Teor a de las Comunicaciones Espacios vectoriales...Algunas de niciones Algunas consecuencias de las de niciones anteriores: Si 0 2C )C es l.d. Si C es l.d., entonces un v i 2C se

Teorıa de las ComunicacionesEspacios vectoriales

Javier A. Smidt

Facultad de Ingenierıa - UNLP

06/03/20

Javier A. Smidt (FI-UNLP) Teorıa de las Comunicaciones Espacios vectoriales 06/03/20 1 / 14

Espacios vectoriales

Definicion: Espacio vectorial

Es un conjunto de elementos (vectores) V, asociado a un cuerpo K, condos operaciones definidas: suma y producto por un escalar. Lasoperaciones deben cumplir una serie de propiedades.



Propiedades de la suma

∀u, v,w ∈ V

Clausura: u + v ∈ V

Conmutativa: u + v = v + u

Asociativa: (u + v) + w = u + (v + w)

Existencia y unicidad de neutro: ∃0 ∈ V /u + 0 = u

Existencia y unicidad de opuesto: ∀u∃(−u)/u + (−u) = 0



Propiedades del producto por un escalar

∀α, β ∈ K y ∀u, v ∈ V

Clausura: αu ∈ V

Asociativa: α(βu) = (αβ)u

Existencia y unicidad de neutro: ∃1 ∈ K/1u = u

Distributiva respecto a la suma vectorial: α(u + v) = αu + αv

Distributiva respecto a la suma escalar: (α + β)u = αu + βu


Algunas definiciones

Combinacion lineal

Sean v1, ..., vn ∈ V y α1, ..., αn ∈ Kn∑

i=1

αivi es una combinacion lineal de {vi}

Conjunto linealmente dependiente

C = {vi}ni=1 es l.d. si existen α1, ..., αn ∈ K , no todos nulos, tal quen∑

i=1

αivi = 0

Conjunto linealmente independiente

Un conjunto que no es l.d., es l.i.:

C = {vi}ni=1 es l.i. sin∑

i=1

αivi = 0 si y solo si αi = 0∀i = 1, ..., n



Combinacion lineal

Sean v1, ..., vn ∈ V y α1, ..., αn ∈ Kn∑

i=1




i=1

αivi = 0




i=1




Combinacion lineal

Sean v1, ..., vn ∈ V y α1, ..., αn ∈ Kn∑

i=1




i=1

αivi = 0




i=1




Algunas consecuencias de las definiciones anteriores:

Si 0 ∈ C ⇒ C es l.d.

Si C es l.d., entonces un vi ∈ C se puede expresar como combinacionlineal de los otros restantes.



Subespacio

Sea V un e.v. sobre K . Un subconjunto W ⊂ V es un subespacio de V siel mismo es un e.v. sobre K con las mismas operaciones.

Espacio generado

El espacio generado por C = {vi} es el conjunto de todas las posiblescombinaciones lineales de {vi}. genC = {v/v =

∑mi=1 aivi , ai ∈ K}

Base

Una base de un espacio V es un conjunto l.i. que genera todo el espacio.Por ej., si B = {b1, ...,bn} es una base de V , entonces ∀v ∈ V ,v =

∑ni=1 vibi , donde {vi}, las coordenadas de v en B, es unico.

Teorema

Dado un e.v. V , cualquier base de V tiene la misma cantidad deelementos. Si esa cantidad es finita, se llama dimension de V .



Subespacio


Espacio generado



Base



Teorema




Subespacio


Espacio generado



Base



Teorema




Subespacio


Espacio generado



Base



Teorema




Proyeccion

Sea B = {b1, ...,bD} una base de V . Entonces ∀v ∈ V ,∃{vi}/v =

∑Di=1 vibi .

Partimos B en B1 = {b1, ...,bn} y B2 = {bn+1, ...,bD}. Notar queB1 ∪ B2 = B y B1 ∩ B2 = ∅

Llamamos a vp =n∑

i=1

vibi proyeccion de v sobre el subespacio generado

por B1, en la direccion de B2.



Producto interno

Es una aplicacion

V × V → K

v,u→ 〈v,u〉

con las siguientes propiedades:∀u, v,w ∈ V y a, b ∈ K

Linealidad: 〈au + bv,w〉 = a〈u,w〉+ b〈u,w〉Simetrıa hermıtica: 〈u, v〉 = 〈v,u〉∗

Positivo definido: 〈u,u〉 ≥ 0〈u,u〉 = ‖u‖2, donde ‖u‖ se llama norma de u

Obs.: 〈u,u〉 = 0⇔ u = 0



La norma de un vector puede usarse para definir la distancia entre dosvectores como

d(u, v) = ‖u− v‖

Dos observaciones:

Teroema del coseno:

d2 = ‖u− v‖ = 〈u− v,u− v〉 = 〈u,u− v〉 − 〈v,u− v〉= 〈u− v,u〉∗ − 〈u− v, v〉∗

= (〈u,u〉 − 〈v,u〉)∗ − (〈u, v〉 − 〈v, v〉)∗

= ‖u‖2 − 〈u, v〉 − 〈u, v〉∗ + ‖v‖2

= ‖u‖2 + ‖v‖2 − 2 Re{〈u, v〉}

d = 0⇔ u = v



Ortogonalidad

u y v son ortogonales si y solo si 〈u, v〉 = 0

Base ortogonal

B = {b1, ...,bD} es una base y ademas 〈bi ,bj〉 = 0 ∀i 6= j

Obs.: Si v =∑D

i=1 vibi , entonces ‖v‖2 =∑D

i=1 |vi |2‖bi‖2

Base ortonormal

Idem base ortogonal, pero ademas ‖bi‖ = 1 ∀i .En este caso ‖v‖2 =

∑Di=1 |vi |2



Ortogonalidad


Base ortogonal


Obs.: Si v =∑D


i=1 |vi |2‖bi‖2

Base ortonormal


∑Di=1 |vi |2



Ortogonalidad


Base ortogonal


Obs.: Si v =∑D


i=1 |vi |2‖bi‖2

Base ortonormal


∑Di=1 |vi |2



Sea B = {b1, ...,bD} una base de V y v ∈ V ⇒ v =∑D

i=1 vibi . ¿Comohallar las coordenadas {vi}?

〈v,bk〉 =

⟨D∑i=1

vibi ,bk

⟩=

D∑i=1

vi 〈bi ,bk〉(1)= vk‖bk‖

(2)= vk

(1) si la base es ortogonal(2) si la base es ortonormal

Teorema de Parseval generalizado

Si tenemos dos bases ortonormales B y B ′ distintas

‖v‖2 =D∑i=1

|vi |2 =D∑i=1

|v ′i |2





〈v,bk〉 =

⟨D∑i=1

vibi ,bk

⟩=

D∑i=1


(2)= vk




‖v‖2 =D∑i=1

|vi |2 =D∑i=1

|v ′i |2





〈v,bk〉 =

⟨D∑i=1

vibi ,bk

⟩=

D∑i=1


(2)= vk




‖v‖2 =D∑i=1

|vi |2 =D∑i=1

|v ′i |2


Espacios de senal

Los vectores son ahora funciones de una variable real.

Ej. 1:V = {funciones periodicas complejas de potencia finita}suma y producto usuales

producto interno: 〈f , g〉 =1

T

∫ T/2

−T/2f (t)g∗(t)dt

B = {e j2πnt/T , n ∈ Z} es una base ortonormal.

f (t) =∞∑

n=−∞cne

j2πnt/T con

cn = 〈f (t), e j2πnt/T 〉 =1

T

∫ T/2

−T/2f (t)e−j2πnt/Tdt

¿Que hace un filtro ideal? ¡Proyecta!


Espacios de senal




T

∫ T/2



f (t) =∞∑

n=−∞cne

j2πnt/T con

cn = 〈f (t), e j2πnt/T 〉 =1

T

∫ T/2




Espacios de senal




T

∫ T/2



f (t) =∞∑

n=−∞cne

j2πnt/T con

cn = 〈f (t), e j2πnt/T 〉 =1

T

∫ T/2




Espacios de senal




T

∫ T/2



f (t) =∞∑

n=−∞cne

j2πnt/T con

cn = 〈f (t), e j2πnt/T 〉 =1

T

∫ T/2


¿Que hace un filtro ideal?

¡Proyecta!


Espacios de senal




T

∫ T/2



f (t) =∞∑

n=−∞cne

j2πnt/T con

cn = 〈f (t), e j2πnt/T 〉 =1

T

∫ T/2




Espacios de senal

Ej. 2:V = {funciones complejas de energıa finita y banda limitada a BW}

Si muestreo x(t) ∈ V a fm = 1T > 2BW

x(t) =∞∑

n=−∞x(nT ) sinc

(t − nT

T

)


Espacios de senal

Ej. 2:V = {funciones complejas de energıa finita y banda limitada a BW}

Si muestreo x(t) ∈ V a fm = 1T > 2BW

x(t) =∞∑

n=−∞x(nT ) sinc

(t − nT

T

)


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