Teorema del valor medio

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Teorema del valor medioEn calculo diferencial, el teorema del valor medio o de Lagrange, es una propiedad de las

funciones derivables en un intervalo, se considera como uno de los teoremas mas

importantes del calculo.

Este teorema no se usa para resolver problemas matemáticos de forma directa, sino que por lo general es utilizado para

determinar otros teoremas del calculo, de aquí radica su importancia.

Definición del teorema del valor medio*“Si f es una función derivable en el intervalo

cerrado [a,b] y derivable en un intervalo

abierto (a,b), existe un numero c en el intervalo (a,b) tal que:”

*EL TERMINO MEDIO/PROMEDIO, HACE

REFERENCIA AL RITMO DE CAMBIO DE f EN EL INTERVALO [a,b]

Existe una forma alternativa de la formula de

valor medio, el cual nos dice que f es continua en [a,b] y derivable en (a,b) existe

un c en (a,b) en el cual: f(b) = f(a) + (b-a) f´(c)

El teorema del valor medio tiene muchas implicaciones relativas en las diversas

interpretaciones de la derivada.Geométricamente garantiza la existencia de una recta tangente paralela a la secante, que

une a los puntos:

[a, f(a)] ⋂ [b, f(b)]

Representación grafica del valor medio[b,(f(b)]

[a,f(a)]

En términos de ritmos de cambio, el teorema del valor medio implica que debe haber u

punto en (a,b) en el que el ritmo de cambio sea igual al ritmo medio de cambio de [a,b].

Ejemplo:Dada la funcion:

Hayar los valores en el intervalo (1,4) tal que

Como la pendiente de una secante que pasa por los puntos [1,f(1)] y [4,f(4)] esta representada por:

Como f satisface las condiciones del teorema, existe por lo menos una C para la cual f´(c)=1

Resolviendo tenemos que:

Y esto implica que existe una C=2

Bibliografía“Cálculo” Roland E. Larson (et.al.), 6ta

Edición. Mc Graw-Hill, Mexico.