ECUACIONES

Definicin: Una ecuacin es una igualdad entre dos expresiones algebraicas.

Ejemplo 1. Las siguientes son ecuaciones de una, dos o tres variables: 132 += xx Ecuacin en una variable

122 =+ yx Ecuacin en dos variables 6432 =+ zyx Ecuacin en tres variables

El inters de este material es estudiar las ecuaciones en una sola variable donde se encuentren presentes expresiones lineales, cuadrticas, polinmicas, racionales, con valor absoluto y con radicales.

Ejemplo 2. Los siguientes son ejemplos de algunas ecuaciones:

132 += xx x , (ecuacin lineal) 1122 =+ yy y , (ecuacin cuadrtica)

212 =x 21x , (ecuacin con radical)

022 23 =+ xxx x , (ecuacin polinmica de grado 3)

z

z

z

z 111 +

=

+

{ }0,1, zz , (ecuacin racional) 11 =x x , (ecuacin con valor absoluto)

Solucin de una ecuacin

Definicin: Una solucin de una ecuacin es todo aquel valor que al sustituirlo por la incgnita o variable, hace que la igualdad se satisfaga. El conjunto solucin est constituido por todas esas soluciones.

Ejemplo 3. Determine si el valor 2 es solucin de la ecuacin 4632 =+ xx

Solucin El valor 2 es solucin de la ecuacin 4632 =+ xx , porque al reemplazar la variable x por el valor 2 la igualdad se satisface: 46)2(3)2( 2 =+ , y 44 = ,

Ejemplo 4. Determine si el conjunto { }3,2=S es solucin de la ecuacin 21

25

=x

Solucin

El conjunto { }3,2=S es solucin de la ecuacin 21

25

=x , ya que al remplazar cada valor del

conjunto en la ecuacin, la igualdad se satisface:

Si se reemplaza la variable x por 2, la ecuacin 21

21

252 ==

se satisface y

Si se reemplaza la variable x por 3, la ecuacin 21

21

253 == tambin se satisface

Ejemplo 5. Determine si el conjunto { }3,2=S es solucin de la ecuacin xx = 22 .

Solucin El conjunto { }3,2=S no es solucin de la ecuacin xx = 22 , pues aunque el valor 2 sea solucin de la ecuacin: 222)2(2 == , el valor 3 no lo es: 342)3(2 = . Se dice que el conjunto { }3,2=S no es solucin de la ecuacin, pues debe cumplirse que ambos valores sean solucin.

Ecuacin lineal

Definicin: Una ecuacin lineal es toda aquella igualdad entre dos expresiones donde la variable tiene exponente uno como mximo.

Ejemplo 6. Las siguientes igualdades son ejemplos de ecuaciones lineales: a. 043 =+x b. 132 += xx

c. 4232 =x

Procedimiento para resolver una ecuacin lineal El objetivo es encontrar el valor de la variable que hace que la igualdad se satisfaga usando para ello la propiedad uniforme de la suma y de la multiplicacin:

Propiedad uniforme de la suma A una igualdad se le puede sumar a ambos lados una misma expresin que represente un nmero real sin que sta se altere. Simblicamente: )()()()()()( xCxBxCxAxBxA +=+=

Propiedad uniforme de la multiplicacin A una igualdad se le puede multiplicar a ambos lados una misma cantidad sin que sta se altere. Simblicamente: )().()().()()( xCxBxCxAxBxA ==

Ejemplo 7. Resolver la ecuacin 4232 =x

Solucin 1

4232 =x ,

234

23

232 +=+x , Propiedad uniforme de la suma

2112 =x , Propiedad modulativa de la suma

211

212

21

=

x , Propiedad uniforme de la multiplicacin

411

=x

Solucin 2

4232 =x ,

421

232

21

=

x , Propiedad uniforme de la multiplicacin

243

=x , Propiedad modulativa de la multiplicacin y distributiva

432

43

43

+=+x , Propiedad uniforme de la suma

411

=x Propiedad modulativa de la suma

Solucin 3

4232 =x ,

42

34=

x, Comn denominador

834 =x , Propiedad uniforme de la multiplicacin 38334 +=+x , Propiedad uniforme de la suma y modulativa

114 =x , Propiedad uniforme de la multiplicacin

411

=x

Nota: Estos procesos son conocidos como transposicin de trminos

Ecuacin cuadrtica

Definicin Una ecuacin cuadrtica es toda aquella que se puede escribir de la forma 02 =++ cbxax , con

0a , cba ,,

Ejemplo 8. Determine los valores de a, b y c en la ecuacin cuadrtica 012 2 =+ xx

Solucin Los valores de a, b y c en la ecuacin 012 2 =+ xx son 11,2 === cyba

Procedimiento para resolver una ecuacin cuadrtica por factorizacin

El principio bsico en que se basa la resolucin de una ecuacin cuadrtica es: 000. === baentoncesbasi .

Si la ecuacin cuadrtica 02 =++ cbxax se pueda factorizar como 0))(( =++ exdax , se aplica el principio bsico anterior para encontrar la (s) solucin (es) de la ecuacin.

Ejemplo 9. Resolver la ecuacin cuadrtica 0232 2 =+ xx

Solucin Dado que la ecuacin cuadrtica 0232 2 =+ xx , se puede factorizar como 0)2)(12( =+ xx , se puede concluir, despus de utilizar el principio bsico, que 02012 =+= xx , es decir

221

== xx . Por lo tanto el conjunto solucin de la ecuacin 0232 2 =+ xx es

=

21

,2S

Frmula general para resolver una ecuacin cuadrtica

Teorema Las soluciones de la ecuacin cuadrtica 02 =++ cbxax , con 0a se pueden hallar aplicando

la frmula a

acbbx

242

=

Demostracin Se utiliza el mtodo de completacin del cuadrado para la comprobacin de este resultado a la ecuacin cuadrtica 02 =++ cbxax , as:

02 =++ cbxax

02 =++a

cx

a

bx Propiedad uniforme de la multiplicacin

a

cx

a

bx =

+2 Propiedad uniforme de la suma

222

22

+=

++

a

ba

c

a

bx

a

bx Propiedad uniforme de la suma

2

22

44

2 abac

a

bx

+=

+ Trinomio cuadrado perfecto

2

2

44

2 aacb

a

bx

=+

a

acba

bx

24

2

2= Propiedad uniforme de la suma

a

acbbx

242

=

Observe que para que esta expresin tenga sentido el valor del discriminante acbD 42 = debe ser mayor o igual a cero

Discriminante

Definicin Dada una ecuacin cuadrtica 02 =++ cbxax , al valor de la expresin acbD 42 = , se le llama discriminante y a partir de su valor se puede determinar si la ecuacin cuadrtica tiene dos, una o ninguna solucin real. El nmero de soluciones depende del valor de D : Si 0>D , la ecuacin tiene dos soluciones; si

0=D , La ecuacin tiene una nica solucin y si 0+= acb

Ejemplo 10. Resolver la ecuacin cuadrtica 0132 2 = xx .

Solucin En la ecuacin cuadrtica 0132 2 = xx , los valores de 2=a , 3=b y 1=c . Al

reemplazarlos en la ecuacin generala

acbbx

242

= , se obtiene

( )

4173

4893

)2(2)1)(2(433 2

=

+=

=

x

x

Por lo tanto, la ecuacin cuadrtica 0132 2 = xx tiene conjunto solucin

+=

4173

,

4173S

Ejemplo 11. Resolver la ecuacin cuadrtica 0222 =++ xx .

Solucin Como la ecuacin cuadrtica 0222 =++ xx no tiene una factorizacin evidente, se debe recurrir

al uso de la frmula general, donde 1=a , 2=b y 2=c . Es decir ( )( )

( )1221422 2

=x , pero

como el discriminante 4=D es negativo, se concluye que la ecuacin cuadrtica no tiene solucin real

Ejemplo 12. Resolver la ecuacin 065 24 =+ xx .

Solucin En ecuaciones como 065 24 =+ xx , se recomienda hacer el cambio de variable yx =2 para ver la ecuacin en la forma cuadrtica 0652 =+ yy , la cual tiene como solucin

23 == yy . Pero se debe despejar la variable x, es decir 32 =x 22 =x , lo cual permite concluir que el conjunto solucin de la ecuacin 065 24 =+ xx es { }2,233 =S

Ecuaciones con valor absoluto

Definicin : Una ecuacin con valor absoluto es aquella donde aparece las barras de valor absoluto y que puede estar igualadas a cero, a un valor positivo a alguna expresin.

Procedimiento para resolver una ecuacin con un valor absoluto

El valor absoluto x se define como

02524 234 =++ xxxx (grado 4) 012 23 =++ xx (grado 3)

02 24 =+ xx (grado 4)

Procedimiento para resolver una ecuacin polinmica

A este nivel se resolvern aquellas ecuaciones que se puedan expresar como producto de factores irreducibles. Es decir slo aquellos polinomios )(xp que se puedan factorizar como

)()...()()( 21 xcxcxcxp r= , donde cada )(xci sea un polinomio lineal o cuadrtico no factorizable. Una vez factorizado el polinomio se iguala cada uno de los factores a cero y se resuelve por separado permitiendo obtener un conjunto de soluciones del polinomio inicial

Ejemplo 17. Resolver la ecuacin polinmica 065 23 =++ xxx .

Solucin Para resolver la ecuacin 065 23 =++ xxx , se factoriza como 0)65( 2 =++ xxx , y factorizando el parntesis 0)2)(3( =++ xxx , igualando cada factor a cero, se obtiene el conjunto { }0,2,3 =S como solucin de la ecuacin dada

Ejemplo 18. Resolver la ecuacin polinmica 022 23 =+ xxx .

Solucin Para resolver la ecuacin 022 23 =+ xxx , se agrupa como 0)2()2( 23 =++ xxx se factoriza 0)2()2(2 =++ xxx , y factorizando nuevamente 0)1)(1)(2( =++ xxx , de donde se concluye luego de aplicar el principio bsico que el conjunto { }1,1,2 =S es solucin de la ecuacin inicial

Ejemplo 19. Resolver la ecuacin polinmica ( ) 0)1(1 2 =++ xxx .

Solucin Si al factorizar una ecuacin polinmica, se obtiene ( ) 0)1(1 2 =++ xxx y el factor cuadrtico no se puede factorizar fcilmente, se aplica la frmula general para resolver la cuadrtica,

obteniendo 2

411 =x , la cual no tiene solucin en los reales. Por lo tanto la solucin es

=S

Ecuaciones racionales

Definicin: Una ecuacin racional se identifica por tener la forma 0)()(

=

xQxP

, donde

)()( xQyxP son expresiones polinmicas y 0)( xQ

Ejemplo 20. Los siguientes son ejemplos de ecuaciones racionales:

01

12 =+

x

x, 0

111

2 =

+

+

t

t

t

t,

254

)2(10

=+ xxxx

Procedimiento para resolver una ecuacin racional

Para resolver una ecuacin racional se debe llevar primero a la forma estndar 0)()(

=

xQxP

y luego

se resuelve slo 0)( =xP , teniendo en cuenta excluir los valores de x de la solucin que hacen 0)( =xQ

Ejemplo 21. Resolver la ecuacin racional 01

12 =+

x

x

Solucin

Para resolver 01

12 =+

x

x, es necesario slo resolver 01 =x , es decir que el conjunto solucin

de la ecuacin 01

12 =+

x

x es { }1=S

Ejemplo 22. Resolver la ecuacin racional 011

12 =

+

+

t

t

t

t

Solucin

Para resolver 011

12 =

+

+

t

t

t

t , debe llevarse primero a la forma estndar realizando las

operaciones respectivas: 0112

2

2=

+++

t

ttt y finalmente se iguala el numerador a cero

0132 =++ tt , lo cual arroja como resultado 2

53 =t y por tanto el conjunto solucin de la

ecuacin 0132 =++ tt es

+=

253

,

253S

Ejemplo 23. Resolver la ecuacin racional 2

54)2(

10

=+ xxxx

Solucin

Al resolver 2

54)2(

10

=+ xxxx

, se encuentra

02

54)2(

10=

+ xxxx

, sacando comn denominador

0)2(5)2(410

=

+

xx

xx, simplificando

0)2(2

=

+

xx

x, la cual tiene solucin 2=x , respuesta que debe ser

rechazada por anular el denominador. Por tanto el conjunto solucin de la ecuacin

254

)2(10

=+ xxxx

es =S

Ejemplo 24. Resolver la ecuacin racional 0)2(2 12 =+ xx .

Solucin Otra forma de escribir una ecuacin racional se presenta cuando los exponentes de las expresiones algebraicas son negativos: 0)2(2 12 =+ xx , la cual se puede escribir como

02

212 =

+xx

, que simplificada quedara como 0)2(

222

2=

+

xx

xx

Y finalmente 0)2(22

2

2=

+

xx

xx, la cual lleva a resolver la ecuacin 022 2 =+ xx , la cual tiene

conjunto solucin

+=

471

,

471S

Ecuaciones con radicales

Definicin: Una ecuacin con radicales es aquella donde aparece algn radical. Pueden aparecer ecuaciones con radicales, los cuales pueden eliminarse utilizando para ello la propiedad:

( ) )()( xExE nn =

Procedimiento para resolver una ecuacin con radicales cuadrados En ecuaciones donde aparezca un radical cuadrado, se debe eliminar utilizando para ello el hecho

que ( ) )()( 2 xExE = , es decir se despeja la expresin que se encuentra dentro del radical elevando al cuadrado ambos lados de la ecuacin

Ejemplo 25. Resolver la ecuacin 21 =x .

Solucin Para resolver la ecuacin 21 =x se eleva al cuadrado ambos lados de la ecuacin :

( ) 22 21 =x , obteniendo 41 =x 5=x Es decir que el conjunto solucin de la ecuacin 21 =x es { }5=S .

Ejemplo 26. Resolver la ecuacin 3212 +=++ xxx

Solucin

Cuando la ecuacin es de la forma 3212 +=++ xxx , es necesario dejar slo el radical en uno de los miembros de la ecuacin as: 2312 +=+ xxx , para luego eliminar el radical:

( ) ( ) ( )2222 111 +=+=+ xxxxx , lo cual lleva a resolver 121 22 ++=+ xxxx equivalentemente 2=x , solucin de la ecuacin, pero esta no sirve

pues no satisface la ecuacin inicial.

Ejemplo 27. Resolver la ecuacin 121 24 +=+ xxx .

Solucin En caso que se encuentre un doble radical se debe emplear la misma tcnica en dos ocasiones

as: 121 24 +=+ xxx , elevamos ambos lados al cuadrado

1221 224 ++=+ xxxx , dejando el radical slo se obtiene ( ) ( )22224 22 xxxx +=+ equivalentemente 23424 442 xxxxx ++=+ , que al simplificar se obtiene 024 23 =+ xx ,

de donde 0)12(2 2 =+xx , permite obtener que 210 == xx , pero como

21

=x no

satisface la ecuacin, el conjunto solucin es { }0=S

Ejemplo 28. Resolver la ecuacin ( ) 24 21 =++ xx .

Solucin

Los radicales tambin se pueden escribir con exponentes racionales, pues ( ) ( )mnnm xx = , siempre y cuando n x exista.

Por lo tanto para resolver la ecuacin ( ) 24 21 =++ xx , se puede escribir como 24 =++ xx luego se deja solo el radical xx =+ 24 se elimina el radical 22 44)2(4 xxxx +==+ y se resuelve la ecuacin 052 = xx que factorizando, se obtiene 50 == xox Pero se debe eliminar el valor 5=x , por no satisfacer la ecuacin inicial, quedando como conjunto solucin { }0=S