Teorema-Teorema Limit

Beberapa Limit Dasar

Teorema A Misalkan 𝑛𝑛 bilangan bulat positif, 𝑘𝑘 adalah konstanta. Maka1. lim

𝑥𝑥→𝑎𝑎𝑘𝑘 = 𝑘𝑘; 2. lim

𝑥𝑥→𝑎𝑎𝑥𝑥 = 𝑎𝑎; 3. lim

𝑥𝑥→𝑎𝑎𝑥𝑥𝑛𝑛 = 𝑎𝑎𝑛𝑛.

Teorema Limit Utama

Teorema B Misalkan 𝑛𝑛 bilangan bulat positif, 𝑘𝑘 adalah konstanta, dan 𝑓𝑓 dan 𝑔𝑔 adalah fungsi-fungsi yang memiliki limit di 𝑎𝑎. Maka1. lim

𝑥𝑥→𝑎𝑎𝑘𝑘𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑘𝑘 lim

𝑥𝑥→𝑎𝑎𝑓𝑓 𝑥𝑥 ;

2. lim𝑥𝑥→𝑎𝑎

𝑓𝑓 𝑥𝑥 + 𝑔𝑔 𝑥𝑥 = lim𝑥𝑥→𝑎𝑎

𝑓𝑓 𝑥𝑥 + lim𝑥𝑥→𝑎𝑎

𝑔𝑔 𝑥𝑥 ;

3. lim𝑥𝑥→𝑎𝑎

𝑓𝑓 𝑥𝑥 − 𝑔𝑔 𝑥𝑥 = lim𝑥𝑥→𝑎𝑎

𝑓𝑓 𝑥𝑥 − lim𝑥𝑥→𝑎𝑎

𝑔𝑔 𝑥𝑥 ;

4. lim𝑥𝑥→𝑎𝑎

𝑓𝑓 𝑥𝑥 � 𝑔𝑔 𝑥𝑥 = lim𝑥𝑥→𝑎𝑎

𝑓𝑓 𝑥𝑥 � lim𝑥𝑥→𝑎𝑎

𝑔𝑔 𝑥𝑥 ;

5. lim𝑥𝑥→𝑎𝑎

𝑓𝑓 𝑥𝑥𝑔𝑔 𝑥𝑥

=lim𝑥𝑥→𝑎𝑎

𝑓𝑓 𝑥𝑥

lim𝑥𝑥→𝑎𝑎

𝑔𝑔 𝑥𝑥jika lim

𝑥𝑥→𝑎𝑎𝑔𝑔 𝑥𝑥 ≠ 0;

6. lim𝑥𝑥→𝑎𝑎

𝑓𝑓 𝑥𝑥 𝑛𝑛 = lim𝑥𝑥→𝑎𝑎

𝑓𝑓 𝑥𝑥𝑛𝑛;

7. lim𝑥𝑥→𝑎𝑎

𝑛𝑛 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑛𝑛 lim𝑥𝑥→𝑎𝑎

𝑓𝑓 𝑥𝑥 , asalkan

lim𝑥𝑥→𝑎𝑎

𝑓𝑓 𝑥𝑥 > 0 jika 𝑛𝑛 genap.

Contoh 1Tentukan limit berikut dan berikan alasan pada setiap langkahnya.

lim𝑥𝑥→1

3𝑥𝑥2 − 2𝑥𝑥 + 5

PEMBAHASAN Kita gunakan teorema-teorema limit sebelumnya.lim𝑥𝑥→1

3𝑥𝑥2 − 2𝑥𝑥 + 5 = lim𝑥𝑥→1

3𝑥𝑥2 − lim𝑥𝑥→1

2𝑥𝑥 + lim𝑥𝑥→1

5

= 3 lim𝑥𝑥→1

𝑥𝑥2 − 2 lim𝑥𝑥→1

𝑥𝑥 + lim𝑥𝑥→1

5

= 3 12 − 2 1 + 5= 6

Teorema B2 dan B3

Teorema B1

Teorema A3, A2, dan A1

Latihan 1

Tentukan limit berikut dan berikan alasan setiap langkahnya.

lim𝑥𝑥→2

3𝑥𝑥5 − 7𝑥𝑥4 + 5𝑥𝑥 − 3𝑥𝑥3 − 2𝑥𝑥2 + 1

Teorema Substitusi

Teorema C Jika 𝑓𝑓 adalah fungsi polinomial atau fungsi rasional dan 𝑎𝑎 berada di domain 𝑓𝑓, maka

lim𝑥𝑥→𝑎𝑎

𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑓𝑓 𝑎𝑎

Latihan 2

Tentukan limit berikut.

lim𝑥𝑥→5

𝑥𝑥2 − 25𝑥𝑥 − 5

Fungsi yang Berbeda di Satu Titik

Teorema D Jika 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑔𝑔 𝑥𝑥 ketika 𝑥𝑥 ≠ 𝑎𝑎, maka lim𝑥𝑥→𝑎𝑎

𝑓𝑓 𝑥𝑥 =lim𝑥𝑥→𝑎𝑎

𝑔𝑔 𝑥𝑥 dengan syarat limit-limitnya ada.

Contoh 2

Tentukan lim𝑥𝑥→5

𝑔𝑔 𝑥𝑥 dimana

𝑔𝑔 𝑥𝑥 = �𝑥𝑥 + 5 jika 𝑥𝑥 ≠ 5𝜋𝜋 jika 𝑥𝑥 = 5

PEMBAHASAN Di sini fungsi 𝑔𝑔 terdefinisi di 𝑥𝑥 = 5 dan 𝑔𝑔 5 = 𝜋𝜋. Tetapi nilai limit 𝑔𝑔 𝑥𝑥 ketika 𝑥𝑥 mendekati 5 tidak tergantung pada nilai fungsi di 5. Karena 𝑔𝑔 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 + 5 untuk 𝑥𝑥 ≠ 5, maka

lim𝑥𝑥→5

𝑔𝑔 𝑥𝑥 = lim𝑥𝑥→5

𝑥𝑥 + 5 = 5 + 5 = 10

Pembahasan

0 2 4 6 8

5

10

𝑥𝑥

𝑦𝑦 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥

0 2 4 6 8

5

10

𝑥𝑥

𝑦𝑦 𝑦𝑦 = 𝑔𝑔 𝑥𝑥

Grafik fungsi f (Latihan 2) dan fungsi g (Contoh 2)

Latihan 3

Tentukan nilai limit-limit berikut.

(a) limℎ→0

2+ℎ 2−4ℎ

(b) lim𝑡𝑡→0

𝑡𝑡2+9−3𝑡𝑡

Teorema Apit

Teorema E Misalkan 𝑓𝑓, 𝑔𝑔, dan ℎadalah fungsi-fungsi yang memenuhi 𝑓𝑓 𝑥𝑥 ≤ 𝑔𝑔 𝑥𝑥 ≤ ℎ 𝑥𝑥untuk semua 𝑥𝑥 yang dekat dengan 𝑎𝑎, kecuali mungkin di 𝑎𝑎 dan

lim𝑥𝑥→𝑎𝑎

𝑓𝑓 𝑥𝑥 = lim𝑥𝑥→𝑎𝑎

ℎ 𝑥𝑥 = 𝐿𝐿

maka lim𝑥𝑥→𝑎𝑎

𝑔𝑔 𝑥𝑥 = 𝐿𝐿a

L

x

y

0

f

g

h

Latihan 4

Tunjukkan bahwa

lim𝑥𝑥→0

𝑥𝑥2 sin1𝑥𝑥

= 0

Ilustrasi

x

y

0

#HaveANiceDay