Vysoká škola báňská – Technická univerzita Ostrava Fakulta elektrotechniky a informatiky

Katedra elektrotechniky

TEORETICKÁ ELEKTROTECHN IKA II

Učební text

Petr Orság a Josef Punčochář

Ostrava 2011

Studijní materiály pro studijní program Elektrotechnika fakulty elektrotechniky a informatiky Jazyková korektura: nebyla provedena. Určeno pro projekt: Název: Matematika pro inženýry 21. století Číslo: CZ.1.07/2.2.00/07.0332 Realizace: VŠB – Technická univerzita Ostrava Projekt je spolufinancován z prostředků ESF a státního rozpočtu ČR © P. Orság a J. Punčochář. © VŠB – Technická univerzita Ostrava

Předmluva

Vážený čtenáři, text, který právě čtete, vznikl v rámci řešení projektu „Matematika pro inženýry 21. století -- inovace výuky matematiky na technických školách v nových podmínkách rychle se vyvíjející informační a technické společnosti“. Projekt je řešen na Vysoké škole báňské – Technické univerzitě v Ostravě a Západočeské univerzitě v Plzni v období 2009 -- 2012. Hlavní motivací projektu je potřeba reagovat na změny významu jednotlivých partií matematiky při řešení praktických problémů, způsobenou zejména velkým pokrokem v matematickém modelování, dramatickým zlepšováním software a rychlým zvyšováním výpočetních kapacit moderních počítačů. Inženýři nyní běžně využívají stále se vyvíjející komplikované softwarové produkty založené na matematických pojmech, se kterými se v kurzech matematiky buďto nesetkají vůbec nebo v nevhodné formě. Na druhé straně prezentace některých pojmů v základních kurzech neodráží z nejrůznějších důvodů potřeby odborných kateder. Bohužel tento stav ztěžuje studentům aktivní používání získaných vědomostí v odborných předmětech i orientaci v rychle se vyvíjejících metodách inženýrské praxe.

Cílem projektu je inovace matematických a některých odborných kurzů na technických vysokých školách s cílem získat zájem studentů, zvýšit efektivnost výuky, zpřístupnit prakticky aplikovatelné výsledky moderní matematiky a vytvořit předpoklady pro efektivní výuku inženýrských předmětů. Zkvalitnění výuky matematiky budoucích inženýrů chceme dosáhnout po stránce formální využitím nových informačních technologií přípravy elektronických studijních materiálů a po stránce věcné pečlivým výběrem vyučované látky s důsledným využíváním zavedených pojmů v celém kurzu matematiky s promyšlenou integrací moderního matematického aparátu do vybraných inženýrských předmětů. Metodiku výuky matematiky a její atraktivnost pro studenty chceme zlepšit důrazem na motivaci a důsledným používáním postupu "od problému k řešení".

V rámci projektu vytváříme 40 nových výukových materiálů z oblastí matematické analýzy,

lineární algebry, numerických metod, metod optimalizace, diskrétní matematiky, teorie grafů, statistiky a několika odborných kurzů. Všechny hotové výukové materiály budou volně k dispozici na webových stránkách projektu http://mi21.vsb.cz

Autoři předem děkují za všechny případné nápady a návrhy k vylepšení textu i za upozornění na chyby.

4

Obsah 1. Trojfázové obvody 5 1.1. Prvky trojfázového obvodu 5 1.2. Zapojení zdrojů 12 1.3. Zapojení zátěže 24 1.4. Analýza trojfázových obvodů 27 2. Přechodné jevy 40 2.1. Analýza přechodných dějů 40 2.2. Řešení obvodů 1. řádu 47 2.3. Řešení obvodů 2. řádu 73 3. Dvojbrany 95 3.1. Základní úvahy a terminologie 95 3.2. Matematické a obvodové modely dvojbranů 98 3.3. Vzájemné vztahy mezi charakteristikami dvojbranů 115 3.4. Řazení dvojbranů 121 3.5. Vybrané dvojbrany 128 4. Obvody s proměnnými parametry. Fázorové čáry, amplitudové a fázové

charakteristiky, Bodeho metoda 137 4.1. Fázorové čáry, amplitudové a fázové charakteristiky 137 4.2. Hodografy jednoduchých obvodů s proměnným parametrem 139 4.3. Kmitočtové charakteristiky 157 4.4. Bodeho charakteristiky 166 5. Nastavení pracovního bodu nelineárního dvojbranu 180 5.1. Bipolární tranzistor jako dvojbran 180 5.2. Tranzistor jako zesilovač 189 6. Zpětná vazba a její využití 201 6.1. Základní zapojení obvodů se zpětnou vazbou 201 6.2. Operační zesilovač 207 6.3. Vliv zpětné vazby na vlastnosti zesilovače 220 7. Přenosy a obrazové parametry dvojbranů 233 7.1. Přenosy dvojbranů 233 7.2. Obrazové parametry souměrného dvojbranu 240 7.3. Obrazové parametry nesouměrného dvojbranu 248 8. Obvody s rozprostřenými parametry 256 8.1. Odvození rovnic homogenního vedení 256 8.2. Bezeztrátové vedení 262 9. Analýza homogenního vedení 267 9.1. Analýza dlouhého vedení v harmonicky ustáleném stavu 267

Závěrečný test 292

5

1. Trojfázové obvody

Motivace Po prostudování této kapitoly budete umt

• modelovat trojfázový zdroj a trojfázovou zátž • vymezit soumrný zdroj a symetrickou zátž • vytvoit trojfázovou soustavu naptí a rozlišovat sled jejich fází • definovat vyváženou soustavu naptí • vymezit podmínku optimálního provozu trojfázového zdroje • vysvtit princip innosti alternátoru a toivého magnetického pole

1.1. Prvky trojfázového obvodu Trojfázový obvod vznikne principiáln spojením trojfázového zdroje a trojfázové zátže vedením. Zdroj i zátž mohou být zapojeny rzným zpsobem. Klasickým trojfázovým zdrojem je alternátor v elektrárn, jehož stídavá naptí jsou dostupná spotebitelm elektrické energie po transformaci a penosu energie vedením v podob trojfázové soustavy naptí, která mže být tí nebo tyvodiová. V technické praxi se stídavá napájecí soustava historicky prosadila pro své výhodné vlastnosti i snadnou výrobu, rozvod a spotebu elektrické energie. Jejímu rozšíení napomohl i jednoduchý zpsob vytváení toivého magnetického pole a masov využití trojfázového asynchronnímu motoru v prmyslu. Pro úplnost poznamenejme, že trojfázové obvody patí mezi vícefázové stídavé obvody.

Trojfázový zdroj

Trojfázový zdroj modelujeme zapojením tí jednofázových zdroj naptí zpravidla s harmonickými

asovými prbhy (funkcemi) obecn charakterizovanými parametry: amplitudou UU 2m = , kmitotem f nebo periodou T a poátení fází naptí ψ . Parametry harmonické funkce mohou být obecn rzné, je ale výhodné, aby jejich amplitudy byly shodné, mly stejné kmitoty a stálý fázový posun ψ∆ mezi po sob následujícími asovými prbhy fázových naptí viz obr. 1.1. Takovýto zdroj potom nazýváme soumrný, stejn jako napovou soustavu, kterou je v praxi zvykem oznaovat efektivní hodnotou sdruženého naptí, viz dále a hodnotou kmitotu.

ψψψψ 1

u

0 ωωωω t2ππππψψψψ 2

U m

∆∆∆∆ψψψψ =ψψψψ 2 -ψψψψ 1

2mU

U =

Obr. 1.1 Parametry prbh trojfázové soustavy naptí

Technickou realizací trojfázového zdroje je trojfázový alternátor na obr. 1.2, což je stídavý generátor se soustavou vinutí natoených o 120° elektrických, ve kterých se následkem asové zmny magnetického toku vyvolané rovnomrným otáivým pohybem stejnosmrného elektromagnetu

indukují naptí t

tu

d

)(d= stejného kmitotu vzájemn posunutá o úhel

3

2=∆ψ resp. 120°. Úhlový

6

kmitoet indukovaných naptí f2=ω je v našem pípad pímo daný úhlovou rychlostí otáejícího se elektromagnetu, protože natoení elektromagnetu o jednu otoku odpovídá jedna perioda indukovaných naptí.

Poznamenejme, že v teorii elektromagnetického pole je magnetický tok v homogenním magnetickém poli definovaný skalárním souinem vektor magnetické indukce B a plochy S. Platí pro nj Φ(t) = B·S = B·n·S = Β S cos(α) = Φm cos(ω t), kde α oznauje úhel mezi vektorem indukce Bnormálou plochy n. Zmnu magnetického toku procházejícího rovinami závit vinutí dΦ/dt tak mžeme interpretovat bu z pohledu pozorovatele pohybujícího se na elektromagnetu jako následek zmny vektoru plochy S v ase, nebo z pohledu pozorovatele spojeného s trojfázovým vinutím generátoru jako následek zmny vektoru magnetické indukce B v ase. Je-li tedy osa magnetu kolmá k rovin závit vinutí, neindukuje se ve vinutí naptí, což je i pípad vinutí A – A‘alternátoru na obr. 1.2. Skalární souin vektor má totiž hodnotu 0, protože osa elektromagnetu a osa vinutí svírá pravý úhel.

Každému vinutí se íká fáze. Má svj zaátek a konec. Ozname je v poadí A – A‘, B – B‘, C – C‘. Otáí-li se magnet podle obr. 1.2 ve smru hodinových ruiek, sled fází je A, B, C a koresponduje s poadím písmen použitých k rozlišení poátk vinutí. Sled odpovídá také poadí maxim indukovaných naptí tak, jak za sebou následují v ase na obr. 1.3 a 1.4. Maxima ve fázích B a C vi fázi A jsou vzhledem ke konstruknímu uspoádání vinutí posunuta o úhel -120° resp. -240°, stejn

jako prbhy indukovaných naptí, které se tak zpožují v ase o dobu 3

T resp.

3

2T.

B‘

A

B

C‘

C

A

B

C

A‘

B‘

C‘

A

B

C

A‘

B‘

C‘

uB

uC

uA

A‘

ωωωω t

Obr. 1.2 Trojfázový zdroj naptí: ez alternátorem, idealizovaný obvodový model vinutí, náhradní schéma

Takto vzniklá soustava naptí má pívlastek trojfázová a za pedpokladu, že v ase t = 0 s je poloha magnetu totožná s polohou na obrázku alternátoru, ji modelujeme soustavou fázových naptí o okamžitých hodnotách

( )tUu ωsinmAA = ,

( )°−= 120sinmBB tUu ω ,

( ) ( )°+=°−= 120sin240sin mCmCC tUtUu ωω ,

která tvoí souslednou soustavu naptí na obr. 1.3 se sledem fází A, B, C.

7

120° 240°

u

360°

A B C A

0 ωωωω t

Obr. 1.3 Sousledná soustava naptí

Otáí-li se magnet opaným smrem je sled fází A, C, B. Prbhy naptí fází B a C si zamnily na asové ose své pozice, ímž vznikla zptná soustava naptí zobrazená na obr. 1.4.

u

A C B A

0 120° 240° 360° ωωωω t

Obr. 1.4 Zptná soustava naptí

Je-li souet okamžitých hodnot fázových naptí v každém asovém okamžiku nulový, je soustava naptí zdroje vyvážená a platí pro ni

0CBA =++ uuu .

Píklad 1.1.

Trojfázová soustava naptí je popsána prbhy naptí ( )tu 16,314sin6,326A = ,

( )tu 16,314sin6,326B = a ( )tu 16,314sin6,326C = . Je tato soustava soumrná?

♦

Amplitudy resp. efektivní hodnoty fázových naptí jsou stejné a iní 326,6 V resp. 230,9 V. Úhlový kmitoet naptí je shodný a má hodnotu 314,16 rad s-1, což odpovídá kmitotu f = 314,16/2π= 50 Hz. Fázové posuny dvou po sob jsoucích fází jsou stejné a iní 0° resp. 0 radián. Tato soustava tedy spluje podmínky soumrnosti. Všechny ti prbhy jejich naptí jsou totožné. Takovouto soustavu nazýváme netoivou a její asový prbh je dán trojicí asových prbh naptí uA na obr. 1.3 nebo 1.4.

Trojfázová zátž

Trojfázovou zátž modelujeme zapojením tí imitancí podle obr. 1.7 vpravo, píklad 1.2, které mohou být obecn co do charakteru rzné, ale je žádoucí, aby mli stejné komplexní hodnoty. Tuto zátž nazýváme symetrickou. Pipojíme-li ji k soumrnému zdroji se souslednou soustavou naptí, bude bez ohledu na její zapojení zatžován symetricky proudy Ai , Bi , Ci a jeho celkový okamžitý výkon p

bude konstantní, i když okamžité výkony v každé jeho fázi Ap , Bp , Cp jsou kmitavé, viz obr. 1.5. Za tchto podmínek je trojfázový zdroj optimáln provozován a jeho celkový okamžitý výkon se v ase nemnní. Souet fázových inných výkon zdroje AP , BP , CP je trojnásobkem fázového

8

inného výkonu jedné fáze zdroje nap. AP resp. píkonu jedné fáze zátže nap. 1P . Ob tyto skutenosti lze spolen zapsat

konst.33 1ACBACBA ===++=++= PPPPPpppp

t

u

T

A B C

0

t

i

T

A B C

0

t

p

T

A B C

0

Obr. 1.5 Optimální provoz trojfázového zdroje

Poznamenejme, že výše zobrazené asové prbhy naptí, proud a výkon odpovídají zdrojovému systému poítacích šipek, takže fázové inné výkony zdroje jsou kladné.

Trojfázová zátž je asto tvoena jedním konstrukním celkem. Píkladem je v technické praxi konstrukn jednoduchý a ve stídavých pohonech asto používaný asynchronní motor, jehož princip innosti je opaný k funkci alternátoru. Trojfázová napájecí soustava pipojená k vinutím 1 – 1‘, 2 – 2‘, 3 – 3‘ s proudy 1i , 2i , 3i vytváí toivé magnetické pole, viz obr. 1.6, jehož výslednici si mžeme pedstavit jako magnet, otáející se proti smyslu obhu sousledné nebo zptné napájecí soustavy úhlovou rychlostí (kmitotem) ω této napájecí soustavy. Na obr. 1.6 vpravo je situace zobrazena pro dva asové okamžiky to a t1.

9

1 2 3

i

t0+T tt0

1

1‘

2

3‘

3

2‘

ωωωω t

+1

+j ωωωω t

t1

1 2 3

i

t1+T t

1

2

3‘

3

2‘

1‘

+1

+j ωωωω t

ωωωω t

t1

Obr. 1.6 Magnetické pole statoru asynchronního motoru buzené proudy jeho vinutí

Asynchronní motor je konstrukn soumrný a tvoený statorovým a rotorovým vinutím, které je uloženo v drážkách. Je-li napájen ze soumrného trojfázového zdroje naptí, vytvoí se soumrná soustava proud ve statoru, která jak již bylo zmínno, vytváí toivé magnetické pole, jenž indukuje v rotoru zatíženého asynchronního motoru proudy, jejichž výsledné magnetické pole v reakci na budící toivé magnetické pole vytváí konstantní moment na hídeli motoru, protože trojfázový zdroj je optimáln provozován. Poznamenejme, že u reálného asynchronního motoru práv vlivem uložení statorového a rotorového vinutí do drážek je moment motoru zvlnný. Konstantní by byl pouze v pípad nekoneného potu drážek, tj. kdyby proudová vrstva na statoru i rotoru byla spojitrozložena.

Píklad 1.2.

Trojfázová zátž na obr. 1.7 má ve svých fázích zapojený každý jeden z elementárních pasivních obvodových prvk o hodnot impedance 10 Ω. Jedná se o soumrnou zátž?

♦

Zátž není soumrná, jelikož imitance mají rzný charakter a tudíž jejich komplexní hodnota je rzná. Je-li nap. v 1. fázi rezistor, 2. fázi induktor a 3. fázi kapacitor, jsou jejich hodnoty imitancí

10

následující: impedance e1010ˆ 0j1

°==Z resp. admitance Se1,01,0ˆ 0j1

°==Y , e10j10ˆ 0j92

°==Z resp.

Se0,1j1,0ˆ 0-j92

°=−=Y a e10j10ˆ 0-j93

°=−=Z resp. Se0,1j1,0ˆ 0j93

°==Y . Mají stejnou velikost nikoli stejnou fázi.

R

L

C

1

2

3 22

ˆ,ˆ YZ

33ˆ,ˆ YZ

1‘

2‘

3‘

1

2

3

1‘

2‘

3‘

11ˆ,ˆ YZ

Obr. 1.7 Trojfázová zátž: obvodový model nesoumrné zátže, imitanní model, píklad 1.2

Shrnutí pojm 1.1.

Soumrný trojfázový zdroj tvoí ti dílí jednofázové zdroje se stejnou efektivní hodnotou naptí, stejným kmitotem a stejnými fázovými posuny mezi fázovými naptími dílích zdroj. Je-li tento zdroj soumrn zatžován, je optimáln provozován a jeho celkový okamžitý výkon se nemnní v ase ili je konstantní. Soumrný trojfázový zdroj naptí je souasn i vyvážený nebo souet okamžitých hodnot dílích jednofázových zdroj je v každém ase nulový. Realizací soumrného trojfázového zdroje je alternátor, který podle smyslu otáení svého budícího elektromagnetu generuje souslednou nebo zptnou soustavu naptí. Sousledná soustava má sled fází, který je daný poadím maxim naptí dílích jednofázových zdroj A, B, C. Zptná soustava ho má opaný, tj. A, C, B. Typickou soumrnou trojfázovou zátží je asynchronní motor, jehož funkce je opaná funkci generátoru, u kterého funkce budícího elektromagnetu alternátoru je nahrazena toivým magnetickým polem statorového vinutí motoru.

Otázky 1.1.

1. Jak modelujeme trojfázový zdroj naptí?

2. Co musí být splnno, aby trojfázový zdroj byl soumrný?

3. Jaké fázové posuny mezi dvma po sob jdoucími fázemi jsou schopny zajistit vytvoení trojfázové soumrné soustavy naptí?

4. Pomocí jakého zaízení v praxi vytváíme trojfázovou soustavu naptí?

5. Jaké významy má pojem fáze?

6. ím je dán sled fázových naptí zdroje?

7. Je zptná soustava naptí vyvážená?

8. Co musí být splnno, aby trojfázová zátž byla symetrická?.

9. Napište podmínku vyváženosti trojfázové soustavy naptí. Platí jen pro harmonické prbhy naptí?

10. Na em závisí zatížení trojfázového zdroje naptí?

11

11. Napište podmínku optimálního provozu trojfázového zdroje. V em spoívá její význam?

12. Jakou velikost mají fázové proudy a naptí trojfázového zdroje, je-li optimáln provozován?

13. Jaký je vztah mezi toivým magnetickým polem a sledem fází trojfázové napájecí soustavy?

14. Co zpsobí zámna dvou pívodních vodi trojfázové napájecí soustavy pipojených ke svorkám asynchronního motoru?

Úloha k ešení 1.1.

Je dána periodická funkce, která pedstavuje asový prbh jedné fáze neharmonického trojfázového zdroje naptí na period T. Pro funkci platí

Nakreslete asový prbh této funkce. Dále vytvote a nakreslete asové prbhy naptí zbývajících fází trojfázového zdroje, tak aby byl zdroj soumrný a vyvážený. Urete efektivní hodnotu fázových naptí zdroje.

ešení:

Uvažujeme-li, že zadaná funkce definuje naptí fáze A zdroje a zdroj má být soumrný, odpovídající asové prbhy naptí trojfázového zdroje jsou zobrazeny na obr. 1.8. Sled fází zdroje je A, B, C. Prbhy mají stejnou periodu T, jsou mezi sebou posunuty o jednu tetinu periody T a mají stejnou efektivní hodnotu fázových naptí, pro kterou platí

V2CBA ==== UUUU .

Ta byla stanovena z definice

( ) ( ) ( )

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] =

+++++=

=

−+−+−+++=

==

TT

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

ttttttT

dttdttdttdttdttdttT

dttuT

U

6

56

5

3

23

2

2

2

3

3

6

60

6/5

26/5

3/2

23/2

2/

22/

3/

23/

6/

26/

0

2

0

2

441

)(1)(2)(1)(1)(2)(11

)(1

∈−

∈−

∈−

∈

∈

∈

=

.,6

5pro,1

6

5,

3

2pro,2

3

2,

2pro,1

2,

3pro,1

3,

6pro,2

6,0pro,1

)(

TT

t

TTt

TTt

TTt

TTt

Tt

tu

12

V.26

12166

4666

46

1

65

32

65

423

23263

406

1

=

=

+++++=

=

−+

−+

−+

−+

−+

−=

TT

TTTTTTT

TT

TTTTTTTTTT

1

uA

T0

1

t

uB

T0

1

t

uC

T0

t

Obr. 1.8 Trojfázový neharmonický zdroj naptí, úloha k ešení 1.1

Trojfázová soustava tchto naptí je vyvážená, protože jejich souet je v každém asovém okamžiku nulový. Závrem poznamenejme, že v praxi lze tyto asové prbhy vytváet tzv. stídai naptí, které využíváme k úspornému ízení otáek nap. asynchronních motor.

1.2. Zapojení zdrojTrojfázový zdroj vytvoíme tak, že zapojíme jednofázové zdroje naptí o okamžitých hodnotách uA, uB, uC do hvzdy (Y) nebo do trojúhelníku (D). Další možností je rozdlení každého z jednofázových zdroj na dv ásti, které zapojíme do lomené hvzdy (Yz).

Je-li trojfázový zdroj soumrný, vytváí soustavu naptí s okamžitými hodnotami

( ) ( )tUtUu ωω sin2sinmA == ,

( ) ( )°−=°−= 120sin2120sinmB tUtUu ωω ,

( ) ( )°+=°+= 120sin2120sinmC tUtUu ωω ,

které mžeme vyjádit užitím Eulerova vztahu )(inj)cos(e )(j ψωψωψω ±+±=± tstt jako komplexní funkce reálné promnné t. Transformaci zápisu provedeme na základ pedpisu

ttt UUUtsU ωωψψωψω jjj)(j eˆIm2eeIm2eIm2)(in2 ===± ±± ,

její grafické zobrazení je znázornno na obr. 1.9.

13

A‘

B‘

C‘

uB

uC

uA

A

B

C

+j

+1

ÛA(0)

ÛB(0)ÛC(0)

ωωωω t

t = 0 s

A‘

B‘

C‘

ÛB(t)

ÛC(t)

ÛA(t)

A

B

C

A B C

u

T t0

Obr. 1.9 Transformace asových prbh naptí do komplexní roviny

Po transformaci získáme komplexní funkce naptí reálné promnné t, které však nezapisujeme v mítku maximálních, ale efektivních hodnot tzn., že neuvažujeme konstantu 2,

tUtU ωj0jA ee)(ˆ °= ,

tUtU ωj120jB ee)(ˆ °−= ,

tUtU ωj120jC ee)(ˆ °= .

Jejich grafickým zobrazením v komplexní rovin jsou hodografy funkcí (vektorové áry) viz kapitola 4.1, a to kružnice, viz obr. 1.9 vpravo dole. Významné jsou poátení hodnoty tchto komplexních funkcí v ase s0=t . Jsou to ti komplexní ísla, která charakterizují trojfázovou napájecí soustavu. Jejich geometrickou interpretací získáme fázory (orientované úseky, vektory) fázových naptí

°== 0jAA e)0(ˆˆ UUU ,

°−== 120jBB e)0(ˆˆ UUU ,

°== 120jCC e)0(ˆˆ UUU ,

které orientujeme stejn jako poítací šipky naptí na jejich koncích šipkami. Mají velikost, která je dána vzdáleností komplexního ísla od poátku komplexní roviny, a ta je úmrná efektivní hodnotnaptí U. Poloha fázoru naptí v komplexní rovin je dána argumentem exponenciální funkce a udává jeho natoení vi reálné ose komplexní roviny. Necháme-li rotovat fázory naptí úhlovou rychlosti ωv ase komplexní rovinou, získáme rotující fázory – komplexory, jejichž koncové body se pohybují po kružnicích hodograf komplexních naptí )(ˆ

A tU , )(ˆB tU , )(ˆ

C tU , které jsou souasn rovnicemi

14

komplexor. Jelikož mají všechna naptí jednofázových zdroj stejný kmitoet, mžeme v komplexní rovin z jejich popisu eliminovat as a trojfázovou soustavu naptí modelovat namísto komplexor jen

na ase nezávislými fázory naptí AU , BU , CU , jejichž grafickou podobou je fázorový diagram

totožný s komplexory naptí v ase t = 0 s , viz obr. 1.9 vpravo dole.

Poznamenejme jen, že souadný systém os komplexní roviny je z historických dvod v trojfázových obvodech natoen oproti zvyklostem o 90°. Soumrné a vyvážené trojfázové zdroje mají jak souet okamžitých hodnot, tak i fázor naptí v komplexní rovin nulový. Vyvážený zdroj snadno poznáme podle fázorového diagramu, nebo souet fázor naptí trojfázového zdroje tvoí rovnostranný trojúhelník.

Zapojení zdroj do hvzdy

Zapojení do hvzdy vznikne spojením zaátk A, B, C resp. konc A‘, B‘, C‘ svorek tí samostatných jednofázových zdroj do spoleného uzlu. Existují dv možnosti zapojení trojfázového zdroje, z nichž si pro následující výklad zvolme variantu, kdy uzel je tvoen zaátky A, B, C svorek zdroje na obr. 1.11. Soustavu naptí vytváenou trojfázovým zdrojem vyveme tveicí svorek A‘, B‘, C‘ a N. Propojení uzlu zdroje a svorky N je provedeno tzv. nulovým vodiem. Získali jsme tak tyvodiovou napájecí soustavu, která umožuje pipojit trojfázové spotebie ke dvma systémm naptí o rzných efektivních hodnotách. První soustava využívá naptí mezi svorkami A‘, B‘, C‘ a uzlem N a druhá naptí mezi svorkami A‘B‘, B‘C‘, C‘A‘.

První, tyvodiová soustava s okamžitými hodnotami tzv. fázových naptí uAN, uBN, uCN, zobrazená na obr. 1.10, je vzhledem k platnosti 2. Kirchhoffova zákona (uvažujme obh ve smyce proti smru hodinových ruiek) popsána rovnicemi

0AAN =− uu ,

0BBN =− uu ,

0CCN =− uu

a po dosazení okamžitých hodnot naptí jednofázových zdroj rovnicemi

( ) ( )tUtUuu ωω sin2sinmAAN === ,

( ) ( )°−=°−== 120sin2120sinmBBN tUtUuu ωω ,

( ) ( )°+=°+== 120sin2120sinmCCN tUtUuu ωω .

t

u

T

AN BN CN

0

Obr. 1.10 Okamžité hodnoty fázových naptí

Po transformaci rovnic do komplexní roviny získáme fázory fázových naptí zobrazené na obr. 11 vpravo, dané rovnicemi

°== 0jAAN eˆˆ UUU ,

°−== 120jBBN eˆˆ UUU ,

15

°== 120jCCN eˆˆ UUU .

A‘

B‘

C‘

uB

uC

uA

N

A

B

C +j

+1

uAN

uBN

uCN

N

A‘

ÛAN=ÛA

A

B‘

B

C‘

ÛCN=ÛC

C

ÛBN=ÛB

ÛAN=ÛA

ÛCN=ÛC ÛBN=ÛB

Obr. 1.11 Definice fázových naptí, tyvodiová soustava: náhradní schéma pro okamžité hodnoty, pekreslené náhradní schéma pro komplexní hodnoty, fázorový diagram

Druhá, trojvodiová soustava s okamžitými hodnotami tzv. sdružených naptí uAB, uBC, uCA, zobrazená na obr.1.12, je podle 2. Kirchhoffova zákona (uvažujme obh ve smyce proti smru hodinových ruiek) popsána rovnicemi

0BAAB =+− uuu ,

0CBBC =+− uuu ,

0ACCA =+− uuu

a po dosazení okamžitých hodnot naptí jednofázových zdroj a úpravách vycházejících ze vztahpro goniometrické funkce obdržíme definice

( ) ( ) ( )°+=°−−=−= 30sin6120sin2sin2BAAB tUtUtUuuu ωωω ,

( ) ( ) ( )°−=°+−°−=−= 90sin6120sin2120sin2BBC tUtUtUuuu C ωωω ,

( ) ( ) ( )°+=−°+=−= 150sin6sin2120sin2ACCA tUtUtUuuu ωωω .

Po transformaci rovnic do komplexní roviny získáme fázory sdružených naptí zobrazené na obr. 1.13 vpravo, definované

°°−° =−=−= 30j120j0jBAAB e3eeˆˆˆ UUUUUU ,

°−°°− =−=−= 90j120j120jCBBC e3eeˆˆˆ UUUUUU ,

°°° =−=−= 051j0j120jACCA e3eeˆˆˆ UUUUUU .

16

t

u

T

AB BC CA

0

Obr. 1.12 Okamžité hodnoty sdružených naptí, trojfázový zdroj zapojený do hvzdy

Zdraznme, že ve tyvodiové napájecí soustav rozlišujeme dva typy naptí: mezi svorkami A‘, B‘, C‘ a uzlem N fázová a mezi svorkami A‘B‘, B‘C‘, C‘A‘ sdružená. Sdružená naptí soumrné napájecí soustavy (zdroje) mají velikost 3 krát vtší než naptí fázová a v ase jsou fázov posunuta o dvanáctinu periody (T/12) resp. v komplexní rovin natoena o π/6 i 30° vi fázovým naptím, viz obr. 1.13.

A‘

B‘

C‘

uB

uC

uA

A

B

C

A‘

ÛA

A

B‘

B

C‘

ÛC

C

ÛB

uAB

uBC

uCA

+j

+1ÛAB

ÛBC

ÛCA

-ÛB

-ÛC

-ÛA

ÛA

ÛBÛC

ÛAB

ÛCA

ÛBC

Obr. 1.13 Definice sdružených naptí, tívodiová soustava: náhradní schéma pro okamžité hodnoty, náhradní schéma pro komplexní hodnoty, fázorový diagram

Píklad 1.3.

Popište zpsob odvození konstanty úmrnosti mezi efektivní hodnotou fázového a sdruženého naptí soumrného harmonického zdroje zapojeného do hvzdy.

♦

17

Soumrný zdroj má stejné amplitudy i efektivní hodnoty fázových naptí. Vztah mezi amplitudou a

efektivní hodnotou plyne z definice efektivní hodnoty naptí =T

tuT

U0

2 d1

, do které dosadíme

obecný prbh harmonického naptí ( )ψω ±= tUu sinm . Pro efektivní hodnotu harmonického prbhu platí

( ) ( )( ) ±−=±=TT

ttT

UttU

TU

0

2m

0

22m d)(2cos1

2dsin

1ψωψω .

Výpoet efektivní hodnoty se po úprav rozpadne na dv ásti, a to na integrál konstanty a harmonické funkce s dvojnásobným kmitotem. Integrálem harmonické funkce je opt harmonická funkce, její prbh je stídavý, a proto i její uritý integrál na period T je nulový, což si snadno pedstavíme na základ geometrické interpretace integrálu jako plochy pod kivkou. Na vyíslení efektivní hodnoty má tak vliv jen uritý integrál ze stejnosmrné složky, tedy jednotkové funkce, který je na period

roven její délce T, a proto pro efektivní hodnotu platí 2/mUU = .

Pro odvození efektivní hodnoty sdruženého naptí zvolme prbh naptí uAB, který je definován fázovými naptími ( ) ( )( )°−−=−= 120sinsinmBAAB ttUuuu ωω . Pro efektivní hodnotu sdruženého naptí platí

( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( )[ ] .d2402cos11202cos2120cos22cos12

d120sin120sinsin2sin

d120sin120sinsin2sin

d120sinsin1

d1

0

2m

0

222m

0

222m

0

22m

0

2ABAB

°−−+°−+°−−=

=°−+°−−=

=°−+°−−=

=°−−==

T

T

T

TT

ttttT

U

tttttT

U

tttttT

U

tttUT

tuT

U

ωωω

ωωωω

ωωωω

ωω

S ohledem na výše uvedené, mají na vyíslení efektivní hodnoty vliv jen asov nezávislé leny pod odmocninou tj. ( )°− 120cos22 , které reprezentují hodnotu integrálu na period T, která

po dosazení integraních mezí je rovna hodnot ( )( )T°− 120cos12 , takže po vykrácení a jednoduché úprav platí nakonec pro efektivní hodnotu sdruženého naptí

( ) UUUUUU 32

32

2

3)

2

1(1120cos1 mmmAB ===−−=°−= .

Zapojení zdroj do trojúhelníku

Zapojení do trojúhelníku vznikne spojením zaátk jednch a konc jiných, odlišn oznaených svorek tí samostatných jednofázových zdroj do série. Existují dv možnosti zapojení trojfázového zdroje, z nichž si pro výklad zvolme variantu propojení svorek A‘B, B‘C, C’A zobrazenou na obr. 1.15. Získali jsme tak tívodiovou, trojfázovou napájecí soustavu vyvedenou trojicí svorek A‘, B‘, C‘ s jedním systémem naptí s okamžitými hodnotami uAB, uBC, uCA, zobrazenými na obr. 1.14. Soustava naptí je popsána podle 2. Kirchhoffova zákona (uvažujme obh ve smyce proti smru hodinových ruiek) rovnicemi

18

0AAB =− uu ,

0BBC =− uu ,

0CCA =− uu

a po dosazení okamžitých hodnot naptí jednofázových zdroj rovnicemi

( )tUuu ωsin2AAB == ,

( )°−== 120sin2BBC tUuu ω ,

( )°+== 120sin2CCA tUuu ω .

t

u

T

AB BC CA

0

Obr. 1.14 Okamžité hodnoty fázových naptí, trojfázový zdroj zapojený do trojúhelníku

Po transformaci rovnic do komplexní roviny získáme fázory sdružených naptí zobrazené na obr. 1.15 vpravo, dané rovnicemi

°== 0jAAB eˆˆ UUU ,

°−== 120jBBC eˆˆ UUU ,

°== 120jCCA eˆˆ UUU .

A‘

ÛAB=ÛA

A

B B‘

ÛCA=ÛC

ÛBC=ÛB

A‘

B‘

C‘

uC

uA

uB

A

B

C

uAB

uBC

uCA

+j

+1ÛAB=ÛA

ÛBC=ÛBÛCA=ÛC

C

C‘

Obr. 1.15 Trojfázový zdroj zapojený do trojúhelníku: náhradní schéma pro okamžité hodnoty, pekreslené náhradní schéma pro komplexní hodnoty, fázorový diagram

Poznamenejme, že v zapojení do trojúhelníku jsou fázová naptí zdroje rovna sdruženým naptím tívodiové napájecí soustavy.

19

Zapojení zdroj do lomené hvzdy

Standardní zapojení do lomené hvzdy vznikne propojením dvou soumrných trojfázových zdrojs efektivními hodnotami naptí 2/U . Jeden z nich zapojíme do hvzdy a spojíme jeho volné zaátky resp. konce svorek se zaátky resp. konci svorek druhého zdroje, tak aby velikost fázových naptí napájecí soustavy byla 3-krát vtší, než naptí dílích šesti fází zdroj. Existuje osm možnosti zapojení, z nichž si pro následující výklad zvolme variantu zakreslenou na obr. 1.17 a 1.19, kdy uzel zdroje je tvoen konci svorek druhého zdroje A2‘, B2‘, C2‘ a zdroje jsou propojeny svorkami A1B2, B1C2, C1A2. Soustavu naptí vytváenou obma trojfázovými zdroji vyveme tveicí svorek A1‘, B1‘, C1‘ a N. Propojení uzlu druhého zdroje a svorky N je opt provedeno tzv. nulovým vodiem. Získali jsme tak jako u zapojení do hvzdy tyvodiovou napájecí soustavu, která umožuje napájet trojfázové spotebie dvma systémy naptí, o rzných efektivních hodnotách. První soustava na obr. 1.17 využívá naptí mezi svorkami A1‘, B1‘, C1‘ a uzlem N a druhá soustava na obr. 1.19 naptí mezi svorkami A1’B1‘, B1’C1‘, C1’A1‘.

První, tyvodiová soustava s okamžitými hodnotami fázových naptí uA, uB, uC, zobrazená na obr. 1.16, je vzhledem k platnosti 2. Kirchhoffova zákona (uvažujme obh ve smyce proti smru hodinových ruiek) popsána rovnicemi

0B2A1A =+− uuu ,

02CB1B =+− uuu ,

0A2C1C =+− uuu

a po dosazení okamžitých hodnot naptí jednofázových zdroj a úpravách vycházejících ze vztahpro goniometrické funkce obdržíme definice

( ) ( ) ( )°+=°−−=−= 30sin2

6120sin2

2sin2

2B2A1A tU

tU

tU

uuu ωωω ,

( ) ( ) ( )°−=°+−°−=−= 90sin2

6120sin2

2120sin2

22CB1B tU

tU

tU

uuu ωωω .

( ) ( ) ( )°+=−°+=−= 150sin2

6sin2

2120sin2

2A2C1C tU

tU

tU

uuu ωωω .

t

u

T

A B C

0

Obr. 1.16 Okamžité hodnoty fázových naptí, trojfázový zdroj zapojený do lomené hvzdy

Po transformaci rovnic do komplexní roviny získáme fázory fázových naptí zobrazené na obr. 1.17 vpravo, definované

°°−° =−=−= 30j120j0jB2A1A e

2

3e

2e

2ˆˆˆ

UUUUUU ,

°−°°− =−=−= 90j120j120jC2B1B e

2

3e

2e

2ˆˆˆ

UUUUUU ,

20

°°° =−=−= 150j0j120jA2C1C e

2

3e

2e

2ˆˆˆ

UUUUUU .

A2

B2

C2

uB2

uC2

uA2

N

A2'

B2'

C2'

A1'

B1'

C1'

uB1

uC1

uA1

A1

B1

C1

uA

uC

uB

B2

ÛB2

B2‘

B1‘

B2‘

A2

ÛA2A2‘

ÛB2

ÛA

ÛCA ÛBC

A1‘

ÛA1A1‘

C1

C1‘

ÛC1 ÛB1B2‘

B1‘

N

+j

+1

ÛA1

ÛB1

ÛC1

-ÛB2

-ÛC2

-ÛA2

ÛA

ÛB

ÛC

Obr. 1.17 Trojfázový zdroj zapojený do lomené hvzdy, definice fázových naptí: náhradní schéma pro okamžité hodnoty, pekreslené náhradní schéma pro komplexní hodnoty, fázorový diagram

Druhá, trojvodiová soustava s okamžitými hodnotami sdružených naptí uAB, uBC, uCA, zobrazená na obr. 1.18, je podle 2. Kirchhoffova zákona (uvažujme obh ve smyce proti smru hodinových ruiek) popsána rovnicemi

0B12CB2A1AB =+−+− uuuuu ,

01CA2C2B1BC =+−+− uuuuu ,

0A12BA2C1CA =+−+− uuuuu

a po dosazení okamžitých hodnot naptí jednofázových zdroj a úpravách vycházejících ze vztahpro goniometrické funkce obdržíme definice

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( ),60sin2

32120sin120sin2sin

22

120sin120sin120sinsin2

2B12CB2A1AB

°+=°++°−−=

=°−−°++°−−=−+−=

tUtttU

ttttU

uuuuu

ωωωω

ωωωω

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( ),60sin2

32sin120sin2120sin

22

120sinsin120sin120sin2

2C1A2C2B1BC

°−=+°+−°−=

=°+−+°+−°−=−+−=

tUtttU

ttttU

uuuuu

ωωωω

ωωωω

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( ).180sin2

32120sinsin2120sin

22

sin120sinsin120sin2

2A1B2A2C1CA

°+=°−+−°+=

=−°−+−°+=−+−=

tUtttU

ttttU

uuuuu

ωωωω

ωωωω

21

t

u

T

AB BC CA

0

Obr. 1.18 Okamžité hodnoty sdružených naptí, trojfázový zdroj zapojený do lomené hvzdy

Po transformaci rovnic do komplexní roviny získáme fázory sdružených naptí zobrazené na obr. 1.19 vpravo, definované

( ) ( ) ,e2

3ee2e

2eeee

2ˆˆˆˆˆ 60j0j12120j0j120j0j12120j0j

B1C2B2A1AB°°°−°°−°°−° =+−=−+−=−+−= U

UUUUUUU

( ) ( ) ,e2

3ee2e

2eeee

2ˆˆˆˆˆ 0j6-0j120j0j12-120jj0120j0j12-

C1A2C2B1BC°°°°°°°° =+−=−+−=−+−= U

UUUUUUU

( ) ( ) °°°°°°°° =+−=−+−=−+−= 0j180j12-0j0j120j0j12-0j0j12A1B2A2C1CA e

2

3ee2e

2eeee

2ˆˆˆˆˆ U

UUUUUUU .

A2

B2

C2

uB2

uC2

uA2A2'

B2'

C2'

A1'

B1'

C1'

uB1

uC1

uA1

A1

B1

C1

uBCuCA

uAB

B2

ÛB2

B2‘

B1‘

B2‘

A2

ÛA2A2‘

ÛB2

ÛAB

ÛCA

ÛBC

A1‘

ÛA1A1‘

C1

C1‘

ÛC1 ÛB1B2‘

B1‘

+j

+1

ÛA1

ÛB1

ÛC2

-ÛB2

-ÛC2

-ÛA2

ÛAB ÛBC

ÛCA

-ÛB1

ÛC1

ÛA2

-ÛC1

ÛB2

-ÛA1

Obr. 1.19 Trojfázový zdroj zapojený do lomené hvzdy, definice sdružených naptí: náhradní schéma pro okamžité hodnoty, náhradní schéma pro komplexní hodnoty, fázorový diagram

Fázová i sdružená naptí v zapojení do lomené hvzdy jsou 3/2 násobkem hodnot fázových i sdružených naptí v zapojení do hvzdy a v ase jsou vzájemn posunuta vi nim o dvanáctinu periody (T/12) resp. v komplexní rovin jsou vi nim natoena o π/6 i 30°, viz obr. 1.19.

22

Píklad 1.4.

Stanovte efektivní hodnotu fázových naptí tyvodiové soustavy naptí dvou soumrných trojfázových zdroj se stejným sledem fází A, B, C a efektivní hodnotou U zapojených podle obr. 1.20. Nakreslete fázorový diagram obvodu.

ÛB2

ÛC2

ÛA2

N

ÛB1

ÛC1

ÛA1

ÛA

ÛC

ÛB

C‘

B‘

A‘

Obr. 1.20 Nestandardní zapojení trojfázových zdroj do lomené hvzdy, píklad 1.4

♦

ešení:

Jelikož oba trojfázové zdroje jsou soumrné, bude i trojfázová soustava naptí mezi svorkami A, B, C a svorkou N (uzlem zdroje) soumrná a pro urení její efektivní hodnoty staí urit její hodnotu naptí v jedné její fázi nap. A. Pro komplexní hodnotu naptí ÛA platí podle 2. Kirchhoffova zákona

( )( )

( ) ( ) .Vee312

312

2

3j

2

1

2

3j

2

10j1

)120sin(j)120cos()0sin(j)0cos(

eeeeˆˆˆ

60j-1

3jarctg

22

120j0j120j0jB2A1A

°

−

°−°°−°

=+=−+=

=

−=

−−+=

=°−+°−+°+°=

=+=+=+=

UUU

UU

U

UUUUUU

Z odvozeného defininího vztahu plyne, že efektivní hodnota výsledného fázového naptí pi tomto nestandardním zapojení zdroj do lomené hvzdy je stejn velká jako efektivní hodnota fázového naptí dílích trojfázových zdroj a že fázor výsledného naptí ÛA je natoen vi reálné ose komplexní roviny (+1) o -60°. Jelikož oba zdroje jsou soumrné, bude i soustava naptí vzniklého zdroje soumrná, takže efektivní hodnota zbylých fází zdroje bude stejná. Polohu fázoru ÛB

v komplexní rovin získáme natoením fázoru ÛA o -120° a polohu fázoru ÛC jeho natoením

o +120°. Pro tyto fázory tak platí °−= 180jB eˆ UU a °= 60j

C eˆ UU . Konstrukce fázorového diagramu je zachycena na obr. 1.21 a dokládá výše uvedené skutenosti..

23

ÛA

ÛC

+j

+1

ÛB2

ÛC2

ÛA2

ÛA1

ÛB1

ÛC1ÛB

ÛA

ÛC

+j

+1

ÛB

Obr. 1.21 Fázorový diagram nestandardního zapojení trojfázových zdroj do lomené hvzdy: postup konstrukce, fázory výsledné soustavy naptí

Shrnutí pojm 1.2.

Zapojením trojfázových zdroj do hvzdy, trojúhelníku a lomené hvzdy mžeme vytvoit rzné napájecí soustavy. Naptí všech trojfázových zdroj mohou být vyvedeny tívodiov a zdroje zapojené do hvzdy a lomené hvzdy i tyvodiov. Naptí tívodiové soustavy nazýváme sdružená. V tyvodiové soustav krom sdružených naptí existují i naptí fázová definována vi nulovému vodii soustavy.

Otázky 1.2.

1. Kolika zpsoby lze zapojit trojfázový zdroj do hvzdy a trojúhelníka? Nakreslete všechny varianty zapojení.

2. Kolika zpsoby lze zapojit trojfázový zdroj do lomené hvzdy? Nakreslete alespo dv varianty zapojení.

3. Mní se fázový posun mezi po sob následujícími asovými prbhy naptí napájecích soustav vytváených trojfázovými zdroji zapojenými do hvzdy, trojúhelníka a lomené hvzdy?

4. Jak se mní poátení fáze asových prbh naptí resp. natoení fázor naptí napájecích soustav vytváených trojfázovými zdroji zapojenými do hvzdy, trojúhelníka a lomené hvzdy?

5. Je soumrný trojfázový zdroj zapojený do hvzdy, trojúhelníku a lomené hvzdy vyvážený? Jak poznáme z fázorového diagramu, že zdroj je vyvážený?

6. Který zákon užíváme k odvození systému naptí troj i tyvodiové trojfázové napájecí soustavy?

7. Jaká naptí rozlišujeme ve tyvodiové napájecí soustav?

8. Co je to nulový vodi?

Úloha k ešení 1.2.

Odvote z fázorového diagramu vztah mezi fázovým a sdruženým naptím v pípad soumrné, sousledné trojfázové soustavy naptí.

ešení:

24

Odvození si ukažme na pípadu sdruženého naptí BAABˆˆˆ UUU −= . Velikosti fázových naptí

v soumrné soustav naptí jsou stejné, takže platí UUUU === CBAˆˆˆ . Mají rzné fáze, v našem

pípad °= 0jA eˆ UU , °−= 120j

B eˆ UU , °= 120jC eˆ UU , takže pro zvolené sdružené naptí platí

( ) ( )[ ]

V.e3e2

3

2

3

2

3j

2

30jsin12120cos0jsin0coseeeeˆ

03j2

32

3

jarctan22

120j0j120j0jAB

°

°−°°−°

=

+

=

=

+=°−°−°+°=−=−= UUUUUU

Sdružené naptí ABU v komplexní rovin zkonstruujeme graficky podle definice rozdílem fázor

fázových naptí AU a BU . Velikosti fázor jsou délkami stran trojúhelník. Prmtem pepony

vybraného pravoúhlého trojúhelníku do smru daného polohou fázoru ABU získáme hodnotu poloviny

velikosti sdruženého naptí 2

ˆ

2

ABABUU

= . Úhly pravoúhlého trojúhelníka uvedené v obrázku uríme

ze známých hodnot fází fázor naptí. Z obrázku je patrné, že fázor AU svírá s fázorem ABU úhel 30°. Užitím goniomerické funkce kosinus potom uríme relaci mezi velikostí fázového a sdruženého naptí, viz obr. 1.22. Poznamenejme, že tato relace platí pouze u soumrné trojfázové soustavy naptí.

+j

+1ÛAB

ÛBC

ÛA

ÛBÛC

ÛCA

ÛABÛA

ÛB

60°

30°

AAB

A

AB

ˆ3ˆ

ˆ2

ˆ

2

330cos

UU

U

U

⋅=

==°

Obr. 1.22 Odvození relace mezi fázovým a sdruženým naptím z fázorového diagramu, úloha k ešení 1.2

1.3. Zapojení zátže Stejn jako trojfázové zdroje mžeme zapojit trojfázovou zátž do hvzdy nebo do trojúhelníku. Obzapojení lze navzájem transfigurovat z jednoho zpsobu zapojení na druhé, nebo jsou navzájem ekvivalentní. V harmonicky ustáleném stavu je výhodné pasivní zátž (spotebi) modelovat

imitancemi Z nebo Y , viz obr. 1.23 a 1.24 vpravo.

25

Zapojení zátže do hvzdy

Zapojení zátže do hvzdy vznikne spojením zaátk resp. konc svorek tí samostatných, zpravidla pasivních vtví zátže do spoleného uzlu, který ozname 0. Existují dv možnosti jak vytvoit uzel, z nichž je na obr. 1.23 nakreslena varianta s uzlem tvoeným konci svorek 1‘, 2‘, 3. Tuto zátž mžeme ke zdroji pipojit tí nebo tyvodiov vyvedenými svorkami 1, 2, 3. a 0.

0

0

11ˆ,ˆ YZ

1

2 3

22ˆ,ˆ YZ33

ˆ,ˆ YZ22

ˆ,ˆ YZ

33ˆ,ˆ YZ

1

2

3

1‘

2‘

3‘

11ˆ,ˆ YZ

Obr. 1.23 Zapojení trojfázové zátže do hvzdy

Zapojení zátže do trojúhelníku

Zapojení zátže do trojúhelníku na obr. 1.24 vznikne spojením zaátk jednch a konc jiných, odlišn oznaených svorek tí samostatných, zpravidla pasivních vtví zátže do série. Existují dvmožnosti jak propojit svorky zátže, z nichž na obrázku je zakreslena varianta 1‘2, 2‘3, 3‘1. Tuto zátž mžeme ke zdroji pipojit tívodiov vyvedenými svorkami 1, 2, 3.

11ˆ,ˆ YZ

1‘

22ˆ,ˆ YZ

2 2‘

33ˆ,ˆ YZ

3‘

1

3

11ˆ,ˆ YZ

1‘

1

22ˆ,ˆ YZ

33ˆ,ˆ YZ

3‘

3

2‘ 2

Obr. 1.24 Zapojení trojfázové zátže do trojúhelníku

Trojfázové vedení

Model vedení na obr. 1.25 z pohledu svorek trojfázového zdroje pedstavuje další zátž, která je kaskádn vlenna mezi zdroj a trojfázovou zátž. Z didaktických dvod, model reálného vedení idealizujeme nebo zjednodušujeme tím, že zanedbáme nkteré jeho parametry. Podle potu svorek napájecí soustavy, vyvedených ze zdroje, máme vedení tí nebo tyvodiové, pípadn ptivodiové, je-li nulový vodi rozdlen na vodi pracovní a ochranný z dvod elektrické bezpenosti. Poznamenejme, že v praxi oznaujeme pracovní vodi písmenem N, ochranný vodi PE a fázové vodie L1, L2, L3.

26

Naptí a proudy vedení nazýváme síovými. Idealizované vedení na obr. 1.25 vlevo propojuje svorky zdroje a zátže, model vedení na obr. 1.25 vpravo potom respektuje nkteré vlastnosti vedení, které

obvykle modelujeme v harmonicky ustáleném stavu symetrickou hodnotou imitance fáze vedení vZ

nebo vY a hodnotou imitace nulového vodie 0Z nebo 0Y .

N

C‘

B‘

A‘

0

3

2

1

N

C‘

B‘

A‘

0

3

2

1

3v3vˆ,ˆ YZ

1v1vˆ,ˆ YZ

2v2vˆ,ˆ YZ

00ˆ,ˆ YZPE

Obr. 1.25 Trojfázové vedení:ideální vedení, imitanní model vedení

Pro výklad v další kapitole uvažujme idealizované vedení s nulovou hodnotou impedance fázových vodi a nenulovou hodnotou imitance nulového vodie.

Shrnutí pojm 1.3.

Trojfázovou zátž zapojujeme do hvzdy a trojúhelníku. Zátž do hvzdy lze ke zdroji pipojit troj nebo tyvodiovým vedením, zátž do trojúhelníku pouze trojvodiovým vedením. Veliiny vedení nazýváme síové.

Otázky 1.3.

1. ím modelujeme trojfázové spotebie v harmonicky ustáleném stavu?

2. Kolika zpsoby lze zapojit trojfázovou zátž do hvzdy a trojúhelníka? Nakreslete všechny varianty zapojení.

3. Kolik vodi mže mít trojfázové vedení?

4. Jak nazýváme naptí a proudy vedení?

5. Je trojfázová zátž po transfiguraci ekvivalentní s pvodní zátží?

6. Za jakým úelem dlíme nulový vodi na pracovní a ochranný vodi?

Úloha k ešení 1.3.

Je dána soumrná ohmická zátž zapojená do trojúhelníka, nahrate tuto zátž ekvivalentním zapojením zátže do hvzdy a stanovte hodnoty náhradních odpor zátže.

27

ešení:

Hodnoty ekvivalentních parametr odporové zátže zapojené do hvzdy získáme transfigurací trojúhelník - hvzda podle níže uvedených vztah respektujících oznaení parametr obou typ zátže podle obr. 1.26, ze kterých je patrné, že odpor jedné fáze zátže zapojené do hvzdy je tetinou odporu jedné fáze zátže zapojené do trojúhelníku. Pi tchto hodnotách odpor zátže dodává zdroj obma zapojením stejný inný výkon. Pokud bychom transfiguraci neprovedli a ob zátže by mly stejnou hodnotu odporu, byl by pochopiteln píkon zátže zapojené do trojúhelníka trojnásobkem píkonu zátže zapojené do hvzdy.

AR

BR

CR1R

1

2 3

2R3R

1

2 3

Obr. 1.26 Transfigurace trojfázové zátže

CBA

CA1 RRR

RRR

++= ,

CBA

BA2 RRR

RRR

++= ,

CBA

CB3 RRR

RRR

++= ,

CBA RRRR === ,

RRRR3

1321 === .

1.4. Analýza trojfázových obvodAnalýza trojfázových obvod v harmonicky ustáleném stavu na základ známých hodnot parametrtrojfázového zdroje a imitancí obvodu není složitá. ešení provádíme v oboru komplexních ísel namísto komplikovaného ešení soustavy goniometrických rovnic s nezávislou asovou promnou tv oboru reálných ísel. Komplexní hodnoty obvodových veliin reprezentované fázory naptí a proudu mžeme stanovit obecnými metodami ešení elektrických obvod nebo pímou aplikaci Kirchhoffových zákon a Ohmova zákona v symbolickém tvaru. Varianty uspoádání trojfázových obvod získáme kombinacemi zapojení výše uvedených trojfázových zdroj a zátží, které propojíme zvoleným typem vedení. V praxi se pak nejastji setkáme se tyvodiovou napájecí soustavou nízkého naptí. V následujícím výkladu se proto zamíme na trojfázové obvody se zdrojem zapojeným do hvzdy a ideálním vedením. Pipomeme si jen, že prvním krokem analýzy jakéhokoliv obvodu je zakreslení poítacích šipek v našem pípad opatených symboly hledaných komplexních hodnot naptí a proud do schématu zapojení trojfázového obvodu.

Zdroj a zátž zapojené do hvzdy

Trojfázový obvod se zdrojem a zátží zapojenými do hvzdy podle obr. 1.27 analyzujme pímou aplikací 1. a 2. Kirchhoffova zákona. Nejprve uríme naptí nulového vodie Û0 užitím 1. Kirchhoffova zákona (uvažujme kladný referenní smr proudu ven z uzlu)

28

0ˆˆˆˆ3210 =+++− IIII ,

kam dosadíme za proudy vztahy plynoucí z Ohmova zákona v symbolickém tvaru

0ˆˆˆˆˆˆˆˆ33221100 =+++− YUYUYUYU .

Po aplikaci 2. Kirchhoffova zákona na píslušné smyky (uvažujme obh ve smyce proti smru hodinových ruiek)

0ˆˆˆ0A1 =+− UUU ,

0ˆˆˆ0B2 =+− UUU ,

0ˆˆˆ0C3 =+− UUU ,

si vyjádíme fázová naptí zátže, která dosadíme do pedcházejícího vztahu, ímž získáme rovnici

0ˆ)ˆˆ(ˆ)ˆˆ(ˆ)ˆˆ(ˆˆ30C20B10A00 =−+−+−+− YUUYUUYUUYU

a po úprav naptí

0321

3C2B1A0 ˆˆˆˆ

ˆˆˆˆˆˆˆ

YYYY

YUYUYUU

+++

++= .

Fázová naptí zátže uríme ze známých parametr zdroje a naptí Û0

0A1ˆˆˆ UUU −= ,

0B2ˆˆˆ UUU −= ,

0C3ˆˆˆ UUU −= .

0

22ˆ,ˆ YZ

33ˆ,ˆ YZ

1

2

3

1‘

2‘

3‘

11ˆ,ˆ YZ

ÛB

ÛC

ÛA

N

Û1

C‘

B‘

A‘

00ˆ,ˆ YZ

C

B

A

Û2

Û3

Û0

Î1

Î2

Î3

Î0

Obr. 1.27 Analýza trojfázového obvodu se zátží zapojenou do hvzdy, zavedení poítacích šipek

Fázové proudy obvodu stanovíme z Ohmova zákona v symbolickém tvaru dosazením fázových naptí a admitancí zátže

111ˆˆˆ YUI = ,

29

222ˆˆˆ YUI = ,

333ˆˆˆ YUI =

a proud nulového vodie z rovnice

000ˆˆˆ YUI = .

Na závr analýzy provedeme kontrolu správnosti ešení dosazením vypotených proud obvodu do 1. Kirchhoffova zákona.

Rozeberme si nyní vybrané provozní a poruchové stavy tohoto obvodu:

a) nulová impedance nulového vodie,

b) soumrná zátž,

c) perušení nulového vodie,

d) perušení jedné fáze symetrické zátže,

e) zkrat v jedné fázi zátže.

Ad a) Je-li uzel zdroje a zátže pímo propojen, impedance nulového vodie Ω= 0ˆ0Z resp. admitance

nulového vodie bude

Ω∞→=→

00ˆ0 ˆ

1limˆ

0 ZY

Z

a naptí nulového vodie je nulové bez ohledu na nesymetrii zátže

V0ˆˆˆˆ

ˆˆˆˆˆˆlimˆ

0321

3C2B1A

ˆ00

=+++

++=

∞→ YYYY

YUYUYUU

Y.

Z tohoto dvodu jsou fázová naptí zátže rovna fázovým naptím zdroje a pípadná nesymetrie zátže se projeví nenulovou hodnotou proudu Î0. Trojfázový obvod se tak rozpadne na ti samostatné jednofázové obvody se spoleným nulovým vodiem.

Ad b) Symetrická zátž má ve všech fázích stejné hodnoty imitance, takže platí

YYYY ˆˆˆˆ321 === nebo ZZZZ ˆˆˆˆ

321 ===

a naptí nulového vodie je nulové v dsledku vyváženosti soumrného zdroje

( )0

ˆˆ3

ˆˆˆˆˆ

0

CBA0 =

+

++=

YY

UUUYU ,

pro který platí v komplexní rovin 0ˆˆˆCBA =++ UUU . Fázová naptí zátže jsou tak rovna fázovým

naptím zdroje a proud nulového vodie Î0 je nulový. Trojfázový obvod se tak rozpadne na ti samostatné jednofázové obvody.

Ad c) Perušený nulový vodi má admitanci S00 =Y . Naptí nulového vodie je dáno vztahem

321

3C2B1A0 ˆˆˆ

ˆˆˆˆˆˆˆ

YYY

YUYUYUU

++

++= ,

takže mže být nulové jen, je-li zátž symetrická viz odrážka b). Pi perušeném nulovém vodii je proud Î0 nulový a fázová naptí nesymetrické zátže jsou rovna rozdílu fázových naptí zdroje a naptínulového vodie.

30

Ad d) Uvažujme, že k perušení došlo ve fázi 1 zátže, která nemá tím pádem žádnou vodivost, tj. S01 =Y . Pro naptí nulového vodie platí

032

3C2B0 ˆˆˆ

ˆˆˆˆˆ

YYY

YUYUU

++

+=

a mže být nulové jen, je-li uzel zdroje a zátže propojen, tj. pi Ω= 0ˆ0Z viz odrážka a). Nesymetrie

zátže se v tomto pípad projeví nenulovou hodnotou proudu Î0. Nebude-li uzel zdroje a zátže propojen, nesymetrie zátže se projeví nenulovou hodnotou naptí Û0 viz odrážka c).

Ad e) Uvažujme, že ke zkratu došlo ve fázi 1 zátže, která má tím pádem nulovou impedanci Ω= 0ˆ1Z

resp. nekonen velkou admitanci Sˆ1

limˆ1

0ˆ11

∞→=→ Z

YZ

, takže pro naptí nulového vodie platí

A

1

0

1

3

1

2

1

3C

1

2BA

ˆ0321

3C2B1A

ˆ0ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ1

ˆ

ˆˆ

ˆ

ˆˆˆ

limˆˆˆˆ

ˆˆˆˆˆˆlimˆ

11

U

Y

Y

Y

Y

Y

YY

YU

Y

YUU

YYYY

YUYUYUU

YY=

+++

++=

+++

++=

∞→∞→

bez ohledu na to, je-li uzel zdroje a zátže propojen i ne. Nesymetrie zátže se v tomto pípadprojeví tím, že se na nepostižených fázích zátže objeví naptí o velikosti sdružených naptí

( ) ( ) °°−° =−−=−−=−= 0-j15120j0jBAAB2 e3eeˆˆˆˆˆ UUUUUUUU ,

°°° =−=−= 051j0j120jAC3 e3eeˆˆˆ UUUUUU

a fázové proudy

( )Y2Y2 0-15j2

j2

0-j15222 eee3ˆˆˆ ϕϕ +°° === IYUYUI ,

( )Y3Y3 015j3

j3

0j15333 eee3ˆˆˆ ϕϕ +°° === IYUYUI .

Bude-li uzel zdroje a zátže propojen nulovým vodiem s nenulovou hodnotou impedance, proud tohoto vodie bude mít hodnotu 0A0

ˆˆˆ YUI = a proud postižené fáze Î1 bude dán podle 1. Kirchhoffova

zákona rovnicí 3201ˆˆˆˆ IIII −−= . Nebude-li toto propojení realizováno, proud postižené fáze bude

321ˆˆˆ III −−= .

Uvažovat pípad, kdy uzel zdroje a zátže je propojen ideálním vodiem nebo pípad dvoufázového zkratu zátže propojené se zdrojem ideálním vedením, nemá význam analyzovat, nebo vznikne obvod s nekoneným výkonem.

Pipomeme si jen, že fázové výkony zdroje a zátže i výkon nulového vodie poítáme stejným zpsobem jako v jednofázových stídavých obvodech v harmonicky ustáleném stavu. Výkon zdroje a píkon zátže získáme setením jejich fázových výkon.

31

Píklad 1.5.

Je dán trojfázový obvod složený ze soumrného zdroje naptí o efektivní hodnot naptí U a

zátže nakreslené na obr. 1.28. Pro velikost impedancí fází zátže platí ˆˆˆ321 KZZZ === .

Zakreslete poítací šipky veliin obvodu do schéma zapojení a stanovte fázové výkony zátže.

1

2

3

1‘

3‘

RÛB

ÛC

ÛA

C‘

B‘

A‘

C

B

A

L

C

Obr. 1.28 Nesoumrný trojfázový obvod se zátží zapojenou do hvzdy, píklad 1.5

♦

ešení:

Po zavedení imitancí zátže

ˆ1 KZ = , jˆ

2 KZ −= , jˆ3 KZ = ,

°=== 0j

11 e

11ˆ1ˆ

KKZY ,

°==−

== 0j9

22 e

11j

j

j

j

1ˆ1ˆ

KKKZY ,

°=−=−−

== 0j9-

13 e

11j

j

j

j

1ˆ1ˆ

KKKZY

si zadaný obvod pekreslíme a zavedeme poítací šipky podle obr. 1.29.

Uvažujme souslednou soustavu fázových naptí zdroje

°== 0jA eˆ UUU ,

( ) ( )

−−=°−°=°−+°−== ° j

2

3

2

1)120(inj)120cos()120(inj)120cos(eˆ 0j12-

B UsUsUUU ,

( )

+−=°+°== ° j

2

3

2

1)120(inj)120cos(eˆ 0j12

C UsUUU .

32

0

2Z

3Z

1

2

3

1‘

2‘

3‘

1ZÛB

ÛC

ÛA

N

Û1

C‘

B‘

A‘

C

B

A

Û2

Û3

Û0

Î1

Î2

Î3

Obr. 1.29 Zavedení poítacích šipek a imitanního popisu k zadání píkladu 1.5

Zátž není symetrická, takže musíme nejprve vypoítat hodnotu nulového naptí

( ) ( )

( )31

2

3j

2

1

2

3j

2

11

1

j-j2

3j-

2

1j

2

3j

2

11

1

01

j1

j1

1j-j

2

3

2

11jj

2

3

2

11

ˆˆˆˆ

ˆˆˆˆˆˆˆ

2

0321

3C2B1A0

+=

+++−+=

+−+

−−+

=

=+

−++

+−+

−−+

=+++

++=

U

U

K

KU

KKK

KU

KU

KU

YYYY

YUYUYUU

a až poté mžeme na základ 2. Kirchhoffova zákona vypoítat fázová naptí zátže ve složkovém tvaru

( ) UUUUUUUUUU 732,13331ˆˆˆ0A1 −=−=−−=+−=−= ,

( ) ( )

( ),j866,0232,3j2

33

2

3

j2

331

2

131j

2

3

2

1ˆˆˆ0B2

−−=

−

+−=

=

−+−−=+−

−−=−=

UU

UUUUUU

( ) ( )

( ),j866,0232,3j2

33

2

3

j2

331

2

131j

2

3

2

1ˆˆˆ0C3

+−=

−

+−=

++−−=+−

+−=−=

UU

UUUUUU

jejichž exponenciální tvar je

33

°=−= 0j181 e33ˆ UUU ,

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ,e323e323e323e4

31224

ee4

3343349ee

4

3333

4

9

e2

3133

2

32

2

31

e2

33

2

3j

2

33

2

3ˆ

561j-591j591j591j

801j51j801j323

3rctanj

323

3rctanj

2

222

2

32

32

3

rctanj22

2

°°°°

°°°

+

+−

−

+−

−

+=+=+=+

=

=+⋅+⋅+

=+

++=

=−+

++

−=

=

−+

+−=

−

+−=

UUUU

UU

U

UUU

a

a

a

( ) ( ) ( )

( )

( ) .e323e323e323e4

31224

ee4

3343349ee

4

3333

4

9

e2

333

2

32

2

31

e2

33

2

3j

2

33

2

3ˆ

516j516j516j516j

801j51j-801j323

3rctanj

323

3rctanj

2

22

2

32

32

3

rctanj22

3

°°°°

°°°

+−

+−

+−

+=+=+=+

=

=+⋅+⋅+

=+

++=

=+

++

−=

=

+

+−=

+

+−=

UUUU

UU

U

UUU

a

a

a

Fázové proudy uríme užitím Ohmova zákona v symbolickém tvaru, a to nejprve ve složkovém tvaru

( )K

U

K

UU

KUYI 732,133

1ˆˆˆ111 −=−=−== ,

( ),j232,3866,0j32

3

2

3

j2

3j3

2

3j

2

33

2

31jˆˆˆ 2

222

−=

+−=

=

−

+−=

−

+−==

K

U

K

U

K

UU

KUYI

( ) ( )

( )j232,3866,0j32

3

2

3

jj2

3j3

2

3j

2

33

2

31jˆˆˆ

333

+=

++=

=

−+−

+−=

+

+−−==

K

U

K

U

K

UU

KUYI

a poté i ve tvaru exponenciálním

°=−=−= 0j181 e333ˆ

K

U

K

U

K

UI ,

34

( ) ( )( )

( ) ,e323e323e4

31224

e4

3343349e333

4

9

4

3

e332

32

2

31

2

3

e32

3

2

3

j32

3

2

3j3

2

3

2

3ˆ

57j-57j-57j-

57j-57j-

3

323rctanj2

22

2

2

3

32

3

rctanj22

2

°°°

°°

+−

+−

+=+=+

=

=+⋅+⋅+

=

+++=

=

++

−+=

=

+−+

=

=

+−=

+−=

K

U

K

U

K

U

K

U

K

U

K

U

K

U

K

U

K

UI

a

a

( )( )

( ) .e323e323e4

31224

e4

3343349e333

4

9

4

3

e332

32

2

3

2

3

e32

3

2

3j3

2

3

2

3j3

2

3

2

3ˆ

57j57j57j

57j57j

3

323rctanj2

2

2

2

3

32

3

rctanj22

3

°°°

°°

+

+

+=+=+

=

=+⋅+⋅+

=

+++=

=

++

+=

=

++

=

++=

++=

K

U

K

U

K

U

K

U

K

U

K

U

K

U

K

U

K

UI

a

a

Kontrolu správnosti ešení provedeme podle 1. Kirchhoffova zákona

A.0j32

3

2

3j3

2

3

2

33

j32

3

2

3j3

2

3

2

33

j32

3

2

3j3

2

3

2

33ˆˆˆ

321

=

+++

+−+−=

=

+++

+−+−=

=

+++

+−+−=++

K

U

K

U

K

U

K

U

K

UIII

.

Fázorový diagram obvodu je nakreslen na obr. 1.30 a je z nj zejmé, že fázory 2U , 3U a 2I , 3I jsou komplexn sdružená ísla.

35

Û0

+ j

Û1

Û3 Û2

Î1

Î2Î3

+1

Obr. 1.30 Fázorový diagram obvodu, píklad 1.5

Ze známých hodnot fázor naptí a proud nyní vypoítáme fázové výkony zátže, a to využitím jejich definic v exponenciálním tvaru

K

U

K

U

K

U

K

UUIUS

20j

20j18-0j18

2*0j180j18*

111 3e3ee3e3e3ˆˆˆ ===

== °°°°° ,

( )

( ) ( ) ,e323ee323

ee323e323e323ˆˆˆ

09j-2

57j561j-2

57j561j-2*

57j-561j-*222

°°°

°°°°

+=+=

=+=

++==

K

U

K

U

K

U

K

UUIUS

( )

( ) ( ) .e323ee323

ee323e323e323ˆˆˆ

09j2

57j-561j2

57j-561j2*

57j561j*333

°°°

°°°°

+=+=

=+=

++==

K

U

K

U

K

U

K

UUIUS

Pipomeme si jen, že v definici zdánlivého výkonu má proud komplexn sdruženou hodnotu, která je vyznaena hvzdikou na pozici horního indexu. Komplexn sdružené íslo získáme z pvodního ísla zmnou znaménka bu jeho imaginární složky, je-li zapsáno ve složkovém tvaru, nebo jeho argumentu (fáze), je-li a zapsáno v exponenciálním tvaru.

Složky zdánlivého výkonu zátže snadno uríme, uvdomíme-li si, že zdánlivý výkon první fáze má

jen reálnou složku, protože 1e 0j =° a zdánlivé výkony druhé a tetí fáze jen složku imaginární, protože

platí je 09j ±=°± , takže platí

K

UPS

2

11 3ˆ == ,

36

( )323jjˆ2

22 +−==K

UQS ,

( )323jjˆ2

33 +==K

UQS .

Zdroj zapojený do hvzdy a zátž zapojená do trojúhelníku

Trojfázový obvod se zdrojem zapojeným do hvzdy a zátží zapojenou do trojúhelníku podle obr. 1.31 analyzujme pímou aplikací 1. a 2. Kirchhoffova zákona. Fázová naptí zátže uríme užitím 2. Kirchhoffova zákona

BA1ˆˆˆ UUU −= ,

CB2ˆˆˆ UUU −= ,

AC3ˆˆˆ UUU −= .

Fázové proudy zátže stanovíme z Ohmova zákona v symbolickém tvaru dosazením fázových naptí zátže a jejich admitancí

111ˆˆˆ YUI = ,

222ˆˆˆ YUI = ,

333ˆˆˆ YUI = .

Síové proudy uríme aplikací 1. Kirchhoffova zákona na uzly 1, 2, 3 zátže

31Aˆˆˆ III −= ,

12Bˆˆˆ III −= ,

23Cˆˆˆ III −= .

Kontrolu ešení provedeme dosazením vypotených síových proud do 1. Kirchhoffova zákona

0ˆˆˆCBA =++ III .

22ˆ,ˆ YZ

33ˆ,ˆ YZ

1

2

3

1‘

2‘

3‘

11ˆ,ˆ YZ

ÛB

ÛC

ÛA Û1

C‘

B‘

A‘

C

B

A

Û2

Û3

Î1

Î2 Î3

ÎA

ÎB

ÎC

Obr. 1.31 Analýza trojfázového obvodu se zátží zapojenou do trojúhelníku, zavedení poítacích šipek

37

Z poruchových stav zátže zapojené do trojúhelníka nemá význam analyzovat zkrat fáze zátže, nebo vznikne obvod s nekonenými výkony.

Píklad 1.6.

Odvote konstantu úmrnosti mezi efektivní hodnotou fázového a síového proudu symetrické zátže zapojené do trojúhelníku podle obr. 1.31 pipojené k soumrnému harmonickému zdroji zapojenému do hvzdy.

♦

Vzhledem k tomu, že zdroj je soumrný a zátž symetrická, jsou velikosti síových proud stejné a k odvození hledané konstanty si mžeme zvolit kterýkoliv uzel zátže z obr. 1.31. Zvolíme-li uzel 1, platí pro nj podle 1. Kirchhoffova zákona 31A

ˆˆˆ III −= , kam dosadíme z Ohmova zákona v symbolickém tvaru za fázové proudy zátže

( ) ( )( )( )

( ) ( ) ,ee3e34e2

33e2

2

3j

2

3e

2

3j

2

10j1e

)120sin(j)120cos()0sin(j)0cos(e

eeeˆˆˆˆˆˆ

YYY

YY

Y

Y

j30j3

3jarctg

j22j

jj

j

j120j0jBA111

ϕϕϕ

ϕϕ

ϕ

ϕ

°

°−°

=⋅=+=

=

+=

−−−+=

=°−+°−−°+°=

=−=−==

YUYU

YU

YUYU

YU

YUYUUYUI

( ) ( )( )( )

( )

( ) ( ) ,ee3e34e2

33e2

2

3j

2

3e0j1

2

3j

2

1e

)0sin(j)0cos()120sin(j)120cos(e

eeeˆˆˆˆˆˆ

YYY

YY

Y

Y

j150j180

3

3arctgj

j22j

jj

j

j0j0j12AC333

ϕϕϕ

ϕϕ

ϕ

ϕ

°

°+

−

°°

=⋅=+−=

=

+−=

+−+−=

=°+°−°+°=

=−=−==

YUYU

YU

YUYU

YU

YUYUUYUI

takže pro síový proud platí

( )( )( )

( ) .e30j3e32

1j

2

3

2

1j

2

3e3

)150sin(j)150cos()30sin(j)30cos(e3

eee3ˆ

YYY

Y

Y

jjj

j

051j30jjA

ϕϕϕ

ϕ

ϕ

YUYUYU

YU

YUI

=+=

+−−+=

=°+°−°+°=

=−= °°

Z pomru velikostí síového a fázového proudu 3/3 plyne konstanta úmrnosti 3 a pro jejich

velikosti platí 1Aˆ3ˆ II = . Poznamenejme, že tato konstanta platí pouze pro symetrický

trojfázový obvod.

Na závr poznamenejme, že zapojení trojfázových obvod se soumrnými zdroji zapojenými do lomené hvzdy není zapotebí samostatn analyzovat, k jejich analýze lze využít výše uvedený rozbor trojfázových obvod se zdrojem zapojeným do hvzdy.

38

Shrnutí pojm 1.4.

Analýzu trojfázových obvod v harmonicky ustáleném stavu provádíme z dvodu zjednodušení jejich ešení v oboru komplexních ísel. Analýza obvodu se zdrojem i zátží zapojenou do hvzdy, kde fázový proud zdroje je roven fázovému proudu zátže, se opírá o výpoet naptí nulového vodie. Je-li toto naptí nulové, obvod ešíme tak, jako by každá fáze zátže byla napájena ze samostatného jednofázového zdroje. ešení obvodu se zdrojem zapojeným do hvzdy a zátží do trojúhelníka vychází ze sdružených naptí zdroje, která jsou rovny fázovým naptím zátže. Mezi sdruženým a fázovým naptím zdroje nebo zátže zapojené do hvzdy a mezi síovým a fázovým proudem zátže zapojené do trojúhelníku za pedpokladu, že zdroj je soumrný a zátž symetrická, platí úmra, daná konstantou 3. Výkon trojfázového harmonického zdroje a píkon trojfázové zátže je dán aritmetickým soutem fázových výkon, a to inných, jalových a zdánlivých.

Otázky 1.4.

1. Co je jádrem ešení trojfázového obvodu se zdrojem a zátží zapojenými do hvzdy?

2. Za jakého pedpokladu platí stejná úmra mezi fázovými a sdruženými naptími zdroje nebo zátže zapojenými do hvzdy?

3. Kdy jsou fázová naptí zátže a zdroje zapojenými do hvzdy stejná?

4. Jak se projeví perušení nulového vodie u symetrické a nesymetrické zátže zapojené do hvzdy?

5. Jaký následek má zkrat v jedné fázi zátže zapojené do hvzdy a trojúhelníka?

6. Platí relace mezi velikostmi síového a fázového proudu fsˆ3ˆ II = i pro nesymetrickou zátž

zapojenou do trojúhelníku.

Úloha k ešení 1.4.

Urete hodnotu píkonu trojfázové zátže z obr. 1.32, platí-li pro velikost fázových impedancí

10ˆˆˆ321 === ZZZ , má-li soumrný trojfázový zdroj efektivní hodnotu fázového naptí 10 V.

1

2

3

1‘

2‘

3‘

ÛB

ÛC

ÛA

C‘

B‘

A‘

C

B

A

R

L

C

Obr. 1.32 Nesoumrný trojfázový obvod se zátží zapojenou do trojúhelníku, úloha k ešení 1.4

ešení:

39

Modelový prvek, na kterém dochází k nevratné pemn elektrické energie na jinou formu energie, tedy i teplo, je rezistor. Teplo, které vznikne za jednotku asu na rezistoru o hodnot odporu R, je rovno innému výkonu a v našem pípad i píkonu zátže. V tomto pípad není teba ešit celý

obvod a staí urit jen velikost naptí AB12ˆˆ UU = na rezistoru R , viz obr. 1.33. Píkon zátže je

( ) ( )W30

10

103300

22

A2

12 =⋅

==++=R

U

R

UP .

1

2

3

1‘

2‘

3‘

ÛB

ÛC

ÛA

C‘

B‘

A‘

C

B

A

R

L

C

Û12

Obr. 1.33 Rozbor ešení, úloha k ešení 1.4

40

2. Pechodné dje

Motivace Po prostudování této kapitoly budete umt

• definovat píiny vzniku pechodného dje a stanovit poátení podmínky • urit ád obvodu (z hlediska pechodného dje) • sestavit obvodové rovnice v asové oblasti • analyzovat pechodné dje v obvodech 1. a 2. ádu • posoudit vliv okamžiku pipojení obvodu 1. a 2. k harmonickému zdroji naptí • definovat význam asové konstanty obvodu (z hlediska ustálení stavu obvodu)

2.1. Analýza pechodných djPechodné dje popisují chování obvodu mezi jeho ustálenými stavy. Jestliže v ustáleném stavu jsou všechny asové prbhy veliin lineárního obvodu stacionární nebo periodické, pak ve stavu neustáleném, tedy v pechodném, jsou po jistou dobu (teoreticky nekonen dlouho, prakticky na krátký as) jednorázové nebo neperiodické, dokud obvod nedosáhne nového ustáleného stavu. Bhem pechodného dje se nkteré veliiny mní skokem a jiné spojit. Spojit mnící se veliiny nazýváme stavové. Jsou vlastní pasivním akumulaním prvkm a charakterizují jejich energii i stav obvodu. Zmna energie (stavu) obvodu následkem zmny struktury (topologie) obvodu nebo jeho parametr je potom píinou pechodného dje. Zmnu topologické struktury obvodu modelujeme spínaem, odpínaem nebo pepínaem. Energie akumulovaná v pasivních prvcích obvodu v okamžiku zahájení pechodného dje je definována poáteními podmínkami stavových veliin, které slouží k urení i matematických poáteních podmínek ešení diferenciálních rovnic popisujících chování obvodu v pechodném dji.

Fyzikální poátení podmínky

Stav obvodu je charakterizován elektrickou energií akumulovanou v kapacitorech a induktorech obvodu, jejichž soustednými parametry modelujeme energií elektromagnetického pole reálného

obvodu. Energie kapacitoru 2C 2

1Cuw = je integrální veliina, která se z fyzikálních dvod mní

spojit. Stavovou veliinou kapacitoru je naptí. Pokud by se energie, a tedy i naptí nemnily spojit, blížila by se smrnice energie limitn nekonené velké hodnot, stejn jako výkon kapacitoru

( )iu

t

uuC

t

Cu

t

wp ====

d

d

d

d

2

1

d

d 2C

C .

Tento výkon by musel dodat nebo pijmout zdroj nebo jiný pasivní obvodový prvek, což není fyzikáln možné. Zane-li pechodný dj v ase t = 0 s, platí pro naptí )(lim)(lim

00tutu

tt +→→=

−

, ili naptí

tsn ped zaátkem pechodného dje se rovná naptí bezprostedn po zaátku pechodného dje. Tato poátení podmínka spojitosti je fyzikální a zjednodušen ji zapišme u(0) = uC(0–) = uC(0+). Smrnice, se kterou se na poátku pechodného dje zane mnit naptí, má hodnotu

C

i

t

u )0(

d

)0(d ++ = .

Veliinou, která se mže mnit skokem je proud kapacitoru.

41

Energie induktoru 2L 2

1Liw = je integrální veliina, která se z fyzikálních dvod mní spojit.

Stavovou veliinou induktoru je proud. Pokud by se energie, a tedy i proud nemnily spojit, blížila by se smrnice energie limitn nekonené velké hodnot, stejn jako výkon induktoru

( )iu

t

iiL

t

Li

t

wp ====

d

d

d

d

2

1

d

d 2L

L .

Tento výkon by musel dodat nebo pijmout zdroj nebo jiný obvodový prvek, což není fyzikálnmožné. Zane-li pechodný dj v ase t = 0 s, platí pro naptí )(lim)(lim

00titi

tt +→→=

−

. Tato poátení

podmínka spojitosti je fyzikální a zjednodušen ji zapišme i(0) = i(0-) = i(0+), ili proud induktoru ped zaátkem pechodného dje se rovná proudu bezprostedn po zaátku pechodného dje. Smrnice, se kterou se na poátku pechodného dje zane mnit proud, je

L

u

t

i )0(

d

)0(d ++ = .

Veliinou, která se mže mnit skokem je naptí induktoru.

Souet energií obou akumulaních prvk je elementárním modelem energie elektromagnetického pole obvodu

( )22LCLC 2

1LiCuwww +=+= .

Ob obvodové veliiny rezistoru se mohou mnit skokem. Skokem se mohou mnit i závislé veliiny zdroj.

Píklad 2.1.

Stanovte poátení podmínky stavových veliin obvodu na obr. 2.1.

R

Uo

C

t=0 s

L

RLS

Obr. 2.1 Poátení podmínky pechodného dje, píklad 2.1

♦

Obvod ešíme pímou aplikací Kirchhoffových zákon. Nejprve si do zadaného obvodu nakreslíme poítací šipky obvodových veliin viz obr. 2.2 vpravo a oznaíme je píslušnými symboly. Poátení hodnoty stavových veliin iL, uC uríme z výchozího náhradního zapojení obvodu a jeho ustáleného stavu v ase t → 0–. V ustáleném stavu je ve stejnosmrném obvodu nulové naptí na induktoru i nulový proud kapacitoru a chování obvodu lze tedy popsat jen náhradním obvodem s rezistory, viz blíže píklad 2.2, takže pro proud obvodu platí

42

L

oL )0()0(

RR

Uii

+== −− .

Naptí kapacitoru je potom podle 2. Kirchhoffova zákona aplikovaného na smyku S2 na. obr. 2.2 vlevo v ase t → 0– dáno

oL

LLRC )0()0()0(

LU

RR

RiRuu

+=== −−− ,

nebo V.0)0(L =−u

O tom, dojde-li k pechodnému dji, se pesvdíme na základ hodnot smrnic stavových veliin obvodu v ase t → 0+. Smrnici naptí kapacitoru uríme z jeho asové derivace

s

V0

0)0(

d

)0(d CC === ++

CC

i

t

u,

která je nulová, protože po rozpojení spínae S je proud kapacitoru nulový, což znamená, že naptí kapacitoru se nezmní. Smrnici proudu induktoru uríme z derivace

s

A0

0)0(

d

)0(d LL === ++

LL

u

t

i.

Její hodnota je nulová, protože po rozpojení spínae S na obr. 2.2 vpravo se proud induktoru nemní, nebo induktor se po tuto dobu chová jako zdroj proudu s hodnotou proudu )0()0( LL −+ = ii , takže naptí

L

oLoLLoRoL )()0()()0()0(

RR

URRUiRRUuUu

++−=⋅+−=−= +++ ,

stanovené na základ 2. Kirchhoffova zákona aplikovaného na smyku S1 na obr. 2.2 je nulové, což znamená, že proud induktoru se nezmní a v obvodu nedojde k pechodnému dji. Naptí mezi svorkami rozpojeného spínae S je nulové, protože platí

V00)0()0()0()0(L

oL

L

oLCLRS L

=+

−++

=−+= ++++ RR

UR

RR

URuuuu .

R

Uo

C L

RLS

uC

iLiC

i

uRL

uL= 0 V

uR

R

Uo

C L

RL

uC

iLiC

i

uRL

uL

uR

S uS

S2 S1

t → 0– t → 0+

Obr. 2.2 Analýza poáteních podmínek pechodného dje: výchozí stav, as t → 0–; rozpojený spína, as t → 0+, píklad 2.1

43

Obecný postup analýzy obvodu v pechodném dji

Analýza zapojení obvodu v pechodném dji vychází z topologie obvodu, jejíž struktura odpovídá novému ustálenému stavu obvodu. Na tento obvod aplikujeme Kirchhoffovy zákony pro okamžité hodnoty obvodových veliin, a už v podob pímé nebo obecných metod ešení obvod, do kterých dosadíme píslušné relace mezi obvodovými veliinami v pasivních vtvích obvodu, ímž získáme obecn soustavu integrodiferenciálních (obvodových) rovnic s konstantními parametry, jejichž ešení, pomineme-li jednoduché pípady, které lze ešit pímou integrací, pevádíme derivováním na ešení soustavy diferenciálních rovnic. Odezvy (asové funkce) obvodových veliin na zmnu stavu obvodu získáme ešením obvodových rovnic, až na integraní konstanty, které uríme z hodnot známých matematických poáteních podmínek v ase t = 0 s.

Matematické metody ešení soustavy rovnic volíme podle složitosti analyzovaného obvodu a ádu diferenciální rovnice. Pokud je to možné, upednostujeme exaktní, analytické metody ešení obvodu v podob algebraických vztah, které umožují dlat obecné závry na rozdíl nap. od numerických metod ešení, které provádí analýzu obvodu jen pro konkrétní hodnoty parametr. Z exaktních metod ešení jmenujme klasický zpsob ešení diferenciálních rovnic, na který se zamíme, nebo má nejblíže fyzikální realit. Z dalších metod zmime alespo operátorovou metodu, která transformuje soustavu diferenciálních rovnic v asové oblasti na soustavu algebraických rovnic v komplexní rovin, ve které asovým funkcím po transformaci, nap. Laplaceov, odpovídají funkce komplexní promnné, nazývané obrazy. Prakticky to znamená, že obvodové veliiny s nezávislou promnnou asem tj. naptí u(t) a proud i(t) se po transformaci zmní na operátorové veliiny tj. obrazy naptí U(p) a proudu I(p) s nezávislou komplexní promnnou, v našem pípad p. Operátorové veliiny i komplexní promnná by se sice správn mly zapisovat jako komplexní ísla, ale z dvodu zjednodušení jejich zápisu se tak elektrotechnice nedje. Podílem obraz obvodových veliin jsou v komplexní rovin definovány i operátorové imitance Z(p), Y(p) , ty ale nemají v asové oblasti své fyzikální vzory.

Klasická metoda je vhodná pro ešení lineárních obvod popsaných obyejnou nehomogenní lineární diferenciální rovnicí obecn n-tého ádu s konstantními parametry A0, A1, A2,... An a budící veliinou ena pravé stran ve tvaru

evAt

vA

t

vA

t

vA

n

n

n =++++ 012

2

2 d

d

d

d

d

d .

Jsou-li parametry obvodu konstantní, obvod je lineární, parametry diferenciální rovnice jsou konstantní a rovnice je lineární. To umožuje zapsat ešení úplné rovnice s promnnou v jako superpozici dvou složek ešení, a to obecného ešení vh homogenní rovnice s nulovou pravou stranou a partikulárního ešení vp nehomogenní rovnice, které se dá stanovit substitucí, variací konstant nebo odhadem, což bude náš nejastjší pípad, jelikož ve stejnosmrných a harmonických obvodech lze snadno najít ešení obvodu v ustáleném stavu, které je práv partikulárním ešením úplné, nehomogenní rovnice, které obvodu vnucuje budící veliina (zdroj).

Homogenní rovnice popisuje chování obvodu v pechodném dji. Obecné ešení vh rovnice nezávisí na budící veliin (e = 0) a jeho charakter je dán výhradn parametry pasivních vtví obvodu. Získáme ho pro ád diferenciální rovnice n >1 pímou integrací, jako lineární kombinací n nezávislých ešení

nnvCvCvCv +++= 2211h ,

které tvoí fundamentální systém homogenní rovnice. Nezávislá ešení nejsnáze uríme z typu koencharakteristické rovnice, kterou obdržíme, nahradíme-li derivace obyejné homogenní diferenciální rovnice charakteristickým íslem λ, umocnným na ád derivace

000

11

22 =++++ λλλλ AAAA n

n .

Jsou-li koeny rzné, ešení má tvar

44

tn

tt nCCCv λλλ eee 2121h +++= ,

je-li k koen násobných

( ) tkk tCtCCv λe1

21h−+++= .

Integraní konstanty C1, C2, ... Cn uríme z úplného ešení nehomogenní rovnice

p2211ph vvCvCvCvvv nn ++++=+=

a ze známých matematických poáteních (Cauchyho) podmínek

1

1

2

2

d

)0(d,

d

)0(d,

d

)0(d),0(

−

−

n

n

t

v

t

v

t

vv .

Za pedpokladu, že derivace funkcí ešení nehomogenní rovnice v jsou spojité, potom existuje právjedno ešení této rovnice, které spluje poátení podmínku (Cauchyova poátení úloha). Matematické poátení podmínky pi ešení obvodových rovnic urujeme z fyzikálních poáteních podmínek.

Odezva obvodu

Pipojení nezávislého zdroje buzení k obvodu, a již napového nebo proudového, které má za následek zmnu závislých veliin obvodu z poáteních hodnot k novým ustáleným hodnotám, nazýváme odezvou obvodu. Pipojení buzení k obvodu modelujeme jednotkovým skokem, definovaným

≥

<=

,01

00)(

tpro

tprot1

který v matematickém popisu obvodu nahrazuje sériové schéma zapojení stejnosmrného zdroje a spínae. Na obr. 2.3 je zobrazen jednotkový skok naptí, jehož následkem vznikne proudová odezva a úbytky naptí obvodu popsané v pípad sériového RC, RL a RLC obvodu rovnicemi uvedenými v následujících kapitolách 2.1 a 2.2. Jsou-li fyzikální poátení podmínky stavových veliin obvodu nulové, pak jeho odezvu na pipojení ke stejnosmrnému zdroji nazýváme pechodovou charakteristikou, viz nap. odezva proudu na obr. 2.8.

Uo Uo⋅1(t)S

t

h(t)

Uo⋅1(t)≡

t = 0 s

0

≥

<==

0

00)()(

oo tproU

tprotUth 1

Uo

Obr. 2.3 Obvodový model jednotkového skoku naptí

Analogicky bychom modelovali i odpojení zdroje od obvodu tj. rozpojení spínae v ase t = t0, a to jednotkovou funkcí definovanou

≥

<=

0

0

0

1)(

ttpro

ttprot1 .

45

Shrnutí pojm 2.1.

Chování obvodu bhem pechodného dje ovlivují pasivní parametry obvodu, které vystupují v charakteristické rovnici obvodu. Koeny charakteristické rovnice rozhodují o charakteru ešení homogenní rovnice. Budící veliiny (zdroje) vnucují obvodu ustálené hodnoty veliin a definují partikulární ešení nehomogenní rovnice. Spojit se mnící stavové veliiny, což jsou naptí kapacitor a proudy induktor, definují poátení podmínky, dležité pro stanovení integraních konstant úplného ešení nehomogenní rovnice. Pechodný dj v obvodu vyvolaný sepnutím spínae S modelujeme jednotkovým skokem. Odezvu obvodu s nulovými poáteními podmínkami na pipojení ke stejnosmrnému zdroji nazýváme pechodovou charakteristikou.

Otázky 2.1.

1. Pro dochází k pechodnému dji obvodu?

2. Co charakterizuje zmnu stavu obvodu?

3. Pro se stavové veliiny mní spojit?

4. Jak se pi zmn stavu obvodu mní proud kapacitoru?

5. Jak se pi zmn stavu obvodu mní naptí induktoru?

6. Co se dje s obvodovými veliinami pi zmn stavu obvodu?

7. Co je to homogenní rovnice a k emu slouží?

8. Jaký má význam charakteristická rovnice obvodu?

9. Jak uríme partikulární ešení nehomogenní a co popisuje?

10. K emu slouží poátení podmínky obvodu?

11. Jakým obvodovým zapojením modelujeme jednotkový skok?

12. Co je to pechodová charakteristika?

Úloha k ešení 2.1.

Urete poátení hodnoty a smrnice stavových veliin obvodu na obrázku, je-li na poátku pechodného dje kapacitor vybitý.

R

Uo

C

t=0 s

L

RL

S

Obr. 2.4 Poátení podmínky pechodného dje, úloha k ešení 2.1

46

ešení:

Nejprve si do zadaného obvodového schématu zakreslíme poítací šipky, viz obr. 2.5.

R

Uo

C L

RLS

io

iC iL

uC

uRL

uL

uR

S2

1

t → 0+

Obr. 2.5 Analýza poáteních podmínek pechodného dje, as t → 0+, úloha k ešení 2.1

Jak již víme, stavové veliiny se mní spojit, takže mají bezprostedn ped (as t → 0– ) a ihned po (as t → 0+) zaátku pechodného dje stejné okamžité hodnoty. Jelikož je kapacitor vybitý, má jeho poátení naptí hodnotu

V0)0()0( CC == −+ uu .

Proud induktoru v ase −→ 0t je omezen jen rezistory obvodu viz píklad 2.1 , takže jeho poátení hodnota je dána

L

oLL )0()0(

RR

Uii

+== −+ .

Smrnice, se kterými se stavové veliiny mní, jsou dány

C

i

t

u )0(

d

)0(d CC ++ = ,

L

u

t

i )0(

d

)0(d LL ++ = ,

takže k jejich stanovení potebujeme ješt urit proud nezávislého uzlu 1 na obr. 2.5 užitím 1. Kirchhoffova zákona

( )( ) ( )L

Lo

L

oLo

L

oCo

L

oRLoC

)0()0()0()0()0(

RRR

RU

RRR

RURRU

RR

U

R

uU

RR

U

R

uiii

+=

+

−+=

+−

−=

+−=−= ++

+++

a naptí ve smyce S2 užitím 2. Kirchhoffova zákona

L

oLLLRCL )0()0()0()0(

L RR

URiRuuu

+−=−=−= ++++ .

Po dosazení do definic obdržíme

( ) ( ) o

L

L

RCL

LoC 1

d

)0(dU

RR

R

RRCR

RU

t

u

+=

+=+

τ,

47

L

o

LRL

o

L

L

oLL 11

d

)0(d

RR

U

RR

U

R

LRR

U

L

R

t

i

+−=

+−=

+−=+

τ.

Z hodnot smrnic vidíme, že na poátku pechodného dje naptí na kapacitoru narstá a proud induktoru klesá.

2.2. Analýza obvod 1. ádu Obvod 1. ádu obsahuje rezistory a jeden akumulaní prvek kapacitor nebo induktor.

RC obvod

Náhradní schéma jednoduchého RC obvodu pipojeného ke zdroji naptí uo v ase t = 0 s je na obr. 2.6 vlevo. Nejdíve analyzujme situaci ped sepnutím spínae S (as −→ 0t ). Kapacitor o kapacit Cmže být obecn nabit na naptí uC(0), což zachycuje ekvivalentní náhradní zapojení na obr. 2.6 vpravo.

Ruo C

i

uC

uR

S

uC(0)

C

uCi

uS

Obr. 2.6 Pechodný dj RC obvodu: schéma zapojení, ekvivalentní obvodový model kapacitoru

Po sepnutí spínae S, kdy uS = 0 V, platí podle 2. Kirchhoffova zákona

CRo uuu +=

a po dosazení Ohmova zákona nebo rovnice kontinuity za spolenou veliinu obvodu, tedy proud

t

uC

R

ui

d

d C== , získáme bu rovnici

od1

utiC

iR =+

s hledanou odezvou, proudem nebo

oCC

d

duu

t

uCR =+

s hledanou odezvou, naptím kapacitoru. Pro popis obvodu si zvolme matematický model obvodu daný nehomogenní diferenciální rovnicí 1. ádu s hledanou odezvou, naptím kapacitoru, které je stavovou veliinou obvodu. Obecná homogenní rovnice

0d

dC

C =+ ut

uCR ,

48

kterou získáme z nehomogenní rovnice dosazením za budící naptí uo = 0 V a která popisuje chování obvodu v pechodném dji. Její obecné ešení až na integraní konstantu uríme pomocí koene charakteristické rovnice

τλ

λλλ

11

,0101

−=−=

=+=+

CR

CRCR

ve tvaru

tt CCu

−== ee 11Ch

λ ,

kde τ je charakteristický parametr obvodu nazývaný asová konstanta, která je v našem pípaddefinována souinemτ = RC. Její význam bude vyložen pozdji.

Partikulární ešení nehomogenní rovnice, popisující chování obvodu v ustáleném stavu, získáme dosazením konkrétního pípadu budícího naptí u0. Omezme se na tyto dva pípady

a) buzení stejnosmrným zdrojem, uo = U,

b) buzení harmonickým zdrojem, uo = Um sin(ω t + ψU).

ad a) Po pipojení obvodu ke stejnosmrnému zdroji budou po odeznní pechodného dje ustálené hodnoty stacionární ili stejnosmrné. Ustálená hodnota naptí kapacitoru, která je partikulárním ešením nehomogenní rovnice, je Utuu

t==

∞→)(lim CCp , protože se kapacitor nabije na hodnotu naptí

stejnosmrného zdroje, tím dojde k vyrovnání naptí obvodu a perušení proudu obvodu. Prakticky to znamená, že v pvodní nehomogenní rovnici neuvažujeme složku s derivací 1. ádu, protože zmna naptí kapacitoru v ustáleném stavu stejnosmrného obvodu je nulová.

Úplné ešení má tvar

UCuuu t +=+= λe1CpChC .

Konstantu C1 uríme pomocí známé poátení podmínky uC(0)

UCUCu t

t+=+=

→11

0C elim)0( λ ,

UuC −= )0(C1 ,

takže úplné ešení má konený tvar po normování

( )

t

tttt uUuUUUuu

−−+−=+−=+−= e)0()e1(e)0()e1(e)0( CCCC

λλλ

a není-li kapacitor nabit

)e1()e1(C

tt UUu

−−=−= λ .

Prbh nabíjení vybitého kapacitoru je na obr. 2.7. Z jeho grafu je zejmé, že pechodný dj koní prakticky za dobu nkolika asových konstant. V ase t = τ naptí kapacitoru dosáhne asi 63,2 % (pesn (1-e-1) tiny) ustálené hodnoty naptí U, v asech t = 3τ se piblíží na 5 %, t = 5τ na 1 %, t = 7τna 0,1 % k ustálené hodnot naptí. Rovnice teny prbhu naptí stanovená v poátku nám poslouží k vyložení významu asové konstanty. Smrnici uríme derivací naptí nenabitého kapacitoru

t

t

U

t

U

t

u −

−

=

−

= ed

)e1(d

d

d C

τ

τ

,

49

kde po dosazení za as t = 0 s získáme smrnici τU

a rovnici teny v poátku

tU

uτ

=t .

Smrnice je kladná, takže naptí na kapacitoru narstá. Dosadíme-li za as t asovou konstantu obvodu tj. t = τ, hodnota naptí teny v tomto asovém okamžiku je ut = U, tedy má ustálenou hodnotu naptí nabitého kapacitoru, v našem pípad naptí zdroje. Sklon smrnice podle její rovnice pi dané asové konstant ovlivuje velikost naptí zdroje viz obr. 2.7 (tena vykreslená plnou a perušovanou arou). Jiná interpretace asové konstanty potom íká, že je to doba, za kterou dosáhne naptí vybitého kapacitoru (1-e-1) tiny tj. asi 63,2 % své ustálené hodnoty.

t0 ττττ 2ττττ 3ττττ 4ττττ 5ττττ 6ττττ

U

u(1

-e-1

) U

ut

uo

uR

uC

Obr. 2.7 Pechodný dj RC obvodu, pipojení stejnosmrného zdroje naptí, nulové poátení podmínky: okamžité hodnoty naptí rezistoru, kapacitoru a zdroje

Okamžitou hodnotu proudu obvodu i, zobrazenou na obr. 2.8, získáme derivací naptí kapacitoru podle asu

t

t

t

t

IR

UUC

t

U

Ct

uCi

−−−

−

===

−

== eeed

)e1(d

d

dR

C

τ

a derivací proudu

t

t

I

t

I

t

i −

−

−=

= ed

ed

d

d R

R

τ

smrnici rovnice teny v poátku (as t = 0 s) vynesenou na obr. 2.8, která má rovnici

tI

iτR

t −= .

Smrnice je záporná, takže proud obvodem klesá, a to k nulové ustálené hodnot, které prakticky dosáhne za 3-5 asových konstant τ. Hodnota proudu obvodu v ase t = τ klesne z poátení hodnoty proudu i (0+) = IR = U/R na hodnotu její 1/e tiny tj. asi 36,8 %.

50

t0 ττττ 2ττττ 3ττττ 4ττττ 5ττττ 6ττττ

IR

ie-1

I R

it

Obr. 2.8 Pechodný dj RC obvodu, pipojení stejnosmrného zdroje naptí, nulové poátení podmínky: okamžité hodnoty proudu

Naptí rezistoru, zobrazené na obr. 2.7, uríme z Ohmova zákona

t

UiRu−

== eR .

Prbh tohoto naptí je až na mítko dané hodnotou odporu rezistoru R stejný jako prbh proudu.

Podle toho, který z úbytk naptí RC obvodu zvolíme za výstupní (odezvu), má pechodová charakteristika derivaní nebo integraní charakter. RC obvod nazýváme derivaním lánkem, je-li výstupem naptí rezistoru uR a integraním lánkem, je-li výstupem naptí kapacitoru uC. Jak vidíme z obr. 2.7, derivanímu prbhu odpovídá skoková zmna naptí v poátku, následovaná exponenciálním poklesem tohoto naptí k nule, integranímu prbhu odpovídá spojitý, exponenciální nárst veliiny k ustálené hodnot naptí.

Okamžité výkony obvodu v pechodném dji, zobrazené na obr. 2.9, uríme souinem píslušného naptí obvodového prvku a spoleného proudu obvodu

t0 ττττ 2ττττ 3ττττ 4ττττ 5ττττ 6ττττ

PR

pe-1

PR

po

pR pC

Obr. 2.9 Pechodný dj RC obvodu, pipojení stejnosmrného zdroje naptí, nulové poátení podmínky: okamžité výkony rezistoru, kapacitoru a zdroje

t

t

t

t

PR

UIUiup

2

R

22

RRR eeee−−−−

==== ,

51

−=−==

−−−−

t

t

t

t

PIUiup2

RRCC eee)e1( ,

t

t

PIUiup−−

=⋅== ee RRoo

a jejich integrací okamžité hodnoty energií, zobrazené na obr. 2.10, dané rovnicemi

−=

−=

−===

−−−−

t

tt

t

t WPPPpw

2R

2

R

0

2

R0

2

R0

RR e12

1e12

e2

dedττ

ξξξξ

,

2

R

2

R

2

R

0

2

R0

2

R0

CC

e12

e12

1ee22

e2

edeed

−=

−=

=

++−=

+−=

−==

−−

−−−−−−

t

t

t

tt

t

t

WP

PPPpw

τ

τττξξ

ξξξξ

,

−=

−=

−===

−−−−

t

tt

t

t

WPPPpw e1e1eded RR

0

R0

R0

oo ττξξξξ

.

t0 ττττ 2ττττ 3ττττ 4ττττ 5ττττ 6ττττ

WR

w

wo

wR

wC

(1-e

-1)W

R(1

-e-1

)WR/2

Obr. 2.10 Pechodný dj RC obvodu, pipojení stejnosmrného zdroje naptí, nulové poátení podmínky: okamžité hodnoty energie rezistoru, kapacitoru a zdroje

Rovnice teen v poátku okamžitých výkon a energií si již snadno odvodíte sami. Poznamenejme jen, že smrnice prbh energií w a wR v poátku jsou stejné.

Celkovou energii dodanou zdrojem do obvodu, která je rovna práci, kterou zdroj vykonal od pipojení k obvodu až do nabití kapacitoru na naptí zdroje uríme ze vztahu

22

RRRo e1lim UCR

UCRPWWA

t

t====

−=

−

∞→τ .

Tato práce z poloviny kryje Jouleovy ztráty na rezistoru

( ) 2222R2

RR 22

1

2

1

2

1

21e1

2lim IRIRCRIRCUC

WWA

t

t

τ=====

−=

−

∞→

52

a z poloviny je spotebována na vytvoení elektrického pole kapacitoru

2R

2

RC 2

1

21e1

2lim UC

WWA

t

t==

−=

−

∞→.

Úinnost nabíjení (akumulace energie elektrického pole) vybitého kapacitoru je

2

12

1

2

2

o

C ===UC

UC

A

Aη .

Píklad 2.2.

Urete asový prbh stavové veliiny obvodu z obr. 2.11 po sepnutí spínae S. Pedpokládejte, že kapacitor byl ped sepnutím spínae S nabit na poátení hodnotu naptí ve stejném obvodu, ml-li ale zdroj naptí opané polarity.

R1

C

R2

t=0 sS

Uo

Obr. 2.11 Pechodný dj ve smíšeném zapojení obvodu, píklad 2.2

♦

Stavovou veliinou obvodu je naptí na kapacitoru uC. Poátení hodnotu naptí kapacitoru uríme z obvodového schématu na obr. 2.12, kde podle 2. Kirchhoffova zákona platí

2RC uu = . Po nabití

kapacitoru, nebude touto vtví procházet proud, takže na kondenzátoru bude hodnota naptí, kterou uríme z dlie naptí v ustáleném stavu obvodu, tedy v ase ∞→t , kdy platí

o21

2RC 2

URR

Ruu

+== .

Po nabití kapacitoru spína S rozpojíme a zmníme polaritu zdroje. Obvod tak bude odpovídat situaci na pvodním obrázku 2.11. Jelikož je kapacitor ideální prvek, nemá se jak vybít, takže se jeho hodnota naptí stane poátení hodnotou naptí

o21

2C )0( U

RR

Ru

+= .

53

R1

C

R2

S

Uo

t → 0+

uC

R1

R2Uo

t →

2Ru2Ru

iC

Obr. 2.12 Stanovení poáteního naptí kapacitou po sepnutí spínae v ase t = 0 s: sepnutý spína, as t → 0+; ekvivalentní obvod pro as t → , píklad 2.2

Rovnice popisující chování obvodu v pechodném dji sestavujeme pro obvod, který vznikne po sepnutí spínae S, a to v ase t → 0+ podle obr. 2.13.

R1

C

R2

S

Uo

A

B

t → 0+

iC

uC is1

is2

Obr. 2.13 Analýza pechodného dje obvodu: zavedení poítacích šipek, graf obvodu se smykovými proudy, píklad 2.2

Analýzu obvodu mžeme provést jednou z univerzálních metod ešení obvod nebo s výhodou mžeme u ešeného obvodu použít vtu o náhradním zdroji a využít k nalezení jeho odezvy již odvozenou rovnici pro naptí kapacitoru v jednoduchém RC obvodu podle náhradního obvodu na obr. 2.14, jehož náhradní parametry skuteného zdroje naptí v pípad Theveninovy vty jsou

o21

2AB U

RR

RU

+= ,

21

21AB RR

RRR

+= .

Pro poátení hodnotu naptí ze zadání platí

oC )0( Uu −= .

asová konstanta má hodnotu

CRAB=τ .

Naptí na kapacitoru má hodnotu

54

.e2

e)e1(e)0()e1(

o21

2o

21

2

o21

2o

21

2CABC

τ

ττττ

t

tttt

URR

RU

RR

R

URR

RU

RR

RuUu

−

−−−−

+−

+=

=

+−+−

+=+−=

Poznamenejme, že vtu o náhradním zdroji mžeme použít zpravidla jen u obvod popsaných diferenciální rovnicí 1. ádu.

Uo

A

B

RAB

CUABuC

uRAB

R1

iC

R2

A

B

UAB

Obr. 2.14 Analýza pechodného dje obvodu užitím vty o náhradním zdroji, píklad 2.2

Nyní si ale ukažme postup analýzy obvodu metodu smykových proud. Zvolíme-li strom obvodu ve vtvi s rezistorem R2, potom nezávislé vtve jsou vtve se zdrojem a kapacitorem, viz obr. 2.13 vpravo. Smykové proudy písluší nezávislým vtvím, jejich oznaení odpovídá obr. 2.13 vpravo a smykové rovnice sestavené podle 2. Kirchhoffova zákona jsou

S1: o21 Uuu =+ ,

S2: 02C =+− uu , kam dosadíme za úbytky na rezistorech z Ohmova zákona a za naptí kapacitoru rovnici kontinuity ve tvaru

−= tiC

u d1

s2C ,

ímž získáme soustavu rovnic pro neznámé smykové proudy ( ) os2s12s11 UiiRiR =++ ,

( ) 0d1

s2s12s2 =+++ iiRtiC

,

kterou upravíme a vynásobíme hodnotami parametr tak, abychom eliminovali smykový proud s1i

( ) os22s121 UiRiRR =++ , / 2R⋅

0d1

s2s22s12 =++ tiC

iRiR , / ( )21 RR +−⋅

tedy

( ) o2s222s1212 URiRiRRR =++ ,

( ) ( ) 0ds221

s2212s1212 =+

−+−+− tiC

RRiRRRiRRR ,

ímž získáme integrální rovnici, kterou podlíme hodnotou ( )21RR−

o2s221

s221 d URtiC

RRiRR =

+−− / 21: RR− ,

a zderivujeme podle asu

55

o21

2s2

21

21s2 d U

RR

Rti

CRR

RRi −=

++ , /

td

d

ímž získáme homogenní rovnici, která je souasn i rovnicí úplnou

0d

ds2

21

21s2 =+

+ iCRR

RR

t

i,

kterou mžeme upravit do tvaru

tCRR

RR

i

id

d

21

21

s2

s2 +−= ,

a ešit integrováním obou stran rovnice

( ) KtCRR

RRi +

+−=

21

21s2ln .

„Odlogaritmováním“ získáme ešení homogenní rovnice

( )

ttCRR

RR

Kt

CRR

RRKt

CRR

RR

AAti−

+−

+−+

+−

==== eeeee 21

21

21

21

21

21

s2 ,

kde K a A jsou integraní konstanty a τ je asová konstanta definovaná

CRR

RR

21

21

+=τ .

Použijeme-li postup zmínný úvodem kapitoly 2.1, pro homogenní rovnici sestavíme charakteristickou rovnici, u které umocníme charakteristické íslo λ na ád derivace lenu charakteristické rovnice

021

210

21

211 =+

+=+

+CRR

RR

CRR

RRλλλ ,

ímž získáme její koen

CRR

RR

21

211 +−=−=

τλ ,

který dosadíme do ešení

( ) tAti λes2 = . Konstantu A uríme z poátení podmínky

( ) ( ) 0

1

oCs2 e00 ⋅

++ =−=−= λAR

Uii ,

1

o

R

UA −=

( ) t

R

Uti ⋅−= λe

1

os2 .

Z rovnice ( ) os22s121 UiRiRR =++ si vyjádíme proud s1i a dosadíme za proud s2i

( ) .e1e1

2

21

o

1

o

21

2

21

os2

21

2

21

o

21

s22os1

+

+=

−

+−

+=

+−

+=

+

−= tt

R

R

RR

U

R

U

RR

R

RR

Ui

RR

R

RR

U

RR

iRUti λλ

ad b) Po pipojení obvodu k harmonickému zdroji uo = Um sin(ω t + ψU) budou po odeznní pechodného dje ustálené hodnoty harmonické. Ustálenou okamžitou hodnotu naptí kapacitoru, která je partikulárním ešením nehomogenní rovnice, uríme transformací ešení do komplexní roviny, kde asový prbh naptí zdroje reprezentuje fázor Ûo = Um/2 ejψU = U ejψU a parametry obvodu

impedance Cjj

1ˆ XRC

RZ −=+=ω

. Fázor naptí kapacitoru uríme ze vztahu

56

=

+

=+

=−

−==

C

U

jarctan2

C

2

j

C

oo

C

CoC

e1

e

j1

ˆˆ

j

jˆˆ

ˆImjˆ

X

R

X

R

U

X

RU

UXR

XU

Z

ZU

ψ

( )( )( )

( )( )( ).e

1e

1e

1

arctanj

2

arctanj

2

arctanj

2

C

UUCU

ωψωψψ

ωτω

CRX

RU

CR

U

X

R

U −−

−

+=

+=

+

=

Po vynásobení tohoto fázoru naptí komplexní periodickou funkcí ejω t, získáme komplexní, asovou

funkci, komplexor naptí kapacitoru ve tvaru tUtU ωjCC eˆ)(ˆ = a zptnou transformací na základ

Eulerova vztahu, volbou imaginární ásti tohoto komplexoru, získáme partikulární ešení nehomogenní diferenciální rovnice 1. ádu RC obvodu

( )

( )( )

( )( )( )

( )( )( ) ( )( ).arctansinarctansin

1

e1

Im2

ee1

Im2eˆIm2)(ˆIm2

UCmU2

m

arctanj

2

jarctanj

2

jCCCp

U

U

ωτψωωτψωωτ

ωτ

ωτ

ωτψω

ωωτψω

−+=−++

=

=

+=

=

+===

−+

−

tUtU

U

UUtUu

t

tt

Úplné ešení rovnice má tvar

( )( )ωτψωλ arctansine UCm1CpChC −++=+= tUCuuu t .

Konstantu C1 uríme pomocí známé poátení podmínky uC(0)

( )( )[ ] ( )( )ωτψωτψωλ arctansinarctansinelim)0( UCm1UCm10

C −+=−++=→

UCtUCu t

t,

( )( )ωτψ arctansin)0( UCmC1 −−= UuC ,

takže úplné ešení má konený tvar po normování

( )( )[ ] ( )( )

( )( ) ( )( )

t

t

t

utU

tUUuu

−−+

−−−+=

−++−−=

e)0(earctansinarctansin

arctansinearctansin)0(

CUUCm

UCmUCmCC

ωτψωτψω

ωτψωωτψ λ

a není-li kapacitor nabit

( )( ) ( )( )

−−−+=

−τωτψωτψωt

tUu earctansinarctansin UUCmC .

Prbh nabíjení nenabitého kapacitoru pi ψU = 0 rad a pi ( )ωτψ arctanU ≠ je zobrazen na obr. 2.15. Z prbhu je zejmé, že pechodný dj koní prakticky za dobu nkolika asových konstant, tak jako v pípad stejnosmrného obvodu. Pechodná složka nevznikne, bude-li v okamžiku pipojení zdroje jeho poátení fáze naptí ψU rovna argumentu fázového posunu impedance obvodu, tedy obecn pi

( ) arctanU k+= ωτψ , kde k je pirozené íslo respektující periodicitu funkce tangens. Naopak se

pln vyvine, bude-li ( ) ( )/212arctanU ++= kωτψ .

57

t0 ττττ 2ττττ 3ττττ 4ττττ 5ττττ 6ττττ

Um

u

uo uC

uR

Obr. 2.15 Pechodný dj RC obvodu, pipojení harmonického zdroje naptí, ψU ϕz, nulové poátení podmínky: okamžité hodnoty naptí rezistoru, kapacitoru a zdroje

Pro proud obvodu, zobrazený na obr. 2.16, platí

( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

( )( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( ) .earctansin1

arctancos

earctansin1

arctancos1

earctansin1

arctancos

earctansin1

arctancos

d

earctansinarctansind

d

d

UUm

UU22m

UUCm

UUCm

UUCm

C

−+−+=

=

−+−+

+=

=

−+−+=

=

−+−+=

=

−−−+

==

−

−

−

−

−

t

t

t

t

t

tI

tR

U

tR

U

tUC

t

tU

Ct

uCi

ωτψτω

ωτψω

ωτψτω

ωτψωωτ

ωτ

ωτψτω

ωτψωωτ

ωτψτ

ωτψωω

ωτψωτψω

t0 ττττ 2ττττ 3ττττ 4ττττ 5ττττ 6ττττ

Im

i

Obr. 2.16 Pechodný dj RC obvodu, pipojení harmonického zdroje naptí s poátení fází ψU = 0°, ψU ϕz, nulové poátení podmínky: okamžité hodnoty proudu

58

Naptí na rezistoru, zobrazené na obr. 2.15, je dáno

( )( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( ) .earctansin1

arctancos

earctansin1

arctancos1

UURm

UU22

mR

−+−+=

=

−+−+

+==

−

−

t

t

tU

tUiRu

ωτψτω

ωτψω

ωτψτω

ωτψωωτ

ωτ

Okamžité výkony obvodu v pechodném dji, zobrazené na obr. 2.17, uríme souinem píslušného naptí obvodového prvku a spoleného proudu obvodu, které upravíme pomocí vztah pro souiny goniometrických funkcí

( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

( )( )

( )( ) ( )( )

( )( )

( )( )( )[ ]

( )( ) ( )( )

( )( )( ) ,earctansin

1

arctancosearctansin2

arctan2cos12

1

1

earctansin1

arctancos1

earctansin1

arctancos

earctansin1

arctancos

2

U2

2

UU

U22

2

R

2

UU22

22m

UUm

UURmRR

−+

+−+−+

+−+++

=

=

−+−+

+=

=

−+−+⋅

⋅

−+−+==

−

−

−

−

−

t

t

t

t

t

t

tP

tR

U

tI

tUiup

ωτψτω

ωτψωωτψτω

ωτψωωτ

ωτ

ωτψτω

ωτψωωτ

ωτ

ωτψτω

ωτψω

ωτψτω

ωτψω

τ

( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

( )( ) ( )[ ] ( )( )

( )( ) ( )( ) ( )( ) ,earctansin1

arctancosarctansin1

earctansinarctan2sin2

1

1

earctansin1

arctancos

earctansinarctansin

2

U2

UU

UU22R

UUm

UUCmCC

−−

−+−−+⋅

⋅−+−+

+=

=

−+−+⋅

⋅

−−−+==

−

−

−

−

t

t

t

t

tt

tP

tI

tUiup

ωτψτω

ωτψωωτψωτω

ωτψωτψωωτ

ωτ

ωτψτω

ωτψω

ωτψωτψω

( ) ( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( ) ( )( )[ ]

( )( ) ( ) .sinearctansin1

arctansinarctan2sin2

1

1

earctansin1

arctancossin

UU

U22R

UUmUmoo

+−+

++−++

=

=

−+−++==

−

−

ψωωτψτω

ωτωτψωωτ

ωτ

ωτψτω

ωτψωψω

t

tP

tItUiup

t

t

59

t0 ττττ 2ττττ 3ττττ 4ττττ 5ττττ 6ττττ

PR

p

po

pR

pC

Obr. 2.17 Pechodný dj RC obvodu, pipojení harmonického zdroje naptí, ψU ϕz, nulové poátení podmínky: okamžité výkony rezistoru, kapacitoru a zdroje

Okamžité hodnoty energií jsou zobrazeny pro jednotlivé prvky obvodu jen v podob graf na obr. 2.18. Jelikož grafy energie zdroje w a rezistoru wR jsou prakticky totožné, je graf energie kapacitoru wC s ohledem na vtší názornost zvtšen 25 krát.

t0 ττττ 2ττττ 3ττττ 4ττττ 5ττττ 6ττττ

w

wo

wR

25⋅⋅⋅⋅wC

ττ ττ // // 22 22

⋅⋅ ⋅⋅PR

Obr. 2.18 Pechodný dj RC obvodu, pipojení harmonického zdroje naptí, ψU ϕz, nulové poátení podmínky: okamžité hodnoty energie rezistoru, kapacitoru a zdroje

Poznamenejme, že rozpojíme-li v ase t0 spína S, zstane kapacitor v RC obvodu nabit na naptí uC(t0) a jelikož proud kapacitoru se mže mnit skokem, okamžit zanikne. Na spínai se objeví naptí

)( 0CoS tuuu −= .

Píklad 2.3.

Urete veliiny RC obvodu, který byl pipojen spínaem S ke zdroji naptí se sinusovým prbhem s parametry Um = 10 V, f = 10 Hz a ψU = -60°, jsou-li hodnoty prvk obvodu R = 1 kΩa C = 10 µF a po 50 ms spínaem rozpojen. Pedpokládejte, že ped sepnutím spínae S byl kapacitor vybitý.

♦

60

Okamžité hodnoty veliin obvodu uríme z výše odvozených vztah, kam dosadíme za as hodnotu t = 0,05 s. Nejprve si vyíslíme následující hodnoty parametr obvodu

s

rad202 == fπω a s01,01010 53 === −CRτ .

Obvodové veliiny jsou pak po dosazení známých hodnot a parametr

( )( )( ) ( )( )

( )( )

( ) A,142e01,020arctan3

sin

01,020

1

01,020arctan3

05,020cos

01,020110

01,02010lim

earctansin1

arctancos1

01,0

05,0

22305,0

UU22m

µ

ωτψτω

ωτψωωτ

ωτ τ

=

⋅−−

⋅+

+

⋅−−⋅⋅+

⋅=

=

−+−+

+=

−

→

−

t

t

tR

Ui

mV142101421000 6R =⋅⋅== −iRu ,

( )( )( ) ( )( )

( )( )

( ) V,518,8e01,020arctan3

sin

01,020arctan3

05,020sin

01,0201

10lim

earctansinarctansin1

01,0

05,0

2205,0

UU2

mC

=

⋅−−−

−

⋅−−⋅⋅+

=

=

−−−+

+=

−

→

−

t

t

tU

u τωτψωτψωωτ

( ) V.660,83

05,020sin10limsin

05,0Um =

−⋅=+=→t

tUu ψω

Po rozpojení spínae S pestane obvodem okamžit procházet proud a kondenzátor zstane nabitý, takže pro hledané hodnoty veliin obvodu platí

A0=i , V0R =u , V518,8C =u ,

−=3

20sin10 tu

a mezi kontakty rozepnutého spínae se objeví podle 2. Kirchhoffova zákona pro as ms50≥t naptí

V518,83

20sin10CS −

−=−= tuuu ,

které je funkcí asu, protože se s asem mní naptí budícího zdroje.

LR obvod

Náhradní schéma jednoduchého LR obvodu pipojeného ke zdroji naptí uo v ase t = 0 s je na obr. 2.19 vlevo. Nejdíve prošeteme situaci ped sepnutím spínae S (as −→ 0t s). Induktorem o hodnotinduknosti L mže obecn procházet proud iL(0), což zachycuje ekvivalentní náhradní zapojení na obr. 2.19 vpravo.

61

Ruo L

L

i

uL

uR

iL(0)

i

uLS

uS

Obr. 2.19 Pechodný dj LR obvodu: schéma zapojení, ekvivalentní obvodový model induktoru

Po sepnutí spínae S, kdy uS = 0 V, platí podle 2. Kirchhoffova zákona

LRo uuu +=

a po dosazení Ohmova zákona nebo Faradayova zákona za spolenou veliinu obvodu proud

== tuLR

ui d

1L , získáme bu rovnici

od

du

t

iLiR =+

s proudovou odezvou nebo

oLL d1

uutuL

R =+

s odezvou, naptím induktoru. Pro popis obvodu si zvolme matematický model obvodu daný nehomogenní diferenciální rovnicí 1. ádu s hledanou odezvou, proudem induktoru, který je stavovou veliinou obvodu. Obecná homogenní rovnice

od

duiR

t

iL =+ ,

kterou získáme z nehomogenní rovnice dosazením za budící naptí uo = 0 V a která popisuje chování obvodu v pechodném dji. Její obecné ešení až na integraní konstantu uríme pomocí koene charakteristické rovnice

τλ

λ1

,0

−=−=

=+

L

R

RL

ve tvaru

τλt

t CCi−

== ee 11h ,

kde asová konstanta τ je definována podílem τ = L/R.

Partikulární ešení nehomogenní rovnice hledejme opt pro pípady

a) buzení stejnosmrným zdrojem, u0 = U,

b) buzení harmonickým zdrojem, u0 = Um sin(ω t + ψU).

ad a) Po pipojení obvodu ke stejnosmrnému zdroji budou po ode znní pechodného dje ustálené hodnoty stejnosmrné. Ustálená hodnota proudu induktoru, která je partikulárním ešením

62

nehomogenní rovnice, je RUtiit

/)(limp ==∞→

, protože induktor se chová ve stejnosmrném obvodu

jako zkrat. Prakticky to znamená, že v pvodní nehomogenní rovnici neuvažujeme složku s derivací 1. ádu, protože zmna naptí induktoru v ustáleném stavu stejnosmrného obvodu je nulová.

Úplné ešení má tvar

R

UCiii t +=+= λe1ph .

Konstantu C1 uríme pomocí známé poátení podmínky i(0)

R

UC

R

UCi t

t+=+=

→11

0elim)0( λ ,

R

UiC −= )0(1 ,

takže úplné ešení má konený tvar po normování

t

tttt i

R

Ui

R

U

R

U

R

Uii

−−+−=+−=+

−= e)0()e1(e)0()e1(e)0( λλλ

a byl-li induktor bez proudu

)e1()e1()e1( R

t

tt I

R

U

R

Ui

−−−=−=−= λ .

Prbh proudu induktoru s nulovým poátením proudem je na obr. 2.20. Z jeho grafu je zejmé, že pechodný dj koní prakticky za dobu nkolika asových konstant. V ase t = τ proud induktoru dosáhne asi 63,2 % (pesn (1-e-1) tiny) ustálené hodnoty proudu IR, v asech t = 3τ se piblíží na 5 %, t = 5τ na 1 %, t = 7τ na 0,1 % k ustálené hodnot proudu. Rovnice teny prbhu proudu stanovená v poátku nám poslouží k vyložení významu asové konstanty. Smrnici uríme derivací proudu induktoru s nulovým poátením proudem

t

t

I

t

I

t

i −

−

=

−

= ed

)e1(d

d

d R

R

τ,

kde po dosazení za as t = 0 s získáme smrnici τRI

a rovnici teny v poátku

tI

iτR

t = .

Smrnice je kladná, takže proud induktorem narstá. Dosadíme-li za as asovou konstantu obvodu tj. t = τ, hodnota proudu teny v tomto asovém okamžiku je it = IR, tedy má ustálenou hodnotu proudu obvodu. Sklon smrnice pi dané asové konstant ovlivuje velikost proudu IR, viz obr. 2.20. Smrnice závisí na naptí zdroje a odporu rezistoru obvodu. Jiná interpretace asové konstanty potom íká, že je to doba, za kterou dosáhne proud induktoru s nulovým poátením proudem (1-e-1) tiny tj. asi 63,2 % své ustálené hodnoty.

63

t0 ττττ 2ττττ 3ττττ 4ττττ 5ττττ 6ττττ

i(1

-e-1

) I R

it

IR

Obr. 2.20 Pechodný dj LR obvodu, pipojení stejnosmrného zdroje naptí, nulové poátení podmínky: okamžité hodnoty proudu

Okamžitou hodnotu naptí rezistoru stanovíme užitím Ohmova zákona

)e1()e1(RR

t

t

UIRiRu−−

−=−== ,

které je až na mítko dané hodnotou odporu rezistoru R stejná jako proud obvodu a naptí induktoru pomocí Faradayova zákona

t

t

t

t

UL

R

UIL

t

I

Lt

iLu

−−−

−

===

−

== eeed

)e1(d

d

d R

R

L ττ.

Ob tato naptí jsou zobrazena na obr. 2.21. Podle toho, který z úbytk naptí RL obvodu zvolíme za výstupní (odezvu), má pechodová charakteristika derivaní nebo integraní charakter. RL obvod nazýváme derivaním lánkem, je-li výstupem naptí induktoru uL a integraním lánkem, je-li výstupem naptí rezistoru uR. Jak vidíme z obr. 2.21, derivanímu prbhu odpovídá skoková zmna naptí v poátku, následovaná exponenciálním poklesem tohoto naptí k nule, integranímu prbhu odpovídá spojitý, exponenciální nárst veliiny k ustálené hodnot naptí.

t0 ττττ 2ττττ 3ττττ 4ττττ 5ττττ 6ττττ

ue-1

U

uLt

U

uo

uR

uL

Obr. 2.21 Pechodný dj LR obvodu, pipojení stejnosmrného zdroje naptí, nulové poátení podmínky: okamžité hodnoty naptí rezistoru, induktoru a zdroje

64

Okamžité výkony obvodu v pechodném dji, zobrazené na obr. 2.22, uríme souinem píslušného naptí obvodového prvku a spoleného proudu obvodu

+−=−=−−==

−−−−−

t

t

t

t

t

PR

UIUiup

2

R2

2

RRR ee21)e1()e1()e1( ,

−=−==

−−−−

t

t

t

t

PIUiup2

RRLL ee)e1(e ,

)e1()e1( RRoo

t

t

PIUiup−−

−=−==

t0 ττττ 2ττττ 3ττττ 4ττττ 5ττττ 6ττττ

PR

pe-1

PR

po

pR pL

Obr. 2.22 Pechodný dj LR obvodu, pipojení stejnosmrného zdroje naptí, nulové poátení podmínky: okamžité výkony rezistoru, induktoru a zdroje

a jejich integrací okamžité hodnoty energií, zobrazené na obr. 2.23, dané rovnicemi

,3ee422

3ee4222

3e

2e2

e2

e2dee21d

2R

2

R

2

R

0

2

R0

2

R0

RR

−−+=

−−+=

−−+=

=

−+=

+−==

−−−−−−

−−−−

t

t

t

t

t

t

t

t

t

tWtPtP

PPpw

τττ

ττ

τ

ττξξξ

ξξξξ

,e12

e12

1ee22

e2

edeed

2

R

2

R

2

R

0

2

R0

2

R0

LL

−=

−=

=

++−=

+−=

−==

−−

−−−−−−

t

t

t

tt

t

t

WP

PPPpw

τ

τττξξ

ξξξξ

.1e

1eeed)e1(d

R

RR

0

R0

R0

oo

−+=

=

−+=

−+=

−=−==

−

−−−−

t

t

tt

t

t

tW

tPtPPPpw

τ

τττττξξξ

ξξ

.

65

Celkovou energii dodanou zdrojem do obvodu, která je rovna práci, kterou zdroj vykonal od pipojení k obvodu až do ustálení hodnoty proudu obvodu uríme ze vztahu

∞→

−−+=

−−

∞→3ee42

2lim

2R

o

t

t

t

tWA

τ.

Ta má nekonenou hodnotu vlivem Jouleových ztrát na rezistoru

∞→

−−+=

−−

∞→3ee42

2lim

2R

R

t

t

t

tWA

τ,

protože rezistorem trvale prochází proud.

K vytvoení magnetického pole induktoru je ale zapotebí vykonat práci, která má konenou hodnotu

2R

R

2

RL 2

1

2e1

2lim IL

WWA

t

t==

−=

−

∞→.

Úinnost akumulace energie magnetického pole induktoru je nulová, protože platí

0limo

L →=∞→ A

At

η .

t0 ττττ 2ττττ 3ττττ 4ττττ 5ττττ 6ττττ

w

wo

wR

wL

ττ ττ ⋅⋅ ⋅⋅P

R

Obr. 2.23 Pechodný dj LR obvodu, pipojení stejnosmrného zdroje naptí, nulové poátení podmínky: okamžité hodnoty energie rezistoru, induktoru a zdroje

ad b) Po pipojení obvodu k harmonickému zdroji u0 = Um sin(ω t + ψU) budou po odeznní pechodného dje ustálené hodnoty harmonické. Ustálenou okamžitou hodnotu proudu induktoru, která je partikulárním ešením nehomogenní rovnice, uríme transformací ešení do komplexní roviny, kde asový prbh naptí zdroje reprezentuje fázor Ûo = Um/2 ejψU = U ejψU a parametry obvodu impedance Ljjˆ XRLRZ +=+= ω . Fázor proudu induktoru uríme ze vztahu

( )( )( ).e

1

1e

1

1e

1

1

e1

1e

j1

1ˆ

j

ˆ

ˆ

ˆˆ

arctanj

2

arctanj

2

arctanj

2L

jarctan2L2

j

L

o

L

oo

UU

LU

L

U

ωτψωψψ

ψ

ωτω

−

−

−

+=

+

=

+

=

=

+

=+

=+

==

R

U

R

LR

U

R

XR

U

R

XR

U

R

XR

U

XR

U

Z

UI

R

L

R

X

R

X

66

Po vynásobení tohoto fázoru proudu komplexní periodickou funkcí ejωt, získáme komplexní, asovou funkci, komplexor proudu induktoru ve tvaru tItI ωjeˆ)(ˆ = a zptnou transformací na základ Eulerova vztahu, volbou imaginární ásti tohoto komplexoru, získáme partikulární ešení nehomogenní diferenciální rovnice 1. ádu RL obvodu

( )

( )( )

( )( )( )

( )( )( ) ( )( ).arctansinarctansin

1

1

e1

1Im2

ee1

1Im2eˆIm2)(ˆIm2

UmU2

m

arctanj

2

jarctanj

2

jp

U

U

ωτψωωτψωωτ

ωτ

ωτ

ωτψω

ωωτψω

−+=−++

=

=

+=

=

+===

−+

−

tItR

U

R

U

R

UItIi

t

tt

Úplné ešení má tvar

( )( )ωτψωλ arctansine Um1ph −++=+= tICiii t .

Konstantu C1 uríme pomocí známé poátení podmínky i(0)

( )( )[ ] ( )( )ωτψωτψωλ arctansinarctansinelim)0( Um1Um10

−+=−++=→

ICtICi t

t

( )( )ωτψ arctansin)0( Um1 −−= IiC ,

takže úplné ešení má konený tvar po normování

( )( )[ ] ( )( )

( )( ) ( )( )

t

t

t

itI

tIIii

−−+

−−−+=

=−++−−=

e)0(earctansinarctansin

arctansinearctansin)0(

UUm

UmUm

ωτψωτψω

ωτψωωτψ λ

a má-li induktor nulový poátení proud

( )( ) ( )( )

−−−+=

−τωτψωτψωt

tIi earctansinarctansin UUm .

Prbh proudu induktoru s nulovým poátením proudem pi ψU = 0 rad a pi ( )ωτψ arctanU ≠ je zobrazený na obr. 2.24. Z prbhu je zejmé, že pechodný dj koní prakticky za dobu nkolika asových konstant, tak jako v pípad stejnosmrného obvodu. Pechodná složka nevznikne, bude-li v okamžiku pipojení zdroje jeho poátení fáze naptí ψU rovna argumentu fázového posunu impedance obvodu, tedy obecn pi ( ) arctanU k+= ωτψ , kde k je pirozené íslo respektující

periodicitu funkce tangens. Naopak se pln vyvine, bude-li ( ) ( )/212arctanU ++= kωτψ .

Okamžitou hodnotu naptí rezistoru stanovíme užitím Ohmova zákona

( )( ) ( )( )

( )( )( ) ( )( ) =

−−−+

+=

=

−−−+==

−

−

t

t

tU

tIRiRu

earctansinarctansin1

earctansinarctansin

UU2

m

UUmR

ωτψωτψωωτ

ωτψωτψω

67

( )( ) ( )( ) ,earctansinarctansin UURm

−−−+=

−

t

tU ωτψωτψω

která je až na mítko dané hodnotou odporu rezistoru R stejná jako proud obvodu.

t0 ττττ 2 ττττ 3 ττττ 4 ττττ 5 ττττ 6ττττ

Im

i

Obr. 2.24 Pechodný dj LR obvodu, pipojení harmonického zdroje naptí s poátení fází ψU = 0°, ψU ϕz, nulové poátení podmínky proudu induktoru: okamžité hodnoty proudu

Okamžitou hodnotu naptí induktoru stanovíme pomocí Faradayova zákona

( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

( )( )( ) ( )( )

( )( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( ) .earctansin1

arctancos

earctansin1

arctancos1

earctansin1

arctancos1

1

earctansin1

arctancos

d

earctansinarctansind

d

d

UULm

UU22m

UU2

m

UUm

UUm

L

−+−+=

=

−+−+

+=

=

−+−+

+=

=

−+−+=

=

−−−+

==

−

−

−

−

−

t

t

t

t

t

tU

tU

tR

UL

tIL

t

tI

Lt

iLu

ωτψτω

ωτψω

ωτψτω

ωτψωωτ

ωτ

ωτψτω

ωτψωωτ

ω

ωτψτ

ωτψωω

ωτψωτψω

Ob tato naptí jsou zobrazena na obr. 2.25.

Okamžité výkony obvodu v pechodném dji, zobrazené na obr. 2.26, uríme souinem píslušného naptí obvodového prvku a spoleného proudu obvodu, které upravíme pomocí vztah pro souiny goniometrických funkcí

( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( ) =

−−−+⋅

⋅

−−−+==

−

−

t

t

tI

tUiup

earctansinarctansin

earctansinarctansin

UUm

UURmRR

ωτψωτψω

ωτψωτψω

68

t0 ττττ 2ττττ 3ττττ 4ττττ 5ττττ 6ττττ

Um

u

uo uL

uR

Obr. 2.25 Pechodný dj LR obvodu, pipojení harmonického zdroje naptí, ψU ϕz, nulové poátení podmínky: okamžité hodnoty naptí rezistoru, induktoru a zdroje

( )( )( ) ( )( )

( )( )( )( )[ ]

( )( ) ( )( )

( )( ) ,earctansin

arctansinearctansin2

arctan2cos12

1

1

1

earctansinarctansin1

1

2

U2

UU

U22R

2

UU22

2m

−+

+−+−−

−−+−+

=

=

−−−+

+=

−

−

−

t

t

t

t

tP

tR

U

ωτψ

ωτψωωτψ

ωτψωωτ

ωτψωτψωωτ

( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

( )( ) ( )[ ] ( )( )

⋅−+−+

+=

=

−−−+⋅

⋅

−+−+==

−

−

−

t

t

t

tP

tI

tUiup

earctansinarctan2sin2

1

1

earctansinarctansin

earctansin1

arctancos

UU22R

UUm

UULmLL

ωτψωτψωωτ

ωτ

ωτψωτψω

ωτψτω

ωτψω

( )( ) ( )( ) ( )( ) ,earctansin1

arctancosarctansin1 2

U2

UU

−−

−+−−+⋅

−

t

tt ωτψτω

ωτψωωτψωτω

( ) ( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( ) ( )( )[ ]

( )( ) ( ) .sinearctansin1

arctansinarctan2sin2

1

1

earctansin1

arctancossin

UU

U22

R

UUmUmoo

+−+

++−++

=

=

−+−++==

−

−

ψωωτψτω

ωτωτψωωτ

ωτ

ωτψτω

ωτψωψω

t

tP

tItUiup

t

t

69

t0 ττττ 2 ττττ 3 ττττ 4 ττττ 5 ττττ 6ττττ

p

po

pR pL 0,

1 P

R

Obr. 2.26 Pechodný dj LR obvodu, pipojení harmonického zdroje naptí, ψU ϕz, nulové poátení podmínky: okamžité výkony rezistoru, induktoru a zdroje

Okamžité hodnoty energií jsou zobrazeny pro jednotlivé prvky obvodu jen v podob graf na obr. 2.27.

t0 ττττ 2ττττ 3ττττ 4ττττ 5ττττ 6ττττ

w

wo

wR

⋅⋅⋅⋅wL

ττ ττ // // 22 22

⋅⋅ ⋅⋅0,1

⋅⋅ ⋅⋅PR

Obr. 2.27 Pechodný dj LR obvodu, pipojení harmonického zdroje naptí, ψU ϕz, nulové poátení podmínky: okamžité hodnoty energie rezistoru, induktoru a zdroje

Poznamenejme, že rozpojíme-li v ase t0 spínaem S nenulový proud RL obvodu, jak vidíme z ekvivalentního náhradního zapojení na obr. 2.19 vpravo, induktor se v okamžiku rozpojení obvoduchová jako zdroj proudu s hodnotou i(t0), který vytvoí na svorkách rozepnutého spínae velký úbytek naptí, vlivem jeho nekonen velkého odporu. Jiným zpsobem tuto fyzikální skutenost mžeme vyložit užitím Faradayova indukního zákona, kdy se v krátkém ase naindukuje

na induktoru naptí ∞→=→ t

iLu

t d

dlim

0dL . Není-li hodnota proudu v okamžiku rozpojení obvodu

nulová, tedy i(t0) = 0 A, objeví se na induktoru vždy nebezpen velké naptí, které mže vést až k destrukci prvk reálného obvodu.

Píklad 2.4.

Navrhnte ešení, jak omezit velikost naptí spínae S pi rozpojení LR obvodu.

♦

70

Píinou vzniku vysokého naptí je perušení proudu induktoru. Aby k nmu nedošlo, musíme k induktoru nebo spínai zaadit paraleln vtev obvodu, která zajistí, že proud induktoru nebude okamžit perušen. Zamme se na variantu, kdy paraleln ke spínai je zapojena vtev s rezistorem RS, viz obr. 2.28.

RLU L

iL

uL

uR

S

uS

uS

RS iS

iRs

RLU L

iL

uL

uR

S

uS

uS

RS iS

iRst → 0– t → 0+

Obr. 2.28 Rozpojení spínae v obvodu s induktorem v ase t = 0 s: sepnutý spína, as t0–; rozpojený spína, as t0+, píklad 2.4

Ped rozepnutím spínae je ustálená hodnota proudu obvodu

LLS )0()0(

R

Uii == −− ,

která je souasn poátení podmínkou obvodu. Rezistor RS je vyzkratován, takže tato vtev má nulový proud.

Po rozepnutí spínae je chování obvodu popsáno ešením rovnice, které již známe z odvození pipojení LR obvodu k stejnosmrnému zdroji, do kterého dosadíme za

LS RRR += , LS RR

L

+=τ

a poátení podmínku

LLL )0()0()0(

R

Uiii === −+ ,

takže získáme rovnice obvodových veliin

+

+=

+−+

+=+−

+==

−−−−

t

t

t

t

R

R

RR

U

RR

U

R

U

RR

U

R

U

RR

Uii e1ee)e1(

L

S

LSLSLLSLLSSRS

,

+

+==

−

t

R

R

RR

URiRu e1

L

S

LS

SSSS ,

+

+==

−

t

R

R

RR

URiRu e1

L

S

LS

LLLR L

,

t

R

RUuuUu

−−=−−= e

L

SLSL .

Hledanou hodnotu naptí spínae po jeho rozepnutí dostaneme dosazením za as +→ 0t

71

UR

R

R

R

RR

URu

t

tL

S

L

S

LS

S

0S e1lim =

+

+=

−

→ +

,

která je konená.

Poznamenejme, že v praxi se na místo ztrátového rezistoru RS zapojuje ke spínai S paraleln dioda, zapojená tak, aby po rozpojení pevzala proud induktoru, který exponenciáln klesá s asovou

konstantou LD RR

L

+=τ , kde RD je odpor diody. Induktor se po rozpojení spínae S chová jako zdroj,

jelikož jeho okamžitý výkon pL = uL·iL je záporný, vlivem práv záporných okamžitých hodnot naptí induktoru, a vrací tak naakumulovanou energii zdroji, dokud neklesne hodnota proudu induktoru k nule.

Shrnutí pojm 2.2.

Zmnu stavu obvodu v dsledku zmny topologické struktury obvodu modelujeme spínaem, který má dva provozní stavy. V rozepnutém stavu má nekonen velký odpor a v sepnutém stavu nemá žádný odpor. Chování LC a LR obvod je popsáno diferenciální rovnicí 1. ádu. Okamžité hodnoty obvodových veliin v pechodném dji, dané homogenním ešením diferenciální rovnice, jsou monotónní, exponenciální funkce, jejichž ustálené okamžité hodnoty odpovídají partikulárnímu ešení této diferenciální rovnice. Dležitým parametrem pechodných složek prbh obvodových veliin je asová konstanta obvodu, kterou lze odvodit na základ smrnice rovnic teen obvodových veliin v poátku pechodného dje. Pechodný dj tvá sice teoreticky nekonen dlouho, ale prakticky koní po uplynutí nkolika asových konstant. V okamžiku zmny stavu obvodu se kapacitor chová jako ekvivalentní zdroj naptí a induktor jako ekvivalentní zdroj proudu. Je-li kapacitor v sériovém RC obvodu se zdrojem naptí vybit, chová se v okamžiku sepnutí spínae tedy jako zdroj s nulovou hodnotou naptí ili jako nulový odpor tj. zkrat. Má-li induktor v sériovém RL obvodu se zdrojem naptí nulovou hodnotu poáteního proudu, chová se v okamžiku sepnutí spínae jako zdroj s nulovou hodnotou proudu ili jako velký odpor tj. rozpojená vtev, avšak rozpojení vtve s induktorem s nenulovou hodnotou proudu má za následek naindukování nekonen velkého naptí na jeho svorkách. Chceme-li tomu zabránit, musíme do obvodu vhodn zaadit paralelní vtev, která pevezme proud induktoru. Pi pipojení LC a LR obvodu k harmonickému zdroji naptí rozhoduje o tom, vznikne-li nebo nevznikne-li pechodná složka prbh obvodových veliin, relace mezi poátení fází zdroje a fázovým posunem obvodu, který závisí na imitanci obvodu. Pechodná složka se nevyvine, je-li poátení fáze zdroje rovna fázovému posunu obvodu.

Otázky 2.2.

1. Jakou diferenciální rovnicí popisujeme chování RC a LR obvodu?

2. Jak je definována asová konstanta RC a LR obvodu a jak ji interpretujeme?

3. Po uplynutí kolika asových konstant mžeme považovat pechodný dj za prakticky ukonený?

4. Jak se chová kapacitor a induktor v okamžiku zmny topologické struktury obvodu?

5. Jak se chová vybitý kapacitor v okamžiku zmny topologické struktury obvodu?

6. Jak se chová induktor s nulovým poátením proudem v okamžiku zmny topologické struktury obvodu?

7. Pro ve stejnosmrném sériovém RC obvodu dochází po odeznní pechodného jevu k zániku proudu obvodu?

72

8. Pro se pi rozpojení vtv s induktorem objeví na jejich svorkách limitn neomezená hodnota naptí? Dá se tomu zabránit?

9. Jakým zapojením obvodu mžeme modelovat derivaní a integraní lánek?

10. Jaká musí být hodnota poátení fáze naptí zdroje, aby nevznikla pechodná složka veliin RC a LR obvodu?

Úloha k ešení 2.2.

Urete prbh proudu obvodu na obr. 2.29 a nakreslete jeho prbh, je-li spína obvodu periodicky spínán a rozpínán, tak aby nepesáhla jeho maximální hodnota úrove proudu I2 a minimální hodnota úrove proudu I1, které ob leží mezi ustálenými hodnotami proudu obvodu.

R2U L

S

uS

R1

Obr. 2.29 Periodicky se opakující pechodný dj v LR obvodu, úloha k ešení 2.2

ešení:

Pi sepnutém spínai by ustálená hodnota byla

2

ou1 R

UI =

a pi rozepnutém spínai

21

ou2 RR

UI

+= ,

takže v souladu se zadáním platí 1u1 II > , 2u2 II < s pedpokladem 21 II > . Pi sepnutém spínai je

asová konstanta 2

1 R

L=τ pro proud platí rovnice

11 e)e1( 2u1

t

t

IIi−−

+−=

a pi rozepnutém spínai je asová konstanta 21

2 RR

L

+=τ pro proud platí rovnice

22 e)e1( 1u2

t

t

IIi−−

+−= .

Odvozené prbhy proud jsou zobrazeny na obr. 2.30.

73

t0 ττττ 2ττττ 3ττττ 4ττττ 5ττττ 6ττττ

i

I1u

I1

I2

I2u

Obr. 2.30 Periodicky se opakující pechodný dj v LR obvodu: okamžité hodnoty proudu obvodu, úloha k ešení 2.2

2.3. Analýza obvod 2. ádu Obvod 2.ádu obecn obsahuje rezistory a po jednom z akumulaních prvk, tj. kapacitor a induktor.

RLC obvod

Náhradní schéma sériového RLC obvodu ped pipojením zdroje naptí uo v ase t = 0 s je na obr. 2.31. Pedpokládejme, že kapacitor je obecn nabit na naptí uC(0) a proud induktoru má hodnotu i(0) na poátku pechodného dje.

uo LRS

i uRuS

C

uC

uL

Obr. 2.31 Obvodový model pechodného dje v RLC obvodu

Po sepnutí spínae S, kdy uS = 0 V, platí podle 2. Kirchhoffova zákona

LCRo uuuu ++=

a po dosazení Ohmova zákona, rovnice kontinuity a Faradayova zákona získáme integrodiferenciální rovnici popisující chování obvodu v pechodném dji

od

dd

1u

t

iLti

CiR =++ ,

po jejímž derivování dostaneme nehomogenní diferenciální rovnici 2. ádu s hledanou odezvou, proudem

t

u

C

i

t

iR

t

iL

d

d

d

d

d

d o2

2

=++

74

nebo po dosazení rovnice kontinuity, nehomogenní rovnici

oCC

2C

2

d

d

d

duu

t

uCR

t

uCL =++

s hledanou odezvou, naptím kapacitoru. Pro popis obvodu si zvolme matematický model obvodu, daný v poadí první, nehomogenní diferenciální rovnicí 2. ádu s hledanou odezvou, proudem obvodu, který je i stavovou veliinou induktoru obvodu.

Obecná homogenní rovnice, která popisuje pechodný dj proudu obvodu, má nulovou pravou stranu

0d

d

d

d2

2

=++C

i

t

iR

t

iL .

Její obecné ešení až na integraní konstanty uríme pomocí koen charakteristické rovnice

011 2012 =++=++C

RLC

RL λλλλλ .

Koeny kvadratické rovnice jsou

2o

22

2

2,11

222

4ωααλ −±−=−

±−=−±−

=LCL

R

L

R

LC

LRR

,

kde α je konstanta útlumu a ωo rezonanní úhlový kmitoet, vedený cizím zdrojem. Podle hodnot obvodových parametr mohou nastat tyto pípady koen:

1) reálné 2o

22,1 ωααλ −±−= pro oωα > ,

2) dvojnásobný reálný koen αλ −=2,1 pro oωα = ,

3) komplexn sdružené koeny

( ) ( ) d22

o22

o22

o2,1 jj1 ωααωααωααωαλ ±−=−±−=−−±−=−−±−= pro oωα < .

len 22od αωω −= nazýváme vlastním úhlovým kmitotem obvodu, který je buzený zmnou jeho

topologické struktury, který je pi nenulovém tlumení vždy menší než rezonanní úhlový kmitoet obvodu. Poznamenejme, že úhlové kmitoty vlastních a rezonanních kmit jsou totožné jen pi nulovém tlumení obvodu, tedy v LC obvodu.

Obecné ešení homogenní rovnice pro koeny 1) a 3) má tvar

tt CCi 21 ee 21hλλ +=

a pro dvojnásobný koen

( ) ttCCi 2,1e21hλ+= .

Hodnoty integraních konstant uríme z matematických poáteních podmínek )0(i , t

i

d

)0(d a úplného

ešení nehomogenní rovnice RLC obvodu. První podmínka je i podmínkou fyzikální, druhou uríme z obou fyzikálních poáteních podmínek pro jednotlivé pípady buzení, viz postup níže.

Analýzou ešení s dvojnásobným koenem se nebudeme zabývat, protože ho v praxi nelze realizovat, s ohledem na závislost technických realizací obvodových prvk na parametrech okolí, tedy na nestabilitu jejich parametr. eknme si jen, že mu odpovídá nejkratší doba trvání pechodného jevu, tj., že ešení se nejrychleji blíží ustálené hodnot proudu.

75

Partikulární ešení nehomogenní rovnice, popisující chování obvodu v ustáleném stavu, závisí na tvaru budícího naptí u0. Omezme se na tyto dva pípady

a) buzení stejnosmrným zdrojem, u0 = U,

b) buzení harmonickým zdrojem, u0 = Um sin(ωt + ψU).

ad a) V pípad pipojení RLC obvodu k stejnosmrnému zdroji je partikulární ešení nulové, jelikož na pravé stran nehomogenní rovnice vystupuje derivace stejnosmrného naptí U. Obecné ešení je i ešením úplným, takže platí híi = a hodnoty integraních konstant uríme z matematických

poáteních podmínek )0(i , t

i

d

)0(d.

Pro integraní konstanty C1 a C2 platí následující soustava rovnic

21210

21 eelim)0( CCCCi tt

t+=+=

→

λλ ,

221122110

21 eelimd

)0(d)0( λλλλ λλ CCCC

t

ii tt

t+=+==′

→,

ze které nap. Cramerovým pravidlem stanovíme konstanty

12

21

)0()0(

λλλ

−

′−=

iiC ,

12

1

12

12

)0()0()0()0(

λλλ

λλλ

−

′−−=

−

−′=

iiiiC ,

kde hodnotu )0(i′ uríme z výchozí rovnice obvodu

0)0()0()0(d

dlim CC

0=−′++=

−++→

UiLuiRUt

iLuiR

t,

takže pro derivaci proudu v poátku platí

L

uiRUi

)0()0()0( C−−

=′ .

Pro zpehlednní zápisu funkcí obvodových veliin RLC obvodu využijme vztahy pro rozdíl koencharakteristické rovnice se dvma reálnými koeny

( ) 2o

22o

22o

212 2 ωαωααωααλλ −−=−+−−−−−=−

a jejich souin

( ) ( ) 2o

2o

22o

212 ωωααωααλλ =−+−⋅−−−= ,

které po zavedení asových konstant obvodu

2o

21

111

ωααλτ

−−=−= ,

2o

22

211

ωααλτ

−+=−= ,

pejdou do tvaru

21

21

2o

22

1

ττττ

ωα −=

−, CL==

2o

21

1

ωττ resp.

212o

2

2o 1

2 ττωα

ω−

=−

.

ešení diferenciální rovnice pro dva reálné koeny má tvar

76

−−−

−−

−−=

=

−−−

−−

−−=

−−

−−

21

21

e)0(

)0(1

e)0(

)0(1

e)0(

)0(1

e)0(

)0(1

2

1

C

2

C

121

21

C

2

C

12o

2

t

t

t

t

L

uUi

L

uUi

L

uUi

L

uUii

ττττττ

ττωα

a pro komplexn sdružené koeny v podob komplexní funkce reálné promnné t

( ) ( )

−−+−

−−−−= −−− tttt

L

uUi

L

uUii dd jC

djC

dd

ee)0(

)0(jee)0(

)0(jj2

1 ωαωα ωαωαω

.

Jsou-li poátení podmínky stavových veliin nulové, tj. A0)0( =i a V0)0(C =u , zjednoduší se obproudové odezvy obvodu, zobrazené na obr. 2.32 a 2.33, do tvaru

−=

−

−=

−−−−2121 eeee 1

21

21

t

t

m

t

t

IL

Ui

ττττ

a

[ ] ( ) ( )tItL

U

L

U

L

Ui tt

tttttt

d3mdd

jj

d

jj

d

sinesinej2

eeeeee

j2

dd

dd ωωωωω

ααωω

αωωα −−−

−−− ==−

=−= .

t0 ττττ1111 2ττττ1111 3ττττ1111 4ττττ1111 5ττττ1111 6ττττ1111

Im1

i

it1

it2

-Im1

Obr. 2.32 Pechodný dj RLC obvodu, pipojení stejnosmrného zdroje naptí, nulové poátení podmínky: aperiodická odezva proudu

Okamžité hodnoty naptí RLC obvodu získáme dosazením hledaného proudu do Ohmova zákona, rovnice kontinuity a Faradayova zákona. Defininí vztahy a jejich grafy pro reálné koeny charakteristické rovnice, zobrazené na obr. 2.34, jsou následující

−−

−=

−

−=

−==

−−−−−−212121 ee2eeee

21

21

21

21

21

211mR

t

t

t

t

t

t

UL

URIRiRu

ττττ

ττττ

αττ

ττ,

=

+−=

−==

−−−−

t

t

t I

Iiu

0

211m

01m

0C

2121 eeC

deeC

1d

C

1ξξξξ

ττξξ

77

t0

Im3

i

Td 2 Td 3 Td 4 Td

5 Td 6 Td

αααα = 0 s-1

αααα = 5 s-1

Obr. 2.33 Pechodný dj RLC obvodu, pipojení stejnosmrného zdroje naptí, nulové poátení podmínky: kvaziperiodická odezva proudu

( )

,ee11ee

eeC

1221

21

21

1

21

2

21

2

21

1

2121

212121

21

−−

−+=

+

−+

−−⋅

⋅−⋅−

=

−++−

−=

−−−−

−−

t

t

t

t

t

t

U

CL

CL

UL

U

τττ

τττ

τττ

τττ

ττττ

ττττττ

ττ

−−

−=

=

+−−

=

+−=

−

==

−−

−−−−

−−

12

2121

21

ee

eeee

d

eed

d

d

21

2

21

1

2121

21

211m

1

L

t

t

t

t

t

t

t

t

m

U

L

ULIL

t

I

Lt

iLu

τττ

τττ

ττττττ

ττ

a pro komplexn sdružené koeny

( ) ( ) ( )tUtL

URtIRiRu ttt

dd

dd

d3mR sine2sine2

2sine ω

ωα

ωω

ω ααα −−− ==== ,

( ) ( ) ( )( )=

+

+−===

−−

ttt L

U

Iiu0

2d

2dddd

0d3m

0C

cossine

Cdsine

C

1d

C

1

ωα

ξωωξωαωξξωξ

ξαξα

78

t0 ττττ1111 2ττττ1111 3ττττ1111 4ττττ1111 5ττττ1111 6ττττ1111

u

U

uo

uC

uL

uR

Obr. 2.34 Pechodný dj RLC obvodu, pipojení stejnosmrného zdroje naptí, nulové poátení podmínky: okamžité hodnoty naptí rezistoru, kapacitoru, induktoru a zdroje, aperiodické odezvy

( ) ( )( )=

+−−

+

+−=

−

2d

2d

2d

2ddd

d

cossine

ωα

ω

ωα

ξωωξωα

ω

ξα

LC

U

( ) ( ) ( ) ( ) ,cossine1cossine1 ddd

2d

2

2o

ddd

2d

2d

d

2o

+−

+=

+−

+= −− ttUttU tt ωω

ω

αωα

ωωω

ω

αωα

ω

ω

ω αα

( )( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ,cossinecossine

cosesined

sined

d

d

ddd

ddd

dd

ddd3md3m

L

+−=

+−=

=+−===

−−

−−−

ttUttL

UL

ttILt

tIL

t

iLu

tt

ttt

ωωωα

ωωωα

ωω

ωωωαω

αα

ααα

jejichž grafy jsou zobrazeny na obr. 2.35.

Grafy obvodových veliin pro dva rzné reálné koeny jsou aperiodické a pro koeny komplexnsdružené, kvaziperiodické. Hodnota parametr RLC obvodu rozhoduje o charakteru pechodného dje. Z meze stability obvodu mžeme po dosazení do rovnosti αω =o odvodit hodnotu tzv. kritického odporu obvodu

C

LR 2k = ,

který je roven dvojnásobku charakteristického odporu RLC obvodu. Je-li hodnota kritického odporu vtší než hodnota odporu obvodu tj. RR >k , je pechodný dj tlumený a kmitavý (kvaziperiodický),

je-li menší, tj. RR <k , je nekmitavý (aperiodický). Jinými slovy, aby byla odezva obvodu aperiodická, musí být tedy odpor obvodu vtší než kritický. Zvtšíme-li tedy odpor obvodu nad hodnotu kritického odporu, nevzniknou v obvodu vlastní kmity.

79

t0 Td 2Td 3 Td 4 Td

5 Td 6 Td

u

U

uo

uC

uL

uR

Obr. 2.35 Pechodný dj RLC obvodu, pipojení stejnosmrného zdroje naptí, nulové poátení podmínky: okamžité hodnoty naptí rezistoru, kapacitoru, induktoru a zdroje, kvaziperiodické odezvy

Míru tlumení kvaziperiodického pípadu RLC obvodu mžeme stanovit z pomru dvou po sobnásledujících amplitud stejné polarity obvodové veliiny, vztažených vi její ustálené hodnot, viz prbh meného signálu v na obr. 2.36 zastupujícího naptí nebo proud.

t0

v V1m (tm)

V2m (tm+Td)

Td

Obr. 2.36 Kvaziperiodická odezva signálu

Pomr nazýváme dekrement úhlu

( )( )

d

dm

dme

)(2

sinee

2sine

)(sine

sine

)(

)(

dm

d

md

dmd)(

m

mdm

dm2m

m1m T

Tt

t

Tt

t

TtT

tT

TtV

tV

TtV

tV α

αα

α

α

α

π

π

ω

ω=

+

=+

=+

=−−

−

+−

−

,

který po logaritmování oznaujeme jako logaritmický dekrement úhlu

d)eln(ln d T T αδ α === ,

pomocí kterého pi známé period vlastních kmit Td uríme initel tlumení

80

.dT

δα =

Píklad 2.5.

Urete hodnotu initele tlumení obvodu ze známého asového prbhu (odezvy) naptí kapacitoru na obr. 2.37.

t (s)0 0,1 0,2 0,3 0,4

0,5 0,6

uC (

V)

10

uCy(0,1) uCy(0,3)

Um(0,3)

Um(0,1)

Td

Obr. 2.37 Kvaziperiodická odezva naptí kapacitoru RLC obvodu, pipojení stejnosmrného zdroje naptí, nulové poátení podmínky, píklad 2.5

♦

Nejprve odmíme délky úseek vztyených kolmo na x-osu v asech 0,1 s a 0,3 s, které odpovídají 1. a 2. kladné amplitud asového prbhu naptí kapacitoru. Ty mají v poadí hodnoty 5,1 cm a 3,9 cm.

Perioda vlastních kmit je s2,0d =T . Mítko naptí je dáno pomrem cm

V125,3

cm3,2

V10U ==m .

Dekrement úhlu uríme dosazením odmených hodnot do jeho definice

714,21875,2

9375,5

V10-cm9,3cm

V125,3

V10-cm1,5cm

V125,3

V10-0,2),10(

V10-,1)0(

)2,01,0(

)1,0(

CyU

CyU

m

m ===+

=+

= um

um

U

U .

Hledaný initel útlumu má hodnotu

1-

d

s99,42,0

998,0

2,0

714,2lnln====

T

α .

ad b) Po pipojení obvodu k harmonickému zdroji u0 = Um sin(ωt+ψU) budou po odeznní pechodného dje ustálené hodnoty harmonické. Ustálenou okamžitou hodnotu proudu RLC obvodu, která je partikulárním ešením nehomogenní rovnice, uríme transformací ešení do komplexní roviny, kde asový prbh naptí zdroje reprezentuje fázor Ûo = Um/2 ejψU = U ejψU a parametry obvodu

impedanci ( )CLj1

jjˆ XXRC

LRZ −+=−+=ω

ω . Fázor proudu uríme ze vztahu

81

( )

=

−+

=

−+

=

=

−+

=−

+=

−+==

−−

−−

−

RC

LC

R

XX

R

XX

RC

LCR

U

R

XXR

U

R

XXR

U

R

XXR

U

XXR

U

Z

UI

ω

ωψψ

ψ

ω

ω

1arctanj

22

arctanj

2CL

jarctan2CL2

j

CL

o

CL

oo

2

UCLU

CL

U

e1

1

1e

1

1

e1

1e

j1

1ˆ

j

ˆ

ˆ

ˆˆ

( )

( )Z

R

U

R

U ϕψ

ωτ

ω

ω

ψ

ω

ωωτ

ωτ

ωτ

ω

ω

−

−

−

−

+

=

−

+

= U

2

o

U

j

22

o

2

1

arctanj

22

o

e

1

e

1

1

1.

Po vynásobení tohoto fázoru proudu komplexní periodickou funkcí ejωt, získáme komplexní, asovou funkci, komplexor proudu ve tvaru tItI ωjeˆ)(ˆ = a zptnou transformací na základ Eulerova vztahu, volbou imaginární ásti tohoto komplexoru, získáme partikulární ešení nehomogenní diferenciální rovnice 2. ádu RLC obvodu

( )

( )

( )

( ) =

−

+

=

=

−

+

===

−+

−

Z

Z

t

tt

R

U

R

UItIi

ϕψω

ωϕψω

ω

ωωτ

ωτ

ω

ωωτ

ωτ

U

U

j

22

o

2

jj

22

o

2

jp

e

1

Im2

ee

1

Im2eˆIm2)(ˆIm2

( )

( ) ( ).sinsin

1

UmU22

o

2

mZZ tIt

R

Uϕψωϕψω

ω

ωωτ

ωτ−+=−+

−

+

=

82

Hodnoty integraních konstant C1 a C2 uríme z úplného ešení nehomogenní rovnice RLC obvodu a

matematických poáteních podmínek )0(i , t

i

d

)0(d z následující soustavy rovnic

( ) ( )( ) ( )ZZtt

ttICCtICCiii ϕψϕψωλλ −++=−+++=+=

→→Um21Um21

0ph

0sinsineelimlim)0( 21 ,

( ) ( )( )

( ),cos

d

sindeelim

d

dlim)0(

Um2211

Um2211

0

ph

0

21

Z

Ztt

tt

ICC

t

tICC

t

iii

ϕψωλλ

ϕψωλλ λλ

−++=

=

−+++=

+=′

→→

ze které nap. Cramerovým pravidlem stanovíme konstanty

( )( ) ( )

( ) ( ),

cossin)0()0(

cos)0(sin)0(

12

UU2m

12

2

12

UmUm21

λλϕψωϕψλ

λλλ

λλϕψωϕψλ

−

−−−−

−

′−=

=−

−+′−−−=

ZZ

ZZ

Iii

IiIiC

( ) ( )( )

( )( ) ( )

( ) ( ),

cossin)0()0(

cos)0(sin)0(

sin)0(cos)0(

12

UU1m

12

1

12

UmUm1

12

Um1Um2

λλϕψωϕψλ

λλλ

λλϕψωϕψλ

λλϕψλϕψω

−

−−−+

−

′−−=

=−

−+′−−−−=

=−

−−−−−′=

ZZ

ZZ

ZZ

Iii

IiIi

IiIiC

kde hodnotu )0(i′ uríme z výchozí rovnice obvodu

,0)sin()0()0()0(

)sin(d

dlim

d

dlim

UmC

UmC0

oC0

=−′++=

=

+−++=

−++→→

ψ

ψω

UiLuiR

tUt

iLuiRu

t

iLuiR

tt

takže pro derivaci proudu v poátku platí

L

uiRUi

)0()0()sin()0( CUm −−

=′ψ

.

Po dosazení konstant C1 a C2 do ešení homogenní rovnice mžeme toto ešení rozepsat na dv ásti

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )( )[( ) ( )( ) ],ecossin

ecossine)0()0(

e)0()0(

ecossin

e)0()0(

ecossin

e)0()0(

ee

2

121

22

1121

UU1

UU212

m

12

1

12

2

12

UU1m

12

1

12

UU2m

12

221h

tZZ

tZZ

tt

tZZt

tZZttt

Iiiii

Iii

Iii

CCi

λ

λλλ

λλ

λλλλ

ϕψωϕψλ

ϕψωϕψλλλλλ

λλλ

λ

λλϕψωϕψλ

λλλ

λλϕψωϕψλ

λλλ

−−−−

−−−−−

−−

′−−

−

′−=

=−

−−−+

−

′−−

−−

−−−−

−

′−=+=

,

kde první dva leny jsou shodné s ešením odvozeným pro stejnosmrné buzení RLC obvodu.

83

Dosazením dvou reálných koen získáme ešení homogenní rovnice

−

−−−

−−

−−=

−−21 e

)0()sin()0(

1e

)0()sin()0(

1 CUm

2

CUm

121

21h

ττ ψτ

ψτττ

ττtt

L

uUi

L

uUii

( ) ( ) ( ) ( )

−+−−

−+−

−−

−−21 ecossin

1ecossin

1UU

1UU

221

21m

ττ ϕψωϕψτ

ϕψωϕψτττ

ττt

ZZ

t

ZZI

a pro komplexn sdružené koeny ešení v podob komplexní funkce reálné promnné t

( )

( )

( ) ( )( )[( ) ( )( ) ].eecossin)j(

eecossin)j(j2

ee)0()sin(

)0(j

ee)0()sin(

)0(jj2

1

d

d

d

d

jUUd

jUUd

d

m

jCUmd

jCUmd

dh

ttZZ

ttZZ

tt

tt

I

L

uUi

L

uUii

ωα

ωα

ωα

ωα

ϕψωϕψωα

ϕψωϕψωαω

ψωα

ψωα

ω

−−

−

−−

−

−+−−−

−−+−+−

−

−−+−

−

−−−−=

Jsou-li poátení podmínky stavových veliin nulové, tj. A0)0( =i a V0)0(C =u , zjednoduší se obešení homogenní rovnice na funkce

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

−+−−

−+−

−−

−

−

−=

−+−−

−

−+−

−−

−

−=

−−

−−−

−−−

21

212

121

ecossinecossin

ee)sin(

ecossin1

ecossin1

ee)sin(

U2o

U2U2o

U121

m

21

21UmUU

1

UU221

21m

21

21Umh

t

ZZ

t

ZZ

t

t

t

ZZ

t

ZZ

t

t

I

L

U

IL

Ui

ϕψωω

ϕψτϕψωω

ϕψτττ

ττττψ

ϕψωϕψτ

ϕψωϕψτττ

ττττ

ττψ

a

[ ] ( ) ( )( )[

( ) ( )( ) ]

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =

−+−+−−

−=

=

+−+

−−+

−−⋅

⋅−−

=−+−−−

−−+−+−−=

−

−

−−−

−−

−−

−−−

tttI

tL

U

I

L

U

I

L

Ui

ZZZt

t

tt

Z

tt

Z

tt

Z

ttt

ttZZ

tZZ

tttt

dUdUd

dUd

m

dd

Um

jj

Ud

jj

U

jj

U

d

mjj

d

UmjUUd

jUUd

d

mjj

d

Umh

cossinsinsinsincose

sine)sin(

j2

eesinj

j2

eesin

j2

eecos

ej2

eee

)sin(ecossin)j(

ecossin)j(ej2

eeej2

)sin(

dddddd

dd

d

ddd

ωϕψωϕψωα

ωϕψωω

ωω

ψ

ϕψωϕψαϕψω

ωω

ψϕψωϕψωα

ϕψωϕψωαωω

ψ

α

α

ωωωωωω

αωω

αω

ωαωωα

84

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .cossinsinsincose

sine)sin(

dUdU

d

U

d

m

dd

Um

−+

−+−−

−=

−

−

ttI

tL

U

ZZZt

t

ωϕψωϕψωα

ϕψωω

ωω

ψ

α

α

Úplné ešení má pro dva reálné koeny tvar

( ) ( )

( ) ( ) ( ).sinecossin

ecossinee)sin(

UmU2o

U2

U2o

U121

m

21

21Umph

2

121

Z

t

ZZ

t

ZZ

t

t

tI

I

L

Uiii

ϕψωϕψωω

ϕψτ

ϕψωω

ϕψτττττ

ττψ

−++

−+−−

−

−+−

−−

−

−=+=

−

−−−

a pro komplexn sdružené koeny

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ).sin

cossinsinsincose

sine)sin(

Um

dUdUd

Ud

m

dd

Umph

Z

ZZZt

t

tI

ttI

tL

Uiii

ϕψω

ωϕψωϕψω

αϕψ

ω

ω

ωω

ψ

α

α

−++

+

−+

−+−−

−=+=

−

−

Okamžité hodnoty naptí obvodových prvk RLC obvodu pro dva reálné koeny získáme aplikací Ohmova zákona, rovnice kontinuity a Faradayova zákona

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

−

−

−=

=−+

−

+

+

−+−−

−

−+−

−

−

+

−

−⋅

⋅−

=−++

−+−−

−

−+−

−−

−

−==

−−

−

−−−

−

−−−

21

2

121

2

121

ee)sin(2

sin

1

ecossin

ecossin1

1

ee

)sin(2sinecossin

ecossinee)sin(

21

21Um

U22

o

2

mU2

oU2

U2o

U121

22

o

2

m

21

21UmUmU2

oU2

U2o

U121

m

21

21UmR

t

t

Z

t

ZZ

t

ZZ

t

t

Z

t

ZZ

t

ZZ

t

t

U

tR

UR

R

UR

UtIR

IR

L

URiRu

ττττ

αψ

ϕψω

ω

ωωτ

ωτϕψ

ωω

ϕψτ

ϕψωω

ϕψτττ

ω

ωωτ

ωτ

ττττ

ψαϕψωϕψωω

ϕψτ

ϕψωω

ϕψτττττ

ττψ

85

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( ),sin

1

ecossin

ecossin1

1

U22

o

2

mU2

oU2

U2o

U121

22

o

2

m

2

1

Z

t

ZZ

t

ZZ

tU

U

ϕψω

ω

ωωτ

ωτϕψ

ωω

ϕψτ

ϕψωω

ϕψτττ

ω

ωωτ

ωτ

−+

−

+

+

−+−−

−

−+−

−

−

+

−

−

−

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )[ ] =−+−

−

+

+

+

−+−−

−+−⋅

⋅−

−

+

−

−

−=

=

−+−

−

+

+

+

−

−+−−−

−+−⋅

⋅−

−

+

−

−−−

−=

=

−++

−+−−

−

−+−

−−

−

−=

==

−−

−−

−−

−−

−

−−−

tZ

t

ZZ

ZZ

t

t

Z

t

ZZ

ZZ

t

t

Z

ZZ

ZZ

t

U

UU

CR

U

CR

UCL

CL

U

I

I

L

U

iu

0U22

o

2

m

0

1U2o

2

U12U2o

2

U2

2122

o

2

m

0

1221

Um

0U22

o

2

m

0

2U2o

U21U2o

U1

2122

o

2

m

0

2121

Um

0

UmU2o

U2

U2o

U121

m

21

21Um

0C

cos

1

ecossinecossin

1

1

ee)sin(

cos1

1

ecossinecossin

1

1

ee)sin(

d

sinecossin

ecossinee)sin(

C

1

dC

1

12

12

21

21

2

121

ϕψξω

ω

ωωτ

τϕψω

ωϕψωττϕψ

ω

ωϕψωτ

ττ

ω

ωωτ

ττττψ

ϕψξωω

ω

ωωτ

ωτ

τϕψωω

ϕψττϕψωω

ϕψτ

ττ

ω

ωωτ

ωτττ

ττψ

ξ

ϕψξωϕψωω

ϕψτ

ϕψωω

ϕψτττττ

ττψ

ξ

ξξ

ξξ

ξξ

ξξ

ξ

ξξξ

86

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )[ ]

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( )[ ],coscos

1

1ecossin

1ecossin

1

1

ee1)sin(

coscos

1

cossincossin

ecossinecossin

1

1

1ee)sin(

UU22

o

2

m

U2o

2

U11

U2o

2

U22

2122

o

2

m

21

1

21

2Um

UU22

o

2

m

2U2o

2

U21U2o

2

U1

1U2o

2

U12U2o

2

U2

2122

o

2

m

21

1

21

2Um

1

2

12

12

12

ZZ

t

ZZ

t

ZZ

t

t

ZZ

ZZZZ

t

ZZ

t

ZZ

t

t

tU

UU

tU

UU

ϕψϕψω

ω

ωωτ

ϕψω

ωϕψωττ

ϕψω

ωϕψωττ

ττ

ω

ωωτ

τττ

τττ

ψ

ϕψϕψω

ω

ωωτ

τϕψω

ωϕψωττϕψ

ω

ωϕψωτ

τϕψω

ωϕψωττϕψ

ω

ωϕψωτ

ττ

ω

ωωτ

τττ

τττ

ψ

−+−+−

−

+

+

+

−

−+−−

−

−

−+−⋅

⋅−

−

+

−

−−

−+=

=−+−+−

−

+

+

+

−+−−

−+−+

+

−+−−

−+−⋅

⋅−

−

+

−

+

−−

−=

−

−

−−

−−

−−

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

−

−

−+−

−

−

+

−

−

−−−⋅

⋅−

=

−++

−+−−

−

−+−

−−

−

−==

−

−−

−

−−−

1

21

2

121

e1

cossin1

1

e1

e1

)sin(sinecossin

ecossinee)sin(

d

d

d

d

1U2

oU1

2122

o

2

m

21

21

21UmUmU2

oU2

U2o

U121

m

21

21UmL

t

ZZ

t

t

Z

t

ZZ

t

ZZ

t

t

R

UL

UtI

I

L

U

tL

t

iLu

τϕψ

ωω

ϕψτττ

ω

ωωτ

ωτ

ττ

ττττ

ψϕψωϕψωω

ϕψτ

ϕψωω

ϕψτττττ

ττψ

87

( ) ( )

( )

( )

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ).cos2

1

ecossin1

ecossin1

2

1

1

e1

e1

)sin(

cos

1

e1

cossin

U22

o

2

m

U2o

U11

U2o

U22

2122

o

2

m

1221

21Um

U22

o

2

m

2U2

oU2

12

12

2

Z

t

ZZ

t

ZZ

t

t

Z

t

ZZ

tU

UU

tR

UL

ϕψωα

ω

ω

ωωτ

ωτ

ϕψωω

ϕψττ

ϕψωω

ϕψττ

ττα

ω

ωωτ

ωτττττ

ττψ

ϕψωω

ω

ωωτ

ωτ

τϕψ

ωω

ϕψτ

−+

−

+

+

+

−+−−

−+−⋅

⋅−

−

+

−

−

−=

=−+

−

+

+

+

−

−+−−

−−

−−

−

Z odvozených funkcí je zejmé, že pechodná složka se v RLC obvodu vyvine vždy a závisí na hodnot argumentu impedance obvodu ϕΖ (fázový posun obvodu) a okamžiku pipojení obvodu k harmonickému zdroji naptí, kterému odpovídá poátení fáze naptí ψU v okamžiku sepnutí spínae S na obr. 2. 31. Vliv poátení fáze na okamžik pipojení obvodu ke zdroji si ukažme na grafech okamžitých hodnot aperiodických odezev obvodových veliin pro pípady Zϕψ =U a

2/U πϕψ += Z , zobrazené v uvedeném poadí na obr. 2.38, 2.39 a obr. 2.40, 2.41, pi kterých rozdíl

ZU ϕψ − v argumentech harmonických funkcí nabývá hodnot 0 a π/2. Tmto hodnotám argument, v uvedeném poadí, odpovídají nejmenší a nejvtší okamžité hodnoty pechodné složky veliin obvodu, jejichž velikost je dobe patrná z graf obr. 2.38 a 2.40.

t0

Im

i

ττττ1111 2ττττ1111 3ττττ1111 4ττττ1111 5ττττ1111 6ττττ1111

ψψψψ U = ϕϕϕϕ Z

Obr. 2.38 Pechodný dj RLC obvodu, pipojení harmonického zdroje naptí, nulové poátení podmínky: aperiodická odezva proudu

88

t0 ττττ 2ττττ 3ττττ 4ττττ 5ττττ 6ττττ

Um

u

uo

uC

uL

uR

20⋅⋅⋅⋅uC

ψψψψ U = ϕ ϕ ϕ ϕ Z

Obr. 2.39 Pechodný dj RLC obvodu, pipojení harmonického zdroje naptí, nulové poátení podmínky, aperiodická odezva: okamžité hodnoty naptí rezistoru, kapacitoru, induktoru a zdroje

t0

Im

i

ττττ1111 2ττττ1111 3ττττ1111 4ττττ1111 5ττττ1111 6ττττ1111

ψψψψ U = ϕϕϕϕ Z + ππππ/2

Obr. 2.40 Pechodný dj RLC obvodu, pipojení harmonického zdroje naptí, nulové poátení podmínky: aperiodická odezva proudu

Okamžité hodnoty naptí obvodových prvk RLC obvodu pro komplexn sdružené koeny jsou dány

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )] ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) +

−+

−+−

−

+

−

−=−++−+

+

−+−−==

−

−

−−

ttU

tUtIRt

tIRtL

URiRu

ZZZt

tZZ

ZZtt

dUdUd

Ud

22

o

2

m

dd

UmUmdU

dU

d

U

d

mdd

UmR

cossinsinsincose

1

sine)sin(2sincossin

sinsincosesine)sin(

ωϕψωϕψωα

ϕψωω

ω

ωωτ

ωτ

ωωα

ψϕψωωϕψ

ωϕψωα

ϕψωω

ωω

ψ

α

α

αα

89

t0

Um

u

uo

uC

uL

uR

20⋅⋅⋅⋅uC

ψψψψ U = ϕ ϕ ϕ ϕ Z+ ππππ/2

ττττ 2 ττττ 3 ττττ 4 ττττ 5 ττττ 6 ττττ

Obr. 2.41 Pechodný dj RLC obvodu, pipojení harmonického zdroje naptí, nulové poátení podmínky, aperiodická odezva: okamžité hodnoty naptí rezistoru, kapacitoru, induktoru a zdroje

( )

( ),sin

1

U22

o

2

mZt

Uϕψω

ω

ωωτ

ωτ−+

−

+

+

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )] ( )

( ) ( )( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )+

+

−−−+

+

+

+−

−+−⋅

⋅

−

+

−

+

+−=

=

−++−+

+

−+−−

=

==

−

−

−

−−

t

Z

t

ZZ

t

t

ZZ

ZZtt

t

UU

It

tItL

U

iu

02d

2ddd

U

02d

2ddd

Ud

Ud

22

o

2

m

02d

2ddd

d

2o

Um

0

UmdU

dUd

Ud

mdd

Um

0C

sincosesin

cossinesincos

1

cossine)sin(

d

sincossin

sinsincosesine)sin(

C

1

dC

1

ωαξωωξωα

ϕψ

ωαξωωξωα

ϕψωα

ϕψωω

ω

ωωτ

ωωα

ξωωξωαωω

ψ

ξ

ϕψξωωϕψ

ωϕψωα

ϕψωω

ωω

ψ

ξ

ξα

ξα

ξα

αα

90

( )

( )

( ) ( )( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )

( )

( )[ ]

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )[ ],coscos

1

sincose1sin

cossine1sincos

1

cossine1)sin(

1cos

1

sincosesin

cossinesincos

1

cossine)sin(

cos1

1

UU22

o

2

m

dd

dU2d

2

ddd

Ud

Ud

2d

2d

22

o

2

mdd

d2d

2

2o

Um

U22

o

2

m

2d

22d

2ddd

U

2d

2d

2d

2ddd

Ud

Ud

22

o

2

m2d

2d

2d

2ddd

d

2o

Um

0U22

o

2

m

ZZ

tZ

tZZ

t

Z

t

Z

t

ZZ

t

t

Z

tU

tt

tt

UttU

tU

tt

tt

UttU

U

ϕψωϕψ

ω

ωωτ

ωαω

ωϕψωα

α

ωωωα

ϕψωα

ϕψωω

ωαω

ω

ωωτ

ωωω

ωα

ωαω

ψ

ϕψω

ω

ωωτ

ωαα

ωαωωωα

ϕψ

ωαω

ωαωωωα

ϕψωα

ϕψωω

ω

ωωτ

ωωα

ωωα

ωωωαωω

ψ

ϕψξωω

ω

ωωτ

ω

α

α

α

α

α

α

−+−−

−

+

+

+

−−⋅−

++

+

+−

−+−

+⋅

⋅

−

+

−

+−

+=

=+−+−

−

+

+

+

+−−

+

−−−+

+

+−−

+

+−

−+−⋅

⋅

−

+

−

+−−

+

+−=

=

−+−

−

+

+

−

−

−

−

−

−

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )] ( )) ( ) ( )( )−+−=−++−+

+

−+−−==

−

−−

ttU

tIt

tItL

U

tL

t

iLu

tZZ

ZZtt

dddd

UmUmdU

dU

d

U

d

mdd

UmL

cossine)sin(

sincossin

sinsincosesine)sin(

d

d

d

d

ωωωαω

ψϕψωωϕψ

ωϕψωα

ϕψωω

ωω

ψ

α

αα

91

( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )]( )

( ) =−+

−

+

+−−−+

++−

−+−

−

+

−

−

−

Zt

Z

tZZ

tU

tt

ttU

ϕψωα

ω

ω

ωωτ

ωτωαωωϕψ

ωωωαϕψωα

ϕψωω

α

ω

ωωτ

ωτ

α

α

U22

o

2

mdddU

dddUd

Ud

22

o

2

m

cos2

1

cossinesin

cossinesincos2

1

1

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

( ).cos2

1

cossin

esincossinesincos

2

1

1

cossine)sin(

U22

o

2

mdd

d

Udd

dUd

Ud

22

o

2

mdd

dUm

Z

tZ

tZZ

t

tU

tt

tt

UttU

ϕψωα

ω

ω

ωωτ

ωτωω

αω

ϕψωαω

ωϕψωα

ϕψωω

ω

ωωτ

ωτωω

ωα

ψ

αα

α

−+

−

+

+

+⋅

⋅−−

+−

−+−⋅

⋅

−

+

−

+−=

−−

−

Charakter prbh RLC obvodu výrazn závisí na interferenci zdrojem vnucovaného kmitotu a vlastního kmitotu obvodu. Významn se projevují pi malém tlumení obvodu, kdy je i kmitoet vlastních kmit blízký rezonannímu kmitotu obvodu. ím je tlumení menší, tím delší je doba trvání pechodného dje, a tedy i dosažení ustáleného stavu a velikost naptí kapacitoru a induktoru narstá s asem a dosahuje mnohonásobných hodnot amplitudy partikulárního ešení obvodu, viz obr. 2.42 a 2.43.

t0

Im

i

Td 2Td 3Td 4Td

5Td 6Td

Obr. 2.42 Pechodný dj RLC obvodu, pipojení harmonického zdroje naptí, nulové poátení podmínky: kvaziperiodická odezva proudu pi malém tlumení obvodu

92

t0

Um

u

Td 2 Td 3 Td 4 Td

5 Td 6 Td

uo

uC

uL

uR

Obr. 2.43 Pechodný dj RLC obvodu, pipojení harmonického zdroje naptí, nulové poátení podmínky, kvaziperiodická odezva: okamžité hodnoty naptí rezistoru, kapacitoru, induktoru a zdroje pi malém tlumení obvodu

Shrnutí pojm 2.3.

Chování RLC obvodu je popsáno diferenciální rovnicí 2. ádu. Charakter odezvy pechodného dje závisí na hodnotách parametr RLC obvodu resp. na hodnotách initele útlumu α a rezonanního

úhlového kmitotu obvodu ωo. Platí-li pro parametry rovnost C

LRR 2k == resp. αω =o , ešení

charakteristické rovnice má dvojnásobný reálný koen, kterému odpovídá ešení homogenní diferenciální rovnice s nejkratší dobou trvání pechodného jevu, a které je mezním pípadem mezi aperiodickým ( RR <k , αω <o ) a kvaziperiodickým ( RR >k , αω >o ) ešením rovnice obvodu.

V pípad kvaziperiodické odezvy RLC obvodu dochází ke vzniku vlastních kmit obvodu, nezávisle na kmitotu zdroje. Zajímavá situace nastává pi malých hodnotách initele útlumu, kdy vlastní kmitoet je blízký rezonannímu a obvod se nachází blízko stavu rezonance, kdy amplitudy naptí kapacitoru resp. induktoru jsou prakticky stejn velké a dosahují násobku amplitudy naptí zdroje, jenž závisí na initeli jakosti obvodu.

Pi pipojení RLC obvodu k harmonickému zdroji naptí závisí na velikosti jeho poátení fáze, jak velká se vyvine pechodná složka prbh obvodových veliin. Minimální pechodná složka se vyvine, je-li poátení fáze zdroje rovna fázovému posunu obvodu v ustáleném stavu. Nejvíce se projevuje vliv pechodné složky na okamžitých hodnotách naptí kapacitoru, který filtruje stejnosmrnou složku naptí.

Otázky 2.3.

1. Jaké možné pípady ešení má charakteristická rovnice RLC obvodu?

2. Kolik a jaké matematické poátení podmínky musíme znát, abychom stanovili integraní konstanty obecného ešení diferenciální rovnice RLC obvodu.

3. Jaký je vztah mezi fyzikálními a matematickými poáteními podmínkami RLC obvodu?

93

4. Co je to kritický odpor obvodu?

5. Pro v praxi nemžeme zrealizovat mez aperiodicity RLC obvodu?

6. Mžeme njakým zpsobem zabránit vzniku vlastních kmit obvodu?

7. Závisí kmitoet vlastních kmit obvodu na kmitotu zdroje obvodu?

8. Na kterém obvodovém prvku se nejvíce projeví pechodná složka ešení RLC obvodu?

9. Jak uríme initel útlumu z kvaziperiodické odezvy RLC obvodu?

10. Pi jaké poátení fázi harmonického zdroje naptí vznikne minimální pechodná složka ešení RLC obvodu ?

Úloha k ešení 2.3.

Stanovte hodnoty obvodových parametr sériového RLC obvodu, znáte-li hodnotu initele útlumu α a kmitoet vlastních kmit ωd. Provete diskuzi ešení.

ešení:

Hodnoty parametr RLC obvodu nelze obecn urit pouze ze známých hodnot initele útlumu L

R

2=α

a vlastního úhlového kmitotu obvodu

222

od 2

1

−=−=L

R

LCαωω ,

protože máme k dispozici pouze dv rovnice pro ti neznámé hodnoty parametr. Mžeme je ale urit, pedadíme-li neznámému RLC obvodu rezistor RT o známé hodnot odporu, která však nesmí zpsobit zánik vlastních kmit obvodu. Získáme tak nové hodnoty initele útlumu Tα a vlastního

úhlového kmitotu obvodu dTω definované vztahy

L

RR

2T

T

+=α a 2

T2o

2dT αωω −= .

Hodnotu odporu R a induknosti L pvodního obvodu uríme ze soustavy rovnic

TT 2 RRL =−α , 02 =− RLα ,

jejímž ešením jsou hodnoty parametr

( )αα −=

T

T

2

RL a

ααα

−=

T

TRR .

Hodnotu kapacity C pvodního obvodu uríme pomocí kvadrátu rezonanního kmitotu obvodu

2

122

T2d

2dT2

o

ααωωω

+++==

LC,

který jsme získali soutem a úpravou následujících rovnic

2T

2o

2dT αωω −= , 22

o2d αωω −= ,

pro jejíž hodnotu platí

94

( )( )

( )22T

2d

2dTT

T22

T2d

2dT

42

ααωω

αα

ααωω +++

−=

+++=

RLC .

95

3. Dvojbrany

Motivace Po prostudování této kapitoly budete umt

• používat šipkovou konvenci dvojbran a umt je klasifikovat • urit parametry lineárních dvojbran ze stav naprázdno a nakrátko • piadit ekvivalentní obvodové modely k rovnicím dvojbranu • urit parametry regulárního azení dvojbran • urit vztah mezi jednotlivými typy parametr dvojbranu • definovat ideální transformátor a gyrátor a transformaci zatžovací impedance na

vstupní bránu. • definovat základní aktivní dvojbrany, energetickou bilanci vstupní brány

3.1. Základní úvahy a terminologie Analyzujeme-li složitjší obvody, mžeme na n nahlížet bu na zapojení složené z istdvojpólových obvodových prvk popsané obecnými metodami ešení obvod nebo na zapojení tvoené spojením více pólových obvodových prvk. Omezíme-li se jen na vztahy mezi sledovanými veliinami pól, sníží poet závislých veliin obvodu, ímž se podstatn zjednoduší i popis obvodu. Má-li takovýto obvodový prvek dva páry pól se spoleným naptím a proudem, pak tmto párm íkáme brány a mluvíme o dvojbranech pípadn o typólech. Jednu bránu nazýváme vstupní a zpravidla ji oznaujeme svorkami 1, 1‘ a druhou výstupní se svorkami 2, 2‘, viz obr. 3.1. K analýze chování dvojbranu použijeme pouze vztahy mezi naptími a proudy tchto bran, tj. mezi jeho vnjšími veliinami a není tak teba hledat naptí a proudy ve vtvích „skrytých“ uvnit dvojbranu. Pi výkladu se omezme jen na popis dvojbranu v harmonicky ustáleném stavu, který provedeme pomocí fázornaptí a proudu vstupní brány Û1, Î1 a výstupní brány Û2, Î2, tedy v oboru komplexních hodnot.

Û1

Î1

Û2

Î2

2

2‘

1

1‘

Û1

Î1

Û2

Î2

2

2‘

1

1‘

Pasivní dvojbran

Aktivní dvojbran

Obr. 3.1 Šipková konvence: aktivní pasivní, aktivní dvojbran

Dvojbran charakterizují tyi veliiny, dv branová naptí Û1, Û2 a dva branové proudy Î1, Î2. Jak uvidíme, ze ty veliin mžeme ke zvoleným dvma nezávislým veliinám (promnným) piadit dvzávislé veliiny (promnné) celkem 6 zpsoby. Je-li dvojbran lineární, funkní závislosti mezi dvma závislými a nezávislými veliinami jsou definovány tymi parametry dvojbranu, které jednoznandefinují jeho vlastnosti. Dvojbran je jednoznan uren kteroukoliv z možných tveic parametr a ty, jak si ukážeme, je možné navzájem na sebe pepoítat pomocí lineárních transformací.

Podle energetické bilance rozlišujeme dvojbrany pasivní a aktivní. Pasivní dvojbran má poítací šipky proudu obou bran orientované dovnit dvojbranu a poítací šipky naptí od horní svorky ke svorce dolní, viz obr. 3.1 vlevo. Jelikož je tvoen jen pasivními obvodovými prvky, pedpokládáme, že objeho brány odebírají energii z vnjšího obvodu, emuž odpovídá i spotebiová orientace poítacích šipek obou bran dvojbranu. Aktivní dvojbran má poítací šipky proudu obou bran orientované ven z dvojbranu a poítací šipky naptí od horní svorky ke svorce dolní, viz obr. 3.1 vpravo. Jelikož

96

obsahuje i nezávislé zdroje, pedpokládáme, že ob jeho brány trvale dodávají energii do vnjšího obvodu, emuž odpovídá i zdrojová orientace poítacích šipek obou bran dvojbranu.

Podle typu charakteristik dlíme dvojbrany na lineární a nelineární. U lineárního dvojbranu platí princip superpozice, žádný parametr dvojbranu není funkcí branových veliin, a proto lze pro urení jeho parametr použít stavy naprázdno a nakrátko. Nelineární dvojbran má parametry závislé na branových veliinách, proto se snažíme podmínku lineárnosti splnit alespo v jistém okolí tzv. pracovního bodu dvojbranu.

Obsahuje-li dvojbran nezávislý zdroj energie, mže dodávat trvale energii do obvodu a nazývá se autonomní. Dále existují dvojbrany (i spíše jejich modely) neautonomní, které obsahují pasivní prvky a ízené zdroje, ne však nezávislé zdroje energie. Jsou to nap. tranzistory, operaní zesilovae a jiné zesilující struktury, které považujeme sice za aktivní prvky, avšak ty nejsou schopné trvale dodávat energii do obvodu, nebo jejich modely obsahují pouze ízené zdroje. ízené zdroje v náhradním schématu dvojbranu tak zastupují úinek nezávislého zdroje a pouze ídí distribuci energie z nezávislého zdroje do obvodu, blíže viz kapitola 5.2. Nezávislý zdroj je nutný k nastavení vhodného pracovního bodu aktivního prvku, a proto se v náhradním schématu (modelu) obvodu vtšinou nekreslí. Každý autonomní dvojbran lze v tomto smyslu popsat pomocí neautonomního dvojbranu a nezávislého zdroje.

Podle topologické struktury dlíme dvojbrany na podéln a pín soumrné, což ukazuje obr. 3.2. Na rozdíl od podélné soumrnosti nemá píná souvislost vliv na parametry dvojbranu, takže obbrány pín soumrného dvojbranu jsou zamnitelné.

Typické dvojbrany jsou dlie naptí a proudu, zesilovae, zpožovací lánky, filtry, derivaní a integraní obvody, aj.

2

2‘

1

1‘

2

2‘

1

1‘

Obr. 3.2 Typy symetrie dvojbranu: podélná, píná

Píklad 3.1.

Rozhodnte, který z odporových dvojbran na obr. 3.3 je podéln nebo pín soumrný.

2

2‘

1

1‘

2

2‘

1

1‘

R R

2R 2R

R

3R

Obr. 3.3 Zapojení dvojbran, píklad 3.1

♦

Dvojbran na obr. 3.3 vlevo je podéln soumrný, protože má v podélné vtvi stejné hodnoty odpor. Tento dvojbran je ale i krajn pín nesoumrný, protože je vlastn trojpólem modelovaným

97

dvojbranem, protože má pímo propojené svorky 1‘ a 2‘. Dvojbran vpravo je pín soumrný. Nezáleží u nj na hodnotách odpor, protože píná soumrnost nemá vliv na parametry dvojbranu.

Shrnutí pojm 3.1.

Dvojbran je typólový prvek se dvma branami, vymezenými dvojicemi svorek. Bez ohledu na jeho vnitní strukturu mžeme jeho vlastnosti vyjádit vztahy mezi proudy a naptími jeho bran. Vlastnosti dvojbranu jsou obecn ureny tymi parametry. Parametry lineárního dvojbranu urujeme ze stavnaprázdno a nakrátko. Dvojbrany dlíme podle rzných hledisek na aktivní a pasivní, lineární a nelineární, autonomní a neautonomní a pín a podéln soumrné. K modelování aktivních prvkpoužíváme ízené zdroje.

Otázky 3.1.

1. K emu používáme model dvojbranu?

2. Co je to brána dvojbranu a co vymezuje?

3. Kolik veliin potebujeme k popisu dvojbranu?

4. Kolika parametry je charakterizován lineární dvojbran?

5. Jakým zpsobem uríme parametry lineárního dvojbranu?

6. Na em závisí volba poítacích šipek dvojbranu?

7. Jak dlíme z energetického hlediska dvojbrany?

8. Charakterizujte nelineární dvojbran?

9. Jaký se liší autonomní a neautonomní dvojbran?

10. Co modelují ízené zdroje v náhradním schématu dvojbranu?

11. Jak nazýváme dvojbran s aktivním prvkem nap. tranzistorem?

12. Má zámna bran pín soumrného dvojbranu vliv na jeho parametry?

Úloha k ešení 3.1

Pi spotebiové šipkové konvenci byly zjištny ve stejnosmrném obvodu veliiny vstupní brány U 1

= 5 V, I 1 = 0,1 A a výstupní brány dvojbranu a) U2 = 2 V, I2 = 0,2 A b) U2 = 2 V, I2 = -0,25 A; c) U2

= 2 V, I2 = -0,3 A. Posute situace z hlediska pasivity a aktivity dvojbranu.

ešení:

Pi spotebiové orientaci je výkon dodávaný do stejnosmrného obvodu definován vztahem

221121 IUIUPPP +=+= . Pro P > 0 se jedná o obvod pasivní, pro P = 0 bezeztrátový a pro P < 0

o obvod aktivní. Pro vstupní bránu platí W5,01,05111 =⋅== IUP . Pro výstupní bránu a celý dvojbran platí pro jednotlivé body zadání:

a) W9,02,025,0111 =⋅+=+= IUPP , pasivní dvojbran

b) ( ) W025,025,0111 =−⋅+=+= IUPP , bezeztrátový dvojbran

c) ( ) W1,03,025,0111 −=−⋅+=+= IUPP , aktivní dvojbran.

98

3.2. Matematické a obvodové modely dvojbranV dalším výkladu se omezme jen na modely neautonomních lineárních dvojbran v harmonicky ustáleném stavu, kterých je, jak již bylo zmínno šest.

Admitanní model

Za nezávisle promnné veliiny volíme branová naptí Û1, Û2. Závisle promnné veliiny jsou branové proudy Î1, Î2, které mžeme popsat lineární kombinací naptí

2121111ˆˆˆˆˆ UYUYI += ,

2221212ˆˆˆˆˆ UYUYI += ,

nebo v maticovém tvaru

⋅

=

2

1

2221

1211

2

1

ˆ

ˆ

ˆˆ

ˆˆ

ˆ

ˆ

U

U

YY

YY

I

I,

kde parametry dvojbranu jsou definovány admitanní maticí

[ ]

=

2221

1211

ˆˆ

ˆˆˆ

YY

YYY ,

která je souasn charakteristikou dvojbranu. Každy prvek admitanní matice má rozmr S.

Vzhledem k linearit dvojbranu mžeme parametry admitanní matice urit podle obr. 3.4 ze stavnakrátko. Pi buzení vstupu dvojbranu zdrojem naptí a zkratovaném výstupu platí 1111

ˆˆˆ UYI = a

1212ˆˆˆ UYI = a pi buzení výstupu dvojbranu zdrojem naptí a zkratovaném vstupu platí 2121

ˆˆˆ UYI = a

2222ˆˆˆ UYI = . Z tchto rovnic uríme parametry admitanní matice následovn:

vstupní admitanci (nakrátko)

01

111

2

ˆ

ˆˆ

=

=U

U

IY ,

penosovou admitanci (nakrátko)

02

112

1

ˆ

ˆˆ

=

=U

U

IY ,

penosovou admitanci (nakrátko)

01

221

2

ˆ

ˆˆ

=

=U

U

IY ,

výstupní admitanci (nakrátko)

02

222

1

ˆ

ˆˆ

=

=U

U

IY .

99

Û1

Î1

Û2 = 0 V

Î2

2

2‘

1

1‘

Û1= 0 V

Î2

2

2‘

1

1‘

11Y

Î1 Î2

2

2‘

1

1‘

Û2

Î2

2

2‘

1

1‘

21Y

Î1

12Y

22Y

Û2

Û2 = 0 VÛ1

Î1

Û1= 0 V

Obr. 3.4 Urování admitanních parametr z provozních stav dvojbranu

Obvodový model sestavíme na základ 1. Kirchhoffova zákon, kterému odpovídá paralelní azení obvodových prvk na obr. 3.5, proto také jinak íkáme admitannímu modelu paraleln paralelní.

121ˆˆ UYÛ1

Î1

212ˆˆ UY

22Y Û2

Î2

11Y

Obr. 3.5 Náhradní schéma admitanního modelu dvojbranu

Obecn je admitanní dvojbran definován (charakterizován) tymi rznými nezávislými parametry admitanní matice. Je-li dvojbran složen pouze z pasivních prvk, platí pro nj princip reciprocity. Po pipojení zdroje naptí o hodnot U ke vstupní brán, má výstupní proud nakrátko dvojbranu stejnou hodnotu, jakou má jeho vstupní proud nakrátko po pipojení zdroje o hodnot naptí U k jeho výstupní brán. Ve stavu nakrátko platí pro výstupní proud UYI ˆˆˆ

212 = a pro vstupní proud UYI ˆˆˆ121 = , takže

2112ˆˆ YY = . Tím se sníží poet nezávislých parametr u reciprokého dvojbranu na ti. Dvma parametry

je potom charakterizován tzv. soumrný dvojbran, což je podéln soumrný dvojbran, pro který platí

2211ˆˆ YY = . Zamníme-li u tohoto dvojbranu vstup a výstup, jeho obvodové pomry se nezmní.

Píklad 3.2.

Dokažte podmínku podélné soumrnosti admitanního modelu dvojbranu 2211ˆˆ YY = .

♦

Podéln soumrný dvojbran má stejné hodnoty imitance vstupní a výstupní brány. K dkazu podélné soumrnosti admitanního dvojbranu, blokov zobrazeného na obr. 3.6, musíme tedy znát hodnoty jeho vstupní a výstupní admitance.

100

Û1

Î1

Û2

Î2

2

2‘

1

1‘

11Y

21Y

12Y

22YsY

Obr. 3.6 Blokové schéma zatíženého admitanního modelu dvojbranu, píklad 3.2

Vstupní admitanci uríme pro buzení vstupní brány naptím Û1 pi zatížení výstupní brány admitancí

sY následujícím postupem. Do rovnice druhé brány dosadíme za proud Î2 do zobecnného Ohmova zákona

2221212s2ˆˆˆˆˆˆˆ UYUYUYI +=−=

a vyjádíme si z ní naptí

s22

1212 ˆˆ

ˆˆˆ

YY

UYU

+−= ,

které dosadíme do rovnice první brány

+−=

+−=+=

s22

2112111

s22

121121112121111 ˆˆ

ˆˆˆˆ

ˆˆ

ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ

YY

YYYU

YY

UYYUYUYUYI ,

takže pro vstupní impedanci platí

+−==

s22

211211

1

11 ˆˆ

ˆˆˆ

ˆ

ˆˆ

YY

YYY

U

IY .

Výstupní admitanci uríme pomocí Nortonovy resp. Theveninovy vty ze stavu naprázdno a nakrátko výstupní brány. Pi zkratovaném výstupu platí pro rovnici vstupní brány podle horního obvodu na obr. 3.7

k111k1ˆˆˆ UYI = ,

ze které si vyjádíme naptí

11

k1k1 ˆ

ˆˆ

Y

IU = ,

které dosadíme do rovnice druhé brány

11

k121k121k2 ˆ

ˆˆˆˆˆ

Y

IYUYI == .

Vstupní proud k1I uríme z rovnice pro horní uzel vstupní brány, kam dosadíme za naptí k1U

11

k1sok1zok1 ˆ

ˆˆˆˆˆˆˆ

Y

IYIUYII −=−= ,

ze které pro nj plyne

101

Û1o

Î1o

Û2o

Î2o

2

2‘

1

1‘

11Y

21Y

12Y

22Y

ÎosY

Û1k

Î1k

Û2k

Î2k2

2‘

1

1‘

11Y

21Y

12Y

22Y

ÎosY

Obr. 3.7 Urení výstupní impedance dvojbranu z provozních stav jeho výstupní brány, píklad 3.2

s11

o11

11

s

ok1 ˆˆ

ˆˆ

ˆ

ˆ1

ˆˆ

YY

IY

Y

Y

II

+=

+

=

a pro výstupní proud nakrátko

s11

o21

s11

o11

11

21

11

k121k2 ˆˆ

ˆˆ

ˆˆ

ˆˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆˆˆ

YY

IY

YY

IY

Y

Y

Y

IYI

+=

+== .

Pi rozpojené výstupní brán platí pro dolní obvod na obr. 3.7 následující rovnice dvojbranu

o212o111o1ˆˆˆˆˆ UYUYI += ,

o222o121ˆˆˆˆ0 UYUY += ,

kdy z druhé rovnice si vyjádíme naptí vstupní brány

o221

22o1

ˆˆ

ˆˆ U

Y

YU −= .

Dosazením rovnice vstupní brány do rovnice pro horní uzel této brány dostaneme rovnici

o1soo212o111o1ˆˆˆˆˆˆˆˆ UYIUYUYI −=+= ,

kterou upravíme do tvaru

( ) oo212s11o1ˆˆˆˆˆˆ IUYYYU =++ ,

a do které dosadíme za naptí o1U

( ) oo212s11o221

22 ˆˆˆˆˆˆˆ

ˆIUYYYU

Y

Y=++−

102

a vyjádíme si z ní výstupní naptí naprázdno

( ) ( ) 2112s1122

o21

12s1121

22

oo2 ˆˆˆˆˆ

ˆˆ

ˆˆˆˆ

ˆ

ˆˆ

YYYYY

IY

YYYY

Y

IU

++−=

++−

= .

Výstupní admitanci uríme podle Nortonovy vty

( )s11

211222

2112s1122

o21

s11

o21

o2

k22 ˆˆ

ˆˆˆ

ˆˆˆˆˆ

ˆˆ

ˆˆ

ˆˆ

ˆ

ˆˆ

YY

YYY

YYYYY

IY

YY

IY

U

IY

+−=

++−

+−=−= .

Má-li být dvojbran podéln soumrný, musí platit 21ˆˆ YY = a tedy musí být splnna rovnost 2211

ˆˆ YY = .

Impedanní model

Za nezávisle promnné veliiny volíme branové proudy Î1, Î2. Závisle promnné veliiny jsou branová naptí Û1, Û2, které mžeme popsat lineární kombinací proud

2121111ˆˆˆˆˆ IZIZU += ,

2221212ˆˆˆˆˆ IZIZU += ,

nebo v maticovém tvaru

⋅

=

2

1

2221

1211

2

1

ˆ

ˆ

ˆˆ

ˆˆ

ˆ

ˆ

I

I

ZZ

ZZ

U

U,

kde parametry dvojbranu jsou definovány impedanní maticí

[ ]

=

2221

1211

ˆˆ

ˆˆˆ

ZZ

ZZZ ,

která je souasn charakteristikou dvojbranu. Každy prvek impedanní matice má rozmr Ω.

Vzhledem k linearit dvojbranu mžeme parametry impedanní matice urit podle obrázku ze stavnaprázdno. Pi buzení vstupu dvojbranu zdrojem proudu a rozpojeném výstupu platí 1111

ˆˆˆ IZU = a

1212ˆˆˆ IZU = a pi buzení výstupu dvojbranu zdrojem proudu a rozpojeném vstupu platí 2121

ˆˆˆ IZU = a

2222ˆˆˆ IZU = . Z tchto rovnic uríme parametry impedanní matice následovn:

vstupní impedanci (naprázdno)

01

111

2

ˆ

ˆˆ

=

=I

I

UZ ,

penosovou impedanci (naprázdno)

02

112

1

ˆ

ˆˆ

=

=I

I

UZ ,

penosovou impedanci (naprázdno)

103

01

221

2

ˆ

ˆˆ

=

=I

I

UZ ,

výstupní impedanci (naprázdno)

02

222

1

ˆ

ˆˆ

=

=I

I

UZ .

Û1

Î1

Û2

Î2 = 0 A

2‘

1

1‘

Û1 Û2

Î2

2

2‘ 1‘

11Z

Û1

Î1

Û2

Î2 = 0 A

2‘

1

1‘

Û1 Û2

Î2

2

2‘ 1‘

21Z

Î1 = 0 A

Î1 = 0 A

12Z

22Z

2

2

1

1

Obr. 3.8 Urování impedanních parametr z provozních stav dvojbranu

Obvodový model sestavíme na základ 2. Kirchhoffova zákon, kterému odpovídá sériové azení obvodových prvk na obr. 3.9, proto také jinak íkáme impedannímu modelu sériov sériový.

Û2

Î2

121ˆˆ IZÛ1

Î1

212ˆˆ IZ

11Z 22Z

Obr. 3.9 Náhradní schéma impedanního modelu dvojbranu

Obecn je impedanní dvojbran definován (charakterizován) tymi rznými nezávislými parametry impedanní matice. Je-li dvojbran složen pouze z pasivních prvk, platí pro nj princip reciprocity. Po pipojení zdroje proudu o hodnot I ke vstupní brán, má výstupní naptí naprázdno dvojbranu stejnou hodnotu, jakou má jeho vstupní naptí naprázdno po pipojení zdroje o hodnot proudu I k jeho výstupní brán. Ve stavu naprázdno platí pro výstupní naptí IZU ˆˆˆ

212 = a pro vstupní naptí

IZU ˆˆˆ121 = , takže 2112

ˆˆ ZZ = . Tím se sníží poet nezávislých parametr u reciprokého dvojbranu na ti. Dvma parametry je charakterizován tzv. soumrný dvojbran, což je podéln soumrný dvojbran, pro

104

který platí 2211ˆˆ ZZ = . Zamníme-li u tohoto dvojbranu vstup a výstup, jeho obvodové pomry se

nezmní.

Píklad 3.3.

Urete impedanní parametry dvojbranu T lánku z obr. 3.10.

2

2‘

1

1‘

R1 R2

R3Û1

Î1

Û2

Î2

Obr. 3.10 T lánek jako dvojbran, píklad 3.3

♦

Parametry uríme pímou aplikací Kirchhoffových zákon a zobecnného Ohmova zákona na obvod na obr. 3.10. Z defininích vztah platí pro vstupní impedanci naprázdno, kdy bránu 1 budíme proudem 1I

( )3131

1

131

01

111

ˆˆˆ

ˆˆˆ

ˆ

ˆˆ

2

RRZZI

IZZ

I

UZ

I

+=+=+

===

,

pro penosovou impedanci naprázdno, kdy bránu 2 budíme proudem 2I

332

23

02

112

ˆˆ

ˆˆ

ˆ

ˆˆ

1

RZI

IZ

I

UZ

I

=====

,

pro penosovou impedanci naprázdno, kdy bránu 1 budíme proudem 1I

331

13

01

221

ˆˆ

ˆˆ

ˆ

ˆˆ

2

RZI

IZ

I

UZ

I

=====

,

pro výstupní impedanci naprázdno, kdy bránu 2 budíme proudem 2I

( )3232

2

232

02

222

ˆˆˆ

ˆˆˆ

ˆ

ˆˆ

1

RRZZI

IZZ

I

UZ

I

+=+=+

===

.

Impedanní matice má parametry

[ ]

+

+=

=

323

331

2221

1211

ˆˆ

ˆˆˆ

RRR

RRR

ZZ

ZZZ

a odpovídá matici obvodu sestavené dle pravidel metody smykových proud.

105

Smíšený model paraleln sériový

Za nezávisle promnné veliiny volíme branové naptí Û1 a proud Î2. Závisle promnné veliiny jsou branový proud Î1 a naptí Û 2, které mžeme popsat lineární kombinací nezávislých veliin

2121111ˆˆˆˆˆ IKUKI += ,

2221212ˆˆˆˆˆ IKUKU += ,

nebo v maticovém tvaru

⋅

=

2

1

2221

1211

2

1

ˆ

ˆ

ˆˆ

ˆˆ

ˆ

ˆ

I

U

KK

KK

U

I,

kde parametry dvojbranu jsou definovány smíšenou maticí

[ ]

=

2221

1211

ˆˆ

ˆˆˆ

KK

KKK ,

která je souasn charakteristikou dvojbranu. Každý prvek smíšené matice má jiný rozmr, 12K a 21K

jsou bezrozmrné, 11K má jednotku S a 22K jednotku Ω.

Vzhledem k linearit dvojbranu mžeme parametry smíšené matice urit podle obr. 3.11 ze stavnaprázdno a nakrátko. Pi buzení vstupu dvojbranu zdrojem naptí a rozpojeném výstupu platí

1111ˆˆˆ UKI = a 1212

ˆˆˆ UKU = a pi buzení výstupu dvojbranu zdrojem proudu a zkratovaném vstupu platí

2121ˆˆˆ IKI = a 2222

ˆˆˆ IKU = . Z tchto rovnic uríme parametry smíšené matice následovn:

vstupní admitanci (naprázdno)

01

111

2

ˆ

ˆˆ

=

=I

U

IK ,

proudový penos (nakrátko)

02

112

1

ˆ

ˆˆ

=

=U

I

IK ,

napový penos (naprázdno)

01

221

2

ˆ

ˆˆ

=

=I

U

UK ,

výstupní admitanci (nakrátko)

02

222

1

ˆ

ˆˆ

=

=U

I

UK .

106

Û1

Î1

Û2

Î2 = 0 A

2‘

1

1‘

Û1= 0 V

Î2

2

2‘

1

1‘

11K

Î1 Î2 = 0 A

2‘

1

1‘

Û2

Î2

2

2‘

1

1‘

21K

Î1

12K

22K

Û2

Û2

Û1

Î1

Û1= 0 V

2

2

Obr. 3.11 Urování K parametr z provozních stav dvojbranu

Obvodový model sestavíme na základ 1. a 2. Kirchhoffova zákona, kterému odpovídá paralelnsériové azení obvodových prvk na obr. 3.12. Odtud pochází i název modelu.

Û1

Î1

212ˆˆ IK

11K Û2

Î2

121ˆˆ UK

22K

Obr. 3.12 Náhradní schéma smíšeného modelu dvojbranu s K parametry

Obecn je paraleln sériový model dvojbranu definován (charakterizován) tymi rznými nezávislými parametry smíšené matice. Je-li dvojbran složen pouze z pasivních prvk, platí pro nj princip reciprocity. Jelikož každá brána má jiné náhradní schéma, mžeme si vybrat pi odvození podmínky reciprocity tohoto dvojbranu bu napové nebo proudové buzení jeho bran. Pi proudovém buzení pipojíme na vstupní bránu zdroj proudu o hodnot Î, takže na rozpojeném

výstupu, tj. pi Î2 = 0 A, bude naptí 11

211212 ˆ

ˆˆˆˆˆ

K

IKUKU == , které je stejné jako naptí Û1 pi buzení

výstupu stejným proudem a pi rozpojeném vstupu tj. pi Î1 = 0 A. Toto naptí uríme z první rovnice

paraleln sériového modelu IKUK ˆˆˆˆ0 12111 += , které je IK

KU ˆ

ˆ

ˆˆ

11

121 −= . Z rovnosti tchto naptí plyne

podmínka reciprocity 2112ˆˆ KK −= , ímž se sníží poet nezávislých parametr dvojbranu na ti. Dvma

parametry je charakterizován tzv. soumrný dvojbran, což je podéln soumrný dvojbran, pro který platí 1ˆˆˆˆ

21122211 −=− KKKK , takže se obvodové pomry nezmní, zamníme-li jeho vstup a výstup.

107

Smíšený model sériov paralelní

Za nezávisle promnné veliiny volíme branový proud Î1 a naptí Û2. Závisle promnné veliiny jsou branové naptí Û 1 a proud Î2, které mžeme popsat lineární kombinací nezávislých veliin

2121111ˆˆˆˆˆ UHIHU += ,

2221212ˆˆˆˆˆ UHIHI += ,

nebo v maticovém tvaru

⋅

=

2

1

2221

1211

2

1

ˆ

ˆ

ˆˆ

ˆˆ

ˆ

ˆ

U

I

HH

HH

I

U,

kde parametry dvojbranu jsou definovány smíšenou maticí

[ ]

=

2221

1211

ˆˆ

ˆˆˆ

HH

HHH ,

která je souasn charakteristikou dvojbranu. Každý prvek smíšené matice má jiný rozmr, 12H a

21H jsou bezrozmrné, 11H má jednotku Ω a 22H jednotku S.

Vzhledem k linearit dvojbranu mžeme parametry smíšené matice urit podle obr. 3.13 ze stavnakrátko a naprázdno. Pi buzení vstupu dvojbranu zdrojem proudu a výstupu nakrátko platí

1111ˆˆˆ IHU = a 1212

ˆˆˆ IHI = a pi buzení výstupu dvojbranu zdrojem naptí a rozpojeném vstupu platí

2121ˆˆˆ UHU = a 2222

ˆˆˆ UHI = . Z tchto rovnic uríme parametry smíšené matice následovn:

vstupní impedanci (nakrátko)

01

111

2

ˆ

ˆˆ

=

=U

I

UH ,

napový penos (naprázdno)

02

112

1

ˆ

ˆˆ

=

=I

U

UH ,

proudový penos (nakrátko)

01

221

2

ˆ

ˆˆ

=

=U

I

IH ,

výstupní admitanci (naprázdno)

02

222

1

ˆ

ˆˆ

=

=I

U

IH .

108

Û1

Î1

Û2= 0 V

Î2

2‘

1

1‘

Û1

Î2

2

2‘

1

1‘

11H

Î1 Î2

2‘

1

1‘

Û2

Î2

2

2‘

1

1‘

21H

Î1= 0 A

12H

22H

Û2

Û2= 0 VÛ1

Î1= 0 A

Û1

2

Obr. 3.13 Urování H parametr z provozních stav dvojbranu

Obvodový model sestavíme na základ 2. a 1. Kirchhoffova zákona, kterému odpovídá sériovparalelní azení obvodových prvk na obr. 3.14. Odtud pochází i název modelu.

Û1

Î1

212ˆˆ UH

11H121ˆˆ IH

22H Û2

Î2

Obr. 3.14 Náhradní schéma smíšeného modelu dvojbranu s H parametry

Obecn je sériov paralelní model dvojbranu definován (charakterizován) tymi rznými nezávislými parametry smíšené matice. Je-li dvojbran složen pouze z pasivních prvk, platí pro nj princip reciprocity. Jelikož každá brána má jiné náhradní schéma, mžeme si vybrat pi odvození podmínky reciprocity tohoto dvojbranu bu napové nebo proudové buzení jeho bran. Pi proudovém buzení pipojíme na vstupní bránu zdroj proudu o hodnot Î, takže na rozpojeném výstupu, tj. pi Î2 = 0 A, uríme naptí Û2 z druhé rovnice sériov paralelního modelu 21211

ˆˆˆˆ0 UHIH += , které je

IH

HU ˆ

ˆ

ˆˆ

22

212 −= . Naptí Û2 musí být stejné jako naptí

22122121 ˆ

ˆˆˆˆˆ

H

IHUHU == pi buzení výstupu

stejným proudem a pi rozpojeném vstupu, tj. pi Î1 = 0 A. Z rovnosti tchto naptí plyne podmínka reciprocity 2112

ˆˆ HH −= , ímž se sníží poet nezávislých parametr dvojbranu na ti. Pouze dvma parametry je charakterizován tzv. soumrný dvojbran, což je podéln soumrný dvojbran, pro který platí 1ˆˆˆˆ

21122211 =− HHHH , takže se obvodové pomry nezmní, zamníme-li jeho vstup a výstup.

Kaskádní model

Kaskádní parametry dvojbranu používáme k modelování kaskádního azení dvojbran, u kterých zpravidla pedpokládáme penos energie ze vstupní brány na výstupní bránu, takže volíme opaný

109

smr proudu výstupní brány, tj. 22ˆˆ II −=′ . Za nezávisle promnné veliiny volíme branové naptí Û2 a

proud -Î2, tj. proud 2I ′ . Závisle promnné veliiny jsou branové naptí Û 1 a proud Î1, které mžeme popsat lineární kombinací nezávislých veliin

( ) 2122112122111ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ IAUAIAUAU ′+=−+= ,

( ) 2222212222211ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ IAUAIAUAI ′+=−+=

nebo v maticovém tvaru

′⋅

=

−⋅

=

2

2

2221

1211

2

2

2221

1211

1

1

ˆ

ˆ

ˆˆ

ˆˆ

ˆ

ˆ

ˆˆ

ˆˆ

ˆ

ˆ

I

U

AA

AA

I

U

AA

AA

I

U,

kde parametry dvojbranu jsou definovány kaskádní maticí

[ ]

=

2221

1211

ˆˆ

ˆˆˆ

AA

AAA ,

která je souasn charakteristikou dvojbranu. Každý prvek kaskádní matice má jiný rozmr, 11A a 22A

jsou bezrozmrné, 12A má jednotku Ω a 21A jednotku S.

Vzhledem k linearit dvojbranu mžeme parametry kaskádní matice urit podle obr. 3. 15 ze stavnaprázdno a nakrátko. Pi buzení vstupu dvojbranu zdrojem naptí nebo proudu a jeho rozpojeném výstupu, tj. pi Î2 = 0 A, platí 2111

ˆˆˆ UAU = , 2211ˆˆˆ UAI = a jeho vyzkratovaném výstupu, tj.

pi Û2 = 0 A, platí 2121ˆˆˆ IAU −= a 2221

ˆˆˆ IAI −= . Z tchto rovnic uríme parametry kaskádní matice následovn:

napový penos (naprázdno)

02

111

2

ˆ

ˆˆ

=

=I

U

UA ,

penosová impedance (nakrátko)

02

112

2

ˆ

ˆˆ

=−

=U

I

UA ,

penosová admitance (naprázdno)

02

121

2

ˆ

ˆˆ

=

=I

U

IA ,

proudový penos (nakrátko)

02

122

2

ˆ

ˆˆ

=−

=U

I

IA .

Obvodový model kaskádního dvojbranu neexistuje.

110

Û1

Î1

Û2

Î2 = 0 A

2‘ 1‘

Û1

Î2

2

2‘

1

1‘

11A

Î1 Î2 = 0 A

2‘

1

1‘

Û2= 0 V

Î2

2

2‘

1

1‘

21A

Î1

12A

22A

Û2= 0 V

Û2

Û1 Û1

2 1 Î1

Î'2 Î'2

Î'2 Î'2

Obr. 3.15 Urování kaskádních parametr z provozních stav dvojbranu

Tento dvojbran je definován (charakterizován) tymi rznými nezávislými parametry kaskádní matice. Je-li složen pouze z pasivních prvk, platí pro nj princip reciprocity. Pi proudovém buzení pipojíme na vstupní bránu zdroj proudu o hodnot Î, takže na rozpojeném výstupu, tj. pi Î2 = 0 A,

bude pímo z druhé rovnice pro toto naptí platit IA

U ˆˆ1ˆ21

2 = . Toto naptí musí být stejné jako naptí

Û1 pi rozpojeném vstupu, tj. pi Î1 = 0 A a buzení výstupu stejným proudem Î. Po dosazení nulové hodnoty vstupního proudu do druhé rovnice získáme rovnost IAUA ˆˆˆˆ0 22221 −= , ze které si vyjádíme

naptí Û2, které dosadíme do první rovnice IAUAU ˆˆˆˆˆ122111 −= , ímž získáme vstupní naptí

IA

AAAAIAI

A

AAU ˆ

ˆ

ˆˆˆˆˆˆˆ

ˆ

ˆˆˆ

21

2112221112

21

22111

−=−= . Aby bylo vyhovno principu reciprocity, musí platit

1ˆˆˆˆ21122211 =− AAAA , ímž se sníží poet nezávislých parametr dvojbranu na ti. Dvma parametry

je charakterizován tzv. soumrný dvojbran, což je podéln soumrný dvojbran, pro který platí

2211ˆˆ AA = , takže se obvodové pomry nezmní, zamníme-li jeho vstup a výstup.

Píklad 3.4.

Urete kaskádní parametry modelu jednoduchých dvojbran na obr. 3.16.

2

2‘

1

1‘

R

2

2‘

1

1‘

2

2‘

1

1‘

R

Obr. 3.16 Jednoduché, degenerované dvojbrany, píklad 3.4

111

♦

Parametry kaskádních matic všech dvojbran uríme z pomr branových veliin urených ze stavu naprázdno a nakrátko realizovaných na výstupní brán dvojbranu. Poítací šipky všech dvojbranz obr. 3.16 odpovídají situaci na obr. 3.17.

Û1

Î1

Û2

Î'2 = 0 A2

2‘

1

1‘

11A

21AÛ1

Î1

Û2 = 0 V

Î'2

2

2‘

1

1‘

12A

22A

Obr. 3.17 Provozní stavy kaskádního modelu dvojbranu, píklad 3.4

Pro první dvojbran z obr. 3.16 platí ve stavu naprázdno A0ˆ2 =′I , takže i A01 =I . Na rezistoru proto

nevznikne úbytek a pro naptí platí rovnost 12ˆˆ UU = , takže parametry mají hodnoty

1ˆ

ˆ

ˆ

ˆˆ

1

1

0ˆ2

111

2

====′ U

U

U

UA

I

, 0ˆ0

ˆ

ˆˆ

10ˆ2

121

2

====′ UU

IA

I

.

Ve stavu nakrátko platí V0ˆ2 =U , takže RUII 121

ˆˆˆ =′= a pro parametry platí

RRU

U

I

UA

U

==′

==

/ˆ

ˆ

ˆ

ˆˆ

1

1

02

112

2

, 1ˆ

ˆ

ˆ

ˆˆ

1

1

02

122

2

==′

==

I

I

I

IA

U

.

Kaskádní matice prvního dvojbranu je

[ ]

=

10

1ˆ

RA .

Pro prostední dvojbran platí pro A0ˆ2 =′I , že A01 =I a 12

ˆˆ UU = a parametry mají hodnoty

1ˆ

ˆ

ˆ

ˆˆ

1

1

0ˆ2

111

2

====′ U

U

U

UA

I

, 0ˆ0

ˆ

ˆˆ

10ˆ2

121

2

====′ UU

IA

I

.

Ve stavu nakrátko platí V0ˆ .2 =U , takže ∞→′= 21

ˆˆ II a pro parametry platí

0ˆ

ˆlimˆ

02

1

ˆ12

22

=′

==

∞→′U

I I

UA , 1

ˆ

ˆlimˆ

02

1

ˆ22

22

=′

==

∞→′U

I I

IA .

Kaskádní matice druhého dvojbranu je

[ ]

=

10

01A .

Pro poslední dvojbran platí pro A0ˆ2 =′I , že

R

UI 1

1

ˆˆ = a 12

ˆˆ UU = a parametry mají hodnoty

112

1ˆ

ˆ

ˆ

ˆˆ

1

1

0ˆ2

111

2

====′ U

U

U

UA

I

, RU

R

U

U

IA

I

1ˆ

ˆ

ˆ

ˆˆ

1

1

0ˆ2

121

2

====′

.

Ve stavu nakrátko platí V0ˆ .2 =U , takže ∞→′= 21

ˆˆ II a pro parametry platí

0ˆ

ˆlimˆ

02

1

ˆ12

22

=′

==

∞→′U

I I

UA , 1

ˆ

ˆlimˆ

02

1

ˆ22

22

=′

==

∞→′U

I I

IA .

Kaskádní matice tetího dvojbranu je

[ ]

= 1

101

ˆ

RA .

Zptn kaskádní model

Zptn kaskádní parametry dvojbranu používáme k modelování kaskádního azení dvojbran, u kterých zpravidla pedpokládáme penos energie z výstupní brány na vstupní bránu, takže volíme opaný smr proudu výstupní brány, tj. 11

ˆˆ II −=′ . Za nezávisle promnné veliiny volíme branové

naptí Û2 a proud –Î1, tj. proud 1I ′ . Závisle promnné veliiny jsou branové naptí Û 1 a proud Î1, které mžeme popsat lineární kombinací nezávislých veliin

( ) 1121111121112ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ IBUBIBUBU ′+=−+= ,

( ) 1221211221212ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ IBUBIBUBI ′+=−+=

nebo v maticovém tvaru

′⋅

=

−⋅

=

1

1

2221

1211

1

1

2221

1211

2

2

ˆ

ˆ

ˆˆ

ˆˆ

ˆ

ˆ

ˆˆ

ˆˆ

ˆ

ˆ

I

U

BB

BB

I

U

BB

BB

I

U,

kde parametry dvojbranu jsou definovány zptn kaskádní maticí

[ ]

=

2221

1211

ˆˆ

ˆˆˆ

BB

BBB ,

která je souasn charakteristikou dvojbranu. Každý prvek kaskádní matice má jiný rozmr, 11B a 22B

jsou bezrozmrné, 12B má jednotku Ω a 21B jednotku S.

Vzhledem k linearit dvojbranu mžeme parametry kaskádní matice urit podle obrázku ze stavnaprázdno a nakrátko. Pi buzení výstupu dvojbranu zdrojem naptí nebo proudu a jeho rozpojeném vstupu, tj. pi Î1 = 0 A, platí 1112

ˆˆˆ UBU = , 1212ˆˆˆ UBI = a jeho vyzkratovaném vstupu, tj. pi Û1 = 0 A,

platí 1122ˆˆˆ IBU −= a 1222

ˆˆˆ IBI −= . Z tchto rovnic uríme parametry kaskádní matice následovn:

napový penos (naprázdno)

01

211

1

ˆ

ˆˆ

=

=I

U

UB ,

penosová impedance (nakrátko)

113

01

212

1

ˆ

ˆˆ

=−

=U

I

UB ,

penosová admitance (naprázdno)

01

221

1

ˆ

ˆˆ

=

=I

U

IB ,

proudový penos (nakrátko)

01

222

1

ˆ

ˆˆ

=−

=U

I

IB .

Obvodový model zptn kaskádního dvojbranu neexistuje.

Û1

Î1= 0 A

Û2

Î2

2‘ 1‘

Û1= 0 V

Î2

2

2‘

1

1‘

11B

Î1 = 0 A Î2

2‘

1

1‘

Û2

Î2

2

2‘

1

1‘

21B

Î1

12B

22B

Û2

Û2

Û1 Û1= 0 V

2 1 Î1

Î'1 Î'1

Î'1 Î'1

Obr. 3.18 Urování zptn kaskádních parametr z provozních stav dvojbranu

Tento dvojbran je definován (charakterizován) tymi rznými nezávislými parametry kaskádní matice. Je-li složen pouze z pasivních prvk, platí pro nj princip reciprocity. Pi proudovém buzení pipojíme na výstupní bránu zdroj proudu o hodnot Î, takže na rozpojeném vstupu, tj. pi Î1 = 0 A,

bude podle druhé rovnice naptí IB

U ˆˆ1ˆ21

1 = . Toto naptí musí být stejné jako naptí Û2

pi rozpojeném výstupu, tj. pi Î2 = 0 A a pi buzení vstupu stejným proudem Î. Po dosazení nulové hodnoty výstupního proudu do druhé rovnice získáme rovnost IBUB ˆˆˆˆ0 22121 −= , ze které si

vyjádíme naptí Û1 a dosadíme do první rovnice IBUBU ˆˆˆˆˆ121112 −= , ímž získáme

IB

BBBBIBI

B

BBU ˆ

ˆ

ˆˆˆˆˆˆˆ

ˆ

ˆˆˆ

21

2112221112

21

22112

−=−= . Aby bylo vyhovno principu reciprocity, musí platit

1ˆˆˆˆ21122211 =− BBBB , ímž sníží poet nezávislých parametr dvojbranu na ti. Dvma parametry je

charakterizován tzv. soumrný dvojbran, což je podéln soumrný dvojbran, pro který platí 2211 BB = , takže se obvodové pomry nezmní, zamníme-li jeho vstup a výstup.

114

Shrnutí pojm 3.2.

Ze ty branových veliin lze pro dv závislé promnné vytvoit šest matematických modeldvojbran, a to admitanni paraleln-paralelní, impedanní sériov-sériov, smíšený paraleln-sérový, smíšený sériov-paralelní, kaskádní a zptn kaskádní a pro první tyi z nich i obvodové modely. Parametry lineárního dvojbranu nejsnáze uríme z jeho stav naprádno a nakrátko. Dvojbran, u kterého se nezmní obvodové pomry pi zámn jeho vstupu a výstupu nazýváme podélnsoumrný. Ob brány podéln soumrného dvojbranu tak mají stejné vlastnosti. Dvojbran, který mže být i nesoumrný a u kterého se nezmní energetické pomry pi zámn jeho vstupu a výstupu, nazýváme reciprocitní. Reciprocitní dvojbrany jsou ureny temi parametry a podéln soumrné dvma parametry. Podmínky reciprocity a soumrnosti jsou rzné pro jednotlivé modely. Pro reciprocitní dvojbrany platí 2112

ˆˆ ZZ = , 2112ˆˆ YY = , 2112

ˆˆ KK −= , 2112ˆˆ HH −= , 1ˆˆˆˆ

21122211 =− AAAA

a 1ˆˆˆˆ21122211 =− BBBB . Pro podéln soumrné dvojbrany platí 2211

ˆˆ ZZ = , 2211ˆˆ YY = ,

1ˆˆˆˆ21122211 −=− KKKK , 1ˆˆˆˆ

21122211 =− HHHH , 2211ˆˆ AA = a 2211 BB = .

Otázky 3.2.

1. Je poet matematických a obvodových model dvojbran shodný?

2. Z jakých stav urujeme parametry dvojbranu?

3. Je možné nakreslit náhradní schéma kaskádního a zptn kaskádního modelu dvojbranu?

4. Jak byste prakticky ovili princip reciprocity dvojbranu?

5. Kolika parametry je charakterizován reciprocitní dvojbran?

6. Co musí splovat dvojbran, aby byl jednoznan urený dvma parametry a jak ho nazýváme?

7. Jaká je podmínka podélné soumrnosti kaskádního dvojbranu?

8. Který matematický model dvojbranu je charakterizován H -parametry?

Úloha k ešení 3.2

Urete kaskádní parametry dvojbranu z obr. 3.19 z provozních stav jeho výstupní brány.

2

2‘ 1‘

R1

R2

1

Obr. 3.19 L lánek jako dvojbran, úloha k ešení 3.2

ešení:

Poítací šipky dvojbranu z obr. 3.19 volme podle obr. 3.17. Ve stavu naprázdno platí pro výstupní proud A0ˆ

2 =′I , tedy

115

21

11

ˆˆ

RR

UI

+= a 1

21

22

ˆˆ URR

RU

+= .

Hledané kaskádní parametry mají tak hodnoty

2

1

121

2

1

0ˆ2

111 1

ˆ

ˆ

ˆ

ˆˆ

2R

R

URR

R

U

U

UA

I

+=

+

===′

, 2

121

2

21

1

0ˆ2

121

1

ˆ

ˆ

ˆ

ˆˆ

2R

URR

RRR

U

U

IA

I

=

+

+==

=′

.

Ve stavu nakrátko platí V0ˆ2 =U , tedy

1

121

ˆˆˆ

R

UII =′=

a zbývající parametry jsou

1

1

1

1

02

112 ˆ

ˆ

ˆ

ˆˆ

2

R

R

U

U

I

UA

U

==′

==

, 1ˆ

ˆˆ

02

122

2

=′

==U

I

IA .

3.3. Vzájemné vztahy mezi charakteristikami dvojbranDvojbran je jednoznan charakterizován libovolným ze šesti uvedených model. Každý model je však výhodný pro ešení jiné obvodové situace, proto je prospšné znát vzájemné vztahy (pepoty, transformace) mezi jednotlivými charakteristikami, abychom si mohli kterýkoliv model "dopoítat" z modelu, který známe. K tmto vztahm se snadno dopracujeme formálními úpravami píslušných matematických model - jejich lineárními transformacemi.

Vztahy mezi imitanními modely

Maticový tvar admitanního modelu zapišme zjednodušen maticovým zápisem

[ ] [ ] [ ]IUY ˆˆˆ =⋅ .

Po vynásobení jeho pravé i levé strany inverzní maticí [ ] 1ˆ −Y zleva dostaneme

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]IYUYY ˆˆˆˆˆ 11⋅=⋅⋅

−−.

Jelikož souin inverzní admitanní matice a admitanní matice se rovná jednotkové matici, a protože platí

[ ] [ ] 1ˆˆ −= YZ ,

získáme impedanní model

[ ] [ ] [ ]IZU ˆˆˆ ⋅= .

Ze známých parametr admitanní matice získáme vztahy pro výpoet parametr impedanní matice

srovnáním prvk matic levé a pravé strany podle rovnosti [ ] [ ] 1ˆˆ −= YZ , tedy

.ˆˆ

ˆˆ

ˆ1

ˆˆ

ˆˆ

1121

1222

2221

1211

−

−=

YY

YY

YZZ

ZZ

116

Prvky admitanní matice ze známých prvk impedanní matice získáme formální zámnou duálních prvk. Oba tyto modely jsou navzájem inverzní, takže pro prvky admitanní matice platí

.ˆˆ

ˆˆ

ˆ1

ˆˆ

ˆˆ

1121

1222

2221

1211

−

−=

ZZ

ZZ

ZYY

YY

Vztahy mezi smíšenými modely

Analogický postup mžeme aplikovat i na smíšený paraleln-sériový a sériov-paralelní model, protože i tyto modely jsou navzájem duální. Po vynásobení paraleln-sériového modelu inverzní

maticí [ ] 1ˆ −K

⋅

=

2

1

2221

1211

2

1

ˆ

ˆ

ˆˆ

ˆˆ

ˆ

ˆ

I

U

KK

KK

U

I,

získáme

⋅

=

⋅

⋅

⋅

=

⋅

−

−−

2

1

2

1

1

2221

1211

2

1

2221

1211

1

2221

1211

2

1

1

2221

1211

ˆ

ˆ

10

01ˆ

ˆ

ˆˆ

ˆˆ

,ˆ

ˆ

ˆˆ

ˆˆ

ˆˆ

ˆˆ

ˆ

ˆ

ˆˆ

ˆˆ

I

U

U

I

KK

KK

I

U

KK

KK

KK

KK

U

I

KK

KK

tedy

⋅

=

−

2

1

1

2221

1211

2

1

ˆ

ˆ

ˆˆ

ˆˆ

ˆ

ˆ

U

I

KK

KK

I

U,

který srovnáme s modelem sériov-paralelním

⋅

=

2

1

2221

1211

2

1

ˆ

ˆ

ˆˆ

ˆˆ

ˆ

ˆ

U

I

HH

HH

I

U,

takže platí

.ˆˆ

ˆˆ

ˆ1

ˆˆ

ˆˆ

ˆˆ

ˆˆ

1121

1222

1

2221

1211

2221

1211

−

−=

=

−

KK

KK

KKK

KK

HH

HH

Pro opaný pepoet pak platí

.ˆˆ

ˆˆ

ˆ1

ˆˆ

ˆˆ

1121

1222

2221

1211

−

−=

HH

HH

HKK

KK

Vztahy mezi kaskádními modely

I když by se na první pohled mohlo zdát, že charakteristiky obou tchto model jsou navzájem inverzní, ukažme si odvozením transformaních vztah pro pepoet kaskádních parametr na zptnkaskádní algebraickými úpravami rovnic kaskádního modelu, že tomu tak není. Rovnice kaskádního modelu jsou

( ) 2122112122111ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ IAUAIAUAU ′+=−+= ,

( ) 2222212222211ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ IAUAIAUAI ′+=−+=

117

upravíme do tvaru zptn kaskádního modelu

( ) 1121111121112ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ IBUBIBUBU ′+=−+= ,

( ) 1221211221212ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ IBUBIBUBI ′+=−+=

tak, že první rovnici kaskádního modelu, abychom z ní mohli vyjádit 2U vynásobíme prvkem 22A a

druhou ( )12A− a seteme

( )2122221122122ˆˆˆˆˆˆˆˆ IAAUAAUA −+= ,

( )2221222112112ˆˆˆˆˆˆˆˆ IAAUAAIA −−−=− ,

ímž po úprav dostaneme

( ) 221122211112122ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ UAAAAIAUA −=− .

Obdobn první rovnici kaskádního modelu, abychom z ní mohli vyjádit 2I vynásobíme prvkem 21A

a druhou ( )11A− a seteme

( )2211221121121ˆˆˆˆˆˆˆˆ IAAUAAUA −+= ,

( )2221121121111ˆˆˆˆˆˆˆˆ IAAUAAIA −−−=− ,

ímž po úprav dostaneme

( )( )221122211111121ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ IAAAAIAUA −−−=−

nebo

( ) 221122211111121ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ IAAAAIAUA −=−

a tedy na konec i transformovanou podobu rovnic

112

122

21122211

1121222

ˆˆ

ˆˆ

ˆ

ˆ

ˆˆˆˆ

ˆˆˆˆˆ I

A

AU

A

A

AAAA

IAUAU −=

−

−= ,

( ) 111

121

21122211

11112122

ˆˆ

ˆˆ

ˆ

ˆ

ˆˆˆˆ

ˆˆˆˆˆˆ I

A

AU

A

A

AAAA

IAUAII +−=

−

−=−=′ ,

nebo

( ) 112

122

112

122

21122211

1121222

ˆˆ

ˆˆ

ˆ

ˆˆ

ˆ

ˆˆ

ˆ

ˆ

ˆˆˆˆ

ˆˆˆˆˆ I

A

AU

A

AI

A

AU

A

A

AAAA

IAUAU ′+=−+=

−

−= ,

( ) 111

121

111

121

21122211

1111212

ˆˆ

ˆˆ

ˆ

ˆˆ

ˆ

ˆˆ

ˆ

ˆ

ˆˆˆˆ

ˆˆˆˆˆ I

A

AU

A

AI

A

AU

A

A

AAAA

IAUAI ′+=−+=

−

−= .

Z následného srovnání odpovídajících prvk plyne

A

AB

ˆ

ˆˆ 22

11 = , A

AB

ˆ

ˆˆ 12

12 =

A

AB

ˆ

ˆˆ 21

21 = , A

AB

ˆ

ˆˆ 11

22 = .

Zptn kaskádní matice je tak definována pomocí matice kaskádní takto

118

.ˆˆ

ˆˆ

ˆ1

ˆˆ

ˆˆ

1121

1222

2221

1211

=

AA

AA

ABB

BB

Poznamenejme, že aby matice zptn kaskádního modelu [ ]B byla definována inverzní maticí

kaskádního modelu [ ] 1ˆ −A , museli bychom za závislé veliiny zptn kaskádního modelu volit 2U , 2I ′

ili ( )2I− .

Pro opaný pepoet pak analogicky platí

.ˆˆ

ˆˆ

ˆ1

ˆˆ

ˆˆ

1121

1222

2221

1211

=

BB

BB

BAA

AA

Vztahy mezi rznými modely

Vztahy pro pepoet charakteristik rzných model dvojbran získáme úpravou algebraických rovnic modelu se známými charakteristikami do tvaru modelu, jehož charakteristiky hledáme a jejich následným srovnáním. Postup si ukažme na nalezení charakteristik impedanního a admitanního modelu ze známých charakteristik kaskádního modelu. Rovnice kaskádního modelu

( )2122111ˆˆˆˆˆ IAUAU −+= ,

( )2222211ˆˆˆˆˆ IAUAI −+=

upravíme do tvaru impedanního modelu

2121111ˆˆˆˆˆ IZIZU += ,

2221212ˆˆˆˆˆ IZIZU += ,

tak, že z druhé rovnice kaskádního modelu si vyjádíme naptí

221

221

2121

22212

ˆˆ

ˆˆ

ˆ1

ˆ

ˆˆˆˆ I

A

AI

AA

IAIU +=

+=

a dosadíme ho do první rovnice kaskádního modelu

( ) 221

121

112

21

122122111

21

112122

21

22111

21

112122111

ˆˆ

ˆˆ

ˆ

ˆˆ

ˆ

ˆˆˆˆˆ

ˆ

ˆˆˆˆ

ˆ

ˆˆˆ

ˆ

ˆˆˆˆˆˆ I

A

AI

A

AI

A

AAAAI

A

AIAI

A

AAI

A

AIAUAU +=

−+=−+=−+= .

Z následného srovnání odpovídajících prvk plyne

211111ˆ/ˆˆ AAZ = ,

( )2121

2112221112 ˆ

ˆ

ˆ

ˆˆˆˆˆ

A

A

A

AAAAZ =

−=

2121ˆ/1ˆ AZ = , 212222

ˆ/ˆˆ AAZ = .

Impedanní matice je tak definována pomocí matice kaskádní takto

.ˆ1

ˆˆ

ˆ1

ˆˆ

ˆˆ

22

11

212221

1211

=

A

AA

AZZ

ZZ

V pípad nalezení parametr admitanního modelu popsaného rovnicemi

2121111ˆˆˆˆˆ UYUYI += ,

119

2221212ˆˆˆˆˆ UYUYI +=

postupujeme tak, že z první rovnice kaskádního modelu si vyjádíme proud

212

111

122

ˆˆ

ˆˆ

ˆ1ˆ U

A

AU

AI +−=

a dosadíme ho do druhé rovnice kaskádního modelu

( )

.ˆˆ

ˆˆ

ˆ

ˆ

ˆˆ

ˆˆˆˆˆ

ˆ

ˆˆ

ˆ

ˆˆˆ

ˆ

ˆˆˆˆˆˆˆˆ

2

12

1

12

22

2

12

122122111

12

222

12

22111

12

222212222211

UA

AU

A

A

UA

AAAAU

A

AU

A

AAU

A

AUAIAUAI

−=

=−

−=−+=−+=

Z následného srovnání plyne

122211ˆ/ˆˆ AAY = ,

1212

2112221112 ˆ

ˆ

ˆ

ˆˆˆˆˆ

A

A

A

AAAAY −=

−−=

1221ˆ/1ˆ AY −= , 121122

ˆ/ˆˆ AAY = .

Admitanní matice je tak definována pomocí matice kaskádní takto

.ˆ1

ˆˆ

ˆ1

ˆˆ

ˆˆ

11

22

122221

1211

−

−=

A

AA

AYY

YY

Vzájemné pepoty parametr dvojbran plynou z tab. 3.1 a platí pro zvolené referenní smry poítacích šipek na obr. 3.1 vlevo.

Tab. 3.1 Vzájemné pepoty dvojbranových parametr

2221

1211

ˆˆ

ˆˆ

YY

YY

−

−

1121

1222

ˆˆ

ˆˆ

ˆ1

ZZ

ZZ

Z

− 1ˆ

ˆˆ

ˆ1

21

12

22 K

KK

K

−

HH

H

H ˆˆ

ˆ1

ˆ1

21

12

11

−

−

11

22

12ˆ1

ˆˆ

ˆ1

A

AA

A

−

−

22

11

12ˆˆ

1ˆ

ˆ1

BB

B

B

−

−

1121

1222

ˆˆ

ˆˆ

ˆ1

YY

YY

Y

2221

1211

ˆˆ

ˆˆ

ZZ

ZZ

−

KK

K

K ˆˆ

ˆ1

ˆ1

21

12

11

− 1ˆ

ˆˆ

ˆ1

21

12

22 H

HH

H

22

11

21ˆ1

ˆˆ

ˆ1

A

AA

A

11

22

12ˆˆ1ˆ

ˆ1

BB

B

B

− 1ˆ

ˆˆ

ˆ1

21

12

22 Y

YY

Y

−

ZZ

Z

Z ˆˆ

ˆ1

ˆ1

21

12

11

2221

1211

ˆˆ

ˆˆ

KK

KK

−

−

1121

1222

ˆˆ

ˆˆ

ˆ1

HH

HH

H

−

12

21

11ˆ1

ˆˆ

ˆ1

A

AA

A

−

12

21

22ˆˆ

1ˆ

ˆ1

BB

B

B

−

YY

Y

Y ˆˆ

ˆ1

ˆ1

21

12

11

− 1ˆ

ˆˆ

ˆ1

21

12

22 Z

ZZ

Z

−

−

1121

1222

ˆˆ

ˆˆ

ˆ1

KK

KK

K

2221

1211

ˆˆ

ˆˆ

HH

HH

− 21

12

22ˆ1

ˆˆ

ˆ1

A

AA

A

− 21

12

11ˆˆ1ˆ

ˆ1

BB

B

B

−−

−−

11

22

21ˆˆ1ˆ

ˆ1

YY

Y

Y

22

11

21ˆ1

ˆˆ

ˆ1

Z

ZZ

Z

KK

K

K ˆˆ

ˆ1

ˆ1

11

22

21

−−

−−

1ˆ

ˆˆ

ˆ1

22

11

21 H

HH

H

2221

1211

ˆˆ

ˆˆ

AA

AA

1121

1222

ˆˆ

ˆˆ

ˆ1

BB

BB

B

−−

−−

22

11

12ˆˆ1ˆ

ˆ1

YY

Y

Y

11

22

12ˆ1

ˆˆ

ˆ1

Z

ZZ

Z

−−

−−

1ˆ

ˆˆ

ˆ1

11

22

12 K

KK

K

HH

H

H ˆˆ

ˆ1

ˆ1

22

11

12

1121

1222

ˆˆ

ˆˆ

ˆ1

AA

AA

A

2221

1211

ˆˆ

ˆˆ

BB

BB

120

Píklad 3.5.

Z impedanních parametr T lánku na obr. 3.10 urete transformací parametr impedanní matice parametry kaskádní matice dvojbranu. Pepoet ovte stanovením kaskádních parametrze stav naprázdno a nakrátko.

♦

Impedanní matice T lánku má parametry

[ ]

+

+=

323

331ˆRRR

RRRZ ,

viz píklad 3.3. Dosazením odpovídajících parametr do transformaní matice z tabulky získáme

[ ] ( )( )

+

+++=

+

−+++=

=

3

2

3

3

2121

3

1

32

23323131

322

11

21 11

1

1

1ˆ1

ˆˆ

ˆ1ˆ

R

R

R

R

RRRR

R

R

RR

RRRRRRR

RZ

ZZ

ZA .

Ovení provedeme na základ defininích vztah parametr kaskádního modelu dvojbranu ve stavu naprázdno a nakrátko, dosazením odpovídajících obvodových veliin

3

1

31

13

1

02

111 1

ˆ

ˆ

ˆ

ˆˆ

2R

R

RR

UR

U

U

UA

I

+=

+

===

, 3

2121

32

13

132

321

02

112 ˆ

ˆ

ˆ

ˆˆ

2R

RRRR

RR

IR

IRR

RRR

I

UA

U

++=

+−−

++

=−

==

,

3

31

13

31

1

02

121

1ˆ

ˆ

ˆ

ˆˆ

2R

RR

URRR

U

U

IA

I

=

+

+==

=

, 3

2

32

13

1

02

122 1

ˆ

ˆ

ˆ

ˆˆ

2R

R

RR

IR

I

I

IA

U

+=

+−−

=−

==

.

Ze srovnání obou zpsob urení parametr vidíme, že dávají stejné výsledky.

Shrnutí pojm 3.3.

Každý ze šesti uvedených model jednoznan charakterizuje dvojbran, ale je výhodný pro ešení jiné obvodové situace. Za tímto úelem provádíme pepoty charakteristik dvojbran. Jelikož imitanní modely dvojbranu jsou navzájem inverzní a podobn i oba smíšené modely, mžeme pouze pro n použít k vzájemnému pepotu inverzní matici. Zcela obecn lze nalézt vztahy pro pepoet mezi dvojicemi charakteristik dvojbran algebraickými úpravami rovnic transformovaného modelu dvojbranu a jeho následným srovnáním s modelem, jehož parametry hledáme.

Otázky 3.3.

1. Který ze zápis model dvojbran je univerzálnjší pro odvození transformaních vztah mezi modely dvojbran? Algebraický nebo maticový?

2. Pro které modely dvojbran mžeme použít k vzájemnému pepotu jejich charakteristik inverzní matici?

121

3. U nkterých transformaních vztah v tabulce nejsou pímo uvedeny všechny prvky matice modelu, znamená to, že po transformaci se snížil poet parametr definujících dvojbran?

Uloha k ešení 3.3

Algebraickými úpravami píslušných rovnic dvojbranu odvote defininí vtahy pro admitanní

parametry dvojbranu, znáte-li H parametry dvojbranu.

ešení:

Nejprve si napíšeme rovnice smíšeného modelu dvojbranu, jehož parametry známe

2121111ˆˆˆˆˆ UHIHU += ,

2221212ˆˆˆˆˆ UHIHI += ,

které upravíme do tvaru admitanního modelu

2121111ˆˆˆˆˆ UYUYI += ,

2221212ˆˆˆˆˆ UYUYI +=

tak, že z první rovnice smíšeného modelu si vyjádíme proud

11

21211 ˆ

ˆˆˆˆ

H

UHUI

−=

a dosadíme ho do druhé rovnice smíšeného modelu

( )11

221122211121222

11

2121212221212 ˆ

ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ

ˆ

ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ

H

UHHHHUHUH

H

UHUHUHIHI

−+=+

−=+= .

Z následného srovnání odpovídajících prvk plyne pro admitanní parametry dvojbranu

1111ˆ/1ˆ HY = ,

11

1212 ˆ

ˆˆ

H

HY −= ,

112121ˆ/ˆˆ HHY = ,

1111

2112221122 ˆ

ˆ

ˆ

ˆˆˆˆˆ

H

H

H

HHHHY =

−= .

3.4. azení dvojbran Jak víme, dva dvojpóly se dají navzájem zapojit jen dvma zpsoby, a to paraleln a sériov. Dvojbrany mají ale dv dvojice svorek (brány), takže vstupní a výstupní brány dvou dvojbranmžeme zapojit nejen paraleln nebo sériov, ale i kombinovan, vstupní brány paraleln a výstupní sériov nebo vstupní brány sériov a výstupní paraleln. Dvojbrany lze navíc ješt adit za sebou do kaskády. Mžeme je zapojit celkem pti zpsoby. Pi zapojování dvojbran ale musíme dbát na to, aby výsledné zapojení dvojbran bylo regulární, což znamená, že se jejich spojením nesmí zmnit vlastnosti dílích dvojbran. Zapojení pín soumrných dvojbran je vždy regulární. U dvojbrans krajní pínou nesoumrností se musíme o regularit zapojení nejdíve pesvdit. Na rozdíl od podéln soumrných dvojbran, pín soumrné dvojbrany jsou vždy regulární.

122

Paralelní azení dvojbran (paraleln paralelní)

Toto zapojení má spojenou vstupní i výstupní bránu paraleln. Spolenou veliinou bran je naptí a sítají se proudy bran. Podle obr. 3.20 tedy platí

111ˆˆˆ UUU ′′=′= a 222

ˆˆˆ UUU ′′=′=

a podle 1. Kirchhoffova zákona

111ˆˆˆ III ′′+′= a 222

ˆˆˆ III ′′+′= .

Zapíšeme-li poslední dv rovnice v maticovém tvaru, dostaneme

′′

′′+

′

′=

2

1

2

1

2

1

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

I

I

I

I

I

I,

kam za dílí proudy bran dosadíme admitanní model dvojbran v maticovém tvaru

[ ]

′

′⋅′=

′

′

2

1

2

1

ˆ

ˆˆ

ˆ

ˆ

U

UY

I

I, [ ]

′′

′′⋅′′=

′′

′′

2

1

2

1

ˆ

ˆˆ

ˆ

ˆ

U

UY

I

I,

ímž dostaneme

[ ] [ ] [ ]

⋅=

⋅′′+

⋅′=

2

1

2

1

2

1

2

1

ˆ

ˆˆ

ˆ

ˆˆ

ˆ

ˆˆ

ˆ

ˆ

U

UY

U

UY

U

UY

I

I,

z ehož plyne pro výslednou admitanní matici paraleln azených dvojbran, že je dána soutem admitanních matic dílích dvojbran

[ ] [ ] [ ]YYY ′′+′= ˆˆˆ .

[ ]Y ′ˆ

1I ′1I

1I ′′

1U ′

1U ′′

1U

[ ]Y ′′ˆ

2U ′

2U ′′

2I2I ′

2I ′′

2U

Obr. 3.20 Blokové schéma paralelního azení dvojbran

123

Sériové azení dvojbran (sériov sériové)

Toto zapojení má spojenou vstupní i výstupní bránu sériov. Spolenou veliinou bran je proud a sítají se jejich naptí. Impedanní model je duální k modelu paraleln paralelnímu, takže platí podle obr. 3.21

111ˆˆˆ III ′′=′= a 222

ˆˆˆ III ′′=′=

a podle 2. Kirchhoffova zákona

111ˆˆˆ UUU ′′+′= a 222

ˆˆˆ UUU ′′+′= ,

takže i

[ ] [ ] [ ]

⋅=

⋅′′+

⋅′=

2

1

2

1

2

1

2

1

ˆ

ˆˆ

ˆ

ˆˆ

ˆ

ˆˆ

ˆ

ˆ

I

IZ

I

IZ

I

IZ

U

U,

z ehož plyne pro výslednou impedanní matici sériov azených dvojbran, že je dána soutem impedanních matic dílích dvojbran

[ ] [ ] [ ]ZZZ ′′+′= ˆˆˆ .

[ ]Z ′ˆ

1I ′1I

1I ′′

1U ′

1U ′′

1U

[ ]Z ′′ˆ

2U ′

2U ′′

2I2I ′

2I ′′

2U

Obr. 3.21 Blokové schéma sériového azení dvojbran

Paraleln sériové azení dvojbran

Toto zapojení má vstupní brány dvojbran spojené paraleln a výstupní brány sériov. Spolenou veliinou vstupních bran je naptí a sítají se jejich proudy, spolenou veliinou výstupních bran je proud a sítají se jejich naptí. Podle obr. 3.22 tedy platí

211ˆˆˆ UUU ′′=′= a 222

ˆˆˆ III ′′=′=

a podle 1. a 2. Kirchhoffova zákona

111ˆˆˆ III ′′+′= a 222

ˆˆˆ UUU ′′+′= .

124

Zapíšeme-li poslední dv rovnice v maticovém tvaru, dostaneme

′′

′′+

′

′=

2

1

2

1

2

1

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

U

I

U

I

U

I,

kam dosadíme smíšené modely dvojbranu se zjednodušeným zápisem matice K

[ ]

′

′⋅′=

′

′

2

1

2

1

ˆ

ˆˆ

ˆ

ˆ

I

UK

U

I, [ ]

′′

′′⋅′′=

′′

′′

2

1

2

1

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

I

UK

U

I ,

ímž dostaneme

[ ] [ ] [ ]

⋅=

⋅′′+

⋅′=

2

1

2

1

2

1

2

1

ˆ

ˆˆ

ˆ

ˆˆ

ˆ

ˆˆ

ˆ

ˆ

I

UK

I

UK

I

UK

U

I,

z ehož plyne pro výslednou paraleln sériovou matici, že je dána soutem dílích paraleln sériových matic dvojbran

[ ] [ ] [ ]KKK ′′+′= ˆˆˆ .

[ ]K ′ˆ

1I ′1I

1I ′′

1U ′

1U ′′

1U

[ ]K ′′ˆ

2I ′

2I ′′

2U ′

2U ′′

2I

2U

Obr. 3.22 Blokové schéma paraleln sériového azení dvojbran

Sériov paralelní azení dvojbran

Toto zapojení má vstupní brány dvojbran spojené sériov a výstupní brány paraleln. Spolenou veliinou vstupních bran je proud a sítají se jejich naptí, spolenou veliinou výstupních bran je naptí a sítají se jejich proudy. Toto zapojení je duální k paraleln sériovému. Pro tento model tedy platí podle obr. 3.23

111ˆˆˆ III ′′=′= a 222

ˆˆˆ UUU ′′=′=

a podle 2. Kirchhoffova zákona

111ˆˆˆ UUU ′′+′= a 222

ˆˆˆ III ′′+′= ,

125

takže i

[ ] [ ] [ ]

⋅=

⋅′′+

⋅′=

2

1

2

1

2

1

2

1

ˆ

ˆˆ

ˆ

ˆˆ

ˆ

ˆˆ

ˆ

ˆ

U

IH

U

IH

U

IH

I

U,

z ehož plyne pro výslednou sérioparalelní matici, že je dána soutem sérioparalelních matic dílích dvojbran

[ ] [ ] [ ]HHH ′′+′= ˆˆˆ .

[ ]H ′ˆ

1I ′1I

1I ′′

1U ′

1U ′′

1U

[ ]H ′′ˆ

2I ′

2I ′′

2U ′

2U ′′

2U

2I

Obr. 3.23 Blokové schéma sériov paralelního azení dvojbran

Kaskádní azení dvojbran

Toto zapojení spojuje výstupní bránu jednoho dvojbranu se vstupní branou následujícího dvojbranu. Spolenou veliinou spojených bran je jejich proud a naptí. Pro tento model platí podle obr. 3.24

11ˆˆ UU ′= , 21

ˆˆ UU ′=′′ , 22ˆˆ UU ′′=

a

11ˆˆ II ′= , 21

ˆˆ II ′−=′′ , 22ˆˆ II ′′=

což mžeme zapsat pomocí maticového zápisu

′

′=

1

1

1

1

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

I

U

I

U,

′−

′=

′′

′′

2

2

1

1

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

I

U

I

U,

′′−

′′=

− 2

2

2

2

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

I

U

I

U.

Užitím kaskádního modelu dvojbranu a dosazením do rovností získáme

[ ]

′−

′⋅′=

2

2

1

1

ˆ

ˆˆ

ˆ

ˆ

I

UA

I

U , [ ]

−⋅′′=

′′

′′

2

2

1

1

ˆ

ˆˆ

ˆ

ˆ

I

UA

I

U resp. [ ]

−⋅′′=

′−

′

2

2

2

2

ˆ

ˆˆ

ˆ

ˆ

I

UA

I

U

a jejich zetzením díky rovnosti

126

[ ] [ ] [ ]

−⋅=

−⋅′′⋅′=

2

2

2

2

1

1

ˆ

ˆˆ

ˆ

ˆˆˆ

ˆ

ˆ

I

UA

I

UAA

I

U,

z ehož pro plyne pro výslednou kaskádní matici, že je dána souinem kaskádních matic dílích dvojbran

[ ] [ ] [ ]AAA ′′⋅′= ˆˆˆ .

[ ]A′ˆ

1I ′1I 1I ′′

1U ′ 1U ′′1U [ ]A ′′ˆ2U ′ 2U ′′

2I ′2I ′′ 2I

2U

Obr. 3.24 Blokové schéma kaskádního azení dvojbran

Poznamenejme, že kaskádní azení dvojbran je vždy regulární.

Píklad 3.6.

Urete výslednou matici kaskádn azených dvojbran na obr. 3.25 a posute jeho vlastnosti.

1

1‘

R

2

2‘

R

[ ]A′ˆ [ ]A ′′ˆ [ ]A ′′′ˆ

Obr. 3.16 Kaskádní azení jednoduchých dvojbran, píklad 3.6

♦

K ešení využijme výsledky píkladu 3.4, kde pro jednotlivé dvojbrany byly ureny následující kaskádní matice:

[ ]

=′

10

1ˆ

RA , [ ]

=′′

10

11A , [ ]

=′′′

11

01ˆ

RA .

Výslednou matici zapojení dostaneme násobením dílích matic

[ ] [ ] [ ] [ ]

=

⋅

⋅

⋅=′′′⋅′′⋅′= 1

12

11

01

10

11

10

1ˆˆˆˆ

R

R

R

RAAAA .

Dvojbran je reciproký, protože determinant výsledné matice platí 11

12ˆ =−⋅= RR

A a nesoumrný,

jelikož platí 2211ˆˆ AA ≠ a po dosazení 12 ≠ .

127

Shrnutí pojm 3.4.

azením dvojbran vznikne nový dvojbran, jehož vlastnosti jsou definovány parametry dílích dvojbran. Celkem existuje pt možností zapojení dvojbran. Výsledné matice získáme soutem dílích matic dvojbran s výjimkou modelu kaskádního, který je dán souinem dílích matic dvojbran. Zapojení dvojbran musí být regulární, což je splnno vždy u pín soumrných dvojbran. U dvojbran s krajní pínou nesoumrností se musíme o regularit zapojení nejprve pesvdit.

Otázky 3.4.

1. Co rozumíme regulárním zapojením dvojbran?

2. Jakým zpsobem mžeme zapojit dva nebo více dvojbran?

3. Pro musíme u zapojení dvojbran, z nichž je alespo jeden krajn pín nesoumrný, zkoumat regularitu zapojení?

4. U kterého azení nemusíme zkoumat regularitu zapojení dvojbran?

5. Které modely dvojbran jsou definovány soutem matic dílích dvojbran?

6. Jak uríme výslednou matici kaskádn azených dvojbran?

Úloha k ešení 3.4

Posute, jsou-li sériov zapojené dvojbrany na obr. 3.26 korektn zapojené.

ešení:

2

2‘ 1‘

R1 R2

R3

1

4

4‘ 3‘

R5

3

R4 R6

Obr. 3.26 Sériové azení T-lánku a Π-lánku, úloha k ešení 3.4

Zapojením horního dvojbranu s krajní pínou nesoumrností se mní vlastnosti dolního dvojbranu, protože jeho rezistor 5R je zkratován, takže výsledný dvojbran je neregulární.

128

3.5. Vybrané dvojbrany Nkteré jednoduché dvojbrany nazýváme degenerované, protože pro n není možné sestavit všechny maticové modely. Píklad takového dvojbranu je uveden na obr. 3.27.

2

2‘

1

1‘

Y

Obr. 3.27 Jednoduchý, degenerovaný dvojbran, podéln i pín soumrný

Pokud bychom chtli urit prvky jeho admitanní matice z defininích vztah, zjistíme, že vlivem zkratování jednch bran a pi napájení druhých bran dvojbranu ze zdroje naptí porostou jeho proudy nade všechny meze, a tím i hodnoty prvk admitanní matice

∞→==

∞→01

1

ˆ11

21 ˆ

ˆlimˆ

UI U

IY , ∞→=

=∞→

02

1

ˆ12

11 ˆ

ˆlimˆ

UI U

IY ,

∞→==

∞→01

2

ˆ21

22 ˆ

ˆlimˆ

UI U

IY , ∞→=

=∞→

02

2

ˆ22

12 ˆ

ˆlimˆ

UI U

IY .

Admitanní matice tohoto dvojbranu tudíž není definována a zdálo by se tedy, že nejsou definovány ani další maticové modely tohoto dvojbranu, ponvadž v transformaních vztazích v tab. 3.1, vystupuje determinant admitanní matice, což ale není pravda. Uríme-li hodnoty prvk píslušných matic podle defininích vztah, zjistíme, že mají následující hodnoty

[ ]

=

YY

YYZ

ˆ1

ˆ1

ˆ1

ˆ1

ˆ , [ ]

−=

01

1ˆˆ Y

K , [ ]

−=

YH

ˆ1

10ˆ , [ ]

=

1ˆ01

ˆY

A , [ ]

=

1ˆ01

ˆY

B

a že až na singulární admitanní matici, jsou ostatní matice regulární. Nulový determinat impedanní matice má potom za následek, že pi pepotu matice impedanní na admitanní získáme limitní hodnoty prvk admitanní matice, takové jak byly ureny výše z defininích vztah tedy rostoucí nade všechny meze.

Další dva jednoduché dvojbrany, používané ke skládání složených nedegenerovaných dvojbran jejich kaskádním azením, jsou uvedeny na obr. 3.28. Analogickým zpsobem bychom zjistily, že pro degenerovaný dvojbran v levé ásti obr. 3.28, který je duální k dvojbranu na obr. 3.27, není

definována impedanní matice [ ]Z kvli nulovým hodnotám proud obou bran a u dvojbranu na obr. 3.28 vpravo, který realizuje ideální propojení (obdoba ideálního vodie) kaskádn azených dvojbran

a je limitním pípadem levého degenerovaného dvojbranu pro Ω→ 0Z , není definována jak

admitanní matice [ ]Y , tak i impedanní matice [ ]Z .

129

2

2‘

1

1‘

2

2‘

1

1‘

Z Ω= 0Z

Obr. 3.28 Jednoduchý, degenerovaný dvojbran: podéln soumrný, podéln i pín soumrný

Ideální transformátor

Ideální transformátor, nakreslený na obr. 3.29, má nulové odpory vinutí, dokonalou vazbu mezi primárním a sekundárním vinutím (nemá žádný rozptyl), nekonen velké hodnoty primární

induknosti L1 a sekundární induknosti L2 a tím i vzájemné induknosti 21 LLM = .

Poznamenejme, že prakticky pro modelování ideálního transformátoru na poítai staí hodnoty obou indukností volit dostaten velké. Ideální transformátor má komplexní naptí pipadající na jeden

závit z1U stejné pro ob vinutí. Naptí primárního vinutí tak mžeme vyjádit

z111ˆˆ UNU =

a komplexní naptí sekundárního vinutí

z122ˆˆ UNU = .

1

1‘

2

2‘

1I

N1 N2

2I

1U 2U 2Z

M

Obr. 3.29 Zatížený ideální transformátor

Jeho jediným parametrem pevodní je pomr

2

1

1

2

2

1

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

N

N

I

I

U

Un =

−== .

Úpravou tohoto vztahu získáme kaskádní rovnice ideálního transformátoru

)ˆ(0ˆˆˆ2221 IUnUnU −⋅+== ,

)ˆ(1ˆ0

ˆˆ

222

1 In

Un

II −+⋅=

−= ,

a tedy i kaskádní matici

130

[ ]

=

n

nA 1

0

0ˆ .

Užitím transformaních vztah z tab. 3.1 vidíme, že admitanní a impedanní matice není definována vlivem nulových hodnot prvk 12A , 21A kaskádní matice. Ideální transformátor je tedy degenerovaný dvojbran. Zbývající matice modelu ideálního transformátoru však existují a jsou

[ ]

−

=0

1

10

ˆ

n

nK , [ ]

−=

0

0ˆ

n

nH , [ ]

=

nnB0

01

ˆ .

Píklad 3.7.

Nakreslete možné obvodové modely ideálního transformátoru.

♦

Jak víme, kaskádní a zptn kaskádní obvodový model neexistují. Imitanní modely ideálního transformátoru nejsou definovány, z tohoto dvodu mžeme nakreslit jeho obvodové modely jen pro smíšené modely dvojbranu, viz obr. 3.30.

Û1

Î1

2ˆ1I

n− 1

ˆ1U

nÛ2

Î2

212221212

212121111

ˆ0ˆ1ˆˆˆˆˆ

,ˆ1ˆ0ˆˆˆˆˆ

IUn

IKUKU

In

UIKUKI

⋅+=+=

−+⋅=+=

212221212

212121111

ˆ0ˆˆˆˆˆˆ

ˆˆ0ˆˆˆˆˆ

UInUHIHI

UnIUHIHU

⋅+−=+=

+⋅=+=

Û1

Î1

2Un 1In Û2

Î2

Obr. 3.30 Náhradní schéma zapojení a rovnice ideálního transformátoru: paraleln sériový model, sériov paralelní model

Ideální transformátor je kmitotov nezávislý, takže výše uvedené vztahy neplatí jen pro popis transformátoru pomocí komplexního potu, ale i pro libovolné prbhy okamžitých hodnot naptí a proudu

131

21 unu = ,

n

ii 21

−= .

Uríme-li okamžitý výkon dodaný obma branami dvojbranu, tedy výkon spotebovaný ideálním transformátorem, platí

( ) VA0112222

2221121 =+−=+

−=+=+= piu

n

iuniuiuppp

a jak vidíme, ideální transformátor nespotebovává žádný výkon, je tedy bezeztrátový.

Vstupní impedance ideálního transformátoru zatíženého impedancí 2Z je

22

2

222

2

22

2

2

1

11

ˆˆ

ˆˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆˆ Zn

I

IZn

I

Un

n

I

Un

I

UZ =

−

−=

−=

−

== .

Má tedy stejný charakter jako zatžovací impedance 2Z , mní se pouze velikost jejího modulu se tvercem pevodu. Této vlastnosti se využívá u pizpsobovacího transformátoru, kterým se provádí impedanní pizpsobení zátže.

Píklad 3.8.

Dokažte užitím symbolického potu, že ideální transformátor je bezeztrátový.

♦

Dkaz provedeme dosazením pevodního pomru do defininího vztahu pro zdánlivý výkon

( )

,011ˆˆ

11ˆˆ1

ˆ

ˆ

ˆ

ˆˆˆ1

ˆˆ

ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ

*22

**22

*

2

1

2

1*22*

22

*11*

22*

22*11

=

−

=

=

−

=

−

=

−=−+=

nnIU

nnIU

I

I

U

UIU

IU

IUIUIUIUS

který je nulový a tudíž i inný výkon (reálná ást zdánlivého výkonu) i ztráty ideálního transformátoru.

Gyrátor

Gyrátor je bezeztrátový dvojbran, který realizuje inverzi zatžovací impedance 2Z . Je popsán rovnicemi

2121ˆˆ0ˆˆ UgUUgI +⋅== ,

2112ˆ0ˆˆˆ UUgUgI ⋅+−=−=

a tedy i admitanní matici

[ ]

−=

0

0ˆ

g

gY ,

kde g je gyraní vodivost. Jeho schematická znaka je nakreslena na obr. 3.31.

132

1

1‘

2

2‘

1I 2I

1U 2U 2Z

Obr. 3.31 Model gyrátoru

Užitím transformaních vztah z tab. 3.1 vidíme, že ob smíšené matice nejsou definovány vlivem nulových hodnot prvk 11Y , 22Y admitanní matice. Gyrátor je tedy degenerovaný dvojbran. Další existující matice modelu gyrátoru jsou

[ ]

−

=0

1

10

ˆ

g

gZ , [ ]

=0

10

ˆ

ggA , [ ]

−

−=

0

10

ˆ

ggB .

Vstupní impedance gyrátoru zatíženého impedancí 2Z je

2

2

22

22

22

2

2

1

11 ˆ

1ˆ11

ˆˆ

ˆ1ˆ

ˆ

ˆ

ˆˆ

Zr

ZgIZ

I

gUg

g

I

I

UZ ==

−

−=

−

==

a jak vidíme, realizuje inverzi zatžovací impedance, jejíž velikost se mní pímo úmrn se tvercem gyraního odporu r nebo nepímo úmrn se tvercem gyraní vodivosti g. Významným pípadem je zapojení kapacitoru na výstup gyrátoru, potom bude jeho vstupní impedance

e22

2

21 jj

j

11

ˆ1ˆ LCr

C

rZ

rZ ωω

ω

==== ,

kde Le je ekvivalentní hodnota tzv. syntetické induknosti. Této vlastnosti se využívá pi konstrukci aktivních filtr, které obsahují pouze rezistory, kapacitory a zesilovací prvky, tzv. ARC filtr.

Píklad 3.9.

Pesvdte se, že gyrátor je bezeztrátový obvodový prvek.

♦

Dkaz provedeme dosazením defininích vztah do rovnice pro zdánlivý výkon dvojbranu a algebraickými úpravami s komplexními ísly

( ) ( ) ( )

[ ] ( ) ( )[ ]( ) ( )

=

−⋅=−=+−=

=+−=+−=+

−=+=

−−−−−−−−

j22j

ˆˆˆˆˆˆˆˆ

ˆˆˆˆˆ

2222

22222222

2222

jj

2jj

2jjjj

22

*j2

j2

*j2

j2

*22

*22

*22

*2

2*22

*11

IUIU

IUIUIUUI

IUUI

eeSeeSeeeeIU

eIeUeUeIIUUIIUUgg

IIUIUS

ψψψψψψψψψψψψ

ψψψψ

133

( ) ( ).sin2jsin2j222 22 ZIU SS ϕψψ =−=

Zdánlivý výkon gyrátoru nemá reálnou ást, má nulový inný výkon i ztráty, je tedy bezeztrátový

prvek. Jak vidíme, imaginární ást, jalový výkon, je nenulový a závisí na impedanci 2Z .

Aktivní dvojbrany

Aktivní dvojbrany jsou zvláštní pípady imitanních a smíšených model dvojbran, u kterých neuvažujeme v jejich modelech pasivní obvodové prvky a penos energie z výstupní brány smrem k brán vstupní. Jde o tzv. unilaterární dvojbrany. Tyto dvojbrany jsou charakterizovány pouze jediným parametrem a definují je následující matice

[ ]

=

0ˆ00

ˆ21Y

Y , [ ]

=

0ˆ00

ˆ21Z

Z , [ ]

=

0ˆ00

ˆ21K

K , [ ]

=

0ˆ00

ˆ21H

H .

Admitanní matici [ ]Y odpovídá rovnice 1212ˆˆˆ UYI = , která platí i pro obecné asové prbhy naptí

ve tvaru i2 = y21 u1. V pípad tohoto dvojbranu mluvíme o modelu zdroje proudu ízeného naptím. Proud zdroje i2 je lineární funkcí ídicího naptí u1. Obvodový model zdroje a ídicí charakteristika zdroje jsou uvedeny na obr. 3.32, ze kterého je zejmé že ídící výkon zdroje p1 = u1 i1 je vlivem

rozpojených svorek vstupní brány nulový (i1 = 0 A) stejn jako ídící komplexní výkon *111

ˆˆˆ IUS = . Zdroj proudu ízený naptím je modelem pevodníku naptí na proud nebo transadmitanního zesilovae. Konstanta 21Y se nazývá penosová admitance nebo strmost a má rozmr S.

i2

i2

u1 (V) 0

i2 (V)

u11U 2I

2IA01 =I i1 = 0 A

Obr. 3.32 Obvodový model zdroje proudu ízeného naptím: komplexní popis, obecný popis, ídící charakteristika

Impedanní matici [ ]Z odpovídá rovnice 1212ˆˆˆ IZU = , která platí i pro obecné asové prbhy naptí

ve tvaru u2 = z21 i1. V pípad tohoto dvojbranu mluvíme o modelu zdroje naptí ízeného proudem. Naptí zdroje u2 je lineární funkcí ídicího proudu i1. Obvodový model zdroje a ídicí charakteristika zdroje jsou uvedeny na obr. 3.33, ze kterého je zejmé že ídící výkon zdroje p1 = u1 i1 je vlivem

propojení svorek vstupní brány nulový (u1 = 0 V) stejn jako ídící komplexní výkon *111

ˆˆˆ IUS = . Zdroj naptí ízený proudem je modelem pevodníku proudu na naptí nebo transimpedanního zesilovae.

Konstanta 21Z se nazývá penosová impedance nebo transimpedance a má rozmr Ω.

134

u2

i2

i1 (A) 0

u2 (V)

i11I 2U

2IV0ˆ1 =U u1 = 0 V

Obr. 3.33 Obvodový model zdroje naptí ízeného proudem: komplexní popis, obecný popis, ídící charakteristika

Smíšené matici [ ]K odpovídá rovnice 1212ˆˆˆ UKU = , která platí i pro obecné asové prbhy naptí

ve tvaru u2 = k21 u1. V pípad tohoto dvojbranu mluvíme o modelu zdroje naptí ízeného naptím. Naptí zdroje u2 je lineární funkcí ídicího naptí u1. Obvodový model zdroje a ídicí charakteristika zdroje jsou uvedeny na obr. 3.34, ze kterého je zejmé že ídící výkon zdroje p1 = u1 i1 je vlivem

rozpojených svorek vstupní brány nulový (i1 = 0 A) stejn jako ídící komplexní výkon *111

ˆˆˆ IUS = .

Zdroj naptí ízený naptím je modelem ideálního zesilovae naptí. Bezrozmrná konstanta 21K se nazývá napové zesílení.

u2

i2

u1 (V) 0

u2 (V)

u11U 2U

2IA01 =I i1 = 0 A

Obr. 3.34 Obvodový model zdroje naptí ízeného naptím: komplexní popis, obecný popis, ídící charakteristika

Smíšené matici [ ]H odpovídá rovnice 1212ˆˆˆ IHI = , která platí i pro obecné asové prbhy naptí

ve tvaru i2 = H21 i1. V pípad tohoto dvojbranu mluvíme o modelu zdroje proudu ízeného proudem. Proud zdroje i2 je lineární funkcí ídicího proudu i1. Obvodový model zdroje a ídicí charakteristika zdroje jsou uvedeny na obr. 3.35, ze kterého je zejmé že ídící výkon zdroje p1 = u1 i1 je vlivem

propojení svorek vstupní brány nulový (u1 = 0 V) stejn jako ídící komplexní výkon *111

ˆˆˆ IUS = . Zdroj

proudu ízený proudem je modelem ideálního zesilovae proudu. Bezrozmrná konstanta 21H se nazývá proudové zesílení nebo proudový zesilovací initel.

135

i2

i2

i1 (A) 0

i2 (A)

i12I

2I u1 = 0 V

1I

V0ˆ1 =U

Obr. 3.35 Obvodový model zdroje proudu ízeného proudem: komplexní popis, obecný popis, ídící charakteristika

Shrnutí pojm 3.5.

Dvojbrany u nichž nelze vytvoit všechny maticové modely nazýváme degenerované. Patí sem všechny dvojbrany definované jediným parametrem. K základním degenerovaným dvojbranm patí ideální transformátor, gyrátor a ízené zdroje. Dležitou vlastností tchto dvojbran je, že jsou bezeztrátové. Ideální transformátor je obvodový prvek, který v závislosti na pevodním pomru mní velikost impedance k nmu pipojené. Gyrátor je obvodový prvek, který modeluje inverzi impedance, pipojené k jeho výstupní brán. Velikost impedance závisí na gyraní vodivosti nebo gyraním odporu. ízené zdroje slouží k modelování zesilova nebo pevodník elektrických veliin. Zesilovae jsou charakterizované pevodní konstantou – zesílením, pevodníky – transimitancí.

Otázky 3.5.

1. Kolika parametry je definován ideální transformátor?

2. K emu slouží ideální transformátor?

3. Které degenerované dvojbrany jsou bezeztrátové?

4. Je ideální transformátor kmitotov závislý?

5. Jak se chová kapacitor pipojený k výstupním svorkám gyrátoru?

6. Co je to gyraní odpor?

7. Kolika parametry je definován model ízeného zdroje?

8. Jak nazýváme bezrozmrné konstanty ízených zdroj?

9. Které ízené zdroje jsou spojeny s transimitancemi?

10. Jaký je ídící výkon ízených zdroj?

Uloha k ešení 3.5

Urete velikost a fázi vstupní impedance ideálního transformátoru s pevodem n = 0,1 má-li zatžovací impedance hodnotu 8+j6 Ω.

ešení:

( ) Ω+=+⋅== j0,0680,0 j681,0ˆˆ 22

21 ZnZ ,

136

Ω=+= 1,00,0680,0ˆ 221Z , °=

= 87,36

08,0

06,0arctan

1Zϕ .

137

4. Obvody s promnnými parametry. Fázorové áry, amplitudové a fázové charakteristiky, Bodeho metoda

Motivace Po prostudování této kapitoly budete umt

• modelovat zmny parametr obvodových prvk a zdroj • sestrojit hodograf (fázorovou áru) imitanních funkcí • nakreslit amplitudovou a fázovou charkteristiku penosové funkce • efektivn sestrojit kmitotové charakteristiky lomené penosové funkce a stanovit její

nuly a póly • sestrojit kmitotové asymptotické charakteristiky (Bodeho charakteristiky)

4.1. Fázorové áry, amplitudové a fázové charakteristiky Pi analýze obvod v harmonicky ustáleném stavu vtšinou pedpokládáme, že parametry obvodových prvk jsou konstantní. K jejich ešení obvykle využíváme transformaci harmonických prbhobvodových veliin do komplexní roviny, které v daném provozním stavu obvodu reprezentují fázory naptí a proud. Zajímá-li nás vliv zmny velikosti obvodových parametr na chování obvodu, a již z dvod citlivostní analýzy, toleranní analýzy i regulace, mžeme tuto skutenost nejsnáze modelovat zmnou hodnoty jednoho z parametr v ad ustálených stav obvodu (prakticky pi velmi pomalé zmn parametr) reprezentovaných souborem fázor, jejichž koncové body se pohybují po kivkách, jež nazýváme fázorovými arami nebo hodografy. Oznaíme-li zmnu parametru reálným íslem p, mžeme popsat zmnu odporu R = pR0, kapacity C = pC0, vlastní induknosti L = pL0, vzájemné induknosti M = pM0, pípadn zmnu parametru nezávislého nebo ízeného zdroje nap. kmitotu ω = pω0, ímž mžeme zkoumat funkní závislosti parametru p pomocí komplexní

funkce reálné promnné )(ˆ pF , která mže zastupovat impedanní, admitanní nebo penosovou charakteristiku. Indexem 0 je oznaena vztažná hodnota parametru, což mže být nap. jmenovitá hodnota, rezonanní úhlový kmitoet nebo jiný parametr pro který obvod vykazuje významné vlastnosti, kterou mžeme použít k normování promnných. Fázorové áry jsou orientované, takže jim piazujeme orientaci pomocí šipky. Kladná orientace hodografu odpovídá nárstu hodnot parametru

p. Vhodnou volbou hodnoty parametru dosáhneme požadovaného prbhu komplexní funkce )(ˆ pF , kterou si mžeme vyjádit ve složkovém tvaru

)(ˆImj)(ˆRe)(ˆ pFpFpF += ,

nebo ve tvaru exponenciálním

( ))(ˆargje)(ˆ)(ˆ pFpFpF = ,

kde závislost velikosti komplexní funkce )(ˆ pF na parametru p oznaujeme jako modulovou nebo

amplitudovou charakteristiku a závislost argumentu komplexní funkce

( )

==

)(ˆRe

)(ˆImarctan)(ˆargP

pF

pFpFϕ

na parametru p oznaujeme jako fázovou charakteristiku. Grafické znázornní komplexní funkce )(ˆ pF v komplexní rovin nazýváme hodografem. Zvláštním pípadem hodografu je fázorová ára,

kdy komplexní funkce je zastoupena obvodovými funkcemi obvykle v exponenciálním tvaru. Hodograf i fázorovou áru opatujeme kvli odetu hodnot pro danou hodnotu parametru p

138

parametrickou stupnicí, která je v nkterých pípadech nelineární. Této nevýhod se mžeme vyhnout zobrazením komplexní funkce v podob oddlené amplitudové a fázové charakteristiky, které konstruujeme pímo v závislosti na hodnot promnného parametru, tedy bez nutnosti konstrukce pomocné parametrické stupnice.

Grafickou podobu funkce mžeme získat stanovením funkních hodnot pro dostatený poet hodnot parametru p z požadovaného intervalu, a už zobrazujeme hodograf i modulovou a fázovou charakteristiku. Tento postup je v dob masového využití výpoetní techniky snadno realizovatelný a jediný možný u složitjších obvod. V jednodušších pípadech obvod mžeme využít i geometrické konstrukce, nebo hodografy jsou vtšinou pímky nebo kružnice, pro které lze jednoduše konstruovat i parametrické stupnice.

Základními hodografy i pesnji fázorovými árami jsou impedanní charakteristiky )(ˆ pZ a

admitanní charakteristiky )(ˆ pY , ze kterých užitím zobecnného Ohmova zákona mžeme snadno odvodit hodografy naptí a proudu ze vztah

)(ˆ)(ˆ)(ˆ pIpZpU = a )(ˆ)(ˆ)(ˆ pUpYpI =

a z jejich souin i hodografy výkon.

Shrnutí pojm 4.1.

Fázorová ára je spojitá kivka zobrazená v komplexní rovin, na které leží geometrická místa bodvymezená defininím intervalem reálné promnné p komplexní obvodové funkce )(ˆ pF . Fázorovou arou i hodografem modelujeme vliv zmny obvodového parametru na chování elektrického obvodu. Základními hodografy jsou impedanní a admitanní charakteristiky, ze kterých lze odvodit hodografy naptí a proudu užitím zobecnného Ohmova zákona.

Otázky 4.1.

1. Jakým zpsobem modelujeme vliv zmn obvodových parametr?

2. Co je to fázorová ára?

3. Je rozdíl mezi hodografem a fázorovou arou?

4. Co udává amplitudová a fázová charakteristika?

5. Jak konstruujeme hodograf nebo amplitudovou a fázovou charakteristiku obvodu s promnným parametrem?

6. Které charakteristiky definují fázové a amplitudové pomry v elektrickém obvodu ?

Úloha k ešení 4.1.

Nakreslete hodograf funkce BpApF ˆˆ)(ˆ += . Co mžeme touto funkcí modelovat?

ešení:

Budou-li mít konstanty rozmr impedance nebo admitance, potom tato funkce modeluje v komplexní

rovin impedanní charakteristiku )(ˆ pZ sériového RL obvodu nebo admitanní charakteristiku )(ˆ pYparalelního RC obvodu, jejichž koncové body se v závislosti na parametru ),0 ∞∈<p nacházejí

139

na polopímce. Praktický význam tak mají v elektrotechnice jen hodografy, které jsou definovány jen

jednou složkou konstant A a B . Možné hodnoty konstant si ilustrujme následujícími temi pípady

konstant. Pro konstanty j2ˆ +=A a 2j1ˆ +=B získáme hodograf ( )2j1j2)(1 +++= ppF ,

pro konstanty 2ˆ =A a 2jˆ =B získáme hodograf ppF 2j2)(ˆ2 += a pro konstanty 2jˆ =A a 2ˆ =B

získáme hodograf ppF 22j)(ˆ3 += . První funkce má jen teoretický význam. Druhá funkce ilustruje

v pípad charakteristiky )(ˆ pZ závislost induktivní reaktance a v pípad charakteristiky )(ˆ pY

závislost kapacitní susceptance na parametru p. Tetí funkce v pípad charakteristiky )(ˆ pZ

pedstavuje závislost rezistance a v pípad charakteristiky )(ˆ pY závislost konduktance na parametru

p. Praktický význam tak mají jen hodografy urené konstantami A a B , které mají jen jednu ze složek komplexního ísla. Hodografy dílích funkcí jsou vyneseny na obr. 4.1.

2

4

6

)(1 pF

+j

+1

8

2 4 6

)(ˆ2 pF

)(ˆ3 pF

Obr. 4.1 Hodografy funkcí, píklad 4.1

4.2. Hodografy jednoduchých obvod s promnným parametrem

Promnný rezistor

Impedanní charakteristika promnného rezistoru, zobrazená na obr. 4.2 vlevo spolu obvodovým schématem, je definována

0)(ˆ)(ˆ

)(ˆ RppI

pUpZ == ,

kde R0 je vztažná hodnota odporu a defininí obor parametru ),0 ∞∈<p . Je to rovnice polopímky s lineární parametrickou stupnicí, která leží v kladné ásti reálné osy komplexní roviny.

Admitanní charakteristika, zobrazená na obr. 4.2 vpravo, je inverzní k charakteristice impedanní

00

11

)(ˆ)(ˆ

)(ˆ1

)(ˆ GpRppU

pI

pZpY ==== ,

kde G0 je vztažná hodnota vodivosti a defininí obor parametru ),0 ∞∈<p . Je to rovnice polopímky avšak s nelineární parametrickou stupnicí, která leží v kladné ásti reálné osy komplexní roviny, viz obr. 4.2 vpravo.

140

1

+j

+12 3 4

)(ˆ pZ

4

+j

+12 1,33 1

)(ˆ pY

∞→ 0→0 ∞∞∞∞

pR0

Û(p)Î(p)

G0/p

Û(p)Î(p)

Obr. 4.2 Hodograf a schematická znaka promnného rezistoru/konduktoru: impedanní model, admitanní model

Promnný induktor

Impedanní charakteristika promnného induktoru, zobrazená na obr. 4.3 vlevo spolu obvodovým schématem, je definována

0L0 jj)(ˆ)(ˆ

)(ˆ XpLppI

pUpZ === ω ,

kde L0 a 0LX je vztažná hodnota induknosti a její reaktance a defininí obor parametru ),0 ∞∈<p .

Je to rovnice polopímky s lineární parametrickou stupnicí, která leží v kladné ásti imaginární osy komplexní roviny.

Admitanní charakteristika, zobrazená na obr. 4.3 vpravo, je inverzní k charakteristice impedanní a je daná

0

0

0

LL

L

0

1j

j

1

jj

1

)(ˆ)(ˆ

)(ˆ1

)(ˆ BpXpp

K

LppU

pI

pZpY −======

ωω,

kde 10L0

−= LK je inverzní induknost,0LB je vztažná hodnota susceptance a defininí obor parametru

),0 ∞∈<p . Je to rovnice polopímky s nelineární parametrickou stupnicí, která leží v záporné ásti imaginární osy komplexní roviny.

Promnný kapacitor

Impedanní charakteristika promnného kapacitoru, zobrazená na obr. 4.4 vlevo spolu obvodovým schématem, je definována

0

0

CC

00

j1

j1

j1

j

1

)(ˆ)(ˆ

)(ˆ Xpp

D

CpCppI

pUpZ −=−=

−===

ωωω,

kde C0 je kapacita, 10C0

−= CD je inverzní kapacita a 0CX je vztažná hodnota kapacity a její reaktance

a defininí obor parametru ),0 ∞∈<p . Je to rovnice polopímky s nelineární parametrickou stupnicí, která leží v záporné ásti imaginární osy komplexní roviny.

Admitanní charakteristika, zobrazená na obr. 4.4 vpravo, je inverzní k charakteristice impedanní

141

1

+j

+1

2

3

4

)(ˆ pZ 4

-j

+1

2

1,33

1

)(ˆ pY

↑

∞

0

∞∞∞∞

pL0

Û(p)Î(p)

0

↓KL0 / p

Û(p)Î(p)

Obr. 4.3 Hodograf a schematická znaka promnného induktoru/inverzního induktoru: impedanní model, admitanní model

0

0C

C0

0

1jjj

j

11

)(ˆ)(ˆ

)(ˆ1

)(ˆX

pBpCp

CppU

pI

pZpY ====== ω

ω

,

kde0CB je vztažná hodnota susceptance a defininí obor parametru ),0( ∞∈p . Je to rovnice

polopímky s lineární parametrickou stupnicí, která leží v záporné ásti imaginární osy komplexní roviny.

1

+j

+1

2

3

4

)(ˆ pY4

-j

+1

2

1,33

1

)(ˆ pZ

↑

∞

0

∞∞∞∞

DC0 / p

Û(p)Î(p)

0

↓ pC0

Û(p)Î(p)

Obr. 4.4 Hodograf a obvodové schéma promnného inverzního kapacitoru/kapacitoru: impedanní model, admitanní model

142

Rezistor a promnný induktor v sérii

Impedanní charakteristika sériového zapojení rezistoru R a promnného induktoru, zobrazená na obr. 4.6 vlevo, je definována

0L0 jj)(ˆ)(ˆ

)(ˆ XpRLpRpI

pUpZ +=+== ω

a její obvodové schéma je na obr. 4.5.

Obr. 4.5 Schéma zapojení RL obvodu s promnným induktorem

kde L0 a 0LX je vztažná hodnota induknosti a její reaktance a defininí obor parametru ),0 ∞∈<p .

Jak vidíme z obr. 4.6 vlevo, je to rovnice polopímky s lineární parametrickou stupnicí, která leží v I. kvadrantu komplexní roviny a je posunuta o hodnotu R vi jejímu poátku. Jak víme, pímka je urena dvma body, které mžeme využít k stanovení mítka parametrické stupnice, která je lineární. Zvolíme-li hodnoty parametru p = 0 a p = 1, potom pomocí funkních hodnot impedanní charakteristiky )0(Z a )1(Z uríme jednotku parametrické stupnice, tak jak je to ukázáno na obr. 4.6 vlevo, z nhož rovnž vidíme, že parametrická stupnice mže být libovoln umístna.

Admitanní charakteristika, zobrazená na obr. 4.6 vpravo, je inverzní k charakteristice impedanní

( ) ( )2L

2

L

2L

2

L

L

LL0

0

0

0

0

0

00

j

j

j

j

1

j

1

j

1

)(ˆ)(ˆ

)(ˆ1

)(ˆ

XpR

Xp

XpR

R

XpR

XpR

XpRXpRLpRpU

pI

pZpY

+−

+=

=−

−

+=

+=

+===

ω

a má defininí obor parametru ),0( ∞∈p . Je to rovnice kružnice, která leží ve IV. kvadrantu komplexní roviny. Jak víme, kružnice je urena temi body, které nejsnáze získáme pro tzv. hlavní hodnoty parametru p = 0, p = 1 a ∞→p

( ) ( ) RXpR

Xp

XpR

RpYY

pp

1jlim)(ˆlim)0(ˆ

2L

2

L

2L

2000

0

0

=+

−+

==→→

,

( ) ( ) 2L

2

L

2L

22L

2

L

2L

2110

0

00

0

0

jjlim)(ˆlim)1(ˆXR

X

XR

R

XpR

Xp

XpR

RpYY

pp +−

+=

+−

+==

→→,

( ) ( ) 0jlim)(ˆlim)(ˆ2

L2

L

2L

20

0

0

=+

−+

==∞∞→∞→ XpR

Xp

XpR

RpYY

pp.

pL0

Û(p)

Î(p)

R

ÛR(p) ÛL(p)

143

1

2

3

4

)(ˆ pZ

+j

+1

-j

+1

)(ˆ pY

)0(Z

)1(Z

)1(Y

)0(Y)(ˆ ∞Y

R

1

2

3

S

1

k1R1

1

R2

k2 2

Obr. 4.6 Hodografy RL obvodu s promnným induktorem: impedanní model, admitanní model

Parametrická stupnice umístná po obvodu plkruhu by byla nerovnomrná. Mžeme ji ale linearizovat, když plkružnici s nelineární parametrickou stupnicí, zobrazíme (promítneme) na polopímku s rovnomrným dlením stupnice užitím geometrické inverze (Euklidova vta) vi stedu inverze, který leží v bod s hodnotou )(ˆ ∞Y ili v poátku komplexní roviny. Plkružnice a jí

odpovídající inverzní polopímka jsou inverzní vi ídicí kružnici k1 se stedem v bod )(ˆ ∞Y a libovolným polomrem R1, piemž polopímku získáme spuštním kolmice z prseíku ídící

kružnice a plkružnice hodografu )(ˆ pY na spojnici stedu inverze )(ˆ ∞Y a stedu kružnice S. Tím, že polomr ídící kružnice je libovolný, mže být kolmice vztyena v libovolném míst z prseíku ídicí kružnice a plkružnice. Pokud ale prseík neexistuje, parametrickou polopímku pak zkonstruujeme pomocí ídicí kružnici k2 postupem naznaeným na obr. 4.6 vpravo. V bod )0(Y vztyíme kolmici a v míst jejího prseíku s kružnicí k2 sestrojíme tenu ke kružnici. V míst, kde tato tena

protne polopímku urenou bodem s hodnotou )(ˆ ∞Y a stedem kružnice S potom leží parametrická pímka, která je na ni kolmá. Sted plkružnice S stanovíme geometrickou konstrukcí obecn

z prseíku os ttiv daných dvojicemi bod urených hodnotami )0(Y , )1(Y a )1(Y , )(ˆ ∞Y . Mítko

parametrické stupnice uríme promítnutím hodnot )0(Y , )1(Y do inverzní pímky ze stedu inverze

)(ˆ ∞Y . Nula parametrické stupnice pímky tedy leží na polopímce zaínající bodem )(ˆ ∞Y a procházející stedem kružnice S.

Pi napájení tohoto obvodu ze zdroje s konstantními parametry získáme pipojením proudového zdroje

oˆ)(ˆ IpI = hodograf naptí

( ) )(ˆˆˆjˆˆjˆ)(ˆ)(ˆLRoLo0o 0

pUUIXpIRILpRIpZpU +=+=+== ωω ,

který bude po podlení velikostí proudu oo II = totožný s hodografem impedanní charakteristiky

)(ˆ pZ viz obr. 4.7 vlevo. Pokud zavedeme mítko impedance mZ dané velikostí impedance Z

144

pipadající na jednotku délky parametrické stupnice, bude hodograf )(ˆ pU totožný s hodografem

)(ˆ pZ , jak plyne z Ohmova zákona, pi mítku naptí mU = mZ Io.

2

1

1

2

3

4

)(ˆ pZ +j

+1

-j

+1

)(ˆ pY

R

1

2

3

)( pU

)(R pU

)(ˆ pI

3

2

1

Obr. 4.7 Hodografy RL obvodu s promnným induktorem: naptí, proud

Podobn pi napájení tohoto obvodu z napového zdroje oˆ)(ˆ UpU = bude hodograf proudu daný

( ) ( ) o2L

2

L

2L

20

oo

ˆjj

ˆˆ)(ˆ)(ˆ

0

0

0

UXpR

Xp

XpR

R

LpR

UUpYpI

+−

+=

+==

ω

a po podlení velikostí naptí oo UU = bude totožný s hodografem admitanní charakteristiky )(ˆ pY

na obr. 4.7 vpravo. Zavedeme-li mítko admitance mY dané velikostí admitance Y pipadající

na jednotku délky parametrické stupnice, bude hodograf )(ˆ pI totožný s hodografem )(ˆ pY , jak plyne z Ohmova zákona, pi mítku proudu mI = mY Uo.

Podobn hodograf naptí rezistoru )(ˆR pU na obr. 4.8 vlevo, po podlení velikostí souinu UR ˆ resp.

pi mítku naptí mU = R mI = mY R·Uo splyne s hodografem )(ˆ pY

oL

ooRˆ

j

1ˆ)(ˆˆ)(ˆ)(ˆ)(ˆ

0

URXpR

URpYUpYRpIRpU+

==== .

Stejné mítko naptí má i hodograf naptí induktoru v pravé ásti obrázku, protože z 2. Kirchhoffova zákona plyne

( )

)(ˆj

ˆj

jˆ

j1ˆ)(ˆ1ˆ)(ˆˆ)(ˆˆ)(ˆ

0

0

0

L

oL

Lo

0ooRoL

pIpX

UXpR

XpU

XpR

RURpYURpYUpUUpU

=

=+

=

+−=−=−=−=

a po rozšíení posledního lenu rovnice podílem R

R, získáme rovnici

145

)(ˆR

j)(ˆj)(ˆR

LLL

0

0pU

Xp

R

RpIXppU == ,

ze které vidíme, že naptí )(ˆL pU je natoeno o 90° vi naptí )(ˆ

R pU a že jeho velikost je R

0LXp

násobkem velikosti )(ˆR pU . Protože podíl

R0LXp

je bezrozmrný, mají ob naptí stejné mítko.

Hodograf tohoto naptí je zobrazený na obr. 4.8 vpravo.

-j

+1

)(ˆR pU

)(ˆL pU

oU

+j

+1

)(ˆR pU

)(ˆL pU

oU

Obr. 4.8 Hodografy naptí RL obvodu s promnným induktorem: rezistor, induktor

Hodograf zdánlivého výkonu tohoto obvodu pi napájení z proudového zdroje je dán rovnicí

( ) 2oL

2

o*oo

*o 0

jˆ)(ˆˆˆ)(ˆˆ)(ˆ)(ˆ IXpRIpZIIpZIpUpS +==== .

Z rovnice vidíme, že po podlení kvadrátem efektivní hodnoty proudu 2oI nebo po zavedení mítka

výkonu mS = mZ2oI by byl totožný s hodografem )(ˆ pZ .

Podobn hodograf zdánlivého výkonu tohoto obvodu pi napájení z napového zdroje je dán rovnicí

( ) 2o

*

L

2

o**

oo**

oo*

o*

o

0j

1ˆˆˆˆ)(ˆˆ)(ˆˆ)(ˆˆ)(ˆˆ)(ˆ UpXR

UYUUpYUpYUpIUpIUpS

+====== .

K jeho konstrukci musíme sestrojit komplexn sdružený hodograf k )(ˆ pY , což je v našem pípad

plkružnice zrcadlov peklopená kolem reálné osy nebo mžeme použít hodograf )(ˆ pY s tím, že fázový posun mezi naptím a proudem bychom orientovali opaným smrem tj. ve smru hodinových

ruiek, tedy od naptí zdroje oU k proudu obvodu )(ˆ pI . Potom i v tomto pípad po podlení

kvadrátem efektivní hodnoty naptí 2oU nebo po zavedení mítka výkonu mS = mZ

2oU by byl

hodograf )(ˆ pS totožný s hodografem )(ˆ pY resp. )(ˆ * pY .

Induktor a promnný rezistor v sérii

Impedanní charakteristika sériového zapojení promnného rezistoru a induktoru L, zobrazená na obr. 4.10 vlevo, je definována

146

L00 jj)(ˆ)(ˆ

)(ˆ XRpLRppI

pUpZ +=+== ω

a její obvodové schéma je na obr. 4.9.

L

Û(p)

Î(p)

pR0

ÛR(p) ÛL(p)

Obr. 4.9 Schéma zapojení RL obvodu s promnným rezistorem

kde R0 je vztažná hodnota rezistoru a XL reaktance induktoru a defininí obor parametru ),0 ∞∈<p . Jak vidíme z obr. 4.10 vlevo, je to rovnice polopímky s lineární parametrickou stupnicí, která leží v I. kvadrantu komplexní roviny a je posunuta o hodnotu LjX vi jejímu poátku.

Admitanní charakteristika, zobrazená na obr. 4.10 vpravo, je inverzní k charakteristice impedanní

( ) ( ),j

j

j

j

1

j

1

j

1

)(ˆ)(ˆ

)(ˆ1

)(ˆ

2L

20

L2L

20

0

L0

L0

L0L00

XRp

X

XRp

Rp

XRp

XRp

XRpXRpLRppU

pI

pZpY

+−

+=

=−

−

+=

+=

+===

ω

jenž má defininí obor parametru ),0( ∞∈p . Je to rovnice kružnice, která leží ve IV. kvadrantu komplexní roviny a její hlavní hodnoty jsou

( ) ( ) L2L

20

L

2L

20

00

1jjlim)(ˆlim)0(ˆ

XXRp

X

XRp

RppYY

pp−=

+−

+==

→→,

( ) ( ) 2L

20

L2L

20

0

2L

20

L

2L

20

0

11jjlim)(ˆlim)1(ˆ

XR

X

XR

R

XRp

X

XRp

RppYY

pp +−

+=

+−

+==

→→,

( ) ( )0jlim)(ˆlim)(ˆ

2L

20

L

2L

20

=+

−+

==∞∞→∞→ XRp

X

XRp

RppYY

pp.

Pi napájení tohoto obvodu ze zdroje s konstantními parametry získáme pipojením proudového zdroje

oˆ)(ˆ IpI = hodograf naptí

( ) LRoo0o0oˆ)(ˆˆjˆˆjˆ)(ˆ)(ˆ UpUILIRpILRpIpZpU +=+=+== ωω ,

který bude po podlení velikostí proudu oo II = totožný s hodografem impedanní charakteristiky

)(ˆ pZ viz obr. 4.11 vlevo. Pokud zavedeme mítko impedance mZ dané velikostí impedance Z

pipadající na jednotku délky parametrické stupnice, bude hodograf )(ˆ pU totožný s hodografem

)(ˆ pZ , jak plyne z Ohmova zákona, pi mítku naptí mU = mZ Io.

147

2 1

+j

+1

-j

+1

)(ˆ pY

)0(Z )1(Z

)1(Y

)0(Y

)(ˆ ∞Y

1 2 3 4 )(ˆ pZ∞→LjX

Obr. 4.10 Hodografy RL obvodu s promnným rezistorem: impedanní model, admitanní model

Podobn pi napájení tohoto obvodu z napového zdroje oˆ)(ˆ UpU = bude hodograf proudu daný

rovnicí

( ) ( ) o2L

20

L2L

20

0

L0

o

0

oo

ˆjj

ˆ

j

ˆˆ)(ˆ)(ˆ U

XRp

X

XRp

Rp

XRp

U

LRp

UUpYpI

+−

+=

+=

+==

ω

2 1

+j

+1

-j

+1

)(ˆ pY

1 2 3 )( pU

)(ˆ pI

3

21

)1(Z

1 2 3 4 )(ˆ pZ∞→

Obr. 4.11 Hodografy RL obvodu s promnným rezistorem: naptí, proud

a po podlení velikostí naptí oo UU = bude totožný s hodografem admitanní charakteristiky )(ˆ pY

viz obr. 4.11 vpravo. Zavedeme-li mítko admitance mY dané velikostí admitance Y pipadající

148

na jednotku délky parametrické stupnice, bude hodograf )(ˆ pI totožný s hodografem )(ˆ pY , jak plyne z Ohmova zákona, pi mítku proudu mI = mY Uo.

Podobn hodograf naptí induktoru )(ˆL pU na obr. 4.12 vlevo, po podlení velikostí souinu oL UX

resp. pi mítku naptí mU = XL mI = mYXL·Uo bude mít stejnou velikost jako hodograf )(ˆ pY , ale bude natoený o 90° v komplexní rovin

oL0

oLLLˆ

j

1jˆ)(ˆj)(ˆj)(ˆ UX

LRpUpYXpIXpU

ω+=== .

Stejné mítko naptí má i hodograf naptí rezistoru na obr. 4.12 vpravo, protože z 2. Kirchhoffova zákona plyne

( )

)(ˆˆj

ˆj

j1ˆj)(ˆ1ˆj)(ˆˆ)(ˆˆ)(ˆ

0oL0

0

oL0

LoLoLoLoR

pIRpUXRp

Rp

UXRp

XUXpYUXpYUpUUpU

=+

=

=

+−=−=−=−=

a po rozšíení posledního lenu rovnice podílem L

L

j

j

X

X, získáme rovnici

)(ˆj)(ˆjj

j)(ˆ)(ˆ

LL

0L

L

0

L

L0R pU

X

RppU

X

Rp

X

XpIRppU −=== ,

ze které vidíme, že naptí )(ˆR pU je natoeno o -90° vi naptí )(ˆ

L pU a že jeho velikost je L

0

X

Rp

násobkem velikosti )(ˆL pU . Protože podíl

L

0

X

Rp je bezrozmrný, mají ob naptí stejné mítko.

Hodograf zdánlivého výkonu tohoto obvodu pi napájení z proudového zdroje je dán rovnicí

( ) 2oL0

2

o*oo

*o jˆ)(ˆˆˆ)(ˆˆ)(ˆ)(ˆ IXRpIpZIIpZIpUpS +==== .

Z rovnice vidíme, že po podlení kvadrátem efektivní hodnoty proudu 2oI nebo po zavedení mítka

výkonu mS = 2oZ Im by byl totožný s hodografem )(ˆ pZ .

Podobn hodograf zdánlivého výkonu tohoto obvodu pi napájení z napového zdroje je dán rovnicí

( ) 2o

*

L0

2

o**

oo**

oo*

o*

oˆ

j

1ˆˆˆˆ)(ˆˆ)(ˆˆ)(ˆˆ)(ˆˆ)(ˆ UXRp

UYUUpYUpYUpIUpIUpS

+====== .

K jeho konstrukci musíme sestrojit komplexn sdružený hodograf k )(ˆ pY , což je v našem pípad

plkružnice zrcadlov peklopená kolem reálné osy nebo mžeme použít hodograf )(ˆ pY , s tím, že fázový posun mezi naptím a proudem bychom orientovali opaným smrem tj. ve smru hodinových

ruiek, tedy od naptí zdroje oU k proudu obvodu )(ˆ pI . Potom i v tomto pípad po podlení

kvadrátem efektivní hodnoty naptí 2oU nebo po zavedení mítka výkonu mS = mZ

2oU by byl

hodograf hodograf )(ˆ pS totožný s hodografem )(ˆ pY resp. )(ˆ * pY .

149

-j

+1

)(ˆR pU

)(ˆL pU

oU

+j

+1

)(ˆR pU

)(ˆL pU

oU

)(ˆ pY

)1(Y

)0(Y

Obr. 4.12 Hodografy naptí RL obvodu s promnným rezistorem: induktor, rezistor

Píklad 4.1.

Urete a nakreslete hodograf proudu a obou naptí sériového zapojení rezistoru R a promnného kapacitoru se vztažnou hodnotou C0 napájeného ze zdroje naptí. Diskutujte duální zapojení tohoto obvodu.

♦

Náhradní schéma obvodu s poítacími šipkami je nakresleno na obr. 4.13.

pC0

Û(p)

Î(p)

R

ÛR(p) ÛC(p)

Obr. 4.13 Schéma zapojení RC obvodu s promnným kapacitorem, píklad 4.1

Admitanní charakteristika, zobrazená na obr. 4.14 vlevo, je dána rovnicí

( ) ( ),j

j

j

j1j

1

j

11

)(ˆ)(ˆ

)(ˆ1

)(ˆ

2C

2

C

2C

2

2

C

C

CC

0

0

0

0

0

0

00

XRp

Xp

XRp

Rp

XpR

XpR

XpR

p

Xp

RCp

RpU

pI

pZpY

++

+=

=+

+

−=

−=

+===

ω

150

pro ),0( ∞∈p . Hlavní hodnoty charakteristiky jsou pro hodnoty parametru p = 0, p = 1 a ∞→p

( ) ( )0jlim)(ˆlim)0(ˆ

2C

2

C

2C

2

2

000

0

0

=+

++

==→→ XRp

Xp

XRp

RppYY

pp,

( ) ( ) 2C

2

C

2C

22C

2

C

2C

2

2

110

0

00

0

0

jjlim)(ˆlim)1(ˆXR

X

XR

R

XRp

Xp

XRp

RppYY

pp ++

+=

++

+==

→→,

( ) ( ) RXRp

Xp

XRp

RppYY

pp

1jlim)(ˆlim)(ˆ

2C

2

C

2C

2

2

0

0

0

=+

++

==∞∞→∞→

,

1

+1

)(ˆ pY

)1(Y

)0(Y)(ˆ ∞Y

1

+1

)(ˆ pI

)1(I

)0(I)(ˆ ∞I

+j +j

Obr. 4.14 Hodografy RC obvodu s promnným kapacitorem: admitance, proud, píklad 4.1

ze kterých vidíme, že hodograf )(ˆ pY leží v I. kvadrantu. Pro hodograf proudu, zobrazený na obr. 4.14

vpravo, pi napájení obvodu ze zdroje naptí oˆ)(ˆ UpU = platí

oˆ)(ˆ)(ˆ UpYpI =

a pro hodograf naptí rezistoru, zobrazený na obr. 4.15 vlevo, platí

oRˆ)(ˆ)(ˆ)(ˆ UpYRpIRpU == .

Jak vidíme, hodograf proudu pi mítku mI = mY Uo a hodograf naptí rezistoru pi mítku mU = mI

R = mYR Uo splynou s hodografem )(ˆ pY . Pro hodograf naptí kapacitoru, zobrazený na obr. 4.15 vpravo, platí z dlie naptí

oCo

C

Cˆ)(ˆ1

jˆ)(ˆ

1j

)(ˆ0

0

UpYXp

UpZ

Xp

pU −=

−

= ,

ze kterého vidíme, že fázor )(ˆC pU je natoený o -90° stup vi fázoru )(ˆ

R pU .

Duální obvod k zadanému obvodu je nakreslen na obr. 4.16. Provedeme-li duální zámnu veliin a

charakteristik budou rovnice a hodografy duálního obvodu napájeného ze zdroje proudu oˆ)(ˆ IpI =

stejné jako zadaného obvodu. Platí tedy následující korespondence

151

-j

+1

)(ˆC pU

)(ˆR pU

oU

+j

+1

)(ˆC pU

)(ˆR pU

oU

Obr. 4.15 Hodografy naptí RC obvodu s promnným kapacitorem: rezistor, kapacitor, píklad 4.1

00 L0

C0

1j

1

j

11

)(ˆ1

)(ˆ1

j

1

j

11

)(ˆ1

)(ˆ

Bp

GLp

GpYpZ

Xp

RCp

RpZpY

−=

+==↔

−=

+==

ωω

ooˆ)(ˆ)(ˆˆ)(ˆ)(ˆ IpZpUUpYpI =↔= ,

oGoRˆ)(ˆ)(ˆ)(ˆˆ)(ˆ)(ˆ)(ˆ IpZRpUGpIUpYRpIRpU ==↔== ,

oCo

L

LoCo

C

Cˆ)(ˆ1

jˆ)(ˆ

1j

)(ˆˆ)(ˆ1jˆ

)(ˆ

1j

)(ˆ0

0

0

0

IpZBp

IpY

Bp

pIUpYXp

UpZ

Xp

pU −=

−

=↔−=

−

= .

Û(p)

Î(p)

ÎL(p)

G

ÎG(p)

pL0

Obr. 4.16 Schéma zapojení duálního obvodu k obvodu na obr. 4.13, píklad 4.1

Rezistor, promnný induktor a promnný kapacitor v sérii

Impedanní charakteristika sériového zapojení rezistoru R a promnného induktoru a kapacitoru, jejichž hodnoty se mní stejnou mrou s parametrem p, zobrazená na 4.18 vlevo je dána rovnicí

152

sXRp

pXRp

pXR

X

X

ppXRX

pXpR

CpLpR

pI

pUpZ

000

0

0

000

L

2

0L2

20

L

L

CLCL

00

j1

j1

j

1j

1jj

j

1j

)(ˆ)(ˆ

)(ˆ

+=

−+=

−+=

=

−+=−+=++==

ω

ω

ω

ω

ωω

a a její obvodové schéma je na obr. 4.17.

pL0

Û(p)

Î(p)

R

ÛR(p) ÛL(p)

pC0

ÛC(p)

ÛLC(p) Û(p)

Î(p)

R

ÛR(p) ÛLC(p)

s XL0

Obr. 4.17 Obvodové modely RLC obvodu s promnným induktorem a kapacitorem: schéma zapojení, ekvivalentní náhradní schéma

kde L0 a 0LX je vztažná hodnota induknosti a její reaktance, C0 a

0CX je vztažná hodnota kapacity a

její reaktance, ω0 je rezonanní úhlový kmitoet obvodu a s je lineární parametr. Defininí obor parametru p je ),0( ∞∈p a parametru s je ),( ∞−∞∈s . Je to rovnice pímky s nelineární parametrickou stupnicí, která leží v I a II. kvadrantu komplexní roviny a je posunuta o hodnotu R vi

jejímu poátku. Zavedením substituce

2

01

−=

ω

ωp

ps parametrickou stupnici linearizujeme.

Nulové hodnot parametru s nebo hodnot parametru ω

ω0=p odpovídá rezonance obvodu. ešením

kvadratické rovnice 0

2

02 =

−−

ω

ωspp získáme transformaní vztah mezi parametrem s a p.

Kladné hodnot parametru p odpovídá koen rovnice

2

02

22

+

+=

ω

ωssp (záporný koen

kvadratické rovnice neuvažujeme). Hodnoty parametru s z intervalu )0,(−∞∈s se zobrazují

na hodnoty parametru p na intervalu

∈

ω

ω0,0p a hodnoty z intervalu ),0( ∞∈s na interval

∞∈ ,0

ω

ωp . Zavedením parametru s jsme popis obvodu pevedli na pedchozí ešení RL obvodu

s promnnou indukností, kterému odpovídají hodnoty parametru ),0( ∞∈s . Záporné hodnoty

parametru s transformují hodnotu reaktance 0LX na kapacitní reaktanci. Hodograf admitance obvodu

153

( ) ( )2L

2

L

2L

2L

L

LL0

0

00

0

00

jj

j

j

1

j

1

)(ˆ)(ˆ

)(ˆ1

)(ˆXsR

Xs

XsR

R

XsR

XsR

XsRXsRsU

sI

sZsY

+−

+=

−

−

+=

+=== ,

zobrazený na obr. 4.18 vpravo, je kružnice složená ze dvou plkružnic, jedna reprezentuje induktivní chování obvodu s funkními hodnotami ve IV. kvadrantu a druhá kapacitní chování obvodu s funkními hodnotami ve I. kvadrantu. U obou plkružnic parametr s narstá ve smru hodinových ruiek. Hlavní body obou plkružnic jsou

( ) ( ) 0jlim)(ˆlim)(ˆ2

L2

L

2L

20

0

0

=+

−+

==∞∞→∞→ XsR

Xs

XsR

RsYY

ps,

( ) ( ) 2L

2

L

2L

22L

2

L

2L

2110

0

00

0

0

jjlim)(ˆlim)1(ˆXR

X

XR

R

XsR

Xs

XsR

RsYY

sp +−

+=

+−

+==

→→,

( ) ( ) RXsR

Xs

XsR

RsYY

ss

1jlim)(ˆlim)0(ˆ

2L

2

L

2L

2000

0

0

=+

−+

==→→

,

( ) ( ) 2L

2

L

2L

22L

2

L

2L

2110

0

00

0

0

jjlim)(ˆlim)1(ˆXR

X

XR

R

XsR

Xs

XsR

RsYY

sp ++

+=

+−

+==−

→−→,

( ) ( ) 0jlim)(ˆlim)(ˆ2

L2

L

2L

20

0

0

=+

−+

==−∞∞→−∞→ XsR

Xs

XsR

RsYY

ps.

-1

0

1

2

)(ˆ sZ

+j

+1

+j

+1

)(ˆ sY

)0(Z

)1(Z

)1(Y

)0(Y)(ˆ)-(ˆ ∞=∞ YY

R

1

0

-1

)1-(Y

-2

kapacitní char.

induktivní char.

Obr. 4.18 Hodografy RLC obvodu s promnným induktorem a kapacitorem: impedanní model, admitanní model

Hodograf naptí pi napájení tohoto obvodu z proudového zdroje oˆ)(ˆ IsI = má rovnici

)(ˆˆˆjˆˆ)(ˆ)(ˆLCRoLoo 0

sUUIXsIRIsZsU +=+==

154

a je až na mítko totožný s hodografem )(ˆ sZ . Rozdlíme-li promnné naptí )(ˆLC sU na úbytky

naptí na promnném induktoru a kapacitoru platí pro nj po dosazení za parametr p po úpravách

),(ˆ)(ˆˆ

22

1

j

1ˆ22

j

ˆ

22

1

j

1ˆ22

j

ˆj

1

22

1j

22)(ˆ)(ˆ)(ˆ

CLo

0

02

00

o0

02

00

o

20

02

00

o20

02

00

o0

2

02

0

2

02

CLLC

sUsUI

L

CC

sC

sI

C

LL

sL

s

I

L

C

Cs

Cs

IC

L

Ls

Ls

IC

ss

Lss

pUpUsU

+=

+

+

+

+

+=

=

+

+

+

+

+=

=

+

+

+

+

+=+=

ωω

ωω

ω

ωωω

ω

ω

ω

ωω

ω

kde pomr 0

0

C

L je tverec charakteristického odporu 2

0ρ a jeho pevrácená hodnota tverec

charakteristické vodivosti 20γ . Srovnáním naptí )(ˆ

LC sU s úbytkem oLˆj

0IsX vidíme, že pro reaktanci

mnící se s parametrem s, platí

,

11

2

1

2

1

22

22

1

22

22

1

22

20

2

CC

20

2

LL

20

2

CC

20

2

LL

0

02

00

0

02

00L

00

00

00

00

0

ρ

ρ

γ

ρ

ωω

ωω

+

+

−+

+=

=

+

+

−+

+=

=

+

+

−+

+=

X

s

X

s

Xs

Xs

Bs

Bs

Xs

Xs

L

CCsC

sC

LL

sL

ssX

takže pro promnnou impedanci obvodu v závislosti na parametru s platí

+

+

−+

++=

20

2

CC

20

2

LL

11

2

1

2

1

22j)(ˆ

00

00

ρ

ρ

X

s

X

s

Xs

Xs

RsZ .

Hodograf proudu pi napájení tohoto obvodu z napového zdroje oˆ)(ˆ UsU = je daný

155

000 L

o

L

o

L

ooo j1

1ˆ

j1

1ˆ

j

ˆ

)(ˆ

ˆˆ)(ˆ)(ˆ

QsR

U

R

Xs

R

U

XsR

U

sZ

UUsYsI

+=

+

=+

===

a je až na mítko totožný s hodografem )(ˆ sY . Jiným zpsobem mžeme zapsat hodograf proudu

=

+

+

−

+

++

=

=

+

+

−+

++

==

2

0

2

CC

20

2LL

o

20

2

CC

20

2

LL

oo

00

00

00

00

22

1

22j1

1ˆ

11

2

1

2

1

22j

ˆ

)(ˆ

ˆ)(ˆ

ρ

ρ

ρ

ρ

R

X

Rs

X

RsRR

Xs

R

Xs

R

U

X

s

X

s

Xs

Xs

R

U

sZ

UsI

,

1

2

1

2

1

22j1

1ˆ

2

0

2

CC

20

2

LL

o

00

00

+

+

−

+

++

=

ρ

ρ

R

Q

s

Q

sR

Qs

Qs

R

U

kde 0LQ je initel jakosti cívky a

0CQ initel jakosti kondenzátoru.

Hodografy naptí rezistoru, induktoru a kapacitoru získané dosazením hodografu )(ˆ sI do obecnného Ohmova zákona jsou

oL

Rˆ

j1

1)(ˆ)(ˆ

0

UQs

sIRsU+

== ,

,ˆj122

j

ˆj1

1

22j)(ˆ

22j)(ˆ

oL

L

2

02

oL

L

2

02

L

2

02

L

0

0

0

0

0

UQs

Qss

UQsR

XsssIX

sssU

+

+

+=

=+

+

+=

+

+=

ω

ω

ω

ω

ω

ω

156

.ˆj1

22

1j

ˆj1

1

22

1j)(ˆ

22

1j)(ˆ

oL

C

2

02

oL

C

2

02

C2

02

C

0

0

0

0

0

UQs

Q

ss

UQsR

X

ss

sIX

ss

sU

+

+

+

−=

=+

+

+

−=

+

+

−=

ω

ω

ω

ω

ω

ω

Ve stavu rezonance obvodu, kdy 0=s , hodografy pejdou do tvaru

oRˆ)(ˆ UsU = ,

o0

0oL0

Lˆjˆj)(ˆ

0U

R

LUQsU ω

ω

ω== ,

o00

oL0

oC0

Cˆ1

jˆjˆ1j)(ˆ

00U

CRUQUQsU

ωω

ω

ω

ω−=−=−= .

Shrnutí pojm 4.2.

Hodografy obvod s promnnými parametry konstruujeme pomocí imitanních charakteristik, kterými jsou komplexní funkce impedance a admitance obvodu s reálným parametrem p resp. s. Promnný parametr se používá k modelování zmny hodnoty obvodového parametru – odporu, induknosti a kapacity. Inverzní imitanní charakteristiky jednoduchých obvod konstruujeme užitím geometrické inverze vi ídicí kružnici a pomocí stedu inverze. Geometrickou inverzi používáme také k linearizaci parametrické stupnice plkruhového nebo kruhového diagramu. Lineární parametrická stupnice je kolmice vztyená na spojnici stedu inverze a stedu kružnice. Hodografy jednoduchých obvod jsou pímky nebo kružnice a konstruujeme je pomocí hlavních hodnot parametr.

Otázky 4.2.

1. Jaký je defininí obor hodnot parametru p modelujícího zmnu obvodového parametru?

2. Jak nazýváme inverzní charakteristiku k charakteristice impedanní?

3. Kterou charakteristiku použijeme pro konstrukci hodograf obvodových veliin sériového azení základních obvodových prvk s jedním promnným parametrem pi jeho napájení ze zdroje proudu?

4. Je-li impedanní charakteristikou polopímka, jakou podobu bude mít charakteristika admitanní?

5. Které hlavní hodnoty parametru p používáme ke konstrukci plkruhového hodografu?

6. Kde leží sted inverze plkruhového nebo kruhového hodografu?

7. Jaká musí být struktura obvodu s promnným parametrem, aby jeho imitanní charakteristika byla kružnice?

157

8. Co s výhodou využijeme ke konstrukci hodograf paraleln azených obvodových prvks promnným parametrem, známe-li hodografy sériov azených obvodových prvk s promnným parametrem.

Úloha k ešení 4.2.

Pi jaké hodnot parametru p dojde k rezonanci v sériovém obvodu s promnou hodnotou induknosti a kapacity, které se mní stejnou mrou, jsou-li vztažné hodnoty induknosti a kapacity obvodu L0 = 100 mH a C0 = 10 µF a je-li úhlový kmitoet napájecího obvodu ω = 1 Mrad s-1.

ešení:

K sériové rezonanci dojde, bude-li imaginární složka impedanní charakteristiky nulová, tedy

01

)(ˆIm2

20

L0=

−=

ω

ωp

pXpZ

a pro hledanou hodnotu parametru platí

33516

00

000 1010

1

101010

11

1

−

−−==

⋅====

CL

CLp

ωωωω

.

4.3. Kmitotové charakteristiky V praxi asto vyšetujeme zmnu charakteristik obvodu v závislosti na kmitotu f = p f0 resp. úhlovém kmitotu ω = pω0, kdy vztažným kmitotem je charakteristický kmitoet obvodu, kterým mže být lomový kmitoet, rezonanní kmitoet aj. Jelikož je lhostejné, je-li zmna imitance akumulaních prvk obvodu zpsobena zmnou hodnoty parametru nebo kmitotu, jsou hodografy kmitotové závislých obvod stejné jako hodografy odpovídajících obvod s promnnými parametry z pedchozí kapitoly 4.2. Jejich amplitudové a fázové imitanní kmitotové charakteristiky mžeme popsat následujícími prototypy komplexních funkcí )(ˆ pF reálného parametru p.

Komplexní funkce je reálná a konstantní

Reálná komplexní funkce )(ˆ pF je charakteristikou kmitotov nezávislého lenu, kterým mže být odpor, vodivost, zesílení aj. Takováto funkce je charakterizována reálnou konstantou

0)(ˆ KpF = .

Pro její amplitudovou charakteristiku platí

0)(ˆ)( KpFpF == ,

takže nemá žádnou vztažnou hodnotu kmitotu.

Její fázová charakteristika má nulovou hodnotou

( )

°=

==

→0

)(ˆRe

)(ˆImarctan)(ˆarg)(

0)(ˆImlimF pF

pFpFp

pFϕ ,

protože funkce )(ˆ pF nemá imaginární složku. Ob charakteristiky jsou vyneseny na obr. 4.19.

158

Komplexní funkce je ryze imaginární

Ryze imaginární komplexní funkce )(ˆ pF je charakteristikou kmitotov závislého lenu, kterým mže být reaktance, susceptance aj. Takováto funkce je charakterizována reálnou konstantou K1 a mže mít dva tvary, které jsou navzájem inverzní

101 jj),(ˆ KpKpF ωωω ==

a

10101

1j

j

1

j

1

),(ˆ1

),(ˆKpKpKpF

pGωωωω

ω −==== .

Pro jejich amplitudové charakteristiky platí

1010j)(ˆ)( KpKppFpF ωω === ,

1010

1

j

1)(ˆ)(

KpKppGpG

ωω===

F(p

) (-

)

-90p (-)

ϕϕ ϕϕ (

°)

0

90

0 1 2 3 4

1 2 3 4

K0 = 1

Obr. 4.19 Normované kmitotové charakteristiky konstantní, ryze reálné komplexní funkce: amplitudová, fázová

a zvolíme-li vztažnou hodnotu úhlového kmitotu 1

0

1

K=ω nebude normovaná amplitudová

charakteristika závislá na hodnot parametru K1, tedy ppF =)( a p

pG1

)( = .

Jejich fázové charakteristiky jsou konstanty a mají hodnoty

159

( )

°=

===

→→90

)(ˆRearctan

)(ˆRe

)(ˆImarctan)(ˆarg)(

0)(ˆRelim0)(ˆRelimF

pF

p

pF

pFpFp

pFpFϕ ,

( ) °−=

−

==→

90)(ˆRe

1

arctan)(ˆarg)(0)(ˆlim

GpG

ppGp

pGϕ ,

protože funkce )(ˆ pF a )(ˆ pG jsou ryze imaginární. Ob charakteristiky jsou vyneseny na obr. 4.20.

Komplexní funkce je polynom se setrvaností 1. ádu

Je-li komplexní funkce )(ˆ pF úplným polynomem 1. ádu, je charakteristikou kmitotov závislého obvodu, kterým mže být impedance, admitance, penos aj. Takováto funkce je charakterizována reálnými konstantami K0 a K1 a mže mít dva tvary, které jsou navzájem inverzní

( )10010010 j1jj),(ˆ τωωωω pKKpKKKpF +=+=+=

a

F(p

), G

(p)

(-)

0

-90p (-)

ϕϕ ϕϕ (

°)

0

90

ppF =)(p

pG1

)( =

K0 = 1

1 2 3 4

1 2 3 4

Obr. 4.20 Normované kmitotové charakteristiky promnné, ryze imaginární komplexní funkce: amplitudová, fázová

( )10010010 j1

1

j

1

j

1

),(ˆ1

),(ˆτωωωω

ωpKKpKKKpF

pG+

=+

=+

== .

Pro jejich amplitudové charakteristiky platí

( )2100

0

100 1j1)(ˆ)( τωω pK

K

KpKpFpF +=

+== ,

160

( )2100

0

100

1

1

j1

1)(ˆ)(

τωω pKK

KpK

pGpG+

=

+

==

a zvolíme-li vztažnou hodnotu úhlového kmitotu 11

00

1

τω ==

K

K, kde τ1 je asová konstanta, bude

normovaná amplitudová charakteristika nezávislá na hodnotách parametru K0 a K1, tedy

20 1)( pKpF += a

20 1

1)(

pKpG

+= .

Jejich fázové charakteristiky jsou kmitotov závislé funkce

( ) ( )( ) ( )ppKpFp arctanj1arg)(ˆarg)( 0F =+==ϕ ,

( )( )

( )ppK

pGp −=

+== arctan

j1

1arg)(ˆarg)(

0Gϕ .

Ob dvojice charakteristik jsou vyneseny na obr. 4.21.

F(p

), G

(p)

(-)

0

-90p (-)

ϕϕ ϕϕ (

°)

0

90

21)( ppF +=

21

1)(

ppG

+=

K0 = 1

1 2 3 4

1 2 3 4

Obr. 4.21 Normované kmitotové charakteristiky komplexní funkce 1. ádu: amplitudová, fázová

Píklad 4.2.

Urete pro hlavní hodnoty parametru p funkní hodnoty amplitudové a fázové kmitotové

charakteristiky normovaných funkcí ppF j1)(ˆ += a p

pGj1

1)(ˆ

+= .

♦

161

Hlavní hodnoty parametru p jsou hodnoty p = 0, p = 1 a ∞→p . Hodnoty amplitudové a fázové charakteristiky první funkce jsou

11lim)(lim)0( 2

00=+==

→→ppFF

pp, ( ) °===

→→0arctanlim)(lim)0(

0F

0F pp

ppϕϕ ,

21lim)(lim)1( 2

11=+==

→→ppFF

pp, ( ) °===

→→45arctanlim)(lim)1(

1F

1F pp

ppϕϕ ,

∞=+==∞∞→∞→

21lim)(lim)( ppFFpp

, ( ) °===∞∞→∞→

90arctanlim)(lim)( FF pppp

ϕϕ

a druhé funkce

11

1lim)(lim)0(

200=

+==

→→ ppGG

pp, ( ) °=−==

→→0arctanlim)(lim)0(

0G

0G pp

ppϕϕ ,

2

1

1

1lim)(lim)1(

211=

+==

→→ ppGG

pp, ( ) °−=−==

→→45arctanlim)(lim)1(

1G

1G pp

ppϕϕ ,

01

1lim)(lim)(

2=

+==∞

∞→∞→ ppGG

pp, ( ) °−=−==∞

∞→∞→90arctanlim)(lim)( GG pp

ppϕϕ .

Komplexní funkce je polynom 2. ádu

Je-li komplexní funkce )(ˆ pF polynomem 2. ádu je charakteristikou kmitotov závislého obvodu, popsaného imitanní aj. Takováto funkce je charakterizována reálnými konstantami K0, K1, K2 a mže mít dva tvary, které jsou navzájem inverzní

( )( )1jjj

j

1j1

j

1j1

j

1j),(ˆ

2212

2

0

210

020

10

210

++=

=

++=

++=++=

τωττωτω

τωτω

ωω

ωωω

K

KKKK

KK

KKKpF

a

( )( ) ( )( ).1jj

j

1jjj

1

j

1j

1

),(ˆ1

),(ˆ221

20

2

2212

2

0

210

++=

++=

++==

τωττω

τω

τωττωτωω

ωωω

KK

KKKpF

pG

Pro jejich amplitudové charakteristiky platí

( )( ) ( ) 121jjj

),(ˆ),( 22

2122

212

2

0221

2

2

0 ++−=++== τωττωττωτω

τωττωτω

ωωKK

pFpF ,

( )( ) ( ).

12

1

1jj

j),(ˆ),(

22

2122

2120

2

2212

0

2

++−=

++==

τωττωττω

τω

τωττω

τωωω

KKpGpG

Zvolíme-li vztažnou hodnotu úhlového kmitotu 2121

011

ττω ==

KK, kde τ1 a τ2 jsou asové

konstanty, bude normovaná charakteristika

162

( )( )

( )1jjj

11

jj1

j

11jj

j

1jjj

1jjj

)(ˆ

20

2

21

202

21

20

0

21

22

21

2

02021

20

20

0

++=

++=

++=

=

++=++=

ξρ

ρρ

ττ

τ

ττ

ττωττω

τω

ppp

KpppKK

KKpp

KK

KKp

K

ppp

Kpp

p

KpF

a jí odpovídající inverzní normovaná charakteristika

( ) 1jj

1j

1jj

1j)(ˆ

22021

200

20

++==

++=

ξρτωττω

τω

pp

p

ppK

ppG ,

kde 2

1

K

K=ρ a

ρξ 0K

= .

Polynom 1jj 22 ++ ξpp se nedá rozložit na koenové initele s reálnými koeny. Jeho koeny jsou

( ) ( )42

j

j2

j4jj- 22

22

2,1 −=−±

= ξξξξ

p .

Podle hodnoty parametru ξ nastanou ti pípady koen. Mezní hodnota parametru je 2=ξ , kdy

existuje jeden násobný koeny o hodnot j2,1 =p , pro 2>ξ jsou oba koeny ryze imaginární a

pro 2<ξ mají koeny i reálnou ást.

Normovaná amplitudová charakteristika má tedy tvar

( ) 12)( 224 +−+= ξρ

ppp

pF

a inverzní

( ) 12

1)(

224 +−+=

ξρ pp

ppG .

Jejich fázové charakteristiky jsou kmitotov závislé funkce

( ) ( )

−=

++==

p

ppp

ppFp

ξξ

ρϕ

1arctan1jj

jarg)(ˆarg)(

222

F ,

( )

−−=

++==

p

p

pp

ppGp

ξξρϕ

1arctan

1jj

1jarg)(ˆarg)(

2

22G .

Ob dvojice charakteristik jsou vyneseny na obr. 4.22.

Pro modelování obvod popsaných diferenciální rovnicí 2. ádu má význam prototyp penosové

funkce 12jj)(ˆ 22 ++= apppF , který získáme formální úpravou polynomu 1jj 22 ++ ξpp , když

len s 1. mocninou rozšííme výrazem 2

2 a poté zavedeme substitucí

2

ξ=a . Pro koeny tohoto

polynomu platí

( )12j 22,1 −= aap .

163

F(p

), G

(p)

(-)

0

-90p (-)

ϕϕ ϕϕ (

°)

0

90

( ) 12

1)(

224 +−+=

ξρ pp

ppG

( ) 12)( 224 +−+= ξρ

ppp

pF

1 2

1 2

K0 = 1

Obr. 4.22 Normované kmitotové charakteristiky komplexní funkce 2. ádu: amplitudová, fázová

Amplitudová charakteristika má tvar

( ) 124)( 224 +−+= apppF

a inverzní

( ) 124

1)(

224 +−+=

apppG .

Jejich fázové charakteristiky jsou dané

( ) ( )

−−=++==

1arctan12jjarg)(ˆarg)(

222

Fp

paapppFpϕ pro )1,0∈<p ,

( ) ( )

−−+=++==

1arctan12jjarg)(ˆarg)(

222

Fp

paapppFpϕ pro 1≥p

a

( )

−=

++==

1arctan

12jj

1arg)(ˆarg

222Gp

pa

apppGϕ pro )1,0∈<p ,

( )

−+−=

++==

1arctan

12jj

1arg)(ˆarg

222Gp

pa

apppGϕ pro 1≥p .

Ob dvojice charakteristik jsou vyneseny na následujícím obr. 4.23.

164

F(p

), G

(p)

(-)

0

-180p (-)

ϕϕ ϕϕ (

°)

0

180

( ) 124)( 224 +−+= apppF

( ) 124

1)(

224 +−+=

apppG

K0 = 1

1 2

1 2

Obr. 4.23 Standardní tvar normované kmitotové charakteristiky komplexní funkce 2. ádu: amplitudová, fázová

Píklad 4.3.

Urete pro hlavní hodnoty parametru p funkní hodnoty amplitudové a fázové kmitotové

charakteristiky normovaných funkcí 12jj)(ˆ 22 ++= apppF a 12jj

1)(ˆ

22 ++=

apppG , je-li

parametr a = 1.

♦

Hlavní hodnoty parametru p jsou hodnoty p = 0, p = 1 a ∞→p . Hodnoty amplitudová a fázové charakteristiky první funkce jsou

112lim)(lim)0( 24

00=++==

→→pppFF

pp, °=

−−==

→→0

1arctanlim)(lim)0(

20F

0F

p

pp

ppϕϕ ,

212lim)(lim)1( 24

11=++==

→→pppFF

pp, °=

−−+==

→→90

1arctanlim)(lim)1(

21F

1F

p

pp

ppϕϕ ,

∞=++==∞∞→∞→

12lim)(lim)( 24 pppFFpp

, °=

−−+==∞

∞→∞→180

1arctanlim)(lim)(

2FFp

pp

ppϕϕ

a druhé funkce

112

1lim)(lim)0(

2400=

++==

→→ pppGG

pp, °=

−==

→→0

1arctanlim)(lim)0(

20G

0G

p

pp

ppϕϕ ,

165

2

1

12

1lim)(lim)1(

2411=

++==

→→ pppGG

pp, °−=

−+==

→→90

1arctan-lim)(lim)1(

21G

1G

p

pp

ppϕϕ ,

012

1lim)(lim)(

24=

++==∞

∞→∞→ pppGG

pp, °=

−+==∞

∞→∞→180

1arctan-lim)(lim)(

2GGp

pp

ppϕϕ .

Shrnutí pojm 4.3.

Normováním komplexní funkce )(ˆ pF reálného parametru p získáme univerzální amplitudovou a fázovou kmitotovou charakteristiku daného obvodu, nezávislou na hodnotách vztažného úhlového kmitotu. Vztažný úhlový kmitoet je dán pevrácenou (inverzní) hodnotou asové konstanty obvodu. Nejvýznamnjší prototypy komplexní funkce )(ˆ pF jsou normované komplexní polynomy 0. – 2.

ádu, a to 0K , pj , 1j +p , 12jj 22 ++ app a jejich inverzní tvary popsané funkcí )(ˆ pG .

Otázky 4.3.

1. Jaký je vztah mezi vztažným úhlovým kmitotem a asovou konstantou obvodu?

2. Jakou výhodu má normovaný tvar amplitudové a fázové kmitotové charakteristiky?

3. Který prototyp komplexní funkce )(ˆ pF reálného parametru p má nulovou hodnotu fáze fázové kmitotové charakteristiky a pro?

4. Který prototyp komplexní funkce )(ˆ pF reálného parametru p má amplitudovou kmitotovou charakteristiku pímku? Jakou má fázovou charakteristiku?

5. Jakou hodnotu amplitudy a fáze májí jednotlivé prototypy komplexní funkce )(ˆ pF pro hodnotu parametru 1=p ?

Úloha k ešení 4.3.

Nakreslete dv obvodová schéma tvoená pokaždé dvma typy pasivních obvodových prvk, které

mají normovanou amplitudovou charakteristiku danou funkcí 21

1

p+, kde kladná hodnota

parametru p zastupuje promnný kmitoet.

ešení:

Zadaný tvar amplitudové charakteristiky penosové funkce odpovídá integranímu lánku viz kapitola 2, takže jeden z dvojice obvodových prvk musí být kmitotov závislý. Omezíme-li se jen na napový penos obvodu, struktura hledaného obvodu odpovídá sériovému azení obvodových prvk, který je popsán prototypem komplexní funkce s polynomem 1. ádu, a to inverzní funkcí

21

1)(ˆ

ppG

+= . Komplexní funkce )(ˆ pG v našem pípad odpovídá penosu RC a RL obvodu,

které jsou nakresleny na obr. 4.24 a popsány kmitotov závislým dliem naptí. Normovaný penos

166

naptí vi úhlovému lomovému kmitotu obvodu τω /10 = , kde τ je asová konstanta obvodu, je v pípad RC obvodu dán

pRCC

R

C

pU

pU

j1

1

j1

1

j1

1

j1

1

j

1j

1

)(ˆ)(ˆ

0

1

2

+=

+=

+=

+=

+=

ωωωτω

ω

ω

a RL obvodu

pL

RLR

R

pU

pU

j1

1

j1

1

j1

1

j1

1

j)(ˆ)(ˆ

0

1

2

+=

+=

+=

+=

+=

ωωωτωω

.

Normovaná komplexní funkce má v obou pípadech stejný tvar a její amplitudová charakteristika odpovídá velikosti této komplexní funkce, tedy

( )22222

2222

221

1

11

11

1

1

1

j1

j1

j1

j1

1

j1

1

ppp

pp

pp

p

p

p

pp +=

++

+=−+

+=

+

−=

−

−

+=

+.

RC Û 2(p)Û1(p)

L

R Û 2(p)Û1(p)

Obr. 4.24 Obvodové modely integraního lánku

Integranímu lánku z obr. 4.24 vlevo odpovídá hodograf na obr. 4.15 vpravo a integranímu lánku z obr. 4.24 vpravo odpovídá hodograf na obr. 4.8 vlevo. Amplitudová a fázová kmitotová charakteristika tohoto lánku odpovídá grafm na obr. 4.21 a Bodeho charakteristiky grafm na obr.

4.26, oba pro pípad prototypu funkce )(ˆ pG 1. ádu.

4.4. Bodeho charakteristiky Vyneseme-li amplitudy kmitotové charakteristiky v logaritmickém mítku, fáze kmitotové charakteristiky v lineárním mítku a budou-li mít jejich kmitotové osy logaritmické mítko, mžeme amplitudové i fázové kmitotové charakteristiky polynom 0. – 2. ádu zjednodušenkonstruovat pomocí jejich asymptot. Tyto semilogaritmické charakteristiky potom nazýváme Bodeho charakteristiky. Amplitudová osa již není bezrozmrná, ale je vynášena v decibelech, osa fáze ve stupních pípadn radiánech. Logaritmické kmitotové osy jsou vynášeny po dekádách, takže v rámci dekád nejsou dílky rastru kmitotu rozmístnny lineárn, ale logaritmicky. Výhodou zavedení logaritmického mítka amplitudové charakteristiky jsou nejen vlastnosti funkce logaritmus, ale i možnost zobrazení velkého rozsahu amplitud a šíky pásma.

Komplexní funkce je reálná a konstantní - polynom 0. ádu

Pro logaritmicko amplitudovou charakteristiku platí

0dB log20)(log20)( KpFpF ==

a fázovou charakteristiku

167

°= 0)(F pϕ .

Amplitudová i fázová charakteristika, vynesené v semilogaritmických souadnicích jsou konstantní funkce, nejsou tudíž vyneseny, nebo mají až na logaritmické mítko osy p, stejný tvar jako charakteristiky prototypu této funkce zobrazené na obr. 4.19 s lineárním mítkem osy p.

Normovaná komplexní funkce je ryze imaginární polynom 1. ádu

Pro normovanou logaritmicko amplitudovou charakteristiku a její inverzní tvar platí

ppFpF log20)(ˆlog20)(dB == , ppFpF

pG log20)(ˆlog20)(ˆ

1log20)(dB −=−== .

V semilogaritmických souadnicích jejich zobrazení odpovídají pímky, které protínají normovanou, logaritmickou kmitotovou osu v bod p = 1 a mají sklon +20 dB a -20 dB na dekádu.

Jejich fázové charakteristiky jsou konstantní a mají rovnice

°= 90)(F pϕ , °−= 90)(G pϕ .

Ob dvojice charakteristik jsou vyneseny na obr. 4.25.

-40

FdB

, Gd

B

(d

B)

-20

0

20

40

-90

p (-)

ϕϕ ϕϕ (

°)

-45

0

45

90

0,01 0,1 1 10 100

ppF log20)(dB =

ppG log20)(dB −=

Obr. 4.25 Normované kmitotové charakteristiky promnné, ryze imaginární komplexní funkce: logaritmicko amplitudová, semilogaritmická fázová

Normovaná komplexní funkce je polynom se setrvaností 1. ádu

Pro normovanou logaritmicko amplitudovou charakteristiku a její inverzní tvar platí

2dB 1log20)(ˆlog20)( ppFpF +== ,

2dB 1log20)(ˆlog20

)(ˆ1

log20)( ppFpF

pG +−=−== .

168

Asymptoty logaritmických amplitudových charakteristik získáme diskuzí rovnic charakteristik

pro hodnoty parametru p. Pro 1<<p pod odmocninou mžeme zanedbat tverec parametru 2p , takže pro oba pípady charakteristik platí, že první ást asymptotické charakteristiky má rovnici

dB01log20)(1dB ==pF a dB01log20)(1dB =−=pG . Pro 1>>p pod odmocninou mžeme

zanedbat jedniku vi lenu 2p , takže druhá ást asymptotické charakteristiky je dána rovnicí

pppF log20log20)( 22dB == a pro inverzní pípad charakteristiky rovnicí ppG log20)(2dB −= .

Ob ásti asymptotické charakteristiky jsou pímky, které se protínají v bod definovaném normovaným kmitotem 1=p a hodnotou amplitudy 0 dB. První asymptota má v obou pípadech charakteristik hodnotu amplitudy 0 dB a druhá má smrnici +20 dB/dekádu resp. v inverzním pípad-20 dB/dekádu. Výsledná asymptotická logaritmicko amplitudová charakteristika je popsána funkcí

dB0)(1dB =pF pro )1,0∈<p ,

pppF log20log20)( 22dB == pro ),1 ∞∈<p

a její inverzní pípad

dB0)(1dB =pG pro )1,0∈<p ,

pppG log20log20)( 22dB −=−= pro ),1 ∞∈<p .

Skutené charakteristiky se od asymptotických charakteristik však odchylují. Nejvtší hodnota odchylky amplitudy asymptotické charakteristiky je v bod 1=p , ve kterém má hodnotu

dB302log20)1(1dB =−=∆ F a v inverzním pípad charakteristiky -3 dB.

Skutené fázové charakteristiky dané funkcemi

( )pp arctan)(F =ϕ , ( )pp −= arctan)(Gϕ

aproximujeme asymptotickými prbhy tak, že je složíme ze tí asymptot vymezených dvma kmitoty, a to kmitotem o dekádu nižším a o dekádu vyšším než je normovaný kmitoet, což odpovídá hodnotám parametr 1,0=p a 10=p . Výsledná asymptotická fázová charakteristika je v semilogaritmických souadnicích popsána funkcí

°= 0)(0F pϕ pro )1,0,0∈<p ,

45)log(45)(1F += ppϕ pro >∈< 10,1,0p ,

°= 90)(2F pϕ pro ),10( ∞∈p

a v pípad inverzní fázové charakteristiky funkcí

°= 0)(0G pϕ pro )1,0,0∈<p ,

45)log(45)(1G −−= ppϕ pro >∈< 10,1,0p ,

°−= 90)(2G pϕ pro ),10( ∞∈p .

Asymptoty se zobrazují v semilogaritmických souadnicích jako pímky. První asymptota má konstantní hodnotu fáze 0 ° stup pro oba pípady charakteristik, druhá má smrnici 45 ° a pro inverzní pípad -45 ° a tetí má konstantní hodnotu fáze 90 ° a pro inverzní pípad -90 °. První a druhá asymptota má spolený bod definovaný hodnotou parametru 1,0=p a nulovou hodnotou fáze, piemž odchylka asymptotické fázové charakteristiky v tomto bod od skutené iní

( ) °−=−°=∆ 7,51,0arctan0)1,0(1F ϕ a pro inverzní pípad °7,5 . Druhá a tetí asymptota má spolený bod definovaný hodnotou parametru 10=p a hodnotou fáze 90 ° resp. pro inverzní pípad hodnotou

169

fáze -90 °, piemž odchylka asymptotické fázové charakteristiky v tomto bod od skutené iní ( ) °=−°=∆ 7,510arctan90)10(2F ϕ a pro inverzní pípad °− 7,5 . Ob dvojice charakteristik jsou

vyneseny na obr. 4.26.

-40

FdB

, GdB

(dB

)

-20

0

20

40

-90

p (-)

ϕϕ ϕϕ (

°)

-45

0

45

90

0,01 0,1 1 10 100

)(dB pF

)(dB pG

)(F pϕ

)(G pϕ

Obr. 4.26 Normované kmitotové charakteristiky komplexní funkce 1. ádu: logaritmicko amplitudová, semilogaritmická fázová

Normovaná komplexní funkce je polynom 2. ádu

Pro normovanou logaritmicko amplitudovou charakteristiku a její inverzní tvar platí

( ) 124log20)(ˆlog20)( 224dB +−+== apppFpF ,

( ) .124log20)(ˆlog20)(ˆ

1log20)( 224

dB +−+−=−== apppFpF

pG

Asymptoty logaritmických amplitudových charakteristik získáme diskuzí rovnic charakteristik pro hodnoty parametru p a parametru 1=a , který je mezním pípadem charakteristiky. Pro 1<<ppod odmocninou mžeme zanedbat leny polynomu 2. a 4. ádu, takže pro oba pípady charakteristik platí, že první ást asymptotické charakteristiky má rovnici dB01log20)(1dB ==pF a

dB01log20)(1dB =−=pG . Pro 1>>p pod odmocninou mžeme zanedbat leny s 0. a 2. ádem

polynomu vi lenu 4p , takže druhá ást asymptotické charakteristiky je dána rovnicí

ppppF log40log20log20)( 242dB === a pro inverzní pípad charakteristiky

rovnicí ppF log40)(2dB −= . Ob ásti asmyptotické charakteristiky jsou pímky, které se protínají v bod definovaném normovaným kmitotem 1=p a hodnotou amplitudy 0 dB. První asymptota má v obou pípadech charakteristik hodnotu amplitudy 0 dB a druhá má smrnici +40 dB/dekádu resp. v inverzním pípad -40 dB/dekádu. Výsledná asymptotická logaritmicko amplitudová charakteristika je popsána funkcí

170

dB0)(1dB =pF pro )1,0,0∈<p ,

ppF log40)(2dB = pro ),1 ∞∈<p

a její inverzní pípad

dB0)(1dB =pG pro )1,0∈<p ,

ppG log40)(2dB −= pro ),1 ∞∈<p .

Skutené charakteristiky se od asymptotických charakteristik však odchylují. Hodnota odchylky amplitudy asymptotické charakteristiky je v bod 1=p obecn

)log(206)log(20)2log(20)2log(20)(1dB aaaapF +=+==∆ , tedy pro parametr 1=a má typickou

hodnotu dB6 a v inverzním pípad charakteristiky )log(206)(1dB apG −−=∆ a pro parametr 1=a

dB6− .

Skutené fázové charakteristiky jsou dané funkcemi

−−=

1arctan)(

2Fp

papϕ pro )1,0∈<p ,

−−+=

1arctan)(

2Fp

papϕ pro 1≥p

a pro inverzní tvar

−=

1arctan

2Gp

paϕ pro )1,0∈<p ,

−+−=

1arctan

2Gp

paϕ pro 1≥p .

Tyto charakteristiky mžeme aproximovat asymptotickými prbhy tak, že je složíme ze tí asymptot vymezených dvma kmitoty, a to kmitotem o dekádu nižším a o dekádu vyšším než je normovaný kmitoet, což odpovídá hodnotám parametr 1,0=p a 10=p . Výsledná asymptotická fázová charakteristika je v semilogaritmických souadnicích popsána funkcí pro parametr 1=a

°= 0)(0F pϕ pro )1,0,0∈<p ,

°+= 90)log(90)(1F ppϕ pro >∈< 10,1,0p ,

°=180)(2F pϕ pro ),10( ∞∈p

a v pípad inverzní fázové charakteristiky funkcí

°= 0)(0G pϕ pro )1,0,0∈<p ,

°−−= 90)log(90)(1G ppϕ pro >∈< 10,1,0p ,

°−= 180)(2G pϕ pro ),10( ∞∈p .

Asymptoty se zobrazují v semilogaritmických souadnicích jako pímky. První asymptota má konstantní hodnotu fáze 0 ° stup pro oba pípady charakteristik, druhá má smrnici 90 ° a pro inverzní pípad -90 ° a tetí má konstantní hodnotu fáze 180 ° a pro inverzní pípad -180 °. První a druhá asymptota má spolený bod definovaný hodnotou parametru 1,0=p a nulovou hodnotou fáze, piemž odchylka asymptotické fázové charakteristiky v tomto bod od skutené iní

171

°−=

−−−°=∆

→7,5

1arctanlim0)1,0(

21,01F

p

pp

ϕ a pro inverzní pípad °7,5 . Druhá a tetí asymptota

má spolený bod definovaný hodnotou parametru 10=p a hodnotou fáze 180 ° resp. pro inverzní pípad hodnotou fáze -180 °, piemž odchylka asymptotické fázové charakteristiky v tomto bod

od skutené iní °=

−−+°−°=∆

→7,5

1arctanlim180180)10(

2102F

p

pp

ϕ a pro inverzní pípad °− 7,5 .

Ob dvojice charakteristik jsou vyneseny na obr. 4.27.

-80

FdB

, GdB

(dB

)

-40

0

40

80

p (-)

ϕϕ ϕϕ (

°)

-90

0

90

0,01 0,1 1 10 100

180

-180

)(dB pF

)(dB pG

)(F pϕ

)(G pϕ

Obr. 4.27 Standardní tvar normované kmitotové charakteristiky komplexní funkce 2. ádu: logaritmicko amplitudová, semilogaritmická fázová

Píklad 4.4.

Nakreslete logaritmicko amplitudové a fázové kmitotové charakteristiky normované funkce 12jj)(ˆ 22 ++= apppF v semilogaritmických souadnicích pro hodnoty parametru a = 10 a

a = 0,1. Urete funkní hodnoty tchto charakteristik pro hodnoty parametr p = 10, p = 1 a a = 10, a = 0,1.

♦

Funkní hodnoty amplitudové charakteristiky vypoítáme dosazením zadaných parametr do vztahu

( ) 124log20)(log20)( 224dB +−+== apppFpF

a fázové charakteristiky

−−=

1arctan)(

2Fp

papϕ pro )1,0∈<p ,

172

−−+=

1arctan)(

2Fp

papϕ pro 1≥p .

Ob jsou vyneseny na obr. 4.28. Normovaný kmitoet je vynášený v logaritmickém mítku, takže pro zobrazení funkce postaí tabelovat hodnoty v rámci každé dekády v deseti jejích bodech, které odpovídají dílkm dekády log(1) = 0, log(2) = 0,30, log(3) = 0,48, log(4) = 0,60, log(5) = 0,70, log(6) = 0,78, log(7) = 0,85, log(8) = 0,90, log(9) = 0,95, log(1) = 1,00.

-40

FdB

(dB

)

0

40

80

120

p (-)

ϕϕ ϕϕ (

°)

45

90

135

0,01 0,1 1 10 100

180

0

10=a

1,0=a

10=a1,0=a

0=a

0=a

Obr. 4.28 Standardní tvar normované kmitotové charakteristiky komplexní funkce 2. ádu: logaritmicko amplitudová, semilogaritmická fázová, píklad 4.4

Hodnoty amplitudové a fázové charakteristiky pro zadané hodnoty parametru p a hodnotu parametru a = 10 jsou

( ) dB2,401)2400(log20lim)(lim)10( 24

10dB

10=+−+==

→→pppFF

pp,

°=

−−+°==

→→7,134

1

10arctan180lim)(lim)10(

210P

10P

p

pp

ppϕϕ ,

( ) dB0,261)2400(log20lim)(lim)1( 24

1dB

1=+−+==

→→pppFF

pp,

°=

−−+==

→→90

1

10arctanlim)(lim)1(

21P

1P

p

pp

ppϕϕ ,

( ) dB0,71)2400(log20lim)(lim)1,0( 24

1,01,0=+−+==

→→pppFF

pp,

°=

−−==

→→3,45

1

10arctanlim)(lim)1,0(

21,0P

1,0P

p

pp

ppϕϕ

a pro hodnotu parametru a = 0,1

173

( ) dB1,401)204,0(log20lim)(lim)10( 24

10dB

10=+−+==

→→pppFF

pp,

°=

−−+°==

→→4,179

1

1,0arctan180lim)(lim)10(

210P

10P

p

pp

ppϕϕ ,

( ) dB0,141)204,0(log20lim)(lim)1( 24

1dB

1−=+−+==

→→pppFF

pp,

°=

−−+==

→→90

1

1,0arctanlim)(lim)1(

21P

1P

p

pp

ppϕϕ ,

( ) dB2,01)204,0(log20lim)(lim)1,0( 24

1,01,0−=+−+==

→→pppFF

pp,

°=

−−==

→→6,0

1

1,0arctanlim)(lim)1,0(

21,0P

1,0P

p

pp

ppϕϕ .

Komplexní racionální lomené funkce

Komplexní funkce reprezentující zpravidla hodografy naptí a napové penosy, mžeme obecnpopsat komplexní lomenou racionální funkcí

)ˆ(ˆ)ˆ(ˆ

)ˆ(ˆ

b

az

zF

zFzF = ,

kde funkce )ˆ(ˆa zF pedstavuje komplexní polynom itatele, funkce )ˆ(ˆ

b zF komplexní polynom jmenovatele a z je komplexní promnná. Zapíšeme-li je souinem koenových initel, polynomy mají tvar

( )( ) ( )mzzzzzzazF a2a1aa ˆˆˆˆˆˆ)ˆ(ˆ −−−=

a

( )( ) ( )nzzzzzzbzF b2b1bb ˆˆˆˆˆˆ)ˆ(ˆ −−−= ,

kde a, b jsou reálné konstanty a m a n stupe polynomu itatele a jmenovatele. Koeny polynomu itatele nazýváme nuly a koeny polynomu jmenovatele póly. Poznamenejme jen, že poloha pólpenosové funkce v komplexní rovin je dležitá pro posouzení stability zptnovazebního obvodu (Nyquistovo kritérium). Budeme-li uvažovat, že komplexní promnná je ryze imaginární a funkcí promnného kmitotu ω, pak pro ni platí rovnost ωjˆ =z . Pro pasivní obvody RLC jsou koeny itatele a jmenovatele vždy reálné a záporné, v krajním pípad komplexn sdružené, s reálnou ástí zápornou a stupe itatele a jmenovatele se liší maximáln o hodnotu 1, ili m = n+1 (pozitivn reálná

funkce, Bruneho vta), takže pro koeny itatele i jmenovatele, pak platí mm zaa ˆRe−=ω a

nn zbb ˆRe−=ω a komplexní lomenou racionální funkci mžeme zapsat

( )( ) ( )( )( ) ( )

( )

( )

( )

( )∏

∏

∏

∏=

=

=

==

=

=

=

+

+=

+

+=

+++

+++=

nl

ll

mk

kk

nl

ll

mk

kk

n

m kb

a

b

aF

1b

1a

1b

1a

b2b1b

a2a1az

j

j

j

j

jjj

jjj)j(ˆ

ωω

ωω

ωω

ωω

ωωωωωω

ωωωωωωω

,

která po normování koenových initel itatele k

kpa

aω

ω= a jmenovatele

l

lpb

bω

ω= pejde do tvaru

174

( )( ) ( )( )( ) ( )

( )

( ).

j1

j1

j1j1j1

j1j1j1

1j1j1j

1j1j1j

),,,,,,j(ˆ

1b

1a

P

b2b1b

a2a1a

1b

1a

b2b1b

a2a1a

b2b1b

a2a1ab1ba1az

∏

∏

∏

∏=

=

=

==

=

=

=

+

+=

+++

+++=

=

+

+

+

+

+

+

=

nl

ll

mk

kk

n

mnl

ll

mk

kk

n

m

n

mnm

p

pk

ppp

pppk

kppppF

ω

ω

ωω

ωω

ωω

ωω

ωω

ωω

ωωω

ωωωω

leny itatele normované komplexní funkce ),,,,,,j(ˆb1ba1az nm ppppF ω odpovídají prototypu

normované funkce )(ˆ pF z kapitoly 4.3 a leny itatele pevrácené hodnot prototypu normované

funkce )(ˆ pG z téže kapitoly ili souinu prototyp funkcí )(ˆ)(ˆ pGpF ⋅ , které definují dílí leny

racionální lomené funkce vystupující v definici ),,,,,,j(ˆb1ba1az nm ppppF ω .

Pro modul i amplitudu této funkce definovanou absolutní hodnotou komplexní funkce )j(ˆz ωF platí

( )

( ) ∏

∏

∏

∏=

=

=

=

=

=

=

=

+

+=

+

+

==nl

ll

mk

kk

nl

ll

mk

kk

kkFF

1

2b

2

1

2a

2

1a

1a

zz

j

j

)j(ˆ)(ωω

ωω

ωω

ωωωω

nebo v logaritmickém mítku

( )

+−

++=

+

+=

∏

∏ =

=

=

==

=

=

=nl

ll

mk

kknl

ll

mk

kk

kkF1

2b

2

1

2a

2

1

2b

2

1

2a

2

zdB log20log20log20log20)( ωωωωωω

ωωω ,

kdy dílí logaritmické charakteristiky mžeme s výhodou sítat.

Pro fázovou charakteristiku platí

( )( )

( )( ) ( )

,arctanarctan

jargjargarg

j

j

arg)j(ˆarg)(

1 b1 a

1b

1a

1b

1a

zFz

∏∏∏

∏

=

=

=

=

=

=

=

==

=

=

=

−

=

=

+−

++

=

+

+==

nl

l l

mk

k k

nl

ll

mk

kknl

ll

mk

kk

b

a

b

aF

ωω

ωω

ωωωωωω

ωωωωϕ

kterou dostaneme soutem dílích fázových charakteristik. Jelikož a, b jsou reálná ísla, je fázová charakteristika prvního lenu nulová a nemá tedy vliv na výslednou charakteristiku.

175

Píklad 4.5.

Nakreslete asymptotickou modulovou a fázovou charakteristiku napového penosu obvodu z obr. 4.29 pro parametry R1 = 25 kΩ, R2 = 2 kΩ, C1 = 200 nF.

C1

R1

R2Û1 Û2

Obr. 4.29 Obvodový model kmitotov závislého dlie naptí, píklad 4.5

♦

Napový penos uríme z impedanního dlie

( )( )

,j

j1

j1

j1

j1

ˆˆ

ˆ

ˆ

ˆ)j(ˆ)j(ˆ

12121

112

11

1121

2

211

1

2

21

2

1

2zU CRRRR

CRR

CR

CRRRR

RCR

RR

ZZ

Z

U

UFP

ωω

ωω

ω

ωω++

+=

+

++=

++

=+

===

kde jsme dosadili za impedance

11

1

11

11 j1j

11

ˆ1ˆ

CR

R

CR

YZ

ωω +=

+== a 22

ˆ RZ = ,

a který upravíme bu do tvaru

( ) ( )b1

a1P

21

121

11

21

2

12121

112U j1

j1

j1

j1

j

j1)j(ˆ

p

pk

RR

CRR

CR

RR

R

CRRRR

CRRP

+

+=

++

+

+=

++

+=

ω

ωω

ωω

nebo

( )

,j1

j1

j1

j1

j

j

j

j1

j

j1

j

j1)j(ˆ

b1

a1P

b1

a1

b1

a1

b1

a1

121

21

11

121

21121

11121

12121

112U

p

pk

CRR

RRCR

CRR

RRCRR

CRCRR

CRRRR

CRRP

+

+=

+

+

=

+

+=

++

+

=

+

+

+

=++

+=

ωω

ωω

ωω

ωωωω

ω

ω

ω

ω

ωω

ω

kde

176

193

11a1 sradk2,0200

102001025

11 −−

⋅==⋅

==CR

ω ,

1a1

Pa1

2

21

112

21b1 sradk7,22700200

27

211 −⋅====

+=

+= ωωω

kR

RR

CRR

RR,

27

2

1021025

10233

3

21

2P =

+=

+=

RR

Rk nebo

27

2

7,2

2,0

b1

a1P ===

ωω

k ,

200a111a1

ωωω

ω === CRp ,

2700b121

121b1

ωωωω

==+

=RR

CRRp nebo

20027

21 a1

P

a1P

b1b1

ωωω

ω

ωωω

==== k

k

p .

Po zavedení substituce )j(ˆ)j(ˆz ωω UPF = kvli konstrukci asymptotických charakteristik ozname

nov jednotlivé leny racionální lomené funkce

)j(ˆ)j(ˆ

)j(ˆj1

j1)j(ˆ)j(ˆ

b1

1kp

b1

a1PUz

ω

ωωωω

F

FF

p

pkPF a=

+

+== ,

takže pro logaritmicko amplitudovou charakteristiku platí

),()()(

)j(ˆlog20)j(ˆlog20)j(ˆlog20)j(ˆ)j(ˆ

)j(ˆlog20)j(ˆlog20)(

dBb1dBa1dBkp

b11kp

b1

1kpzzdB

ωωω

ωωωω

ωωωω

FFF

FFFF

FFFF a

a

−+=

=−+===

kde

( ) dB6,2227

2log20log20)(ˆlog20)( PkpdBkp −=

=== kFF ωω ,

( )

,200

1log20

1log201log20j1log20)(ˆlog20)(

2

2

a1

2a1a11dBa1

+=

=

+=+=+==

ω

ωω

ωω ppFF a

( )

+=

=

+=+=+==

2

2

b1

2b1b1b1dBb1

27001log20

1log201log20j1log20)(ˆlog20)(

ω

ωω

ωω ppFF

a fázovou charakteristiku

177

( ) ( ) ( ) ( )),()()(

)j(ˆarg)j(ˆarg)j(ˆarg)j(ˆ)j(ˆ

)j(ˆarg)j(ˆarg)(

Pb1Pa1Pkp

b1a1kp

b1

1kpzFz

ωϕωϕωϕ

ωωωω

ωωωωϕ

−+=

=−+=

== FFF

F

FFF a

kde

( ) ( ) °=

=== 0

27

20

arctanarg)j(ˆarg)( pkpFkp kF ωωϕ ,

( ) ( ) ( )

==+==200

arctanarctanj1arg)j(ˆarg)( a1a1a1Fa1

ωωωϕ ppF ,

( ) ( ) ( )

==+==2700

arctanarctanj1arg)j(ˆarg)( b1b1b1Fb1

ωωωϕ ppF .

Asymptoty amplitudových charakteristik v semilogaritmických souadnicích konstruujeme tak, že dílí funkce vyneseme do grafu. Amplituda funkce )(dBkp ωF nezávisí na kmitotu, je to konstantní

funkce s hodnotou -22,6 dB. Asymptoty funkce )(dB1a ωF jsou tvoeny dvma pímkami, které se

protínají v bod daném kmitotem a1ω a amplitudou 0 dB. První ást asymptoty je tedy konstantní

funkce s amplitudou 0 dB, která aproximuje funkci )(dB1a ωF pro úhlové kmitoty a1ωω << , kdy platí

dB0)1log(20)(dB1a ==ωF . Druhá ást asymptoty je pímka, která aproximuje funkci )(dB1a ωF pro

úhlové kmitoty a1ωω >> , kdy platí

=

=

200log20log20)(

a1dB1a

ωωω

ωF . Pímka má poátek

v bod daném kmitotem a1ω a amplitudou 0 dB a má sklon +20 dB/dek. Podobn asymptoty funkce

)(dB1b ωF jsou tvoeny dvma pímkami, které se protínají v bod daném kmitotem b1ω a amplitudou

0 dB. První ást asymptoty je tedy konstantní funkce s amplitudou 0 dB, která aproximuje funkci )(dB1b ωF pro úhlové kmitoty b1ωω << , kdy platí dB0)1log(20)(dB1b ==ωF . Druhá ást asymptoty

je pímka, která aproximuje funkci )(dB1b ωF pro úhlové kmitoty b1ωω >> , kdy platí

=

=

200log20log20)(

b1dB1b

ωωω

ωF . Pímka má poátek v bod daném kmitotem b1ω a

amplitudou 0 dB a má sklon -20 dB/dek.

Asymptoty fázových charakteristik v semilogaritmických souadnicích konstruujeme tak, že dílí funkce opt vyneseme do grafu. Fáze funkce )(Fkp ωϕ nezávisí na kmitotu, je to konstantní funkce s

hodnotou 0 °. Asymptoty funkce )(F1a ωϕ jsou tvoeny temi pímkami. První ást asymptoty je

konstantní funkce s fází 0 °, která aproximuje funkci )(F1a ωϕ pro úhlové kmitoty a11,0 ωω << , kdy

platí °= 0)(P1a ωϕ . Druhá ást asymptoty je pímka, která aproximuje funkci )(F1a ωϕ pro úhlové

kmitoty )10,1,0( a1a1 ωωω ∈ , kdy platí °+

=°+

= 90

200log9090log90)(

a1F1a

ωωω

ωϕ , která má

semilogaritmických souadnicích sklon 45 °/dek. Tetí ást asymptoty je konstantní funkce s fází 90 °, která aproximuje funkci )(F1a ωϕ pro úhlové kmitoty a110ωω >> , kdy platí °= 90)(F1a ωϕ . Podobn

asymptoty funkce )(F1b ωϕ jsou tvoeny temi pímkami. První ást asymptoty je konstantní funkce

s fází 0 °, která aproximuje funkci )(F1b ωϕ pro úhlové kmitoty b11,0 ωω << , kdy platí °= 0)(F1b ωϕ .

178

Druhá ást asymptoty je pímka, která aproximuje funkci )(P1a ωϕ pro úhlové kmitoty

)10,1,0( b1b1 ωωω ∈ , kdy platí °−

−=°−

−= 90

2700log9090log90)(

b1F1b

ωωω

ωϕ , která má

semilogaritmických souadnicích sklon -45 °/dek. Tetí ást asymptoty je konstantní funkce s fází °− 90 , která aproximuje funkci )(F1b ωϕ pro úhlové kmitoty b110ωω >> , kdy platí °= 90)(F1b ωϕ .

Výslednou asymptotickou logaritmicko amplitudovou a fázovou charakteristiku získáme superpozicí píslušných tí diskutovaných funkcí, viz obr. 4.30.

-40

FdB

(d

B)

-20

0

20

40

-90

ϕϕ ϕϕ (

°)

-45

0

45

90

ωωωω (krad⋅⋅⋅⋅s-1)0,01 0,1 1 10 100

)(dBa1 ωF

)(Fa1 ωϕ

)(Fb1 ωϕ

)(dBb1 ωF

)(dBkp ωF

)(zdB ωF

)(Fkp ωϕ

ωωωωa1 ωωωωb1

0,1ωωωωa1 0,1ωωωωb1 10ωωωωa1 10ωωωωb1

)(zF ωϕ

Obr. 4.30 Konstrukce Bodeho amplitudové a fázové charakteristiky napového penosu obvodu z obr. 4.29, píklad 4.5

Shrnutí pojm 4.4.

Bodeho logaritmické amplitudové a fázové charakteristiky jsou asymptotické charakteristiky aproximující skutené funkce, které zobrazujeme v semilogaritmických souadnicích, kdy kmitotová osa má logaritmické mítko. Asymptoty jsou pímky, které u jednoduchých tvar racionálních lomených funkcí jdou snadno a rychle konstruovat a poskytují orientaní pedstavu o chování kmitotov závislých obvod. Amplitudová osa je logaritmická, jednotka osy již není bezrozmrná, ale je cejchovaná v decibelech a má lineární mítko, které umožuje zobrazit velký rozsah amplitud

funkcí. Logaritmicko amplitudová a fázová charakteristika prototypu komplexní funkce )(ˆdB pF a

jejího inverzního tvaru )(ˆdB pG jsou zrcadlov soumrné kolem osy kmitotu.

Otázky 4.4.

1. Co jsou to Bodeho charakteristiky?

179

2. V jakých souadnicích jsou kresleny Bodeho charakteristiky?

3. Jakou jednotku a mítko má Bodeho amplitudová charakteristika?

4. Jakou jednotku a mítko má Bodeho fázová charakteristika?

5. Pro vynášíme kmitotovou osu Bodeho charakteristik v logaritmickém mítku?

6. Pro je výhodné zobrazovat grafy Bodeho charakteristik v semilogaritmickém mítku?

7. Jaká je výhoda zobrazení amplitudové osy v logaritmickém mítku?

8. Co mají spolené a v em se liší logaritmicko amplitudová charakteristika normované komplexní

funkce )(ˆdB pF a jí odpovídající inverzní funkce )(ˆ

dB pG ?

9. Jaký je vztah mezi fázovou charakteristikou normované komplexní funkce )(ˆdB pF a její inverzní

funkcí )(ˆdB pG ?

10. Jaký je obecný postup konstrukce asymptot Bodeho charakteristik?

11. Co jsou to nuly a póly penosové funkce?

Úloha k ešení 4.4.

Urete komplexní hodnoty funkce 12jj)(ˆ 22 ++= apppF , její velikost a fázi pro hodnoty parametrp = 10, p = 1 a p = 0,1 a hodnoty parametru a = 10, a = 0,1.

ešení:

Hodnoty 10 a 0,1 parametru p odpovídají u normované kmitotové charakteristiky hodnot kmitotu o dekádu vyššímu a o dekádu nižšímu vi hodnot normovaného kmitotu tj. hodnot parametru p = 1.

Funkní hodnoty jsou uvedeny v tab. 4.1:

Tab. 4.1 Tabulka vypotených hodnot, úloha k ešení 4.4

p a )(ˆ pF )( pF ( ))(ˆarg pF

0,1 10 0,99+j2 2,2316 63,66°

1 10 j20 20 90°

10 10 -99+ j200 223,16 -63,66°

0,1 1 0,99+j0,2 1,01 11,42°

1 1 j2 2 90°

10 1 -99+j20 101 -11,42°

180

5. Nastavení pracovního bodu nelineárního dvojbranu

Motivace Po prostudování této kapitoly budete umt

• popsat nelineární dvojbran sítí AV a VA charakteristik • definovat statické a diferenciální parametry nelineárního dvojbranu • nakreslit linearizovaný model nelineárního dvojbranu • nastavit pracovní bod nelineárního dvojbranu • navrhnout a popsat tranzistorový zesilova tídy A

5.1. Bipolární tranzistor jako dvojbran K zesilování signál se používají elektronické prvky, jejichž charakteristiky jsou nelineární. Mezi základní elektronické souástky patí bipolární tranzistor, jehož vlastnosti v okolí pracovního bodu modelujeme aktivním, lineárním dvojbranem. Vzhledem k tomu, že se soustedíme na dvojbranový pístup k modelování tranzistoru, nemusíme se podrobn zabývat fyzikálním principem innosti tranzistoru a konstatujme jen, že bipolární tranzistor je elektronická souástka tvoená temi polovodivými vrstvami, vyvedenými na elektrody – bázi (B), emitor (E) a kolektor (C). Vrstvy vytvoené na krystalu polovodie jsou oddleny dvma polovodivými pechody, jejichž vodivost ídíme polaritou piloženého zdroje naptí. V aktivním režimu je jeden pechod tranzistoru polován propustn a druhý závrn. V polovodiové struktue tranzistoru vzniká tranzistorový jev, jehož podstata spoívá v tom, že velikost proudu procházejícího závrn pólovaným pechodem je výraznovlivována naptím resp. proudem propustn pólovaného pechodu. Z tohoto dvodu ho mžeme pirozen modelovat zdrojem proudu ízeným proudem a pro jeho náhradní obvodové schéma použít odporový dvojbran popsaný charakteristickými rovnicemi s h parametry, a to nejen v oblasti nízkých kmitot (do 0,1 MHz), ale i stedních kmitot (až jednotky MHz), kdy se ješt významn neprojeví parazitní kapacity a induknosti tranzistoru. Dvojbran je to však degenerovaný, nebo má vždy jednu elektrodu spolenou pro vstupní a výstupní obvod. Za úelem linearizace charakteristik tohoto nelineárního dvojbranu a pedpokladu periodických prbh obvodových veliin v ustáleném stavu, mžeme rozložit vstupní naptí 1u a proud 1i a výstupní naptí 2u a proud 2i na složku stejnosmrnou, rozlišenou indexem DC, a složku stídavou, s indexem AC, tedy

AC1DC11 uUu += , AC1DC11 iIi += ,

AC2DC22 uUu += , AC2DC22 iIi += .

Stejnosmrné složky obvodových veliin odpovídají souadnicím klidového pracovního bodu Ptranzistoru, viz obr. 5.11 a stídavé složky psobí zmnu polohy pracovního bodu.

Statické parametry tranzistoru

Statické (stejnosmrné) vlastnosti bipolárního tranzistoru, nejastji popisujeme tymi hlavními nelineárními statickými charakteristikami (z 15-ti možných závislostí dvojic veliin tranzistoru tj. 3 proudy a 3 naptí), které zachycují vztahy mezi temi veliinami tranzistoru, když dv veliiny volíme za závislé a tetí veliinu jako parametr. Jsou to

vstupní charakteristika )( 11 IfU = pi konst.2 =U ,

výstupní charakteristika )( 22 UfI = pi konst.1 =I ,

pevodní proudová charakteristika )( 12 IfI = pi konst.2 =U ,

pevodní napová charakteristika )( 21 UfU = pi konst.1 =I ,

181

zobrazené na obr. 5.1. Není-li tranzistor buzen stídavým signálem, tj. je-li nastaven pouze do klidového pracovního bodu, platí pro vstupní a výstupní veliiny dvojbranu

U2 (V)

I2 (A)

P

U2DC I1 (A)

I2DC

U1DC

I1DC

U1 (V)

)( 22 UfI =

konst.1 =I

)( 12 IfI =

konst.2 =U

)( 21 UfU =)( 11 IfU =

konst.2 =Ukonst.1 =I

P

P P

H11

H21 H22

H12

Obr. 5.1 Statické charakteristiky a parametry nelineárního dvojbranu

DC11 Uu = , DC11 Ii = , DC22 Uu = , DC22 Ii = .

Statický model bipolárního tranzistoru je popsán stejnosmrnými rovnicemi s H parametry, které jsou definovány v libovolném bod s nenulovou hodnotou píslušné statické charakteristiky, tudíž i v pracovním bod P i pesnji v pracovních bodech jednotlivých charakteristik

DC212DC111DC1 UHIHU += ,

DC222DC121DC2 UHIHI += .

Statické H parametry definované provozními stavy dvojbranu, jejichž charakteristiky jsou zobrazené na obr. 5.1 erchovanými polopímkami (senami) jsou dány

V0DC1

DC111

DC2 =

=U

I

UH - vstupní stejnosmrný odpor nakrátko,

A0DC2

DC112

DC1 =

=I

U

UH - zptný stejnosmrný napový penos naprázdno,

V0DC1

DC221

DC2 =

=U

I

IH - zptný stejnosmrný proudový penos nakrátko,

A0DC2

DC222

DC1 =

=I

U

IH - výstupní stejnosmrná vodivost naprázdno.

182

Poznamenejme, že v odborné literatue se stejnosmrné parametry vtšinou oznaují malým písmenem h, když se k jejich indexu pidávají kvli rozlišení podle zapojení tranzistoru velká písmena E, C, B. Píkladem je znaení stejnosmrného proudového zesilovacího initele v zapojení SE E21E21 Hh = .

Diferenciální parametry tranzistoru

Diferenciální (stídavé) parametry tranzistoru jsou definovány pro malé zmny signálu v okolí pracovního bodu, které psobí jeho pohyb v síti parametrických statických charakteristik, viz obr. 5.11. Tranzistor modelujeme soustavou nelineárních diferenciálních rovnic. Zanedbáme-li vliv parazitních parametr tranzistoru, nebudou vztahy mezi obvodovými veliinami obsahovat asové zmny a vystaíme tak pouze se soustavou obyejných nelineárních rovnic dvojbranu i jeho charakteristik. Soustava nelineárních rovnic je definována

( )2111 ,uihu = ,

( )2122 , uihi =

a odpovídající blokové schéma dvojbranu na obr. 5.2.

u1

i1

u2

i2

2

2‘

1

1‘

( )( )212

211

,

,

uih

uih

Obr. 5.2 Blokové schéma nelineárního dvojbranu

Analytické ešení soustavy nelineárních rovnic i grafické ešení nelineárních charakteristik je složité, a proto se ho snažíme zjednodušit tím, že nelineární funkce 1h , 2h i charakteristiky linearizujeme v okolí pracovního bodu P, což je v praxi dostaten pesný zpsob ešení obvodu práv pro malé zmny obvodových veliin. Poznamenejme, že jsou-li tyto zmny teoreticky infinitisimáln malé, mžeme je popsat diferenciály 0d lim,0d lim,0d lim,0d lim 2211 →→→→ iuiu .

Grafická linearizace spoívá v nahrazení kivoarých charakteristik v uvažovaném pracovním bod Ptenami, viz obr. 5.3. Analytická linearizace je založena na diferenciaci soustavy nelineárních rovnic dvojbranu v okolí pracovního bodu P (totální diferenciál), díky které získáme diferenciály (míry zmn) závislých veliin dvojbranu du1 a di2 jako funkci infinitisimáln malých zmn nezávislých veliin dvojbranu di1 a du2, takže platí

22

11

1

11 ddd u

u

ui

i

uu

PP∂

∂+

∂

∂= ,

22

21

1

22 ddd u

u

ii

i

ii

PP∂

∂+

∂

∂= .

Zavedením diferenciálních h parametr potom mžeme zapsat zmnu závislých veliin dvojbranu

2121111 ddd uhihu += ,

2221212 ddd uhihi += ,

kde jsou:

183

Pi

uh

1

111 ∂

∂= - vstupní diferenciální odpor nakrátko v bod P pi V0d 2 =u , tj. pi konst.22 == Uu ,

Pu

uh

2

112 ∂

∂= - zptný diferenciální napový penos naprázdno v bod P pi A0d 1 =i , tj.

pi konst.11 == Ii ,

Pi

ih

1

221 ∂

∂= - zptný diferenciální proudový penos nakrátko v bod P pi V0d 2 =u , tj.

pi konst.22 == Uu ,

Pu

ih

2

222 ∂

∂= - výstupní diferenciální vodivost naprázdno v pracovním bod P pi A0d 1 =i , tj.

pi konst.11 == Ii

U2 (V)

I2 (A)

P

U2DC I1 (A)

I2DC

U1DC

I1DC

U1 (V)

)( 22 UfI =

konst.1 =I

)( 12 IfI =

konst.2 =U

)( 21 UfU =)( 11 IfU =

konst.2 =Ukonst.1 =I

P

P P h11

h21 h22

h12

Obr. 5.3 Diferenciální parametry nelineárního dvojbranu

Chápeme-li zmny polohy pracovního bodu P jako projev stídavých složek obvodových veliin, mžeme diferenciály, tj. zmny obvodových veliin nahradit práv stídavými složkami veliin a linearizované rovnice nakonec zapsat

AC212AC111AC1 uhihu += ,

AC222AC121AC2 uhihi += ,

kde jsou:

184

AC1

AC111 i

uh = - vstupní stídavý (diferenciální) odpor nakrátko,

AC2

AC112 u

uh = - zptný stídavý (diferenciální) napový penos naprázdno,

AC1

AC221 i

ih = - zptný stídavý (diferenciální) proudový penos nakrátko,

AC2

AC222 u

ih = - výstupní stídavá (diferenciální) vodivost naprázdno.

Jak již bylo zmínno, tyto rovnice platí pro malé zmny obvodových veliin. Na jejich základ potom mžeme sestavit malosignálový model tranzistoru. Dosazením do tchto rovnic za stídavé složky, vyjádené rozdílem píslušné obvodové veliiny a její stejnosmrné složky, dostaneme rovnice úplného linearizovaného modelu bipolárního tranzistoru

( ) ( )DC2212DC1111DC11 UuhIihUu −+−=− ,

( ) ( )DC2222DC1121DC22 UuhIihIi −+−=− ,

které po jednoduché úprav mžeme zapsat ve tvaru

21211111 uhihUu ++= ,

22212122 uhihIi ++= ,

kde

DC212DC111DC11 UhIhUU −−= ,

DC222DC121DC22 UhIhII −−= .

Tento obvodový model je platný pro všechna zapojení tranzistoru (SE, SC, SB), která se však liší hodnotou stídavých (diferenciálních) parametr h, z tohoto dvodu se h parametrm pidávají kvli rozlišení k indexu podle zpsobu zapojení malá písmena e, c, b. Jsou-li tato písmena velká, jedná se o parametry stejnosmrné, jak již bylo zmínno výše.

Píklad 5.1.

Nakreslete náhradní obvodové schéma úplného linearizovaného modelu bipolárního tranzistoru.

♦

Postup sestavení obvodového modelu je stejný jako u modelu dvojbranu se smíšenými h parametry. První rovnice linearizovaného dvojbranu je

21211111 uhihUu ++= ,

kterou modelujeme v duchu 2. Kirchhoffova zákona sériovým azením nezávislého stejnosmrného zdroje o hodnot 1U , rezistoru o hodnot 11h a ízeného zdroje naptí o hodnot 212 uh . Druhá rovnice linearizovaného dvojbranu je

22212122 uhihIi ++= ,

kterou modelujeme v duchu 1. Kirchhoffova zákona paralelním azením nezávislého stejnosmrného zdroje o hodnot 2I , vodivosti o hodnot 22h a ízeného zdroje proudu o hodnot 121 ih . Obvodový schéma tohoto modelu je na obr. 5.4.

185

u1

i1

212uh11h

121ih22h u2

i2

U1

2I

Obr. 5.4 Úplné obvodové schéma linearizovaného modelu bipolárního tranzistoru, píklad 5.1

Stejnosmrný zdroj naptí 1U se chová pro stídavý signál jako zkrat a stejnosmrný zdroj proudu 2Ijako rozpojená vtev, takže pro stídavý signál platí náhradní schéma na obr. 5.5.

u1AC

i1AC

AC212uh11h

AC121ih22h u2AC

i2AC

Obr. 5.5 Obvodové schéma linearizovaného modelu bipolárního tranzistoru pro stídavý signál, píklad 5.1

Penosy a impedance tranzistoru

Jak jsme se již zmínili, budeme se zabývat pouze odporovým modelem bipolárního tranzistoru, k jehož popisu používáme okamžité hodnoty stídavých složek vstupních a výstupních veliin tranzistoru a reálné hodnoty h parametr. Definice jeho penos i vstupní a výstupní impedance by tak mohly být reálné, pokud v náhradním modelu na obr. 5.6 budou reálné i vnitní impedance iZ zdroje

naptí iU a zatžovací impedance tranzistoru sZ , což je astý pípad využití tranzistorového zesilovae v praxi. Pesto dále uvažujme zcela obecn komplexní popis obvodu s tranzistorem, kde stídavé složky veliin tranzistoru nahradíme komplexními efektivními hodnotami, ímž automaticky pedpokládáme, že prbhy tchto veliin jsou harmonické a nemá tedy smysl v jejich oznaení ponechávat na pozici indexu symbol AC. h parametry budeme zapisovat také jako komplexní ísla, i když mají jen reálnou ást. Platí tedy následující korespondence

1AC1 Uu → , 1AC1 Ii → , 2AC2 Uu → , 2AC2 Ii →

a rovnosti

1111ˆ hh = , 1212

ˆ hh = , 2121ˆ hh = , 2222

ˆ hh = .

(Stídavý) napový penos tranzistoru je definován 1

2U ˆ

ˆˆ

U

UP = , ale v literatue zabývající se

problematikou zesilova je obvykle oznaován UA a je nazýván initelem zesílení naptí, takže platí

1

2UU ˆ

ˆˆˆ

U

UPA == .

186

Û1

Î1

Û2

Î2

2‘ 1‘

[ ]h

2 1

iZ

Ûi sZ

Obr. 5.6 Model zatíženého, linearizovaného dvojbranu, buzeného ze skuteného zdroje naptí

Hodnotu napového penosu tranzistoru uríme úpravou jeho linearizovaných rovnic

2121111ˆˆˆˆˆ UhIhU += ,

2221212ˆˆˆˆˆ UhIhI += .

Vynásobením 1. rovnice parametrem 21h a 2. rovnice parametru 11h− a následným jejich setením,

eliminujeme z rovnic vstupní proud 1I , ímž obdržíme rovnici

2221121221211121ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ UhhUhhIhUh −=− ,

do které dosadíme z zobecnného Ohmova zákona za výstupní proud s

22 ˆ

ˆˆ

Z

UI −= a upravíme do tvaru

( ) s2112221111

s21

11s2211s2112

s21

s1122111221

21

1

2

ˆˆˆˆˆˆ

ˆˆ

ˆˆˆˆˆˆˆ

ˆˆ

ˆ1ˆˆˆˆˆ

ˆ

ˆ

ˆ

Zhhhhh

Zh

hZhhZhh

Zh

Zhhhhh

h

U

U

−+

−=

−−=

−−= ,

což je obecný vztah pro napový penos UA .

(Stídavý) proudový penos tranzistoru resp. initel zesílení proudu je definován

1

2II ˆ

ˆˆˆ

I

IPA == .

Hodnotu proudového penosu tranzistoru uríme z 2. rovnice smíšeného modelu bipolárního tranzistoru, kam za výstupní naptí dosadíme 2s2

ˆˆˆ IZU −= , ímž získáme rovnici

( )2s221212ˆˆˆˆˆˆ IZhIhI −+= a po její úprav i pomr

.ˆˆ1

ˆ

ˆ

ˆ

s22

21

1

2

Zh

h

I

I

+=

Komplexní výkonový penos resp. initelem zesílení výkonu je potom definován souinem napového a komplexn sdruženého proudového penosu

( )

( )1

2j

j

11

22j-

1

-j2

j1

j2

*1

*2

1

2*IUP ˆ

ˆ

e

e

e

e

e

eˆ

ˆ

ˆ

ˆˆˆˆ

1iu1

2i2u

1i

2i

u1

2u

S

S

IU

IU

I

I

U

U

I

I

U

UAAA ===== −

−

ϕϕ

ϕϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

.

Poznamenejme, že proudové zesílení dosahuje maximální hodnoty pi minimální hodnot zátže, tedy ve stavu nakrátko. Napové zesílení dosahuje maximální hodnoty pi velké hodnot zátže, tedy pibližn ve stavu naprázdno. Výkonové zesílení dosahuje maximální hodnoty, je-li impedance zátže impedann pizpsobena impedanci generátoru.

187

Vstupní impedanci uríme úpravou linearizovaných rovnic tranzistoru do kaskádního tvaru charakteristických rovnic dvojbranu tak, že z 2. rovnice si vyjádíme proud 1I a dosadíme jej do rovnice 1. rovnice

( )22222121

22221

ˆˆˆˆ1

ˆ

ˆˆˆˆ IUh

hh

UhII −−=

−= ,

( ) ( )[ ]21122112221121

212222221

112121111ˆˆˆˆˆˆˆ

ˆ1ˆˆˆˆˆ

ˆ1ˆˆˆˆˆˆ IhUhhhh

hUhIUh

hhUhIhU −−−=+

−−=+= ,

takže pro vstupní impedanci 1Z platí po úprav a dosazení za impedanci zátže 2

2s ˆ

ˆˆ

I

UZ

−=

( )[ ]

( )( ) ( )

.1ˆˆ

ˆˆˆˆˆˆ

1ˆˆ

ˆˆˆˆˆˆ

ˆ

ˆ

ˆˆˆˆ1

ˆˆˆˆˆˆˆˆ1

ˆ

ˆˆ

s22

11s21122211

s22

11s21122211

2

2

222221

21122112221121

1

11 +

+−=

+

+−

−

−=

−−

−−−

==Zh

hZhhhh

Zh

hZhhhh

I

I

IUhh

IhUhhhhh

I

UZ

Píklad 5.2.

Urete vstupní impedanci bipolárního tranzistoru zatíženého impedancí sZ užitím vztahu pro vstupní impedanci kaskádního modelu dvojbranu.

♦

Vstupní impedance zatíženého kaskádního modelu dvojbranu je definována

2221

12111

ˆˆˆ

ˆˆˆˆaZa

aZaZ

s

s

+

+= ,

když za kaskádní parametry dosadíme odpovídající hodnoty h parametr linearizovaných rovnic tranzistoru upravených do kaskádního tvaru viz tab. 3.1 v kapitole 3.3, dostaneme soustavu rovnic

( ) ( )[ ]21122112221121

1ˆˆˆˆˆˆˆ

ˆ1ˆ IhUhhhh

hU −+−−= ,

( )[ ]222221

1ˆˆˆ

ˆ1ˆ IUh

hI −+−= ,

kde platí

21

2112221111 ˆ

ˆˆˆˆˆ

h

hhhha

−−= ,

21

1112 ˆ

ˆˆ

h

ha −= ,

21

2221 ˆ

ˆˆ

h

ha −= ,

2122 ˆ

1ˆ

ha −= .

Dosazením kaskádních rovnic dvojbranu do definice vstupní impedance dvojbranu 1Z získáme vztah

( )1ˆˆ

ˆˆˆˆˆˆ

ˆ1ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆˆ

ˆ

ˆˆˆˆ

ˆˆˆ

ˆˆˆˆs22

11s21122211

2121

22

21

11

21

21122211

2221

12111 +

+−=

−+

−

−+

−−

=+

+=

Zh

hZhhhh

hZ

h

h

h

hZ

h

hhhh

aZa

aZaZ

s

s

s

s .

188

Výstupní impedanci tranzistoru uríme pomocí její definice, odvozené v kapitole 7.1, když analogickým zpsobem jako u impedance vstupní, dosadíme za kaskádní parametry odpovídající hodnoty h parametr, tedy

( )21122211i22

11i

21

21122211i

21

22

21

11i

21

11i21

12i222 ˆˆˆˆˆˆ

ˆˆ

ˆ

ˆˆˆˆˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆˆ

ˆ1

ˆˆˆ

ˆˆˆˆhhhhZh

hZ

h

hhhhZ

h

h

h

hZ

h

aZa

aZaZ

−+

+=

−−+

−

−+

−

=+

+= .

Shrnutí pojm 5.1.

Bipolární tranzistor je nelineární polovodiový prvek, jehož innost je založena na tranzistorovém jevu, jehož podstata spoívá v tom, že velikost proudu procházejícího závrn pólovaným pechodem je výrazn ovlivována naptím resp. proudem propustn pólovaného pechodu. Vlastnosti tranzistoru jsou popsány sítí hlavních charakteristik: vstupní, výstupní, pevodní a zptn pevodní. Vstupní a výstupní veliiny tranzistoru je výhodné rozložit na stejnosmrnou a stídavou složku. Stejnosmrná složka veliin tranzistoru definuje jeho pracovní bod a stídavá složka charakterizuje zmnu jeho parametr.

Linearizace jeho charakteristik v okolí pracovního bodu nám umožuje modelovat bipolární tranzistor pro malé zmny jeho obvodových veliin charakteristickými rovnicemi dvojbranu s diferenciálními

(stídavými) h parametry. V oblasti nízkých a stedních kmitot jsou tyto parametry reálné a tranzistor modelujeme degenerováným odporovým dvojbranem, tedy trojpólem. Penosy naptí, proudu a výkonu tranzistoru nazýváme rovnž initeli zesílení a stejn jako jeho vstupní a výstupní

impedance jsou obecn funkcí komplexních h parametr, zatžovací impedance sZ a vnitní

impedance budícího zdroje iZ . Hodnoty h parametr závisí na zpsobu zapojení tranzistoru.

Otázky 5.1.

1. Na em je založen tranzistorový jev?

2. Jaký obvodový model dvojbranu používáme k modelování tranzistorového jevu a pro?

3. Pro rozkládáme vstupní a výstupní veliiny tranzistoru na stejnosmrnou a stídavou složku?

4. Která ze složek obvodových veliin definuje pracovní bod tranzistoru?

5. Která ze složek obvodových veliin je odpovdná za pohyb pracovního bodu tranzistoru?

6. Jak modelujeme zmnu polohy pracovního bodu tranzistoru?

7. Jaký je úel linearizace charakteristik tranzistoru v okolí pracovního bodu?

8. V em se liší náhradní obvodové schéma tranzistoru pro stídavé složky jeho obvodových veliin od náhradního schématu pro ob jeho složky obvodových veliiny?

9. Pro jaké kmitoty mžeme považovat hodnoty h parametr tranzistoru za reálné?

10. Pro mžeme linearizovaný model tranzistoru modelovat odporovým dvojbranem?

11. Co rozumíme malosignálovým modelem tranzistoru?

12. Které definice initel zesílení znáte a jak jsou definovány?

189

13. Na em závisí initelé zesílení tranzistoru a jeho impedance?

14. Má vliv zapojení tranzistoru na hodnotu h parametr tranzistoru?

Úloha k ešení 5.1.

K modelování bipolárního tranzistoru se asto používá dvojbran popsaný admitanními parametry. Odvote transformaní rovnice, které platí mezi modelem popsaným y parametry a h parametry. Nakreslete náhradní obvodové schéma malosignálového admitanního modelu tranzistoru.

ešení:

Admitanní model, jehož obvodové schéma je na obr. 5.7, získáme ze smíšeného modelu rovnic bipolárního tranzistoru tak, že z 1. rovnice smíšeného modelu si vyjádíme proud i1 a ten dosadíme do 2. rovnice jeho modelu. Získáme tak soustavu rovnic

AC211

12AC1

1111

AC212AC1AC1

1u

h

hu

hh

uhui

−+=

−= ,

( ),AC2

11

12212211AC1

11

21

11

AC212212211AC121AC222

11

AC212AC121AC2 u

h

hhhhu

h

h

h

uhhhhuhuh

h

uhuhi

−+=

−+=+

−=

takže prvky admitanní matice jsou dány

1111

1

hy = ,

AC11

1212 h

hy −= ,

11

2121 h

hy = ,

11

1221221122 h

hhhhy

−= .

AC121uyu1AC

i1AC

AC212uy22y u2AC

i2AC

11y

Obr. 5.7 Náhradní schéma linearizovaného, admitanního modelu bipolárního tranzistoru pro stídavý signál, úloha k ešení 5.1

5.2. Tranzistor jako zesilovaI když tranzistor nazýváme aktivním polovodiovým prvkem, modelujeme ho neautonomním dvojbranem, což znamená, že jeho model obsahuje ízené zdroje, které ale nejsou nezávislé, takže jsou schopny dodat jen omezený výkon. Fakticky to znamená, že aby tranzistor jako souástka se choval jako aktivní prvek, musí být napájen z nezávislého stejnosmrného zdroje. Stejnosmrný zdroj pipojený k tranzistoru póluje tranzistor tak, aby byl zapojen v aktivním režimu, ve kterém vzniká tranzistorový jev a naopak tranzistor zmnou vodivosti zpsobenou stídavým zdrojem pipojeným k jeho propustn pólovanému pechodu distribuuje energii nezávislého stejnosmrného zdroje.

Nastavení pracovního bodu tranzistoru

Abychom tranzistor využili k zesilování signálu, musíme ho nastavit do stejnosmrného pracovního bodu, který umístíme do sít jeho výstupních charakteristik tak, aby se co nejmén projevilo zkreslení

190

zesilovaného signálu nelinearitou jeho charakteristik. V okolí pracovního bodu provedeme linearizaci jeho parametr a modelujeme ho stídavými h parametry. Pracovní bod nastavujeme rezistorem R, kterým omezujeme velikost proudu stejnosmrného zdroje, viz obr. 5.8.

R

2‘ 1‘

ui = UiDC + uiAC

1 Uo2

io = IoDC + ioAC

Obr. 5.8 Princip nastavení pracovního bodu bipolárního tranzistoru

Odpovídající hodnoty souadnic pracovního bodu v síti vstupních charakteristik, které musíme nastavit rezistory pipojenými k stejnosmrnému zdroji, získáme prmtem pracovního bodu P v síti výstupních charakteristik pes charakteristiku pevodní. Postup si ilustrujme na zapojení NPN tranzistoru se spoleným emitorem na obr 5.9.

RC

2‘ 1‘

1 Uo2

Io

RD

RF

I2 = ICID

IF

IB

IE

UD

UF

UC

U1 = UBE U2 = UCE

Obr. 5.9 Obvodové schéma k praktickému nastavení pracovního bodu bipolárního tranzistoru

Pracovní bod tranzistoru P, na obr. 5.10, daný souadnicemi UCEP , ICP ve výstupní charakteristice )( CEC UfI = nastavíme do požadované polohy volbou hodnoty rezistoru

CP

CEPoC I

UUR

−= .

Prmtem hodnoty proudu ICP do pevodní charakteristiky )( BC IfI = získáme hodnotu potebného bázového proudu IBP, pro kterou odeteme ze vstupní charakteristiky hodnotu odpovídajícího naptí UBEP. Souadnicím vstupní charakteristiky IBP, UBEP odpovídá poloha pracovního bodu ve vstupní charakteristice )( BBE IfU = .Tyto hodnoty musíme nastavit rezistory RD, RF. Pro proudové buzení, kdy lim ∞→FR , bude hodnota rezistoru

BP

BEPo

D

DD I

UU

I

UR

−== .

191

konst.B =I

UCE (V)

IC (A)

P

UCEP IB (A)

ICP

UBEP

IBP

UBE (V)

)( CEUfIC = konst.B =I)( BC IfI =

konst.CE =U

)( CEBE UfU =)( BBE IfU =

konst.CE =U

U2o

I2k

Obr. 5.10 Nastavení pracovního bodu bipolárního tranzistoru v síti statických charakteristik

Pro napové buzení hodnoty rezistor RD, RF nejde urit ze známých hodnot veliin IBP, UBEP a Uo

bez další podmínky, protože máme k dispozici jedinou rovnici BPFD III += pro dv neznámé

hodnoty rezistor RD, RF. Zvolíme-li hodnotu proudu FI k-násobkem proudu báze BPI , tedy BPF IkI =

bude proud ( ) BPD 1 IkI += a hodnoty rezistor dlie naptí uríme z rovnic

( ) BP

BEPoD 1 Ik

UUR

+

−= ,

BP

BEP

F

FF Ik

U

I

UR == ,

nebo platí BEPF UU = . Aby byl dli pizpsoben napov, volíme hodnotu konstanty k 5-10. Poznamenejme, že pro k = 0 získáme vztahy pro proudové buzení. Nevýhodou proudového buzení je ale, že s teplotou se mní odpor tranzistoru, a tím i bázový proud a pracovní bod tranzistoru, což se u napového buzení nedje.

Diferenní parametry bipolárního tranzistoru v zapojení SE

Ze stejnosmrných charakteristik v okolí pracovního bodu, získaných mením, mžeme urit diferenní parametry tranzistoru, tak že v defininích vztazích stídavých parametr tranzistoru nahradíme diferenciály veliin jejich diferencemi. Diference urujeme s ohledem na pohyb pracovního bodu v sítích (soustavách) charakteristik tranzistoru, ke kterému dochází pi jeho stídavém buzení. Pracovní bod P tranzistoru v síti výstupních charakteristik

konst.),( BCEC == IUfI se nachází na zatžovací pímce (charakteristice) zdroje 2Co2 IRUU −= ,

která je definována dvma body, a to naptím naprázdno oo2 UU = zdroje napájejícího tranzistor a

192

jeho proudem nakrátko C

o2k R

UI = . Konkrétní polohu pracovního bodu nejsnáze uríme graficky, jako

prseík zatžovací pímky a jedné výstupní charakteristiky ze soustavy výstupních charakteristik pro konkrétní hodnotu bázového proudu konst.B =I , která leží v okolí výstupní charakteristiky

pro hodnotu bázového proudu BPB II = , což je hodnota jedné ze souadnic stejnosmrného pracovního bodu v síti vstupních charakteristik. Polohy mnícího se pracovního bodu v systému ostatních hlavních charakteristik tranzistoru získáme jeho prmty, viz obr. 5.11. Poznamenejme, že diferenci výstupní charakteristiky ale neurujeme z konstrukce seny (teny) v okolí pracovního bodu, tak jak to iníme u ostatních tí charakteristik. Linearizujeme totiž pro sí charakteristik a ne jen jednu charakteristiku, tak jako na obr. 5.3. Linearizace provádíme v okolí pracovního bodu hlavních charakteristik.

UCE (V)

IC (A)

UCE1

IB (A)

IC2

UBE1

IB1

UBE (V)

)( CEUfI C =BPB II =

)( BC IfI =

CEPCE UU =

)( CEBE UfU =

BPB II =

)( BBE IfU =

CEPCE UU =

U2o

I2k

IC1

UCE2

UBE2

IB2

P P‘

P‘‘

Obr. 5.11 Pohyb pracovního bodu bipolárního tranzistoru v síti statických charakteristik

Diferenní parametry v okolí pracovního bodu stanovené ze známých hlavních charakteristik tranzistoru jsou definovány

B1B2

BE1BE2

B

BEe11 II

UU

I

Uh

−

−=

∆

∆= ,

CE1CE2

BE1BE2

CE

BEe12 UU

UU

U

Uh

−

−−=

∆

∆= ,

B1B2

C1C2

B

Ce21 II

II

I

Ih

−

−=

∆

∆= ,

CE1CE2

C1C2

CE

Ce22 UU

II

U

Ih

−

−=

∆

∆= .

193

Píklad 5.3.

Ze zadané pevodní charakteristiky na obr. 5.12 stanovte hodnotu stejnosmrného parametru h21E

a stídavého parametru h21e bipolárního tranzistoru pomocí odhadu polohy teny v pracovním bod pevodní charakteristiky. Ob vypotené hodnoty parametr porovnejte.

IB (µµµµA)

IC (mA)

P

20

100

Obr. 5.12 Pevodní charakteristika bipolárního tranzistoru, píklad 5.3

♦Dosazením souadnic hodnot pracovního bodu v pevodní charakteristice tranzistoru získáme hodnotu stejnosmrného proudového zesilovacího initele

2001080

016,06E21E21 =

⋅==

−hH .

Ze sklonu teny h21 v pracovním bod P a sklonu pímky statické charakteristiky proudového penosu (zesilovacího initele) H21 na obr. 5.13, vidíme, že hodnota stejnosmrného initele E21E21 hH = a

diferenciálního (stídavého) initele e21h definovaného smrnicí teny v okolí pracovního bodu jsou co do hodnoty smrnice blízké. Stanovení smrnice teny je pak z praktického hlediska snazší nahradit konstrukcí seny v okolí pracovního bodu P, ímž uríme na místo diferenciální hodnoty parametru

e21h jeho diferenní hodnotu, která je fakticky velmi blízká hodnot diferenciálního parametru e21h ,

takže není dvod znait oba parametry rzn. Diferenní hodnotu parametru e21h vypoteme ze zadané pevodní charakteristiky dosazením souadnic bod P1 a P2, které odteme z charakteristiky, viz obr. 5.13, po zavedení mítek os

94,1931075,5810100

1012102066

33

BP1BP2

CP1CP2

B

Ce21 =

⋅−⋅

⋅−⋅=

−

−=

∆

∆=

−−

−−

II

II

I

Ih .

Tato hodnota se liší jen o 3,03 % od hodnoty statického zesilovacího initele, takže v okolí pracovního bodu prakticky platí E21E21e21

~ Hhh == , která je bžn udávána v datovém listu bipolárního tranzistoru.

194

IB (µµµµA)

IC (mA)

P

20

100

P2

P1

H21

h21

Obr. 5.13 Pevodní charakteristika bipolárního tranzistoru, náhrada teny senou, píklad 5.3

Zesilova s bipolárním tranzistorem v zapojení SE

V okolí pracovního bodu mžeme využít tranzistor k zesilování malých stídavých signál. Aby však nedošlo k nežádoucímu zkreslení rozkmitu výstupního naptí tranzistoru nebo dokonce až k omezení jeho amplitudy, volíme polohu pracovního bodu uprosted zatžovací pímky, takže souadnice pracovního bodu výstupní charakteristiky jsou po dosazení tohoto naptí do výše uvedených vztahv kapitole 5.2

2o

2oCEP

UUU == a

C

o2kCP 2

1

2

1

R

UII == .

V síti hlavních charakteristik tranzistoru potom k tmto vypoteným hodnotám grafickou metodou odeteme odpovídající hodnoty souadnic pracovního bodu v síti vstupních charakteristik BEPBP , UI , podobn jako na obr. 5.10.

Abychom zamezili nežádoucímu ovlivování stejnosmrného pracovního bodu tranzistoru parametry vstupního stídavého zdroje nebo stejnosmrnými pomry navazujícího obvodu i tranzistorového stupn, pipojme na vstup a výstup tranzistoru vazební kapacitory Cv1 a Cv2. Pipomeme si jen, že stídavý signál je nasuperponován na stejnosmrné složce odpovídající pracovnímu bodu tranzistoru, z tohoto dvodu jsou veliiny v náhradním schématu na obr. 5.14 okamžité a oznaeny malými písmeny.

RC

2‘1‘

1 Uo2

io

RD

RF

iCiD

iF

iB

iE

uC

u1 u2

Cv1 Cv2

Obr. 5.14 Schéma zapojení tranzistorového zesilovae

195

Kapacitor, jak víme, se chová v pásmu stedních kmitot pi dostaten velké hodnot kapacity jako zkrat (má tém nulovou reaktanci) a pi nulovém kmitotu jako perušená vtev (má nekonenvelkou reaktanci). Po vyazení kapacitor a stejnosmrného zdroje, který se chová pro stídavý signál jako zkrat, mžeme obvod pekreslit a stídavý obvod jednoduše ešit jako ist odporový. Náhradní schéma stídavého obvodu je na obr. 5.15 a jeho malosignálový, dvojbranový model na obr.5.16.

RC

2‘ 1‘

1 2

RD

RF

iCAC

iBAC

iE

uCAC

u1AC u2AC

i1AC

Obr. 5.15 Náhradní schéma zapojení tranzistorového zesilovae pro stídavý signál

RC

2‘

2

RD RFu1AC

i1AC

AC2e12 uhe11h

BACe21 ihe22h

iCACiBAC

u2AC

i2AC

1‘

1

uBEAC uCEAC

E E

B C

Obr. 5.16 Malosignálový model stídavého zesilovae

Jelikož obvod je odporový, mžeme vztah pro napové zesílení zesilovae zapsat místo komplexních hodnot parametr a veliin reálnými hodnotami parametr a stídavými okamžitými hodnotami veliin

( ) se21e12e22e11e11

se21

BEAC

CEAC

AC1

AC2U Rhhhhh

Rh

u

u

u

uA

−+

−=== ,

podobn pro proudové zesílení zesilovae užitím vztahu pro dli proudu na vstupu zesilovae

se22

e21

FD

FD

BE

se22

e21

FD

FD

BEFD

FD

BAC

BEFD

FD

FD

FD

CAC

AC1

CACI 1

111 Rh

h

RR

RRR

Rh

h

RR

RR

RRR

RR

i

RRR

RRRR

RR

i

i

iA

+

+

+=+

+

++

=

++

+

== ,

kde BER je vstupní odpor tranzistoru definovaný

( )se22

se21e12e22e11e11

BAC

BEACBE 1 Rh

Rhhhhh

i

uR

+

−+== .

196

Vstupní odpor zesilovae je dán paralelním azením rezistor BEFD ,, RRR rovnicí

BEFD

BEFBEDFD1 RRR

RRRRRRR

++=

a výstupní odpor

( )e21e12e22e11ie22

e11i

CAC

CEAC

CAC

AC22 hhhhRh

hR

i

u

i

uR

−+

+=== ,

kde Cs RR = a pro buzení ideálním zdrojem naptí Ω= 0iR a buzení reálným zdrojem naptí

s vnitním odporem gR má hodnotu FDg

DFFgDgi RRR

RRRRRRR

++= .

V praxi vtšinou mžeme zanedbat parametry e12h , e22h , takže výše uvedené vztahy mžeme zapsat

Ce11

e21U R

h

hA −= ,

Ce22

e21

FD

FD

BEI 1

1Rh

h

RR

RRR

A+

+

+= ,

e11BE hR = , ∞→2R .

Píklad 5.4.

Urete hodnotu vstupního odporu, napového zesílení (penosu) a kmitoty, na kterých dojde k lomu amplitudové kmitotové charakteristiky tranzistorového zesilovae zatíženého rezistorem Rz nakresleného na obr. 5.17. V náhradním modelu tranzistoru neuvažujte hodnoty parametrmodelu tranzistoru e12h , e22h a nakreslete jeho zjednodušený malosignálový model.

RC

2‘ 1‘

1 Uo2

RD

Cv1 Cv2

RzRF

Obr. 5.17 Schéma zapojení zatíženého tranzistorového zesilovae, píklad 5.4

♦

Malosignálový model zatíženého tranzistorového zesilovae pro stídavý signál je nakreslený na obr. 5.18.

197

RC

E E

B C

RD RFu1AC

i1AC

e11h ACBe21 ih

iCACiB AC

u2AC

i2AC

Rz

2‘ 1‘

1 2

Obr. 5.18 Malosignálový model zatíženého tranzistorového zesilovae, píklad 5.4

Vstupní odpor 1R i napové zesílení uríme ze zjednodušeného náhradního modelu tranzistoru,

ze kterého je zejmé, že po zanedbání parametru e12h ztrácí výstupní obvod vliv na vstupní obvod,

takže pro vstupní odpor samotného tranzistoru platí e11BE hR = a vstupní odpor zesilovae je dán

výslednou hodnotou paralelního azení rezistor e11FD ,, hRR

e11FD

e11Fe11DFD1 hRR

hRhRRRR

++=

a hodnota napového penosu

se11

e21U R

h

hA −= ,

kde

zC

zCs RR

RRR

+= .

Lomové úhlové kmitoty amplitudové kmitotové charakteristiky na obr. 5.19, jsou ureny derivaními lánky. První lánek, na vstupu zesilovae, je tvoen vazebním kapacitorem Cv1 a vstupním odporem tranzistoru R1 a druhý, na jeho výstupu vazebním kapacitorem Cv2 a zatžovacím odporem tranzistoru Rz. Jejich úhlové kmitoty jsou

1v11

1

CR=ω a

2vz2

1

CR=ω .

0

AU

dB (

dB

)

10

20

ωωωω (rad⋅⋅⋅⋅s-1) ωωωω 1 ωωωω 2

Obr. 5.19 Logaritmická amplitudová charakteristika tranzistorového zesilovae, píklad 5.4

Úinnost s bipolárním tranzistorem v zapojení SE

Uvažujme zapojení bipolárního tranzistoru s nastaveným stejnosmrným pracovním bodem v polovinzatžovací pímky zdroje. Pi stídavém buzení vstupu tranzistoru zdrojem naptí ( )tUu ωsinm1 = ,

198

jelikož se chová jako odporový dvojbran, budou se harmonicky mnit i ostatní naptí. Pro výstupní naptí tranzistoru, které je rovno naptí uCE platí

( ) ( )( )tU

tUU

uUuu ωω sin12

sin22

oooCEACCEDCCE2 +=+=+==

a pro naptí na kolektorovém rezistoru RC

( )( ) ( )( )tU

tU

Uu ωω sin12

sin12

oooC −=+−=

a jeho proud z Ohmova zákona

( )( )tR

U

R

ui ωsin1

2 C

o

C

CC −== ,

kde

C

oCDC 2R

UI = a ( )t

R

Ui ωsin

2 C

oCAC = .

Okamžitý výkon stejnosmrného napájecího zdroje dodaný do vtve s kolektorovým rezistorem je definován

( )( ) ( )( )tR

Ut

R

UUiUp ωω sin1

2sin1

2 C

2o

C

ooCoo −=−==

a okamžitý stídavý výkon kolektorového rezistoru je

( )( )( ) ( )( )

( )( ).2cos18

2cos12

1

4sin

4

sin2

C

2o

C

2o2

C

2o

C

2o

C

2CAC

C

CACCACCACCACCAC

tR

U

tR

Ut

R

U

R

tU

R

u

R

uuiup

ω

ωωω

−=

=−==

====

Pro inný výkon zdroje platí

( )( ) ( )( )[ ] ( ) ( )[ ]

( )[ ]1cos2

1

0cos0cos2

1cos

2

1dsin1

2

1d

1

C

2o

C

2o

0C

2o

0 C

2o

0oo

−+=

=⋅−−+=−−=−==

TTR

U

T

TTR

U

Ttt

R

U

Ttt

R

U

Ttp

TP T

TT

ω

ωωωω

a po úprav a dosazení za T

πω

2=

C

2o

C

2o

o 2,1

2cos

2

1

R

UT

TT

R

U

TP =

−

+=

π.

Pro inný výkon stídavého signálu kolektorového rezistoru platí

( )( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]

( )[ ]TTR

U

T

TTR

U

Ttt

R

U

Ttt

R

U

Ttp

TP T

TT

ω

ωωωω

2sin8

1

02sin02sin8

12sin

8

1d2cos1

8

1d

1

C

2o

C

2o

0C

2o

0 C

2o

0CCAC

−=

=⋅−−−=−=−==

a po úprav

199

C

2o

C

2o

CAC 8

22sin

8

1

R

UT

TT

R

U

TP =

−=

π.

Pro maximální hodnotu úinnosti stídavého tranzistorového zesilovae v pracovním bod nastaveném do poloviny zatžovací pímky zdroje platí

4

1

2

8

C

2o

C

2o

o

CAC ===

R

U

R

U

P

Pη .

Shrnutí pojm 5.2.

Nastavení stejnosmrného pracovního bodu výstupu tranzistoru provádíme pomocí zatžovací pímky zdroje zakreslené v síti výstupních charakteristik tranzistoru, která je geometrickým místem možných poloh pracovních bod tranzistoru, a která je urena parametry stejnosmrného napájecího zdroje a kolektorového odporu tranzistoru. Aby byl rozkmit stídavého výstupního naptí nezkreslený, volíme polohu pracovního bodu uprosted zatžovací pímky. Nastavení odpovídajícího stejnosmrného pracovního bodu na vstupu tranzistoru provádíme pi proudovém buzení jediným rezistorem a pi napovém buzení dliem naptí. Z namených charakteristik tranzistoru v praxi graficky urujeme namísto diferenciálních parametr diferenní parametry tranzistoru. Ty potom definují stídavé parametry tranzistoru. Vlivem nasuperponovaného stídavého signálu na stejnosmrné složky veliin tranzistoru dochází ke zmn polohy pracovního bodu tranzistoru. Naopak kvli zamezení nežádoucího posunu nastaveného stejnosmrného pracovního bodu tranzistorového zesilovae malého signálu pipojujeme vstup a výstup zesilovae vazební kapacitory. Zjednodušený náhradní obvodový model zesilovae malého stídavého signálu v pásmu stedních kmitot získáme náhradou kapacitora stejnosmrného zdroje naptí v místech jejich pvodního umístní prostým propojením jejich svorek, tj. jejich zkratováním. Z takto získaného, již jen odporového náhradního zapojení obvodu snadno, analýzou zapojení uríme stídavé penosy zesilovae a jeho vstupní a výstupní odpory. Šíku pásma definují tranzistorového zesilovae definují vazební kapacity tranzistoru. Úinnost stídavého tranzistorového zesilovae v pracovním bod nastaveném do poloviny zatžovací pímky zdroje je maximáln 25 %. Tento typ zesilovae tedy není vhodné napájet z baterie.

Otázky 5.2.

1. Kde se nachází v síti výstupních charakteristik tranzistoru pracovní bod?

2. ím je definovaná zatžovací pímka zdroje napájejícího tranzistor?

3. Jak volíme polohu pracovního bodu tranzistoru, aby zesílený signál nebyl zkreslený?

4. Jak urujeme diferenní parametry dvojbranu?

5. Jak nastavíme pracovní bod tranzistoru na jeho vstupu?

6. Co je to proudové a napové buzení tranzistoru?

7. Uvete pípad nežádoucí zmny pracovního bodu tranzistoru?

8. K emu slouží vazební kapacitory?

9. Jak zjednodušujeme náhradní obvodové schéma zesilovae malého stídavého signálu?

200

10. Pro se bipolární tranzistorový zesilova s nastaveným pracovním bodem do poloviny zatžovací pímky zdroje nehodí ke konstrukci bateriov napájených zaízení?

Úloha k ešení 5.2.

Sestrojte zatžovací charakteristiku zdroje pro pracovní bod definovaný souadnicemi výstupní charakteristiky mA 3 V, 5,4 CPCEP == IU pro zesilovae tídy A, urete hodnoty naptí stejnosmrného zdroje a zatžovacího odporu.

ešení:

Zatžovací charakteristika zdroje je dána naptím naprázdno a proudem nakrátko. Pro zesilova tídy A nastavujeme pracovní bod doprosted zatžovací charakteristiky, což znamená, že naptí naprázdno

o2U je dvojnásobkem naptí pracovního bodu, tj. V 9o2 =U , rovnž proud nakrátko je

dvojnásobkem proudu pracovního bodu, tj. mA 62k =I . Z tchto hodnot sestrojíme zatžovací charakteristiku zdroje na obr. 5.20 a vypoteme potebnou hodnotu kolektorového rezistoru

Ω=⋅

==−

k 5,1106

93

K

0C I

UR .

UCE (V)

IC (A)

U2o

I2k

ICP

UCEP

P

Obr. 5.20 Zatžovací charakteristika zdroje, úloha k ešení 5.2

201

6. Zptná vazba

Motivace Po prostudování této kapitoly budete umt

• definovat základní zapojení obvod se zptnou vazbou • modelovat ideální operaní zesilova a definovat jeho vlastnosti • realizovat a popsat základní zapojení s operaním zesilovaem • definovat vliv zptné vazby na vlastnosti obvodu

|6.1. Základní zapojení obvod se zptnou vazbou Se zptnou vazbou se nejastji setkáváme v elektronických obvodech nap. zesilovaích, jejímž úkolem je zlepšení jeho parametr. Chování obvodu se zptnou vazbou co do jeho funkce nejsnáze popíšeme tak, že ho rozleníme na dv ásti, dv penosové cesty – pímou a zptnovazební. Každou z nich nahradíme dvojbranem charakterizovaným jediným parametrem – penosem dvojbranu (zbylé ti parametry považujeme za nulové, a proto ob cesty považujeme za unilaterální, kdy ízený zdroj na výstupní stran dvojbranu je funkcí ídícího naptí na vstupní stran dvojbranu; poznamenejme že, obecn je unilaterální dvojbran charakterizován temi parametry, chybí pouze parametr, který zohleduje penos z výstupní strany dvojbranu na stranu vstupní, viz kapitola 3.5, aktivní dvojbrany). Pímá cesta, modelovaná aktivním dvojbranem s jedním ízeným zdrojem, zajišuje penos energie nebo signálu ze vstupní strany na výstup obvodu. Zptnovazební cesta (sí, lánek), modelovaná zpravidla pasivním dvojbranem realizuje penos ásti energie i signálu z výstupní strany zpt na vstup obvodu. Od obou dvojbran (cest) požadujeme, aby byly unilaterální. Unilaterita, tj. jednocestný penos energie je zpravidla splnn práv u elektronických obvod s tranzistory, modelovaných dvojbrany s ízenými zdroji, které dobe zaruují podmínku unilaterity pímé cesty. Zptnovazební cesta, tvoená obvykle pasivními obvodovými prvky je bilaterální. Umožuje tedy obousmrný penos energie, protože jak víme, pasivní dvojbran je reciproký. Podmínka unilaterity tu není obecn splnna, a proto od zptnovazební cesty alespo požadujeme, aby její penos ze vstupu na výstup obvodu byl zanedbateln malý. Vstupní veliina i veliiny obvodu jsou po zavedení zptné vazby ovlivnny výstupní veliinou i veliinami obvodu, což umožuje cílen mnit jeho vlastnosti. Zapojení obvoddlíme podle toho, zda je zptnovazební veliinou naptí nebo proud. Vlastnosti obvod se zptnou vazbou tedy závisí, zda veliinou pivádnou na vstup obvodu je naptí nebo proud a od které výstupní veliiny je zptná vazba odvozena. Existují tak tyi zpsoby propojení pímé a zptnovazební cesty.

Zptná vazba paralelní proudová

U tohoto typu vazby je zptnovazební veliinou proud zI , odvozený z výstupu obvodu, který

zavádíme paraleln s budícím proudem zdroje iI , viz obr. 6.1. Pro vstupní ást obvodu platí podle 1. Kirchhoffova zákona

z1iˆˆˆ III += ,

takže pro vstupní proud pímé cesty 1I a její penos aP platí

zIII ˆˆˆi1 −= a

1

2a ˆ

ˆˆ

I

IP

−= .

Po dosazení tohoto proudu do upraveného penosu pímé cesty a dosazení upraveného penosu

zptnovazební cesty 2

zz ˆ

ˆˆ

I

IP

−= získáme vztah pro výstupní proud

202

( ) 2zaiazia1a2ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ IPPIPIIPIPI +=−==− ,

ze kterého po úprav obdržíme vztah pro výsledný penos obvodu se zptnou vazbou

za

a

i

2i ˆˆ1

ˆ

ˆ

ˆˆ

PP

P

I

IP

+=

−= .

1

2a ˆ

ˆˆ

I

IP

−=

iI

iU

2I

2

zz ˆ

ˆˆ

I

IP

−=

sZ

1I

zI

Obr. 6.1 Blokové schéma zptné vazby paralelní proudové

Zptná vazba paralelní napová

U tohoto typu vazby je zptnovazební veliinou naptí zU , odvozené z výstupu obvodu, které je

transformováno na proud, takže zptná vazba je pipojena paraleln s budícím proudem zdroje iI , viz obr. 6.2. Pro vstupní ást obvodu platí podle 1. Kirchhoffova zákona

z1iˆˆˆ III += ,

takže pro vstupní proud pímé cesty 1I a její penos aP platí

zi1ˆˆˆ III −= a

1

2a ˆ

ˆˆ

I

UP = .

Po dosazení tohoto proudu do upraveného penosu pímé cesty a dosazení upraveného penosu

zptnovazební cesty 2

zz ˆ

ˆˆ

U

IP = získáme vztah pro výstupní naptí

( ) 2zaiazia1a2ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ UPPIPIIPIPU −=−== ,

ze kterého po úprav obdržíme vztah pro výsledný penos obvodu se zptnou vazbou

za

a

i

2i ˆˆ1

ˆ

ˆ

ˆˆ

PP

P

I

UP

+== .

203

1

2a ˆ

ˆˆ

I

UP =

iI

2U

2

zz ˆ

ˆˆ

U

IP =

sZ

1I

zI

Obr. 6.2 Blokové schéma zptné vazby paralelní napové

Zptná vazba sériová proudová

U tohoto typu vazby je zptnovazební veliinou proud zI , odvozený z výstupu obvodu, který je

transformován na naptí, takže zptná vazba je zaazena sériov s budícím naptím zdroje iU , viz obr. 6.3. Pro vstupní ást obvodu platí podle 2. Kirchhoffova zákona

z1iˆˆˆ UUU += ,

takže pro vstupní naptí pímé cesty 1U a její penos aP platí

zi1ˆˆˆ UUU −= a

1

2a ˆ

ˆˆ

U

IP

−= .

Po dosazení tohoto naptí do upraveného penosu pímé cesty a dosazení upraveného penosu

zptnovazební cesty 2

zz ˆ

ˆˆ

I

UP

−= získáme vztah pro výstupní naptí

( ) 2zaiazia1a2ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ UPPUPUUPUPI +=−==− ,

ze kterého po úprav obdržíme vztah pro výsledný penos obvodu se zptnou vazbou

za

a

i

2i ˆˆ1

ˆ

ˆ

ˆˆ

PP

P

U

IP

+=

−= .

Zptná vazba sériová napová

U tohoto typu vazby je zptnovazební veliinou naptí zU , odvozené z výstupu obvodu, které

zavádíme sériov s budícím naptím zdroje iU , viz obr. 6.4. Pro vstupní ást obvodu platí podle 2. Kirchhoffova zákona

z1iˆˆˆ UUU += ,

takže pro vstupní naptí pímé cesty 1U a její penos aP platí

204

1

2a ˆ

ˆˆ

U

IP

−=

1U

zU

iU

2I−

2

zz ˆ

ˆˆ

I

UP

−=

sZ

Obr. 6.3 Blokové schéma zptné vazby sériové proudové

zi1ˆˆˆ UUU −= a

1

2a ˆ

ˆˆ

U

UP = .

Po dosazení tohoto naptí do upraveného penosu pímé cesty a dosazení upraveného penosu

zptnovazební cesty 2

zz ˆ

ˆˆ

U

UP = získáme vztah pro výstupní naptí

( ) 2zaiazia1a2ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ UPPUPUUPUPU −=−== ,

ze kterého po úprav obdržíme vztah pro výsledný penos obvodu se zptnou vazbou

za

a

i

2i ˆˆ1

ˆ

ˆ

ˆˆ

PP

P

U

UP

+== .

1

2a ˆ

ˆˆ

U

UP =

1I

1U

zU

iU

2I

2U

2

zz ˆ

ˆˆ

U

UP =

sZ

Obr. 6.4 Blokové schéma zptné vazby sériové napové

205

Píklad 6.1.

V náhradním obvodu se zdrojem naptí ízeným naptím, zakresleným na obr. 6.5, urete typ

zptné vazby, penos pímé a zptnovazební cesty, platí-li pro ízený zdroj 121rˆˆˆ UKU = .

rU2Z

1Z

1U

iU

2U

Obr. 6.5 Zptnovazební obvod s ideálním zdrojem naptí ízeným naptím, píklad 6.1

♦

Jak plyne z obr. 6.5, naptí zptné vazby zU je dáno úbytkem naptí na impedanci 1Z , které je

odvozeno z výstupního naptí a azeno sériov s budícím naptím zdroje oU , takže zptná vazba je

sériová, napová, viz obr. 6.4. Penos zptné vazby zP uríme z dlie naptí, když vzhledem

k topologii obvodu platí rUU ˆˆ2 = a tedy

2

21

1z

ˆˆˆ

ˆˆ U

ZZ

ZU

+= ,

takže pro nj platí

21

1

2

zz ˆˆ

ˆ

ˆ

ˆˆ

ZZ

Z

U

UP

+== .

Penos pímé cesty, která je unilaterální, je dán definicí naptí ízeného zdroje

212

1

r

1a ˆ

1ˆ

ˆ

ˆ

ˆˆ

KU

U

U

UP === .

Výsledný penos mezi výstupním naptím a budícím naptím dostaneme dosazením do defininího vztahu obvodu se zptnou vazbou

21

1

21

21

za

a

i

2i

ˆˆ

ˆ

ˆ1

1

ˆ1

ˆˆ1

ˆ

ˆ

ˆˆ

ZZ

Z

K

K

PP

P

U

UP

++

=+

== .

Bude-li penos pímé cesty neomezen velký, bude výsledný penos daný pouze penosem zptné cesty, tedy

1

2

21

1zz

a

a

a

ˆza

a

ˆi ˆ

ˆ1

ˆˆ

ˆ1

ˆ1

ˆˆ1

1ˆ

ˆlim

ˆˆ1

ˆlimˆ

aa Z

Z

ZZ

ZPPP

P

P

PP

PP

PP+=

+

==+

=+

=∞→∞→

,

206

což je identický vztah odvozený pímou aplikací Kirchhoffových zákon v následující kapitole 6.2.

1U

zU

2U

1Z2Z

rU

iU

Obr. 6.6 Zptnovazební obvod z píkladu 6.1 umístný do blokového schématu zptné vazby sériové, napové, píklad 6.1

Shrnutí pojm 6.1.

Obvod se zptnou vazbou charakterizujeme pímou a zptnovazební penosovou cestou. Pímá cesta modeluje penos energie nebo signálu ze vstupu na výstup obvodu. Zptnovazební cesta modeluje penos ásti energie i signálu z výstupu na vstup obvodu. Ob penosové cesty považujeme za unilaterální, tedy penos energie je realizován jen jedním smrem. Úkolem zptné vazby je zmna vlastností obvodu. Typ zptné vazby obvodu je odvozován od výstupní veliiny obvodu a zpsobu azení zptnovazební veliiny na vstupu obvodu. Vazba je napová nebo proudová a sériová nebo paralelní. Sériová adí na vstupu obvodu zptnovazební veliinu - naptí do série s budícím naptím zdroje a paralelní adí na vstupu obvodu zptnovazební veliinu - proud paraleln s budícím proudem zdroje.

Otázky 6.1.

1. Co je to pímá penosová cesta?

2. Co je to zptnovazební penosová cesta?

3. Jak zajistíme, aby pasivní zptnovazební cesta byla unilatereální?

4. Z jakého zdroje budíme vstup obvodu pi sériové napové vazb?

5. Z jakého zdroje budíme vstup obvodu pi paralelní proudové vazb?

6. Které typy zptné vazby rozlišujeme podle druhu výstupní veliiny?

7. Které typy zptné vazby rozlišujeme podle zpsobu azení zptnovazební veliiny na vstupu obvodu, má-li zptnou vazbu?

8. Jaký tvar má výsledný penos obvodu bez ohledu na typ zptné vazby?

207

Úloha k ešení 6.1.

Do náhradního obvodu z píkladu 6.1 zakreslete vstupní impedanci a výstupní impedanci zdroje naptí ízeného naptím. Zmní se tím penos pímé cesty?

ešení:

Doplnním vstupní a výstupní impedanci zdroje vznikne obvod na obr. 6.7, kde penos pímé cesty,

rU 2Z

1Z

1U

iU

2U11Z

22Z

22U

Obr. 6.7 Zptnovazební obvod se skuteným zdrojem naptí ízeným naptím s konenou hodnotou vstupní impedance, úloha k ešení 6.1

definovaný 2

1a ˆ

ˆˆ

U

UP = se zmní, protože se zmní pomry naptí na vstupní i výstupní stran zdroje

naptí ízeného naptím. Na vstupní stran vznikl dli naptí tvoený impedancemi 11Z a 1Z , který ovlivuje penosy na vstupní i výstupní stran obvodu. Podobn výstupní naptí ízeného zdroje

ovlivuje úbytek na impedanci 22Z . Pes zdánlivou jednoduchost obvodu je výpoet penos pímé, ale i zptnovazební cesty na základ teorie zptné vazby složitý. Navíc v tomto pípad není zptnovazební sí pln unilaterální, protože dochází k penosu signálu ze vstupního do výstupního obvodu, takže nakonec je jednodušší ešit tento obvod sestavením obvodových rovnic.

|6.2. Operaní zesilovaOperaní zesilova je dnes v analogové elektronice nejrozšíenjším funkním blokem. Jeho diferenní uspoádání je nakresleno na obr. 6.8. Z dvojbranového pohledu je to zdroj naptí ízený naptím, viz kapitola 3.5. Je-li ideální, jsou proudy do ídících vstup nulové, což znamená, že diferenní odpor mezi neinvertujícím vstupem (+) a invertujícím vstupem (-) je nekonen velký, naproti tomu, jak plyne z náhradního schématu, jeho výstupní odpor je nulový. Další vlastností ideálního operaního zesilovae je nekonen velká hodnota napového zesílení 21K .

Výstupní naptí je nejastji vztaženo vi referennímu uzlu. Je-li výstupní i vstupní naptí vztaženo vi zemi, jedná se o trojpól a tedy dvojbran s krajní pínou nesoumrností. Na tomto místpoznamenejme, že i když je pro popis veliin operaního zesilovae následn zvolen symbolický poet, který pracuje s komplexními ísly, která, jak víme, zastupují v komplexní rovin asové prbhy harmonických naptí a proud v podob fázor, viz kapitola 1.2, platí níže uvedené vztahy i pro veliiny stejnosmrné a okamžité hodnoty. Budou-li parametry operaní sít kmitotov nezávislé, tj. bude-li sí složena ist z rezistor, získáme tedy píslušné vztahy pouhou formální zmnou jejich zápisu.

208

rU1dˆˆ UU =+U

2U

(+)

(–) −U

Obr. 6.8 Obvodový model a schematická znaka ideálního operaního zesilovae

Pro naptí mezi vstupy ideálního operaního zesilovae 1U , které také nazýváme diferenní

(rozdílové) naptí dU , platí z penosu ízeného zdroje naptí

V0ˆ

ˆlimˆˆ

21

2

ˆ1d21

===∞→ K

UUU

K,

což znamená, že pro rozdíl naptí neinvertujícího a invertujícího vstupu zesilovae platí podle 2. Kirchhoffova zákona

0ˆˆˆˆ1d =−== −+ UUUU

a tedy i

−+ = UU ˆˆ .

Naptí na invertujícím vstupu a neinvertujícím vstupu ideálního operaního zesilovae jsou stále stejná, a proto hovoíme o tzv. virtuálním zkratu (propojení). Virtuální proto, že diferenní naptí je sice nulové, ale nevtéká žádný proud do vstup zesilovae, což s výhodou využíváme pi analýze obvod s operaními zesilovai v lineárním režimu, kdy existuje úmra mezi vstupním a výstupním naptím zesilovae.

Invertující zesilova s ideálním operaním zesilovaem

Invertující zesilova získáme doplnním ideálního operaního zesilovae o paralelní napovou

zptnou vazbu zaazením impedance 2Z mezi výstup a invertující vstup zesilovae a zapojením

impedance 1Z do uzlu s invertujícím vstupem zesilovae podle obr. 6.9.

dU

2U

1Z

iU

2Z1I

2I

−I

+I

2ZU

1ZU

–

+

Obr. 6.9 Zapojení invertujícího operaního zesilovae

209

Napový penos zesilovae uríme pímou aplikací Kirchhoffových zákon. Z 1. Kirchhoffova zákona pro uzel na vstupu zesilovae platí pro kladný referenní proud orientovaný z uzlu

0ˆˆˆ21 =+−− −III .

Ideální zesilova má nekonen velký diferenní (vstupní) odpor, takže proud −I je nulový a platí

21ˆˆ II −= .

Pro smyku na vstupu zesilovae podle 2. Kirchhoffova zákona platí pro kladný obh smyky zvolený ve smru hodinových ruiek

0ˆˆˆidZ1

=−− UUU

a zptnovazební smyku

0ˆˆˆ2Zd2 =−+ UUU .

Ideální zesilova má diferenní naptí dU nulové (virtuální zkrat), takže pro ob smyky platí po aplikaci zobecnného Ohmova zákona

11Ziˆˆˆˆ

1IZUU ==

a

22Z2ˆˆˆˆ

2IZUU == .

Po vyjádení proud z tchto rovnic a dosazení do 1. Kirchhoffova zákona získáme rovnici

2

2

1

i

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

Z

U

Z

U−= .

Napový penos, který udává zesílení obvodu, obdržíme úpravou této rovnice

1

2

i

2U ˆ

ˆ

ˆ

ˆˆ

Z

Z

U

UP −== .

Z definice napového penosu plyne, že invertující zapojení zesilovae, pokud je zptná vazba kmitotov nezávislá, obrací fázi budícího naptí iU . Zptná vazba je záporná, protože výstupní naptí je pivedeno na invertující vstup operaního zesilovae.

Vstupní impedanci invertujícího zapojení uríme ze zobecnného Ohmova zákona

1

1

11

1

Z

1

ivst

ˆˆ

ˆˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆˆ 1 Z

I

IZ

I

U

I

UZ ==== ,

ze kterého vidíme, že její hodnota není již neomezen velká, tak jako v pípad diferenního (vstupního) odporu ideálního zesilovae. Výstupní impedance je nulová.

Píklad 6.2.

Odvote napový penos invertujícího zesilovae s ideálním operaním zesilovaem užitím vztahu pro celkový penos obvodu se zptnou vazbou.

♦

210

Pro paralelní napovou zptnou vazbu zavedenou pes impedanci 2Z z výstupu na invertující vstup operaního zesilovae a její penos platí

2

1z ˆ

ˆˆ

U

IP = .

Z 1. Kirchhoffova zákona pro uzel na vstupu zesilovae na obr. 6.9 platí

21ˆˆ II −=

a penos zptovazební cesty je

22

2

2

1z ˆ

1ˆ

ˆ

ˆ

ˆˆ

ZU

I

U

IP −=

−== .

Ideální operaní zesilova má nekonen velké zesílení, takže penos pímé cesty aP je neomezený a celkový penos je dán penosem zptnovazební cesty

2

zz

a

a

a

ˆza

a

ˆiˆ

ˆ1

ˆˆ1

1ˆ

ˆlim

ˆˆ1

ˆlimˆ

aa

ZPP

PP

P

PP

PP

PP−==

+=

+=

∞→∞→.

Bezrozmrný napový penos pak získáme dosazením za proud 1I do zobecnného Ohmova zákona a úpravou celkového penosu

2

1

i

2

1

2i

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ1ˆ Z

Z

U

U

I

U

PP

z

−====

do tvaru

1

2

i

2

1

iU ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆˆ

Z

Z

U

U

Z

PP −=== .

Neinvertující zesilova s ideálním operaním zesilovaem

Neinvertující zesilova získáme doplnním ideálního operaního zesilovae o sériovou napovou

zptnou vazbu zaazením impedance 2Z mezi výstup a neinvertující vstup zesilovae, která

s impedancí 1Z tvoí dli naptí, viz obr. 6.10.

Napový penos zesilovae uríme pímou aplikací Kirchhoffových zákon. Z 1. Kirchhoffova zákona pro uzel na vstupu zesilovae platí pro kladný referenní proud orientovaný z uzlu

0ˆˆˆ21 =+−− −III .

Ideální zesilova má nekonen velký diferenní (vstupní) odpor, takže proud −I je nulový a platí tedy

21ˆˆ II −= .

Pro smyku na vstupu zesilovae podle 2. Kirchhoffova zákona platí pro kladný obh smyky zvolený ve smru hodinových ruiek

0ˆˆˆidZ1

=+− UUU

211

dU

2U

–

+

1Z

iU

2Z1I

2I

−I

+I

2ZU

1ZU

Obr. 6.10 Zapojení neinvertujícího operaního zesilovae

a zptnovazební smyku

0ˆˆˆ21 ZZ2 =−+ UUU .

Ideální zesilova má diferenní naptí dU nulové (virtuální zkrat), což zjednoduší zápis rovnice první smyky. Aplikací zobecnného Ohmova zákona a 1. Kirchhoffova zákona na ob smyky dostaneme

2111Ziˆˆˆˆˆˆ

1IZIZUU =−=−=

a

( ) 22122212211ZZ2ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ

21IZZIZIZIZIZUUU +=+=+−=+−= .

Dosazením tchto naptí do vztahu pro napový penos obdržíme rovnici

( )1

2

1

21

21

221

i

2U ˆ

ˆ1

ˆ

ˆˆ

ˆˆ

ˆˆˆ

ˆ

ˆˆ

Z

Z

Z

ZZ

IZ

IZZ

U

UP +=

+=

+== .

Z definice napového penosu plyne, že neinvertující zapojení zesilovae, pokud je zptná vazba

kmitotov nezávislá, zachovává fázi budícího naptí iU . Zptná vazba je záporná, protože výstupní naptí je pivedeno na neinvertující vstup operaního zesilovae.

Vstupní impedance neinvertujícího zapojení je stejná jako diferenní (vstupní) odpor ideálního zesilovae, ili nekonen velká a výstupní impedance je nulová.

Jak již bylo úvodem zmínno, ideální operaní zesilova je elektronický prvek modelovaný zdrojem naptí ízeným naptím, tedy aktivním dvojbranem se závislým zdrojem. Jeho technická realizace, reálný operaní zesilova je neautonomní dvojbran, který vyžaduje ke své innosti externí napájení ze soumrného stejnosmrného zdroje naptí o velikosti naptí NU± . Z tohoto dvodu je v dalším textu u schematické znaky operaního zesilovae kresleno i napájecí naptí, které se objeví na jeho výstupu, a to v polarit dle jeho zapojení, jestliže absolutní hodnota souinu zesílení a vstupního

naptí vyhoví podmínce N121ˆˆ UUK ±≥ . Poznamenejme, že podmínka je splnna jen za

pedpokladu, že zanedbáme úbytky naptí na prvcích obvodu, pomocí kterých v technické praxi realizujeme operaní zesilova. Zesilova je potom v saturaci a pestává pracovat jako lineární prvek. Kladné saturaci odpovídá Nsat22 UUu +=+= a záporné Nsat22 UUu −=−= .

212

Komparátor

Komparátor, je ideální operaní zesilova s nezapojenou zptnou vazbou, viz obr. 6.11, který pracuje v nelineárním režimu, protože jeho diferenní naptí je nenulové s výjimkou rovnosti naptí −+ = uu , kdy má práv nulovou hodnotu a kdy na jeho výstupu dochází k okamžité zmn polarity výstupního

naptí. íkáme také, že ideální operaní zesilova má nekonen velkou dobu pebhu tj. t

u

d

d 2 a

nekonen velkou šíku pásma, tudíž výstupní naptí je pravoúhlé. Kladnou hodnotu má, platí-li na vstupu zesilovae pro naptí podmínka −+ > uu a zápornou hodnotu pi podmínce −+ < uu . Velikost výstupního naptí ideálního operaního zesilovae s nezapojenou zptnou vazbou je vzhledem k jeho nekonen velkému zesílení neomezená, ale u reálného operaního zesilovae je limitována velikostí napájecího naptí. Mluvíme o saturaci výstupního naptí, zmínné na konci pedcházejícího odstavce této kapitoly. Zavedením kladné zptné vazby tvoené dliem naptí 1R , 2R mžeme zlepšit

vlastnosti komparátoru. Pro naptí neinvertujícího vstupu +u ideálního operaního zesilovae, kam je zavedena zptná vazba, platí podle 2. Kirchhoffova zákona

1Ri uUu +=+ ,

kde iU je referenní naptí a pro naptí na rezistoru 1R platí z dlie naptí

( )i221

1R1

UuRR

Ru −

+= .

Po dosazení a úprav získáme vztah

( ) i21

22

21

1i

21

12

21

1i2

21

1i 1 U

RR

Ru

RR

RU

RR

Ru

RR

RUu

RR

RUu

++

+=

+−+

+=−

++=+ .

Pi dané hodnot referenního naptí iU a mnícím se naptí −u se pi dosažení komparaní

podmínky −+ = uu mní polarita naptí, takže pi kladné saturaci výstupního naptí má hodnotu

i21

2sat2

21

1 URR

RU

RR

Ru

++

+=+ a záporné saturaci hodnotu i

21

2sat2

21

1 URR

RU

RR

Ru

++

+−=+ .

Vlivem kladné zptné vazby vykazuje výstupní naptí hysterezi s absolutní hodnotou danou vztahem

221

12 uRR

R

+⋅ , tedy pi symetrickém napájení N

21

12 URR

R

+⋅ , takže pi dostatené šíce hystereze,

komparaní podmínka není citlivá na šumy naptí −u . U kladné polarity výstupního naptí totiž

nedojde k peklopení polarity výstupního naptí pi hodnot naptí i21

2 URR

Ru

+=− , ale až

pi dosažení hodnoty naptí i21

2sat2

21

1 URR

RU

RR

Ru

++

+=− . Podobn u záporné polarity výstupního

naptí nedojde k peklopení polarity výstupního naptí pi hodnot naptí i21

2 URR

Ru

+=− , ale až

pi dosažení hodnoty naptí i21

2sat2

21

1 URR

RU

RR

Ru

++

+−=− .

213

du

2u

−u

du

2u

1R

2R

2RU

1RU

+uiU

+

–

+

–

−u

+u

–UN

+UN

–UN

+UN

Obr. 6.11 Zapojení komparátoru: komparátor, komparátor s kladnou zptnou vazbou (s hysterezí)

Píklad 6.3.

Urete hodnoty naptí, pi kterých bude docházet ke zmn výstupního naptí komparátoru na obr. 6.12 pi napájení jeho invertujícího vstupu harmonickým naptím o efektivní hodnot 2 V, který je napájen ze soumrného stejnosmrného zdroje o naptích UN = ±15 V. Rezistory zptnovazební sít mají hodnoty R1 = 10 kΩ a R2 = 90 kΩ. Nakreslete asové prbhy vstupních a výstupního naptí.

1R

2R

+

––UN

+UN

Obr. 6.12 Komparátor s hysterezí, píklad 6.3

♦

V dsledku velkého zesílení operaního zesilovae, ale i díky úinku kladné zptné vazby bude výstupní naptí zesilovae v saturaci podle relace mezi naptími +u a −u , a to kladné, kdy výstupní

naptí bude V152 +=u pro −+ > uu a záporné, kdy bude V152 −=u a −+ < uu . Poítací šipky jsou zakresleny na obr. 6.13. Naptí neinvertujícího vstupu je definováno dliem naptí. Ke zmnvýstupního naptí dochází pi rovnosti naptí invertujícího a neinvertujícího vstupu operaního zesilovae

V5,11510901010

101033

3

221

1R1

=⋅+⋅

⋅=

+=== +− u

RR

Ruuu a V152 +=u

a

214

V5,11510901010

101033

3

221

1R1

−=⋅+⋅

⋅−=

+−=== +− u

RR

Ruuu a V152 −=u ,

protože rezistor R1 je uzemnn, srovnej s obr. 6.11, dosadíme do výše odvozených vztah komparátoru za hodnotu naptí V0i =U . Kmitoet výstupního naptí je stejný jako má harmonické naptí −u , protože výstupní naptí je vedeno harmonickým zdrojem.

du

2u

1R

2R

2Ru

1Ru

+u

+

–

−u–UN

+UN

Obr. 6.13 Komparátor s hysterezí, píklad 6.3, zavedení poítacích šipek naptí

asové prbhy naptí komparátoru jsou zobrazeny na obr. 6.14. Okamžiky komparace jsou v grafu vyznaeny ervenými body a jsou vedeny harmonickým naptím invertujícího vstupu −u . Výstupní

obdélníkové naptí 2u tak má stejný kmitoet jako harmonické naptí. Komparátor s hysterezí tedy slouží jako tvarovací obvod.

T/2 t

u+

T0

T/2 t

u-

T0

t

u2

T0 T/2

Obr. 6.14 Komparátor s hysterezí: okamžité hodnoty naptí neinvertujícího vstupu, invertujícího vstupu, výstupu operaního zesilovae, píklad 6.3

215

Astabilní klopný obvod

Astabilní klopný obvod, jak plyne z obr. 6.15, využívá ke své funkci kladnou i zápornou zptnou vazbu ke generování výstupního pravoúhlého prbhu naptí klopného obvodu, jehož kmitoet závisí na hodnotách parametr zptnovazební sít. Jde o spojení komparátoru a invertujícího zapojení operaního zesilovae.

2u

C

R1i

2i

−i

+i

Ru

Cuu =−

–

+

2R

2Ru1R

iU +u

1Ru

–UN

+UN

Obr. 6.15 Astabilní klopný obvod s operaním zesilovaem

Úrovn, pi kterých dochází k zmn výstupního naptí komparátoru 2u cyklicky ze saturaní úrovn

Nsat2 UU +=+ na Nsat2 UU −=− a z úrovn Nsat2 UU −=− na Nsat2 UU +=+ jsou dány rovnicí

i21

22

21

1 URR

Ru

RR

Ru

++

+=+ ,

kam dosadíme za sat22 Uu += a sat22 Uu −= .

Tato hodnota výstupního naptí slouží jako poátení podmínka naptí kapacitoru )0(Cu .

Zápornou zptnou vazbu operaního zesilovae tvoí RC obvod, jehož odezva je daná zmnou výstupního naptí komparátoru, který má obdélníkový prbh. Modelujeme jím odezvu RC obvodu na jednotkový skok, viz kapitola 2.1.

Uvažujme nejprve chování RC obvodu v pechodném dji pi zmn výstupního naptí ze záporné saturaní hodnoty sat2U− na kladnou sat2U+ podle obr. 6.16. Obvod je popsán rovnicí

2CR uuu =+ ,

ze které po dosazení za naptí uR z Ohmova zákona, užití rovnice kontinuity dt

duC

dt

dqiii C

21 ====

a dosazení hodnoty výstupního naptí sat22 Uu += získáme lineární diferenciální rovnici 1. ádu, viz kapitola 2.2,

sat2CC

CC Uudt

duCRu

dt

dqRuiR =+=+=+ ,

jejímž ešením je odezva, naptí kapacitoru

( ) τττt

C

t

C

t

UuUuUu−−−

−+=+−= e)0(e)0()e1( sat2sat2sat2C ,

216

kde asová konstanta je CR=τ . Poátení naptí kapacitoru )0(Cu má v našem pípad hodnotu

první komparaní úrovn1kU . Je to minimáln možná hodnota naptí, na kterou se nabije kapacitor C,

což zapíšeme

i21

2sat2

21

1k1

)0( URR

RU

RR

RUuC +

++

−== .

Výsledný tvar ešení rovnice je tedy

( ) τττttt

UUUuUu−−−

−+=+

−= ee)0(e1 sat2ksat2Csat2C 1

.

Dobu trvání kladného obdélníkového pulsu na výstupu klopného obvodu 1T zakonenou pechodem

výstupního naptí do záporné polarity, uríme tak, že za hodnotu naptí kapacitoru Cu dosadíme hodnotu druhé komparaní úrovn

i21

2sat2

21

1k2

URR

RU

RRR

U+

++

= ,

která je maximáln možnou kladnou hodnotou, na níž se mže nabít kapacitor C. Naptí kapacitoru dosáhne této úrovn naptí práv v ase 1Tt = , což zapíšeme

( ) ( ) τ1

12esat2ksat2k1C

T

UUUUTu−

−+==

a po peskupení len dostaneme

τ1

1

2 esat2k

sat2kT

UU

UU −=

−

−.

Následnou úpravou získáme vztah

ττ

ττ

11

112

1 ee

e

e

e

1 00

sat2k

sat2kTT

TTUU

UU====

−

−

−−

−−,

jehož logaritmováním a po úprav nalezneme hledaný vztah pro dobu trvání

.

2

ln

lnln

i21

2sat2

21

2

i21

2sat2

21

21

sat2i21

2sat2

21

1

sat2i21

2sat2

21

1

sat2k

sat2k1

2

1

++

+−

++

+

+−

=

=

−+

++

−+

++

−

=

−

−=

URR

RU

RR

R

URR

RU

RR

RR

UURR

RU

RR

R

UURR

RU

RR

R

UU

UUT

τ

ττ

Dobu trvání záporného obdélníkového pulsu na výstupu klopného obvodu 2T zakonenou pechodem výstupního naptí do kladné polarity, uríme analogickým postupem, když v píslušných rovnicích si vymní pozice komparaní úrovn a otoí se znaménka výstupního saturaního naptí, takže pro dobu trvání 2T platí

217

.

2

ln

lnln

i21

2sat2

21

2

i21

2sat2

21

21

sat2i21

2sat2

21

1

sat2i21

2sat2

21

1

sat2k

sat2k2

1

2

++

+

++

+

+

=

=

++

++

−

++

++

=

+

+=

URR

RU

RR

R

URR

RU

RR

RR

UURR

RU

RR

R

UURR

RU

RR

R

UU

UUT

τ

ττ

Soutem dob T1 a T2 dostaneme periodu výstupního naptí astabilního klopného obvodu

.ln

lnlnlnln

sat2k

sat2k

sat2k

sat2k

sat2k

sat2k

sat2k

sat2k

sat2k

sat2k

sat2k

sat2k21

1

2

2

1

1

2

2

1

1

2

2

1

+

+⋅

−

−=

=

+

++

−

−=

+

++

−

−=+=

UU

UU

UU

UU

UU

UU

UU

UU

UU

UU

UU

UUTTT

τ

τττ

Pomrem doby T1 a T2 k dob periody T je definována stída výstupního naptí. Udává se v procentech. Stída 50 % : 50 % tak odpovídá pomru dob 1:1.

Po dosazení komparaních úrovní a úprav platí

( )

+−

+

++

+

+−

=

++

+−

++

+

+−

=2i

2sat2

2

21

2

2

i21

2

2

sat221

21

2

i21

2

2

sat221

2

2

i21

2

2

sat221

21 2

ln

2

ln

UURR

R

URR

RU

RR

RR

URR

RU

RR

R

URR

RU

RR

RR

T ττ .

Bude-li naptí V0i =U , potom se vztah pro periodu T zjednoduší na tvar

+=

+−

+

+−

=2

212

sat221

2

2

sat221

21

2ln2

2

lnR

RR

URR

R

URR

RR

T ττ

a pro 21 RR = je 21 TT = , má perioda výstupního naptí hodnotu

( )3ln2τ=T

a astabilní klopný obvod generuje pravoúhlé naptí s pomrem doby trvání jeho kladné a záporné okamžité hodnoty 1:1, což je pípad tekovaných prbh naptí na obr. 6.16. Je-li hodnota naptí nenulová, doby T1 a T2 jsou rzné a mžeme ním ídit stídu výstupního naptí klopného obvodu, viz obr. 6.16 a prbhy zakreslené plnou arou, nebo dochází k posunutí obou komparaních úrovní, které již nejsou symetricky umístné kolem asové osy práv vlivem posunutí prbhu naptí neinvertujícího vstupu operaního zesilovae u+, zpsobeného naptím Ui.

218

ττττ t

u+

2ττττ0

u-

0

u2

0

U2sat

Uk2

-U2sat

Uk1

U2sat

-U2sat

ττττ t 2ττττ

ττττ t 2ττττ

Obr. 6.16 Astabilní klopný obvod s operaním zesilovaem s parametry kladné zptné vazby R1= R2: okamžité hodnoty naptí neinvertujícího vstupu, invertujícího vstupu, výstupu operaního zesilovae pro Ui= 0 V (tekované prbhy) a pro Ui= U2sat/3 (prbhy plnou arou)

Shrnutí pojm 6.2.

Zápornou zptnou vazbu využíváme u operaního zesilovae k realizaci jeho invertujícího a neinvertujícího zapojení. Pokud není výstup zesilovae v saturaci vstupní naptí je úmrné výstupnímu naptí. Zesílení obvodu s operaním zesilovaem je dáno vlastnostmi zptnovazební sít, jelikož zesílení ideálního zesilovae je nekonen velké. Neomezené zesílení má za následek i nulové diferenní (rozdílové) naptí mezi jeho neinvertujícím a invertujícím vstupem. Krom nulového diferenního naptí, nazývaného také virtuálním zkratem, má ideální operaní zesilova nulové vstupní proudy a tím i nekonen velký vstupní odpor. Jeho výstupní odpor je nulový, protože obvodovým modelem je zdroj naptí ízený naptím. Operaní zesilova bez zptné vazby nazýváme komparátorem. Je-li diferenní naptí kladné, je i výstup zesilovae v kladné saturaci. Pi záporném diferenním naptí je výstup zesilovae v záporné saturaci. Zavedením kladné zptné vazby komparátoru se zavede hystereze do peklápní výstupního naptí. Souasné zavedení kladné i zptné vazby využíváme pi realizaci astabilního klopného obvodu, u nhož kmitoet výstupního pravoúhlého

219

naptí závisí na parametrech kladné i záporné zptné vazby. Pokud je zapojen zdroj naptí s nenulovou hodnotou v obvodu kladné zptné vazby liší se stída výstupního pravoúhlého naptí astabilního klopného obvodu daná pomrem dob odpovídajících kladné a záporné okamžité hodnotvýstupního naptí vi dob trvání jeho periody od 50 % : 50 % resp. od pomru 1:1. Výstup operaního zesilovae je v saturaci, pekroí-li u reálného operaního zesilovae napájeného symetricky ze zdroje o velikosti naptí NU± absolutní hodnota souinu zptnovazebního zesílení a vstupního naptí absolutní hodnotu napájecího naptí, což se projeví nenulovou hodnotou diferenní naptí zesilovae.

Otázky 6.2.

1. Jaké jsou vlastnosti ideálního operaního zesilovae?

2. Co je to virtuální zkrat?

3. ím jsou ureny penosové vlastnosti obvodu s ideálním operaním zesilovaem?

4. Kterou zptnou vazbu vyžíváme u invertujícího a neinvertujícího zapojení operaního zesilovae?

5. Jak se co do velikosti liší zesílení invertujícího a neinvertujícího operaního zesilovae?

6. Co je to komparátor a jak je realizován?

7. Jaký vliv má kladná zptná vazba na funkci komparátoru?

8. Kterou zptnou vazbu vyžíváme u astabilního klopného obvodu?

9. Na em závisí kmitoet výstupního naptí astabilního klopného obvodu?

10. Jakým zpsobem lze mnit stídu výstupního naptí astabilního klopného obvodu s operaním zesilovaem?

Úloha k ešení 6.2.

Urete velikost výstupního naptí obvodu s reálným operaním zesilovaem zapojeným v neinvertujícím zapojení, který je napájen ze symetrického zdroje naptí o velikosti

V15± pro hodnotu odporu rezistoru Ω= k101R a hodnoty odpor rezistoru a) Ω= k1002R a

Ω= k1502R b) pi hodnot vstupního stejnosmrného naptí 1 V.

ešení:

Operaní zesilova na obr. 6.17 je buzen stejnosmrn, takže ho mžeme popsat stejnosmrnými veliinami a nemusíme používat k popisu fázory. Za pedpokladu, že pro diferenní odpor zesilovae

platí 21d , RRR >> a zesílení 2

1d 1

R

RA +>> mžeme zesilova považovat za ideální. Pro penos

zesilovae tak platí 1

2

i

2U 1

R

R

U

UP +== . Reáln je zesilova napájen ze soumrného zdroje naptí,

takže výstupní naptí zesilovae nemže pesáhnout jeho hodnotu.

a) V,0111010

101V,111

10

1011

54

4

221

1iRid4

5

i1

22 1

=+

−=+

−=−==⋅

+=

+= U

RR

RUUUUU

R

RU

zesilova pracuje v lineárním režimu, nebo V0d =U ,

220

b) V16110

101511

4

4

i1

22 =⋅

⋅+=

+= U

R

RU , N2 UU > , takže V152 =U a =−=

1Rid UUU

mV5,6215101510

101

44

4

221

1i =

⋅+−=

+−= U

RR

RU , zesilova pracuje v nelineárním režimu, nebo

V0d ≠U .

2U

–

+

1R

iU

2R

–UN

+UN

dU

1Ru

Obr. 6.17 Neinvertující zapojení stejnosmrn buzeného operaního zesilovae, úloha k ešení 6.2

|6.3. Vliv zptné vazby na vlastnosti zesilovae Jak bylo ukázáno úvodem kapitoly 6.1, bez ohledu na zapojení zptnovazebního obvodu, mžeme obecn popsat obvod se zptnou vazbou penosem

za

a

ˆˆ1

ˆˆ

PP

PP

+=

a vyšetovat vlastnosti zptné vazby zcela obecn bez ohledu na zapojení zesilovae.

Obecná zptná vazba

Obecné blokové schéma zptnovazební struktury je na obr. 6.18, kde blok S definuje zpsob sluování

zptnovazebního zX a vstupního iX signálu. Penos pímé vtve je 1

2a ˆ

ˆˆ

X

XP = a zptné vtve

2

zz ˆ

ˆˆ

X

XP = . Pro vstupní signál platí z1i

ˆˆˆ XXX += , tedy i zi1ˆˆˆ XXX −= , takže zptná vazba je

záporná, výstupní signál se odeítá od vstupního signálu a pro penos zptnovazební struktury mžeme odvodit výše uvedený vztah

za

a

ˆˆ1

ˆˆ

PP

PP

+= ,

dosazením a úpravou penosu

( ) ( )2zz12ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ XPXPXXPXPX iaiaa −=−== .

221

1

2a ˆ

ˆˆ

X

XP =

iX 2X

2

zz ˆ

ˆˆ

X

XP =

1X

zX

S

Obr. 6.18 Blokové schéma zptnovazební struktury

Vlastnosti zptnovazební struktury jsou dány jmenovatelem penosu P . Typ zptné vazby posuzujeme podle relace mezi absolutní hodnotou penosu zptnovazební struktury a absolutní hodnotou penosu pímé cesty, pro který platí

aza

a

za

a ˆˆˆ1

ˆ

ˆˆ1

ˆˆ P

PP

P

PP

PP ≥

+=

+= .

Je-li absolutní hodnota jmenovatele penosu 1ˆˆ1 za >+ PP , velikost penosu zptnovazební struktury

P je menší než velikost penosu pímé cesty aP , protože psobí proti stavu bez zptné vazby a

zptnou vazbu nazýváme zápornou. Platí-li 1ˆˆ1 za ≤+ PP , velikost penosu zptnovazební struktury

P je vtší než velikost penosu pímé cesty aP a zptnou vazbu nazýváme kladnou. Budeme-li

uvažovat, že penosy pímé a zptnovazební cesty jsou ist reálné, což je typický pípad nízkofrekvenních zesilova s odporovou zptnovazební sítí, výstupní signál po prchodu zptnovazební cesty je pi záporné zptné vazb v protifázi se vstupním signálem a pi kladné zptné vazb je s ním ve fázi. Reálný je tedy i penos zptnovazební struktury a pro zápornou zptnou vazbu tak platí aPP < a kladnou zptnou vazbu aPP > . Poznamenejme, že v pípad záporné zptné vazby je obecn jedno, zda je signál invertován penosem pímé cesty (obvodem se záporným zesílením nap. operaní zesilova) nebo penosem zptnovazební cesty (obvodem otáejícím fázi výstupního signálu).

Zvláštním pípadem kladné zptné vazby, je pípad kdy hodnota jmenovatele penosu P je nulová,

což nastane, platí-li obecna

z ˆ1ˆP

P −= , kdy penos zptnovazební struktury roste nade všechny meze

(díky nelinearit reálných struktur však v praxi dosáhne konené hodnoty). Struktura se dostává na mez stability a produkuje výstupní signál i tehdy, je-li vstupní signál nulový. Zptnovazební struktura tak samovoln generuje kmity na kmitotu daném jejími parametry. Stává se zdrojem oscilací, které mohou být žádoucí, ale i nežádoucí. Jde-li o oscilace žádoucí, mluvíme o oscilátorech nebo klopných obvodech, u kterých je podmínka oscilací splnna v širokém pásmu kmitot.

Jak již bylo uvedeno v kapitole 6.1, roste-li hodnota penosu pímé cesty nade všechny meze ∞→aP ,

jsou vlastnosti zptnovazební struktury (obvodu) ureny výhradn penosem zptnovazební cesty zP ,

takže platí z

ˆ1ˆP

P = . Abychom postihli vliv zptné vazby na zmnu penosu pímé cesty, derivujme

penos zptnovazební struktury podle penosu pímé cesty

222

2za

2za

zaza

za

a

a )ˆˆ1(

1

)ˆˆ1(

ˆˆ)ˆˆ1(1ˆˆ1

ˆ

d

dˆd

ˆd

PPPP

PPPP

PP

P

PP

P

a +=

+

−+⋅=

+= ,

kterou normujme vi hodnot pomru penosa

ˆ

ˆ

P

P

za2

za

za

a

a

a

a

a

a

a

a

ˆˆ1

1

)ˆˆ1(

1

ˆˆ1

ˆˆ

ˆd

ˆdˆ

ˆ

ˆ

ˆdˆ

ˆd

ˆ

ˆˆd

ˆd

PPPPPP

PP

P

P

P

P

P

PP

P

P

PP

P

+=

++

===

a nazvme ji normovanou diferenciální citlivostí )ˆ( adn PS . Ze vztahu je zejmé, že velká hodnota

souinu zaˆˆ PP vede ke zmenšení vlivu zmny penosu aP na penos P , což je dležitý poznatek

pro technickou praxi, který umožuje navrhovat zptnovazební cestu tak, aby zaruovala požadované kmitotové parametry penosu zptnovazební struktury (zesilovae, filtru, korektoru, apod.). V ideálním pípad, kdy penos ∞→aP je normovaná diferenciální citlivost nulová, protože platí

0ˆˆ1

1lim)ˆ(

zaˆadn =

+=

∞→ PPPS

aP.

Píklad 6.4.

Urete, kolikrát se vlivem zptné vazby zmní hodnota penosu, snížíme-li zápornou zptnou vazbou penos zptnovazební struktury 10-krát, uvažujeme-li zmnu hodnoty penosu pímé cesty 20 %.

♦

Desetinásobnému snížení penosu psobením záporné zptné vazby odpovídá hodnota jmenovatele

normované diferenciální citlivosti 10 a hodnota normované diferenciální citlivosti 10

1dn =S .

Dosadíme-li do defininího vztahu pro normovanou diferenciální citlivost na místo diferenciálu diference, potom získáme vztah

a

adn

ˆ

ˆˆ

ˆ

P

PP

P

S∆

∆

= ,

takže pro zmnu penosu zptnovazební struktury platí

%22010

1ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

a

adn ==

∆=

∆P

PS

P

P.

Vlivem zptné vazby se tedy zmní hodnota penosu o 2 %.

Vliv zptné vazby na penos zesilovae

Uvažujme penosovou charakteristiku zesilovae, jehož amplitudová charakteristika je nakreslena na obr. 6.19, kterou si za úelem zjednodušení analýzy vlivu zptné vazby rozdlme na dv ásti, a to na ást kolem dolního úhlového kmitotu Dω a horního úhlového kmitotu Hω , což mžeme provést

223

za podmínky HD ωω << . Pro jednoduchost rovnž uvažujme, že penos zptnovazební cesty je reálný

a má hodnotu zP .

0

PdB

(d

B)

20

40

ωωωω (rad⋅⋅⋅⋅s-1) ωωωω D ωωωω H

Obr. 6.19 Logaritmická amplitudová kmitotová charakteristika operaního zesilovae

Penos pímé cesty, tedy penos zesilovae bez zptné vazby v okolí horního úhlového kmitotu je dán

H

0aH

H0aa

j1

1

jˆ

ωωωω

ω

+=

+= PPP ,

kde 0aP je zesílení zesilovae bez zptné vazby. Poznamenejme, že pokud bychom použili údaje

z katalogového listu, platí následující substituce o0a AP = , 1H ωω = a extrapolovaný tranzitní kmitoet

operaního zesilovae 1oT ωω A= . Pro penos zesilovae se zptnou vazbou potom platí

z0aH

z0a

0a

z

H

0a

H

0a

za

a

1

1j1

1

1

j1

11

j1

1

ˆ1

ˆˆ

PPPP

P

PP

P

PP

PP

+++

==

++

+

=+

=

ωω

ωω

ωω

,

ze kterého plyne, že penos pro nízké kmitoty, kdy Hωω < , je definován vztahem z0a

0a

1 PP

P

+.

Amplitudová a fázová kmitotová charakteristika je na obr. 6.20.

K poklesu penosu o 3 dB pod tuto hodnotu dochází pi úhlovém kmitotu Hzω , kdy platí

11

1

z0aH

Hz =+ PPω

ω

tedy i ( )z0aHHz 1 PP+= ωω .

Záporná zptná vazba, kdy 11 z0a >+ PP tedy kmitotové pásmo rozšiuje, ovšem za cenu poklesu zesílení proti stavu bez vazby. Podobn penos zesilovae bez zptné vazby v okolí dolního úhlového kmitotu je dán

D

D0a

D0aa

j1

j

j

jˆ

ωω

ωω

ωωω

+=

+= PPP ,

kde 0aP je zesílení zesilovae bez zptné vazby. Pro penos zesilovae se zptnou vazbou potom platí

224

-90

ϕϕ ϕϕ (

°)

-45

0

45

90

ωωωω (rad⋅⋅⋅⋅s-1) ωωωω H

0

PdB

(d

B)

20

40

ωωωω Hz

)(ˆdBa ωP

)(ˆdB ωP

)(a ωϕ

)(ωϕ

Obr. 6.20 Vliv zptné vazby na logaritmicko amplitudovou a semilogaritmicko fázovo kmitotovou charakteristikou operaního zesilovae v oblasti horního úhlového kmitotu: bez zptné vazby (hndá barva), se zptnou vazbou (šedá barva)

( )

( )z0aD

z0aD

0a

0a

z

D

D0a

D

D0a

za

a

1j1

1j

1

j1

j

1

j1

j

ˆ1

ˆˆ

PP

PP

PP

P

PP

P

PP

PP

z ++

+

+==

++

+=

+=

ωω

ωω

ωω

ωωωω

ωω

,

ze kterého plyne, že penos pro vysoké kmitoty, kdy Dωω > , je definován vztahem z0a

0a

1 PP

P

+.

Amplitudová a fázová kmitotová charakteristika je na obr. 6.21.

K nárstu penosu o 3 dB nad tuto hodnotu dochází pi úhlovém kmitotu Dzω , kdy platí

( ) 11 z0aD

Dz =+ PPωω

tedy i

z0a

DDz 1 PP+

=ω

ω .

Záporná zptná vazba, kdy 11 z0a >+ PP , tedy opt kmitotové pásmo rozšiuje, ovšem opt za cenu poklesu zesílení proti stavu bez vazby.

Vliv zptné vazby na vstupní impedanci obvodu

Pi zkoumání vlivu zptné vazby na vstupní impedanci v1Z nebo výstupní impedanci v2Z pímé cesty nevystaíme jen s blokovým schématem zptnovazební struktury, protože ob impedance závisí na zapojení obvodu. Vstupní impedance obvodu se sériovou vazbou proudovou i napovou je definována Ohmovým zákonem v symbolickém tvaru

225

-90

ϕϕ ϕϕ (

°)

-45

0

45

90

ωωωω (rad⋅⋅⋅⋅s-1) ωωωω D

0

PdB

(d

B)

20

40

ωωωω Dz

)(ˆdBa ωP

)(ˆdB ωP

)(a ωϕ

)(ωϕ

Obr. 6.21 Vliv zptné vazby na logaritmicko amplitudovou a semilogaritmicko fázovo kmitotovou charakteristikou operaního zesilovae v oblasti dolního úhlového kmitotu: bez zptné vazby (fialová barva), se zptnou vazbou (šedá barva)

( )zav1

v1

1

za11

1

1

1

i

i

iv1z

ˆˆ1ˆ

ˆ

ˆ

ˆˆˆˆ

ˆ

ˆˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆˆ PPZ

Z

U

PPUU

I

UU

I

U

I

UZ Z +=

+=

+=== ,

ze kterého je zejmé, že pro zápornou sériovou zptnou vazbu roste modul vstupní impedance v1Z

nad hodnotu modulu bez zptné vazby podle relace

v1zav1v1zˆˆˆ1ˆˆ ZPPZZ ≥+⋅= .

Vstupní admitance obvodu s paralelní vazbou proudovou i napovou je definována duálním vztahem

( )zav1

v1

1

za11

1

1

1

i

i

iv1z

ˆˆ1ˆ

ˆ

ˆ

ˆˆˆˆ

ˆ

ˆˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆˆ PPY

Y

I

PPII

U

II

U

I

U

IY Z +=

+=

+=== ,

ze kterého je zejmé, že pro zápornou paralelní zptnou vazbu roste modul vstupní admitance v1Y

pod hodnotu modulu bez zptné vazby podle relace

v1zav1v1zˆˆˆ1ˆˆ YPPYY ≥+⋅= .

Pokud by nebyla dána vstupní admitance obvodu v1Y s paralelní vazbou, ale její inverzní hodnota,

vstupní impedance v1Z platila by relace

v1za

v1v1z

ˆˆˆ1

ˆˆ Z

PP

ZZ ≤

+= ,

takže pro zápornou paralelní zptnou vazbu klesá modul vstupní impedance pod hodnotu modulu bez zptné vazby. Modely obvodu k urení vstupních imitancí obvodu jsou na obr. 6.22.

226

aP1U

zU

iU

zP

v1ZaP

1U

iU

zP

v1Y

iI 1I

zI

iI 1I

Obr. 6.22 Blokové schéma zptnovazebního obvodu k urení vstupní imitance: impedanní model, admitanní model

Vliv zptné vazby na výstupní impedanci obvodu

Výstupní impedance závisí na veliin, od níž je zptná vazba odvozena. Jak již víme z kapitoly 6.1, vazba je proudová nebo napová. V pípad proudové vazby výstupní admitanci uríme pomocí Nortonova teorému, z pomru výstupního proudu nakrátko k2I a naptí naprázdno o2U . Ve stavu nakrátko není zptná vazba rozpojena, takže výstupní proud nakrátko uríme z proudového penosu

za

a

i

2i ˆˆ1

ˆ

ˆ

ˆˆ

PP

P

I

IP

+=

−= , který je

iza

ak2k2

ˆˆˆ1

ˆˆˆ I

PP

PII

+−=′−= .

Ve stavu naprázdno je na výstupu obvodu nulový proud, takže je zptná vazba rozpojena, vstupní proud pímé cesty 1I je roven proudu vstupnímu iI , tedy i1

ˆˆ II = a proudový penos je dán jen

penosem pímé cesty 1

2

1

2a ˆ

ˆ

ˆ

ˆˆ

I

I

I

IP

′=

−= . Proud, který prochází výstupní admitancí v2Y ve stavu

naprázdno je ia1ao2o2ˆˆˆˆˆˆ IPIPII −=−=′−= , takže výstupní naptí naprázdno je

v2

ia

v2

o2o2 ˆ

ˆˆ

ˆ

ˆˆ

Y

IP

Y

IU =

′=′ .

Výstupní admitance s proudovou vazbou je nakonec definována

za

v2

v2

ia

iza

a

o2

k2

o2

k2v2z ˆˆ1

ˆ

ˆ

ˆˆ

ˆˆˆ1

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆˆ

PP

Y

Y

IP

IPP

P

U

I

U

IY

+=

+=

−=

′= .

Z definice je zejmé, že pro zápornou napovou zptnou vazbu klesá modul výstupní admitance v2Y

pod hodnotu modulu bez zptné vazby podle relace

227

v2za

v2v2z

ˆˆˆ1

ˆˆ Y

PP

YY ≤

+= .

Ideáln, a to v pípad, kdy ( ) ∞→+ zaˆˆ1 PP klesá až k nulové hodnot, takže výstup obvodu

s proudovou zptnou vazbou se chová jako zdroj proudu.

Pokud by nebyla dána výstupní admitance obvodu v2Y s proudovou vazbou, ale její inverzní hodnota,

pro výstupní impedanci v2Z platila by relace

v2zav2v2zˆˆˆ1ˆˆ ZPPZZ ≥+⋅= ,

takže pro zápornou proudovou zptnou vazbu roste modul vstupní impedance nad hodnotu modulu bez zptné vazby. Modely obvodu k urení výstupní admitance obvodu jsou na obr. 6.23.

aP

V0ˆk2 =U

zP

k2I A0ˆo2 =I

v2Yo2I ′

aP

zP

v2Yk2I ′

o2U

Obr. 6.23 Blokové schéma zptnovazebního obvodu k urení výstupní admitance: Nortonova vta, Théveninova vta

V pípad napové vazby výstupní impedanci uríme pomocí Théveninova teorému, z pomru výstupního naptí naprázdno o2U a proudu nakrátko k2I . Ve stavu naprázdno není zptná vazba

rozpojena, takže výstupní naptí naprázdno uríme z napového penosu za

a

i

2i ˆˆ1

ˆ

ˆ

ˆˆ

PP

P

U

UP

+== , které je

iza

ao2o2

ˆˆˆ1

ˆˆˆ U

PP

PUU

+=′= .

Ve stavu nakrátko je na výstupu obvodu nulové naptí, takže je zptná vazba rozpojena a vstupní naptí pímé cesty 1U je rovno naptí vstupnímu iU , tedy i1

ˆˆ UU = a napový penos je dán jen

penosem pímé cesty 1

2a ˆ

ˆˆ

U

UP = . Naptí, které se objeví na výstupní impedanci v2Z ve stavu nakrátko

je ia1ak2ˆˆˆˆˆ UPUPU ==′ , takže výstupní proud nakrátko je

v2

ia

v2

k2k2 ˆ

ˆˆ

ˆ

ˆˆ

Z

UP

Z

UI −=

′−= .

Výstupní impedance s napovou vazbou je nakonec definována

228

za

v2

v2

ia

ia

a

k2

o2v2z ˆˆ1

ˆ

ˆ

ˆˆ

ˆˆˆ1

ˆ

ˆ

ˆˆ

PP

Z

Z

UP

UPP

P

I

UZ z

+=

−

+−=−= .

Z definice je zejmé, že pro zápornou napovou zptnou vazbu klesá modul výstupní impedance

v2Z pod hodnotu modulu bez zptné vazby podle relace

v2za

v2v2z

ˆˆˆ1

ˆˆ Z

PP

ZZ ≤

+= .

Ideáln, a to v pípad kdy ( ) ∞→+ zaˆˆ1 PP , klesá až k nulové hodnot, takže výstup obvodu

s napovou zptnou vazbou se chová jako zdroj naptí. Modely obvodu k urení výstupní impedance obvodu jsou na obr. 6.24.

Poznamenejme, že penosy a impedance reálné struktury se zesilovaem jsou obecn kmitotovzávislé, což v zápisech není dsledn zapisováno.

aP

o2U

zP

v2ZaP

V0ˆk2 =U

zP

k2IA0ˆo2 =Io2U ′

v2Z

k2U ′

Obr. 6.24 Blokové schéma zptnovazebního obvodu k urení výstupní impedance: Théveninova vta, Nortonova vta

Píklad 6.5.

Urete vlastnosti zesilovací struktury na obr. 6.17. Uvažujte, že operaní zesilova není ideální, ale že je reálný s parametry: zesílení 200000o0a =≡ AP , horní mezní kmitoet

1H srad52 −⋅⋅=ω , dolní mezní kmitoet 1

D srad0 −⋅=ω , diferenní odpor (odpor mezi vstupy)

Ω== M 1ˆd1v RZ , výstupní odpor Ω== 100ˆ

o2v RZ . Parametry zptnovazební sít jsou

Ω= 10001R a Ω= k1002R .

♦

Popis obvodu vychází z obr. 6.25, kde jsou zavedeny poítací šipky naptí.

229

d1ˆˆ UU =

2U

–

+

1R

iU

2RzU

–UN

+UN

Obr. 6.25 Neinvertující zapojení operaního zesilovae, zavedení poítacích šipek, píklad 6.5

Jedná se o napovou zptnou vazbu sériovou, zápornou. Vzhledem k hodnotám odporové zptnovazební sít, je podmínka unilaterity zptnovazební sít tém dokonale splnna. Odpor 2R je

totiž mnohonásobn vtší než výstupní odpor operaního zesilovae oR , vstupní odpor zptnovazebního dvojbranu lze z tohoto hlediska považovat za tém nekonený. Souasn je diferenní odpor dR mnohonásobn vtší než odpor 1R , výstupní odpor zptnovazebního dvojbranu lze z tohoto hlediska považovat za tém nulový.

Penos neinvertujícího zesilovae (pímé cesty) je kmitotov závislý a daný vztahem

52j1

1200000

j1

1)j(ˆ

H

0aa

⋅+

=+

=ω

ωω

ω PP .

Penos zptnovazební sít (cesty) je dán dliem 1R , 2R , je kmitotov nezávislý a definovaný

01,0990001000

1000ˆ

ˆˆ

21

1

2

zz =

+=

+==

RR

R

U

UP .

Celkový penos struktury s operaním zesilovaem se zesílením

95,9901,02000001

200000

1 z0a

0a0 =

⋅+=

+=

PP

PP

a mezním úhlovým kmitotem

( ) ( ) 1z0aHHz srad10005201,0200000152ˆˆ1 −⋅⋅=⋅+⋅=+= PPωω

nebo kmitotem

Hz100052

100052

2Hz

Hz =⋅

==ω

f

je kmitotov závislý a je daný vztahem

100052j1

195,99

j1

1

1

1j1

1

1ˆˆ1

ˆ

ˆ

ˆ)j(ˆ

Hz

0

z0aH

z0a

0a

a

a

i

2i

⋅+

=+

=

+++

=+

==ω

ωω

ωω

ω P

PPPP

P

PP

P

U

UP

z

.

Vstupní impedanci struktury pro nulový kmitoet uríme ze vztahu

( ) ( )( ) ( ) Ω=⋅+⋅=⋅+= G001,201,02000001101ˆ0ˆ1ˆ0ˆ 6zav1v1z PPZZ

a výstupní impedanci ze vztahu

230

( )( )

Ω=⋅+

=⋅+

= m98,4901,02000001

100ˆ0ˆ1

ˆ0ˆ

za

v2v2z

PP

ZZ .

Amplitudová a fázová kmitotová charakteristika obvodu je na obr. 6.26.

-90

ϕϕ ϕϕi (

°)

-45

0

45

90

f (kHz) 10101010

0

Pi

dB (

dB

)

20

40

1001001001000,10,10,10,1 1111

Obr. 6.26 Logaritmická amplitudová a semilogaritmická fázová kmitotová charakteristika neinvertujícího zapojení operaního zesilovae, píklad 6.5

Shrnutí pojm 6.3.

Zptná vazba mže být záporná nebo kladná a definujeme ji podle absolutní hodnoty jmenovatele

penosu zptnovazební struktury zaˆˆ1 PP+ . Je-li 1ˆˆ1 za >+ PP jde o zápornou zptnou vazbu, jinak jde

o vazbu kladnou. Zvláštním pípadem kladné zptné vazby je nulová hodnota jmenovatele penosu P , kdy velikosti penosu pímé a zptnovazební cesty jsou stejné a fáze se liší o 180 °. Zptnovazební struktura tak produkuje výstupní signál i bez pítomnosti vstupního signálu a chová se jako oscilátor. Je-li podmínka oscilací splnna v širokém pásmu kmitot, mluvíme o klopném obvodu. Normovanou diferenciální citlivost zavádíme, abychom postihli vliv zptné vazby na zmnu penosu pímé cesty. Amplitudová penosová charakteristika zesilovae má tvar obrácené „vanové“ charakteristiky a je vymezena dolním úhlovým kmitotem Dω a horním úhlovým kmitotem Hω , jejichž rozdíl definuje šíku pásma zesilovae. Záporná zptná vazba sice zmenšuje zesílení zesilovae, ale zvtšuje jeho šíku pásma a stabilitu. Záporná sériová zptná vazba proudová i napová zvyšuje velikost vstupní impedance obvodu. Naproti tomu záporná paralelní zptná vazba proudová i napová snižuje velikost vstupní impedance obvodu. Záporná proudová zptná vazba zvyšuje velikost výstupní impedance obvodu. Naproti tomu záporná napová zptná vazba snižuje velikost vstupní impedance obvodu.

Otázky 6.3.

1. Podle eho posuzujeme vlastnosti struktury se zptnou vazbou?

231

2. Jak byste obecn definovali zápornou a kladnou zptnou vazbu?

3. Jaký typ zptné vazby využívá oscilátor?

4. Definujte klopný obvod?

5. K emu slouží normovaná diferenciální citlivost?

6. ím je vymezena amplitudová charakteristika zesilovae?

7. Jak ovlivuje záporná zptná vazba amplitudovou charakteristiku zesilovae?

8. Jak ovlivuje zptná vazba vstupní a výstupní impedanci i admitanci zesilovae?

Úloha k ešení 6.3.

Urete vstupní odpor struktury s reálným operaním zesilovaem na obr. 6.27, víte-li že penos zesilovae je oa AP = , uvažujete-li diferenní odpor operaního zesilovae dR a zanedbáte-li jeho

výstupní odpor oR .

1R

2R

–

+ –UN

+UN

Obr. 6.27 Invertující zapojení operaního zesilovae, úlohy k ešení 6.3

ešení:

Nejprve si zakreslíme do obvodového schématu na obr. 6.28 vstupní diferenní odpor reálného operaního zesilovae a poté i poítací šipky naptí.

dU

2U

1R

iU

2R1I

2I

dI

2RU

1RU

–

+

Rd

–UN

+UN

Obr. 6.28 Invertující zapojení reálného operaního zesilovae, zavedení poítacích šipek, úloha k ešení 6.3

232

Na vstupní stran obvodu platí podle 2. Kirchhoffova zákona pro kladný obh ve smru hodinových ruiek rovnice

0dRi 1=−+− UUU ,

ze které si vyjádíme naptí

dRi 1UUU −= .

Po dosazení z Ohmova zákona do len na pravé stran rovnice získáme

dd11i IRIRU −= .

Pro uzel na vstupní stran obvodu platí podle 1. Kirchhoffova zákona pro kladný referenní smr proudu ven z uzlu rovnice

0d21 =−−− III

a pro vstupní proud

d21 III −−= .

Po dosazení rovnic do definice vstupního odporu obvodu získáme

1d

2

d1

d2

dd1

1

dd11

1

ii

++=

−−−=

−==

I

I

RR

II

IRR

I

IRIR

I

UR

a po dosazení za proudy I1 a I2 z Ohmova zákona a zesílení operaního zesilovae d

2oa U

UAP ==

( )

( ).

1

111111

2od

2d1

o2

d

d1

d

2

2

d

d1

d

d

2

d2

d1

d

d

2

R

d1i

2

RAR

RRR

AR

RR

R

U

U

R

R

RR

R

UR

UUR

R

R

UR

UR

RR

+++=

=++

+=

+

+

+=

+

++=

+

+=

Ze vztahu je patrné, že obvod s ideálním operaním zesilovaem, tj. pro ∞→oA a ∞→dR , má vstupní odpor

1

d

2o

21i

1lim

d

o

R

R

RA

RRR

RA

=

+++=

∞→∞→

.

233

7. Penosy a obrazové parametry dvojbran

Motivace Po prostudování této kapitoly budete umt

• definovat penosy soumrného dvojbranu a pochopit jejich význam • definovat obrazové parametry soumrného dvojbranu a pochopit jejich význam • definovat penosy nesoumrného dvojbranu • definovat obrazové parametry nesoumrného dvojbranu

7.1. Penosy dvojbranKaskádní parametry dvojbran nejastji používáme k popisu penosové cesty mezi zdrojem a spotebiem. Zvláštním pípadem tchto parametr jsou obrazové parametry dvojbranu, definované pro pasivní a podéln soumrné dvojbrany. Obrazové parametry jsou dležité pro modelování dlouhého vedení, jehož dílí úseky mžeme realizovat kaskádním azením lánkových filtr typu T, Π, L nebo Γ. Míru vlivu dvojbranu na penášenou energii mezi zdrojem a spotebiem i branami kaskádn azených dvojbran posuzujeme penosy.

Penosy dvojbran jsou definovány penosovými funkcemi, které dávají jednoznanou informaci o penosu energie nebo signálu z jedné brány na druhou obvykle v harmonicky ustáleném stavu. Mžeme je získat na základ analýzy modelu penosové cesty nebo mením v požadovaném kmitotovém pásmu. Znalost jejich funkní závislosti umožuje posoudit vliv penosové cesty. Naopak pi syntéze usilujeme o to, aby penosové funkce byly pesn definované a ovlivovaly penos energie požadovaným zpsobem nap. filtry.

V definicích penos dvojbran vystupují pomry komplexních efektivních hodnot naptí a proudvstupních a výstupních bran dvojbran stejného typu veliin nebo jejich smíšené tvary. V harmonicky ustáleném stavu tak definujeme kmitotové penosy

1

2

ˆ

ˆˆ

X

XP =

a inverzní kmitotové penosy

2

1

ˆ

ˆˆ

X

XG = ,

kde 21ˆ,ˆ XX jsou píslušné komplexní efektivní hodnoty veliin. Dosazením branových veliin

do defininího vztahu získáme následující bezrozmrné penosy

napový penos

1

2U ˆ

ˆˆ

U

UP = ,

proudový penos

1

2I ˆ

ˆˆ

I

IP

−=

a smíšené penosy (transimitance):

penosovou impedanci s jednotkou Ω

234

1

2UI ˆ

ˆˆ

I

UP = ,

penosovou admitanci s jednotkou S

1

2IU ˆ

ˆˆ

U

IP

−= .

Záporné znaménko proudu respektuje u kaskádního modelu pasivního, reciprocitního dvojbranu skutenost, že proud fakticky vytéká z druhé brány, viz kapitola 3.2. Smr postupu energie dvojbranem je z brány vstupní na bránu výstupní.

Píklad 7.1.

Urete napový penos naprázdno a proudový penos nakrátko T lánku na obr. 7.1, je-li k vstupní brán pipojen harmonický zdroj naptí o úhlovém kmitotu ω.

2

2‘

1

1‘

R R

C

Obr. 7.1 Zapojení T lánku, píklad 7.1

♦

Napový penos naprázdno T lánku je dán penosem RC lánku na obr. 7.2, protože na rezistoru R(spojeném se svorkou 2) nevzniká úbytek naptí. Z dlie naptí proto snadno uríme

RCC

R

C

ZZ

Z

U

UP

Iω

ω

ωj1

1

j

1j

1

ˆˆ

ˆ

ˆ

ˆˆ

CR

C

0ˆ1

2U

2

+=

+=

+==

=

2

2‘

1

1‘

R R

C Û1 Û2

1

1‘

R

C Û1

Î1

2

2‘

Û2≡

Î2 = 0 A

Obr. 7.2 T lánek naprázdno, píklad 7.1

a proudový penos nakrátko z dlie proudu zobrazeného na obr. 7.3

235

RCCR

RYY

Y

I

IP

Uωω j1

1

j1

1

ˆˆ

ˆ

ˆ

ˆˆ

CR

R

0ˆ1

2I

2+

=+

=+

=−

==

.

Proud 1I nemusíme urovat, protože nás nezajímá penosová admitance 1

2IU ˆ

ˆˆ

U

IP

−= .

2

2‘

1

1‘

R R

C Û1

Î1 Î2

Û2 = 0 V

Obr. 7.3 T lánek nakrátko, píklad 7.1

Oba penosy vyšly stejné, protože T lánek je podéln soumrný.

Model penosové cesty tvoený na vstupní stran dvojbranu skuteným zdrojem naptí s parametry vnitním naptím iU a impedancí iZ , kaskádním modelem dvojbranu a zátží o impedanci sZpipojenou k jeho výstupu je nakreslen na obr. 7.4 a popsán rovnicemi, viz kapitola 3.2,

( ) 2122112122111ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ IAUAIAUAU ′+=−+= ,

( ) 2222212222211ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ IAUAIAUAI ′+=−+= .

Û1

Î1

Û2

Î2

2‘ 1‘

[ ]A

2 1

iZÛi sZ

Î'2 = -Î2

Obr. 7.4 Model penosové cesty

V následujícím výkladu uvažujme orientaci poítacích šipek jako u pasivního dvojbranu na obr. 3.1 vlevo a pokusme se vytvoit ekvivalentní impedanní obvodový model penosové cesty nakreslený na obr. 7.5, nebo jak víme z kapitoly 3.2, pro kaskádní model samotného dvojbranu neexistuje náhradní schéma zapojení.

Nejprve uríme vstupní impedanci penosové cesty (zatíženého dvojbranu) dosazením rovnic modelu dvojbranu do zobecnného Ohmova zákona, kde jednoduchou úpravou získáme její závislost na zatžovací impedanci dvojbranu sZ

236

22s21

12s11

22

2

221

12

2

211

2

2

222221

212211

1

11 ˆˆˆ

ˆˆˆ

ˆˆ

ˆˆ

ˆˆ

ˆˆ

ˆ

ˆ

)ˆ(ˆˆˆ)ˆ(ˆˆˆ

ˆ

ˆˆ

AZA

AZA

AI

UA

AI

UA

I

I

IAUA

IAUA

I

UZ

+

+=

+−

+−

−

−=

−+

−+== .

Pomocí vstupní impedance kaskádního dvojbranu uríme naptí vstupní brány

i1i

11

ˆˆˆ

ˆˆ U

ZZ

ZU

+=

a externí napový penos

1i

1U

i

1

1

2

i

2Ue ˆˆ

ˆˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆˆ

ZZ

ZP

U

U

U

U

U

UP

+=== .

Výstupní impedanci penosové cesty (dvojbranu zatíženého vnitní impedancí iZ ) stanovíme

z pomru naptí naprázdno o2U a proudu nakrátko k2I „v duchu vt“ o náhradním zdroji.

Výstupní naptí naprázdno uríme podle obr. 7.4 pro Ω∞→sZ , tj. A0ˆ2 =I (Théveninova vta)

i

11i21

i

21

11i

21

11

11

i

o1i

o1

11

o1

110ˆ2o2

ˆˆˆˆ

1ˆ

ˆ

ˆˆ

ˆ

ˆ

ˆ1ˆ

ˆˆ

ˆ

ˆ1ˆ

ˆ1ˆˆ

2

UAZA

U

A

AZ

A

A

AU

ZZ

Z

AU

AUU

I +=

+

=+

====

,

které jsme si vyjádíli z 1. kaskádní rovnice

( )( ) o2112122110ˆ0ˆ1o1

ˆˆˆˆˆˆlimˆˆ22

UAIAUAUUII

=−+==→=

,

když jsme dosadili za naptí vstupní brány naprázdno

i

o1

o1

0ˆ1o1ˆ

ˆˆ

ˆˆˆ

2

UZZ

ZUU

iI +

===

a za hodnotu vstupní impedance naprázdno

21

11

22s21

12s11

ˆ0ˆ1o1 ˆ

ˆ

ˆˆˆ

ˆˆˆlimˆˆs2 A

A

AZA

AZAZZ

ZI=

+

+==

∞→=.

Výstupní proud nakrátko uríme podle obr. 7.4 pro Ω→ 0ˆsZ , tj. V0ˆ

2 =U (Nortonova vta)

i12i22

i

22

12i

22

12

12i

k1i

k1

12k1

120ˆ2k2

ˆˆˆˆ

1ˆ

ˆ

ˆˆ

ˆ

ˆ

ˆ1ˆ

ˆˆ

ˆ

ˆ1ˆ

ˆ1ˆˆ

2

UAZA

U

A

AZ

A

A

AU

ZZ

Z

AU

AII

U +−=

+

−=+

−=−

===

,

který jsme si vyjádili z 1. kaskádní rovnice

( )( ) k2122122110ˆ0ˆ1k1

ˆˆˆˆˆˆlimˆˆ22

IAIAUAUUUU

−=−+==→=

,

když jsme dosadili za naptí vstupní brány nakrátko

237

i

k1i

k1

0ˆ1k1ˆ

ˆˆ

ˆˆˆ

2

UZZ

ZUU

U +==

=

a za hodnotu vstupní impedance nakrátko

22

12

22s21

12s11

0ˆ0ˆ1k1 ˆ

ˆ

ˆˆˆ

ˆˆˆlimˆˆ

22 A

A

AZA

AZAZZ

ZU=

+

+==

→=.

Impedanci výstupní brány nakonec uríme dosazením odvozených výstupních veliin do zobecnného Ohmova zákona

11i21

12i22

i

12i22

i

11i21

k2

o22 ˆˆˆ

ˆˆˆ

ˆˆˆˆ

1

ˆˆˆˆ

1

ˆ

ˆˆ

AZA

AZA

UAZA

UAZA

I

UZ

+

+=

+−−

+=

−= .

Odvozené hodnoty vstupní impedance, výstupního naptí naprázdno a výstupní impedance umožují nahradit kaskádní model dvojbranu impedanním modelem, u kterého ale chybí v náhradním zapojení vstupní brány zdroj naptí, viz obr. 7.5, takže veliiny výstupní brány neovlivují veliiny vstupní brány.

Û1

Î1

Û2

Î2

2‘ 1‘

2 1

iZÛi sZ1Z

2ZÛ2o

Obr. 7.5 Náhradní schéma penosové cesty, impedanní model

Píklad 7.2.

Urete vstupní impedanci naprázdno a výstupní impedanci dvojbranu z píkladu 7.1. Uvažujte, že ze vstupní strany je dvojbran buzen zdrojem naptí 1U , který má nulovou vnitní impedanci.

♦

Vstupní a výstupní impedanci dvojbranu naprázdno stanovíme pomocí kaskádních parametrdvojbranu 22211211

ˆ,ˆ,ˆ,ˆ AAAA . Parametry 2211ˆ,ˆ AA uríme ze známého napového a proudového

penosu z píkladu 7.1, nebo platí

RCPU

UA ωj1

ˆ1

ˆ

ˆˆ

U2

111 +=== ,

RCPI

IA ωj1

ˆ1

ˆ

ˆˆ

I2

122 +==

−= .

Parametr 12A stanovíme ze stavu nakrátko dvojbranu, viz obr. 7.3, když zkrat provedeme na jeho výstupu. Z jeho definice v kapitole 3.2 pro buzení vstupní brány dvojbranu zdrojem naptí o hodnot

1U plyne

238

k2

1

0ˆ2

112 ˆ

ˆ

ˆ

ˆˆ

2I

U

I

UA

U−

=−

==

,

kde pro výstupní proud nakrátko platí

( ) ( )

.ˆ

2j1

1

2

1

ˆj1

1ˆj1

j1

j1

1ˆj1

1ˆ

j1

1

ˆˆ

1

11k1k10ˆ2k2

2

URCR

URRCR

URRCR

RC

RCI

RCI

CR

RIIU

ω

ωωω

ωωω

+=

=++

=++

+

+=

+=

+=−=−

=

Tento proud je totožný s proudem odporové vtve vzniklého dlie proudu, do kterého „vtéká“ proud vstupní brány k1I , vyvolaný zdrojem naptí o hodnot 1U . Jeho hodnotu uríme ze zobecnného Ohmova zákona pi zkratovaném výstupu dvojbranu

( ) ( ) 1111

0ˆ1

1

0ˆ1k1ˆ

j1

j1

j1

j1

ˆ

j1

ˆ

j1

1

ˆ

ˆ

ˆˆˆ

2

2

URRCR

RC

RC

RRCRU

RC

RR

U

CR

R

U

Z

UII

UU ++

+=

+

++=

++

=

++

====

= ωω

ωω

ωω

.

Dosazením proudu nakrátko do defininího vztahu stanovíme parametr

+=

+

=−

=2

j12ˆ

2j1

1

2

1

ˆ

ˆ

ˆˆ

1

1

k2

112

RCR

URCR

U

I

UA

ω

ω

.

Parametr 21A uríme ze stavu naprázdno dvojbranu, viz obr. 7.2, kdy jsou jeho výstupní svorky nezatížené. Z definice plyne

0ˆ2

1

o2

o121

2

ˆ

ˆ

ˆ

ˆˆ

=

==I

U

I

U

IA .

Protože dvojbran je nezatížený, je jeho výstupní proud nulový, a proto na rezistoru R (spojeném se svorkou 2) nevzniká úbytek naptí, takže výstupní naptí naprázdno je rovno naptí na kapacitoru, které odvodíme z dlie naptí

110ˆ2o2ˆ

j1

1ˆ

j

1j

1

ˆˆ2

URC

U

CR

CUU

I ωω

ω+

=+

===

.

Vstupní proud je proudem nezatíženého dlie, tedy i proudem kapacitoru, takže uríme jeho hodnotu z úbytku naptí na kapacitoru a impedance kondenzátoru podle zobecnného Ohmova zákona

1

1o2

0ˆ1o1ˆ

j1

j

j

1

ˆj1

1

j

1

ˆˆˆ

2

URC

C

C

URC

C

UII

I ωω

ω

ω

ω+

=+

====

.

Dosazením obou veliin do defininího vztahu získáme parametr

239

CU

RC

URC

C

A ω

ω

ωω

jˆ

j1

1

ˆj1

j

ˆ

1

1

21 =

+

+= .

Dosazením vypotených konstant do defininích vztah uríme vstupní impedanci naprázdno

C

RC

A

A

AZA

AZAZZ

ZI ωω

j

j1ˆ

ˆ

ˆˆˆ

ˆˆˆlimˆˆ

21

11

22s21

12s11

ˆ0ˆ1o1s2

+==

+

+==

∞→=

a výstupní impedanci dvojbranu naprázdno (vnitní impedance zdroje iZ je nulová)

.j1

2j12

ˆ

ˆ

ˆˆˆ

ˆˆˆlimˆˆ

11

12

11i21

12i22

0ˆ0ˆ2o2i1 RC

RCR

A

A

AZA

AZAZZ

ZI ω

ω

+

+==

+

+==

→=

Shrnutí pojm 7.1.

Míru penesené energie z jedné brány dvojbranu k druhé posuzujeme pomocí penos. Penosy jsou definovány v harmonicky ustáleném stavu v kmitotové oblasti pomry branových veliin. Nejsou-li dány pomrem veliin stejného typu mluvíme o penosech smíšených. Externí napový penos užíváme, je-li dvojbran napájen ze zdroje s nenulovou vnitní impedancí. Vstupní a výstupní impedanci penosové cesty a její náhradní obvodový model uríme aplikací zobecnného Ohmova zákona, kaskádních rovnic a užitím vty o náhradním napovém zdroji pípadn vty o náhradním proudovém zdroji.

Otázky 7.1.

1. K emu slouží penosy?

2. Jak jinak nazýváme smíšené penosy?

3. Jaký je vztah mezi inverzními penosy a kaskádními parametry dvojbranu?

4. Kdy je napový a proudový penos shodný?

5. Co je to externí napový penos?

6. Který model dvojbranu je výhodný pro urení vstupní impedance penosové cesty?

7. Jakým zpsobem lze urit výstupní impedanci penosové cesty?

8. Na základ eho mžeme nakreslit obvodový model penosové cesty?

Úloha k ešení 7.1.

Urete penosovou admitanci nakrátko dvojbranu z píkladu 7.1.

ešení:

Proud nakrátko penosové cesty, viz obr. 7.4, je obecn definován

240

i12i22

k2ˆ

ˆˆˆ1ˆ U

AZAI

+=− .

Je-li ke vstupní brán dvojbranu pipojený ideální zdroj naptí o hodnot iU , je Ω= 0ˆiZ a platí

i12

k2ˆ

ˆ1ˆ U

AI =− a i1

ˆˆ UU = ,

takže penosová admitance nakrátko T lánku z obr. 7.1 je

C

CAU

UA

U

IP ω

ω

j

j

11

ˆ1

ˆ

ˆˆ1

ˆ

ˆˆ

12i

i12

1

k2IU ====

−= .

7.2. Obrazové parametry soumrného dvojbranu Pasivní soumrný dvojbran má stejné vlastnosti pro penos energie v obou smrech a je-li popsaný kaskádními parametry, platí pro nj 2211

ˆˆ AA = . Pro penos energie nebo signálu je navíc výhodné, aby penosová cesta byla impedann pizpsobená. To v našem pípad znamená, že vnitní impedance zdroje iZ by mla být rovna vstupní impedanci penosové cesty 1Z a její výstupní impedance 2Z

rovna impedanci zátže sZ , tedy i1ˆˆ ZZ = a s2

ˆˆ ZZ = . Impedance penosové cesty, která tuto podmínku

spluje, se nazývá obrazová a znaí se oZ . Po jejím dosazení do vstupní a výstupní impedance získáme rovnice

22o21

12o11o1 ˆˆˆ

ˆˆˆˆˆ

AZA

AZAZZ

+

+== ,

11o21

12o22o2 ˆˆˆ

ˆˆˆˆˆ

AZA

AZAZZ

+

+== .

Z první nebo druhé rovnice si mžeme vyjádit obrazovou impedanci jako funkci parametr penosové cesty, s tím že dosadíme za 1122

ˆˆ AA = , ímž dostaneme

11o21

12o11o ˆˆˆ

ˆˆˆˆ

AZA

AZAZ

+

+= .

Po vynásobení levé i pravé strany 11o21ˆˆˆ AZA + získáme

( ) 12o1111o21oˆˆˆˆˆˆˆ AZAAZAZ +=+

a algebraické úprav

21

122o ˆ

ˆˆ

A

AZ = .

Rozšííme-li pravou stranu rovnice formáln lenem 11

11

ˆ

ˆ

A

A dostaneme

11

12

21

112o ˆ

ˆ

ˆ

ˆˆ

A

A

A

AZ = ,

241

kde první len pedstavuje vstupní impedanci naprázdno a druhý vstupní impedanci nakrátko, tedy

k1o121

12o

ˆˆˆ

ˆˆ ZZ

A

AZ ==

a jak vidíme, je obrazová impedance rovna geometrickému prmru impedancí vstupní brány pi nezatížené a zkratované brán výstupní, což mžeme využít k jejich experimentálnímu stanovení, viz obr. 7.6.

2‘ 1‘

2 1

1oZo1

o1

21

11

ˆ

ˆ,

ˆ

ˆ

I

U

A

A

2‘ 1‘

2 1

1kZk1

k1

22

12

ˆ

ˆ,

ˆ

ˆ

I

U

A

A1oZ

1‘

1

≡ 1kZ

1‘

1

≡

Obr. 7.6 Stanovení vstupní impedance: naprázdno, nakrátko

Definujme dále oba inverzní penosy pi obrazovém pizpsobení zátže. Pro napový penos platí

a proudový penos

os ˆˆ2

1oI ˆ

ˆˆ

ZZI

IG

=−

= .

Dosadíme-li do proudového penosu ze zobecnného Ohmova zákona za proudy obou bran, získáme

os

os

ˆˆ2

1

ˆˆo

2

o

1

oI ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆZZ

ZZ

U

U

Z

U

Z

U

G=

=

=

−−

= .

Jak vidíme, proudový penos je stejný jako penos napový a nazvme ho obrazový

os ˆˆ2

1oIoUo ˆ

ˆˆˆˆ

ZZU

UGGG

=

=== .

Dosadíme-li do obrazového penosu kaskádní napovou rovnici, dostaneme

o

1211

2

21211

2

212211

2

1o ˆ

ˆˆ

ˆ

ˆ1ˆˆ

ˆ)ˆ(ˆˆˆ

ˆ

ˆˆ

Z

AA

I

UAA

U

IAUA

U

UG +=

−

+=−+

==

a po dosazení za

21

12o ˆ

ˆˆ

A

AZ = a 1ˆˆˆ 11

22112 −= AAA (odvozeno z 1ˆˆˆˆˆˆˆˆ

2112112

21122211 =−=−= AAAAAAAA )

získáme

osˆˆ2

1oU ˆ

ˆˆ

ZZU

UG

=

=

242

1ˆˆˆˆˆˆ

ˆˆˆˆ 2

111121121112

211211o −+=+=+= AAAAA

A

AAAG .

K obrazovému penosu oG definujme obrazovou míru penosu og vztahem

oooooo jjˆ)ˆarg(joo eeeeeˆˆ babagGGG ===⋅= + .

Po logaritmování obdržíme obrazovou míru penosu

( ) )ˆarg(jˆlneˆlnˆlnjˆ oo)ˆarg(j

oooooo GGGGbag G +=⋅==+= ,

kde jeho reálná složka

2

1

2

1oo ˆ

ˆln

ˆ

ˆlnˆln

I

I

U

UGa ===

je obrazový útlum (konstanta tlumení), který je definován logaritmem velikosti napového a proudového penosu a jeho imaginární složka

( )

=

==

2

1

2

1oo ˆ

ˆarg

ˆ

ˆargˆarg

I

I

U

UGb

je obrazový úhel penosu (obrazová fáze, fázová konstanta), který je definován argumentem napového nebo proudového penosu. Udává fázový posun mezi vstupním a výstupním naptím a souasn i vstupním a výstupním proudem. Obrazový útlum udává míru tlumení penosové cesty, který je u pasivního, soumrného dvojbranu vždy nezáporný.

Jak víme, pasivní a soumrný dvojbran je charakterizován dvma kaskádními parametry. Hledejme nyní vztah mezi tmito parametry a obrazovými parametry. Vyjdme z následujících rovnic

211211ˆ

oˆˆˆeˆ o AAAG g +== ,

( )( ) 1ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ2112112112112112

211 =+−=− AAAAAAAAA ,

když upravíme druhou rovnici s využitím rovnice první do tvaru

( ) ( )o

o

ˆˆ

o211211

211211 ee

1ˆ1

ˆˆˆ

1ˆˆˆ g

gGAAAAAA −===

+=− .

Soutem a rozdílem tchto rovnic získáme

oo ˆˆ11

oo eeˆ2

ˆ1ˆ ggA

GG −+==+ ,

oo ˆˆ2112

oo eeˆˆ2

ˆ1ˆ ggAA

GG −−==− .

Užitím hyperbolických funkcí dostaneme rovnice pro káskádní parametry

)ˆcosh(2

eeˆˆo

ˆˆ

1122

oo

gAAgg

=+

==−

,

)ˆsinh(2

eeˆˆo

ˆˆ

2112

oo

gAAgg

=−

=−

,

kdy druhou rovnici užitím upravených vztah pro obrazovou impedanci

243

21

2112

2121

2112

21

21

21

12o ˆ

ˆˆ

ˆˆ

ˆˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆˆ

A

AA

AA

AA

A

A

A

AZ === nebo

2112

12

2112

1212

12

12

21

12o

ˆˆ

ˆ

ˆˆ

ˆˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆˆ

AA

A

AA

AA

A

A

A

AZ ===

pepíšeme do následujících tvar

o

o21 ˆ

)ˆsinh(ˆZ

gA = ,

)ˆsinh(ˆˆoo12 gZA = .

Kaskádní matice reciprokého podéln soumrného dvojbranu vyjádená pomocí obrazových parametr má tvar

[ ]

=)ˆcosh()ˆsinh(

ˆ1

)ˆsinh(ˆ)ˆcosh(ˆ

ooo

ooo

ggZ

gZgA .

Dále si pomocí obrazových parametr vyjádeme vstupní impedance naprázdno a nakrátko

)ˆcoth(ˆ

ˆ

)ˆsinh()ˆcosh(

ˆ

ˆˆ

oo

o

o

o

21

11o1 gZ

Z

gg

A

AZ === ,

)ˆtanh(ˆ)ˆcosh(

)ˆsinh(ˆ

ˆ

ˆˆ

ooo

oo

22

12k1 gZ

g

gZ

A

AZ === ,

které dejme do pomru, a to tak, že impedanci nakrátko podlíme impedancí naprázdno, ímž získáme

)ˆ(tanh

)ˆtanh(

1

)ˆtanh(

)ˆcoth(ˆ

)ˆtanh(ˆ

ˆ

ˆo

2

o

o

oo

oo

o1

k1 g

g

g

gZ

gZ

Z

Z===

a po úprav

o1

k1o ˆ

ˆ)ˆtanh(

Z

Zg = .

Zmíme-li na vstupní stran penosové cesty impedanci naprázdno a nakrátko, mžeme pomocí tchto hodnot urit obrazové parametry pasivního, soumrného dvojbranu. Obrazovou impedanci uríme z již díve odvozeného vztahu

k1o1oˆˆˆ ZZZ =

a obrazový penos

−

+

=

o1

k1

o1

k1

o

ˆ

ˆ1

ˆ

ˆ1

ln2

1ˆ

Z

Z

Z

Z

g ,

odvozený z relací mezi hyperbolickými funkcemi

244

o

o

o

o

o

o

o

o

oo

oo

ˆ2

ˆ2

ˆ

ˆˆ

ˆ

ˆˆ

ˆˆ

ˆˆ

o

oo

e1

e1

e

e1e

e

e1e

2

ee2

ee

)gcosh(

)gsinh()gtgh( g

g

g

gg

g

gg

gg

gg

−

−

−

−

−

−

+

−=

+

−

=+

−

== .

Osamostatnní lenu oˆ2e g− docílíme vynásobením obou stran rovnice lenem oˆ2e1 g−+ a následnými úpravami

( )

( )

,)gtgh(1

)gtgh(1e

),gtgh(1)gtgh(1e

),gtgh(1ee)gtgh(

,e1e1)gtgh(

o

oˆ2

ooˆ2

oˆ2ˆ2

o

ˆ2ˆ2o

o

o

o

oo

+

−=

−=+

−=+

−=+

−

−

−−

−−

g

g

gg

gg

o

pípadn

)gtgh(1

)gtgh(1e

o

oˆ2 o

−

+=g .

Je-li za sebou azeno v kaskád více dvojbran se stejnou obrazovou impedancí, viz obr. 7.7, platí pro výsledný penos penosové cesty

nn

n

n

GGGU

U

U

U

U

U

U

UG o2o1o

1

3

2

2

11o

ˆ...ˆˆˆ

ˆ....

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆˆ === − nebo n

n

n

n

GGGI

I

I

I

I

I

I

IG o2o1o

1

3

2

2

11o

ˆ...ˆˆˆ

ˆ....

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆˆ =

−

−

−=

−= −

a pro výsledný obrazový penos

nggggG oo2o1o ˆˆˆˆo eeeeˆ

==

a obrazovou míru penosu a její složky

ngggg oo2o1o ˆˆˆˆ +++= ,

naaaa o2o1oo ...+++= ,

nbbbb o2o1oo ... +++= .

Výsledná obrazová míra penosu je dána soutem jednotlivých obrazových mr penosu, tedy i jejich složky (obrazový útlum a úhel penosu) jsou dány souty parametr jednotlivých dvojbran.

[ ]1A

1I

1U [ ]2A2U 3U

2I− 3I−

[ ]nA

1ˆ

−− nI

1ˆ

−nUnU

nI−

Obr. 7.7 Kaskádní azení dvojbran

245

Píklad 7.3.

Urete obrazové parametry dvojbranu z obr. 7.8.

2

2‘

1

1‘

C

L

C

Obr. 7.8 Zapojení Π lánku, píklad 7.3

♦

Odvození kaskádních parametr si ukažme, jiným zpsobem než ze stav dvojbranu naprázdno a nakrátko, a to pímou aplikací Kirchhoffových zákon a užitím zobecnného Ohmova zákona. Poítací šipky jsou zavedeny na obr. 7.9

2

2‘

1

1‘

C

L

C 1U2U

1I 2I−LULI

1CI2CI

J

Obr. 7.9 Π lánek, zavedení poítacích šipek, píklad 7.3

První kaskádní rovnici získáme na základ 2. Kirchhoffova zákona

( )( )( ) 22

2

22222C2L2L1

ˆjˆ1

ˆˆjˆjjˆˆˆjˆˆjˆˆˆ2

ILULC

UILUCLUIILUILUUU

ωω

ωωωωω

+−=

=++=+−−=+=+=

a druhou kaskádní rovnici z 1. Kirchhoffova zákona aplikovaného na ez J

( ) ( )[ ]( ) ( ) .ˆ1ˆ2j

ˆˆjˆjˆ1jˆˆjˆjˆˆˆˆ

22

22

22222

2212CC1 21

ILCULCC

IUCILULCCIUCUCIIII

ωωω

ωωωωωω

−+−=

=+++−=++=−−+=

Srovnáním len u závislých veliin s obecným modelem kaskádního dvojbranu

( )2122111ˆˆˆˆˆ IAUAU −+= ,

( )2222211ˆˆˆˆˆ IAUAI −+=

získáme následující hodnoty prvk kaskádní matice dvojbranu

LCA 211 1ˆ ω−= , LA ωjˆ

12 = ,

( )LCCA 221 2jˆ ωω −= , LCA 2

22 1ˆ ω−= .

246

Jelikož platí LCAA 22211 1ˆˆ ω−== , je dvojbran soumrný a mžeme pro nj urit obrazové

parametry.

Dosazením do definice obrazové impedance získáme

( ) LCC

L

LCC

L

A

AZ

2221

12o

2

1

2j

jˆ

ˆˆ

ωωω

ω

−=

−== .

Pro stanovení obrazového útlumu musíme ze známých kaskádních parametr nejdíve urit obrazový penos

( ) ( ),2j1

211111ˆˆˆ

22

22222221111o

LCLCLC

LCLCLCLCLCAAG

ωωω

ωωωωω

−+−=

=−−+−=−−+−=−+=

který použijeme ke stanovení složek obrazové míry penosu. Reálnou složku, obrazový útlum uríme z definice jako velikost jeho modulu

( ) ( ))(0)1ln(

221ln2j1lnˆln 2222222oo

−==

=

−++−=

−+−== LCLCLCLCLCLCLCGa ωωωωωωω

a imaginární složku,obrazový úhel penosu z jeho argumentu

( )

−

−==

LC

LCLCGb

2

2

oo1

2arctanˆarg

ω

ωω .

Protože obrazový útlum je nulový, je zkoumaný dvojbran bezeztrátový a pro jeho obrazovou míru penosu platí

−

−==

LC

LCLCbg

2

2

oo1

2arctanjjˆ

ω

ωω .

Shrnutí pojm 7.2.

K posouzení vlivu penosové cesty na penos energie nebo signálu slouží napový a proudový penos. Oba tyto penosy jsou u obrazov pizpsobeného dvojbranu stejné a definujeme pro nobrazovou míru penosu, která má dv složky obrazový útlum a obrazový úhel penosu. Obrazovpizpsobený dvojbran má stejnou hodnotu vstupní i výstupní impedance, která je rovna hodnotobrazové impedance. Hodnotu obrazové impedance mžeme experimentáln urit výpotem z namených hodnot vstupní impedance naprázdno a nakrátko. V pípad kaskádního azení výslednou obrazovou míru penosu uríme soutem jednotlivých obrazových mr penosu jednotlivých dvojbran.

Otázky 7.2.

1. Co jsou to obrazové parametry a k emu slouží?

2. Kolika obrazovými parametry jsou definovány vlastnosti obrazového dvojbranu?

3. Jaký je vztah mezi napovým a proudovým penosem pasivního, soumrného dvojbranu?

247

4. Pro jaký dvojbran jsou obrazové parametry definovány?

5. Jak mžeme stanovit hodnotu obrazové impedance?

6. Co znamená, ekne-li se, že zátž je obrazov pizpsobena?

7. Jak zajistíme, aby celá penosová cesta byla obrazov pizpsobená?

8. Jak je definována obrazová míru penosu?

9. Jakou hodnotu má obrazový útlum pasivního dvojbranu?

10. Co udává obrazový úhel penosu?

11. Pomocí kterých funkcí mžeme zapsat obrazové parametry dvojbranu?

12. emu je rovna výsledná obrazová míra penosu kaskádn azených obrazových dvojbran?

Úloha k ešení 7.2.

Urete obrazovou impedanci odporového dvojbranu z obr. 7.10.

2

2‘ 1‘

R R

R

1

Obr. 7.10 Zapojení Τ lánku, úloha k ešení 7.2

ešení:

Z hodnot kaskádních parametr dvojbranu urených z jeho provozních stav podle obr. 7.11 nejprve ovíme jeho soumrnost

2

2

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆˆ

1

1

1

1

o2

o1

0ˆ2

111

2

==

+

====

U

U

URR

RU

U

U

U

UA

I

,

2

2

31

2

12

31

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆˆ

1

1

k2

k1

0ˆ2

122

2

==

+++

++

=−

=−

==

R

R

RR

RRR

U

RR

RRR

RRR

U

I

I

I

IA

U

.

Jelikož platí 2211ˆˆ AA = , je dvojbran soumrný. Pomocí zbývajících hodnot kaskádních parametr

R

R

U

U

RR

RRR

U

RR

R

U

I

U

I

UA

U

3

2

3

ˆ

2

1

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆˆ

1

1

1

1

k2

k1

0ˆ2

112

2

==

+++

=−

=−

==

,

248

2

2‘

1

1‘

R

Û1o

Î1o Î2o

R

R Û2o

2

2‘

1

1‘

R

Û1k

Î1k Î2k

R

R

Obr. 7.11 Provozní stavy Τ lánku: naprázdno, nakrátko, úlohy k ešení 7.2

RU

R

U

URR

U

U

I

U

IA

I

1

2

ˆ2

ˆ

2

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆˆ

1

1

1

1

o2

o1

0ˆ2

121

2

==+====

stanovíme jeho obrazovou impedanci

R

R

R

A

AZ 3

13

ˆ

ˆˆ

21

12o === .

7.3. Obrazové parametry nesoumrného dvojbranu Nesoumrný dvojbran je uren temi kaskádními parametry a nemá v obou smrech penosu stejné

vlastnosti. Z tohoto dvodu u nj definujeme dv obrazové impedance, vstupní o1Z a výstupní o2Z ,

viz obr. 7.12. Vstupní obrazová impedance o1Z je definována pi zatížení výstupní brány zátží

o hodnot impedance o2Z a výstupní obrazová impedance o2Z pi zatížení vstupní brány zátží

o hodnot impedance o1Z . Dosazením tchto podmínek do vstupní a výstupní impedance dvojbranu dostaneme

22o221

12o211o11 ˆˆˆ

ˆˆˆˆˆ

AZA

AZAZZ

+

+== ,

11o121

12o122o22 ˆˆˆ

ˆˆˆˆˆ

AZA

AZAZZ

+

+== .

Analogickými úpravami jako u soumrného dvojbranu získáme defininí vztahy obou tchto obrazových impedancí z provozních stav naprázdno a nakrátko

22

12

21

11k1o1o1 ˆ

ˆ

ˆ

ˆˆˆˆ

A

A

A

AZZZ == ,

11

12

21

22k2o2o2 ˆ

ˆ

ˆ

ˆˆˆˆ

A

A

A

AZZZ == .

249

Û1

Î1

Û2

-Î2

2‘ 1‘

[ ]A

2 1

o2Z

Û1

Î1

Û2

-Î2

2‘ 1‘

[ ]A

2 1

o1Z

1‘

1

≡

o2Z

2‘

2

≡

o1Z

Obr. 7.12 Definice obrazových impedancí nesoumrného dvojbranu

Vynásobíme-li ob obrazové impedance mezi sebou, dostaneme

,ˆˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆˆˆ 2

o21

12

11

12

21

22

22

12

21

11o2o1 Z

A

A

A

A

A

A

A

A

A

AZZ ===

kde pomr 21

12

ˆ

ˆ

A

A je roven tverci obrazové impedance soumrného dvojbranu oZ , takže platí

o2o121

12o

ˆˆˆ

ˆˆ ZZ

A

AZ == .

Obrazová impedance soumrného dvojbranu je tedy definována geometrickým prmrem obrazových hodnot vstupní a výstupní impedance nesoumrného dvojbranu. Podlíme-li ob obrazové impedance, získáme pomr, který udává míru nesymetrie dvojbranu

22

11

11

22

22

11

11

12

21

22

22

12

21

11

o2

o1

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

Z

Z=== ,

který po odmocnní mžeme zapsat

22

11

o2

o1s ˆ

ˆ

ˆ

ˆˆ

A

A

Z

Zk == .

Pomocí koeficientu nesymetrie dvojbranu sk a obrazové impedance soumrného dvojbranu oZmžeme zapsat obrazové impedance takto

os21

12

22

11o1

ˆˆˆ

ˆ

ˆ

ˆˆ Zk

A

A

A

AZ == ,

os21

12

11

22o2

ˆˆ1

ˆ

ˆ

ˆ

ˆˆ Z

kA

A

A

AZ == .

250

Zatížíme-li nesoumrný dvojbran obrazovou impedancí o2Z , platí pro výstupní proud ze zobecnného Ohmova zákona rovnosti

o

2s

os

2

o2

22 ˆ

ˆˆ

ˆˆ1

ˆ

ˆ

ˆˆ

Z

Uk

Zk

U

Z

UI ===−

nebo po úprav pro výstupní naptí

( )s

2o2 ˆ

ˆˆˆ

k

IZU

−= ,

které dosadíme do kaskádních rovnic

( ) 2o

12s11

o

2s122112122111

ˆˆ

ˆˆˆ

ˆ

ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ U

Z

AkA

Z

UkAUAIAUAU

+=+=−+= ,

( ) ( ) ( ) ( )222s

o21222

s

2o212222211

ˆˆˆ

ˆˆˆˆ

ˆ

ˆˆˆˆˆˆˆˆ IA

k

ZAIA

k

IZAIAUAI −

+=−+

−=−+= ,

ze kterých si vyjádíme penosy, napový

( )21122211s

21

12

12

22

11

11s

o

12

s

11s

o

12s11

ˆˆ2

1oU

ˆˆˆˆˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆˆ

ˆ

ˆˆˆ

ˆ

ˆˆ

o2s

AAAAk

A

A

A

A

A

Ak

Z

A

k

Ak

Z

AkA

U

UG

ZZ

+=

+=

+=+==

=

a proudový penos

( )

,ˆˆˆˆˆ1

ˆˆ

ˆ

ˆ

ˆˆ

ˆ1ˆˆˆˆ

ˆ1ˆ

ˆ

ˆˆ

ˆ

ˆˆ

21122211

s

22

22

11

21

1221

s

22so21

s

22

s

o21

ˆˆ2

1oI

o2s

+=

=

+=+=+=

−=

=

AAAAk

AA

A

A

AA

kAkZA

kA

k

ZA

I

IG

ZZ

kde jsme k úprav použili definice obrazové impedance soumrného dvojbranu oZ a koeficientu

nesymetrie dvojbranu sk . Z defininích vztah penos nesoumrného dvojbranu zatíženého

obrazovou impedancí o2Z vidíme, že oba penosy se nerovnají.

Vynásobíme-li oba penosy, dostaneme

( ) ( ) ( )2

2112221121122211s

21122211soIoUˆˆˆˆˆˆˆˆ

ˆ1ˆˆˆˆˆˆˆ AAAAAAAAk

AAAAkGG +=++= ,

takže mžeme definovat geometrickou stední hodnotu obrazového penosu

21122211oIoUoˆˆˆˆˆˆˆ AAAAGGG +== .

Výše uvedené penosy tak mžeme zapsat

( ) os21122211sˆˆ2

1oU

ˆˆˆˆˆˆˆˆ

ˆˆ

o2s

GkAAAAkU

UG

ZZ

=+===

,

251

( ) os

21122211sˆˆ2

1oI

ˆˆ1ˆˆˆˆ

ˆ1

ˆ

ˆˆ

o2s

Gk

AAAAkI

IG

ZZ

=+=−

==

,

a jejich obrazové míry penosu

( ) ( ) ( ) sososooU ˆˆlnˆlnˆˆlnˆ ggkGkGg +=+== ,

( ) ( ) sosos

ooI ˆˆˆlnˆln

ˆ

ˆlnˆ ggkG

k

Gg −=−=

=

kde

( )ooˆlnˆ Gg =

je stední obrazová míra penosu

( )ssˆlnˆ kg =

je obrazová míra nesoumrnosti.

Obrazová míra napového a proudového penosu je tedy dána soutem a rozdílem stední obrazové míry penosu og a obrazové míry nesoumrnosti sg .

Závrem konstatujme, že pro 1ˆs→k pejdou vztahy pro nesoumrný dvojbran zatížený obrazovou

impedancí o2Z na vztahy odvozené pro soumrný dvojbran zatížený obrazovou impedancí oZ .

Píklad 7.4.

Urete obrazové parametry dvojbranu na obr. 7.13, je-li k vstupní brán pipojen harmonický zdroj naptí o úhlovém kmitotu ω.

2

2‘

1

1‘

R 2RC

Obr. 7.13 Zapojení Τ lánku, nesoumrný dvojbran, píklad 7.4

♦

Abychom mohli stanovit obrazové parametry dvojbranu, musíme nejprve urit kaskádní parametry dvojbranu, napový penos naprázdno

RCU

RC

U

U

U

U

UA

I

ω

ω

j1ˆ

j1

1

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆˆ

1

1

o2

1

02

111

2

+=

+

====

urený z dlie naptí naprázdno tvoeného RC obvodem, viz obr. 7.14, kde

252

11o2ˆ

j1

1ˆ

j

1j

1

ˆ URC

U

CR

CU

ωω

ω+

=+

= ,

a penosovou admitanci naprázdno

CU

RC

URC

C

U

I

U

IA

I

ω

ω

ωω

jˆ

j1

1

ˆj1

j

ˆ

ˆ

ˆ

ˆˆ

1

1

o2

o1

02

121

2

=

+

+===

=

,

kde

11

o1ˆ

j1

j

j

1

ˆˆ U

RC

C

CR

UI

ωω

ω+

=+

= .

2

2‘

1

1‘

R 2RC Û1 Û2o

1

1‘

R

C Û1

Î1o

2

2‘

Û2o≡

Î2o = 0 A=

Obr. 7.14 Τ lánek, nesoumrný dvojbran stav naprázdno, píklad 7.4

Penosovou impedance nakrátko

CRRI

RC

IRC

CRR

I

U

I

UA

U

2

k1

k1

2

k2

1

02

112 2j3

ˆ2j1

1

ˆ2j1

2j3

ˆ

ˆ

ˆ

ˆˆ

2

ω

ω

ωω

+=

+

+

+

=−

=−

==

jsme urili z dlie proudu, vzniklého po vytvoení zkratu na výstupu dvojbranu, viz obr. 7.15 a pomocí zobecnného Ohmova zákona podle následujících rovnic

k1k1k2ˆ

2j1

1ˆ

j2

12

1

ˆ IRC

IC

R

RIωω +

=+

=− ,

RC

CRR

RC

RR

CR

RZ2j1

2j3

2j1

2

j2

11ˆ

2

k1 ωω

ωω +

+=

++=

++= ,

k1

2

k1k11ˆ

2j1

2j3ˆˆˆ IRC

CRRIZU

ωω

+

+== .

Pro proudový penos nakrátko potom platí

253

RCI

RC

I

I

I

I

IA

U

2j1ˆ

2j1

1

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆˆ

k1

k1

k2

k1

02

122

2

ω

ω

+=

+

=−

=−

==

.

2

2‘

1

1‘

R 2R

C Û1

Î1k Î2k

Obr. 7.15 Τ lánek, nesoumrný dvojbran stav nakrátko, píklad 7.4

Obrazové impedance jsou

( )( )( ) ( ) CRC

CRCRR

CRC

CRRRC

A

A

A

AZ

ωωωω

ωωωω

j2j1

6j23

j2j1

2j3j1ˆ

ˆ

ˆ

ˆˆ

22322

21

12

22

11o1 +

+−=

+

++== ,

( )( )( ) ( ) CRC

CRCRR

CRC

CRRRC

A

A

A

AZ

ωωωω

ωωωω

jj1

8j43

jj1

2j32j1ˆ

ˆ

ˆ

ˆˆ

22322

21

12

11

22o2 +

+−=

+

++== ,

koeficientu nesymetrie dvojbranu

RC

RCk

2j1

j1ˆs ω

ω+

+= ,

obrazový napový penos

( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )RC

CRRCCRRC

RC

CCRCRRRC

RC

CCRRRCRC

CCRRRCRCRC

RCAAAAkG

2j1

23j5j1

2j1

j25j3j1

2j1

j2j3j1j1

j2j32j1j12j1

j1ˆˆˆˆˆˆ

332222

23222

221122211soU

ωωωω

ω

ωωωω

ωω

ωωωω

ωωωωωω

+

−+−++=

=+

−+++=

+

++++=

=++++++

=+=

získaný vytknutím lenu RCωj1 + a obrazový proudový penos

( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ),

j1

43j82j1

j1

j8j43

2j1j1

j2j32j12j1

j2j32j1j1j1

2j1ˆˆˆˆˆ1ˆ

3322222232

2

221122211

soI

RC

CRRCCRRC

RC

CCRCRR

RCRC

CCRRRCRC

CCRRRCRCRC

RCAAAA

kG

ωωωω

ωω

ωωω

ωω

ωωωω

ωωωωω

ω

+

−+−++=

+

+−+

++=+

++++=

=+++++

+=+=

získaný vytknutím lenu RC2j1 ω+ .

254

Shrnutí pojm 7.3.

Nesoumrný dvojbran je charakterizován dvma obrazovými impedancemi, vstupní o1Z a výstupní

o2Z a dvma obrazovými penosy, naptí oUG a proudu oIG nebo jejich obrazovými mírami penosu

oUg a oIg . Zavedením koeficientu nesymetrie dvojbranu sk mžeme parametry nesoumrného dvojbranu vyjádit pomocí parametr soumrného dvojbranu, které jsou definovány geometrickým prmrem parametr nesoumrného dvojbranu.

Otázky 7.3.

1. Jak jsou definovány obrazové impedance nesoumrného dvojbranu?

2. Mají obrazové impedance nesoumrného dvojbranu stejné hodnoty?

3. Pro zavádíme koeficient nesymetrie dvojbranu?

4. Jakou hodnotu má koeficient nesymetrie soumrného dvojbranu?

5. V jakém vztahu je obrazový penos naptí a proudu nesoumrného dvojbranu?

6. ím je dána obrazová míra napového a proudového penosu nesoumrného dvojbranu?

Úloha k ešení 7.3.

Urete koeficient nesymetrie dvojbranu na obr. 7.16.

2

2‘

1

1‘

R 2R

R

Obr. 7.16 Zapojení Τ lánku, nesoumrný odporový dvojbran, úlohy k ešení 7.3

ešení:

Koeficient nesymetrie je uren kaskádními parametry dvojbranu 11A a 22A z odpovídajících provozních stav dvojbranu na obr. 7.17. Pro požadované kaskádní parametry platí

2

2

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆˆ

1

1

1

1

o2

o111 ==

+

==U

U

URR

RU

U

UA , 3

3

51

3

13

51

2

2

ˆ

2

2

2

ˆ

ˆ

ˆˆ

1

1

k2

k122 ==

++

+

++

=−

=

R

R

RR

RRR

U

RR

R

RR

RRR

U

I

IA ,

takže dvojbran není soumrný, protože 2211ˆˆ AA ≠ .

255

2

2‘

1

1‘

R

Û1o = Û1

Î1o Î2o

2R

R Û2o

2

2‘

1

1‘

R

Û1k = Û1

Î1k Î2k

2R

R

Obr. 7.17 Provozní stavy Τ lánku, nesoumrný odporový dvojbran: naprázdno, nakrátko, úloha k ešení 7.3

Po dosazení tchto hodnot kaskádních parametr a vyíslení koeficientu nesymetrie

3

2ˆ

ˆˆ

22

11s ==

A

Ak

vidíme, že koeficient má jen reálnou ást.

256

8. Obvody s rozprostenými parametry

Motivace Po prostudování této kapitoly budete umt

• vymezit pojem „obvod s rozprostenými parametry“ • odvodit obecné rovnice homogenního vedení • definovat pímou a zptnou vlnu naptí a proudu • analyzovat bezeztrátové vedení • definovat vlnový odpor bezeztrátového vedení

8.1. Odvození rovnic homogenního vedení U nkterých elektrických zaízení není pípustné pi jejich modelování oddlit elektrickou a magnetickou složku elektromagnetického pole a nadále pedpokládat, že energie složek pole je soustedna do prostorov malých ástí obvodu modelovaných obvodovými prvky se soustednými parametry, nebo tento model již dostaten pesn nepostihuje fyzikální realitu. Je to dsledek konené rychlost šíení elektromagnetického pole, jehož metody modelování dávají obecn pesnjší výsledky než metody teorie obvod. Za uritých pedpoklad mžeme tato zaízení modelovat „obvodáskými“ postupy, ale naptí a proudy v jednotlivých ástech elektrického zaízení musíme modelovat v závislosti nejen na ase, ale i na prostorové souadnici. Mluvíme o obvodech s rozprostenými parametry a energii obvodu nedáváme pouze pívlastek elektrická, nýbrž elektromagnetická.

V obvodech se soustednými parametry je elektrická (elektromagnetická) energie koncentrována do koneného potu prostorov oddlených obvodových prvk s konstantními parametry, viz obr. 8.1, které reprezentují navzájem oddlená fyzikální pole, a to proudové J modelované rezistorem R, elektrické E modelované kapacitorem C a magnetické B modelované induktorem L, buzená náboji ±Q, existujícími na svorkách zdroje v dsledku psobení jeho rozdlujících sil. Energie obvodových prvk, tím že jsou prostorov oddlené, se navzájem neovlivují, a proto nemají ani vliv na základní funkci obvodových prvk. Vztahy mezi elektrickými veliinami obvodu mžeme popsat jen asovými funkcemi a ešit je prostedky teorie obvod. Tím, že zanedbáváme prostorové závislosti veliin, mlky pedpokládáme, že rozruch elektrické energie (signál) vybuzený zdrojem naptí nebo proudu existuje ve všech místech obvodu souasn v daném ase. Elektromagnetické vlnní penášející elektrickou energii podél obvodu má tak neomezenou rychlost, což je však ryzí abstrakce, nebo jak víme, jeho rychlost je vždy konená a má hodnotu rychlosti svtla v daném prostedí. Tohoto zjednodušení se mžeme dopustit prakticky jen tehdy, jsou-li rozmry modelovaného elektrického zaízení mnohem vtší, než je délka elektromagnetické vlny vybuzené zdrojem, který ho napájí.

TR 236 1K/J

TC 206 1mF J 250 V

B

E

J

+Q

-Q

RL

C

u

i

i

u

8.1 Model obvodu se soustednými obvodovými parametry: technická realizace, schéma zapojení

257

Není-li tato podmínka splnna, prostorovou závislost obvodových veliin již nelze zanedbat. Spojitrozložené energie polí nejsou prostorov oddlené, což znamená, že souasn existují ve stejných bodech prostoru v podob jednotného elektromagnetického pole. Chceme-li toto pole modelovat pesto jako obvod, musíme jeho linie nahradit spojit rozloženými obvodovými parametry v prostoru. Toto lze s výhodou provést za pedpokladu, že podélné rozmry elektrického zaízení jsou mnohem vtší než píné. Typickým pedstavitelem takového elektrického zaízení je dlouhé, homogenní vedení na obr. 8.2 vlevo, které modelujeme v rámci délkového elementu dx (bodu prostoru) podélným zapojením technické cívky a píným zapojením technického kondenzátoru s konstantními mrnými parametry na jednotku délky R0, L0, G0, C0. Tyto parametry jednoznan charakterizují homogenní vedení a íkáme jim primární parametry vedení. Hodnoty primárních parametr jsou vztaženy na jednotku délky. Na obr. 8.2 vpravo je nakresleno jedno z možných náhradních obvodových schémat vedení. Zpesnním modelu vedení po zavedení prostorov rozložených parametr se mní i zpsob ešení obvodu, nebo dje mají vlnový charakter. Podél vedení tak existuje postupné elektromagnetické vlnní v podob proudové a napové vlny šíící se od zdroje ke spotebii kolem vedení konenou rychlostí.

u(x,t)

x

B

E

+Q

-Q

i(x,t)

i

R0 dx L0 dx

G0 dx C0 dx

i(x,t)

u(x,t) u(x+dx,t)

i(x+dx,t)

dx

8.2 Model obvodu s prostorov rozloženými parametry: technická realizace, náhradní schéma zapojení elementu vedení s mrnými parametry modelované Γ lánkem

Píklad 8.1.

Vytvote další možné schéma náhradního obvodu dlouhého vedení.

♦

Krom již použitého Γ-lánku, mže pro modelování nekonen malého elementu vedení využít další základní modely podéln soumrných dvojbran, a to T-lánek a Π-lánek. Píklad náhradního modelu vedení využívajícího posledn uvedeného lánku je na obr. 8.3. Je z nj patrné rozdlní pvodních parametr Ro a Co modelujících elektrickou složku elektromagnetického pole na dv ásti zapojené na vstup a výstup elementu vedení, tak aby byl model soumrný.

Odvození rovnic si ukažme pro náhradní model vedení s Γ-lánkem. Postup odvození je stejný jako u obvod se soustednými parametry, s tím rozdílem, že uvažujeme krom asové závislosti obvodových veliin i jejich závislost na souadnici zavedené ve smru délky vedení, což je v našem pípad souadnice x. Dále uvažujeme, že naptí a proud se zmní na elementu vedení dx z hodnoty naptí ),( txu a proudu ),( txi na jeho poátku (vstupu) na hodnoty naptí ),d( txxu + a proudu

),d( txxi + na jeho konci (výstupu) a že hodnoty parametr vedení se s jeho délkou mní, což respektujeme v matematickém modelu zmnou hodnot primárních parametr homogenního vedení na elementu vedení dx o pírstek odporu xRR dd 0= , induknosti xLL dd 0= , vodivosti xGG dd 0= a

258

20G

20C

20G

20C

0R 0L

8.3 Obvodové schéma elementu vedení – T lánek

kapacity xCC dd 0= . Smyková rovnice sestavená potom podle 2. Kirchhoffova zákona pro kladný smysl obhu zvolený ve smru hodinových ruiek, viz obr. 8.4 vlevo, má tvar

0),d(),d(

d),d(d),( 00 =++∂+∂

+++− txxut

txxixLtxxixRtxu ,

kde leny uprosted rovnice pedstavují úbytky naptí na elementu vedení vzniklé od proudu ),d( txxi + v podélném smru vedení.

Uzlová rovnice sestavená potom podle 1. Kirchhoffova zákona, duální k pedchozí rovnici, sestavená podle obvodu na obr. 8.4 vpravo má tvar

0),d(),(

d),(d),( 00 =++∂

∂++− txxi

t

txuxCtxuxGtxi ,

kde leny uprosted rovnice pedstavují „úbytky“ proudu na elementu vedení vzniklé od naptí ),( txuv píném smru vedení.

G0 dx C0 dx

i(x,t)

u(x,t)

i(x+dx,t)

dx

R0 dx L0 dx

i(x,t)

u(x,t)u(x+dx,t)

dx

8.4 Aplikace Kirchhoffových zákon na element vedení: smyka, uzel

Poznamenejme, že vzhledem k závislosti obvodových veliin na více promnných derivace vystupující ve smykové rovnici (Faradayv indukní zákon) a v rovnici pro uzel elementu vedení

(rovnice kontinuity proudu) jsme nezapsali jako obyejné (tx d

d,

d

d), ale parciální (

tx ∂∂

∂∂

, ).

Následn rovnice upravíme do pírstkového tvaru na intervalu 0→dx (tj. pedpokládáme spojitrozložené parametry)

∂+∂

++−=−+

t

txxiLtxxiR

x

txutxxu ),d(),d(

d

),(),d(00

259

a

∂

∂+−=

−+

t

txuCtxuG

x

txitxxi ),(),(

d

),(),d(00 ,

které po stanovení limit pro 0d →x

∂+∂

++−=−+

→→ t

txxiLtxxiR

x

txutxxuxx

),d(),d(lim

d

),(),d(lim 00

0d0d,

∂

∂+−=

−+→→ t

txiCtxiG

x

txitxxixx

),(),(lim

d

),(),d(lim 00

0d0d

pejdou do tvaru

t

txiLtxiR

x

txu

∂

∂+=

∂

∂−

),(),(

),(00

a

t

txuCtxuG

x

txi

∂

∂+=

∂

∂−

),(),(

),(00 .

Ob rovnice tvoí soustavu parciálních diferenciálních rovnic s konstantními koeficienty, kterou eliminací jedné z obvodových veliin pevedeme na ešení jediné parciální (hyperbolické) diferenciální rovnice 2. ádu pro proud nebo naptí následujícím postupem.

Za úelem eliminace proudu derivujeme podle souadnice x parciální diferenciální rovnici pro naptí a podle asu t parciální diferenciální rovnici pro proud, platí tedy

x

t

txiLtxiR

x

x

txu

∂

∂

∂+∂

=∂

∂

∂∂

−

),(),(

),(00

,

t

t

txuCtxuG

t

x

txi

∂

∂

∂+∂

=∂

∂

∂∂

−

),(),(

),(00

a pro provedení naznaených operací

xt

txiL

x

txiR

x

txu

∂∂

∂+

∂

∂=

∂

∂−

),(),(),( 2

002

2

,

2

2

00

2 ),(),(),(

t

txuC

t

txuG

tx

txi

∂

∂+

∂

∂=

∂∂

∂− .

Kvli eliminaci naptí derivujeme podle souadnice x parciální diferenciální rovnici pro proud a podle asu t parciální diferenciální rovnici pro naptí, platí tedy

t

t

txiLtxiR

t

t

txu

∂

∂

∂+∂

=∂

∂

∂∂

−

),(),(

),(00

,

x

t

txuCtxuG

x

x

txi

∂

∂

∂+∂

=∂

∂

∂∂

−

),(),(

),(00

a pro provedení naznaených operací

260

2

2

00

2 ),(),(),(

t

txiL

t

txiR

tx

txu

∂

∂+

∂

∂=

∂∂

∂− ,

xt

txuC

x

txuG

x

txi

∂∂

∂+

∂

∂=

∂

∂−

),(),(),( 2

002

2

.

Dosazením do pravé strany parciální diferenciální rovnice 2. ádu pro naptí za parciální diferenciální rovnici pro proud 1. ádu a za smíšenou parciální diferenciální rovnici 2. ádu pro proud získáme vlnovou rovnici pro naptí

∂

∂+

∂

∂−

∂

∂+−=

∂

∂−

2

2

0000002

2 ),(),(),(),(

),(

t

txuC

t

txuGL

t

txuCtxuGR

x

txu

a úprav

( )2

2

000000002

2 ),(),(),(

),(

t

txuCL

t

txuGLCRtxuGR

x

txu

∂

∂+

∂

∂++=

∂

∂

nebo po dosazení do pravé strany parciální diferenciální rovnice 2. ádu pro proud za parciální diferenciální rovnici pro naptí 1. ádu a za smíšenou parciální diferenciální rovnici 2. ádu pro naptí získáme vlnovou rovnici pro proud

∂

∂+

∂

∂−

∂

∂+−=

∂

∂−

2

2

0000002

2 ),(),(),(),(

),(

t

txiL

t

txiRC

t

txiLtxiRG

x

txi

a úprav

( )2

2

000000002

2 ),(),(),(

),(

t

txiLC

t

txiRCLGtxiRG

x

txi

∂

∂+

∂

∂++=

∂

∂.

Podobn jako pi ešení diferenciálních rovnic s konstantními parametry s nezávislou promnnou asem t používaných pi ešení pechodných dj v elektrických obvodech, musí být dány i pro ešení vlnových rovnic poátení podmínky, které udávají rozložení naptí a proudu podél vedení v ase t = 0 s a navíc i okrajové (Dirichletovy) podmínky, které udávají asový prbh naptí a proudu v libovolném míst x vedení, zpravidla na jeho poátku nebo konci.

Shrnutí pojm 8.1.

U obvod s prostorov rozloženými parametry zohledujeme jak asovou, tak i prostorovou závislost obvodových veliin, nebo se u tchto obvod projevuje konená rychlost šíení elektromagnetického vlnní. Typickým pedstavitelem obvodu s rozprostenými parametry je dlouhé, homogenní vedení charakterizované primárními parametry R0, L0, G0, C0, což jsou mrné hodnoty parametr vedení udávané na jednotku délky. Jevy na vedení popisujeme vlnovými rovnicemi, jejichž ešením získáme proudové a napové vlny na vedení pro dané poátení a okrajové podmínky.

Otázky 8.1.

1. V em se liší obvod s prostorov rozloženými parametry od obvodu s parametry soustednými?

2. Co je kriteriem pro posouzení modelování obvodu soustednými nebo rozloženými parametry?

3. Co je to dlouhé vedení a jak ho modelujeme?

261

4. Co jsou to primární parametry homogenního vedení a jakou mají jednotku?

5. Jakou vlastnost má homogenní vedení?

6. Jak mžeme modelovat element homogenního vedení?

7. Jaký je postup odvození vlnových rovnic dlouhého vedení?

8. K emu slouží okrajové a poátení podmínky vlnových rovnic vedení?

Úloha k ešení 8.1.

Odvote vlnové rovnice homogenního vedení pro element vedení modelovaný L lánkem.

ešení:

Náhradní schéma L lánku je na obr. 8.5.

R0 dx L0 dx

R0 dx C0 dxu(x,t) u(x+dx,t)

i(x+dx,t)

dx

i(x,t)

8.5 Obvodové schéma elementu vedení modelovaného L lánku, úloha k ešení 8.1

Smyková rovnice sestavená potom podle 2. Kirchhoffova zákona pro kladný smysl obhu zvolený ve smru hodinových ruiek má tvar

0),d(),(

d),(d),( 00 =++∂

∂++− txxu

t

txixLtxixRtxu .

Uzlová rovnice sestavená potom podle 1. Kirchhoffova zákona pro kladný smr proudu orientovaný ven z uzlu má tvar

0),d(),d(

d),d(d),( 00 =++∂

+∂+++− txxi

t

txxuxCtxxuxGtxi .

Následn rovnice upravíme do pírstkového tvaru

∂

∂+−=

−+

t

txiLtxiR

x

txutxxu ),(),(

d

),(),d(00 ,

∂

+∂++−=

−+

t

txxuCtxxuG

x

txitxxi ),d(),d(

d

),(),d(00 ,

které po stanovení limit pro 0d →x

∂

∂+−=

−+→→ t

txiLtxiR

x

txutxxuxx

),(),(lim

d

),(),d(lim 00

0d0d,

262

∂

+∂++−=

−+→→ t

txxuCtxxuG

x

txitxxixx

),d(),d(lim

d

),(),d(lim 00

0d0d

pejdou do tvaru

t

txiLtxiR

x

txu

∂

∂+=

∂

∂−

),(),(

),(00

a

t

txuCtxuG

x

txi

∂

∂+=

∂

∂−

),(),(

),(00 .

8.2. Bezeztrátové vedení Pro vytvoení názoru na jevy probíhající na vedení není zapotebí ešit vlnové rovnice v úplném tvaru. Za pedpokladu, že vedení má nulové hodnoty parametr R0, G0 pejdou vlnové rovnice do jednoduššího tvaru

0),(),(

2

2

002

2

=∂

∂−

∂

∂

t

txuCL

x

txu

a

0),(),(

2

2

002

2

=∂

∂−

∂

∂

t

txiCL

x

txi,

který je modelem bezeztrátového (ideálního) vedení, jenž je dobrou aproximací v technické praxi používaného vedení vysokofrekvenního.

Oba tvary vlnových rovnic bezeztrátového vedení jsou homogenní vlnové rovnice, protože jejich pravá strana je nulová. Mají stejný tvar, proto ob vlnové rovnice mžeme popsat jediným typem rovnice

0),(1),(

2

2

2f

2

2

=∂

∂−

∂

∂

t

txv

vx

txv,

kde funkce ),( txv zastupuje obvodové veliiny ),( txu a ),( txi a pro konstantu vf platí po úpravvlnové rovnice

2

2

2f

2

2 1

),(

),(

t

x

vtxv

txv

∂

∂=

∂

∂,

tedy i

2

2

2f

11

t

x

v ∂

∂= a

00f

1

CLt

xv =

∂

∂= .

Konstanta vf má tedy fyzikální význam rychlosti šíení rozruchu v daném prostedí.

Nula na pravé stran znamená, že homogenní rovnice popisuje šíení vln obvodových veliin vedení až po jejich vybuzení, tedy bez pítomnosti zdroj podél vedení. Ty se nacházejí jen na poátku nebo konci vedení a jejich vliv je tak v rovnicích zastoupen okrajovými podmínkami. Napová a proudová vlna (elektromagnetické vlnní) se tedy podél vedení samovoln pohybuje. Jelikož se jedná o homogenní vlnovou rovnici, existuje pouze obecné ešení této rovnice, pro které se dá odvodit zámnou nezávisle promnných x a t, že každá (dvakrát diferencovatelná) funkce tvaru

263

)()(),( fpfz tvxftvxftxv −++=

je jejím ešením. První ást ešení, funkce )( fz tvxf + se vrstajícím asem se „posouvá doleva“ rychlostí vf. Tato ást ešení tedy popisuje postupnou vlnu šíící se v záporném smru osy x (zptná vlna). Obdobn, druhá ást ešení, funkce )( fp tvxf − pedstavuje vlnu šíící se v kladném smru osy

x (pímá vlna). Ob funkce jsou netlumené a mají stálý tvar v daném ase urený funkcemi fz a fp. Dsledkem stálého tvaru funkce je i stálá hodnota obou argument tvx f± , i když se souadnice x a as t mní. To vyžaduje, aby se úinek zmny asu dt i zmny dráhy dx navzájem rušil, tak aby platilo 0dd f =± tvx nebo .konstf =± tvx V teorii vlnní se oba argumenty tvx f± funkcí fz a fp

nazývají fází vlny, což znamená, že body urité fáze ve vln se pohybují konstantní rychlostí vf, kterou nazýváme fázovou. Ob funkce fz i fp se tedy posunou v píslušném smru vi referennímu asovému okamžiku za asový interval dt o vzdálenost tvx dd f= . Funkci ),( txv tak mžeme interpretovat v tom smyslu, že každý dj popsaný homogenní vlnovou rovnicí je tvoen superpozicí dvou vln, které nemní svj tvar a velikost a které se šíí v opaných smrech rychlostí vf. Toto vedení tedy nezkresluje. Obecné ešení, je potom soutem teoreticky nekonen mnoha takových vln, prakticky však lineární kombinací všech možných ešení, daných okrajovými podmínkami.

Píklad 8.2.

Nakreslete rozložení naptí stejnosmrného bezeztrátového vedení délky l v asovém okamžiku ta

a asový prbh naptí v míst xa kam vlna dorazí v ase ta po pipojení zdroje naptí k vedení.

♦

Za pedpokladu, že asový okamžik ta je menší než doba tl potebná k tomu, aby napová vlna dorazila na konec vedení, definovaná vztahem

fl v

lt =

bude rozložení naptí, ale i proudu avšak v jiném mítku odpovídat situaci na obr. 8.6. Místo kam vlna v zadaném ase dorazí, uríme ze vztahu

afa tvx =

a odpovídající asový prbh v míst xa vedení je obr. 8.6.

Grafy obou závislostí, tj. asového prbhu naptí ve zvoleném míst a rozložení naptí podél vedení ve zvoleném ase, získáme ezy vedenými pes tvar asové funkce zobrazené v asoprostoru pro t = konst. a x = konst. V našem pípad se jedná o as ta a místo xa, takže podle obr. 8.6 pro tyto ezy platí t = ta a x = xa. asovou funkci v asoprostoru na obr. 8.6 reprezentuje kvádr, jehož podstava tvarem odpovídá asovému prbhu stejnosmrného zdroje naptí, který je umístn na poátku vedení. Jedna strana podstavy tak odpovídá hodnot stejnosmrného naptí zdroje a druhá dob jeho pipojení. Za úelem snazšího porozumní grafm je okamžik pipojení stejnosmrného zdroje naptí k vedení a tedy i elo stejnosmrné vlny naptí, pohybující se podél vedení fázovou rychlostí, rozlišeno ervenomodrou kombinací barev.

264

0

u(x, t )

ta t

x

xa

0

u(x, ta)

x

0

u(xa, t)

t

Obr. 8.6 Pímá vlna naptí bezeztrátového vedení: asový prbh v míst xa, rozložení naptí podél vedení v ase ta

Ureme nyní diferenciální hodnotu odporu bezeztrátového vedení z pomru rovnic vedení pro naptí a proud

t

txiL

x

txu

∂

∂=

∂

∂−

),(),(0 ,

t

txuC

x

txi

∂

∂=

∂

∂−

),(),(0 .

Po úprav obdržíme

0

02

2

),(

),(

C

L

txi

txu=

∂

∂

a následn vztah pro diferenciální odpor vedení

0

0v ),(

),(

C

L

txi

txuR ±=

∂

∂= ,

kde kladná hodnota ešení kvadratické rovnice náleží vln pímé a záporná vln zptné.

Diferenciální odpor bezeztrátového vedení Rv je tedy konstanta, definovaná nenulovými primárními parametry vedení a má až na znaménko stejnou hodnotu pro pímou i zptnou vlnu. Jelikož je diferenciální odpor vedení konstantní má jeho hodnotu i statický odpor vedení. Odporu vedení tak dáváme spolený pívlastek vlnový nebo charakteristický. Jelikož vlnový odpor má reálnou hodnotu, znamená to, že pímá i zptná napová a proudová vlna mají stejný tvar i fázi a liší se jen mítkem. Pro pímou vlnu tak platí

265

),(),( pvp txiRtxu =

a pro zptnou vlnu

),(),( zvz txiRtxu −= .

Vlnový odpor udává ekvivalentní hodnotu odporu, které klade prostedí elektromagnetickému vlnní, které se šíí podél vedení.

Poznamenejme, že dorazí-li pímá vlna naptí nebo proudu vybuzená zdrojem pipojeným k poátku vedení na jeho konec a není-li vedení impedann pizpsobené, ili zatížené vlnovým odporem, dojde k odrazu vlny na konci vedení a následnému šíení vlny v opaném smru. Odrazem dochází ke vzniku zptné vlny, protože na konci vedení není žádný zdroj, který by ji vybudil. Reáln však na vedení existuje jen výsledná vlna naptí a proudu. Ob vlny jsou soutem dvou složek matematického ešení diferenciálních rovnic dlouhého vedení, které interpretujeme práv jako pímou a zptnou vlnu naptí a proudu. Na skuteném elementu vedení dále vznikají ješt další jevy a pemny energie, než které zachycuje model vedení popsaný primární parametry vedení. Z nevratných pemn jsou to ztráty v dielektriku a magnetiku vyvolané jeho polarizací a magnetizaci. První jsou úmrné asové zmn intenzity elektrického pole E, nebo též naptí mezi vodii, a lze je tudíž zahrnout do píné vodivosti. Druhé jsou úmrné asové zmn intenzity magnetického pole B, tj. proudu a zahrnují se do podélného odporu R0. Do podélné induknosti L0 není rovnž zahrnuté pole uvnit vodi, které lze respektovat zvtšením induknosti L0 o tzv. vnitní induknost Li. Dále jsme zanedbali magnetické pole píných posuvných proud (píná induknost) a elektrické pole ve smru osy vodi (podélná kapacita). Tato pole jsou obvykle zanedbatelná, nebo zmna naptí u(x,t) a proudu i(x,t) podél vedení probíhá velmi pozvolna ve srovnání s pínou vzdáleností vodi.

Shrnutí pojm 8.2.

Bezeztrátové vedení je ideální vedení, které modeluje bezeztrátový penos elektrické (elektromagnetické) energie od zdroje ke spotebii. Má nulové hodnoty mrných parametr vedeníR0, G0. ešením homogenní vlnové rovnice bezeztrátového vedení jsou dv netlumené vlny naptí a proudu, a to pímá a zptná vlna, které postupují podél vedení proti sob konstantní fázovou rychlostí vf bez zmny svého tvaru. Toto vedení nezkresluje. Fázová rychlost udává rychlost pohybu bodvlnní, které mají stejnou fázi. Krom fázové rychlosti bezeztrátové vedení charakterizuje i vlnový odpor vedení, který je reálný a kmitotov nezávislý, takže vlna naptí a proudu má stejnou fázi i tvar a liší se jen mítkem velikosti. Ekvivalentní odpor elektromagnetického prostedí vedení zastupuje v náhradním obvodovém modelu vedení vlnový odpor.

Otázky 8.2.

1. Co je to bezeztrátové vedení a které parametry ho charakterizují?

2. Jaké vedení v praxi lze modelovat bezeztrátovým vedením?

3. Jaké vlastnosti má ešení homogenní vlnové rovnice bezeztrátového vedení a jakou má interpretaci?

4. Co je to fázová rychlost?

5. Liší se njak hodnoty fázové rychlosti pímé a zptné vlny?

6. Pro bezeztrátové vedení nezkresluje?

7. Co udává vlnový odpor vedení?

8. Pro má napová a proudová vlna bezeztrátového vedení stejný tvar?

266

Úloha k ešení 8.2.

Nakreslete rozložení naptí dlouhého bezeztrátového vedení v asovém okamžiku ta, nedošlo-li ješt k odrazu vlny na konci vedení a asový prbh naptí v odpovídajícím míst vedení xa, je-li asový prbh naptí zdroje na vstupu vedení zpoždn o as td, má periodu T a tvar napové rampy, platí-li

Ttt += da .

ešení:

Napová vlna s fázovou rychlostí vf v ase ta dospje do místa

afa tvx = .

Poátek rozruchu v ase je zpoždn o as td. Tomuto zpoždní odpovídá v prostoru posunutí rozložení naptí podél vedení v ase ta o hodnotu

dfd tvx = ,

takže poátení rozruch vybuzený zdrojem naptí na vstupu vedení se objeví v míst xa – xd. Rozložení naptí na vedení je zakresleno na obr. 8.7.

ta td

0

u(x, t )

ta t

xxa

0

u(x, ta)

x

0

u(xa, t)

t

xa – xd

td

xa xa – xd

Obr. 8.7 Pímá vlna naptí bezeztrátového vedení: asový prbh v míst xa, rozložení naptí podél vedení v ase ta, úloha k ešení 8.2

267

9. Analýza homogenního vedení

Motivace Po prostudování této kapitoly budete umt

• odvodit rovnice homogenního vedení v harmonicky ustáleném stavu • definovat sekundární parametry vedení • definovat ekvivalentní dvojbranový model vedení • urit délku vlny a její fázovou rychlost • definovat initele odrazu • pizpsobit penosovou cestu • analyzovat a graficky zobrazit rovnice dlouhého vedení

9.1. Analýza dlouhého vedení v harmonicky ustáleném stavu Analýza dlouhého vedení v harmonicky ustáleném stavu je dležitá k urení rozložení obvodových veliin podél vedení a k popisu jev, které na vedení vznikají a neprojevují se v obvodech modelovaných soustednými parametry. Provádíme ji v komplexní rovin, do které transformujeme obvodové veliiny vedení závislé na ase t i prostorové souadnici x, abychom zjednodušili ešení vlnových rovnic vedení odvozených v kapitole 8.1. V harmonicky ustáleném stavu asov prostorové závislosti naptí a proudu mají tyto parametry: obecn promnnou jak amplitudu )(m xU , )(m xI , tak i

fázi )(U xψ , )(I xψ závislou na souadnici x a konstantní úhlový kmitoet ω . Jsou popsány vztahy

[ ])(sin)(),( Um xtxUtxu ψω += a [ ])(sin)(),( Im xtxItxi ψω += ,

které po transformaci do komplexní roviny mají tvar

[ ] ( ) txtxt xUxUxUxtxUtxu ωψωψωψω j)(jj)(jUm e)(ˆIm2ee)(Im2eIm)(2)(sin)(),( UU ===+= +

,

[ ] ( ) txtxt xIxIxIxtxItxi ωψωψωψω j)(jj)(jIm e)(ˆIm2ee)(Im2eIm)(2)(sin)(),( II ===+= + .

Komplexor naptí txU ωje)(ˆ a komplexor proudu txI ωje)(ˆ se v komplexní rovin pi daném úhlovém kmitotu natoí v ase t o stejný úhel tω , takže asovou závislost obvodových veliin vedení lze z jejich popisu eliminovat a uvažovat jen jejich závislost na souadnici x, reprezentovanou fázory naptí )(ˆ xU a proudu )(ˆ xI . Soustava parciálních diferenciálních rovnic vedení 1. ádu o dvou nezávislých promnných t a x z kapitoly 8.1 tak pejde v komplexní rovin na soustavu obyejných diferenciálních rovnic s nezávislou promnou x

( ) )(ˆˆ)(ˆjd

)(ˆdl00 xIZxILR

x

xU=+=− ω ,

( ) )(ˆˆ)(ˆjd

)(ˆdq00 xUYxUCG

x

xI=+=− ω ,

a vlnové rovnice pejdou do tvaru

0)(ˆˆˆd

)(ˆdql2

2

=− xUYZx

xU,

0)(ˆˆˆd

)(ˆdlq2

2

=− xIZYx

xI.

268

Vlnové rovnice jsou navzájem duální. Ob zahrnují imitance podélné a píné vtve elementu vedení dané obvodovými schématy zakreslenými na obr. 8.4. Mrné parametry podélné vtve vedení definují mrnou podélnou impedanci vedení 00l jˆ LRZ ω+= (pozor, na pozici indexu není íslice 1, ale malé

písmeno „l“), která má jednotku Ω/m. Mrné parametry píné vtve definují mrnou pínou admitanci vedení 00q jˆ CGY ω+= , která má jednotkou S/m.

U obou vlnových rovnic vystupuje souin mrné podélné impedance lZ a píné admitance qY , který

definuje první sekundární parametr vedení, initel šíení γ , pesnji jeho kvadrát

( )( )0000ql2 jjˆˆˆ CGLRYZ ωωγ ++== .

Dosazením jednotek mrné podélné impedance a píné admitance, snadno zjistíme, že initel šíení γ má jednotku m-1. Jeho význam bude vyložen pozdji.

Vlnové rovnice ešíme analogickým zpsobem jako diferenciální rovnice popisující chování RLC obvodu v pechodném dji v kapitole 2.3, s tím rozdílem, že asovou závislost nahradíme závislostí na souadnici x. Nejprve tedy nalezneme charakteristickou rovnici, která má stejný tvar jak pro vlnovou rovnici naptí, tak i proudu, a to

0ˆˆ 22 =− γλ .

Ta má dva komplexní koeny

( )( )0000ql2,1 jjˆˆˆˆ CGLRYZ ωωγλ ++=== .

Další postup ešení vlnové rovnice si ukažme na pípadu vlnové rovnice naptí, které má tvar

xxxx AAAAxU γγλλ ˆz

ˆp

ˆz

ˆp eˆeˆeˆeˆ)(ˆ 21 +=+= −− ,

kde pA a zA jsou integraní konstanty, které závisí na známých okrajových podmínkách vedení.

Jelikož v ešení vystupují dv neznámé hodnoty konstanty, potebujeme k jejich urení další rovnici. Tou je diferenciální rovnice 1. ádu pro naptí, do které dosadíme ešení vlnové rovnice

( ))(ˆˆeˆˆeˆˆ

d

eˆeˆd

d

)(ˆdl

ˆz

ˆp

ˆz

ˆp

xIZAAx

AA

x

xU xxxx

−=+−=+

= −−

γγγγ

γγ .

Jejím derivování získáme souasn i ešení rozložení proudu podél vedení, protože po jednoduché úprav platí

( ) ( ) ( ) ( ),eˆeˆˆ1

eˆeˆˆ

ˆeˆeˆ

ˆ

ˆˆeˆeˆ

ˆˆ

)(ˆ ˆz

ˆp

v

ˆz

ˆp

l

qˆz

ˆp

l

qlˆz

ˆp

l

xxxxxxxx AAZ

AAZ

YAA

Z

YZAA

ZxI γγγγγγγγγ

−=−=−=−= −−−−

kde odmocnina podílu mrné podélné impedance a píné admitance definuje tzv. vlnovou nebo charakteristickou impedanci vedení

00

00

q

lv j

jˆ

ˆˆ

CG

LR

Y

ZZ

ωω

+

+== ,

která je druhým sekundárním parametrem vedení. Je to ekvivalentní hodnota impedance, která jak uvidíme, udává hodnotu impedance nekonen dlouhého i pizpsobeného vedení v jeho libovolném míst.

Poznamenejme, že v teorii elektromagnetického pole vlnová impedance pedstavuje zdánlivý odpor, který klade okolní prostedí elektromagnetickému vlnní šíícímu se podél dlouhého vedení. V teorii obvod elektrickou složku pole vedení modeluje vlna naptí, primární parametry vedení G0, C0 a

269

v harmonicky ustáleném stavu pak i mrná píná admitance vedení qY . Magnetickou složku pole

vedení potom vlna proudu, primární parametry R0, L0 a mrná podélná impedance vedení lZ . Protože v teorii obvod používáme k modelování hodnoty parametr obvodu soustedných do jednoho bodu, nezajímají nás geometrické a materiálové parametry samotného vedení a jeho okolí. Zpsobem jejich stanovení se zabývá práv teorie elektromagnetického pole.

Okrajové podmínky na vedení tj. hodnoty naptí a proudu na zaátku nebo konci vedení je nutné znát, kvli urení integraních konstant ešení vlnové rovnice vedení. Vyjdeme-li pi stanovení integraních konstant ze vstupních okrajových podmínek tj. podmínek na poátku vedení, tedy v míst x = 0 m, dostaneme po dosazení za hodnotu prostorové souadnice soustavu rovnic

zp0ˆ

z0ˆ

p1ˆˆeˆeˆ)0(ˆˆ AAAAUU +=+== − γγ ,

( ) ( )zpv

0ˆz

0ˆp

v1

ˆˆˆ1

eˆeˆˆ1

)0(ˆˆ AAZ

AAZ

II −=−== − γγ .

Jejím vyešením, nap. Cramerovým pravidlem, získáme integraní konstanty

( )1v1pˆˆˆ

2

1ˆ IZUA += a ( )1v1zˆˆˆ

2

1ˆ IZUA −= ,

kde 1U a 1I jsou známé hodnoty naptí a proudu na poátku vedení.

Po jejich dosazení do výchozích rovnic získáme rovnice popisující rozložení naptí a proudu podél vedení

( ) ( ) xx IZUIZUxUxUxU γγ ˆ1v1

ˆ1v1zp eˆˆˆ

2

1eˆˆˆ

2

1)(ˆ)(ˆ)(ˆ −++=+= − ,

xx IZ

UI

Z

U

Z

xU

Z

xUxIxIxI γγ ˆ

1

v

1ˆ1

v

1

v

z

v

pzp eˆ

ˆ

ˆ

2

1eˆ

ˆ

ˆ

2

1ˆ

)(ˆ

ˆ

)(ˆ)(ˆ)(ˆ)(ˆ

−−

+=−=+= − ,

ze kterých je patrné, že na vedení existují dv vlny, vlna pímá, oznaená indexem p, která postupuje od poátku vedení smrem k jeho konci a vlna zptná, oznaená indexem z, která postupuje od konce vedení smrem k jeho poátku. Výsledná vlna naptí )(ˆ xU je obecn složena z postupných vln, a to

pímé vlny naptí )(ˆp xU a zptné vlny naptí )(ˆ

z xU . Podobn výsledná vlna proudu )(ˆ xI je složena

z pímé vlny proudu )(ˆp xI a zptné vlny proudu )(ˆ

z xI . Situaci na vedení délky l ilustruje obr. 9.1 a

model penosové cesty na obr. 7.4, kde kaskádnímu modelu dvojbranu odpovídají ekvivalentní kaskádní parametry vedení, viz dále.

l 0

)0(1

∧∧

= II )(2 lII∧∧

=′)(xI z

∧

1

∧

I 2

∧′I

)(xU z

∧

)0(1

∧∧

=UU )(2 lUU∧∧

=

x

),(xI∧

),(xU∧

)(xI p

∧

)(xU p

∧

-

Obr. 9.1 Zavedení poítacích šipek vln naptí a proudu podél dlouhého vedení v souadnici x: pímá vlna, zptná vlna, výsledná vlna

Jednoduchou úpravou a využitím definic hyperbolických funkcí získáme rovnice vedení ve tvaru

270

)ˆsinh(ˆˆ)ˆcosh(ˆ2

eeˆˆ2

eeˆ)(ˆ1v1

ˆˆ

1v

ˆˆ

1 xIZxUIZUxUxxxx

γγγγγγ

−=−

−+

=−−

,

)ˆcosh(ˆ)ˆsinh(ˆ

ˆ

2

eeˆ2

eeˆ

ˆ

2

eeˆ

ˆ

2

eeˆ)(ˆ 1v

1ˆˆ

1

ˆˆ

v

1ˆˆ

v

1ˆˆ

1 xIxZ

UI

Z

U

Z

UIxI

xxxxxxxx

γγγγγγγγγγ

+−=+

+−

−=−

−+

=−−−−

nebo v maticovém tvaru

−

−=

1

1

v

v

ˆ

ˆ

)ˆcosh()ˆsinh(ˆ1

)ˆsinh(ˆ)ˆcosh(

)(ˆ)(ˆ

I

Uxx

Z

xZx

xI

xUγγ

γγ.

Dosadíme-li do rovnic v hyperbolickém tvaru za x = l, získáme hodnoty naptí 2U a proudu 2I ′

na konci vedení

)ˆsinh(ˆˆ)ˆcosh(ˆ)(ˆˆ1v12 lIZlUlUU γγ −== ,

)ˆcosh(ˆ)ˆsinh(ˆ

ˆ)(ˆˆ

1v

12 lIl

Z

UlII γγ +−==′ ,

které v maticovém tvaru zapíšeme

−

−=

′ 1

1

v

v

2

2

ˆ

ˆ

)ˆcosh()ˆsinh(ˆ1

)ˆsinh(ˆ)ˆcosh(

ˆ

ˆ

I

Ull

Z

lZl

I

Uγγ

γγ.

Vytvoili jsme tak model vedení, který tvarem zápisu odpovídá zptn kaskádnímu modelu dvojbranu, viz kapitola 3.3. Dlouhé vedení jako celek (z pohledu jeho okraj) lze modelovat soumrným, reciprokým dvojbranem, tedy obvodem se soustednými parametry. Blokové schéma vedení modelované zptn kaskádními parametry dvojbranu je nakresleno na obr. 9.2.

x = 0 m x = lx

Û1

Î1

Û2

Î'22

2‘

1

1‘

[ ]B

Obr. 9.2 Blokové schéma vedení v souadnici x, model zptn kaskádního dvojbranu

Z rovnic vedení je patrné, že sekundární parametry vedení γ , vZ , nkdy také nazývané provozní parametry vedení, jednoznan charakterizují dlouhé homogenní vedení.

Píklad 9.1.

Ovte, že vedení jako celek lze modelovat soumrným, reciprokým dvojbranem.

♦

271

Vyjdme nejprve ze zptn kaskádního modelu vedení. Pro soumrný dvojbran, popsaný zptnkaskádními parametry dvojbranu platí rovnost parametr 2211

ˆˆ BB = , což je u vedení splnno, nebo

tyto parametry mají hodnotu )ˆcosh(ˆ11 lB γ= a )ˆcosh(ˆ

22 lB γ= . Pro reciprocitní dvojbran platí, že jeho

determinat je jednotkový, tedy 1ˆˆˆˆˆ21122211 =−= BBBBB . Dosadíme-li do této definice za hodnoty

parametr zptn kaskádní matice vedení, dostaneme

( ) 1)ˆ(sinh)ˆ(cosh)ˆsinh(ˆ1

)ˆsinh(ˆ)ˆcosh()ˆcosh( 22

vv =−=

−−− lll

ZlZll γγγγγγ ,

takže vedení tuto podmínku spluje a je reciprocitním dvojbranem.

Ke stejným závrm dospjeme, použijeme-li astji používaný, kaskádní model vedení, pepoet viz kapitola 3.3,

′

=

−

−=

2

2

v

v

1121

1222

1

1

ˆ

ˆ

)ˆcosh()ˆsinh(ˆ1

)ˆsinh(ˆ)ˆcosh(

ˆˆ

ˆˆ

ˆ1

ˆ

ˆ

I

Ull

Z

lZl

BB

BB

BI

Uγγ

γγ,

kde jsme dosadili za determinant zptn kaskádní matice hodnotu jedna. Blokové schéma vedení modelované kaskádními parametry dvojbranu je na obr. 9.3.

x = 0 m x = l x

Û1Û2

2

2‘

1

1‘

[ ]A

Î1 Î'2

Obr. 9.3 Blokové schéma vedení v souadnici x, model kaskádního dvojbranu, píklad 9.1

Diskuze rovnic vedení

Pro vysvtlení významu rovnic dlouhého vedení v harmonicky ustáleném stavu, ale i pro analýzu vtšiny praktických úloh je výhodnjší vyjít pi urování integraních konstant ešení vlnových rovnic vedení ze známých výstupních okrajových podmínek tj. podmínek na konci vedení, tedy v míst x = l. Pro odvození hodnot integraních konstant vlnové rovnice ze známých výstupních obvodových veliin vedení je výhodné zavést nový souadný systém s nezávislou souadnicí s, který udává polohu místa na vedení vi jeho konci. Je-li poloha místa na vedení vi jeho poátku dána souadnicí x, potom vztah mezi obma souadnicemi pi délce vedení l udává rovnice

xls −= ,

viz obr. 9.4. Pro element vedení v nové souadnici s, po diferenciaci pedchozího vztahu, platí xs dd −= , takže rovnice vedení v nov zavedené promnné zmní svj tvar na

( ) )(ˆˆ)(ˆjd

)(ˆdl00 sIZsILR

s

sU=+= ω ,

272

( ) )(ˆˆ)(ˆjd

)(ˆdq00 sUYsUCG

s

sI=+= ω ,

0)(ˆˆˆd

)(ˆdql2

2

=− sUYZs

sU,

0)(ˆˆˆd

)(ˆdql2

2

=− sIYZs

sI.

Následující odvození ešení vlnové rovnice v souadnici s je analogické postupu, použitému pi jejím ešení v souadnici x. Charakteristická rovnice se nezmní a ešení vlnové rovnice naptí zapíšeme

ssss BBBBsU γγλλ ˆz

ˆp

ˆz

ˆp eˆeˆeˆeˆ)(ˆ 21 −− +=+= .

Integraní konstanty stanovíme z výstupních okrajových podmínek

zp0ˆ

z0ˆ

p2ˆˆeˆeˆ)0(ˆˆ BBBBUU +=+== −γγ

( ) ( )zpv

0ˆz

0ˆp

v2

ˆˆˆ1

eˆeˆˆ1

)0(ˆˆ BBZ

BBZ

II −=−==′ −γγ .

ešením soustavy rovnic získáme neznámé integraní konstanty

( )2v2pˆˆˆ

2

1ˆ IZUB ′+= a ( )2v2zˆˆˆ

2

1ˆ IZUB ′−= .

Po jejich dosazení do výchozích rovnic získáme vztahy popisující rozložení naptí a proudu podél vedení v souadnici s

( ) ( )

( ) ( ) ,eˆˆˆ2

1eˆˆˆ

2

1eˆˆ

ˆ

ˆˆ

2

1eˆ

ˆ

ˆˆ

2

1

eˆˆˆ2

1eˆˆˆ

2

1)(ˆ)(ˆ)(ˆ

ˆ2vs

ˆ2vs

ˆ2v

2

22

ˆv

2

22

ˆ2v2

ˆ2v2zp

ssss

ss

IZZIZZIZI

UIZ

I

UI

IZUIZUsUsUsU

γγγγ

γγ

−−

−

′−+′+=

′−

′′+

+

′′=

=′−+′+=+=

.eˆ1ˆ

ˆ

2

1eˆ1

ˆ

ˆ

2

1e1

ˆˆ

ˆˆ

2

1e1

ˆˆ

ˆˆ

2

1

eˆˆ

ˆ

2

1eˆ

ˆ

ˆ

2

1)(ˆ)(ˆ)(ˆ

ˆ2

v

sˆ2

v

sˆ

v2

22

ˆ

v2

22

ˆ2

v

2ˆ2

v

2zp

ssss

ss

IZ

ZI

Z

Z

ZI

UI

ZI

UI

IZ

UI

Z

UsIsIsI

γγγγ

γγ

−−

−

′

−−′

+=

−

′′−

+

′′=

=

′−−

′+=−=

Z rovnic je patrné, že na vedení existují dv vlny, vlna pímá, oznaená indexem p, která postupuje od poátku vedení smrem k jeho konci a vlna zptná, oznaená indexem z, která postupuje od konce vedení smrem k jeho poátku. Výsledná vlna naptí )(ˆ sU je obecn složena z postupných vln, a to

pímé vlny naptí )(ˆp sU a zptné vlny naptí )(ˆ

z sU . Podobn výsledná vlna proudu )(ˆ sI je složena

z pímé vlny proudu )(ˆp sI a zptné vlny proudu )(ˆ

z sI . Situaci na vedení ilustruje obr. 9.4.

Analogicky jako v pedchozím pípad užitím definic hyperbolických funkcí lze odvodit rovnice vedení, které zapišme v maticovém tvaru

′⋅

=

2

2

v

v

ˆ

ˆ

)ˆcosh()ˆsinh(ˆ1

)ˆsinh(ˆ)ˆcosh(

)(ˆ)(ˆ

I

Uss

Z

sZs

sI

sUγγ

γγ.

273

)(1 lII∧∧

= )0(2

∧∧

=′ II)(sI z

∧

1

∧

I 2

∧′I

)(sU z

∧

)(1 lUU∧∧

= )0(2

∧∧

=UU

),(sI∧

),(sU∧

)(sI p

∧

)(sU p

∧

0 l s = l - xs

s = l 0s

Û1

Î1

Û2

Î'22

2‘

1

1‘

[ ]A sZ-

l 0 x

Obr. 9.4 Zavedení poítacích šipek vln naptí a proudu podél dlouhého vedení v souadnici s: pímá vlna, zptná vlna, výsledná vlna; blokové schéma zatíženého vedení v souadnici s modelované kaskádními parametry dvojbranu

Z vlnových rovnic zapsaných v souadnici s plyne, že zptná složka vlny nebude existovat, platí-li

v

2

2s

ˆˆ

ˆˆ Z

I

UZ =

′= ,

tedy je-li vedení na svém konci zatíženo impedancí sZ o hodnot vlnové impedance vZ . Takovéto vedení nazýváme pizpsobené. Na tomto vedení tedy existuje jen pímá vlna naptí a proudu a pro tyto vlny platí

( ) ( ) sss UUUIZUsUsU γγγ ˆ2

ˆ22

ˆ2v2p eˆeˆˆ

2

1eˆˆˆ

2

1)(ˆ)(ˆ =+=′+== ,

( ) sss IIIIZ

UsIsI γγγ ˆ

2ˆ

22ˆ

2v

2p eˆeˆˆ

2

1eˆ

ˆ

ˆ

2

1)(ˆ)(ˆ ′=′+′=

′+== .

Dáme-li vlnu naptí a proudu do pomru, získáme hodnotu impedance vedení v závislosti na souadnici s

v

2

2ˆ

2

ˆ2

p

p ˆˆ

ˆ

eˆeˆ

)(ˆ

)(ˆ

)(ˆ)(ˆ

)(ˆ ZI

U

I

U

sI

sU

sI

sUsZ

s

s

=′

=′

===γ

γ

.

Pizpsobené vedení má tedy pro pímou vlnu naptí a proudu v libovolném míst konstantní hodnotu impedance, která je práv rovna vlnové impedanci vedení. Vztah platí obecn, tedy i na poátku

vedení, tj. v míst s = l, takže pro vstupní impedanci pizpsobeného vedení platí v1ˆ)(ˆlimˆ ZsZZ

ls==

→.

Poznamenejme, že ke stejnému závru dospjeme, vyjdeme-li z vlnových rovnic zapsaných v souadnici x. Pouze pímá vlna naptí a proudu na vedení v tomto pípad bude existovat za podmínky

v1

11

ˆˆ

ˆˆ Z

I

UZ == ,

tedy, bude-li impedance v míst x = 0 m, tj. vstupní impedance vedení rovna vlnové impedanci.

Z rovnic vedení zapsaných v souadnici x dále plyne, že zptná vlna naptí a proudu mže podle matematické interpretace ešení teoreticky existovat jen za podmínky v1

ˆˆ ZZ −= . Na vedení v tomto pípad nevznikne pímá vlna naptí a proudu. Pro zptné vlny naptí a proudu pak platí

( ) ( ) ( ) xxxx UUUIZUIZUxUxU γγγγ ˆ1

ˆ11

ˆ111

ˆ1v1z eˆeˆˆ

2

1eˆˆˆ

2

1eˆˆˆ

2

1)\(ˆ)(ˆ =+=+=−== ,

274

( ) xxxx IIIIZ

UI

Z

UxIxI γγγγ ˆ

1ˆ

11ˆ

1

1

1ˆ1

v

1z eˆeˆˆ

2

1eˆ

ˆ

ˆ

2

1eˆ

ˆ

ˆ

2

1)(ˆ)(ˆ =−−−=

−

−−=

−−==

a pro jejich pomr

v

1

1ˆ

1

ˆ1

z

z ˆˆ

ˆ

eˆeˆ

)(ˆ)(ˆ

)(ˆ)(ˆ

)(ˆ ZI

U

I

U

xI

xU

xI

xUxZ

x

x

−=====γ

γ

.

Vedení „pizpsobené“ pro zptnou vlnu naptí a proudu má tedy v libovolném míst x konstantní, zápornou hodnotu vlnové impedance.

Jak již víme, vedení z pohledu jeho vstupní a výstupní strany mžeme modelovat dvojbranem, který je soumrný a reciprocitní. Takovýto dvojbran charakterizují sekundární parametry dvojbranu: obrazová

impedance oZ a obrazový initel útlumu og , viz kapitola 7.2. Sekundárními parametry vedení jsou vlnová impedance a initel šíení. Ob dvojice sekundárních parametr jsou ekvivalentní a platí pro nrovnosti

ovˆˆ ZZ = a lgoˆˆ =γ .

Pro obrazov pizpsobený dvojbran, ale i pizpsobené vedení platí, že celá penosová cesta na obr. 7.4 je impedann pizpsobená, tj. vstupní i výstupní impedance dvojbranu/vedení je rovna obrazové/vlnové impedanci, tj. vo21

ˆˆˆˆ ZZZZ === , a to proto, že vnitní impedance zdroje a

zatžovací impedance vedení jsou impedann pizpsobené, tj. platí vosiˆˆˆˆ ZZZZ === .

Z výše uvedeného je zejmé, že impedance v libovolném míst vedení je pro pímou a zptnou vlnu naptí a proudu konstantní a je definována vlnovou impedancí vedení. Vlnová impedance vystupuje v rovnicích vedení v souinu a podílu s obvodovými veliinami vedení, proto je výhodné pro její zápis použít exponenciální tvar komplexního ísla

v

0

0

0

0

0

0

0

0

jv

2j

42

022

0

20

220

j2

022

0

j2

022

0

00

00v e

j

j ϕ

ωω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ωω

ZeCG

LR

eCG

eLR

CG

LRZ

G

Carctg

R

Larctg

G

Carctg

R

Larctg

=+

+=

+

+=

+

+=

−∧

.

Pro její modul (velikost) a fázi tedy platí

42

022

0

20

220

vCG

LRZ

ω

ω

+

+= ,

−

=

0

0

0

0v arctanarctan

2

1

G

C

R

L ωωϕ .

initel šíení vystupuje v rovnicích vedení v argumentu exponenciální funkce. Z tohoto dvodu je ho úelné zapsat v podob komplexního ísla ve složkovém tvaru

( )( )0000 jjjˆ CGLR ωωβαγ ++=+= .

První složku α, nazýváme initel útlumu nebo mrný útlum a druhou složku β initel fáze nebo mrný posun. Ob složky mají samozejm stejnou jednotku jako initel šíení, tedy m-1. Definice obou initel získáme následujícím postupem, když vyjdeme ze vztahu pro tverec initele šíení

( ) ( )( )( )2

000022 jjjˆ CGLR ωωβαγ ++=+= .

Po provedení naznaených operací a úprav získáme komplexní rovnici

( )[ ] 0j0jj2 0000002

0022 +=++−−+− GLCRCLGR ωωαββα .

275

Reálné hodnoty neznámých α a β získáme ešením soustavy dvou rovnic, které sestavíme ze složek komplexní rovnice, zvláš zapsaných pro její reálnou a imaginární ást. Soustava rovnic má tvar

( ) 0002

0022 =−−− CLGR ωβα ,

( ) 02 0000 =+− GLCRωαβ .

Vyjádíme-li si z druhé rovnice initel útlumu

( )β

ωα

20000 GLCR +

=

a dosadíme-li ho do rovnice první dostaneme

( ) ( ) 02 00

200

22

0000 =−−−

+CLGR

GLCRωβ

βω

,

dostaneme po úprav bikvadratickou rovnici

( ) ( ) ( )0

4

20000

2

002

00222 =

+−−+

GLCRCLGR

ωωββ ,

ze které po substituci 2β=z získáme rovnici kvadratickou

( ) ( )0

4

20000

2

002

002 =

+−−+

GLCRCLGRzz

ωω .

Diskriminant rovnice je

( ) ( ) ( ) ( )20000

22

002

00

20000

22

002

00 414 GLCRCLGR

GLCRCLGRD +−−=

+⋅⋅−−= ωωω

ω

a její ešení má koeny

( ) ( )2

)( 20000

22

002

00002

002,1

GLCRCLGRCLGRz

+−−±−−=

ωωω.

Záporný koen kvadratické i bikvadratické rovnice nemá fyzikální význam. Z tohoto dvodu má smysl uvažovat jen nezápornou hodnotu initele fáze. Pro kladný koen ešení bikvadratické rovnice platí

+++−−=== ))(()(

2

1ˆIm 2

022

02

022

0002

001 CGLRCLGRz ωωωγβ .

Dosazením initele fáze do 1. rovnice pro reálnou ást výchozí komplexní rovnice získáme rovnici

002

00

2

20

220

20

22000

200

2 ))(()(2

1CLGRCGLRCLGR ωωωωα −=

+++−−− ,

ze které odvodíme definici initele útlumu

+++−== ))(()(

2

1ˆRe 2

022

02

022

0002

00 CGLRCLGR ωωωγα .

Z definic je zejmé, že oba initele jsou složitou funkcí kmitotu a primárních parametr vedení.

Hodnotu initele útlumu mžeme urit i jiným zpsobem, z rovnic pizpsobeného vedení popsaného rovnicemi v souadnici x

276

( ) xxxx UUUxU βαβαγ j1

j1

ˆ1 eeˆeˆeˆ)(ˆ −−+−− === ,

( ) xxxx IIIxI βαβαγ j1

j1

ˆ1 eeˆeˆeˆ)(ˆ −−+−− === ,

známe-li hodnoty naptí nebo proudu na poátku vedení 1U , 1I a v jednotkové vzdálenosti od jeho poátku tj. v míst x = 1 m, platí pro moduly naptí a proudu

1U1U eeeeˆ)0(ˆ)0( 110j0

11ψψβα UUUUUU ===== −− ,

αψβαψβα −−−−− ==== eeeeeeeˆ)1(ˆ)1( 1U1U

11j1

11j1

1 UUUUU ,

1I1I eeeeˆ)0(ˆ)0( 110j0

11ψψβα IIIIII ===== −− ,

αψβαψβα −−−−− ==== eeeeeeeˆ)1(ˆ)1( 1I1I

11j1

11j1

1 IIIII .

Pro initel útlumu tedy platí

11

)1()1(

e

1e

I

I

U

U===−

αα

a logaritmování

=

=

)1(ln

)1(ln 11

I

I

U

Uα .

Výše uvedený postup ilustruje obr. 9.5, ve kterém je naznaen ješt další zpsob urení initele útlumu, a to pomocí teny v poátku ke grafu rozložení naptí pímé vlny. Jedná se vlastn o analogii definice asové konstanty obvodu 1. ádu v pechodném dji, viz kapitola 2.2, kde u dlouhého vedení má význam asové konstanty initel útlumu.

x0 αααα−1−1−1−1

U1

U(x

) e

-1⋅⋅ ⋅⋅ U

1

U (1)

1

xU α−e1

Obr. 9.5 Rozložení naptí pímé vlny podél vedení, definice initele útlumu

Obecnou definici initele útlumu v libovolném míst vedení získáme, dáme-li do pomru dv místa vedení vzdálená od sebe o jednotkovou vzdálenost, viz obr. 9.6. Pro moduly naptí v míst x a x+1 platí

xxx UUxUxU αβα −−− === eeeˆ)(ˆ)( 1j

1 ,

277

( ) ( ) ααβα −−+−+− ==+=+ eeeeˆ)1(ˆ)1( 11j1

1xxx UUxUxU

a pro jejich pomr

ααα

α

eee

e

)1(

)(

1

1 ==+ −−

−

x

x

U

U

xU

xU.

initel útlumu poítaný z pomru velikostí naptí, ale analogicky i z rozložení proudu podél vedení, uríme z následujícího vztahu

+=

+=

)1(

)(ln

)1(

)(ln

xI

xI

xU

xUα .

l 0

)0(1

∧∧

= II )(2 lII∧∧

=′

1

∧

I 2

∧′I

)0(1

∧∧

= UU )(2 lUU∧∧

=

x

)(xI∧

)(xU∧

)1( +∧

xI

)1( +∧

xU

x+1

Obr. 9.6 Poítací šipky pímých vln vedení, obecná definice initele útlumu v míst x a x+1

initel útlumu α udává hodnotu poklesu naptí i proudu na jednotkovém úseku vedení na hodnotu α−e vi hodnot na poátku jednotkového úseku vedení. Je mírou tlumení amplitud vln podél vedení.

Podobn mžeme odvodit pro argument fází naptí ve dvou místech vedení vzdálených od sebe o jednotkovou vzdálenost

( ) ( ) xUxU xx ββα −== −− j1 eeˆarg)(ˆarg ,

( ) ( ) )1(eeˆarg)1(ˆarg )1(j)1(1 +−==+ +−+− xUxU xx ββα .

Odetením argument získáme vztah

( ) ( ) [ ] βββ =+−−−=+− )1()1(ˆarg)(ˆarg xxxUxU .

initel fáze β udává, jak se zmní hodnota fáze naptí, ale i proudu na jednotkovém úseku vedení. Je mírou fázového posunu vln podél vedení a souvisí s rychlostí postupu vlny naptí a proudu podél vedení, viz rozbor argumentu funkce )( fp tvxf − v kapitole 8.2.

Nebudou-li dv místa na vedení od sebe vzdálena o jednotku délky, ale o vlnovou délku λ, bude se rozdíl argument vlny naptí dvou míst vedení lišit o úhel 2π, protože vlnová délka odpovídá period

funkce xβje− , se kterou se opakuje fáze vlny naptí podél vedení. Pro dv místa na vedení vzdálená o vlnovou délku λ tak platí

( ) ( ) [ ] 2)()(ˆarg)(ˆarg ==+−−−=+− λβλββλ xxxUxU

a pro vlnovou délku

βλ

2= .

Argument (-β x) pímé vlny naptí (proudu) se podél vedení mnní lineárn se souadnicí x, viz obr.

9.7. V komplexní rovin ho modelujeme funkcí xβje− , viz definice pímé vlny naptí xxU βα j1 eeˆ −− ,

278

která reprezentuje jeho periodicitu podél vedení a souvisí i s postupem vlny naptí podél vedení ve smru osy x. Postup vlny je zpsoben v ase se mnícím prbhem harmonického zdroje naptí (obecn zdrojem rozruchu) umístným na vstupní stran vedení, tj. v míst x = 0 m. Zdroj vlnní

v komplexní rovin modelujeme komplexorem tUU ωj11 eˆ = , který má konstantní efektivní hodnotu

naptí 1U a argument ωt lineárn rostoucí s asem pi daném úhlovém kmitotu ω. Jeho koncový bod cyklicky obíhá po kružnici, viz 1. kapitola, kruhový hodograf na obr. 1.9 vpravo. I když hodograf rozložení pímé vlny naptí podél vedení má vlivem obecn nenulového tlumení tvar svinující spirály, viz obr. 9.8 vlevo, její argument se stále mní lineárn, takže mezi fází zdroje vlnní a fází pímé vlny

neustále platí -β x + ωt = 0. Tento vztah plyne z argumentu funkce xxtU βαω jj1 eee −− , kterou získáme

dosazením komplexoru zdroje vlnní za amplitudu pímé vlny naptí. Pi rovnosti obou argument(β x = ω t), jednomu obhu v komplexní rovin odpovídá jednak as t = T = 1/f = ω /2π, tj. perioda zdroje vlnní, jednak souadnice x = λ , tj. místo vzdálené od poátku vedení o vlnovou délku a úhel 360° nebo 2π, takže platí β λ = ω T = 2π. Souin kmitotu a vlnové délky potom definuje fázovou rychlost vlny naptí (proudu)

00f

12

CL

ffv ====

βω

βλ .

Ta udává rychlost pohybu místa konstantní fáze pímé (zptné) vlny naptí a proudu podél vedení, podrobnji píklad 9.3. Poznamenejme, že vlnová délka vlnní λ je obecn definována nejkratší vzdáleností dvou míst na vedení se stejnou fází, viz obr. 9.7, kde zobrazeno rozložení hodnot a fáze pímé vlny naptí )(ˆ xU podél vedení v daném asovém okamžiku.

x0

λλλλ 2 λλλλ

ImÛ

(x)e

j ωω ωωt

xU α−e1

x0

λλλλ 2 λλλλ

180°

-180°

λλλλ

t = konst.

arg(

Û(x

) ej ωω ωω

t )

Obr. 9.7 Pímá vlna naptí na vedení, as t = konst.: rozložení hodnot podél vedení, argument

Poznamenejme, že u pímé vlny naptí je fázová rychlost rovna rychlosti svtla šíícího se v daném prostedí, takže pi dané délce vedení l a kmitotu f, mžeme podle délky vlny λ posoudit míru vlnových jev na vedení. Je-li splnna podmínka l>>λ , vlnové jevy se výrazn neprojeví a vedení lze modelovat jako elektrický obvod, tedy obvod se soustednými parametry.

279

Píklad 9.2.

Urete kaskádní parametry vedení, vlnovou délku a fázovou rychlost vlny, jsou-li známy primární parametry vedení R0 = 3,16 Ω/km, L0 = 1,85 mH/km, G0 = 0,5 µS/km, C0 = 6,4 nF/km. Kmitoet vedení je 800 Hz a jeho délka je 100 km.

♦

K urení kaskádních parametr vedení potebujeme nejprve znát sekundární parametry vedení, jež jsou definovány hodnotami podélné impedance

-11,237j300l kme82,9,39j16,31085,18002j16,32jˆ Ω=+=⋅⋅⋅+=+= °−ππ LfRZ

a píné admitance.

.kmSe1022,310217,3j1051085,18002j105,02jˆ -19,118j5573600q

°−−−−− ⋅=⋅+⋅=⋅⋅⋅+⋅=+= ππ CfGY

Hodnotu initele šíení vypoteme z definice

1-23

0,178j260,341j49,118j51,237jql

km10j1,751003,3

e1078,1e1016,3e1022,3e82,9ˆˆˆ

−−

°−°−°−°

⋅+⋅=

=⋅=⋅=⋅⋅== YZγ

a vlnové impedance z definice

Ω=−==⋅

== °°°−

°,948j-7,881j-

9,118j5

1,237j

q

lv e53,552j85,8582,545e305284,8

e1022,3

e82,9ˆ

ˆˆ

Y

ZZ .

initel útlumu α uríme ze vztahu

-1323 km1003,310j1,751003,3ReˆRe −−− ⋅=⋅+⋅== γα

a initel fáze

-1223 km101,7510j1,751003,3ImˆRe −−− ⋅=⋅+⋅== γβ .

Délku vlny uríme z definice

km04,359101,75

222

=⋅

==−β

λ

a její fázovou rychlost ze vztahu

1-2f skm33,287231

101,75

80022=

⋅==

−βf

v .

Pro kaskádní matici dlouhého vedení platí

[ ]( )[ ] ( )[ ]

( )[ ] ( )[ ]

++

++=

=ll

Z

lZl

llZ

lZlA βαβα

βαβα

γγ

γγ

jcoshjsinhˆ1

jsinhˆjcosh

)ˆcosh()ˆsinh(ˆ1

)ˆsinh(ˆ)ˆcosh(ˆ

v

v

v

v

a pro hodnoty dílích parametr matice

[ ] ( )°−−

−−−

=+−=⋅+⋅=

=+⋅=⋅⋅+⋅===21,641j11

1232211

0,3555ej0,30271865,0)1,75sin()1003,3sinh(j)1,75cos()1003,3cosh(

j1,751003,3cosh100)10j1,751003,3(cosh)ˆcosh(ˆˆ lAA γ

280

( ) ( )( ) [ ]( ) ( ) Ω=+−=+−−=

=⋅+⋅−=

=+⋅−==

°

−−

−

01,991j

11

1v12

,64e695j557,2229,118j1,02950548,0j85,8582,545

)1,75sin()1003,3(jcosh)1,75cos()1003,3sinh(j85,8582,545

j1,751003,3sinhj85,8582,545)ˆsinh(ˆˆ lZA γ

( )

[ ]( )( )

S.1,8659e10j1,8560109153,1

j1,02950548,010j2,8121107879,1

)1,75sin()1003,3(jcosh)1,75cos()1003,3sinh(j85,8582,545

1

j1,751003,3sinhj85,8582,545

1)ˆsinh(

ˆ1ˆ

j84,1144

43

11

1

v21

°−−

−−

−−

−

=⋅+⋅=

=+−⋅−⋅=

=⋅+⋅−

=

=+⋅−

== lZ

A γ

Vypotené hodnoty kaskádních parametr matice jsou

[ ]

+−⋅+⋅

+−+−= −− j0,30271865,010j1,8560109153,1

j557,2229,118j0,30271865,0ˆ

44A .

Podmínku reciprocity kaskádního modelu pasivního dvojbranu 1ˆˆˆˆ12212211 =⋅−⋅ AAAA , využijeme

ke kontrole správnosti vypotených hodnot kaskádních parametr matice, kdy po dosazení získáme hodnotu

( ) ( ) ( ) ( ),10j7,39E1,00002217

j557,2229,11810j1,8560109153,1j0,30271865,0j0,30271865,05

44

−

−−

⋅−=

=+−⋅⋅+⋅−+−⋅+−

která se liší vlivem zaokrouhlování od hodnoty 1. Absolutní chyba ešení je 5102,2173 −⋅ .

K vyíslení hodnot parametr kaskádní matice jsme použili následující vztahy platné pro hyperbolické funkce

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )βαβαβαβαβα sinsinhjcoscoshjsinhsinhjcoshcoshjcosh +=+=+ ,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )βαβαβαβαβα sinosjcossinhjsinhcoshjcoshsinhjsinh hc+=+=+ .

Grafické zobrazení vln na vedení

Vlnové rovnice graficky znázorujeme v komplexní rovin hodografy s promnným parametrem, kterým je vzdálenost místa na vedení od jednoho z jeho okraj, které jsou obecn reprezentovány geometrickým místem koncových bod fázor exponenciáln tlumené napové a proudové vlny, mají tvar spirál. Smr nárstu parametru x je v grafech vyznaen šipkou. U pímé vlny se s rostoucí souadnicí svinuje, u vlny zptné se rozvinuje. Hodografy pímé a zptné vlny naptí a proudu jsou zobrazeny na obr. 9.8 a 9.9. Výsledné vlny naptí a proudu získané superpozicí pímých a zptných vln naptí a proudu z obr. 9.8 a 9.9 mají tvar deformovaných, svinujících se spirál a jsou zobrazeny na obr. 9.10.

Tak jako u obvod s nastavitelnými parametry v kapitole 4.3 závislých na parametru p, je možné hodografy vln naptí a proudu oddlen vyjádit závislostmi jejich modul a fázi v závislosti na souadnici x namísto parametru p. Pro velikosti pímých a zptných vln vedení v souadnici x platí

xxxx UUUxUxU αβαψγψ −−−− ==== eeeeee)(ˆ)( pjj

pˆj

pppUpUp ,

xxxx UUUxUxU αβαψγψ eeeeee)(ˆ)( zjj

zˆj

zzzUzUz ==== ,

281

ReÛ p (x )

Im Û

p (x

)

Re 4 Û z (x )

Im

4 Û

z (x

)

x

)(ˆp xU

)(ˆz xU

x

Obr. 9.8 Hodograf vlny naptí vedení: pímá, zptná vlna

ReÎ p (x )

Im Î

p (x

)

Re 4 Î z (x )

Im

4 Î z

(x)

)(ˆz xI

x

x

)(ˆp xI

Obr. 9.9 Hodograf vlny proudu vedení: pímá, zptná vlna

ReÛ (x )

Im Û

(x)

ReÎ (x )

Im Î

(x)

)(ˆ xU )(ˆ xI

x x

Obr. 9.10 Hodograf výsledné vlny vedení: naptí, proud

282

xxxx IIIxIxI αβαψγψ −−−− ==== eeeeee)(ˆ)( pjj

pˆj

pppIpIp ,

xxxx IIIxIxI αβαψγψ eeeeee)(ˆ)( zjj

zˆj

zzzIzIz ==== ,

kde

21v1

21v1p

ˆˆˆImˆˆˆRe2

1IZUIZUU +++= , 2

1v12

1v1zˆˆˆImˆˆˆRe

2

1IZUIZUU −+−= ,

2

1v

1

2

1v

1p

ˆˆ

ˆImˆ

ˆ

ˆRe

2

1

++

+= IZ

UI

Z

UI ,

2

1v

1

2

1v

1z

ˆˆ

ˆImˆ

ˆ

ˆRe

2

1

−+

−= IZ

UI

Z

UI .

Pro fáze pímých a zptných vln vedení v souadnici x platí

( ) ( ) xUxUx xx βψψ βαψ −=== −−Up

jjppp eeearg)(ˆarg)( Up ,

( ) ( ) xUxUx xx βψψ βαψ +=== Uzjj

zzz eeearg)(ˆarg)( Uz ,

( ) ( ) xIxIx xx βψψ βαψ −=== −−Ip

jjppp eeearg)(ˆarg)( Ip ,

( ) ( ) xIxIx xx βψψ βαψ +=== Izjj

zzz eeearg)(ˆarg)( Iz ,

kde

+

+=

+

+=

+

+=

v1

v1

v1

v1

1v1

1v1Up arctan

ˆˆRe

ˆˆImarctan

ˆˆˆRe

ˆˆˆImarctan

RR

XX

ZZ

ZZ

IZU

IZUψ ,

−

−=

−

−=

−

−=

v1

v1

v1

v1

1v1

1v1Uz arctan

ˆˆRe

ˆˆImarctan

ˆˆˆRe

ˆˆˆImarctan

RR

XX

ZZ

ZZ

IZU

IZUψ ,

+

+=

+

+=

+

+

=

+

+

=1v

1v

1v

1v

1v

1v

1v

1

1v

1

Ip Re

Imarctan

ˆˆRe

ˆˆImarctan

ˆ1

ˆ1

Re

ˆ1

ˆ1

Im

arctan

ˆˆ

ˆRe

ˆˆ

ˆIm

arctanRR

BB

YY

YY

ZZ

ZZ

IZ

U

IZ

U

ψ ,

−

−=

−

−=

−

−

=

−

−

=1v

1v

1v

1v

1v

1v

1v

1

1v

1

Iz arctanˆˆRe

ˆˆImarctan

ˆ1

ˆ1

Re

ˆ1

ˆ1

Im

arctan

ˆˆ

ˆRe

ˆˆ

ˆIm

arctanRR

BB

YY

YY

ZZ

ZZ

IZ

U

IZ

U

ψ ,

a

111

11 j

ˆ

ˆˆ XR

I

UZ +== a 11

1

1

11 j

ˆ

ˆ

ˆ1ˆ BG

U

I

ZY +=== ,

což jsou vstupní impedance a admitance vedení.

Než pistoupíme k vyjádení modulu a fáze výsledných vln proveme následující úpravy rovnic vedení, založené na vytknutí pímé vlny naptí a proudu, což nám umožní definovat initele odrazu tchto vln v libovolném míst vedení

283

( ))(ˆ1)(ˆ)(ˆ)(ˆ

1)(ˆ)(ˆ)(ˆ)(ˆUp

p

zpzp xxU

xU

xUxUxUxUxU ρ+=

+=+= ,

( ))(ˆ1)(ˆ)(ˆ)(ˆ

1)(ˆ)(ˆ)(ˆ)(ˆ Ipp

zpzp xxI

xI

xIxIxIxIxI ρ−=

−=−= .

initel odrazu naptí je definován pomrem zptné a pímé vlny naptí

( ) ( ) ( )

( ) ( )[ ]UpUzUpUz2

p

z

22j

p

z2j2j

p

z2ˆj

p

z

ˆjp

ˆjz

p

zU

2inj2cose

eeeeeeeee

ee

)(ˆ)(ˆ

)(ˆ UpUzUpUzUpUz

Up

Uz

ψψβψψβ

ρ

α

αψψββαψψγψψ

γψ

γψ

−++−+=

====== −+−−

−

xsxU

U

U

U

U

U

U

U

U

U

xU

xUx

x

xxxxx

x

x

a initel odrazu proudu pomrem zptné a pímé vlny proudu

( ) ( ) ( )

( ) ( )[ ],2inj2cose

eeeeeeeee

ee

)(ˆ)(ˆ

)(ˆ

IpIzIpIz2

p

z

22j

p

z2j2j

p

z2ˆj

p

z

ˆjp

ˆjz

p

zI

UpUzIpIzIpIz

Ip

Iz

ψψβψψβ

ρ

α

αψψββαψψγψψ

γψ

γψ

−++−+=

====== −+−−

−

xsxI

I

I

I

I

I

I

I

I

I

xI

xIx

x

xxxxx

x

x

do kterých jsme dosadili sekundární parametry vedení.

K odrazm dochází na obou koncích (okrajích) vedení, tedy v místech x = 0 m a x = l. Podmínku odrazu vlny naptí a proudu na zaátku vedení snadno odvodíme dosazením do definic initel odrazu v míst x = 0 m

( )

( ),

ˆˆ

ˆˆ

ˆˆ

ˆˆ

ˆˆ

ˆ

ˆˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆˆˆ

ˆˆˆ

eˆˆˆ2

1

eˆˆˆ2

1

lim)(ˆ)(ˆ

lim)(ˆlimˆvi

vi

v1

v1

v1

1

v1

1

1

1

1v1

1v1

ˆ1v1

ˆ1v1

0p

z

0U

0U1 ZZ

ZZ

ZZ

ZZ

ZI

U

ZI

U

I

I

IZU

IZU

IZU

IZU

xU

xUx

x

x

xxx +

−=

+

−=

+

−

=+

−=

+

−===

−→→→ γ

γ

ρρ

,ˆˆ

ˆˆ

ˆˆ

ˆˆ

ˆˆ

ˆ

ˆˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆˆ

ˆ

ˆˆ

ˆ

eˆˆ

ˆ

2

1

eˆˆ

ˆ

2

1

lim)(ˆ)(ˆ

lim)(ˆlimˆvi

vi

v1

v1

v

1

1

v

1

1

v

1

v

1

1

v

1

1

v

1

ˆ1

v

1

ˆ1

v

1

0p

z

0I

0I1 ZZ

ZZ

ZZ

ZZ

ZI

U

ZI

U

Z

I

Z

I

IZ

U

IZ

U

IZ

U

IZ

U

xI

xIx

x

x

xxx +

−−=

+

−−=

+

−

−=

+

−

−=

+

−−

===−

→→→γ

γ

ρρ

ze kterých je zejmé, že platí

UI ˆˆ ρρ −= .

Podmínky odrazu vlny naptí a proudu na konci vedení bychom snáze odvodili z initel odrazu definovaných v souadnici s, kde souadnici x = l odpovídá hodnota s = 0 m. Postup by byl analogický a získali bychom následující definice

vs

vsU ˆˆ

ˆˆˆ

2 ZZ

ZZ

+

−=ρ a

vs

vsI ˆˆ

ˆˆˆ

2 ZZ

ZZ

+

−−=ρ .

Z definic initel odraz plyne, že k odrazm nedochází jedin u pizpsobené penosové cesty, kdy

jsou tyto initele nulové. Zdraznme tedy, nebude-li splnna rovnost vsˆˆ ZZ = a souasn i vi

ˆˆ ZZ = , bude docházet k opakovaným odrazm vln na vedení na obou jeho okrajích.

Za úelem odvození výsledných funkcí vln naptí a proudu na vedení, ureme nejprve modul a fázi initele odrazu zvtšeného o jedniku, tedy výrazu

284

( ) ( )[ ]

( ) ( ).2inej2cose1

2inj2cose1)(ˆ1)(ˆ

UpUz2

p

zUpUz

2

p

z

UpUzUpUz2

p

zUU

ψψβψψβ

ψψβψψβρ

αα

α

−++−++=

=−++−++=+=

xsU

Ux

U

U

xsxU

Uxxr

xx

x

Modul (velikost) tohoto lenu je dán

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )[ ]

( )2

2

p

zUpUz

2

p

z

UpUz2

UpUz2

2

2

p

zUpUz

2

p

z

UpUz2

2

2

p

zUpUz

2

2

2

p

zUpUz

2

p

z

2

UpUz2

p

z

2

UpUz2

p

zUU

e2cose21

2sin2cose2cose21

2sine2cose2cose21

2ine2cose1)(ˆ1)(

+−++=

=−++−+

+−++=

=−+

+−+

+−++=

=

−++

−++=+=

xx

xx

xxx

xx

U

Ux

U

U

xxU

Ux

U

U

xU

Ux

U

Ux

U

U

xsU

Ux

U

Uxxr

αα

αα

ααα

αα

ψψβ

ψψβψψβψψβ

ψψβψψβψψβ

ψψβψψβρ

a jeho fáze

( )( )

( )

−++

−+

=+=

UpUz2

p

z

UpUz2

p

z

Ur

2cose1

2ine

arctan)(ˆ1arg)(U

ψψβ

ψψβ

ρψα

α

xU

U

xsU

U

xxx

x

.

Analogickým postupem bychom získali pro velikost a fázi initel odrazu proudu

( )2

2

p

zIpIz

2

p

zII e2cose21)(ˆ1)(

+−+−=−= xx

I

Ix

I

Ixxr αα ψψβρ ,

( )( )

( )

−+−

−+

=−=

IpIz2

p

z

IpIz2

p

z

Ir

2cose1

2ine

arctan)(ˆ1arg)(I

ψψβ

ψψβ

ρψα

α

xI

I

xsI

I

xxx

x

.

Po dosazení do rovnic vedení dostaneme

( ) )(jU

jjpUpUp

UrUp e)(eee)(ˆ)(ˆ)(ˆ1)(ˆ)(ˆ xxx xrUxrxUxxUxUψβαψρ −−==+= ,

( ) )(jI

jjpIpIp

IrIp e)(eee)(ˆ)(ˆ)(ˆ1)(ˆ)(ˆxxx xrIxrxIxxIxI

ψβαψρ −−==−= .

Výsledná vlna naptí má modul a fázi

285

( )

( )

( ) xx

xxx

xxxx

UxUUU

U

Ux

U

UU

U

Ux

U

UUxrUxU

αα

ααα

αααα

ψψβ

ψψβ

ψψβ

22zUpUzzp

22p

2

2

p

zUpUz

2

p

z22p

2

2

p

zUpUz

2

p

zpUp

e2cos2e

e2cose21e

e2cose21e)(e)(

+−++=

=

+−++=

=

+−++==

−

−

−−

( )( )

( )Up

UpUz2

p

z

UpUz2

p

z

UprU

2cose1

2ine

arctan)()(ˆarg)(U

ψψψβ

ψψβ

βψψβψα

α

+

−++

−+

+−=++−==x

U

U

xsU

U

xxxxUxx

x

.

Modul a fáze výsledné vlny proudu je pak

( ) xxx IxIIIxrIxI ααα ψψβ 22zIpIzzp

22pIp e2cos2e)(e)( +−+−== −−

,

( )( )

( )Ip

IpIz2

p

z

IpIz2

p

z

IprI

2cose1

2ine

arctan)()(ˆarg)(I

ψψψβ

ψψβ

βψψβψα

α

+

−+−

−+

+−=++−==x

I

I

xsI

I

xxxxIxx

x

.

Na rozdíl od pímých a zptných vln jsou výsledné velikosti a fáze vln složitou funkcí parametrvedení a souadnice x. Práv vlivem pítomnosti len s goniometrickými funkcemi jsou výsledné prbhy zvlnné (deformované), takže grafy velikostí modul v závislosti na souadnici x nejsou popsány hladkou exponenciální funkcí a grafy fází lineární funkcí, což znamená, že zmna fáze v ase, tedy fázová rychlost vlny vf není konstantní a rychlost postupu výsledné vlny je promnná.

Píklad 9.3.

Dokažte, že fázová rychlost pímé vlny naptí je konstantní.

♦

Argument (fáze) pímé vlny naptí v závislosti na souadnici x je lineární funkce daná rovnicí

UpUp )( ψβψ +−= xx .

Znaménka len rovnice jsou urená vi kladnému smyslu nárstu argumentu fázoru )(ˆp xU

v komplexní rovin, který je totožný se smyslem obhu orientovaným proti smru chodu hodinových ruiek, tedy ve smru nárstu souadnice (–x) podle obr. 9.11 vlevo. Pímá vlna naptí ale postupuje od poátku ke konci vedení ve smru osy x, takže je výhodné zmnit smr referenního obhu na opaný, který se pak shoduje se smrem nárstu souadnice x podle obr. 9.11 vpravo a odpovídá smyslu obhu, orientovanému ve smru hodinových ruiek. Rovnice potom pejde do tvaru

UpUp )( ψβψ −= xx .

Bude-li místo x mnit svoji polohu v ase t, rovnici zapíšeme

UpUp )(),( ψβψ −= txtx ,

po jejímž derivování získáme fázovou úhlovou rychlost

286

)(ˆp xU

-x

ReÛp(x)

ImÛ

p(x)

)(Up xψ

Upψxβ−

x

)(ˆp xU

-x

ReÛp(x)

ImÛ

p(x)

)(Up xψ

Upψxβ

x

Obr. 9.11 Argument pímé vlny naptí v komplexní rovin, píklad 9.3

( )f

UpUpf

),()(),(v

t

txx

t

tx

t

txββ

ψβψω =

∂

∂=

∂

−∂=

∂

∂= ,

kde vf je fázová rychlost pímé vlny naptí.

V harmonicky ustáleném stavu se místo x v ase t pohybuje podél dlouhého vedení rovnomrným pohybem konstantní rychlostí vf. Tomuto rovnomrnému pohybu bodu po vedení odpovídá v komplexní rovin rovnomrn otáivý pohyb koncového bodu fázoru )(ˆ

p xU , který se pohybuje

konstantní úhlovou rychlostí ωf v ase t, která je rovna úhlovému kmitotu ω zdroje pipojenému

k vedení. Otáivý pohyb v komplexní rovin popisujeme komplexorem txU ωjp e)(ˆ , kterému odpovídá

natoení v ase o úhel ωt. Zjednodušená situace je zachycena na obr. 9.12 vlevo pro polohu fázoru )(ˆ

p xU s poátení fází Upψ . Místu vzdálenému od poátku o hodnotu x0 odpovídá v komplexní

rovin její reálná osa a úhel 0Up0Up0Up )()( xxx βψψψ =−== . O stejný úhel se natoí fázor )(ˆp xU

obíhající v komplexní rovin úhlovou rychlostí totožnou s hodnotou úhlového kmitotu ω za as t0, za který dorazí vlna do místa o souadnici x0, viz na obr. 9.12 vpravo. Po odetení druhé rovnice od první

platí

)(ˆp xU

ReÛp(x)

ImÛ

p(x)

Upψ0xβ

ReÛp(x)

ImÛ

p(x)

Upψ x t

t = 0 x = 0

0tω

txU ωjp e)(ˆ

Obr. 9.12 Argument pímé vlny naptí v komplexní rovin: zmna se souadnicí x,zmna v ase t, píklad 9.3

287

000 =− xt βω

a tedy i

βω

==0

0f t

xv .

Stejným zpsobem bychom postupovali i pi odvození fázové rychlosti vf z rovnice fáze pímé vlny proudu IpIpIp )( ψβψβψ +−=+−= xxx , ale i pi odvození fázové rychlosti zptné vlny naptí a

proudu, které mají stejnou hodnotu fázové rychlosti jako pímá vlna naptí a proudu, ale opané znaménko.

Moduly a fáze vln naptí a proudu jsou nakresleny na obr. 9.13 a 9.14.

x0 λλλλ/2/2/2/2

výsledná

pímá zptná

λλλλ 3333 λλλλ/2/2/2/2 2222 λλλλ

Up(

x), U

z(x)

, U(x

)

x0

výsledná

pímá zptná

λλλλ 2222 λλλλ ψψ ψψU

p(x)

, ψψ ψψU

z (x)

, ψψ ψψU (

x)

180°

-180°

Obr. 9.13 Modul a fáze vln naptí podél vedení: pímá vlna, zptná vlna, výsledná vlna

Z graf modul výsledných vln naptí a proudu v horní ásti obr. 9.13 a 9.14 je patrné, že na vedení existují místa, kde jsou velikosti naptí nebo proud menší než na konci vedení nebo mají vtší velikosti než na poátku vedení. Obecn superpozicí pímé a zptné vlny naptí a proudu tak vznikají na dlouhém vedení místa, kde jsou naptí a proudy v jeho uritých místech menší než v místech vzdálenjších a dochází na nm k tzv. Ferrantiho jevu. Lokální maxima naptí a proudu podél vedení nastávají v místech kde je jejich fáze nulová, minima jsou od nich vzdálena o λ/4. Maxima/minima naptí jsou vzdáleny od maxim/minim proudu o λ/4. Zvlnní velikostí naptí a proudu je dsledkem „pelévání“ energie mezi λ/4 vlnnými úseky dlouhého vedení v ase. Pi lokálním poklesu naptí pechází energie elektrické složky elektromagnetického pole vedení do složky magnetické, ímž dochází k lokálnímu nárstu proudu vedení.

288

x0 λλλλ/2/2/2/2

výsledná

pímá zptná

λλλλ 3333 λλλλ/2/2/2/2 2222 λλλλ

I p(x

), I

z(x)

, I(x

)

x0

výsledná

pímá zptná

λλλλ 2222 λλλλ ψψ ψψIp

(x),

ψψ ψψIz

(x)

, ψψ ψψI (

x)

180°

-180°

Obr. 9.14 Modul a fáze vln proudu podél vedení: pímá vlna, zptná vlna, výsledná vlna

asové závislosti vln na vedení v harmonicky ustáleném stavu získáme vynásobením fázor vln

na vedení komplexní funkcí tωje a vylenním bu reálné nebo imaginární ásti píslušného komplexoru reprezentujícího vlnu na vedení. V pípad vylenní imaginární ásti jsou okamžité hodnoty pímých, zptných a výsledných vln naptí a proud definovány

( ) )sin(e2eeIme)(ˆIm),( Uppj

pj

ppUp ψωβαψωβαω ++−=== −++−− txUUxUtxu xtxxt ,

( ) )sin(e2eeIme)(ˆIm),( Uzpj

zj

zzUz ψωβαψωβαω ++=== ++ txUUxUtxu xtxxt ,

( ) )sin(e2eeIme)(ˆIm),( Ippj

pj

ppIp ψωβαψωβαω ++−=== −++−− txIIxItxi xtxxt ,

( ) )sin(eˆ2eeIme)(ˆIm),( Izpj

zj

zzIz ψωβαψωβαω ++=== ++ txIIxItxi xtxxt .

( ) ( )txxUxUxUtxutxutxu txt ωψωψω +===+= + )(sin)(2e)(Ime)(ˆIm),(),(),( U)(jj

zpU ,

( ) ( )txxIxIxItxitxitxi txt ωψωψω +===−= + )(sin)(2e)(Ime)(ˆIm),(),(),( I)(jj

zpI

a zobrazeny na obr. 9.15 pi zatížení vedení ohmickou zátží. Z obr. 9.15 je vidt, že za dobu tvrt periody se vlna naptí a proudu posunula ve smru osy x o vzdálenost λ/4 od poátku dlouhého vedení. Vlna naptí i proudu se s asem posunuje podél vedení fázovou rychlostí vf a mní své rozložení v rámci „tekovaných obálek“ daných modulem jejich výsledné vlny, viz obr. 9.13 a 9.14.

Vlna tak dorazí do daného místa x vedení za as fv

xt = .

289

x0 λλλλ/2/2/2/2

výsledná t = 0 s

pímá zptná

λλλλ 3333 λλλλ/2/2/2/2 2222 λλλλ

up(

x.t)

, uz(

x.t)

, u(x

.t)

výsledná t = T/4

x0 λλλλ/2/2/2/2

pímá zptná

λλλλ 3333 λλλλ/2/2/2/2 2222 λλλλ

i p(x

.t), i

z(x.

t), i

(x.t)

výsledná t = T/4

výsledná t = 0 s

Obr. 9.15 Rozložení výsledné vlny naptí a proudu podél vedení, odporová zátž: as t = 0 s, as t = T/4

Shrnutí pojm 9.1.

Analýzu dlouhého vedení v harmonicky ustáleném stavu provádíme v oboru komplexních hodnot zavedením sekundárních parametr vedení, kterými jsou initel šíení γ a vlnová impedance dlouhého vedení vZ . Pro usnadnní porozumní jev na vedení zavádíme složkový tvar initele šíení. Jeho

reálnou složku nazýváme initel útlumu α, který je mírou exponenciálního tlumení velikosti vlnní podél vedení a imaginární složku initel fáze β, který je mírou natoení fáze vlnní na jednotkovém úseku vedení. initel fáze definuje délku vlny λ na vedení, na jejíž relaci vi délce vedení mžeme rozhodnout, budeme-li muset modelovat vedení jako obvod s prostorov rozloženými parametry. Zvláštním pípadem vedení je impedann pizpsobené vedení, které je na zaátku i konci zatížené práv vlnovou impedancí. Takovéto vedení jako celek mžeme modelovat ekvivalentním soumrným, reciprocitním dvojbranem a jeho obrazovými parametry. Míru odrazu vln vedení na jeho okrajích definují initele odrazu naptí Uρ a proudu Iρ . Oba tyto initele mají co do hodnoty stejné velikosti, avšak se liší znaménkem. K odrazm nedochází na pizpsobeném vedení, kdy na vedení existuje pouze pímá vlna naptí a proudu. Rozložení vln na vedení znázorujeme jednak hodografy ve tvaru spirály, jednak velikostmi a fázemi vln naptí a proud podél vedení a prostorov asovými závislostmi vln naptí a proud pi konstantním parametru, kterým je daný as t. Jev, kdy velikosti vlny naptí a proudu v uritých místech vedení mají hodnoty menší než v místech vzdálenjších, nazýváme Ferrantiho jev. K tomuto jevu nedochází u pizpsobeného a nekonen dlouhého vedení. Lokální maxima a minima velikostí vlny naptí a proudu jsou od sebe vzdálena o tvrtinu vlnové délky vlnní. Lineární fázi má pouze pímá nebo zptná vlna naptí nebo proudu, nikoli vlna výsledná.

290

Pímá nebo výsledná vlna postupuje v ase podél vedení fázovou rychlostí vf, takže do daného místa x

vedení dorazí v ase fv

xt = .

Otázky 9.1.

1. Co jsou to sekundární parametry vedení?

2. Jak souvisí mrná podélná impedance a mrná píná admitance vedení se sekundárními parametry vedení?

3. Jak je definován initel útlumu a initel fáze a co oba dva udávají?

4. Jaký je vztah mezi vlnovou délkou, fázovou rychlostí a initelem fáze?

5. Které funkce definují ekvivalentní dvojbranové parametry vedení?

6. Co udává vlnová impedance vedení?

7. Jaký je vztah mezi sekundárními obrazovými parametry dvojbranu a dlouhého vedení?

8. Co je to pizpsobené vedení?

9. Pro zavádíme pi analýze rovnic vedení novou souadnici s vztaženou k jeho konci?

10. Jaká posoudíte, že vedení délky l budete muset modelovat jako obvod s prostorov rozloženými parametry?

11. Jaký je vztah mezi initelem odrazu naptí a proudu?

12. Jakou hodnotu mají initele odrazu naptí a proudu pizpsobeného vedení?

13. Za jakých podmínek bude docházet na vedení k mnohonásobným odrazm?

14. Jak graficky zobrazujeme vlny na vedení?

15. Co je to Ferrantiho jev?

16. Existují u pizpsobeného vedení lokální extrémy velikostí výsledných vln na vedení?

17. Pro není fáze výsledného prbhu pímé a zptné vlny naptí a proudu lineárn závislá na souadnici x?

18. Jakou vzdálenost urazí vlna na vedení za as odpovídající tvrtin periody kmitotu vlnní?

Úloha k ešení 9.1.

Urete ekvivalentní hodnoty náhradního zapojení zatžovací impedance vedení z píkladu 9.2, tak aby vedení bylo impedann pizpsobené.

ešení:

Aby vedení bylo pizpsobené musí být na jeho konci pipojena impedance

Ω−== j85,8582,545ˆˆvs ZZ ,

kterou mžeme zrealizovat, jelikož má kapacitní charakter, ekvivalentním náhradním sériovým zapojením rezistoru R a kapacitoru CD nebo ekvivalentním náhradním paralelním zapojením rezistoru RG a kapacitoru C, viz obr. 9.16.

291

R CD

RG

C

Obr. 9.16 Ekvivalentní schéma pizpsobené zátže: sériové náhradní zapojení, paralelní náhradní zapojení, úloha k ešení 9.1

Hodnoty náhradních parametr sériového modelu vypoítáme následujícím zpsobem

XRZZ jˆˆvs +== , Ω== 82,545ˆRe sZR , Ω== 85,85ˆIm sZX ,

F3156,285,858002

1

2

1

sD µ

ππ=

⋅==

XfC .

K urení hodnot náhradních parametr paralelního modelu musíme nejprve vypoítat vlnovou admitanci

S10j281,2110788,169,305289

j85,8582,545

85,8582,545

j85,8582,545

j85,8582,545

j85,8582,545

j85,8582,545

1

j85,8582,545

1ˆ1

jˆˆ

63

22v

vs

−− ⋅+⋅=+

=

=+

+=

+

+

−=

−==+==

ZBGYY

a poté analogickým postupem

S10788,1ˆRe 3s

−⋅== YG , S10281,21ˆIm 6s

−⋅== YB ,

Ω=⋅

==−

28,55910788,1

113G G

R , nF94,558002

10281,21

80022

6

=⋅

===−

πππB

f

BC .

292

Závěrečný test

1. Určete činný výkon optimálně provozovaného trojfázového obvodu, znáte-li efektivní hodnotu fázového napětí souměrného trojfázového zdroje U = 230 V, efektivní hodnotu linkového proudu I = 10 A a účiník souměrné trojfázové zátěže 0,9.

a) 6900 W

b) 6310 W

c) 6210 W

2. Určete okamžitou hodnotu třetí fáze trojfázové vyvážené soustavy napětí, znáte-li okamžité hodnoty napětí první a druhé fáze 162,635 V.

a) 0 V

b) -325,27 V

c) -162,635 V

3. Určete efektivní hodnotu napětí mezi uzlem zdroje a zátěže souměrného trojfázového obvodu, u které došlo k přerušení jedné fáze zátěže. Efektivní hodnota souměrného zdroje je 230 V a odporová zátěž má hodnotu 10 Ω.

a) 115 V

b) 120 V

c) 125 V

4. Určete natočení fázoru sdruženého napětí ÛBC souměrného zdroje s efektivní hodnotou fázového napětí U = 230 V, víte-li, že soustava napětí je sousledná.

a) -30°

b) -60°

c) -90°

5. O kolik se změní příkon souměrné odporové zátěže o hodnotě 10 Ω zapojené do trojúhelníku, zdvojnásobí-li se její hodnota v jedné její fázi? Zátěž je napájena ze souměrného trojfázového zdroje zapojeného do hvězdy o efektivní hodnotě napětí U = 230 V.

a) 21660 W

b) 7935 W

c) 2645 W

6. Nestandardním spojením fází dvou dílčích souměrných trojfázových zdrojů zapojených do lomené hvězdy o stejné efektivní hodnotě fázového napětí může být efektivní hodnota výsledného fázového napětí lomené hvězdy několika násobkem fázového napětí dílčího zdroje, a to

a) 1 násobkem

b) √3 násobkem

c) √2 násobkem

7. Kolikrát se změní příkon souměrné odporové zátěže o hodnotě 10 Ω zapojené do hvězdy, dojde-li k přerušení její první fáze? Zátěž je třemi vodiči připojena k souměrnému trojfázovému zdroji, který je zapojen do hvězdy a má efektivní hodnotu fázového napětí U = 230 V.

a) 2/3-krát

293

b) 1/2-krát

c) 1/3-krát

8. Určete impedanci třetí fáze zátěže zapojené do trojúhelníka, znáte-li-síťové proudy ÎB= - (20·√3+24) + 52j, ÎC= (-20·√3 + 24) - 52j a fázový proud Î1= 20·(√3 + j) A. Zátěž je napájena ze souměrného trojfázového zdroje zapojeného do hvězdy o efektivní hodnotě sdruženého napětí U = 400 V.

2Z

3Z

1Z

ÛB

ÛC

ÛA Û1

Û2

Û3

Î1

Î2 Î3

ÎA

ÎB

ÎC

a) 8+6j Ω

b) 6+8j Ω

c) 10 Ω

9. Určete velikost proudu nulového vodiče, došlo-li k záměně nulového a fázového vodiče na straně zátěže zapojené do hvězdy. Induktivní zátěž je souměrná a má jmenovité parametry: proud In = 10 A, příkon Pn = 5,52 kW a účiník cos ϕn = 0,8 a je čtyřmi vodiči připojena k souměrnému trojfázovému zdroji, který je zapojen do hvězdy a má efektivní hodnotu fázového napětí U = 230 V.

a) 10 A

b) 10·√3 A

c) 40 A

10. Určete počáteční hodnotu směrnice stavové veličiny po rozpojení spínače S, znáte-li Uo = 10 V, R1 = 20 Ω, R2 = 100 Ω, L = 50 mH.

t=0 s

R1

Uo R2

L

S

a) 1 kA s-1

b) 0,5 kA s-1

c) 0,1 kA s-1

294

11. Určete počáteční hodnotu proudu induktoru po rozpojení spínače S, znáte-li hodnoty Uo = 50 V, R1 = 10 kΩ, R2 = 40 kΩ, C = 100 µF, L = 10 mH.

R1

Uo

C

t=0 s

L

R2 S

a) 5 mA

b) 1,25 mA

c) 1 mA

12. Určete ustálenou hodnotu napětí kapacitoru po sepnutí spínače S, znáte-li hodnoty Uo = 5 V, R1 = 10 kΩ, R2 = 40 kΩ, C = 100 µF, L = 10 mH.

R1

Uo

C L

R2 t=0 s S

a) 1 V

b) 4 V

c) 5 V

13. Určete časovou konstantu obvodu po sepnutí spínače S, znáte-li hodnoty Uo = 5 V, R1 = 10 Ω, R2 = 40 Ω, L = 10 mH.

R1 Uo R2 L

t=0 s

S

a) 1 ms

b) 1,25 ms

295

c) 4 ms

14. Určete počáteční hodnotu směrnice stavové veličiny po sepnutí spínače S, znáte-li U0 = 1 V, R1 = 10 kΩ, R2 = 40 kΩ, C = 100 µF.

R1 Uo R2 C

t=0 s

S

a) 1 Vs-1

b) 1,25 Vs-1

c) 0,2 Vs-1

15. Určete vlastní kmitočet obvodu po rozpojení spínače S, znáte-li hodnoty Uo = 10 V, R1 = 40 Ω, R2 = 10 Ω, C = 10 µF, L = 40 mH.

L

R2 R1

Uo CL

t=0 s

S

a) 750/π rad s-1

b) 50·√3·√83/π rad s-1

c) 125·√3·√53/2/π rad s-1

16. Která z rovnic udává průběh napětí stavové veličiny v přechodném ději. Známé parametry obvodu jsou Uo = 10 V, R1 = 10 kΩ, R2 = 15 kΩ, R3 = 14 kΩ, C = 20 µF, uC(0) = 3 V.

296

R3 R1

Uo

t=0 s

S

CL

R2

a) t25e36 −⋅−

b) t25e66 −⋅−

c) t25e36 −⋅+

17. Který z grafů odpovídá průběhu stavové veličiny obvodu po přepnutí spínače, znáte-li parametry obvodu jsou Uo = 12 V, R1 = 1 kΩ, R2 = 4 kΩ, R3 = 1,5 kΩ, L = 60 mH.

R1

R2

t=0 s S

Uo L

R3

0

5

10

15

20

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

t (ms)

i (m

A) a)

b)

c)

18. Určete koeficient napěťového přenosu kaskádního modelu dvojbranu z obrázku, znáte-li hodnoty R1 = 10 kΩ, R2 = 40 kΩ.

297

R1 R2

1

1‘

2

2‘

a) 0,2

b) 0,8

c) 1,25

19. Určete koeficient proudového přenosu kaskádního modelu dvojbranu z obrázku, znáte-li hodnoty R1 = 10 kΩ, R2 = 40 kΩ.

R2 R1

1

1‘

2

2‘

a) 5

b) 1,25

c) 0,8

20. Jakou hodnotu má proud druhé brány dvojbranu napájeného ze stejnosměrného zdroje, znáte-li U1 = 12 V, I1 = 0,5 A, U2 = 2 V.

U1

I 1

U2

I 2 2

2‘

1

1‘

a) proud nelze určit

b) 3 A

c) -3 A

21. Která z rovnic nepřísluší smíšenému modelu dvojbranu napájeného ze stejnosměrného zdroje, znáte-li U1 = 10 V, R1 = 100 Ω, R2 = 400 Ω.

298

2

2‘ 1‘

R1

R2

1

U1

I 1

U2

I 2

a) 211 8,0002,0 IUI ⋅−⋅=

b) 212 0025,0 UII ⋅+−=

c) 221 10025,1 IUI ⋅−⋅=

22. Určete hodnotu odporu souměrného odporového dvojbranu typu T-článku, znáte-li hodnoty konstant Â11 = 2, Â12 = 3000.

a) 500 Ω

b) 1 kΩ

c) 3 kΩ

23. Určete hodnotu kaskádního parametru Â12 výsledné kaskádní matice dvojbranu, který je tvořen dvěma kaskádně řazenými články stejných parametrů s hodnotami parametrů dílčí kaskádní matice Â11 = 3, Â12 = 1000, Â21 = 0,002, Â22 = 1.

a) 4000

b) 3

c) 0,008

24. Určete hodnotu vstupní impedance gyrátoru, je-li gyrační odpor 1 kΩ a kapacitní reaktance má hodnotu 100 Ω.

a) 100j Ω

b) 10000j Ω

c) -100j Ω

25. Jakou hodnotou impedance je zatížen ideální transformátor, má-li jeho vstupní impedance kapacitní charakter a velikost 10 Ω, znáte-li jeho primární napětí 230 V a sekundární napětí 10 V.

a) -10j

b) 10j

c) 10

26. Určete efektivní hodnotu výstupní veličiny řízeného zdroje, víte-li, že efektivní hodnota vstupní (řídící) veličiny má jednotkovou hodnotu a je-li přenosová admitance 10 S.

a) 0,1 V

b) 10 V

c) 10 A

27. Určete hodnotu přenosové impedance kaskádního modelu dvojbranu z obrázku pro R = 1 Ω.

299

2

2‘

1

1‘

R R

R

a) 1,5 Ω

b) 2 Ω

c) 3 Ω

28. Určete hodnotu lomového kmitočtu obvodu, znáte-li hodnoty R1 = 6 kΩ, R2 = 30 kΩ, C = 200 nF.

R1

R2 C

1

1‘

2

2‘

a) 625/9/π Hz

b) 500/π Hz

c) 1000/π Ηz

29. Určete hodnotu inverzního napěťového přenosu při nulovém kmitočtu, znáte-li hodnoty R1 = 10 Ω, R2 = 40 Ω, L = 100 mH.

R1

R2

1

1‘

2

2‘

L

a) 1,25

b) 0,8

c) 0,2

30. Určete hodnotu napěťového přenosu v decibelech při úhlovém kmitočtu ω = 5 krad s-1, znáte-li hodnoty R1 = 10 Ω, R2 = 40 Ω, L = 100 mH.

300

R1

R2

1

1‘

2

2‘

L

a) 20 dB

b) -21,98 dB

c) -1,94 dB

31. Určete hodnotu fáze napěťového přenosu při úhlovém kmitočtu ω = 10 krad s-1, znáte-li R1 = 6 kΩ, R2 = 30 kΩ, C = 200 nF

R1

R2 C

1

1‘

2

2‘

a) 84,3°

b) -45°

c) -84,3°

32. Která z komplexních přenosových funkcí odpovídá napěťovému přenosu obvodu z obrázku, znáte-li hodnoty R1 = 33 kΩ, R2 = 47 k Ω, C1 = 10 µF.

R1

R2

1

1‘

2

2‘

C1

a) ωω

j8,01

j33,01

++

b) ω

ωj8,01

j33,0

+

c) ω

ωj8,01

j47,0

+

33. Určete efektivní hodnotu kolektorového napětí malosignálového modelu bipolárního tranzistoru, znáte-li iB AC = 10-6 sin(1000πt), hodnoty h11e = 1 kΩ, h21e = 150, RC = 1 kΩ.

301

RC

E E

B C

e11h BACe21 ih

iB AC

uC

a) 3/2 V

b) 3/2/√2 V

c) 3/2·√2

34. Určete hodnotu vstupního odporu malosignálového modelu bipolárního tranzistoru, znáte-li i1AC = 10-6 sin(1000πt), hodnoty h11e = 1,125 kΩ, h21e = 150, RD = 9 kΩ, RF = 1 kΩ, RC = 1 kΩ.

RC

E E

B C

RD

RF

e11h BACe21 ih Rz

2‘ 1‘

1 2 i1AC

a) 500 Ω

b) 900 Ω

c) 1125 Ω

35. Určete hodnotu diferenčního parametru h21e, znáte-li v okolí pracovního bodu převodní charakteristiky souřadnice dvou bodů s hodnotami P1[60µA;12mA], P2[100µA;19mA]

a) 200

b) 190

c) 175

36. Určete hodnotu kolektorového odporu tranzistoru z údajů jeho výstupní charakteristiky na obrázku. Pracovní bod tranzistoru je nastaven tak, aby bylo možné maximálně využít rozkmit výstupních veličin tranzistoru.

302

IC (mA)

P

)( CEC UfI =

µA60B =I16

UCE (V) 12

RC

2‘ 1‘

1 2

RD

RF

Uo

a) 375

b) 750

c) 1500

37. Určete hodnotu odporu RD proudově buzeného tranzistoru z údajů uvedených v jeho výstupní charakteristice na obrázku. Pracovní bod tranzistoru je nastaven tak, aby bylo možné maximálně využít rozkmit výstupních veličin tranzistoru. Předpokládejte, že hodnota napětí UBE = 0,75 V.

IC (mA)

P

)( CEC UfI =

µA60B =I16

UCE (V) 12

RC

2‘ 1‘

1 2

RD

Uo

a) 187,5 kΩ

b) 200 kΩ

c) 12,5 kΩ

38. Při jakém napětí dojde ke změně polarity výstupního napětí komparátoru, je-li jeho výstup před komparací v kladné saturaci. Uvažujte parametry obvodu R1 = 3,3 kΩ, R2 = 4,7 kΩ, Ui = 1 V a ideální operační zesilovač.

303

2u

1R

2R

iU

+

–

−u–15

+15

a) 6 V

b) 6,6 V

c) 9,4 V

39. Určete efektivní hodnotu výstupního napětí ideálního operačního zesilovače z obrázku, znáte-li u1 = 2sin(1000πt), R1 = 10 kΩ, R2 = 56 kΩ.

2u

1R

2R

–

+ 1u

a) 5,6/√2 V

b) -√2 5,6 V

c) √2 5,6 V

40. Jakou hodnotu musí odpor R1, aby při buzení vstupu ideálního operačního zesilovače z obrázku harmonickým signálem s amplitudou 0,5 V a zpětnovazebním odporem R2 = 15 kΩ byla amplituda výstupního napětí 2 V.

304

2u

–

+

1R

1u

2R

a) 3,75 kΩ

b) 5 kΩ

c) 60 kΩ

41. Určete hodnotu vstupního odporu obvodu s ideálním operačním zesilovačem z obrázku, znáte-li R1 = 100 kΩ, R2 = 820 kΩ.

2u

1R

2R

–

+ 1u

a) 100 kΩ

b) 920 kΩ

c) ∞ Ω

42. Určete periodu výstupního napětí astabilního klopného obvodu z obrázku, znáte-li R1 = 82 kΩ, R2 = 10 kΩ, R = 10 kΩ, C = 1 µF.

305

2u

C

R

–

+

2R

1R–UN

+UN

a) 28,6 ms

b) 44,4 ms

c) 57,1 ms

43. Která z komplexních přenosových funkcí odpovídá napěťovému přenosu obvodu z obrázku, znáte-li R1 = 10 kΩ, R2 = 22 kΩ, C = 5 µF.

2U

1R

2R

–

+ 1U

C

a) ωj11,01

2,2

+

b) ωj11,01

2,2

+−

c) ω

ωj11,01

j05,0

+−

44. Určete hodnotu vlnové impedance dvojbranu z obrázku, znáte-li hodnoty R1 = 10 kΩ, R2 = 40 kΩ, R3 = 10 kΩ.

306

R1 R2

1

1‘

2

2‘

R3

a) 30 kΩ

b) 50 kΩ

c) 18 kΩ

45. Určete hodnotu odporu dvojbranu z obrázku, je-li hodnota jeho vlnové impedance oZ = 10 kΩ .

R R

1

1‘

2

2‘

R

a) 10/√3 kΩ

b) 10 kΩ

c) 10√3 kΩ

46. Určete hodnotu inverzního obrazového přenosu dvojbranu z obrázku, znáte-li hodnoty R1 = 10 kΩ, R2 = 40 kΩ, R3 = 10 kΩ.

R1 R2

1

1‘

2

2‘

R3

a) 0,5

b) 2

c) ln(2)

47. Určete hodnotu inverzní obrazové míry přenosu dvojbranu z obrázku, znáte-li hodnoty R1 = 10 kΩ, R2 = 11,25 kΩ, R3 = 10 kΩ.

307

R2 R1

1

1‘

2

2‘

R3

a) 0,25

b) ln(4)

c) 4

48. Určete koeficient nesymetrie dvojbranu z obrázku, znáte-li hodnoty R1 = 10 kΩ, R2 = 10 kΩ, R3 = 20 kΩ.

R1 R2

1

1‘

2

2‘

R3

a) √2/√3

b) 2/3

c) 3/2

49. Určete dobu, za kterou dorazí rozruch vyvolaný zdrojem na počátku přizpůsobeného vysokofrekvenčního vedení o délce 400 m po odrazu od konce vedení do místa x = 100 m vzdáleného konce vedení, znáte-li R0 = 5 mΩ/m, G0 = 0,1 nS/m, L0 = 36 µH/m, C0 = 1 pF/m, f = 1 GHz.

a) 600 ns

b) 2,4 µs

c) 3 µs

50. Určete vzdálenost, kterou urazí rozruch vyvolaný zdrojem na počátku přizpůsobeného vysokofrekvenčního vedení za čas t = 500 ns, znáte-li R0 = 3 Ω/km, G0 = 0,5 µS/km, L0 = 2 mH/km, C0 = 8 nF/km, f = 1 GHz.

a) 125 m

b) 85 m

c) 60 m

51. Určete hodnotu impedančně přizpůsobené zátěže připojené k dlouhému vysokofrekvenčnímu vedení, znáte-li R0 = 5 mΩ/m, G0 = 0,1 nS/m, L0 = 40 µH/m, C0 = 1 pF/m, f = 1 GHz.

a) 4 nΩ

b) 500 Ω

c) 2 mΩ

308

52. Určete délku vlny dlouhého vysokofrekvenčnímu vedení, znáte-li R0 = 3 Ω/km, G0 = 0,5 µS/km, L0 = 2 mH/km, C0 = 8 nF/km, f = 100 MHz.

a) 5 m

b) 1,25 m

c) 2,5 m

53. Určete hodnotu vstupní impedance přizpůsobeného vedení v místě x = 30 km vzdáleném od jeho počátku, znáte-li R0 = 3 Ω/km, G0 = 0,5 µS/km, L0 = 2 mH/km, C0 = 6 nF/km, f = 10 kHz

a) 577,40- j 6,51 Ω

b) 577,40+ j 6,51 Ω

c) 6,51+ j 577,40 Ω

54. Určete hodnotu činitele šíření přizpůsobeného vedení, znáte-li R0 = 3 Ω/km, G0 = 0,5 µS/km, L0 = 2 mH/km, C0 = 6 nF/km, f = 10 kHz

a) (2,74+ j 217,67)·10-6 km-1

b) (2,74+ j 217,67)·10-3 km-1

c) (217,67+ j 2,74)·10-3 km-1

55. Určete měrnou hodnotu kapacitance bezeztrátového vedení, znáte-li Z0 = 300 Ω, L0 = 1,5 µH/m, β = 0,03 km-1, f = 2/π kHz.

a) 25 nF/m

b) 25 pF/km

c) 25 nF/km

Odpovědi závěrečného testu

1.c, 2.b, 3.a, 4.c, 5.b, 6.a, 7.b, 8.c, 9.a, 10.a, 11.c, 12.b, 13.b, 14.a, 15.c, 16.a, 17.a, 18.c, 19.a, 20.b, 21.c, 22.b, 23.c, 24.b, 25.a, 26.c, 27.c, 28.b, 29.a, 30.b, 31.c, 32.c, 33.b, 34.a, 35.c, 36.b, 37.a, 38.b, 39.c, 40.b, 41.a, 42.c, 43.b, 44.a, 45.c, 46.b, 47.b, 48.a, 49.c, 50.a, 51.b, 52.c, 53.a, 54.b, 55.c.