El Teorema del Límite Central consiste en un conjunto de resultados acerca del comportamiento de las distribuciones muestrales. en el que se afirma, bajo ciertas hipótesis, que la distribución de las medias de un número muy grande de muestras se aproxima a una distribución normal.

El término Central, debido a Polyá (1920), significa fundamental, o de ìmportancia central, este describe el rol que cumple este teorema en la teoría de la probabilidad.Muchos grandes matemáticos colaboraron para desarrollar el teorema del límite central, sin embargo Laplace ocupa un lugar fundamental: a pesar de que nunca enunció formalmente este resultado, ni lo demostró rigurosamente, a él le debemos este importante descubrimeiento.

GEORGE POLYA PIERRE SIMON LAPLACE

"Para una población con una media m y una varianza s2, la distribución de las medias de todas las muestras posibles de tamaño n generadas de la población estarán distribuidas de forma aproximadamente normal asumiendo que el tamaño de la muestra es suficientemente grande."Con relación al teorema del límite central debemos enfatizar en:

1. Si el tamaño de la muestra n es suficientemente grande (n > 30) la distribución normal de las medias será aproximadamente normal. No importa si la población es

normal, sesgada u uniforme, si la muestra es grande el teorema se aplicará.

2. La media de la población y la media de todas las posibles muestras son iguales. Si la población es grande y un gran número de muestras son seleccionadas de esa población entonces la media de las medias muestrales se aproximará a la media poblacional.

3. La desviación estándar de la distribución muestral de las medias, a la que llamaremos error estándar, es

determinado por:

Teorema del límite centralTeorema del límite central

El El Lema de Límite CentralLema de Límite Central o o Teorema Central Teorema Central del Límitedel Límite indica que, bajo condiciones muy indica que, bajo condiciones muy generales, la distribución de la suma de variables generales, la distribución de la suma de variables aleatorias tiende a una Distribución Normal aleatorias tiende a una Distribución Normal (también llamada Distribución Gaussiana) cuando (también llamada Distribución Gaussiana) cuando la cantidad de variables es muy grande.la cantidad de variables es muy grande.

TeoremaTeorema: Sea : Sea XX1, 1, XX2, ..., 2, ..., XnXn una muestra aleatoria una muestra aleatoria de una distribución con media de una distribución con media μμ y varianza y varianza σ2σ2. . Entonces, si Entonces, si nn es suficientemente grande, la es suficientemente grande, la variable aleatoriavariable aleatoria

Tiene aproximadamente una distribución normal con Tiene aproximadamente una distribución normal con

También se cumple que siTambién se cumple que si

Tiene aproximadamente una distribución normal con Tiene aproximadamente una distribución normal con

Cuanto más grande sea el valor de n, mejor será la Cuanto más grande sea el valor de n, mejor será la aproximación.aproximación.

El Teorema del Límite Central garantiza una El Teorema del Límite Central garantiza una distribución normal cuando n es suficientemente grande.distribución normal cuando n es suficientemente grande.

La aproximación entre las dos distribuciones es, en La aproximación entre las dos distribuciones es, en general, mayor en el centro de las mismas que en sus general, mayor en el centro de las mismas que en sus extremos o colas, motivo por el que se prefiere el extremos o colas, motivo por el que se prefiere el nombre "Teorema del Límite Central" ("central" califica nombre "Teorema del Límite Central" ("central" califica al límite, más que al teorema).al límite, más que al teorema).

Pasos del teoremaPasos del teorema

Para mostrar la validez del teorema Para mostrar la validez del teorema del limite central veamos el del limite central veamos el siguiente ejemplosiguiente ejemplo

Suponga que de una población Suponga que de una población consistente en los valores 0, 2, 4, 6 y consistente en los valores 0, 2, 4, 6 y 8, se toman muestras de tamaño 2 8, se toman muestras de tamaño 2 con remplazo. con remplazo. 

1. Paso1. Paso

Se calcula la media poblacional, la Se calcula la media poblacional, la varianza y desviación estándar varianza y desviación estándar poblacional.poblacional.

N

Xn

i

n

i N

X 22 )(

 

2. Paso2. PasoGráfica de la distribución de frecuencia Gráfica de la distribución de frecuencia para la poblaciónpara la población

0 1 2 3 4 5 6 7 8

0.195

0.200

0.205

Gráfica de la Población

X

FrecuenciaRelativa

Paso 3Paso 3

  

Se toman muestras de tamaño dos con Se toman muestras de tamaño dos con remplazo.remplazo.

XMuestr

aMuestr

aMuestr

a

0, 0 0 4, 0 2 8, 0 4

0, 2 1 4, 2 3 8, 2 5

0, 4 2 4, 4 4 8, 4 6

0, 6 3 4, 6 5 8, 6 7

0, 8 4 4, 8 6 8, 8 8

2, 0 1 6, 0 3    

2, 2 2 6, 2 4    

2. 4 3 6, 4 5    

2, 6 4 6, 6 6    

2, 8 5 6, 8 7    

X X X

Paso 4Paso 4Se agrupa a las medias muéstrales en Se agrupa a las medias muéstrales en

la tabla de frecuencia siguiente:la tabla de frecuencia siguiente:

  X FF

00 11

11 22

22 33

33 44

44 55

55 44

66 33

77 22

88 11

X

Paso 5Paso 5

Se calcula la media poblacional de Se calcula la media poblacional de medias, la varianza de la mediasmedias, la varianza de la medias

N

ix N

Xf )(

425

100

25

)8(1)7(2)6(3)5(4)4(5)3(4)2(3)1(2)0(1

x

y desviación estándar de las y desviación estándar de las medias ó error estándar de las medias ó error estándar de las

mediasmedias..

N

i

xx N

Xf 22 )(

24

425

100

25

)48(1............)41(2)40(1 2222

x

x

Paso 6Paso 6

Gráfica de la distribución de Gráfica de la distribución de frecuencia para la población de frecuencia para la población de medias maestralesmedias maestrales

0 1 2 3 4 5 6 7 8

1

2

3

4

5

Gráfica de la Población

Medias muestrales

Frecuencias

Ejemplo:Ejemplo:

La variable "tirar una moneda al aire" La variable "tirar una moneda al aire" sigue la distribución de Bernouilli. Si sigue la distribución de Bernouilli. Si lanzamos la moneda al aire 50 veces, la lanzamos la moneda al aire 50 veces, la suma de estas 50 variables (cada una suma de estas 50 variables (cada una independiente entre si) se distribuye independiente entre si) se distribuye según una distribución normal.según una distribución normal.

Este teorema se aplica tanto a suma de Este teorema se aplica tanto a suma de variables discretas como de variables variables discretas como de variables continuas. continuas.

Los parámetros de la distribución Los parámetros de la distribución normal son: normal son:

MediaMedia :  :  n * mn * m (media de la variable (media de la variable individual multiplicada por el individual multiplicada por el número de variables independientes) número de variables independientes)

VarianzaVarianza :  :  n * s2n * s2 (varianza de la (varianza de la variable individual multiplicada por variable individual multiplicada por el número de variables individuales)el número de variables individuales)