Teoria de límites. - Actividades, Materiales, …€¦ · Web viewTema: Límites de sucesiones y funciones. Realizados por: D. Juan José Menéndez Díaz, Ldo. en CC. Físicas por

Dpto. Didáctico de Matemáticas. Teoría de Límites.

Año académico: 2006-2007 I.E.S. “La Ería”Departamento Didáctico de

MatemáticasNivel: Bach. CCSSComplementos teórico-prácticos. Tema: Límites de sucesiones y funciones.Realizados por: D. Juan José Menéndez Díaz, Ldo. en CC. Físicas por la U.C.M. y pro-fesor agregado de Matemáticas en E.S.

Teoría de Límites.

Sucesiones: una sucesión numérica no es más que una lista, o serie, ordenada de números reales. Ordenada, ya que si los números no ocupan una posición bien determinada,

como las cifras que hay dentro del bombo de un sorteo de lotería, no forman una serie, es en el momento de su extracción ordenada cuando configuran la serie de extracción, de modo que cada cifra sale una o varias veces, paro cada vez en una posición distinta.

El valor de los números en la serie puede o no depender de la posición en la que éstos se encuentran, de ahí que puede haber series aleatorias, sin nin-guna relación en cuanto al orden y valor de los números, y series que siguen una ley o criterio de formación.

Término de una serie es cada uno de los elementos que la componen y consta de dos partes bien diferenciadas: Orden del término, que nos indica qué posición ocupa dentro de la suce-

sión el número en cuestión, así el primero, el segundo, ....., el vigésimo, etc. ... Valor del término, es el valor numérico asociado al mismo.

Notación: para referirnos a un término de la sucesión lo haremos poniendo , donde n indica el orden o posición del término, a es el nombre genérico del

término, y b es el valor numérico del término. Terminología: para nombrar términos de una sucesión utilizaremos letras

minúsculas, a, b, c, etc. .... junto con un subíndice, un número, que nos indica la posición dentro de la serie. Cuando nos refiramos a una posición genérica utilizaremos una letra minúscula n, k, i, j, etc. ...

Ejemplo: nos dice que el término séptimo de la serie tiene el

valor numérico asociado de treinta y siete cuartos. Término general: es la forma en la que nos referiremos a un término cual-

quiera de la sucesión, se suele indicar por etc. .. Términos equidistantes de los extremos: son aquellos que se

encuentran a igual distancia del primero y del último, por ejemplo: , son equidistantes el 6 y el 18 y el 10 y el 14. Si nos fijamos en el orden, el segundo y el penúltimo, el tercero y el antepe-

núltimo, en general el y el , es decir , etc. ...

Definiciones y conceptos. Página.- i


Clases de sucesión: Limitadas, cuando constan de un número finito de términos, 10, 12, 40, etc.

Ilimitadas, cuando el número de términos es infinito.

Acotadas superiormente: una sucesión está acotada superiormente si existe un número real M,, igual o mayor que todos los elementos de la suce-sión.

Ejemplo: , acotada superiormente

por 1 e inferiormente por 0. Acotadas inferiormente: una sucesión está acotada inferiormente si

existe un número real m,, igual o menor que todos los elementos de la suce-sión.

Ejemplo: acotada superiormente

por 0,5 e inferiormente por 0. Acotadas: cuando lo está superior e inferiormente. Positivas: una sucesión se define positiva si .

Ejemplo: , desarróllala y compruébalo.

Negativas: una sucesión se define negativa si


Alternantes: una sucesión se dice alternante cuando el signo de sus términos se va alternando entre positivo y negativo.


Monotonía: Monótonas crecientes: una sucesión es creciente si cada término de

la misma es igual o mayor que el inmediatamente anterior al mismo.

Monótonas estrictamente crecientes: una sucesión es estricta-mente creciente si cada término de la misma es mayor que el inmediatamente anterior al mismo (no puede haber ninguno que sea igual).


Definiciones y conceptos. Página.- ii


Monótonas decrecientes: una sucesión es decreciente si cada térmi-no de la misma es igual o menor que el inmediatamente anterior al mismo.

Monótonas estrictamente decrecientes: una sucesión es estricta-mente decreciente si cada término de la misma es menor que el inmediatamente anterior al mismo (no puede haber ninguno que sea igual).


Monótonas constantes: aquella en la que todos los términos toman el mismo valor constantemente.

Punto de acumulación, aproximación: un punto a es un punto de acumula-ción de una sucesión cuando en cualquiera de sus entornos reducidos

, por pequeño que sea , existen términos de la sucesión.

Ejemplo: , se puede ver que los

términos negativos van tendiendo hacia −2 y los positivos hacia 2. Límite de una sucesión: se dice que una sucesión tiene límite un número

a cuando, fijado un entorno del punto a, de radio tan pequeño como queramos, se puede encontrar un término, ap, de la sucesión a partir del cual todos los demás caen dentro del entorno. , en términos de distancia

Ejemplo: tiene límite y este vale 2, ya que, aún fijando un

radio de entorno grande, como de una décima, tenemos que para que se

cumpla la definición , es decir, a partir

del término 41 todos ellos están dentro del entorno de 2, . Si queremos podemos fijar un entorno aún más pequeño, por ejemplo de

diezmilésimas, en cuyo caso , es

decir que a partir del término 40001, todos los demás estarán dentro del entorno . Como la sucesión es ilimitada podemos concluir que

.

Definiciones y conceptos. Página.- iii


Unicidad del límite: si una sucesión tiene límite éste es único. Demostración (reducción al absurdo): supongamos que existieran dos límites,

a y a’, distintos para una misma sucesión , necesariamente podremos en-contrar dos entornos, uno de a y otro de a’, disjuntos, es decir, sin puntos o elementos comunes, en términos de conjuntos,

, del siguiente modo:

Sea , es decir, la distancia entre los dos límites, tomemos

entonces y , de este modo los entornos ya no solapan.

Por otro lado, de la definición de límite tenemos:

Si

Si

Sea ahora , existirá entonces , de modo que por ser y al mismo tiempo ser , entonces ap estará o pertenecerá simultáneamente a ambos entornos, con lo que

en contradicción a como hemos construido éstos, luego no puede ser y el límite ha de ser único.

Las sucesiones que tienen por límite un número real finito se llaman con-vergentes.

Si una sucesión tiene límite entonces está acotada superior e inferiormente. Lo contrario no es cierto necesariamente

Por definición de límite dentro del cual se encuentran todos los términos de la sucesión a partir de un cierto término p-ésimo. Sea enton-ces , éste será una cota superior para la

sucesión, y del mismo modo será una cota inferior para la misma.

Toda sucesión monótona y acotada es convergente. Por ser monótona será creciente o decreciente, luego una de las dos de

las siguientes afirmaciones y demostraciones será suficiente. Toda sucesión decreciente y acotada inferiormente tiene límite, y éste coin-

cide con su extremo inferior.

Se demuestra que si es una sucesión monótona decreciente y acotada inferiormente, tendrá un extremo inferior m, el cual será a su vez el límite de la sucesión, ya que m será la mayor de todas las cotas inferiores y si es un número positivo, m + no puede ser una cota inferior. Lo cual nos lleva a que debe existir un término ap de la suce-sión para el que se verifique que m + > ap > m. Por otro lado, por ser una sucesión monótona decreciente

Definiciones y conceptos. Página.- iv

a a’

’ ’


, es decir, m es el límite de la sucesión.

Toda sucesión creciente y acotada superiormente tiene límite, y éste coin-cide con su extremo superior.

Si es una sucesión monótona creciente y acotada superiormente, tendrá un extremo superior k, el cual será a su vez el límite de la suce-sión, ya que k será la menor de todas las cotas superiores y si es un número positivo, k − no puede ser una cota superior. Lo cual nos lleva a que debe existir un término ap de la sucesión para el que se verifique que k − < ap < k. Por otro lado, por ser una sucesión monótona cre-ciente , es decir, k es el límite de la sucesión.

Operaciones con límites: Límite de una suma: , siendo a y b

los límites respectivos de y Lo mismo sería si se tratara de una resta.

Límite de un producto: , siendo a y b

los límites respectivos de y

Límite de un cociente: , siendo a y b los límites res-

pectivos de y , siempre que

Límite de una potencia: , siendo a y b los

límites respectivos de y

Límite de una constante por una sucesión: ,

siendo b el límite de

Límite de la potencia de una sucesión: , siendo a

el límite de Cálculo práctico de límites:

Se trata de sustituir n por su valor en el límite, , y realizar las operaciones indicadas, teniendo en cuenta que:

; ; ;

; ;

; ;

Definiciones y conceptos. Página.- v


;

;

;

;

;

;

;

;

;

Ejemplos:

E1.-

E2.-

E3.-

E4.-

E5.-

E6.-

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El número e, o número de Neper: definimos el número e como el límite de

la sucesión , es decir,

Expresiones indeterminadas, tipos de indeterminaciones:

, se suele dar al calcular el límite de sucesiones definidas como cociente de

polinomios . Para superar la indeterminación debemos dividir

todos los términos de ambos polinomios por n elevado al mayor exponente que aparezca en uno cualquiera de los dos polinomios, o en ambos (ver ejemplos 1 y 3), antes de proceder a calcular de nuevo el límite. En estos casos se suelen dar tres circunstancias básicas:

, donde p y q son los grados de los polino-

mios P y Q respectivamente, y a y b son los coeficientes de los términos de mayor grado de P y Q, respectivamente.

, suele darse en muy variados casos, así pues veamos algunos y cómo superarla en cada caso según la circunstancia:

E1.- , en este caso procedemos pri-

mero a realizar las operaciones de dentro del paréntesis antes de volver a calcular el límite, así

y el

límite ahora será

E2.- , en este caso procederemos como si

hiciéramos una racionalización a la inversa, multiplicamos y dividimos todo por el “conjugado” de la expresión, así pasaríamos al nuevo límite

E3.- , en este caso procederemos a hacer una

doble racionalización inversa del numerador y del denominador, quedándonos, una vez reducidos términos, el siguiente límite

Definiciones y conceptos. Página.- vii


, suele darse en los límites de potencias de base polinómica y exponente polinómico. Siempre podemos superarla con la siguiente aproximación, si

, entonces el verdadero valor del límite coincidirá con el de la

expresión .

E1.- , podemos resolver aplicando la fórmula o

razonando, personalmente prefiero razonar ya que las fórmulas tienden al olvido, así pues intentaré hacer que mi límite se parezca lo más posi-ble al del número e, para ello sumo y resto uno a la expresión del parén-

tesis,

que ya se va pareciendo más al límite del número e, el último arreglo nos deja

ya que el límite del exponente es 1. Hazlo aplicando la fórmula y comprueba el resultado.

E2.- , vamos a intentar hacerlo de modo parecido al

anterior, así

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E3.-

, siempre se puede convertir en una indeterminación del tipo , ya que

Límites de funciones: sea f(x) una función real de variable real definida en el intervalo abierto , y sea , f no tiene porqué estar necesariamente definida en c, entonces decimos que tiene límite en el punto c, y escribimos

, si , respectivamente radios de entornos de L y c,

tales que siempre que , o en otros términos,

Límites laterales: siempre nos podemos acercar a un punto del intervalo por dos sentidos, por la derecha y por la izquierda del punto, y así podemos decir que hay dos límites en función de por dónde nos aproximemos al punto, de este modo: Límite lateral por la derecha: si

tomamos valores por la derecha de c, esto es, , entonces las imá-

genes estarán todas comprendidas en un entorno de L1, .

Límite lateral por la izquierda: si

tomamos valores por la izquierda de c, esto es, , entonces las imá-

genes estarán todas comprendidas en un entorno de L2, . Límites y continuidad: una función real de variable real definida en un inter-

valo abierto es continua en un punto c de dicho intervalo si está bien

definida en él y además

. Condiciones necesarias y suficientes de continuidad de una función en un

punto: , ambos finitos y además iguales en-

tre sí y con el valor de la función en el punto, esto es,

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Clasificación de los puntos de discontinuidad: Primer grado, o evitable. Se suele dar en los siguientes casos:

Cuando por error hemos dejado sin definir un punto. Por ejemplo: , en este caso el

punto x = 5 ha que dado sin definir, para evitar la discontinuidad basta con hacer .

Cuando por error damos un valor que no corresponde en el punto, por ejemplo: , ya que por la

izquierda de 5 toma el valor 6 y por la derecha también, luego sería lógico decir que en 5 debería tomar el valor 6, y no –6 como figura.

Segundo grado, primera especie, o inevitable de salto finito. Se suele dar en el caso:

La función está definida por zonas y en el límite de alguna zona no coinciden los valores por la derecha y por la izquierda, por ejemplo: , se ve que por

la izquierda de 5 toma el valor 6 y por la derecha el valor –6, hay un salto de 12 unidades. Lo mismo pasa en 7.

Segundo grado, segunda especie, o salto infinito. Se suele dar en los casos: En funciones definidas por zonas, cuando en alguna de las zonas la

función explota, o cuando en alguno de los límites de zona la función explota, por ejemplo: , en este caso

al acercarnos a 7 por la derecha la función explota a . , en este caso

en los límites de zona no hay problemas, pero en la zona Ⅲ, es decir, para x ≥ 7, en x = 12, la función explota.

En todas aquellas funciones definidas en forma de fracción cuando el denominador se anula, por ejemplo:

, cuando , la función explota, es decir,

cuando . Álgebra de límites: sean f(x) y g(x) dos funciones reales de variable real, ambas

definidas en un intervalo abierto y sea tal que ambas tienen

límite en él,

Límite de una suma de funciones:

Límite de un producto de funciones:

Límite de un cociente de funciones: , siempre que

Límite de la potencia de una función:

Límite de una potencia de funciones:

Límites e indeterminaciones: al igual que con las sucesiones, en los límites de funciones se nos pueden presentar las mismas indeterminaciones que con aque-

Definiciones y conceptos. Página.- x


llas, la forma de superarlas será la misma que entonces. Además se nos puede pre-

sentar la indeterminación en los casos, sobre todo, de cocientes de funciones po-

linómicas en las que ambas tengan raíces comunes en el punto en el que calculamos el límite, así:

, esto nos dice que tanto el polinomio nume-

rador como el denominador son divisibles por . Debemos descomponer ambos en factores, simplificar y volver a calcular el límite de la expresión simplificada, así

Si aún persistiera la indeterminación deberíamos seguir simplificando hasta eliminar todas las raíces.

Límites infinitos, asíntotas verticales: se dice que una función tiene límite infinito cuando , en términos de definición de límite

, se dice que la función explota. La recta es una asíntota vertical para la función. De igual modo pueden ocurrir uno de los siguientes casos:

, en este caso explota por la iz-

quierda del punto. , en este caso explota por la

derecha del punto. , en este caso explota por ambos lados y

en el mismo sentido. , en este caso explota por ambos

lados pero mientras por un lado lo hace en un sentido por el otro lo hace en sentido opuesto.

Límites en el infinito, asíntotas horizontales: cuando al tender la variable a más o menos infinito las imágenes se mantienen en un entorno de un valor finito, así , y de igual modo

. En ambos casos la

recta es una asíntota horizontal para la función. Límites en el infinito, asíntotas oblicuas: cuando al tender la variable a

más o menos infinito las imágenes de se mantienen en un entorno de un valor

finito, así , y de igual

Definiciones y conceptos. Página.- xi


modo . En ambos

casos hay una asíntota oblicua para la función de pendiente L y ordenada en el

origen , es decir, de ecuación .

Resumen del comportamiento asintótico: Hay asíntotas verticales cuando:

Dado un valor de x concreto, x0:

, y uno de los dos no es finito.

La recta de ecuación es una asíntota vertical. Hay asíntotas horizontales cuando:

La ecuación de la

asíntota horizontal será , y si L1 = 0, entonces es el eje de abscisas.

La ecuación de la

asíntota horizontal será , y si L2 = 0, entonces es el eje de abscisas.

, en este caso habría una única

asíntota horizontal común a toda la gráfica . Hay asíntotas oblicuas cuando:

, en cuyo caso:

La ecuación de la asíntota será: Un modo sencillo para su cálculo en funciones racionales es:

Hacemos la división de la fracción y el cociente es la fórmula de la asíntota.

Ejemplo:

Esquemáticamente: (Para funciones racionales)a) Una función tiene tantas asíntotas verticales como raíces reales distintas tenga

el denominador y que no pertenezcan al numerador.b) Una función tiene una asíntota horizontal si el grado del numerador es menor o

igual que el del denominador.c) Una función tiene una asíntota oblicua si el grado del numerador es uno más

que el del denominador.

Definiciones y conceptos. Página.- xii


Funciones reales de variable real:

Límites y estudio de la continuidad.

Actividades de aplicación.

P1.- Calcula los siguientes límites de sucesiones:

a) b)

c) d)

e) f)

g) h)

P2.- Calcula los siguientes límites de sucesiones:

a) b)

c) d)

e) f)

g) h)

i) j)

k) l)

m) n)

o) p)

q) l)

Actividades de aplicación. Página.- i


P3.- Calcular los siguientes límites del número e:

a) b) c)

d) e) f)

g) h) i)

j) k) l)

m) n) o)

p) q) r)

s) t) u)

v) w) x)

P4.- Calcular, si existen, los siguientes límites de funciones:

a) b) c)

d) e) f)

g) h) i)

j) k) l)

m) n) o)

p) q) r)

Actividades de aplicación. Página.- ii


s) t) u)

v) w) x)

y) z) A)

B) C)

P5.- ¿Para qué valores de x pueden ser discontinuas las siguientes funciones?:

a) b) c)

d) e)

f) g) h)

i) j) k)

l) m)

n) o) p)

q) r)

s) t)

u) v) w)

y) z)

A) B)

Actividades de aplicación. Página.- iii


C) D)

E) F)

G) H)

I) J)

K) L)

P6.- La función , ¿Es continua en x = −3?.

P7.- Calcular el valor de k para que la función , sea continua

en x = 1.

P8.- Estudia la continuidad de en los puntos x = −1, x = 0 y x = 1.

P9.- Estudia la continuidad en x = 0 y en de la función .

P10.- Indica para qué valores de a y b son continuas las funciones:

a) b)

Actividades de aplicación. Página.- iv


c)

P11.- Indica para qué valores de k son continuas las siguientes funciones:

a) b)

P12.- La altura media de una determinada especie de pinos viene dada por la función

, donde t expresa los años transcurridos desde su plantación.

a) ¿Qué altura media tienen los pinos al cabo de 5 años?.b) ¿A cuánto tiende la altura media de estos árboles con el paso del tiempo?.

Actividades de aplicación. Página.- v

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