Teori Kesalahan

DASAR-DASAR METODA DAN ANALISA DASAR-DASAR METODA DAN ANALISA NUMERIKNUMERIK

PROF. DR. IR. BAMBANG TEGUH P., DEA

BTMP – BPPTKAWASAN PUSPIPTEK SERPONG

PENDAHULUANPENDAHULUAN

SOLUSI ANALITIS / EKSAK• Berguna untuk memberikan

pengertian yg lengkap thd perilaku beberapa sistem,

• Hanya bisa diturunkan untuk kelas permasalahan terbatas : model linier, Geometri sederhana dan

berdimensi rendah

Contoh 1: f(x) = 2x; a = 1; b = 3

8x22

dxx2I3

1

23

1=== ∫

0

2

4

6

8

0 1 2 3 4

x

f(x)

I

PERMASALAHANPERMASALAHAN( ) dxxfI

b

a∫=

I : luas dibawah kurva yg dibatasi I : luas dibawah kurva yg dibatasi f(a), f(b) dan sumbu xf(a), f(b) dan sumbu x

PENDAHULUANPENDAHULUANSOLUSI ANALITIS / EKSAKSOLUSI ANALITIS / EKSAK

Contoh 2.

( ) ?dxx2I3

1

x5lnx 2

=∫= −

susahBanyak permasalahan yg kompleks Banyak permasalahan yg kompleks dan tidak mempunyai solusi analitisdan tidak mempunyai solusi analitis

Contoh 3.Menentukan debit aliran dari hasil pengukuran kecepatan aliran di dalam pipa

Debit = 2D4

.vπ

Dimana : v adalah kecepatan rata-rata aliran

( ) ?drrvD1

vR

R=∫=

−

DR

v(r)

““ZAMAN PRA-KOMPUTER”ZAMAN PRA-KOMPUTER”

v(r) tidak diketahui


• Untuk mencirikan perilaku suatu sistem, Untuk mencirikan perilaku suatu sistem, biasanya dibentuk oleh gambar atau biasanya dibentuk oleh gambar atau homograf,homograf,

• Dapat untuk menyelesaikan masalah yg Dapat untuk menyelesaikan masalah yg cukup rumit, tapi hasilnya cukup rumit, tapi hasilnya kurang presiskurang presis

• Hanya bisa diturunkan bisa digunakan Hanya bisa diturunkan bisa digunakan untuk permasalahan berdimensi rendahuntuk permasalahan berdimensi rendah

f(x)

x1 2 3

SOLUSI GRAFISSOLUSI GRAFIS “ZAMAN PRA-KOMPUTER” “ZAMAN PRA-KOMPUTER”


Contoh 1: f(x) = 2x; a = 1; b = 3 8x22

dxx2I3

1

23

1=== ∫

0

2

4

6

8

0 1 2 3 4

x

f(x)

II : luas dibawah kurva yg I : luas dibawah kurva yg

dibatasi f(a), f(b) dan dibatasi f(a), f(b) dan sumbu xsumbu x

METODA RESOLUSI NUMERIK METODA RESOLUSI NUMERIK “ZAMAN KOMPUTER”“ZAMAN KOMPUTER”

METODA RESOLUSI NUMERIK METODA RESOLUSI NUMERIK “ZAMAN KOMPUTER”“ZAMAN KOMPUTER”

• Teknik dimana masalah matematika diformulasikan sedemikian rupa shg Teknik dimana masalah matematika diformulasikan sedemikian rupa shg dapat diselesaikan oleh pengoperasian aritmetika (ilmu hitung – dapat diselesaikan oleh pengoperasian aritmetika (ilmu hitung – bilangan),bilangan),

• Metoda pendekatan, namun berkat kemajuan komputer mampu untuk Metoda pendekatan, namun berkat kemajuan komputer mampu untuk menyelesaikan masalah yg rumit menyelesaikan masalah yg rumit

Contoh 2.Contoh 2.

( ) ?dxx2I3

1

x5lnx 2

=∫= −

f(x)

x1 2 3

f(1)

f(3)

( ) ( )[ ] ( )2

133f1fI

−+=

Kurang telitiKurang teliti

f(x)

x1 2 3

f(1)

f(3)

Lebih teliti , dengan cara:Lebih teliti , dengan cara:

• Diperbanyak segmen,• Dengan komputer bisa cepat

( ) ( )[ ] ( ) +−+=2

122f1fI

( ) ( )[ ] ( )2

233f2f

−+



METODA RESOLUSI NUMERIK PROBLEM INTEGRALMETODA RESOLUSI NUMERIK PROBLEM INTEGRAL

• ADA BERBAGAI CARA UNTUK MENYELESAIKANNYA SECARA NUMERIK

f(x)

x0 1 2 NN-1

f(0)f(1)

f(N-1)

f(N)

a b

( )( ) ( ) ( )

n2

nfif20fabI

Ni

1i∑ ++

−=

=

=

• Contoh : METODA TRAPESIUM

METODA TRAPESIUM METODA SIMPSON METODA ROMBERG, METODA KUADRATUR GAUSS DLL

Kesalahan: ( ) "2

3

a fn12ab

E−−=

"f : harga rata-rata turunan kedua fungsi



f(x)

x0 1 2 NN-1

f(0)f(1)

f(N-1)

f(N)

a b

( )( ) ( ) ( ) ( )

n3

nfif2if40fabI

1Ni

,...3,1i

2Ni

,...4,2i∑ ∑ +++

−=

−=

=

−=

=

• Contoh : METODA SIMPSON 1/3

Kesalahan:( ) 4

4

5

a fn180ab

E−−=

4f : harga rata-rata turunan keempatfungsi

Metoda Simpson lebih teliti dibanding metoda Trapesium



• Contoh : ( ) 5432 x400x900x675x200x252,0xf +−+−+=

( ) dxxfI8,0b

0a∫=

=

=

dengan N=2 atau h=0,4

• Penyelesaian :

Solusi analitis eksal I = 1,64053334

Dengan metoda Trapesium : I = 1,0688

Kesalahan : Ea = 0,64

Dengan metoda Simpson 1/3 : I = 1,6234667

Kesalahan : Ea = 0,01706667


KESIMPULAN SEMENTARA :

• METODA NUMERIK DAPAT MENYELESAIKAN PROBLEM YG RUMIT,

• METODA NUMERIK ADALAH METODA APROKSIMATIF SHG ADA KESALAHAN,

• KESALAHAN BISA DIATASI :♦ DGN MEMPERKECIL LANGKAH♦ MEMILIH METODA RESOLUSI YG TEPAT

PENDAHULUANPENDAHULUAN KESIMPULAN SEMENTARA :

PENEKANAN AKTIVITAS PENYELESAIAN MASALAHPENEKANAN AKTIVITAS PENYELESAIAN MASALAH

ZAMAN PRA-KOMPUTERZAMAN PRA-KOMPUTER ZAMAN KOMPUTERZAMAN KOMPUTER

FORMULASI FORMULASI MATEMATISMATEMATIS

Hukum dasar yg Hukum dasar yg diterangkan secara diterangkan secara

singkatsingkat

Eksposisi mendalam dari Eksposisi mendalam dari hubungan masalah terhadap hubungan masalah terhadap

hukum dasarhukum dasar

SOLUSISOLUSIPerluasan dan sering dgn Perluasan dan sering dgn cara yg rumit untuk cara yg rumit untuk

mempermudah masalah mempermudah masalah

Metoda numerik Metoda numerik mudah digunakan mudah digunakan

INTERPRETASIINTERPRETASIAnalisis mendalam dibatasi Analisis mendalam dibatasi

oleh solusi yg memakan oleh solusi yg memakan waktu waktu

Kalkulasi yg mudah Kalkulasi yg mudah memberikan pemikiran holistik memberikan pemikiran holistik

dan intuisi buat dan intuisi buat pengembangan sensitivitas pengembangan sensitivitas serta perilaku sistem dapat serta perilaku sistem dapat

dipelajaridipelajari

Catatan: ukuran kotak menunjukkan tingkat penekanan aktivitas


KEUNTUNGAN METODA RESOLUSI NUMERIKKEUNTUNGAN METODA RESOLUSI NUMERIK

• Dapat menyelesaikan masalah yg rumit (sistem persamaan yg besar, Dapat menyelesaikan masalah yg rumit (sistem persamaan yg besar, tidak linier, geometri kompleks), dan seringkali tidak mungkin tidak linier, geometri kompleks), dan seringkali tidak mungkin diselesaikan secara analitis diselesaikan secara analitis ⇒⇒ meningkatkan kemampuan kita meningkatkan kemampuan kita untuk menyelesaikan permasalahanuntuk menyelesaikan permasalahan

• Dalam bekerja seringkali kita menggunakan paket program komputer yg Dalam bekerja seringkali kita menggunakan paket program komputer yg mencakup metoda numerik mencakup metoda numerik ⇒⇒ memudahkan dlm memahami dan memudahkan dlm memahami dan pemakaian paket programpemakaian paket program

• Banyak permasalahan yg tidak/belum tersedia di pasaran paket program Banyak permasalahan yg tidak/belum tersedia di pasaran paket program penyelesaiannya penyelesaiannya ⇒⇒ bisa mengembangkan sendiri metoda resolusi bisa mengembangkan sendiri metoda resolusi dan dikemas dlm paket programdan dikemas dlm paket program

• Merupakan sarana untuk memperkuat kembali pengertian kita terhadap Merupakan sarana untuk memperkuat kembali pengertian kita terhadap matematika, karena tugas metoda numerik adalah matematika, karena tugas metoda numerik adalah mengurangi mengurangi matematika tinggi menjadi operasi aritmatika dasarmatematika tinggi menjadi operasi aritmatika dasar..

FORMULASI MATEMATIKAFORMULASI MATEMATIKADidefinisikan sebagai :Didefinisikan sebagai : sebuah formulasi atau persamaan yg sebuah formulasi atau persamaan yg mengungkapkan segi/unsur utama suatu sistem atau proses fisika ke dalam mengungkapkan segi/unsur utama suatu sistem atau proses fisika ke dalam istilah matematika istilah matematika Contoh Contoh : Hukum Newton kedua, : Hukum Newton kedua, F= m.aF= m.a

Dapat dibuat model matematik yg lebih komplek untuk menggambarkan Dapat dibuat model matematik yg lebih komplek untuk menggambarkan perilaku lain dlm proses fisikaperilaku lain dlm proses fisika

MisalMisal: menetukan kecepatan jatuh seorang penerjun bebas: menetukan kecepatan jatuh seorang penerjun bebas

Fu

Fd

Fdtdv

mFam =⇒=

m: massa penerjun (kg)a : percepatan (m/dt2)v : kecepatan (m/dt)

F : gaya netto yg bekerja (N) = Fu +Fd

Fu : gaya keatas akibat gesekan udara = -c.vFd : gaya kebawah akibat gravitasi = m.g

v.cg.mdtdv

m −=

vmc

gdtdv −= dtv

mc

gdv

−=

FORMULASI MATEMATIKAFORMULASI MATEMATIKA

Solusi analitisSolusi analitis::

Fu

Fd

dtvmc

gvmc

gdcm

−=

−−

dtvmc

gdv

−=

∫∫ −=

−

−

dtmc

vmcg

vmcgd

1Ctmc

vmc

gln +−=

−

Kondisi inisial:t = 0; v = 0, didapat C1 = ln g

( )

−=

− tmc

t e1cgm

v

Bila m = 68,1 kg; c = 12,5 kg/dt; g =9,8 m/dt2

53,39∞

41,108

35,646

27,774

16,412

00

v (m/dt)t (detik)

0

10

20

30

40

50

0 2 4 6 8waktu (detik)

kece

pata

n (m

/det

ik)

FORMULASI MATEMATIKAFORMULASI MATEMATIKASolusi numerikSolusi numerik::

• Memformulasikan masalah matematik sedemikian rupa agar dapat diselesaikan dgn operasi aritmatika

• Digunakan metoda finite different untuk pendekatan turunan pertama v thd t

ti ti+1

v(ti)

v(ti+1)

Kemiringan sebenarnya Kemiringan

pendekatan

∆t

∆v

( ) ( )i1i

i)1i

tttvtv

tv

dtdv

−−

=≈+

+

ΔΔ

( ) ( ) ( )ii1i

i)1i tvmC

gtt

tvtv−=

−−

+

+

( ) ( ) ( ) ( )i1iii1i tttvmC

gtvtv −

−+= ++

53,39∞

44,838

39,866

32,014

19,602

00

v (m/dt)t (detik)

0

10

20

30

40

50

0 2 4 6 8waktu (detik)

kece

pata

n (m

/dt)

eksaknumerikPoly. (eksak)

• Ada perbedaan akibat pendekatan dgn garis lurus,• Secara umum, metoda numerik memenuhi solusi eksak• Untuk mengurangi perbedaan, perlu interval lebih kecil

⇒ perhitungan bertambah ⇒ perlu kompromi

TEORI KESALAHANTEORI KESALAHAN BEBERAPA TERMINOLOGI

ANGKA SIGNIFIKAN :

• Dikembangkan secara resmi untuk menandakan sebUah nilai numerik• Banyaknya angka signifikan adalah banyaknya digit tertentu yg dapat dipakai

dengan meyakinkan Contoh :• Bilangan 45300, bisa mempunyai 3, 4, atau 5 buah digit signifikan, tergantung

apakah harga nol itu telah diketahui dgn yakin,• Ketidak pastian semacam ini bisa diselesaikan dgn memakai notasi ilmiah:

4,53 x 104 4,530 x 104 4,5300 x 104

3 4 5 Angka signifikan

• Dua arti penting konsep angka signifikan : Memutuskan kebenaran dari suatu pendekatan, Memaklumi bahwa ada besaran yg tidak pernah bisa dinyatakan secara

eksak (misal π = 3,141592653589……..)⇒ Pengabaian dari angka signifikan sisa dinamakan kesalahan pembulatan

Untuk menyatakan tingkat keyakinan suatu hasil numerik

TEORI KESALAHANTEORI KESALAHAN BEBERAPA TERMINOLOGI

AKURASI DAN PRESISI

• Akurasi / Akurat : mengacu pada dekatnya sebuah angka pendekatan atau pengukuran terhadap harga sebenarnya yg hendak dinyatakan,

• Presisi : mengacu pada :

1. Jumlah angka signifikan yg menyatakan suatu besaran, atau2. Penyebaran dlm bacaan berulang dari sebuah

a). Tidak akurat dan tidak presisib). Tidak akurat, presisi

a). b). c). d).c). Akurat dan tidak presisib). Akurat dan presisi

⇒ Untuk menyatakan kedua hal tsb , digunakan istilah kesalahan

TEORI KESALAHANTEORI KESALAHAN

APROKSIMASI / PENDEKATAN

OPERASI DAN BESARAN / MATEMATIK YG PASTI

KESALAHAN NUMERIK

KESALAHAN PEMOTONGAN (TRUNCATION ERROR)

KESALAHAN PEMBULATAN (ROUND-OFF ERROR)

• Terjadi sewaktu aproksimasi digunakan untuk menyatakan suatu prosedur matematika

• Terjadi bila angka2 aproksimasi dipakai untuk menyatakan angka2 pasti

tv

dtdv

ΔΔ≈ π ≈ 3,14


• Kesalahan Numerik (Et) = Harga sebenarnya – Aproksimasi

⇒ (tidak menunjukkan orde besara dari nilai yg diperiksa)

• Kesalahan Relatif Fraksional = %100xSebenarnyaaargH

Kesalahan

%100xSebenarnyaaargHEt

t =ε

KESALAHAN NUMERIK

Contoh :

• Pengukuran panjang jembatan dan panjang paku masing-masing 9999 cm dan 9 cm• Kalau harga sebenarnya masing-masing 10000 cm dan 10 cm, berapa kesalahan

dan kesalahan relatif

(1/10) x 100 % = 10 %(1/10000) x 100 % = 0,01 %εt (%)10 – 9 = 1 cm10000 – 9999 = 1 cmEt (cm)

PakuJembatan Kesalahan

Teliti Tergantung


• Kesalahan Aproksimasi (Ea) = Aproks. sekarang – Aproks. sebelumnya

⇒ (tidak menunjukkan orde besara dari nilai yg diperiksa)

%100xSekarangiAproksimas

Eaa =ε

• DALAM PERMASALAHAN YG KOMPLEKS, JARANG HARGA YG SEBENARNYA DAPAT DIKETAHUI DGN MUDAH, KECUALI FUNGSI-FUNGSI YG DAPAT DISELESAIKAN SECARA ANALITIS

• PERLU DIDEFINISIKAN KESALAHAN APROKSIMASI

Contoh : dalam perhitungan iteratif

• Tanda εa bisa(-) atau (+), dan biasanya iterasi berhenti bila :- dimana εs adalah toleransi praspesifikasi,- menurut Scarborough/1966/ :

sa εε <

( )%10x5,0 n2s

−=ε

• artinya: bila kondisi tsb di atas dapat dipenuhi, maka dapat dijamin bahwa hasilnya adalah betul sampai sekurang-kurangnya “n” angka signifikan


Contoh : Taksiran kesalahan untuk metoda iterasi

• Perluasan Deret Mac Laurin : ........!5

x!4

x!3

x!2

xx1e

5432x ++++++=

Tentukan kesalahan untuk x = 0,5 guna meyakinkan suatu hasil sampai sekurang-kurangnya tiga angka signifikan :

( ) %05,0%10x5,0 32s == −ε

Penyelesaian : Solusi eksak : 648721271,15,0 =ε

0,01580,001421,648697917660,1580,01721,648437500551,270,1751,645833333447,691,441,6253333,39,021,522

39,3111εa (%)εt (%)HasilSuku keIterasi Solusi numerik :

• Berhenti pada iterasi ke 7 karena εa < εs

• Ketelitian sampai 4 angka signifikan

TEORI KESALAHANTEORI KESALAHAN KESALAHAN PEMOTONGAN (TRUNCATION ERROR)

DERET TAYLOR

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) n

nin

3i'''

2i''

i'

i1i Rh!nxf....h

!3xfh

!2xfhxfxfxf +++++=+

Dimana suku sisa( ) [ ]

( )1n

1n

n h!1n

fR ++

+= ξ

Contoh : Gunakan perluasan deret Taylor orde ke nol s/d orde ke empat untuk menaksir fungsi : ( ) 2,1x25,0x5,0x15,0x1,0xf 234 +−−−−=

Dimana xi = 0 dan h = 1, artinya xi+1 = 1

Penyelesaian :

0

-0,25

-0,75

-1

Et

Tak perlu *)4

0,23

0,452

0,951

1,20

f(xi+1)n

*) karena ( ) ( ) 0

!5hfR

55

4 =ξ=

0

0.5

1

1.5

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

x

f(x)

( ) ( )i1i xfxf =+

( ) ( ) ( ) hxfxfxf i'

i1i +=+

( ) ( ) ( )( ) 2i

''i

'i1i

h!2xf

hxfxfxf ++=+

eksak

Orde nol

Orde ke 1

Orde ke 2


Kesimpulan :• Makin tinggi ordenya (makin banyak suku-suku) akan memperkecil kesalahan,• Dalam hal-hal yg praktis, dgn menambahkan beberapa suku saja sudah

menghasilkan aproksimasi yg cukup

Dalam banyak hal penentuan banyaknya suku dimulai dengan menghitung suku sisa dari deret

Dilema : - harga ξ tidak pasti, Untuk itu suku sisa sering ditulis Rn=O(hn+1), yg berarti kesalahan pemotongan

berorde hn+1

Hal penting :

DERET TAYLOR

• Jika kesalahan O(h) ⇒ dgn memperkecil langkah h menjadi ½ h, kesalahan menjadi setengahnya,

• Jika kesalahan O(h2) ⇒ dgn memperkecil langkah h menjadi ½ h, kesalahan menjadi seperempatnya


PENGGUNAAN DERET TAYLOR UNTUK MEMPERKIRAKAN KESALAHAN PEMOTONGAN

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) n

nin

3i'''

2i''

i'

i1i Rh!nxf....h

!3xfh

!2xfhxfxfxf +++++=+

Bila dipotong setelah turunan pertama :

( ) ( ) ( ) 1i'

i1i Rhxfxfxf ++=+ ( ) ( ) ( )hR

hxfxf

xf 1i1ii

' −−= +⇒

Taksiran kesalahan :( )

h!2

"fhR1 ξ= atau ( )hO

hR1 =

Dlm metoda numerik disebut “DiferensiTerbagi Hingga” atau “Beda Hingga”

Shg secara umum : ( ) ( ) ( ) ( )hOh

xfxfxf i1i

i' −−= +

h : ukuran langkah

Beda hingga pertama kedepan

DIFERENSIASI NUMERIKDIFERENSIASI NUMERIK METODA BEDA HINGGA

Turunan Pertama

KEDEPAN TERPUSAT KEBELAKANG

f(xi+1)

xi xi+1

f(xi)

h

xixi-1

f(xi-1)

f(xi)

h

( ) ( ) ( ) ( )hOh

xfxfxf i1i

i' +−= +

f(xi-1)

f(xi+1)

hh

xixi+1xi-1

( ) ( ) ( ) ( )21i1ii

' hOh2

xfxfxf +−= −+ ( ) ( ) ( ) ( )hO

hxfxf

xf 1iii

' +−= −

Turunan Kedua

( ) ( ) ( ) ( ) ( )hOh

xfxf2xfxf 2

i1i2ii

" ++−= ++ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )22

1ii1ii

" hOh

xfxf2xfxf ++−= −+ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )hO

hxfxf2xf

xf 22i1ii

i" ++−= −−

TEORI KESALAHANTEORI KESALAHAN KESALAHAN TOTAL

KESALAHAN PEMOTONGAN (TRUNCATION ERROR)

KESALAHAN PEMBULATAN (ROUND-OFF ERROR)

+

KESALAHAN TOTAL

(+) Diperbaiki dgn memperkecil langkah

(-) Menambah jumlah komputasi

(+) Diperbaiki dgn memperbanyak angka signifikan

(-) Kesalahan akan bertambah jika jumlah komputasi dinaikkan

• Perlu kompromi,• Merupakan seni dlm metoda numerik,• Tergantung pada penyelesaian trial&error, intuisi,

pengalaman,• Kemajuan komputer :

Angka signifikan mudah diperbanyak (+)Ukuran langkah bisa diperkecil (+)

Ukuran Langkah, logKe

sala

han,

log

KesalahanpembulatanKesalahan

pemotongan

Kesalahan

total

Documents

Teori Kesalahan