Upload
listiana-cahyantari
View
301
Download
0
Embed Size (px)
DESCRIPTION
teorema residu
Citation preview
TEOREMA RESIDUE
Teorema residu sangat berguna untuk menghitung integral. Teorema residudinyatakan dalam bentuk
Jika titik singular terasing fungsi f maka sehingga f analitik di dalam daerah
. Selanjutnya, fungsi f dapat dinyatakan dalam deret Laurent di dalam D,
yaitu
=
dengan dan C adalah sebarang lintasan tertutup
berarah positif di dalam D yang mengelilingi .
Khusus untuk n = 1 diperoleh,
Bilangan kompleks yaitu koefisien dari pada deret Laurent fungsi f di sekitar titik
singular terasing disebut residu f di titik singular terasing , ditulis
.
Setiap fungsi mempunyai residu di titik singularnya.
Contoh 6.3
Diketahui . mempunyai titik singular terasing , sehingga f analitik di
dalam daerah . Deret Laurent fungsi f di dalam D yaitu
Diperoleh . □
Deret Laurent fungsi di sekitar titik singular terasing yaitu
Bagian utama f di titik singular digunakan untuk membedakan jenis titik singular terasing.
1. Jika bagian utama f di titik singular terasing memuat paling sedikit satu suku tak nol
dan jumlah suku tak nol tersebut berhingga, maka terdapat bilangan asli m sehingga ,
sedangkan . Deret Laurent fungsi f menjadi
.
Selanjutnya disebut kutub (pole) tingkat m. Jika m = 1 maka disebut kutub tunggal
(simple pole).
Contoh 6.4
a. , mempunyai titik singular terasing .
Jadi merupakan kutub tunggal.
b. , mempunyai titik singular terasing .
Jadi merupakan kutub tingkat 2.
2. Jika bagian utama f di titik singular terasing mempunyai tak berhingga banyak suku ,
maka disebut titik singular terasing essensial.
Contoh 6.5
, mempunyai titik singular terasing .
Jadi merupakan titik singular terasing essensial.
3. Jika koefisien pada bagian utama f di titik singular terasing semuanya nol, maka
disebut titik singular yang dapat dihapus (removable).
Contoh 6.6
, mempunyai titik singular terasing .
Jadi merupakan titik singular yang dapat dihapus (removable).
Teorema 6.1
Misalkan diberikan fungsi dengan titik singular . Jika
terdapat bilangan asli m sehingga fungsi dapat ditulis sebagai
dan analitik di dengan maka
mempunyai kutub tingkat m di dan
.
Jika maka . □
Contoh 6.7
, mempunyai titik singular terasing dan .
Untuk titik singular terasing .
dapat ditulis sebagai dengan .
analitik di dan .
Jadi merupakan kutub tunggal dan
.
Untuk titik singular terasing .
dapat ditulis sebagai dengan .
analitik di dan .
Jadi merupakan kutub tingkat 2, dan
sehingga diperoleh .
PENGGUNAAN TEOREMA RESIDUE
Pada bab sebelumnya, perhitungan integral dilakukan hanya untuk satu titik singular
dalam lintasan tertutup C. Residu dapat digunakan untuk menghitung integral sepanjang
lintasan tertutup C di dalam daerah D yang memuat satu atau lebih titik singular.
Apabila lintasan tertutup C di dalam daerah D hanya memuat satu titik singular maka
menggunakan persamaan (6.1) diperoleh
.
Contoh 6.8
Jika , hitung .
Penyelesaian :
mempunyai titik singular terasing , sehingga dapat diperoleh deret Laurent pada
daerah , yaitu
Diperoleh , sehingga dengan . □
Apabila lintasan tertutup C di dalam daerah D memuat satu satu atau lebih titik singular,
maka integral sepanjang lintasan tertutup C dapat ditentukan menggunakan teorema berikut.
Teorema 6.2
(Teorema Residu Cauchy)
Jika f analitik di dalam dan pada lintasan tertutup C yang berarah
positif kecuali di titik singular terasing maka
. □
Contoh 6.9
Hitung , .
Penyelesaian :
mempunyai titik singular terasing dan di dalam C, sehingga
dan
Jadi,
Note :
Apabila lintasan tertutup C di dalam daerah D memuat satu satu atau lebih titik singular, maka integral sepanjang lintasan tertutup C dapat ditentukan menggunakan teorema Residu Cauchy.