Mtodos Cuantitativos IITema 3: Teorema del Lmite CentralM.C.P Juan Martin Medellin MartinezMtodos Cuantitativos II

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La Distribucin Normal

Tabla de contenidoIntroduccin Objetivo general Objetivos especficos Instrucciones de cmo usar la presentacin Glosario de Trminos La Distribucin Normal Utilidad La Funcin Propiedades de la Distribucin Normal Teorema del Lmite Central La Distribucin Normal Estndar Caractersticas Ejemplos y Ejercicios rea Bajo la Curva Normal Estndar Ejercicios de Prueba Referencias

IntroduccinUna de las herramientas de mayor uso en las empresas es la utilizacin de la curva normal para describir situaciones donde podemos recopilar datos. Esto nos permite tomar decisiones que vayan a la par con las metas y objetivos de la organizacin. En este mdulo se describe la relacin de la Distribucin Normal con la Distribucin Normal Estndar. Se utilizan ejemplos y ejercicios donde se ensea sobre la determinacin de probabilidades y sus aplicaciones. Este mdulo va dirigido a todos los estudiantes de Administracin de Empresas en sus distintas concentraciones.

Objetivos que persigue la presentacin

Objetivo General Esperamos que cuando termines esta presentacin puedas utilizar la distribucin normal para obtener probabilidades, intervalos y cantidades especificas. Objetivos Especficos Ademas esperamos aque puedas: Identificar las propiedades de una distribucin normal. Encontrar el rea bajo una distribucin normal estndar. Interpretar reas bajo la curva normal de acuerdo al problema.

Instrucciones de cmo usar la presentacinLa presentacin inicia con material terico con los conceptos generales. Se recomienda que tengas acceso a Internet mientras trabajas la presentacin Siempre que se te presente la siguiente figura: puedes presionarla para navegar adecuadamente a travs de toda la presentacin. Luego de leer el material que sirve de introduccin, podrs establecer enlaces que demuestran de forma dinmica los conceptos tericos. Para lograr esto debes verificar tu disponibilidad Java.

Glosario de Trminos

Asinttica Lnea que se acerca indefinidamente a un eje sin llegar a encontrarlo. Aleatorias Que son al azar. Tipificada Que tiene un arreglo uniforme o estndar. Morfolgicos Aspecto general de las formas y dimensiones de un cuerpo.

La Distribucin NormalLa distribucin normal fue reconocida por primera vez por el francs Abraham de Moivre (1667-1754).

Posteriormente, Carl Friedrich Gauss (1777-1855) realiz estudios ms profundos formulando la ecuacin de la curva conocida comnmente, como la Campana de Gauss".

Utilidad

Se utiliza muy a menudo porque hay muchas variables asociadas a fenmenos naturales que siguen el modelo de la normal. Caracteres morfolgicos de individuos (personas, animales, plantas,...) de una especie, por ejemplo: tallas, pesos, dimetros, distancias, permetros,... Caracteres fisiolgicos, por ejemplo: efecto de una misma dosis de un frmaco, o de una misma cantidad de abono. (continua en el prximo slide)(La utilidad continua en la prxima lmina)

Utilidad

Caracteres sociolgicos, por ejemplo: consumo de cierto producto por un mismo grupo de individuos, puntuaciones de examen. Caracteres psicolgicos, por ejemplo: cociente intelectual, grado de adaptacin a un medio,... Errores cometidos al medir ciertas magnitudes. Valores estadsticos mustrales como la media, varianza y moda.

La Funcin de Distribucin

Puede tomar cualquier valor (- g, + g) Hay mas probabilidad para los valores cercanos a la media Q Conforme nos separamos de Q, la probabilidad va decreciendo de igual forma a derecha e izquierda (es simtrica). Conforme nos separamos de Q, la probabilidad va decreciendo dependiendo la desviacin tpica W

La Funcin F(x)

F(x) es el rea sombreada de la siguiente grfica

Propiedades de la distribucin normal:El rea bajo la curva aproximado del promedio a mas o menos una desviacin estndar (1 ) es de 0.68, a mas o menos 2 es de .0 95 y a mas o menos 3 es de 0.99.

(Las propiedades continuan en la prxima lmina)

Propiedades de la distribucin normal:La forma de la campana de Gauss depende de los parmetros que se pueden designar utilizando N( , ). La curva normal es asinttica al eje de X. Es simtrica con respecto a su media . Segn esto, para este tipo de variables existe una probabilidad de un 50% de observar un dato mayor que la media, y un 50% de observar un dato menor. y los Tiene una nica moda, que coincide con su media y su mediana.

La desviacin estndar ( )Compruebe el cambio de la distribucin variando la desviacin estndar

Nota cuando llegue al enlance utilice la grfica #3 Tipificacin de la variable

La MediaCompruebe el cambio de la distribucin variando la media

Nota cuando llegue al enlance utilice la grfica #2 Familiarizndonos con la normal

En Resumen

Podemos concluir que hay una familia de distribuciones con una forma comn, diferenciadas por los valores de su media y su varianza. La desviacin estndar ( ) determina el grado de apuntamiento de la curva. Cuanto mayor sea el valor de , ms se dispersarn los datos en torno a la media y la curva ser ms plana. La media indica la posicin de la campana, de modo que para diferentes valores de la grfica es desplazada a lo largo del eje horizontal. De entre todas ellas, la ms utilizada es la distribucin normal estndar.

La Distribucin Normal Estndar

Z se la denomina variable tipificada de X, y a la curva de su funcin de densidad se le conoce como la curva normal estndar. Es una distribucin normal con promedio 0 y una desviacin estndar de 1. Esto es N(0,1). Todas las variables normalmente distribuidas se pueden transformar a la distribucin normal estndar utilizando la frmula para calcular el valor Z correspondiente.

La Funcin F(z)En la siguiente grfica vemos la representacin de la funcin de Z.

En ResumenPodemos decir que el valor de Z es la cantidad de desviaciones estndar a la que esta distanciada la variable X del promedio. A la variable Z se la denomina variable tipificada de X, y a la curva de su funcin de densidad se le conoce como la curva normal estndar

Caractersticas de la Distribucin Normal Estndar.No depende de ningn parmetro. Su media es 0, su varianza es 1 y su desviacin estndar es 1. La curva f(x) es simtrica respecto del eje deY Tiene un mximo en el eje de Y. Tiene dos puntos de inflexin en z=1 y z=-1

Teorema del Lmite CentralNos indica que, bajo condiciones muy generales, segn aumenta la cantidad de datos, la distribucin de la suma de variables aleatorias tender hacia una distribucin normal. En otras palabras el Teorema del Lmite Central garantiza una distribucin normal cuando el tamao de la muestra n es suficientemente grande.

Por ejemploEn el siguiente histograma podemos observar la distribucin de frecuencias por peso de acuerdo a la edad. De acuerdo a este teorema segn aumenta la cantidad de datos, la forma de campana se har mas evidente.

Area Bajo la Curva Normal Estndar

El rea bajo la curva normal estndar es til para asignar probabilidades de ocurrencia de la variable X. Debemos tomar en cuenta que el rea total bajo la curva es igual a 1. Y que por ser una grfica simtrica cada mitad tiene un rea de 0.5.Obtenga mas informacin de cmo asignar probabilidades utilizando las Tablas.

Pasos para determinar el rea bajo la curva normal estndar

Paso 1 - Interpretar grficamente el rea de inters. Paso 2 - Determinar el valor Z Paso 3 - Buscar en la tabla de probabilidades. Paso 4 - Hacer la suma o resta de reas para encontrar la probabilidad deseada

Ejemplos y EjerciciosSupongamos que sabemos que el peso de los estudiantes universitarios sigue una distribucin aproximadamente normal con N(140,20). Esto es con una media de 140 libras y una desviacin estndar de 20 libras

Ejemplo 1Determine la probabilidad de que una persona tenga un peso menor o igual a 150 libras

Paso 1 Interpretar grficamente el rea de inters. Grficamente si decimos que a=150 libras, el rea de la curva que nos interesa es la siguiente:

Ejemplo 1Determine la probabilidad de que una persona tenga un peso menor o igual a 150 libras

Paso 2 - Determinar el valor Z: Z !

X Q 150 140 ! ! 0.50 W 20

Paso 3 - Buscar en la tabla de probabilidades. Buscamos en la Tabla 1 el valor Z=0.50 y obtenemos el rea de 0.6915Compruebe de forma interactiva el valor Z

Paso 4 - Hacer la suma o resta de reas para encontrar la probabilidad deseada. En este ejemplo no es necesario realizar ningn computo adicional ya que el rea es la misma que se representa en la Tabla 1

Ejemplo 2Si deseamos la probabilidad de que una persona, elegida al azar, tenga un peso mayor o igual a 150 librasPaso 1 Interpretar grficamente el rea de inters.

Grficamente si decimos que a=150 libras, el rea de la curva que nos interesa es la siguiente:

Ejemplo 2Si deseamos la probabilidad de que una persona, elegida al azar, tenga un peso mayor o igual a 150 libras

X Q 150 140 Paso 2 - Determinar el valor Z: Z ! ! ! 0.50 W 20Paso 3 - Buscar en la tabla de probabilidades. Buscamos en la Tabla 1 el valor Z=0.50 y obtenemos el rea de 0.6915.

Paso 4 - Hacer la suma o resta de reas para encontrar la probabilidad deseada. En este ejemplo el rea de 0.6915 no representa el rea que nos interesa sino la contraria. En este caso debemos restarle 1 a la probabilidad encontrada. 1 - .6915 = 0.3085

Ejemplo 3Determine la probabilidad de que una persona, elegida al azar, tenga un peso menor o igual a 115 librasPaso 1 Interpretar grficamente el rea de inters. Grficamente si decimos que a=115 libras, el rea de la curva que nos interesa es la siguiente:

Ejemplo 3Determine la probabilidad de que una persona, elegida al azar, tenga un peso menor o igual a 115 libras

X Q 115 140 Paso 2 - Determinar el valor Z: Z ! ! ! 1.25 W 20Paso 3 - Buscar en la tabla de probabilidades. Buscamos en la Tabla 1 el valor Z=-1.25 y obtenemos el rea de 0.8944.

Paso 4 - Hacer la suma o resta de reas para encontrar la probabilidad deseada. En este ejemplo el rea de 0.8944 no representa el rea que nos interesa sino la contraria. En este caso debemos restarle 1 a la probabilidad encontrada. 1 - .8944 = 0.2212

Ejemplo 4Si deseamos la probabilidad de que una persona, elegida al azar, tenga un peso entre 115 y 150 libras.Paso 1 Interpretar grficamente el rea de inters. Grficamente si decimos que a=115 libras y b=150 libras, el rea de la curva que nos interesa es la siguiente

Ejemplo 4Si deseamos la probabilidad de que una persona, elegida al azar, tenga un peso entre 115 y 150 libras. Paso 2 - Determinar el valor Z X Q 115 140 Z! ! ! 1.25 Cuando X=115 W 20 Cuando X=150

Z!

X Q 150 140 ! ! 0.50 W 20

Paso 3 - Buscar en la tabla de probabilidades.Buscamos en la Tabla 1 el valor Z=-1.25 y obtenemos el rea de 0.8944. Buscamos en la Tabla 1 el valor Z=0.50 y obtenemos el rea de 0.6915

Ejemplo 4Si deseamos la probabilidad de que una persona, elegida al azar, tenga un peso entre 115 y 150 libras. Paso 4 - Hacer la suma o resta de reas para encontrar la probabilidad deseada. El rea de 0.6915 se le resta la diferencia de 1-.8944: 0.6915 (1-.8944) = .5859

Ejemplo 5Determine la probabilidad de que una persona tenga un peso menor o igual a 150libras Paso 1 Interpretar grficamente el rea de inters. Grficamente si decimos que a=150 libras y b= 160 libras, el rea de la curva que nos interesa es la siguiente:

Ejemplo 5Determine la probabilidad de que una persona tenga un peso menor o igual a 150libras Paso 2 - Determinar el valor Z Como vimos en el ejemplo 1 y 2 E valor Z cuando X=150 es 0.50. Para X=160 el valor Z ser:

Z!

X Q 160 140 ! ! 1. 0 W 20

Paso 3 - Buscar en la tabla de probabilidades. Buscamos en la Tabla 1 el valor Z=0.50 y obtenemos el rea de 0.6915. Cuando Z = 1.0 el rea es de 0.8413.

Ejemplo 5Determine la probabilidad de que una persona tenga un peso menor o igual a 150libras Paso 4 - Hacer la suma o resta de reas para encontrar la probabilidad deseada. En este ejemplo se resta el rea mayor menos el rea menor como se interpreto en el paso 1. 0.8413 - .6915 = 0.1498

Ejemplo 6Determine la probabilidad de elegir a una persona que pese entre 115 y 130 libras. Paso 1 Interpretar grficamente el rea de inters. Grficamente si decimos que a=115 libras y b= 130 libras, el rea de la curva que nos interesa es la siguiente:

Ejemplo 6Determine la probabilidad de elegir a una persona que pese entre 115 y 130 libras. Paso 2 - Determinar el valor Z Cuando X=115 para X=130

X Q 115 140 ! ! 1.25 Z! 20 W

X Q 130 140 Z! ! ! 0.50 W 20

Paso 3 - Buscar en la tabla de probabilidades. Buscamos en la Tabla 1 el valor Z=-1.25 y obtenemos el rea de (1-0.8944.)=0.1056 Para Z = -.050 el rea es de (1-.6915)=.3085

Ejemplo 6Determine la probabilidad de elegir a una persona que pese entre 115 y 130 libras. Paso 4 - Hacer la suma o resta de reas para encontrar la probabilidad deseada. En este ejemplo el rea ser la diferencia de .3085-.1056=.2029.

Ejercicios de PruebaTrabaje los ejercicios de este enlace utilizando la tabla de probabilidades y luego compruebe los resultados interaccionando con las grficas. Para el primer ejercicio observe la grfica, manipule los parametros m (Q) y s (W) y luego redacte un ensayo sobre las caracteristicas de una curva normal con media de 0 y desviacion estandar de 1.

ReferenciasAnderson, Sweeney, Estadsticas para administracin y economa, 8tva edicin, Thomson, Mxico 2006 Newbold P., Statistics for Business And Economics, Prentice Hall, 5ta edicin,New Jersey, 2003. Altman D., Bland J. Statistics notes: The normal distribution. Londres Inglaterra, BMJ 1995; 310: 298-298. Bluman, Allan G. Statistics,6ta edicin, Mc Graw Hil,New York, 2007. Prtega D, Pita F., Representacin grfica en el anlisis de datos. Cad Aten Primaria Espaa,2001; 8: 112-117. http://descartes.cnice.mecd.es/index.html http://www.aulafacil.com/CursoEstadistica/Lecc-34-est.htm http://www.ruf.rice.edu/~lane/stat_sim/sampling_dist/index.html