Teoretick a elektrotechnika FBMI - amber.feld.cvut.czamber.feld.cvut.cz/17bbtel/files/TEskript2017.pdf · i Teoretick a elektrotechnika FBMI Text, ktery v am p redkl ad am vznikl

i

Teoreticka elektrotechnika

FBMI

Text, ktery vam predkladam vznikl upravou a redukcı textu meho skriptaElektrotechnika pro informatiky, k predmetu prednasenemu do roku 2014 naelektrotechnicke fakulte jako 31ELI v prvem rocnıku programu Softwarovetechnologie a management.

Text si zdaleka neklade za cıl, naucit jeho ctenare navrhovat cokoli zoblasti konstrukce elektrickych zarızenı. Mel by vsak dat

”tusenı“ o cem se

hovorı pri praci s elektrickym proudem a elektornickymi prıstroji.Vyklad se na vstupu dusledne drzı stredoskolskych znalostı fyziky [7] a

matematiky a nestavı na zadnych dalsıch znalostech. Bylo by vsak velmipotesitelne, kdyby studium tohoto textu ctenare inspirovalo k zajmu o elek-trotechnicke disciplıny tak aktualnı v soucasne technice, vcetne technikyzdravotnicke.

Zvladnutı latky velmi usnadnı pravidelna ucast na prednaskach. Nektereobtıznejsı partie osvetlı prednasky lepe, nez predlozeny text.

Ucebnı text vznikl po zkusenosti s vyukou. K jeho obsahu, rozsahu i formevykladu vyznamne prispeli kolegove ing. Zdenek Horcık, ing. Vaclav Hanzl,CSc. a ing. Jan Havlık, Ph.D, kterı vedli seminare a cvicenı. Srdecne jimdekuji za spolupraci.

Prof. Ing. Jan Uhlır, CSc.

Praha, kveten 2017

Obsah

1 Uvod, zakladnı pojmy 11.1 Elektronicke zarızenı a jeho model . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Elementy elektronickych obvodu . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2.1 Pasivnı elementy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2.2 Zdroje proudu a napetı . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3 Elektricky obvod – Kirchhoffovy zakony . . . . . . . . . . . . . 10

2 Elementarnı vypocty 122.1 Kombinace rezistoru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.1.1 Seriove spojenı rezistoru . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.1.2 Paralelnı spojenı rezistoru . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2 Kombinace kapacitoru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.2.1 Paralelnı spojenı kapacitoru . . . . . . . . . . . . . . . 142.2.2 Seriove spojenı kapacitoru . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.3 Seriove a paralelnı spojenı induktoru . . . . . . . . . . . . . . 162.4 Seriove a paralelnı spojenı zdroju . . . . . . . . . . . . . . . . 162.5 Delic napetı, vykon na spotrebici . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.5.1 Graficka konstrukce ke druhemu Kirchhoffovu zakonu . 202.6 Veta o nahradnım zdroji – Theveninuv teorem . . . . . . . . . 21

3 Vypocty ve frekvencnı oblasti 233.1 Integracnı RC obvod ve frekvencnı oblasti . . . . . . . . . . . 263.2 Derivacnı RC obvod ve frekvencnı oblasti . . . . . . . . . . . . 303.3 Obvody RL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.4 Rezonancnı obvod ve frekvencnı oblasti . . . . . . . . . . . . . 333.5 Vykon v harmonickem ustalenem stavu . . . . . . . . . . . . . 37

4 Vypocty v casove oblasti 394.1 Integracnı RC obvod se skokem napetı . . . . . . . . . . . . . 394.2 Derivacnı RC obvod se skokem napetı . . . . . . . . . . . . . . 454.3 Obvody RL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

ii

OBSAH iii

4.4 Rezonancnı obvod v casove oblasti . . . . . . . . . . . . . . . 50

5 Prenos impulsu, homogennı vedenı 545.1 Parametry impulsnıho signalu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545.2 Prenos impulsnıho signalu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5.2.1 Prenos linearnım obvodem . . . . . . . . . . . . . . . . 555.2.2 Impulsy v obvodech s logickymi cleny . . . . . . . . . . 56

5.3 Homogennı vedenı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585.3.1 Model dlouheho vedenı . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585.3.2 Graficka konstrukce odrazu . . . . . . . . . . . . . . . 64

6 Magneticke ucinky proudu 666.1 Materialy magneticky mekke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

6.1.1 Konstrukce transformatoru . . . . . . . . . . . . . . . . 696.1.2 Obvodove vlastnosti transformatoru . . . . . . . . . . . 73

6.2 Materialy magneticky tvrde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 746.2.1 Permanentnı magnety . . . . . . . . . . . . . . . . . . 746.2.2 Magneticky zaznam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

7 Prenos elektromagnetickou vlnou 777.1 Elektromagneticke vlny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

7.1.1 Kmitoctove spektrum a kmitoctova pasma . . . . . . . 787.1.2 Vyuzitı nekterych kmitoctovych pasem . . . . . . . . . 81

7.2 Modulace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 817.2.1 Amplitudova modulace – AM . . . . . . . . . . . . . . 827.2.2 Kmitoctova (frekvencnı) modulace – FM . . . . . . . . 837.2.3 Fazova (uhlova) modulace – PM . . . . . . . . . . . . 83

7.3 Modulace digitalnımi daty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 847.3.1 Reprezentace binarnıch dat . . . . . . . . . . . . . . . 847.3.2 Modulace nosne vlny – dvoustavova . . . . . . . . . . . 857.3.3 Modulace nosne vlny – vıcestavova . . . . . . . . . . . 86

8 Polovodicove soucastky 898.1 Elektricky proud v polovodicıch . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

8.1.1 Proud v cistych polovodicıch . . . . . . . . . . . . . . . 898.1.2 Proud v dotovanych polovodicıch . . . . . . . . . . . . 90

8.2 Dioda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 908.2.1 Vlastnosti diod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 918.2.2 Diodovy obvod – zotavenı diody . . . . . . . . . . . . . 948.2.3 Specialnı diody . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

8.3 Bipolarnı tranzistor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

OBSAH iv

8.3.1 Doplnek inventare obvodovych modelu – rızene zdroje . 998.3.2 Tranzistorovy obvod – kolektorove charakteristiky . . . 1008.3.3 Tranzistorovy zesilovac . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

8.4 Unipolarnı tranzistor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1048.4.1 Model FETu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1068.4.2 Zesilovac s unipolarnım tranzistorem . . . . . . . . . . 107

8.5 Struktura CMOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

9 Spınace 1109.1 Model spınace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1109.2 Mechanicky spınac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

9.2.1 Manualne ovladane spınace . . . . . . . . . . . . . . . 1129.2.2 Elektromagneticke rele . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1139.2.3 Jazyckove kontakty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

9.3 Polovodicove spınace – FET . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1159.3.1 Model unipolarnıho spınace . . . . . . . . . . . . . . . 1159.3.2 Spınacı obvod s unipolarnım tranzistorem . . . . . . . 117

9.4 Polovodicove spınace – bipolarnı tranzistor . . . . . . . . . . . 1189.4.1 Model spınace s bipolarnım tranzistorem . . . . . . . . 1189.4.2 Spınacı obvod s bipolarnım tranzistorem . . . . . . . . 1209.4.3 Prechodne deje v polovodicovych spınacıch . . . . . . . 121

9.5 Polovodicove spınace – ruzne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

Kapitola 1

Uvod, zakladnı pojmy

Soucasna zarızenı vypocetnı techniky jsou elektronickymi prıstroji plne od-kazanymi na napajenı elektrickym proudem. V jejich konstrukci jsou pouzitypolovodicove soucastky – integrovane obvody, elektromagneticky ovladanepohybove mechanizmy a motory, opticke zobrazovacı a komunikacnı soucastky,kabely a spojovacı vedenı atd. Je tedy vhodne, aby (i kancelarsky) uzivatelmel zakladnı predstavu o funkci jednotlivych castı pocıtacu, a k tomu jsouelementarnı znalosti z elektrotechniky nezbytnym predpokladem. V uvodupripomeneme elementarnı stredoskolskou latku o elektrickych obvodech a je-jich zakladnıch vlastnostech. [7]

1.1 Elektronicke zarızenı a jeho model

Pracujeme s elektronickymi zarızenımi. Ta napajıme elektrickou energiı avzajemne je propojujeme. Vzajemne propojenı uskutecnujeme:

• galvanickym spojenım – konektorem, elektrovodnym kabelem,

• optickou vazbou – optickym kabelem, volnym prostredım,

• radiovym spojem – WIFI, mikrovlnnym pojıtkem, druzicovym spojem,

• akustickym vstupem/vystupem – mikrofon, reproduktor.

Obrazek 1.1 ukazuje, jak lze popsat vztah systemu k jeho okolı.Nas zajem bude upren hlavne na spojenı a funkci zarızenı elektronickych,

nicmene i opticka, akusticka a radiova spojenı jsou zalozena na funkci elek-tronickych systemu.

Pro popis vnejsıch charakteristik systemu a nakonec i jejich vnitrnı struk-tury musıme umet popsat:

1

KAPITOLA 1. UVOD, ZAKLADNI POJMY 2

220V~

12V=

Ethernet

USB

RS232

WIFI

. . .

Obrazek 1.1: Pocıtac a jeho okolı

• vlastnosti elektrickych velicin (signalu), ktere se v systemu zpracovavajı– napetı, proudy, casove prubehy,

• podmınky vzajemneho spojenı – vzdalenost, parametry spojovacıhoprostredı (vlastnosti vedenı, vliv rusenı,· · · ),

• uvnitr zarızenı pak obvodove veliciny – proud, napetı, ale take rozptyleneteplo, vznik elektromagnetickeho rusenı, apod.

Abychom mohli uvedeny popis vytvorit, musıme mıt moznost vytvoritmodel elektronickeho systemu. Model nam pak musı umoznit vyse uvedenecharakteristiky identifikovat. Na obrazku 1.2a je ukazka, jak vyrobce popi-suje model sveho elektrickeho obvodu, pouziteho pro spojenı prostrednictvımrozhranı USB. Detailnejsı popis vnitrnıho usporadanı elektrickeho zarızenı,resp. jeho modelu, ukazujı dalsı tri obrazky.

1.2 Elementy elektronickych obvodu

Vidıme, ze pouzıvame system schematickych znacek, ktere jsou vytvoreny proelementy elektronickych obvodu. Predstavujı stavebnı prvky modelu funkcnıchcelku. Pro jednotlive elementy existujı matematicke vztahy, ktere umoznujıanalyzovat a navrhovat elektronicke systemy. Na obrazku 1.3) je prehled ele-mentarnıch soucastı, ktere pri modelovanı systemu budeme pouzıvat. [3]

Povsimneme si matematickych vztahu, ktere popisujı vzajemne zavislostifyzikalnıch velicin na jejich svorkach a ktere umoznı v rozsahlejsım systemunajıt zavislosti proudu a napetı navzajem, na budicıch zdrojıch a na case. [3]


-

+

D+

D-

Rcv Data

Single-Ended

Receivers

Differential

Receiver

SE0Detect

Xmt Dat a

Force SE0

OE

Differential

Driver

R4

200R6

10K

Q2

R1

10KHA

C1

.01U

V1

10

R5

25

R31

R21

X1

X2

a)

b)

c) d)

Obrazek 1.2: Schemata elektronickych obvodu

1.2.1 Pasivnı elementy

• Rezistor soucastka v zarızenı se bezne oznacuje jako odpor, coz nenızcela spravne – odpor je jejı vlastnost, ohmicka hodnota, takze malopouzıvany, avsak spravnejsı je nazev

”odpornık“ :-) je element nese-

trvacny (v popisu zavislosti mezi proudem a napetım nevystupuje cas– proud reaguje na napetı okamzite a naopak). Vztah mezi napetım aproudem je popsan Ohmovym zakonem

u = Ri, i =u

R, R =

u

i, (1.1)

kde R je odpor v ohmech [Ω],

u je napetı ve voltech [V] a

i je proud v amperech [A].

• Kapacitor v zarızenı je realizovan nejcasteji kondenzatorem) je ele-ment schopny akumulovat naboj. Naboj musı byt do kapacitoru dodanprotekajıcım proudem, coz probıha v urcitem case. Jde tedy o elementsetrvacny a ve vztahu mezi napetım a proudem bude vystupovat cas.Vztah mezi nabojem a napetım urcuje rovnice


x

R – rezistor – u = Ri

C – kapacitor – Q = Cu

L – induktor – Φ = Li

u – zdroj napetı – proud i = podle odberu (libovolny)

i – zdroj proudu – napetı u = urcene zatezı (nenı omezeno)

Obrazek 1.3: Elementy elektrickych obvodu

q = Cu, u =q

C, C =

q

u, (1.2)

kde nove vystupuje

q naboj v coulombech [C] a

C kapacita ve faradech [F].

Uvedli jsme, ze naboj dopravı do kapacitoru proud i. Pokud bude proudi = I konstantnı a naboj v case t = 0 bude q(0) = 0, lze snadno po-chopit, ze naboje bude pribyvat linearne s casem (naboj v coulombech,proud v amperech a cas v sekundach)

q(t) = I.t, takze u(t) =I.t

C. (1.3)

Pokud se vsak bude proud v case menit, je nutno pro naboj nahro-madeny za cas T pouzıt zapisu pomocı integralu (opet predpokladame,ze v case t = 0 je naboj nulovy)

q(T ) =

∫ T

0

i(t)dt, , takze u(T ) =

∫ T0i(t)dt

C. (1.4)

Take muzeme rıci: do kapacitoru vteka proud (kondenzator se nabıjınebo vybıjı) jen tehdy, kdy se na jeho svorkach menı napetı:

i(t) = Cdu(t)

dt. (1.5)


• Induktor (v zarızenı je realizovan nejcasteji cıvkou) je element vytvarejıcımagneticky tok, ve kterem je ulozena energie vytvorena elektrickymproudem, ktery vodicem prochazı. Rovnez vznik magnetickeho tokuje dej setrvacny. Vztah mezi magnetickym tokem a proudem popisujerovnice

Φ = L.i, i =Φ

L, L =

Φ

i, (1.6)

kde nove vystupuje

Φ magneticky tok ve weberech [Wb] a

L indukcnost v henry [H].

Jiste nas neprekvapı, ze na koncıch vinutı cıvky nenı zadne napetı,pokud se v jejım okolı nemenı magneticke pole. Avsak pokud se mag-neticky tok menı, vznika na vinutı elektricke napetı (napr. v kazdeelektrarne). Takze lze napsat

u(t) =dΦ(t)

dt. (1.7)

Jestlize je magneticky tok urcen prochazejıcım proudem, pak lze zezmen proudu urcit napetı na svorkach induktoru

u(t) = Ldi(t)

dt. (1.8)

Protoze nas velmi casto zajıma, jaky proud potece induktorem v caseT , pokud je na jeho svorkach urcite (promenne) napetı, lze uvahu (po-dobne jako u kapacitoru) obratit

i(T ) =1

L

∫ T

t0

u(t)dt+ i(t0). (1.9)

Zde jsme vzorec, na rozdıl od uvah nad kapacitorem, vybavili udajemo pocatecnı podmınce, ktera respektuje nenulovy proud v case t = 0.Jiste lze podobne

”zdokonalit“ i vyraz (1.4).

Priblizme si uzitı uvedenych vztahu v jednoduchem prıpade, a to tehdy,kdy na svorky induktoru, kterym na pocatku netece zadny proud,pripojıme zdroj konstantnıho napetı U . Pak bude proud do induktorulinearne s casem narustat. Pokud napetı na zdroji poklesne v case T nanulu (zdroj nahradıme zkratem), bude obvodem dal prochazet proud


i(T ).Jde o podobny projev, jaky jsme pozorovali u narustajıcıho napetına kapacitoru v okamziku odpojenı zdroje proudu.1

i(t) =U

Lt, i(T ) =

U.T

L. (1.10)

Proud v realnem obvodu samozrejme za urcity cas zanikne, protoze jsouv obvodu rezistory (odpor vinutı cıvky a vnitrnı odpor zdroje napetı),avsak uvaha nenı zcela bezpredmetna, uvazıme-li existenci supravo-divych materialu, ze kterych lze cıvku vyrobit.

V predchozıch vztazıch jsme predpokladali, ze na svorkach uvedenychelementu pozorujeme napetı a proudy – obvodove veliciny. Proud a napetımohou konat praci, mame k dispozici elektrickou energii. V urcitem okamzikuplatı, ze vykon elektrickeho proudu je dan soucinem

P (t) = u(t) · i(t), kde vykon je ve wattech [W]. (1.11)

Vykon v case predstavuje praci

W (T ) =

∫ T

0

P (t)dt =

∫ T

0

u(t)i(t)dt, (1.12)

kde prace (energie) je v wattsekundach [Ws], ktere jsou ekvivalentnıjoulum [J] (doma platıme za kilowatthodiny [kWh] 1kWh= 3,6.106 Ws).

Z predchozıch definic vlastnostı zakladnıch obvodovych prvku lze odvodit:

• Rezistor v obvodu rozptyluje elektrickou energii – premenuje ji na teploproto, ze je nesetrvacnym prvkem, u ktereho je stale soucin napetı aproudu kladny.

• Kapacitor je prvek akumulujıcı energii. Idealnı kapacitor energii neroz-ptyluje – je prvkem bezeztratovym (realny kondenzator ma ztraty aenergii dıky nim rozptyluje). Uvazıme-li, ze naboj C.U mohl v kapa-citoru ulozit konstantnı proud I za dobu T s tım, ze napetı linearnenarustalo, pak energie nahromadena v kondenzatoru pri napetı U =IT/C je dana

W (T ) =

∫ T

0

It

CIdt, (1.13)

1Je treba si uvedomit, ze rozpojene svorky predstavujı idealnı zdroj proudu s nulovouhodnotou a zkrat predstavuje idealnı zdroj napetı s nulovou hodnotou – proud zkratem jeskutecne zavisly jen na vnejsım obvodu, a to pri nulovem napetı.


WC =1

2C.U2. (1.14)

• Induktor je analogicky bezeztratovym prvkem (realna cıvka ma odporvinutı, takze vykon rozptyluje) a energie nahromadena v magnetickemtoku je

WL =1

2L.I2. (1.15)

1.2.2 Zdroje proudu a napetı

Dosud jsme se nezabyvali otazkou, jak se do obvodu s nekterym zakladnımprvkem dostane elektricka energie, abychom mohli pozorovat vztahy meziproudy a napetımi a aby obvod byl necım uzitecny. Zdrojem elektricke ener-gie je vetsinou zarızenı premenujıcı jine formy energie na elektrickou. Soucasneelektrarny premenujı tepelnou energii nejprve na pohybovou a ta v generato-rech vyrabı elektrinu. Pohybovou energii lze zıskat i z vetru a tekoucı vody.Baterie pracujı s energiı souvisejıcı s chemickymi reakcemi. V soucasne dobejsou aktualnı zdroje vyuzıvajıcı svetelnou energii – fotovoltaicke clanky.

Pripomenme jeste, ze napetı je velicina merena ve voltech. Volt je de-finovan ve vztahu k zakladnım jednotkam s odkazem na praci, ktera jepotrebna k tomu, aby byl prenesen naboj mezi dvema mısty s ruznym elek-trickym potencialem. Elektricke napetı 1 V (volt) je mezi dvema mısty tehdy,kdy k prenesenı naboje 1 C (coulomb) mezi temito dvema mısty je treba prace1 J (joule) = 1 Ws (wattsekunda)

Pro modely systemu definujeme idealnı zdroje:

• Zdroj napetı v zarızenı je nejcasteji realizovan bateriı nebo sıt’ovymzdrojem – blokem premenujıcım napetı elektrovodne sıte na potrebnestejnosmerne napetı). Zdroj strıdaveho napetı je zasuvka na stene, resp.elektrovodna sıt’. Budeme vsak pracovat i se zdroji ruznych signalu,napr. impulsnıho signalu pro taktovanı procesoru, signalu pro prenosdat mezi zarızenımi, apod.) To jsou realne (neidealnı) zdroje napetı.

Idealnı zdroj napetı udrzuje na svych svorkach napetı dane hodnotouu ve voltech, a to pro vsechny mozne proudy odvadene (ci dokoncezavadene) z (do) jeho svorek. Velicina u predstavuje predpis pro napetızdroje, a to jak co do hodnoty, tak co do casovych zmen. Je tedy spravnepopisovat zdroj napetı casovou funkcı u(t). Pouzıvane funkcnı predpisy


pozname v dalsım vykladu. Uvedeme jen zakladnı moznosti: zdroj kon-stantnıho napetı, zdroj skokoveho napetı a zdroj harmonickeho napetı:

u(t) = U = konst. (1.16)

u(t) =

0, t < 0U, t ≥ 0

(1.17)

u(t) = Um sin(ωt+ ϕ), (1.18)

kde Um je amplituda sinusoveho signalu ve voltech, ω = 2πf je kruhovafrekvence v radianech za sekundu [rad.s−1], f je frekvence v hertzech[Hz] a ϕ je pocatecnı faze sinusoveho prubehu.

• Realne zdroje (napajecı zdroje elektronickych zarızenı, rozvod elektro-vodne sıte, prıpojku pocıtacove sıte, baterii v mobilnım telefonu,...)lze vetsinou reprezentovat seriovym spojenım idealnıho zdroje napetı arezistoru. Takovy realny zdroj pak popisujeme jeho vnitrnım napetım(napetım idealnıho zdroje) a vnitrnım odporem.

• Zdroj proudu (v technicke praxi se nesetkavame s produktem, ktery byse svym chovanım blızil zdroji proudu – na rozdıl od elektrochemickychi jinych zdroju napetı). Existujı jen elektronicke obvody, ktere se svymchovanım v urcite oblasti napetı a proudu chovajı priblizne jako zdrojeproudu).

Idealnı zdroj proudu do obvodu zavadı proud predepsane hodnoty i(t),a to za vsech okolnostı, tedy bez ohledu na velikost a polaritu napetı najeho svorkach. Prestoze nenı snadno konstrukcne realizovatelny (zdrojeblızke svym chovanım zdrojum napet’ovym jsou technicky snaze dosazi-telne), ma v teorii elektronickych obvodu vyznamnou pozici a uvidımenektere vyhody jeho pouzitı v modelech obvodu.

V predchozım odstavci o zdrojıch proudu a napetı jsme uvedli nektere typycasovych zavislostı napetı a proudu. Pro dalsı vyklad uvedeme nasledujıcıdohody:

• Mala pısmena u a i budeme pouzıvat pro zcela obecne vyznacenı napetınebo proudu treba tam, kde se hodnota muze zmenit vlivem zmenhodnot obvodovych elementu (odporu, indukcnosti, kapacity).

• Funkcnı predpis zapsany malymi pısmeny u(t) a i(t) bude pouzit tam,kde budeme popisovat casovy prubeh prıslusne obvodove veliciny.


• Velkymi pısmeny U a I vyjadrıme hodnotu napetı nebo proudu, kterase v case nemenı (zdroj konstantnıho napetı, napetı v obvodu se stej-nosmernym zdrojem a konstantnımi hodnotami odporu).

• Ve specialnım prıpade muze byt

u(t) = Um sin(ωt+ ϕ).

Je tedy vyhrazeno velke Um a Im pro oznacenı amplitudy sinusovehonapetı a proudu.

• V technicke praxi se pro napetı a proud zavedl jeden zvlastnı zpusobjejich popisu, a to velicinou oznacovanou jako efektivnı napetı a efek-tivnı proud. Jejich definice vychazı z pozadavku, nalezt takove hodnotynapetı Uef a Ief , ktere pri vypoctu prace vykonane casove promennymproudem a napetım na rezistoru budou pouzitelne tak, jako by se jed-nalo o stejnosmerne veliciny. Podle vztahu 1.12 lze vypocıtat praci vy-konanou elektrickym proudem pro jakykoli casovy prubeh proudu anapetı. Lze take napsat

W = R

∫ T

0

i2(t)dt = RI2ef T nebo1

R

∫ T

0

u2(t)dt =1

RU2ef T.

(1.19)Dosadıme-li do vyrazu 1.19 sinusovy prubeh napetı s amplitudou Umnebo proud s amplitudou Im, dostaneme pri integraci pres celistvy pocetperiod vztah mezi amplitudou a efektivnı hodnotou ve tvaru 2

Uef = Um

√2

2Um = Uef

√2 Ief = Im

√2

2Im = Ief

√2. (1.20)

• Napetı i proud jsou obvodove veliciny, pro ktere musı byt definovanaorientace – smer. U stejnosmernych napetı je kladnym cıslem urcenahodnota napetı mezi kladnou a zapornou svorkou. Proud povazujeme zakladny, kdyz proteka od kladne svorky k zaporne. Cıselna hodnota tedysvym znamenkem vyjadruje shodu nebo neshodu skutecnych pomerus touto dohodou.

• U casove promennych hodnot proudu a napetı musı byt pri zvoleneorientaci napetı zrejmy smer proudu, a to v kazdem casovem okamzikutak, ze kladnemu okamzitemu napetı na svorkach rezistoru musı od-povıdat kladny smer proudu (zapornemu zaporny).

2Pro napetı elektrovodne sıte se uvadı efektivnı napetı 230 V. Z uvedeneho vztahuplyne, ze amplituda napetı v zasuvce elektrickeho rozvodu je rovna priblizne 325 V


• Pokud ve slozitem obvodu nenı zrejme, jakym smerem potece proud,resp. jake napetı bude na vybranych svorkach, potom muzeme orientacizvolit a vypoctem zjistit znamenko, ktere realne pomery identifikuje.To znamena, ze pro obecny vypocet se rozhodneme, s jakou orientacıbudeme pocıtat (vsechna znamenka v rovnicıch podrıdıme zvolene ori-entaci – sipce v obrazku) a podle znamenka u vysledku konkretnıhovypoctu zjistıme, zda nase volba odpovıdala skutecne orientaci (kladneznamenko), nebo zda je orientace prave opacna (zaporne znamenko ucıselneho vysledku).

1.3 Elektricky obvod – Kirchhoffovy zakony

Jiz v predchozım textu jsme predpokladali, ze se jednotlive modelove ele-menty mohou navzajem spojovat (napr. zdroj proudu pripojıme na svorkykapacitoru a pozorujeme narust napetı). Model muze popisovat vzajemnespojenı desıtek az milionu elementu. Mame-li analyzovat vztahy obvodovychvelicin, musıme vychazet z podstaty vedenı elektrickeho proudu. Tou je sku-tecnost, ze elektricky proud nesou elektrony uzavrene ve vodivem prostredı.

Predstava elektronu jako”kulicek“, ktere se mohou pohybovat pouze ve

vodivem prostredı, prıpadne se shromazd’ovat v kapacitorech a nikam jinamse nemohou ztratit, plne podporı tvrzenı Kirchhoffovych zakonu. [3]

1. Kirchhoffuv zakon

Soucet vsech proudu v uzlu elektrickeho obvodu je v kazdemokamziku nulovy.

R1

C

R2u(t)

i1(t) i2(t)

i3(t)i4(t)

Obrazek 1.4: 1. Kirchhoffuv zakon


N∑

n=1

in(t) = 0. (1.21)

Povsimneme si, ze jsme v obrazku 1.4 vyznacili smer proudu vsech vetvısmerem do uzlu. Ma-li byt soucet nulovy (a jiste nejsou vsechny proudy iden-ticky rovny nule), pak nektere hodnoty proudu budou zaporne. Na pocatkuvypoctu nemusı byt zrejme, ktere to budou a v ruznych casovych okamzicıchse muze znamenko menit. Je-li znamenko zaporne, znamena to pouze to,ze skutecny smer proudu je opacny, nez jsme vyznacili. Takova volba jevyhodna. Chyba pri formulaci rovnic popisujıcıch obvod je mene pravdepo-dobna, nez kdybychom spekulovali dopredu o pravdepodobnem fyzikalnımsmeru proudu.

2. Kirchhoffuv zakon

Soucet napetı podel libovolne smycky v obvodu je v kazdemokamziku nulovy.

n∑

1

un(t) = 0. (1.22)

Opet si povsimneme, ze zdroj se skutecnou polaritou”plus a minus“ ma

v obrazku 1.5 orientaci vyznacenou sipkou s opacnym smerem. Do rovnicetedy hodnota jeho napetı vstoupı se zapornym znamenkem. V prıpade pouzitıstejnosmerneho zdroje u4 = −U (tedy s polaritou odpovıdajıcı plus a minusv obrazku) bude platit −U + u1 + u2 + u3 = 0, tedy u1 + u2 + u3 = U .

i

R1C

R2

u4(t)

u1(t)

u2(t)

u3(t)

Obrazek 1.5: 2. Kirchhoffuv zakon

Kapitola 2

Elementarnı vypocty

V prırodnıch a technickych vedach a v technicke praxi je samozrejmostı, zese vlastnosti systemu popisujı matematickym aparatem (vzorci a rovnicemi,maticemi, diferencialnım poctem, statistickymi charakteristikami, apod.). Pred-chozı kapitola uvedla matematicky popis vlastnostı elementu elektrickych ob-vodu. To je vychodisko k vypoctum vlastnostı slozitych elektrickych systemu.[3],

2.1 Kombinace rezistoru

2.1.1 Seriove spojenı rezistoru

R

i(t)i(t)

R1 R2

u(t)u(t)

u1(t) u2(t) ux(t)

⇐⇒

Obrazek 2.1: 2. Kirchhofuv zakon – seriove spojenı rezistoru

Hledame hodnotu odporu R rezistoru, ktery je ekvivalentnı seriove kom-binaci R1 a R2, tedy takoveho rezistoru, ktery v obvodu se zdrojem u(t)nastavı proud i(t) totozny s tım, ktery prochazı obvodem s rezistory R1 aR2, tak jak ukazuje obrazek 2.1. Z 2. Kirchhofova zakona muzeme odvodit

12

KAPITOLA 2. ELEMENTARNI VYPOCTY 13

u(t) = u1(t) + u2(t) = R1i(t) +R2i(t) = (R1 +R2)i(t) (2.1)

u(t) = ux(t) = Ri(t) −→ R = R1 +R2. (2.2)

Je-li zarazeno N rezistoru v serii, je mozno je nahradit jednım rezistorems odporem

R =N∑

n=1

Rn. (2.3)

Z obrazku 2.1 muzeme vytezit jeste jednu informaci. Je-li vysledny odporsouctem odporu jednotlivych rezistoru a proteka-li vsemi stejny proud, pakmuzeme snadno zjistit, jake jsou hodnoty napetı na kazdem z nich.

i(t) =u(t)

R1 +R2

u1(t) = u(t)R1

R1 +R2

u2(t) = u(t)R2

R1 +R2

. (2.4)

Obecne na n-tem rezistoru bude napetı

i(t) =u(t)N∑

n=1

Rn

un(t) = u(t)Rn

N∑

n=1

Rn

(n = 1 . . . N). (2.5)

2.1.2 Paralelnı spojenı rezistoru

Uloha je obdobna. Hledame jeden ekvivalentnı rezistor (jeho hodnotu R),ktery odvede proud ze zdroje napetı stejny, jako ze zdroje odvadı rada pa-ralelne spojenych rezistoru (viz obr. 2.2).

R

i(t)

R1 R2u(t)u(t)

i1(t) i2(t) ix(t)

⇐⇒

Obrazek 2.2: 1. Kirchhofuv zakon – paralelnı spojenı rezistoru


i(t) = i1(t) + i2(t) =u(t)

R1

+u(t)

R2

(2.6)

ix(t) =u(t)

R= i(t)→ 1

R=

1

R1

+1

R2

→ R =R1.R2

R1 +R2

. (2.7)

Prevracenou hodnotu odporu oznacujeme jako vodivost G = 1/R a udavameji v jednotkach siemens [S] (S = Ω−1).

Je-li zarazeno N rezistoru paralelne, je mozno je nahradit jednım rezisto-rem s odporem R nebo vodivostı G

1

R=

N∑

n=1

1

Rn

G =N∑

n=1

Gn. (2.8)

Jake jsou hodnoty proudu, ktere kazdym z rezistoru prochazejı zjistımepri napajenı napet’ovym zdrojem velmi jednoduse. Pokud vsak zname jen cel-kovy proud i(t) vstupujıcı do uzlu, z ktereho jsou do spolecne svorky zapojenyruzne rezistory, pak rozdelenı proudu mezi jednotlive rezistory vypoctemetakto:

in(t) =i(t)Gn

N∑

n=1

Gn

(n = 1 . . . N). (2.9)

2.2 Kombinace kapacitoru

2.2.1 Paralelnı spojenı kapacitoru

CC1 C2UU

⇐⇒

Obrazek 2.3: Paralelnı spojenı kapacitoru

Na obrazku 2.3 je zdroj napetı u(t) pripojeny k paralelnı kombinaci kapa-citoru. Pokud se u(t) menı (a musı se menit spojite, aby byl proud konecny),


zavadı nebo odvadı z kapacitoru proud, ktery zavisı na kapacite kazdehoz nich. V kazdem okamziku je v kapacitoru C1 ulozen naboj q1(t) = C1u(t)a v kapacitoru C2 je ulozen naboj q2(t) = C2u(t). V kapacitoru C je v temzeokamziku naboj q(t) = Cu(t). Za ekvivalentnı budeme oba obvody povazovat,pokud zdroj dodal v obou obvodech tyz naboj. Tedy

q(t) = q1(t) + q2(t) −→ C = C1 + C2. (2.10)

Je-li zarazeno N kapacitoru paralelne, je mozno je nahradit jednım kapa-citorem s kapacitou

C =N∑

n=1

Cn. (2.11)

2.2.2 Seriove spojenı kapacitoru

II

u(

u1(T ) u2(T )

C

C1 C2

II

⇐⇒

Obrazek 2.4: Seriove spojenı kapacitoru

K vykladu pouzijeme na obrazku 2.4 zdroj konstantnıho proudu I, kterynabıjı dvojici seriove spojenych kapacitoru. Napetı u1(t) i u2(t) linearne rostes casem. Za dobu T necht’ proud klesne k nule (obvod se rozpojı), tudız se rustzastavı na hodnote u1(T ) a u2(T ). Proud I ulozil za cas T v kondenzatoruC1 naboj q1(T ) = I.T = q(T ) = C1.u1(T ). Tyz proud ukladal naboj dokapacitoru C2, takze q2(T ) = I.T = q(T ) = C2.u2(T ) a v ekvivalentnımobvodu q(T ) = I.T = C.u(T ). Platı vsak

u(T ) = u1(T ) + u2(T )→ q(T )

C=q(T )

C1

+q(T )

C2

→ 1

C=

1

C1

+1

C2

(2.12)

C =C1.C2

C1 + C2

(2.13)


a pro N kapacitoru1

C=

N∑

n=1

1

Cn. (2.14)

Z uvedene uvahy si jiz muzeme snadno odvodit, jak se na seriove kom-binaci kondenzatoru rozdeluje celkove napetı. Seriova kombinace kapacitoruma vzdycky mensı ekvivalentnı kapacitu, nez ma nejmensı ze zapojenychkapacitoru.

2.3 Seriove a paralelnı spojenı induktoru

Pote, co jsme vysvetlili postup odvozenı vlastnostı obvodu slozeneho ze seriovea paralelnı kombinace rezistoru a kapacitoru, ponechavame na studentovi,aby si s ohledem na uvahy o vytvarenı magnetickeho toku, napr. zdrojemkonstantnıho napetı dodavajıcıho rostoucı proud, odvodil nasledujıcı vztahy,ktere budu platit jen tehdy, kdy se magneticke toky spojovanych induktoruvzajemne neovlivnujı.

Pro seriovou kombinaci N induktoru je mozno najıt jeden ekvivalentnıinduktor s indukcnostı

L =N∑

n=1

Ln. (2.15)

Pro paralelnı kombinaci N induktoru je mozno najıt jeden induktor s in-dukcnostı

1

L=

N∑

n=1

1

Ln. (2.16)

Pro prevracenou hodnotu kapacity se v teorii obvodu pouzıva pojemelastance a pro prevracenou hodnotu indukcnosti pojem inverznı indukcnosta lze k nim mıt i obvodove modely (nemajı narozdıl od vodivosti zvlastnınazev jednotky). My je nadale nebudeme pouzıvat.

2.4 Seriove a paralelnı spojenı zdroju

Zdroje napetı: S odkazem na jednoduchou fyzikalnı uvahu lze vyslovitzaver: zdroje napetı lze radit do serie a vysledne napetı je souctem napetıjednotlivych zdroju


u(t) =N∑

n=1

un(t). (2.17)

Paralelnı spojenı idealnıch zdroju napetı nelze nikdy pouzıt: pokud by napetıbyla ruzna, protekal by mezi zdroji nekonecny proud (a v obvodu by nebylelement, ktery by rozptylil nekonecny vykon), pokud by byla napetı stejna,delily by se o proud dodavany do obvodu, ale jak??, kdyz je kazdy schopendodat libovolny proud. Stacı tedy vzdy jen jeden.

Tento zaver platı pro paralelnı spojenı idealnıch zdroju napetı, tedy te-oreticky. V praxi se setkame s paralelnım spojenım zdroju stejnych napetıvelmi casto. Duvody mohou byt dva.

Prvym duvodem muze byt u bateriı a akumulatoru jejich omezena kapa-cita, tedy omezena doba, po kterou mohou do obvodu dodavat urcity proud.Spojıme-li takove baterie paralelne, je zrejme, ze doba jejich vybıjenı – dobapo kterou budou napajet obvod, bude vyssı. Podmınkou je, ze obe bateriemusejı mıt stejne napetı. Pokud by tomu tak nebylo, protekal by mezi nimiproud, ktery by neuzitecne rozptyloval vykon na jejich vnitrnıch odporech.

Druhy duvod muze spocıvat v potrebe zredukovat vnitrnı odpor realnehozdroje napetı. Budeme-li mıt dva zdroje se stejnym napetım a ruznymivnitrnımi odpory, muzeme kazdy z nich nahradit idealnım zdrojem v seriis jeho vnitrnım odporem. Protoze predpokladame, ze oba zdroje majı stejnenapetı, lze je nahradit jednım. Jejich vnitrnı odpory vytvorı paralelnı spojenı,ktere nahradıme jednım ekvivalentnım odporem podle vztahu (2.7). Takovakombinace rezistoru ma vzdy mensı odpor nez kterykoli ze spojovanych re-zistoru, coz ocenıme pri zatezovanı zdroje proudem tekoucım do zateze (vizdalsı kapitola). Praktickym prıkladem muze byt pouzitı startovacıch kabelupro

”posılenı“ nedostatecne nabite baterie automobilu.

Zdroje proudu: Paralelnı spojenı doda do obvodu proud dany souctemproudu jednotlivych zdroju

i(t) =N∑

n=1

in(t). (2.18)

Seriove spojenı idealnıch zdroju proudu nelze pripustit, protoze z definiceplyne, ze kazdy ze zdroju generuje proud nezavisly na tom, jak je obvodzapojen. Tezko bychom si vysvetlili, jaky proud z takove kombinace vlastnepotece. Teoreticky by na kazdem z nich bylo nekonecne napetı, vzajemneopacne polarity.


2.5 Delic napetı, vykon na spotrebici

u0 uz

R0

Rz

spotrebiczdroj

Obrazek 2.5: Delic napetı

Uvedeny obrazek 2.5 lze vylozit ruzne.* 1 Je to seriove spojenı rezistoru v jedine smycce se zdrojem napetı. Celkovyodpor v obvodu je R = R0 + Rz. Zdroj napetı dodava do obvodu proudi = u/R. Podstatne vsak je, ze

uz = u0Rz

R0 +Rz

. (2.19)

Napetı uz vzniklo rozdelenım napetı zdroje na dve casti, na napetı na re-zistoru R0 a na Rz – vytvorili jsme delic napetı, se kterym se setkamev nescetnem mnozstvı modelu realnych zarızenı.* 2 Je to model spojenı realneho zdroje napetı se spotrebicem. Uvedli jsme,ze v praxi neexistuje dokonaly zdroj napetı. Kazdy realny zdroj napetı jev nejjednodussım prıpade nutno modelovat idealnım zdrojem napetı a re-zistorem reprezentujıcım jeho vnitrnı odpor. Baterie muze mıt napr. napetı12 V a vnitrnı odpor 0,1 Ω.

Dıvame-li se na jakoukoli dvojici svorek, ktera nam ma poslouzit jakozdroj napetı (napajecıho stejnosmerneho nebo strıdaveho, ci impulsnıho sig-nalu), vzdy za nimi musıme videt obvod v nejjednodussım prıpade namode-lovany napetım u0 a odporem R0.

Protoze jde o tak vyznamny model, uvedeme nekolik zakladnıch pojmua poznatku.

• Napetı naprazdno je napetı, ktere na svorkach realneho zdroje zmerıme,kdyz nenı pripojen spotrebic, Rz →∞, i→ 0. Zrejme platı

unaprazdno = u0. (2.20)


• Proud nakratko je proud, ktery bychom namerili, kdybychom svorkyzdroje zkratovali (mnohdy lze jen na papıre). Tehdy Rz → 0

inakratko =u0R0

. (2.21)

• Zajımave pouzitı obou udaju vede na vyjadrenı

R0 =unaprazdnoinakratko

, (2.22)

ktere lze vyuzıt k vypoctu ve slozitem obvodu nebo i k praktickemumerenı, pokud zkratovanı nevede k destrukci a merenı naprazdno lzedostupnymi prıstroji provest.

• Dalsı vyznamna uvaha spocıva v hodnocenı dusledku, ktere ma zatezo-vanı zdroje ruznymi zatezemi (pokud nam situace dava ve volbe zatezevolnost).

1. Pozadujeme co nejvetsı napetı (napet’ovy rozkmit), napr. na vy-stupu portu pocıtace. Nejvetsı mozne napetı je u0. Vetsinou pri-pojene zarızenı nema nekonecny vstupnı odpor, takze s rostoucımproudem do zateze – s klesajıcım zatezovacım odporem – napetı(rozkmit napetı) klesa. Po zatızenı je na svorkach realneho zdrojevzdycky mensı napetı nez na zdroji bez zateze.

2. Pozadujeme relativne velky proud, napr. pro rozsvıcenı indikacnıLED z portu mikropocıtace. Maximalnı proud je proud nakratko,avsak pri nulovem napetı na zatezi. V praxi temer nikdy nenı zatezdokonalym zkratem, takze maximalnı dosazitelny proud je mensınez proud nakratko. (V elektrovodne sıti maximalnı proud urcujıpojistky.)

3. Zajımavy je pozadavek na maximalnı vykon dodany do zatezezdrojem s danym napetım naprazdno (vnitrnım napetım) a danymvnitrnım odporem. Zrejme to nebude ani pri velkem odporu Rz, toproteka obvodem maly proud, ani pri malem odporu Rz, to je nazatezi male napetı, a my usilujeme o co nejvetsı soucin proudu anapetı. Mame-li dane stejnosmerne napetı U = u0 vnitrnıho zdrojea vnitrnı odpor zdroje R0, pak vykon na zatezi v zavislosti navelikosti zatezovacıho odporu Rz ukazuje obrazek 2.6, ve kteremplatı:


Pz = uz.i = URz

Rz +R0

.U

Rz +R0

=U2Rz

(Rz +R0)2=

Pzi(Rz +R0)2

, (2.23)

kde Pzi je idealnı vykon, ktery by zdroj U dodal pri nulovemvnitrnım odporu zdroje R0.

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

0.2

0.22

0.24

0.26

Pz/Pzi

log(Rz/R0)

Obrazek 2.6: Vykon odevzdany do zateze

Vidıme, ze nejvetsı vykon odevzda realny zdroj tehdy, kdy se zatezovacıodpor rovna jeho vnitrnımu odporu. Rıkame tomu vykonove prizpu-sobenı. Pritom toto maximum predstavuje ctvrtinu vykonu, ktery bydo teze zateze dodal zdroj s nulovym vnitrnım odporem (obvodem tecepolovicnı proud a napetı je rozdeleno na dve poloviny, takze soucin jectvrtina).

2.5.1 Graficka konstrukce ke druhemu Kirchhoffovuzakonu

Vrat’me se k odporovemu delici na obr. 2.5 a slozme ho z rezistoru R1 a R2.Budeme predpokladat, ze je pripojen ke zdroji stejnosmerneho napetı U . Nadelici se toto napetı rozdelı na napetı u1 na rezistoru R1 a u2 na rezistoruR2, pro ktera podle Kirchhoffova zakona musı platit U = u1 + u2. resp.

u1 = U − u2. (2.24)

Platı u1 = R1i. Graficky muzeme zavislost proudu i na napetı u1 znazornitv souradnicıch u, i prımkou prochazejıcı pocatkem, tak, jak je naznaceno naobr. 2.7.


0

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4.54

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

R1 =15Ω

R1 = 15ΩR2 = 25Ω

R2 = 25Ωu1

u1

u2

u2 u

UU

i

Obrazek 2.7: Graficka konstrukce napetı na odporovem delici

Nynı hledejme graf pro pravou stranu vyrazu 2.24. Pro nasi konstrukcizakreslıme do souradnicove soustavy zavislost u2 na i, tedy u2 = U − R2i,jako prımku, ktera protına vodorovnou osu v bode U a svislou osu v bodeU/R2. Protoze jsme nakreslili grafy leve a prave strany jedne rovnice, budejejı resenı lezet v prusecıku obou car. V grafu vidıme, jak se rozdelilo napetıU a jaky proud tece obvodem.

Pro rezistor R1 jsme zavislost proudu na napetı i = g(u) zapsali vztahemi = g(u) = u1/R1 a do grafu ji zakreslili uvedenou prımkou. Predpokladejmenynı, ze rezistor R1 nahradıme soucastkou, pro kterou zname zavislost u1 =f(i) pouze v grafickem vyjadrenı, napr. jako vysledek merenı voltamperovecharakteristiky. Do rovnice Kirchhoffova zakona jiz nemuzeme zapsat u1 =R1i1, ale muzeme obvodove vztahy popsat obecnou rovnicı U = f(i) + R2i.Pro tento obvod a tuto rovnici je graficka konstrukce analogicka (viz obr.2.8) jako pro dva rezistory a umoznuje najıt hodnotu proudu v obvodu anapetı na vystupu delice i pro prıpad, ze nenı znam analyticky popis vol-tamperove zavislosti na pripojenem obvodovem prvku. Navıc graficka kon-strukce prinası moznost nazorne zobrazit i vlastnosti obvodu pri menıcımse U , nebo menıcıch se vlastnostech nelinearnıch charakteristik pouzitychsoucastek.

2.6 Veta o nahradnım zdroji – Theveninuv

teorem

I nadale se budeme zabyvat delicem napetı. Predpokladejme, ze delic napetıje uvnitr zarızenı a my se chceme dıvat na jeho vystupnı svorky tak, jako


4.50 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4

0.05

0.1

0.15

0,2

i1 = g(u1)

i1 = g(u1)R2 = 20Ω

R2 = 20Ω

u1

u1

u2

u2

u[V]

UU

i[A]

Obrazek 2.8: Graficka konstrukce napetı na delici s nelinearnım elementem

by v zarızenı byl idealnı zdroj napetı u′0 s vnitrnım odporem R

′0. Takovy

prıpad ukazuje obrazek 2.9. Uvedena obvodova ekvivalence je popsana tzv.Theveninovym teoremem. [3]

u0 u′0uz uz

R01R02

R′0 RzRz

⇔

spotrebicspotrebic zdrojzdroj

Obrazek 2.9: Nahrada delice napetı

Theveninuv teorem muzeme odvodit s odkazem na skutecnost, ze vlast-nosti realneho zdroje lze identifikovat z napetı naprazdno a proudu nakratko.Tedy

u′

0 = u0R02

R01 +R02

, (2.25)

R′

0 =

R02u0R01 +R02

u0R01

=R01R02

R01 +R02

. (2.26)

Kapitola 3

Vypocty ve frekvencnı oblasti

Obvody jsou velmi casto posuzovany tak, ze jsou popsany jejich vlastnostipri zpracovanı sinusovych (harmonickych) signalu. [3]Proc jsou takove vlastnosti zajımave?

• Kazdy linearnı model obvodu (slozeny ze soucastı, ktere jsme az do-sud popisovali, prıp. z nekolika dalsıch, ktere jeste pozname) ma tuvlastnost, ze vsechny obvodove veliciny majı casovy prubeh vytvorenysuperpozicı sinusovych signalu s frekvencemi totoznymi s frekvencemizdroju sinusovych signalu uvnitr soustavy. Od parametru zdroju se mo-hou slozky obvodovych velicin lisit amplitudou, fazı a prıp. rozmerem.

• Kazdy nesinusovy periodicky signal lze rozlozit na radu signalu s frek-vencemi, ktere jsou dany celocıselnymi nasobky zakladnı (nejnizsı) frek-vence periodickeho signalu – Fourierova rada.

• Kazdy neperiodicky signal (ma-li urcite casto splnitelne vlastnosti)muzeme charakterizovat tak, ze k nemu zıskame hodnoty kmitoctu,ktere musı byt preneseny, aby nebyl takovy signal pri prenosu tvarovenarusen – Fourierova transformace.

V nasich vypoctech nebudeme uvazovat vznik prechodnych deju, ktereprovazejı okamzik pripojenı sinusovych zdroju k obvodu. Nebudeme pocıtatani s zadnymi pocatecnımi napetımi na setrvacnych prvcıch. Vypocty budouplatit pro tzv. harmonicky ustaleny stav, tj. pro obvodove veliciny sesinusovymi casovymi prubehy, jejichz amplitudy a faze se v case nemenı,pokud se nemenı vlastnosti pripojenych zdroju napetı a proudu.

Kapacitor se sinusovym zdrojem napetıBudeme nynı predpokladat, ze

23

KAPITOLA 3. VYPOCTY VE FREKVENCNI OBLASTI 24

C

u(t) = Um sin(ωt)

i(t)

Obrazek 3.1: Kapacitor se zdrojem sinusoveho napetı

u(t) = Um sin(ωt). (3.1)

Pak s vyuzitım derivace (i = C dudt

) dostaneme vyraz pro proud i(t)

i(t) = UmωC sin(ωt+ π/2). (3.2)

Odtud lze najıt vztah mezi amplitudou napetı a proudu tak, ze platı

Im = UmωC. (3.3)

Pokud by v obvodu byl rezistor, vztah by mel tvar

Im =UmR, (3.4)

takze pri hledanı analogie bychom mohli rıci, ze se kapacitor chova jakorezistor s odporem 1/ωC. Vztah amplitud tak lze v tomto prıpade popsat,ale vztah napetı a proudu, vcetne jejich casovych prubehu, rozhodne ne.Proud, na rozdıl od proudu protekajıcıho rezistorem, je u kapacitoru fazoveposunut o π/2. To zasadnım zpusobem urcuje vliv kapacitoru na obvodoveveliciny v jakemkoli obvodu v harmonickem ustalenem stavu.

Vznika otazka, jak takovy vliv na fazi obvodovych velicin matematickypopsat. Matematika dokazala vstoupit do druheho rozmeru vytvorenım oborukomplexnıch cısel.

Elektrotechnika obor komplexnıch cısel vyuzıva.

Jestlize se v popisu signalu pracuje stale s jednım kmitoctem, lze udajo velicine s fazı otocenou o ±π/2 zapsat jako ryze imaginarnı cıslo. Jestlizev obvodu takovou situaci vytvarı setrvacny obvodovy element, pak musı bytprave jeho parametr zapsan jako imaginarnı cıslo.


Aparat komplexnı aritmetiky nam pak poskytne i prostredek, jak po-psat obvodove veliciny s fazı libovolne pootocenou – zrejme jako komplexnıcısla s realnou i imaginarnı slozkou. Takova komplexnı cısla se v aplikacıchs harmonickym ustalenym stavem oznacujı jako fazory. Majı zvlastnı sym-boly a vzdy za sebou skryvajı popis ustaleneho sinusoveho signalu o danemkmitoctu. Aplikaci fazoru pro nas jednoduchy obvod lze demonstrovat nasle-dujıcım vztahem:

I =U

ZC

= jωCU, (3.5)

kde jsme ve vzorci analogickem s Ohmovym zakonem pouzili fazorovyobraz kapacitoru

ZC =1

jωC. (3.6)

Velicina Z se oznacuje jako (komplexnı) impedance a v oblasti vypoctuharmonickeho ustaleneho stavu s pomocı fazoru se s nı zapisujı obvodoverovnice podle Kirchhoffovych zakonu stejne jako v obvodech s rezistory, avsaks respektem k vypoctum s komplexnımi cısly.

Bez dukazu a rozboru uvedeme impedanci induktoru

ZL = jωL. (3.7)

Vypocet obvodu s fazory (zavislost mezi dvema napetımi, zavislost prouduna napetı a naopak) se vetsinou snazıme dovest ke vztahu, ktery ma obecnetvar

Y2 = HY1. (3.8)

Takove vyjadrenı platı v prostoru fazoru, avsak velmi jednoduse lze dosadita zıskat predstavu o casovem prubehu. Vzdycky bude

y1(t) = Y1m sin(ωt+ ϕ1) a y2(t) = Y2m sin(ωt+ ϕ2), (3.9)

kde

Y2m = Y1m|H| = Y1m

√(Re(H)

)2+(

Im(H))2

(3.10)

a

ϕ2 = ϕ1 + arctg

(Im(H)

Re(H)

). (3.11)


Pilny student se sam presvedcı, ze uvodnı vyklad o vztahu napetı a prouduna kapacitoru se zdrojem napetı jsme uvedli v souladu s prave uvedenymobecnym vykladem:ϕ1 = 0, Im(H) = ωC, Re(H) = 0, ϕ2 = π/2, |H| = ωC a Y1 = U, Y2 = I.

Dulezite:Svet tucnych symbolu se strıskami – fazorovy, je jiny svet nez svet casovychprubehu u(t) a i(t) a jim odpovıdajıcıch derivacı a integralu. My vsak vıme,ze se da jedno z druheho vypocıtat, ale do jedne rovnice nikdy tyto ruznesymboly nenapıseme.

3.1 Integracnı RC obvod ve frekvencnı ob-

lasti

R

C

U1 U2

Obrazek 3.2: RC – integracnı obvod

Uvedli jsme, ze s impedancemi pracujeme jako s odpory. Takze vyuzijemeznalostı o delici napetı a napıseme

U2 = U1ZC

R + ZC

= U11/jωC

R + 1/jωC= U1

1

1 + jωRC. (3.12)

Z uvedeneho vztahu muzeme zapsat pro H

H =1

1 + jωRC=

1− jωRC1 + (ωRC)2

. (3.13)

Protoze se jedna o matematicke vyjadrenı pomeru fazoru vystupnıhonapetı k fazoru vstupnıho napetı, tedy o popis jak se vstupnı napetı obvo-dem ovlivnı, je-li preneseno na vystup, nazyva se H (napet’ovym) prenosemobvodu. Jde o bezrozmernou komplexnı funkci kmitoctu ω, coz byva nekdyvyjadreno zapisem H ≡ H(jω).


Vlastnosti obvodu ve frekvencnı oblasti popisujeme pomocı analyzy pre-nosove funkce H. Ukazeme to na uvedenem integracnım obvodu.

Prvnı vyznamna informace se tyka vlivu obvodu na amplitudu vstupnıhonapetı. Uvedli jsme, ze U2m = U1m|H|, takze

U2m = U1m1√

1 + (ωRC)2. (3.14)

Vidıme, ze amplituda sinusoveho prubehu je zavisla na kmitoctu a s ros-toucım kmitoctem bude klesat. Je zvykem tuto zavislost zobrazit v grafufunkce |H|, ve kterem nezavisle promennou (vodorovna osa) je logaritmuskmitoctu a na svisle ose je A, kde

A = 20 log|H|. (3.15)

Takto vyjadrena absolutnı hodnota prenosu je sice bezrozmerna, ale projejı hodnoty se uvadejı

”jednotky“ decibely [dB], graf s takto zvolenymi

merıtky na osach se v literature uvadı jako Bodeho charakteristika a prointegracnı obvod je na obrazku 3.3.

1 10 100 1K

-20.0

-15.0

-10.0

-5.0

0.0

5.0

A[d

B]

f [Hz]

Obrazek 3.3: Amplitudova frekvencnı charakteristika integracnıho RC ob-vodu (R = 100 kΩ a C =10 nF)

Predmetem analyzy je dale fazovy posuv. Podıvame-li se na casove prube-hy na obr. 3.4, zjistıme, ze se napetı na vystupu fazove neshoduje s napetımvstupnım. (Obrazek ukazuje vztah vstupnıho a vystupnıho napetı v harmo-nickem ustalenem stavu. To jsme zduraznili tım, ze casova osa nezacına nu-lovou hodnotou, ale obrazek zachycuje stav v

”prubehu casu“.) V ustalenem

stavu tezko zjistıme, zda se vystup predbıha nebo zpozd’uje. Pokud jdeobecne o obvod s jedinym setrvacnym prvkem, muze se fazovy uhel menit


4,0 6,0 8,0 10,0

-1,0

-0,5

0,0

0,5

1,0

1,5

u1(t)

u2(t)

u[V

]

t [ms]

Obrazek 3.4: Casovy prubeh ustaleneho harmonickeho stavu integracnıho RCobvodu

jen v intervalu ϕ = ±π/2, resp. ϕ = ±90. Pro integracnı obvod zjistıme, zevystupnı napetı

”se opozd’uje“ za napetım vstupnım.

Na obrazku je fazovy posun odhadem 60. Jiste lze ocekavat, ze budezavisly na kmitoctu. Z vyrazu pro prenos plyne pri ϕ1 = 0

ϕ2 = arctg

(Im(H)

Re(H)

)= −arctg (ωRC) . (3.16)

-100

-75

-50

-25

0

25

1 10 100 1K

ϕ[

]

f [Hz]

Obrazek 3.5: Fazova frekvencnı charakteristika integracnıho RC obvodu

Kdyz se podıvame na oba obrazky, amplitudovou a fazovou charakte-ristiku, zjistıme, ze pri nızkych kmitoctech je amplituda vystupnıho napetıtemer shodna s amplitudou vstupnıho napetı a faze je temer nulova. S ros-toucım kmitoctem klesa amplituda a fazovy posun se zvetsuje. Kvalifiko-vaneji tuto uvahu vyjadrıme, kdyz oba vyrazy, pro amplitudu a pro fazi, jeste


podrobıme diskusi, ktera umoznı zavest urcite termıny a objasnı obecnejsıvlastnosti frekvencnıch charakteristik.

Amplitudova frekvencnı charakteristika:

|H| = 1√1 + (ωτ)2

. (3.17)

• ω → 0. Pro nızke kmitocty (ωτ 1) se prenos obvodu blızı k jednicce.Pomale zmeny okamzite hodnoty strıdaveho napetı vedou k tomu, zese kondenzator nabıjı a vybıjı malymi okamzitymi hodnotami proudua na rezistoru se vytvarı maly ubytek napetı. Napetı na kapacitoru

”stıha“ sledovat vstupnı napetı. V grafu prenosove charakteristiky se

jejı prubeh asymptoticky blızı k vodorovne prımce odpovıdajıcı hod-note 0 dB. Obvod propoustı nızke kmitocty, rıkame mu dolnofrekvencnıpropust.

• ω → ∞. Pro vysoke kmitocty (ωτ 1) klesa prenos obvodu s ros-toucım kmitoctem |H| ≈ 1/ωτ . V teto oblasti kmitoctu lze pro pre-nosovou charakteristiku v decibelech napsat A = −20log(2πfτ), cozznamena, ze kazde zvysenı kmitoctu na desetinasobek vede k poklesuprenosu o 20 dB (tedy desetkrat). Je-li v grafu i kmitocet zobrazen lo-garitmicky, blızı se prubeh charakteristiky asymptoticky k prımce sesklonem -20 dB na dekadu kmitoctu. Vysoke kmitocty jsou zadrzovany– hornofrekvencnı zadrz.

• Uvedene dve asymptoty se protnou na ose kmitoctu v bode

ωτ = 1 resp. ω = 2πf =1

τ. (3.18)

Tomuto kmitoctu se rıka meznı kmitocet a skutecny prubeh charak-teristiky se na nem nejvıce vzdaluje od asymptot. Dosazenım zjistıme,ze na meznım kmitoctu je

|H| = 1√2

=

√2

2≈ 0, 707, resp. A ≈ −3 dB. (3.19)

Fazova frekvencnı charakteristika

ϕ = −arctg(ωτ). (3.20)


• ω → 0. Pro nızke kmitocty (ωτ 1) se faze prenosu obvodu blızık nule. Jiz jsme uvedli, ze napetı na kapacitoru

”stıha“ sledovat vstupnı

napetı. V grafu prenosove charakteristiky se prubeh faze asympto-ticky blızı k vodorovne prımce s hodnotou ϕ = 0. Casovy prubehvystupnıho napetı zdaleka nereprezentuje integral z casoveho prubehunapetı vstupnıho.

• ω →∞. Pro vysoke kmitocty (ωτ 1) klesa prenos obvodu proto, ze

”pomaly“ kapacitor nestacı reagovat na rychle zmeny okamzite hodnoty

vstupnıho napetı. Protoze jde o harmonicky ustaleny stav, je napetı nakapacitoru sinusove, ale pomalost, s jakou kapacitor dovoluje menitna svych svorkach napetı, zpusobı, ze se faze zpozd’uje. Pro rostoucıkmitocty se asymptoticky blızı k −90 resp. −π/2. Cım vyssı budekmitocet, tım nizsı bude odchylka faze od −90 a tım lepe bude moznoobvod povazovat za integrator.

• Dosazenım do vyse uvedeneho vztahu zjistıme, ze na meznım kmitoctuje

ϕ = −arctg(ωτ) = −arctg(1) = −45 = −π/4. (3.21)

Povsimneme si, ze vse zmınene je relativnı. Hodnocenı jsme vazali k soucinuωτ , coz znamena, ze popsane jevy mohou v zavislosti na casove konstanteobvodu nastavat pri nejruznejsıch kmitoctech.

3.2 Derivacnı RC obvod ve frekvencnı oblasti

R

C

U1 U2

Obrazek 3.6: RC – derivacnı obvod


Prehledne uvedeme matematicky popis vlastnostı derivacnıho obvodu naobr. 3.6 a jeho charakteristiky na obr. 3.7.

U2 = U1R

R + ZC

= U1R

R + 1jωC

, (3.22)

H =jωRC

1 + jωRC, (3.23)

|H| = ωRC√1 + (ωRC)2

ϕ = arctg

(1

ωRC

). (3.24)

1 10 100 1K

-48

-36

-24

-12

0

0

1212

1 10 100 1K

.

25

50

75

100

125

A[d

B]

f [Hz]

f [Hz]

ϕ[

]

Obrazek 3.7: Frekvencnı charakteristiky derivacnıho RC obvodu

Derivacnı obvod ve frekvencnı oblasti ma nasledujıcı asymptoticke vlast-nosti:

• ω → 0. Smerem k nızkym kmitoctum (ωτ 1) absolutnı hodnotaprenosu klesa. Asymptota ma sklon +20 dB na dekadu kmitoctu a fazeprenosu obvodu se blızı k +90, tedy vystupnı napetı

”predbıha“ napetı

vstupnı.

• ω → ∞. Pro vysoke kmitocty (ωτ 1) se absolutnı hodnota prenosuobvodu asymptoticky blızı k jednicce a faze k nule.


• Na meznım kmitoctu (τ = 1/ω) je

ϕ = arctg(1/ωτ) = arctg(1) = 45 = π/4. (3.25)

O derivacnım pusobenı obvodu tedy lze hovorit tehdy, kdy je kmitocetrelativne nızky (relativne k prevracene hodnote casove konstanty). Ampli-tuda je sice mala, ale fazovy posun temer odpovıda derivaci sinu – casovehoprubehu vstupu.

3.3 Obvody RL

integracnı obvod derivacnı obvod

R

R L

L

U1U1 U2U2

Obrazek 3.8: RL obvody

Pro prenos RL obvodu na obr 3.8 platı nasledujıcı vztahy

integracnı H(jω) =1

1 + jω LR

, derivacnı H(jω) =jω L

R

1 + jω LR

. (3.26)

Souhrnne o frekvencnı oblasti

• Popis obvodu v harmonickem ustalenem stavu je prakticky vyznamnyproto, ze reprezentuje vlastnosti obvodu pro sirokou oblast jeho pouzitı.

• Matematicky aparat pracuje s komplexnımi impedancemi a fazory tak,ze formulace popisu obvodu je velmi jednoducha, avsak omezena jen naharmonicky ustaleny stav – vylucuje vypocet prechodnych deju. Vyrazys fazory (impedance, prenosy a obrazy signalu) nemohou vystupovat vevztazıch pro casove prubehy signalu.


• Matematicky popis obvodu dovoluje formulovat komplexnı funkci kmitoctuoznacovanou jako prenosova funkce (prenos) obvodu. Z nı lze odvoditamplitudovou a fazovou frekvencnı charakteristiku obvodu. Amplitu-dova charakteristika je vetsinou zobrazovana v logaritmickych sourad-nicıch na obou osach (x - logaritmus frekvence, y - logaritmus absolutnıhodnoty prenosu v decibelech [dB]) a fazova charakteristika s logarit-mem frekvence a linearnı stupnicı fazoveho uhlu.

• V kvalitativnım odhadu vlastnostı obvodu s kapacitory a induktory lzena

”dostatecne“ vysokych kmitoctech povazovat kapacitor za zkrat a

induktor za rozpojeny obvod. Na”dostatecne“ nızkych kmitoctech lze

kapacitor povazovat za rozpojeny obvod a induktor za zkrat.

3.4 Rezonancnı obvod ve frekvencnı oblasti

Mejme obvod se dvema setrvacnymi elementy induktorem a kapacitorem,ktere v obvodu usporadame tak, ze jsou zapojeny v serii se zdrojem harmo-nickeho signalu a rezistorem tak, jak je uvedeno na obr. 3.9.

I

U

R

L 2,533

C 1µF

Obrazek 3.9: Seriovy rezonancnı obvod

V seriovem obvodu platı 2. Kichhoffuv zakon, takze muzeme vypocıtatfazor proudu pomocı souctu fazoru napetı na svorkach jednotlivych elementu.

I =U

R + jωL+ 1jωC

= UjωC

(1− ω2LC) + jωRC, (3.27)

kde lze odvodit podmınku, za ktere je proud realny, s nulovym fazpvymposunem vuci napetı. Ta je splnena na rezonancnım kmitoctu:

1

LC= ω2

r , . . . ωr =1√LC

= 2πfr. (3.28)


Nynı muzeme odvodit udaje pro vyjadrenı proudu ve tvaru casove funkce.

U↔ Um sinωt (3.29)

I↔ Im sin(ωt+ ϕ) (3.30)

Im = |I| = UmωC√

(1− ω2LC)2 + (ωRC)2(3.31)

ϕ = arctg

(1− ω2LC

ωRC

). (3.32)

Kdyz bude obvod naladen do rezonance:

ω = ωr =1√LC

, (3.33)

Im = |I| = UmωC√

(1− ω2LC)2 + (ωRC)2=UmR

(3.34)

ϕ = arctg

(1− ω2LC

ωRC

)= 0 (3.35)

Je-li obvod naladen na rezonancnı kmitocet, prestane se projevovat prı-tomnost induktoru a kapacitoru a v obvodu urcuje proud jen rezistor. Fazeproudu je shodna s fazı napetı zdroje. Frekvencnı charakteristiku amplitudo-vou a fazovou ukazuje obr. 3.10.

Podıvejme se, co se deje v rezonanci na svorkach induktoru a kapacitoru.Popıseme napetı na induktoru, nejprve pro libovolne zvoleny kmitocet

UL = jωLI = U−ω2LC

(1− ω2LC) + jωRC(3.36)

Pri rezonanci pak dostaneme

UL = jU1

ωrRC= jQ U, Q =

1

ωrRC=

1

R

√L

C(3.37)

kde Q je cinitel jakosti obvodu, takze

ULm = UmQ ϕ = π/2 (3.38)

Podobne bychom odvodili napetı na kapacitoru. Melo by vsak opacnoufazi.


-90

-75

-60

-45

-30

-15

10 100 1K

-100

-50

0

50

100

logf [Hz]

log(i/i 0)[dB](i

0=

Q = 4 Q = 40Q < 0,5

ϕ[]

Obrazek 3.10: RLC obvod – frekvencnı charakteristika

Vidıme, ze prestoze se kombinace LC chova pri rezonanci jako zkrat, jena obou prvcıch mozno pozorovat mnohdy velmi velike napetı vznikle tım,ze si oba idealnı setravacne prvky vzajemne predavajı energii, aniz dochazık energetickym ztratam. Tato energie se v obvodu nahromadı v prechodnemdeji po pripojenı zdroje, ktery vsak vypocet harmonickeho ustaleneho stavunedokaze popsat. Narust napetı v okolı rezonancnıho kmitoctu ukazuje frek-vencnı charakteristika na obr. 3.11. Postupny narust napetı na induktoru prizapnutı zdroje harmonickeho napetı ukazuje obr. 3.12

70 Hz 100 Hz 140 Hz

0 V

10 V

20 V

30 V

40 V

50 V

log(f)

ULm

Um = 1V Q = 40

Obrazek 3.11: Napetı na induktoru


0m 100m 200m 300m 400m 500m-40

-20

0

20

40

60

v(3) (V) T (Secs)

RLC-HUS.cir

R1

39.5

V1L1

2.533

C11u

Obrazek 3.12: Napetı na induktoru – prechodny dej

V radiotechnickych aplikacıch se setkame s pojmem sırka pasma. Jednase o urcenı intervalu frekvencı mezi dvema body na frekvencnı chrakteristice,pro nez platı stejne pravidlo jako pro jiz zname meznı kmitocty, tedy ϕ =±45, URm/Um = −3dB Graficky to znazornuje obr.3.13

UR = UωRC

jωRC − ω2LC + 1(3.39)

ϕ = ±45 =⇒ 1− ω2LC

ωRC= ±1 (3.40)

Pro kvalitnı rezonatory lze nalezt uzitecny vztah mezi sırkou pasma acinitelem jakosti.

Pro Q > 5 ω1,2 = ωr(1±1

2Q) =⇒ Q =

ωrω1 − ω2

= fr/∆f(3dB) (3.41)

100 Hz

-30,0

-22,5

-15,0

-7,5

0,0

7,5

-3 dB

98,75Hz 101,25 Hz

∆=2,50 Hz

URm[dB]

f

Obrazek 3.13: Sırka pasma


3.5 Vykon v harmonickem ustalenem stavu

Vykon v elektrickem obvodu pri pouzitı fazorove analyzy je definovan jakosoucin fazoru napetı a komplexne sdruzeneho fazoru proudu. Uvedomme si,ze vykon jako soucin proudu a napetı kona praci jen na rezistorech. Induktorya kapacitory energii s harmonickycm signalem jen akumulujı a odevzdavajıdo obvodu, a to v kazde periode harmonickeho ustaleneho stavu.

S =1

2UI∗ (3.42)

takze

S =1

2UmIm(cosϕ+ j sinϕ) (3.43)

P = Re(S) =1

2UmIm cosϕ, Q = Im(S) =

1

2UmIm sinϕ (3.44)

kdeP je cinny vykon ve watech [W],Q je jalovy vykon uvadeny v jednotkach [var] (voltampery reaktancnı)a S = 1/2UmIm je zdanlivy vykon ve voltamperech [VA].

Pro efektivnı hodnoty proudu a napetı platı

P = UefIef cosϕ, Q = UefIef sinϕ S = UefIef (3.45)

Nejvyznamnejsı je usporadanı, kdy je zdroj harmonickeho napetı pripojenke komplexnı zatezi Z slozene z rezistoru a setrvacnych induktoru a kapa-citoru. Komplexnı vykon v zatezi pripojene ke zdroji napetı U (fazi napetıpovazujme za nulovou) lze odvodit z proudu obvodem

I =U

Z=Um

|Z|e−jϕz , (3.46)

kde ϕz je faze zateze ϕz = arctg(

Im(Z)

Re(Z)

)

Potom

S = UI∗ =U2m

2|Z|ejϕz =

U2ef

|Z|ejϕz =

U2ef

|Z|(cosϕz + j sinϕz) (3.47)

Pro vykon spotrebicu (spotrebovavajıcıch energii) je definovan ucinık

λ =P

S= cosϕ (3.48)


Pro maximalnı cinny vykon je potrebne vykonove prizpusobenı – impedancezdroje komplexne sdruzena s impedancı zateze (kompenzace ucinıku).

Jak se s pomery mezi hodnotami soucastek menı fazovy posun mezi prou-dem a napetım a spolu se menıcı se amplitudou menı cinny a jalovy vykon,ukazujı dva nasledujıcı obrazky. Na prvem z nich 3.14 je maly fazovy posunmezi proudem a napetım a odevzdany cinny vykon je veliky, blızky vykonuzdanlivemu.

9.000m 9.090m 9.180m 9.270m 9.360m 9.450m 9.540m 9.630m 9.720m-10

-5

0

5

10

15

-I(V1)*100 V(v1) (V)

9.000m 9.090m 9.180m 9.270m 9.360m 9.450m 9.540m 9.630m 9.720m-0.4

0.0

0.4

0.8

1.2

1.6

-V(V1)*I(V1)

T (Secs)

PDT (W)

.

.

ϕ = −16 2µF

100Ω

U

Im = 96 [mA] Um = 10 [V]

P = 0,4621 [W] S = 0,48 [VA]

ω = 1745 [rad/s]

Z = 100− j.28,648 [Ω]

I = 0.0924+ j.0,0265 [A]

U = 10 [V]

S = 0,4621− j.0,1324 [VA]

Obrazek 3.14: Napetı, proud, vykon v RC obvodu

Na druhem z obrazku 3.15 je mezi proudem a napetım velky posun acinny vykon je maly ve srovnanı s vykonem zdanlivym.

9.000m 9.090m 9.180m 9.270m 9.360m 9.450m 9.540m 9.630m 9.720m-10

-5

0

5

10

15

-I(V1)*100 V(v1) (V)

9.000m 9.090m 9.180m 9.270m 9.360m 9.450m 9.540m 9.630m 9.720m-120.0m

0.0m

120.0m

240.0m

-V(V1)*I(V1)

T (Secs)

PDT (W)

.

.

ϕ = −70,8

0,2µF

100Ω

U

Im = 33 [mA] Um = 10 [V]

P = 0,0543 [W] S = 0,165 [VA]

ω = 1745 [rad/s]

Z = 100− j.286,48 [Ω]

I = 0.0109+ j.0,0311 [A]

U = 10 [V]

S = 0,0543− j.0.1556 [VA]

Obrazek 3.15: Napetı, proud, vykon v RC obvodu

Kapitola 4

Vypocty v casove oblasti

Temi nejelementarnejsımi matematickymi formulemi, pouzitelnymi pro popiselektrickych obvodu, jsme se v predchozıch odstavcıch dostatecne seznamili.Nynı se zacneme zabyvat popisem obvodu, ktere lze

”vypreparovat“ z kon-

strukcı prakticky pouzıvanych elektronickych zarızenı. [3], [5]V digitalnı technice se nejvıce vyskytujı signaly impulsnıho charakteru.

Jak reagujı elektronicke obvody na takove signaly posuzujeme tak, ze sezajımame o casovy prubeh obvodovych velicin ve vybranych obvodovychusporadanıch, ktera povazujeme za reprezentativnı a na ktera lze mnohdyprevest i velmi slozita zapojenı s mnoha soucastkami.

Matematicky je pomerne jednoduche popsat vlastnosti obvodu, jsou-li navstupu buzeny signalem, ktery ma charakter skoku. Takovy signal je teo-reticky, protoze kazda zmena v hodnote proudu nebo napetı se v technicemuze odehrat jen v urcitem byt’ kratkem, ale ne nekonecne kratkem case.Vzdycky vsak muzeme najıt a pozadovat takovou strmost narustu napetınebo proudu, ze vse, co se v obvodu odehraje, bude odpovıdat s dostatecnoupresnostı vypoctum s teoreticky nekonecne strmym skokem. Definici sko-koveho prubehu napetı ukazuje obr. 4.1.

4.1 Integracnı RC obvod se skokem napetı

Na obrazku 4.2 je obvod, ktery se podoba znamemu delici napetı, avsaks tım rozdılem, ze zdroj s rezistorem dodava proud do kapacitoru, na jehozsvorkach pozorujeme vystupnı napetı.

V literature je obvod oznacovan jako integracnı clanek nebo dolnofrekvencnıpropust. Pri vykladu o jeho vlastnostech pozname, ze presne vzato nere-prezentuje casovy prubeh jeho vystupnıho napetı integral casoveho prubehusignalu vstupnıho. Takovemu chovanı se za urcitych podmınek muze priblızit.

39

KAPITOLA 4. VYPOCTY V CASOVE OBLASTI 40

.ot

u(t)U

0

u(t) =

0, t < 0U, t ≥ 0

Obrazek 4.1: Skok napetı

.

R

C

u1(t) uC(t)

Obrazek 4.2: RC – integracnı obvod

Ani o propoustenı nızkofrekvencnıch sinusovych signalu a zadrzovanı vysoko-frekvencnıch signalu, nelze hovorit, aniz bychom nevytycili podmınky platnepro hodnoty soucastek a kmitocty signalu. Presto se tohoto zjednodusenehooznacenı budeme drzet.

Ve vykladu o fyzikalnıch vlastnostech kapacitoru jsme uvazovali nabıjenıkapacitoru konstantnım proudem – tehdy napetı na jeho svorkach rostlolinearne s casem. V integracnım RC obvodu se bude kapacitor jiste takenabıjet, ale zrejme s pribyvajıcım casem bude nabıjecı proud klesat, protozese bude zmensovat napetı na svorkach rezistoru R s tım, jak poroste napetına kapacitoru C. Napetı u2(t) v case t = 0 necht’ je nulove a v case t → ∞se priblızı k hodnote U . Nabıjecı proud klesne k nule tehdy, kdy se napetı nazdroji vyrovna s napetım na nabitem kapacitoru.

Tento casovy prubeh pro t ≥ 0 popisuje vztah

u2(t) = U(

1− e−tτ

), (4.1)

kde velicina τ = RC se oznacuje jako casova konstanta a ma rozmer v se-kundach.


Graficky prubeh nabıjenı ukazuje obrazek 4.3, a to pro prıpad, ze U = 1V asoucin RC = τ = 1 s, napr. R = 100 kΩ a C = 10µF.

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

ua

ub

tab

τ

cas t [s]

uC(t)

[V]

Obrazek 4.3: Casovy prubeh napetı na kapacitoru v integracnım clanku

Z obrazku lze vycıst nektere casto zminovane vlastnosti exponencialnıhonarustu napetı na kapacitoru:

• smernice tecny exponencialy na pocatku prechodneho deje je rovnacasove konstante τ ,

• po uplynutı doby t = τ dosahne exponenciala priblizne 63% z ustalenehodnoty,

• po uplynutı casu odpovıdajıcıho trem casovym konstantam je napetına kapacitoru vetsı nez 95% ustalene hodnoty,

• po uplynutı casu odpovıdajıcıho peti casovym konstantam je napetı nakapacitoru vetsı nez 99% ustalene hodnoty,

• zvolıme-li na exponencialnım prubehu dve libovolne urovne napetı uaa ub, muzeme pri zname velikosti ustalene hodnoty U vypocıtat dobutab, po kterou exponenciala bude probıhat mezi napetımi ua a ub

tab = τ ln

(U − uaU − ub

). (4.2)


0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 50

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

c

i

Obrazek 4.4: Casovy prubeh proudu v integracnım clanku buzenem skokemnapetı

Na obrazku 4.4 je casovy prubeh proudu.Pro nej platı

i(t) =U

Re−

tτ . (4.3)

Nad vyrazy pro napetı na kapacitoru a proud obvodem lze uvest nasledujıcıprakticke uvahy:

• prechodny dej lze urychlit jenom zmensenım casove konstanty τ = R.C,

• zmensenı casove konstanty lze docılit zmensenım kapacity C, coz v praxinemusı byt vzdycky mozne,

• zmensenı casove konstanty lze docılit zmensenım odporu R; to ale vedek vetsımu proudu i(0) = U/R, coz nemusı snaset zdroj impulsnıhonapetı.

Zkracovanı prechodnych deju v elektronickych obvodech je vzdy bojem s prı-rodou.

Dale popıseme, co se bude v obvodu odehravat, kdyz zdroj napetı v caseti skocı z hodnoty U zpet na napetı u(ti) = 0. Takove vstupnı napetı navstupu obvodu oznacujeme jako buzenı (osamelym) impulsem (viz obr. 4.5nahore).

Napetı na kapacitoru zrejme zacne klesat. Jeho prubeh bude popsanobecnejsım vztahem


0,0 1,0 2,0 3,0

0,0

2,0

4,0

6,0

8,0

10,0

12,0

0,0 1,0 2,0 3,00,0

2,0

4,0

6,0

8,0

10,0

12,0

0,0 1,0 2,0 3,0

0,0

2,0

4,0

6,0

8,0

10,0

12,0

t

t

t

uu

u

Obrazek 4.5: RC – integracnı obvod, prubeh napetı pri buzenı impulsem

u2(t) = u2(ti)+[u1(ti)− u2(ti)](

1− e−t−tiτ

)= u1(ti)+[u2(ti)− u1(ti)] e−

t−tiτ

(4.4)pro t ≥ ti.

Vztah je pouzitelny pro vsechny situace v uvedenem obvodu: u2(ti) jenapetı na kapacitoru pred prıchodem skoku, u1(ti) je napetı odpovıdajıcıskoku v case t = ti. Pro skok v case ti = 0, u1(ti) = U a napetı u2(ti) = 0v tomto case, dostaneme vyraz z pocatku naseho vykladu.

Obrazek 4.5 ukazuje dve situace, ktere mohou nastat ve vztahu mezicasovou konstantou a delkou impulsu. Na prvem grafu je casovy prubehimpulsu o delce 1µs s rozkmitem 10 V. Na dalsıch dvou grafech je nej-prve uveden casovy prubeh vystupnıho napetı pro prıpad, ze casova kon-stanta τ = RC je vyrazne kratsı, nez doba trvanı impulsu (τ = 0, 1µs).Na dalsım grafu je uveden prıpad, kdy je casova konstanta rovna delce im-pulsu (povsimneme si, ze nabeh koncı na urovni 63% velikosti skoku). Privypoctu musıme pro u2(ti) vzdy pouzıt hodnotu, kterou zıskame z vypoctu


predchozıho prechodneho deje. Ctenar si jiste predstavı situaci, kdy budecasova konstanta jeste vetsı.

Uvedeny prıklad ma dalekosahle prakticke dusledky. V datovych prenosechse po spojıch mezi zarızenımi prenasejı data jako elektricke impulsy. Jestlizeke zdroji takovych impulsu pripojıme zarızenı s velkou vstupnı kapacitou(vetsı nez predpokladal jeho konstrukter), muze dojıt k uplnemu znehod-nocenı prenosu proto, ze kratsı impulsy za dobu sveho trvanı nedosahnoupozadovane napet’ove urovne a prijımacı zarızenı datovy impuls nezazna-mena.

Casovy prubeh proudu v obvodu popisuje vyraz, ktery je opet zformu-lovan tak, ze obsahuje obecne jak pocatecnı napetı na kapacitoru pred sko-kem, tak vstupnı napetı po skoku.

i(t) =(u1(ti)− uC(ti))

Re−

t−tiτ pro t ≥ ti. (4.5)

Podıvejme se jeste na situaci, kdy se budou impulsy z predchozıho prıkladuopakovat periodicky (buzenı periodickymi impulsy). Obrazek 4.6 ukazujeprechodny dej pri dvou moznych relacıch mezi casovou konstantou obvodua periodou opakovanı impulsu. Na obrazku 4.6 nahore je naznacen prubehperiodickeho impulsnıho signalu o kmitoctu 1 MHz (impuls a mezera majıdohromady trvanı 1µs). Impuls ma velikost 10 V, v mezere je napetı nulove.Impulsy majı dobu trvanı 700 ns, mezera je 300 ns. Pomer mezi impulsem amezerou se oznacuje jako strıda impulsu (v nasem prıpade 3:7).

Na prvem grafu vystupnıho signalu je casovy prubeh na vystupu z obvodus casovou konstantou τ = 50 ns (tedy 5 % z periody impulsnıho prubehu), nadruhem grafu je casova konstanta obvodu nastavena na 5µs (tedy petinasobekperiody). V tomto druhem prıpade se chovanı obvodu da interpretovat jakointegrace. Povsimneme si, ze vystupnı napetı obvodu na konci prechodnehodeje osciluje kolem hodnoty 7 V. To je hodnota integralu z periody vstupnıhoprubehu (10 V a 70 % periody). Napetı se

”vlnı“, ale pokud bychom casovou

konstantu zvetsili, zvlnenı by se zmensilo, avsak ustalenı na hodnote integraluby trvalo dele.

Prave uvedeny princip vytvarenı stejnosmerneho napetı zavisleho na sırceimpulsu uvnitr zname periody periodickeho prubehu napetı, je vyuzit v cıs-licove analogovych prevodnıcıch oznacovanych zkratkou PWM (Pulse Wi-dth Modulation). Chceme-li z PWM vystupu pocıtace dostat stejnosmernenapetı, musıme impulsy PWM generatoru integrovat, napr. obvodem, kterymjsme se az dosud zabyvali.


0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0 14,0 16,0 18,0 20,0

0,0

2,0

4,0

6,0

8,0

10,0

12,0

0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0 14,0 16,0 18,0 20,00,0

2,0

4,0

6,0

8,0

10,0

12,0

0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0 14,0 16,0 18,0 20,00,0

2,0

4,0

6,0

8,0

10,0

12,0

t

t

t

uu

u

Obrazek 4.6: RC – integracnı obvod, prubeh napetı pri buzenı periodickymiimpulsy

4.2 Derivacnı RC obvod se skokem napetı

V praxi se rovnez setkame s obvodem, ktery je vytvoren ze stejnych elementujako prave popsany obvod, ale uzivatel pozoruje prechodne deje na svorkachrezistoru (obr. 4.7). Jde o obvod oznacovany jako derivacnı clanek RC, nebohornı propust. O vystiznosti tohoto oznacenı platı totez, co jsme uvedli napocatku teto kapitoly o obvodu integracnım.

Protoze tımto obvodem prochazı stejny proud jako obvodem integracnım,snadno z vyrazu, ktery jsme uvedli pro prubeh proudu v integracnım obvodu,odvodıme casovy prubeh napetı na vystupu obvodu derivacnıho

u2(t) = [u2(ti) + u1(ti)] e−t−tiτ pro t ≥ ti. (4.6)

Pro aplikace ve vypocetnı technice je zvlaste zajımave chovanı obvodus impulsnım buzenım a s buzenım periodicky se opakujıcımi impulsy. Po-dobne jako u integracnıho obvodu ukazuje obr. 4.9 pro derivacnı obvod vy-stupnı napetı s dvema ruznymi casovymi konstantami, a to pri impulsnım


.

R

C

u1(t) uR(t)

Obrazek 4.7: RC – derivacnı obvod

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

c

u

ta

Obrazek 4.8: Casovy prubeh napetı na vystupu derivacnıho obvodu buzenehoskokem napetı

buzenı impulsem o delce 1µs, s rozkmitem 0÷+10 V. V prvem grafu jdeo obvod s casovou konstantou 0,1µs, druhy graf odpovıda odezve obvodus casovou konstantou 1µs.

I kdyz to nenı z obrazku 4.9 jasne patrno je plocha vymezena casovymprubehem nad osou napetı a pod osou napetı stejna. Pokud se vstupnı im-puls svou sestupnou hranou vratı k vychozı stejnosmerne urovni, ke ktereje superponovan, budou obe plochy stejne a vystupnı napetı se ustalı nanule, a to i pro prıpad, ze jsme pouzili impulsnı prubeh kladne polarityU = 0 10 0 V, i pro prıpad skoku U = −10 0 −10 V, neboU = −5 +5 −5 V, apod. Tato vlastnost plyne z toho, ze kapacitoremnemuze trvale prochazet stejnosmerny proud – proud naboj do kapacitoruuklada, naboj musı byt proudem opacneho smeru odveden, v ustalenem stavu


0,0 1,0 2,0 3,0

0,0 1,0 2,0 3,0

0,0 1,0 2,0 3,0-12,0

-8,0

-4,0

0,0

4,0

8,0

12,0

-12,0

-8,0

-4,0

0,0

0,0

4,0

4,0

8,0

8,0

12,0

12,0

t [µs]

t [µs]

t [µs]u

[V]

u[V

]u

[V]

Obrazek 4.9: RC – derivacnı obvod, prubeh napetı pri buzenı impulsem

je proud nulovy.Obecne muzeme rıci, ze derivacnı obvod oddeluje stejnosmernou slozku

kazdeho vstupnıho signalu tak, ze vystupnı signal stejnosmernou slozku nema.To se ukaze i v prıpade buzenı derivacnıho obvodu periodickymi impulsy.

Na obrazku 4.10 je naznacena situace analogicka k prıkladu buzenı in-tegracnıho obvodu periodickymi impulsy. Nejprve je uveden prıklad buzenıobvodu impulsy s periodou 1µs a strıdou 0,7 (impuls):0,3 (mezera) s tım,ze casova konstanta obvodu je 0,1µs. V druhem prıpade je casova konstantaobvodu 5µs.

V prvem prıpade lze priznat obvodu roli obvodu derivacnıho, protoze ge-neruje jednotlive impulsy, ktere svou polaritou a kratkostı trvanı pripomınajıderivaci skoku (derivace idealnıho skoku je nekonecne kratky impuls). Kdybyskoky nebyly strme, rozkmit impulsu by se menil tak, ze mene strmymskokum ve vstupnım napetı by odpovıdaly nizsı impulsy na vystupu obvodu,coz odpovıda predstave derivace.

Pro velkou casovou konstantu je cinnost obvodu derivacnım ucinkumvzdalena. Uzitek obvodu spocıva v tom, ze za techto podmınek prenasıtvarove verne vstupnı impulsy s tım, ze po odeznenı prechodneho deje mavystupnı signal nulovou stejnosmernou slozku. Vidıme, ze se

”posunul“ tak,


0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0 14,0 16,0 18,0 20,0

0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0 14,0 16,0 18,0 20,0

-4,0

-4,0

-4,0

-8,0

-8,0

-8,0

-12,0

-12,0

-12,0

0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0 14,0 16,0 18,0 20,0

0,0

0,0

0,0

4,0

4,0

4,0

8,0

8,0

8,0

12,0

12,0

12,0

t [µs]

t [µs]

t [µs]

u[V

]u

[V]

u[V

]

Obrazek 4.10: RC – derivacnı obvod, prubeh napetı pri buzenı periodickymiimpulsy

ze vrcholy impulsu sahajı do urovne 3 V a paty impulsu do urovne -7 V, coznepochybne odpovıda skutecnosti, ze plocha vymezena prubehem signalu nadvodorovnou osou je stejna jako pod nı. Takto by se posunul impulsnı prubehs uvedenym pomerem impuls:mezera at’ by byl vstupnı signal superponovanna jakekoli napetı, nejen k nule, jak je uvedeno.

4.3 Obvody RL

Derivacnı a integracnı clanek RL ukazuje obrazek 4.11Pro integracnı clanek slozeny z induktoru a rezistoru buzeny skokem

napetı v case ti platı pro t ≥ ti

u2(t) = u2(ti)+[u1(ti)− u2(ti)](

1− e−t−tiτ

)= u1(ti)+[u2(ti)− u1(ti)] e−

t−tiτ ,

(4.7)kde τ = L

R.


integracnı obvod derivacnı obvod

R

R L

L

u1(t)u1(t) u2(t)u2(t)

Obrazek 4.11: RL obvody

Proud obvodem je dan

i(t) =u2(t)

R. (4.8)

Chovanı obvodu pro R → 0 jsme jiz popsali v uvodu o elementarnıchobvodovych prvcıch. Zde bychom s pouzitım pravidel pro vypocet limity po-tvrdili, ze pro R → 0 (samozrejme u2(t) → 0) skutecne platı i(t) = u1(ti)

Lt,

tedy induktor bude zpusobovat linearnı narust proudu s casem.Pro derivacnı clanek slozeny z induktoru a rezistoru buzeny skokem napetı

v case ti platı pro t ≥ ti

u2(t) = u2(ti) + [u1(ti)− u2(ti)] e−t−tiτ , kde τ =

L

R. (4.9)

Povsimneme si, ze u integracnıho obvodu se v okamziku skoku vstupnıhonapetı nezmenı napetı na rezistoru R (menı se teprve s pribyvajıcım casem).V prvem okamziku se induktor chova jako setrvacny prvek udrzujıcı v obvoduproud, ktery tam prochazel v case t < ti, tedy i(ti) = u2(ti)/R.

Je tedy na mıste uvaha, co se stane, kdyz se v nejakem ustalenem stavuzmenı skokem hodnota odporu R na hodnotu R

′. Z obou vyse uvedenych

vztahu lze odvodit, ze se skokem zmenı u2(ti) na hodnotu

u′

2(ti) =R′u2(ti)

R(4.10)

a probehne prechodny dej podle vztahu pro integracnı obvod, a to s no-vou casovou konstantou a s puvodnım ustalenym napetım u2(t) → u1(ti)(s novym proudem v obvodu).


Na obrazku 4.12 je uveden prıklad odezvy integracnıho obvodu s induk-torem, kdy zdroj napetı u1(t) = U = konst. = 0,5 V, odpor R = 1 Ω, aindukcnost L = 4 H. V case t = 4 s se hodnota odporu skokem zmenına 4 Ω. V ustalenem stavu pred zmenou velikosti odporu bude obvodemprochazet proud 0,5 A. V okamziku skokove zmeny odporu bude proud in-duktorem protekat dal a na rezistoru 4krat vetsım se skokem zvetsı napetına ctyrnasobek. Prechodny dej vsak potom ustalı vystupnı napetı obvodu na0,5 V a obvodem bude prochazet proud 0,125 A.

2

0,5

1

0 4 8 12 16 20t [s]

u [V] R1 R2

Obrazek 4.12: Odezva na skokovou zmenu odporu

Z uvedeneho prıkladu plynou prakticky velmi vyznamne poznatky:

• V obvodu s induktorem muzeme vytvorit situaci, kdy se na svorkachnekterych soucastek muze objevit napetı vyssı, nez ma kterykoli zdrojnapetı. To vyuzıvame ve zdrojıch napajecıch napetı a v zapalovacıchsoustavach automobilu

• Pokud skokem zmenıme odpor v obvodu k nekonecnu – rozpojıme ob-vod, vznikne skok s teoreticky nekonecnym napetım (ktere zanikne v te-oreticky nekonecne kratkem okamziku). Prakticky to znamena, ze prirozpojovanı obvodu, ve kterych jsou cıvky, mohou vznikat napet’ovespicky s moznymi destruktivnımi projevy (napr. znicene tranzistory).

4.4 Rezonancnı obvod v casove oblasti

Na obrazku 4.13 je seriovy rezonancnı obvod, ve kterem budeme zkoumatcasovy prubeh proudu, kdyz pripojeny zdroj napetı vytvorı napet’ovy skok.Konkretnı vypocty zalozene na odvozenych rovnicıch budou vychazet z pa-rametru uvedenych na obrazku. Napet’ovy skok je predpokladan s hodnotou


.

i(t)

U0

R

L 2,533 H

C 1µF

Obrazek 4.13: Seriovy rezonancnı obvod

U0 = 10 V. Hodnota indukcnosti induktoru je zvolena tak, ze rezonancnıkmitocet LC obvodu je 100 Hz.

Ze druheho Kirchhoffova zakona odvodıme rovnici pro vypocet obvo-doveho proudu. Z matematickeho popisu vlastnostı jednotlivyvh prvku ob-vodu s nulovymi pocatecnımi podmınkami zıskame integrodiferencialnı rov-nici:

Ri+ Ldi

dt+

1

C

∫ t

0

i(τ)dτ = U0 pro t > 0 a uC(0+) = 0. (4.11)

Pripomenme rezonancnı kmitocet a zaved’me cinitel tlumenı

1

LC= ω2

r , α =R

2L=

ωr2Q

, (4.12)

Hodnota rezonancnıho kmitoctu jiz byla zmınena – (ωr = 2πfr ≈ 628 [rad/s])a α bude zaviset na hodnote odporu rezistoru R.

Pro rovnici 4.11 se skokem napetı na vstupu je znamo resenı ve tvaru

i(t) =U0

L(λ1 − λ2)(eλ1t − eλ2t

)(4.13)

kde λ1,2 = −α±√α2 − ω2

r (4.14)

Zvlastnı tvar bude mıt casovy prubeh proudu pro prıpad, ze ωr = α. Budeto exponencialnı impuls popsany rovnicı (4.15), zobrazeny na obr. 4.14

i(t) =U0

Lt e−αt (4.15)


0 20ms

0

25mA

Obrazek 4.14: Meznı aperiodicka odezva rezonancnıho obvodu – R = 3183Ω

Pokud λ1,2 jsou dve realna cısla (α > ωr), bude casovy prubeh

i(t) =U0e

−αt

2L√α2 − ω2

r

(et√α2−ω2

r − e−t√α2−ω2

r

)(4.16)

Prubeh odezvy pro realne koreny rovnice (4.14) je na obr. 4.15. Tyl im-pulsu je v tomto prıpade vzdy delsı, nez na obr. 4.14. V obvodu podle obr.4.13 je dvojice realnych λ1,2 pro hodnotu R = 3500 Ω λ1 = −403.61 aλ2 = −978.16

t=[0:0.0001:0.02];

U=10;

R=3500;

C=1e-6;

L=2.533;

alfa=R/(2*L)

omegar=1/sqrt(L*C)

fr=omegar/(2*pi)

i=(U*exp(-alfa*t)/(2*L*sqrt(alfa^2-omegar^2))).

*(exp(t*sqrt(alfa^2-omegar^2))-exp(-t*sqrt(alfa^2-omegar^2)));

plot(t,i)

0 20ms

0

0.5

1

1.5

2

2.5mA

Obrazek 4.15: Aperiodicka odezva rezonancnıho obvodu – R = 3500Ω

Pokud λ1,2 jsou dve komplexne sdruzena cısla (α < ωr), bude

i(t) =U0e

−αt

2jL√ω2r − α2

(ejt√ω2r−α2 − e−jt

√ω2r−α2

)=

U0e−α t

L√ω2r − α2

sin(t√ω2r − α2

)

(4.17)


Takto popsany prechodny dej ukazuje obr. 4.16. Obvod je”malo tlumen“

tım, ze rezistor ma nızkou ohmickou hodnotu a vymena energie mezi induk-torem a kapacitorem vytvarı kmity proudu obou polarit.V obvodu podle obr. 4.13 je dvojice komplexne sdruzenych λ1,2 pro hodnotuR = 400 Ω λ1,2 = −78.958± 623.341j

t=[0:0.0001:0.1 ];

U=10;

R=400;

C=1e-6;

L=2.533;

alfa=R/(2*L)

omegar=1/sqrt(L*C)

fr=omegar/(2*pi)

i=(U*exp(-alfa*t)/(2*L*sqrt(alfa^2-omegar^2))).

*(exp(t*sqrt(alfa^2-omegar^2))-exp(-t*sqrt(alfa^2-omegar^2)));

plot(t,i)

100ms

-4mA

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6mA

Obrazek 4.16: Periodicka odezva rezonancnıho obvodu – R = 400Ω

Kapitola 5

Prenos impulsu, homogennıvedenı

Vypocetnı technika pracuje temer vyhradne s impulsnımi signaly. Pro popisimpulsnıch signalu se pouzıvajı parametry a charakteristiky, ktere umoznujıposoudit, zda signal muze nebo nemuze slouzit k reprezentaci binarnıch in-formacı v systemu s urcitou rychlostı vypocetnıch operacı.

5.1 Parametry impulsnıho signalu

Na obrazku 5.1 je uveden minimalnı soubor charakteristik impulsnıho signalu,s kterym budeme dale pracovat. Pro urcite oblasti aplikacı je takovy soubormozno rozsırit o udaje, ktere postihnou vlastnosti signalu pro dane pouzitı.

u

tr

ti

tf

td

t

vrchol impulsu (ui)

pata

ui

10%ui

50%ui

90%ui

celo tyl

Obrazek 5.1: Impulsnı signal

Casovy prubeh impulsu jsme zjednodusili na ctyri intervaly. Pred impul-sem a po jeho zaniku odpovıda napetı na vybranem mıste systemu hodnote

54

KAPITOLA 5. PRENOS IMPULSU, HOMOGENNI VEDENI 55

oznacovane jako napetı paty impulsu. Impuls ma po odeznenı prechodnehodeje napetı odpovıdajıcı vrcholu impulsu ui.[4] Casovy prubeh vytvorenı aukoncenı impulsu je charakterizovan takto:

• tr je doba trvanı cela (nabehu) impulsu (rise time) a merı se jako cas,ktery impulsnı napetı potrebuje k prechodu mezi 10%ui a 90%ui.

• tf je doba trvanı tylu (poklesu) impulsu (fall time) a merı se jako cas,ktery impulsnı napetı potrebuje k prechodu mezi 90%ui a 10%ui.

• td je doba zpozdenı cela impulsu (delay time) a muze byt vztazenak jakemukoli casovemu okamziku, obvykle pred prıchodem cela. Obecnemuze byt vztazena i k okamziku pozdejsımu, pak ma zaporne znamenko.Pokud se vztahuje k jinemu impulsu, byva merena rovnez vuci okamziku,kdy tento impuls prochazı urovnı 50%ui.

• ti doba trvanı impulsu

• u periodicky se opakujıcıch impulsu se uvadı

– kmitocet nebo perioda opakovanı impulsu

– strıda (duty cycle), tj., pomer doby trvanı impulsu k dobe trvanıpaty, opet mereno v urovni 50%ui

5.2 Prenos impulsnıho signalu

5.2.1 Prenos linearnım obvodem

Nynı muzeme jako prıklad uvest vlastnosti impulsu, ktere produkuje in-tegracnı clanek, pokud je buzen impulsy s dostatecne strmym celem. (vizobr. 4.2)

td = τ ln

(ui − 0

ui − 0, 5ui

)= τ ln2 ≈ 0, 7τ (5.1)

tr = tf = τ ln

(ui − 0, 1uiui − 0, 9ui

)= τ ln9 ≈ 2, 2τ (5.2)

V praxi vsak nejcasteji pracujeme s impulsnımi signaly, ktere postupujız jednoho bloku do druheho s tım, ze jak na vstupu, tak na vystupu jsoudeformovany a k jejich popisu mame prave jejich casove charakteristiky re-prezentovane uvedenymi parametry. Presne vypocty, vychazejıcı z analyzymodelu vnitrnıho usporadanı bloku, lze provest simulacnımi programy. To


muze byt velmi obtızne, pokud nezname dokonale model vsech castı systemu.Pro priblizne hodnocenı obvodu a systemove uvahy lze pouzıt nasledujıcı po-stup.

Mejme linearnı system uvedeny na obrazku 5.2. Je charakterizovan bud’

casem trs, tj. trvanım cela impulsu, ktery se na jeho vystupu objevı, pokudje na jeho vstup zaveden impuls s dostatecne strmym celem, nebo je cha-rakterizovan hornım meznım kmitoctem ωhs = 2 πfhs, tedy kmitoctem, nakterem jeho modulova frekvencnı charakteristika poklesne o 3 dB, pokud nanızkych kmitoctech vykazuje v urcitem pasmu kmitoctu konstantnı hodnotu(coz byva vetsinou splneno). Tento kmitocet umıme vypocıtat pro jedno-duchy RC obvod. Systemy vsak byvajı slozitejsı a potom je udaj o meznımkmitoctu nebo sırce prenaseneho kmitoctoveho pasma vyznamnou informacı.

Obrazek 5.2: Impulsnı signal v linearnım obvodu

Pro toto usporadanı jsou uzitecne nasledujıcı priblizne vztahy [4]:

trs ≈0, 35

fhs(5.3)

tro ≈√t2ri + t2rs (5.4)

Prvy vztah rıka, ze pokud zavedeme na vstup systemu idealnı skok napetı,bude na jeho vystupu impuls

”znehodnocen“ tak, ze jeho celo bude trvat

dobu trs. Jestlize si napr. koupıme zesilovac, ktery ma hornı meznı kmitocet1 MHz, tak nemuzeme na jeho vystupu nikdy ocekavat impulsy s kratsımcelem nez 350 ns. Nebo, pokud chceme zesılit impulsy napr. z fotodiody op-tickeho spoje tak, ze budou prımo odpovıdat pozadovane strmosti impulsuv rodine logickych clenu s tr =10 ns, pak musı mıt zesilovac sırku pasmaalespon 35 MHz. To by vsak musela dioda produkovat cela impulsu vyraznestrmejsı nez 10 ns. Pokud bude fotodioda sama produkovat impulsy s celemnapr. 10 ns, pak podle druheho vztahu bude mıt tentyz zesilovac na vystupuimpulsy s tro ≈

√(100 + 100) ≈ 14 ns.

5.2.2 Impulsy v obvodech s logickymi cleny

V obvodech s logickymi cleny je situace slozitejsı, nez jsme zatım predpokladali.Logicke cleny jsou obvody se spınaci a dalsımi nelinearnımi obvodovymi ele-


menty. V predchozım textu jsme nikde neuvedli zadny udaj o frekvencnı cha-rakteristice, ktera by popisovala logicky clen, protoze vypocet ve frekvencnıoblasti vyzaduje analyzu za podmınek harmonickeho ustaleneho stavu. V ta-kovych podmınkach logicke cleny nikdy nepracujı. Vyse uvedene uvahy sevztahujı k obvodum, v jejichz modelech vetsinou rozhoduje o strmosti im-pulsnıch prubehu napetı proces nabıjenı kapacitoru a strmost zmen prouduurcuje pusobenı induktoru, tedy v obvodech, ktere lze v harmonickem ustalenemstavu analyzovat.

Pro logicke cleny jsme uvedli casovy udaj o zpozdenı odezvy. V kata-lozıch take nalezneme udaj o strmosti hran impulsu generovanych na vystupulogickeho clenu. Tento udaj je mozno vyuzıt ve vztahu 5.4, a to kdykolise pocıta se vstupem takoveho impulsu do linearnı soustavy, tedy i v si-tuaci, kdy impuls vedeme na vstupy dalsıch obvodu. Jedinou podmınkouje, ze lze vystupnı obvod logickeho clenu reprezentovat napet’ovym zdrojems linearnım vystupnım odporem a vstup nasledujıcıch obvodu rovnez modelo-vat linearnımi obvodovymi prvky. Umıme si tak vysvetlit, proc se strmost celaa tylu impulsu na vystupu logickeho clenu vyrazne menı, kdyz k jeho vystupnısvorce pripojujeme kondenzatory s ruznou kapacitou. Roli pripojovanychkondenzatoru jiste plnı i ruzny pocet pripojenych vstupu dalsıch logickychobvodu. Obrazek 5.3 ukazuje vystupnı napetı logickeho clenu 74HC00 priruznych hodnotach pripojeneho kondenzatoru. Konkretnı hodnoty v obrazkureprezentujı pripojenı jednoho nebo deseti vstupu logickych clenu teze tech-nologicke rodiny.

Obrazek 5.3: Kapacitnı zatez invertujıcıho logickeho clenu


5.3 Homogennı vedenı

5.3.1 Model dlouheho vedenı

Zatezı pro vystup logickeho clenu jsou i spojovacı vedenı. Pro kabely i pa-ralelne vedene spoje na desce plosnych spoju jsou uvadeny typicke hodnotykapacity v pikofaradech na metr. Vodic ma vsak charakter nejen kapacitnı,ale vykazuje na jednotku delky take indukcnost (nH/m), odpor (Ω/m) aztratovou vodivost mezi vodici (S/m). Kazdy usek vedenı pak lze modelovatobvodovymi prvky podle obrazku 5.4. [8]

R/2R/2

C

C

L/2L/2

L/2L/2

G

vedenı se ztratami

bezeztratove vedenı

Obrazek 5.4: Model useku vedenı

Nahore je model vedenı se ztratami jak na seriovem odporu vedenı R, takna nedokonale izolaci mezi vodici G. Dole je nahradnı obvod useku vedenı,ve kterem jsou zanedbany ztraty a ktery se obvykle pouzıva pri simulacilogickych systemu.

Uvedeny model vystihuje jakkoli dlouhy spoj. V obvodech zpracovavajıcıchvelmi vysoke kmitocty, nebo velmi strme casove prubehy vsak musıme re-spektovat skutecnost, ze kapacita nenı soustredena uprostred vedenı, ale jerozlozena rovnomerne podel celeho spoje. Vedenı tedy rozdelıme na radu nasebe navazujıcıch kratkych useku podle obrazku 5.5.

Nezbytnost takoveho modelovanı ukazuje jednak experimentalnı zkusenost,jednak i vysledek simulace. Nasledujıcı obr. 5.6 ukazuje simulaci prenosuimpulsu vedenım o delce 50 cm, ktere ma kapacitu 100 pF/m a indukcnost250 nH/m. Na prvem obrazku je zobrazen vystupnı signal pro model slozenyze soustredenych parametru (tedy podle obr. 5.4 nahore s parametry 50 pF


CCCCCC

L/2L/2 LLLLL

Obrazek 5.5: Model bezeztratoveho vedenı s rozlozenymi parametry

a L/2 = 62, 5 nH), na druhem obrazku je tentyz signal prenesen modelems parametry rozlozenymi do peti sekcı po deseti centimetrech (C = 5 pF aL/2 = 12, 5 nH, L = 25 nH)) a na tretım obrazku je simulace prenosu ve-denım, jehoz model vychazı z teoretickeho odvozenı modelu pro nekonecnemnozstvı nekonecne kratkych sekcı.

Z uvedeneho popisu vlastnostı vedenı plyne vyznamny poznatek. Vedenı,ac je charakterizovano kapacitou na jednotku delky, se nechova jako ka-pacitnı zatez obvodu. Prıtomnost rozlozene indukcnosti vytvarı strukturu,ktera vnası do prenosu zpozdenı. Vedenı, ktere je slozeno jen z rozlozene in-dukcnosti a kapacity je bezeztratove, neztracı se v nem cinny vykon a prostejnosmerne, nebo pomalu se menıcı signaly se chova jako dokonaly vodic.

Vedenı muze byt i velmi dlouhe a rychle zmeny napetı na vstupu nemo-hou byt ovlivneny obvody na vystupu vedenı (nenı tam do te dalky videt),takze na zdroj signalu pusobı jen vstup vedenı. Z teorie vedenı plyne, ze sebezeztratove vedenı pro vstupujıcı signal chova jako realny odpor, tzv. cha-rakteristicka impedance Z0. Na svem vystupu se vedenı chova rovnez jakozdroj s vnitrnım odporem odpovıdajıcım charakteristicke impedanci. Signalvsak dospeje na vystup se zpozdenım td. Cast napetı, ktere se na vystupuvedenı vytvorı se muze vracet zpet jako tzv. odrazena vlna a po prıslusnemzpozdenı se projevı na vstupnıch svorkach. Vstup se tedy neco

”dozvı“ o

pomerech na vystupu vedenı az po uplynutı dvojnasobne doby td. Na koncivedenı se superponuje odrazena vlna k prıchozı napet’ove urovni a sırı se zpetke zdroji, kde se opet muze odrazit. Na celem vedenı se vytvorı podmınkyodpovıdajıcı ustalenemu stavu (stavu, ktery by tam byl, kdybychom vedenınahradili zkratem) az po odeznenı vsech odrazu na koncıch vedenı.

Dlouhe vedenı se chova na obou koncıch jako obvod s impedancı danouZ0. Jde vsak o obvod, kterym se sırı vlna, ktera postupne energii uklada dobezeztratovych prvku L a C a na konci vedenı ji odevzdava do zateze.

Pro charakteristickou impedanci platı


Obrazek 5.6: Simulace vedenı s rozlozenymi parametry

Z0 =

√L

C, (5.5)

kde L je indukcnost a C je kapacita vedenı na jednotku delky.Zpozdenı na jednotku delky je dano vztahem

td =√L · C. (5.6)

Nasledujıcı tabulka ukazuje hodnoty parametru charakterizujıcıch nekteretypy vedenı.

L [nH/m] C [pF/m] Z0 [Ω] td [ns/m]

vodic ve vzduchu

kroucena dvoulinka

plochy kabel

koax. kabel

50-100

50-100

80-120

80-120

500-1000

500-1000

5-10

5-10

5

3,5

250 50100

2000 6006


Usporadanı obvodu, ve kterem se uplatnuje vliv dlouheho vedenı, lzeznazornit obrazkem 5.7.

R0

Rz

Z0 td

u0 uA uB

Obrazek 5.7: Obvod s vedenım

Naznaceny usek vedenı ma charakteristickou impedanci Z0 a zpozdenı td.Tyto hodnoty muzeme vypocıtat ze znamych parametru vedenı – indukcnostia kapacity na jednotku delky a z delky vedenı. Vetsinou vsak jsou v praxidany (z katalogu) spıse udaje o Z0 a td.

Na vstup vedenı je pripojen impulsnı signal ze zdroje s vnitrnım od-porem R0. Signal je veden z tohoto zdroje do zateze Rs. I kdyz je cha-rakteristicka impedance realna, ma hodnotu odporu v ohmech, jevı se namv prvem okamziku jako rezistor a vytvorı s vnitrnım odporem zdroje realnydelic napetı, je vedenı nutno povazovat za setrvacny element, jehoz chovanıje urcovano induktivnım a kapacitnım charakterem jeho nahradnıho obvodu.Funkci takoveho usporadanı lze chapat i tak, ze se vedenı nejprve nabıjı naprilozene napetı a pak svuj naboj odevzdava do zateze. Cely proces je vsakprovazen danym pomerem napetı a proudu (urcuje ho charakteristicka im-pedance spolu s vnitrnım odporem zdroje signalu), ktere na vstupu vedenıpanujı. Na zatezovacım rezistoru zdaleka nemusı prochazejıcı proud vytvoritnapetı, na ktere je kapacita vedenı nabita. To vede k tomu, ze na konci vedenımuzeme pozorovat odraz prichazejıcı vlny. Bud’ prichazejıcı proud vytvorıvyssı napetı, nez ktere jsme do vedenı vyslali a tento rozdıl se projevı jakosignal na vystupu vedenı odeslany zpet na vstup, nebo je prichazejıcı napetınizsı nez je napetı, ktere na zatezi vytvorı prichazejıcı proud a takto vzniklyrozdıl se opet sırı po vedenı zpet k jeho zacatku.

Pro popis chovanı takoveho obvodu muzeme zavest dva koeficienty odrazu

ρA =R0 − Z0

R0 + Z0

a ρB =Rz − Z0

Rz + Z0

. (5.7)

Je-li na vstup v case t = 0 zaveden impuls o velikosti U = u0(0) platınasledujıcı vztahy


uA(0) = UZ0

Z0 +R0

, uB(0) = 0. (5.8)

Potom

uB(td) = uA(0)(1 + ρB)uA(2td) = uA(0)(1 + ρB + ρBρA)

uB(3td) = uA(0)(1 + ρB + ρBρA + ρBρAρB)uA(4td) = uA(0)(1 + ρB + ρBρA + ρBρAρB + ρBρAρBρA)

· · ·

uB(∞) = uA(∞) = URz

Rz +R0

. (5.9)

Nazorne to ukazuje obrazek 5.8 pro prıpad, ze Z0 = 50 Ω, R0 = 30 Ω aRz = 70 Ω. Je tedy ρA = −0, 25 a ρB = 0, 1667.

Obrazek 5.8: Odrazy na vedenı

V uvedenem grafu nabyva napetı uA postupne hodnot 6,25 V, 7,03 V a 7 V,zatımco napetı uB hodnot 0 V, 7,29 V, 6,99 V, 7 V.

Lze ukazat, ze pri vhodne volbe hodnot rezistoruR0 aRz nedojde k zadnemuodrazu, nebo odraz nenarusı tvar vystupnıho signalu. Jsou to prıpady, kdyje vedenı impedancne prizpusobeno, a to bud’ na zacatku, nebo na konci.Impedancnıho prizpusobenı dosahneme, pokud bude

• ρB = 0, tedy tehdy, kdy Rz = Z0. Vedenı je na svem konci impe-dancne prizpusobeno a napetı se na vystupu ustalı okamzite po uplynutıdoby td. Na vstupu je napetı odpovıdajıcı ustalenemu stavu okamzites prıchodem vrcholu vstupnıho impulsu a jiz se nezmenı.


• ρA = 0 a ρB = 1, tedy tehdy, kdy R0 = Z0 a soucasne Rz → ∞.Vedenı je impedancne prizpusobeno ke zdroji signalu a na vystupu jenaprazdno (casty prıpad spojenı obvodu CMOS, kdy vystupnı vnitrnıodpor logickeho clenu ma hodnotu blızkou charakteristicke impedanci avystup vedenı je zapojen na vstup izolovanych hradel). V tomto prıpadese na vstupu vedenı vytvorı nejprve napetı polovicnı nez ma zdroj im-pulsu, takovy impuls se sırı vedenım, na jehoz konci se pri odrazuzdvojnasobı na hodnotu shodnou s napetım zdroje, a kdyz odrazenavlna dorazı zpet na vstup, ustalı se vstupnı napetı na vrcholu vstupnıhoimpulsu. (Nelze tedy na vystup logickeho clenu pripojit soucasne sevstupem vedenı vstupy dalsıch logickych clenu, protoze by po dobu 2tdmely na vstupu nedovolenou napet’ovou uroven).

• ρA = 0 a ρB = −1, tedy tehdy, kdy R0 = Z0 a soucasne Rz = 0. Vedenıje prizpusobeno na vstupu a na konci je zkrat. Na vstupu vedenı sevytvorı napetı polovicnı nez je napetı zdroje U . Vlna s touto

”vyskou“

se sırı ke konci vedenı a odrazı se s opacnou polaritou (na zkratu jenulove napetı) a za dobu 2td se na vstupu vedenı vytvorı ustalene nulovenapetı. Takto lze generovat na vstupu vedenı kratke, pomerne presnecasove definovane impulsy.

Dosavadnı vyklad by mohl vest k uvaze, ze jsou vsechny zdroje signalutrvale zatızeny charakteristickymi impedancemi pripojenych vodicu. To vsakplatı jen v dobe, kdy se ze zdroje sırı dopredna vlna a na vstupnıch svorkachnepusobı odrazene vlny. Pokud se napetı na vedenıch menı tak pomalu, ze sezpetna vlna vratı drıve, nez se vstupnı signal vyrazne zmenı, pak lze vstupvedenı povazovat za obvod se soustredenymi parametry a pocıtat s nımjako s vodicem o nulovem odporu, ktery necha na vystup zdroje pusobitprımo pripojeny vstup navazujıcıho obvodu. Pro posouzenı nutnosti resitspoj s ohledem na odrazy a souvisejıcı defekty v napet’ovych urovnıch platıempiricky vztah [8]

tr ≤ 2 td l, (5.10)

ktery rıka, ze vedenı o delce l ovlivnı vyznamne prenos impulsu, pokud im-pulsy majı trvanı cela kratsı, nez je dvojnasobek doby zpozdenı. Napr. prokrouceny par se zpozdenım td = 10 ns/m a impulsy s casem tr = 2 ns, zacnebyt vliv odrazu vyznamny jiz od delky spoje 10 cm.


5.3.2 Graficka konstrukce odrazu

Na obr. 5.9 je graficka konstrukce, ktera predstavuje urcitou analogii k obr. 2.7.Je tam vyznaceno, jak bude rozdeleno napetı ui mezi vnitrnı odpor zdrojesignalu a zatezovacı odpor. Potud jde o shodu s uvedenym obrazkem. Naobrazku je vsak zakreslena situace, kdy se vytvorenı vysledneho rozdelenınapetı na delici R0 − Rs odehraje jako postupne ustalenı obvodu s odrazycela impulsu, ktery napetı ui do obvodu zavedl. [8]

R0

Rz

u0

uz

Z0

i

u

Obrazek 5.9: Odrazy na vedenı - graficka konstrukce

Graficka konstrukce ukazuje, jak se v prvem okamziku rozdelı napetı mezivnitrnı odpor zdroje a charakteristickou impedanci. Tak je vytvorena vlnanapetı a proudu, ktera na vystupu vedenı narazı na zatezovacı rezistor Rs avygeneruje odrazenou vlnu, ktera se po navratu na vstup setka s generatoremimpulsu a jeho vnitrnım odporem Rs. Postupnymi odrazy vlny se nakonecobvod dosatne do podmınek odpovıdajıcıch

”stejnosmernemu“ resenı. Na

obrazku licha cısla odpovıdajı lichym nasobkum zpozdenı td, suda sudym. Navodorovne ose lze odecıst v bodech odpovıdajıcıch lichym cıslum vyvoj napetına vstupu vedenı a v bodech odpovıdajıcıch sudym cıslum vyvoj napetı na


vystupu vedenı, a to vzdy s odpovıdajıcım nasobkem td na casove ose. Uve-deny diagram s ponekud jinak zvolenou orientacı os je znam z literaturyjako tzv. Bergeronuv diagram a podobne jako umoznuje obr. 2.7 odvozo-vat stejnosmerna resenı v nelinearnıch obvodech, umoznuje Bergeronuv di-agram v nelinearnıch obvodech graficky znazornovat casove prubehy odrazuna vstupnıch i zatezovacıch obvodech dlouheho vedenı.

V predchozım textu jsme jednoznacne poukazali na to, ze je treba kazdedlouhe vedenı osetrit tak, aby na nem nevznikaly odrazy. Superpozice uzitecnychsignalu s jejich nezadoucımi odrazy mohou zpusobit uplne ochromenı elek-tronickych obvodu urcenych pro prıjem a dekodovanı dat. Proto jsou vsechnydatove sıte i pomerne kratke spoje uvnitr pocıtacu vzdy vytvoreny tak, abybylo vyhoveno pozadavkum na bezodrazove vzajemne spojenı.

Kapitola 6

Magneticke ucinky proudu

Magnetickych jevu jsme se dotkli v uvodnıch kapitolach, kdyz jsme hledalivztahy mezi obvodovymi velicinami na svorkach induktoru. Tam jsme defi-novali magneticky indukcnı tok Φ. Nynı strucne shrneme dalsı poznatky omagnetismu a o vztazıch mezi elektrickym proudem, magnetickou indukcı ajevy v magnetickem poli. [7]

S proudem prochazejıcım vodicem bezprostredne souvisı magneticky in-dukcnı tok. Geometrie usporadanı vodicu (cıvka, rovny vodic, dvojice vodicu)a prostredı v okolı vodicu urcujı pro vybrane mısto v magnetickem poli hus-totu a tvar magnetickych silocar – magnetickou indukci B. Pro magnetickouindukci B platı vyjadrenı

B =Φ

S, (6.1)

kde S je plocha kolma k silocaram a B je magneticka indukce v jednotkachtesla [T] (1T=1Wb/m2).

Kolik magnetickeho toku vytvorı elektricky proud je z hlediska obvo-dovych velicin postizeno definicı indukcnosti, ale z hlediska magnetickychjevu v okolı vodice nenı tento system vztahu reprezentativnı. Pro magnetickeucinky proudu je zavedena velicina nezavisla na prostredı – intenzita magne-tickeho pole H, ktera ma rozmer [A/m]. Tuto intenzitu ma magneticke poleuprostred kruhoveho zavitu o polomeru 1 m, pokud zavitem proteka proud1 A. Pro magnetickou indukci, kterou pole H vytvorı, platı

B = µH, (6.2)

kde µ je permeabilita prostredı.Vidıme, ze pri danem proudu vodicem jsou, jak magneticky tok, tak mag-

neticka indukce, zavisle na prostredı, ve kterem je elektricky vodic s danym

66

KAPITOLA 6. MAGNETICKE UCINKY PROUDU 67

proudem umısten. Bude na nem tedy zavisla indukcnost cıvky i prımehovodice.

Ve vzduchu je magneticka indukce urcena konstantou

µ0 = 1, 256 · 10−6 H/m (6.3)

Kazdy material v magnetickem poli vykazuje urcitou permeabilitu obecneoznacovanou µ (s tımtez rozmerem [H/m]). Je rovnez zaveden pojem relativnıpermeabilita µr = µ/µ0, bezrozmerna velicina urcujıcı pomer mezi permea-bilitou daneho materialu a permeabilitou vzduchu.

Materialy, s kterymi se setkavame v elektrotechnice, muzeme rozdelittakto:

• diamagneticke latky – relativnı permeabilita µr < 1, napr. med’, kremık,zlato, zinek, mosaz, grafit, · · ·

• paramagneticke latky – relativnı permeabilita µr > 1, napr. platina,alkalicke kovy, feromagnetika nad Curieovym bodem, · · ·

• feromagneticke latky – relativnı permeabilita µr 1, napr. zelezo, nikl,kobalt, · · ·

• ferimagneticke latky chovajı se jako feromagnetika, jedna se o vsechnydruhy feritu.

Feromagneticke latky vykazujı pokles relativnı permeability s teplotou anad Curieovou teplotou TC prechazı feromagnetikum do paramagnetickehostavu. Pro zelezo je TC = 768 C, pro nikl je TC = 360 C.

Feromagneticke materialy jsou takove materialy, ktere mohou byt zmag-netizovany pusobenım vnejsıho magnetickeho pole. Toto pole muze byt vy-tvorene permanentnım magnetem nebo elektromagnetem. Feromagnetickelatky jsou charakterizovany magnetizacnı krivkou. Typicka krivka magne-tizace je na obrazku 6.1.

Uvazme nejprve material, ktery nenı zmagnetizovan. Pri zvysovanı vnejsıhomagnetickeho pole H se zvysuje take indukce B. Krivka vychazı z pocatkua dospeje k nasycenı. Pri snizovanı vnejsıho pole se snizuje take indukce,ale zavislost nesleduje puvodnı krivku. Klesne-li vnejsı pole na nulu, zustanev materialu urcita magneticka indukce, ktera se nazyva remanentnı magne-ticka indukce, remanence Br. Material je zmagnetovan. Pokud se vnejsı poledale snizuje, klesa i indukce. Intenzita pole, pro kterou je magneticka indukcenulova, se nazyva koercitivnı intenzita, neboli koercitivita Hc. Soucin techtodvou hodnot se nekdy nazyva sıla magnetu. Dalsı pokles pole vyvola vznikmagnetizace ve smeru opacnem k puvodnı magnetizaci. Krivka postupuje


.

B

Nasycenı

Nasycenı

−Br

+Br

+Hc−Hc

H

Obrazek 6.1: Hystereznı krivka

velmi podobne k nasycenı, remanentnı magnetizaci a koercitivite s opacnouorientacı.

Podle tvaru hystereznı krivky se rozdelujı magneticke materialy na mag-neticky mekke a magneticky tvrde. Tvrdost je chapana jako

”tvrda obrana“

materialu pred premagnetovanım. Tedy magneticky tvrde materialy majıhystereznı krivku sirokou, s velkou remanencı a koercitivitou. Lze ukazat,ze k jejich premagnetovanı v poli elektrickeho vodice (v cıvce) je potrebavelky elektricky vykon. Naproti tomu jsou materialy magneticky mekke, kterese premagnetovavajı snadno. Krivku mekkeho a tvrdeho materialu ukazujeobrazek 6.2.

B

tvrdy

mekky

pravouhly

H

Obrazek 6.2: Hystereznı krivka tvrdeho a mekkeho feromagnetika

Na obrazku je uveden jeste jeden typ charakteristiky magnetickeho ma-terialu. Vhodnym technologickym postupem lze material zpracovat tak, zejeho hystereznı krivka ma velmi

”hranaty“ tvar – pravouhlou hystereznı

charakteristiku. Takove materialy umoznujı vyuzitı magneticke remanence


k uchovanı binarnıch informacı. To vyuzıvaly historicky nejstarsı pameti s fe-ritovymi jadry.

6.1 Materialy magneticky mekke

Magneticky indukcnı tok je skalarnı velicina

Φ = | ~BS| (6.4)

kde S je plocha kolma k silocaram a Φ indukcnı tok v jednotkach weber [Wb](1Wb=T m2)

Vztah mezi magnetickym tokem a proudem popisuje pro induktor rovnice

Φ = L.i, i =Φ

L, L =

Φ

i, (6.5)

u = ∆Φ/∆t, nebo u(t) =dΦ(t)

dt. (6.6)

Jestlize je magneticky tok urcen prochazejıcım proudem, pak lze ze zmenproudu urcit napetı na svorkach induktoru

u(t) = Ldi(t)

dt. (6.7)

Napetı na svorkach induktoru (cıvky) vznikne, pokud v nem budememenit magneticky tok pohybujıcım se magnetem – to je prıpad dynama aalternatoru. Napetı na svorkach induktoru (cıvky) take vznikne, pokud mag-neticky tok v cıvce bude menit magneticky tok jine cıvky, kterou prochazıpromenlivy (strıdavy) proud – to je prıpad transformatoru, resp. vazanychinduktoru.

6.1.1 Konstrukce transformatoru

Transformator je vyroben tak, ze elektricky proud vytvarı v navinute cıvce(primarnı) magneticky tok, ktery, prochazı-li jinou cıvkou (sekundarnı), in-dukuje na jejıch svorkach elektricke napetı. Jiz vıme, ze magneticky tokmusı byt casove promenny, ma-li v sekundarnı cıvce napetı vyvolat. Protoi primarnı proud musı byt promenny, a jen jeho zmeny mohou vyvolavatpotrebne zmeny indukcnıho toku. Transformator tedy muze transformovatz primarnı do sekundarnı cıvky jen strıdave napetı, prıpadne impulsnı napetıs dostatecne vysokou rychlostı zmen napet’ovych urovnı. Vlastnosti trans-formatoru lze v tomto ohledu prirovnat k vlastnostem derivacnıho obvodu,


ktery rovnez neprenası stejnosmerne napetı ani proud. Transformator tedybude v konkretnım zapojenı obvodu mozno charakterizovat dolnım meznımkmitoctem. Kazdy transformator bude nepochybne vykazovat i omezenousırku pasma v oblasti vysokych kmitoctu.

Zakladnı vztah, ktery popisuje vlastnosti transformatoru, vychazı ze vztahumezi indukcnım tokem a indukovanym napetım (u je umerne dΦ/dt). Je-litransformator usporadan tak, ze obema cıvkami prochazı spolecny magne-ticky tok, muzeme predpokladat, ze kazdy zavit primarnı cıvky vytvorı svujprıspevek k celkovemu toku. Celkovy tok tak bude N1-nasobkem toku vy-tvoreneho jednım zavitem primarnı cıvky. Tentyz tok bude indukovat v sekundarnıcıvce o N2 zavitech N2-nasobek napetı, ktere pripadlo na jeden zavit cıvkyprimarnı. Takze platı

u2u1

=N2

N1

⇒ u2 = u1N2

N1

(6.8)

Poznamenejme, ze transformator nelze vyrobit tak, ze vsechen tok primarnıcıvky prochazı sekundarnı cıvkou. Rovnice tedy nebude platit presne a propopis realnych transformatoru se zavadejı ruzne koeficienty charakterizujıcıdokonalost (stupen) vazby mezi vinutımi. Vsechny konstrukce transformatoruse idealnı vazbe mezi vinutımi snazı priblızit. Prıkladem dobre fungujıcıhousporadanı muze byt transformator na toroidnım jadre.

Pri konstrukci obvodu s transformatorem je dulezite nejen zajistenı trans-formacnıho pomeru N2/N1, ale v obvodu vzdy hraje velmi vyznamnou rolii indukcnost primaru a sekundaru a energeticke ztraty dane ohmickym od-porem vinutı obou cıvek a ztratami, ktere prinası potreba premagnetovavatmagneticke jadro, na kterem jsou cıvky navinuty. Muze pak byt uzitecnezadavat transformacnı pomer udajem o indukcnosti L1 primarnı a indukcnostiL2 sekundarnı cıvky a cinitelem vazby K. Ten si muzeme predstavit jakozlomek z indukcnıho toku vytvoreneho primarem, ktery projde vsemi zavitysekundaru. Pro indukcnost cıvky o N zavitech, ktera ma plochu zavitu S adelku vedle sebe nakladenych zavitu l platı priblizny vztah

L ≈ µN2S

l. (6.9)

Ze vztahu vyplyva, ze indukcnost cıvky je umerna kvadratu poctu zavitu,takze lze z merenı na transformatoru usoudit na jeho prenos s vyuzitımvztahu

u2 ≈ K u1

√L2

L1

(6.10)

N1, N2 – pocet zavitu primarnı a sekundarnı cıvkyL1, L2 – indukcnost primarnı a sekundarnı cıvky


.

u1 u2

i1 i2

Φr1 Φr2

Φ1,2

N1 N2

L1 L2

Obrazek 6.3: Usporadanı transformatoru

Φr1 a Φr2 jsou rozptylove magneticke toky, ktere jdou mimo vazanou cıvkuΦ1,2 je magneticky tok prochazejıcı obema cıvkami, bez ohledu na to, kterajej vytvarı

Idealnı transformator (bez rozptylovych toku a odporu vinutı)

u2 = N2dΦ1,2

dt, u1 = N1

dΦ1,2

dt(6.11)

n =u1u2

=N1

N2

(6.12)

Idealnı transformator nerozptyluje vykon, je bezeztratovym elementem, takzeu1i1 = u2i2

u1u2

=i2i1

=N1

N2

=

√L1

L2

= n (6.13)

Transformace odporu ze sekundarnıho vinutı na primar

Rz = u2/i2 (6.14)

R‘z =

u1i1

=nu2i2/n

= n2u2i2

= n2Rz (6.15)

Bezeztratovy transformator s rozptylovymi tokyIndukcnost primarnı, resp. sekundarnı cıvky ma dve slozky: hlavnı in-

dukcnost Lh1, resp. Lh2, vytvorenou magnetickym tokem prochazejıcım obemacıvkami a rozptylovou indukcnost Lr1, resp. Lr2 s tokem, ktery jde mimoprotejsı cıvku.

Rozptylova a hlavnı indukcnost tvorı vazane induktory. Cinitel vazbyk1, resp. k2 udava pomer napetı na hlavnı a rozptylove indukcnosti (prevodautotransformatoru).

Lr1 + Lh1 = L1 k1 =

√Lh1L1

⇒ Lh1 = k21L1 (6.16)


Lr1 = (1− k21)L1 (6.17)

Prevod realneho transformatoru potom je

n = k1

√L1

L2

≈ k1N1

N2

(6.18)

Pro dvoubranovy popis je definovana vzajemna indukcnost M

M =√k1k2

√L1L2 a kdy k1 ≈ k2 = k, pak M = k

√L1L2 (6.19)

L1 L2

M Lr1 Lr2

k21L1 k22L2u1u1 u2u2

Obrazek 6.4: Model bezeztratoveho transformatoru

Zakladnı dvoubranove vztahy pro vazane induktoryV casove oblasti

u1(t) = L1di1dt±M di2

dt(6.20)

u2(t) = ±M di1dt

+ L2di2dt

(6.21)

Ve frekvencnı oblasti

U1 = jωL1I1 ± jωM I2 (6.22)

U2 = ±jωM I1 + jωL2I2 (6.23)

Lr1

Rh

n2Lr2

Lh1

n : 1

u1u2

rL1n2rL2

n2Rz

Obrazek 6.5: Uplny fyzikalnı model transformatoru

Rh1 je odpor, ktery reprezentuje ztraty v jadre transformatoru,rL1 a n2rL2 jsou odpory vinutı primaru a sekundaru


Obrazek 6.6: Frekvencnı charakteristika transformatoru

6.1.2 Obvodove vlastnosti transformatoru

Frekveencnı charakteristiku realneho transformatoru ukazuje obr. 6.6. Z udajuuvedenych na obrazku muzeme odvodit, ze N2/N1 ≈

√L2/L1 = 10 ≈

u2/u1 = Au, cemuz odpovıda v grafu zobrazeny prenos ve strednım pasmukmitoctu Au = 20 dB. Pokud bychom v obvodu menili nektere parametrytransformatoru, platilo by, ze s klesajıcım K by klesal hornı meznı kmitocet as klesajıcımi hodnotami indukcnostı L1 a L2 (pri zachovanı jejich pomeru) byse smerem k vyssım kmitoctum posouval dolnı meznı kmitocet. Uvazıme-li,ze indukcnost obou cıvek transformatoru zavisı na poctu zavitu, dostanemevysvetlenı, proc jsou transformatory na proud o kmitoctu 50 Hz vyrazne ob-jemnejsı a tezsı, nez transformatory pouzıvane napr. v napajecıch zdrojıchpocıtacu, kde elektronicke obvody zpracovavajı proud s kmitoctem 100 kHz.

Pri prenosu impulsnıho signalu se projevı skutecnost, ze frekvencnı cha-rakteristika klesa smerem k nızkym kmitoctum (derivacnı obvod) i smeremk vysokym kmitoctum (integracnı obvod). Tomu odpovıda i zkreslenı pravo-uhleho impulsu, jak ho ukazuje obr. 6.7.


Obrazek 6.7: Prenos impulsu transformatorem

6.2 Materialy magneticky tvrde

6.2.1 Permanentnı magnety

Materialy magneticky tvrde jsou charakteristicke tım, ze vykazujı vyuzitelnoumagnetickou remanenci. Nejvyznamnejsı vyuzitı magneticky tvrdych ma-terialu je v oblasti vyroby permanentnıch magnetu, ktere pouzıvame na mag-netickych tabulıch, ve spınacıch s jazyckovymi kontakty, v bezkolektorovychmotorech, atd.

Feritove magnety jsou nejlevnejsı bezne permanentnı magnety a jsou ty-pickym predstavitelem feromagnetickych materialu. Zaklad feritu tvorı vevetsine prıpadu smes oxidu zeleza s uhlicitanem barnatym nebo strontnatym,s pouzitım vyrobnı technologie praskove metalurgie. Remanence muze bytBr = 0, 2÷ 0, 5 T. Koercitivita Hc = 0, 1÷ 0, 7 A/m.

6.2.2 Magneticky zaznam

Magneticky tvrde vrstvy nanesene na ruzne pohyblive nosice slouzı k zaznamuanalogovych signalu i digitalnıch dat.[6], [1]

V analogove technice jsou pouzıvany magnetofonove pasky pro zaznamakustickych i obrazovych signalu. Magneticke medium musı umoznit repre-zentovat spojite se menıcı okamzitou hodnotu zaznamenavaneho signalu.Zaznam je zalozen na schopnosti uchovat, v ruznych mıstech magnetickytvrde vrstvy na povrchu pasky, ruznou uroven magneticke remanence. Zmag-


netovanı na potrebnou uroven remanence zabezpecı zaznamova hlava. Ta jezkonstruovana tak, ze magneticky obvod z magneticky mekkeho materialutvorı ve vzduchove mezere magneticky tok schopny zmagnetovat magnetickytvrdy material na povrchu pohybujıcıho se zaznamoveho media. Pri ctenızaznamenane informace podobna (ctecı) hlava ve vzduchove mezere svehomagnetickeho obvodu zachycuje okamzite zmeny magnetickeho toku na po-vrchu nosice a magnetickou indukcı vytvarı v navinute cıvce spojite napetı.

Pro zaznam binarnıch dat je mozno pouzıt pro povrch media material, uktereho se nevyzaduje spojita reprezentace urovne zaznamenavaneho signalu.Naproti tomu se vyzaduje schopnost materialu na malych vzdalenostech za-znamenat co nejvıce zmen v orientaci remanentnı indukce. Princip zaznamuukazuje obrazek 6.8.

Z C

Obrazek 6.8: Princip magnetickeho zazanamu dat na pohybujıcı se medium

Obrazek ukazuje schematicky usporadanı zaznamu a ctenı binarnıch dat,ulozenych ve

”stope“ na povrchu pohybujıcıho se zaznamoveho media. Ta-

kovym mediem muze v soucasne dobe byt magneticka paska, pruzny disk,nebo pevny disk (harddisk). Magneticky obvod s budicı cıvkou je vyrobenz kvalitnıho magneticky mekkeho materialu. Do cıvky je zavaden impulsnısignal s menıcı se polaritou. Tım je v okolı vzduchove mezery vytvarenomagneticke pole, ktere zmagnetovava povrch (orientuje magneticke domeny)magnetickeho nosice. Vznikajı tak ostrovy se dvojı orientacı remanence tak,jak je vyznaceno sipkami v obrazku.

Pohybujıcı se nosic zaznamu je sledovan ctecı hlavou. Ta muze byt vyro-bena stejne jako hlava zaznamova. Pohybujıcı se nosic vytvarı magnetickouindukcı indukcnı tok v magnetickem obvodu a ve ctecı cıvce vznikajı prou-dove impulsy. Impulsy uvedene na obrazku dole se objevujı v okamzicıch,kdy se menı orientace magneticke vrstvy zaznamoveho media bezıcıho podctecı hlavou.

V soucasne dobe byva ctecı hlava vytvorena ze specialnıho materialu,


ktery se chova jako magnetorezistor, tedy rezistor, jehoz odpor se menıv zavislosti na pusobıcım magnetickem poli. Takova hlava by vytvarela im-pulsnı prubeh podobny prubehu zaznamoveho proudu. Vetsinou je vsak velmimaly signal z magnetorezistoru zesilovan zesilovacem, ktery se k signaluzachova jako derivacnı obvod, takze i v prıpade pouzitı magnetorezistorumusıme pocıtat s vystupnım signalem nakreslenym na obrazku dole.

Kapitola 7

Prenos elektromagnetickouvlnou

7.1 Elektromagneticke vlny

Princip vyslanı elektromagneticke vlny z elektronickeho systemu – vysılace,do vnejsıho prostoru popıseme velmi zjednodusene. Vratıme se k dlouhemuvedenı a pripomeneme, ze vedenı je soustavou s rozlozenou kapacitou a in-dukcnostı podel vodicu. Pripomeneme, ze jsme hovorili o sırenı vlny podelvedenı a o odrazech na koncıch vedenı. Pokud se na zacatku vedenı pripojızdroj signalu, ktery generuje sinusovy signal a

”ve spravnych okamzicıch pod-

poruje“ rozkmit odrazenych vln, pak na vedenı vznikne tzv. stojate vlnenı.Kdyz vodice takoveho vedenı vzajemne vzdalıme, vytvorıme vysılacı antenua postupujıcı vlna vyzarı energii do prostoru. Z uvedeneho plyne, ze rozmertakove anteny bude muset respektovat kmitocet vyzarovane vlny, protoze pridane rychlosti sırenı vlny bude faze odrazene vlny zaviset na kmitoctu a delcevedenı. [10]

Na obrazku 7.2 je jedna z moznostı, jak vyslat elektromagnetickou vlnudo prostoru. Bude-li v mıste kam se vlna prostorem dostane umısten dipol,nebo jine usporadanı schopne vlnu zachytit, zıskame elektricky signal, kterypo zesılenı bude mıt vlastnosti signalu, kterym byla vysılacı antena buzena.

Rychlost sırenı elektromagnetickych vln v prostoru zavisı na prostredı.Ve vakuu (a priblizne i ve vzduchu) lze pocıtat s rychlostı v = 3.108 m/s.Delka vlny λ souvisı s jejım kmitoctem f podle vztahu

λ =v

f(7.1)

Elektromagneticka vlna ma dve navzajem neoddelitelne slozky. Elektric-kou charakterizuje vektor intenzity elektrickeho pole a magnetickou vektor

77

KAPITOLA 7. PRENOS ELEKTROMAGNETICKOU VLNOU 78

.

λ/4

λ/2

vedenı s otevrenym koncem

dipol

stojata vlna proudu

stojata vlna napetı

Obrazek 7.1: Dipol

magneticke indukce. Tyto vektory jsou navzajem kolme, majı souhlasnou fazia jejich kmity probıhajı kolmo ke smeru, kterym se vlna sırı.

H

E

λ

Obrazek 7.2: Vlna v prostoru

Elektromagneticke vlny jsou ve fyzice charakterizovany vlastnostmi vl-novymi a kvantovymi: Za vlnove vlastnosti pokladame odraz, lom, ohyb, in-terferenci a polarizaci vln. Za kvantovou vlastnost povazujeme napr. predstavufotonu, ktery vyvolava fotoelektricke jevy.[7]

7.1.1 Kmitoctove spektrum a kmitoctova pasma

Do prostoru lze vyzarit elektromagneticke vlny ve znacnem rozsahu vlnovychdelek, resp. frekvencı. Bude tomu jiste odpovıdat i velky pocet typu zaricu –anten. Vlny o ruznych delkach budou rovnez vykazovat odlisne chovanı pri


svem sırenı prostorem, ale i pri sırenı vedenım. V nasledujıcı tabulce je uvedenprehled kmitoctu a vlnovych delek ruzne pouzıvanych elektromagnetickychvln.

frekvence vlnova delkaextremne dlouhe vlny 0,3 - 3 kHz 1000 - 100 kmvelmi dlouhe vlny 3 - 30 kHz 100 - 10 kmdlouhe vlny (DV) 30 - 300 kHz 10 - 1 kmstrednı vlny (SV) 0,3 - 3 MHz 1 - 0,1 kmkratke vlny (KV) 3 - 30 MHz 100 - 10 mvelmi kratke vlny (VKV) 30 - 300 MHz 10 - 1 multra kratke vlny (UKV) 0,3 - 3 GHz 1 - 0,1 mmikrovlny 3 - 30 GHz 100 - 10 mmmikrovlny 30 - 300 GHz 10 - 1 mminfracervene zarenı 1010 - 1014 Hz 1 mm - 1 µmviditelne zarenı 1014 Hz 400 -700 nmultrafialove zarenı 1014 - 1016 Hz 400 - 10 nmrentgenove zarenı 1016 - 1019 Hz 10 - 0,1 nmgama zarenı 1019 - 1024 Hz 10−10 - 10−14 m

Vyuzitı ruznych vlnovych delek je vetsinou vazano na vlastnosti vln z hlediska• moznosti jejich generovanı, resp. vysılanı do prostoru,

• jejich sırenı,

• moznosti jejich zachycenı,

• jejich ucinku.

Za radiove vlny pokladame vlny od delky 1000 m do delky 0,1 m, (od DVdo UKV), na kterych se sırı, krome jinych sluzeb i pozemnı rozhlas a televize.Pasma mikrovln 3 ÷ 300 GHz jsou rovnez pouzıvana pro verejnou rozhlaso-vou sluzbu, avsak jen ve velmi uzce vymezenych kmitoctovych pasmech.

Radiove vlny jsou generovany v radiovych vysılacıch, ktere v elektro-nickych obvodech vytvorı signal potrebne frekvence, namodulujı na tentosignal prenasenou informaci a signal s potrebnym vykonem vyslou pomocıvysılacı anteny.

Dlouhe vlny se sırı do velkych vzdalenostı podel zemskeho povrchu.Kratke vlny se odrazejı od ionosfery (zacına ve vysce 60 ÷ 80 km nad

zemskym povrchem, obsahuje urcite mnozstvı molekul vzduchu rozstepenychna ionty a volne elektrony, takze se chova podobne jako vodiva plocha. Stavionosfery se menı vlivem slunecnıho zarenı, takze se menı i podmınky sırenıkratkych vln v ruznych dennıch a nocnıch dobach). Kratke vlny majı dıkyionosferickym odrazum velky dosah.

Velmi kratke vlny se pouzıvajı k prenosu televiznıho signalu a zahrnujı tezpasmo rozhlasoveho vysılanı FM. Velmi kratke a ultra kratke vlny vyzadujı


prımou viditelnost mezi vysılacem a prijımacem, a pokud jsou zachycenymimo viditelnost, jedna se o vlny odrazene od prekazek s velkym rizikeminterferencı mezi ruzne odrazenymi vlnami.

V centru zajmu soucasnych komunikacnıch technologiı je pasmo na hornımokraji UKV a pasmo mikrovln. Ke kmitoctum nekterych sluzeb z teto oblastise jeste vratıme.

Mikrovlny v pasmu mezi radiovymi vlnami a infracervenym zarenım plnıkrome komunikacnıch rolı tez roli tepelneho zdroje. Mikrovlnne zarenı muzerozkmitavat molekuly vody a organickych struktur, cehoz se vyuzıva napr.u mikrovlnne trouby nebo v termoterapii v lekarstvı (mikrovlnna destrukcenezadoucıch tkanı).

Kratsı vlnove delky jsou svazany s tak vysokymi kmitocty, ze k jejichgeneraci nelze vytvorit elektronicky obvod, ktery by generoval elektrickysignal prıslusne frekvence. Zdrojem vln jsou fyzikalnı pochody v ruznych ma-terialech a technologickych strukturach, a to zcela beznych (ohrate zelezo) ivysoce specialnıch (polovodicovy laser).

Infracervene IR (infrared) zarenı nebo tepelne zarenı. Infracervenezarenı je podstatou sırenı tepla zarenım, a to i vakuem (napr. i povrch Zemeje zahrıvan infracervenym slunecnım zarenım). Zdrojem IR zarenı je kazdeteleso, ktere ma teplotu vyssı nez je absolutnı nula. Puvodcem IR zarenı jsouzmeny elektromagnetickeho pole vyvolane pohybem molekul. Pohyb mole-kul zavisı na teplote. Proto telesa zahrata na vyssı teplotu jsou puvodcemsilnejsıho IR zarenı nez telesa chladnejsı.

IR zarenı nenı viditelne okem, pronika mlhou a znecistenym ovzdusım,pomocı vhodnych prıstroju (infrakamer) je lze zachytit, ackoli ho ve tmeokem nevnımame. Pri pohlcovanı IR zarenı vznika tepelna odezva -– energieelektromagnetickeho vlnenı se menı na teplo v ozarenem telese.

Prakticke aplikace zahrnujı: Videnı v mlze. Infralokatory, bryle pro nocnıvidenı (lze pozorovat v naproste tme lidske telo, ktere vyzaruje IR zarenı),videokamery pro nocnı natacenı, kdy jako osvetlenı slouzı IR zarice, okemvnımame tmu, ale kamera zachytı osvetlene predmety. V dalkovych ovladacıchnerusı radiovy signal a zaroven ho nevnımame. Infrazarice slouzı k vytapenı.

Viditelne svetlo muze byt slozeno z rady vln o ruzne vlnove delce. Jde osvetlo chromaticke, napr. bıle svetlo muze byt slozeno ze trı zakladnıch barev,ale take muze mıt temer spojite spektrum s velmi velikym poctem slozek.V prıpade, ze jde o svetlo monochromaticke, pak je zarenı neseno jednouvlnovou delkou. Typickym zdrojem monochromatickeho svetla je laser.

U svetla rozeznavame jeho intenzitu a barvu, ktera zavisı na vlnovychdelkach obsazenych ve svetle. Svetelne spektrum je cast elektromagnetickehospektra, ve kterem je zobrazena zavislost barev svetla na vlnovych delkach:strednı vlnove delky se uvadejı takto: cervena (650 nm), oranzova (600 nm),


zluta (580 nm), zelena (525 nm), modra (450 nm), fialova (400 nm)Ultrafialove zarenı: Zdrojem jsou telesa zahrata na velmi vysokou tep-

lotu: Slunce, vybojky, elektricky oblouk (svarenı). Zpusobuje zhnednutı kuzea produkci vitamınu D, ve vyssıch davkach rakovinu kuze, nicı mikroorga-nismy. Vyvolava luminiscenci (pri dopadu na luminofory se menı na viditelnesvetlo), je pohlcovano obycejnym sklem.

Rentgenove zarenı (paprsky X). Rentgenove zarenı vznika zmenamielektromagnetickeho pole v atomovem obalu, coz lze vyvolat ve vakuove elek-tronce bombardovanım kovoveho povrchu svazkem elektronu. Je pohlcovanov zavislosti na protonovem cısle a v zavislosti na tloust’ce latky. To je vyuzitov lekarske rentgenologii a v defektoskopii materialu.

Zarenı γ: Zdrojem vlnenı jsou zmeny elektromagnetickeho pole pri ja-dernych reakcıch. Podobne jako rentgenove zarenı je pohlcovano podle struk-tury — pouzıva se v defektoskopii. Zpusobuje geneticke zmeny, nemoc z o-zarenı (po genetickych zmenach bunek muze dojıt k rakovinnemu bujenı).

7.1.2 Vyuzitı nekterych kmitoctovych pasem

Uved’me nektere kmitocty a kmitoctova pasma vyuzıvana v ruznych apli-kacıch a sluzbach:

• Pozemnı a kabelova televize – 54 ÷ 806 MHz

• Satelitnı televize – pasmo 12 GHz

• Bluetooth – 2,4 ÷ 2,48 GHz

• WI-FI – pasma 2,4 a 5 GHz

• GPS – satelitnı navigace – 1227,6 MHz

• GSM – mobilnı telefony – 900 MHz a 1800 MHz

• radiem rızene modely – legalnı pasmo pro vsechny modely je 40 MHz,jen pro letecke modely je 35 MHz.

• civilnı pasmo – 27 MHz

• ovladanı zamku a pod. – 434 MHz

• amaterska pasma (radioamateri je rozlisujı podle vlnovych delek) –160 m – 1,5 MHz, 80 m – 3,5 MHz, 40 m – 7 MHz, 20 m – 14 MHz, 15 m– 21 MHz, 10 m – 28 MHz 2 m – 144 MHz, 70 cm – 433 MHz

7.2 Modulace

Predchozı vyklad se soustredil na vytvorenı a vyslanı vlny o urcite vlnovedelce, resp. vlny s urcitym kmitoctem. Lze dokazat, ze trvale vysılana vlna


s konstantnım kmitoctem a amplitudou neprenası informace (jedinou in-formacı, kterou nese, je informace o jejım kmitoctu a rozkmitu). Abychomprenesli napr. hlasovou informaci, musıme mıt moznost na stranu prıjemceprenest signal s kmitoctem menıcım se v intervalu nejmene 300÷ 3400 Hz.To jsou vsak kmitocty, ktere nejsou vhodne pro sırenı elektromagnetickymivlnami. Proto se kmitocet napr. kratkych vln pouzije jako tzv. nosna vlna akmitocet akustickeho signalu se na nosnou vlnu namoduluje. Otazkou je, jaklze nosnou vlnu k takovemu prenosu pouzıt, tedy jak lze realizovat zmınenoumodulaci. Uvedeme nejprve metodu typickou pro spojite se menıcı signaly.Pak se venujeme metodam pouzıvanym pro digitalnı signaly.

7.2.1 Amplitudova modulace – AM

spocıva v rızenı amplitudy nosne vlny okamzitymi hodnotami modulacnıhosignalu. Takove ovlivnenı nosne vlny konstantnım kmitoctem ukazuje obr.7.3.

Obrazek 7.3: Amplitudove modulovana nosna vlna

Matematicky lze tento proces popsat nasledujıcım vztahem

y = An(1 +m sin(ωmt)) · sin(ωnt), (7.2)

kde y je signal vedeny do anteny, m je hloubka modulace – m = Am/An, kdyAm je amplituda modulacnıho signalu a An je amplituda nosneho signalu,ωm je kmitocet modulacnıho signalu a ωn je kmitocet nosne vlny.

Po uprave goniometrickymi vzorci dostaneme

y = An

[sin(ωnt) +

m

2cos[(ωn − ωm)t]− m

2cos[(ωn + ωm)t]

]. (7.3)

Uvedeny vzorec ukazuje, ze vysılany signal, ma-li nest nejakou infor-maci (napr. ulozenou v menıcım se kmitoctu modulacnıho signalu), musı bytprenasen nikoli jako signal s jedinym kmitoctem, ale vysılac musı vyslat a


prijımac musı zpracovat kmitocty v urcitem kmitoctovem pasmu. U amplitu-dove modulace jde o pasmo ωn±ωmmax, kde ωmmax je maximalnı kmitocet mo-dulacnıho signalu. Principu, ktere lze pouzıt pro modulaci nosneho kmitoctu,je velke mnozstvı a pro vsechny platı, ze k prenosu informace si vyzadajıurcite frekvencnı pasmo soustredene kolem nosneho kmitoctu. Zmınıme se jako principech pouzıvanych pro spojite signaly, tak o principech pouzıvanychpro modulaci nosnych vln signaly digitalnımi.

An

Anm2

ωn−

ωn+

ωnω

Obrazek 7.4: Postrannı pasma pri amplitudove modulaci

7.2.2 Kmitoctova (frekvencnı) modulace – FM

spocıva v rızenı kmitoctu nosne vlny okamzitymi hodnotami modulacnıhosignalu. Matematicky je kmitoctova modulace popsana vztahem

y = An sin(ωn t+mf sinωmt), (7.4)

kde mf je index kmitoctove modulace, ktery urcuje, jak velkou zmenu kmi-toctu nosne vlny vyvola rozkmit modulacnıho signalu. Pro urcenı sırky pasmajiz nevystacıme s jednoduchymi trigonometrickymi vzorci, vypocet by bylonutno zalozit na rozvoji sinu do trigonometricke rady. Potrebna sırka pasmaje vzdy vetsı nez u amplitudove modulace. Vyhodou frekvencnı modulace jevyznamne vyssı odolnost prenaseneho signalu proti rusenı.

7.2.3 Fazova (uhlova) modulace – PM

spocıva v rızenı fazovych posuvu v kmitoctu nosne vlny, a to okamzitymihodnotami modulacnıho signalu. Matematicky je fazova modulace popsanapodobnym vztahem jako frekvencnı modulace. Rozdıl v chovanı obou mo-dulacı je v tom, ze u frekvencnı modulace se po delsım case faze pro danouokamzitou hodnotu modulacnıho signalu nemusı shodovat s fazı v predchozımcase, kdezto u fazove modulace je v kteremkoli okamziku faze nosne frekvence


pevne vazana na okamzitou hodnotu modulacnıho signalu. Velmi nazorne touvidıme v odstavci o modulaci digitalnımi signaly.

y

t

Obrazek 7.5: Frekvencne modulovana nosna vlnaωn−

ωn−

ωn−

ωn+

ωn+

ωn+

ωn

ω

Obrazek 7.6: Postrannı pasma pri frekvencnı modulaci

7.3 Modulace digitalnımi daty

Modulace digitalnımi daty musı byt vyreseny dva problemy:

1. Reprezentace binarnıch dat seriı impulsu o dvou, prıp. vıce, napet’ovychurovnıch

2. Modulace nosne vlny impulsnım signalem

7.3.1 Reprezentace binarnıch dat

Problem reprezentace binarnıch dat pro potreby jejich prenosu prenosovymmediem se oznacuje jako linkove kodovanı (line coding). Problem spocıvav tom, ze data v pocıtaci majı obvykle jednoduchou reprezentaci dvema hod-notami napet’ovych urovnı, ktere se v logickych obvodech zpracovavajı jako


paralelnı binarnı slova o urcitem poctu bitu (paralelne vstupujı do aritme-tickych a logickych operacı a jsou zaznamenavana v registrech a v pametech).Rozlozenı nul a jednicek v jednotlivych binarnıch slovech je dano kodovanımzpracovavanych informacı a nevylucuje ani dlouhe sekvence nul nebo jednicek,ani jakekoli jine zvlastnosti. Pro prenos mezi systemy, a v poslednı dobe stalecasteji i uvnitr systemu, musejı byt data prenasena jako data seriova, kdyjsou po jednom vodici data prenasena bit po bitu. Takto take data vstupujıdo modulatoru, pokud majı byt prenesena radiovym nebo optickym spojem.

Zavazne je, ze seriovy prenos dat muze vyzadovat pro sled binarnıch stavuna vstupu a vystupu prenosoveho media urcita specifika. Pak je treba zvo-lit pro sled seriovych dat z pocıtace pravidla pro to, jak budou na vstupuprenosoveho media data ztransformovana. Na vystupu pak musejı byt dataidentifikovana a prevedena do puvodnı sekvence binarnıch stavu. V cem tedymohou spocıvat pozadavky na prenasene binarnı stavy.

Uvedli jsme, ze pro prenos informace modulovanou vlnou je potreba urcitefrekvencnı pasmo. Bude nas tedy zajımat, jake frekvencnı pasmo budouseriova data pro prenos potrebovat. Budeme hledat takove impulsnı prubehy,ktere pri prenosu spotrebujı co nejuzsı pasmo. Zhruba platı, ze sıri pasmaurcuje kmitocet prechodu mezi napet’ovymi urovnemi (cım casteji se urovenmenı, tım vyssı kmitoctove pasmo musı byt k dispozici, aby se po demo-dulaci dal signal bezchybne rekonstruovat). Tedy cılem bude ztransformo-vat sled nul a jednicek do dvouurovnoveho (impulsnıho) signalu s malympoctem prechodu mezi urovnemi. Velmi castym pozadavkem take je, abysignal mel nulovou stejnosmernou slozku, tedy aby relativnı cetnost inter-valu s jednou urovnı byla stejna jako cetnost intervalu, kdy je signal ve druhenapet’ove urovni opacne polarity. Muzeme take vytvorit signal, ve kterem sebude strıdat kladna, zaporna a nulova uroven (v posledne zmınenem zpusobukodovanı je nulova stejnosmerna uroven dosazitelna nejsnaze).

7.3.2 Modulace nosne vlny – dvoustavova

Na obrazku jsou tri zakladnı principy dvoustavove modulace nosne vlny.Vychazejı ze zmınenych trı principu modulace: amplitudove, frekvencnı afazove.

• ASK (Amplitude-Shift Keying, Klıcovanı nosne) je nejjednodussı zpusobmodulace nosne vlny. Vyuzıva se v optickych spojıch, kde modulatormenı intenzitu svitu polovodicoveho laseru.

• PSK (Phase-Shift Keying) – Modulace fazovym posunem je velmi castopouzıvanym zpusobem modulace. Binarnı signal svymi logickymi stavy


Obrazek 7.7: Modulace dvouhodnotovym signalem

zavadı do nosne vlny skokove fazove posuny. Skok faze je v prıpadeBPSK (Binary PSK) roven 180. Fazovou modulaci skokem 180 lzevsak rovnez interpretovat jako amplitudovou modulaci bipolarnım sig-nalem. Skutecne fazova modulace je spojena s obecne definovanymiskoky faze, a to nejen dvema. Budeme pak hovorit o vıcestavove fazove,nebo fazove amplitudove modulaci.

• FSK (Frequency-Shift Keying). Modulace je zalozena na rızenı nosnehokmitoctu binarnım signalem. Strednı nosna frekvence ωn je o malykmitoctovy rozdıl zvysena pro jeden logicky stav (ωn + ∆) a pro druhylogicky stav snızena (ωn −∆).

7.3.3 Modulace nosne vlny – vıcestavova

V obecnem textu o modulacıch jsme vyklad zacali u modulacı signalem ana-logovym, spojite se menıcım v intervalu hodnot, ktere dovolil modulacnıpredpis. V prıpade binarnıch dat lze modulovat nosnou vlnu tak, ze mo-dulacnı signal bude pusobit na nosnou vlnu nikoli dvema urovnemi, ale jejichvetsım poctem. Urovne nebudou reprezentovat jen dva stavy jednoho bitu,ale napr. ctyri urovne budou reprezentovat ctyri mozne kombinace dvojice


bitu. Pokud to system dovolı, lze si jiste predstavit treba i 64 urovne, z nichzkazda bude reprezentovat jednu z ctyriasedesati kombinacı sestice bitu.

Nalezneme pak v technickych resenıch nasledujıcı typy vıcestavovych mo-dulacı:

• QASK nebo tez PAM. Ctyri ruzne amplitudy nosne vlny reprezentujıctyri kombinace dvojic prenasenych bitu. Casovy prubeh modulovanenosne ukazuje obr. 7.8.

Obrazek 7.8: Amplitudova modulace ctyrhodnotovym signalem

• QPSK je kvadraturnı fazova modulace, ktere naznacuje cestu, kterou serozvıjejı modulacnı algoritmy. Jejı princip spocıva v tom, ze faze signalumuze byt posunuta do ctyr ruznych hodnot, takze jednım skokem vefazi je do nosneho signalu namodulovana dvojice bitu.

Obrazek 7.9 ukazuje casto pouzıvany zpusob popisu modulacnıho prin-cipu. Jde o zobrazenı okamzitych poloh fazoru nosneho kmitoctu v zavislostina prave prenasene hodnote vıcestavoveho signalu. Prve dva diagramy uka-zujı binarnı modulace dvouhodnotovym signalem. Druhe dva diagramy uka-zujı ctyrstavovou modulaci, nejprve signalem s promennou amplitudou a po-laritou a nakonec signalem s konstantnı amplitudou a rızenou fazı. V soucasnedobe jsou casto pouzıvany systemy kombinujıcı oba vıcestavove modulacnıprincipy. Lze tak modulovat signal i 64stavovym signalem, kdy kazdy fazornese informaci o sesti bitech.


Obrazek 7.9: Kvadraturnı fazove modulace

Kapitola 8

Polovodicove soucastky

Vyzbrojeni nastroji pro zkoumanı vlastnostı elektronickych obvodu muzemerozsırit znalosti o popis polovodicovych soucastı a vylozit jejich uplatnenıv elektronickych systemech. [2] [9], [5].

8.1 Elektricky proud v polovodicıch

Polovodice jsou latky, jejichz elektricky merny odpor je mensı nez u izolantua vetsı nez u kovu. V soucasne dobe nejcasteji pouzıvany polovodivy pr-vek je kremık (Si) ze ctvrte skupiny periodicke soustavy prvku – se ctyrmivalencnımi elektrony.

8.1.1 Proud v cistych polovodicıch

Valencnı elektrony vytvarejı v krystalu elektronove pary. Elektrony se z vazbymohou uvolnovat, zıskajı-li dostatecnou energii, napr. zahratım. Pri nızkychteplotach ma takovou energii malo elektronu a polovodivy material ma velkymerny odpor. Pri vyssıch teplotach se elektrony snaze uvolnujı a pohybujıse uvnitr materialu. Volne mısto po elektronu se chova jako kladne nabitacastice – dıra. Cım vıce paru elektron-dıra vznikne (cım vyssı je teplota), tımmensı je merny odpor. To je opak proti kovum, u nich se s teplotou odporzvetsuje.

Soucasne se vznikem paru elektron-dıra probıha v polovodici rekombi-nace, jejich zanik. Pri stale teplote jsou generace a rekombinace v rovnovaze.Zapojıme-li vlastnı polovodic do obvodu, vznika v nem elektricke pole, kterezpusobuje usporadany pohyb der k zapornemu polu zdroje a elektronu kekladnemu.

89

KAPITOLA 8. POLOVODICOVE SOUCASTKY 90

Prıkladem vyuzitı soucastky z vlastnıho polovodice je teplotne zavislyrezistor – termistor.

8.1.2 Proud v dotovanych polovodicıch

Dodanım cizıch atomu s nizsım nebo vyssım poctem valencnıch elektronudo krystalicke struktury vlastnıho polovodice muzeme vytvorit polovodicovymaterial se dvema typy vodivosti:Vodivost N: Dodanım atomu prvku s peti valencnımi elektrony se vytvorı si-tuace, kdy jen ctyri se uplatnı v kovalentnı vazbe. Pate elektrony jsou vazanyjen slabe a i pri nızkych teplotach se volne pohybujı krystalem. V takto upra-venem krystalu je vıce volnych elektronu nez der. Elektrony proto oznacujemejako majoritnı nosice naboje a dıry jako nosice minoritnı.Vodivost P: Pokud jsou v krystalu prımesi se tremi valencnımi elektrony,obsadı jen tri vazby se sousednımi atomy prvku IV. skupiny. Vznikne dıra,ktera muze byt snadno zaplnena preskokem elektronu od sousednıho atomu.Vytvorene dıry se v polovodici volne pohybujı a tvorı zde majoritnı nosicenaboje, minoritnımi nosici jsou elektrony.Prechod PN: Existujı technologie, ktere vyrobı soucastku, v nız oblasti P aN vytvorı rozhranı – PN prechod. V mıste styku obou polovodicu vznikne dy-namicka rovnovaha (nektere elektrony prestoupı do prostoru P a naopak dırydo N). V oblasti prechodu nejsou vlivem rekombinace zadne volne elektrickynabite castice a na vnejsıch svorkach nenı zadne napetı.

Pokud pripojıme polovodic typu P ke kladnemu polu zdroje a polovodictypu N k zapornemu, z polovodice typu P jsou vtahovany dıry do prostorupolovodice N a naopak z polovodice N jsou do obvodu dodavany elektrony.Vnejsım polem jsou nosice naboje uvedeny do pohybu – PN prechod je za-pojen v propustnem smeru.

Pokud zapojıme PN prechod obracene, k pohybu der a dodavanı elek-tronu nedochazı, tzn. proud neprochazı. Dıry

”pritahuje“ ke svemu prıvodu

zaporne napetı, proto zustavajı v P, stejne elektrony jdou ke kladnemu kon-taktu, a proto zustavajı v N – PN prechod je zapojen v zavernem smeru.To ukazuje nazorne obrazek 8.1. PN prechod propoustı proud pouzejednım smerem.

8.2 Dioda

Z fyzikalnı podstaty cinnosti prechodu PN pri vedenı elektrickeho prouduvyplyva, ze vztah mezi proudem a napetım na jeho svorkach je nelinearnı


+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

- -

- -

- -

- -

- -

- -

- -

- -

- -

- -

- -

- -

- -

- -

- -

- -

- -

- -

- -

- -

++ --

P

P

N

N

vedenevede

P N

Obrazek 8.1: PN prechod

– neplatı Ohmuv zakon. Avsak v obvodech platı Kirchhofovy zakony. Ne-platı predpoklady pro pouzitı fazoru ve frekvencnı oblasti. Obvody, zvlastev oblasti konstrukce vypocetnı techniky, vetsinou popisujeme jen v casoveoblasti.

Jestlize nelze nesetrvacne vlastnosti popsat jedinym parametrem – odpo-rem rezistoru, jake moznosti tedy mame?

8.2.1 Vlastnosti diod

K popisu vlastnostı nelinearnıch nesetrvacnych elementu pouzıvame voltamperovoucharakteristiku zobrazenou graficky, nebo vyjadrenou aproximativnım funkcnımpredpisem1. Graficke znazornenı voltamperove charakteristiky diody ukazujeobr. 8.2. Na obrazku je treba neprehlednout ruzna merıtka na osach prokladne a zaporne napetı. [5]

Analyticky lze voltamperovou charakteristiku diody priblizne popsat rov-nicı

iD = IS

(euDnUθ − 1

), (8.1)

kde iD je proud prochazejıcı diodou pri napetı uD.Napetı uD je kladne, je-li prechod PN polovan v propustnem smeru.

Proud IS je tzv. nasyceny (saturacnı) proud prechodu a zavisı na techno-logii a materialu diody. Zavisı znacne na teplote, protoze je tvoren tepelnegenerovanymi dvojicemi elektron-dıra.

Napetı Uθ je tzv. teplotnı napetı

1Zde je na mıste uvest, ze voltamperova charakteristika je graf zavislosti proudu (na osey), prochazejıcıho obvodovym prvkem, na prilozenem napetı (na ose x). Kazdy tedy jistesnadno zakreslı voltamperovou charakteristiku rezistoru o odporu R, popsaneho Ohmovymzakonem.


-60

0 0,2

0,2

0,3

0,4

0,4

0,6

0,5

0,8

0,1

.

.

i

u

iD

uD

Obrazek 8.2: Voltamperova charakteristika kremıkove diody

Uθ =kθ

q≈ 26 mV, (8.2)

kde k = 1, 38.10−23 [J/K] (joule na kelvin) je Boltzmanova konstanta, q =1, 602.10−19 [C] (coulombu) je elementarnı naboj a θ je absolutnı teplota(v Kelvinech). Emisnı soucinitel n se menı v rozmezı 1 < n < 2 a zavisına technologii.

Napetı nUθ je tedy pro teplotu 300 K (= +27C) v rozmezı 26 az 52 mV.Pro napetı uD Uθ lze zanedbat jednicku proti exponenciale a dostanemepro prubeh voltamperove charakteristiky propustne polovane diody pribliznyvztah

iD = IS euDnUθ . (8.3)

Skutecny prubeh voltamperove charakteristiky diody je ovlivnen v pro-pustnem smeru hlavne seriovym odporem prıvodu a v zavernem smeru pa-ralelnımi svody.

V elektronickych systemech se setkame s ohromnym mnozstvım ruznychtypu diod vyrobenych tak, aby vyhovely pozadavkum konkretnıch aplikacı.Diody jsou pouzıvany v silnoproude elektrotechnice jako usmernovace strıdavehoproudu pro napajenı stejnosmernych motoru a pro dalsı aplikace vyuzıvajıcıstejnosmerny proud. Diody jsou v napajecıch zdrojıch pocıtacu a nabıjeckachakumulatoru. I pri takove sıri aplikacı lze s urcitym zjednodusenım uvesthlavnı staticke a dynamicke vlastnosti diod.

Staticke parametry diod

• Imax – maximalnı propustny proud; konstrukcı diody, okolnı teplo-tou, zpusobem chlazenı je urcen maximalnı proud, ktery smı diodou


prochazet v propustnem smeru; pri jeho prekrocenı je nebezpecı te-pelneho znicenı diody.

• Umax – maximalnı zaverne napetı; zaverny proud diody prudce narusta,jestlize se napetı blızı k napetı oznacovanemu jako prurazne napetı. Prinem vzroste intenzita elektrickeho pole uvnitr prechodu nad mez, za nızdochazı k vytrhavanı nosicu naboje z krystalove mrızky polovodice ajejich lavinovitemu mnozenı. Jde o pruraz, ktery muze vest k destrukci,je-li provazen soucasnym prehratım prechodu.

• UT – prahove napetı; napetı, ktere musıme vlozit na diodu v pro-pustnem smeru, aby zacal protekat

”znatelny“ proud. Pro kremıkove

diody lze pracovat s UT ≈ 0, 6÷ 0.8 V.

Pri resenı statickych pomeru v obvodech s diodou pouzıvame nejcasteji nu-merickych metod vypoctu nebo grafickych konstrukcı nazorne resıcıch ne-linearnı obvodove rovnice. Grafickou konstrukci jsme ukazali v kapitole 2.5.1.Pri pribliznych vypoctech obvykle pouzıvame tzv. linearizace voltamperovecharakteristiky pomocı nekolika useku, kde je vzdy pro urcity interval napetıdioda popsana hodnotou odporu, ktery vystihuje zavislost zmen proudu nazmenach napetı, avsak vzdy jen pro urcity interval hodnot proudu a napetı.Cım vıce takovych useku zvolıme, tım je nahrada presnejsı, ale vypocetobtıznejsı. Existuje vsak mnozstvı uloh, kde lze k aproximaci pouzıt jen dvouuseku (vede/nevede).

Dynamicke parametry diodKrome statickych parametru – ubytku napetı v propustnem smeru a

proudu v zavernem smeru – jsou velmi dulezite i parametry dynamicke, ne-bot’ ovlivnujı vztah mezi casovymi prubehy napetı a proudu na diode priprechodnych dejıch. Zpozdenı reakce, napr. napetı, pri nahle zmene prouduse projevuje jako nelinearnı kapacita prechodu PN, ktera je z hlediska fy-zikalnıho slozena ze dvou slozek.

• Staticka (barierova) kapacita je kapacita kondenzatoru, jehoz polepytvorı oblasti P a N a dielektrikem je vyprazdnena vrstva v okolı prechodupri zaverne polarizaci. Jejı tloust’ka zavisı na vnejsım napetı, takze probarierovou kapacitu platı priblizny vztah

CT ≈CT0(

1− uDUj

)m , (8.4)

kde Uj je tzv. difuznı potencial (Uj ≈ 0, 5 − 0, 9 V), uD je napetı prizaverne polarizaci zaporne, CT0 je konstanta zavisla na plose prechodu


(kapacita pri nulovem napetı), m je exponent zavisly na typu prechodu(m ≈ 0, 3 az 0,5).

Dioda zapojena tak, ze v obvodu pusobı jejı barierova kapacita, jev praxi vyuzıvana. Je vyrabena jako tzv. varikap nebo varaktor. Jednase o elektronickou soucastku, ktera muze v zavislosti na prilozenemnapetı prelad’ovat rezonancnı obvody, napr. v radiovych prijımacıch avysılacıch.

• Difuznı kapacita se uplatnuje, je-li dioda polovana v propustnem smeru.Nenı ve skutecnosti tvorena izolacnı vrstvou a dvema elektrodami.Vyuzıvame podobnosti chovanı kapacitoru a propustne polovane diody.Pomocı difuznı kapacity popisujeme dynamicke jevy, ktere provazejıpruchod proudu prechodem. Pro difuznı kapacitu CD platı priblizne

CD ≈ τiD1

nUθ, (8.5)

kde iD je proud prochazejıcı diodou a τ je efektivnı doba zivota mensinovychnosicu. Uvedeny vztah je uzitecny hlavne tım, ze demonstruje prımouumeru mezi propustne tekoucım proudem a nahromadenym nabojemv prostoru polovodicoveho prechodu. Takovy naboj musı byt pri vypınanıprochazejıcıho proudu odveden, coz muze v nekterych aplikacıch predstavovatzavazny problem.

8.2.2 Diodovy obvod – zotavenı diody

I v obvodech s polovodicovymi soucastkami je prostredkem jejich zkoumanı ahodnocenı pouzitelnosti v praktickych aplikacıch, resenı obvodu s impulsnımisignaly. Nejjednodussı obvod je na obrazku 8.3. Ukazuje obvod s diodou, ktera

”stojı v ceste“ impulsu zavadenemu na svorky rezistoru. Prametry impulsu

jsou nasledujıcı

u1(t) =

+5 V t < 0, 5µ s a t > 2µs−5 V t = 0, 5÷ 2µ s

(8.6)

Na obrazku 8.3 je mozno nejprve identifikovat napet’ove urovne odpovıdajıcıustalenemu stavu pred vznikem a po odeznenı prechodnych deju

u2(t) =

0 V t < 0, 5µ s a t 2µs≈ +4, 2 V t ≈ 0, 7÷ 2µ s

(8.7)

Pri zapornem napetı na vstupu je na vystupu nulove napetı proto, ze diodanepropoustı do obvodu zadny proud.


0,0 0,6 1,2 1,8 2,4 3,0-10,0

-10,0

0,0

10,0

0,0

10,0

5kΩ

u1 u2u1

[V]

u2

[V]

D R

trr vliv CD

vliv CT

+5 V

-5 V

+4,2 V

t [µs]

0 V

Obrazek 8.3: Diodovy obvod s impulsnım buzenım

Pri kladnem napetı na vstupu je na vystupu napetı zmensene o ubytek napetına diode (cca 0,8 V).

Velmi dulezity je popis prechodnych deju, ktere majı odlisny charakterpri spınanı proudu a pri jeho vypınanı.

Pri spınanı diody je analogie s derivacnım obvodem zcela na mıste, protozese uzavrena dioda chova jako

”kvalitnı“ zavernym napetım nabity kondenzator

CT , ktery se musı do zateze v prechodnem deji vybıt. Casovou konstantu vsaknelze definovat, protoze se kapacita PN prechodu v prubehu prechodneho dejemenı.

Pri vypınanı proudu – uzavıranı vodive diody zavernym napetım, dochazık zotavenı (na obrazku zotavenı zacına v case t = 2µs). Zotavenı lze chapatvelmi dobre jako vybıjenı difuznı kapacity, ale protoze se jedna o prechodnydej v nelinearnım obvodu, nelze analogii s derivacnım obvodem jednodusepouzıt. Zotavenı byva v mnoha prıpadech nejdulezitejsı pro praktickou pouzitelnostdiody. Pri propustne polarizaci diody jsou v oblastech prilehlych k prechoduPN v kazdem okamziku volne nezrekombinovane nosice. Zmenı-li se nahlepolarita vnejsıho napetı, objevı se na prechodu bariera proti prechodu ma-joritnıch nosicu, avsak volne minoritnı nosice mohou jeste po urcitou dobu


uzavırat proud prochazejıcı v zavernem smeru – muzeme rıci, ze se vybıjıdifuznı kapacita. Teprve po vycerpanı techto volnych nosicu klesne zavernyproud na velikost danou statickou voltamperovou charakteristikou (na nasemobrazku trva zotavenı cca 200 ns).

Naboj, ktery projde prechodem v zavernem smeru po prepolovanı, jezavisly na proudu, ktery puvodne prochazel v propustnem smeru. Zotavo-vacı dobu lze zkratit prilozenım velkeho zaverneho napetı. Proud, ktery seuzavıra v obvodu po dobu zotavovanı diody, je totiz omezen pouze odporyzarazenymi v obvodu, je tedy pri vyssım zavernem napetı vetsı, a naboj jerychleji odveden.

8.2.3 Specialnı diody

• Dioda s prechodem kov-polovodic (Schottkyho dioda)

Dioda muze byt zhotovena jako prechod kov-polovodic. Technologievyroby je obtıznejsı nez u diod s prechodem PN. Staticka voltamperovacharakteristika je podobna voltamperove charakteristice diody s prechodemPN, ma vsak mensı prahove napetı UT = 100÷ 150 mV.

Protoze u diod tohoto typu je prenos uskutecnovan vetsinovymi nosici,nedochazı zde k hromadenı mensinovych nosicu a dosazitelna doba zo-tavenı dosahuje jednotek pikosekund (u rychlych kremıkovych PN diod500÷ 700 ps).

• Zenerova a lavinova dioda

Zenerovy diody jsou diody, ktere jsou navrzeny tak, ze je vyrobnı tech-nologiı zajistena zadana hodnota prurazneho napetı v rozmezı od jed-notek do stovek voltu. V obvodech se pak predpoklada, ze chlazenımje zajisteno, ze proud prochazejıcı za mezı prurazu nezpusobı tepelnoudestrukci. Voltamperova charakteristika Zenerovy diody je uvedena naobrazku 8.4.

Zenerovych diod se vyuzıva hlavne ve stabilizatorech napetı, ve zdrojıchreferencnıch urovnı, v omezovacıch urovnı apod.

• Tunelova dioda

Tunelova dioda je rovnez soucastka tvorena prechodem PN. U tunelovediody vsak existujı nosice naboje, ktere prechodem mohou prochazet(”tunelujı“) pri napetı nizsım nez je napetı prahove. Voltamperova cha-

rakteristika (obr. 8.5) strme stoupa jiz od nuloveho napetı. Strmost ses rostoucım napetım postupne zmensuje, az pri napetı Up a proudu Ipcharakteristika dosahne lokalnıho maxima. Pri dale rostoucım napetı


iD

iD

uD

uD

IZn

IZn

UZn

UZ

Obrazek 8.4: Voltamperova charakteristika Zenerovy diody

iD

Iv

Ip

Up Uv uD3

Obrazek 8.5: Voltamperova charakteristika tunelove diody

na prechodu jiz prestavajı pusobit podmınky pro vznik tuneloveho jevua proud klesa, az pri napetı Uv dosahne lokalnıho minima Iv. Potom sedioda zacne chovat podobne jako PN dioda v propustnem smeru.

8.3 Bipolarnı tranzistor

Tranzistor je polovodicova soucastka se dvema PN prechody. V soucasne dobeje tranzistor nejcasteji vyraben pomocı tzv. planarnı technologie. Strukturutakto vyrobeneho tranzistoru ukazuje schematicky nasledujıcı obrazek.

PN prechody by bylo jiste mozno pouzıvat jako dve diody. Na rozdıl oddvou ruznych diod je vsak v tranzistoru mısto dvou anod (tranzistor NPN)jedna spolecna velmi tenka polovodicova vrstva – baze, ktera tvorı spolecnouanodu pro obe diody (katodu v tranzistoru PNP).


Obrazek 8.6: Struktura tranzistoru

Podstatou cinnosti tranzistoru je vyuzitı schopnosti zaverne polarizo-vaneho prechodu kolektor-baze, odvadet nosice naboje z oblasti baze, pokudjsou tam dodany propustne polovanym prechodem baze-emitor. (Prechodkolektor-baze se tedy v podstate nechova jako uzavrena dioda, i kdyz murada vlastnostı zaverne polovane diody zustava, napr. barierova kapacita.)Uvedene chovanı struktury s tenkou bazı se nazyva tranzistorovy jev.

------

------

------

------

------

------

------ -

-----

-

-----

-

-----

-

-----

-

-----

-

-

-

------

++

+

-

N

P

N

CC

BB

E

E

.

iB

iB

iC

iC

iE

uBE

uCE

βiB

Obrazek 8.7: Nosice naboje ve strukture tranzistoru

Na obrazku 8.7 je nazorne ukazano, jak se rozvetvı celkovy proud emitoruna proud tekoucı do baze a proud uzavreny pres kolektorovy prıvod (ctyrikulicky do emitoru, jedna z baze, tri z kolektoru). Vpravo je pak nejjednodussımodel bipolarnıho tranzistoru. Platı v nem pri propustne polarizaci prechodubaze-emitor a nepropustne polarizaci prechodu kolektor-baze

iE = iB + βiB, iC = βiB, β =iCiB,

iCiE

=β

β + 1= α, (8.8)

kde β je proudovy zesilovacı cinitel tranzistoru v zapojenı se spolecnym emi-torem (kdyz prepocıtame

”kulicky“ na obrazku dostaneme, ze by uvedeny


tranzistor mel β = 3)a α je proudovy zesilovacı cinitel v zapojenı se spolecnou bazı (s uvedenymi

”kulickami“ je α = 0, 75) Poznamenejme vsak, ze bezne tranzistory majı

vyrazne vyssı zesilovacı cinitele.Pro vytvorenı modelu tranzistoru jsme si museli zavest novy obvodovy

prvek, v tomto prıpade proudovy zdroj rızeny proudem. Jde o zdroj s vlast-nostmi shodnymi s vlastnostmi drıve popsaneho zdroje proudu. Rozdıl je jenv tom, ze proud zdroje je predepsan vztahem, ktery jeho okamzitou hodnotuurcuje v zavislosti na velikosti proudu v jine casti obvodu. Takovy rızenyzdroj umoznuje namodelovat schopnost tranzistoru zesilovat proud – malymproudem do baze rıdıme velky proud v obvodu kolektoru.

8.3.1 Doplnek inventare obvodovych modelu – rızenezdroje

V teorii obvodu jsou pouzıvany jeste dalsı rızene zdroje. Shrneme je a oznacımejako linearnı rızene (aktivnı) elementy (obr. 8.8).

• zdroj proudu rızeny proudem – parametrem je bezrozmerna konstanta,proudovy zesilovacı cinitel (oznacme napr. α nebo β),

• zdroj napetı rızeny napetım – parametrem je bezrozmerna konstanta,napet’ove zesılenı (oznacme napr. Au),

• napetım rızeny zdroj proudu – parametrem je transkonduktance s rozmeremvodivosti v siemensech (oznacme napr.Gm),

• proudem rızeny zdroj napetı – parametrem je transrezistance, ktera marozmer odporu v ohmech (oznacme napr.Zm).

Rızeny zdroj v linearnıch obvodech definuje zavislost rızene veliciny na rıdicıvelicine s tım, ze rıdicı ucinek je urcen konstantnım parametrem. Uvidıme, zepri vypoctech obvodu s polovodicovymi soucastkami budeme muset pripustit,ze i rıdicı ucinek muze byt nelinearne zavisly na nekterych obvodovychvelicinach. Musı tedy byt popsan graficky nebo aproximujıcı funkcı. Pokud jemozno rıdicı parametr u rızeneho zdroje povazovat v urcite oblasti cinnostiobvodu za konstantnı, muze byt pouzit i pro vypocty ve frekvencnı oblasti.V takovem prıpade muze byt reprezentovan i komplexnı funkcı kmitoctu.


x

i1

i1

u1

u1

i2 = α.i1

u2 = Z.i1 u2 = A.u1

i2 = G.u1

Obrazek 8.8: Rızene zdroje

8.3.2 Tranzistorovy obvod – kolektorove charakteris-tiky

V nejjednodussım tranzistorovem obvodu budıme bazi ze zdroje zvolenehoproudu a v kolektorovem obvodu pozorujeme prochazejıcı proud v zavislostina kolektorovem napetı. Zachytıme-li pozorovanı graficky, pujde o zobrazenıparametricke soustavy voltamperovych kolektorovych charakteristik tranzis-toru v zapojenı se spolecnym emitorem (emitor je spolecnou svorkou jakvstupnıho, tak vystupnıho obvodu). Obrazek 8.9 zachycuje soustavu kolek-torovych charakteristik pro zmeny kolektoroveho napetı v mezıch 0 az 10 V,pri buzenı baze proudy 0, 0,5, 1, 1,5,..,5µA.

Na obrazku 8.9 je zobrazena soustava charakteristik, odpovıdajıcıch bu-zenı baze proudem. Pripsana napetı mezi bazı a emitorem jsou jen priblizna,protoze se pri zmenach kolektoroveho napetı nepatrne menı.

Na charakteristikach muzeme pozorovat, ze kolektorovy obvod nenı doko-nalym zdrojem proudu (to by musely byt charakteristiky rovnobezne s osoux). Dale pozorujeme, ze kolektorovy proud zanikne, pokud se napetı na ko-lektoru priblızı k nule. To je nazornym dokladem toho, ze tranzistor sam doobvodu zadnou energii nedodava, jen velmi ucinne ovlada proud dodavanyz vnejsıho zdroje. Dale je treba upozornit na to, ze rozestup charakteristik jepro konstantnı krok proudu baze priblizne stale stejny. V oblasti dostatecnevelikych kladnych napetı kolektoru lze cinitel β povazovat priblizne za kon-stantu. To nelze rıci v prıpade, ze bychom chteli modelovat rıdicı ucinek bazezdrojem proudu rızenym napetım. Z charakteristik vycteme, ze pro linearnınarust proudu kolektoru by muselo byt na bazi privadeno napetı, ktere by


-1 0

0

1

1

2 3 4 5 6 7 8 9 10

-10m

0m

10m

20m

30m

40m

50m

60m

IC(Q1) (A)

IC(Q1) (A)

VC(Q1) (V)

-1.00 -0.50 0.00 0.50

0.70

0.72

0.74

0.76

0.78

0.80

1.00 1.50

-0.15m

0.00m

0.15m

0.30m

0.45m

0.60m

0.75m

0.90m

1.00m

IB(Q1) (A)

IB(Q1) (A)

VB(Q1) (V)

VB(Q1) (V)

VC(Q1) (V)

VC(Q1) (V)

VB

(Q1

) (V

)

VCC

Q1

V1

Obrazek 8.9: Charakteristiky tranzistoru

narustalo s postupne se zmensujıcımi prırustky. (Pouzitı takoveho modeluale nenı nikterak vylouceno, jestlize tuto nelinearitu rıdicıho ucinku napetıbaze dokazeme popsat graficky nebo aproximujıcı funkcnı zavislostı).

8.3.3 Tranzistorovy zesilovac

Na uvedene charakteristice muzeme snadno ukazat schopnost zesilovat proud.Napr. pri proudu baze 3µA prochazı kolektorem proud o neco vyssı nez 1 mA(β ≈ 350). Zesilovacı efekt se projevuje v ovladanı proudu prochazejıcıhokolektorem z vnejsıho zdroje napetı. Toho se da vyuzıt pro zesilovanı signalu.Na obrazku 8.10 je zapojenı, ktere pracuje jako zesilovac napetı. [5]

Vysvetlıme postupne, jak obvod svou roli zesilovace plnı:

• Aby obvod s tranzistorem zesiloval maly signal, musı byt nastavenystejnosmerne

”klidove“ podmınky – pracovnı bod. Tranzistor

vede stejnosmerny proud priblizne 1 mA. To je podmıneno stejnosmernymnapetım na bazi cca 860 mV, ktere je rozlozeno mezi prechod baze-emitor a emitorovy rezistor R2. Napetı na bazi urcuje delic z rezistoruR3 a R4. Proud prochazejıcı do kolektoru vytvarı na rezistoru v kolek-torovem prıvodu stejnosmerny ubytek cca 5,3 V, takze vuci spolecnesvorce je na kolektoru 4,7 V (mezi kolektorem a emitorem 4,5 V).

• Za techto stejnosmernych podmınek muze zdroj vstupnıho strıdaveho


855,0mV

855,6mV

856,2mV

856,8mV

857,4mV

-1,0mV

-0,5mV

0,0

0,5mV

1,0mV

1,5mV

4,680V

4,692V

4,704V

4,716V

4,728V

4,740V

R1

5kΩ

R2

200Ω

R3

100kΩ

R4

10kΩ

C1 1 Fµ

4,7 V10 V

212 mV856 mV

~

Obrazek 8.10: Zesilovac

napetı s amplitudou 1 mV pusobit na bazi tranzistoru. Kapacitor C1

zabezpecı, ze zdroj signalu neovlivnı stejnosmerne nastavenı klidovychpodmınek (pracovnıho bodu) – pripomenme vyznamnou vlastnost de-rivacnıho obvodu, schopnost oddelit stejnosmernou slozku promennehonapetı. Vstupnı strıdave napetı je tedy superponovano ke stejnosmernemupredpetı baze. Kolektorovy proud je vlivem vstupnıho strıdaveho napetırızen tak, ze klesajıcı napetı na vstupu ho zmensuje a kolektorove napetıroste (zmensuje se ubytek na kolektorovem rezistoru) a rostoucı napetına vstupu proud zvetsuje a napetı klesa. Napetı na kolektoru ma sinu-sovy prubeh s amplitudou cca 20 mV a s opacnou fazı nez ma napetına vstupu. Rozkmit sinusove slozky kolektoroveho napetı je cca 20kratvetsı nez rozkmit napetı na vstupu – napetı bylo zesıleno.

• Uvedene chovanı zesilovace lze popsat ve strednım pasmu kmitoctu, tj.v pasmu, kde se s menıcım se kmitoctem nemenı zesılenı (v obrazku8.12 cca od 100 Hz do 1 MHz) zjednodusenym modelem, ktery pouzijenapr. napetım rızeny napet’ovy zdroj podle obrazku 8.11.

• Frekvencnı charakteristiku nebudeme hloubeji zkoumat. Pouze konsta-tujeme, ze zesilovac ma klesajıcı zesılenı smerem k nızkym kmitoctum– rozhodujıcı vliv na to ma kapacita kapacitoru C1, resp. casova kon-stanta RvstC1, kde Rvst je vstupnı odpor zesilovace. Smerem k vysokymkmitoctum zesılenı rovnez klesa a v danem zapojenı o tom rozhodujıtechnologicke vlastnosti pouziteho tranzistoru, ktere jsou dosazeny si-


Rvst ≈ 2,6kΩ

Rvyst ≈ 9,1kΩ

A ≈ −170

u1u2 = A.u1

Obrazek 8.11: Model zesilovace

mulacnım programem.

1 10 100 1K 10K 100K 1M 10M 100M0,0

7,5

15,0

22,5

30,0

37,5

1 10 100 1K 10K 100K 1M 10M 100M

-375,0

-300,0

-225,0

-150,0

-75,0

0,0

f

Aph

Obrazek 8.12: Frakvencnı charakteristika zesilovace s bipolarnım tranzisto-rem

• Zesilovac lze prakticky pouzıt a uvedenym zpusobem modelovat pouzetehdy, kdy se neprojevı podstatnym zpusobem nelinearnı vlastnostitranzistoru. Jakmile by rozkmit vstupnıho signalu vzrostl natolik, zevystupnı napetı by jiz nebylo mozno povazovat za sinusove, pak nelzelinearnıho modelu pouzıt a obvod by bylo nutno modelovat v casove ob-lasti s tım, ze frekvencnı charakteristika neexistuje – nebyly by splnenypodmınky pro reprezentaci impedancı a signalu fazory. Nasledujıcı obrazekukazuje, jak se vystupnı napetı u naseho zesilovace zkreslı pri vstupnım


signalu s rozkmitem 800 mV.

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,00,0

2,0

4,0

6,0

8,0

10,0

12,0

t

u

Obrazek 8.13: Prebuzeny zesilovac

8.4 Unipolarnı tranzistor

Dalsı vyznamnou polovodicovou soucastkou je unipolarnı tranzistor – tran-zistor rızeny elektrickym polem (FET – Field Effect Tranzistor). Strukturua model tranzistoru FET ukazuje obrazek.

S

S

GG

D

D

B B

ugd

ugs

udb

usb

ids

udsrd

rs

ugb

Obrazek 8.14: Vnitrnı struktura FETu

V polovodicovem materialu typu P je vytvorena dvojice oblastı s do-tacı typu N. Predpokladame, ze obe tyto oblasti, oznacene S (source) a D(drain), jsou vuci substratu B (bulk) polovany tak, ze jimi netece proudv propustnem smeru. To take musıme zabezpecit ve vsech praktickych ob-vodovych aplikacıch. Na povrchu substratu je izolacnı vrstva (oxid, nitrid,..)a na nı je vytvorena vodiva elektroda G (gate). Proto se takovy tranzistoroznacuje jako MOS FET (Metal Oxid Semiconductor).

Podstatou cinnosti tranzistoru rızenych elektrickym polem je ovladanıvodivosti vrstvy substratoveho materialu, ktera lezı bezprostredne pod rıdicı


elektrodou – gatem. Elektrostaticky ovladana tzv. inverznı vrstva tvorı vo-divy kanal spojujıcı dve oblasti stejneho typu vodivosti.

V prıpade FETu se substratem typu P spocıva rıdicı ucinek gatu v tom,ze kladnym napetım jsou z povrchove vrstvy

”odtlaceny“ dıry a prevladne

v nı elektronova vodivost – indukuje se kanal typu N. Do takoveho kanalumohou volne vstupovat majoritnı nosice (elektrony) z obou oblastı D i S. Celacesta, kterou prochazı proud, je tedy vytvorena polovodicem jednoho typuvodivosti (v nasem prıpade typu N). Proto se take tyto tranzistory oznacujıjako unipolarnı.

Vnitrnı struktury FETu se mohou lisit typem vodiveho kanalu, tedy mo-hou byt s N kanalem, nebo s P kanalem.

Dale rozlisujeme FETy s vestavenym a indukovanym kanalem. To, cojsme az dosud uvedli, platilo pro MOSFET s indukovanym kanalem – cestamezi sourcem a drainem byla pri nulovem napetı na gatu nevodiva. Lze vsakpod rıdicı elektrodou technologicky vytvorit vodivou vrstvu, takze kanal vedeproud i pri nulovem rıdicım napetı. Zapornym napetım na gatu u tranzistorus N kanalem je mozno kanal uzavrıt, kladnym napetı otvırat vıce, nez od-povıda vestavene vodivosti. U tranzistoru s vestavenym P kanalem lze naopakkanal uzavrıt kladnym napetım na gatu a vıce otvırat napetım zapornym.

Rıdicı elektrodu lze vytvorit i prechodem PN, ktery musı byt vuci kanalunevodivy. Napetım na prechodu lze ovladat tloust’ku vyprazdnene vrstvy,ktera vestaveny kanal prehrazuje. Tyto FETy se oznacujı jako JFETy (JunctionFET).

drain

gate

source

typ kanalu

PPP NNN

indukovany zabudovany PN prechod

vodivost kanalu

Obrazek 8.15: Schematicke znacky FETu

Obrazek 8.15 naznacuje, jak se ve schematech odlisujı jednotlive typyFETu. Je vsak treba mıt na pameti, ze v literature je rozsıreno velke mnozstvısystemu znacenı, takze se nelze spolehnout na obrazek a je nutno v textu neboz funkce obvodu usoudit o jaky typ se jedna.


8.4.1 Model FETu

Rızenı proudu mezi drainem a sourcem se uskutecnuje zvetsovanım a zmensovanımtloust’ky inverznı vrstvy pomocı napetı rıdicı elektrody. Pro mala napetı dra-inu je rıdicı elektrodou ovladan odpor cesty mezi drainem a sourcem. Tentoodpor je linearnı jen do urciteho napetı, za nımz dojde k vycerpanı nosicu,ktere jsou v kanalu k dispozici. Tım je omezeno dalsı zvetsovanı proudu.Voltamperovou charakteristiku (indukovaneho) kanalu D-S pro ruzna napetına rıdicı elektrode ukazuje nasledujıcı obrazek 8.16.

uGS

uDS

iDS

0 2,5 5 7,5 10

0

1

2

2.0 V

1.9 V

1.8 V

1.7 V

1.6 V

1.5 V

1.4 V

1.3 V

0.9 V

2.1 V

3

4

5

iDS

m

uGS

uDSv

Obrazek 8.16: Vystupnı charakteristiky MOS FETu

Vrat’me se k nakresu struktury a jejımu modelu. [5]

• V prıvodech ke kanalu jsou v modelu zarazeny rezistory, ktere repre-zentujı odpor prıvodu a odpor polovodiveho materialu mimo kanal.

• V mnoha praktickych aplikacıch jsou spojeny svorky B a S, takze secasto predpoklada uSB = 0⇒ uGB = uGS.

• Prahove napetı u FETu je takove napetı, pri kterem se objevuje in-verznı vrstva – vznika kanal (tranzistor na obrazku ma prahove napetı≈ 0,8 V). Pro tranzistory s indukovanym kanalem N je prahove napetıkladne, pro tranzistory s vestavenym kanalem je zaporne, a v obouprıpadech se kanal otvıra rustem rıdicıho napetı smerem ke kladnymhodnotam. U tranzistoru s kanalem typu P je tomu naopak.

• Z popisu cinnosti plyne, ze rızeny proudovy zdroj je nutno zvolit jakozdroj proudu rızeny napetım, protoze do rıdicı elektrody nevstupujezadny proud.


• Z charakteristik je zrejme, ze proudovy zdroj je napetım rızeny zdrojproudu, u nehoz nelze definovat rıdicı ucinek konstantou, tedy musımepocıtat s obecnou funkcnı zavislostı. Jen pro velmi male zmeny obvo-dovych velicin lze najıt nahradnı obvod s linearne rızenym zdrojem.

iDS = G(uGB) prıp. iDS = G(uGS).

• Z charakteristik je rovnez patrno, ze pro mala napetı mezi drainem asourcem je mozno nahradit vodivy kanal rezistorem ovladanym napetım.(Takovy obvodovy prvek jsme zatım nedefinovali a v teorii obvodu ses nım obvykle nepracuje, nicmene pro dılcı uvahy o obvodu s MOSFE-Tem se muze hodit).

8.4.2 Zesilovac s unipolarnım tranzistorem

Na obrazku 8.17 je schema zesilovace s MOS tranzistorem, jehoz charakte-ristiky byly na predchozım obrazku.

0,0 0,20

21,52V

ug

6,41V

ud

4

6

8

10

R12,5kΩ

R2

10MΩ

R3

1,8MΩ

C1

10nF

R4

300kΩ

10V

u

t

Obrazek 8.17: Zesilovac s MOS FETem

O zapojenı lze uvest podobne informace jako jsme jiz zmınili u zesilovaces bipolarnım tranzistorem.

Delic napetı (vytvoreny rezistory R3 a R2) v prıvodu gatu musı nastavitnapetı vetsı nez je napetı prahove, aby mezi drainem a sourcem prochazelklidovy proud. Tento delic nenı zatızen zadnym proudem, protoze gate jedokonale izolovan vuci celemu obvodu dıky oxidu na povrchu substratu.

Vstupnı odpor celeho zesilovace tedy urcuje jen tento delic, kdezto ubipolarnıho tranzistoru je paralelne s tımto delicem jeste prechod baze-emitor


s konecnou hodnotou odporu. O oddelenı stejnosmerne slozky napetı zdrojeod stejnosmerneho nastavenı pracovnıho napetı na gatu platı totez, co ostejnosmernem oddelenı baze tranzistoru bipolarnıho.

Ostatnı uvahy o funkci obvodu s malym strıdavym napetım jsou shodnejako u zesilovace s bipolarnım tranzistorem, vcetne posouzenı frekvencnı cha-rakteristiky, ktera je na obr. 8.18.

1 10 100 1K 10K 100K 1M 10M-6

0

6

12

18

1 10 100 1K 10K 100K 1M 10M

-300

-240

-180

-120

-60

f

Aph

Obrazek 8.18: Frakvencnı charakteristika zesilovace s MOSFETem

V linearnım modelu, ktery ma rovnez stejnou strukturu jako na obr. 8.11,bychom dosadili: A ≈ −8,Rvst = (1, 8 MΩ.10 MΩ)/(1, 8 MΩ + 10 MΩ) ≈ 1, 5 MΩ, Rvyst = 2, 5 kΩ.

8.5 Struktura CMOS

Na zaver vykladu o unipolarnıch tranzistorech uvedeme strukturu, kterazaujıma vyznacne postavenı v konstrukci integrovanych obvodu. Jedna seo kombinaci tranzistoru s kanalem typu N a P. Moznost vyuzıt takovoukombinaci jako zesilovac ukazuje obrazek 8.19. Vystupnı napetı je ovladanodvema tranzistory s opacnou vodivostı. Takove zapojenı se oznacuje jakodvojcinne, nebo z anglictiny

”push-pull (tlacit-tahat)“. Proud do zateze je

ucinne ovladan obema smery.Vtip usporadanı struktury CMOS spocıva v tom, ze oba tranzistory jsou

buzeny tymz signalem a protoze majı opacny typ vodivosti kanalu, zpusobı


rostoucı vstupnı napetı omezovanı proudu hornım tranzistorem a rust proududolnım tranzistorem. Vystupnı napetı klesa dıky obema efektum, a pro kle-sajıcı vstupnı napetı se situace obratı, hornı tranzistor se otvıra a dolnı zavıra,napetı na vystupu roste.

V dalsıch kapitolach pozname, ze jeste vyznamnejsı je tato strukturav konstrukci logickych integrovanych obvodu a pocıtacovych cipu.

R1

1MΩ

C1

1 FµR2

+ 5V

1kΩ~ u2u1

Obrazek 8.19: Zesilovac s obvodem CMOS

Dalsı obrazek 8.20 ukazuje vystupnı napetı u2 pro prıpad, ze vstupnınapetı u1 ma amplitudu 1 mV a kmitocet 1 kHz.

0.0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0

2,34

2,40

2,46

2,52

2,58

2,64

u2

t

,

Obrazek 8.20: Vystupnı napetı zesilovace se strukturou CMOS

Pracovnı bod je nastaven rezistorem R1 tak, ze vystupnı napetı ma stej-nosmernou slozku 2,5 V. Zesılenı A ≈ −100. Takto lze zapojit i invertorz nektere sestavy logickych integrovanych obvodu.

Kapitola 9

Spınace

Spınace hrajı v elektrotechnice vyznamnou roli, protoze umoznujı ovladanıcelych funkcnıch bloku jedinym povelem – zapnout/vypnout (on/off). V elek-tronice je dalsı vyznamne pouzitı tam, kde chceme vytvorit ze stejnosmernehonapetı strıdave a naopak. Stejnosmerne napetı muzeme pomocı spınacu menitna impulsnı a impulsnı casove prubehy napetı pak mohou reprezentovatbinarnı informace v logickych a vypocetnıch systemech. Znamena to, zespınace predstavujı kategorii obvodovych elementu s ohromnym rozsahemmoznych pozadavku, od spınacu, ktere odpojı elektrarnu od elektrovodnesıte, az po spınace, ktere v pocıtaci vytvorı ze stejnosmerneho napajecıhonapetı signal pro sbernici USB. Presto se pokusıme ukazat, jake parametrylze pro spınace definovat a jakymi hledisky se spınace posuzujı.

9.1 Model spınace

Na obr. 9.1 je staticky (nesetrvacny) obvodovy model tzv. plovoucıho spınace.Jako plovoucı se oznacuje proto, ze obe jeho svorky mohou mıt v rozpojenemstavu ruzna (nenulova) napetı vuci spolecne svorce (v okamziku spojenı byovsem melo byt napetı obou svorek shodne, ale muze byt nenulove). Jakouzemneny (neplovoucı) oznacujeme spınac, ktery spına proud z urcite svorkyobvodu k nulovemu (zemnımu, spolecnemu) potencialu.

V modelu je zakreslen predevsım idealnı spınac SP, ktery ma v rozpo-jenem stavu nekonecny odpor a v sepnutem stavu odpor nulovy. Realnespınace nemajı vlastnosti idealnıho spınace. Proto jsou v modelu naznacenyelementy, ktere mohou nedokonalosti spınace reprezentovat. Jsou to tyto ne-setrvacne elementy:

• Rezistor (vodivost) v rozpojenem stavu goff• Rusivy proud prochazejıcı rozpojenym spınacem ioff

110

KAPITOLA 9. SPINACE 111

SP

ron

goff

ioff

uon

u1u1 u2u2

on/off

Obrazek 9.1: Model spınace

• Odpor v sepnutem stavu ron• Rusive napetı vznikle na sepnutem spınaci uon

1

• Izolace vuci okolı (dalsım spınacum)

• Ovladanı – mechanicke, – elektricke

• Vliv ovladacıho obvodu na spınany obvod

• Rychlost sepnutı a vypnutı

Rychlost sepnutı a vypnutı jiste nema charakter nesetrvacneho parame-tru. O rychlosti spınanı pojedname jen velmi povsechne s tım, ze modelnaznacıme jen u spınacu s polovodicovymi soucastkami.

9.2 Mechanicky spınac

Mechanicke spınace jsou vyrobeny jako dvojice kontaktu, jejichz spojenı jeovladano manualne nebo jinou vnejsı silou. Pro kvalitnı mechanicky spınac,s kontakty ze specialnıch kovovych slitin platı:

• Odpor v sepnutem stavu ron muze byt v radu tisıcin ohmu a zalezı namaterialu kontaktu a na stavu jejich povrchu.

• Rusive napetı na sepnutem spınaci uon vznika prevazne termoelek-trickym jevem, pokud spoje mezi ruznymi materialy nemajı shodnouteplotu. Jedna se o napetı radu zlomku milivoltu.

• Odpor v rozpojenem stavu 1/goff = roff zavisı na konstrukci a kva-lite materialu, na kterem jsou kontakty namontovany. Muze dosahovatterraohmu.

1Predpoklada se, ze 1/goff ron, takze na model sepnuteho spınace majı paralelnepripojene soucasti modelujıcı vlastnostı rozpojeneho spınace zanedbatelny vliv.


• Rusivy proud vytvoreny rozpojenym spınacem ioff = 0.

• Izolace vuci okolı (dalsım spınacum) zavisı na konstrukci a pouzitychmaterialech. Vetsinou je pusobenı okolnıch elektrickych obvodu zane-dbatelne.

• Rychlost sepnutı a rozpojenı zavisı na setrvacnych hmotach kontaktua mechanicke konstrukci. Byva v radu milisekund az sekund.

Specifickym problemem mechanickych spınacu jsou tzv.”odskoky“ kon-

taktu. Jedna se o jev, ktery souvisı se setrvacnym chovanım pruzneho ma-terialu, z ktereho byvajı kontakty vyrobeny. V okamziku sepnutı muze dojıtke kratkemu (i opakovanemu) rozpojenı a spojenı, ktere se teprve po caseustalı v sepnutem stavu. V zavislosti na mechanickych vlastnostech kon-taktu mohou odskoky trvat nekolik jednotek az desıtek milisekund. Tento jevmusı byt osetren vsude tam, kde se mechanickym kontaktem ovlada elektro-nicke zarızenı vybavene rychle reagujıcımi obvody, napr. ve vstupnıch obvo-dech pocıtacu. Pokud zarızenı reaguje velmi rychle (pozadavek na prerusenıv programu pocıtace), hrozı nebezpecı, ze se odskakujıcım kontaktem vyvolapozadovana reakce vıcekrat, nez si uzivatel preje.

9.2.1 Manualne ovladane spınace

Nejbeznejsı predstava spınace se vaze ke spınacum v elektrovodne sıti (roz-svecejı a zhasınajı osvetlenı), tlacıtkum domovnıch zvonku, vypınacum napanelech prıstroju, apod. Ve vetsine z nich je uplatnen mechanicky prin-cip

”mzikoveho“ spınanı, kdy predepnuta pruzina (

”zabka“) v urcite poloze

ovladacıho prvku (packy, hmatnıku) vyvola rychly preskok kontaktu z jednepolohy do druhe s tım, ze v sepnutem stavu pruzina vyvıjı na kontakt urcitytlak a tım zmensuje prechodovy odpor, prıpadne mechanicky prorazı vrstvukoroze.

Zvlastnım prıpadem mechanickych spınacu jsou klavesy pocıtacovych kla-vesnic a klavesnic kalkulacek a mobilnıch telefonu, u nichz je spınanı obvoduzabezpeceno vodicem, ktery je pritlacen k dvojici kontaktu na desce plosnychspoju. Kontakt muze byt kovovy (dobre osetreny proti korozi), nebo takez vodive pryze, ktera tvorı pruznou membranu. Odpor v sepnutem stavumuze byt u takovych klavesnic v radu jednotek az stovek ohmu. Sepnutı jevyhodnoceno elektronickym obvodem.

Pro pruzny kontakt je typickou aplikacı pocıtacova klavesnice, pro mem-branovy kontakt je typickym prıkladem aplikace mobilnı telefon.


pruzny kontakt

membrana

Obrazek 9.2: Spınace

Obrazek 9.3: Spınace

9.2.2 Elektromagneticke rele

Z hlediska spınaneho obvodu je mozno elektromagneticke rele povazovatpo vsech strankach za mechanicky spınac, ktery jsme jiz popsali. Do uvahvstupuje rıdicı elektricky obvod, ktery muze byt zcela izolovany od obvoduspınaneho. Je vsak treba pocıtat s moznostı ovlivnenı spınaneho obvodurusivymi signaly vytvorenymi elektromagnetickym polem a kapacitnımi vaz-bami.

Obrazek 9.4: Klasicke rele

Rele je sestaveno z elektromagnetu, ktery pohybuje kotvou a ta mecha-


nicky ovlada spınanı, vypınanı a prepınanı kontaktu. Jednım elektromagne-tem lze ovladat vetsı mnozstvı kontaktu s ruznymi funkcemi.

Rychlost spınanı a vypınanı je urcovana dvema zpozd’ujıcımi ciniteli –prechodnym dejem ve vinutı cıvky a setrvacnymi hmotami kotvy a perovehosvazku nesoucıho kontakty. Doba prıtahu a odpadu kotvy se pohybuje v me-zıch od desıtek milisekund do zlomku sekund. Existujı i rele s umele zpoz-d’ovanym sepnutım a rozpojenım.

9.2.3 Jazyckove kontakty

Jazyckove kontakty predstavujı mechanicky spınac s kovovymi kontakty ob-dobnych vlastnostı, jake jsme popsali v predeslem odstavci. Lze ho ovladatelektricky jako rele, manualne, nebo pusobenım pohyblivych castı ruznychzarızenı. Jazyckove kontakty majı kontaktnı pruziny vyrobene z feromag-netickeho materialu zatavene ve sklenene trubicce. Vnejsı dostatecne velkemagneticke pole zmagnetuje kontaktove pruziny, ktere se vzajemne pritahnoua tım se kontakty spojı.

V jazyckovem rele jsou kontakty vlozeny do jadra budicı cıvky, kde pro-chazejıcı proud vytvorı magneticke pole potrebne k sepnutı.

Obrazek 9.5: Jazyckove rele

Obrazek 9.6: Jazyckovy kontakt

Rychla jazyckova rele dosahujı spınacı a vypınacı doby v radu jednotekaz desetin milisekund.

Samotny jazyckovy kontakt lze take spınat permanentnım magnetem.Muze pak slouzit jako indikator polohy (koncovy spınac) a indikator pohybu.Nalezneme ho napr. v chladnicce pro ovladanı vnitrnıho osvetlenı pri otevrenıdverı. Pouzıva se v zabezpecovacıch systemech pro

”hlıdanı“ zavrenych oken


a dverı bytu. Vyuzıva se i u tlacıtek, u kterych je hmatnık vybaven pohyb-livym permanentnım magnetem.

9.3 Polovodicove spınace – FET

V soucasne dobe jsou ve funkci elektronickeho spınace nejcasteji pouzıvanystruktury tranzistoru rızeneho elektrickym polem. Uvedli jsme, ze rıdicı elek-troda ovlada svym napetım vuci substratu tloust’ku vodiveho kanalu, a tood uplneho potlacenı vodiveho kanalu az po velmi tlusty, vodivymi nosicinaboje naplneny, vodivy kanal.

9.3.1 Model unipolarnıho spınace

S

G

D

B

uGD

uGS

uDB

uSB

uDS

uGB

ron

Obrazek 9.7: FET jako spınac

K vytvorenı modelu spınace s FETem jsme mohli velmi jednoduse upravitmodel, ktery pro FET platı v sirokem rozsahu aplikacı. Na obr. 9.7 vidıme,ze oproti mechanickym spınacum dostavame elektronicky spınac (bez pohyb-livych mechanickych dılu), ktery vsak prinası zasadnı zmenu v tom, ze nelzezcela oddelene resit rıdicı a spınany obvod (spınanı nelze ovladat mecha-nicky). V elektronickem spınaci bude ve vetsine konstrukcı nutno pocıtat sevzajemnymi interakcemi mezi obema obvody. Zıskame za to spınac rychlejsınez jakykoli mechanicky spınac, spınac laciny a spolehlivy s velmi dlouhouzivotnostı.Shrneme udaje o vlastnostech spınace s MOSFETem a potom budeme onekterych specifikach diskutovat:


• Odpor v sepnutem stavu ron muze byt v radu desetin i setin ohmu.Prakticky pouzitelne jsou vsak i spınace s odporem v sepnutem stavuv radu desıtek ohmu. Nesmıme vsak zapomenout na vycerpatelnostvolnych nosicu naboje, takze sepnuty spınac ma vzdy omezeny ma-ximalnı proud, ktery lze spınacem vest.

• Rusive napetı vznikle na sepnutem spınaci uon je v ustalenem stavunulove – spınac sam zadne rusenı nevytvarı. Je vsak treba pocıtat s ka-pacitnı vazbou mezi rıdicı elektrodou a kanalem, takze zmeny napetı nagatu se mohou prenest na kanal, zvlaste v okamziku vypınanı a spınanı.

• Odpor v rozpojenem stavu roff dosahuje velmi vysokych hodnot radumegaohmu az terraohmu.

• Rusive napetı vytvorene rozpojenym spınacem uoff je nulove.

• Izolace vuci okolı (dalsım spınacum) musı byt zajistena napet’ovymipomery na elektrodach spınace – bezpecne uzavrene diody S-B a D-B.

• Zpusob ovladanı a vliv rıdicıho obvodu na spınany obvod: Spınac jeovladan napetım rıdicı elektrody G vuci substratu B. Urcitym pro-blemem je, ze v sepnutem spınaci je mezi substratem a rıdicı elek-trodou vlozen vodivy kanal, ktery na sobe ma napetı spınaneho ob-vodu, takze muze byt vodivost kanalu ovlivnena napetım, ktere jespınacem spınano. To musı respektovat napetı na rıdicı elektrode G tım,ze kanal dostatecne otevre, i kdyz se napetı kanalu menı. K ovladanınenı potreba zadny elektricky vykon, avsak kapacita gatu proti substratu(kanalu) muze u vykonovych spınacu dosahovat radove az nanofaradu.

• Rychlost sepnutı a rozpojenı: Pri sepnutı a rozpojenı hraje vyznamnouroli prechodny dej, pri kterem se nabıjı a vybıjı kapacita rıdicı elek-trody. Tato kapacita souvisı s pozadavkem na vodivost a proudovouzatızitelnost vytvoreneho kanalu. Cım vetsı ma byt vodivost sepnutehospınace, tım vetsı je kapacita gatu.

Napr. spınacı MOSFET IRF450 spına proud max. 12 A (odpor se-pnuteho spınace je 0,4 Ω). Na rozpojenem spınaci muze byt az 500 V,vstupnı kapacita je 2,7 nF a cas sepnutı a vypnutı cca 200 ns (pri do-statecne malem vystupnım odporu zdroje rıdicıho signalu).

V prepınaci signalu (analogovem multiplexeru) jsou pouzity paralelnespojene komplementarnı MOSFETy, ktere zajist’ujı konstantnı hodnotuodporu v sepnutem stavu pri promennem napetı na spınaci, a to v radusto ohmu, se spınacım casem v radu 100 ns.

V logickych clenech CMOS je odpor sepnuteho spınace v radu desıtekohmu a casy sepnutı v jednotkach az desetinach nanosekundy.


9.3.2 Spınacı obvod s unipolarnım tranzistorem

Spınacı obvod s unipolarnım tranzistorem je na obr. 9.9

0.0 2.0 4.0 6.0 8.0 10.00m

50m

100m

150m

200m

250m

I(DS)

U(DS)

u(GS)=0V

ioff

uon

u(GS)=5V

IRF510

Pulse 0 5 50n 1n 1n 198n 1u

10V

50

10

Obrazek 9.8: Spınacı obvod s MOSFETem

Je zde naznacen prıklad, kdy chceme rozsvıtit v automobilu zarovkus prıkonem 2,4 W z vystupu palubnıho pocıtace, ktery dava pri logicke jednic-ce napetı 5 V. Zarovka ma tedy odpor 60 Ω a pri napetı 12 V jı bude prochazetproud 200 mA. Predpokladejme tranzistor s charakteristikami uvedenymi naobrazku, s prahovym napetım cca 2,5 V (parametr na charakteristikach makrok 0,5 V). V case, kdy je na vystupu pocıtace nulove napetı, je tranzistoruzavren, obvodem netece zadny proud, zarovka nesvıtı. Jakmile se na portupocıtace objevı logicka jednicka (napetı 5 V ze zdroje s vnitrnım odporem50 Ω), vytvorı se v tranzistoru vodivy kanal (spınac sepne) a zacne prochazetproud. Z charakteristik zjistıme, ze pri napetı UGS = 5 V na gatu se sepnutyspınac chova jako rezistor s odporem cca 1 Ω – ubytek 200 mV pri proudu200 mA. Vytvorili jsme tak obvod s celkovym odporem 61 Ω pripojeny kezdroji 12 V. Na svorkach zarovky tedy bude 11,8 V a na sepnutem tranzis-toru 0,2 V. Zarovka bude svıtit temer na plny vykon (2,36 W) a tranzistorbude nutno chladit tak, aby se vykon 40 mW, premeneny v teplo, rozptylildo okolı. Uvedeny spınac nepotrebuje ke svemu rızenı zadny proud, tedy aniprıkon. Z vystupu pocıtace je rızen jen zmenami napetı a port nenı zatızen.

Pocıtacem lze rıdit i pomale zhasenı a rozsvecenı zarovky. Pouzili bychomk tomu jiz zmıneneho vystupnıho signalu PWM. Pri menıcı se strıde impulsuje strednı hodnota proudu promenna a tedy je tak ovladan i prıkon zarovky.Pritom setrvacnost svitu zarovky zajistı, ze impulsnı prubeh proudu nebu-deme zrakem vnımat.


0n 100n 200n 300n 400n 500n0

3

6

9

12

15

v(1) (V)

0n 100n 200n 300n 400n 500n-2

0

2

4

6

8

v(2) (V)

0n 100n 200n 300n 400n 500n-150m

-75m

0m

75m

150m

225m

I(R2) (A)

0n 100n 200n 300n 400n 500n0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

PD(Q1) (W)T (Secs)

v(4) (V)

IRF510

Pulse 0 5 50n 1n 1n 198n 1u

10V

50

10

Obrazek 9.9: Spınanı MOSFETem

9.4 Polovodicove spınace – bipolarnı tranzis-

tor

Spınace s bipolarnımi tranzistory se pouzıvajı podstatne dele, nez spınaces FETy. Dlouho byly nedostizne v nızke hodnote odporu v sepnutem stavua v rychlosti. V soucasne dobe jsou vytlacovany unipolarnımi spınaci. V bi-polarnıch technologiıch jsou vsak stale aktualnı specialnı spınacı soucastkyvytvorene ze ctyr polovodivych oblastı se tremi PN prechody – tyristory, tri-aky a z nich odvozene typy soucastek. O nich se zmınıme v dalsı podkapitole.

9.4.1 Model spınace s bipolarnım tranzistorem

Zjednoduseny model spınace s bipolarnım tranzistorem ukazuje obr. 9.10

• Odpor v sepnutem stavu ron muze byt v radu desetin i setin ohmu.Omezenı maximalnıho proudu, ktery lze spınacem vest, je dano hod-notou zesilovacıho cinitele spolu s velikostı budicıho proudu v obvodubaze, a samozrejme konstrukcı tranzistoru. Spınac je schopen spınatproud jednoho smeru, a to do spolecne svorky s rıdicım obvodem.

• Rusive napetı vznikle na sepnutem spınaci uon je v ustalenem stavuv radu jednotek az desıtek milivoltu.


C

C

B

B

E

E

.

r

i B

iC

i E

u B E u C E

β i B

CE

Obrazek 9.10: Model bipolarnıho tranzistoru jako spınace

• Odpor v rozpojenem stavu roff dosahuje velmi vysokych hodnot. Ve vy-pnutem stavu je treba respektovat existenci prurazneho napetı prechodukolektor-baze.

• Rusive napetı vytvorene rozpojenym spınacem uoff = 0.

• Izolace vuci okolı je dana izolacı spınacıho tranzistoru. Rıdicı a spınanyobvod majı spolecnou (zemnı) svorku.

• Zpusob ovladanı a vliv rıdicıho obvodu na spınany obvod: Spınac jeovladan proudem do baze tranzistoru, takze rıdicı proud proteka jednouz castı spınaneho obvodu.

• Rychlost sepnutı a rozpojenı: Pri sepnutı a rozpojenı hraje vyznamnouroli prechodny dej, pri kterem se v prostoru baze hromadı nosice naboje.Proto je zvlaste proces vypınanı provazen

”zotavenım“ prostoru baze.

Je-li tranzistor sepnut tak, ze napetı kolektoru klesne pod napetı nabazi – tranzistor je nasycen, dochazı pri uzavıranı tranzistoru k tzv. sa-turacnımu zpozdenı. To lze omezit jenom tım, ze pomocne obvody ne-dovolı kolektorovemu napetı poklesnout az k milivoltovym hodnotam,ale zabezpecı napetı uon na sepnutem spınaci v radu nekolika set mili-voltu.

Spınacı tranzistory mohou dosahovat rychlosti sepnutı v radu zlomkuaz jednotek nanosekund. Obdobne casy lze zıskat i pri vypnutı, je-lipotlaceno saturacnı zpozdenı.


9.4.2 Spınacı obvod s bipolarnım tranzistorem

Spınacı obvod a jeho model jsou schematicky nakresleny na obr. 9.11. Obvodje zvolen tak, ze plnı tutez ulohu jako spınac s unipolarnım tranzistoremz predchozı kapitoly.

R

R

UzUzuon

ron

iBiB

Obrazek 9.11: Spınacı obvod a jeho model

Pro dosazenı sepnutı je nutno zavest do baze proud, ktery zajistı v emito-rovem prostoru uvolnenı dostatecneho mnozstvı nosicu naboje. Ty po precho-du do prostoru baze mohou uzavrıt proud kolektorovym obvodem. Chceme-li sepnout proud napr. 200 mA, a tranzistor ma proudovy zesilovacı cinitelβ ≈ 100, pak musı byt proud vedeny do baze vyrazne vetsı nez 2 mA, tedytranzistor musı byt rızen tak, jako bychom jım chteli vest vyssı proud. Cımvetsı bude

”prebuzenı“ tranzistoru, s tım mensım ubytkem napetı muzeme

pocıtat na sepnutem spınaci.V nasem prıpade jsme zvolili proud vedeny do baze cca 4 mA. Pokud

budeme chtıt pocıtat s tım, ze toto buzenı zajist’uje port pocıtace s napetım5 V a vnitrnım odporem 50 Ω, pak za predpokladu, ze prechod baze–emitorpotrebuje ke svemu otevrenı napetı 0,8 V, bude nutno do serie s prıvodembaze zaradit rezistor s odporem R = ((5 − 0, 8)/0, 004) − 50 = 1000 Ω. Nadalsım obrazku 9.11 je s pouzitım kolektorovych charakteristik znazornenrozbor vlastnostı sepnuteho spınace.

Graficke konstrukce na uvedenem obrazku lze vyuzıt k nasledujıcımu hod-nocenı vlastnostı spınace:

Cara v kolektorovych charakteristikach vedena z bodu 12 V na vodorovneose (mimo graf) do bodu 200 mA na svisle ose (R = 60 Ω), umoznuje grafickyvyresit rozlozenı napetı mezi spınacem a zatezı (zarovkou). V prave castiobrazku je zvetsena oblast charakteristik, ve ktere lze odecıst:

• Odpor spınace ron = 70(mV)/200(mA) = 0, 35 Ω.

• Spınacem vytvorene napetı uon = 30 mV.


ucesuon

ron

Obrazek 9.12: Charakteristiky tranzistoru jako spınace

• Vykonova ztrata na tranzistoru v sepnutem stavu P = 20 mW.

• Kdybychom zvetsili proud vedeny do baze, poklesl by odpor ron, avsaknapetı uon by se prılis nezmenilo.

9.4.3 Prechodne deje v polovodicovych spınacıch

Uvedli jsme schemata a staticke modely spınacu s unipolarnımi a bipolarnımitranzistory. Modely dynamickeho chovanı takovych spınacu jsou resitelne jennumerickymi prostredky v simulacnıch programech. Je vsak velmi uzitecnevysledky simulacı zhodnotit s odkazem na fyzikalnı jevy, ktere spınacı po-chody provazejı a s uvahami o moznostech dynamicke chovanı ovlivnovat.Na obr. 9.13 jsou spınacı obvody jednak s MOSFETem, jednak s bipolarnımtranzistorem a simulace prechodnych deju pri pripojovanı zateze 50 Ω kezdroji 5 V. K simulacım uvedeme kratke komentare:

Obrazek je usporadan tak, ze nahore je uveden casovy prubeh vstupnıhonapetı, ktery je shodny pro vsechny tri obvody. Pak nasleduje vzdy dvojicecasovych prubehu, nejprve napetı na rıdicım vstupu (gatu uGS, resp. baziuBE) a potom casovy prubeh napetı na svorkach spınace (napetı uDS, resp.uCE).

• Spınanı unipolarnım tranzistorem: Zvolili jsme hodnotu vnitrnıho od-poru zdroje budicıch impulsu rovnu 500 Ω. Na casovem prubehu napetı


R1 100

V1

10

V2

R2 1kQ1

2N3903D1

1

23

4

5

6

0.0n 100.0n 200.0n 300.0n 400.0n 500.0n 600.0n0.0m

75.0m

150.0m

225.0m

300.0m

375.0m

PD(Q1) (W)T (Secs)

0.0n 100.0n 200.0n 300.0n 400.0n 500.0n 600.0n-4.0

0.0

4.0

8.0

12.0

16.0

v(3) (V)

0.0n 100.0n 200.0n 300.0n 400.0n 500.0n 600.0n0.0

3.0

6.0

9.0

12.0

15.0

v(1) (V)

Micro-Cap 11 Evaluation VersionBJTsw.CIR

R1 100

V1

10

V2

R2 1kQ1

2N3903D1

1

23

4

5

6

0.0n 100.0n 200.0n 300.0n 400.0n 500.0n 600.0n0.0m

75.0m

150.0m

225.0m

300.0m

375.0m

PD(Q1) (W)T (Secs)

0.0n 100.0n 200.0n 300.0n 400.0n 500.0n 600.0n-4.0

0.0

4.0

8.0

12.0

16.0

v(3) (V)

0.0n 100.0n 200.0n 300.0n 400.0n 500.0n 600.0n0.0

3.0

6.0

9.0

12.0

15.0

v(1) (V)

Micro-Cap 11 Evaluation VersionBJTsw.CIR

Obrazek 9.13: Casova odezva spınace s bipolarnım tranzistorem (efekt sa-turacnıho zpozdenı)

na gatu nam to umoznuje demonstrovat efekt narustu kapacity gatuvuci spınanemu obvodu v okamziku vzniku vodiveho kanalu (viz

”hrb“

na napetı gatu). Pres vytvoreny kapacitor se prenese do spınaneho ob-vodu kratky impuls odpovıdajıcı derivacnımu charakteru takto uspora-daneho obvodu. Impuls (v nasem prıpade temer neznatelny) okamzitese vznikem vodive cesty ve spınanem obvodu zanikne a spınac sepneproud ze zdroje do zatezovacıho rezistoru. Napetı se na zatezi obje-vuje bez prodlevy s tım, ze setrvacne vlastnosti spınace urcı strmost,s jakou se vystupnı impuls ustalı. Pri vypınanı je nutno vybıt kapacitugatu (vetsinou bez vlivu na spınany obvod) a uzavrıt kanal. Rezisto-rem prestane prochazet proud a napetı na drainu vzroste na hodnotunapetı napajecıho zdroje. V sepnutem stavu je na svorkach spınacenapetı dane soucinem odporu sepnuteho spınace a prenasenym prou-dem. Z hlediska stejnosmernych podmınek je nutno pripomenout, zese predpoklada dostatecne velky impuls budicıho napetı, takze tranzis-tor pracuje v te oblasti charakteristik, kde s napetım uDS proud strmenarusta, kde se tedy chova jako maly odpor – ne jako zdroj proudu.


• Spınanı bipolarnım tranzistorem – saturace: Na dalsım obrazku je uve-den spınac s bipolarnım tranzistorem. Rıdicı obvod je pripojen k bazitranzistoru a k omezenı proudu ze zdroje rıdicıho napetı s rozkmi-tem 5 V je pouzit omezovacı rezistor s hodnotou odporu 2 kΩ. Tım jezajisten proud do baze pro sepnutı (cca 2,1 mA). Z casoveho prubehunapetı na bazi vidıme, ze velikost napetı na propustne polovanem pre-chodu baze–emitor je po sepnutı cca 0,8 V. Prechodny dej pri sepnutıukazuje na velkou rychlost, coz si vysvetlıme tım, ze tranzistor mazrejme dostatecne veliky zesilovacı cinitel, takze sepnutı proudu zatezı(100 mA) lze v kolektorovych charakteristikach popsat spolehlivym pre-chodem do jejich strme casti v blızkosti nuloveho napetı uCE. Z hlediskapracovnıch podmınek obou prechodu tranzistoru (B-E, B-C) se jedna ostav, kdy jsou oba prechody polarizovany v propustnem smeru. Pokudtranzistor pracuje v takovych podmınkach (tehdy je dobrym spınacemstejnosmerneho proudu), hovorıme o saturaci, neboli nasycenı (nasy-cenı prostoru baze nosici naboje). Do tohoto stavu se pri dostatecnevelkem proudu baze dostane tranzistor bez prodlevy a strmost poklesunapetı na kolektoru muze byt velmi velika.

Nasycenı prostoru baze nosici naboje zajistı rychle sepnutı a maly od-por sepnuteho spınace. Napetı na sepnutem spınaci, jak jsme jiz uvedli,je vytvoreno ze dvou slozek, napetı uon a ubytku na odporu ron. Nasy-cenı vsak vede k vyznamnemu zpozdenı reakce spınace na rıdicı napetıpri vypınanı, coz ukazuje i vysledek nası simulace. V bazi nahromadenynaboj musı byt odveden, a teprve potom se zacne zmensovat proud ko-lektorovym obvodem. Bipolarnı tranzistor vykazuje pri vypınanı prouduv zatezi tzv. saturacnı zpozdenı. Z obrazku vidıme, ze saturacnı zpozdenıje patrno jak na napetı baze, tak na napetı kolektoru. Vıme-li, ze sa-turacnı zpozdenı zpusobuje hromadenı prebytecneho naboje v prostorubaze, muzeme soudit, ze v danem zapojenı by bylo mozno zrychlitvypınacı proces jenom zrychlenım jeho vybitı v rıdicım obvodu (napr.zapornym impulsem), nebo zmensenım stupne saturace, tj. zmensenım

”rezervy“ v budicım proudu. Spınacı proces pak bude vıce zaviset na

zesilovacım ciniteli β.

• Spınanı bipolarnım tranzistorem – protisaturacnı zapojenı: Na dalsımobrazku je uveden spınac s bipolarnım tranzistorem, ktery ma zapojenuSchottkyho diodu (ta ma male prahove napetı ≈ 200 mV) mezi bazi akolektor. Jde o zapojenı, ktere potlacı nahromadenı naboje v prostorubaze tım, ze nedovolı napetı kolektoru poklesnout az na uroven, priktere nosice naboje dodane emitorem kolektor nedokaze odvest. Proud,ktery predstavuje zmınenou

”rezervu“ v budicım proudu tedy odejde


pres protisaturacnı diodu kolektorovym obvodem do spolecne svorky. Jetak minimalizovan efekt saturacnıho zpozdenı, a to pri plnem zachovanıspınacıch rychlostı. Cena, kterou za to platıme, spocıva v tom, ze spınacv sepnutem stavu ma na svych svorkach napetı uon v desıtkach azstovkach milivoltu. Nicmene jde o zapojenı, ktere umoznilo vyraznymzpusobem zrychlit cinnost bipolarnıch integrovanych obvodu pro vy-pocetnı techniku (obvody LSTTL – Low Power Schottky Transistor-Transistor Logic).

9.5 Polovodicove spınace – ruzne

• Diodovy mustkovy spınac

I kdyz je polovodicova dioda soucastkou se dvema svorkami (nenı zdezvlastnı prıvod, ktery by spınanı ovladal), lze s diodami vytvorit zapo-jenı, ktere se da pouzıt jako extremne rychly spınac. Zapojenı ukazujeobrazek 9.14. [5]

Obrazek 9.14: Diodovy spınac

Princip spocıva v tom, ze se pri zapnutı uvadejı diody vnejsım obvodemdo stavu propustne polarizace (us1 kladne, us2 zaporne), kdy majı malydiferencialnı odpor (vykazujı male zmeny napetı na svych svorkach prizmenach prochazejıcıho proudu) a prenesou signal ze svorky 1 na svorku2. Pri vypnutı je na diody privedeno dostatecne velke zaverne napetı(us1 zaporne, us2 kladne), ktere zabranı zmenam napetı na svorce 1menit napetı na svorce 2. Pokud jsou napetı us1 a us2 v absolutnı hod-note shodna (symetricke buzenı), a to jak pri sepnutı, tak pri vypnutı,


neovlivnı rıdicı signal obvodove veliciny ani ve vstupnım obvodu nasvorce 1, ani ve vystupnım obvodu na svorce 2.

Diodovy mustkovy spınac se Schottkyho diodami dosahuje spınacıchcasu v radu pikosekund.

• Diak, triak a tyristor

Diak je polovodicova soucastka PNP, ve ktere se pres propustne polovanyprechod dostavajı nosice naboje do oblasti prechodu polovaneho ne-propustne. Pri urcitem napetı je elektricke pole na zaverne polovanemprechodu tak velike, ze dojde k jeho prurazu a dostatek nosicu naboje zpropustne polovaneho prechodu volne projdou do puvodne uzavrene ob-lasti. Pruraz ma lavinovy charakter, klesne celkove napetı na soucastce,ktera se chova jako sepnuty spınac. Vypnout lze sepnuty spınac jensnızenım proudu pod

”zhasecı“ hodnotu sepnuteho proudu. Soucastka

je technologicky symetricka a jejı VA charakteristika je take symetricka,jak ukazuje obr. 9.15.

Obrazek 9.15: Diak

Triak a tyristor jsou soucastky, ktere se chovajı jako spınace, k jejichzsepnutı stacı kratky impuls na rıdicı elektrode. Sepnuty stav trva podobu, po kterou spınacem prochazı proud. Pokud ve spınanem obvoduproud poklesne pod urcitou hodnotu (prıp. se obratı polarita napetına spınaci), spınac vypne a sepnutı musı zabezpecit novy rıdicı impuls.Existujı i soucastky, ktere lze vypnout impulsem na rıdicı elektrode(GTO). Schematicke symboly ukazuje obrazek 9.16 a 9.17.

• IGBT

Jako IGBT se oznacuje soucastka, ktera spojuje vyhody unipolarnıhotranzistoru s vlastnostmi bipolarrnıho spınacıho tranzistoru (InsulatedGate Bipolar Transistor). Usporadanı ukazuje obr. 9.18.


Obrazek 9.16: Tyistor

Obrazek 9.17: Triak

Obrazek 9.18: IGBT

Literatura

[1] Basta, I.: Zpracovanı a zaznam signalu, Vydavatelstvı CVUT, Praha,1999.

[2] Foit, J. – Hudec, L.: Soucastky modernı elektroniky, VydavatelstvıCVUT, ISBN 80-01-01789-3, Praha, 1998.

[3] Havlıcek, V. – Pokorny, M. – Zemanek, I.: Elektricke obvody 1,Vydavatelstvı CVUT, Praha, 2005.

[4] NationalInstruments: Selecting Switch Bandwidth [online].http://zone.ni.com/devzone/cda/tut/p/id/40331.

[5] Neumann, P. – Uhlır, J.: Elektronicke obvody a funkcnı bloky 1,Vydavatelstvı CVUT, ISBN 80-01-03281-7, Praha, 2006.

[6] Seagate: Hard Disk Operational Overview [online].http://www.storagereview.com/guide2000/ref/hdd/op/over.html.

[7] Svoboda, E. – kol.: Prehled stredeskolske fyziky, Prometheus, ISBN80-7196-116-7, Praha, 1996.

[8] TexasInstruments: The Bergeron Method [online].http://focus.ti.com/lit/an/sdya014/sdya014.pdf.

[9] Vobecky, J. – Zahlava, V.: Elektronika - soucastky a obvody, GradaPublishing ISBN 80-247-9062-9, Praha, 2000.

[10] Wikipedia: Electromagnetism [online].http://en.wikipedia.org/wiki/Category:Electromagnetism.

127

Documents

Teoretick a elektrotechnika FBMI - amber.feld.cvut.czamber.feld.cvut.cz/17bbtel/files/TEskript2017.pdf · i Teoretick a elektrotechnika FBMI Text, ktery v am p redkl ad am vznikl