: Resman Maja

Divergentni redovi i Gevreyeva sumabilnost

Područje: Analiza


Preduvjeti: nema

Opis teme: U primjenama (rješavanje diferencijalnih jednadžbi, integralne transfor-macije), rješenja su često divergentni formalni redovi, s asimptotskim razvojem u obli-ku reda potencija. Ocjene ostatka takvih divergentnih redova često posjeduju nekuuniformnost, tipa Gevreyevih ocjena. To omogućava sektorijalnu sumabilnost diver-gentnih redova u Cmetodom Borel-Laplaceove transformacije. Primjer je rješavanjepoznate Eulerove diferencijalne jednadžbe uC, čije je formalno rješenje divergentan,ali Gevreyev formalni red.

Literatura:W. Balser, From divergent power series to analytic functions, Springer, 1994.

https://dms.umontreal.ca/~rousseac/Rousseau_divergent_series.pdf

https://dms.umontreal.ca/~rousseac/divergent.pdf

M. Loday–Richaud, Divergent series, Summability and Resurgence II, Springer, 2016.

© PMF–MO

101

https://dms.umontreal.ca/~rousseac/Rousseau_divergent_series.pdf

https://dms.umontreal.ca/~rousseac/divergent.pdf

Slobodna tema

Mentor: Singer Sanja

Randomizirani algoritmi za rješavanje linearnihsustava



Preduvjeti: nema

Opis teme: Najveći problem brzog računanja LR faktorizacije ili simetrične indefi-nitne faktorizacije je traženje pivotnih elemenata ili podmatrica (nužno za stabilnoračunanje), jer to znatno usporava proces faktorizacije za matrice velikih dimenzija.Način na koji se traženje najboljih pivota može izbjeći je randomizacija, samo je pi-tanje koliko je tako dobivena faktorizacija stabilno izračunata. Ideja rada je nume-rički usporediti stabilnost i trajanje randomizirane LR faktorizacije s LR faktorizaci-jom izračunatom korištenjem parcijalnog i potpunog pivotiranja i/ili randomiziranesimetrične indefinitne faktorizacije s odgovarajućim faktorizacijama dobivenim ko-rištenjem različitih vrsta pivotiranja.

Literatura:D. Becker, M. Baboulin, J. Dongarra, Reducing the amount of pivoting in symmetric in-definite systems, u Parallel Processing in Applied Mathematics, Part I (Proceedingsof the 9th International Conference, PPAM 2011, Torun, Poland), R. Wyrzykowski, J.Dongarra, K. Karczewski, J. Waśniewski (eds.), LNCS 7203, 33–142, Springer Verlag2012.

D. S. Parker, D. Lê, How to Eliminate Pivoting from Gaussian Elimination – by Randomi-zing Instead, Technical Report CSD–950022, UCLA Computer Science Department.

D. S. Parker, D. Lê, Using randomization to make recursive matrix algorithms practical,Jou. Functional Programming, 9 (1999), no. 6, 605–624

© PMF–MO

102

Slobodna tema

Mentor: Singer Sanja

Računanje generalizirane singularnedekompozicije



Preduvjeti: nema

Opis teme: Generalizirana singularna dekompozicija poopćava singularnu dekom-poziciju na dvije matrice. Sama struktura dekompozicije slična je običnoj singularnojdekompoziciji. Matrica lijevih generaliziranih singularnih vektora jest unitarna, alije u pravilu različita kod obje matrice, dok je desna matrica singularnih vektora kodobje matrice ista, ali više ne mora biti unitarna.Postoje mnogi načini računanja generalizirane singularne dekompozicije, od kojihneki rade na obje matrice, dok drugi svode problem na standardnu singularnu de-kompoziciju.Cilj rada je opisati neke od algoritama i ustanoviti njihovu točnost i efikasnost.

Literatura:Z. Drmač, Computing the Singular and the Generalized Singular Values, doktorska di-sertacija, FernUniversität–Gesamthochschule, Hagen, 1994.

V. Hari, Globally convergent Jacobi methods for positive definite matrix pairs, Numer. Al-gorithms, 79 (2018), no. 1, 221–249

V.Novaković, S. Singer, S. Singer, Blocking and parallelization of theHari–Zimmermannvariant of the Falk–Langemeyer algorithm for the generalized SVD, Parallel Comput., 49(2015), 136–152

© PMF–MO

103

Slobodna tema

Mentor: Slijepčević Siniša

Dinamika reakcijsko-difuzijske jednadžbe sentropijskom strukturom

Područje: Dinamički sustavi, Parcijalne diferencijalne jednadžbe


Preduvjeti: Parcijalne diferencijalne jednadžbe

Opis teme: Obradit će se osnovna svojstva klase reakcijsko-difuzijskih jednadžbi sentropijskom strukturom.

Literatura:J. Robinson, Infinite-Dimensional Dynamical Systems, An Introduction toDissipative Pa-rabolic PDEs and the Theory of Global Attractors, Cambridge Texts in Applied Mathe-matics, 2001.

© PMF–MO

104

Slobodna tema

Mentor: Šiftar Juraj

Steinerovih 10 teorema o potpunomčetverostranu

Područje: Geometrija

Prikladno za studij: Matematika; smjer: nastavnički

Preduvjeti: nema

Opis teme: Potpuni četverostran je ravninska geometrijska figura koja se sastoji odčetiri pravca takva da se u parovima sijeku u šest različitih točaka, zajedno s tih šesttočaka kao ”vrhova”. Osobito je važna u projektivnoj geometriji, a i u geometriji kruž-nica.Znameniti švicarski geometričar Jakob Steiner objavio je 1828. kratku bilješku u kojojje naveo deset zanimljivih svojstava potpunog četverostrana – primjerice, da su or-tocentri četiri trokuta određena s po tri od navedenih pravaca četiri kolinearne točke.Nadalje, kružnice opisane tim trokutima sijeku se u jednoj točki, a to sjecište zajednosa središtima opisanih kružnica čini petorku koncikličkih točaka.U diplomskom radu izložit će se dokazi i međusobne veze nekih od Steinerovih te-orema, pri čemu će se primjenjivati prikladni pristup, od projektivno sintetičkog dometode baricentričkih koordinata.

Literatura:J. Steiner, Annales de Gergonne, XVIII (1827) p. 302; reprinted in Gesammelte Werke,2 volumes, edited by K. Weierstrass, 1881; Chelsea reprint.

J.-P. Ehrmann, Steiner’s Theorems on the Complete Quadrilateral, ForumGeom., Vol. 4(2004), 35–52

© PMF–MO

105

Slobodna tema

Mentor: Šiftar Juraj

Primjene konačnih geometrija u kriptografiji

Područje: Konačne geometrije, kriptografija

Prikladno za studij: Matematika; smjer: nastavnički, Matematika i informatika;smjer: nastavnički

Preduvjeti: nema

Opis teme: Projektivni i afini prostori nad konačnim poljima klasične su konačno-geometrijske strukture. Uz dizajniranje eksperimenata i različite oblike optimizacije,njihove su najvažnije primjene u području kodiranja i kriptografije.U prvom dijelu diplomskog rada izložit će se osnovne činjenice i rezultati o projek-tivnim prostorima PG(n, q), projektivne dimenzije n nad poljem GF(q), a zatim ne-ki temeljni pojmovi teorije linearnih kodova. U središnjim poglavljima prikazat ćese konstrukcije shema s dijeljenjem tajnog ključa (secret sharing schemes), familijadostupnosti (access structures) i kodova za autentifikaciju poruka (MAC) zasnovanena strukturi projektivnih prostora i linearnih kodova. Primjerice, teorem autora Ito,Saito i Nishizieki pokazuje da se familija dostupnosti Γmože realizirati kao konfigu-racija potprostora u PG(d, q) za dovoljno veliki d. To znači da se članovima od Γmogupridružiti stanoviti potprostori te definirati tajni potprostor koji je sadržan samo uljuskama potprostora pridruženih članovima familije.

Literatura:A. Klein, L. Storme, Applications of finite geometry in coding theory and cryptography,Information Security, Coding Theory and Related Combinatorics 2011, 38–58http://www.math.uniri.hr/NATO-ASI/abstracts/storme.pdf.

A. Beutelspacher, U. Rosenbaum, Projective Geometry: From Foundations to Applicati-ons, Cambridge University Press, 1998.

© PMF–MO

106

http://www.math.uniri.hr/NATO-ASI/abstracts/storme.pdf.

Slobodna tema

Mentor: Širola Boris

Harmonijske funkcije

Područje: Analiza


Preduvjeti: Poznavanje materije iz preddiplomskog kolegija Kompleksna analiza.

Opis teme: Realni dio u(x, y) i imaginarni dio v(x, y), holomorfne funkcije f(z) =u+ ıv jedne kompleksne varijable z = x+ ıy, zadovoljavaju tzv. Laplaceovu diferenci-jalnu jednadžbu; tj. vrijedi∆u = ∆v = 0, gdje je operator∆ = ∂2/∂x2+∂2/∂y2. Takvefunkcije, klaseC2, zovu se harmonijske funkcije. Harmonijske funkcije su najklasični-ja i najosnovnija rješenja u klasi tzv. eliptičkih parcijalnih diferencijalnih jednadžbi.Tema ovog rada je proučiti harmonijske funkcije metodama kompleksne analize.

Literatura:R. E. Greene, S. G. Krantz, Function theory of one complex variable, Graduate Studiesin Math., Vol. 40, Amer. Math. Soc., Providence, 2006.

© PMF–MO

107

Slobodna tema


Transcendentnost brojeva e i π



Preduvjeti: nema

Opis teme: Kompleksan broj α ∈ C je algebarski ako postoji polinom P (x) sa cje-lobrojnim koeficijentima, stupnja barem 1, čija je α nultočka. Ako kompleksan brojnije algebarski, kažemo da je on transcendentan. Skup svih algebarskih kompleksnihbrojeva je polje; tzv. polje algebarskih brojeva u C. Činjenica je da je to polje prebro-jiv skup, što znači da je skup svih transcendentnih brojeva neprebrojiv; ili drugačijerečeno, transcendentnih brojeva ima “daleko više” nego algebarskih brojeva. Ali is-to tako, činjenica je kako je u pravilu vrlo netrivijalan problem pokazati da je nekikonkretan kompleksan broj transcendentan. U ovom bi se radu dalo potpuno deta-ljan dokaz teorema da su dva važna realna broja, broj π i baza prirodnih logaritama e,transcendentni brojevi. Dokazi tih rezultata koriste neke osnovne činjenice iz anali-ze, elementarne teorije brojeva i algebre (cjelobrojnih) polinoma; koji su korišteni unetrivijalnom nizu argumenata koji realiziraju spomenute dokaze.

Literatura:L. K. Hua, Introduction to number theory, Springer, Berlin, 1982.

© PMF–MO

108

Slobodna tema


Neprekidne funkcije na kompaktima:Stone–Weierstrassov i Ascolijev teorem

Područje: Analiza


Preduvjeti: Poznavanje materije iz kolegijaMetrički prostori i Vektorski prostori.

Opis teme: Neka je K kompaktan podskup od Rn. Tada je svaku realnu neprekid-nu funkciju na K moguće uniformno aproksimirati polinomima od n varijabli; to jeklasična forma slavnog Stone–Weierstrassovog teorema. U ovom se radu dokazujegeneralizirana forma spomenutog teorema, i to kako za realne tako i za kompleksneneprekidne funkcije na kompaktima. U nastavku rada daje se jedan vrlo koristan kri-terij kompaktnosti za podskupove tzv. funkcijskih prostora za neprekidne funkcije nakompaktnim skupovima. To je predmet jednog drugog važnog rezultata; tzv. Ascoli-jevog teorema.

Literatura:S. Lang, Real and functional analysis. Third Ed., Graduate Texts in Math., Vol. 142,Springer, New York, 1993.

© PMF–MO

109

Slobodna tema


Realna kvadratna proširenja



Preduvjeti: Poznavanjematerije iz preddiplomskih kolegijaAlgebarske strukture iTe-orija brojeva.

Opis teme: Predloženi rad bavio bi se kvadratnimproširenjima polja racionalnih bro-jeva, i to prvenstveno tzv. realnim kvadratnim proširenjima. U prstenu cijelih kva-dratnog proširenja dobro je definiran pojam tzv. poretka. Cilj rada bio bi dobiti nekestrukturne rezultate za prsten cijelih, te za općeniti poredak u njemu (jedinice, ideali,prosti ideali, faktorizacija,...). Zavisno o volji kandidata, rad bi predtstavljao manjeili više temeljit uvod u algebarsku teoriju brojeva; tako što bi se bolje razumijele nekeosnovne ideje te bogate i važne matematičke discipline.

Literatura:M. J. Jacobson Jr., H. C. Williams, Solving the Pell equation, CMS Books in Math., Ca-nadian Math. Soc., Springer, New York, 2009.

© PMF–MO

110

Slobodna tema

Mentor: Štimac Sonja

Kaos u jednodimenzionalnoj dinamici

Područje: Dinamički sustavi


Preduvjeti: nema

Opis teme: Nelinearni diskretni dinamički sustavi su zanimljivo i važno područjematematike. Ova tema je namijenjena studentima koji se žele upoznati s osnovamatog područja. Posebna pažnja bila bi posvećena teoriji kaosa u jednodimenzionalnojdinamici.

Literatura:R. L.Devaney,An Introduction toChaoticDynamical Systems, TheBenjamin/CummingsPublishing Co., 1986.

© PMF–MO

111

Slobodna tema

Mentor: Tambača Josip

Numerička metoda za problem interakcije 3Delastičnog tijela i 1D elastičnog štapa

Područje: Matematičko modeliranje, PDJ, numerika


Preduvjeti: nema

Opis teme: Problemi interakcije različitih kontinuuma, te kontinuuma različitih di-menzija zadnjih godina predmet su velikog interesa u matematičkoj zajednici. Iakopostoji problem kod formulacije problema interakcije 3D i 1D elastičnih tijela, nu-merička aproksimacija u okviru metode konačnih elemenata je dohvatljiva. Zadatakrada je napraviti numeričku aproksimaciju i usporediti ju s rješenjem 3D modela zajednu strukturu koja je tanka.

Literatura:C. D’Angelo, A. Quarteroni, On the coupling of 1D and 3D diffusion-reaction equations.Application to tissue perfusion problems, Math. Models Methods Appl. Sci. 18 (2008),no. 8, 1481–1504

M. Jurak, Praktikum primijenjene matematike II. Metoda konačnih elemenata, skripta,PMF–MO, Zagreb, 2006.

© PMF–MO

112

Slobodna tema


C++ implementacija metode konačnihelemenata za Naghdijev model elastične ljuske

Područje: Numericka matematika


Preduvjeti: nema

Opis teme: Zadatak je implementirati u C++ metodu konačnih elemenata (FEM) zaproblem ravnoteže Naghdijevog modela elastične ljuske. Elemeti koje treba imple-mentirati su polinomijalni na triangulaciji poligonalne domene na trokute.

Literatura:M. Jurak, Praktikum primijenjene matematike II. Metoda konačnih elemenata, skripta,PMF–MO, Zagreb, 2006.

A.Valli, A.Quarteroni,Numerical Approximation of Partial Differential Equations, vol. 23of Springer Series in Computational Mathematics, Springer, Berlin, 1997.

T. Petrina, Implementacija metode konačnih elemenata za zadaću linearizirane elastič-nosti u 3D, diplomski rad, PMF–MO, Zagreb, 2010.

J. Tambača, Z. Tutek, A new linear Naghdi type shell model for shells with little regula-rity, Applied Mathematical Modelling 40 (2016), 23–24, 10549-10562.

© PMF–MO

113

Slobodna tema


Optimizacija forme zakrivljenog štapa



Preduvjeti: nema

Opis teme: Zadatak jemetodama optimizacije formulirati algoritam za nalaženje op-timalne forme štapa kako bi štap za zadanu silu imao minimalnu energiju.

Literatura:P. Neittaanmaki, J. Sprekels, D. Tiba, Optimization of elliptic systems, Theory and ap-plications, Springer, 2006.

J. T. Betts, Practical methods for optimal control using nonlinear programming, SIAM,2001.

D. E. Kirk, Optimal control theory. An introduction, Dover, 2004.


© PMF–MO

114

Slobodna tema


Redukcija dimenzije korištenjem PODdekompozicije u teoriji elastičnosti



Preduvjeti: nema

Opis teme: Prava ortogonalna dekompozicija (POD) jedna je metoda za redukcijudimenzije modela s puno stupnjeva slobode. Zadatak je ovom metodom reduciratimodel za neki konkretan problem u okviru teorije elastičnosti.

Literatura:J. Hesthaven, G. Rozza, B. Stamm, Certified reduced basis methods for parametrizedpartial differential equations, Springer, Cham; BCAM, Bilbao, 2016.


© PMF–MO

115

Slobodna tema

Mentor: Vuković Mladen

Automatski dokazivači teorema

Područje: Teorijsko računarstvo

Prikladno za studij: Računarstvo i matematika, Matematika i informatika; smjer:nastavnički

Preduvjeti: Matematička logika

Opis teme: Konstrukcija zatvorenih semantičkih stabala jedna je od metoda koja seprimjenjuje kod automatskih dokazivača teorema. U prvom dijelu diplomskog trebauvesti osnovne pojmove kao što su: Herbrandov univerzum, Herbrandova baza sku-pa, klauzula i semantička stabla, te navesti glavne činjenice o uvedenim pojmovima.Glavni cilj diplomskog je proučiti program HERBY, te ga detaljno opisati. Svakakotreba na više primjera iz elementarne geometrije i teorije brojeva ilustrirati primjenuprograma HERBY.

Literatura:M. Newborn, Automated Theorem Proving. Theory and Practice, Springer, 2001.

D. A. Plaisted, Y. Zhu, The Efficiency of Theorem Proving Strategy, VieWeg, 1999.

© PMF–MO

116

Slobodna tema

Mentor: Vuković Mladen

Skupovi u nastavi matematike u osnovnoj isrednjoj školi

Područje: Metodika nastave matematike


Preduvjeti: nema

Opis teme: Prvi zadaci diplomskog rada su pregledati i usporediti dostupne (sadaš-nje i bivše) programe i kurikulume nastave matematike u RH u vezi sadržaja iz teorijeskupova. Zatim, u diplomskom bi trebalo dati osvrt na sadržaje o skupovima u pos-tojećim udžbenicima iz matematike za osnovnu i srednju školu u RH. Glavni zadatakdiplomskog rada je kreirati prijedlog priprema za nastavne sate u kojima se obrađujuskupovi. Svakako bi bilo dobro dati osvrt o sadržajima o skupovima u nastavi ma-tematike u nekim drugim zemljama. Koristeći stručne članke trebalo bi dati i nekikritički osvrt o sadržajima iz teorije skupova koji su navedeni u postojećem kurikuli-ma matematike za osnovnu i srednju školu.

Literatura:Programi i kurikulumi nastave matematike u RH

Udžbenici iz matematike za osnovnu i srednju školu

V. G. Kirin, Što i kako sa skupovima?, Matematika, 1977., no. 2, 25–29

Z. Šikić, Što su skupovi u školi?, Matematika, 1989, no. 3, 19–30

Ž.Vrcelj, Skupovi–primjeri rada učeničkog timau razredu, Matematika i škola, 20(2003),207–210

Milana Vuković, Mladen Vuković, U potrazi za skupovima, Poučak, 41 (2010), 61-67;48-49

© PMF–MO

117

Documents

Temezadiplomskeradove zaak.godinu2019/2020 · 2020. 8. 18. · Temezadiplomskeradove zaak.godinu2019/2020 PMF–Matematičkiodsjek Popistema AntonićNenad:Razlomljenederivacijeiprimjene