Teoría de los Circuitos I

Teoría de los Circuitos I

Ing. Jorge M. Buccella

Director de la Cátedra de Teoría de Circuitos I

Facultad Regional Mendoza

Universidad Tecnológica Nacional

Godoy Cruz, Mendoza

Septiembre del 2001

M

Teoría de los Circuitos I Ing. Jorge María BUCCELLA

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FUNDAMENTOS La teoría de circuitos es un caso especial de la teoría de campos electromagnéticos: el estudio de cargas eléctricas estáticas y dinámicas. Aunque la teoría general de campos puede parecer un punto de partida apropiado para la investigación de las señales eléctricas, su aplicación, además de ser tediosa, requiere matemáticas avanzadas. Por lo tanto, haremos algunas suposiciones para simplificar los cálculos y emplearemos en su lugar la teoría de circuitos. Este enfoque presenta las siguientes ventajas: 1.- La teoría de circuitos proporciona soluciones sencillas (con la precisión suficiente) para problemas que serían extremadamente complicados si se empleara la teoría de campos. Podemos analizar y construir circuitos prácticos con la teoría de circuitos. 2.- El análisis y diseño de muchos sistemas eléctricos útiles son menos complicados si los dividimos en subsistemas, llamados componentes. Podemos usar el comportamiento terminal de cada componente para predecir el comportamiento de la interconexión. La posibilidad de obtener modelos de circuitos a partir de dispositivos físicos hace que la teoría de circuitos sea una estrategia atractiva. 3.- El análisis de circuitos presenta una metodología para resolver grandes redes de ecuaciones diferenciales lineales y ligadas, que son comunes a la ingeniería y a la tecnología. Tanto las técnicas como los conceptos que se presentan para resolver circuitos eléctricos pueden servir para analizar y conocer otras aplicaciones de ingeniería, incluyendo sistemas mecánicos, estructurales e hidráulicos. 4.- La teoría de circuitos es en sí un área de estudio de gran interés. Gran parte del sobresaliente desarrollo de los sistemas construidos por los seres humanos, que dependen de fenómenos eléctricos, se puede atribuir a la creación de la teoría de circuitos como disciplina de estudio independiente. Aunque la teoría de circuitos es un caso especial de la teoría de campos electromagnéticos, es posible comprenderla y aplicarla sin conocer a fondo los campos. Por consiguiente no es necesario este conocimiento para poder seguir nuestro desarrollo, pero sí se necesita conocer los fundamentos de los fenómenos eléctricos y magnéticos proporcionados por los cursos de física. Por supuesto supondremos que se ha recibido una sólida formación en matemática que incluye: cálculo numérico (real y complejo) y gráfico, cálculo infinitesimal (integración y diferenciación), geometría y trigonometría. El objetivo de este libro es, pués, el análisis de circuitos eléctricos lineales, con parámetros concentrados, sin utilizar las teorías de campos, salvo una breve mención para analizar el acoplamiento electromagnético.


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PRÓLOGO (de los "Apuntes de..." primera versión)

Hace tiempo empecé con este trabajo con la idea de cumplir con los cometidos tradicionales del hombre: tener un hijo, plantar un árbol y escribir un libro. Esto, que no pretende ser un libro (de ahí el nombre de Apuntes ...), es el cometido que me faltaba. Pese a que muchos alumnos me lo han requerido a lo largo de mi actividad docente, siempre consideré que no era hacerles un bién por cuanto la tendencia del estudiante fue siempre restringirse a la menor bibliografía posible (las excusas, todas válidas, de tiempo y dinero, y la comodidad innata en el ser humano). Mi creencia fue siempre, y sigue siéndolo con más firmeza que nunca, es que lo más positivo que un egresado puede llevarse es saber buscar información, saber leer. Más aún cuando la tecnología multimedia actual no incentiva de modo alguno a la lectura y, menos aún, a la imaginación. La especialidad electrónica es asombrosamente cambiante y progresiva, quizá es la que mayor volumen de información produce, información que hay que saber clasificar para poderla manejar. Para ello hay que leer críticamente, no como a una novelita. Por otra parte el ingeniero necesita tener ingenio, eso requiere de imaginación para salirse de los esquemas aprendidos y poder despojarse de los prejuicios que eventualmente hayan perdido validez. De esta forma se podrán sortear los obstáculos que parecen insalvables o encontrar otras maneras más eficaces para superarlos. Información e ingenio son los elementos que pueden llevar al éxito nuestra actividad, información para estar actualizado e ingenio para usar eficientemente esa información. No obstante lo antes dicho he completado la tarea empezada, espero que el resultado sea útil para algunos. Es posible que tenga muchos errores y que las cosas se hayan podido decir de otra forma más clara. Hay mucha bibliografía sobre el tema por lo que el lector está animado a leer otros libros para completar lo que falta y/o corregir lo que esté mal. En este punto solicito que, por favor, me hagan llegar las sugerencias para irlo puliendo y enriqueciendo. Quiero rendir mi homenaje al Ing. Eduardo M. Silveti que me llevó de la mano en mis primeros pasos en esta materia y que, lamentablemente, no podrá darme su parecido sobre esta obra. Agradezco también al equipo que me acompaña en la cátedra: Ingenieros María E. Garro, Marino Szostak y Jorge Castillo por el soporte que me han dado y me dan con confianza y afecto. Por otra parte debo manifestar la tranquilidad y seguridad que siento al sentirme parte del grupo que forma el Departamento de Electrónica, encabezado por el Ing. Alberto Cuello, pero


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secundado por todos los demás con igual seriedad y desprendimiento. Finalmente dedico este trabajo a mi esposa e hijos que directa e indirectamente han posibilitado que llegara a su fin. A todos ellos ¡MUCHAS GRACIAS!

Godoy Cruz, Mendoza, julio 16 de 1999 Jorge María BUCCELLA

PRÓLOGO AL LIBRO No hace mucho terminé la presentación de los "Apuntes de Teoría de los Circuitos I". Al releerlos, y siguiendo las sugerencias de familiares y amigos (aduladores), me propuse convertirlo en un libro. ¿Qué hacía falta para quitarle los términos "Apuntes de"? Yo pensé que no mucho y por ello inicié la tarea: agregar bibliografía y ejemplos de aplicación, además de aclarar algunos conceptos y corregir los errores que se habían deslizado. ¿Cómo quedó organizado este libro? Básicamente en la misma forma que los apuntes que le sirvieron de base. Cada capítulo puede considerarse completo en sí mismo si se estudian en forma secuencial, excepto la Parte E: Dualidad, del primero que se podrá comprender completamente después de leer el Capítulo III: Resolución sistemática de circuitos. Era necesario introducir el concepto desde el comienzo y no quise dividir el tema en dos partes. Se entiende que el fin del libro es dar las bases teóricas para resolver los circuitos y, si bién se han incluido algunos, los ejemplos son para aclarar los conceptos y, por ende, no puede considerarse un libro de ejercicios. Esa será quizá una segunda parte, si se concreta. Además es importante señalar que los gráfiocs son indicativos, no están hechos a escala, y se pretendió solamente dar una idea de la forma de variación de las funciones. Para obtener el resultado real deben aplicarse las fórmulas para distintos valores de las variables y graficarlas en consecuencia; tal acción puede desarrollarse utilizando una planilla de cálculo como Excel de Microsoft. ¿Cómo se puede estudiar la materia? La ubicación de la materia en el diseño curricular está catalogada como integradora en el tercer año, es decir que viene a unir y complementar lo aprendido hasta el momento en las materias básicas, y a dar herramientas para continuar la carrera. Por lo tanto lo que se pretende es que el alumno sepa analizar y resolver circuitos eléctricos resultantes de modelos de dispositivos que las materias específicas le propondrán y tenga las bases teoricoprácticas para discutir esos modelos y/o proponer otros.


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Es por ello que la preparación de la misma requiere fundamentalmente de práctica. Esto implica resolver circuitos de distinta manera y/o por distintos métodos experimentando las ventajas y dificultades de cada uno y aprendiendo, en consecuencia, a analizar los circuitos, que es el fin primario. Si se logra esto se estará preparado para, a continuación, aprender a sintetizar las redes para que cumplan fines determinados, es decir a diseñarlas. Actividad que es el objetivo de Teoría de los Circuitos II. Ahora que la obra está terminada, espero que los lectores puedan extraer algo útil y ese será el mejor premio a la labor cumplida. De todas maneras todo es perfectible, y esto con mayor razón, de forma que seguiré trabajando con ese objetivo. Espero las sugerencias de todos. ¡Muchas gracias!

Mendoza, septiembre 22 de 1999. Jorge María BUCCELLA

PRÓLOGO A LA SEGUNDA VERSIÓN DEL LIBRO Debo agradecer la colaboración de mis alumnos del pasado año 2000 para hacerme notar los errores y las aclaraciones que se presentaban como necesarias y/o convenientes. He tratado de enmendar esas fallas y, a la vez, aclarar otros aspectos, para presentar esta segunda versión que persigue la consecusión de la finalidad expresada anteriormente: mejora continua. Como Capítulo 0 he agregado los conceptos básicos de Electricidad y Magnetismo que no tenía la versión original para que los alumnos los tengan en el mismo libro. En el capítulo IV Cuadripolos Pasivos se agregaron algunos ejemplos de cálculos que no tenía. Además, a sugerencia de colegas que lo requieren para otras materias, se ha incluído en el Capítulo VIII el análisis de los efectos del núcleo de hierro en la bobina de reactancia y en el transformador real. Quizá podría decirse que son temas aprendidos en los cursos de Física previos, pero la experiencia indica que, lamentablemente, no vienen bién asimilados. No obstante debo aclarar que no pretendo repetir lo desarrollado en el curso pertinente de Física, sino sólo recordar los distintos conceptos. Sigo esperando las sugerencias de todos. ¡Muchas gracias!

Mendoza, septiembre 30 del 2001. Jorge María BUCCELLA


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TEORÍA DE LOS CIRCUITOS I

ÍNDICE GENERAL

TEMARIO POR CAPÍTULO

Capítulo 0: FUNDAMENTOS Parte A: Introducción Parte B: Electricidad Parte C: Magnetismo Parte D: Inducción Capítulo I: FUNDAMENTOS Parte A: Modelos Parte B: Leyes de Ohm y Kirchhoff Parte C: Circuitos equivalentes Parte D: Teoremas de los circuitos Parte E: Dualidad Capítulo II: SEÑALES Parte A: Introducción Parte B: Funciones singulares Parte C: Ondas senoidales Capítulo III: RESOLUCIÓN SISTEMÁTICA DE CIRCUITOS Parte A: Introducción Parte B: Método de las ramas Parte C: Método de las corrientes de mallas Parte D: Método de las tensiones nodales Parte E: Expresiones matriciales de las ecuaciones de redes Parte F: Operaciones con matrices

Capítulo IV: CUADRIPOLOS PASIVOS

Parte A: Introducción Parte B: Casos especiales ("T" y "") Parte C: Impedancias


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TEMARIO POR CAPÍTULO (continuación) Capítulo V: TRANSITORIO DE CIRCUITOS Parte A: Introducción Parte B: Circuitos de primer orden Parte C: Cicuitos de segundo orden Capítulo VI: LUGARES GEOMÉTRICOS Y RESPUESTA EN FRECUENCIA Parte A: Relaciones tensión-corriente Parte B: Respuesta en frecuencia Parte C: Análisis en las cercanías de la resonancia Parte D: Respuesta del circuito paralelo Capítulo VII: POTENCIA Y ENERGÍA Parte A: Dominio del tiempo Parte B: Dominio de la frecuencia Capítulo VIII: CIRCUITOS ACOPLADOS Parte A: Acoplamiento electromagnético Parte B: El transformador ideal Parte C: La bobina de reactancia

Parte D: El transformador real Capítulo IX: SISTEMAS POLIFÁSICOS Parte A: Introducción Parte B: Sistemas trifásicos equilibrados Parte C: Sistemas trifásicos desequilibrados Capítulo X: ONDAS NO SENOIDALES Parte A: Análisis de Fourier Parte B: La integral de Fourier Parte C: Método de convolución Parte D: La función sistema


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ÍNDICE GENERAL (Total: 422 páginas) Capítulo 0: ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO (46 páginas) Parte A: INTRODUCCIÓN 3 A.1 Propósito. 3 A.2 El átomo. 3 Parte B: ELECTRICIDAD 5 B.1 Electrización por contacto. 5 B.2 Ley de Coulomb. 5 B.2.1 Ejemplos de cálculos. 7 B.3 El campo eléctrico. 7 B.3.1 Una carga puntual en un campo eléctrico. 11 B.3.2 Un dipolo en un campo eléctrico. 12 B.3.3 Flujo en un campo eléctrico. Ley de Gauss. 13 B.3.4 Ejemplos de cálculos. 14 B.4 Potencial eléctrico. 15 B.4.1 Potencial eléctrico debido a una distribución de cargas. 18 B.4.1.1 Ejemplos de cálculos. 19 B.5.1 Condensadores y dieléctricos. 20 B.5.1 Dieléctricos. 22 B.6 Intensidad y resistencia. 23 B.6.1 Conductibilidad y resistividad. 25 B.6.2 Ley de Joule. 27 Parte C: MAGNETISMO 29 C.1 Magnetismo. 29 C.2 Campo magnético. Inducción y flujo magnético. 29 C.3 Fuerza sobre un conductor que transporta una corriente. 31 C.4 Campo magnético creado por una corriente o una carga móvil. 33 C.4.1 - Integrales curvilíneas y de superficie de la inducción magnética. 35 C.5 - Fuerza entre conductores paralelos. Amperio. 36 C.6 - Campo creado por una espira circular. 37 C.6.1 - Campo en un solenoide. 39 C.7 - Campo creado por una carga puntual móvil. 41 Parte D: INDUCCIÓN 43 D.1 Fuerza electromotriz inducida. 43 D.1.1 - Ley de Faraday y Lenz. 44 D.2 Autoinducción. 45


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Capítulo I: FUNDAMENTOS (44 páginas) Parte A: MODELOS 3 A.1 Introducción 3 A.2 Elementos de los modelos 3 A.3 Ejemplo de modelos 8 Parte B: LEYES DE OHM Y KIRCHHOFF 9 B.1 Introducción 9 B.2 Ley de Ohm 9 B.3 Primera ley de Kirchhoff 12 B.4 Segunda ley de Kirchhoff 13 B.5 Aplicaciones: Divisores de tensión y corriente 14 Parte C: CIRCUITOS EQUIVALENTES 17 C.1 Definición 17 C.2 Elementos de un solo tipo en serie 17 C.3 Elementos de un solo tipo en paralelo 20 C.4 Transformación de Kennelly (Y-) 22 C.5 Cálculo de la resistencia equivalente 25 C.6 Circuitos equivalentes de generadores reales 29 Parte D: TEOREMAS DE LOS CIRCUITOS 33 D.1 Teorema de la superposición 33 D.2 Teoremas de Thèvenin y Norton 34 D.3 Teorema de la substitución 37 D.4 Teorema de la reciprocidad 37 Parte E: DUALIDAD 39 E.1 Introducción 39 E.2 Dualidad analítica 41 E.3 Dualidad gráfica 43 Capítulo II: SEÑALES (38 páginas) Parte A: INTRODUCCIÓN 3 A.1 Clasificación de las señales de acuerdo con su variación en el tiempo 3 A.2 Valores característicos 4 Parte B: FUNCIONES SINGULARES 7 B.1 Introducción 7 B.2 Definición de las funciones 7 B.3 Representación de ondas utilizando funciones singulares 11 B.3.1 Representación de formas de onda arbitrarias por trenes de funciones escalón 13 B.3.2 Representación de formas de onda arbitrarias por trenes de funciones impulso 14


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Capítulo II: SEÑALES - Parte B (Continuación) B.4 Respuesta de los circuitos excitados por funciones singulares 15 Parte C: ONDAS SENOIDALES 17 C.1 Introducción 17 C.2 Algunas propiedades y operaciones 19 C.3 Valores característicos 21 C.4 Respuesta de los elementos simples 22 C.5 Los conceptos de impedancia y admitancia 26 C.6 Representación compleja de senoides 29 C.7 Relaciones fasoriales 33 C.8 Ejemplo de cálculo 37 Capítulo III: RESOLUCIÓN SISTEMÁTICA DE CIRCUITOS (44 páginas) Parte A: INTRODUCCIÓN 3 A.1 Definiciones 3 A.2 Topología 4 Parte B: MÉTODO DE LAS RAMAS 9 B.1 Procedimiento 9 B.2 Aplicación de la ley de Ohm 9 B.3 Aplicación de las leyes de Kirchhoff 11 B.4 Aplicación práctica del método "2b" 13 B.5 Circuitos con generadores ideales 16 B.5.1 Transformación de fuentes ideales en reales 16 B.5.2 Aplicación de la falsa variable 19 Parte C: MÉTODO DE LAS CORRIENTES DE MALLA 23 C.1 Introducción 23 C.2 Aplicación del método 24 C.3 Caso de generadores de corriente 27 C.4 Caso de generadores de corriente con impedancias en serie 29 Parte D: MÉTODO DE LAS TENSIONES NODALES 31 D.1 Introducción 31 D.2 Aplicación del método 31 D.3 Caso de generadores de tensión 34 D.4 Caso de generadores de tensión con admitancias en paralelo 36 Parte E: EXPRESIONES MATRICIALES DE LAS ECUACIONES DE REDES 37 E.1 Método de las mallas 37 E.2 Método de las tensiones nodales 40


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Capítulo III: RESOLUCIÓN... - Parte E (Continuación) E.3 Expresión matricial de las ecuaciones de nodos y mallas 40 Parte F: OPERACIONES CON MATRICES 43 Capítulo IV: CUADRIPOLOS PASIVOS (16 páginas) Parte A: INTRODUCCIÓN 3 A.1 Definiciones 3 A.2 El problema de la transferencia 4 A.2.1 Ejemplos de cálculos 6 A.3 El problema de la transmisión general 9 A.3.1 Ecuaciones inversas 11 A.3.2 Cuadripolos en cascada 12 Parte B: CASOS ESPECIALES ("T" Y "") 13 B.1 Cuadripolos en "T" 13 B.2 Cuadripolos en "" 14 Parte C: IMPEDANCIAS 15 C.1 Impedancias en circuito abierto y en cortocircuito 15 C.2 Impedancia imagen 15 Capítulo V: TRANSITORIO DE CIRCUITOS (44 páginas) Parte A: INTRODUCCIÓN 3 A.1 Las ecuaciones diferenciales de los circuitos eléctricos 3 A.2 Relaciones volt-amper y energía almacenada 4 A.3 Teoremas de los valores iniciales y finales 5 A.3.1 Teorema de la energía inicial 6 A.3.2 Teorema del valor inicial y final 6 A.3.3 Ejemplos de cálculo de los valores iniciales y finales 8 Parte B: CIRCUITOS DE PRIMER ORDEN 15 B.1 Circuitos de primer orden 15 B.1.1 Excitación por energía almacenada 15 B.1.2 Excitación por un impulso 18 B.1.3 Excitación por un escalón 19 B.1.4 Excitación por una señal senoidal 22 B.1.5 Resonancia y variación de parámetros 23 B.2 Ejemplo de cálculo 25


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Capítulo V: TRANSITORIO... (Continuación) Parte C: CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN 29 C.1 Circuitos de segundo orden 29 C.1.1 Excitación por energía almacenada 29 C.1.1a Sobreamortiguado 32 C.1.1b Críticamente amortiguado 35 C.1.1c Oscilatorio armónico amortiguado 36 C.1.2 Excitación por señal senoidal 38 C.2 Ejemplo de cálculo 40 Capítulo VI: LUGARES GEOMÉTRICOS Y RESPUESTA EN FRECUENCIA (34 páginas) Parte A: RELACIONES TENSIÓN-CORRIENTE 3 A.1 Oscilograma 3 A.2 Lugares geométricos de las tensiones y de las corrientes 4 A.2.1 Procedimiento analítico de inversión geométrica 4 A.2.2 Procedimiento gráfico de inversión geométrica 6 A.2.3 Lugares geométricos circulares 7 A.2.4 Lugares geométricos de las funciones elementales (sin pérdidas) 8 A.2.5 Lugares geométricos de las funciones elementales (con pérdidas) 10 Parte B: RESPUESTA EN FRECUENCIA 13 B.1 Circuito serie RL (Resistencia Inductancia) 13 B.2 Circuito serie RS (Resistencia Elastancia) 14 B.3 Circuito serie RLS (Resistencia, Inductancia y Elastancia) 15 B.3.1 Variaciones de la curva en función resistencia y de la inductancia 19 B.3.2 Puntos de potencia mitad 19 B.3.3 Incremento de la tensión en resonancia 21 B.3.4 Voltajes inductivos y capacitivos en función de la inductancia, la capacidad y la pulsación 21 B.4 Definición de Q0 23 Parte C: ANÁLISIS EN LAS CERCANÍAS DE LA RESONANCIA 25 C.1 Introducción 25 C.1.1 Aproximaciones 25 C.2 Curva universal de resonancia 27 C.3 Ejemplo de cálculo 28 Parte D: RESPUESTA DEL CIRCUITO PARALELO 31 D.1 Circuito paralelo de tres ramas (GC) 31 D.2 Circuito paralelo de dos ramas 32


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Capítulo VI: LUGARES GEOM... - Parte D (Continuación) D.3 Ejemplo de cálculo 33 Capítulo VII: POTENCIA Y ENERGÍA (16 páginas) Parte A: DOMINIO DEL TIEMPO 3 A.1 Potencia media 3 A.2 Potencia en los elementos 5 A.3 Potencia activa, reactiva y aparente. Factor de potencia 5 A.4 Ejemplo de cálculo 7 Parte B: DOMINIO DE LA FRECUENCIA 9 B.1 Potencia vectorial 9 B.2 Expresiones de la potencia 11 B.3 Corrección del factor de potencia 11 B.4 Ejemplo de cálculo 12 B.5 Teorema de la máxima transferencia de energía 14 Capítulo VIII: CIRCUITOS ACOPLADOS (44 páginas) Parte A: ACOPLAMIENTO ELECTROMAGNÉTICO 3 A.1 Evaluación del coeficiente de inductancia mutua 3 A.2 Planteo de las ecuaciones del circuito 7 A.3 Circuito equivalente con generadores 7 A.4 Expresiones en el dominio de la frecuencia 8 A.5 Circuitos equivalentes en "T" y en "" 9 A.6 Algunos ejemplos de montajes 10 A.7 Coeficientes de acoplamiento y dispersión 12 A.8 Impedancia reflejada 14 A.9 Ejemplo de cálculo 15 Parte B: EL TRANSFORMADOR IDEAL 21 B.1 Ecuaciones de equilibrio 21 B.2 Admitancia e impedancia de entrada 23 B.3 Circuito equivalente en "T" 24 Parte C: LA BOBINA DE REACTANCIA 27 C.1 Flujo magnético y fuerza electromotriz inducida en un inductor con núcleo de hierro 27 C.2 Corriente de imantación 29 C.3 Influencia de la histéresis sobre la corriente en la bobina 30 C.4 Influencia de las corrientes de Foulcault sobre la corriente en la bobina 32 C.5 Pérdidas magnéticas totales en la bobina 33 C.6 Diagrama vectorial completo 35


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Capítulo VIII: Circuitos acoplados - (Continuación) Parte D: EL TRANSFORMADOR REAL 39 C.1 Circuito equivalente y diagrama fasorial 39 C.2 Reducción a la malla primaria 43 Capítulo IX: SISTEMAS POLIFÁSICOS (32 páginas) Parte A: INTRODUCCIÓN 3 A.1 Generalidades 3 A.2 Sistema monofásico 3 A.3 Sistema bifásico 4 A.4 Sistema tetrafásico 6 Parte B: SISTEMAS TRIFÁSICOS EQUILIBRADOS 9 B.1 Generación, conexiones y relaciones 9 B.2 Potencias en sistemas equilibrados 11 B.2.1 Método de los dos vatímetros 13 B.3 Componentes de sistemas simétricos 14 B.4 Propiedades de los sistemas de secuencia cero 16 B.5 Carga desequilibrada conectada en estrella 17 B.6 Ejemplos de cálculos 19 Parte C: SISTEMAS TRIFÁSICOS DESEQUILIBRADOS 23 C.1 Método de las componentes simétricas 23 C.2 Impedancias desequilibradas conectadas en estrella con neutro 25 C.3 Potencia en función de las componentes simétricas 27 C.4 Componentes simétricas en forma matricial 28 C.4.1 Potencia 29 C.4.2 Potencia de una red general 30 Capítulo X: ONDAS NO SENOIDALES (46 páginas) Parte A: ANÁLISIS DE FOURIER 3 A.1 Introducción 3 A.2 Simetrías 5 A.3 Ejemplos de aplicación 7 A.3.1 Onda cuadrada 7 A.3.2 Onda diente de sierra 9 A.3.3 Onda rectificada 9 A.4 Síntesis de ondas 10 A.5 Espectros en frecuencia 11 A.6 Valor medio cuadrático y potencia 12 A.7 Respuesta completa a funciones excitatrices periódicas 13 A.8 Series exponenciales 13 A.8.1 Simetrías 14 A.8.2 Ejemplos de aplicación 14


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Capítulo X: ONDAS NO SENOIDALES - Parte A (Continuación) A.8.2.1 Onda cuadrada asimétrica impar 14 A.8.2.2 Onda cuadrada simétrica impar 15 A.8.2.3 Onda cuadrada asimétrica par 16 A.8.2.4 Onda triangular simétrica par 17 A.8.2.5 Aplicación a un circuito 18 Parte B: LA INTEGRAL DE FOURIER 19 B.1 El pulso recurrente 19 B.2 La integral de Fourier 20 B.2.1 Otra forma de la integral de Fourier 21 B.3 Análisis del pulso rectangular 22 B.4 Síntesis del pulso rectangular 22 B.5 Propiedades de la transformada de Fourier 23 B.6 Significado físico de la transformada de Fourier 24 B.6.1 Ejemplo de cálculo 26 B.7 Convergencia de la integral de Fourier 27 Parte C: EL MÉTODO DE CONVOLUCIÓN 29 C.1 Introducción 29 C.2 Equivalencias de pulsos e impulsos 29 C.3 La integral de superposición o convolución 31 C.3.1 Interpretación gráfica de la integral de superposición o convolución 32 C.4 Evaluación aproximada de la integral de convolución 33 C.5 Evaluación analítica de la integral de convolución 35 C.6 Extensiones del teorema de convolución 36 C.7 Aproximaciones 38 Parte D: LA FUNCIÓN SISTEMA 41 D.1 Relaciones entrada-salida para circuitos lineales 41 D.1.1 Relaciones entrada-salida en el dominio del tiempo 41 D.1.2 Soluciones de la transformada de Fourier 42 D.2 Revisión y clasificación de las funciones de los circuitos 44 D.2.1 La frecuencia compleja 44 D.3 Polos y ceros 46


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BIBLIOGRAFÍA ANÁLISIS DE REDES - M. E. van Valkenburg - Ed. Limusa-Wiley ANÁLISIS DE CIRCUITOS ELECTRICOS - E. Brenner y M. Javid - Ed. McGraw-Hill Books Co. CIRCUITOS EN INGENIERÍA ELÉCTRICA - H. H. Skilling -Ed. CECSA REDES ELÉCTRICAS - H. H. Skilling - Ed. Limusa-Wiley LOS FUNDAMENTOS DE LAS ONDAS ELÉCTRICAS - H. H. Skilling - Ed. Librería del Colegio ESTUDIO DE LOS CIRCUITOS ELÉCTRICOS - J. Lagase -Ed. Paraninfo TEORÍA DE LAS REDES ELÉCTRICAS - Balbanian, Bicka y Seshu - Ed. Reverté ANÁLISIS DE CIRCUITOS EN INGENIERÍA - W. H. Hayt y J. E. Kemmerly - Ed. McGraw-Hill Books Co. CIRCUITOS ELÉCTRICOS - Personal del Instituto Tecnológico de Massachusetts - Ed. CECSA INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE LOS CIRCUITOS - E.A.Guillemin - Ed. Reverté ELECTROTECNIA GENERAL Y APLICADA - Möller-Werr - Ed. Labor TEORÍA Y PROBLEMAS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS - J. A. Edminster Ed. Schaum + McGraw-Hill Books Co. CURSO DE ELECTROTECNIA - A. Kasatkin y M. Perekalin - Ed. Cartago CIRCUITOS ELÉCTRICOS - James W. Nilsson - Ed. Addison-Wesley Íberoamericana CIRCUITOS ELÉCTRICOS - (Cuaderno de Trabajo) - Neil M. Morris & Frank W. Senior - Ed. Addison-Wesley Íberoamericana LINEAR CIRCUITS - R. E. Scott - Ed. Addison-Wesley Publishing Co. NETWORK ANALYSIS AND SYNTESIS - F. Kuo - Ed. Wiley INTRODUCTION TO CIRCUITS ANALYSIS - J. D. Ryder - Ed. Prentice Hall THE ANALYSIS OF LINEAL SYSTEMS - W. H. Chen - Ed. McGraw-Hill Books Co. ELECTRONICS DESIGNERS' HANDBOOK, 2nd. Edition - L. J. Giacoletto Ed. McGraw-Hill Books Co. MAGNETIC CIRCUITS AND TRANSFORMERS - M.I.T. MATEMÁTICAS SUPERIORES PARA INGENIEROS Y FÍSICOS - Iván S. y Elizabeth S. Sokolnikoff - Librería y Editorial Nigar, S.R.L. ELEMENTOS DE TRIGONOMETRÍA - F. de Alzáa y F. D. Jaime - Ed. Alzáa CÁLCULO NUMÉRICO Y GRÁFICO - Manuel Sadosky - Ediciones Librería del Colegio ELEMENTOS DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL - Manuel Sadosky y Rebeca Ch. de Guber - Librería y Editorial Alsina


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CAPÍTULO 0

ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO

Parte A: INTRODUCCIÓN Parte B: ELECTRICIDAD Parte C: MAGNETISMO Parte D: INDUCCIÓN

Ing. Jorge María BUCCELLA Director de la Cátedra de Teoría de Circuitos I

Facultad Regional Mendoza Universidad Tecnológica Nacional

Mendoza, Septiembre de 2001.-

Teoría de los Circuitos I - Ing. Jorge M. Buccella - Capítulo 0

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ÍNDICE Parte A: INTRODUCIÓN 3 A.1 Propósito. 3 A.2 El átomo. 3 Parte B: ELECTRICIDAD 5 B.1 Electrización por contacto. 5 B.2 Ley de Coulomb. 5 B.2.1 Ejemplos de cálculos. 7 B.3 El campo eléctrico. 7 B.3.1 Una carga puntual en un campo eléctrico. 11 B.3.2 Un dipolo en un campo eléctrico. 12 B.3.3 Flujo en un campo eléctrico. Ley de Gauss. 13 B.3.4 Ejemplos de cálculos. 14 B.4 Potencial eléctrico. 15 B.4.1 Potencial eléctrico debido a una distribución de cargas. 18 B.4.1.1 Ejemplos de cálculos. 19 B.5.1 Condensadores y dieléctricos. 20 B.5.1 Dieléctricos. 22 B.6 Intensidad y resistencia. 23 B.6.1 Conductibilidad y resistividad. 25 B.6.2 Ley de Joule. 27 Parte C: MAGNETISMO 29 C.1 Magnetismo. 29 C.2 Campo magnético. Inducción y flujo magnético. 29 C.3 Fuerza sobre un conductor que transporta una corriente. 31 C.4 Campo magnético creado por una corriente o una carga móvil. 33 C.4.1 - Integrales curvilíneas y de superficie de la inducción magnética. 35 C.5 - Fuerza entre conductores paralelos. Amperio. 36 C.6 - Campo creado por una espira circular. 37 C.6.1 - Campo en un solenoide. 39 C.7 - Campo creado por una carga puntual móvil. 41 Parte D: INDUCCIÓN 43 D.1 Fuerza electromotriz inducida. 43 D.1.1 - Ley de Faraday y Lenz. 44 D.2 Autoinducción. 45 TOTAL: 46 páginas


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0 - ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO

Parte A - INTRODUCCIÓN 0 - A.1 - Propósito. El campo de la teoría de los circuitos utiliza conceptos cuyo estudio se ha realizado (o se debió realizar) en los cursos de Física, en particular la parte de electricidad y magnetismo. La adición de este capítulo 0 se ha realizado sólo para que quien emprenda el estudio de la materia tenga las bases mínimas necesarias para poder llegar a buen término la tarea. No se pretende reemplazar los textos y desarrollos utilizados formalmente, sólo es una ayuda sintética para el alumno. 0 - A.2 - El Átomo. El nombre de átomo (indivisible) sabemos que es inapropiado por cuanto es perfectamente, y a veces peligrosamente, divisible. No obstante no le vamos a cambiar el nombre con el afán de ser más precisos, eso se llama así y lo aceptamos. De una manera simplista podemos decir que el átomo está constituido por tres tipos de partículas subatómicas: protones, neutrones y electrones (realmente se han definido algunas más). Estas partículas poseen masa, las dos primeras aproximadamente iguales y unas 1840 veces mayores que la tercera. Las dos primeras se encuentran en cantidades variables de cada una y más o menos juntas en lo que se denomina núcleo, y al tercer tipo lo encontramos girando alrededor del núcleo a una distancia unas diez mil veces mayor que el radio del mismo. En definitiva un sistema cuya masa está fundamentalmente en el núcleo y cuyo tamaño lo determina la órbita del electrón más alejado. Podemos imaginarnos como un sistema solar, sólo que el núcleo lo constituyen varias partículas agrupadas. La cantidad de estas partículas determina las características del elemento. Desde el átomo de hidrógeno, el más simple con un protón en el núcleo y un electrón en órbita, único sin neutrones, hasta los más complejos, por ejemplo el de plutonio con 333 partículas, 94 protones, 145 neutrones y 94 electrones. Entre estas partículas, como era de esperar, se ejercen las fuerzas de la gravitación universal, pero además se han encontrado otras fuerzas que se pueden explicar adjudicándoles a protones y electrones una propiedad llamada electricidad o carga eléctrica con las mismas características de la masa gravitatoria excepto por el hecho que estas fuerzas no son solamente atractivas sino que pueden ser también repulsivas. Los protones se repelen entre sí y lo mismo ocurre entre los electrones, pero entre protón y electrón hay atracción. Aparecen así dos tipos de carga eléctrica: positiva y negativa. Los protones tienen carga positiva y los electrones negativa pero de igual valor para todos. Además de las fuerzas mencionadas, que dependen de la distancia entre las partículas, existen otras que dependen del movimiento


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relativo y que dan lugar a efectos magnéticos. Este fenómeno se había explicado asignando entidades magnéticas similares a las cargas eléctricas llamadas polos magnéticos pero se ha constatado que el movimiento de cargas eléctricas produce el mismo efecto. La diferencia entre el fenómeno magnético y el eléctrico es que se puede obtener una carga eléctrica positiva o negativa aislada pero siempre tendremos un dipolo magnético, es decir que siempre tendremos ambos polos, llamados norte y sur por el fenómeno que muestra la brújula. Podríamos concluir diciendo que el magnetismo y la electricidad son fenómenos afines que se originan como consecuencia de las propiedades de las cargas eléctricas.


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Parte B - ELECTRICIDAD 0 - B.1 - Electrización por contacto. En general los átomos de una substancia cualquiera tienen igual número de protones que de electrones y, por consecuencia, la substancia no presenta efectos eléctricos, se dice que es eléctricamente neutra o que está descargada (otra imprecisión, ya que está balanceada). Si alteramos este equilibrio el cuerpo estará cargado negativamente cuando se tiene exceso de electrones o positivamente si tiene defecto de electrones. El procedimiento más antiguo para alterar la carga de un cuerpo es el de frotamiento, o electrización por contacto, donde no hay creación de carga sino transmisión de cargas de un cuerpo al otro. En rigor no hay nunca creación de cargas, todos los procedimientos de generación de electricidad sólo mueven cargas, las redistribuyen entre los cuerpos o dentro de un mismo cuerpo o las hacen circular por los medios puestos en juego. El frotamiento de una varilla de vidrio con un trapo de seda hace que algunas cargas pasen de un material al otro lo que desequilibra el balance, ambos cuerpos quedan "cargados". Si se hace lo propio con una varilla de ebonita con un trozo de piel ocurre lo mismo. Si aproximamos, sostenidas por un hilo de seda, dos varillas de vidrio cargadas veremos que se repelen, lo mismo ocurre si las dos varillas son de ebonita, sin embargo si acercamos una varilla de vidrio a una de ebonita observaremos que se atraen. Esto puso en evidencia que hay dos tipos de carga, el vidrio se carga positivamente y la ebonita lo hace negativamente, quedando la seda negativa y la piel positiva. Si frotáramos una varilla metálica no notaríamos este efecto a menos que la varilla fuera sostenida con un mango de vidrio o ebonita. La razón es que tanto el metal como el cuerpo humano son conductores y las cargas se redistribuyen restableciendo el equilibrio eléctrico, el vidrio y la ebonita son aisladores o dieléctricos y no permiten la circulación de las cargas. En el caso de los metales puede detectarse, por el llamado efecto Hall, que sólo las cargas negativas se pueden mover, y los portadores de esas cargas son los electrones libres. 0 - B.2 - Ley de Coulomb. En 1785 Charles A. Coulomb midió por primera vez cuantitativamente las atracciones y repulsiones eléctricas y dedujo la ley que las rige. Los primeros resultados dieron que la fuerza era inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa. Como lo requiere la tercera ley de Newton estas fuerzas son iguales (aunque las cargas sean muy distintas en magnitud) pero de sentidos opuestos. Siguiendo sus experiencias Coulomb determinó que, además, esa fuerza era proporcional al producto de las magnitudes de las cargas actuantes. La ley de Coulomb puede entonces expresarse como:

221

rqq

F


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Como puede observarse la expresión es igual a la ley de la gravitación universal, simplemente cambian las masas por las cargas, pero las fuerzas gravitatorias son siempre de atracción ya que no hay dos tipos de masas. Esta expresión permite definir la unidad electrostática de carga eléctrica como aquella que repele a otra igual con la fuerza de una dina cuando ambas están a una distancia de un centímetro, unidad indicada como uesq y llamada a veces statcoulomb. Por razones prácticas relacionadas con la precisión de las mediciones la unidad de carga no se define usando la balanza de torsión, sino que se deriva de la unidad de corriente eléctrica. La unidad de carga eléctrica es el Coulomb [coul], o culombio, y se define como: la cantidad de carga que pasa por una sección dada de un alambre conductor en un segundo si circula por el alambre una corriente constante con una intensidad de un amperio.

tiq

La relación entre ambas unidades es de 3 x 109 uesq por culombio o, más exactamente,

1 coul = 2,99790 x 109 uesq La unidad natural de carga eléctrica es la carga transportada por un electrón o un protón cuyo valor, que se indica con la letra e, puede expresarse como:

e = 1,601864 x 10-19 coul e = 4,80223 x 10-10 uesq

La ley de Coulomb puede escribirse como igualdad introduciendo una constante de proporcionalidad, que en este caso la pondremos de una forma más compleja con el objeto de simplificar otras expresiones que derivan de ella y que se usan más a menudo:

221

0 rqq

41 F

En el sistema internacional podemos medir las magnitudes en forma independiente de la ley de Coulomb. Como consecuencia de estas mediciones y para obtener la fuerza expresada en newtons, la constante llamada constante de permitividad, debe tener el valor de:

= 8,85415 x 10-12 coul2 / nt · m2 Al aplicarse esta ley a la Física cuántica, describe en forma correcta: a) las fuerzas eléctricas que ligan los electrones de un átomo a su núcleo, b) las fuerzas que ligan los átomos entre sí para formar las moléculas, c) las fuerzas que ligan los átomos o las moléculas para formar sólidos o líquidos. En el núcleo atómico encontramos una nueva fuerza que no es ni del tipo gravitatorio ni eléctrico. Esa fuerza de atracción, que evita su desintegración por la intensa fuerza de repulsión culombiana, se denomina fuerza nuclear.


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0 - B.2.1 - Ejemplos de cálculos. 1) La distancia r entre el electrón y el protón en el átomo de hidrógeno es de aproximadamente 5,3 x 10-11 metros. Si queremos determinar la fuerza eléctrica entre ambos aplicaríamos la ley de Coulomb:

22 1

0 rqq

41Fεπ

211

219

2212 m)105.3(coul)101.6(

/nt·mcoul108,8541512,56641

211

219229

m)105.3(coul)101.6)(/coulnt·m109.0(

= 8.1x10-8nt

Por su parte la fuerza gravitacional está dada por:

22 1

rmmG F

211

27312211

m)10(5.3kg)101.7kg)(109.1)(/kgnt·m106.7(

= 3.7x10-47 nt

De este modo determinamos que la fuerza eléctrica es 1039 veces mayor que la gravitacional. Esto es lo que nos avala cuando despreciamos la fuerza gravitacional en los cálculos. 2) Determinemos la fuerza eléctrica de repulsión entre dos protones en un núcleo de hierro, tomando como distancia entre ellos 4,0x10-15 metros.

22 1

0 rqq

ε41 F

π

215

219229

m)104.0(coul)101.6)(/coulnt·m109.0(

= 14 nt

Esta fuerza repulsiva enorme debe ser contrarrestada por las fuerzas nucleares de atracción. Combinando con el resultado del cálculo anterior podremos ver que las fuerzas nucleares de enlace son mucho mayores que las fuerzas de enlace atómico, las que a su vez son mucho mayores que las gravitacionales para las mismas partículas separadas la misma distancia. 3) La carga máxima que puede retener una esfera de un centímetro de radio en el aire es de unos 3x10-8 coul. Calcular la fuerza máxima entre dos esferas cargadas de este radio cuando están a una distancia de 10 centímetros.

22 1

0 rqq

ε41 F

π

2

2-8229

m) 0,10(coul)103)(/coulnt·m109.0(

= 81x10-5 nt

0 - B.3 - El campo eléctrico. A cada punto en el espacio cercano a la Tierra podemos asignarle un vector de intensidad de campo gravitacional g. Este vector es la aceleración gravitacional que adquiriría un cuerpo de prueba que se colocara en el punto y se soltara. Si la masa del cuerpo es m y la fuerza es F, el campo gravitacional g está dado por la expresión:


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g = F/m Este es un ejemplo de un campo de vectores. El flujo de agua en un río es otro ejemplo de campo de vectores llamado campo de flujo; cada punto en el agua lleva asociado consigo una cantidad vectorial, la velocidad. El espacio que rodea una varilla cargada parece estar afectado de forma semejante y llamamos a este espacio campo eléctrico. De la misma manera hablamos de campo magnético al que rodea un imán. Antiguamente se tenía el concepto de acción a distancia para justificar la interacción entre dos partículas. Podemos establecer el concepto de campo eléctrico teniendo en cuenta dos hechos: a) La carga q1 produce un campo en el espacio que la rodea. b) El campo eléctrico obra sobre la carga q2 lo que se pone en evidencia por la fuerza F que experimenta q2. Hay dos problemas separados; uno es el cálculo de campos establecidos por una distribución de cargas dadas, y el otro el cálculo de las fuerzas que los campos dados ejercen sobre cargas colocados en ellas. Pensamos en función de la interacción entre carga y campo y no entre carga y carga como requiere el punto de vista de acción a distancia. Para definir operacionalmente el campo eléctrico, colocamos un pequeño cuerpo de prueba que tenga una carga q0 supuesta positiva en el punto del espacio que queremos examinar. Si existe, medimos la fuerza eléctrica F que obra sobre ella. El campo eléctrico E en el punto se define como:

0F/q E

En esta expresión E es un vector porque F lo es y q0 es un escalar. La dirección de E es la dirección de F, la dirección en la que tendería a mover la carga positiva en reposo colocada en el punto. Al aplicar una carga debemos tener en cuenta que la misma altera, de hecho, las condiciones del campo, por lo tanto debemos utilizar la carga más pequeña posible. En rigor la ecuación debería tomar la forma:

00q qF

limE0

El concepto de campo no fue apreciado por Faraday quién pensó siempre en función de líneas de fuerza, una manera muy conveniente de representar mentalmente la forma de los campos eléctricos. La relación entre las líneas de fuerza (imaginarias) y el vector intensidad de campo es la siguiente: a) La tangente a la línea de fuerza en un punto cualquiera da la dirección de E en el punto. b) El sentido es tal que se aleja de la carga que genera el campo si es positiva, o se dirige hacia ella si es negativa. c) Las líneas de fuerza se dibujan de modo que el número de ellas por unidad de área de la sección transversal sea la magnitud de E. El cálculo del campo eléctrico E lo hacemos considerando una carga de prueba q0 colocada a una distancia r de la carga puntual q. La magnitud de la fuerza que obra sobre q0 está dada por:


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20

0 rqq

πε41 F

La intensidad del campo en el sitio donde se coloca la carga de prueba está dada por:

200 r

qπε41

qFE

La dirección de E es una línea radial que pasa por q, apuntando hacia afuera si q es positiva o hacia adentro si es negativa. Para encontrar el campo creado por un conjunto de cargas puntuales se calcula en forma separada el campo creado por cada una de ellas y luego se hace la suma vectorial.

2

2

22

1

1

02

2

22

1

1

0 rq

rqq'

41

rq'q

rq'q

41F

πεπε

20 r

qq'4

1Fπε

Luego el campo será:

20 r

q4

1Eπε

Si la carga está distribuida en forma continua se puede calcular el campo dividiendo la carga en elementos infinitesimales dq, se calcula el campo dE que produce cada elemento y se encuentra el campo total sumando (integrando) las contribuciones de todos los elementos (La suma tanto como la integración son operaciones vectoriales).

2

0 rdq

41dEπε

20 r

dq4

1dEEπε

Dos cargas de igual magnitud pero de signos opuestos, separadas una cierta distancia, constituye un dipolo. Este elemento es importante por lo cual calcularemos el campo creado por él.

Líneas de fuerza para dos cargas de igual signo y de distinto signo


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Consideramos primero el campo creado en el punto P sobre el eje del dipolo.

220

P

2lr

q

2lr

qεπ4

1E

2220

222

22

0P

4lr

lr2qεπ4

1

4lr

2lr

2lr

qεπ4

1E

Si la distancia entre las cargas es pequeña comparada a la distancia r se puede simplificar la expresión que queda:

30

P rlqr2

επ41E

Vemos que el campo es proporcional al producto de la carga por la distancia entre ellas q·l, este producto se denomina momento eléctrico y se lo indica normalmente con la letra p. Entonces queda:

30

P rp2

41Eεπ

Para el punto Q sobre el eje Y, o para cualquier punto del plano bisector al eje del dipolo, vemos que las componentes perpendiculares al eje se anulan y las paralelas son iguales para cada carga. Por ello resulta que:

Q

R

P

ER

Er

EQ

EP

E

Y

X

r

r

q q

r l

+ -


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1/222

220

Q

4lr

2l

4lr

q24

1E

επ

Nuevamente si r es lo suficientemente grande respecto a l, la expresión se reduce a:

30

Q rlq

41Eεπ

Que, en función del momento, queda:

30

Q rp

41Eεπ

En ambos casos vistos el campo es proporcional al momento p del dipolo e inversamente proporcional al cubo de la distancia al centro del dipolo (a distancias suficientemente grandes). Para calcular el campo en cualquier punto, como el R, se puede utilizar cualquier método teniendo en cuenta, por ejemplo las tres componentes ortogonales. Sin embargo es más cómodo utilizar coordenadas polares, r y , y calcular el campo en función de las componentes rectangulares Er, en el sentido en que aumenta r, y E, en el sentido en que aumenta . Las expresiones finales son:

30

r rθcosp2

επ41E

30

θ rθsenp

επ41E

0 - B.3.1 - Una carga puntual en un campo eléctrico. Un campo eléctrico ejerce sobre una partícula cargada una fuerza dada por F = E·q, esta fuerza producirá una aceleración dada por a = F/m, donde m es la masa de la partícula. Consideraremos dos ejemplos de la aceleración de una partícula cargada en un campo eléctrico uniforme, que puede obtenerse conectando una batería a dos placas metálicas paralelas que no están conectadas de ningún otro modo. Si las placas están cerca comparativamente con las dimensiones de las placas el campo será uniforme excepto cerca de los bordes. Tengamos en cuenta que el campo de la partícula misma (autocampo) no se considera, así como el campo gravitacional de la Tierra no tiene efecto sobre la Tierra misma sino sobre un segundo objeto colocado en ese campo. Caso 1: Una partícula de masa m y carga q se coloca en reposo en un campo eléctrico uniforme y se suelta. El movimiento se parece al de un cuerpo que cae en el campo gravitacional de la Tierra. La aceleración constante está dada por:

mqE

mFa


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Entonces se aplican las ecuaciones del movimiento uniformemente acelerado. Con v0 = 0, esas ecuaciones son:

m

tEqtav ; 2m

tqE2tay

22

y m

y2qEya2v 2

La energía cinética obtenida después de avanzar una distancia y se encuentra con la fórmula:

yEqm

y2qE2mv

2mK 2

Este resultado también se deduce directamente del teorema del trabajo y la energía porque obra una fuerza constante qE en una distancia y. 0 - B.3.2 – Un dipolo en un campo eléctrico. Un dipolo eléctrico es un sistema de dos cargas eléctricas de igual magnitud, q, y signo contrario, separadas una distancia 2a. El momento de tal dipolo se puede considerar como un vector cuya magnitud es el producto de una de las cargas por la distancia que las separa, p = 2aq. La dirección es de la carga negativa a la positiva. Colocamos el dipolo en un campo eléctrico externo uniforme de magnitud E, con el cual su momento forma un ángulo . Obran dos fuerzas iguales y opuestas de magnitud F lo que implica una resultante nula, pero hay un momento neto con respecto a un eje que pasa por O y que está dado por:

θ Fa 2θ a F 2τ sensen Expresión que puede escribirse:

θ E pθ E qa 2 sensenτ

Así el dipolo experimenta un momento que tiende a alinearlo con el campo externo.

La fórmula anterior puede escribirse como el producto vectorial entre los vectores momento del dipolo y campo eléctrico:

Epτ

Debe hacerse un trabajo mediante un agente externo para cambiar la orientación del dipolo. Este trabajo queda almacenado como energía potencial U en el sistema formado por el dispositivo utilizado para generar el campo y el dipolo. Si el ángulo tiene el

+ + + + + + + + + + + + + + + +

- - - - - - - - - - - - - - - -

E v1

v2

P1

P2 y


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valor inicial 0, el trabajo requerido para hacer girar el dipolo hasta el ángulo 1 está dado por:

UdθτdWW1

0

θ

θ

1

0

1

0

1

0

θ

θ

θ

θ

θ

θθcosEpdθθsenEpdθθEsenpU

Si asumimos como ángulo de partida que q0 sea de 90º obtendremos que:

θcosEpU o en forma vectorial: EpU

0 - B.3.3 – Flujo en un campo eléctrico. Ley de Gauss. El flujo (), es una propiedad de cualquier campo vectorial; se refiere a una superficie hipotética que puede ser cerrada o no. Para un campo de flujo este se mide por el número de líneas de corriente que atraviesan la superficie. Para un campo eléctrico el flujo se mide por el número de líneas de fuerza que atraviesan la superficie. Para superficies cerradas el flujo será positivo si todas las líneas apuntan hacia fuera y negativo si ocurre lo contrario.

Para definirlo con precisión consideraremos una superficie cerrada cualquiera en un campo eléctrico. A esta superficie la dividiremos en cuadrados elementales tan pequeños que puedan considerarse planos. Este elemento de área puede representarse por un vector que apunta hacia fuera de la superficie, normal a ella, y cuya magnitud es la superficie del cuadrado elemental S. Para cada cuadrado podemos trazar un vector E, de campo eléctrico que puede ser considerado uniforme en todos los puntos del cuadrado. Los vectores S y E que caracterizan a cada cuadrado forman un ángulo entre ellos. En forma semicuantitativa se define el flujo como:

ΔSEΦE

Si evaluamos tomando el límite diferencial llegamos a que:

F

-F

p O

E

+q

-q

2a E

p


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dSEΦE

Esta integral de superficie indica que debemos dividir la superficie en elementos infinitesimales de área dS y que debe evaluarse la cantidad escalar E·dS para cada elemento y hacer la suma para toda la superficie. La ley de Gauss, que se aplica a cualquier superficie cerrada (llamada gaussiana), establece que la relación entre E para la superficie y la carga neta q encerrada por ella está dada por:

qΦε E0 o bien que qdSEε 0

La ley de Coulomb se puede deducir de la ley de Gauss. Consideremos una carga ubicada en el centro de una superficie esférica (para hacerlo más simple). Tanto el vector E como el dS están dirigidos hacia fuera normalmente a la superficie, es decir que ángulo entre ellos es cero. En este caso el producto escalar entre ellos se reduce al producto de sus magnitudes, además el campo es igual en todos los puntos por lo que puede sacarse fuera de la integral. Esta integral resulta ahora la superficie de la esfera. Por lo tanto resulta que:

qrπ4EεdSEεdS EεdSEε 20000

o sea que:

20 r

qπε41E

la dirección se conoce por simetría. Si ponemos una segunda carga q0 en el punto donde evaluamos E sufrirá una fuerza dada por:

20

00 r

qqπε41qEF

que es, precisamente, la ley de Coulomb. 0 - B.3.4 - Ejemplos de cálculos. 1) Calculemos cuál debería ser la intensidad de campo eléctrico E para que un electrón colocado en el campo experimente una fuerza igual a su peso. Para ello tendremos en cuenta que la magnitud de la fuerza gravitatoria está dada por Fg = m·g siendo m la masa del electrón y g la intensidad de campo gravitatorio. Por lo tanto:

e

gmqFE

0

nt/coul105.6coul101.6

)segm/9.8)(kg109.1( 1119

231

Este es un campo eléctrico muy débil. 2) Un dipolo formado por un electrón y un protón separados por 4x10-8cm, está colocado de modo que su punto medio coincide con el origen, su eje con el eje X y el electrón está a la izquierda del


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origen. Calcular las componentes Er y E del campo eléctrico para los siguientes puntos A) r=10-6cm, =0; B) r=10-6cm, =/2 y C) r=10-6cm, =/6. Las fórmulas a emplear son:

30

r rcosp2

41E θεπ

30

θ rθsenp

επ41E

El momento eléctrico del dipolo es:

coul·metro106,4m104coul101,6lqp 291019

Reemplazando para el punto A:

38

29

12r 100cos106,42

108,84241E

π

nt/coul10115,2101,28109 449

010

0sen106,4109E 24

299

θ

Reemplazando para el punto B:

010

/2cos106,42109E 24

299

r

π

nt/coul1057,610

/2sen106,4109E 424

299

πθ

Reemplazando para el punto C:

nt/coul1099,810

/6cos106,42109E 424

299

r

π

nt/coul1028,810

/6sen106,4109E 424

299

πθ

0 - B.4 – Potencial eléctrico. El campo eléctrico alrededor de una barra cargada puede describirse no sólo por la intensidad del campo eléctrico E (vectorial) sino también por una cantidad escalar, el potencial eléctrico, V. Para encontrar la diferencia de potencial eléctrico entre dos puntos A y B en un campo eléctrico, movemos una carga de prueba q0 de A a B, conservándola siempre en equilibrio, y medimos el trabajo WAB que debe realizarse para el desplazamiento. La diferencia de potencial eléctrico se define como:

0

ABAB q

WVV

El trabajo puede ser positivo, negativo o nulo con lo que resultará que el potencial en B será mayor, menor o igual que en el punto A.


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La unidad de diferencia de potencial está dada por la relación joule/culombio que se denomina voltio. En general se escoge el punto A a una gran distancia (rigurosamente en el infinito) de toda carga y se asigna a ese punto el valor cero de potencial. Así podemos definir el potencial eléctrico en un punto como la relación entre el trabajo de traer la carga de prueba desde el infinito al punto, y la carga de prueba:

0qWV

Esta relación es un escalar porque ambas magnitudes son escalares. El trabajo realizado no depende de la trayectoria sino sólo del desplazamiento, caso contrario el potencial en un punto no sería un valor único.

Podría tomarse como referencia de potencial cualquier punto, y de hecho se hace, ya que lo realmente interesante es la diferencia de potencial entre dos puntos y no el potencial absoluto en el punto. A tal efecto se considera el potencial de Tierra como cero en la mayoría de los casos.

Tomemos dos puntos A y B en un campo eléctrico uniforme E, estando A a una distancia d de B en la dirección del campo. Movamos una carga de prueba q0 desde A a B sin aceleración y siguiendo la línea recta entre los puntos.

El campo ejerce sobre la carga una fuerza que debe ser contrarrestada por una fuerza externa tal que:

EqF 0

El trabajo realizado por esta fuerza es: dEqdFW 0AB

lo que nos permite poner que:

dEq

WVV0

ABAB

Esta expresión pone en evidencia que el volt/metro es otra unidad de intensidad de campo idéntica al newton/culombio. Para el caso más general de un campo no uniforme podemos calcular el trabajo con la siguiente expresión:

B

A0

B

AAB dlEqdlFW

y de allí calcular la diferencia de potencial como:

B

A0

ABAB dlE

qWVV

Para el caso que A se encuentre en el infinito:

B

dlEV

Estas dos ecuaciones últimas nos permiten calcular la diferencia de potencial entre dos puntos cualesquiera si se conoce E en diversos puntos del campo. También podemos calcular la intensidad de campo si conocemos el potencial en una cierta región. Gráficamente si se conoce el campo en toda la región pueden trazarse las líneas de fuerza, luego pueden


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trazarse superficies equipotenciales normales a las líneas de fuerza. Estas superficies describen el comportamiento del potencial V en el campo. Recíprocamente puede obtenerse el campo eléctrico a partir del potencial. En cualquier punto P el campo E es perpendicular a la superficie equipotencial que pasa por P. Conforme a la figura siguiente, el trabajo que debe realizarse para mover una carga de prueba q0 siguiendo la trayectoria l hasta la superficie equipotencial V + V, es q0V. También podemos calcular este trabajo como:

W = F·l siendo F la fuerza necesaria para contrarrestar exactamente la fuerza eléctrica q0·E. Tendremos que:

lcosEqlcosEqlEqW 000 ΔθΔθπΔΔ

las dos expresiones del trabajo deben ser iguales con lo que se obtiene:

lVcosEseaolcosEqVq 00 Δ

ΔθΔθΔ

Esta última expresión es la componente de E en la dirección -l, por lo tanto la cantidad -E cos , que llamaremos El, es la componente en la dirección +l. En el límite diferencial podemos escribir:

dldVE l

Si avanzamos en un campo eléctrico a lo largo de una recta y medimos el potencial conforme avanzamos, la rapidez del cambio de V con la distancia que observamos, con el signo cambiado, es la componente de E en esa dirección. El signo menos indica que E apunta en dirección contraria al sentido creciente de V. Las unidades adecuadas son el volt/metro. Habrá una dirección para la cual la expresión vista será máxima, de hecho el valor de El será también el máximo o sea E. Este

P F

E

l

V

V+V

V+2V

V-2V V-V

q0

l


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valor máximo en el punto se denomina gradiente de potencial y la dirección correspondiente es siempre perpendicular a la superficie. 0 - B.4.1 – Potencial eléctrico debido a una distribución de cargas. Supongamos una carga puntual aislada q, y tomemos dos puntos A y B alineados con q. Desplacemos una carga de prueba q0 desde A hacia B. El campo generado por la carga será saliente y el diferencial de desplazamiento dl será en sentido contrario. Por lo tanto en las ecuaciones anteriores será:

dlEdl180ºcosEdlE

Al movernos hacia la carga estamos moviéndonos en el sentido decreciente del radio r por lo que:

drEdlE

o sea que:

B

A

r

r

B

AAB drEdlEVV

Utilizando la expresión ya vista para evaluar el campo eléctrico nos quedará que:

AB0

r

r

2

0AB r

1r1

επ4qdr/r

επ4qVV

B

A

Tomando como punto de referencia el infinito será entonces:

rq

επ41V

0

El potencial debido a una distribución de cargas se calcula evaluando los potenciales generados en forma independiente por cada una de las cargas y luego realizando su suma. Esta suma es una suma escalar lo que presenta una ventaja sobre la evaluación de la intensidad de campo eléctrico que es vectorial. Si la distribución es contínua la sumatoria se convierte en la integral:

n n

n

0nn r

qεπ4

1VV para distribución discreta de cargas.

dq/rεπ4

qdVV0

para distribución contínua de cargas.

Si el caso de distribución es el de un dipolo eléctrico, debemos recordar que su momento es p = 2a·q, si la distancia entre las cargas, iguales y de signos opuestos, es 2a. Calcularemos el potencial eléctrico en cualquier punto del campo con la condición de que no esté demasiado cerca del dipolo. El punto queda especificado dando la distancia desde el centro del dipolo (r) y el ángulo que forma con el eje del dipolo (). Por simetría el valor del campo no cambiará si giramos alrededor del eje del dipolo sin variar r y .


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Aplicando las fórmulas ya vistas tendremos que:

21

21

02

2

1

1

021

nn rr

rrεπ4

qrq

rq

επ41VVVV

Si consideramos que r>>2a tendremos que:

θcos2arr 12 y 221 rrr

El potencial se reduce a:

20

20 r

cosp4

1rcos2a

4qV θ

επθ

επ

expresión donde p es el momento del dipolo. Notemos que si el ángulo es cero el potencial también es nulo y por lo tanto no se realiza ningún trabajo para traer una carga desde el infinito al centro del dipolo siguiendo una perpendicular al eje del dipolo. 0 - B.4.1.1 – Ejemplo de cálculo. Determinar el potencial en el centro de un cuadrado de a = 1 metro de lado, sabiendo que: q1 = +1·10-8 coul, q2 = -2·10-8 coul, q3 = +3·10-8 coul, q4 = +2·10-8 coul. La distancia de cada carga al centro P es:

r = a√2 = 0,71 m

rqqqq

επ41qV 4321

0nn

71,0

coul10·2321coul/m·nt10·9 82210

= V = 500 voltios. El potencial en el interior del cuadrado no es uniforme y puede calcularse por donde pasa la superficie equipotencial de potencial cero. Esta superficie rodea a la carga q2 que es la única negativa. Para determinarla se plantea la ecuación del potencial en función del ángulo medido desde la carga q2 y la distancia a la misma, esta distancia se determina para que el potencial sea cero (o cualquier valor deseado).

P

q1 q2

q3 q4

a

a

a

a

P

z a a -q +q

r r1

r2

(r2 - r1)


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0 - B.5 – Condensadores y dieléctricos. El potencial de una esfera conductora cargada, que se supone completamente aislada de otros cuerpos, está dada por:

Rq

4π1'V

0

donde q es la carga y R el radio de la esfera. El índice de V indica que es una carga positiva. Representamos con V+’ ese potencial. La línea marcada V representa el potencial en una posición infinitamente alejada, valor 0 conforme a lo usual. Imaginemos ahora otra esfera del mismo radio, y que tiene una carga –q, colocada a una distancia mucho mayor que R de la primera, de forma que puedan considerarse aisladas eléctricamente. El potencial de la segunda esfera está dado por:

Rq

4π1'V

0

la diferencia de potencial entre ambas será:

R2q

41'V'VV'

0 π

Esto demuestra que la diferencia de potencial V’, y la magnitud de la carga q en cualquiera de las esferas son proporcionales. Podemos volver a escribir la ecuación como:

'VC'V'Rεπ2q 0

En la cual la constante de proporcionalidad se llama capacitancia de las dos esferas y se representa por el símbolo C. Si acercamos las esferas ya no se cumplen las condiciones de aislamiento entre ellas, algunas líneas de fuerza de una terminan en la otra. Una carga positiva que se acerque a un objeto aislado sirve para elevar el potencial del objeto, y una negativa para bajarlo. El potencial de la esfera cargada positiva se reducirá al acercarse a la negativa y el de la negativa se elevará. Estos nuevos potenciales se muestran en la figura anterior como V+‘ y V-‘. Vemos entonces que, aunque la carga de cada esfera no ha variado, su diferencia de potencial se ha reducido considerablemente. O, utilizando la última fórmula de la capacitancia C’ del sistema de las dos esferas, la capacitancia se ha aumentado considerablemente.

Diferencia de potencial (=V) cuando los

conductores están muy cercanos

Diferencia de potencial (=V’) cuando los

conductores están muy distantes

V+’

V-’

V+

V- V=0


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VqC

Si suponemos que la segunda esfera es una concéntrica con la primera pero de radio infinito (potencial cero) podemos definir la capacitancia de una esfera aislada de radio R como:

R2VqC 0επ

La unidad de capacitancia es el culombio/voltio llamado faradio. En la práctica se usan los submúltiplos microfaradio (F = 10-6

faradios) y micromicrofaradio, o picofaradio (F o pF = 10-12 faradios). Podemos calcular la capacitancia (o capacidad) de un condensador de placas paralelas si suponemos dos placas cargadas con igual carga de signos opuestos, separadas a una distancia d pequeña respecto a las dimensiones de las placas que tienen un área A. Dadas estas condiciones podemos asumir que el campo eléctrico entre las placas es uniforme en toda la superficie y despreciar la irregularidad del mismo en los bordes. Si consideramos la superficie gaussiana indicada en líneas de trazo, el flujo en la parte que está dentro del conductor es nula, porque el campo que está dentro de un conductor que tiene carga estática es cero. Lo mismo se puede decir de la parte lateral si despreciamos las irregularidades del campo en el borde y lo consideramos que está todo dentro del cilindro limitado por las placas. Solo resta la superficie que está entre las placas donde el campo es uniforme constante y el flujo es E = E·A. La ley de Gauss da:

qAEεΦε 0E0

El trabajo requerido para llevar la carga de prueba de una placa a la otra puede expresarse como q0V, o como el producto de una fuerza q0E por la distancia d, es decir q0Ed, y como ambas deben ser iguales obtenemos que:

dEV

Esta es un caso particular de la expresión más formal:

B

AAB dlEVV

La integral puede realizarse sobre cualquier trayectoria que parta de una placa y llegue a la otra.

d

+ + + + + + + + + + + + + + + + + +

-q

+q Area=A

h

Superficie Gaussiana


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Las expresiones anteriores podemos combinarlas obteniendo:

dA

dEAEε

VqC 00 ε

Por medio de esta fórmula se ha calculado el valor de 0 exactamente.

Esta fórmula es válida solamente para condensadores de placas paralelas, si cambia la geometría cambia también la fórmula. Para uno cilíndrico, por ejemplo, es:

(b/a) lnl2C 0 πε

Donde l es la longitud, a es el radio exterior de la placa interna, y b es el radio interior de la placa externa. 0 - B.5.1 – Dieléctricos. Un material aislante, aislador, o dieléctrico, es una sustancia dentro de la cual no hay (o hay muy pocas) partículas cargadas capaces de moverse por la influencia de un campo eléctrico. Sin embargo cada una tiene un límite de la intensidad de campo eléctrico por encima de la cual pierde su característica aislante y se convierte en un conductor. Esa intensidad que puede soportar sin rotura se denomina rigidez dieléctrica. Para el aire a presión atmosférica normal es del orden de 3x106 nt/coul mientras que para el vidrio es de dos a tres veces mayor. Es interesante comparar esta intensidad máxima de campo eléctrico con la carga máxima por unidad de superficie que representa en un conductor. Si aplicamos la fórmula tenemos que, para el valor indicado arriba,:

269

6

0 coul/m10271036π

103Eεσ

Si consideramos que nuestro conductor es una esfera metálica, de cobre por ejemplo, de un centímetro de radio, la carga máxima total que puede ser retenida por ella en el aire es de:

coul103,3σa4πq 82

La cantidad total de electrones libres en la esfera, asumiendo un electrón libre por átomo, es de 3,5x1023. La carga electrónica libre total es de 5,6x104 coul, con lo que resulta que la carga máxima retenida equivale a un electrón en exceso (o falta) por cada 1012 electrones libres. Volviendo al estudio del capacitor, si se llena el espacio entre las placas con un material aislante se detecta que, para la misma diferencia de potencial entre placas, la carga es mayor que cuando existe sólo aire. De esta manera se deduce que la capacitancia del sistema aumenta con la introducción del dieléctrico. Este aumento puede indicarse con un factor k que depende del dieléctrico utilizado, y este factor se mantiene para cualquier geometría del condensador. En base a esto podemos escribir que:


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Lεkd

AεkVqC 0

0

Donde la primera expresión es válida para placas paralelas y la otra es general. Para este último caso L tiene las dimensiones de una longitud y depende de la geometría del condensador (L = A/d para placas paralelas, y L = 2l/ln(b/a) para cilíndricos). 0 - B.6 – Intensidad y resistencia. En los problemas de electrostática nos preocupamos por la distribución de cargas, las fuerzas que ellas generan y por el movimiento de partículas cargadas en el vacío. Ahora estudiaremos el movimiento de cargas en un conductor cuando se mantiene un campo eléctrico dentro del mismo. Este movimiento constituye una corriente. En un conductor metálico las cargas libres serán los electrones negativos, mientras que en un electrolito tendremos iones positivos y negativos. En un gas en condiciones adecuadas tendremos tanto iones como electrones. Vimos que cuando un conductor aislado se coloca en un campo eléctrico las cargas se reagrupan de forma tal que el interior del conductor está libre de campo y en él el potencial es constante. Este movimiento de cargas es también una corriente pero transitoria, si queremos que esta sea permanente deberemos mantener continuamente el campo. Si el campo tiene siempre el mismo sentido aunque varíe su intensidad tendremos una corriente contínua, mientras que si se invierte secuencialmente la corriente también se invertirá y tendremos una corriente alterna. Hay dispositivos que tienen la propiedad de mantener constantemente una diferencia de potencial entre sus bornes, por ejemplo las pilas, baterías y dínamos. Si colocamos entre sus bornes un hilo conductor al mantenerse el campo se mantendrá también el movimiento de cargas y tendremos una corriente. En el gráfico vemos el movimiento de los electrones libres (los otros electrones y los protones sufren la influencia del campo pero no son acelerados por impedirlo las fuerzas de ligadura). Estos electrones son frenados por choque con las otras partículas pero vuelven a ser acelerados obteniéndose una corriente con una

v·dt

v E

Movimiento de electrones libres en un conductor metálico

A


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velocidad media de cargas. En el gráfico el movimiento es hacia la derecha por cuanto la intensidad de campo es hacia la izquierda. Si suponemos que cada electrón se mueve con la misma velocidad media v, y en el tiempo dt cada uno avanza una distancia v·dt. En este tiempo el número de electrones que cruza una sección transversal como la rayada de superficie A, es el número de los electrones libres contenidos en el volumen A·v·dt. Si hay n electrones libres por unidad de volumen podemos señalar que la cantidad de carga que atraviesa esa sección está dada por la expresión:

dq = n·e·v·A·dt La cantidad de carga que atraviesa una sección del conductor por unidad de tiempo, se denomina intensidad de corriente eléctrica en el conductor, y se indica con i o I.

dq/dt = n·e·v·A = i La unidad de corriente eléctrica en el sistema internacional es el culombio por segundo y se denomina amperio o amper indicándose con el símbolo A. Si los portadores de carga son de distinto tipo (diferentes iones con o sin electrones) la carga neta se determina como la sumatoria de las componentes.

dq = A·dt (n1·q1·v1 + n2·q2·v2 + ... ) y la intensidad de la corriente es:

i = A Σ n·q·v Hacemos notar que todos los productos tendrán el mismo signo ya que las cargas de signos opuestos tendrán también velocidades en sentidos opuestos. La distribución de cargas en la sección del conductor es uniforme salvo para el caso de corriente alterna en el cual tienden a concentrarse en la periferia. La densidad de corriente, definida con la letra J, es la relación entre la intensidad y la sección transversal del conductor:

J = i / A = n·e·v Estrictamente esta ecuación define la densidad media a través del área A. El sentido de la corriente convencional está dado por el sentido del desplazamiento de las cargas positivas (contrario a la de los electrones) por una cuestión histórica: los primeros experimentos se realizaron con electrolitos en los cuales podían "verse" a los portadores de carga y se asumió como positivo el sentido de las cargas positivas. Podemos calcular la velocidad de los electrones en un hilo de cobre de un centímetro de diámetro que es atravesado por una corriente de 200 A. La densidad media de corriente es de:

J = i / A = 200 / ¼ d2 = 2,54x106 A/m2 La densidad de electrones libres en el cobre es de 8,5x1028 electrones por metro cúbico con lo que resulta que:

v = J / n·e = 2,54x106 /(8,5x1028 x 1,6x10-19) = 1,9x10-4 m/seg.


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es decir de dos décimas de milímetro por segundo. Esta velocidad nada tiene que ver con la velocidad de propagación de la onda electromagnética en el espacio libre que es de 3x108 m/seg. Decíamos que el sentido de la corriente convencional en el hilo conductor era del positivo de la fuente hacia el negativo, ya que suponíamos portadores de cargas positivas. En el interior del generador resulta lógico decir que la circulación es de negativo a positivo. Si pensáramos que no hay circulación de cargas dentro del generador tendríamos que imaginarnos que las cargas salieran del positivo del generador y se perdieran en el negativo; esto implicaría que el borne positivo se descargara haciéndose menos positivo y el borne negativo se cargara haciéndolo menos negativo. Esto significaría que la diferencia de potencial entre los bornes disminuiría lo que se contradice con lo establecido de campo constante. 0 - B.6.1 – Conductibilidad y resistividad. Las sustancias conductoras difieren entre sí en el valor de la densidad de corriente establecida para un campo eléctrico dado. La razón de la densidad de corriente a la intensidad de campo eléctrico, o sea, la densidad de corriente por unidad de intensidad del campo eléctrico, se denomina conductibilidad eléctrica de la sustancia y se representa por :

= J/E, o bien, J = ·E Cuanto mayor es la conductividad mayor es la densidad de corriente para un campo eléctrico dado. Esta propiedad depende de la temperatura y, en menor grado, de otros parámetros físicos, y es, en general, independiente de la densidad de corriente (aunque hay sustancias muy sensibles). La ecuación anterior puede ponerse:

i/A = (-dV/dx), o bien, i = -A(dV/dx) Ecuación análoga a la de la conductibilidad calorífica estacionaria:

H = - K A (dt/dx) Donde se corresponden: la intensidad de corriente i con la cantidad de calor por unidad de tiempo H, la conductibilidad eléctrica s con la conductibilidad calorífica K, y el gradiente de potencial dV/dx con el gradiente térmico dt/dx. Esto es más que una simple analogía ya que los electrones libres, que transportan la carga eléctrica también desarrollan un papel importante en la conducción térmica. Los buenos conductores eléctricos también son buenos conductores del calor. La ley de Wiedemann-Franz establece la relación entre las conductibilidades térmica y eléctrica como:

K/ = 3 (k/e)2 T donde k es la constante de Boltzmann, e es la carga del electrón y T la temperatura en grados Kelvin. Aunque la expresión J = ·E de la densidad de corriente eléctrica es la relación fundamental de la conducción eléctrica es


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más cómodo en la práctica trabajar con intensidades de corriente y diferencias de potencial. Partiendo de la fórmula:

i = -A(dV/dx) consideraremos un conductor de longitud L y sección constante A por el cual circula una intensidad de corriente i. Sean Va y Vb los potenciales en sus extremos. Y establezcamos también que es constante independiente de J. Para las condiciones dadas la ecuación puede integrarse fácilmente tomando el eje X a lo largo del hilo y el origen en su extremo a, se tiene:

dVAσdxi

L

0

V

V

b

a

dVAσdxi

ba VVAσLi

ba VVLAi

σ

Esta es la relación entre la intensidad de la corriente y la diferencia de potencial en los extremos del hilo. El factor A/L se denomina conductancia del hilo y se indica con la letra G. En la práctica se utiliza la inversa de la conductancia denominada resistencia y es indicada con la letra R.

R = L/A También se utiliza la propiedad inversa a la conductibilidad llamada resistividad indicada con la letra .

R = L/A En función de la resistencia la intensidad de la corriente puede ponerse como:

R

VR

VVi abba

o bien que: Ri Vab

observándose que esta expresión es válida sólo si entre los extremos a y b existe una resistencia pura (no hay generadores, motores, etc.). Esta proporcionalidad directa entre la intensidad de la corriente y la diferencia de potencial en los extremos de un conductor fue descubierta por el físico alemán Georg Ohm y se la conoce como ley de Ohm. La unidad de resistencia en el sistema internacional es el voltio por amperio, denominada Ohm u ohmio, y se le indica con . La recíproca, unidad de la conductancia es el mho indicada con la letra griega omega invertida, ℧, también llamado siemens, S. Vimos que la resistencia está dada por la relación R = L/A, es decir que la resistencia de un conductor es directamente proporcional a la longitud del conductor e inversamente proporcional a su sección transversal. Si la longitud y la sección son unitarias

Va Vb

L A

i


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la resistencia es igual, numéricamente, a la resistividad. En el sistema internacional la unidad de longitud es el metro, con lo que resulta que la resistividad está dada en ohmio-metro. En la práctica se utilizan unidades híbridas, por ejemplo ohmio-metro/milímetro cuadrado para los cables y alambres conductores de energía. La resistividad de una sustancia depende de su composición, su temperatura, además de otros parámetros como la iluminación, presión hidrostática, etc. 0 - B.6.2 – Ley de Joule. Dijimos que los electrones libres en un conductor se desplazaban con una velocidad media, pero que en realidad la velocidad de los mismos es variable. Los electrones ganan energía cinética durante las trayectorias entre dos choques, y la ceden a las partículas fijas en cada choque. La energía adquirida por las partículas fijas (fijas relativamente, como posición media) aumenta la amplitud de su vibración, es decir se convierte en calor. Para deducir la cantidad de calor desarrollada utilizaremos una parte de un circuito atravesado por una corriente convencional i con sentido de a hacia b. Los potenciales en los extremos son Va y Vb. En un intervalo de tiempo dt entra por a en el circuito una cantidad de carga dq = i dt, y la misma cantidad sale por el extremo b. Hubo un transporte de carga dq desde un potencial Va hasta un potencial Vb. La energía cedida por la carga es:

dW = dq (Va - Vb) = i dt Vab y la cantidad de energía cedida por unidad de tiempo, o sea la potencia suministrada será:

P = dW/dt = i Vab Es decir la potencia está dada por el producto de la intensidad de la corriente por la diferencia de potencial. Recordando que la unidad de corriente es el amperio = culombios/segundo, y la de la diferencia de potencial es el voltio = julios/culombio; la potencia viene dada en julios/segundo = vatios. Si la potencia resulta ser positiva (Va mayor que Vb) implica que el circuito consume energía aumentando su temperatura; por el contrario si es negativa el circuito suministra energía, es una fuente. Recordemos que la corriente circulaba de positivo a negativo por el hilo conductor (consumidor) pero de negativo a positivo dentro del generador (fuente). Si tenemos presente la ley de Ohm podemos escribir que:

P = i2 R Para explicitar que la energía aparece en forma de calor podemos poner que:

Va Vb

a

i b

i


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P = dH/dt siendo dH la cantidad de calor producida en el tiempo dt. Luego la ecuación se convierte en:

dH/dt = i2 R que se conoce como Ley de Joule.


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Parte C: MAGNETISMO 0 - C.1 - Magnetismo. Desde el siglo XI, o antes, el uso de los imanes para la navegación (brújulas) y su estudio se refirió a los imanes naturales. En 1819 Hans C. Oersted observó que una brújula se desviaba si circulaba una corriente por un conductor cercano a ella; Faraday observó que se producía una corriente en un circuito cuando se establecía o interrumpía la corriente en otro próximo; poco después Joseph Henry descubrió que también se producía una corriente en un circuito cuando se le acercaba o alejaba un imán. El trabajo de los tres estableció la relación entre magnetismo y el movimiento de cargas eléctricas. Actualmente se considera que los fenómenos magnéticos proceden de las fuerzas originadas por cargas eléctricas en movimiento. 0 - C.2 - Campo Magnético. Inducción y flujo magnético. Como en el caso de las fuerzas electrostáticas, el medio en el cual se mueven las cargas puede tener un efecto pronunciado sobre las fuerzas magnéticas observadas en ellas. Supondremos por ello que para nuestro estudio estamos trabajando en el vacío, aunque a los fines prácticos podremos extender los resultados a cargas y conductores en el aire. Asumiremos que una carga móvil crea un campo magnético en el espacio que la rodea, y es este campo el que ejerce una fuerza sobre otra carga que se mueve en él. Además del campo magnético creado por la carga si se encuentra en movimiento, existe el campo electrostático que rodea la carga esté en movimiento o no. Se dice que existe un campo magnético en un punto si se ejerce una fuerza sobre una carga móvil que pase por dicho punto. Esto es además de la fuerza electrostática. El campo eléctrico creado por cargas o corrientes es en muchos casos tan pequeño que la fuerza electrostática sobre una carga móvil puede despreciarse comparada por la fuerza magnética. El estudio comprende dos aspectos: determinar el valor y dirección del campo magnético creado por la carga móvil, y calcular el valor y dirección de la fuerza ejercida sobre la otra carga móvil. Teniendo en cuenta las analogías entre los campos eléctricos y magnéticos definiremos dos vectores campo magnético B y H relacionados análogamente como lo están los vectores de campo eléctrico E y D. El vector inducción magnética B aparece al considerar que el campo magnético puede representarse por líneas de inducción, el vector B indica la dirección de esas líneas en cada punto. Por convenio la densidad de líneas por unidad de superficie perpendicular a la dirección se hace igual al valor de la inducción. En consecuencia la inducción en un punto puede expresarse en líneas por unidad de superficie, en el sistema MKS una línea de inducción se denomina weber y por ello la inducción


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magnética B se expresa en weber por metro cuadrado [wb/m2], algunas veces llamada tesla. En el sistema electromagnético la línea de inducción se denomina maxwell y la inducción se expresa en maxwell por centímetro cuadrado, que se llama gauss. La relación entre ellas se obtiene de considerar que: 1 weber = 108 maxwells y en consecuencia: 1 wb/m2 = 104 mx/cm2 = 104 gauss El número total de líneas de inducción que atraviesan una superficie se denomina flujo magnético a través de la superficie y se representa por la letra griega "fi", , siendo en general:

dABcosΦ

y en el caso especial que B es uniforme y perpendicular a la superficie finita A resulta: ABΦ El flujo magnético se expresa en webers en el sistema MKS y en maxwell en el electromagnético. En función de esta relación a la inducción magnética se le llama también densidad de flujo. En la figura representamos una región donde la densidad de flujo magnético es uniforme y perpendicular al plano Y-Z, es decir las líneas de inducción son rectas paralelas al eje X e igualmente espaciadas. Como se ha determinado experimentalmente, una carga positiva q que se mueve con velocidad v, perpendicular a la dirección de B, está sometida a una fuerza F perpendicular a su velocidad y a la dirección de la inducción B. La magnitud de esta fuerza está dada por: BvqF que se expresa, en el sistema MKS, en newtons si q está en culombios, v en metros por segundo y B en webers/metro cuadrado.

En el caso presentado los vectores B, v y F forman una terna de ejes rectangulares; la relación entre sus sentidos puede recordarse por la regla de la mano izquierda: pulgar la fuerza,

Teoría de los Circuitos I - Ing. Jorge M. Buccella - Capítulo IV

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índice el campo, y medio la velocidad. La dirección de la fuerza es la opuesta si la carga es negativa. El caso más general es que la velocidad tenga un ángulo con respecto al campo, caso en que la magnitud de F resulta:

senBvqF

Formalmente puede escribirse, utilizando el producto vectorial

que: BvqF La expresión:

senvqFB

se utiliza para definir la inducción magnética diciendo: el valor de la inducción magnética en un punto es el cociente obtenido de dividir la fuerza que se ejerce sobre una carga móvil que pasa por el punto, por el producto de la carga y de la componente de su velocidad perpendicular a la inducción. Ya que la fuerza es máxima cuando la velocidad y la inducción son perpendiculares, puede decirse que la dirección del vector inducción es perpendicular al plano determinado por la fuerza máxima sobre una carga móvil y la velocidad de la carga. Si hacemos un análisis dimensional vemos que la inducción magnética puede expresarse en newtons por (culombio-metro por segundo) o también en newtons por amperio-metro. 0 - C.3 - Fuerza sobre un conductor que transporta una corriente. Cuando un conductor que transporta una corriente se encuentra en un campo magnético, se ejercen fuerzas magnéticas sobre los electrones en movimiento dentro del conductor. Estas fuerzas se transmiten a la sustancia que forma el conductor y por ende el conductor mismo experimenta una fuerza o un momento, o ambas a la vez. Un motor eléctrico y el cuadro móvil de un galvanómetro están sometidos durante su funcionamiento al momento ejercido sobre un devanado que transporta corriente y que se encuentra en un campo magnético. En la figura tenemos un campo magnético de densidad de flujo B, perpendicular entrando a la hoja. En ese campo está una porción

l

i i

F


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de conductor rectilíneo de sección A y longitud l, que es atravesado por una corriente i. Esta corriente la podemos poner en función de las cargas y su velocidad media:

i = n·q·v·A La fuerza que actúa sobre cada carga será:

f = q·v·B El número de cargas en la longitud l del conductor es:

N = n·l·A La fuerza resultante resulta ser igual a:

F = N·f = n·l·A·q·B·v Que se puede escribir:

F = i·l·B

Si la dirección de la corriente forma un ángulo con la dirección del campo obtendremos la expresión general:

F = i·l·B·sen Si el conductor no es rectilíneo, y/o el campo no es uniforme se puede tener el valor de la fuerza sobre un elemento de conductor como:

dF = i·dl·B·sen La dirección de la fuerza es perpendicular al plano determinado por dl y B, y su sentido puede deducirse de las reglas del producto vectorial:

dF = idl x B Sobre un circuito completo se puede obtener la fuerza resultante y su momento mediante la integración sobre todos los elementos del circuito. En particular veamos el caso de una espira circular de radio a por la que circula una corriente i. El plano de la misma coincide con el plano X-Z y se encuentra en un campo magnético uniforme de densidad de flujo B, paralelo al eje X. La fuerza dF sobre el elemento dl = a·d de la espira tiene un valor:

dF = i·B·dl·sen = i·B·a·sen ·d El momento de la fuerza dF con respecto al eje Z es:

d = dF x a sen = i·B·a2·sen2 ·d

y el momento total es la integral desde 0 a 2:

= i B a2 = i A B

ya que a2 es el área de la espira. Si la normal al plano de la espira forma un ángulo con el campo será:

= i A B sen Si en lugar de una espira tenemos un solenoide, o bobina, con las espiras muy juntas, el momento será la suma de los momentos de todas las espiras, es decir:

= N i A B sen


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El par es máximo cuando la inducción es paralela a los planos de cada espira, es decir perpendicular al eje longitudinal del solenoide. El efecto de este par, si el solenoide puede girar libremente, es llevarlo a la posición en la cual cada espira es perpendicular al campo, y, consecuentemente el eje del solenoide paralelo al mismo. 0 - C.4 - Campo magnético creado por una corriente o una carga móvil. Una carga eléctrica en movimiento crea, en el espacio que la rodea, un campo magnético. Una segunda carga, móvil en el campo magnético, experimenta una fuerza. Oersted hizo las primeras observaciones de las interacciones entre imanes y corrientes. Experiencias posteriores de Biot y Savart, y por Ampère condujeron a la relación que permite calcular la densidad de flujo en cualquier punto del espacio que rodea a un circuito por el que circula una corriente. El circuito puede imaginarse compuesto de elementos de longitud dl, como en la figura. Las cargas móviles de cada elemento crean un campo en todos los puntos del espacio, y el campo en un punto debido al circuito completo es la suma vectorial de los campos creados en ese punto por todos los elementos del circuito. El vector de campo infinitesimal en el punto P, dB, se encuentra en un plano perpendicular a dl, y es perpendicular al plano determinado por dl y la recta que une a P y dl. Se deduce de esto que las líneas de inducción, a las cuales son tangentes los vectores, son circunferencias que se encuentran en planos perpendiculares al eje del elemento. El sentido de las líneas es el de las agujas del reloj cuando se miran en el sentido

Plano perpendicular al eje dl

Plano determinado por r y dl

Eje de dl

Línea de inducción

dl

dB P

r

i


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convencional de la corriente en el elemento dl. El sentido puede definirse como el de rotación de un tornillo, de rosca derecha, para que avance en el sentido de la corriente (regla del tirabuzón). El valor de dB está dado por la llamada ley de Ampère:

2rsenθdlik'dB

siendo r la distancia entre dl y el punto P, y el ángulo formado por r y dl. En rigor esta fórmula debe ser atribuida a Biot en 1820. El valor de k' depende de las unidades elegidas. En el sistema MKS o internacional k' se hace exactamente igual a 10-7 webers por amperio-metro y se utiliza la fórmula para definir la unidad de intensidad de corriente eléctrica, el amperio. En el cgs k' es igual a la unidad y define la unidad electromagnética de intensidad de corriente eléctrica. Con el objeto de eliminar el factor 4 de otras ecuaciones deducidas de ésta se define otra constante de proporcionalidad mediante la ecuación:

k'4πμok'4πμ

00

La ley de Biot se convierte en:

20

rsendli

4dB θ

πμ

Se deduce de esta ecuación que la densidad de flujo es nula en todos los puntos del eje del elemento que conduce la corriente; y máxima en un plano perpendicular al eje y que pasa por el elemento. La densidad de flujo en un punto debida al circuito completo es:

20

rsendli

4dBB θ

πμ (suma geométrica)

Salvo en casos muy simples es necesario descomponerla en los tres ejes e integrar separadamente las tres componentes. Para un conductor rectilíneo lo suficientemente largo comparado con la distancia a, del punto al eje del mismo, la expresión se reduce a:

ai

2πμB 0

que se denomina ley de Biot y Savart. Al igual que la intensidad de campo eléctrico que rodea a un hilo cargado, la intensidad de campo magnético es inversamente proporcional a la primera potencia de la distancia radial contada desde el hilo. La diferencia es que el campo eléctrico es radial y las líneas de inducción magnética son circunferencias concéntricas con el hilo. Por otra parte las líneas de campo eléctrico terminan sobre cargas positivas o negativas, mientras que las de campo magnético se cierran sobre sí mismas.


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0 - C.4.1 - Integrales curvilíneas y de superficie de la inducción magnética. Una línea de inducción es siempre una curva cerrada, por lo tanto si construimos una superficie cerrada en un campo magnético, toda línea de inducción que penetre en la superficie debe salir de ella. Ninguna línea puede terminar ni engendrase en el espacio limitado por la superficie. Esto implica entonces que la integral de superficie de la componente normal de B extendida a una superficie cerrada es siempre nula, a diferencia de lo que ocurre con el campo eléctrico cuyo resultado es q/e0, siendo q la carga encerrada por la superficie.

0dAcosB

Consideramos la integral curvilínea de la inducción a lo largo de una curva cerrada:

dlcosB

siendo el ángulo formado por un elemento cualquiera dl y la dirección de la inducción B en el elemento. Asumiendo positivo el sentido del reloj para recorrer la curva, podemos calcular la expresión general de la misma.

Consideraremos primero el caso de una curva cerrada que encierra al conductor de la corriente como la figura de la izquierda. Las líneas de inducción son circunferencias concéntricas con el conductor, donde la corriente ingresa en la figura; el sentido de las líneas es el de las agujas del reloj conforme a lo ya visto. La inducción en cada punto es tangente a la circunferencia, y su magnitud es:

ri

2B 0

πμ

X i

r

dl

B

X i

r1

r2

dl

B

a

d

b

c

b) Cuando no encierra una corriente a) Cuando encierra una corriente


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y la integral se transforma en:

ir2ri

2dl

ri

2dlcosB 0

00 μππμ

πμθ

Veamos el caso que la curva cerrada no encierra al conductor, tal el caso de la izquierda donde tomaremos el sector abcd definido por los arcos que subtienden al ángulo con radios r1 y r2. A lo largo de los lados ab y cd el ángulo es /2 por lo que no contribuyen a la integral. Un elemento de longitud dl situado a lo largo de bc o da puede escribirse como:

dαrdlodαrdl 21

La contribución del lado bc a la integral es:

αi2πμdαr

ri

2πμ 0

22

0

por cuanto es cero en ese lado. La contribución del lado da a la integral es:

απ

μα

πμ i

2dr

ri

20

11

0

por cuanto = en ese lado. Como consecuencia la integral alrededor de este contorno es nula. Estos dos casos especiales pueden generalizarse para un contorno cerrado cualquiera diciendo que: La integral curvilínea de la inducción magnética alrededor de cualquier curva cerrada es igual al producto de 0 por la corriente que circula a través de la superficie limitada por la curva.

idlcosB 0μθ

0 - C.5 - Fuerza entre conductores paralelos. Amperio.

En la figura se muestran dos conductores rectilíneos paralelos separados una distancia a, y cada uno lleva una corriente i e i' de igual sentido. Como cada uno está en el campo magnético del otro, experimentarán una fuerza. En la figura de la derecha vemos algunas líneas de inducción creadas por la corriente que circula por el conductor inferior. En

F

B

X

X

a

i'

i


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razón de ello en el conductor superior existirá un campo cuyo valor es:

a2i

4B 0

πμ

En virtud de ella la fuerza sobre un trozo de conductor superior de longitud l, será:

ai'2il

4πμBli'F 0

y la fuerza sobre la unidad de longitud es:

ai'2i

4Bi'

lF 0

πμ

La regla de la mano izquierda muestra que la fuerza sobre el conductor superior es hacia abajo. Hay una fuerza igual y opuesta en el conductor inferior, como puede verse si hacemos el mismo estudio intercambiando los conductores. Como consecuencia ambos conductores se atraen. Si se cambia el sentido de una de las corrientes veremos que los conductores se repelerán. Este efecto se ha tomado como base para definir al amperio en el sistema MKS: Un amperio absoluto es la corriente invariable que, circulando por dos conductores paralelos de longitud infinita y separados por una distancia de un metro, en el vacío, produce una fuerza de 2 x 10-7 newtons por metro de longitud. De esta definición y de la fórmula precedente se deduce el valor numérico de 0 en el sistema MKS es exactamente:

mwb/A1012,57mwb/A104πμ 770

El amperio internacional se ha definido por medios electrolíticos, supuestamente con el mismo valor que el absoluto pero después se determinó una ligera diferencia:

1 amperio internacional = 0,99986 amperios absolutos El voltio internacional se define como la diferencia de potencial sobre un ohmio internacional cuando circula por él una corriente de un amperio internacional.

1 voltio internacional = 1,00034 voltios absolutos 0 - C.6 - Campo creado por una espira circular. Sea una espira circular de radio a por la cual circula una corriente i, que entra y sale lateralmente por dos largos conductores paralelos que cancelan sus campos magnéticos. Calcularemos el campo en el centro de la espira. Cada elemento se encuentra en el plano Y-Z lo mismo que cualquiera de las distancias a al punto P desde cada elemento dl. El campo magnético resultante puede calcularse por integración de los vectores dB para cada elemento. El ángulo entre dl y a es de 90º por lo tanto:

dlai

4πμ

aθsendli

4πμdBB 2

02

0


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pero la última integral es la longitud de la circunferencia, luego:

ai

2μB 0

Consideremos ahora un punto sobre el eje de la espira pero no en su centro, figura siguiente. Los vectores dB no tienen todos la misma dirección sino que están sobre una superficie cónica cuyo vértice está en P. Habría que descomponer en cada uno de los tres ejes, pero vemos que por simetría las componentes perpendiculares al eje X se anulan entre sí, de forma que solo se suman las componentes dB sen , a lo largo del eje X. El ángulo q formado por cada elemento dl y su correspondiente r es de 90º. Luego:

3/222

20

3

20

20

baai

2rai

2r sen sendli

4sendBB

μμβθπ

μβ

Los cálculos realizados sobre los puntos no situados sobre el eje sólo pueden expresarse por series infinitas, pero cuando la

dB

dl

a

Z

Y

X

P

i i

dB sen

dB

dl

a

Z

Y

P

i

i b

r

90º


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distancia del punto es larga comparada con el radio de la espira las ecuaciones son más sencillas, pudiendo ponerse:

3r rθcos2M

4π1B

3θ rθsenM

4π1B

donde M es el momento magnético de la espira que está dado por: AiμM 0

donde A es el área encerrada por la espira. Estas ecuaciones son similares a la de las componentes de campo eléctrico creadas por un dipolo de momento P. Cerca del dipolo o la espira la analogía desaparece. En el punto C.3 encontramos que el par ejercido sobre una espira que conduce una corriente eléctrica era:

= i A B sen Utilizando el concepto de momento magnético podemos escribir:

= (1/0) M B sen Si en lugar de una espira tenemos una bobina de N espiras apretadas, todas aproximadamente del mismo diámetro, las ecuaciones de campo sobre el eje del solenoide se convierten en:

aiN

2B 0μ

para el centro de la bobina, y:

3/222

20

baaiN

2B

μ

para otros puntos sobre el eje. 0 - C.6.1 - Campo en un solenoide. Un solenoide es un conjunto de espiras de igual diámetro, arrolladas una al lado de la otra formando un cilindro. La densidad de flujo producida en cualquier punto es la suma geométrica de los efectos de todas las espiras. Para encontrar el valor correspondiente para un solenoide de longitud l y con N espiras en un punto P en su eje, consideraremos un elemento longitudinal del solenoide dx, a una distancia axial x del punto P. El número de espiras por unidad de longitud es N/l, y el número de espiras en la longitud dx es (N/l)·dx. Admitimos que

dx x

a

P

l


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cada espira está en un plano perpendicular al eje, con lo que podemos escribir:

dx

baai

lN

2μdB 3/222

20

Utilizando como variable independiente al ángulo en lugar de x, se tiene que:

deccosadx,cotax 2

y:

cosβcosαl

iN2

μdsenl

iN2

μB 0α

β

0

Esta ecuación puede aplicarse a cualquier punto del eje, interior o exterior al solenoide. En cualquier punto interior, no muy cercano a los extremos, es =0º y =180º con lo cual resulta:

liNB 0μ

Y en los extremos resulta =0º y =90º, o viceversa, con lo cual:

liN

2B 0μ

La densidad de flujo en los extremos es la mitad que en el centro, sin embargo el campo es muy aproximadamente constante, excepto en los extremos, las líneas de inducción entran y salen del solenoide en regiones relativamente pequeñas próximas a los extremos. La ecuación relativa al interior del solenoide es muy aproximada para cualquier punto dentro del mismo no solamente para los ubicados en el eje. Si el eje del solenoide lo curvamos de forma tal de obtener una circunferencia se obtiene el denominado toroide, prácticamente todo el flujo se confina al interior y la densidad de flujo en cualquier punto del interior del mismo es:

liNB 0μ

donde l es la longitud de la circunferencia media del toroide. Utilizaremos ahora el concepto de la integral curvilínea para calcular la densidad de flujo en el interior del toroide. Para ello consideraremos como línea la circunferencia media del toroide. La superficie encerrada es la sombreada en el dibujo siguiente. Cada una de las N espiras atraviesa la superficie una sola vez, y la corriente total que la atraviesa es N·i. La inducción a lo largo de la trayectoria es paralela a ella y, por sime- tría, es constante en todos los puntos. Si representamos con B a la inducción y por l la longitud de la trayectoria, la integral curvilínea vale, entonces,


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B·l y por ende: iNμlB 0

y despejando:

liNB 0μ

que coincide con la anterior para el solenoide. 0 - C.7 - Campo creado por una carga puntual móvil. Tenemos que la inducción magnética en los puntos que rodean un elemento de corriente está dada por la expresión:

20

rsendli

4dB θ

πμ

Hemos demostrado que la corriente está determinada por la ecuación:

Avqni

con n el número de cargas móviles por unidad de volumen, q la carga de cada una, y v su velocidad común. Además es:

dlAvqndli

pero nqAdl es la cantidad de carga en el elemento que podemos escribir como dq. Reescribiendo:

20

rsendqv

4dB θ

πμ

y por ello:

20

rsenqv

4B θ

πμ

siendo q el ángulo formado por v y r, y B perpendicular al plano formado por v y r. Si las cargas son varias tendremos (suma geométrica):

20

rsenqv

4B θ

πμ

La fuerza sobre una carga q' es:

senBv'q'F

siendo j el ángulo formado por v' y B, y F perpendicular al plano determinado por v' y B. Combinando las ecuaciones encontramos:

20

rsenq'v'senqv

4F

θ

πμ

mag

para la fuerza de origen magnético, mientras que, para la fuerza de origen eléctrico, teníamos:

20

elec rq'q

ε4π1F

Para desarrollar la teoría de la electricidad y del magnetismo se puede partir de estas dos últimas ecuaciones que podemos descomponer en:


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senq'v'

rsenqv

4F 2

0 θπ

μmag

q'rq

ε4π1F 2

0elec

Los dos primeros corchetes se refieren únicamente a la carga q y son los que se han descriptos como campos creados por esa carga, y los segundos a la carga q'.

20

rθsenqv

4πμB

20 r

q4

1Eεπ

con lo que llegamos a expresiones resumidas: senq'v'BFmag

q'EFelec


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Parte D: INDUCCIÓN 0 - D.1 - Fuerza electromotriz inducida. Supongamos tener un campo magnético uniforme, perpendicular al plano del papel, y consentido hacia adentro. Además tenemos un conductor de longitud l, paralelo al papel. Si ponemos en movimiento al conductor hacia la derecha, con una velocidad v, perpendicular al conductor y al campo, cada partícula cargada del conductor experimentará, según lo visto, una fuerza dada por:

vBqF

dirigida a lo largo del conductor, con sentido hacia arriba para las cargas positivas y hacia abajo para las negativas. Los electrones libres se moverán en función de la fuerza que actúa sobre ellos hasta que la acumulación de cargas en los extremos establezca un campo electrostático que compense la fuerza sobre ellos. Imaginemos, como muestra la figura, que el conductor se desliza sobre otro fijo en forma de U. Sobre las cargas de este conductor no se ejerce ninguna fuerza por el campo magnético, pero dado que se encuentra en el campo electrostático del conductor móvil se establecerá una corriente con el sentido convencional indicado. Esta corriente permite descargar los extremos del conductor móvil cuyas cargas libres pueden continuar siendo desplazadas por el efecto del campo magnético. El conductor móvil se comporta como un generador de fuerza electromotriz por inducción. Se dice que se ha inducido una fuerza electromotriz. La fuerza electromotriz se ha definido como la razón del trabajo realizado sobre la carga circulante a la cantidad de carga desplazada que pasa por un punto del circuito. Si i es la intensidad de la corriente circulante se ejerce una fuerza hacia la izquierda sobre el conductor móvil por el campo siendo necesaria una fuerza exterior para mantener su movimiento. La fuerza sobre el conductor móvil es:

BliF

i

i

i

i

v l

a

b


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La distancia recorrida en el tiempo dt es:

dtvds

El trabajo realizado es entonces: dtvBlidsFdW

Pero el producto de la corriente por el diferencial del tiempo es el diferencial de la carga transportada, por ello:

dqBlvdW

y la fuerza electromotriz es: BlvdW/dqε

Si B se expresa en wb/m2, l en metros y v en m/seg, la fem resulta en julios por culombio, o voltios. Los sentidos relativos de la fem, el campo y el movimiento pueden recordarse por la regla de la mano derecha: el pulgar es el movimiento, el índice el campo y el medio la corriente, si los tres están perpendiculares entre sí. 0 - D.1.1 - Ley de Faraday y Lenz. La fem podemos evaluarla desde otro enfoque. Mientras el conductor se ha movido hacia la derecha una distancia ds, el área abarcada por el circuito cerrado abcd ha disminuido en:

dsldA y la variación del flujo magnético que atraviesa la superficie limitada por el circuito ha sido:

dsBldABdΦ Dividiendo los dos miembros de la ecuación por dt, obtenemos:

vBldtdsBl

dtdΦ-

Pero el producto resultante es igual a la fem inducida, luego:

dtdΦ-ε

Esta ecuación establece que la fuerza electromotriz inducida en el circuito es igual a la derivada respecto del tiempo, cambiada de signo, del flujo que lo atraviesa. Esta es la ley de

i

i

i

i

v l

a

c b

d ds


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Faraday-Lenz, donde es preciso establecer que Lenz contribuyó diciendo que el sentido de una fem inducida es tal que se opone a la causa que la produce, es decir le puso el signo menos a la relación establecida por Faraday. Esta oposición hay que interpretarla como que es respecto a la variación del flujo y no al flujo mismo. 0 - D.2 - Autoinducción. En el estudio anterior de la inducción partíamos de un campo magnético existente creado por algún dispositivo externo. En la realidad siempre que circula una corriente por un circuito se crea un campo magnético ligado a su propio circuito y que varía cuando la corriente lo hace. Como consecuencia, en cualquier circuito en el que varíe la corriente, se induce una fem a causa de la variación de su propio campo. Esta fem se denomina fuerza electromotriz autoinducida. El número de líneas de fuerza ligadas a un circuito dado, debidas a la intensidad de la corriente que pasa por él, dependerá de la forma, dimensiones, número de espiras, etc. La densidad de flujo en un punto cualquiera es proporcional a la intensidad de la corriente por lo tanto el flujo también lo es. Luego:

iKΦ siendo K dependiente del circuito. Si el circuito tiene N espiras y todo el flujo atraviesa cada espira, deducimos que:

dtdiKN

dtdN Φε

Como dijimos N y K son particulares y constantes para cada circuito por lo que podemos reescribir la ecuación como:

dtdiKN

dtdN Φε

La constante L se denomina coeficiente de autoinducción, simplemente autoinducción o inductancia del circuito. Cuando e se expresa en voltios y di/dt en amperios por segundo, la inductancia me mide en henrios [Hy]. El coeficiente de autoinducción de un circuito es un henrio si se induce en él una fem de un voltio cuando la corriente varía a razón de un amperio por segundo. Podemos igualar las expresiones:

dtdiL

dtdN Φ

de lo que se deduce que: diLdN Φ

y por lo tanto:

iNL Φ

Puede entonces definirse la inductancia como el flujo ligado por unidad de intensidad de corriente. En el sistema MKS número de webers-vueltas por amperio.


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NOTAS Y COMENTARIOS


CAPÍTULO I

FUNDAMENTOS

Parte A: MODELOS Parte B: LEYES DE OHM Y KIRCHHOFF Parte C: CIRCUITOS EQUIVALENTES Parte D: TEOREMAS DE CIRCUITOS Parte E: DUALIDAD




Teoría de los Circuitos I - Ing. Jorge M. Buccella - Capítulo I

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ÍNDICE Parte A: MODELOS 3 A.1 Introducción 3 A.2 Elementos de los modelos 3 A.3 Ejemplo de modelos 8 Parte B: LEYES DE OHM Y KIRCHHOFF 9 B.1 Introducción 9 B.2 Ley de Ohm 9 B.3 Primera ley de Kirchhoff 12 B.4 Segunda ley de Kirchhoff 13 B.5 Aplicaciones: Divisores de tensión y corriente 14 Parte C: CIRCUITOS EQUIVALENTES 17 C.1 Definición 17 C.2 Elementos de un solo tipo en serie 17 C.3 Elementos de un solo tipo en paralelo 20 C.4 Transformación de Kennelly (Y-) 22 C.5 Cálculo de la resistencia equivalente 25 C.6 Circuitos equivalentes de generadores reales 29 Parte D: TEOREMAS DE LOS CIRCUITOS 33 D.1 Teorema de la superposición 33 D.2 Teoremas de Thèvenin y Norton 34 D.3 Teorema de la substitución 37 D.4 Teorema de la reciprocidad 37 Parte E: DUALIDAD 39 E.1 Intriducción 39 E.2 Dualidad analítica 41 E.3 Dualidad gráfica 43 TOTAL: 44 páginas


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Parte A - MODELOS I - A.1 - Introducción. Las características operativas relevantes de un elevado porcentaje de los aparatos eléctricos se describen en forma adecuada mediante el conocimiento de tensiones y corrientes como funciones del tiempo en puntos o pares de puntos adecuadamente elegidos. Un amplificador electrónico queda caracterizado en función de sus relaciones entre la tensión y la intensidad de corriente en los pares de terminales específicos de entrada y salida; una lamparita eléctrica por la relación tensión-corriente entre sus terminales. Un dispositivo podría exigir conocer fenómenos mecánicos u ópticos relacionados con los eléctricos, sin embargo es conveniente separar los estudios de problemas no eléctricos de los puramente eléctricos. Puede ser necesario, además, hacer idealizaciones y aproximaciones simplificativas a fines de reducir las características eléctricas a términos razonables. Cuando así lo hacemos la representación resultante del aparato original de describe generalmente con el término circuito eléctrico o red. Tenemos entonces los elementos para definir lo que consideraremos un modelo circuital: una red que representa en forma más o menos simplificada el comportamiento eléctrico de un dispositivo. También puede ser el circuito mismo lo que es representado, por ejemplo un filtro. Es fundamental acompañar a la definición de cada modelo las condiciones de validez: especificar las condiciones para las cuales el modelo describe con una aproximación, o margen de error, dada, las características del dispositivo. Por ejemplo: intervalo de frecuencias, niveles de señal, tipo de servicio, etc., incluso puede ser necesario indicar condiciones de temperatura o presión ambiente. De esa forma quien quiera utilizar el modelo podrá sacar conclusiones válidas o, simplemente, descartarlo por no adecuado. Así como podemos establecer un modelo circuital también se establecen modelos matemáticos que consisten en una ecuación, o sistema de ecuaciones, que permiten evaluar formalmente y numéricamente el comportamiento del modelo circuital dado. I - A.2 - Elementos de los modelos. Dominantes por su efecto sobre la tensión y corriente de un circuito eléctrico son sus propiedades de almacenamiento y disipación de energía. Este almacenamiento tiene lugar en los campos eléctricos y magnéticos asociados con las redes, mientras que la disipación está casi siempre asociada a la resistencia al flujo de carga eléctrica en los conductores. Aunque los efectos están físicamente superpuestos en la totalidad de los dispositivos reales, la idealización permite frecuentemente asignarlos a porciones independientes del sistema físico, y considerar a estas porciones de tamaño despreciable. Las cargas en movimiento originan señales eléctricas que se propagan con velocidad finita, generalmente igual, o cercana, a la


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velocidad de la luz. Al considerar despreciables los tamaños podemos aceptar que todos los fenómenos eléctricos ocurren instantáneamente, ignorando los efectos de la propagación. Estas partes se llaman parámetros concentrados, y pueden ser de tres tipos: de resistencia o disipativos; inductivos, asociados a los campos magnéticos; y capacitivos, asociados a los campos eléctricos. La realización física de estos elementos está representada en las resistencias, las bobinas o inductancias, y los condensadores o capacitores. Es importante asentar que estas realizaciones físicas no son representaciones exactas de los elementos del circuito ya que éstos son, por definición, puros y los elementos reales tienen en general los tres efectos. Los indeseables se denominan parásitos, por ejemplo la resistencia del conductor y la capacidad distribuida en una bobina. El elemento físico puede en este caso ser representado utilizando sólo una bobina ideal si los componentes parásitos son despreciables para la aplicación del modelo, pero también puede hacerse una mejor aproximación agregando componentes ideales en forma tal que tengan en cuenta esos efectos, indeseables, pero existentes. La relación entre la tensión aplicada y la corriente que circula por un elemento, que se denomina relación volt-ampere, es en la mayoría de los casos lineal (entre límites razonables de funcionamiento que hacen a la validez del modelo), y la constante de proporcionalidad apropiada se designa como "valor" del elemento. Hay dispositivos en los cuales el valor de los elementos de las redes son funciones de la tensión aplicada a los mismos o de la corriente que circula por ellos. Por ejemplo una bobina con núcleo de hierro representa un elemento inductivo cuyo valor depende de la corriente que circula por ella. Tales elementos se dice que son alineales porque la tensión no es linealmente proporcional a la corriente asociada (o a la integral o derivada de la misma, según corresponda). Es muy importante distinguir las redes que tienen tales elementos de las que no los tienen, y reconocer diferencias esenciales en sus características de respuesta, porque estas diferencias forman la base sobre la cual se efectúa la elección de los tipos específicos de elementos en la utilización práctica de los circuitos. Existen algunos dispositivos, lineales o no, cuyas propiedades transmitivas de tensión o corriente dependen de su orientación con respecto a los puntos de excitación u observación. Estos dispositivos se denominan unilaterales, los que, por el contrario, no presentan este comportamiento se designan como bilaterales. Otra importante distinción que guarda relación con el comportamiento de la red es establecer si tiene o no fuentes de energía, o modifica otras distintas de las explícitamente dadas por la excitación asociada. En caso que así sea es esperable que obtengamos más potencia que la puesta en la red, o tener una respuesta continua incluso en ausencia de entrada de energía. Cuando la red contiene tales fuentes de energía, y lo modifica a otras, se denomina activa; caso contrario, pasiva. La red finita, concentrada, lineal, bilateral y pasiva es la más simple de las redes con respecto a los métodos de análisis


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necesarios para el estudio de su comportamiento en distintas condiciones de funcionamiento. Nuestro desarrollo está restringido en particular a la comprensión de los aspectos físicos y matemáticos de este tipo de redes, incluyendo algunas redes activas. Las redes lineales pasivas se distinguen entre sí por la clase de elementos que contienen y por la manera de estar interconectadas. Tenemos así redes de un tipo, por ejemplo de resistencias solamente, en las cuales no se manifiestan los efectos de capacidad ni de inductancia; de dos tipos, por ejemplo L-C que no presentan efectos disipativos; y finalmente la red R-L-C que es el caso más general. Podemos establecer entonces los tres componentes ideales con los que trabajaremos: la resistencia, puramente disipativa; la inductancia, con efectos inductivos (campo magnético) puros; y el capacitor con efectos capacitivos (campo eléctrico). Estos tres elementos, insistimos, son puros: cada uno de ellos carece totalmente de los efectos que presentan los otros dos. Para que funcionen los dispositivos deben estar alimentados por alguna fuente de energía externa, si son pasivos, o interna, si son activos. Esas fuentes pueden tener características distintas: algunas, la mayoría, tienden a mantener una diferencia de potencial en bornes más o menos independiente de lo que se conecte en ellos, por ejemplo una pila o batería; otras, algunos dispositivos electrónicos, tienden a mantener constante la corriente que circula por sus terminales. A estas fuentes las denominamos generadores, las primeras de tensión y a las otras, de corriente. A estos elementos activos los idealizaremos también en nuestros circuitos y así tendremos generadores ideales de tensión: que suministran, en forma totalmente independiente de lo que esté conectado en sus terminales, una tensión perfectamente definida; y generadores ideales de corriente: que aseguran, en cualquier condición, el suministro de un flujo conocido de corriente eléctrica. El comportamiento de los generadores prácticos no es ideal y, si las condiciones de funcionamiento no admiten considerarlos como tales, se asociarán con otros elementos (pasivos y/o activos) para mejorar la aproximación del modelo. Tenemos, entonces los cinco tipos de elementos con los cuales construiremos nuestras redes, tres pasivos: resistencias, inductancias y capacitores; y dos activos: generadores de tensión y generadores de corriente. Todos ellos ideales o, de otra forma, puros. A estos elementos los indicaremos circuitalmente con símbolos gráficos como los siguientes, pero se aclara que no están completamente normalizados y en distintas publicaciones se pueden encontrar otros símbolos que indiquen, además, características particulares (construcción, capacidades disipativas, propiedades, etc.): Resistencia o Inductancia Capacidad o conductancia elastancia


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Generador de tensión Generador de corriente Luego indicaremos el porqué de los signos y de la flecha en los generadores. En los modelos matemáticos a la resistencia la señalaremos con R y su recíproca la conductancia, que tiene el mismo símbolo gráfico, la indicamos con G. A la inductancia con L y su recíproca, que no tiene nombre en especial con (gamma o L invertida). A la capacidad con C y a su inversa, la elastancia, con S. Las corrientes serán identificadas con la letra i y las tensiones en general con e, v o u. En ambos casos minúsculas o mayúsculas. Todos tienen dos terminales, o bornes, (por lo que se denominan dipolos) que nos permiten su conexión con otros, ya sea directamente o a través de conductores que también consideraremos ideales, es decir sin ningún efecto o pérdida, y que serán representados por trazos continuos (rectos, quebrados o curvos) según convenga para el dibujo. En forma genérica a estos dipolos, y a los que obtengamos por distintas combinaciones de ellos, los graficaremos como un rectángulo con dos terminales. La conexión entre dos de ellos puede hacerse de dos formas: a) Poner uno a continuación del otro, uniendo un terminal de cada uno, formando un nuevo dipolo cuyos terminales son los que han quedado libres en los dos elementos. Esta conexión se denomina en serie y en ella la corriente atraviesa un elemento a continuación del otro para recorrer el montaje. b) Poner uno al lado del otro, uniendo ambos terminales de cada uno con los del otro, el nuevo dipolo tiene los dos terminales de cada elemento. Esta es la conexión que se denomina en paralelo y en ella la tensión aplicada al montaje es la misma que queda aplicada a ambos elementos. Este tipo de conexiones puede extenderse a cualquier número de elementos independientemente que sean del mismo tipo o distintos. La unión de dos, o más, elementos constituye un punto de acceso a la red para, por ejemplo, medir o evaluar su diferencia de

+ - E I


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potencial con otro. Estos puntos los denominaremos nodos, o nudos. Estos nodos se designan por letras o números para distinguirlos entre ellos. Denominaremos rama al elemento, o conjunto de elementos que configuren una subred de dos terminales, que queda definido entre dos nodos consecutivos. Al recorrer varios elementos de una red, tal como si fuéramos portadores de cargas, podemos establecer caminos que partiendo de un nodo vuelvan al mismo sin pasar dos veces por un mismo elemento; tales caminos cerrados son llamados mallas o bucles. En el circuito genérico dibujado a continuación podemos distinguir todos estos ítems de la red, recordando que los rectángulos indican dipolos genéricos, activos o pasivos, simples o complejos. Los nodos están indicados por los puntos negros identificados por letras minúsculas; los puntos h y g se indican como nodos aunque no hay a la vista ninguna unión, porque son los puntos de conexión de la red con el exterior, ya sea para recibir alguna señal si es pasiva, o suministrarla, y/o interactuar con ella, si es activa. Las ramas son todos los dipolos comprendidos entre dos nodos y se pueden identificar por ellos, por ejemplo: la rama f-d, la rama b-l, etc. También podríamos indicar que es una rama, de una red mayor, todo lo conectado entre el nodo h y el g ya que constituye un dipolo (esto es válido si no hay ninguna conexión con el exterior en otro nodo de la red). Finalmente podemos señalar como mallas los caminos cerrados que podemos encontrar recorriendo la red. Por ejemplo: partir del nodo j pasar al k, luego al c, después al d, al f y finalmente retornar al j; esto indicaría la malla j-k-c-d-f-j. También tenemos la malla que señalaríamos como k-l-b-c-k, o la j-k-l-a-b-c-d-f-j. Es suficiente que el recorrido pase por una rama distinta a las recorridas previamente para que la malla sea otra. El hecho de cambiar de nodo de partida (y llegada) o el sentido del recorrido no implica definir otra malla porque los elementos constituyentes son los mismos.

a

b

c d f g

h j k l


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I - A.3 - Ejemplo de modelos. Tomemos como elemento real un calefactor de los llamados de cuarzo. Físicamente consiste en un alambre enrollado en forma de bobina, o resorte, dentro de un tubo de cristal de cuarzo que le sirve de soporte y protección. El modelo más simple es una resistencia eléctrica, pero sólo es válido para una frecuencia baja y en condiciones estables de temperatura (la diferencia entre la resistividad del alambre en frío y a la temperatura normal de trabajo puede ser muy importante en determinado análisis). La segunda modelización, para frecuencias algo más altas, es incorporar el efecto de inductancia del arrollamiento. Esto implica agregar a la resistencia del modelo anterior (con las mismas observaciones) una inductancia, usualmente en serie. Otra opción es incorporar el efecto capacitivo, para frecuencias aún más altas, en paralelo con el montaje anterior. Esto nos muestra que a partir de un elemento real muy simple (aparentemente) podemos desarrollar diversos modelos. Pero no debemos olvidar que tanto, o más, importante que establecer las diferencias entre ellos es especificar las razones que motivaron su ejecución. Es decir, deberemos indicar siempre las condiciones para las cuales el modelo es válido.

Primer modelo Segundo modelo Tercer modelo

R

R R

L

L

C


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Parte B - LEYES DE OHM Y KIRCHHOFF I - B.1 - Introducción Como se supone que todo estudiante de Teoría de los Circuitos debe tener aprobado los temas de electricidad y magnetismo de los cursos de Física, vamos a trabajar presentando estas leyes de fundamental importancia sin demostración, pero poniendo especial énfasis en su aplicación: cómo, cuándo y dónde. (Se repasan los conceptos básicos de electromagnetismo en el Capítulo 0). Las leyes, tal como las vamos a plantear, son de aplicación en circuitos lineales, de constantes concentradas; que tienen, además, un tamaño tal que puede aceptarse que la propagación de energía se realiza en tiempo cero, lo que implica que son de dimensiones despreciables con respecto a la onda de menor longitud con la que trabajamos. De no cumplirse esto las expresiones pueden cambiar ya que los elementos no tendrán la característica de conservar su resistencia, inductancia o capacidad, en forma independiente de la tensión o corriente aplicada. Y/o deberán utilizarse componentes distribuidos y ecuaciones de propagación en el tiempo. I - B.2 - Ley de Ohm Las expresiones de la ley de Ohm pueden ponerse como:

t

0S

t

SSL

LRR dtiS)0(qSdtiSedt

diLeiRe

o como:

t

0

tC

CGG dte)0(dteidt

deCieGi

Donde indicamos con S a la elastancia, inversa de C (la capacidad); es la inductancia recíproca, inversa de L (la inductancia); y G la conductancia, inversa de R (la resistencia). q es la carga eléctrica en el capacitor:

t

S dti)t(q

Y indica los enlaces de flujo magnético en la inductancia:

t

dte)t(

Vemos que todas las relaciones de la ley de Ohm vinculan corrientes con tensiones. Específicamente la corriente que circula por un dipolo con la tensión en los terminales de ese mismo dipolo.


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Estas relaciones son denominadas por ello relaciones volt-amper y constituyen las ecuaciones de ramas de una red. La condición fundamental para la aplicación de estas ecuaciones es la relación entre la polaridad de la tensión y la corriente circulante por el elemento: La corriente debe entrar por el terminal positivo de la tensión, es decir debe circular de + a - para que el signo de la ecuación sea positivo. La no correspondencia con esta convención general debe señalarse con el signo negativo. Esto nos está poniendo el aviso de que podríamos obtener valores negativos de tensiones o corrientes, lo que pasamos a explicar. La corriente es un flujo de cargas por lo tanto implica un movimiento del que debe indicarse su dirección, que obviamente es la del conductor, y su sentido. Este sentido lo indicamos con una flecha, o con el orden de los subíndices con que nominamos a la misma y que son el nombre de los terminales del elemento, y el signo sólo nos sirve para señalar si la corriente circula con ese sentido o con el contrario. Podemos considerar a la corriente como un vector especial que tiene una sola dirección pero dos sentidos posibles. Con la tensión ocurre algo similar, es una diferencia de potencial eléctrico entre dos puntos (terminales) de un circuito y debemos indicar cuál de ellos es el de mayor potencial. Esta polaridad la indicamos con los signos + y -, o con el orden de los subíndices con que nominamos a la misma y que son el nombre de los terminales del elemento, y el signo sólo nos sirve para señalar si la tensión tiene esa polaridad o la contraria. Podemos considerar a la tensión también como un vector especial que tiene una sola dirección pero dos sentidos posibles. Suele indicarse la polaridad también con una flecha con el sentido de negativo a positivo, en particular en los generadores. Si la corriente y la tensión tienen sentido y polaridad conforme con lo antedicho significa que el elemento es un elemento que está actuando pasivamente, caso contrario es un elemento activo que suministra energía a la red. Un generador tiene por ello los dos sentidos, indicados por flechas, iguales. En particular no utilizaremos las flechas para las tensiones por cuanto no siempre los generadores actúan como tales en una red, por ejemplo la batería del automóvil es un elemento activo cuando suministra energía al vehículo, pero es un consumo cuando está siendo cargada por el alternador o por la dínamo. Otra consideración no menos importante, en particular cuando evaluamos numéricamente un resultado, es dejar en claro las unidades con las que trabajamos.

a b + -

iab

vab


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Para la resistencia se utilizará el ohmio [], mientras que

para la conductancia, su recíproca, el mho [℧] o siemens [S]. Para la inductancia usamos el henrio [Hy] y para la capacidad el faradio [Fd] y los recíprocos, que no tienen nombre especial, para las inversas [Hy-1] y [Fd-1]. Dadas las condiciones anteriores la tensión vendrá expresada en voltios [V] y la corriente en amperios [A]. Es conveniente utilizar la notación de ingeniería (un número decimal multiplicado por 10 elevado a un exponente, positivo o negativo, múltiplo de tres) para los valores pequeños o grandes. No se utilizan potencias de diez que no sean divisibles por tres porque esta alternativa tiene la precisión más que suficiente y, además (y por ello), no hay designados nombres especiales para esos submúltiplos y múltiplos de las unidades nominales. Los submúltiplos y múltiplos mas utilizados pueden sintetizarse en la tabla siguiente:

Factor Símbolo Nombre Factor Símbolo Nombre

10-3 m mili 103 K Kilo

10-6 micro 106 M Mega

10-9 n nano 109 G Giga

10-12 p, pico 1012 T, Tj Tera

10-15 a atto

10-18 f femto

Una aclaración importante es la siguiente. En el estudio de la Física se hace muchas veces la distinción entre tensión, que se aplica a los generadores, y caída de tensión, que se aplica a los elementos. Esos conceptos están, para nuestro desarrollo, incluidos en el concepto del signo, esto es mucho más general por cuanto, como ya dijimos, las condiciones particulares de una red pueden hacer que un generador sea fuente o consumo. Esta condición la conocemos cuando tenemos resuelto el circuito y no antes, salvo casos muy simples. Por otra parte cuando estudiemos la respuesta de los elementos en función del tiempo vamos a comprobar que en determinados intervalos los elementos pasivos capaces de almacenar energía la devuelven a la red y actúan como generadores. En conclusión consideraremos, a todos los efectos una diferencia de potencial como una tensión sin ninguna discriminación en particular. La polaridad de esta tensión en relación al sentido de la corriente entre ese mismo par de terminales nos dirá si, en esas condiciones y en ese momento, el dispositivo actúa como generador o consumo, independientemente de que si, intrínsecamente, es activo o pasivo. Al comienzo de la sección escribimos expresiones de respuesta de tensión en función de la corriente, y las recíprocas, que son bien distintas para la resistencia, la inductancia y la capacidad. En la primera parte de este capítulo dijimos, además, que los


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dipolos pueden estar formados por subredes más o menos complejas compuestas de distintos tipos de elementos. Es de esperar que la combinación de ellos no nos dé como parámetro una resistencia, inductancia o capacidad puras por lo que introduciremos ahora el concepto, que luego explicitaremos y justificaremos ampliamente, de impedancia como la "resistencia" resultante de la combinación de elementos de distinto tipo. A esta impedancia evaluada en general con la misma unidad de la resistencia, el ohmio, la indicaremos con la letra Z; su recíproca es la admitancia indicada con la letra Y y medida en mhos o siemens. I - B.3 - Primera Ley de Kirchhoff Esta ley es una expresión de balance energético aplicado en un punto de la red eléctrica, las expresiones resultantes de su aplicación constituyen las ecuaciones de nodo de la red. Esta ley nos dice que la suma de todas las corrientes que llegan a un nodo en un instante dado, debe ser igual a la suma de todas las que salen en ese mismo instante. Si no fuera así tendríamos un excedente de corriente en alguno de los sentidos; su integral en el tiempo nos determinaría una cantidad de carga eléctrica que se acumularía en, o que saldría de, el nodo bajo análisis. Diríamos entonces que ese nodo es un sumidero o una fuente de cargas, lo que se opone al concepto de conservación de la energía. Para evaluar esta ley es importante indicar si cada corriente en particular entra o sale; la mejor forma, tal como haríamos en un balance contable, es indicar con un signo positivo las que entran (o las que salen), y con el negativo las que salen (o las que entran), de esta manera el balance estará dado por la suma algebráica de todas ellas. El signo del resultado, junto con la convención elegida para el caso nos dirá si el desbalance es en el sentido de las que entran o de las que salen. En resumen diremos que, en una red conservacionista y, como dijimos cuando hablamos de modelos, puede aceptarse que su tamaño es despreciable respecto a la menor longitud de onda de trabajo, la Primera Ley de Kirchhoff quedará expresada como:

0in

1j

j

donde las ij son las corrientes que concurren al nodo con un signo que nos indica si entra o sale, sin importar la correspondencia con positivo y negativo, y n es el número total de corrientes. Sintéticamente la indicaremos como i = 0. Ejemplo: En este caso se asumió como positivas las corrientes entrantes y negativas las salientes. Observemos que al reemplazar los valores numéricos hemos conservado los signos correspondientes tanto el que le corresponde por el hecho de entrar o salir y el que indica su sentido con respecto a la flecha de referencia.


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I - B.4 - Segunda ley de Kirchhoff Esta segunda ley se refiere también a un balance pero referido no a un punto de la red sino a la circulación por un camino cerrado dentro de ella, es decir se refiere a una malla y a las tensiones que se desarrollan en ella, sus expresiones constituyen las ecuaciones de malla de la red. Nos indica que, en una red con las mismas características indicadas para la primera ley, la suma de todas las tensiones que encontramos al recorrer una red partiendo de un punto y volviendo al mismo, debe estar compensada. Es decir que la diferencia de potencial debe ser cero. De no ser así bastaría con circular por la red para tener una fuente o un sumidero de tensión o de energía en forma de enlaces de flujo en un campo magnético. Para evaluar esta ley debemos establecer un par de convenciones que pueden ser elegidas arbitrariamente en cada caso en particular. Una es el sentido con el cual recorreremos la malla partiendo de un nodo dado y volviendo al mismo, y la otra es como se evaluarán las tensiones que vayamos encontrando. En este caso podemos asumir que el signo positivo será aplicado cuando la tensión analizada aumenta el potencial que llevamos, es decir que encontramos primero (en el sentido del recorrido) el terminal negativo de la tensión; o bien el contrario. El cambio de cualesquiera nos dará como resultado una ecuación con todos los signos cambiados pero igualmente válida. En resumen diremos que, en una red conservacionista y, como dijimos cuando hablamos de modelos, puede aceptarse que su tamaño es despreciable respecto a la menor longitud de onda de trabajo, la Segunda Ley de Kirchhoff quedará expresada como:

0en

1j

j

donde las ej son las tensiones que encontramos al recorrer la malla con un signo que nos indica si aumenta o disminuye el potencial que llevamos, sin importar la correspondencia con el positivo o el negativo, y n es el número total de tensiones. Sintéticamente la indicaremos como e = 0.

ia ib

ic id

ie

+ ia - ib - ic - id + ie = 0 Si: ia = 5A; ib = -3A; ic = 6A; id = 5A e ie = 3A será: + 5A + 3A - 6A - 5A + 3A = 0A


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Ejemplo: Cuando reemplazamos las expresiones literales por los valores numéricos debemos tener en cuenta lo mismo que dijimos para el caso de la Ley de Ohm y de la Primera de Kirchhoff, conservar ambos signos. Por ejemplo si: e1 = -5V; e2 = 4V; e3 = -16V; e4 = -8V y e5 = -1V será: 1 - 5 - 4 + 16 - 8 = 0V. I - B.5 - Aplicaciones: Divisores de tensión y corriente. Los ejemplos de aplicación de las tres leyes estudiadas más arriba sirven para ir tomando contacto con los procedimientos que emplearemos en todo el curso de teoría de los circuitos. La división de tensión ocurre cuando una fuente dependiente o independiente de tensión se conecta en serie con dos resistencias (o impedancias en el caso general). Analicemos el circuito siguiente: En este circuito no hay nada conectado en los terminales. Por ello no puede salir ni entrar ninguna corriente. Conforme con la 1ª ley de Kirchhoff la corriente i es la misma en todos los elementos de la red que queda conformada por la malla donde, por la 2ª ley podemos escribir: v - v1 - v2 = 0 Por la ley de Ohm es: v1 = R1 i, y v2 = R2 i, combinando las dos expresiones: v = (R1 + R2)i de donde resulta que: i = v /(R1 + R2) Lo que lleva a escribir: v1 = R1 v /(R1 + R2) y v2 = R2 v /(R1 + R2)

- e1 e2

e3

e4

e5

+ +

+ +

+

-

-

- -

- e5 + e1 - e2 - e3 + e4 = 0 Hemos utilizado la rotación en sentido horario y considerado al signo de la polaridad que encontramos primero como signo de la tensión evaluada. Es decir que las tensiones que decrecen el potencial a medida que las evaluamos son positivas.

v

-

+ v1

v2

R1

i

R2

+

+

-

-


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En resumen la tensión en cada resistencia es directamente proporcional a la resistencia por la tensión de alimentación e inversamente proporcional a la suma de ambas resistencias. La división de corriente ocurre cuando una fuente dependiente o independiente de tensión se conecta en serie con dos conductancias (o admitancias en el caso general). Por ejemplo: En este circuito no hay nada conectado en los terminales. Por ello no puede salir ni entrar ninguna corriente. Conforme con la 2ª ley de Kirchhoff la tensión v es la misma en todos los elementos de la red por estar en paralelo. El conductor superior, tanto como el inferior, conforman puntos equipotenciales que constituyen nodos. Allí por la 1ª ley podemos escribir: i - i1 - i2 = 0 Por la ley de Ohm es: i1 = G1 v, y i2 = G2 v Combinando las dos expresiones: i = (G1 + G2)v, de donde resulta que v = i /(G1 + G2) Lo que lleva a escribir: i1 = G1 i /(G1 + G2) y i2 = G2 i /(G1 + G2) En resumen la corriente en cada conductancia es directamente proporcional a la conductancia por la corriente de alimentación e inversamente proporcional a la suma de ambas conductancias. Esta similitud formal que obtuvimos con respecto al divisor de tensión es una característica llamada dualidad que analizamos con más detalle en la última parte del capítulo. A las expresiones que obtuvimos podemos ponerlas en función de la resistencia en lugar de la conductancia, recordando que son recíprocas.

1

121

21

2121 R

1Gy

RRRR

R1

R1

GG

reemplazando nos queda que: i1 = R2 i /(R1 + R2) y i2 = R1 i /(R1 + R2) En resumen la corriente en cada resistencia es directamente proporcional a la otra resistencia por la corriente de alimentación e inversamente proporcional a la suma de ambas resistencias. Con estos dos ejemplos podemos ir conociendo el uso de las tres leyes que, veremos a lo largo del curso, son suficientes para resolver cualquier circuito eléctrico.

v

i1 i2

G1 i

G2

+

-


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NOTAS Y COMENTARIOS


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Parte C - CIRCUITOS EQUIVALENTES I - C.1 - Definición Se denominan circuitos equivalentes a un par de redes que producen los mismos efectos sobre los elementos o circuitos que se conectan a ellas. Por ejemplo: Podemos decir que la red A es equivalente a la red B si ambas producen los mismos efectos cuando están conectadas a la red C, pudiendo la red C ser cualquier circuito. De otra forma A es equivalente a B si iA = iB y vA = vB (Si la red C es lineal una sola de las condiciones implica la otra). Destacamos que la equivalencia es la igualdad de efectos desde los terminales de la red para afuera y no en el interior de la red, aunque es evidente que dos redes iguales son naturalmente equivalentes. I - C.2 - Elementos de un solo tipo en serie. Dijimos que dos, o más, elementos están conectados en serie cuando están puestos uno a continuación del otro de forma tal que la corriente que atraviesa a uno de ellos necesariamente atraviesa a todos. Esto quiere decir que la corriente es la misma para todos ellos y, consecuentemente, también su derivada y su integral. Si tenemos resistencias conectadas en serie: Conforme con la segunda ley de Kirchhoff la tensión total en bornes debe ser igual a la suma de las tensiones sobre cada resistencia: v = v1 + v2 + ... + vn Reemplazando las tensiones por la ley de Ohm resulta: v = R1 i + R2 i + ... + Rn i Sacando como factor común a la corriente: v = (R1 + R2 + ... + Rn) i

+ iA

- vA A C

+ iB

- vB B C

+ v1 - + v2 - + vn -

R1 R2 Rn


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Lo que queda en el paréntesis es la suma de las resistencias del montaje que es, lógicamente, una resistencia que denominamos resistencia equivalente.

n

1j

jeq RR

La resistencia equivalente de un montaje de resistencias en serie está dada por la suma de las resistencias de todas las componentes. Si aplicamos una misma tensión a cualquier montaje que tenga la misma resistencia equivalente obtendremos la circulación de la misma corriente. Dentro del montaje la distribución de tensiones será distinta en función de las resistencias que lo compongan. Veamos el caso de las inductancias, para las cuales supondremos que no están acopladas magnéticamente: Conforme con la segunda ley de Kirchhoff la tensión total en bornes debe ser igual a la suma de las tensiones sobre cada inductancia, como para el caso anterior: v = v1 + v2 + ... + vn. Reemplazando las tensiones por la ley de Ohm resulta:

dtdi

Ldtdi

Ldtdi

Lv n21

Sacando como factor común a la derivada de la corriente:

dtdi

LLLv n21

Lo que queda en el paréntesis es la suma de las inductancias del montaje que es, lógicamente, una inductancia que denominamos inductancia equivalente.

n

1j

jeq LL

La inductancia equivalente de un montaje de inductancias en serie, sin acoplamiento magnético entre ellas, está dada por la suma de las inductancias de todas las componentes. Para los capacitores: Como en los casos anteriores: v = v1 + v2 + ... + vn

+ v1 - + v2 - + vn -

L1 L2 Ln

+ v1 - + v2 - + vn -

S1 S2 Sn


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Reemplazando las tensiones por la ley de Ohm, utilizando la elastancia, igual a la recíproca de la capacidad, resulta:

t

n

t

2

t

1 dtiSdtiSdtiSv

Sacando como factor común a la integral de la corriente:

t

n21 dtiSSSv

Lo que queda en el paréntesis es la suma de las elastancias de los capacitores del montaje que es, lógicamente, una elastancia que denominamos elastancia equivalente.

n

1j

jeq SS

La elastancia de un montaje de capacitores en serie es igual a la suma de las elastancias de cada uno de los capacitores. Si lo ponemos en función de la capacidad resultará:

n

1j jeq C1

C1

La inversa de la capacidad equivalente es igual a la suma de las inversas de las capacidades de los capacitores conectados en serie. Es decir que, al contrario de lo que ocurre con los otros elementos, la capacidad equivalente es menor que las capacidades individuales. Para el caso de los generadores resulta que es posible la conexión de generadores de tensión ideales en serie, la tensión resultante es la suma algebráica de las tensiones individuales, tal como lo establece la segunda ley de Kirchhoff. Pero si queremos conectar en serie generadores de corriente ideales resulta que en cada conexión no se cumpliría la primera ley de Kirchhoff porque, a menos que los generadores fueran iguales, la corriente entrante al nodo de conexión no sería igual a la saliente. Por otra parte la corriente no sería la misma en toda la serie lo que es inaceptable. Sólo se pueden conectar en serie generadores ideales de tensión, no se pueden conectar en serie los de corriente, salvo que éstos fueran iguales y conectados en el mismo sentido.

+ v1 - + v2 - + vn -


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I - C.3 - Elementos de un solo tipo en paralelo. Dos, o más, elementos están conectados en paralelo cuando están puestos uno al lado del otro de forma tal que la tensión aplicada a uno de ellos necesariamente queda aplicada a todos. Esto quiere decir que la tensión en terminales es la misma para todos ellos y, consecuentemente, también su derivada y su integral. Si tenemos resistencias conectadas en paralelo: Por la primera ley de Kirchhoff: i = i1 + i2 + ... + in Reemplazando por la ley de Ohm, utilizando las conductancias de los elementos, tenemos: i = G1 v + G2 v + ... + Gn v Sacando la tensión como factor común: i = (G1 + G2 + ... + Gn ) v Entre paréntesis nos queda la conductancia equivalente del montaje de las resistencias en paralelo:

n

1j

jeq GG o sea

n

1jjeq R

1R1

Es decir que la conductancia equivalente de un montaje de resistencias en paralelo es la suma de las conductancias de cada uno de los componentes. De la otra forma decimos que: la inversa de la resistencia equivalente a resistencias conectadas en paralelo está dada por la suma de las inversas de cada una de las resistencias. Para el caso particular de dos resistencias podemos poner que: Req = (R1 R2)/(R1 + R2) es decir que la resistencia equivalente de dos puestas en paralelo está dado por el cociente entre el producto de ellas y la suma. La resistencia equivalente resulta siempre menor que la menor de las componentes. Para las inductancias, sin acoplamiento magnético entre ellas: Por la primera ley de Kirchhoff: i = i1 + i2 + ... + in Reemplazando por la ley de Ohm, utilizando la inductancia recíproca, tendremos que:

-

i1

G1

i2 in

i

v

+

G2 Gn

i1

1

i2 in

i

v

+

-

2 n


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t

n

t

2

t

1 dtvdtvdtvi

Sacando la integral de la tensión como factor común:

t

n21 dtvi

Lo que queda en el paréntesis es la suma de las inductancias recíprocas de los inductores del montaje que es, lógicamente, una inductancia recíproca que denominamos inductancia recíproca equivalente.

n

1j

jeq

La inductancia recíproca de un montaje de inductores en paralelo es igual a la suma de las inductancias recíprocas de cada uno de los inductores. Si lo ponemos en función de la inductancia resultará:

n

1jjeq L

1L1

La inversa de la inductancia equivalente es igual a la suma de las inversas de las inductancias de los inductores conectados en paralelo. Si consideramos ahora a los capacitores o condensadores: Por la primera ley de Kirchhoff: i = i1 + i2 + ... + in Reemplazando por la ley de Ohm tenemos:

dtdv

Cdtdv

Cdtdv

Ci n21

Sacando la derivada de la tensión como factor común:

dtdv

CCCi n21

Lo que queda en el paréntesis es la suma de las capacidades de los capacitores del montaje que es, lógicamente, una capacidad que denominamos capacidad equivalente.

n

1j

jeq CC

i1

C1

i2 in

i

v

+

-

C2 Cn


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La capacidad de un montaje de capacitores en paralelo es igual a la suma de las capacidades de cada uno de los capacitores. Con respecto a los generadores, en forma análoga (dual), podemos decir que sólo podemos poner en paralelo generadores de corriente ideales, y la corriente suministrada por el montaje es la suma algebráica de los generadores componentes. No pueden conectarse en paralelo generadores de tensión, salvo que sean de la misma tensión y conectados en el mismo sentido. I - C.4 - Transformación de Kennelly (Estrella-triángulo) Hay montajes de tres elementos que no pueden considerarse ni en serie ni en paralelo, por cuanto no se dan ninguna de las condiciones que definen los montajes mostrados. Estas configuraciones son las denominadas, por su estructura, estrella y triángulo, o e Y ("delta" y "wye"). La transformación de una a la otra nos permite poder asociar las partes equivalentes al resto del circuito de forma tal que quedan en paralelo y/o serie y, de esta manera, poder resolver la resistencia (por ejemplo) equivalente. Montaje en triángulo, Montaje en estrella, Y Para que puedan considerarse equivalentes deberán ser iguales los comportamientos en iguales circunstancias. Por ejemplo supongamos que cada uno de los dipolos son resistencias para simplificar la interpretación y el cálculo. Si los dos circuitos están desconectados de cualquier otro, no hay nada conectado a sus bornes, deberán ser iguales las resistencias equivalentes que se ven en cada par de terminales correspondientes. Digamos: Rab = Ruv, Rbc = Rvw y Rca = Rwu

A

B C

a

b c

U

V W

u

v w

i1 i2 in

i

v

+

-


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Para el montaje en delta Rab es la resistencia equivalente de Rc en paralelo con la serie Ra y Rb, ya que no hay nada conectado en el terminal c. En el montaje en estrella tenemos que, al no haber nada conectado en w, Ruv es la resistencia equivalente de Ru en serie con Rv. Conforme a lo visto en los puntos anteriores escribimos:

cba

cbaab RRR

RRRR

y vuuv RRR

De igual forma:

cba

acbbc RRR

RRRR

y wvvw RRR

cba

bacca RRR

RRRR

y uwwu RRR

Por las condiciones establecidas antes podemos igualar las expresiones de la izquierda con las de la derecha formando un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas que serán las componentes del montaje en estrella, si conocemos los del triángulo, o viceversa. Completemos el sistema:

cba

cbawvu RRR

RRRR0R1R1

cba

acbwvu RRR

RRRR1R1R0

cba

bacwvu RRR

RRRR1R0R1

Resolviendo, por Cramer por ejemplo, resulta que: Ru = Rb Rc /(Ra +Rb +Rc) Rv = Rc Ra /(Ra +Rb +Rc) Rw = Ra Rb /(Ra +Rb +Rc) Es decir que la resistencia conectada a un terminal de la estrella equivalente es igual al cociente entre el producto de las dos resistencias del triángulo, que concurren al terminal correspondiente, y la suma de las tres resistencias del triángulo. Obtendríamos las mismas expresiones para un montaje de inductores dados por su inductancia, o de capacitores dados por su elastancia. Las mismas expresiones son válidas para el caso general en que cada componente del montaje esté definido como impedancia por estar constituido por combinación de tipos de elementos (R, L y/o C). Otra forma de plantear el problema consiste en evaluar las condiciones en función de las conductancias vistas desde un par de terminales cuando otro par está en cortocircuito. Por ejemplo la conductancia en el par a-b del triángulo cuando el b-c está en


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cortocircuito y compararla con la conductancia en el par u-v cuando está cortocircuitado el par v-w de la estrella. En ese caso resulta que en el triángulo quedan en paralelo los elementos B y C, mientras que en la estrella el elemento U queda en serie con el paralelo de los elementos V y W, por consiguiente será: Gab = Gb + Gc y Guv = Gu(Gv+Gw)/(Gu+Gv+Gw) Si hacemos lo mismo considerando los otros dos pares de terminales podemos escribir otro sistema de ecuaciones similar (dual) al anterior. 0 Ga + 1 Gb + 1 Gc = Gu(Gv+Gw)/(Gu+Gv+Gw) 1 Ga + 0 Gb + 1 Gc = Gv(Gu+Gw)/(Gu+Gv+Gw) 1 Ga + 1 Gb + 0 Gc = Gw(Gv+Gu)/(Gu+Gv+Gw) Resolviéndolo obtenemos que: Ga = (Gv Gw)/(Gu+Gv+Gw) Gb = (Gu Gw)/(Gu+Gv+Gw) Gc = (Gu Gv)/(Gu+Gv+Gw) Es decir que la conductancia entre un par de terminales del triángulo está dada por el cociente entre el producto de las conductancias conectadas a los dos terminales correspondientes de la estrella, y la suma de las tres conductancias de la misma. Estas ecuaciones son válidas para el montaje de inductancias dadas por sus inductancias recíprocas; de capacitores dados por su capacidad; y por componentes mixtos dados por sus admitancias. Puesto en función de las resistencias es: Ra = (Rv Rw + Ru Rw + Ru Rv)/Ru Rb = (Rv Rw + Ru Rw + Ru Rv)/Rv Rc = (Rv Rw + Ru Rw + Ru Rv)/Rw Esto nos informa que la resistencia entre un par de terminales del triángulo está dada por la suma de los productos de las resistencias de la estrella tomadas de a dos y dividida por la resistencia conectada al terminal opuesto.

A

B C

a

b c

U

V W

u

v w


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Estas ecuaciones son válidas para el montaje de inductancias dadas por sus inductancias; de capacitores dados por su elastancia; y por componentes mixtos dados por sus impedancias. I - C.5 - Cálculo de la resistencia equivalente. Este tema se refiere a un dipolo configurado por resistencias conectadas de distinta manera y del cual se quiere obtener una red equivalente compuesta por una sola resistencia. Para resolver el problema planteado hay dos procedimientos posibles: uno, pasivo, que consiste en ir asociando las resistencias en resistencias equivalentes parciales para ir reduciendo la red hasta llegar a un solo componente (en forma muy simple lo hicimos en el punto anterior, asociando los elementos del triángulo y de la estrella en serie o en paralelo según el caso); el otro, activo, es excitando el circuito con una corriente, o una tensión, y calculando la relación tensión a corriente en el par de terminales del circuito. El primer procedimiento requiere conocer las fórmulas de asociación serie y paralelo y las de transformación estrella-triángulo. El segundo utiliza ampliamente las leyes de Ohm y de Kirchhoff, y tiene dos variantes: una es asumir una corriente o una tensión en una rama cualquiera de la red y determinar la tensión y la corriente que deberían existir en los terminales del dipolo; la otra, similar al método que utilizan los multímetros, es colocar un generador de tensión, o corriente, en los terminales y calcular la corriente, o la tensión, que se establece en ellos. Para mostrar los procedimientos utilizaremos el mismo circuito aplicando las tres formas de resolución. R1 = 3 R2 = 6 R3 = 18 R4 = 12 R5 = 14 R6 = 4 R7 = 6 R8 = 8 R9 = 4 La red de la figura, dipolo a-b, debe ser reemplazada por otra compuesta por una sola resistencia equivalente colocada en los terminales a-b. Primero trabajaremos asociando los elementos según como están conectados entre sí, comenzando siempre por los más alejados de los terminales de entrada. Las resistencias R6, R7 y R8 están en serie por lo que pueden ser reemplazadas por una sola equivalente: R678 = R6 + R7 + R8 = 4 + 6 + 8 = 18

R5

R3

R1 R2

R4

R6

R7

R8 R9

a

b

d c f

g

h j


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con lo que el circuito quedará modificado. A partir de ese punto vemos que no tenemos la posibilidad de encontrar elementos asociados en serie o paralelo lo que nos obliga a transformar el triángulo c-d-f en estrella o la estrella c-f-j en triángulo. Haciendo la primera transformación y utilizando las fórmulas vistas obtendremos: Rc = (R2 R3)/(R2+R3+R4) = (6 x 18)/(6 + 18 + 12) = Rc = 108/36 = 3 Rd = (R3 R4)/(R2+R3+R4) = (18 x 12)/36 = Rd = 216/36 = 6 Rf = (R2 R4)/(R2+R3+R4) = (6 x 12)/36 = Rf = 72/36 = 2 Quedando el circuito de la siguiente forma: R1 = 3 Rc = 3 Rd = 6 Rf = 2 R5 = 14 R678 = 18 R9 = 4 En este montaje tenemos que Rf está en serie con R678 y Rd en serie con R5. Además ambas series están en paralelo entre sí. En consecuencia: R678f = R678 + Rf = 18 + 2 = 20 R5d = R5 + Rd = 14 + 6 = 20 y R5678 = (R5d R678f)/(R5d + R678f) = = (20 x 20)/(20 + 20) = 10 Con la última modificación quedan todos los componentes en serie y entonces la resistencia equivalente del dipolo resulta: Rab = R1 + Rc + R5678 + R9 = 3 + 3 + 10 + 4 = 20

R5

Rc R1 Rf

Rd

R678

R9

a

b

d

c f

j

Rc R1

R5678

R9

a

b

c

R5d

Rc R1

R678f

R9

a

b

c

j


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Queda así resuelto el problema por asociación de elementos, lo mismo puede hacerse con inductancias (no acopladas electromagné-ticamente), con elastancias y con impedancias. Si activamos el circuito tenemos la segunda forma de resolverlo que, como dijimos, puede realizarse de dos maneras distintas. Utilizaremos primero la aplicación en terminales de una fuente, que asumiremos, como ejemplo, es de corriente de 10 Amperios. A partir de esta trataremos de calcular la tensión en los terminales a-b. La relación tensión a corriente nos dará la resistencia equivalente buscada. R1 = 3 R2 = 6 R3 = 18 R4 = 12 R5 = 14 R6 = 4 R7 = 6 R8 = 8 R9 = 4 I = 10A Este procedimiento requiere de mayor análisis para plantear las ecuaciones necesarias. En el capítulo III veremos métodos de resolución que simplifican notablemente este trabajo. La tensión en bornes se puede obtener de la 2º ley de Kirchhoff aplicada en la malla de entrada, asumiendo para el nombre de las tensiones el mismo de las resistencias y que todas tienen el mismo sentido, resulta: Eab = E1 + E3 + E5 + E9 Reemplazando las tensiones en función de las corrientes queda: Eab = I1 R1 + I3 R3 + I5 R5 + I9 R9 #1 Por la 1ª ley de Kirchhoff sabemos que: I = I1 = I9 #2 I6 = I7 = I8 #3 I2 = I - I3 #4 I4 = I3 - I5 #5 I8 = I - I5 #6 Reescribiendo la ecuación #1 teniendo en cuenta #2 es: Eab = I (R1 + R9) + I3 R3 + I5 R5 #7 Nos quedó una ecuación con dos incógnitas I3 e I5 que pasamos a resolver. Planteamos en las mallas restantes las ecuaciones de la 2ª ley de Kirchhoff:

R5

R3

R1

R2

R4

R6

R7

R8 R9

a

b

d c f

g

h j

I


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E2 - E4 - E3 = 0 E4 + E6 + E7 + E8 - E5 = 0 Aplicando la ley de Ohm: I2 R2 - I4 R4 - I3 R3 = 0 I4 R4 + I6 R6 + I7 R7 + I8 R8 - I5 R5 = 0 Teniendo en cuenta #3, #4, #5 y #6 quedan como: (I - I3)R2 - (I3 - I5)R4 - I3 R3 = 0 (I3 - I5)R4 + (I - I5)(R6 + R7 + R8) - I5 R5 = 0 Ordenando: -I3(R2 + R3 + R4) + I5 R4 = -I R2 +I3 R4 - I5(R4 + R5 + R6 + R7 + R8) = -I(R6 + R7 + R8) Sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas que son las necesarias para resolver #7. Reemplazando los valores de las resistencias y cambiando de signo queda: I3(6 + 18 + 12) - I5(12) = I(6) -I3(12) + I5(12 + 14 + 4 + 6 + 8) = I(4 + 6 + 8) I3(36) - I5(12) = I(6) I3(-12) + I5(44) = I(18) Resolviendo resulta que I3 = I/3 e I5 = I/2, que reemplazados en #7 queda: Eab = I(R1 + R9 + R3/3 + R5/2) = = I(3 + 4 + 18/3 + 14/2) = I(20) Lo que finalmente nos permite escribir que: Rab = Eab/I = 20 Expresión que nos muestra que no era necesario darle un valor a la corriente de generador auxiliar para resolver el problema. La tercer forma es asumir que conocemos una corriente o una tensión en alguna rama del circuito y a partir de ella calcular la tensión y la corriente en los terminales de entrada, o directamente la relación entre ellas.


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Por ejemplo: si conocemos la tensión en la resistencia R5 podemos inmediatamente calcular la corriente I5 y el planteo anterior nos sirve para determinar, en este caso, la corriente I. R1 = 3 R2 = 6 R3 = 18 R4 = 12 R5 = 14 R6 = 4 R7 = 6 R8 = 8 R9 = 4 El sistema que nos quedaría es: I3(36) - I(6) = I5(12) I3(-12) - I(18) = -I5(44) Resolviendo resulta que I3 = (2/3)I5 e I = 2·I5 y recordando la expresión #7 que teníamos: Eab = I (R1 + R9) + I3 R3 + I5 R5 = I5[2(R1 + R9) + (2/3)R3 + R5] = = I5[2(7) + (2/3)(18) + 14] = Eab = 40 I5 Rab = Eab/I = (40 I5)/(2 I5) = 20 Queda así resuelta la resistencia equivalente. I - C.6 - Circuitos equivalentes de generadores reales. Hemos visto como resolver circuitos equivalentes a redes pasivas, ahora veremos como lo hacemos en circuitos de generadores. Un generador de tensión real está conformado en su modelo más simple, por un generador de tensión ideal en serie con una resistencia o, en general, impedancia. Esta resistencia tiene en cuenta la caída de tensión que se produce en función de la corriente de carga y establece un límite a la corriente de cortocircuito. Por su parte un generador de corriente real está conformado por un generador ideal de corriente en paralelo con una resistencia. En este caso la resistencia establece un camino para la circulación de la corriente cuando no hay nada conectado en bornes y fija un límite a la tensión en terminales. La equivalencia estará dada entre un generador de tensión real y uno de corriente real siempre y cuando tengan la misma respuesta

R5

R3

R1

R2

R4

R6

R7

R8 R9

a

b

d c f

g

h j


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ante cualquier circuito que se conecte a ellos. No puede haber equivalencia entre generadores ideales por la definición misma de ellos: un generador de tensión ideal fija la tensión independientemente de la corriente que circule por él, y un generador de corriente ideal fija la corriente sin importar la tensión en bornes. Para establecer la equivalencia entre dos generadores los analizaremos en condiciones límites: circuito abierto y cortocircuito. Si en esos dos puntos hay correspondencia la habrá en toda condición ya que tratamos con circuitos lineales y, recordemos, dos puntos establecen una recta. En la práctica es probable que esas condiciones límites sean destructivas para los circuitos por lo que será necesario analizar dos puntos dentro del rango de trabajo lineal de los dispositivos. En circuito abierto debe ser: Eab = E = I·Ri En el cortocircuito será: Iab = E/Re = I De estas expresiones se desprende que las resistencias deben ser iguales, Re = Ri = R; que la tensión debe ser E = I·R y la corriente será I = E/R. Estas equivalencias se pueden utilizar para resolver circuitos de forma semejante a las asociaciones de elementos pasivos. Por ejemplo, si se tiene un generador de corriente real en serie con un generador de tensión se puede transformar el primero en uno de tensión equivalente; de esta forma se puede obtener un generador de tensión equivalente cuya tensión es la suma algebráica de las tensiones y su resistencia es la suma de las resistencias. De forma análoga se puede transformar un generador de tensión que esté en paralelo con uno de corriente para conseguir uno de corriente equivalente que tiene la suma algebráica de corrientes y

+

- E

Re a

b I

Ri

a

b

+

- E

Re a

b I

Ri

a

b


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como resistencia el paralelo de las intervinientes (o como conductancia la suma de las conductancias). Como ejemplo: La tensión en bornes será: Eab = [I + (E/Re)][(Ri·Re)/(Ri+Re)] = = (I·Re + E)[Ri/(Re+Ri)]

+

- E

Re

I

Ri

b

a

E/Re I

Re

b

a

Ri

I + (E/Re) b

a

Ri·Re Ri+Re


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NOTAS Y COMENTARIOS


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Parte D: TEOREMAS DE LOS CIRCUITOS I - D.1 - Teorema de la superposición. La característica más distintiva de un sistema lineal es la aplicabilidad del teorema (o principio) de la superposición. Este teorema establece que siempre que se excita o alimenta un sistema lineal con más de una fuente de energía independiente, la respuesta total es la suma de las respuestas individuales de cada una de las fuentes. Dado que trabajamos con circuitos conformados por la interconexión de elementos lineales podemos aplicar este concepto para el análisis de las redes que contengan más de una fuente. La aplicación de la superposición consiste en obtener la respuesta de cada una de las excitaciones haciendo nulas las demás, finalmente obtener la respuesta total como la suma de las respuestas parciales obtenidas. La principal consideración que debemos hacer es que: decir que una fuente es nula no significa ignorarla sino reemplazarla por el circuito equivalente para una fuente que genera un valor cero de energía. Si se trata de un generador de tensión deberá ser reemplazado por un cortocircuito por cuanto es el único elemento que admite cualquier corriente fijando la diferencia de potencial en cero. Por el contrario (dualmente) un generador de corriente será reemplazado por un circuito abierto, ya que esta es la forma de asegurar corriente nula para cualquier valor de tensión. La otra consideración es reiterativa. Debemos recordar que la corriente tiene un sentido y la tensión tiene una polaridad que debemos respetar. Por consecuencia la respuesta será la suma de las respuestas con un signo que tenga en cuenta la correspondencia, o no, con el sentido o la polaridad establecida para la respuesta total. Dicho de otra forma: la respuesta es la suma algebráica de las respuestas parciales. Veamos un ejemplo: Enmudecemos el generador de tensión:

Re

I

Ri

b

a

+

- E

Re

I

Ri

b

a


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La tensión en bornes debida al generador de corriente la obtenemos asociando en paralelo Re con Ri y multiplicando el resultado por la corriente I: Eab1 = I[(Ri·Re)/(Ri+Re)] Ahora enmudecemos el de corriente y habilitamos el de tensión: La tensión debida al generador de tensión la calculamos con el divisor de tensiones: Eab2 = (E·Ri)/(Re+Ri) La tensión total es la suma de las dos parciales porque ambas tienen la misma polaridad: Eab = Eab1 + Eab2 = (I·Re + E)[Ri/(Re+Ri)] Que es el mismo resultado que obtuvimos transformando los generadores. I - D.2 - Teoremas de Thèvenin y Norton. Se da en la práctica que es necesario ver o analizar los que ocurre en un par de terminales de una red sin interesar que pasa en el resto de la red. Por ejemplo si tenemos una fuente de alimentación nos interesa saber como se comporta ante diversas cargas pero sólo en los terminales de la fuente no en el interior. Para lograr ello se puede encontrar un circuito equivalente que simplifique a toda la red que está detrás, o adentro, de los terminales. A tal efecto podemos recurrir a los teoremas de Thèvenin y de Norton. Thèvenin dice que: Todo dipolo lineal y activo puede ser reemplazado, a los efectos de lo que ocurre en una red conectada en sus terminales, por una fuente ideal de tensión en serie con una resistencia (impedancia). La tensión que suministra la fuente es la que entrega el dipolo a circuito abierto, y la resistencia es la equivalente del dipolo cuando éste está pasivisado, es decir cuando se han enmudecido todas las fuentes interiores. Por su parte Norton dice que en las mismas condiciones puede reemplazarse el dipolo por un generador de corriente en paralelo con una resistencia. La corriente el generador de Norton es la que provee el circuito en sus bornes cortocircuitados y la resistencia se calcula de igual forma que para Thèvenin.

+

- E

Re

Ri

b

a


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Al ver la equivalencia de generadores reales aplicamos, sin decirlo, estos conceptos; obtuvimos el equivalente de Norton a un generador de tensión y, recíprocamente, el de Thèvenin a uno de corriente, y observamos que las resistencias eran iguales y eran las que presentaba el dipolo si enmudecíamos los generadores. Recordemos que enmudecer es hacer nula la generación o sea reemplazar los generadores de tensión ideales por cortocircuitos y los de corriente ideales por circuitos abiertos. La evaluación de la resistencia (o impedancia) interna se puede hacer por cualquiera de los tres métodos que vimos en la parte anterior, pero si tenemos inductancias acopladas electromagnética-mente debemos activar la red, ya sea desde afuera o suponer la circulación de corrientes en su interior, pero manteniendo los generadores de la red enmudecidos. Veamos un ejemplo: Sean: R1 = R2 = R3 = R4 = 5Ω IG = 5Amp EG = 10V Calculemos primero el equivalente de Thèvenin. Para ello debemos obtener la tensión en circuito abierto en los terminales a-b. Usaremos el método de superposición: Enmudecemos el generador de corriente y nos queda el circuito así: La tensión en a-b es: E'ab = - EG = -10V ya que no hay circulación de corriente. Enmudecemos el generador de tensión y habilitamos el de corriente: Ahora es: E"ab = IG·(R2+R1+R3) = 75V La tensión total es la suma de ambas: Eab = ET = E'ab + E"ab = -10 + 75 = 65V Si enmudecemos ambos generadores nos queda el circuito requerido para calcular la resistencia equivalente de Thèvenin que es la misma que la de Norton. Esta resistencia está dada por la suma de las cuatro del circuito que quedan en serie.

+ -

IG

EG

R1

R2

R3 R4

a

b

IG R1

R2

R3 R4

a

b

+ - EG

R1

R2

R3 R4

a

b


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El circuito pasivisado queda así: Por ello: RT = RN = R1+R2+R3+R4 = = 20Ω El equivalente de Thèvenin es el circuito siguiente: Para encontrar el equivalente de Norton debemos obtener la corriente de cortocircuito en los terminales a-b. Nuevamente emplearemos superposición: Enmudecemos el generador de corriente y nos queda el circuito así: La corriente en a-b es: I'ab = - EG /RT = = -10V/20Ω = -0.5A Enmudecemos el generador de tensión y habilitamos el de corriente: Ahora es: I"ab = IG·(R2+R1+R3)/ /(R2+R1+R3+R4) = = 75/20 = 3.75A La corriente total es la suma de ambas: Iab = IN = -0.5 + 1.25 = 3.25 Amp. Y el circuito resultante es:

+ - EG

R1

R2

R3 R4

a

b

IG R1

R2

R3 R4

a

b

R1

R2

R3 R4

a

b

a

b

+

-

RT = 20

ET 65V

a

b

RT = 20 IN 3.25A


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I - D.3 - Teorema de la substitución. Este teorema dice que una tensión conocida en un circuito puede ser reemplazada por una fuente de tensión ideal y una corriente conocida puede ser reemplazada por un generador ideal de corriente. Consideremos una resistencia Rab conectada entre los puntos a y b, conectemos una fuente ideal de tensión al punto b; si su extremo c está al mismo potencial que el punto a ambos puntos pueden conectarse entre sí. De esta forma la resistencia queda en paralelo con un generador ideal de tensión y puede ser removida. Substitución de tensión Substitución de corriente Suponga que está circulando una corriente iR por una resistencia R del punto a al b, puede insertarse una fuente de corriente ideal en paralelo por el cortocircuito entre c y b. Si la fuente es de la misma intensidad que la corriente iR no habrá ninguna corriente en el cortocircuito porque el generador la derivará toda a través de él. En consecuencia se puede remover ese cortocircuito con lo que la resistencia queda en serie con el generador y puede ser removida. Lo importante de este teorema es que no puede aplicarse a menos que ya se conozca la solución, no sirve para resolver. La utilidad la tendremos en el estudio parcializado de circuitos electrónicos con transistores y válvulas ya que permite dividir una red compleja en pequeñas porciones y tratarlas como independientes para el análisis detallado. Luego se reintegran al conjunto. I - D.4 - El teorema de la reciprocidad. El teorema de la reciprocidad concierne a la relación estímulo respuesta de una red de dos pares de terminales y dice que una fuente de tensión ideal y un amperímetro ideal en cualesquiera dos ramas de una red lineal, pasiva y bilateral, pueden ser intercambiados sin que se alteren las lecturas. Dualmente se puede establecer que una fuente de corriente ideal y un voltímetro ideal en cualesquiera dos pares de nodos de una red lineal, pasiva y bilateral, pueden ser intercambiados sin que se alteren las lecturas.

a

b

c iR

I

R

+

-

+

- E Rab e

a

b

c


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En las expresiones anteriores la condición de ideales indica que tanto el generador de tensión como el amperímetro tienen resistencia interna nula, y tanto el generador de corriente como el voltímetro tienen resistencia interna infinita. La demostración de este teorema se realiza a través del planteo de las ecuaciones de malla para el primer caso y de nodos para el segundo, y así se hace mención en el capítulo III.


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Parte E: DUALIDAD I - E.1 - Introducción Las expresiones de la ley de Ohm pueden ponerse como:

t

0S

t

SSL

LRR dtiS)0(qSdtiSedt

diLeiRe

o como:

t

0

tC

CGG dte)0(dteidt

deCieGi

Donde, recordemos: S es la elastancia, inversa de C (la capacidad); es la inductancia recíproca, inversa de L (la inductancia); y G la conductancia, inversa de R (la resistencia); q es la carga eléctrica en el capacitor y son los enlaces de flujo magnético en la inductancia. Si tomamos un circuito serie R-L-S excitado por un generador de tensión podemos escribir, conforme con la segunda ley de Kirchhoff, que:

t

dtiSdtdi

LiR)t(e

Por su parte en un circuito paralelo G--C, excitado por un generador de corriente, escribiríamos la primera ley de Kirchhoff de la forma:

t

dtedtde

CeG)t(i

Si comparamos las expresiones vemos que el primer juego de ecuaciones de la ley de Ohm están formalmente apareadas con el segundo en el aspecto matemático. Ese apareamiento se manifiesta más aún entre las ecuaciones de equilibrio de los circuitos serie y paralelo. Para pasar de una a otra de las parejas de ecuaciones debemos hacer un intercambio entre las cantidades: e por i R por G L por C por S q por l y entre los conceptos: malla por par de nodos serie por paralelo corto circuito por circuito abierto.


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Esta característica resulta evidente que se extiende también al caso de los circuitos en estado permanente senoidal estudiados en el dominio de la frecuencia, cálculo simbólico (ver Capítulo II). Esta semejanza ilustra el concepto amplio denominado dualidad o correlatividad. Notemos que no estamos hablando ni de equivalencias ni de reciprocidades, en particular, dualmente hablando, el valor de G debe ser igual al valor de R y no su recíproca. Este principio no está restringido a las redes eléctricas: en máquinas eléctricas los dispositivos electromagnéticos tienen sus duales electrostáticos, y en geometría ciertos teoremas concernientes a puntos y líneas tienen sus duales que conciernen a líneas y puntos. La utilidad de este principio está en, por lo menos, dos aspectos: a) Si el análisis de un miembro del par dual es conocido se le puede aplicar al otro directamente intercambiando los símbolos. b) Su conocimiento puede sugerir alternativas para obtener un resultado. Otra utilidad arranca del hecho de que dos situaciones que, sobre bases de corrientes y de tensiones respectivamente, son enteramente análogas, tienen un comportamiento idéntico excepto para el intercambio de los papeles representados por la tensión y corriente, si bien física y geométricamente son completamente distintos. Debe recalcarse que esta propiedad es mutua, la transformación puede realizarse en ambos sentidos o, dicho de otra manera, la aplicación sucesiva de dos transformaciones nos lleva al caso original. A menudo la aplicación sucesiva de dos transformaciones puede llevarnos a un circuito equivalente al primero, no exactamente el mismo. Por ejemplo la obtención del circuito equivalente en "T" de un circuito magnéticamente acoplado. Podemos ahora generalizar el concepto si recordamos las ecuaciones de equilibrio de una red planteadas por el método de Maxwell y las de otra planteadas por el método de tensiones nodales. En ellas notaremos la misma característica de igualdad formal (ver Capítulo III). Precisamente así queda definido el principio de Dualidad: "Dos redes son duales o correlativas si las ecuaciones de malla de una son formalmente iguales a las ecuaciones de nodo de la otra". "Definiéndose como duales exactos si, además, los coeficientes numéricos correspondientes son idénticos". En función de esta generalización podemos establecer más pares de conceptos duales: grupo de unión grupo de corte definiéndose al primero como el grupo de ramas que configura una malla y al segundo el de ramas que concurren a un nodo. La identificación de las corrientes de los bucles (mallas) con las de los enlaces y de las tensiones entre pares de nodos con las tensiones de las ramas del árbol demuestran que los enlaces y las ramas del árbol son análogamente cantidades correlativas.


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Ambos gráficos deberán tener el mismo número de ramas, pero el número de ramas del árbol en uno de ellos ha de ser igual al número de enlaces del otro; o el número de nodos independientes de uno ha de ser igual al número de bucles independientes del otro. Además las fuentes de corriente en las ecuaciones de malla llevan a ecuaciones restrictivas de corriente (mallas falsas o fantasmas) y, correlativamente, los generadores de tensión a ecuaciones restrictivas de tensión (supernodos) en las ecuaciones de nodo. La solución de los métodos de corrientes de malla y de tensiones nodales nos permite definir los conceptos de admitancias y de impedancias, respectivamente, de punto impulsor y de transferencia. Dadas las características de dualidad para las ecuaciones de equilibrio resulta que la misma es extensible a las ecuaciones de solución de las mismas y, con ello, resultan esos dos conceptos también duales. Hacemos notar que solamente los circuitos planares, es decir aquellos que pueden desarrollarse sobre una superficie plana o esférica, tienen duales. Los no planares tienen tres o más corrientes de malla que pasan por una misma rama y su dual requeriría una sola rama entre tres o más nodos. En el proceso de construcción de un gráfico correlativo es de utilidad considerarlo representado sobre la superficie de una esfera en lugar de un plano. Si así se hace, entonces la periferia aparece como una malla ordinaria cuando se mira desde el lado opuesto. Como ejemplo de aplicación de este principio podríamos analizar el teorema de Thèvenin lo que nos llevará al teorema de Norton. Nótese que el dual de un circuito no es lo mismo que la representación dual del mismo ya que esta última mantiene la misma estructura original donde se han cambiado los elementos por sus duales. I - E.2 - Dualidad analítica. El método analítico para hallar un circuito dual a otro resulta evidente en la propia definición del principio. Es decir: a) escribir la, o las, ecuaciones de equilibrio del circuito en tensiones o corrientes; b) transformar todas las cantidades y conceptos conforme a los pares duales; y c) sintetizar el nuevo circuito interpretando las ecuaciones resultantes. Aunque resulte superfluo debemos destacar en este punto que podemos encontrar más de un circuito dual a uno dado ya que una determinada impedancia, o admitancia, puede obtenerse por distintas combinaciones de elementos; esto es más evidente cuando la dualidad no es exacta. Destacamos, por ser un error frecuente, que para la dualidad exacta una resistencia de, digamos, 5 ohmios debe ser reemplazada por una conductancia de 5 siemens y no por 0,2 siemens. La dualidad no es la recíproca ni la equivalente, es un concepto matemático y no físico.


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Veamos un ejemplo: Apliquemos las ecuaciones de equilibrio del método de las mallas, con falsa variable para no alterar el circuito. Como el circuito tiene tres mallas, dos son topológicas y una es falsa, se plantean dos ecuaciones de tensión y una de corriente.

11

1 E0IcLjIbC1

jLjRIa

222

2 ERIcC1

jLjRIbLjIa

IIc Transformamos las ecuaciones colocando sus elementos duales:

11

1 I0EcCjEbL1

jCjGEa

222

2 IGEcL1

jCjGEbCjEa

EEc Sintetizamos el sistema obteniendo el circuito dual. En la primera ecuación, correspondiente al nodo a, tenemos que hay tres elementos pasivos concurrentes al nodo y un generador de corriente; de esos tres elementos un capacitor está conectado al nodo b y los demás al de referencia. En la segunda ecuación, del nodo b, tenemos una estructura similar pero el capacitor está conectado al nodo a, verificando lo determinado en la ecuación anterior, y la conductancia al nodo c. Finalmente la tercera ecuación, restrictiva, nos indica que el nodo c forma con el de referencia un supernodo por el generador E.

R1

+ -

+

- R2

E2

C2

C1

E1

L Ia Ib

Ic

I

C G2

L2

G1

L1 I2

I1

a c b

-

+

E


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I - E.3 - Dualidad gráfica. Los circuitos duales pueden ser obtenidos por un método más rápido que evita tener que escribir las ecuaciones y realizar la síntesis y se basa en las características geométricas (topológicas) de los mismos. Además el resultado es un dual que tiene la misma cantidad de elementos que el original. Para construirlo debemos considerar a la red en términos de las ecuaciones de malla, debiendo establecer para cada una de ellas un nodo correlativo, agregando un nodo de referencia. Para ello colocamos un nodo en el centro de cada malla y el de referencia, por comodidad, lo graficamos como un anillo que rodea todo el circuito. Puede considerarse la periferia como un bucle o malla de referencia correlativo del nodo de referencia. Cada elemento que aparece conjuntamente en dos mallas es un elemento mutuo y da origen a términos idénticos, salvo el signo, en las dos ecuaciones de malla correspondientes. Ha de ser substituido por un elemento dual que proporcione los términos en las correspondientes ecuaciones de nodo. En consecuencia este elemento debe estar colocado directamente entre los dos nodos situados en el interior de las mallas en las que aparece el elemento mutuo dado. Los elementos que sólo aparecen en una malla han de tener su dual entre el nodo correlativo de la malla y el de referencia. Los sentidos y polaridades de los elementos correlativos a los generadores de corriente y de tensión debe hacerse teniendo en cuenta el signo que llevarían en las ecuaciones de nodo que debe ser el mismo que tienen en las ecuaciones de malla del circuito original. Si el generador de tensión de la malla hace rotar a la corriente de malla en el sentido fijado la corriente del generador dual deberá hacer positiva la tensión del nodo, es decir entrante. Si el generador de corriente en la malla fantasma tiene el mismo sentido que la corriente de malla, el supernodo dual será positivo en el nodo correlativo. Veamos como ejemplo el mismo circuito que transformamos analíticamente: ubicamos los tres nodos en el centro de cada malla y el de referencia rodeando el circuito; luego unimos los nodos entre sí y con el de referencia atravesando cada elemento con su dual, teniendo en cuenta el párrafo anterior en cuanto a la polaridad y sentido de los generadores. Así obtenemos:


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Que si lo pasamos en limpio quedará lo siguiente, donde vemos una diferencia con el obtenido analíticamente: el generador I1 queda entre el nodo a y el nodo c en lugar de estar entre el nodo a y el de referencia. Esto es así porque el nodo c forma, topológicamente, un solo nodo con el de referencia no distinguiéndose en las ecuaciones esa diferencia.

R1

+ -

+

-

R2

E2

C2

C1

E1

L

I

L2

L1

G2

G1

I2 I1

C

E

- +

a b

c

anillo (nodo) de referencia

L1

C G2

L2

G1

I2

I1

a c b

- +

E


CAPÍTULO II

SEÑALES

Parte A: INTRODUCCIÓN Parte B: FUNCIONES SINGULARES Parte C: ONDAS SENOIDALES




Teoría de los Circuitos I - Ing. Jorge M. Buccella - Capítulo II

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ÍNDICE Parte A: INTRODUCCIÓN 3 A.1 Clasificación de las señales de acuerdo con su variación en el tiempo 3 A.2 Valores característicos 4 Parte B: FUNCIONES SINGULARES 7 B.1 Introducción 7 B.2 Definición de las funciones 7 B.3 Representación de ondas utilizando funciones singulares 11 B.3.1 Representación de formas de onda arbitrarias por trenes de funciones escalón 13 B.3.2 Representación de formas de onda arbitrarias por trenes de funciones impulso 14 B.4 Respuesta de los circuitos excitados por funciones singulares 15 Parte C: ONDAS SENOIDALES 17 C.1 Introducción 17 C.2 Algunas propiedades y operaciones 19 C.3 Valores característicos 21 C.4 Respuesta de los elementos simples 22 C.5 El concepto de impedancia y admitancia 26 C.6 Representación compleja de senoides 29 C.7 Relaciones fasoriales 33 C.8 Ejemplo de cálculo 37 TOTAL = 38


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II - SEÑALES

Parte A - INTRODUCCIÓN II - A.1 - Clasificación las señales de acuerdo con su variación en el tiempo. Denominamos señal a toda tensión, corriente y, eventualmente, potencia con la que trabajamos o analizamos en nuestros circuitos. Conceptualmente no hay diferencia con lo que denominamos ruido, ya que la separación está sólo en el hecho de ser deseada o no. La clasificación de las señales se hace según distintos aspectos. La primera que puede indicarse es tener en cuenta si cambia o no de sentido o polaridad en el intervalo considerado, en función de ello decimos que: Una señal es continua si no cambia de sentido o polaridad en el periodo de tiempo analizado, aún cuando se haga cero en algún, o algunos, instantes. Caso contrario es clasificada como alterna. Debemos enfatizar que estrictamente esta clasificación es independiente de la ley de variación que tenga; en la jerga técnica suele entenderse como continua a aquella que, además, es constante y como alterna aquella que, además, es senoidal simétrica, pero esto es un hecho particular. Señal continua Señal alterna La segunda clasificación es de constante o variable, siendo constante aquella que no cambia de valor ni sentido en el tiempo y variable en el caso contrario. De hecho una señal constante sólo puede ser continua aunque una continua puede ser constante o variable. Dentro de las variables podemos clasificar a su vez en periódicas o en aleatorias. Periódica es aquella señal en la que puede reconocerse una ley de variación que se repite a intervalos iguales, matemáticamente podemos indicar que f(t) = f(t+T) donde T es el período. Aleatoria es aquella en la que no se encuentra un período de repetición. Esta clasificación es independiente del hecho de ser continua o alterna.

t

f(t)

0

t

f(t)

0


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Para dar una idea mejor del tipo de señal a la cual nos estamos refiriendo se indica el nombre que mejor se aproxima a la forma del gráfico representativo. Así es como tenemos ondas senoidales, o armónicas, ondas cuadradas, diente de sierra, etc. Señal periódica Señal aleatoria o aperiódica II - A.2 - Valores característicos. En la especificación y evaluación de cada señal podemos establecer distintos conceptos. Para la señal periódica en general podemos definir los siguientes conceptos en función del tiempo: Ciclo: intervalo en que la onda vuelve a tomar el mismo valor y comienza otro repetitivo del primero. Período [T]: tiempo de duración de un ciclo, se expresa normalmente en segundos. Frecuencia [f]: cantidad de ciclos cumplidos en una unidad de tiempo. Resulta ser la inversa del período, la unidad es ciclos/segundo denominada Hertz o hertzio [hz]. Para la periódica senoidal tenemos, además de los anteriores: Pulsación []: número de radianes por segundo, frecuencia angular, = 2f, donde f es la frecuencia. Fase: ángulo con respecto a un punto de referencia. Expresa también tiempos en función de la frecuencia angular. Por ejemplo para medir el desplazamiento entre dos señales o entre dos eventos de una misma señal. Para las señales asimétricas, en particular cuadradas y pulsos, se establece el: Ciclo de trabajo (duty cycle): relación de tiempos entre el intervalo activo (o alto) y el pasivo (o bajo), por ejemplo 40/60%. En función de la magnitud que toma la señal se definen los siguientes valores característicos: Instantáneo: valor que toma la señal en un instante determinado. Máximo o pico: es el mayor valor que adquiere la señal en el intervalo considerado.

t

f(t)

0

t

f(t)

0

T T


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Mínimo: es el menor valor que adquiere la señal en el intervalo considerado. Si la señal es alterna se corresponde con el máximo negativo. Excursión o pico a pico: diferencia entre el valor máximo y el mínimo. O entre el pico positivo y el negativo. Dentro de un intervalo definido se evalúan los siguientes valores que son utilizados para caracterizar a la señal: Valor medio o promedio: promedio aritmético de los valores instantáneos de la señal en el intervalo. Matemáticamente:

2

1

t

t12med dtf(t)

tt1V

Para las señales periódicas, si no se especifica lo contrario, se establece para un ciclo; si estas señales son, además, simétricas se lo define sobre un medio ciclo, el positivo o el negativo (que obviamente son iguales); de no hacerlo así sería siempre nulo. Valor medio cuadrático, valor eficaz o valor RMS: raíz cuadrada del valor medio del cuadrado de la función en el intervalo considerado. Es decir:

2

1

t

t

2

12ef dt(t)f

tt1V

Este valor se establece como el valor de una tensión o corriente continua constante que desarrollaría la misma potencia sobre una resistencia que el desarrollado por la señal analizada. Valor que se usa para indicar las magnitudes de las señales senoidales en el uso común, en lugar del valor pico que debería usarse formalmente. Evaluados los valores anteriores, ya sea por integración matemática, si se conoce la función, o gráfica, en caso contrario, se establecen factores característicos llamados: Factor de amplitud o de cresta o de pico: es la relación entre el valor pico de la señal y su valor eficaz. Factor de forma: es la relación entre el valor eficaz y el valor medio de la señal. Para el caso de este último en señales simétricas se toma el valor medio extendido a un semiperíodo. Como ejemplo veamos la siguiente señal:

f(t)

t

0

6

11

20

25

8

-4


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La podemos definir como una señal triangular asimétrica, por su forma. Es una señal alterna periódica. Los valores que podemos determinar son: Período = 14 unidades de tiempo Frecuencia = 1/14 ciclos por unidad de tiempo Valor máximo = 8 unidades de amplitud Valor mínimo = -4 unidades de amplitud Excursión = 12 unidades de amplitud Valor medio = área encerrada por la función dividida por el período: [(6·8)/2 + (3·8)/2 - (2·4)/2 - (3·4)/2]/14 = 1.857 Valor eficaz = área encerrada por la función elevada al cuadrado dividida por el período, y extraída la raiz cuadrada: {[(6·64)/2 + (3·64)/2 + (2·16)/2 + (3·16)/2]/14}1/2 = 4.840


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Parte B: FUNCIONES SINGULARES II - B.1 - Introducción Desde la publicación de Oliver Heaviside "Electrical Papers" en 1892, los físicos e ingenieros en electricidad han utilizado las funciones singulares, o funciones de cambio (switching functions), en una base mas o menos empírica. Heaviside, entendiendo a la matemática como una ciencia experimental, razonaba: "Si un cierto procedimiento matemático produce resultados correctos, entonces está justificado". La exactitud del resultado puede normalmente ser verificado independientemente. Lo importante es la posibilidad de obtener resultados. Este punto de vista es anatema para los matemáticos y por años insistieron en que dichas funciones no podían existir. Pese a lo cual se siguieron utilizando y en 1951 Laurent Schwartz en su "Theorie des Distributions" inventó una clase especial de funciones llamadas funciones de distribución. Estas funciones no son funciones comunes y están definidas solamente en un espacio abstracto, pero dan una representación matemáticamente rigurosa de las funciones singulares. Nosotros seguiremos utilizándolas en forma intuitiva. Las funciones singulares son aproximaciones a las formas de onda de interruptores e inversores y las idealizamos de la misma forma, y por iguales motivos, que idealizamos los elementos de las redes. Es mucho más fácil resolver un problema donde un interruptor tiene sólo dos posiciones, abierto y cerrado, que tener en cuenta la complicada transición entre los dos estados. El problema matemático llega al considerarse que la transición ocurre en un tiempo igual a cero. Nuestra consideración evitará el problema no llegando nunca exactamente al instante cero. De hecho si la conmutación ocurre en el tiempo cero partiremos el instante cero en tres partes: 0-, el instante exactamente antes de que se cierre la llave; 0, el momento justo en que se cierra; y 0+, el instante exactamente posterior al cierre. Estos instantes están separados por un intervalo despreciablemente corto, pero de todas maneras finito. II - B.2 - Definición de las funciones Una fuente de corriente, o de tensión, constante que se conecta de una red puede ser representada por la función escalón. La función escalón Escalón de tensión Escalón de corriente cuando se cierra cuando se abre

e(t) + -

+ -

E i(t)

I

f(t) = u-1(t)

1

0 t


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Analíticamente la indicamos como: La función es cero para todo valor de tiempo negativo, y uno para todo tiempo positivo. La operación de cambio (cierre en el ejemplo de tensión, apertura en el de corriente) ocurre en el corto intervalo entre 0-, donde la función es cero, y 0+, cuando la función es igual a uno. En el instante t = 0 está indeterminada. Para el ejemplo del generador de tensión la fuente quedará aplicada cuando se cierre la llave, la tensión de salida pasará de cero al valor de E voltios. Analíticamente podemos expresarla como: e(t) = Eu-1(t) La función u-1(t) multiplica a E por cero para todo t<0 y por uno para todo t>0. El resultado es simplemente cortar la tensión para valores negativos de t. En forma análoga podemos representar la apertura de la llave en el circuito del generador de corriente: i(t) = Iu-1(t) Esta función escalón es la más fácilmente entendible ya que representa la acción de operar una llave para conectar, o desconectar un circuito. Sin embargo debemos tener en cuenta que los circuitos procesan las señales de excitación pudiendo dar como respuesta una señal proporcional a esa excitación pero también a su integral o a su derivada. Consecuentemente debemos pensar en los resultados que esa señal escalón puede producir en un circuito. La integral de la función escalón es la llamada función rampa unitaria que se define como: y la obtenemos de:

t

0

t

12 dtdt)t(utu

Esta función tiene una pendiente unitaria porque proviene de un escalón de amplitud unitaria. Si el escalón no es unitario, digamos igual a E, la pendiente de la rampa será también E. Como vemos en la secuencia gráfica que sigue, la integral de la función rampa es la función unitaria de segundo orden, llamada función parábola unitaria, que se define como:

0 para t<0 t para t>0 u-2 (t) =

0 para t<0 1 para t>0 u-1 (t) =

0 para t<0

t2/2 para t>0 u-3 (t) =


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y la obtenemos de:

t

0

t

23 dttdt(t)utu

También en este caso vale la consideración del coeficiente que acompaña a la función que será el valor de la pendiente de la rampa de la cual se integra. Otras funciones singulares se pueden obtener por integración sucesiva de las ya vistas, pero ocurren raramente en los circuitos. Como resulta evidente podemos lograr la función escalón derivando la función rampa, o ésta última derivando la parábola unitaria. La derivada de la función escalón unitario es una función muy interesante y tiene una importancia muy grande para el tratamiento de las señales de cualquier tipo, periódicas o no, ya que es la base para el Método de Convolución, y para la definición de la función sistema que caracteriza a una red. Veamos la siguiente secuencia gráfica:

Función parábola unitaria

1

0 t

0 t

0 t

1

1

1

u-1(t)

1/2

1

u-2(t)

u-3(t)

Función rampa unitaria

Función escalón unitaria

-/2

-/2 +/2

+/2

1/

f(t)

f'(t) 0

0

1

t

t


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La primera es una función escalón aproximada, llamada también rampa modificada, y la de abajo es la derivada de la anterior. Vemos que la derivada es nula para todos los valores del tiempo fuera del intervalo -/2 a +/2 en el que vale 1/. El área encerrada por esta derivada es igual al producto de por 1/, es decir unitaria. Esto es lógico por cuanto, si la segunda es la derivada de la primera, la primera debe ser la integral de la segunda. Si ahora hacemos tender a cero resulta en que el intervalo tiende a cero mientras que el valor de la derivada en ese intervalo tiende a infinito pero el área encerrada sigue siendo unitaria. Pero si hacemos tender a cero al intervalo obtenemos como primera función la función escalón unitaria y como su derivada una función llamada impulso unitario (o función de Dirac). Usando la notación normalizada podemos expresar que:

(t)udtd(t)u 10

El subíndice 0 hace a esta función la básica de las funciones singulares más que el escalón unitario, y así es considerada en los estudios avanzados de este tema. Ya que el impulso es la derivada del escalón, necesariamente el escalón es la integral del impulso. Por lo tanto el área del impulso debe ser la amplitud del escalón. Por ejemplo si el escalón tiene amplitud A el impulso deberá tener área igual a A. La función escalón y su derivada el impulso. Como se puede observar todos los impulsos tienen la misma amplitud infinita y el mismo ancho nulo, la única distinción está en el área contenida que depende de la amplitud del escalón del cual derivan. No hay posibilidad de deducir este valor en función de las escalas del gráfico, por ello se indica la misma entre paréntesis al lado del impulso, en el ejemplo (1). Podemos seguir obteniendo otras funciones derivando el impulso y así sucesivamente. Para obtener la derivada del impulso podemos considerar un pulso triangular de altura 1/ y ancho 2, (esto es válido porque en realidad la forma del impulso no importa mientras no cambie el área encerrada) y luego hacer tender a cero con lo

u0(t)

()

u1(t)

t

t

0

0

1

(1)


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que resulta en la función doblete unitario, u1(t), que está compuesta por un pico infinito positivo seguido de uno infinito negativo y para todo el resto del tiempo es cero. Funciones aproximadas Impulso y doblete Este doblete unitario tiene la característica que su integral debe ser el impulso del cual deriva, es decir que el área de este último debe ser unitaria si el doblete es unitario, o tener el valor A si el coeficiente del doblete es A. Como podemos observar el coeficiente que completa la definición de la función singular no tiene, salvo para el escalón, las características de una amplitud estrictamente hablando. Por ende las dimensiones de este coeficiente no son las de una tensión aunque se trate de la función que define la ley de variación de una tensión en el tiempo. Lo que si se puede verificar es que todas las funciones derivadas o integradas a partir de un escalón de amplitud dada tienen el mismo coeficiente. II - B.3 - Representación de ondas utilizando funciones singulares. La función escalón tiene su aplicación en el instante t=0. Si queremos que ocurra en otro momento debemos modificar el argumento de la variable de forma que éste sea nulo en el instante deseado. Si cambiamos el argumento de t a t-a obtenemos la función escalón unitaria:

f(t) = u-1(t-a) cuyo argumento se hace cero en t=a, y en consecuencia el escalón se iniciará en ese instante. Si por otra parte cambiamos t por t+b resulta en la función: u-1(t+b) cuyo argumento se hace cero en t=-b dando lugar a un escalón que se inicia en ese momento. Vemos entonces que podemos desplazar la función en el tiempo retrasándola agregando un valor negativo al argumento o adelantándola con un valor positivo.

1/

1/

1/

-

-

t

t

t

u0(t)

t

u1(t)

(1)

(1)

()

(-)

()


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Lo mismo tiene aplicación para el resto de las funciones singulares. Escalón atrasado en a. Rampa adelantada en b. Una de las aplicaciones más útiles de la función escalón unitario es la de seccionar o recortar funciones ya que la multiplicación de cualquier función del tiempo por ella hace que el resultado sea cero para cualquier instante en el cual el argumento sea negativo. Es decir que se usa para indicar en que momento se inicia o conecta la función utilizada. Por otra parte el análisis de las redes se hace a partir de un determinado momento, llamado tiempo cero, y las soluciones son válidas sólo a partir de ese instante. Una forma de indicar la no validez de una respuesta para valores anteriores es multiplicarla por el escalón unitario. Por ejemplo la función f(t)=seno(t) tiene validez para todo tiempo de menos infinito a más infinito; pero la función g(t)=seno(t)u-1(t) tiene valor a partir de t=0 siendo nula para todo valor negativo. Se dice que la función ha sido seccionada al origen. Con los conocimientos recientemente vistos podemos construir funciones de diversas características sumando funciones singulares distintas desplazándolas en el tiempo en forma adecuada. Por ejemplo: queremos representar un pulso rectangular de amplitud 10 voltios y duración 3 segundos a partir del instante t=0, como el de la figura: El pulso La combinación de escalones Si aplicamos un escalón de amplitud 10 en t=0 obtenemos la iniciación de la onda; como el escalón continúa en forma constante hasta t=, pero el pulso no, tendremos que cancelarlo en t=3 con

a 0 t

Eu-1(t-a)

E

t 0

Au-2(t+b)

-b

Ab

f(t) [V]

10

3 0 t [s]

f(t) [V]

-10

3 0 t [s]

10 10u-1(t)

-10u-1(t)


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otra función escalón de forma que al sumarla a la otra resulte en el valor cero, es decir que el escalón deberá tener una amplitud igual a -10. Finalmente tendremos que analíticamente el pulso quedará definido como:

f(t) = 10u-1(t) - 10u-1(t-3) Otro caso: La función La composición Para lograr la forma de onda deseada partimos con un escalón de amplitud igual a 5 más una rampa de pendiente 5/3 en el origen. Sumando ambas llegamos al valor de 10 en el instante t=3. Para volver al valor cero aplicamos en t=3 un escalón de amplitud igual a -10. Pero la función rampa inicial sigue existiendo y debemos cancelarla con otra de igual pendiente pero negativa. Así obtenemos que podemos representar analíticamente la función original como:

f(t) = 5u-1(t) + (5/3)u-2(t) - 5u-1(t-3) - (5/3)u-2(t-3) II - B.3.1 - Representación de formas de onda arbitrarias por trenes de funciones escalón. Se denomina tren de funciones escalón a una serie de funciones escalón con amplitudes variables y retardos que aumentan progresivamente. Por un medio de un tren de este tipo es posible obtener una expresión aproximada de una forma de onda arbitraria. La figura muestra una forma de onda cualesquiera que representaremos por un tren de escalones con un espaciado entre ellos. El escalón inicial ocurre en t=0 y tiene una altura f(0). Su expresión matemática es:

f1(t) = f(0) u-1(t)

En t= se agrega otro escalón para que la onda representada coincida numéricamente con la original, para ello la altura de este escalón es la diferencia entre el valor de la función en t= y el valor del primer escalón o sea f(0). Este escalón resulta entonces:

f2(t) = [f() - f(0)]u-1(t-) =

f(t) [V]

3 0 t [s]

10

5 5

f(t) [V]

-10

3 0 t [s]

10

5u-1(t)

-10u-1(t-3)

-(5/3)u-2(t-3)

(5/3)u-2(t)


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Δ)(tu

Δf(0)f(Δ(Δ 1

= f'() u-1(t-)

donde f'() es la derivada de la función dada evaluada en t=. Puede verse que un tercer escalón agregado en t=2 tendrá el valor:

f3(t) = f'(2) u-1(t-2) consecuentemente podemos escribir una expresión matemática para la forma de onda dada:

f(t)= f(0) u-1(t) + f'() u-1(t-) + f'(2) u-1(t-2) + ... ] Si concordamos en que la expresión dada no es lo suficientemente aproximada podemos reducir el intervalo hasta que el resultado sea aceptable. En el límite, cuando tiende a cero, la expresión toma la forma de una integral. Si queremos resumir el procedimiento podemos decir que el primer escalón es el valor inicial de la función y los subsiguientes tienen la altura necesaria para llegar al valor de la función en el intervalo considerado partiendo el valor de amplitud logrado en el intervalo anterior. Es decir que los escalones tienen la altura diferencia entre el valor anterior y el actual, lo que implica que pueden ser positivos o negativos. En el ejemplo desarrollado se ha tomado como valor para el intervalo el valor inicial del mismo. Esto da un error en defecto cuando la función es creciente y por exceso cuando es decreciente. En algunos casos esto puede mejorarse tomando el valor final del intervalo o el valor medio del mismo. También es posible ubicar los escalones en cualquiera de los tres instantes, inicial, medio o final, independientemente de la consideración anterior. Cada caso en particular deberá evaluarse para tomar la decisión más correcta en este aspecto. II - B.3.2 - Representación de formas de onda arbitrarias por trenes de funciones impulso. La representación de una onda por medio de un tren de impulsos es más fácil que por un tren de escalones. Debe recordarse que un

f(t)

f(0)

f() f(2)

2 3 0 t


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impulso es simplemente un pulso corto con una amplitud relativamente alta con respecto a su ancho y que su forma realmente no importa siendo significativa solamente su área. Una función arbitraria podrá ser resuelta por un tren de impulsos si la dividimos primero en secciones las que pueden tener un ancho uniforme, o no. Nosotros tomaremos para el ejemplo el caso de ancho uniforme. El área de la primera sección es, aproximadamente, f(0) y puede ser representada por un impulso que ocurre en algún punto del intervalo t=0 a t=. Por conveniencia, asumimos que lo ubicamos en el inicio del intervalo. Este impulso que representa la primer área es:

f1(t) = f(0) u0(t) La función original La aproximación por impulsos El segundo impulso representando el área correspondiente será:

f2(t) = f() u0(t-) y así en forma similar para los demás. Finalmente obtendremos la representación matemática de la onda dada como:

f(t)= f(0) u0(t) + f() u0(t-) + f(2) u0(t-2) + ... ] Las consideraciones hechas en cuanto a establecer los intervalos y la ubicación de los escalones son también válidas para el tren de impulsos. Si tiende a cero tendremos una representación exacta de la señal considerada. Aquí tenemos que recalcar que la aproximación es en función de áreas, no de amplitudes; por consiguiente no tendremos una aproximación visual de la forma de onda, sí en el contenido energético. II - B.4 - Respuesta de los circuitos excitados por funciones singulares. El desarrollo de funciones arbitrarias por otras mejor definidas matemáticamente nos permite la evaluación de la respuesta de las redes con excitaciones de cualquier tipo o forma. En particular la respuesta a la función impulsiva será usada para caracterizar la red, conocida ésta será fácil obtener la respuesta a una función cualesquiera si, previamente, la descomponemos en un tren de impulsos. Si el circuito es lineal la respuesta total será la suma de todas las respuestas obtenidas para los impulsos

2 3 0 t 4

f(t)

2 3 0 t 4

f(3

f(4

f(2

f(

f(0


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representantes de todas las áreas de la función original. Lo mismo es válido si conocemos la respuesta al escalón o a cualesquiera otra función (en realidad: sea singular o no). Hemos dicho que la representación de una función por un tren de escalones o impulsos es aproximada, y esta aproximación depende del intervalo elegido. Resulta bastante obvio que la respuesta que obtengamos será también aproximada. La forma práctica de determinar cuando hemos obtenido un error aceptable es realizar la operación dos veces, usando intervalos más pequeños en la segunda vez, y evaluar la magnitud del cambio en la respuesta, si este cambio está dentro del error admisible llegamos a la aproximación aceptable


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Parte C - ONDAS SENOIDALES II - C.1 - Introducción Las razones para prestar una importante consideración a la respuesta de los circuitos lineales en estado estacionario a la excitación senoidal son: 1º) Ocurren en la mayoría de los generadores prácticos. 2º) El teorema de Fourier permite extender el caso senoidal al caso general de análisis. 3º) Son fácilmente manejables matemáticamente. 4º) La respuesta senoidal está relacionada directamente a la respuesta transitoria del circuito, ya que el caso más general es la senoide atenuada exponencialmente. Veamos cómo se genera la onda senoidal en un dispositivo elemental (ver Capítulo VIII): Generador elemental Una espira en un campo magnético está sometida a un flujo magnético dado por el producto de la inducción B y la proyección de la sección de la espira perpendicular al campo: = B S. Tanto el flujo como la inducción recordemos son magnitudes vectoriales. Para una posición de la espira tal como la mostrada en la figura el flujo instantáneo concatenado por la espira será:

= max cos

donde max es el flujo máximo que se obtiene cuando la espira es perpendicular al campo (horizontal en este caso). Si la espira está girando la velocidad de variación del flujo o "contracción magnética" es: d/dt = 0 para max

d/dt = máxima para = 0 La ley de Faraday-Lenz dice que se induce en la espira una fuerza electromotriz (fem) dada por la expresión:

e = -(d/dt)N 10-8

B


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donde e es la tensión en voltios, el flujo en gauss*cm2 (maxwells), N es el número de espiras y 10-8 es la constante de homogeneización de las unidades de medida.

Si tenemos que = max cos será: d/d= -max sen y como resultado la tensión inducida se puede expresar como:

e = Nmax sen 10-8 d/dt

como d/dt es la velocidad angular y = /t si es constante, t=, con lo que queda:

e = Nmax sen t 10-8

e = Emax sen t

e = Emax cos (t - /2) es decir que la tensión inducida es senoidal en cuadratura (en atraso) respecto del flujo que atraviesa la espira (o bobina si N no es igual a uno). Los generadores reales aprovechan mejor los materiales y el espacio adoptando una configuración multipolar. Con varios pares de polos se obtiene más de un ciclo por vuelta resultando la frecuencia de la tensión generada f = n p/60 en hertz (ciclos/segundo) si n es la velocidad de rotación en r.p.m. (revoluciones por minuto) y p el número de pares de polos. Es normal que el elemento rotativo sea el campo magnético, ya que puede ser más liviano y simple, y las bobinas están fijas. En este caso el rotor se denomina "rueda polar" y la estructura permite

max Emax

(t) e(t)

t

e

N

N

S S


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una configuración de mayor número de bobinas inducidas con lo que se puede obtener generadores polifásicos que funcionan con velocidades relativamente bajas para lograr igual frecuencia de salida. II - C.2 - Algunas propiedades y operaciones. Llamaremos onda senoidal, o armónica del tiempo, a cualquier señal que pueda expresarse analíticamente como una función seno o coseno. Es normal utilizar como forma básica el coseno y entonces, recordando que A cos (t - 90º) = A sen (t), la forma general será: f(t) = A cos (t + ) Tomemos dos ondas senoidales de igual frecuencia y deseamos obtener su suma: e1(t) = E1max cos (t + 1) e2(t) = E2max cos (t + 2) e(t) = e1(t) + e2(t) = Emax cos (t + ) |Emax|2 = [|E2max| + |E1max| cos(2 - 1)]2 + [|E1max| sen(2 - 1)]2 = = |E2max|2 + |E1max|2 cos2(2-1) + 2|E2max||E1max| cos(2-1) + + |E1max|2 sen2(2-1) = = |E2max|2 + 2|E2max||E1max|cos(2-1) + |E1max|2[cos2(2-1)+sen2(2-1)] |Emax|2 = |E2max|2 + |E1max|2 + 2|E2max||E1max|cos(2-1) Esta expresión es el llamado "teorema del coseno". Para calcular el ángulo de fase utilizamos la ecuación: = arctg{[|E1max|sen(1)+|E2max|sen(2)]/ /[|E1max|cos(1)+ |E2max|cos(2)]}

1

2-1

2

E1

E2

E


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La composición de ondas senoidales de la misma frecuencia resulta en otra senoide de igual frecuencia, sólo cambia la amplitud y el ángulo de fase pero no su forma de onda. Veamos la suma de dos ondas senoidales: f(t) = A cos t + B sen t hacemos: A = C cos y B = C sen con: C = (A2 + B2)1/2 y = arctg (B/A) resulta: f(t) = C[cos cost + sen sent] o sea: f(t) = C cost + ) similar a lo que vimos antes. Si aplicamos la diferenciación: f(t) = d[A cost + )]/dt obtenemos: f(t) = -A sent + ) puesto en forma de coseno: f(t) = A cost) La amplitud está multiplicada por , la frecuencia es la misma y la fase es de +/2 o sea 90º en adelanto. Por otra parte si aplicamos la integración entre - y t es matemáticamente indeterminada, por ello tomamos como límite inferior a T que haremos tender luego a -, es decir:

dt)t(cosA)t(ft

)T(

será:

t)T() t( sen )(A/)t(f

)T(

)2Tcos()2tcos(A

el segundo término de la expresión varía entre +1 y -1 conforme T tiende al límite; como en estado estacionario no nos incumbe podemos descartarlo. Por otra parte desde el punto de vista físico podemos asegurar que la función es cero al comienzo de los tiempos. Luego: f(t) = (A/ cost)


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La amplitud resulta dividida por esta frecuencia no cambia y la fase resulta en un atraso de /2 o 90º. En general vemos que las operaciones afectan la amplitud y la fase pero no a la frecuencia. Excitando un circuito lineal con una señal senoidal veremos entonces que la respuesta será otra señal senoidal de igual frecuencia pero de distinta amplitud y fase, y estas son funciones de la frecuencia. Las relaciones estímulo-respuesta de las redes R-L-C son las curvas de respuesta en amplitud y fase graficadas en función de la frecuencia. Por ello se dice que están en el dominio de la frecuencia y permite desarrollar otros métodos de cálculo. Otras relaciones que son de utilidad para el manejo de las señales senoidales son las siguientes: sen ( ) = sen cos sen cos cos ( ) = cos cos sen sen sen + sen = 2 sen ½() cos ½() sen - sen = 2 sen ½() cos ½() cos + cos = 2 cos ½() cos ½() cos - cos = -2 sen ½() sen ½() sen sen = ½[cos () - cos ()] sen cos = ½[sen () + sen ()] cos cos = ½[cos () + cos ()] sen 2 = 2 sen cos sen = 2 sen ½ cos ½ cos 2 = cos2 - sen2 = 2 cos2 -1 = 1 - 2 sen2 cos = cos2 ½ - sen2 ½ = 2 cos2 ½ -1 = 1 - 2 sen2 ½ sen2 = ½ (1 - cos 2) cos2 = ½ (1 + cos 2) II - C.3 - Valores característicos. Definimos el valor medio de la onda senoidal, tal como lo dijimos para todas las señales simétricas, como el promedio sobre un medio ciclo (positivo o negativo), ya que si tomamos todo el ciclo tendremos un valor igual a cero. Entonces:

T

I4)tcos(

T

I2dt)tsen(I

T2

I max2T

0max2

T

0maxmed

si recordamos que = 2f = 2(1/T), resulta que el valor medio es: Imed = 2Imax/ Por su parte el valor eficaz resulta:


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T2

TI)tcos()tsen(t2

1T

Idt)t(senI

T1

I2

T0

2T

0

222ef

maxmax

max

por consiguiente resulta que: Ief = Imax/ A partir de los valores encontrados se definen los factores de pico y de forma dados por: Fpico = Imax/Ief = = 1,41 Fforma = Ief /Imed = /2 = 1,11 El factor de pico nos indica la relación entre el valor máximo de la función, que determina el requerimiento de aislación en el caso de una tensión o la capacidad del dispositivo para soportar una corriente, y su valor eficaz, que determina la capacidad energética. El factor de forma relaciona la capacidad energética con la componente de corriente o tensión continua que obtendríamos al rectificar la señal. II - C.4 - Respuesta de los elementos simples. Conforme a la ley de Ohm la tensión en la resistencia esta dada por: e = R i siempre que se respete la convención del sentido de la corriente y la polaridad de la tensión. Si la corriente es senoidal tendremos que:

i = Imax cost e = R Imax cost = Emax cost Se modifica sólo la amplitud, pero no la frecuencia ni la fase. Debemos informar que el valor de una resistencia real puede variar en función de la temperatura y de la frecuencia, esto último por el llamado efecto pelicular que provoca en los conductores que la conducción de la corriente se haga en forma no homogénea por todo el material, concentrándose hacia la periferia. En la inductancia la relación tensión-corriente es: e = L (di/dt) que con: i = Imax cost resulta:

)2/t(cosILtsenIL)tcosI(dtd

Le maxmaxmax

2

2

2

+ e -

i R

+ e -

i L


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o sea: )2/t(cosEe max Se modifican la amplitud y la fase, esta provee una variación en adelanto de la tensión respecto de la corriente de /2 o 90º. La amplitud es también función, directamente proporcional, de la frecuencia. La inductancia se comporta en este aspecto como una resistencia particular que no sólo depende del valor de inductancia. A esta resistencia, que además provoca el cambio de fase de /2 o 90º, la denominamos reactancia inductiva y la definimos como: XL = L Esta reactancia también se expresa en ohmios () ya que su producto por una corriente en amperios debe dar la tensión en voltios (las funciones seno y coseno son adimensionales). Si analizamos ahora la respuesta del capacitor tendremos que la relación entre la tensión y la corriente es:

t

dtiC1

e

que con: i = Imax cost resultará:

atsenC

Itsen

C

IdttcosI

C1

e maxtmaxt

max

donde a es un valor que varía entre +1 y -1 a medida que tendemos al límite inferior. Si asumimos que estamos en régimen permanente esa variación no nos incumbe y, por otra parte, físicamente podemos asegurar que vale cero en el comienzo de los tiempos por lo que podemos descartarla. En consecuencia:

)2/t(cosE)2/t(cosIC1

tsenC

Ie maxmax

max

Se modifican la amplitud y la fase, esta provee una variación en atraso de la tensión respecto de la corriente de /2 o -90º. La amplitud es también función, inversamente proporcional, de la frecuencia. El capacitor se comporta en este aspecto como una resistencia particular que no sólo depende en forma inversa del valor de la capacidad (o directamente de la elastancia). A esta resistencia, que además provoca el cambio de fase de -/2 o -90º, la denominamos reactancia capacitiva y la definimos como: XC = 1/C = S/

+ e -

i C


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Esta reactancia también se expresa en ohmios (). Hemos obtenido las tensiones en los elementos en función de la corriente senoidal que los atraviesa. Veamos ahora las relaciones recíprocas. Conforme a la ley de Ohm la tensión en la resistencia esta dada por: i = G e siempre que se respete la convención del sentido de la corriente y la polaridad de la tensión. Si la corriente es senoidal tendremos que:

e = Emax cost i = G Emax cost = Imax cost Se modifica sólo la amplitud, pero no la frecuencia ni la fase. En la inductancia la relación corriente-tensión es:

t

dteL1

i

que con: e = Emax cost resultará:

atsenL

Etsen

L

EdttcosE

L1

i maxtmaxt

max

donde a es un valor que varía entre +1 y -1 a medida que tendemos al límite inferior. Si asumimos que estamos en régimen permanente esa variación no nos incumbe y, por otra parte, físicamente podemos asegurar que vale cero en el comienzo de los tiempos por lo que podemos descartarla. En consecuencia:

)2/t(cosI)2/t(cosEL1

tsenL

Ei maxmax

max

Se modifican la amplitud y la fase, esta provee una variación, en atraso de la corriente respecto de la tensión, de -/2 o -90º. La amplitud es también función, inversamente proporcional, de la frecuencia. La inductancia se comporta en este aspecto como una conductancia particular que no sólo depende en forma inversa del valor de inductancia. A esta conductancia, que además provoca el cambio de fase de -/2 o -90º, la denominamos susceptancia inductiva y la definimos como: BL = 1/L = /

Esta reactancia también se expresa en mhos [℧] o siemens [S].

+ e -

i G

+ e -

i L


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Si analizamos ahora la respuesta del capacitor tendremos que la relación entre la corriente y la tensión es: i = C (de/dt) que con: e = Emax cost resulta:

)2/t(cosECtsenEC)tcosE(dtd

Ci maxmaxmax

o sea: )2/t(cosIi max Se modifican la amplitud y la fase, esta provee una variación en adelanto de la corriente respecto de la tensión de /2 o 90º. La amplitud es también función, directamente proporcional, de la frecuencia. El capacitor se comporta en este aspecto como una conductancia particular que no sólo depende del valor de la capacitancia. A esta conductancia, que además provoca el cambio de fase de /2 o 90º, la denominamos susceptancia capacitiva y la definimos como: Bc = C Esta susceptancia también se expresa en mhos o siemens (S). En función de lo determinado hasta ahora podemos enunciar el teorema para los circuitos lineales: Si la tensión o la corriente en cualquier parte de una red lineal es senoidal, las tensiones y corrientes en todo la red serán senoidales de igual frecuencia. Si lo extendemos a la frecuencia cero dirá que si en una parte del circuito la tensión o la corriente es continua constante lo será en toda la red. Debe aclararse que esto es cierto en condiciones de régimen permanente, es decir cuando han desaparecido los efectos de un disturbio o cambio en la red. Es decir cuando se ha estabilizado el circuito y desapareció el transitorio.

+ e -

i C


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II - C.5 - El concepto de impedancia y admitancia. Analicemos un circuito serie R-L excitado por un generador de tensión senoidal: es(t) = Emax cost La ecuación de equilibrio es: L(di/dt) + Ri = Emax cost La solución será: i(t) = Imax cost + ) di(t)/dt = -Imax sent + ) Reemplazando en la ecuación de equilibrio: [-Lsent + ) + R cost + )] Imax = Emax cost si: sent + ) = sent cos + sen cost y: cost + ) = cost cos - sen sent [-L sent cos- L sen cost + R cost cos - - R sen sent] Imax = Emax cost Imax [(-Lcos-Rsensent+(-Lsen+Rcoscost = Emaxcost [Imax(Rcos-LsenEmax]cost-Imax(Rsen+Lcossent = 0 Para que una expresión del tipo A cos a - B sen a sea siempre igual a cero deben ser nulas A y B, luego: Imax(Rcos-LsenEmax = 0 Imax(Rsen+Lcos = 0 De la segunda ecuación obtenemos que: Rsen-Lcos sencostg = -L/R de donde:

22 )L(R

Rcos

y

22 )L(R

Lsen

Reemplazando en la primera ecuación del sistema:

+

-

R

L S es(t)

i(t)


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0E)L(R

L

)L(R

RI max22

2

22

2

max

luego:

max22

max E)L(RI 22

maxmax

)L(R

EI

finalmente:

RL

arctgcon)tcos()L(R

E)t(i

22

max

Es decir que la relación tensión a corriente viene dada por los elementos del circuito y de la frecuencia, y no del tiempo. Podemos poner entonces que:

RL

arctgtcosZ

E)t(i max

y llamamos a Z la impedancia del circuito por su semejanza al efecto de la resistencia, aunque depende, en su magnitud y rotación de fase que produce, de la frecuencia angular . Vemos que la impedancia es semejante a un número complejo que tiene una parte que no produce rotación de fase (la resistencia) y otra que provee una rotación de fase de /2, que llamamos reactancia. Cuando analizamos la respuesta del capacitor vimos que provocaba una rotación de fase contraria a la inductancia. Por ello podemos anticipar que un circuito más complejo tendrá una componente reactiva dada por la diferencia entre la reactancia inductiva y la capacitiva, con una rotación de /2 del sentido de la mayor. Dualmente y recíprocamente, obtendríamos el concepto de admitancia, que indicamos con Y. Con una parte que no provee rotación de fase, la conductancia, y otra que provee una rotación de /2, la susceptancia. Esta última como diferencia entre la capacitiva y la inductiva. Tal como en el circuito resistivo puro la relación entre la tensión y la corriente la definen los elementos y su combinación en el mismo. Para completar el concepto veamos un circuito paralelo con los tres elementos pasivos y un generador senoidal de corriente: La ecuación de equilibrio es:

)t(idtde

Cdt)t(e)t(Ge s

t

si: is(t) = Imax cost será: e(t) = Emax cos(t + )

is(t)

e(t)

+

-

G C


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y entonces:

tcosI)tsen(EC)tsen(E)tcos(EG maxmaxmaxmax

tcosIE)tsen(C)tcos(G maxmax

[G(costcos-sen sent)-(C-/sentcos+sencost)]Emax - - Imax cost = 0 agrupando: [Emax(Gcos-CsenImax]cost- -Emax(Gsen+Ccossent = 0 en resumen: Emax(Gcos-CsenImax = 0 Emax(Gsen+Ccos = 0 De la última ecuación obtenemos:

G

Ctg

cossen

con lo que:

2

22

2

GC

Cseny

GC

Gcos

que reemplazadas en la primera da:

0IGCE max2

2

max

o sea que:

2

2

maxmax

GC

IE

lo que nos permite poner:


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G

Carctgtcos

Y

I)t(e max

La respuesta depende exclusivamente de los elementos del circuito a través de la admitancia Y del mismo. II - C.6 - Representación compleja de senoides. El fundamento de la notación compleja está en la expresión de Euler: ejx = cos x j sen x de la cual se deducen: cos x = (1/2)(ejx + e-jx) y sen x = (1/2j)(ejx - e-jx) Supongamos ahora una función dada por: f(t) = |F|cos(t+) [1] si en las expresiones anteriores hacemos x = t+ resultará:

jtjjtj)t(j)t(j ee2

Fee

2

Fee

2

FtcosF

Si definimos la amplitud compleja de la función y la de su conjugada como:

j-j e|F| *Fye|F| F podremos escribir:

)e*F eF ½( f(t) tj-tj

[2] como el segundo término es el conjugado del primero resulta que:

]e F Re[ f(t) tj

[3] con Re indicando "parte real de". La fase está incluida en el carácter complejo de la amplitud. Las ecuaciones [1], [2] y [3] son distintas expresiones de la misma función. Debe hacerse notar que las dos "componentes" de la ecuación [2] no tienen significado físico por separado, sólo la semisuma de ambas puede representar una tensión o corriente senoidal.


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Sin embargo veamos que pasa si excitamos un circuito, por ejemplo R-L, con una tensión dada por:

tjs eE)t(e

la ecuación de equilibrio es:

tjeERidtdi

L

la respuesta será de la forma: tjeI)t(i

ya que satisface la ecuación:

tjtj eEeILjR

con:

Z

ERLj

EI [4]

donde Z = R + jL representa la impedancia compleja del circuito. Si ahora partimos de una excitación de la forma:

tj*s eE)t(e

la ecuación de equilibrio es: tj* eERidtdi

L

y la respuesta será de la forma: tj* eI)t(i

ya que satisface la ecuación:

tj*tj* eEeILjR

con:

*

***

Z

ELjR

EI [5]

expresión conjugada de la anterior. Si ahora aplicamos el principio de superposición tendremos que la respuesta a la semisuma de las excitaciones es la semisuma de las respuestas encontradas. Luego si:

)e*E eE ½( (t)e tj-tjs

será:

)e*I eI ½( i(t) tj-tj

que podemos poner:

]e I Re[ i(t) tj

+

-

R

L

es(t)

i(t)


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es decir que podemos obtener la respuesta usando sólo la parte real de la tensión como excitación. Aquí podemos notar que si se parte de la función seno se llega a la conclusión de que es suficiente tomar la parte imaginaria, y precisamente como el coseno es la parte real es la forma más utilizada. Volviendo al caso analizado, y mientras se sobreentienda que tomamos sólo la parte real, podemos establecer la correspondencia, no igualdad:

tje E e(t)

[6] y

tje I i(t)

[7] donde las amplitudes complejas están dadas por:

Z

ERLj

EI

Puesto que esta relación está definida físicamente por el circuito resulta que las propiedades de éste vienen expresadas totalmente por la impedancia compleja Z. La expresión:

]e I Re[ i(t) tj

puede ponerse en forma trigonométrica: )tcos(I)t(i

mientras que:

jeII

Si para la impedancia adoptamos la forma polar:

jeZZ

se tiene:

yZ

EI

por consiguiente el ángulo de fase de la corriente se halla comprendido en el carácter complejo de su amplitud. Si estamos en el estado estacionario podemos desprendernos del factor ejt resultando las únicas cantidades importantes E, I y Z que son complejas y se relacionan por la expresión de la ley de Ohm: E = I Z


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La notación compleja permite tratar con toda corrección la adición de senoides de igual frecuencia pero distintas amplitudes y ángulos de fase. Si volvemos a la primera expresión de Euler: ejx = cos x j sen x vemos que representa a un vector unitario ubicado con un ángulo x del eje real. Esto implica que el factor ej que ponemos en la

cantidad compleja

F , amplitud de la señal f(t), está indicando la posición de ese vector con su ángulo de fase por lo que se lo denomina fasor. Al multiplicarlo por ejt lo que hacemos es introducir la rotación del mismo alrededor del origen con velocidad angular . La parte real, proyección sobre este eje, resulta ser la función coseno, mientras que la imaginaria es la función seno. Para t = 0 Para t = t En general tendremos:

tcosFeFRe tj [A]

tsenFeFIm tj [B]

ambas igualmente útiles. El caso más general puede considerarse una combinación lineal de componentes seno y coseno aplicando la relación: i(t) = |I|cos(t + ) = |I|coscost - |I|sensent si hacemos A = |I|cos y B = |I|sen tendremos: i(t) = A cost - B sent

ba III

j

r i(0)

I

i(t)

j

r

Iejt

t


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luego: I = A + jB con:

22 BAI

y: AB

arctg

Si en las expresiones [A] y [B], o en las [6] y [7], anteriores obviamos el factor ejt, dando por establecida la frecuencia con la que trabajamos, equivale a "subirnos a la calesita" trabajando con los fasores como simples complejos. Esto nos evita usar la geometría vectorial para su análisis, recurriendo al álgebra compleja. Como ahora nuestra variable resulta ser la frecuencia decimos que estamos en el dominio de la frecuencia al cual hemos llegado desde el dominio del tiempo donde tiene existencia real la función senoidal. Al prescindir del factor ejt dijimos que los fasores dejan de girar, lo que nos queda es su posición "inicial", el ángulo de fase. Realmente esta posición absoluta no es importante ya que, estrictamente, depende del instante en que consideremos que es el "inicial". Lo realmente definitorio es la posición relativa de todos los fasores que estemos analizando por lo que se puede prescindir de los ejes y dejar sólo los fasores; y a partir de esto poner a cualquiera en forma horizontal (girando a todos un mismo ángulo) y transformándolo así en el fasor de referencia. Hay que hacer notar que estamos considerando fasores que giran a la misma velocidad (es decir igual frecuencia angular ). No podemos poner en la misma gráfica fasores de distinta frecuencia porque obviamente la posición relativa de ellos varía en el tiempo. No obstante suprimir el factor ejt en las expresiones no debemos olvidar su existencia en las operaciones de integración y derivación transformadas: dividir y multiplicar, respectivamente, por j. El uso de estas expresiones simplificadas, transformadas al dominio de la frecuencia se denomina "Cálculo Simbólico" por cuanto no utilizamos la función real sinó elementos, símbolos, que las representan. II - C.7 - Relaciones fasoriales. Para la resistencia tenemos que: v(t) = R i(t), aplicando la tensión compleja: Vmax ej(

t+) = Vmax cos(t+) + j Vmax sen(t+) y supongamos la corriente compleja:

j

r Ia

I

0

Ib

A

B


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Imax ej(t+) = Imax cos(t+) + j Imax sen(t+)

obtenemos: Vmax ej(

t+) = R Imax ej(t+)

suprimiendo ejt en ambos términos: Vmax ej

= R Imax ej en forma polar

en general resulta la expresión fasorial: V = R I con = En el dominio del tiempo si: v(t) = 8 cos(100t - 50º) [voltios] y R = 4 [ohmios] es: i(t) = v(t)/R = 2 cos(100t - 50º) [amperios] En el dominio de la frecuencia: V = 8 -50º [voltios] y I = V/R = 2 -50º [amperios] Para la inductancia es: v(t) = L di(t)/dt si excitamos con la tensión compleja:

dt

e Id L e V

)tj(max)tj(

max

Vmax ej(

t+) = jL Imax ej(t+)

Vmax ej

= jL Imax ej

obtenemos la relación fasorial: V = jL I En el dominio del tiempo si suponemos la tensión: v(t) = 8 cos(100t - 50º) [voltios] y L = 4 [henrios] será:

)º90tcos(VL1

dt)t(vL1

)t(i max

t

)º140t100cos(02,0)º140t100cos(84001

[amperios]

Vmax = R Imax


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En el dominio de la frecuencia: V = 8 -50º [voltios] e I = V/jL = [8 -50º]/(jx100x4)= = [8 -50º]/[400 +90º] = 0,02 -140º [amperios] que podemos interpretar como: i(t) = 0,02 cos (100t - 140º) [amperios] ya que estamos en el dominio de la frecuencia = 100 y hemos trabajado con la función coseno. Para la capacidad es:

dt

)t(vdC)t(i

excitando con tensión fasorial:

)t(jmax

)t(jmax

)t(jmax eVCjeV

dtd

CeI

que se puede poner: I = jC V Si comparamos estas expresiones con las que obtuvimos en el dominio del tiempo, y recordamos que multiplicar por el operador j significa rotar +/2, veremos la total correspondencia. Cuando definimos el concepto de impedancia analizamos un circuito R-L, veamos cómo lo hacemos utilizando el cálculo simbólico.

tcosEiRdtdi

L

tcosE)t(e

max

maxs

Si pasamos al dominio de la frecuencia: = 0º - z = -z finalmente:

+

-

R

L

es(t)

i(t)

ES = Emax 0º jL Imax + R Imax = Emax 0º

(jL + R) Imax = Emax 0º

|Z|= (L)2 + R2 Z = arctg(L/R)

|I| = |E|

|Z| Imax =

Emax º

|Z| Z

Imax = |Emax|

|Z| Z


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que coincide exactamente con los valores encontrados, ya que pasando al dominio del tiempo obtenemos:

RL

arctgtcosZ

E)t(i max

Si ahora, para terminar, vemos el ejemplo del circuito paralelo R-L-C. Tenemos que la ecuación de equilibrio es:

)t(idtde

Cdt)t(e)t(Ge s

t

con: is(t) = Imax cost pasando al dominio del tiempo:

G

CarctgY

Que podemos interpretar como:

G

Carctgtcos

|Y|

I)t(e max

para lo cual hemos recordado que trabajamos con la función coseno y estamos en el dominio de la frecuencia . Si hubiésemos trabajado con la función seno no habría cambiado nada del procedimiento, sólo en la expresión final se cambiaría el coseno por el seno. A este respecto debemos de recalcar que si trabajamos con varias funciones de excitación todas deben ponerse previamente en función del seno o del coseno, no podemos mezclar las funciones por cuanto entre ellas hay una diferencia de fase de /2. La segunda aclaración que debemos hacer es que, normalmente, las señales armónicas se expresan en su valor eficaz y no en su amplitud, por ello para pasar al dominio del tiempo debemos multiplicar el resultado por el factor de pico (raíz cuadrada de dos) si hemos partido de información dada en el dominio de la frecuencia.

is(t)

e(t)

+

-

G C

IS = Imax 0º GEmax - j(/)Emax + jCEmax = Imax 0º

|Y| = G2 + [C-(/)]2

{G + j[C-(/)]}Emax = Imax 0º Y Emax = Imax 0º

Emax = Imax º

|Y| Y Emax =

|Imax| Y

|Y|


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II - C.8 - Ejemplo de cálculo. Veamos un circuito paralelo R-L-C: is(t) = 5 cos10t + 30º) A. R = 10 Ω L = 3 H C = 0.005 F Tenemos que la ecuación de equilibrio es:

)t(idtde

Cdt)t(e)t(Ge s

t

pasando al dominio de la frecuencia ( = 10): IS = 5 30º = 5 cos 30º + j 5 sen 30º = 4.33 + j 2.5 A G·E + (/j)·E + jC·E = IS [(1/R) - j(1/L) + jC]·E = IS Y = [(1/R) - j(1/L) + jC] reemplazando valores: Y = (1/10) - j[1/(10·3)] + j(10·0.005) = = 0.1 + j(0.05 - 0.033) = 0.1 + j0.0167 |Y| = ( G2 + B2 )1/2 = 0.0103 Y = arctg (B/G) = arctg 0.167 = 9,48º luego es: E = IS/Y = ( 5 30º / 0.0103 9.48º ) = = 485.4 20.52º volts Volviendo al dominio del tiempo: e(t) = 485.4 sen (10t + 20.52º) volts

is(t)

e(t)

+

-

R L C


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NOTAS Y COMENTARIOS


CAPÍTULO III

RESOLUCIÓN SISTEMÁTICA DE CIRCUITOS

Parte A: INTRODUCCIÓN Parte B: MÉTODO DE LAS RAMAS ("2b") Parte C: MÉTODO DE LAS CORRIENTES DE MALLAS (MÉTODO DE MAXWELL o DE LAS MALLAS) Parte D: MÉTODO DE LAS TENSIONES NODALES (MÉTODO DE LOS NODOS ) Parte E: EXPRESIONES MATRICIALES DE LAS ECUACIONES DE REDES Parte F: OPERACIONES CON MATRICES




Teoría de los Circuitos I - Ing. Jorge M. Buccella - Capítulo III

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ÍNDICE Parte A: INTRODUCCIÓN 3 A.1 Definiciones 3 A.2 Topología 4 Parte B: MÉTODO DE LAS RAMAS 9 B.1 Procedimiento 9 B.2 Aplicación de la ley de Ohm 9 B.3 Aplicación de las leyes de Kirchhoff 11 B.4 Aplicación práctica del método "2b" 13 B.5 Circuitos con generadores ideales 16 B.5.1 Transformación de fuentes ideales en reales 16 B.5.2 Aplicación de la falsa variable 19 Parte C: MÉTODO DE LAS CORRIENTES DE MALLA 23 C.1 Introducción 23 C.2 Aplicación del método 24 C.3 Caso de generadores de corriente 27 C.4 Caso de generadores de corriente en serie con impedancias. 29 Parte D: MÉTODO DE LAS TENSIONES NODALES 31 D.1 Introducción 31 D.2 Aplicación del método 31 D.3 Caso de generadores de tensión 34 D.4 Caso de generadores de tensión en paralelo con impedancias. 36 Parte E: EXPRESIONES MATRICIALES DE LAS ECUACIONES DE REDES 37 E.1 Método de las mallas 37 E.2 Método de las tensiones nodales 40 E.3 Expresión matricial de las ecuaciones de nodos y mallas 40 Parte F: OPERACIONES CON MATRICES 43 TOTAL: 44 páginas.


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III - RESOLUCIÓN SISTEMÁTICA DE CIRCUITOS

Parte A - INTRODUCCIÓN III - A.1 - Definiciones. Los tres elementos pasivos básicos: resistencia, inductancia y capacidad; junto con los dos tipos de fuentes: tensión y corriente; combinados de diversos modos constituyen las denominadas redes eléctricas. En ellas encontramos los siguientes entes constituyentes: Rama: dipolo activo o pasivo, constituido por uno o más elementos pasivos y/o activos que forman una unidad entre dos terminales que no se puede o desea dividir. Pueden ser ejemplos circuitos equivalentes de Thèvenin o Norton de dipolos más complejos. Está definida por sus dos terminales o nodos externos. Nudo o nodo: es la unión de dos o más ramas de una red. Puede indicarse como nodo esencial aquel en que se unen tres o más ramas en razón que las ramas no pueden asociarse en serie, normalmente usaremos el concepto general ya que se indica un nodo donde deseamos obtener una información en particular. Malla: consideramos que es todo circuito cerrado dentro de la red, denominándose estrictamente como malla esencial aquel que no puede ser subdivido en otros. A los fines prácticos trabajaremos con las mallas esenciales. Aunque pueda resultar obvio, debemos conocer las características de todos los elementos de la red, tanto pasivos como activos, lo que dejará como incógnitas las tensiones y corrientes de las ramas. En términos generales entenderemos que cuando hablamos de resolver un circuito estamos diciendo que queremos determinar la tensión y corriente de cada rama. Por lo tanto debemos definir previamente las ramas (consecuentemente los nodos) y en cada una de ellas la tensión con su polaridad y la corriente con su sentido. Esta definición es totalmente arbitraria por lo que la haremos conforme a nuestra conveniencia o necesidad, pero una vez definida se deberá respetar en todo el desarrollo del problema y los resultados serán coherentes con ella (es decir que los signos se corresponderán con las polaridades o sentidos establecidos inicialmente). Esta tensión y corriente de cada rama quedan identificadas con la rama, pero, teniendo en cuenta que puede estar constituida por varios elementos, no implica que necesariamente esa tensión y/o esa corriente sean las existentes sobre alguno (o algunos) de los elementos de la rama. De otra forma: la corriente y la tensión en un elemento de la rama no coinciden, en general, con la tensión y corriente de la rama, salvo que sea un elemento único. Se destaca que la tensión y la corriente de la rama, y no la tensión o corriente de un elemento de ella, son las que van a caracterizar a la rama. En la figura se verifica que la tensión eab, que es la tensión que caracteriza a la rama es la misma que la existente en terminales


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de la resistencia y de la inductancia ya que ambas están en paralelo. Pero queda claro que la corriente de la rama i, es igual a la suma de las corrientes en los dos elementos. Todos los métodos de resolución utilizan las tres leyes de la electricidad, sea en forma separada o como combinación entre ellas; es por lo tanto fundamental dominar sus conceptos, condiciones de validez y formas de aplicación antes de pretender utilizar cualesquiera de los métodos. Aunque no está normado asumiremos como convención el uso de las letras minúsculas para indicar las incógnitas de los problemas y ejemplos y las mayúsculas para los datos. La tensión y la corriente son hechos físicos y por lo tanto existen o no existen. La indicación de una tensión o corriente negativas sólo es a los efectos de relacionarlas con la polaridad o el sentido que se estableció al definirlas. No puede cambiarse un signo si no se cambia a la vez la polaridad o el sentido que le dio origen. Las polaridades y los sentidos fijados al definir las tensiones y corrientes son las de referencia para expresar analíticamente las relaciones entre ellas. El signo resultante por este concepto es independiente del signo que pueda tener la magnitud de la misma. Es evidente que si cambiamos un sentido o polaridad deberemos cambiarle el signo a la variable en todas las instancias en que esta aparezca (ecuaciones, gráficos, resultados). III - A.2 - Topología. Hemos visto que con el uso adecuado de las leyes de Ohm y de Kirchhoff puede resolverse cualquier red lineal. El objetivo de este capítulo es sistematizar esta actividad de forma que las redes puedan ser resueltas de la forma más simple y segura. El establecer métodos nos permitirá, eventualmente, desarrollar programas computacionales que nos faciliten los cálculos. Como herramienta de soporte para el análisis de los circuitos utilizaremos una rama de la Geometría denominada Topología. Esta disciplina estudia los entes geométricos, o su estructura, sin importarle ni la forma ni el tamaño. Sólo le interesa el modo en que se combinan los elementos de la figura o ente. Es decir que el ente sigue siendo el mismo aunque se pliegue, estire, etc. Mediante la Topología se puede llegar a determinar el número y la estructura de las ecuaciones necesarias para resolver una red. Es

R iL

iR

i

L

a b


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decir nos permitirá determinar el número mínimo de ecuaciones simultáneas que resuelven la red. Dada una red cualquiera se puede dibujar el gráfico, o esquema topológico, que es una representación esquemática que permite visualizar en forma rápida y simple la forma en que se conectan los elementos del circuito y de ese modo podemos llegar a definir cuantas ramas, nodos y mallas posee y, con ello, establecer las ecuaciones a plantear para su resolución. En el gráfico deberán aparecer aquellos elementos que sean realmente incógnitas. Las fuentes no aparecen en el gráfico ya que no son incógnitas y, por lo tanto, para obtener el gráfico se pasivisa el circuito enmudeciendo los generadores. Esto se obtiene haciendo que la magnitud generada sea cero y no borrándolos. En otras palabras, reemplazamos los generadores ideales de tensión por cortocircuitos y los de corriente por circuitos abiertos. Para trazarlo se reemplazan los elementos restantes de la red por trazos, rectos o curvos, configurando cada uno a una rama de la red. La unión de dos o más ramas definirá a un nodo, y quedarán indicados los caminos cerrados que constituyen las mallas. La existencia de un generador de tensión ideal (no asociado a ninguna impedancia) implica un cortocircuito entre los nodos terminales al ser enmudecido. Se crea con ello un único nodo topológico. A este nodo se lo denomina supernodo por cuanto topológicamente es un solo nodo pero en realidad tiene dos tensiones distintas en sus extremos (tensiones cuya diferencia conocemos por estar establecida por el propio generador en forma absoluta). Por su parte un generador de corriente ideal al ser enmudecido hace desaparecer la rama por él constituido. Esta rama recibe el nombre de falsa rama por no serlo topológicamente aunque sepamos que es un camino entre dos nodos por el cual circula sin duda la corriente generada por el dispositivo. En el caso de circuitos acoplados inductivamente, en el gráfico correspondiente aparecen partes separadas. En conclusión en el gráfico de la red están asociados cuatro tipos de elementos: ramas, nodos, mallas y partes separadas. Es el esqueleto de la red y retiene solamente su aspecto geométrico. Las partes separadas se pueden unir en un único nodo, imponiendo la condición de tener el mismo potencial todos los nodos superpuestos. Pueden considerarse así gráficos formados por una sola parte. El gráfico pone en evidencia los caminos cerrados, propiedad necesaria para que existan corrientes. Si destruimos esos caminos, eligiendo adecuadamente las ramas que eliminamos, nos queda un remanente del gráfico original con todos sus nodos conectados entre sí pero sin ningún camino cerrado. A este gráfico formado por un grupo cualesquiera de ramas suficientes en número para contener (vincular) a todos los nodos, se denomina árbol. El número de ramas remanentes, llamadas ramas del árbol, es siempre igual al número total de nodos menos uno. Si agregamos cualquier otra rama se establecerá un camino cerrado. Las ramas suprimidas se denominan enlaces o eslabones, y su número indica la cantidad de mallas de la red.


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Si indicamos con nt el número total de nodos, con l (ele) el número de mallas y con b el de ramas tendremos que:

b = (nt - 1) + l llamada ecuación general de la Topología. Habíamos establecido que resolver un circuito era encontrar todas las corrientes y tensiones en las ramas del mismo. Al definirse con b el número de ramas estamos indicando que tendremos 2b incógnitas en la red (tenemos una corriente y una tensión a determinar en cada rama) lo que implica que para obtener una solución única deberemos plantear igual número de ecuaciones. En cada rama mostrada en el gráfico de la red podemos escribir una relación tensión-corriente con los elementos que la integran. Tenemos entonces b ecuaciones suministradas aplicando la ley de Ohm. En cada nodo podemos plantear una ecuación de suma de corrientes, pero no podemos usarlas a todas porque resultarían combinaciones lineales de las otras. Podemos escribir, entonces, solamente (nt - 1) ecuaciones independientes de la primera ley de Kirchhoff. Por último en cada camino cerrado podemos plantear una ecuación de suma de tensiones, es decir que la segunda ley de Kirchhoff nos suministra l ecuaciones. En resumen, tenemos: b >>>> ecuaciones de la ley de Ohm (volt-amper) nt - 1 ecuaciones de la 1ª ley de Kirchhoff ( i = 0) l >>>> ecuaciones de la 2ª ley de Kirchhoff ( e = 0) cuya suma, conforme con la ecuación general de la Topología, es igual a 2b, quedando definida la posibilidad formal de resolver en forma unívoca los circuitos eléctricos. Lo que acabamos de ver es la fundamentación del llamado "Método de las Ramas", o "Método 2b" por el número de ecuaciones simultáneas a plantear y resolver. Como característica básica tiene la de ser absolutamente analítico y resultan sus ecuaciones directamente sintetizables unívocamente. Como contrapartida resulta evidente lo complejo de la solución algebraica por el número de ecuaciones simultáneas. Si recordamos las expresiones de la ley de Ohm observaremos que pone a la corriente en función de la tensión, o viceversa, a través de los elementos de la rama considerada. Esto nos indica que el número de ecuaciones incógnitas independientes no es realmente 2b sino sólo la mitad, no obstante usualmente sigue siendo un número elevado por lo que surge la idea de buscar otro método que nos reduzca esa cantidad de ecuaciones simultáneas aunque no el número total a resolver. Si observamos el árbol de la red veremos que es imposible que circulen corrientes, por ende podemos decir que las variables independientes son las corrientes en los enlaces, o las corrientes en las mallas. Esto implicará que son l (ele) las incógnitas


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independientes y, por lo tanto, podemos resolver el circuito recurriendo al "Método de las Corrientes de Mallas" o "Método de Maxwell", o "Método de las Mallas". Finalmente, si cortocircuitáramos todos los nodos de la red resultará en la pasivisación de la misma, pudiendo deducir de ello que las tensiones en los nodos, con respecto a uno de referencia, son las variables, o incógnitas, independientes. Plantear esta premisa con sus nt - 1 ecuaciones es la base del "Método de las Tensiones Nodales" o "Método de los Nodos". Debemos recalcar que aplicar cualesquiera de estos dos últimos métodos no implica que cambien nuestras incógnitas respecto lo dicho inicialmente con el método de las ramas, sólo se facilita el cálculo mediante el uso de variables auxiliares que utilizaremos luego para encontrar las 2b incógnitas originales. La selección del método en cada caso dependerá de los recursos de cálculo, del circuito y de las incógnitas que, en particular, necesitemos obtener. COMENTARIO IMPORTANTE En el desarrollo de los métodos de resolución que siguen hemos considerado circuitos ejemplos constituidos por resistencias y generadores de corrientes y tensiones continuas constantes. Debemos aclarar que en cada circuito particular tendremos que plantear las relaciones de la ley de Ohm como correspondan, es decir que tendremos expresiones integro-diferenciales si trabajamos en el dominio del tiempo con funciones temporales o, eventualmente, aplicando los conceptos de impedancias y/o admitancias si trabajamos en el dominio de la frecuencia, mediante el cálculo simbólico, en funciones armónicas del tiempo. En este último caso las expresiones serán con números complejos expresados en forma polar o binómica.


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NOTAS Y COMENTARIOS


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Parte B - MÉTODO DE LAS RAMAS

III - B.1 - Procedimiento. Como se dijo en la fundamentación del método la resolución de una red se hace aplicando simultáneamente las leyes de Ohm y de Kirchhoff. Para ello nos guiamos por lo que el gráfico de la red, o esquema topológico, nos muestra. Entonces podemos establecer el siguiente procedimiento: 1º) Establecer las incógnitas a resolver. Indicamos las tensiones y corrientes de cada rama con sus polaridades y sentidos respectivos. Con ello quedarán definidas las ramas y nodos de la red real a resolver. 2º) Trazamos el gráfico de la red. Para ello la pasivisamos enmudeciendo los generadores. Esta operación nos definirá las ramas y los nodos topológicos (que pueden diferir de los reales). 3º) Sobre las ramas topológicas escribimos las relaciones volt-ampere (ley de Ohm), tensión característica de la rama en función de la corriente característica de la rama y de los elementos activos y pasivos que contenga, o la corriente característica de la rama en función de la tensión característica de la rama y de los elementos. 4º) En los (nt - 1) nodos de la red escribimos las expresiones de la 1ª ley de Kirchhoff (sumatoria algebráica de las corrientes características de las ramas que concurren al nodo igualada a cero). 5º) En las mallas de la red, que pueden detectarse trazando el árbol del circuito, escribimos las expresiones de la 2ª ley de Kirchhoff (sumatoria algebráica de las tensiones características de las ramas de la malla igualada a cero). 6º) La resolución de las ecuaciones nos determinará el valor de las incógnitas buscadas. III - B.2 - Aplicación de la Ley de Ohm. La ley de Ohm es la que resulta más compleja de escribir por lo que daremos algunos ejemplos: Las expresiones son positivas ya que el sentido de la corriente iab, de a hacia b, es coherente con la polaridad de la tensión eab, positiva en a con respecto a b. Las expresiones son negativas ya que el sentido de la corriente iba, de b hacia a, es contraria con la polaridad de la tensión eab, positiva en a con respecto a b.

eab = R · iab iab = eab · ( 1/R) = eab · G

a b R iab

eab = - Z · iba iba = - eab · (1/Z) = - eab · Y

a b Z iba


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El mismo caso anterior, con la polaridad de la tensión E que se opone a la tensión eab, positiva en a con respecto a b. Esta rama representa un generador real de tensión con su impedancia interna en serie, pero también puede ser el resultado de un equivalente de Thèvenin de una rama activa más compleja. La corriente de la rama, iba de b hacia a, tiende a hacer que la tensión de la rama, eba positiva en b con respecto a a, sea positiva, la corriente del generador I también. Esta rama representa un generador real de corriente con su impedancia interna en paralelo, pero también puede ser el resultado de un equivalente de Norton de una rama activa más compleja. Este es el caso de una rama activa compuesta por los dos tipos de generadores con una impedancia. Notemos que aunque enmudezcamos los generadores sigue existiendo la vinculación entre los nodos terminales a y b a través de la impedancia Z, esto quiere decir que es una rama topológica además de ser una real. El planteo de estas ecuaciones se simplifica si aplicamos el método de superposición. Analicemos el último caso: tenemos tres factores que contribuyen a la existencia de la tensión en bornes de la rama, la corriente del generador I, la tensión del generador E y la corriente de la rama iba. Si enmudecemos los dos generadores el circuito resultante es el de la impedancia atravesada por la corriente de malla iba lo que resulta en un término e'ba = iba · Z. Si enmudecemos el generador de tensión y hacemos la corriente de malla igual a cero nos queda la corriente I circulando sobre la impedancia Z de derecha a izquierda con lo obtenemos e"ba = I · Z. Por último si sólo está activo el generador de tensión E resultará que e"'ba = - E .

eab = -Z·iba - E iba = - eab·(1/Z) - E·(1/Z) = - eab·Y - E · Y

Z a b +

- E iba

a Z

b

iba I eba = iba · Z + I· Z

iba = - I + eba·(1/Z) = -I + eba · Y

eba = iba·Z + I·Z - E iba = -I +(eba - E)·(1/Z) = -I +(eba - E)·Y

a

Z

b iba I +

- E


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Sumando los tres términos resulta en la ecuación mostrada para eba. Otro ejemplo similar tenemos con la rama que mostramos a continuación. Observamos en esta rama que el cambio de estructura con respecto a la rama anterior no cambia la ecuación resultante lo que indica que son ramas equivalentes. No obstante, no son iguales por cuanto las tensiones y corrientes en los elementos no son las mismas (excepto, claro está, las magnitudes generadas por las fuentes de energía). En general con los ejemplos dados será suficiente para resolver cualquier tipo de rama. Aunque sea reiterativo recordemos que cualquier rama pasiva puede reemplazarse por su impedancia, o admitancia, equivalente, mientras que una rama activa puede resolverse con un equivalente de Thèvenin o Norton. Como resumen debemos indicar que la ley de Ohm nos permite hacer una descripción analítica, modelo matemático, de cada una de las ramas, teniendo en cuenta los elementos y la estructura de cada una de ellas. Aquellas ramas que no aparecen en el gráfico de la red no admiten una relación volt-amper ya que están constituidas por, por lo menos, un generador ideal y, tal vez por algún elemento más. Podemos dar como ejemplo un generador de corriente en serie con una impedancia (en cuyo caso sabemos la corriente y la tensión sobre la impedancia, pero no podemos indicar la tensión total de la rama) o, dualmente, un generador de tensión en paralelo con una impedancia (en este caso lo desconocido es la corriente de la rama total). III - B.3 - Aplicación de las Leyes de Kirchhoff. La 1ª ley de Kirchhoff, llamada ley de las corrientes o de los nodos o, sintéticamente, i = 0, establece que un nodo no puede ser ni fuente ni sumidero de cargas eléctricas (si el sistema es conservativo). Por ende la suma de las corrientes entrantes al nodo debe estar compensada con las que salen. Analíticamente, si asignamos por convención particular un signo a las corrientes que entran y el contrario a las que salen,

eba = iba·Z + I·Z - E

iba = -I +(eba - E)·(1/Z) = -I +(eba - E)·Y

Z

a b iba

+ - E

I


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lo podemos expresar como que la suma algebráica de las corrientes en un nodo es igual a cero. Para el método de las ramas el planteo de esta ley lo debemos hacer en (nt - 1) nodos de la red ya que la restante ecuación que puede escribirse resultará una combinación lineal de las otras por lo deberá descartarse para la solución del sistema de ecuaciones. El procedimiento es, por lo expresado, el siguiente: 1º) Establecer una convención para el signo de las corrientes entrantes al nodo (por ejemplo el positivo) y el contrario (negativo) para las salientes. Esta convención puede ser cambiada para cada nodo (el cambio de convención implica multiplicar la ecuación por -1) pero es de orden práctico utilizar siempre la misma cualquiera que fuere. 2º) Utilizando las corrientes genéricas de las ramas (no las corrientes en los elementos como ya se dijo) sumar algebraicamente las concurrentes a los (nt - 1) nodos de la red. Insistimos con que el signo que le corresponde a cada corriente por el hecho de entrar o salir del nodo es aparte del que eventualmente tuviere la magnitud de la misma. La 2ª ley de Kirchhoff, ley de las tensiones, de las mallas, o en forma resumida e = 0, establece que si recorremos una red conservativa, partiendo de un nodo y terminando el recorrido en el mismo nodo, la suma de las tensiones que encontremos debe ser igual a cero. Es decir que el hecho de recorrer un circuito no nos permite ni ganar ni perder potencial eléctrico. Para formular la expresión analítica para cada una de las l (ele) mallas que nos muestra el árbol de la red debemos adoptar dos convenciones arbitrarias: una el sentido en que recorreremos la malla a partir del nodo que elijamos (que puede ser cualquiera) y la otra el signo que le asignaremos a cada tensión de rama (no de elemento) que encontremos. Por ejemplo tomar el sentido del reloj para el recorrido y considerar como positivas a las tensiones que aumentan el potencial y, coherentemente, negativas a las que disminuyen el mismo. El procedimiento es, por lo expresado, el siguiente: 1º) Establecer una convención para el signo de las tensiones que aumentan el potencial (por ejemplo el positivo) y el contrario (negativo) para las que lo disminuyen. Esta convención puede ser cambiada para cada malla (el cambio de convención implica multiplicar la ecuación por -1) pero es de orden práctico utilizar siempre la misma cualquiera que fuere. 2º) Asignar un sentido de rotación por la malla para evaluar las tensiones, horario o antihorario. Cambiarlo implicará multiplicar la ecuación por -1. 3º) Utilizando las tensiones genéricas de las ramas (no las tensiones en los elementos como ya se dijo) sumar algebraicamente las que encontremos en el recorrido de las l (ele) mallas de la red. Insistimos con que el signo que le corresponde a cada tensión por las convenciones adoptadas es aparte del que eventualmente tuviere la magnitud de la misma.


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Ejemplos: III - B.4 - Aplicación Práctica del Método "2b". Sea el circuito de la figura donde hemos definido los nodos y con ellos delimitado las ramas que consideraremos. Como primer paso indicamos con nombre y polaridad o sentido las tensiones y corrientes a resolver. El segundo paso es trazar el gráfico o esquema topológico de la red.

ia ib

ic id

ie

+ ia - ib - ic - id + ie = 0 Si: ia = 5A; ib = -3A; ic = 6A; id = 5A y ie = 3A será: + 5A + 3A - 6A - 5A + 3A = 0A

- e1 e2

e3

e4

e5

+ +

+ +

+

-

-

- -

- e5 + e1 - e2 - e3 + e4 = 0 Hemos utilizado la rotación en sentido horario y considerado al signo de la polaridad que encontramos primero como signo de la tensión evaluada. Es decir que las tensiones que decrecen el potencial a medida que las evaluamos son positivas.

I

R4 e4

-

+ i4

E +

- e1

-

+

i1 i2 R2

+ - e2

+ - e3

R3 i3

d

a b

c

R1


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Aquí vemos que tenemos cuatro ramas (b = 4), lo que coincide con el circuito real, y cuatro nodos (nt = 4) también coincidentes con los originales. Es decir que el esquema topológico y la red real son semejantes: no hay ni ramas falsas ni supernodos porque no hay generadores ideales. Los dos generadores están integrados a una rama con resistencia. Esto nos indica que el circuito es resoluble conforme al método elegido. Nos falta ahora establecer el número de mallas de la red, para ello trazaremos el árbol eliminando todas las ramas posibles sin que queden desconectados los nodos y sin que queden caminos cerrados. Vemos que con solamente eliminar una rama se obtiene las características deseadas. La rama eliminada, en este caso la 4 aunque podría ser cualquiera, es un enlace lo que establece que tenemos una sola malla (l = 1). Consecuentemente tenemos que el número de ramas es cuatro, lo que implica la existencia de ocho incógnitas, cuatro corrientes y cuatro tensiones tal como lo habíamos definido (2b = 8). Además podemos verificar que tendremos el número necesario y suficiente de ecuaciones ya que podremos escribir cuatro ecuaciones volt-amper (b), tres ecuaciones de nodo (nt - 1) y una ecuación de malla (l). La suma de ellas da dos veces el número de ramas, conforme con la ecuación general de la topología, cantidad igual al número de incógnitas por lo que resulta en sistema normal de Cramer. El orden en que se plantean las ecuaciones es indistinto salvo por el aspecto formal de sistematización del método. Ley de Ohm: Rama 1) i1 = + (e1 - E)/R1 Rama 2) i2 = + e2/R2 Rama 3) i3 = - e3/R3 Rama 4) i4 = + I - e4/R4

a b

d c

4 1

2

3

a b

d c

4 1

2

3


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En estas cuatro ecuaciones quedan involucrados todos los elementos de la red: resistencias y generadores, con las variables o incógnitas del circuito. De hecho podríamos haber planteado las tensiones en función de las corrientes o, inclusive, en algunas ramas tensión en función de la corriente y en otras las recíprocas. 1ª ley de Kirchhoff: Nodo a) - i1 + i3 = 0 Nodo b) - i3 + i4 = 0 Nodo c) + i2 - i4 = 0 Notamos que aparecen sólo las corrientes de las ramas no las de los elementos. Es obvio que podríamos haber planteado la ecuación del nodo d (+ i2 - i1 = 0) y no la de alguno de los otros tres. 2ª ley de Kirchhoff: - e1 - e2 + e4 + e3 = 0 En esta única ecuación aparecen las tensiones de las ramas, no la de los elementos. Para las ecuaciones de las dos leyes de Kirchhoff podríamos haber adoptado distintas convenciones de signo por lo podrían aparecer algunas, o todas, multiplicadas por -1. Obtenidas las ecuaciones el sistema puede ser resuelto por cualesquiera de los métodos algebraicos. Una de las formas es reemplazar las ecuaciones de la ley de Ohm en las de Kirchhoff configurando un sistema de b ecuaciones (cuatro en nuestro caso) con las tensiones o las corrientes como incógnitas. Reemplacemos las corrientes en las ecuaciones de la 1ª ley de Kirchhoff por las obtenidas para la ley de Ohm y agreguemos la de la 2ª ley: Nodo a) - (e1 - E)/R1 - (-e3/R3) = 0 Nodo b) - e2/R2 + (I - e4/R4) = 0 Nodo c) e2/R2 - (I - e4/R4) = 0 Malla - e1 - e2 + e4 + e3 = 0 Ordenando el sistema: - (1/R1)e1 + 0 e2 + (1/R3)e3 + 0 e4 = -E/R1 + 0 e1 + 0 e2 + (1/R3)e3 - (1/R4)e4 = -I + 0 e1 + (1/R2)e2 + 0 e3 + (1/R4)e4 = +I - e1 - e2 + e3 + e4 = 0 Cada una de las tensiones las obtenemos de la relación entre el determinante de los coeficientes, donde hemos reemplazado los de la incógnita buscada por los términos independientes, y el determinante principal del sistema. Una vez verificados los valores calculados reemplazándolos en la ecuación de la malla, calcularemos las corrientes usando las ecuaciones de la ley de Ohm. Estas corrientes deben verificarse con la 1ª ley de Kirchhoff.


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III - B.5 - Circuitos con generadores ideales. La presencia de generadores ideales, aquellos que no están asociados a impedancias, crea un problema por cuanto el número de ramas reales difiere del de las ramas que nos señala el gráfico (se reduce en la cantidad de generadores ideales que tenga el circuito). El número de nodos topológicos también es menor que los reales en la cantidad de generadores ideales de tensión, y el número de mallas se reduce en función de los generadores ideales de corriente. Es decir que, si señalamos con s el número de generadores ideales (en general no todos los generadores), no podríamos escribir 2s ecuaciones. Ahora bien, si tenemos en cuenta que en estos generadores ideales no tenemos dos incógnitas ya que una es la magnitud generada que conocemos (falsa variable o variable fantasma); resultaría que nos faltarán s ecuaciones para poder resolver el sistema. Por lo expuesto el método, tal como fue explicado, no sería válido para resolver este tipo de circuitos. Para sortear el inconveniente nos quedan dos posibilidades: modificar el circuito transformando las fuentes ideales en reales, asociándolas con impedancias de la red, o modificar el método, utilizando el concepto de falsa variable o variable fantasma, para que pueda ser utilizado en esos casos. III - B.5.1 - Transformación de fuentes ideales en reales. Los generadores de corriente se asocian a las ramas reales (sean activas o pasivas) que estén en paralelo con ellos como un elemento más de las mismas. Pasamos de esta: a esta rama:

Hecho esto el método nos permitirá encontrar en el circuito transformado la corriente iab y la tensión eab; de ellas deberemos deducir los valores de i1, e1, i2 y e2 que son nuestras incógnitas verdaderas. Siendo equivalentes los circuitos original y transformado la tensión entre nodos no se verá alterada por lo que resulta que las tensiones serán e1 = e2 = eab (salvo el eventual cambio de signo si la polaridad de las tensiones e1 y/o e2 no coinciden con eab). La corriente iab será igual a la suma algebraica de las corrientes i1 e i2, conforme a la 1ª ley de Kirchhoff, y como en este caso i2 es igual a I resulta que i1 = iab - I. También podríamos

a

D1

b iab I b i1 a

D1

I i2

+ eab - + e2 -

+ e1 -


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encontrar i1 aplicando la ley de Ohm a la rama 1 en función de la tensión e1 y de los elementos que constituyan el dipolo D1. En el caso de no existir una rama que esté directamente en paralelo con el generador de corriente el caso se complica algo pero puede ser resuelto de la siguiente forma. Supongamos una estructura como la mostrada: Aquí resulta imposible asociar al generador con alguna de las ramas de la red porque ninguna está en paralelo entre los terminales a - b. Podemos realizar un circuito equivalente si mantenemos las condiciones de equilibrio del original como en la figura que sigue: Observamos en esta estructura que el equilibrio no ha cambiado ya que en el nodo a sigue saliendo la corriente I, en el b sigue entrando la misma corriente y en los demás entra una nueva corriente I pero sale otra de igual magnitud por ser todos los generadores iguales al original. Para obtener las corrientes y tensiones de las ramas originales aplicamos el mismo criterio que en la transformación simple anterior. Para la tensión en el generador podemos aplicar la 2ª ley de Kirchhoff ya que conocemos todas las tensiones del resto de las ramas que forman la malla donde está el generador, es decir que: eab = eaf + efd + edc + ecb.

b a

c

d

f

I

I

b a

c

d

f

I

I I


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El caso de los generadores de tensión tiene un tratamiento semejante. Aquí la solución es asociar el generador con alguna rama real activa o pasiva que esté en serie con él. La simple inspección muestra que la corriente es la misma en los dos casos es decir que iab = ibc = iac; la tensión eab se obtiene de la eac restándole algebraicamente la del generador E. Veamos el caso más complejo en el que no hay ramas asociables directamente en serie. Es como si hubiéramos empujado al generador a través del nodo b y se hubiera dividido en tres iguales. Para obtener las incógnitas del circuito original hacemos lo mismo que en el caso simple, aplicando la 1ª ley de Kirchhoff en el nodo a para determinar la corriente que circula por el generador de tensión.

a + D1 E - c

b + D1 E - c a

c d f

a

b

E +

-

cE

E

+

-

E

+

-

E

+

-

dE

f

b' b" b"'

a

b'

a

dE

f

b"'

E

+

-

cE

E

+

-

E

+

-

b"

En la figura de arriba a la derecha hemos agregado dos generadores iguales al existente con lo cual el circuito no ha cambiado en sus condiciones de equilibrio. Pero ahora podemos asegurar que entre los nodos b', b" y b"' no hay diferencia de potencial ya que están a la misma tensión respecto del nodo a por lo que podemos extraer la conexión entre ellos sin modificar las condiciones. En la figura de la izquierda vemos que se pueden asociar los generadores en serie con las ramas b'-c, b"-d y b"'-f, superando el inconveniente.


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III - B.5.2 - Aplicación de la falsa variable El principio de esta alternativa del método 2b es tener en cuenta que el número de incógnitas de la red es de 2b - s donde s es el número de generadores ideales sobre los cuales conocemos una de las variables. Aquí no modificamos el circuito sino el método en un aspecto. Escribimos las relaciones volt-amper en aquellas ramas que son reales y topológicas en la forma normal pero al escribir las ecuaciones de Kirchhoff consideramos a todas las ramas reales lo que incrementará el número de ecuaciones tanto de nodos, si hay generadores ideales de tensión, como de mallas, si hay generadores ideales de corriente, con respecto a lo que nos indicaría el gráfico topológico. En el método puro los generadores aparecían sólo en las expresiones de la ley de Ohm ahora los ideales, que no pueden aparecer en relaciones volt-amper porque no las admiten, aparecen como datos e incógnitas en las ecuaciones de Kirchhoff. Debe tenerse especial cuidado de verificar que si un generador aparece en una expresión de Ohm no debe aparecer en las de Kirchhoff y viceversa. De hecho al no modificarse el circuito las incógnitas se resuelven directamente al resolver el sistema de ecuaciones. Veamos como ejemplo el mismo circuito anterior pero en el cual hemos considerado los generadores separados de las resistencias que los hacían reales: Ahora el gráfico de la red cambia un poco ya que tenemos en el circuito dos ramas más (los generadores están separados) y un nodo más (el f entre la resistencia R1 y el generador de tensión). Al pasivisar la red aparecen dos efectos que nos hacen desaparecer dos ramas. Uno es el generador de tensión que al ser equivalente a un cortocircuito genera un único nodo topológico uniendo el nodo real a con el f es decir se crea un supernodo. El

+ - e3

R3 i3

I R4

e4

-

+ iI E

+

-

e1

-

+

i4

i2 R2

+ - e2

i1

iE

R1

-

+

eI

a b

c d

f


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otro es el generador de corriente que al ser equivalente a un circuito abierto hace desaparecer la rama real que conformaba. La cuenta topológica es ahora de cuatro ramas, cuatro nodos y una malla, mientras que el circuito real tiene seis ramas, cinco nodos y dos mallas. Por otra parte el número de incógnitas es de diez ya que tenemos que b = 6 y s = 2 luego 2b - s = 10. Apliquemos el procedimiento: Ley de Ohm (se aplica en las ramas topológicas): Rama 1) i1 = e1/R1 Rama 2) i2 = e2/R2 Rama 3) i3 = -e3/R3 Rama 4) i4 = -e4/R4 Estas cuatro ecuaciones son las únicas que podemos plantear ya que los generadores ideales no establecen restricción alguna en la relación volt-amper. De hecho podríamos haber planteado las tensiones en función de las corrientes o, inclusive, en algunas ramas tensión en función de la corriente y otras las recíprocas. 1ª ley de Kirchhoff (aquí tenemos en cuenta los nodos reales): Nodo a) + iE + i3 = 0 Nodo b) - i3 + i4 + I = 0 Nodo c) + i2 - i4 - I = 0 Nodo d) + i1 - i2 = 0 Notamos que aparecen las corrientes de todas las ramas incluyendo la de los generadores de corriente como datos que no estaban incluidos en las de la ley de Ohm. Es obvio que podríamos haber planteado la ecuación del nodo f (- iE - i1 = 0) y no la de alguno de los otros cuatro. 2ª ley de Kirchhoff (también tenemos en cuenta las mallas reales): - e1 - E - e2 + e4 + e3 = 0 + e4 - eI = 0 En estas ecuaciones aparecen las tensiones de las ramas y la de los generadores de tensión como datos que no aparecieron en las de la ley de Ohm.

a,f b

d c

4 1

2

3


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En ambos grupos de ecuaciones de Kirchhoff aparecen las corrientes y tensiones de las ramas y no la de los elementos. Hemos obtenido así las diez ecuaciones que resuelven el problema. A partir de este punto queda solamente resolver las incógnitas, por algún metodo de cálculo numérico, del sistema de ecuaciones lineales para obtener los resultados del ejemplo.


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NOTAS Y COMENTARIOS


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Parte C - MÉTODO DE LAS CORRIENTES DE MALLAS

III - C.1 - Introducción.

Hemos visto en la parte B de este mismo capítulo el Método de la Ramas, o "2b", que nos permite resolver cualquier circuito lineal en forma directa. Este método tiene el inconveniente del número de ecuaciones simultáneas a resolver, aún con la reducción que supone la relación entre tensiones y corrientes que pone de manifiesto la ley de Ohm escrita para cada rama. En la parte A habíamos manifestado que la Topología nos permitía determinar que realmente las variables independientes eran las corrientes en los enlaces ya que sin ellos no podrían existir corrientes en la red al no quedar caminos cerrados por donde circular. El método que vamos a analizar, también llamado de Maxwell o, simplemente de las mallas, hace uso de este concepto pero empleando las corrientes de malla en lugar de específicamente la de los enlaces. Esta corriente de malla es la componente común de corriente que circula por cada malla de la red. Con lo expuesto podemos deducir que las variables que vamos a calcular en primera instancia no son en general las corrientes de las ramas sino las de las mallas, y que a partir de ellas deberemos deducir las incógnitas reales del problema. Luego con la aplicación de la ley de Ohm calcularemos las tensiones. Estamos diciendo que vamos a utilizar variables auxiliares para luego obtener las 2b incógnitas de la red. No hay reducción de incógnitas ni reducción de ecuaciones, por lo contrario ambas cantidades aumentan, lo conveniente está en el número de ecuaciones simultáneas a resolver. Los pasos que seguiremos para la presentación del método son los siguientes: 1) Supuesto que hayamos definido las ramas, y con ellas las incógnitas básicas del sistema, trazamos el gráfico de la red. 2) A partir del gráfico obtenemos el árbol para que nos queden perfectamente definidas las mallas de la red sobre las cuales vamos a trabajar. 3) Asignamos a cada una de las l (ele) mallas del circuito una corriente genérica suponiendo que todas giran en el mismo sentido (esto no es una exigencia pero sí una condición que nos permitirá normalizar el planteo de las ecuaciones). 4) Escribimos las ecuaciones de malla (2ª ley de Kirchhoff). 5) Reexpresamos las ecuaciones poniendo las tensiones en función de las corrientes de malla previamente definidas. 6) Resolvemos el sistema encontrando el valor de las corrientes auxiliares utilizadas. 7) Analizando la red determinamos las corrientes de cada una de las ramas. 8) Con la ley de Ohm calculamos las tensiones de rama con lo que queda resuelto el problema.


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III - C.2 - Aplicación del Método. Con un ejemplo verificaremos estos pasos para luego establecer el procedimiento o "receta" para el planteo inmediato de las ecuaciones. Para la formulación de las ecuaciones vamos a considerar todos los elementos por separado. En las resistencias se han indicado con flechas el sentido de las corrientes las que se asume que tienen el mismo subíndice que las resistencias, lo propio ocurre con las tensiones cuya polaridad concuerda con lo establecido por la ley de Ohm, positivas por donde ingresa la corriente. Esto se hace al solo efecto de no llenar el dibujo con símbolos que, inclusive, podrían dar lugar a equivocaciones. Conforme a lo indicado arriba tracemos el gráfico correspondiente y, a partir de él, el árbol: En el gráfico vemos que aparecen tres supernodos generados por las fuentes de tensión, pero esto no afecta al método por cuanto no altera el número de mallas tal como se puede observar en el árbol. Este último nos muestra claramente, como podríamos haber visto directamente en la red, que el circuito tiene cuatro mallas a las que le hemos asignado las corrientes Ia, Ib, Ic e Id. Escribamos las ecuaciones de la 2ª ley de Kirchhoff:

- +

E3

+

- E1 +

- E2

Id

Ia Ib Ic

R1

R9

R2 R3

R4

R5

R6

R7 R8

a c b d

f g h

j

k

iE2 iE1

iE3

i1 i2 i3 i4

i5

i6

i7 i8

i9

a,f

c,k

g h,j

b d

a,f

c,k

g h,j

b d


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Malla a) + e1 + e4 - e7 - E1 = 0 Malla b) + e2 - E2 + e5 - e8 - e4 = 0 Malla c) + e3 + e6 - E3 - e5 + E2 = 0 Malla d) + e7 + e8 + E3 - e9 = 0 Hemos obtenido un sistema de cuatro ecuaciones con nueve incógnitas por lo que es imposible resolverlo. Para sortear este inconveniente replantearemos las ecuaciones poniendo las tensiones en función de las corrientes de malla. e1 = + (R1 · Ia): la corriente de la rama coincide con la corriente de la malla por cuanto no hay otra malla que comparta la misma resistencia, además de tener la misma magnitud tiene el mismo sentido. Por la misma razón tendremos que e2 = +(R2·Ib), e3 = +(R3·Ic) y e6 = +(R6·Ic). Mientras que será e9 = -(R9·Id) porque las corrientes tienen sentidos opuestos. e4 = + [R4·(Ia - Ib)]: aquí la corriente neta de la rama es la diferencia entre la de la malla a y la de la malla b con el sentido de la corriente de la malla a. Con el mismo concepto tenemos que: e5 = + [R5·(Ib - Ic)], e7 = + [R7·(Id - Ia)] y e8 = + [R8·(Id - Ib)]. Reemplacemos en las ecuaciones anteriores: Malla a) + (R1 · Ia) + [R4 · (Ia - Ib)] - [R7 · (Id - Ia)] = + E1 Malla b) + (R2 · Ib) + [R5 · (Ib - Ic)] - [R8 · (Id - Ib)] - - [R4 · (Ia - Ib)] = + E2 Malla c) + (R3 · Ic) + (R6 · Ic) - [R5 · (Ib - Ic)] = - E2 + E3 Malla d) + [R7 · (Id - Ia)] + [R8 · (Id - Ib)] + (R9 · Id) = + E3

Agrupando, ordenando y completando obtenemos: Malla a) + (R1+R4+R7)·Ia - (R4)·Ib - (0)·Ic - (R7)·Id = + E1 Malla b) - (R4)·Ia + (R2+R5+R8+R4)·Ib - (R5)·Ic - (R8)·Id = + E2 Malla c) - (0)·Ia - (R5)·Ib + (R3+R6+R5)·Ic - (0)·Id = - E2 + E3 Malla d) - (R7)·Ia - (R8)·Ib - (0)·Ic + (R7+R8+R9)·Id = + E3 Esto constituye un sistema normal de Cramer con solución única para las incógnitas auxiliares que hemos definido para cada malla. Para resolver las incógnitas de nuestro circuito, las corrientes y tensiones de cada rama, debemos de plantear las siguientes ecuaciones: i1 = Ia; i2 = Ib; i3 = Ic; i4 = Ia - Ib; i5 = Ib - Ic; i6 = Ic; i7 = Id - Ia; i8 = Id - Ib e i9 = - Id. y con ellas, aplicando la ley de Ohm en cada resistencia, las nueve tensiones incógnitas. Además tendremos que: iE1 = Ia; iE2 = Ib - Ic e iE3 = Ic - Id, con lo que quedan resueltas las veintiuna incógnitas del problema. Veamos el sistema de ecuaciones al cual llegamos y tratemos de establecer una "receta" para su planteo. Analicemos en primera instancia la ecuación de la malla a. El coeficiente de Ia está constituido por la suma de las resistencias que encontramos en la malla, que denominaremos autoimpedancia de la malla a, mientras


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que los coeficientes de las corrientes de las otras mallas están constituidos por las resistencias que están compartidas por ambas mallas pero con el signo negativo (cambiado). Notamos así que Ib tiene a -R4, Ic tiene coeficiente cero por no tener ningún elemento en común con la malla a, e Id tiene a -R7. Estos coeficientes se denominan impedancias compartidas o mutuas. El término independiente por su parte está constituido por la tensión E1 que es el generador existente en la malla con signo positivo porque tiende a que la corriente de la malla tenga el sentido preestablecido. Si observamos las otras ecuaciones vemos que tienen la misma estructura de coeficientes de las incógnitas; en el caso de las mallas c y d aparece un cero como impedancia compartida ya que el generador de tensión es ideal y consecuentemente no tiene impedancia interna. El término independiente está formado por la suma algebraica de las tensiones de los generadores que se encuentran en la malla con el signo positivo si hacen girar la corriente en el sentido establecido o negativo si es al contrario, esta suma es la denominada tensión de malla. Conforme a lo visto podemos presentar la receta para escribir las ecuaciones con la condición de establecer el mismo sentido para todas las corrientes de malla (si no tenemos generadores de corriente): 1) El coeficiente de la corriente de la malla para la cual estamos escribiendo la ecuación está conformado con la suma de todas las resistencias, o impedancias, que la conforman con su signo (autoimpedancia de la malla). 2) Los coeficientes de las corrientes del resto de las mallas lo conforma la suma de las resistencias, o impedancias, que sean compartidas por las dos mallas con el signo cambiado (impedancia mutua), eventualmente puede ser cero si no tienen elementos comunes. 3) El término independiente lo conforma la suma de las tensiones de los generadores que se encuentran en la malla con su signo si la polaridad es tal que tienden a hacer que la corriente gire en el sentido establecido, o con el signo cambiado si ocurre lo contrario (tensión de malla). 4) La matriz de los coeficientes del sistema resultante (cuyo determinante será el principal del sistema) tiene dos características: a) la diagonal principal es eje de simetría de la matriz, y b) la diagonal principal tiene las impedancias con su signo mientras que el resto de los coeficientes tienen los signos cambiados o son ceros. Hacemos notar que en el ejemplo al haber considerado resistencias ideales podemos establecer que las magnitudes son positivas o negativas, pero en general al trabajar con impedancias sabemos que la parte imaginaria puede resultar positiva o negativa según se trate de inductancias o capacitores lo que hace más general hablar de su signo o signo cambiado. Además en los modelos circuitales pueden aparecer también (por ejemplo en osciladores) resistencias negativas.


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III - C.3 - Caso de generadores de corriente. Para este método el inconveniente se presenta cuando hay generadores de corriente, debido a que al no tener impedancia representan un circuito abierto y, consecuentemente, hacen desaparecer una malla topológica. La solución también se plantea, como en el método de las ramas, con dos alternativas: modificar las fuentes o modificar el procedimiento. La modificación de las fuentes es más complicada que en caso anterior ya que para transformar una fuente de corriente en una de tensión debe obtenerse primero una fuente real de corriente y luego pasarla a una equivalente de tensión, es decir que en general se requieren dos pasos para la transformación y luego de resuelto el circuito transformado volver al original. La modificación del procedimiento también se basa en aplicar el concepto de la falsa variable ya que la corriente del generador es la corriente en el enlace que este establece por lo que no hay tal incógnita. Veamos esta alternativa con un ejemplo: Si trazamos el gráfico y el árbol obtenemos lo siguiente:

I3

+

- E1 +

- E2

Id

Ia Ib Ic

R1

R9

R2 R3

R4

R5

R6

R7 R8

a c b d

f g h

j

k

iE2 iE1

i1 i2 i3 i4

i5

i6

i7 i8

i9

d

a,f

c,k

g j

b d

a,f

c,k

g j

b

h h


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Ya en el gráfico vemos que desaparece la rama donde está el generador de corriente y, a causa de ello en el árbol vemos que nos quedan sólo tres enlaces es decir tres mallas topológicas. Dicho de otra manera: las mallas c y d quedan reducidas a una sola. Aunque en la red se ve claramente que hay cuatro mallas, y más aún sabemos que en la rama h,j hay circulación de corriente y que magnitud tiene, no podemos escribir una ecuación de tensiones en c o en d debido a que no se puede asignar una tensión sobre el generador de corriente. Lo que podemos sostener en todo caso es que las corrientes Ic e Id no son iguales y por ello la malla topológica c,d tendrá dos corrientes propias distintas según el tramo. Las ecuaciones se formarán de la siguiente manera: Malla a) + (R1+R4+R7)·Ia - (R4)·Ib - (0)·Ic - (R7)·Id = + E1 Malla b) - (R4)·Ia + (R2+R5+R8+R4)·Ib - (R5)·Ic - (R8)·Id = + E2 Malla c,d) - (R7)·Ia - (R5+ R8)·Ib + (R3+R6+R5)·Ic + (R7+R8+R9)·Id = - E2 pero son tres ecuaciones con cuatro incógnitas lo que resulta insuficiente. No obstante podemos escribir, si aplicamos la 1ª ley de Kirchhoff en el nodo j, que:

I3 = Id - Ic

ecuación que pone en evidencia la dependencia de las variables Id e Ic. Esta ecuación, denominada restrictiva, que no es de tensión como las propias del método, completa el número necesario y suficiente para resolver el sistema. Si ponemos, por ejemplo, Id en función de I3 y de Ic, y la reemplazamos en el sistema anterior obtenemos que: Malla a) + (R1+R4+R7)·Ia - (R4)·Ib - (R7)·Ic = + E1 + (R7)·I3 Malla b) - (R4)·Ia + (R2+R5+R8+R4)·Ib - (R5+R8)·Ic = + E2 + (R8)·Id Malla c,d) - (R7)·Ia - (R5+ R8)·Ib + (R3+R6+R5+R7+R8+R9)·Ic = = - E2 - (R7+R8+R9)·Id que es un sistema normal de Cramer. Si se hubiera hecho la transformación de fuentes se habría obtenido exactamente el mismo sistema de ecuaciones. En la práctica no es simple deducir como van a quedar las ecuaciones por cuanto se plantea el sistema de acuerdo al formato anterior, es decir plantear una ecuación de tensiones para cada malla topológica que tenga la red, teniendo en cuenta que puede haber más de una corriente propia de la malla que aparecerá con signo positivo y que las impedancias de la malla se distribuirán en consecuencia con la corriente que las atraviesan, y agregar las ecuaciones restrictivas de corrientes que sean necesarias (en general tantas como generadores de corriente) para igualar el número de ecuaciones al de las incógnitas. Para nuestro ejemplo tendríamos: a) + (R1+R4+R7)·Ia - (R4)·Ib - (0)·Ic - (R7)·Id = + E1 b) - (R4)·Ia + (R2+R5+R8+R4)·Ib - (R5)·Ic - (R8)·Id = + E2 c,d) - (R7)·Ia - (R5+ R8)·Ib + (R3+R6+R5)·Ic + (R7+R8+R9)·Id = - E2 Restr. + Id - Ic = + I3


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A partir de este sistema se procede a resolver las corrientes de malla, con ellas las corrientes de ramas y, finalmente, las tensiones de ramas. Este es, quizás, el método más utilizado por cuanto es el de más fácil aplicación en los casos de circuitos que contienen inductancias acopladas electromagnéticamente. III - C.4 - Caso de generadores de corriente en serie con impedancias. Es posible que en los circuitos nos aparezcan impedancias puestas en serie con generadores de corriente, si este es el caso tales impedancias se deben eliminar reemplazándolas con un cortocircuito por cuanto no alteran la corriente del generador ni las corrientes de las mallas. La evaluación de la tensión que se desarrolla en la impedancia puede hacerse antes o después de resolver el resto del circuito. Y es tensión va a afectar la tensión sobre el generador de corriente ya que la suma de ambas debe dar como resultado la tensión sobre el generador (sin la impedancia) que nos da el método de las mallas. Ejemplo: la rama de la figura tiene una impedancia en serie con un generador de corriente. La tensión sobre la impedancia será:

VZ = Z x I

para todo caso. El método de las mallas nos permitirá resolver el circuito alterado sin la impedancia del cual obtendremos la tensión V de la rama que contiene al generador. Esa tensión debe ser igual a la suma de VZ más VI de la rama sin modificar ya que el equilibrio del circuito no se ve modificado por la presencia o no de la impedancia Z. Por lo tanto será:

V = VZ + VI por lo que VI = V - VZ

que es el valor del circuito original.

I

V + -

I

Z

VZ VI + + - -

Rama alterada sin la impedancia serie Rama original con la impedancia serie


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NOTAS Y COMENTARIOS


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Parte D - MÉTODO DE LAS TENSIONES NODALES

III - D.1 - Introducción. Cuando en la parte A del capítulo analizamos topológicamente a los circuitos dijimos que podíamos considerar a las tensiones de los nodos como variables independientes ya que esas tensiones eran nulas el circuito era pasivo. Este criterio es el que fundamenta al "Método de las Tensiones Nodales" o "Método de los Nodos" y, lógicamente, se parte de la aplicación de la 1ª ley de Kirchhoff. Esto implica la formulación de ecuaciones de corrientes que serán explicitadas en función de las tensiones de los nodos. En este caso las variables auxiliares serán las tensiones de los nodos asignándole a uno de ellos una tensión de referencia que puede ser cualquier valor si se conoce o, normalmente, cero. Básicamente el procedimiento será el siguiente: 1) Establecer las incógnitas del circuito con lo que quedarán definidas las ramas y, fundamentalmente, los nodos. 2) Trazamos el gráfico de la red para determinar cuales son nodos topológicos. 3) Asignamos a cada nodo una tensión, incógnita auxiliar, incluyendo para uno de los nodos un valor establecido como de referencia (puede ser cero). 4) En cada uno de los nodos topológicos, excepto uno (generalmente, aunque no necesario, el de referencia), escribiremos una ecuación de equilibrio de las corrientes concurrentes, ya sean estas de las ramas o de los generadores. 5) El sistema lo reescribimos reemplazando, conforme a la ley de Ohm, las corrientes por el producto de la diferencia de potencial en las ramas concurrentes por su conductancia (admitancia). 6) Resolvemos para las tensiones de los nodos. Con ellas determinaremos las tensiones en las ramas y, finalmente, las corrientes de las ramas. III - D.2 - Aplicación del método. Veamos un ejemplo: Si trazamos el gráfico veremos que no cambia el número de nodos aunque, si consideramos cada elemento como una rama, si cambia el

ea eb ec

ed ef eg

G2 G1

G3 G4 G5

G6 G7 Ia

Ib

i1 i2

i3 i4 i5

i6 i7

eIa eIb

+

+ -

-


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número de mallas por las creadas por los generadores de corriente. Esto no tiene, para el método de los nodos, ninguna trascendencia. Escribamos pues las ecuaciones de la 1ª ley de Kirchhoff asumiendo que tomamos al nodo f como de referencia. Nodo a) - i1 - i3 + Ia = 0 Nodo b) + i1 - i2 + i4 = 0 Nodo c) + i2 - i5 - Ib = 0 Nodo d) + i3 + i6 - Ia = 0 Nodo g) + i5 + i7 + Ib = 0 Reemplacemos las corrientes en función de las tensiones: Nodo a) - (eb-ea)G1 - (ed-ea)G3 + Ia = 0 Nodo b) + (eb-ea)G1 - (ec-eb)G2 + (eb-ef)G4 = 0 Nodo c) + (ec-eb)G2 - (eg-ec)G5 - Ib = 0 Nodo d) + (ed-ea)G3 + (ed-ef)G6 - Ia = 0 Nodo g) + (eg-ec)G5 + (eg-ef)G7 + Ib = 0 Agrupemos, asumamos para ef el valor cero, y ordenemos: Nodo a) + (G1+G3)ea - (G1)eb - (0)ec - (G3)ed - (0)eg = - Ia Nodo b) - (G1)ea + (G1+G2)eb - (G2)ec - (0)ed - (0)eg = 0 Nodo c) - (0)ea - (G2)eb + (G2+G5)ec - (G5)ed - (0)eg = + Ib Nodo d) - (G3)ea - (0)eb - (0)ec + (G3+G6)ed - (0)eg = + Ia Nodo g) - (0)ea - (0)eb - (G5)ec - (0)ed + (G5+G7)eg = - Ib Logramos un sistema de ecuaciones normal de Cramer que nos permite calcular las tensiones de los nodos respecto a la tensión del nodo f. Para resolver las incógnitas de nuestro circuito, las corrientes y tensiones de cada rama, debemos de plantear las siguientes ecuaciones: e1 = eb - ea; e2 = ec - eb; e3 = ed - ea; e4 = eb; e5 = eg - ec; e6 = ed y e7 = eg y con ellas, aplicando la ley de Ohm en cada conductancia, las siete corrientes incógnitas. Además tendremos que: eIa = ed - ea y eIb = ec - eg, con lo que quedan resueltas las dieciséis incógnitas del problema.

a b c

d f g


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Veamos el sistema al cual llegamos y tratemos de establecer una "receta" para su planteo. Analicemos en primera instancia la ecuación del nodo a. El coeficiente de ea está constituido por la suma de las conductancias que concurren al nodo, que denominaremos autoadmitancia del nodo a, mientras que los coeficientes de las tensiones de los otros nodos están constituidos por las conductancias que vinculan a ambos nodos pero con el signo negativo (cambiado). Notamos así que eb tiene a -G1, ec tiene coeficiente cero por no tener ningún elemento en común con el nodo a, lo mismo ocurre con eg, y ed tiene a -G3. Estos coeficientes se denominan admitancias compartidas o mutuas. El término independiente por su parte está constituido por la corriente -Ia que es el generador concurrente al nodo con signo negativo porque tiende a que la tensión del nodo sea negativa. Si observamos las otras ecuaciones vemos que tienen la misma estructura de coeficientes de las incógnitas y del término independiente; éste está formado por la suma algebraica de las corrientes de los generadores que concurren al nodo con el signo positivo si hacen positiva a la tensión del nodo (entran) o negativo si es al contrario, esta suma es la denominada corriente de nodo. Conforme a lo visto podemos presentar la receta para escribir las ecuaciones (si no tenemos generadores de tensión): 1) El coeficiente de la tensión del nodo para el cual estamos escribiendo la ecuación está conformado con la suma de todas las conductancias, o admitancias, que concurren al nodo con su signo (autoadmitancia del nodo). 2) Los coeficientes de las tensiones del resto de los nodos lo conforma la suma de las conductancias, o admitancias, que conectan a ambos nodos con el signo cambiado (admitancia mutua), eventualmente puede ser cero si no tienen elementos comunes. 3) El término independiente lo conforma la suma de las corrientes de los generadores que concurren al nodo con su signo si el sentido es tal que tienden a hacer que la tensión del nodo sea positiva (entrando al nodo), o con el signo cambiado si ocurre lo contrario (corriente de nodo). 4) La matriz de los coeficientes del sistema resultante (cuyo determinante será el principal del sistema) tiene dos características: a) la diagonal principal es eje de simetría de la matriz, y b) la diagonal principal tiene las admitancias con su signo mientras que el resto de los coeficientes tienen los signos cambiados o son ceros. Hacemos notar que al haber considerado en el ejemplo conductancias ideales podemos establecer que las magnitudes son positivas o negativas, pero al trabajar con admitancias sabemos que la parte imaginaria puede resultar positiva o negativa, según se trate de capacitores o inductancias, lo que hace más pertinente hablar de con su signo o con el signo cambiado. Además, en los modelos circuitales pueden aparecer también (por ejemplo en osciladores) conductancias negativas.


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III - D.3 - Caso de generadores de tensión. Para este método el inconveniente se presenta cuando hay generadores de tensión, debido a que al tener impedancia cero representan un cortocircuito y, consecuentemente, hacen desaparecer un nodo topológico formando un supernodo. La solución también se plantea, como en el método de las ramas y en el de las mallas, con dos alternativas: modificar las fuentes o modificar el procedimiento. La modificación de las fuentes es tan complicada como en el método anterior ya que para transformar una fuente de tensión en una de corriente debe obtenerse primero una fuente real de tensión y luego pasarla a una equivalente de corriente, es decir que se requieren dos pasos para la transformación y, luego de resuelto el circuito transformado, volver al original. La modificación del procedimiento también se basa en aplicar el concepto de la falsa variable ya que la tensión del generador es la diferencia de tensión entre los nodos extremos por lo que no hay tal incógnita. Veamos esta alternativa con un ejemplo: Si trazamos el gráfico de la red tendremos: Topológicamente tenemos cinco nodos ya que el a quedó unido al d formando un supernodo. No obstante sabemos que la red tiene seis nodos porque la tensión en a no es la misma que en d y conocemos su diferencia de potencial. Sin embargo no podemos escribir ninguna relación que vincule a esa diferencia de tensión conocida con la corriente que se establecerá entre sus terminales. Podemos escribir, en consecuencia, sólo ecuaciones de corrientes en los nodos topológicos, de modo que, asumiendo que ef es igual a cero, obtendremos:

ea eb ec

ed ef eg

G2 G1

G4 G5

G6 G7

Ea

Ib

i1 i2

i4 i5

i6 i7

iEa

eIb +

+

- -

a,d

b c

f g


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Nodo a,d) - i1 + i6 = 0 Nodo b) + i1 - i2 + i4 = 0 Nodo c) + i2 - i5 - Ib = 0 Nodo g) + i5 + i7 + Ib = 0 Reemplacemos las corrientes en función de las tensiones: Nodo a,d) - (eb-ea)G1 + (ed)G6 = 0 Nodo b) + (eb-ea)G1 - (ec-eb)G2 + (eb-ef)G4 = 0 Nodo c) + (ec-eb)G2 - (eg-ec)G5 - Ib = 0 Nodo g) + (eg-ec)G5 + (eg-ef)G7 + Ib = 0 Agrupemos y ordenemos: Nodo a,d) + (G1)ea - (G1)eb - (0)ec + (G6)ed - (0)eg = 0 Nodo b) - (G1)ea + (G1+G2+G4)eb - (G2)ec - (0)ed - (0)eg = 0 Nodo c) - (0)ea - (G2)eb + (G2+G5)ec - (0)ed - (G5)eg = + Ib Nodo g) - (0)ea - (0)eb - (G5)ec - (0)ed + (G5+G7)eg = - Ib Este es un sistema irresoluble ya que tiene cuatro ecuaciones y cinco incógnitas, debemos escribir otra que no sea de corrientes en nodos. El supernodo nos permite escribir la ecuación restante que, como en el método de las mallas, se denomina ecuación restrictiva: ea - ed = Ea Esta ecuación pone en evidencia la dependencia entre ea y ed a través de la tensión del generador Ea, pone en evidencia la falsa variable. Si la introducimos en el sistema y ponemos, por ejemplo, ed en función de ea obtenemos: Nodo a,d) + (G1)ea - (G1)eb - (0)ec + (G6)(ea-Ea) - (0)eg = 0 Nodo b) - (G1)ea + (G1+G2+G4)eb - (G2)ec - (0)(ea-Ea) - (0)eg = 0 Nodo c) - (0)ea - (G2)eb + (G2+G5)ec - (0)(ea-Ea) - (G5)eg = + Ib Nodo g) - (0)ea - (0)eb - (G5)ec - (0)(ea-Ea) + (G5+G7)eg = - Ib Desarrollando queda: Nodo a,d) + (G1+G6)ea - (G1)eb - (0)ec - (0)eg = + (G6)Ea Nodo b) - (G1)ea + (G1+G2)eb - (G2)ec - (0)eg = 0 Nodo c) - (0)ea - (G2)eb + (G2+G5)ec - (G5)eg = + Ib Nodo g) - (0)ea - (0)eb - (G5)ec + (G5+G7)eg = - Ib Que constituye un sistema normal, puede observarse que si se hubiera hecho la transformación de la fuente de tensión en corriente, asociándola con G6, se hubiera obtenido el mismo sistema de ecuaciones. Como no es simple, en general, establecer como quedarán modificadas las ecuaciones, se plantea el sistema incluyendo la ecuación restrictiva y luego se desarrolla. Nuestro ejemplo quedaría entonces:


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Nodo a,d) + (G1)ea - (G1)eb - (0)ec + (G6)ed - (0)eg = 0 Nodo b) - (G1)ea + (G1+G2+G4)eb - (G2)ec - (0)ed - (0)eg = 0 Nodo c) - (0)ea - (G2)eb + (G2+G5)ec - (0)ed - (G5)eg = + Ib Nodo g) - (0)ea - (0)eb - (G5)ec - (0)ed + (G5+G7)eg = - Ib Restrict. + ea - ed = Ea Podemos establecer, entonces, la receta del método de las tensiones nodales de la siguiente forma: 1) Escribir las ecuaciones de corrientes en todos los nodos topológicos en función de las tensiones, teniendo en cuenta que en los supernodos hay más de una tensión propia y a cada una hay que asociarle las conductancias (admitancias) que llegan a esa tensión. 2) En los supernodos escribir las ecuaciones restrictivas de tensión que ellos establecen. Obteniendo así tantas ecuaciones como tensiones nodales tengamos en la red original. 3) A partir de la solución de esas tensiones de nodos con respecto al de referencia se calcularán las tensiones de las ramas y, con ellas aplicando la ley de Ohm, se obtendrán las corrientes. III - D.4 - Caso de generadores de tensión en paralelo con impedancias. Las impedancias puestas en paralelo con generadores ideales de tensión no alteran la tensión que generan, por consiguiente podemos eliminarlas a los efectos del cálculo. Lo que sí vamos a tener que resolver es la tensión y corriente sobre ellas lo que puede calcularse antes o después del resto del circuito. La corriente que circula por ellas deberá sumarse algebráicamente a la que calculemos para el o los generadores afectados resolviendo el circuito sin esas impedancias. En la figura tenemos un supernodo formado por los nodos a, b y c debido a la existencia entre ellos de los generadores E1 y E2. Como consecuencia sabemos que la tensión sobre Z1 está dada por E1 - E2; la existente sobre Z2 es E2 con ello es fácil deducir las corrientes en ambas impedancias. En el circuito modificado esas corrientes no están, pero las tensiones no se han modificado. Las corriente resultante sobre E1 será la que obtengamos del circuito modificado más, algebráicamente la que circula por Z2. La de E2 será la obtenida más, algebráicamente, las que circulan por Z1 y por Z2.

E1 E1 E2

E2

Z2

a a b b c c + + + +

- - - -

Circuito sin las impedancias Circuito con las impedancias

Z1


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Parte E - EXPRESIONES MATRICIALES DE LAS ECUACIONES DE REDES

III - E.1 - Método de las Mallas. Si generalizamos las expresiones de las ecuaciones de equilibrio de una red mediante el método de las mallas tendríamos un sistema de l (ele) ecuaciones de la forma: Z11I1 + Z12I2 + Z13I3 + ....... + Z1lIl = E1 Z21I1 + Z22I2 + Z23I3 + ....... + Z2lIl = E2 ........................................ ........................................ Zl1I1 + Zl2I2 + Zl3I3 + ....... + ZllIl = El Donde las Zii son las autoimpedancias de cada malla con su signo, las Zij son las impedancias compartidas con el signo cambiado, las Ei son las tensiones de malla, todas las cuales se conocen, y las Ii son las corrientes de malla que son nuestras incógnitas. Este sistema lo podemos resolver conforme a Cramer aplicando el desarrollo de los determinantes por menores complementarios de la forma: I1 = E1 + E2 + E3 + ..... + Ell I2 = E1 + E2 + E3 + ..... + Ell2 ................................................ ................................................ Il = E1l + E2l + E3l + ..... + Elll Donde ij es el menor complementario correspondiente a la fila de la tensión y la columna de la corriente con su signo (cofactor), y es el determinante principal o de impedancias del sistema. El orden del menor complementario es inferior en una unidad al orden del determinate principal, consecuente las dimensiones de la relación entre ambos son las de una admitancia. Introduciendo el concepto de admitancias de punto impulsor, o impulsoras (cuando los subíndices del menor complementario son iguales), y de transferencia (cuando los subíndices del menor complementario no son iguales) podemos reescribir las ecuaciones, que constituyen la solución del sistema, de la siguiente forma: I1 = E1y11 + E2y12 + E3y13 + ..... + Ely1l I2 = E1y21 + E2y22 + E3y23 + ..... + Ely2l ...................................... ...................................... Il = E1yl1 + E2yl2 + E3yl3 + ..... + Elyll Donde se han intercambiado los subíndices respecto a los de los menores complementarios para mantener un ordenamiento formal de los coeficientes. Recordemos que estas y no tienen nada que ver con las Y del método de tensiones nodales.


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El nombre de admitancias impulsoras viene del hecho que establecen la relación entre la corriente de la malla y la tensión en la misma malla para el caso que el resto de las tensiones de malla sean nulas. Las de transferencia también dan la relación corriente tensión pero referidas a distintas mallas. Si del primer sistema de ecuaciones (ecuaciones de equilibrio) separamos las tensiones y las mostramos en la forma ordenada en que están obtendremos una matriz de tensiones: E1 E2 .. .. El Los corchetes nos indican simplemente que es un conjunto ordenado de fuerzas electromotrices. A los coeficientes de los términos del primer miembro, que son impedancias, también podemos exhibirlos en forma similar a lo hecho con las tensiones: Z11 Z12 Z13 ....... Z1l Z21 Z22 Z23 ....... Z2l .................... .................... Zl1 Zl2 Zl3 ....... Zll Nuevamente los corchetes nos indican que se trata de un grupo de impedancias relacionado, ordenado de una forma sistemática. Aunque esto parece un determinante no lo es. No puede desarrollarse ni evaluarse, sólo muestra. Las matrices pueden ser cuadradas o rectangulares, en el caso de las tensiones tenemos una matriz columna mientras que la de las impedancias es una matriz cuadrada. La matriz impedancia nos dice como se comportará la red cuando se aplican fuerzas electromotrices a ella. Es decir que contiene toda la información acerca de las propiedades de impedancia de la red y por ello se dice que caracteriza la red. Podemos simplificar poniendo que: Z11 Z12 [Z] = Z21 Z22 donde el signo igual sólo significa que [Z] es una manera abreviada de escribir la matriz impedancia. Lo mismo podemos hacer para todas las matrices. Si volvemos a la última expresión vemos que es una matriz dos por dos, correspondiente evidentemente a una red de dos mallas. Esta matriz tiene cuatro elementos y, si se refiere a una red de elementos bilaterales, sólo tres de ellos son diferentes porque Z12 = Z21. Es decir que una red de dos mallas queda caracterizada por tres coeficientes de impedancia.


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Si vemos el grupo de ecuaciones de solución del sistema podemos deducir que también queda caracterizada la red por medio de la admitancias impulsoras y de transferencia. Si tomamos el caso de una red de dos mallas obtendríamos una matriz característica de la misma en función de dichas admitancias: y11 y12 [y] = y21 y22 también es dos por dos y tiene cuatro coeficientes y, si podemos demostrar que y12 = y21, también quedará caracterizada la red por tres coeficientes de admitancia. Vamos a demostrar que es así en redes bilaterales. Por definición: y21 = 12/ y12 = 21/ luego y21 = y12 siempre que sea 12 = 21. Z12 Z13 .... Z1l Z32 Z33 .... Z3l 21 = - .................. .................. Zl2 Zl3 .... Zll si la red es bilateral sabemos que Zij = Zji por lo que podemos permutar esos valores en 21: Z21 Z31 .... Zl1 Z23 Z33 .... Zl3 21 = - .................. .................. Z2l Z3l .... Zll una propiedad de los determinantes dice que el intercambio de filas y columnas no lo altera: Z21 Z23 .... Z2l Z31 Z33 .... Z3l 21 = - .................. .................. Zl1 Zl3 .... Zll si comparamos con el determinante 12 veremos que son iguales. Luego y12 = y21 y en general podemos escribir que ypq = yqp. Esta conclusión nos sirve para asegurar que también en el caso que caracterizamos la red a través de sus admitancias impulsoras y de transferencia hacen falta conocer sólo tres coeficientes (si la red es de dos mallas). Pero, mucho más importante aún, esta conclusión establece las bases para el teorema de la reciprocidad que nos dice que: en un circuito podemos, si es activo, intercambiar una fuente de tensión con un amperímetro sin que la lectura del


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mismo se modifique; o que las características direccionales de una antena receptora son las mismas que cuando se usa como transmisora. III - E.2 - Método de las Tensiones Nodales. Lo dicho para las ecuaciones de malla puede extenderse a las ecuaciones de nodo. En este caso la caracterización de la red se hará a través de la matriz admitancia (propias y mutuas): YAA YAB YAC ....... YAN YBA YBB YBC ....... YBN [Y] = .................... .................... YNA YNB YNC ....... YNN o también con la matriz impedancia (impulsoras y de transferencia). zAA zAB zAC ....... zAN zBA zBB zBC ....... zBN [z] = .................... .................... zNA zNB zNC ....... zNN De acuerdo a las definiciones resulta evidente que la impedancia impulsora en un par de terminales y la admitancia impulsora en ese mismo par de terminales son cantidades recíprocas, pero no existe una relación simple entre las impedancias y admitancias de transferencia, no son recíprocas. III - E.3 - Expresión matricial de las ecuaciones de nodos y mallas De acuerdo con lo expuesto podemos, usando la notación matricial abreviada, poner para las ecuaciones de nodo: [ Y ] · [ V ] = [ I ] y para las ecuaciones de tensión que constituyen su solución: [ V ] = [ z ] · [ I ] Para el método de las mallas será: [ Z ] · [ I ] = [ V ] y: [ I ] = [ y ] · [ V ] Estas ecuaciones matriciales no significan nada sin reglas apropiadas de interpretación y un conocimiento básico de las operaciones matriciales.


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Con las expresiones obtenidas podemos plantear la solución de las redes utilizando matrices. Por ejemplo para el método de las mallas tenemos: [ Z ] · [ I ] = [ V ] donde las incógnitas son las corrientes. Para resolver premultiplicamos ambos términos de la ecuación por [ Z ]-1 [ Z ]-1 · [ Z ] · [ I ] = [ Z ]-1 · [ V ] que resultará en: [ I ] = [ Z ]-1 · [ V ] que es la solución formal de las ecuaciones de malla. Pero también tenemos que: [ I ] = [ y ] · [ V ] lo que implica que: [ y ] = [ Z ]-1 Para el método de los nodos tenemos: [ Y ] · [ V ] = [ I ] y para las ecuaciones de tensión que constituyen su solución: [ V ] = [ Y ]-1 · [ I ] conforme a la otra forma es: [ V ] = [ z ] · [ I ] y por consiguiente: [ z ] = [ Y ]-1 Estas expresiones que sintetizan la ley de Ohm matricial son muy prácticas para la solución de redes por computadoras. Como ejemplo de aplicación: podemos transformar una red de dos terminales a otra de igual impedancia de entrada si a la matriz de impedancia [Z] es postmultiplicada por una matriz de transformación y premultiplicada por la transpuesta de esa matriz de transformación. La matriz de impedancia de la nueva red equivalente es: [Z'] = [T]t [Z] [T] donde la matriz de transformación es de la forma:


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1 0 0 .... 0 a21 a22 a23 .... a2n [T] = ............................ ............................ an1 an2 an3 .... ann donde las aij pueden ser cualquier número real. Físicamente hay que tener cuidado para evitar elementos negativos (resistencias, inductancias y/o capacitores) en la nueva red equivalente.


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Parte F: Operaciones con matrices Como ayuda veamos sintéticamente algunas operaciones matriciales. Igualdad de matrices: Una matriz es igual a otra si, y sólo si, cada elemento de una es idéntico al correspondiente de la otra. Esto implica que las dos matrices deben ser de igual formato. Producto de matrices: Matriz cuadrada por matriz columna: es otra matriz formada multiplicando el primer término de la primera fila de la matriz cuadrada por el primer término de la matriz columna; el segundo término de la primera fila de la matriz cuadrada por el segundo de la columna; el tercero de la primera fila de la matriz cuadrada por el tercero de la columna y así sucesivamente hasta completar la fila y la columna (completar con ceros los términos faltantes) La suma de todos ellos da el primer elemento de la matriz columna resultante. De la misma manera multiplicando cada término de la segunda fila de la matriz cuadrada por el elemento correspondiente de la matriz columna, su suma da el segundo término de la matriz resultante; así hasta completar el número de filas. Ejemplo: YAA YAB YAC VA [Y] = YBA YBB YBC y [V]= VB YNA YNB YNC VC YAA VA + YAB VB + YAC VC [Y] [V] = YBA VA + YBB VB + YBC VC YCA VA + YCB VB + YCC VC como este producto es igual a la matriz columna [I] si ponemos que: [Y] [V] = [I] obtenemos la familia de ecuaciones del método de tensiones nodales. Producto de matrices cuadradas: Se obtiene otra matriz cuadrada del mismo orden donde cada columna resulta de multiplicar la primera matriz por una columna de la segunda de la forma ya explicitada. Puede expresarse que si: n

[a] [b] = [c] resulta cpq = apr brq r=1

Producto de una matriz por un número: Cada elemento de la matriz queda multiplicado por ese número. Matriz unitaria: es una matriz cuadrada cuyos elementos de la diagonal principal son todos unos y el resto ceros. El símbolo es [U] y la pre o postmultiplicación de una matriz unitaria por otra matriz cualesquiera no altera a esta última.


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Matriz inversa: dada una matriz [Y] definimos otra matriz, que llamamos inversa y notamos con [Y]-1, de forma tal que el producto de ambas resulta en una matriz unitaria. Para ello debe ser: AA BA CA [Y]-1 = 1/ AB BB CB AC BC CC Donde 1/ es la inversa del determinante de la matriz [Y] y AB es el cofactor del término YAB de este determinante. Suma de matrices: si tenemos las matrices [A] y [B] su suma será la matriz [C] cuyos elementos serán la suma de los elementos de las dos matrices sumandos: cpq = apq + bpq División de matrices: no estando definida la división se efectúa el producto por la matriz inversa. Transposición: significa el intercambio de filas por columnas. [A]t es la transpuesta de [A] si: a b c a d g [A] = d e f y [A]t = b e h g h i c f i Matriz recíproca: es la transpuesta de la matriz inversa.


CAPÍTULO IV

CUADRIPOLOS PASIVOS

Parte A: INTRODUCCIÓN Parte B: CASOS ESPECIALES ("T" y "") Parte C: IMPEDANCIAS





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ÍNDICE Parte A: INTRODUCCIÓN 3 A.1 Definiciones 3 A.2 El problema de la transferencia 4 A.2.1 Ejemplos de cálculos 6 A.3 El problema de la transmisión general 9 A.3.1 Ecuaciones inversas 11 A.3.2 Cuadripolos en cascada 12 Parte B: CASOS ESPECIALES ("T" Y "") 13 B.1 Cuadripolos en "T" 13 B.2 Cuadripolos en "" 14 Parte C: IMPEDANCIAS 15 C.1 Impedancias en circuito abierto y en cortocircuito 15 C.2 Impedancia imagen 15 TOTAL: 16 páginas


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IV - CUADRIPOLOS PASIVOS

Parte A - INTRODUCCIÓN IV - A.1 - Definiciones. El llamado cuadripolo o, más correctamente, red de dos puertos, no es una red general de cuatro terminales. Está restringida por el requisito de que la corriente en un terminal de un par debe ser en cada instante igual y opuesta a la corriente en el otro terminal de ese par, es decir que debe presentarse como si fueran dos dipolos. Una red de dos puertos no tiene conexión entre el circuito externo del lado derecho y el del lado izquierdo excepto a través del cuadripolo. Puede considerarse que es el único medio de transmisión entre ambas partes. Para el análisis que realizaremos las restricciones de los elementos constitutivos son las de ser lineales, pasivos y bilaterales. Aunque en general pueden ser de cualquier tipo y complejidad requiriendo un análisis adecuado para cada caso. Existen algunas configuraciones más comunes: "L", "" y "T" como básicas; "H", "cuadro", "escalera", "T puenteada", "T paralela", "celosía", etc. como derivadas. Suele considerarse a la "L" como la celda básica con la que se construyen todas las demás. Red en "L" Red en ""

I1

I1

V2

I2

I2

V1

+ +

- -

Z1

Y1

Z1

Y2 Y1


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Red en "T" Red en "H" Si las impedancias serie de las ramas inferior y superior son iguales el sistema puede estar balanceado eléctricamente respecto a tierra. Se dice que es simétrico cuando podemos permutar extremo por extremo sin afectar el resto del sistema del cual es parte. Con excepción de la "L" cualesquiera de las redes pueden o no ser simétricas. Se supone que los pequeños rectángulos (dipolos) que constituyen las redes no están acoplados entre sí. Dentro de ellos la sub-red puede estar constituida de cualquier manera, incluyendo acoplamientos. Los cuadripolos pueden presentar tres tipos de problemas: 1) Problema de transferencia: se requiere encontrar una corriente en función de ambas tensiones, o una tensión en función de ambas corrientes. 2) Problema de la transmisión: se requiere encontrar la tensión y corriente en un par de terminales en función de la tensión y corriente del otro. Las condiciones para la transmisión pueden ser no restringidas, o bien puede especificarse que la impedancia colocada a la salida es igual a un valor particular conocido como impedancia imagen del cuadripolo. 3) Problema de la inserción: se requiere encontrar el efecto de intercalar una red de dos puertos en un sistema. La tensión, corriente, potencia y/o respuesta en frecuencia en la carga se expresarán en función de los mismos valores antes de la inserción.- IV - A.2 - El problema de la transferencia. Para nuestro análisis consideraremos al cuadripolo como una caja negra con las siguientes asignaciones de corrientes y tensiones:

I1

I1

V2

I2

I2

V1

+ +

- -

Cuadripolo pasivo, lineal y bilateral

Z1 Z2

Y1

Z4

Z1 Z2

Z3

Y1


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Se indica con V a la tensión para generalizar el hecho que no deben ser necesariamente fuentes. Pueden ser dipolos activos o incluso, por supuesto en solo uno de los puertos, un dipolo pasivo. Conforme a lo visto en los métodos de resolución, la solución del sistema de ecuaciones del método de las mallas nos permite escribir, al ser la red pasiva (que implica la no existencia de generadores en las mallas restantes):

212111 VyVyI 1

2221212 VyVyI

Si hacemos V2 = 0 (cortocircuitamos el puerto 2) tendremos:

1212111 VyIVyI e1

de donde será:

e Si hacemos V1 = 0 (cortocircuitamos el puerto 1) tendremos:

2222212 VyIVyI e1

de donde será:

e recibiendo y11 e y22 el nombre de admitancias en cortocircuito de punto impulsor e y12 e y21 admitancias en cortocircuito de transferencia.- La solución del sistema de ecuaciones del método de los nodos nos permite escribir, al ser la red pasiva:

212111 IzIzV 1

2221212 IzIzV

Si hacemos I2 = 0 (abrimos el puerto 2) tendremos:

1212111 IzVIzV e1

de donde será:

e Si hacemos I1 = 0 (abrimos el puerto 1) tendremos:

2222212 IzVIzV e1

de donde será:

e recibiendo z11 e z22 el nombre de impedancias en circuito abierto de punto impulsor y z12 y z21 impedancias en circuito abierto de transferencia.- Estos parámetros se determinan fácilmente por medición, aunque se debe tener muy en cuenta que las condiciones límites impuestas al

V2=0 1

111 V

Iy

V2=0

1

221 V

Iy

V1=0

2

222 V

Iy

2

112 V

Iy

V1=0

I2=0

1

111 I

Vz

I2=0

1

221 I

Vz

I1=0

2

222 I

Vz

2

112 I

Vz

I1=0


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circuito para definir matemáticamente los parámetros no son, en general, posibles de aplicar a los circuitos reales. Tanto poner en cortocircuito como en circuito abierto un dispositivo puede llevarlo a su destrucción. Además díficilmente un circuito sea posible considerarlo lineal entre extremos tan amplios de condiciones de trabajo. Conocida la estructura interna del cuadripolo los coeficientes de impedancias y de admitancias se pueden calcular utilizando los métodos de resolución de circuitos, ya sea cortocircuitando o dejando abierto el puerto correspondiente. IV - A.2.1 - Ejemplos de cálculos Para mostrar los distintos casos que pueden darse en la práctica tomaremos un circuito sencillo y lo analizaremos desde todos los puntos de vista. Sea el circuito: Donde R1 = 1000 ohmios, R2 = 500 ohmios y R3 = 2000 ohmios. En él hemos indicado un montaje en "T", y cuyas tres componentes son resistencias. Esto último al sólo fin de simplificar los cálculos numéricos, ya que es general deberemos hablar de impedancias complejas o, más general aún, de funciones que dependerán de los elementos constitutivos del cuadripolo y de las señales de excitación. A) Cálculo de los parámetros de impedancia de circuito abierto conociendo la estructura del dispositivo: Como lo ya explicamos, las ecuaciones de solución al método de los nodos son de la forma:

212111 IzIzV 1

2221212 IzIzV

donde: Por consiguiente analizando el circuito para cada caso tendremos: Para z11, al ser I2=0 la corriente I1 está determinada por la tensión aplicada y las resistencias R1 y R3 en serie.

R1 R2

R3

I1 I2

V1 V2

+ +

- -

I2=0 1

111 I

Vz

2

112 I

Vz

I1=0 I2=0

1

221 I

Vz

I1=0

2

222 I

Vz


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ohmios300020001000R3R1

R3R1VV

IVz

1

1

1

111

Para z12, siendo I1=0 la corriente I2 debe ser la que produzca sobre R3 la tensión V1.

ohmios20002000R3R3V

VIVz

1

1

2

112

Para z21, siendo I2=0 la corriente I1 debe ser la que produzca sobre R3 la tensión V2.

ohmios20002000R3R3V

VIVz

2

2

1

221

Como se puede ver los dos últimos valores son iguales ya que estamos con un circuito bilateral y las impedancias de transferencia de circuito abierto son iguales. Para z22, al ser I1=0 la corriente I2 está determinada por la tensión V2 y las resistencias R2 y R3 en serie.

ohmios25002000500R3R2

R3R2VV

IVz

2

2

2

222

Para el cálculo de los parámetros de admitancia el procedimeinto es análogo considerando cortocircuitar los puertos en lugar de dejarlos en circuito abierto. Y en el caso de circuitos más complejos se aplican, bajo las mismas condiciones de los terminales, los métodos de resolución ya conocidos. B) Cálculo de los parámetros de impedancia por medición en un circuito que admite las condiciones extremas. En este caso se aplica una tensión conocida, V1, al puerto 1, dejando en circuito abierto el puerto 2. Se miden la corriente I1 y la tensión V2. Con estos valores se calculan z11 y z21. Luego se aplica una tensión conocida al puerto 2, V2, dejando en circuito abierto el puerto 1. Se miden la corriente I2 y la tensión V1. Con estos valores se calculan z22 y z12. Si el circuito es bilateral, y dentro del error de las mediciones y cálculos, los valores de z21 y de z12 obtenidos deben ser iguales.

I2

V1 V2

+ +

- -

I1 = 0

I1

V1 V2

+ +

- -

I2 = 0


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C) Cálculo de los parámetros de impedancia por medición en un circuito que no admite las condiciones extremas. En este caso se coloca sucesivamente dos cargas, RA y RB, en un puerto, por ejemplo en el dos, de distinto valor elegidas cerca de los límites del rango de trabajo o de linealidad del dispositivo. Para cada caso se toman los valores de la tensión aplicada al puerto 1,y de las dos corrientes. La tensión del puerto 2 puede ser medida o calculada con la corriente I2 y la resistencia de carga utilizada. Sea el montaje: Tomaremos estos datos con los valores siguientes: Caso 1: Resistencia de carga, RA, de 500 ohmios. Tensión aplicada V1 = 100 voltios. Corriente I1 = 0,06 amperios. Corriente I2 = -0,04 amperios. Tensión sobre la carga, V2 = 20 voltios. Caso 2: Resistencia de carga, RB, de 2000 ohmios. Tensión aplicada V1 = 100 voltios. Corriente I1 = 0,0474 amperios. Corriente I2 = -0,0211 amperios. Tensión sobre la carga, V2 = 42,11 voltios. Notemos que en ambos casos la corriente del puerto 2 es negativa debido al sentido de I2 y a la polaridad de V2. Los valores deben satisfacer el sistema de ecuaciones ya visto:

212111 IzIzV 1

2221212 IzIzV

Por lo tanto podremos escribir, para el primer caso,:

0,04z0,06z100 1211 0,04z0,06z20 2221

Y también, para el segundo,:

0,0211z0,0474z100 1211 0,0211z0,0474z42,11 2221

Es decir que tenemos un sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas. De esas cuatro incógnitas sabemos que dos son iguales por lo tanto podemos simplificar el cálculo obteniendo de la segunda ecuación (por ejemplo) z21 en función de z22, y como sabemos que es igual a z12 reemplazar sus valores en las ecuaciones primera y tercera.

0,04z0,06z20 2221

R

I1 I2

V1 V2

+ +

- -


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0,06z0,04z20 2122

122222

21 z0,667z333,30,06

0,04z20z

Haciendo lo propio de la cuarta ecuación obtendríamos:

212222

12 z0,445z888,40,0474

0,0211z42,11z

Reemplazando cualesquiera de estos valores en la primera y tercera ecuación se obtiene:

0,040,445z888,40,06z100 2211

0,02110,445z888,40,0474z100 2211

0,0178z0,06z135,54 2211

0,0094z0,0474z118,75 2211

Resolviendo el sistema obtenemos que:

ohmios30002998,9z11

ohmios25002501,4z22

De las ecuaciones anteriores podemos obtener los valores que nos faltan:

ohmios20001998,4z12

ohmios20002001,5z21

Con lo que tenemos resuelto el problema. Los resultados muestran que el cuadripolo es uno equivalente al utilizado para los cálculos anteriores. En realidad se utilizó el mismo circuito para calcular los valores que se dieron como "medidos". IV - A.3 - El problema de la transmisión general. Notemos la inversión de la corriente en el extremo de la derecha. Un par de ecuaciones especialmente utilizables para esto tendría la forma: VS = A VR + B IR @(1) IS = C VR + D IR @(2)

I1

I1

V2

I2

I2

V1

+ +

- -

Cuadripolo pasivo, lineal y bilateral


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Donde "S" indica el extremo emisor y "R" el receptor. Si suponemos una carga aplicada al extremo receptor, la corriente IR deberá tener el sentido contrario al fijado para el problema anterior. El sistema solución de las ecuaciones de malla (parámetros de admitancia) contiene la información necesaria para encontrar A, B, C y D con I2 = -IR. IS = y11 VS + y12 VR @(3) -IR = y21 VS + y22 VR @(4) de la ecuación @(4): VS = (-y22/y21) VR - (1/y21) IR @(5) que si la comparamos con @(1) se ve que: A = - y22/y21 B = - 1/y21 reemplazando @(5) en @(3) quedará: IS = [y21 - (y11y22/y21)] VR - (y11/y21) IR que si la comparamos con @(2) se ve que: C = y21 - (y11y22/y21) D = - y11/y21 A las expresiones A, B, C y D se las denomina comúnmente constantes generales de la red, pero, como en la realidad son funciones de la frecuencia, resulta más correcto llamarlas funciones generales de la red.- A través de los parámetros de circuito abierto se puede demostrar también que: A = z11/z21 B = (z11z22/z21) - z21 C = 1/z21 D = z22/z21 Si los elementos integrantes del cuadripolo son bilaterales resultará que z12 = z21, o que y12 = y21, lo que implica que es necesario conocer solamente tres impedancias, o admitancias, para resolver la red. Esto sugiere que las funciones generales no son todas independientes y, en efecto, existe una relación que las vincula: A B A D - B C = 1 o = 1 C D lo que se puede probar reemplazando los valores encontrados en el determinante.


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La red simétrica aparece como la misma desde ambos extremos, aunque no lo parezca estructuralmente; para satisfacer esta definición las redes simétricas deben tener: z11 = z22 e y11 = y22, en consecuencia resulta: A = D. Es decir que, en este caso, existen dos parámetros independientes en cada conjunto. IV - A.3.1 - Ecuaciones inversas. Las ecuaciones generales de transmisión pueden ponerse en forma matricial: VS A B VR = IS C D IR que en forma abreviada será: [ S ] = [ K ] [ R ] Encontraremos la tensión y la corriente del extremo receptor en función de la tensión y la corriente del extremo emisor haciendo: [ K ]-1 [ S ] = [ K ]-1 [ K ] [ S ] de donde: [ R ] = [ K ]-1 [ S ] con:

AC

BD

DC

BA1

K 1

donde por ser A D - C B = 1 resultará: D -B [ K ]-1 = -C A y por ello: VR D -B VS = IR -C A IS


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o sea que: VR = D VS - B IS IR = -C VS + A IS IV - A.3.2 - Redes en cascada. para el cuadripolo 2 será:

[ M ] = [ K2 ] [ R ] para el cuadripolo 1 será:

[ S ] = [ K1 ] [ M ] combinando:

[ S ] = [ K1 ] [ K2 ] [ R ] si definimos:

[ K ] = [ K1 ] [ K2 ] entonces será:

[ S ] = [ K ] [ R ] donde [ K ] representa al dipolo resultante que podemos evaluar efectuando el producto matricial: A1 B1 A2 B2 A1A2+B1C2 A1B2+B1D2 [ K ] = = C1 D1 C2 D2 C1A2+D1C2 C1B2+D1D2 por lo que el sistema de ecuaciones quedará: VS = (A1A2+B1C2) VR + (A1B2+B1D2) IR IS = (A1A2+B1C2) VR + (A1B2+B1D2) IR y en forma general para n redes en cascada será:

[ S ] = [ K1 ] [ K2 ] ..... [ Kn ] [ R ] donde el orden de las matrices deberá corresponderse exactamente con el orden de los cuadripolos.-

IR

-

A1 B1 C1 D1

A2 B2 C2 D2

IS + VS -

IR + VR -

IM + VM -


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Parte B - Casos especiales IV - B.1 - Cuadripolo en "T" Un cuadripolo de "" tiene la estructura siguiente: y podemos obtener las impedancias de circuito abierto por inspección: z11 = ZS + 1/Y z22 = ZR + 1/Y Y cuando la corriente entra por un extremo la tensión en el otro es I/Y luego: z12 = z21 = 1/Y entonces: A = z11/z21 = ZS Y + 1 B = z11z22/z21 - z12 = (ZS Y + 1)(ZR + 1/Y) - 1/Y = = ZR ZS Y + ZR + ZS C = 1/z21 = Y D = z22/z21 = ZR Y + 1 si la "T" es simétrica: ZR = ZS = ½ Z y luego: A = 1 + ½ Z Y B = Z + ¼ Z2 Y C = Y D = A

ZS ZR

Y


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IV - B.2 - Cuadripolo en "" Un cuadripolo de "" tiene la estructura siguiente: y en este caso trabajamos con las admitancias de cortocircuito, por inspección: y11 = YS + 1/Z y22 = YR + 1/Z Si aplicamos una tensión en un extremo la corriente en el otro será -V/Z (por los sentidos indicados en el primer estudio) luego: y12 = y21 = - 1/Z entonces: A = - y22/y21 = YR Z + 1 B = - 1/y21 = Z C = y12 - y11y22/y21 = - 1/Z (YR Z + 1)(YS + 1/Z) = = YR YS Z + YR + YS D = - y11/y21 = YS Z + 1 si la "" es simétrica: YR = YS = ½ Y y luego: A = 1 + ½ Z Y B = Z C = Y + ((½ Y)2 Z) D = A

Z

YR YS


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Parte C: Impedancias IV - C.1 - Impedancias de circuito abierto y de cortocircuito. Definida la ecuación general de transmisión: VS = A VR + B IR IS = C VR + D IR si ponemos al extremo receptor en circuito abierto (IR = 0) tenemos: ZS(oc) = VS/IS = (A VR)/(C VR)= A/C IR=0 por el contrario, poniéndolo en cortocircuito (VR = 0) logramos: ZS(sc) = VS/IS = (B IR)/(D IR)= B/D VR=0 IV - C.2 - Impedancia imagen. A efectos de conseguir la máxima transferencia de potencia se trata siempre de terminar una red en su impedancia imagen. Afortu-nadamente esta condición también simplifica el cálculo. Limitaremos este estudio al caso de redes simétricas: VS = A VR + B IR @(7) IS = C VR + A IR @(8) (donde D fue reemplazado por A por esa condición) y por lo que podemos poner que la impedancia de entrada es: Z1 = VS / IS y la de salida: Z2 = VR / IR obviamente la impedancia de entrada, Z1, dependerá de lo conectado a la salida, Z2; si cambia Z2 cambiará también Z1. Hay un valor de Z2 tal que hace a Z1 = Z2, ese valor, que se indica con Z0, se denomina impedancia imagen: Z0 = Z1 = Z2 @(9) Dividimos @(7) por @(8) y obtenemos:


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VS A VR + B IR Z1 = = IS C VR + A IR substituyendo VR por Z2 IR: A Z2 IR + B IR A Z2 + B Z1 = = C Z2 IR + A IR C Z2 + A por la condición @(9): A Z0 + B B 1/2 Z0 = = C Z0 + A C habíamos visto que: A B Z1(oc) = y Z1(sc) = C D con lo que resulta: A B Z1(oc)*Z1(sc) = C D pero recordando que para la red simétrica es A = D quedará: [Z1(oc) Z1(sc)]½ = Z0 la impedancia imagen es la media geométrica de la impedancia de entrada en circuito abierto y la impedancia de entrada en cortocircuito.-


CAPÍTULO V

TRANSITORIO DE CIRCUITOS

Parte A: INTRODUCCIÓN Parte B: CIRCUITOS DE PRIMER ORDEN Parte C: CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN




Teoría de los Circuitos I - Ing. Jorge M. Buccella - Capítulo V

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ÍNDICE Parte A: INTRODUCCIÓN 3 A.1 Las ecuaciones diferenciales de los circuitos eléctricos 3 A.2 Relaciones volt-amper y energía almacenada 4 A.3 Teoremas de los valores iniciales y finales 5 A.3.1 Teorema de la energía inicial 6 A.3.2 Teorema del valor inicial y final 6 A.3.3 Ejemplos de cálculo de los valores iniciales y finales 8 Parte B: CIRCUITOS DE PRIMER ORDEN 15 B.1 Circuitos de primer orden 15 B.1.1 Excitación por energía almacenada 15 B.1.2 Excitación por un impulso 18 B.1.3 Excitación por un escalón 19 B.1.4 Excitación por una señal senoidal 22 B.1.5 Resonancia y variación de parámetros 23 B.2 Ejemplo de cálculo 25 Parte C: CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN 29 C.1 Circuitos de segundo orden 29 C.1.1 Excitación por energía almacenada 29 C.1.1.1 Sobreamortiguado 32 C.1.1.2 Críticamente amortiguado 35 C.1.1.3 Oscilatorio armónico amortiguado 36 C.1.2 Excitación por señal senoidal 38 C.2 Ejemplo de cálculo 40 TOTAL: 44 páginas


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Parte A: INTRODUCCIÓN Todo cambio de estado significa un cambio en la cantidad de la energía del sistema, sea este mecánico, térmico o eléctrico. Como el suministro o la disipación de energía no puede realizarse con amplitud infinita este cambio requiere un tiempo determinado. Se pasa de un estado al otro en forma gradual, el tiempo de transición se denomina período transitorio. Una vez que el sistema se estabiliza en el nuevo estado se dice que se encuentra en su período estacionario, de régimen o forzado. En todos los casos esa "inercia" en responder es debida a la presencia de elementos capaces de almacenar energía: una masa, un resorte, etc. Nuestro estudio se referirá a los circuitos eléctricos, pero podremos observar la semejanza que existe con otros sistemas. Esta es la base de la computación analógica para el estudio de sistemas dinámicos. V - A.1 - Las ecuaciones diferenciales de los circuitos eléctricos. Dado que hemos considerado que los elementos de las redes serán lineales, bilaterales e ideales, surge que los parámetros L, C y R son constantes, y por ello las ecuaciones diferenciales de los circuitos serán a coeficientes constantes, y en ellas son aplicables los teoremas de linealidad y superposición. Ya que las ecuaciones diferenciales representan circuitos pueden aplicarse los conceptos de estímulo y respuesta. El tipo más simple de estímulo para una red es el provisto por la energía acumulada inicialmente en los elementos del circuito (inductancias y/o capacitores). Esta energía hace que la corriente circule, pero a medida que esto ocurre la energía es disipada en las resistencias, si existen, por lo que, con el tiempo, decrecerá hasta cero. La respuesta de una red excitada por almacenamiento inicial de energía y luego dejada en libertad es una característica de la misma y es denominada comportamiento natural, o respuesta transitoria, porque las corrientes y tensiones (que constituyen la respuesta) decrecen a cero luego de cierto tiempo. También se la conoce como comportamiento libre (no forzado) ya que es producido en el circuito en sí, sin ninguna fuente externa. Desde el punto de vista matemático el comportamiento natural de un circuito es la solución de la ecuación diferencial con todas las fuentes igualadas a cero. A esta solución se la denomina función complementaria u homogénea. La respuesta de un circuito a una excitación por una fuente impulsiva es muy similar al comportamiento natural. El impulso existe sólo entre t = 0- y t = 0+. Antes y después de este intervalo es cero, tal como sería para obtener la función complementaria de la ecuación diferencial. La única forma por la cual el impulso afecta al circuito es almacenar (o extraer) energía durante el período de existencia. Es decir que, luego de pasado el impulso, la energía almacenada produce el comportamiento natural.


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La respuesta de un circuito a la excitación por la función escalón puede encontrarse por integración de la respuesta a un impulso. El teorema de la linealidad se extiende a la integración y a la diferenciación del estímulo y de la respuesta, ya que son operaciones matemáticas lineales. Alternativamente, la respuesta puede obtenerse directamente de la ecuación diferencial apropiada. En este caso un valor final, o solución estacionaria, existe, es proporcional a la excitación y no decrece a cero con el tiempo. El valor estacionario es simplemente la solución para el circuito en t = + y es idéntica al valor de corriente continua. La solución completa de una ecuación diferencial de circuito es la suma del comportamiento natural y la solución estacionaria. La solución estacionaria por sí misma no satisface las condiciones iniciales (t=0+) en el circuito. La solución transitoria provee una transición suave desde el estado energético inicial del circuito, representado por los valores iniciales de las corrientes y tensiones, al estado energético final representado por valores finales de las corrientes y tensiones. Una excitación más general puede descomponerse en un tren de impulsos o escalones y tratar el caso por superposición. Es posible también resolver directamente la ecuación diferencial correspondiente a la excitación general. En este caso la solución completa de la solución diferencial es la solución transitoria más una solución que es del mismo tipo que la excitación. Esta última se conoce también como solución estacionaria aunque no es una constante. Un término más adecuado es el de solución forzada. Matemáticamente esta solución es llamada la integral particular de la ecuación diferencial. V - A.2 - Relaciones volt-amper y energía almacenada. Para entrar en el tema reescribamos las expresiones de la ley de Ohm para los elementos simples: Para la resistencia: iR(t) = eR(t)·G eR(t) = iR(t)·R

Para la inductancia: iL(t) =

t

L dt)t(e eL(t) =dt

)t(diL L

Y para la capacitancia: iC(t) = dt

)t(deC eC(t) = dt)t(iS

t

A la integral de la tensión la denominamos enlaces de flujo y a la integral de la corriente la denominamos carga eléctrica.

t

L dte = y dti = qt

C


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Por lo que resulta:

q S = e y i = dtdq

= dtde

C

La energía puede determinarse por la expresión:

dtie = W T p = W t

La energía almacenada será entonces, para la inductancia:

dtidtdi

L = dtie = W tt

L

cambiando variables t por i, y asumiendo que en el origen de los tiempos el elemento está descargado, resulta: t=- --> i=0; t=t --> i=I

I 2L

= W diiL = W 2L

I

0L

Y para la capacidad:

dtedtde

C = dtie = Wtt

C

cambiando variables t por e resulta: t=- --> e=0; t=t --> e=E

E 2C

= W deeC = W 2C

E

0C

Donde hemos verificado que, felizmente, la energía almacenada en ambos elementos depende solamente del valor final y no de la historia de la corriente o la tensión respectivamente. V - A.3 - Teoremas de los valores iniciales y finales. Para poder explicitar la solución a un problema presentado por un circuito en particular no solamente debemos conocer la ley general de su comportamiento sino que también debemos ajustar los resultados de nuestra ecuación a los valores realmente presentes en el circuito. Es decir que nuestra ecuación solución debe cumplir con las condiciones de contorno establecidas en elcircuito real. Para ello debemos estar en condiciones de calcular esas condiciones. Debemos por establecer estrictamente el valor inicial dela respuesta, el valor inicial de la primera derivada de la respuesta, y el valor final o de régimen de la misma. los teoremas siguientes nos dan las herramientas necesarias para ello.


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V - A.3.1- Teorema de la energía inicial. A la corriente en la inductancia la podemos expresar como:

t

0

0t

dtedtedtei

La primer integral es la cantidad de enlaces de flujo almacenados en la inductancia desde el pasado hasta nuestro tiempo t = 0. Esta cantidad neta de enlaces de flujo dividida por el coeficiente de autoinductancia es la corriente existente en ese momento, por lo tanto podemos expresar la corriente como:

t

00 dteIi

por ello una inductancia inicialmente cargada puede reemplazarse por un generador ideal de corriente en paralelo con una inductancia descargada. A la tensión en el capacitor la podemos expresar como:

t

0

0t

dtiSdtiSdtiSe

La primer integral es la carga eléctrica almacenada en la capacidad desde el pasado hasta nuestro tiempo t = 0. Esta cantidad neta de carga eléctrica dividida por la capacidad es la tensión existente en ese momento, por lo tanto podemos expresar la corriente como:

t

00 dtiSEe

por ello un capacitor inicialmente cargado puede reemplazarse por un generador ideal de tensión en serie con un capacitor descargado. V - A.3.2 - Teorema del valor inicial y final. Por la ecuación de la corriente en la inductancia, si tomamos el instante t = 0+ nos quedará:

dte +I= i0

00

como el intervalo de integración es prácticamente nulo y si la tensión no es infinita, la integral también será nula. Por ello podemos decir que para t = 0+ la inductancia descargada es equivalente a un circuito abierto. En un capacitor resultará que:

dti S +E= e0

00

y haciendo las mismas consideraciones obtendremos una tensión nula que indicará un cortocircuito equivalente en t = 0+.


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Hay que hacer notar que si la excitación es infinita en ese intervalo (un impulso) la integral tendrá un valor definido, distinto de cero, y representará la carga cedida al (o retirada del) elemento. Esta carga podrá sumarse algebraicamente a la inicial y tratarlo como inicialmente cargado con el valor resultante. Para t=+, luego de desaparecido el transitorio, la inductancia queda con un diferencia de potencial nula y es indistinguible de un cortocircuito; mientras que el capacitor resulta con una corriente nula y por ende es equivalente a un circuito abierto. Podemos decir que en ambos instantes particulares, t=0+ y t=+, el circuito de comporta resistivamente. Independientemente de que la corriente o la tensión sean nulas en t=0+ deberemos evaluar también la primera derivada de las mismas, para lo que recordaremos que:

CL iStd

edye

td

id

Esta evaluación de la derivada de la función para el instante inicial la realizamos analizando el circuito equivalente para ese instante. Si conocemos la tensión en la bobina tendremos que:

L)0(e = )0('i =

dtdi

dtdi L = )0(e

+L+

L0t0t

+L

Por otra parte, si conocemos la corriente en el capacitor tendremos que:

C)0(i = )0('e

dtde

dtde

C = )0(i+

C+C

0t0t

+C

tal como lo habríamos obtenido por aplicación del concepto de dualidad. Debemos entender que hablamos de la derivada de la función para un instante dado y no de la derivada del valor de la función para ese instante ya que en este caso el resultado sería siempre nulo y no tiene significado físico. Para el caso de una función de excitación impulsiva sabemos que su integral está definida por el coeficiente de la misma por lo que la carga cedida, o extraída, se evalúa fácilmente. Para el capacitor: (t)uI = (t)i 0A

CI = IS =dt(t)uI S = )0(e A

A

0

00A

+C

valor que habrá que sumar algebraicamente a la tensión inicial del capacitor E0. Con algebraicamente queremos decir que la energía del impulso puede aumentar o disminuir la existente en el circuito, todo


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dependerá de la polaridad relativa de la tensión existente y de la adquirida. Resulta, por otra parte, obvio que la corriente que estamos considerando es la corriente que atraviesa al condensador. Para el inductor: (t)uE = (t)e 0A

LE

= E =dt(t)uE = )0(i AA

0

00A

+L

valor que habrá que sumar algebraicamente a la corriente inicial del inductor I0. Para este caso valen las consideraciones hechas para el anterior. En resumen podemos establecer el siguiente cuadro: Elemento Tiempo inicial Tiempo final V - A.3.3 - Ejemplos de cálculo de los valores iniciales y finales. Para completar el tema veremos algunos ejemplos de evaluación de estos valores que constituyen las condiciones de contorno fundamentales para determinar los coeficientes de las soluciones a los problemas de transitorios. Iniciaremos este estudio considerando una malla constituida por una resistencia R y una inductancia L con una carga inicial indicada como una corriente I0. Conforme a lo demostrado hasta ahora podemos determinar los valores iniciales y finales de las variables del circuito. Siendo el circuito excitado por la energía almacenada en el inductor (en forma de campo magnético), no habiendo fuente adicional y existiendo un elemento disipador la energía se disipará. Esto significa que para el tiempo t = + no habrán tensiones ni corrientes.

L

C + -

C E0

+ -

C

E0

L

I0

L

I0

I0

i(t)

R L


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Para evaluar lo que acontece en el momento inicial utilizaremos el circuito equivalente para ese instante: Aquí observamos fácilmente que la corriente inicial en el circuito es igual a la corriente inicial de la bobina. La tensión inicial en la resistencia está dada por la ley de Ohm es decir que: eR(0+) = i(0+)·R = I0·R Por su parte la tensión en la bobina debe ser igual en su magnitud y opuesta en la polaridad a la de la resistencia para que se cumpla la segunda ley de Kirchhoff, es decir: eL(0+) = -i(0+)·R = -I0·R Veamos un caso excitado por energía almacenada (en la bobina como una corriente I0 y en el capacitor como una tensión E0) y, además, por una fuente impulsiva en t=0: Conforme a lo demostrado hasta ahora podemos determinar los valores iniciales y finales de las variables del circuito. El circuito está excitado por la energía almacenada, la fuente es impulsiva y hay una resistencia, por lo tanto para el tiempo t = + no habrán tensiones ni corrientes. Para evaluar lo que acontece en el momento inicial utilizaremos el circuito equivalente para ese instante:

+ eR(0+) - -

+ eL(0+) - -

I0

i(0+)

R

L

i(t)

C L R +

-

I0

e(t)

E0 + -

I

i(0+)

R

L

+ eR(0+) - -

+ eL(0+) - -

+ eC(0+) - -

E0 +

-


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Si ignoramos la fuente impulsiva (que para t=0+ ya desapareció) observamos fácilmente que la corriente inicial en el circuito es igual a la corriente inicial de la bobina, tal como en el caso anterior. Sin embargo la fuente impulsiva transfirió su energía al circuito y debe estar en algún lado. Olvidemos por el momento la carga inicial, que ya conocemos, y analicemos lo que ocurre con la fuente. La fuente es de tensión consecuentemente su efecto se manifestará en la inductancia porque, al ser un circuito abierto, admite cualquier tensión. Para t=0+ podemos evaluar la corriente desarrollada sobre la bobina como la inversa de la inductancia por la integral de esa tensión, lo que nos dará:

0

0LL dt)t(eL

1'I

que es la corriente con la que se quedó cargada la bobina por efecto de la fuente. El sentido está dado por la polaridad de la tensión desarrollada sobre ella en el intérvalo, es decir de izquierda a derecha. Esto implica que se deberá, en este caso, sumar a la que tenía inicialmente. Otra forma de evaluarla es haciendo:

L0

0

0L

0

L

0

LL 'IIdt)t(eL1dt)t(eL

1dt)t(eL1I

El circuito equivalente para t=0+ es ahora: Por lo tanto resulta que: i(0+) = I0 + I'

eR(0+) = i(0+)·R = (I0 + I')·R

eC(0+) = E0 La ecuación de la segunda ley de Kirchhoff es: eR + eL + eC = 0 luego:

eL(0+) = -(I0 + I')·R - E0 En circuitos de este tipo (de segundo orden) se requiere conocer la derivada primera de la variable en t=0+. Para evaluarla aplicamos la ley de Ohm:

L

ER)'II(L)0(e

dt)0(di

dt)0(di

L)0(e 00LL

I0 + I'

i(0+)

R

L

+ eR(0+) - -

+ eL(0+) - -

+ eC(0+) - -

E0 +

-


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L

ER)'II(R)0(de)t(diR)t(de 00

RR

C

)'II()0(dedt)t(i

C1

)t(e 0C

t

C

0)t(de)t(de)t(de0)t(e)t(e)t(e CLRCLR De allí podemos despejar deL(0+):

C

)'II(L

ER)'II(R)t(de 000

L

LER

)'II(C1

LR 0

0

2

Todo lo desarrollado es válido para circuitos lineales por la linealidad de las operaciones de diferenciación y de integración, cuando el límite superior es la variable. Los ejemplos muestran los pasos a seguir para la determinación de las condiciones de contorno. Si la fuente es escalón u otra cualesquiera que queda aplicada a partir de t=0+ se tendrá que evaluar el valor instantáneo de la misma y agregarlo como una fuente ideal adicional en el circuito equivalente correspondiente. En estos casos habrá que determinar las condiciones de contorno para t=+ que pueden no ser cero. Para evaluarlas se aplican los métodos normales para régimen permanente ya que en ese instante el transitorio ha desaparecido. Veamos un caso excitado por energía almacenada (en la bobina como una corriente I0 y en el capacitor como una tensión E0) y, además, por una fuente senoidal t=0: e(t)= 25 sen(5t+30º) I0=1 Amp. E0=20 V. R=40 Ω L=10 Hy. C=0,01 Fd. Conforme a lo demostrado hasta ahora podemos determinar los valores iniciales y finales de las variables del circuito. La fuente es senoidal y queda aplicada desde t=0 en adelante, por lo tanto para el tiempo t=+ es esperable tener respuesta. Para evaluar lo que acontece en el momento inicial utilizaremos el circuito equivalente para ese instante:

i(t)

C L R +

-

I0

e(t)

E0 + -


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La fuente senoidal nos suministra en t=0 una tensión de 12,5V. Por lo tanto resulta que: i(0+) = I0 = 1Amp eR(0+) = i(0+)·R = I0·R = 40V. eC(0+) = E0 = 20V La ecuación de la segunda ley de Kirchhoff es: eR + eL + eC = e(0) luego: eL(0+) = e(0) - I0·R - E0 = 12.5 - 40 - 20 = -47.5V En circuitos de este tipo (de segundo orden) se requiere conocer la derivada primera de la variable en t=0+. Para evaluarla aplicamos la ley de Ohm:

s/A75.410

5.47L)0(e

dt)0(di

dt)0(di

L)0(e LL

s/V19075.440)0(de)t(diR)t(de RR

s/V10001.01

C)0(i

)0(dedt)t(iC1

)t(e C

t

C

)t(de)t(de)t(de)t(de)t(e)t(e)t(e)t(e CLRCLR De allí podemos despejar deL(0+): s/V25.19810019025.108)t(deL Para t=+ la energía inicial ya se ha disipado y queda un circuito R-L-C alimentado por una tensión senoidal. Las condiciones de contorno se determinan en forma convencional usando el cálculo simbólico. Z = R+j[L-(1/C)] = 40+j(50-20) = 40+j30 = 50 36.87º I = E/Z = 25 30º / 50 36.87º = 0.5 -6.87º

I0

i(0+)

R

L

+ eR(0+) - -

+ eL(0+) - -

+ eC(0+) - -

E0 +

- + e(0) -


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i(t) = 0.5 sen(5t - 6.87º) eR(t) = i·R = 20 sen(5t - 6.87º) eL(t) = L di/dt = 25 sen(5t + 83.13º)

t

C )º87.96t5sen(10dt)t(iC1

)t(e


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NOTAS Y COMENTARIOS


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Parte B: CIRCUITOS DE PRIMER ORDEN Habiendo determinado las características de cada uno de los elementos, tanto en sus aspectos de energía acumulada, como circuitos equivalentes para las condiciones límites, y pudiendo ya determinar los valores de la variable y su primera derivada para t=0+ y el valor para t=+, estamos en condiciones de analizar el comportamiento de los circuitos. Antes que nada diremos que al tener dos tipos distintos de elementos capaces de almacenar energía: capacitores e inductancias, pueden darse dos posibles configuraciones de la red a estudiar. 1º) Denominaremos circuitos de primer orden a aquellos que, además de posibles resistencias y/o generadores, contienen elementos reactivos de un solo tipo; es decir un número cualquiera de capacitores pero ninguna inductancia, o un número cualquiera de inductores pero ninguna capacidad. 2º) Denominaremos, por lo contrario, circuitos de segundo orden a aquellos que contengan ambos tipos de elementos, es decir que contengan por lo menos un capacitor y una inductancia. La razón del nombre radica en que las ecuaciones integro-diferenciales de equilibrio del circuito se pueden reducir a ecuaciones diferenciales de primer o de segundo orden respectivamente. Para el análisis del tema veremos por separado cada tipo de circuito en su configuración más elemental. Estudiando la respuesta para excitación por energía almacenada, o comportamiento libre, para señal impulsiva, señal escalón y, como caso más general, la excitación por la señal senoidal. Veremos también la situación conocida como resonancia y la forma de resolverla. V - B.1 - Circuitos de primer orden. Circuitos con un solo tipo de elementos almacenadores de energía, que se describen por ecuaciones diferenciales de primer orden. Exigen conocer la energía inicial o el valor inicial de la variable, y la respuesta en el estado final, o de régimen, si hay una excitación del tipo permanente sobre el circuito. V - B.1.1 - Excitación por energía almacenada. Iniciaremos este estudio considerando una malla constituida por una resistencia R y una inductancia L con una carga inicial indicada como una corriente I0.

I0

i(t)

R L

+ eR - + eL -


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Siendo una malla cerrada aplicaremos la segunda ley de Kirchhoff: eR + eL = 0 que, en función de la corriente resultará:

0 = i R + dtdi

L

donde, separando variables, obtenemos:

dt LR

- = idi

Si integramos entre t=0+ y t=t para el tiempo, y entre i=I0 e i=i para la corriente:

tLR

- = Iln - i ln = dtLR

- = idi

0

t

0

i

I0

o explicitando en función de la corriente:

i = I0 e-t/T Hemos obtenido una variación exponencial decreciente que parte del valor inicial I0 y tiende a 0 para el tiempo tendiendo a +. Para t = L/R = (Tau), llamada la constante de tiempo, ya que la dimensión es el segundo, y nos da información de la velocidad de variación de la función en el tiempo, podemos evaluar el valor de la variable:

001-

0 I37% eI eI= )i(

La derivada de la función está dada por:

e I 1

- = dtdi t

-0

si la evaluamos para t = 0 nos permite obtener la pendiente a la curva en el origen:

i(t)

0,37I0

t 0

I0


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I- = dtdi 0

0t

lo que nos dice que la recta tangente al origen corta el eje de tiempos en t = . Si ahora consideramos las tensiones en la resistencia y en la inductancia tendremos que:

eRI = Ri =et

-0R

e RI- = e LI

- = dtdi

L = et

-0

t-0

L

Podemos entonces decir que, partiendo de una función de la forma:

0 = f(t) 1

+ (t)f

obtendremos una solución de la forma:

t

e A= f(t) donde A es el valor inicial de la variable, que evaluamos utilizando el circuito equivalente en t = 0, y es la constante de tiempo del circuito. Consideraremos ahora circuito compuesto por una resistencia en serie con un capacitor cargado inicialmente, cuya carga está evaluada a través de su tensión inicial E0. La ecuación de equilibrio resulta ahora:

0 = dti C1

+ i Rt

Aplicar una operación lineal a una expresión no altera las conclusiones que podemos extraer. Por ello podemos derivar la expresión anterior con respecto al tiempo y, teniendo en cuenta que el límite superior de la integral es la variable, resulta:

i RC1

+ dtdi

= 0 = dtdi

R + i C1

- E0 +

i(t)

R C

+ eR - + eC -


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por similitud al caso anterior será: i = I0 e-t/T Determinaremos ahora el valor de I0; la tensión inicial en el capacitor es -E0 y debe ser eR = -eC conforme a la segunda ley de Kirchhoff. Por ello: I0 = E0/R por ser eC = -eR

e E = e y e RE = i RC

-t

0RCR

-t0

C + 1) - eRC( RE

C1-

= dti C1

= e 0RC

-t0t

C

donde C0 es la constante de integración que evaluamos como: eC(0) = -E0(1 - 1) + C0 = C0 = -E0 por la condición inicial del circuito, por lo que: eC(t) = -E0 e -t/R*C que verifica lo antedicho: eR + eC = 0. La constante de integración podría haberse evitado desdoblando la integral de 0 a 0+ y de 0+ a t. Nuevamente hemos obtenido que, para una ecuación de equilibrio del tipo: f'(t) + (1/T)f(t) = 0 resulta una solución de la forma: f(t) = A e (-t/T) V - B.1.2 - Excitación por un impulso. Iniciaremos este estudio considerando una malla constituida por una resistencia R y una inductancia L con un generador impulsivo unitario u0(t) como excitación.

+ u0(t) - i(t)

R L

+ eR - + eL -


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La ecuación de equilibrio es ahora:

(t) u = Ri + dtdi

L 0

que para t > 0+ resultará:

0 = iR + dtdi

L

y, consecuentemente, la solución será:

e I = i Lt-R

0 dado que para t=0 la inductancia descargada es un circuito abierto, toda la tensión estará aplicada a ella. Por lo tanto podemos calcular la corriente inicial como:

1 L1

= dt (t)u L1

= )0(i 0

0

0

+L

lo que resultará en:

e L1

= i L

t*-R

Si el impulso no fuera unitario, por ejemplo Au0(t), la integración daría igual a A/L y la respuesta será: (A/L) e(-R*t/L) NOTA: Todas las soluciones son válidas para t>0 ya que no se puede aseverar nada sobre lo que acontece antes del instante en que comienza el análisis del circuito. Para indicar esa condición de validez se suele multiplicar la solución encontrada por la función escalón unitaria u-1(t). Sin embargo debe entenderse que aquí el uso de esa función singular es sólo simbólica ya que no significa que la solución sea nula para todo tiempo anterior a 0, sino que no está determinada.- V - B.1.3 - Excitación por un escalón. Veamos el circuito:

+ Eu-1(t) - i(t)

R L

+ eR - + eL -


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Tenemos una malla constituida por una resistencia R y una inductancia L con un generador escalón Eu-1(t) de amplitud E como excitación. Podemos en este caso suponer que habrá una solución distinta de cero para el estado de régimen, es decir para t = +. Analicemos el circuito: Para t = 0 tendremos:

E = iR + dtdi

L

separando variables:

iR - E = dtdi

L

dt LR

= i -

REdi

dt R i - RE

= di L

integrando:

t

0

i

IdtL

RiR

Edi

0

obtenemos: ln[(E/R)-i]/[(E/R)-I0] = -(R/L)t como I0 = 0 resulta que:

)e - 1 ( RE

= i L

t*-R

que muestra una solución compuesta de un estado transitorio, itt(t), y un estado estacionario, iss(t):

RE

+ e RE

- = (t)i + (t)i = i(t) L

t*-R

sstt

A partir de la corriente podemos calcular las tensiones: eR(t) = i(t)·R = -Ee-Rt/L + E

eL(t) = L[di(t)/dt] = e RE

LR

L L

t*-R= Ee-Rt/L

En este caso la respuesta en régimen es nula por cuanto la inductancia representa un corto circuito, tal como hemos demostrado antes. Consideraremos ahora un circuito compuesto por una resistencia en serie con un capacitor descargado inicialmente, con una excitación de tensión escalón.


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Ahora la ecuación de equilibrio es:

(t)uE = dt i C1

+ i R 1-

t

derivando una vez para eliminar la integral:

e RE

= i 0 = i C1

+ dtdi

R C*R

t-

En este caso la solución de régimen es nula ya que el capacitor resulta un circuito abierto para t = +. Sin embargo si analizamos la respuesta de la tensión sobre ese capacitor obtenemos una solución no nula.

0RC

tt

C CeRCRE

C1

= dt i C1

e

C0 es una constante de integración que determinaremos con la condición de contorno para t=. El capacitor se comporta en esa condición como un circuito abierto, por ende toda la tensión del generador estará en sus bornes. Esto quiere decir que C0 debe ser igual a E, con lo que la respuesta es: eC = -Ee-t/RC + E y en la resistencia: eR = Ee-t/RC

A las soluciones que hemos hallado para los casos en que la ecuación de equilibrio está dada por: f'(t) + (1/T)f(t) = Cte las podemos generalizar como: f(t) = Ae-t/T + B donde A y B las obtenemos ajustando las respuesta en t= y luego en en t=0+.

+ Eu-1(t) - i(t)

R C

+ eR - + eC -


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V - B.1.4 - Excitación por una señal senoidal. Iniciaremos este estudio considerando una malla constituida por una resistencia R y una inductancia L con un generador senoidal e(t) de amplitud E y pulsación como excitación. Para este caso tendremos dos componentes para la solución, una expresión igual a los casos anteriores para la transitoria y una del mismo tipo que la excitación para la de régimen. e(t)= E sen(t) Para t > 0:

t sen E= i R + dtdi

L MAX

t sen B + t cos B = (t)i y e A= (t)i 21ssL

t*-R

tt

t cos B + t sen B = dtdi

21ss

para t = se satisface la ecuación:

t sen E = iR + dtdi L MAXss

ss

+ t) cos B + t sen B(- L 21 t sen E = t) sen B + t cos B( R MAX21 0 = )B R + B (L t cos + )E - B R + B (-L t sen 12MAX21 La única forma que la última igualdad se verifique es que las cantidades encerradas entre paréntesis sean nulas, por ello: 0 = BR + BL y 0 = E - BR + BL 12MAX21 de donde resulta:

R + )L(

E L - = B 22

MAX1

y:

R + )L(

E R = B 22

MAX2

+ e(t) - i(t)

R L

+ eR - + eL -


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la solución completa será:

t sen R + )L(

E R + t cos

R + )L(

E L -+ e A= i

22MAX

22MAXL

t -R

de esta expresión debemos encontrar el valor del coeficiente A. Para lo cual igualaremos la expresión para t = 0 con las condiciones del circuito en ese instante inicial:

R + )L(

E L = A 0 =

R + )L(

E L - A= i(0)

22MAX

22MAX

Finalmente:

t) sen R + tcos L(- R + )L(

E + eR + )L(

EL = i

22MAX

L

Rt-

22MAX

Esta última expresión podemos trabajarla trigonométricamente y obtener una forma más explícita para la componente de régimen, de manera que corresponda a una función igual a la de excitación. Para ello ponemos:

sen =

R + )L(

L-22

cos = R )L(

R22

con:RL

tg = 1-

con lo que resultará:

) - t( sen R + )L(

E+ e R + )L(

LE = i

22

MAXL

Rt-

22MAX

En esta expresión la raíz cuadrada representa el módulo de la resistencia aparente que presenta el circuito a la excitación senoidal, que llamamos "Impedancia" y se representa con Z. El ángulo es el ángulo de esa impedancia que nos muestra el desplazamiento de fase que sufre la señal debido a la presencia de elementos reactivos en el circuito.- V - B.1.5 - Resonancia y variación de parámetros. Cuando la función de excitación es del mismo tipo que la función respuesta crea un efecto de resonancia que obliga a adoptar otro tipo de método de resolución. Supongamos una excitación exponencial igual a la respuesta natural del circuito de primer orden. En este caso las dos componen-tes de la respuesta transitoria completa son iguales y crea una indeterminación que levantaremos mediante el método de variación de parámetros.


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Supongamos:

te = i + dtdi

con: i(0) = 0

resultaría:

tss

ttt e B = i e e A= i

esto nos daría una solución indeterminada. Para levantarla hacemos: t

ss e g(t) = i donde g(t) es una función a determinar. A partir de esto obtenemos que: e g(t) - e (t)g = di -t-t

ss y en régimen tendremos: tttt e = e g(t) + e g(t) - e (t)g esto requiere que: C + t = g(t) 1 = (t)g La solución completa queda como: ttt e A+ e C + e t = i(t) para t = 0 es: i(0) = C + A = 0 con lo que finalmente resulta que: tte = i(t) NOTA: Todas las soluciones son válidas para t>0 ya que no se puede aseverar nada sobre lo que acontece antes del instante en que comienza el análisis del circuito. Para indicar esa condición de validez se suele multiplicar la solución encontrada por la función escalón unitaria u-1(t). Sin embargo debe entenderse que aquí el uso de esa función singular es sólo simbólica ya que no significa que la solución sea nula para todo tiempo anterior a 0, sino que no está determinada.-


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V - B.2 - Ejemplo de cálculo. Para tener un ejemplo resolveremos un circuito R-C paralelo con energía almacenada y una fuente de corriente senoidal que es aplicada en el instante inicial: Sean: R= 10 ohms C= 0.02 faradios E0 = 10 voltios i(t) = [10sen(5t+30º)]u-1(t) Con la función escalón estamos diciendo que la fuente se enciende instantáneamente en t=0+. Y, como esta fuente queda aplicada a partir de ese momento para siempre, es de esperar tener

una respuesta en t=∞; por lo tanto debemos evaluar las condiciones de contorno para ese instante en que ya desaparecieron el transitorio y la carga inicial. El circuito nos quedará: Donde en régimen: e(t)= Z·i(t) Aplicando el cálculo simbólico:

E = Z·I = )º30senjIº30cosI(Cj

1RCj

R

= (5 - j5)(8.67 + j5)=

= 68.35 - j18.35 = 70.77 -15.03º voltios (hemos tenido en cuenta que = 5) Volviendo al dominio del tiempo resulta que, en régimen:

e(t) = 70.77 sen(5t - 15º) para t ∞ Para t=0+ tendremos el circuito equivalente: Donde es: e(0+) = -E0 = -10 V i(0+) = I(sen 30º) = 5 A

i(t) R e(t) C

+

-

i(0+) R e(0+)

+

-

C E0

+

-

iR

R e(t) C E0 +

+ -

-

i(t)

iC


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La ecuación de equilibrio del circuito está dada por la primera ley de Kirchhoff: iR(t)+ iC(t)= i(t) que puesta en función de e(t) resulta:

)º30t5sen(I)t(deCR)t(e

dividiendo por C y ordenando queda:

)º30t5sen(CI

CR)t(e

)t(de

que es de la forma x' + (1/)x = f(t) luego podemos definir que la constante de tiempo del circuito es = R·C = 0.2 segundos y que la solución será de la forma:

B Ae e(t)-t

donde B es la solución en régimen ya determinada y A debe ser evaluada ajustando la solución para las condiciones de contorno iniciales, es decir que debe cumplirse:

15º - )5(0sen 70.77 Ae )e(0)-(0

reemplazando los valores tendremos que: -10 = A - 18.32 o sea que A = 8.32 voltios y la solución completa es:

15º - t5sen 70.778.32e )te( 2.0

t-

con ella podemos obtener las corrientes en la resistencia y en la capacidad:

15º - t5sen 7.080.83e )/Rte()t(i 2.0

t-

R

15º - t5cos 08.70.83e- )te(dC)t(i 2.0

t-

C este último valor podría obtenerse despejando de la ecuación de equilibrio del circuito. También pueden encontrarse las corrientes en la resistencia y en la capacidad sabiendo que la forma de la


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solución es la misma para todas las variables y determinando las condiciones de contorno para ellas. Como ejemplo calculemos la corriente en el capacitor, que será de la forma:

C

-t

CC Be A (t)i Determinemos las condiciones de contorno: BC(t) = C·[de(t)/dt] = 7.08 cos(5t - 15º) Amperes iC(0+) = i(0+) - iR(0+) = i(0+) - e(0+)/R = iC(0+) = 5 + 10/10 = 6 Amperes Ahora podemos determinar el valor de AC debiéndose cumplir que:

15º - )5(0cos 7.08e A )(0i)-(0

CC

reemplazamos valores y obtenemos que: AC = 6 - 6.83 = -0.83 Amperes La solución completa es:

15º - t5cos 08.70.83e- )t(i 2.0

t-

C igual a la obtenida por el procedimiento anterior.


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NOTAS Y COMENTARIOS


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Parte C: CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN.

V - C.1 - Circuitos de segundo orden. Ya vimos los circuitos de primer orden en sus configuraciones más elementales. Estudiando la respuesta para excitación por energía almacenada, o comportamiento libre, para señal impulsiva, señal escalón y, como caso más general, la excitación por la señal senoidal; también vimos el caso de resonancia. Veremos ahora el análisis correspondiente para los circuitos de segundo orden: Circuitos con los dos tipos de elementos almacenadores de energía, que se describen por ecuaciones diferenciales de segundo orden. La solución no es tan simple como en el caso anterior pero su forma es la misma. Una componente transitoria, llamada complementaria u homogénea, y otra permanente, estacionaria o integral particular. En estos casos requerimos dos constantes arbitrarias para evaluar las dos formas de almacenamiento de energía. Y para poder determinarlas exige conocer la energía inicial o el valor inicial de la variable, y la primera derivada de la variable en t = 0+. Si hay una excitación del tipo permanente sobre el circuito es necesario, lógicamente, la respuesta en el estado final, o de régimen. V - C.1.1 - Excitación por energía almacenada. Tal como vimos en los circuitos de primer orden esta situación nos permite evaluar la respuesta natural del circuito. Analizaremos primero el caso del circuito en serie y considerando una malla constituida por una resistencia R, una inductancia L con una carga inicial indicada como una corriente I0, y un capacitor también cargado inicialmente con su carga representada por una tensión inicial E0. Siendo una malla cerrada aplicamos la segunda ley de Kirchhoff eR + eL + eC = 0, que en función de la corriente i(t) quedará:

[1] 0 = dt i C1

+ i R + dtdi

Lt

Debe hacerse notar aquí que, si bién no está indicado en los circuitos como en los casos de primer orden, las polaridades de las

I0

i(t)

R L

C

+ E0 -


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tensiones están definidas conforme al sentido de la corriente i(t) del circuito. Si no fuera así los signos en las ecuaciones serían distintos. Diferenciando una vez obtenemos:

[2] 0 = i C1

+ dtdi

R + dt

idL2

2

Los valores iniciales son:

0

0

0 E = dt i C1

y I = i(0)

Si t = 0 en [1]:

0 = dt i Ci

+ )i(0 R + dt

di(0) L

0

0 = E + RI + dt

di(0) L 00

por lo tanto:

K = )E + I(RL1

- = dt

di(0) 00

Esta primera derivada de la corriente puede tomar cualquier valor dependiendo del circuito y de la condición de carga inicial. Como necesitamos dos constantes arbitrarias intentamos una función consistente en la suma de dos soluciones de primer orden (nada impide que se aplique otro método):

[3] e A + e A = i tp2

tp1tt

21

con: e p A + e p A = dtdi tp

22tp

11tt 21

y: ep A + ep A = dtid tp

22

2tp

12

12

tt2

21

Si la ecuación [3] satisface a la ecuación [2] entonces será:

e p A + e p AR + e p A e p AL tp22

tp11

tp222

tp211

2121

0 = e A+ e AC1

+ tp2

tp1

21

0 = C1 + pR + Lpe A +

C1 + pR + Lpe A 2

22

tp21

21

tp1

21

Ya que los productos de las constantes por las exponenciales no pueden ser nulas, porque se perdería la posibilidad de resolver el


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problema, deben serlo necesariamente las expresiones encerradas entre paréntesis. Las p1 y p2 deben ser raíces de la ecuación:

0 = LC1

+ pLR

+ p2

con lo que:

LC1

- )2LR

( 2LR

- = p2

1,2

o:

- - = p 20

21,2

si ponemos que:

LC1

= y 2LR

= 20

El parámetro se lo conoce como coeficiente de amortiguamiento, tiene la dimensión de 1/segundo, la inversa de una constante de tiempo que nos indica la velocidad de decrecimiento del transitorio en el tiempo. 0, por su parte, tiene las mismas dimensiones y se denomina frecuencia angular natural, pulsación natural, o de resonancia, del circuito. Ambos dependen exclusivamente de los elementos y estructura de la red, y no de la excitación. En función de la expresión de p1,2 se pueden deducir tres casos que dependen de la relación entre y 0: 1er caso) Si > 0, el coeficiente de amortiguamiento es mayor que la pulsación natural, se dice que el circuito está sobreamortiguado, o tiene amortiguamiento hipercrítico. Los valores de p son reales, negativos y distintos, y la solución es la suma de dos exponenciales reales. 2do caso) Si = 0, el coeficiente de amortiguamiento es igual a la pulsación natural, el circuito está críticamente amortiguado, o tiene amortiguamiento crítico. Los valores de p son reales, negativos e iguales, y la solución es la más complicada de resolver. 3er caso) Si < 0, el coeficiente de amortiguamiento es menor que la pulsación natural, se dice que el circuito está subamortiguado, o tiene amortiguamiento subcrítico, o es oscilatorio armónico amortiguado. Los valores de p son complejos conjugados, y la solución es la suma de dos exponenciales complejas que llevan a una función de respuesta oscilatoria amortiguada. 4to caso) De interés teórico no realizable prácticamente, que se obtendría si el circuito no tuviese pérdidas. En tal caso = 0, y se llegaría al caso oscilatorio libre o sin amortiguamiento.


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V - C.1.1.1 - Sobreamortiguado. La solución la obtenemos de las condiciones iniciales: i(0) = I0 y di(0)/dt = K donde K, como vimos, puede tener cualquier valor. Para seguir nuestro estudio en forma más simple asumiremos que K = 0, pero debe insistirse que normalmente no es así y el cálculo real deberá desarrollarse en cada caso teniendo en cuenta ese valor. Bajo este supuesto tendremos: A + A = I = i(0) 210 y:

2211 pApA= 0 = K = dt

di(0)

de donde:

p-p

Ip-= A y

p - p

Ip = A

12

012

12

021

ep-p

pI - e

p-p

pI = i(t) tp

12

10

tp

12

20

21

con:

20

22

20

21 --- = p y -+- = p

Conforme a lo que dijimos resultan p1 y p2 negativas y, siendo |p2| > |p1|, (p2 - p1) también negativa. Hemos obtenido un pulso cuyo tiempo de elevación está controlado por una constante de tiempo, p2 (la mayor), y el de decrecimiento por la otra, p1; ambas definidas por los elementos de

p2 I0 p2 - p1

p1 I0 p2 - p1

I0

-1/p1

-1/p2

t


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la red y su estructura. Siendo el valor inicial dependiente del estado de carga del circuito y por ende positivo, nulo o negativo. Veamos ahora el planteo para el circuito en paralelo considerando una red constituida por una resistencia R, una inductancia L con una carga inicial indicada como una corriente I0, y un capacitor también cargado inicialmente con su carga representada por una tensión inicial E0. Siendo un montaje paralelo aplicamos la primera ley de Kirchhoff iR + iL + iC = 0, que en función de la tensión e(t) quedará:

0 = dteL1

+ e G + dtde

Ct

En esta ecuación se ha supuesto que el sentido de las corrientes en los elementos está definido por la polaridad de la tensión e(t) sobre ellos, es decir es de arriba hacia abajo. De no haber sido así los signos serían distintos. Derivando una vez queda:

0 = e L1

+ dtde

G + dt

ed L2

2

Con los valores iniciales:

0

0

0 I = dt eL1

y E = )e(0

y también:

K = )IE (G

C1

- = dt

de(0)

00

Si a partir de este punto hacemos el mismo desarrollo podremos encontrar que la forma de la solución es igual pero se intercambian los elementos por sus duales.

LC1

= y 2RC1

= 2CG

= 02

Los valores de y de los podemos obtener directamente si dividimos la derivada de la ecuación de equilibrio por el coeficiente del término de mayor orden y denominamos al

I0 e(t)

R L C

+ E0 -

+

-


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resultante para el término que contiene la primera derivada, y al

de la variable. Es decir, para el circuito serie:

0 = iC1

+ dtdi

R + dt

idL2

2

0 = iLC1

+ dtdi

LR

+ dt

id2

2

0 =i + dtdi

2 + dt

id 202

2

que define:

LC1

= y 2LR

= 20

Y para el circuito paralelo resulta:

0 = eL1

+ dtde

G + dt

edC2

2

0 = eLC1

+ dtde

CG

+ dt

ed2

2

0 = e + dtde

2 + dt

ed 202

2

dando:

LC1

= y 2RC1

= 2CG

= 20

El factor de amortiguamiento, que resulta ser la inversa de una constante de tiempo, está dado por la inversa del doble de la constante de tiempo de la inductancia para el circuito serie, y la inversa del doble de la constante de tiempo del capacitor para el circuito paralelo. Por su parte la pulsación natural es la misma para ambas configuraciones de la red. Todas las soluciones son válidas para t > 0 ya que no se puede aseverar nada sobre lo que acontece antes del instante en que comienza el análisis del circuito. Para indicar esa condición de validez se suele multiplicar la solución encontrada por la función escalón unitaria u-1(t). Sin embargo debe entenderse que aquí el uso de esa función singular es sólo simbólica ya que no significa que la solución sea nula para todo tiempo anterior a 0, sino que no está determinada.- En general la respuesta para este caso será: (t)u)e A + e A( = i(t) -1

tp2

tp1

21


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V - C.1.1.2 - Críticamente amortiguado. Pareciera ser el más fácil ya que, al ser , las raíces p1 y p2 son iguales y negativas. Sin embargo esta circunstancia trae dos inconvenientes: uno es hacer indeterminados los coeficientes de las exponenciales, al dividirse por cero, y otro el de reducirse a una sola exponencial no nos permite tener los dos términos que se requieren para la solución. Volvamos entonces al caso anterior. La solución puede ponerse:

ep-p

p - e

p-pp

= I

i(t) tp

12

1tp

12

2

0

21

Si hiciéramos aquí p1 = p2 los coeficientes resultarían infinitos haciendo indeterminada la diferencia. Para levantar esa indeterminación podemos aplicar la regla de L'Hopital o aplicar el concepto de variación de parámetros como a continuación. Hacemos: + p = p y - = p 121 obteniendo:

= ep - + p

p - e

p - + p

+ p =

Ii(t) t)+tp(

11

1tp

11

1

0

11

= ...+2!t+

1!t

+1p-+pe = ep - + pe =22

11

tpt

11

tp 11

...+

tp-e 1tp1

haciendo tender a a cero:

t) + (1e = I

i(t) t-

0

En el caso general subsisten las constantes arbitrarias y queda la solución de la forma: (t)ut A + Ae = i(t) 1-21

t-

I0

i(t)

tiempo


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V - C.1.1.3 - Oscilatorio armónico amortiguado. Este caso corresponde a la condición , que significa tener las dos raíces complejas conjugadas al ser negativo el radicando:

d22

01 j + - = - j + - = p

d22

01 j + - = - j - = p

Donded es la llamada pulsación forzada, o pulsación de oscilación del circuito. Esta es la de resonancia afectada por la amortiguación (las pérdidas) de la red. Partimos de la misma solución general que usamos en el análisis anterior:

= ep-p

p - e

p-pp

= Ii(t) tp

12

1tp

12

2

0

21

= eej-j+-

- ee2j-j-- tjt-

d

dtjt-

d

d dd

= ej- - ej+2je = tj

dtj

dd

t-dd

= 2e+e

+ 2je-e

etjtjtjtj

d

t-dddd

0

ddd

t-

Ii(t) = tcos+tsene =

En esta expresión podemos sacard como factor común, y hacer senq y d = cosq, ya que ambas son menores que la pulsación de resonancia .

tcoscos + tsensene = I

i(t)dd

t-

d

0

0

con lo que: )-t(coseI = i(t) d

t-0

Es decir una señal oscilante a la pulsación forzada d y atenuada con la constante de tiempo 1/.


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En general tendremos: [1] (t)u)-t(cos e A= i(t) 1-d

t-

[2] (t)uet)cos A + tsen A( = i(t) 1-

t-d2d1

En la expresión [1] los coeficientes de ajuste que deben determinarse de las condiciones de contorno son A y , mientras que en [2] son A1 y A2. La última expresión es más fácil de operar. Si consideramos la posibilidad teórica de que las pérdidas sean nulas, lo que implica que no habrá atenuación y que = 0, tendremos el llamado 4º caso: 0201 j- = p y j = p

2e + e = )e + e(

2j-j-

= I

i(t) t-jtjtj-tj

0

0

0

00

0o

(t)u * tcos I = i(t) 1-00 Estas cuatro soluciones son válidas siempre como solución transitoria, respuesta natural, de los circuitos de segundo orden. La excitación externa y/o permanente deberá evaluarse de forma análoga a lo realizado en la primera parte de este capítulo. Esto es: 1) Encontrar la energía transferida al circuito si tenemos una excitación del tipo impulsiva. 2) Encontrar la respuesta forzada o permanente del circuito ante la excitación de este tipo, evaluando la situación en régimen, t = 3) Ajustar los coeficientes de la respuesta transitoria correspondiente al tipo de circuito que se trate para que la suma de las dos respuestas satisfagan las condiciones de contorno en t = 0.

I0

-I0

t

i(t)

I0 cos(-)


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V - C.1.2 - Excitación por señal senoidal. Utilizaremos este caso como ejemplo de un circuito excitado por una señal permanente a partir de t = 0+. Partiremos de una red en paralelo. Sea el circuito: con i(t) = IMAX sen t * u-1(t). 1) Análisis de la respuesta natural: Ecuación de equilibrio: i(t) = i + i + i CLR

tsen I = dteL1 +

Re +

dtde

C MAX

t

derivando:

[1] tcosI = eLi +

dtde

R1 +

dt

edC MAX2

2

dividiendo por C:

[2] tcosC

I = e

LC1

+ dtde

RC1

+ dt

ed MAX2

2

de donde:

LC1

= y 2RC1

= 0

Comparando con obtendremos el tipo de circuito que estamos estudiando. Supongamos que es mayor que , es decir que el circuito está sobreamortiguado. En tal caso la respuesta natural será de la forma: eA + eA = (t)e tp

2tp

1tt21

con: 022

1 -+- = p y 022

2 --- = p

i(t) e(t)

R L C

+

-


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2) Análisis de las condiciones iniciales: Utilizamos el circuito equivalente para t = 0+: del que resulta: e(0+) = 0 y como es: i(0+) = 0 resulta: iC(0+) = C e'(0+) = 0 y en consecuencia: e'(0+) = 0 3) Respuesta en régimen: Debido al tipo de excitación podemos poner que: tcosB + tsenB = )+tBsen( = (t)e 21ss

que implica: tsenB - tcosB = dt(t)ed

21ss

y: cosB - tsenB- = td(t)ed 2

21

22

ss2

Reemplazando en la ecuación [1] obtenemos:

+t)senB-tcosB(R1

+t)cosB-tsenBC(- 2122

12

tcosI =t)cosB+tsenB(L1

+ MAX21

+BL1

+BR1

-BC-tsen 1212

0 = IBL1

+BR1

+BC-tcos MAX2122

La resolución de esta ecuación nos permite encontrar los coeficientes B1 y B2 :

0 = BR1

- BC) - L1

( 21

I = BC) - L1

( + BR1

21

i(0+) e(0+)

R L C

+

-


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de donde:

R

1 + )C -

L1

(

IR1

= B

2

21

y

R

1 + )C -

L1

(

I C) - L1

( = B

2

22

Con esto hemos obtenido la respuesta en régimen y ahora podemos determinar los coeficientes de la respuesta natural ajustando la suma de las dos respuestas a las condiciones de contorno para el instante t = 0+. 0 = B + A + A = )0e( 221

+ 0 = B + Ap + Ap = )0(e 12211

+ de donde: B- = A + A 221 ; B- = Ap + Ap 12211 y luego:

p - p

B + Bp- = A

12

1221

y

p - pBp + B-

= A12

2112

Con esto queda resuelto el problema. V - C.2 - Ejemplo de cálculo. Para tener un ejemplo resolveremos un circuito R-L-C paralelo con energía almacenada y una fuente de corriente senoidal que es aplicada en el instante inicial: Sean: R = 10 ohmios L = 10 henrios C = 0.01 faradio i(t) = [10sen(5t+30º)]u-1(t) amperes I0 = 10 amperes y E0 = 10 voltios. Con la función escalón estamos diciendo que la fuente se enciende instantáneamente en t=0+. Y, como esta fuente queda

i(t)

iR

L C I0 E0 e(t)

+

+ -

-

R

iC iL


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aplicada a partir de ese momento para siempre, es de esperar tener una respuesta en t=; por lo tanto debemos evaluar las condiciones de contorno para ese instante en que ya desaparecieron el transitorio y la carga inicial. El circuito nos quedará: Donde en régimen: e(t)= i(t)/Y Aplicando el cálculo simbólico:

03,0j1,002,005,0j1,0L1Cj

R1

Y

=

= 0,104 16,7º mhos E = 10 30º / 0,104 16,7º = 96,15 13,3º voltios Pasando al dominio del tiempo será, en régimen:

e(t) = 96,15 sen(5t + 13,3º) para t ∞ Para t=0+ tendremos el circuito equivalente: Donde es: e(0+) = -E0 = -10 V iR(0+) = e(0+)/R = -1 A i(0+) = I(sen 30º) = 5 A iL(0+) = I0 = 10 A iC(0+) = i(0+) - iR(0+) - iL(0+) = - 4 A Nos hará falta, además, la primera derivada de la variable en el origen, para ello recordemos que la corriente en el capacitor es:

s/V400C)0(i

)0(detantoloporyC)t(i

)t(de)t(deC)t(i CCC

La ecuación de equilibrio del circuito está dada por la primera ley de Kirchhoff: iR(t) + iL(t) + iC(t)= i(t)

i(t) R e(t) L

+

-

C

i(0+) R e(0+)

+

-

L E0 +

- C

I0


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que puesta en función de e(t) resulta:

)º30t5sen(I)t(deCdt)t(eL1

R)t(e t

Derivando una vez respecto al tiempo, dividiendo por C y ordenando queda:

)º30t5cos(CI

5LC)t(e

)t(deRC1

dt)t(ed

2

2

que es de la forma x" + 2 x' + 0

2 x = f(t), luego podemos definir que el coeficiente de amortiguamiento del circuito es: = 1/2R·C = 5 segundos-1, la pulsación natural es:

0 = LC1 = 3,16 pps

y que la solución será de la forma: BeAe A e(t) tp

2tp

121

dado que el circuito está sobreamortiguado por ser > 0. En la expresión B es la solución en régimen, ya determinada, y los coeficientes A1 y A2 deben ser evaluados ajustando la solución para las condiciones de contorno iniciales. Previamente calcularemos los valores de p1 y p2:

122221 s13,116,3-55- = -+- = p

122222 s87,816,3-5-5- = -- = p

Deben cumplirse:

)13.3º )sen(5(0 96.15eAe A )e(0 )-8.87(02

)-1.13(01

)13.3º )cos(5(0 75.804e8.87Ae1.13A- )de(0 )-8.87(02

)-1.13(01

reemplazando los valores tendremos que: .1222A A 10 21 85.764A8.87A1.13- 400 21


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21 A A 12.23 21 A8.87A1.13- 85.678 Resolviendo resulta: A1 = -148.9 V y A2 = +116.8 V. La solución completa es:

)13.3º tsen(5 96.15e6.811e148.9- )te( t-8.87t-1.13 con ella podemos obtener las corrientes en la resistencia, la inductancia y en la capacidad:

R

)13.3º tsen(5 96.15e6.811e148.9- )/Rte((t)i

t-8.87t-1.13

R

)13.3º tsen(5 9.62e68.11e14.89- )t(i t-8.87t-1.13

R

dt)te(L1

dt)te(L1

(t)i0

-

t

-L

dt))13.3º tsen(5 96.15e6.811e-148.9(L1 t

0

t8.87-t1.13-

0t-8.87t-1.13

0 C)13.3º tcos(5 9.1e3.1e13.2I Aquí C0 es la constante de integración que se determina para coincidir con la condición de contorno en t=0+, en este caso resulta ser igual a -I0. La corriente en la bobina es: )13.3º tcos(5 9.1e1.3e13.2)t(i t-8.87t-1.13

L

)13.3º tcos(5 8.480e1036.0e168.3C )te(dC(t)i t-8.87t-1.13C

)13.3º tcos(5 8.4e10.36e1.68(t)i t-8.87t-1.13

C este último valor podría obtenerse despejando de la ecuación de equilibrio del circuito. También pueden encontrarse las corrientes en la resistencia, inductancia y en la capacidad sabiendo que la forma de la solución es la misma para todas las variables y determinando las condiciones de contorno para ellas. Como ejemplo calculemos la corriente en la bobina, que será de la forma: L

t-8.872L

t-1.13L1L BeAe A )t(i


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Determinemos las condiciones de contorno:

tt

L dt)º3.13t5sen(15.96L1

dt)t(eL1

B

)º3.13t5cos(92.1)º3.13t5cos(23.19L1

iL(0+) = I0 = 10 A

seg/A1L)0(e

)0(di)t(diL)t(e LLLL

Ahora podemos determinar los valores de AL1 y AL2 debiéndose cumplir que:

)13.3º )cos(5(0 92.1eAe A )(0i )-8.87(0L2

)-1.13(0L1L

)13.3º )sen(5(0 6.9e8.87Ae1.13A- )(0di )-8.87(0L2

)-1.13(0L1L

reemplazando los valores tendremos que: 87.1A A 10 L2L1 21.2A8.87A1.13- 1 L2L1 L2L1 A A 1.871 L2L1 A8.87A1.13- .213 Resolviendo resulta: AL1 = 13.2 A y AL2 = -1.3 A. La solución completa es:

)13.3º tsen(5 1.9e3.1e13.2 )t(i t-8.87t-1.13L

igual a la obtenida por el procedimiento anterior.


CAPÍTULO VI

LUGARES GEOMÉTRICOS Y RESPUESTA EN FRECUENCIA

Parte A: RELACIONES TENSIÓN-CORRIENTE Parte B: RESPUESTA EN FRECUENCIA Parte C: ANÁLISIS EN LAS CERCANÍAS DE LA RESONANCIA Parte D: RESPUESTA DEL CIRCUITO PARALELO




Teoría de los Circuitos I - Ing. Jorge M. Buccella - Capítulo VI

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ÍNDICE Parte A: RELACIONES TENSIÓN-CORRIENTE 3 A.1 Oscilograma 3 A.2 Lugares geométricos de las tensiones y de las corrientes 4 A.2.1 Procedimiento analítico de inversión geométrica 4 A.2.2 Procedimiento gráfico de inversión geométrica 6 A.2.3 Lugares geométricos circulares 7 A.2.4 Lugares geométricos de las funciones elementales (sin pérdidas) 8 A.2.5 Lugares geométricos de las funciones elementales (con pérdidas) 10 Parte B: RESPUESTA EN FRECUENCIA 13 B.1 Circuito serie RL (Resistencia Inductancia) 13 B.2 Circuito serie RS (Resistencia Elastancia) 14 B.3 Circuito serie RLS (Resistencia Inductancia y Elastancia) 15 B.3.1 Variaciones de la curva en función resistencia y de la inductancia 19 B.3.2 Puntos de potencia mitad 19 B.3.3 Incremento de la tensión en resonancia 21 B.3.4 Voltajes inductivos y capacitivos en función de la inductancia, la capacidad y la pulsación 21 B.4 Definición de Q0 23 Parte C: ANÁLISIS EN LAS CERCANÍAS DE LA RESONANCIA 25 C.1 Introducción 25 C.1.1 Aproximaciones 25 C.2 Curva universal de resonancia 27 C.3 Ejemplo de cálculo 28 Parte D: RESPUESTA DEL CIRCUITO PARALELO 31 D.1 Circuito paralelo de tres ramas (GC) 31 D.2 Circuito paralelo de dos ramas 32 D.3 Ejemplo de cálculo 33 TOTAL: 34 páginas.


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VI - RESPUESTA EN FRECUENCIA

Parte A - RELACIONES TENSIÓN-CORRIENTE VI - A.1 - Oscilograma. En muchos casos las condiciones instantáneas de terminales de una red se estudian de manera más conveniente en función de una relación explícita entre la tensión y la corriente. Por ejemplo, si tenemos:

e(t) = Emáx cos (t + e)

i(t) = Imáx cos (t + i) existe entre ellas una relación definida que se puede explicitar eliminando el tiempo. Resulta así una gráfica que podemos analizar en un osciloscopio, una deflexión alimentada por la tensión y la otra proporcional a la corriente, la curva obtenida es la resultante de eliminar el tiempo en las dos expresiones. Elegimos como referencia la tensión:

e(t) = Emáx cos t (e = 0) @(1)

i(t) = Imáx cos (t + ) (i = )

i(t) = Imáx cos cos t + Imáx sen sen t

i(t) = ia(t) + ib(t)

ia(t) = Imáx cos cos t en fase con e(t) @(2)

ib(t) = Imáx sen sen t en cuadratura con e(t) De la tensión obtenemos:

e(t)/Emáx = cos t @(3) y de la corriente en cuadratura:

ib(t)/(Imáx sen ) = sen t @(4) de @(3) podemos poner:

ia(t) = [(Imáx cos )/Emáx] e(t) (recta por el origen)

ia(t) = [ R /(R2 + X2)] e(t) Sumando las expresiones @(3) y @(4) elevadas al cuadrado se tiene:

[e2(t)/Emáx] + [ib2(t)/(Imáx2 sen2)] = 1

ecuación de una elipse normal cuyos semiejes son Emáx e Imáx sen . Como la corriente total es la suma de ambas, su representación gráfica es una elipse inclinada hacia la recta. Tiene su centro en el origen de coordenadas pero sus ejes no coinciden con los del sistema. Está inscripta en el rectángulo de 2Emáx por 2Imáx y es tangente al mismo en cuatro puntos que corresponden a los valores máximos de e(t) y de i(t), puntos que se pueden expresar en función del ángulo de la impedancia. Si este ángulo es positivo (inductiva) la corriente atrasa respecto de la tensión y la elipse se traza en sentido antihorario. El eje de la elipse no coincide ni con la recta ia(t) ni con


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la diagonal del rectángulo que la circunscribe. Para factor de potencia 0 ( = /2) la corriente en fase ia(t) es nula y se obtiene la elipse normal. Si el factor de potencia es unitario resulta nula la componente en cuadratura ib(t) y la gráfica se reduce a la recta ia(t).- VI - A.2 - Lugares geométricos de las tensiones y de las corrientes. Hemos trabajado con los circuitos en régimen permanente y el lugar geométrico del extremo de cualquier vector rotativo era una circunferencia con centro en el origen y la variable era el tiempo. Ahora usaremos ese diagrama vectorial también en régimen permanente pero extendido de forma que cubra un margen de condiciones mayor permitiendo que el vector describa un lugar geométrico al variar la frecuencia. Este método es conveniente puesto que se prueba que, en la mayoría de los casos, este diagrama es un círculo o una recta. Estos diagramas circulares, como se les llama, se usan tanto en sistemas de suministro de energía como en comunicaciones. VI - A.2.1 - Procedimiento analítico de inversión geométrica. Ejemplo: Se desea obtener el lugar geométrico de la corriente en un circuito serie R-L cuando se varía la frecuencia de una fuente de amplitud de tensión constante. El procedimiento general es: a) representar el lugar geométrico del vector impedancia compleja Z, b) determinar mediante la inversión de Z el lugar del vector admitancia Y correspondiente, c) multiplicar el lugar geométrico de Y por la tensión vectorial E obteniendo el lugar geométrico de la corriente I.

i(t)

e(t) EMAX

EMAXsen

IMAXsen

EMAXcos

IMAXsen

IMAX

ib(t)

ia(t)


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a) Z = R + jL b) Trazar Y = 1/Z Lo trataremos como un problema de geometría analítica. Teniendo:

Z(u) = R(u) + jX(u) hallar un lugar geométrico recíproco gráficamente. Si representamos Z(u) en un sistema cartesiano R-X el plano determinado se llama "plano Z" y el lugar geométrico de Z al variar u podría tener la forma siguiente:

Deseamos hallar:

Y = 1/Z(u) = 1/[R(u) + jX(u)] abandonando la notación funcional por simplicidad:

Y = 1/Z = 1/(R + jX) = (R - jX)/(R2 + X2) = G + jB

con: G = R/(R2 + X2) B = -X/(R2 + X2)

j (Imag)

Real

X = L 3 1

2 1

1

R = Cte

Z

Z

Z

R(uZ)

X(uZ)

R

X

Z(uZ)

Y

G(uZ)

B(uZ)

G

B

Y(uZ)


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El lugar geométrico de Y al variar u se representa en el plano G-B llamado "plano Y" y este lugar es la inversión compleja del lugar Z(u). Tomando el recíproco de Y se podrían obtener R y X en función de G y de B:

Z = 1/Y = 1/(G + jB) = (G - jB)/(G2 + B2) = R + jX con: R = G/(G2 + B2) X = -B/(G2 + B2) VI - A.2.2 - Procedimiento gráfico de inversión geométrica Hemos visto que la parte imaginaria de Y es de signo opuesto al de la de Z por lo que geométricamente conviene realizar la inversión en dos pasos principales. Primero se obtiene el conjugado de Y, Y*:

2222 XRX

jXR

RjBG*Y

luego se obtiene Y substituyendo B' por -B' es decir obteniendo la imagen de Y* con respecto al eje G. Se puede evitar trabajar en el plano complejo haciendo varios pasos intermedios en el plano real. Del punto R + jX del plano complejo Z se toman R y X determinando un punto en el plano real R-X (geométricamente igual al Z pero con coordenadas reales). Mediante las ecuaciones:

G = R/(R2 + X2); B = -X/(R2 + X2); y B'= -B se obtienen las coordenadas de un plano real G-B'. Esto es la inversión geométrica.- Para obtener el punto G - jB' del plano complejo Y no hay más que cambiar de nombre a los ejes obteniendo primero el punto (G,B') y luego hallando su imagen con respecto al eje real G se obtiene (G,-B') o sea Y = G +jB. Procedimiento: En el plano a procesar se traza con centro en el origen una circunferencia de radio unitario, para lo cual se deberá trabajar con la misma escala en ambos ejes ortogonales. Desde el origen se traza una semirrecta que pase por el punto (m) al que se desea obtener la inversión. Pueden ocurrir dos casos: que el punto quede fuera o dentro de la circunferencia unidad. Si queda fuera: se traza por el punto una de las tangentes posibles a la circunferencia. Del punto de tangencia (n), que puede precisarse teniendo en cuenta que la perpendicular a la tangente en ese punto pasa por el origen, se traza una perpendicular a la semirrecta Om que determina en su intersección con ésta el punto m' que es la inversión gráfica buscada. Si queda dentro: se traza una perpendicular a la semirrecta desde el punto. Desde la intersección de ésta con la circunferencia unidad se traza una tangente a la misma cuya intersección con la semirrecta Om define la inversión deseada como punto m'.


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La demostración se puede obtener considerando que los triángulos onm y mnm' son rectángulos y tienen un ángulo agudo en común por lo que resultan ser semejantes. Por ello se puede escribir que:

'om

1om

'om

on

on

om

ya que on que es, por construcción, igual a 1. Con ello se demuestra que las distancias al origen (módulo) son recíprocas y los ángulos (fase) son iguales por estar ambos puntos sobre la misma semirrecta que pasa por el origen. Si hallamos la imagen de m' respecto al eje R obtenemos el punto m" que puede interpretarse como la inversión compleja de m. VI - A.2.3 - Lugares geométricos circulares. Supongamos tener en el plano Z un lugar geométrico, de una cierta impedancia, circular:

X B'

n

m' (R-X) inversión geométrica de m

m" (G-B) inversión compleja de m

m

circunferencia unidad

o

R G'

X

R

r

0

(Z)


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Z estará dada por:

(R - )2 + (X - )2 = r2

R2 + 2 - 2R + X2 +2 - 2X - r2 = 0 Reemplazamos R y X en función de G y B':

1/(G2 + B'2) - 2G/(G2 + B'2) - 2B'/(G2 + B'2) + 2 + 2 - r2 = 0

Multiplicamos por: (G2 + B'2)/(2+2-r2)

1/(2+2-r2) - 2aG/(2+2-r2) - 2B'/(2+2-r2) + G2 + B'2 = 0

Sumamos y restamos: 2/(2+2-r2)2 y 2/(2+2-r2)2

[G2 - 2G/(2+2-r2) + a2/(2+2-r2)2] - 2/(2+2-r2)2 +

+ [B'2 - 2B'/(2+2-r2) + 2/(2+2-r2)2] - 2/(2+2-r2)2 =

= -1/(2+2-r2)

[G - /(2+2-r2)]2 + [B' - /(2+2-r2)]2 = r2/(2+2-r2)2 Expresión que corresponde a la ecuación de una circunferencia, que se convierte en una recta si se cumple que:

2 + 2 = r2 Partiendo de una recta, por ejemplo:

Y = m + jn(u) la recíproca resultará:

Z = 1/[m + jn(u)]

m + jn = 1/Z = 1/(x + jy) = (x - jy)/(x2 + y2) igualando partes reales hacemos: m = x/(x2 + y2) con lo que:

mx2 + my2 = x

x2 + y2 - x/m = 0

x2 + y2 - x/m + 1/4m2 = 1/4m2

(x - 1/2m)2 + y2 = (1/2m)2 llegando a la ecuación de una circunferencia de radio 1/2m que tiene su centro en x = 1/2m e y = 0. VI - A.2.4 - Lugares geométricos de las funciones elementales (sin pérdidas). Si consideramos los elementos reactivos en forma aislada obtenemos como respuesta las curvas siguientes:

XL

Reactancia Inductiva

BL

Susceptancia Inductiva


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Vemos que se cumple que la pendiente de las curvas es siempre positiva, es decir hacia arriba y a la derecha. Para las combinaciones de inductancia y capacidad se obtienen las gráficas siguientes. Para los elementos en serie se cumple la misma propiedad para la reactancia y para la susceptancia. Y, por dualidad, podemos decir que lo mismo ocurre con los elementos puestos en paralelo. A las curvas las definen los polos (infinitos) y los ceros y la escala vertical la da otro punto cualquiera. El Teorema de la reactancia de Foster dice que ninguna otra curva puede pasar por los mismos polos y ceros a menos que difiera en la escala vertical. Las reglas generales son: 1) En todas observamos que la pendiente es siempre positiva, arriba y a la derecha. 2) Los polos y ceros están siempre alternados a lo largo del eje . 3) Encontraremos siempre un polo o un cero en ambos extremos, es decir para frecuencia cero y para frecuencia infinita. Físicamente hay un cero para = 0 si existe un camino que no pase por un capacitor. Hay un cero para = si hay un camino que no contenga una inductancia.

XC

BC

Reactancia Capacitiva Susceptancia Capacitiva

X

Reactancia Serie L-C

B

Susceptancia Serie L-C


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Debe recalcarse que así como hay una sola forma de círculo o de recta hay una sola forma de curva de reactancia (o susceptancia). Sólo una recta puede pasar por dos puntos, una circunferencia por tres, y una curva de reactancia o susceptancia por los polos y ceros especificados. VI - A.2.5 - Lugares geométricos de las funciones elementales (con pérdidas). Si consideramos una inductancia en serie con una resistencia su impedancia estará dada por la expresión:

Z = R0 + jL Por consiguiente la admitancia será la recíproca compleja:

Y = 1 / Z = 1 / ( R0 + jL ) La primera expresión es la de una semirrecta en el plano Z mientras que la otra es un semicírculo en el plano Y; lo que puede ponerse en evidencia escribiendo Y(R0+jL)=1 y dividiendo por R0 queda Y + jYL/R0 = 1/R0 que indica que para cualquier valor de frecuencia se forma un triángulo rectángulo que tiene la hipotenusa de valor constante. Nótese que la primera está en el semiplano positivo y la segunda en el negativo debido al hecho de ser expresiones complejas. Para el circuito paralelo R, L, C, de tres ramas veremos que con la frecuencia varía tanto la parte resistiva como la reactiva de la impedancia:

jXRBG

Bj

BGG

ZjBGY2222

Podemos obtener entonces los siguientes diagramas:

R

f/f0 0.99 1.0 1.01 0

Parte resistiva de la impedancia

X

L

R R0

(Z)

f Y G

Y

1/2R0

B

1/R0

f

(Y)

jYL/R0


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En el circuito sin pérdidas la reactancia cambia de signo en la frecuencia de resonancia, en f=f0, con discontinuidad infinita; con pérdidas el cambio se hace menos brusco. En todos los casos que representamos el plano de impedancias o admitancias la frecuencia no aparece como variable pero se puede indicar sobre las curvas. REGLAS GENERALES: 1)Cuando el lugar geométrico es una curva cerrada la frecuencia aumenta en el sentido del reloj, cuando es abierta aumenta hacia arriba. 2)Los lugares geométricos empiezan y terminan (en f = 0 o en f = ) sea en el eje horizontal o en el infinito. En su principio y en su final la curva es horizontal o vertical. El circuito paralelo de dos ramas se comporta de la misma manera que el de tres ramas cerca de la frecuencia de resonancia. La rama C es una recta y la R-L una semicircunferencia. La admitancia es la suma de ambas para cada frecuencia. Para la impedancia tiene la forma que se muestra.

X

0.99 1.0 1.01

f/f0

0

Parte reactiva de la impedancia

f/f0 =0.99

f/f0=1.01

f/f0 =1.0

X

R f=0 f=∞

Impedancia en el plano Z


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Analicemos ahora la expresión de la tensión en una impedancia: La circunferencia ocupa el semiplano positivo para valores negativos de la reactancia y el negativo para los positivos. Para la expresión de la corriente tendríamos en el circuito paralelo:

I = V·G + jV·B expresión dual a la de la tensión y, consecuentemente, el lugar geométrico de la tensión puede obtenerse por dualidad de los mismos gráficos.

V = I·Z = I·R + jI·X y supongamos que el circuito tiene resistencia constante, con lo que podemos poner:

V/R = I + jI·X/R expresión que nos indica que el lugar geométrico de la corriente es, en este caso, una circunferencia ya que nos queda formado un triángulo rectángulo con la hipotenusa constante.

V/R

jIX/R I

=0 =

=0

X>0

X<0

Si es en función de la frecuencia ésta aumenta en el sentido horario comenzando en el origen, recorriendo el semiplano positivo hasta llegar a la abscisa para la frecuencia de resonancia y volviendo al origen, por el semiplano negativo, para la frecuencia infinita. Si, en cambio, resulta la resistencia variable y constante la reactancia el resultado es el siguiente:

V/jX = IR/jX + I y se obtiene una semicircunferencia ubicada en el semiplano negativo si la reactancia es positiva, o en el positivo si ésta es negativa.

V/jX

IR/jX

I

R=0

R=0

R=

X<0

X>0

1/(R+jL)

B

G

1/R0

jC Y=jC+1/(R+jL)

f=0

f=f0

Admitancia

f=0

f=f0

X Z

R

R0

Impedancia

f=∞

R

L C

Circuito


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Parte B: RESPUESTA EN FRECUENCIA Bajo este título analizaremos la respuesta en régimen permanente de configuraciones básicas de los circuitos teniendo como variable a la frecuencia de la excitación. VI - B.1 - Circuito serie RL (Resistencia Inductancia) Examinaremos ahora el comportamiento del circuito a través del análisis del valor absoluto de la impedancia y de su ángulo de fase

|Z| = [R2 + (L)2]½

z= arctg (L/R) para generalizar el estudio podemos tomar la impedancia relativa:

|Z|/R = [1 + (L/R)2]½

De esta manera vemos que tanto la impedancia relativa como su ángulo de fase son funciones de L/R y una sola representación gráfica puede cubrir todos los casos para todas las frecuencias, es decir que podemos obtener un gráfico universal o normalizado. Observamos que tanto la constante de tiempo, = L/R, como la frecuencia intervienen con igual importancia. En función de su producto el comportamiento varía desde el resistivo puro (Z = R, con = 0) al inductivo puro (Z =L, con = /2):

R L

|Z|/R Z

|Z|/R

Z

2 3

T

2

1

0 1

Gráfico normalizado para circuito R-L serie


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VI - B.2 - Circuito serie RS (Resistencia Elastancia). También analizamos del valor absoluto de la impedancia y de su ángulo de fase:

|Z| = [R2 + (S/)2]1/2

z= arctg (S/R) generalicemos tomando la impedancia relativa:

|Z|/R = [1 + (S/R)2]1/2

De esta manera vemos que tanto la impedancia relativa como su ángulo de fase son funciones de S/R. Observamos que tanto la constante de tiempo, = R/S, como la frecuencia intervienen con igual importancia. Su producto es ahora la inversa de la variable y en función de ésta el comportamiento varía desde el resistivo puro (Z = R, con = 0) al capacitivo puro (Z = S/, con /2): Si invertimos la variable obtenemos una representación gráfica análoga al estudio anterior, que nos servirá para todos los casos y todas las frecuencias, es decir que podemos obtener un gráfico universal o normalizado.

R S

|Z|/R

|Z|/R

S/R

1/T

Z

Z

0

1

2

3

4

5


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VI - B.3 - Circuito serie RLS (Resistencia Inductancia y Elastancia) Este caso exige un estudio más completo. La impedancia es, como sabemos:

Z = R + j(XL + XC) = R + jX

la parte XL + XC = X =L - S/, es la reactancia del circuito y la única que contiene a la frecuencia angular (omega); las componen-tes son:

XL = L y XC = - S/ En el margen de frecuencias en que la reactancia es positiva el circuito responderá inductivamente y en el que sea negativo, por lo contrario, el comportamiento será capacitivo. Podemos representar la reactancia (X) y sus componentes en un gráfico en función de . XL será una recta (L) y XC una hipérbola equilátera (-S/)

S R L

|Z|/R

Z

0

1

2

3

4

5

Z

|Z|/R

R/S

T

Gráfico normalizado para circuito R-C serie


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Por su parte podemos representar la variación de la impedancia de la siguiente forma: Habrá un valor para el cual XL = -XC, es decir que X = 0; tal situación la tendremos para la frecuencia angular llamada de resonancia e indicada como 0 en la cual: L - S/ = 0

0

|Z|

X

XL

XC

Z0 R

Componentes del circuito R-L-C serie

XL

XC

0

L

-S/

Reactancias para circuito R-L-C serie


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expresión de la que obtenemos:

= (S/L)1/2 = (1/LC)1/2 Valor coincidente con la pulsación natural que observamos en el estudio del transitorio de los circuitos de segundo orden. Si el circuito es excitado con una señal de esta frecuencia una vez desaparecido el transitorio, es decir en régimen permanente, responderá como si fuera resistivo puro ya que las reactancias han sido mutuamente canceladas. La impedancia del mismo será mínima y, consecuentemente, la corriente será máxima supuesta una tensión de excitación de amplitud constante. Decimos por esto que presenta resonancia serie o de corriente. Analicemos entonces la corriente, pero reexpresemos primero la impedancia del montaje:

Z = R(1 + j(1/R)L - S/))

si tenemos en cuenta que = S/L será S = L

y con ello:

Z = R(1 + j(1/R)(L - L

sacando 0L como factor común del paréntesis interno:

Z = R(1 + j(L/R)(- Esta expresión nos sugiere el uso de la frecuencia relativa /0= como variable, ya que la respuesta depende sólo de ella y no del valor particular de la frecuencia angular. La corriente puede ahora ser expresada como:

220 1

-RL

+1

1RE

= |I|

cuya representación gráfica, la curva de selectividad, puede tener o no un punto de inflexión entre el origen y el valor de la abscisa =1. La condición que marca el límite entre ellas puede determinarse hallando la intersección entre la curva y la recta tangente a ella en el origen, y haciendo que esta intersección ocurra en el origen para que desaparezca. La pendiente al origen la obtenemos derivando la corriente respecto a la variable y haciendo ésta igual a cero, la que resulta:

LR

RE

= |I|

00=

la intersección entre la recta tangente al origen y la curva quedará definida por la condición:

220

0 1-

RL

+1

1 =

LR

de la cual podemos despejar :

2 = 2 - (R/0L)2


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que para = 0 resulta que la condición límite está dada por:

R/0L = 2 En este último tratamiento vemos que la característica de la curva de selectividad está dada por la relación 0L/R, por lo que podemos utilizarla como un parámetro de la misma y así definimos el factor de selectividad como:

Q0 = 0L/R

Las frecuencias angulares 1 y 2 dan el mismo valor de corriente si se cumple que:

1/0 - 0/1 = - 2/0 + 0/2 es decir que:

(1 + 2)(1/0 -0/(12)) = 0 para lo cual hay dos condiciones:

1) 1 = - 2 frecuencia negativa, descartable, y

2) 1/0 = 0/12 que se resuelve como: 0 = (1 2)1/2 lo que equivale a establecer que la curva es geométricamente simétrica con respecto a la pulsación de resonancia, 0.

| I |

E/R

Curva de selectividad para R/0L > 2

1 0

| I |

E/R

1 0

Curva de selectividad para R/0L < 2


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VI - B.3.1 - Variaciones de la curva en función de la resistencia y de la inductancia. Si trazamos distintas curvas de selectividad para un circuito serie, donde variamos solamente la resistencia veremos que la misma reduce su amplitud y su agudeza a medida que la resistencia aumenta (abajo, izquierda). Figura VI-B-4.1a Figura VI-B-4.1b Si en cambio variamos la inductancia dejando fija la resistencia (arriba, derecha), y ajustando la capacidad para no variar la frecuencia de resonancia, observamos que la amplitud de la curva no varía, pero si varía la forma de ella haciéndose más aguda a medida que aumenta la inductancia, o se reduce la capacidad del circuito. En resumen. La respuesta en resonancia depende solamente de R mientras que fuera de ella casi enteramente de las reactancias 0L, S/0, o de (LS)1/2. El carácter general de la discriminación depende de la relación R/L que, si la expresamos relativamente a la frecuencia de resonancia, nos lleva nuevamente a la definición de Q0, el factor de selectividad o de mérito del circuito. VI - B.3.2 - Puntos de potencia mitad. Observando la curva de selectividad vemos que la corriente es máxima para la frecuencia de resonancia o. La potencia desarrollada sobre el circuito también resulta máxima para esa condición, y en general, al variar con la corriente al cuadrado, podemos decir que seguirá una variación semejante a la de ella. Hay dos puntos de especial interés que son aquellos en que la potencia activa desarrollada en el circuito es la mitad de la desarrollada en resonancia. Esos puntos se conocen como puntos de potencia mitad, o del 70% de la corriente, y con ellos se definen los extremos del llamado ancho de banda del circuito resonante. Para que tal cosa ocurra la corriente deberá ser necesariamente

igual a la corriente en resonancia, I0, dividida por 2 .

R

L

E/R


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Teníamos la expresión de la corriente en el circuito como igual a:

-Q+1

1

RE

= |I|2

0

0

20

para que este valor sea igual a I0/ 2 el denominador del segundo término debe ser igual a 2 . Lo que equivale a decir que habrá dos frecuencias para las cuales se cumple que:

Q02(/0 - 0/)2 = 1 eliminando el cuadrado y operando tenemos:

1 = Q - Q 00

00

multiplicando por

0 = Q - Q

000

02

ecuaciones de segundo grado que resolvemos:

0

0

20

1000

02

Q2Q4+1+1-

= 0 = Q-+Q a)

0

0

20

2000

02

Q2Q4+1+1

= 0 = Q--Q b)

como el radical es mayor que 1 tendremos una solución válida (positiva) cuando adoptemos el signo positivo del mismo por ello hemos desechado las soluciones que aparecerían al tomar los signos negativos. Con estos resultados el ancho de banda resulta:

BW =- = /Q0 = R/L

| I |

E/R

E/ 2R

Puntos de potencia mitad y ancho de banda

1 0

BW


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VI - B.3.3 - Incremento de la tensión en resonancia. En resonancia resultaba que la impedancia del circuito es Z(0)=R, si la corriente es I0, la tensión en bornes del circuito será V(0) = RI0 que es la misma tensión E aplicada al circuito. En la inductancia por su parte será:

VL() = jLI => VL(0) = j0LI0

reemplazando 0L = Q0R tendremos:

VL(0) = jQ0RI0 = jQ0V(0) y para el capacitor resultará:

VC(0) = - jQ0V(0) Esto nos permite definir a Q0 también como el factor de sobretensión en resonancia, que sabemos no es el máximo valor que adquiere la tensión sobre los elementos reactivos. VI - B.3.4 - Voltajes inductivos y capacitivos en función de la inductancia, la capacidad y la pulsación. La tensión en la inductancia está dada por:

)X+X(+R

XE = |XI| = |V|

2CL

2

LLL

Su máximo valor será para la frecuencia que hace máxima la expresión respecto de XL. Para ello hacemos:

0 = )X+X(

)X+X(+R

XE-)X+X(+R

1E =

XV

CL32

CL2

L

2CL

2L

L

32CL

2

CLL

2CL

2)X+X(+R

)X+X(X= )X+X(+R

1

)X + X( + R =

)X+X(+R

)X+X(+R = )X+X(X 2

CL2

2CL

2

32

CL2

CLL

por lo tanto:

XX + R = X

C

2C

2

L

lo cual implica que ocurre para una frecuencia mayor que la de resonancia. Esta frecuencia angular la podemos obtener poniendo la expresión inicial en función de :

)C1

-L(+R

LE = |V|

22

L

su máximo valor será para la frecuencia que hace máxima la expresión respecto de . Es decir:


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= )C

1+)(L

C1

-L(

)C1

-L(+R

LE-

)C1

-L(+R

EL 0= V

23

2222

L

0)

C1

-L(+R

)C1

(-)L(-1LE =

22

22

expresión que nos permite obtener la frecuencia buscada:

R- 2LSS2 = | 2

2

max=VL

Haciendo lo propio para la tensión en el capacitor se encontrará el máximo para:

2

2

max=VL

2L

2

C2L

R - 2LS = | y

XX + R - = X C

es decir para una frecuencia menor a la de resonancia, que está geométricamente dispuesta con la anterior respecto de la de resonancia. En resonancia las tensiones sobre la inductancia y el capacitor son iguales y opuestas, pero no tienen su máximo salvo para el caso ideal con R = 0. Habíamos obtenido la frecuencia para la cual es máxima la tensión en la inductancia:

R - L2

L2 =

R - 2LSS2 = | 222

0

240

2

2

max=VL

expresada en función del Q0:

1-Q2Q2

= | = 20

20

20

max=VL L

la ecuación de la tensión en la inductancia, expresada también en función del factor de mérito, es:

)-(Q+1

QE = V

20

00

00

L

reemplazando por L obtenemos la tensión máxima en la inductancia como:

1-Q4

Q2E = maxV

20

20

L

haciendo lo propio para el capacitor obtenemos el mismo valor pero opuesto al de la inductancia:

1-Q4

Q2E = maxV

20

20

C


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Cuando el factor de mérito Q0 decrece lo hacen también los valores máximos y se alejan de la frecuencia de resonancia. Cuando Q0 es igual a 2/1 el máximo ha decrecido al valor E de la tensión

aplicada, para valores menores de Q0 los máximos ocurren en = 0 para la tensión sobre el capacitor y para = para la tensión en la inductancia. VI - B.4 - Definición de Q0. De momento hemos encontrado tres expresiones que definen al Q0 bajo distintos conceptos:

Q0 = 0L/R0 ; Q0 = 0/(2 - 1) y Q0 = |VL/V| = |VC/V| La última no puede considerarse como básica pues no tiene validez para circuitos paralelos; la primera tampoco es válida para ese caso. La segunda es muy práctica y se determina por mediciones físicas. Hay una cuarta relación que es aplicable a todo sistema resonante, sea este acústico, mecánico o eléctrico, lineal o no. Está dado en base a relaciones de energía y no puede haber un concepto más básico y simple. La energía almacenada en un circuito resonante es constante aunque varía el campo magnético y el eléctrico. No hace falta entregar energía al circuito desde el exterior para la capacidad y la inductancia, sólo es necesario reponer la disipada en la resistencia (pérdida). Por esto se denomina circuitos tanque a los resonantes, en particular a los paralelos. Si la corriente en el circuito es:

i = Imáx cos(t) la energía en la inductancia en cada instante será:

WL = ½ L i2 = ½ L Imáx2 cos2(t) y en el capacitor tendremos que la tensión es:

e = [Imáx/(C)] sen(t) y la energía resulta en:

WC = ½ C e2 = ½ [Imáx2/(2C)] sen2(t) la energía total será:

W = WL + WC = ½ Imáx2 [L cos2(t) + (1/(2C) sen2(t)]

que para = 0 sabiendo que L = 1/02C resulta:

W = ½ Imáx2 [L cos2(0t)+(1/02C) sen2(0t)] =

= ½ Imáx2 L[cos2(0t)+sen2(0t)] =

= ½ Imáx2 L = ½ Imáx2/02C) = Constante

La potencia disipada está dada por:

P = I2 R = (Imáx/ 2 )2 R = ½ Imáx2 R la energía es potencia por tiempo, luego para un período tendremos, recordando que T=1/f0:

WR = ½ Imáx2 R(1/f0)


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Si relacionamos la energía almacenada a la disipada en un ciclo obtenemos:

W/WR = [(½ Imáx2 L)/(½ Imáx2 R)] f0 = L f0/R

multiplicando por 2 llegamos a:

(2 f0 L)/R = (0 L)/R = Q0 con lo que obtenemos la definición general de Q0:

tiempoderadiánpordisipadaEnergía

almacenadaEnergía2Q0


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Parte C: ANÁLISIS EN LAS CERCANÍAS DE RESONANCIA IV - C.1 - Introducción Habíamos puesto que la impedancia podía escribirse como:

Z = R + j0L( - 1/)

donde = frecuencia relativa = . En realidad la resistencia es también función de la frecuencia y será más correcto expresarla como:

Z = R0 [R/R0 + (j0L/R0)( - 1/)] donde R0 es la resistencia efectiva en resonancia que incluye todos los efectos disipativos del circuito. Podemos ahora redefinir al factor de calidad como:

Q0 = 0L/R0 llegamos a:

Z = R0 [R/R0 + jQ0( - 1/)] Introducimos ahora un nuevo símbolo para representar no a la frecuencia sino a la diferencia entre ésta y la de resonancia, es decir la "desintonización", pero la expresaremos en forma relativa a la de resonancia. Trabajaremos con la desintonización fraccional:

= ( - 0)/0 con esto resulta:

/0 = 1 +

(/0)-(0/) = 1 + - 1/(1 + ) = (2+)/(1+) que al introducirla en la expresión de la impedancia da:

Z = R0[R/R0 + jQ0(2+)/(1+)] @(1) expresión exacta y general para el circuito serie R, L, S. VI - C.1.1 - Aproximaciones. 1º) La resistencia puede ser prácticamente constante con la frecuencia, lo que ocurre para audiofrecuencias, y en tal caso:

R = R0 = cte. con lo que:

Z = R0[1 + jQ0(2+)/(1+)] @(2) 2º) La resistencia puede ser proporcional a la frecuencia, aproximadamente cierto para radiofrecuencia (efecto pelicular), y así:

R/R0 = /0 = 1 + luego:

Z = R0 [(1+) + jQ0(2+)/(1+)] @(3) Ninguna de las dos últimas expresiones es válida para todas las frecuencias pero pueden utilizarse según el caso.


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3º) En el rango de las frecuencias cercanas a resonancia la desintonización fraccional,, es pequeña comparándola con la unidad y las tres expresiones se reducen a:

Z = R0(1 + j2Q0) @(4) Todas dan para la frecuencia de resonancia la misma impedancia Z0 = R0. Calculando la admitancia a partir de la expresión @(4) obtene-mos:

Y = 1/Z = Y0/(1 + j2Q0) @(5) donde Y0 es la admitancia en resonancia. La figura de abajo a la izquierda muestra la variación del módulo de la admitancia en función de la frecuencia angular, utilizándose la escala logarítmica para esta para obtener una curva simétrica respecto de la frecuencia resonante. Mientras que la figura de la derecha nos muestra la variación del ángulo de fase. Más útil resulta la expresión de la admitancia relativa:

Y/Y0 = 1/(1 + j2Q0)

lg F

|Y|

Y0

Y0

0

Pérdidas

lg F 0

Y

Muchas Pérdidas

Pocas Pérdidas


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VI - C.2 - Curva universal de resonancia. Puesto que la forma de la curva de resonancia es, esencial-mente, la misma para todos los circuitos puede representarse la respuesta de todos en una sola curva. El resultado de graficar la admitancia relativa dada por la expresión en función del producto Q, desintonización fraccional relativa, es la llamada curva universal de resonancia. Las componentes real e imaginaria de esta curva se encuentra racionalizando la ecuación @(6):

)Q(2+1

Qj2-1 =

Qj2+11

= Y

Y2

0

0

00

)Q(2+1

1 =

Y

G = ]YRe[Y/

200

0

)Q2(+1

Q2- =

Y

B = ]YIm[Y/

20

0

00

la magnitud total es:

)Q(2+1

1 =

)Q(2+1)Q(2+1

= Y

|Y|2

02

0

20

0

En estas expresiones aproximadas el error es bastante pequeño, menor del 1% para cualquier frecuencia si el factor de calidad es igual o mayor de 20. Para un Q0 = 10 el error es algo superior al doble.

=Q0

Total

Real

Imag.

0.5 -0.5 1.0 -1.0 -2.0 -1.5 1.5 2.0

Curva Universal de Resonancia

|Y|/Y0 |Z|/Z0

0.707

0.5

-0.5

0.0

1.0

0.4

0.2

-0.4


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La Curva Universal de Resonancia nos muestra las curvas obtenidas con las expresiones @(7), @(8) y @(9). El punto en que las curvas de susceptancia y de conductancia se cruzan es de suma importancia. Las ecuaciones @(7) y @(8) muestran que G/Y0 y B/Y0 son iguales cuando = Q0 es igual a ±½. Si = +½ será G/Y0 = +½ y B/Y0 = -½; y si = -½ será G/Y0 = +½ y B/Y0 = +½.

Para ambos puntos resulta Y/Y0 = 1/ 2 = 0,707 y el ángulo de fase es de /4 o 45º. Estos puntos son llamados, en función de la corriente, del 70%. En función de la potencia son los llamados de potencia mitad, por ser la potencia activa la mitad de la disponible en resonancia. La distancia horizontal entre los puntos de potencia mitad es: Q0(2 - 1) = 1 y es una medida del ancho de la curva de resonancia por lo que se denomina ancho de banda. En ella (1 - 2)/0 = 1/Q0 y por ello el factor de mérito o calidad da una idea de la selectividad del circuito. Q0(2 - 1) = 1 = = Q0[(2 - 0)/0 - (1 - 0)/0] = Q0(2 - 0 - 1 + 0)/0 = 1 luego será: Q0 = 0/(2 - 1) = 0 / BW (p.p.s.) con BW = ancho de banda, que queda definido entonces como: BW = 0/Q0 = R/L (p.p.s.) es decir que el ancho de banda, en pulsaciones por segundo queda determinado por la relación entre la resistencia y la inductancia o: Q0 = 2f0/(2f2 - 2f1) = f0 / BW (Hz) BW = f0/Q0 = R/2L (Hertz) VI - C.3 - Ejemplo de cálculo. Dado el circuito serie de la figura, en el que R=100Ω, L=0.1Hy y C=0.1Fd, calcular: a) la frecuencia de resonancia; b) la impedancia en resonancia; c) el factor de mérito; d) el ancho de banda; e) las frecuencias cuadrantales; y f) la frecuencia para la máxima tensión sobre la inductancia. a) La frecuencia de resonancia está dada por:

R L C


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f0 = 0/2 = [1/LC]1/2 / 2 = [1/0.1·1·10-7]1/2/6.2832 = f0 = 10000pps/6.2832 = 1591.55 Hertz.

b) La impedancia en resonancia está dada directamente por la resistencia del circuito: Z0 = R = 100Ω

c) El factor de mérito es: Q0 = w0 L/R = 10000·0.1/100 = 10 d) El ancho de banda lo podemos determinar de la expresión: BW = 2 - 1 = R/L = 100/0.1 = 1000pps. = 159.1 Hz. e) Las frecuencias cuadrantales las obtenemos de las expresiones:

0

0

20

1 Q2Q4+1+1-

= y

0

0

20

2 Q2Q4+1+1

=

1 = [-1+(1+400)1/2]/(20/10000) = 9512.5pps 2 = [+1+(1+400)1/2]/(20/10000) = 10512.5pps Con esos resultados las frecuencias son: f1 = 1514 Hz. y f2 = 1673.1 Hz Aquí podemos observar que el cálculo nos muestra que la banda no está exactamente centrada con la frecuencia de resonancia. La curva universal de resonancia nos habría dado centrada, dando un error muy inferior al 1%. f) La frecuencia para la cual es máxima la tensión en la inductancia está dada por:

R - L2

L2 =

R - 2LSS2 = |

2220

240

2

2

max=VL

= [(2·1014)/(2·0.1·107 - 10000)]1/2 =

= 10025.1pps. fL = 1595.5 Hz.


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NOTAS Y COMENTARIOS


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Parte D: RESPUESTA DEL CIRCUITO PARALELO

IV - D.1 - Circuito paralelo de tres ramas (GC) Este circuito tiene una similitud sorprendente con el serie. Todas las expresiones son duales y lo mismo puede decirse de las curvas. De este modo cualquier expresión encontrada para el circuito serie puede ser utilizada para el paralelo. El proceso recíproco puede, por supuesto, también realizarse. La admitancia está dada por: Y = G + jC + 1/(jL) = G + j(C -1/L) La resonancia resulta de la condición de susceptancia nula: 0C - 1/(0L) = 0 que corresponde a la frecuencia: 0 = (1/LC)1/2

G

C

0

|Y|

B

BC

BL

Y0 G


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Para esta frecuencia angular la admitancia será mínima y con ello la tensión, para corriente de excitación constante, será máxima. Esto determina el nombre de resonancia de tensión en contraposición al de resonancia de corriente que corresponde al circuito serie. Conviene hacer notar que el problema de elevadas tensiones desarrolladas en el circuito serie se corresponde aquí al de elevadas corrientes a través de los elementos reactivos. El factor de mérito es, para este montaje: D0 = (0C)/G0 = R0/(0L) un alto D0 implica, como en el circuito serie, una baja pérdida; es decir aquí una elevada resistencia paralelo. IV - D.2 - Circuito paralelo de dos ramas Este circuito paralelo visto tiene escasa utilidad práctica por cuanto no es estrictamente realizable. La inductancia tiene necesariamente resistencia que puede, a todos los efectos, representarse más eficazmente en serie. Las pérdidas en el capacitor son representables mejor en paralelo, aunque son normalmente despreciables con la tecnología actual. El circuito paralelo LC práctico es el llamado circuito tanque, o paralelo de dos ramas. Los fenómenos de resonancia son similares al de tres ramas. La curva universal de resonancia sigue aplicándose, pero con un error ligeramente superior. En sí mismo es un circuito resonante serie que pasó a paralelo por un cambio en sus terminales. La admitancia de entrada al circuito es:

LjR

1

L1

CjLRC

LjRLjRCj1

CjLjR

1Y

a esta última expresión llegamos resolviendo la primera y dividiendo ambos factores por jL. Para el caso de factor de mérito elevado (baja pérdida) y cerca de la resonancia resulta que R << L , con lo que obtenemos la expresión aproximada:

R L

C


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Y = (C/L)[R + j(L - 1/C)] igual, salvo la constante C/L, a la que teníamos para la impedancia del circuito serie. La curva universal de resonancia dibujada para la admitancia de resonancia serie representa entonces la impedancia de resonancia paralelo. El factor C/L no implica ninguna condición adicional ya que desaparece al considerar la impedancia relativa. De la última expresión resulta que la impedancia en resonancia es: Z0 = L/(R0C) que utilizando el concepto del Q0 = L/R del circuito serie resul-ta: Z0 = (L)Q0 = (1/0C)·Q0 = R0 Q02 es decir que la impedancia en resonancia es Q0 al cuadrado veces la resistencia en resonancia. VI - D.3 - Ejemplo de cálculo. Dado el circuito paralelo de dos ramas de la figura, en el que R = 100Ω, L = 0.1Hy y C = 0.1Fd, calcular: a) la frecuencia de resonancia y b) la impedancia en resonancia. Si calculamos la frecuencia de resonancia en forma aproximada, usando la misma expresión del circuito serie tendremos que:

f0 = 0/2 = [1/LC]1/2 / 2 = [1/0.1·1·10-7]1/2/6.2832 = f0 = 10000pps/6.2832 = 1591.55 Hertz. Si el cálculo lo hacemos aplicando el concepto de parte imaginaria nula, será:

LjR

1

L1

CjLRC

CjLjR

1Y

Racionalizando y tomando la parte imaginaria obtenemos:

R L

C


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Imag[Y] = 2

2

22

LR

1

L1

LCR

C1

j

La pulsación de resonancia será la que haga cero la expresión, es decir el paréntesis del numerador:

CL1

LCR

10L1

LCR

C2

202

220

Reemplazando los valores que tenemos resulta: w0 = 9949.9 pps o sea f0 = 1583.6 Hz. Esto muestra un error en el cálculo aproximado del 0.5%. Lo que es totalmente despreciable a los fines prácticos de diseño ya que no se consiguen normalmente elementos con un error menor del 1%.


CAPÍTULO VII

POTENCIA - ENERGÍA

Parte A: DOMINIO DEL TIEMPO Parte B: DOMINIO DE LA FRECUENCIA




Teoría de los Circuitos I - Ing. Jorge M. Buccella - Capítulo VII

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ÍNDICE Parte A: DOMINIO DEL TIEMPO 3 A.1 Potencia 3 A.2 Potencia en los elementos 5 A.3 Potencia activa, reactiva y aparente. Factor de potencia 5 A.4 Ejemplo de cálculo 7 Parte B: DOMINIO DE LA FRECUENCIA 9 B.1 Potencia vectorial 9 B.2 Expresiones de la potencia 11 B.3 Corrección del factor de potencia 11 B.4 Ejemplo de cálculo 12 B.5 Teorema de la máxima transferencia de energía 14 TOTAL: 16 páginas.


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VII - POTENCIA Y ENERGÍA

Parte A - DOMINIO DEL TIEMPO VII - A.1 - Potencia. En un dipolo a través del cual hay una caída de potencial v(t) en el sentido de la corriente i(t), conforme a la convención definida para la ley de Ohm, la potencia instantánea recibida es: p(t) = v(t)·i(t) Si la tensión y la corriente se expresan respectivamente en voltios y amperios, la potencia viene dada en vatios (watts). El trabajo realizado en un cierto intervalo será:

2t

1t

2t

1tdt)t(i)t(vdt)t(pW

La potencia media en ese intervalo será en consecuencia:

t

0dt)t(i)t(v

t1

tW

P

Puede evaluarse esta potencia si son conocidas las funciones v(t) e i(t), ya sea analítica o gráficamente. Si nos referimos al caso particular de tensiones y corrientes armónicas en el tiempo, o senoidales, tendremos en general que: v(t) = Vmax cos(t + ) i(t) = Imax cos(t + ) La potencia instantánea será: p(t) = VmaxImax cos(t + )cos(t + ) que a través de una identidad trigonométrica podemos poner como: p(t) = VmaxImax ½[cos(2t+) cos(-)]= = ½VmaxImaxcos(2t+)+ ½VmaxImaxcosZ La potencia instantánea está compuesta por una variación senoidal en el tiempo de una frecuencia doble a la de la tensión y corriente, y otro término que depende de los valores máximos de la tensión y de la corriente y del ángulo de fase relativo entre ellos, ángulo de fase de la impedancia del circuito Z.

v(t) - +

i(t)


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Los intervalos en los cuales la potencia es negativa corresponden a los instantes en que la tensión y la corriente tienen signos opuestos. En esos instantes el circuito devuelve energía a la fuente, energía que fue almacenada en los elementos pasivos en forma de campos eléctricos en los capacitores, y magnéticos en los inductores. Esto ocurre siempre que haya entre la tensión y la corriente un desfasaje, es decir si Z 0. A partir de la expresión anterior podemos encontrar la potencia media a lo largo de un número entero de ciclos. En general esto variaría con el número de ciclos pero, si consideramos que estamos en régimen permanente, podemos hacer el cálculo a lo largo de un ciclo de la potencia (medio ciclo de la tensión):

2

T

0dt)t(p

T2

P

Si recordamos que: = 2f y T = 1/f, resulta que T/2 = .

dtcos ) tcos(22IV

P0

Zmaxmax

0Z

maxmax cost ) tsen(221

2IV

Zmaxmax

Zmaxmax cos

2IV

cos 02IV

Que podemos expresar en función de los valores eficaces como: P = V I cosZ [vatios]

p(t)

i(t) v(t)

t Z


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VII - A.2 - Potencia en los elementos. En una resistencia la tensión está en fase con la corriente, el ángulo de fase entre ellos es nulo y su coseno es igual a uno. La potencia resulta entonces: PR = ½(Vmax Imax) = V2/R = I2·R = V·I En una inductancia el desfasaje entre tensión y corriente es de /2, o 90º, el coseno de este ángulo es cero y con ello la potencia media también resulta igual a cero. Lo mismo ocurre en el capacitor. Sin embargo el hecho que la potencia instantánea no sea cero nos indica que hay energía en el circuito. Esta energía que la fuente carga, en el capacitor en forma de campo eléctrico, y/o en la bobina en forma de campo magnético, durante medio ciclo de la potencia y que luego estos devuelven en el medio ciclo siguiente, se denomina potencia entretenida en el circuito. Podemos evaluar la potencia entretenida integrando la potencia instantánea en un medio ciclo (cuarto de ciclo de la tensión):

dt2cos )2 tcos(22IV2

P2

0

maxmaxent

(expresión válida para la inductancia, para el capacitor hay que cambiarle el signo al ángulo de fase)

2

0

maxmaxent )2 tsen(2

21

2IV2

P

VI2P

IV)1(1

21

2IV2

entmaxmaxmaxmax

Como en la inductancia es VLmax = ILmax·L resulta:

PLent = ILmax2 L/ = 2·IL2 L/ Para el capacitor es: PCent = ILmax2/C = 2·IL2/C VII - A.3 - Potencias activa, reactiva y aparente. Factor de potencia. Cuando las corrientes y tensiones son alternas senoidales la ecuación P = V I cosZ, que da el valor medio de la potencia, es la misma que la correspondiente a la de un circuito de corriente continua excepto por el valor cosZ. Este factor tiene en cuenta el hecho que, en general, tensión y corriente no están en fase, caso contrario este factor es igual a


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uno y coincide con la expresión de corriente continua. Por esta razón a este cosZ se lo denomina factor de potencia, Fp. En un circuito de admitancia Y ejy el vector corriente está desfasado del vector tensión en el ángulo Y. Si consideramos el vector tensión: v = Vmax cost La corriente: i = Imax cost+Y se puede descomponer en la componente en fase y la componente en cuadratura o reactiva: ia = Imax cosY cost ib = Imax senY cost/2 Es decir que podemos escribir vectorialmente: Imax = Imax cosY + jImax senY Obtenemos entonces que: P = ½ VmaxImax cosY potencia media (activa) Q = ½ VmaxImax senY potencia reactiva donde senY es el factor reactivo. La suma geométrica de ambas es lo que se llama potencia aparente. Pap = S = P + jQ = ½ VmaxImax cosY + j ½ VmaxImax senY |S| = ½ VmaxImax = V·I Se la denomina aparente porque resulta de multiplicar directamente la tensión por la corriente sin tener en cuenta el factor de potencia. Es lo que podemos obtener si el circuito tiene un voltímetro y un amperímetro, con los cuales no podríamos calcular la potencia activa. Para poder indicar de cual de las tres potencias estamos hablando se ha definido una unidad especial para cada una. Estas unidades tienen la misma dimensión porque no hay diferencia entre las magnitudes que las componen salvo el seno o el coseno que son adimensionales. La potencia activa o media, P, está expresada en vatios [W], la potencia reactiva, Q, en voltamperios reactivos [VAr], y la potencia aparente, S, en voltamperios [VA].


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VII - A.4 - Ejemplo de cálculo. Problema: En un circuito se ha determinado que la tensión de entrada está dada por v(t)=15·cos(50t+15º) y la corriente que circula es i(t)=10·sen(50t+60º). Determinar la tres potencias desarrolladas. Solución: Primero debemos expresar la tensión y la corriente usando la misma función, ya sea seno o coseno, para establecer claramente el ángulo de fase entre ellas. Por ejemplo: i(t)=10·sen(50t+60º) = 10·cos(50t+60º-90º)= 10·cos(50t-30º) Ahora determinamos que la diferencia de fase es de Y = -45º, la corriente atrasa respecto a la tensión, es decir circuito inductivo. Las potencias serán, entonces: Potencia aparente = V·I = (15·10)/2 = 75 voltamperios hemos tenido en cuenta que la expresión temporal está dada por los valores máximos y la potencia se define por los valores eficaces, de allí la división por dos. Potencia activa = V·I cos Y = (15·10)·cos(-45º)/2 = = 75·0,707 = 53,03 vatios. Potencia reactiva = V·I sen Y = (15·10)·sen(-45º)/2 = = -75·0,707 = -53,03 voltamper reactivos. Aquí se asumió como ángulo de fase el ángulo de fase de la admitancia y consecuentemente la potencia reactiva resultó con signo negativo. Si se hubiera considerado el ángulo de fase de la impedancia este valor sería positivo. En la práctica puede tomarse cualquiera de los dos; el signo de la potencia activa será siempre positivo, pero el de la potencia reactiva no define al circuito como inductivo o capacitivo: es necesario indicar cuál es el ángulo considerado, de la impedancia o de la admitancia.


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NOTAS Y COMENTARIOS


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Parte B - DOMINIO DE LA FRECUENCIA VII - B.1 - Potencia vectorial. El cálculo simbólico había sido introducido haciendo ciertas consideraciones y verificando con el concepto de linealidad. Se aclaró que no es lo mismo la forma temporal que la fasorial pero que se podía utilizar ventajosamente obteniendo los mismos resultados. La potencia implica una función cuadrática y si queremos aplicar el cálculo simbólico no podemos extender simplemente el concepto, debemos demostrarlo y verificarlo. Partiremos de las expresiones iniciales: v(t) = Vmax cos(t + ) i(t) = Imax cos(t + ) y aplicaremos las fórmulas de Euler a la definición de la potencia instantánea:

2ee

I2ee

Vi·vp)t(j)t(j

max

)t(j)t(j

max

definiendo las tensiones y corrientes vectoriales en función de sus valores eficaces tendremos: p = ½ Vejt + V*e-jt Iejt + I*e-jt = = ½ V I* + V* I + V I ej2t + V* I* e-j2t = = ½ V·I ej e-j + e-j ej + ej( ejt + e-j( e-jt = = V·I[cos + cost] = p Vemos aquí que el término V·IcosZ se obtiene de: ½ V I* + V* I Los términos dentro del paréntesis son conjugados entre sí por lo que podemos poner que: P = ½ V I* + V* I = Re V* I = Re VI* Si ponemos V = (V1 + jV2) e I = (I1 + jI2): P = Re V I* = Re[(V1+jV2)(I1+jI2)] = V1I1+V2I2 Otro resultado más útil se deduce del término V*I: V*I = V*Iej = VIejY = VI(cosY + jsenY) = = P + jQ = S que es el vector potencia.


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Es resumen tenemos que: Triángulo de Triángulo de Triángulo de impedancias tensiones potencias Los tres triángulos son semejantes, la diferencia está en que las impedancias (y las admitancias) no giran, son vectores; las tensiones y corrientes giran con velocidad angular , son fasores; y las potencias no son estrictamente fasores, su frecuencia es el doble que la de las tensiones y corrientes, y su interpretación gráfica no es la misma. Por consecuencia no es correcto dibujarlas en un mismo gráfico. Conforme a lo visto podemos establecer que el ángulo de fase de la impedancia, o de la admitancia, establece el desfasaje entre la tensión y la corriente y también el ángulo de fase de la potencia. La diferencia está en que el ángulo de fase de la impedancia o entre tensión y corriente nos indica si el circuito tiene parte reactiva inductiva o capacitiva, mientras que en la potencia, por ser cuadrática aparece el coseno que es una función par, el signo del ángulo no tiene significancia. No se ha establecido un criterio o convención en este aspecto lo que hace que para algunos quede definido por el ángulo de la admitancia y que para otros por el ángulo de la impedancia. El tipo de circuito sólo puede ser establecido si conocemos el desfasaje entre la tensión y la corriente, no del factor de potencia. Hay otra diferencia muy importante en lo que se refiere al diagrama fasorial de la potencia respecto al de las tensiones y corrientes. En este último caso decíamos que la proyección sobre el eje real (parte real) de la tensión mientras el fasor giraba con velocidad nos daba la función temporal de la tensión expresada como coseno y que la parte imaginaria era la función seno. Para la potencia no podemos decir lo mismo ya que no es una función armónica del tiempo (salvo el caso de una carga reactiva pura). Si quisiéramos obtener la función temporal de la potencia deberíamos considerar que la potencia está compuesta por dos componentes: p(t) = ½VmaxImaxcos(2t+)+ ½VmaxImaxcosZ = = |S| cos(2t+) + P Un componente que es función armónica del tiempo y frecuencia 2 y otro que es una constante. La primer componente podríamos

Z

X

R

Z

Z

I VR

VX V

Z

Q

P

S


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representarla como un fasor que estaría girando con origen, y centro de rotación, en el valor del eje real que nos indica el segundo componente. De tal forma el gráfico nos quedaría así: Con esta disposición la proyección del extremo del fasor S sobre el eje real (donde está P) girando a velocidad 2 nos dará la función potencia instantánea. VII - B.2 - Expresiones de la potencia. Existen varias expresiones de la potencia a las que podemos llegar si consideramos que Vmax es la caída de tensión vectorial en el sentido de la corriente vectorial Imax en una impedancia Z y que: Vmax = Imax·|Z| y cosZ = R/|Z| P= ½(Vmax·Imax)cosZ = Imax2·R = I2·R donde debe entenderse que es la corriente que circula por la resistencia equivalente (parte resistiva) del dipolo. Si reemplazamos la corriente en función de la tensión podemos poner que: P= ½(Vmax2/|Z|)cosZ = [V2/|Z|2]R = V2·G donde debe entenderse que es la tensión desarrollada sobre la conductancia equivalente (parte resistiva) del dipolo. VII - B.3 - Corrección del factor de potencia.

½VmaxImax

½VmaxImaxcos()

2


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Hemos indicado que el factor de potencia marca el aprovechamiento del producto de la tensión por la corriente para obtener potencia sobre el circuito. En la distribución de energía eléctrica las pérdidas en los conductores se debe al paso de la corriente por ellos, Pp = I2R. Ello implica que, aún cuando la potencia activa utilizada por el consumidor sea baja, las pérdidas pueden ser elevadas si el factor de potencia es bajo. Para una misma tensión y potencia activa la corriente es mayor a medida que el factor de potencia baja. El factor de potencia bajo es debido a las componentes reactivas de las cargas que, lamentablemente, son en su inmensa mayoría inductivas y no se compensan. Los generadores, por su parte, están de hecho limitados por la energía que son capaces de suministrar las máquinas que los impulsan, sean eléctricas o no. Pero, fundamentalmente, están diseñados para una corriente (y también una tensión) máxima independiente del ángulo de fase, es decir que están limitados en su potencia aparente y no por la potencia activa que suministran, que puede ser mucho menor. El máximo aprovechamiento del generador y su sistema de distribución se logrará con un factor de potencia elevado, idealmente igual a uno. Normalmente el consumidor paga por la potencia activa, pero el costo de instalación y mantenimiento está definido por la potencia aparente, por ello es de interés que ambas se aproximen todo lo posible. De hecho las empresas generadoras incentivan esta condición estableciendo multas por factores de potencia inferiores a cierto valor, y/o cobrando también la potencia reactiva si esta excede los límites fijados. Para corregir un factor de potencia bajo es necesario compensar la componente reactiva, es decir colocar capacitores, en el caso normal, en paralelo con las cargas inductivas. La conexión en paralelo se hace a los efectos de no alterar las exigencias de alimentación fijadas en la tensión de suministro. Podría corregirse el factor de potencia colocando los elementos en serie pero ello alteraría todas las condiciones de funcionamiento que podrían implicar el daño al dispositivo. VII - B.4 - Ejemplo de cálculo. Sea el circuito: V = 250 Volts = 100 pps R = 300 ohmios L = 2.5 henrios Calculamos la corriente en el circuito original: I = V/Z = V/(R + jL) = V·(R - jL)/[R2 + (L)2] numéricamente: I = (0.492 - j0.410) amperios

V

I

jL

R

+

-


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A partir de este punto tenemos dos opciones: a) colocar un capacitor por el cual circule una corriente igual y de signo contrario a la componente reactiva que obtuvimos con el fin de compensarla; o b) calcular la potencia desarrollada y luego corregir el término de potencia reactiva. Forma a: La corriente en el capacitor es: IC = jC·V y debe ser igual a la reactiva en la carga y de signo contrario, es decir que: C·V = 0.410 A. luego C = 0.410/V = 16.4 microfaradios Forma b: La potencia compleja S la podemos obtener del producto entre la conjugada de la tensión y la corriente: S = V* I = V2·(R + jL)/[R2 + (L)2] numéricamente: S = (123 + j102.5) voltamperios La potencia reactiva en el capacitor es: QC = V2/XC = V2 C debiendo ser QC igual a la potencia reactiva calculada, resulta que: C = QC/V2 = 16.4 microfaradios En este ejemplo hemos llevado el circuito a un factor de potencia unitario ideal. En los caso prácticos se establece un factor de, por ejemplo, 0.8 y se corrige para llevarlo por lo menos a ese valor con los valores comerciales de los capacitores. En un caso como este se determina cual es la potencia reactiva máxima que debo tener y la potencia de corrección será la necesaria para compensar el excedente que tengo. Volvamos al ejemplo, teníamos que: S = (123 + j102.5) voltamperios la parte activa no la podemos variar, por lo que la potencia reactiva permitida será: QP = Ptag y = arccos 0.8 = 36.9º con lo que: QP = 123·0.75 = 92.250 var

C

V

I

jL

R

+

-


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la potencia de corrección será: QC = Q - QP = 102.5 - 92.25 = 10.25 var y el capacitor necesario es de: C = QC/V2 = 1.64 microfaradios es decir diez veces menor. Realmente tenemos dos posibles soluciones para obtener el factor de potencia deseado ya que si sobrecompensamos el circuito podemos obtener una respuesta capacitiva con el mismo factor de potencia, esto quiere decir que, si la carga es originalmente inductiva, podemos compensar toda la potencia reactiva inductiva y, además, agregar potencia reactiva capacitiva hasta obtener el factor de potencia deseado. En ese caso la potencia reactiva de corrección será igual a la actual (si es inductiva) más la total permitida o deseada. De hecho esta es una solución más cara y no se utiliza. En el caso hipotético que se deseara desmejorar, es decir reducir el coseno , tendríamos también dos posibles soluciones: una agregar inductancia en paralelo y la otra agregar capacidad. En todos los caos la solución técnica más aceptable la determina el análisis económico del caso y sus posibles soluciones. VII - B.5 - Teorema de la máxima transferencia de energía. Este teorema plantea las condiciones para que dados un generador de energía con su impedancia interna se determine cuál es la impedancia de carga que permitirá extraer el máximo de energía a ese generador. Sea Z1 = R1+jX1 la impedancia interna del generador y Z2 = R2+jX2 la impedancia de carga. La potencia activa en la carga será: P2 = |I|2·R2 el módulo de la corriente está dado por el módulo de la tensión dividido por el módulo de la impedancia total del circuito es decir:

221

22121 XXRR

EZZ

EI

luego:

221

221

22

C XXRRRE

P

Para cumplir con lo deseado debemos maximizar esta expresión. El primer análisis lo podemos hacer sobre la parte reactiva que, pudiendo ser variable, nos señala que se puede cancelar ese término

Z1

Z2 E V

I

+ +

- -


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si la reactancia de la carga es de igual valor y signo contrario a la reactancia interna. En otras palabras que X1 = - X2. Dado este supuesto nos queda que:

221

22

C RRRE

P

Y para encontrar el máximo buscamos la condición de la primera derivada con respecto a R2 sea cero.

0

RRRRR2RR

dR

RRRd

421

2122

21

2

221

2

para lo cual: 0RRR2RR 212

221

Que resolviendo resulta en R1 = R2. El resumen es que, si podemos variar tanto la reactancia como la resistencia de la carga, la condición de máxima transferencia de energía se da cuando la impedancia de carga es la conjugada de la impedancia interna Z2 = Z1*. Siendo las partes resistivas iguales resulta que en el generador se disipa la misma potencia que en la carga y por ello el rendimiento es:

00

21

20

0 50100PP

P

El rendimiento obtenido en este caso es aceptable sólo cuando los niveles de energía son bajos, cuando extraer menos energía lleva a la necesidad de agregar nuevas etapas, como ocurre en los circuitos electrónicos. Para la distribución de energía se requiere de máximo rendimiento lo que implica que la resistencia interna debe ser mínima frente a la resistencia de carga. Esto además reduce la cantidad de calor que debe ser disipada en el generador.


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NOTAS Y COMENTARIOS


CAPÍTULO VIII

CIRCUITOS ACOPLADOS

Parte A: ACOPLAMIENTO ELECTROMAGNÉTICO Parte B: EL TRANSFORMADOR IDEAL Parte C: LA BOBINA DE REACTANCIA Parte D: EL TRANSFORMADOR REAL




Teoría de los Circuitos I - Ing. Jorge M. Buccella - Capítulo VIII

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ÍNDICE Parte A: ACOPLAMIENTO ELECTROMAGNÉTICO 3 A.1 Evaluación del coeficiente de inductancia mutua 3 A.2 Planteo de las ecuaciones del circuito 7 A.3 Circuito equivalente con generadores 7 A.4 Expresiones en el dominio de la frecuencia 8 A.5 Circuitos equivalentes en "T" y en "" 9 A.6 Algunos ejemplos de montajes 10 A.7 Coeficientes de acoplamiento y dispersión 12 A.8 Impedancia reflejada 14 A.9 Ejemplos de cálculo 15 Parte B: EL TRANSFORMADOR IDEAL 21 B.1 Ecuaciones de equilibrio 21 B.2 Admitancia e impedancia de entrada 23 B.3 Circuito equivalente en "T" 24 Parte C: LA BOBINA DE REACTANCIA 27 C.1 Flujo magnético y fuerza electromotriz inducida en un inductor con núcleo de hierro 27 C.2 Corriente de imantación 29 C.3 Influencia de la histéresis sobre la corriente en la bobina 30 C.4 Influencia de las corrientes de Foucault sobre la corriente en la bobina 32 C.5 Pérdidas magnéticas totales en la bobina 33 C.6 Diagrama vectorial completo 35 Parte D: EL TRANSFORMADOR REAL 39 D.1 Circuito equivalente y diagrama fasorial 39 D.2 Reducción a la malla primaria 43 TOTAL: 44 páginas.


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VIII - CIRCUITOS ACOPLADOS

Parte A - ACOPLAMIENTO ELECTROMAGNÉTICO VIII - A.1 - Evaluación del coeficiente de inductancia mutua. Decimos que los sistemas A y B están acoplados cuando se puede establecer que ocurre algo en el sistema B cuando, y sólo cuando, ocurre otro hecho en el sistema A; y recíprocamente. Es decir hay una relación causa-efecto entre los dos sistemas. El tipo de acoplamiento depende de los sistemas que estemos estudiando. Puede ser eléctrico, mecánico, hidráulico, etc.; también puede ser mixto, como ejemplos el parlante con el medio acústico y la celda fotoeléctrica que genera una señal eléctrica ante un estímulo luminoso. De hecho estos acoplamientos pueden ser deseados o indeseados, o parásitos, pero de todas formas debemos tener conocimiento de sus efectos ya sea para aprovecharlos o minimizarlos. Nuestro estudio está restringido a los sistemas eléctricos y entonces los tipos posibles de acoplamiento son tres: conductivo, capacitivo y electromagnético. El acoplamiento conductivo es aquel en el que el acoplamiento se realiza a través de conductores, la vinculación es por medio de una resistencia o impedancia (o una red tal como un cuadripolo); por ejemplo un amplificador con su parlante, y su comportamiento se resuelve por los métodos ya vistos. El acoplamiento capacitivo se realiza por medio de campos eléctricos, la conexión se realiza por capacitores; por ejemplo el acoplamiento interetapa de amplificadores, para aislar la componente de continua requerida para la polarización de los dispositivos, y también se resuelve por los métodos vistos. Finalmente el acoplamiento electromagnético es aquel en el cual las señales se transmiten a través de un campo electromagnético. Como ejemplo más típico están los diversos tipos de transformadores. Aclaramos que para ser considerado de este tipo no basta que haya inductancias, podría ser un acoplamiento conductivo, sino que la conexión se haga a través del campo magnético creado por ellas. Este último tipo de acoplamiento no ha sido tratado aún y será tema del presente capítulo. Para iniciarnos en el tema vamos a repasar rápidamente lo que debe haber sido estudiado con más detalles en los cursos de Física y que repasamos en el Capítulo 0. Analicemos el circuito siguiente considerando una bobina ideal, sin resistencia ni capacidad distribuida: Por la 2ª ley de Kirchhoff: eL + v = 0 Donde eL es la tensión inducida en la bobina. Luego será:

-eL = v

v

-

+

eL

i +

- ~ L


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Por la ley de Faraday-Lenz es:

dtdi

Ldtd

NeL

o sea: dtdi

Ldtd

Nv

Consideremos ahora el circuito siguiente donde están los dos inductores acoplados a través del campo magnético generado por la circulación de corriente en las dos bobinas. En la primer malla aparecerá una fuerza electromotriz inducida por efecto mutuo, eM. La ecuación de equilibrio es ahora para esa malla: v + eL ± eM = 0 La pregunta ahora es ¿cuánto vale esa tensión eM y qué signo tiene? Analizaremos dos casos posibles para un mismo par de bobinas acopladas: 1 = 10 + 12 2 = 20 + 21

dtd

Ne 1222

dtd

Ne 2111

Si indicamos con (lambda) a la permeancia del circuito magnético entre las dos bobinas será: 12 = 1 N1 i1 21 = 2 N2 i2

i2

N1,L1 N2,L2

20 21

S

i1

N1,L1 N2,L2

10 12

S

v

+

- ~

i2

L2 L1

M

R

i1


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conforme con la ley de Ohm electromagnética, donde la permeancia depende de la configuración geométrica y la permeabilidad magnética del campo. Reemplazando en las ecuaciones anteriores obtenemos:

dtdi

NNe 11122

dtdi

NNe 22211

Si el medio es magnéticamente homogéneo, lineal y bilateral, las permeancias serán iguales por cuanto hemos supuesto que son las mismas dos bobinas en el mismo medio, sólo cambia la bobina que genera el campo, y entonces podemos definir el coeficiente M: N2 N1 = M = N1 N2 Con este coeficiente quedará que:

dtdi

Me 12

dtdi

Me 21

Puesto de otra forma:

dtdi

e

dtdi

eM

2

1

1

2

de donde resulta que M tiene las dimensiones de una inductancia y lo llamaremos coeficiente de inductancia mutua. Este coeficiente, como vimos, depende de la permeancia del medio, y ésta, a su vez, depende en general de la intensidad del flujo magnético y de la frecuencia. El vacío y el aire, felizmente con mucha aproximación, son lineales. Tenemos evaluada la magnitud de la tensión mutua inducida, nos queda determinar cuál es su polaridad para establecer el signo que le debemos asignar en la ecuación de la 2ª ley de Kirchhoff. La polaridad está dada por el sentido del bobinado: En el esquema de la izquierda la tensión inducida debe tener la polaridad indicada ya que, de circular una corriente por ella ocasionada deberá tener el sentido señalado para i2. Si fuera el sentido contrario el flujo 2 por ella generado se sumaría al 1 inductor lo que violaría el principio de conservación de la energía.

i1 i1

i2

i2

+e2 -

-e2 +

2

1 1

2


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En el esquema de la derecha el bobinado de abajo tiene el sentido opuesto de arrollamiento, por ende el sentido de la corriente, y la polaridad de la tensión, deben ser contrarios al caso de la izquierda. Esto nos está diciendo que para evaluar el efecto del acoplamiento deberíamos tener un plano constructivo del conjunto para establecer correctamente los sentidos de los flujos en el circuito magnético, y de allí deducir la polaridad de las tensiones inducidas. Para evitar la complicación que esto último implicaría se ha establecido un código de marcación de los bobinados señalando por cuales extremos en ambos arrollamientos deberían entrar, o salir, las corrientes para que los flujos producidos se sumen. Estos extremos son los llamados extremos correspondientes, es evidente que los no marcados también son correspondientes entre sí. Como en los circuitos esta condición se indica con un punto los extremos marcados se denominan extremos punteados. Estos puntos, de por sí, no indican la polaridad de la tensión inducida. Tal como expresamos arriba los extremos punteados son tan correspondientes entre sí como los otros dos que no tienen el punto. La polaridad está dada por la correspondencia entre los extremos y el sentido de la corriente inductora, no interesa la corriente que circula en la bobina inducida, y es tal que resulta positiva en el extremo en la bobina inducida correspondiente al cual entra la corriente en la bobina inductora. Si la corriente en la bobina inductora entra por el extremo punteado la tensión inducida será positiva en el extremo punteado de la bobina inducida; y si la corriente en la bobina inductora entra por el extremo no punteado la tensión inducida será positiva en el extremo no punteado de la bobina inducida. Los circuitos de arriba quedarían indicados como: Se utiliza la doble flecha para señalar el acoplamiento entre las bobinas, con indicación del coeficiente de inductancia mutua, y los puntos para indicar los extremos correspondientes. Se insiste: los puntos no indican la polaridad de las tensiones inducidas, podría haberse marcado los otros extremos con igual significado, es necesario conocer además el sentido de las corrientes inductoras. La combinación de ambas cosas define la polaridad de las tensiones inducidas.

M L1

L2

M

L1

L2


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VIII - A.2 - Planteo de las ecuaciones del circuito. Dado que las tensiones inducidas dependen de las corrientes circulantes, resulta normal aplicar las ecuaciones de Maxwell cuando se utilizan circuitos acoplados. Veamos un primer ejemplo: Se plantean las ecuaciones de malla con las corrientes como estímulo y las tensiones como respuesta. Por superposición: a) Con i2 = 0: e1' = L1 (di1/dt) y e2' = M (di1/dt) La corriente i1 entra a L1 por el extremo punteado, la tensión inducida es entonces positiva en el extremo punteado de L2. Su polaridad coincide con la de e2 por consecuencia el signo es positivo en la ecuación. b) Con i1 = 0: e1" = M(di2/dt) y e2' = L2 (di2/dt) Como en el caso anterior, la corriente i2 entra a L2 por el extremo punteado, la tensión inducida es entonces positiva en el extremo punteado de L1. c) La respuesta completa es ahora: e1 = e1' + e1" = L1(di1/dt) + M(di2/dt) e2 = e2' + e2" = M(di1/dt) + L2(di2/dt) VIII - A.3 - Circuito equivalente con generadores. Dado el circuito anterior puede realizarse un circuito equivalente no acoplado representando los efectos de los acoplamientos por generadores dependientes.

- -

+ +

e1 e2

i1 i2

L1 L2

M

- -

+ +

e1 e2

i1 i2

L1 L2

M


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Aunque de hecho no resulta en dos circuitos aislados, por la dependencia de los generadores con las corrientes de las otras ramas, es una forma de simplificar el análisis de los circuitos estudiando primero el efecto de los acoplamientos y luego tratarlo como una red sin acoplamientos. La influencia de L2 sobre L1 la podemos evaluar como una tensión igual a M(di2/dt), con polaridad positiva arriba debido a que la corriente i2 ingresa en L2 por el extremo punteado, en la malla primaria. La de L1 sobre L2 como M(di1/dt) con positivo arriba en la malla secundaria. El circuito quedará entonces: Podemos plantear las ecuaciones de malla: e1 - M(di2/dt) = L1(di1/dt) e2 - M(di1/dt) = L2(di2/dt) Despejando las tensiones conocidas queda: e1 = L1(di1/dt) + M(di2/dt) e2 = M(di1/dt) + L2(di2/dt) que coinciden con las anteriores. VIII - A.4 - Expresiones en el dominio de la frecuencia. A partir de las expresiones escritas en el dominio del tiempo podemos pasar al dominio de la frecuencia. Para ello debemos considerar a la inductancia mutua tal como si fuera una inductancia salvo por el detalle que el coeficiente M puede ser positivo o negativo según el caso que estemos analizando. El circuito quedaría modelizado gráficamente como:

- -

+ +

e1 e2

i1 i2

L1 L2

M(di1/dt)

+

-

+

- M(di2/dt)

- -

+ +

E1 E2

I1 I2

jL1 jL2

jM


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Con los generadores dependientes: Y analíticamente: E1 = jL1 I1 + jM I2 E2 = jM I1 + jL2 I2

VIII - A.5 - Circuitos equivalentes en "T" y en "". Analíticamente el sistema de ecuaciones anterior puede ser sintetizado utilizando otro circuito que responde a esas mismas ecuaciones, pero en el cual no hay acoplamiento magnético. Este circuito se denomina equivalente en "T" del anterior, y si aplicamos la transformación estrella-triángulo obtenemos el equivalente en "". Aquí debe notarse que si bien matemáticamente los circuitos se comportan en forma equivalente hay diferencias que pueden no ser aceptables circuitalmente.

- -

+ +

E1 E2

I1 I2

jL1 jL2

+

-

+

- jMI2 jMI1

jM

j(L1-M) j(L2-M)

I1 I2

E1 E2

+ +

- -

I1

E1

+

-

I2

E2

+

-

L1L2-M2

(L2-M) j

L1L2-M2

M j

L1L2-M2

(L1-M) j


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La primera de las observaciones es referida a que establece un punto en común para ambas secciones, es decir que pone a las dos partes a un mismo potencial de referencia, una de las ventajas del acoplamiento magnético es aislarlas en ese aspecto. La segunda está en la posibilidad que resulten inductancias negativas como consecuencia de los cálculos, esto no es realizable físicamente. Se podría pensar que una inductancia negativa puede ser reemplazada por un capacitor, esto es así porque la reactancia capacitiva es negativa, no obstante el reemplazo será válido para una frecuencia única ya que la reactancia de una bobina varía directamente con la frecuencia y la del capacitor en forma inversa. No obstante lo anterior estas transformaciones se utilizan en muchos procedimientos de cálculo para simular los acoplamientos magnéticos. VIII - A.6 - Algunos ejemplos de montajes. Consideremos dos bobinas en serie acopladas entre sí como en el siguiente circuito: Con los generadores dependientes: Y analíticamente: E1 = jL1I1 + jM I1 + jL2I1 + jM I1 = = jI1(L1 + L2 + 2M)

-

+

E1

I1

jL1

jM

jL2

-

jL2

jMI1

+

-

+

E1

I1

jL1

+

- jMI1


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E1/jI1 = Leq = L1 + L2 + 2M Ahora invirtamos la bobina L2: Con los generadores dependientes: Y analíticamente: E1 = jL1I1 - jM I1 - jM I1 + jL2I1 = = jI1(L1 + L2 - 2M) E1/jI1 = Leq = L1 + L2 - 2M Es decir que se invierte el signo del efecto del acoplamiento. Este resultado permite obtener el valor del coeficiente de inductancia mutua por medición. Si ahora tenemos dos bobinas acopladas con una de ellas en cortocircuito será:

-

+

E1

I1

jL1

jM

jL2

-

jL2

jMI1

+ -

+

E1

I1

jL1

+ - jMI1

-

+

E1

I1 I2

jL1 jL2

jM


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Con los generadores dependientes: Y analíticamente: E1 = jL1 I1 - jM I2 #1 0 = jM I1 - jL1 I2 #2 De #2 obtenemos: jM I1 = jL1 I2 ==> I2 = jM I1/jL1 = MI1/L2 Reemplazando en #1: E1 = jL1 I1 - jM MI1/L2 E1/jL1 = Leq = (L1L2 - M2)/L2 El resultado es que se reduce el valor de la inductancia por efecto del acoplamiento. Este hecho, generalmente no deseado, es lo que se produce cuando acercamos un blindaje, o una cubierta conductora, a las proximidades de una bobina (el material conductor conforma espiras elementales en cortocircuito); pero también se aprovecha para ajustar, reduciendo, el valor de una inductancia utilizando como núcleo un material conductor no ferromagnético (aluminio, cobre, plata). VIII - A.7 - Coeficientes de acoplamiento y de dispersión. Analizando el caso anterior podemos expresar la potencia instantánea desarrollada en el circuito, en el dominio del tiempo es:

11

eq idtdi

Liep

El trabajo será entonces:

t

0

21eq

t

01

1eq

t

0iL

21

dtidtdi

LdtieW

-

+

E1

I1 I2

jL1 jL2

jMI1

+

- +

- jMI2


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Siendo un circuito pasivo el trabajo no puede ser negativo, tendríamos un generador, por lo que la inductancia equivalente debe ser positiva. Esta condición establece un valor máximo para el coeficiente de inductancia mutua, siendo el mínimo igual a cero:

Leq = (L1L2 - M2)/L2 0 ==> 21LL M El acoplamiento puede ser expresado en forma más cualitativa como la relación del valor actual de inductancia mutua al máximo posible, esta relación se denomina coeficiente de acoplamiento, que es adimensional, y se expresa como:

21LL

Mk donde 1 k 0

Este factor k puede también definirse como la fracción del flujo total producido por una de las bobinas que enlaza a la otra, es decir que: k = 12/1 = 21/2 Donde también 1 k 0 ya que el flujo concatenado no puede ser mayor que el flujo total producido. Conforme a lo visto en el punto A.1 el coeficiente M se puede expresar en función de las autoinducciones de la forma:

2

21

1

122

2

21

1

12

2

211

1

1222

i

N

i

Nk

i

kN

i

kN

i

N

i

NM

donde podemos sustituir:

1

111 i

NL

y

2

222 i

NL

obteniendo:

2122 LLkM de donde

21LL

Mk

La inductancia equivalente puede expresarse como: Leq = L1 con = 1 - M2/L1L2 = 1 - k2 Este valor (gamma) también adimensional y comprendido entre 0 y 1, recibe el nombre de coeficiente de dispersión, y expresa cuanto del flujo total generado en una bobina no concatena a la otra.


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VIII - A.8 - Impedancia reflejada. Analicemos el circuito siguiente: Con los generadores dependientes: Y analíticamente: E1 = jL1 I1 - jM I2 0 = - jM I1 + (jL1+ZC)I2 Resolviendo por Cramer resulta en:

22C21

C211 MZLjLj

ZLjEI

La impedancia vista por E1 es:

C2

22

11

11 ZLj

MLj

IE

Z

El primer término es la autoimpedancia de la malla primaria y el divisor del segundo término es la autoimpedancia de la malla secundaria, con lo que podemos escribir:

refl1122

22

111 ZZZM

ZZ

La impedancia resulta ser la suma de la propia de la malla primaria más la llamada impedancia reflejada de la malla secundaria sobre la primaria.

-

+

E1

I1 I2

jL1 jL2

jM

ZC

-

+

E1

I1 I2

jL1 jL2

jMI1

+

- +

- jMI2

ZC


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Supongamos ahora que la impedancia de carga está compuesta por una componente resistiva y otra reactiva inductiva. Si ZC = RC + jLC resulta:

2CC

22

refl LLjRM

Z

2

T22

C

T22

2T

22C

C22

LRLM

jLR

RM

Que resulta tener parte reactiva negativa. Esta componente no representa un capacitor por cuanto no depende inversamente de la frecuencia, sino una inductancia negativa. Esta propiedad de modificarse tanto la parte resistiva como la reactiva (principalmente el cambio de signo) permite la adaptación de impedancia para lograr la máxima transferencia de energía. Recordemos que se establecía que las impedancias debían ser complejas conjugadas y la mayoría de las cargas eran inductivas. VIII - A.9 - Ejemplos de cálculo. Problema 1: Por el arrollamiento nº1 de un par de bobinas acopladas circula una corriente de 5 amperios y los flujos correspondientes 11 y 12 son 20.000 y 40.000 maxwell, respectivamente. Si el número de espiras es N1 = 500 y N2 = 1500, hallar L1, L2, M y k. El flujo total es: 1 = 11 + 12 = 20.000 + 40.000 = 60.000 maxwell = 6 · 10-4 weber La autoinducción en la bobina nº1 es:

1

111 i

NL

= 500(6 · 10-4)/5 = 0,06 Hy

El coeficiente de acoplamiento es: k = 12/1 = 40.000/60.000 = 0,667 La inducción mutua es: M = N212/I1 = 1500(4 · 10-4)/5 = 0,12 Hy

Como 21LLkM se deduce que: L2 = M2/k2L1 = 0,539 Hy Problema 2: El coeficiente de acoplo de dos bobinas, L1 = 0,8 henrios y L2 = 0,2 henrios, es K = 0,9. Hallar la inducción mutua M y la relación de espiras N1/N2. La inducción mutua es:

Hy36,0)2,0(8,09,0LLkM 21 Tenemos que: M = N212/i1 = N2k1/i1 = k(N2/N1)(N1k1/i1) = k(N2/N1)L1 De donde: N2/N1 = kL1/M = 0,9(0,8)/0,36 = 2


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Problema 3: Sea el circuito donde: e(t) = 10 sen(30t + 15º) L1 = 8Hy L2 = 2Hy k = 0.7 C1 = 333F C2 = 667F R1 = R2 = R3 = 100Ω a) Determinar el coeficiente de inductancia mutua:

.Hy8.22·87.02L·1LkM2L·1L

Mk

b) Pasar al dominio de la frecuencia = 30pps: E = 10 15º = 9.659 + j2.588 voltios. XL1 = ·L1 = 30·8 = 240 Ω XL2 = ·L2 = 30·2 = 60 Ω XM = ·M = 30·2.8 = 84 Ω XC1 = (·C1)-1 = (30·333·10-6)-1 = 100 Ω XC2 = (·C2)-1 = (30·667·10-6)-1 = 50 Ω

R1

R2 R3

L1 L2

C1

C2 e(t)

+

-

k

100 j84

j60

-j100

-j50

+

-

10 15º

100

100

j240


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c) Circuito equivalente con generadores: d) Aplicar el método de Maxwell: (R1 + jXL1 + R2 - jXC1)·I1 - (R2)·I2 = E + jXM·I2 -(R2)·I1 + (jXL2 - jXC1 + R3 + R2)·I2 = jXM·I1 (R1 + jXL1 + R2 - jXC1)·I1 - (R2 + jXM)·I2 = E -(R2 + jXM)·I1 + (jXL2 - jXC1 + R3 + R2)·I2 = 0 Reemplazando valores: (100 + j240 + 100 - j100)I1 - (100 + j84)I2 = 9.66 + j2.59 - (100 + j84)I1 + (j60 - j50 + 100 + 100)I2 = 0 (200 + j140)I1 - (100 + j84)I2 = 9.66 + j2.59 - (100 + j84)I1 + (200 + j10)I2 = 0 Resolviendo obtenemos que: I1 = 0.0527 -2.445º = 0.05265 - j0.00225 Amp. I2 = 0.0344 34.724º = 0.0283 + j0.0196 Amp. Volviendo al dominio del tiempo tendremos que: i1(t) = 0.05265 sen(30t - 2.445º) Amp. i2(t) = 0.0344 sen(30t + 34.724º) Amp.

100

100

100

j240 j60

-j50 + -

10 15º

-j100

I1

100

j84·I2

+

+

-

- j84·I1

I2


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Problema 4: Determinar el equivalente en "T" del circuito donde: e(t) = 10 sen(30t + 15º) L1 = 8Hy L2 = 2Hy k = 0.7 C1 = 333F C2 = 667F R1 = R2 = R3 = 100Ω Como el circuito es el mismo que el problema anterior podemos tomar el sistema de ecuaciones de equilibrio al que habíamos llegado: (200 + j140)I1 - (100 + j84)I2 = 9.66 + j2.59 - (100 + j84)I1 + (200 + j10)I2 = 0 Si sintetizáramos el sistema de ecuaciones como un circuito de dos mallas sin acoplamiento obtendríamos: Donde: Za = (200 + j140)-(100 + j84)= (100 + j56) Zb = (200 + j10)-(100 + j84)= (100 - j74) Zc = 100 + j84 Los componentes serán, si consideramos la frecuencia angular dada: Za = Ra + jLa luego La = 56/30 = 1,8667 Hy Zb = Rb + jLb luego Lb = -74/30 = -2,4667 Hy o Zb = Rb - j(1/Cb) luego Cb = 1/(74·30) = 450,45 F Zc = Rc + jLc luego Lc = 84/30 = 2,8 Hy Podemos también reemplazar sólo el montaje de las dos inductancias acopladas por su equivalente en "T" o en "" con lo que tenemos dos posibilidades conforme a lo visto anteriormente. En este caso no hay problema desde el punto de vista de la conductividad entre los dos sectores ya que está unidos en el circuito original,

R1

R2 R3

L1 L2

C1

C2 e(t)

+

-

k

Za Zb

Zc

+

E

-


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sin embargo si aparecen inductancias negativas que podrían ser suplidas por capacitores sólo en el caso de trabajar en una frecuencia única.

L1 L2

k L1-M L2-M

M L1L2-M2 L2-M

L1L2-M2 L1-M

L1L2-M2 M

8 2

2,8 5,2 -0,8

2,8 -10,2 1,569

2,914


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NOTAS Y COMENTARIOS


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Parte B: EL TRANSFORMADOR IDEAL VIII - B.1 - Ecuaciones de equilibrio. El transformador es un dispositivo que utiliza el acoplamiento electromagnético para transferir energía de corrientes variables modificando los valores de tensiones y corrientes entre el primario y el secundario de forma de ajustarlos a los requerimientos. Dicha función la cumple sin generar energía y normalmente con muy baja pérdida. Los transformadores pueden ser de distintos tipos; desde los de potencia: que trabajan con la energía de las redes de distribución, ya sea en alta, media o baja tensión, incluso los pequeños que alimentan los aparatos domésticos; los de audiofrecuencias, en los conocidos amplificadores; a los de propósitos especiales como los sintonizados en radiofrecuencias que cumplen funciones de filtros y adaptadores de impedancias. Veremos el principio de funcionamiento y las propiedades como elemento circuital ideal, no entraremos al diseño o cálculo de los mismos. Sea el circuito: Para comenzar estableceremos las condiciones que se deben cumplir para ser un transformador ideal: 1) El acoplamiento es unitario: k = 1. 2) El medio magnético es homogéneo, lineal y bilateral. 3) No hay pérdidas ni por resistencia en los conductores, ni por histéresis o corrientes de Foucault en el núcleo. 4) La capacidad distribuida del arrollamiento es despreciable. Dadas esas condiciones se dan las que siguen: 5) En el primario, conforme con la 2ª ley de Kirchhoff, será: V1 + E1 = 0 6) En vacío, es decir sin carga en el secundario, I2 = 0, resulta que el flujo es igual a la fuerza magnetomotriz sobre la reluctancia. o sea que: 0 = FMM/R = N1I0/ R 7) En carga, con I2 no igual a cero resulta: 1 = FMM/R = (N1I1 + N2I2)/ R

- -

+ +

-e1 e2

i1 i2

N1 N2

M

L1 L2

+

v1

-

v2

+

-

ZC


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La tensión inducida depende del flujo magnético, por lo cual para que se cumpla la condición 4, los flujos en vacío y en carga deben ser iguales, lo que puede expresarse como que: N1I0 = N1I1 + N2I2 Siempre que, como se indica en la condición 2, el circuito magnético sea lineal y por lo tanto la reluctancia constante. Esta última ecuación llamada de equilibrio magnético del transformador puede ponerse:

210201 II)In1

(II

Expresión que establece la ecuación de equilibrio eléctrico del transformador, y donde n indica la relación de transformación dada por la relación de espiras N1/N2, que (por la ley de Faraday-Lenz) define la relación entre las tensiones inducidas e1/e2, y que también se indica por 1/a. En la segunda malla la fuerza electromotriz inducida e2 es la funciona como generador y por lo tanto, dada la condición de ideal, es igual a v2, y tendremos que:

C

C2

CC

22 R

Larctgy

LjRV

I

Teniendo en cuenta que las tensiones inducidas son producidas por el flujo, y que éste es generado por la corriente I0, llamada corriente de magnetización, podemos trazar el siguiente diagrama fasorial del transformador en carga:

V1 = -E1

E1

V2 = E2

-I2 n

I2 n

I2

I1

I0

2

1


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En este diagrama vemos que los ángulos de fase de primario 1 y del secundario 2 no son iguales, pero que las potencias en el primario y secundario deben ser iguales y distintas de cero por cuanto no hay, en el transformador mismo, ningún elemento disipativo, y sólo hay disipación en la componente resistiva de la carga. En general la corriente de magnetización, I0, es pequeña por lo que, en el transformador en carga, puede despreciarse con lo que la ecuación de equilibrio eléctrico del transformador quedará:

an1

I

II

N

NI

2

12

1

21

Al desaparecer la componente I0 el ángulo de fase del primario 1 queda igual al del secundario 2. Por otra parte, como dijimos, es:

a1

nE

EE

N

NE

2

12

2

11

Es decir que la relación entre las tensiones es recíproca a la relación entre las corrientes, condición esta intuitivamente lógica si esperamos que las potencias sean iguales. VIII - B.2 - Admitancia e impedancia de entrada. Reveamos el concepto de impedancia de entrada, teníamos que:

C2

22

11

11 ZLj

MLj

IE

Z

La admitancia será la recíproca:

22

C21

C2

11 MZLjLj

ZLj

Z1

Y

Para acoplamiento unitario como tenemos en el transformador, k=1, es M2 = L1L2 luego nos queda:

1C1

2

212

C1212

C21 Lj

1ZL

L

LLZLjLL

ZLjY

Pero sabemos que:

111

CC

222

21

2

1 YLj1

;YZ1

;nN

N

L

L


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Por lo tanto tendremos que:

C2111 Yn1

YY

En el caso práctico con Y11 --> 0 resulta que:

C2

C21 YaYn1

Y

VIII - B.3 - Circuito equivalente en "T". Si consideramos el transformador dividido en dos circuitos podríamos poner: La malla primaria La malla secundaria Si conectamos un transformador ideal en los terminales c-d con relación de espiras n:1 para obtener E2, y consiguientemente I2, deberemos aplicarle una tensión -E1 = nE2. De esa forma obtendríamos una corriente de entrada I21 = -I2/n lo que permitirá conectarlo a los terminales a-b de la malla primaria y obtener I1 = I0 + I21: Podemos ahora llevar la impedancia de carga al primario eliminando el transformador, aplicando el concepto ya visto:

C2111 Yn1

YY

a I0

jL1

+

- ~ V1=-E1

b -

+

E2=V2

I2

ZC

c

d

-

+

-E1

I21

ideal n:1

k=1

a I0

jL1

+

- ~ V1=-E1

b -

+

E2=V2

I2

ZC

c

d

I1


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Y obtenemos el circuito equivalente en "T" del transformador: Donde si despreciamos la corriente I0, resulta en una única malla equivalente:

+

- ~ V1=nE2

n2ZC

I1=I2/n

I0

jL1

+

- ~ V1

-

+

E21=nE2

I21

n2ZC

I1


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NOTAS Y COMENTARIOS


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Parte C: LA BOBINA DE REACTANCIA VIII - C.1 - Flujo magnético y fuerza electromotriz

inducida en un inductor con núcleo de hierro. Los inductores y transformadores que funcionan con frecuencias industriales (50 Hertz) y más altas (20 kHz) están generalmente provistos de núcleos ferromagnéticos, esto se hace con el fin de aumentar la inductancia de las bobinas reduciendo con ello la corriente de vacío; de confinar el flujo magnético minimizando el acoplamiento con otros elementos próximos; y reduciendo el tamaño físico. Las desventajas principales son el aumento de las pérdidas y la no linealidad. Las pérdidas totales comprenden la pérdida por resistencia efectiva, y las debidas a la histéresis y corrientes de Foucault (o corrientes de Eddy). La resistencia efectiva a corriente alterna excede a la de continua debido al efecto pelicular y otros. Cuando se mide la impedancia de un reactor la parte real, llamada resistencia aparente, es mayor que la efectiva del bobinado si hay pérdidas en el hierro. La resistencia efectiva tiene en cuenta la del bobinado solamente, la aparente comprende todas las pérdidas. El aumento de la frecuencia hace menos notable las ventajas del hierro, el aumento de las pérdidas puede hacer excesiva la resistencia aparente y el efecto de pantalla de las corrientes de Eddy reducen la permeabilidad del núcleo decreciendo la inductancia aparente. Los núcleos se fabrican con chapas de hierro silicio cuyo espesor varía de 0,25 a 0,5 mm para las frecuencias industriales, y de 0,02 a 0,05 mm para las más altas (audio); esta laminación se hace a los efectos de reducir las pérdidas por corrientes de Foucault. Para frecuencias más elevadas es necesario utilizar núcleos de materiales magnetodieléctricos (ferrites) o desistir de su uso, para esas frecuencias la reactancia es elevada con bajos valores de inductancia. La bobina con núcleo de hierro por la cual circula una corriente alterna tiene un comportamiento mucho más complejo que el caso ideal visto en el Capítulo I y siguientes. Ante todo la inductancia no es constante ya que varía con el cambio del valor de la corriente, el flujo magnético en el hierro no es proporcional a la corriente de imantación. Esta circunstancia hace difícil el uso de la expresión e = L(di/dt) en el cálculo de la corriente y obliga al uso de la relación e = -N(d/dt) donde N representa el número de espiras y el flujo magnético creado por la bobina. Esto implica también que al aplicar una tensión senoidal a la bobina la corriente que se establece tiene una forma no senoidal. Por otra parte debido a las pérdidas de energía por histéresis y corrientes de Foucault el desfasaje entre la tensión y la corriente, aún en el caso de resistencia despreciable de la bobina, resulta menor de 90º. Supondremos en primera instancia que las pérdidas, tanto en el cobre como en el hierro, son insignificantes.


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Según la Ley de Ohm se tiene que:

eRiuqueoReu

i

La tensión u aplicada a la bobina, en este caso, resulta en cualquier instante igual en valor y opuesta en signo a la f.e.m. inducida e que, por consiguiente, será de forma senoidal si lo es la tensión aplicada. Suponiendo que: tsenEe MAX hallaremos la relación que existe entre el valor eficaz de la f.e.m. E y la amplitud del flujo magnético MAX.

tsenEdtd

N MAX

o dttsenN2E

d

de donde

t

0dttsen

N2E

luego KtcosNf2

2E

donde K representa la constante de integración. Pero alimentando la bobina con una corriente proveniente de una tensión alterna, el flujo magnético no puede tener (una vez establecido el régimen) una componente contínua, por consiguiente K = 0, y con ello resulta que: tcosMAX

con Nf2

EMAX

Por consiguiente, al aplicar una tensión senoidal a los terminales de la bobina y siendo R despreciable, el flujo en el núcleo de la bobina varía senoidalmente. Despejando el valor E de la última fórmula resulta en: MAXNf44,4E

U N


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relación que se la denomina algunas veces "ecuación de la f.e.m. del transformador". VIII - C.2 - Corriente de imantación. Prescindiendo de las pérdidas es fácil establecer la relación entre el flujo y la corriente i que circula por la bobina, utilizando la función (i) que tiene el mismo carácter que la curva normal de imantación. Esta función está representada en la figura siguiente al lado de la curva de variación del flujo, representadas, a su vez, en función del tiempo. Con la ayuda de este gráfico auxiliar, conociendo el valor del flujo se determina punto a punto el valor de la corriente correspondiente, tal como se ha determinado en el gráfico siguiente. La curva obtenida se diferencia en forma sensible de la senoide debido a lo cual su valor eficaz ya no se calcula mediante la fórmula:

2

II MAX

y debe determinarse según la más general:

max Emax=Umax

(t) e(t) u(t)

t

u

e

Curvas de las tensiones y del flujo en una bobina con núcleo de hierro sin pérdidas

i

i

t T/4 T/2 0 0

i

Construcción de la curva de corriente sin tener en cuenta las pérdidas.


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2

II MAX

en la cual se ha introducido el coeficiente de corrección =KA/√2, donde KA es el factor de amplitud. Cuanto más allá del codo de la curva de imantación se extiende el valor de MAX tanto más se diferencia la curva de corriente de la senoide y tanto mayor resulta el coeficiente . Si el núcleo está construido sin ranuras de ventilación y su sección S es constante en toda su longitud, entonces para un material dado el coeficiente depende solamente del valor máximo BMAX = MAX/S. La gráfica de la página siguiente es una curva para un material particular, chapa para dínamos, y en ella se aprecia que para valores de inducción máxima inferiores a 10.000 Gauss el coeficiente de corrección es tan próximo a uno que puede prescindirse de él. En los cálculos la corriente no senoidal se reemplaza generalmente por una senoidal equivalente de igual valor eficaz. Esto permite usar, admitiendo una cierta inexactitud, los diagramas vectoriales, los que tienen sentido riguroso sólo para señales senoidales. En ausencia de pérdidas esta corriente equivalente debe retrasarse 90º en fase con respecto a la tensión aplicada a la bobina, coincidiendo con el flujo magnético. VIII - C.3 - Influencia de la histéresis sobre la

corriente en la bobina. La relación entre la corriente i y el flujo magnético en presencia de la histéresis no se expresa ya mediante la curva de imantación sino por medio del lazo de histéresis, debido a ello el trazo de la curva representativa de la corriente tendrá, según aumente o disminuya el flujo una forma distinta. Al aumentar el flujo la corriente sigue por encima y al disminuir pasa por abajo de la curva de la corriente trazada sin tener en cuenta la histéresis, sin embargo el valor máximo de la corriente permanece invariable.

BMAX [kGauss]

1,5

1,4

1,3

1,2

1,1

1,0 10 12 14

en función de BMAX para chapa para dínamos


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A partir de la curva i es posible calcular el valor eficaz I de la corriente y considerarlo como una corriente senoidal equivalente. No obstante esta corriente tiene que estar retrasada con respecto al la tensión no en 90º sino en un ángulo menor, ya que la histéresis genera pérdidas cuyo valor se expresa según una escala definida mediante el área encerrada por el lazo de histéresis. Esta área es proporcional a las pérdidas que tienen lugar en la unidad de volumen del material durante un ciclo completo de imantación. Para usar este método de cálculo de pérdidas es necesario determinar previamente por vía experimental el lazo de histéresis para el material y para el BMAX a utilizar en la aplicación. La potencia activa de pérdidas debidas a la histéresis puede calcularse en forma más simple según la fórmula empírica siguiente: a

MAXBfGhPh en la que: BMAX representa la amplitud de la inducción magnética; f la frecuencia de trabajo; G el peso del núcleo; h un coeficiente experimental para el material; y a un exponente que puede tomarse igual a 2 para BMAX ≥ 10.000 Gauss. Conociendo el valor de Ph y teniendo en cuenta que: Ph = U · I · cos = E · I · cos hallamos la expresión para el coseno : cos = Ph /(E·I)

i

i

t T/4

T/2

0 0

i

Construcción de la curva de corriente teniendo en cuenta la histéresis.

T/2


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Conociendo el valor del ángulo se puede descomponer el vector I en dos componentes, la activa: Ih = I cos = Ph/E y la reactiva: I = I sen = (I2 - Ih2)1/2 Además si, como ocurre más frecuentemente, la componente activa resulta mucho menor que la corriente resultante I, la componente de imantación I difiere poco de la resultante y puede calcularse mediante una fórmula idéntica a la utilizada antes:

2

II MAX

VIII - C.4 - Influencia de las corrientes de Foucault

sobre la corriente en la bobina. La componente activa de pérdidas no sólo es debida al fenómeno de histéresis, sino también a las pérdidas generadas por las corrientes parásitas o de Foucault. Durante la variación periódica del flujo magnético se originan f.e.m. en las espiras del arrollamiento que envuelve al núcleo, pero también en todos los circuitos que puedan imaginarse en la masa misma del núcleo, si tales circuitos concatenan siquiera parte del flujo magnético alterno. Puesto que tales circuitos son cerrados se originan corrientes llamadas de "remolino" o de Foucault. Estas corrientes calientan al núcleo y deben tenerse en cuenta porque la temperatura a la que puede llegar el mismo puede destruir el dispositivo, simultáneamente aumentan la corriente en el arrollamiento de la bobina con lo que se compensa el gasto de energía perdida como calor en el núcleo. De esta manera las corrientes de Foucault aumentan las pérdidas de la bobina.

Lmed

h

dx

b

d

Componentes de Foucault para el núcleo


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Para reducirlas los núcleos de los transformadores y de los inductores no se construyen macizos sino que se arman con chapas de hierro aisladas entre sí por papel de arroz o lacas. De esta maneras los circuitos se cierran dentro de cada chapa reduciéndose notablemente las pérdidas de energía. La potencia activa debidas a las corrientes de Foucault se calcula con una fórmula empírica similar a la utilizada con la histéresis, pero dependiendo del cuadrado de la frecuencia. 2

MAX2 BfGvPv

donde v representa un coeficiente constante para chapas de material y espesor definidos y que varía proporcionalmente con el cuadrado del espesor, si este cambia. Para reducir más las perdidas se introduce en la composición del hierro entre un 0,5 y un 4,5 por ciento de silicio con lo que se reduce la conductividad del hierro. (No puede ser "silicio puro" como anuncian algunas propagandas ya que el silicio no es material magnético). VIII - C.5 - Pérdidas magnéticas totales en la bobina. Sumando las pérdidas debidas a la histéresis con las debidas a las corrientes de Foucault obtenemos las pérdidas magnéticas totales llamadas pérdidas en el hierro: Pac = Ph + Pv Resulta más conveniente calcular las pérdidas totales por medio de otra fórmula empírica:

3.1n

4MAX

10 50f

10B

pGPac

donde:

10

15

pp

log69.5n

y p10 y p15 representan las pérdidas por cada kilo del material y espesor determinados para una inducción máxima de 10.000 y 15.000 gauss respectivamente.

Pérdidas específicas para algunos materiales para f=50 Hz.

Tipo Espesor en milímetros

Pérdidas específicas en W/kg p10 p15

E1 0,5 3,6 8,6 E41 0,5 1,6 3,6 E41 0,35 1,3 3,6 E42 0,5 1,45 3,3 E42 0,35 1,2 2,9


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Esta fórmula da resultados bastante exactos para inducciones entre 5.000 y 16.000 gauss, para una frecuencia de 50 hertz. Conociendo las pérdidas totales hallamos la componente activa de la corriente como sigue: Iac = Pac/E La figura siguiente representa el diagrama vectorial de una bobina con núcleo de hierro sin tener en cuenta la resistencia del arrollamiento. El procedimiento para su trazado es el siguiente: Partimos trazando el vector de tensión aplicada U en cualquier posición, y perpendicular a él, en atraso, el de flujo magnético ; a su vez el vector E, fuerza electromotriz inducida, igual al vector U en valor, resulta atrasado 90º con respecto al flujo que la induce . La componente magnetizante de la corriente I coincide en fase con el flujo y la componente activa Iac coincide en fase con U. Sumando geométricamente estas dos componentes obtenemos la corriente senoidal equivalente:

22 IacII

que se atrasa en fase un ángulo respecto a la tensión aplicada, U. En alta frecuencia es necesario, además, tener en cuenta un efecto que resulta imperceptible en bajas frecuencias: el "efecto magnético superficial". Este fenómeno consiste que las corrientes de Foucault, conforme a la ley de Lenz, ejercen un efecto de desimantación sobre las chapas de hierro de modo que la inducción magnética no se distribuye uniformemente sobre toda la sección de la chapa sino que disminuye en la dirección que va de la superficie al interior de la chapa en concordancia con los flujos concatenados por las distintas capas de hierro. Esta irregularidad de la distribución

Diagrama vectorial de la bobina con núcleo de hierro sin tener en cuenta la dispersión ni la resistencia

del arrollamiento.

U

0

I

I

Iac

V


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de la inducción crece con la frecuencia. (Corresponde al efecto pelicular de la corriente en los conductores en alta frecuencia). VIII - C.6 - Diagrama vectorial completo de la bobina. Hemos evaluado el efecto del hierro del núcleo de la bobina, ahora tendremos en cuenta, además, dos circunstancias adicionales: 1) que el arrollamiento de la bobina posee una resistencia propia R, que puede ser no despreciable, y 2) que, además del flujo magnético fundamental cuyas líneas se cierran en el núcleo de hierro, existe el flujo llamado de dispersión, d, cuyas líneas atraviesan parcialmente el espacio adyacente al mismo. Debido a la existencia del flujo de dispersión la f.e.m. se calcula con la fórmula siguiente:

dtdd

Ndtd

Ndt

ddNe

por consiguiente en la expresión de la tensión aplicada debe incluirse la componente:

dtdNd

dtdd

Nud

El flujo de dispersión, ya que no se cierra a través de un medio ferromagnético, no origina pérdidas complementarias de energía, es proporcional a la corriente de la bobina y coincide en fase con esta corriente, de modo que se tiene que iLddN luego la componente de dicha tensión se expresa:

dtdi

Lddtdd

Nud

donde Ld representa la "inductancia de dispersión" de la bobina. Esta componente de tensión, llamada generalmente "caída inductiva de tensión" , se adelanta 90º en fase respecto de la corriente y tiene como valor eficaz: XdILdIUd donde Xd es la reactancia de dispersión. De esta manera para tener en cuenta la resistencia del arrollamiento y el flujo de dispersión es necesario introducir en el esquema de la bobina de reactancia un resistor de resistencia R y una bobina de reactancia Xd.


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En ciertos estudios la bobina con núcleo de hierro puede ser substituida por un sistema equivalente compuesto de resistencias e inductancias ideales. Este sistema representa la transformación posterior del indicado arriba. En el nuevo se conservan la resistencia R y la inductancia de dispersión Ld; la bobina en sí, sin resistencia ni dispersión, se reemplaza con una resistencia Rac y la inductancia Lac de forma de que, dada la tensión U' se conserven la corriente I y el ángulo de fase . Con esto las pérdidas magnéticas Pac de la bobina real se reemplazan con las eléctricas I2·Rac que tienen lugar en la resistencia Rac. La potencia activa disipada en la bobina se compone de las pérdidas en el hierro, o magnéticas, Pac y las pérdidas en el cobre, o eléctricas, Pcu = I2·R, de modo que tendremos: P = Pac + Pcu Para cumplir con las condiciones señaladas es necesario conservar las siguientes relaciones:

I

'ULacRacZ 22 y

tg

Rac

Lac

de estas se obtienen fácilmente:

U N

Xd

U' I

R

Circuito de la bobina teniendo en cuenta la resistencia del arrollamiento y el flujo de dispersión.

Circuito equivalente de la bobina teniendo en cuenta la resistencia del arrollamiento y el flujo de dispersión.

U'

R I

U

Rac

Ld

Lac


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22 IPac

I

cosI'Ucos

I'U

cosZRac

y también:

senI'U

senZLac

La tensión U entre los terminales de la bobina real será igual a la tensión entre los terminales del circuito recién formado, es decir igual a la suma geométrica de la tensión U' entre los terminales de la bobina sin considerar los dos últimos efectos, para la cual es válido el diagrama vectorial anterior, y la caída de tensión activa I·R, que coincide en fase con la corriente I, más la caída de tensión reactiva I·Xd, que se halla adelantada 90º con respecto a I. El diagrama vectorial queda entonces completado. Como veremos en el caso del transformador el circuito compuesto de Rac y Lac en serie se lo reemplaza por un montaje equivalente en paralelo porque se estima que es más representativo. Desde ya que los valores de G0 y de B0 son tales que se cumple con las condiciones vistas recientemente, para ello es:

Z1

'U

IBGY 20

200 y tg

GB

0

0

U'=-E

0

I

I

Iac

E

IXd

IR U

Diagrama vectorial completo de una bobina de reactancia considerando todos los efectos.

jB0 G0

Im Ih I U'


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En el gráfico mostramos otra forma de indicar las componentes de las corrientes usando m en lugar de y h en lugar de ac. Como han visto en otros textos la nomenclatura no está universalmente establecida y, para acostumbrarnos, tampoco adoptaremos alguna en particular, lo importante son los conceptos y no los símbolos, mientras nos entendamos.


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Parte D: EL TRANSFORMADOR REAL VIII - D.1 - Circuito equivalente y diagrama fasorial. Para lograr en un transformador las condiciones ideales de relación de tensión constante para el rango de frecuencias de utilización el coeficiente de acoplamiento debe ser muy próximo a la unidad, y la inductancia del primario debe ser elevada para un buen comportamiento a baja carga. Esto puede lograrse con un núcleo ferromagnético, si aceptamos la consiguiente alinealidad y las pérdidas. El núcleo reduce la corriente en vacío en transformadores de potencia a un valor razonable y el acoplamiento magnético elevado mejora la regulación de tensión bajo carga. Como vimos con la bobina de reactancia, las pérdidas en el núcleo tienen importante efecto en la eficiencia y en la elevación de la temperatura del transformador. La alinealidad hace que la corriente de excitación no sea senoidal aún cuando el flujo varíe senoidalmente; las armónicas producidas pueden acarrear serios problemas en ciertos casos. Veremos el comportamiento de un transformador real. Tendremos en consideración las pérdidas en los bobinados y en el hierro, que hemos analizado con cierto detalle, para saber que es lo que ocurre cuando utilizamos un dispositivo de este tipo, y prever los medios para compensar, si es necesario, las diferencias con uno ideal. Se tendrán en consideración los siguientes hechos: a) La capacidad distribuida será despreciada ya que su importancia es grande en transitorios y en altas frecuencias pero escasa en baja frecuencia. b) La resistencia está afectada por: el efecto Skin (pelicular) de magnetismo dentro del conductor; el efecto de proximidad de magnetismo por corrientes en los conductores vecinos. Ambos aumentan con la frecuencia y el tamaño de los conductores. c) Las pérdidas parásitas por carga: aumentan las pérdidas en el hierro con la corriente de carga debido al aumento de los flujos de dispersión con el aumento de la carga sin aumento del flujo principal, varían con el cuadrado de las corrientes en los bobinados. Simbólicamente un transformador con núcleo ferromagnético se indica así: En el transformador (trafo) ideal teníamos que la corriente en vacío era I0 = -E1/jX0. En el real aparecen las pérdidas en el núcleo y en el devanado por lo que el trafo en vacío se comportará como una bobina de reactancia, es decir que la autoimpedancia de la malla primaria no será inductiva pura, y entonces será I0 = -E1/jZ0.

M

L1 N1

L2 N2


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Si Z0 = R0 + jX0 será I0 = -E1(G0 + jB0) e I0 = -E1G0 + jE1B0 = Ih + Im La corriente no es inductiva pura ya que tiene una componente de pérdidas en el hierro Ih además de la reactiva magnetizante Im. Ahora tendremos que: |I0| = (Ih2 + Im2)½ y 0 = arctg (Im/Ih) El circuito equivalente y el diagrama fasorial del trafo en vacío resultan: Aquí el efecto de la resistencia del bobinado no es importante porque su valor es bajo y, además, la corriente es normalmente muy pequeña. Cuando el trafo está cargado la situación cambia. El circuito equivalente es, en primera instancia, el siguiente: Las ecuaciones de equilibrio en el dominio de la frecuencia son: V1 = I1R1 + jL1I1 + jMI2 0 = I2R2 + jL2I2 + jMI1 + I2ZC Además tenemos que el acoplamiento no es unitario, por ello es: 1 = 1d + 12 y 2 = 2d + 21

V1 = -E1

Ih Im I0

G0 jB0

+

-

V1=-E1

E1

I0 Ih

Im

0

M

ZC v1 v2

i1 i2 R1 R2

L1 L2

+

+

-

-


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L1 = N1 1/I1; L2 = N2 2/I2, M = N1 21/I2 = N2 12/I1 Suponemos además que el circuito magnético común tiene una reluctancia R0 y los dispersos encuentran R1d y R2d, con lo que resulta: 12 = N1 I1/ R0 ; 21 = N2 I2/ R0 ; 1d = N1 I1/ R1d y 2d = N2 I2/ R2d Y luego:

0RR

11N

IN

Ld1

2112d1

1

11

0RR

11N

IN

Ld2

2221d2

2

22

0

21NNM

R

Reemplazando en las ecuaciones de malla:

20

211

0d1

21111 I

NNjI

11NjIRV

RRR

C210

212

0d2

2222 ZII

NNjI

11NjIR0

RRR

Trabajando las ecuaciones:

0

221111

d1

21

111

ININNjI

NjIRV

RR

0

0111d111

INNjILjIR

R

1d11111d111 ELjRINjILjIR

C20

221122

d2

22

22 ZIININ

NjIN

jIR0RR

C20

0122d222 ZI

INNjILjIR

R

22d22222d222 VELjRINjILjIR En definitiva las ecuaciones eléctricas del trafo son: 11d1111 EIjXIRV 22d2222 VIjXIRE


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Que junto con la ecuación de equilibrio magnético: N1 I0 = N1 I1 + N2 I2 forman las tres ecuaciones características del transformador real. Estas ecuaciones dan la posibilidad de dibujar un circuito equivalente: Aquí se tiene en cuenta el flujo disperso en las inductancias de dispersión, luego el acoplamiento resulta unitario. Podemos entonces, teniendo en cuenta el trafo en vacío y el acoplamiento unitario, hacer el circuito equivalente que sigue: Aquí Lm = L1 - L1d es la inductancia de magnetización y Rh es la resistencia equivalente de pérdidas del núcleo. El diagrama fasorial completo es el que mostramos en la página siguiente.

M

ZC V1 E2

I1 I2 jX1d R2

+ +

- -

-E1

+

-

V2

+

-

R1 jX2d

-E1 V1

I1 jX1d

+

-

R1 n:1 ideal

ZC E2

I2 R2

+

- +

-

V2

+

-

jX2d

I0 Ih Im

Lm Rh

I21


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VIII - D.2 - Reducción a la malla primaria. Podemos hacer la reducción a la malla primaria: N1I0=N1I1+N2I2; I0=I1+(N2/N1)I2=I1+(-I21) y I1=I0+I21

Cd22

1

Cd22

22 ZLjR

n/E

ZLjR

EI

Cd22

212

ZLjR

n/E

n

I

luego

Cd22

21

21 ZLjR

n/EI

jX1dI1

RCI2

jXCI2 R2I2 jX2dI2

I2

V2

E2

E1

I1R1

-E1

V1

I1

I21=-I2/n

Ih

Im

I0

1

2


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Cd22

21

ZLjRn

E

o sea

1C1d221

121 ZLjR

EI

Expresión que sugiere un circuito equivalente: Teníamos que:

1C211C21

1012101 XXjRR

EYEIII

En la malla primaria: 111111 EIjXRIV

.eq1

1C211C210

111 ZI

XXjRR1

Y

1jXRI

Lo que sugiere el siguiente circuito: Equivalente en "T" del trafo real y que puede reducirse despreciando la corriente de excitación, I0.

R21

ZC1

jX21 I21

-E1

+

-

R21 jX21

RC1

R1

B0

jXC1

G0

jX1d I21

V21 V1

I1 I0 + +

- -

R21 jX21

RC1

R1

jXC1

jX1d

V21 V1

I1

+ +

- -


CAPÍTULO IX

SISTEMAS POLIFÁSICOS

Parte A: INTRODUCCIÓN Parte B: SISTEMAS TRIFÁSICOS EQUILIBRADOS Parte C: SISTEMAS TRIFÁSICOS DESEQUILIBRADOS




Teoría de los Circuitos I - Ing. Jorge M. Buccella - Capítulo IX

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ÍNDICE Parte A: INTRODUCCIÓN 3 A.1 Generalidades 3 A.2 Sistema monofásico 3 A.3 Sistema bifásico 4 A.4 Sistema tetrafásico 6 Parte B: SISTEMAS TRIFÁSICOS EQUILIBRADOS 9 B.1 Generación, conexiones y relaciones 9 B.2 Potencias en sistemas equilibrados 11 B.2.1 Método de los dos vatímetros 13 B.3 Componentes de sistemas simétricos 14 B.4 Propiedades de los sistemas de secuencia cero 16 B.5 Carga desequilibrada conectada en estrella 17 B.6 Ejemplos de cálculos 19 Parte C: SISTEMAS TRIFÁSICOS DESEQUILIBRADOS 23 C.1 Método de las componentes simétricas 23 C.2 Impedancias desequilibradas conectadas en estrella con neutro 25 C.3 Potencia en función de las componentes simétricas 27 C.4 Componentes simétricas en forma matricial 28 C.4.1 Potencia 29 C.4.2 Potencia de una red general 30 TOTAL: 32 páginas.


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IX - SISTEMAS POLIFÁSICOS

Parte A - INTRODUCCIÓN IX - A.1 - Generalidades. En los capítulos anteriores se han tratado redes más o menos complejas pero que disponen de fuentes de tensión y/o corriente de un par de terminales, que entregan energía continua o alternada con una sola fase. Este capítulo trata sistemas en los cuales los generadores, y las cargas presentan más de dos terminales. Estas fuentes de energía pueden entonces suministrar simultáneamente más de una fase para la misma frecuencia. Esto no implica estrictamente que sea necesario desarrollar métodos especiales para su tratamiento, sin embargo, en función de ser sistemas extensamente utilizados en todo el mundo para la generación y distribución de energía, se han desarrollado procedimientos particulares para su tratamiento. La justificación del uso de estos sistemas implica un concepto múltiple de economía y ventajas mecánicas y eléctricas. Esto ha generalizado al sistema trifásico y no se ha extendido a un mayor número de fases por cuanto la mejoría en el rendimiento no justifica el aumento en la complicación de los sistemas. La excepción está en los grandes rectificadores industriales donde se usan seis y doce fases, a partir del trifásico, para reducir la ondulación resultante del proceso. En la práctica, casi sin excepciones, se tendrán generadores que se pueden modelizar muy aproximadamente por fuentes ideales de tensión, eventualmente con una pequeña impedancia en serie; son muy raras las fuentes de corriente de este tipo. Resulta muy práctico el uso del doble subíndice para la notación de corrientes y tensiones ya que esto evita indicar sentidos y polaridades en los gráficos circuitales. IX - A.2 - Sistema monofásico. Para entrar en tema veremos la evolución de los circuitos empezando por el monofásico que representaremos así: La tensión en la carga, en este sistema bifilar, difiere de la del generador por la impedancia de las líneas, y la pérdida energética resulta igual a:

+

-

~ P

R

R

Eab Va'b'

Iaa' a a'

b b'


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Pperd = I2 (2R) Si a la carga la dividimos en dos (dividir la carga en dos significa que la impedancia de carga se duplica) y utilizamos dos generadores iguales al anterior podemos obtener una conexión trifilar: Si la carga está igualmente dividida en dos resultará que cada corriente de línea (Iaa' e Ib'b) será la mitad de la del circuito anterior y no habrá corriente por el conductor central (nn'). En estas condiciones resulta que: Pperd = (I/2)2 (2R1) Es decir que se puede obtener la misma eficiencia si cada conductor posee cuatro veces la resistencia del montaje bifilar, con esto se ahorraría cinco octavas partes de la cantidad de cobre. IX - A.3 - Sistema bifásico. La generación simple monofásica se obtenía, según vimos, por la rotación de una bobina en un campo magnético. Si agregamos otra bobina igual, pero en cuadratura (90º eléctricos) con la anterior, podemos generar dos tensiones iguales en amplitud y frecuencia pero sus fases estarán desplazadas 90º, obtenemos así un sistema bifásico.

~ P/2

R1

R1

Ean Va'n'

Iaa' a a'

~ P/2

R1

Enb Vn'b'

Ib'b

n n'

b b'

Z1

Z2

P1

P2

F1

F2


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A las dos tensiones las podemos utilizar en forma independiente con una conexión tetrafilar como en la figura anterior. De esta forma tendremos un mejor aprovechamiento de la máquina al ocupar mejor la estructura, y mejor rendimiento eléctrico que el sistema monofásico inicial, supuesto que los conductores tengan la misma resistencia. Si unimos los finales de ambas bobinas en un solo conductor no variaremos el esquema de tensiones y ahorraremos un conductor, obteniendo la llamada conexión trifilar: Ahora la corriente In'n será la suma vectorial de las otras dos:

2a2P1a1Pn'n III que, si las cargas son iguales, resultará en:

2a2P1a1Pn'n I2I2I

Si los tres conductores son iguales la pérdida total será: Pperd = 2R I2 + R (½I2) = R I2(2 + ½) = (5/2)R I2 mientras que en el tetrafilar resultaba igual a 4RI2. Si queremos igual caída de tensión en cada conductor deberemos reducir la resistencia de R3 a R1/√2. Siendo así, la caída de tensión para cada circuito resulta ser: = VP1a1 + Vn'n 2 = VP1a12 + Vn'n22VP1a1 Vn'n cos 45º

1a1P2

1a1P2

1a1P V85,122V2V2

(En el sistema tetrafilar era = 2 VP1a1).

Z1

Z2

P1

P2

F1

R2

F2

R1

R3

a2

a1

n' n

VP1a1

VP2a2

Vn'n 45º

45º


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IX - A.4 - Sistema tetrafásico. Si a cada una de las bobinas del generador bifásico las dividimos por dos podemos obtener un sistema de cuatro fases que podría alimentar a una carga dividida en cuatro secciones a través de una conexión de cinco conductores (pentafilar) obteniendo una mejora similar a la del sistema monofásico trifilar sobre el bifilar. Si, además, las cargas fueran todas iguales y lo mismo ocurriese con las tensiones no habría circulación de corriente por el neutro. La suma de las cuatro tensiones es igual a cero ya que la amplitud de ellas es la misma y están desfasadas 90º entre sí. Las tensiones de cada bobina respecto al centro o neutro constituyen las tensiones de fase del sistema, pero podemos definir también las tensiones entre los extremos de las bobinas, entre conductores, llamadas tensiones de línea, o entre líneas. Si definimos, por ejemplo, Vab será, conforme con la 2ª ley de Kirchhoff: Vab = Van + (-Vbn) Es decir que si: Van = |Van| 0º y Vbn = |Vbn| -90º

es Vab = √2 |Van| +45º cuatro tensiones de línea y también su suma vectorial será nula. En casos como estos se dice que el sistema está equilibrado o es simétrico. Pero la condición de simetría no está dada, en sistemas polifásicos, por la condición de resultante nula, sino por el hecho de ser todas las componentes de igual magnitud y estar desfasadas en un mismo ángulo entre las componentes consecutivas. Hay que destacar este concepto que difiere fundamentalmente del concepto de equilibrio de vectores en mecánica.

a

b

c

d

n

Esquema eléctrico

Van

Vbn

Vcn

Vdn

Diagrama fasorial

Vab

Vbn

-Vbn

Van

Si las componemos a todas obtenemos otro sistema tetrafásico semejante con las ll


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Por ejemplo, un sistema de cargas equilibradas es aquel en que todas las cargas son iguales, para obtener iguales corrientes para iguales tensiones; su suma no es nula pero el sistema es equilibrado (se acerca más al concepto de simetría). Los términos equilibrado y simétrico son, en general, sinónimos, sin embargo algunos autores hacen la discriminación entre equilibrados, cuando la resultante es nula y además se cumplen las condiciones antes dichas, y simétricos cuando la resultante es o no nula. Siendo la máquina un dispositivo rotativo, que nos da la secuencia en que se dan los máximos para cada tensión generada, resulta que podemos obtener dos secuencias distintas según sea el sentido de rotación de la máquina. Si mantenemos el criterio de asumir como sentido positivo de rotación el antihorario, y tenemos una secuencia abcd diremos que el sistema es de secuencia positiva o secuencia 1; por el contrario si es adcb será de secuencia negativa o secuencia 2; por último si todas las tensiones coincidieran (estuvieran en fase) tendríamos la secuencia cero, o sistema homopolar, que también es equilibrado. En el caso más general podríamos cambiar las conexiones de las bobinas de forma de obtener un desfasaje de 180º o 270º en lugar de 90º. Generalizando entonces, si f es la cantidad de fases del sistema, la estructura de las componentes será:

Sf2

)1n(VVn

con n, entero de 1 a f, indica la componente del sistema, y donde S, el número de secuencia, es un entero que puede variar de cero a infinito pero que sus efectos se repiten cuando difieren en el número f ya que en esos casos la diferencia de fase es un número entero de ciclos y no son distinguibles estando en régimen permanente.


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NOTAS Y COMENTARIOS


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Parte B - SISTEMAS TRIFÁSICOS EQUILIBRADOS IX - B.1 - Generación, conexiones y relaciones. Estudiaremos en particular los sistemas trifásicos en régimen permanente. La generación se logra con tres bobinados instalados a 120º eléctricos entre sí, decimos grados eléctricos porque mecánicamente pueden no ser 120º sino que dependen del número de pares de polos que posea la máquina generadora. Podemos conectarla a la carga en forma independiente (sistema he- xafilar), y tendremos: e1 = Ê1 cos t e2 = Ê2 cos (t - 120º) e3 = Ê3 cos (t - 240º) = = Ê3 cos (t + 120º) Si las magnitudes de las tensiones son iguales el sistema será equilibrado y su suma será nula: e1 = Ê1 cos t e2 = Ê2 (cos t cos 120º + sen t sen 120º) e3 = Ê3 (cos t cos 240º + sen t sen 240º)

023tsen2

1tcos

23tsen2

1tcostcosÊ e3e2e1

También podemos conectar las bobinas en forma de estrella o "Y" ("Wye") uniendo todos los finales de las bobinas en un punto común que denominamos centro estrella o neutro; conexión tetrafilar. O bien unir sucesivamente el final de una bobina con el principio de la siguiente formando la conexión en triángulo, o "" ("Delta"); conexión trifilar.

B1

B2 B3

N

S

P1

P2 P3

F1

F2 F3

Esquema funcional

Ê1

Ê2 Ê3

120º 120º

120º

Esquema fasorial


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En la conexión estrella unimos los principios de las bobinas a los conductores de la línea y los finales entre sí formando el centro estrella unido al conductor de neutro. La tensión de cada bobina o fase se denomina tensión de fase (o de línea a neutro) y la indicamos como Uf. Están desfasadas entre sí 120º y en oposición. La tensión en bornes de la máquina es la tensión de línea (o entre líneas) la indicamos como Ul y es la suma geométrica de las correspondientes tensiones de fase. Ê1-3 = Ul = Ê1 + (-Ê3) = 2·Ê1 cos 30º =

Ul = √3 Uf ["Y"] Por su parte la corriente de fase y la de línea resultan ser iguales: Il = If ["Y"]

Esquema temporal

t

e1 e2 e3 [volts]

0º 120º 240º 360º

Ê1

Ê2

-Ê3 30º

30º

Ê3

Ê1-3

Il1

Uf2 Il3

In

Il2

Uf1

Uf3

Z1

Z3

Z2 n' n


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En la conexión triángulo las tres fases están conectadas en serie. La suma de las tensiones de fase debe ser siempre igual a cero por la 2ª ley de Kirchhoff, pero esto no significa que el sistema sea siempre equilibrado, para ello debe cumplir con las condiciones antes indicadas; además las tensiones de fase y de línea son iguales y no hay conductor de neutro. Las corrientes de línea son: Il1 = If1 - If3 ; Il2 = If2 - If1 e Il3 = If3 - If2 Il1 + Il2 + Il3 = 0 Si el sistema está equilibrado y hacemos la evaluación de cada corriente de línea, vamos a obtener que:

Il = √3 If [""] Ul = Uf [""] Se puede conectar un sistema estrella a uno triángulo, por supuesto en conexión trifilar, pero la distribución de tensiones y corrientes se mantendrá sólo si los dos sistemas son equilibrados; caso contrario no se podrá asegurar que se cumplan las condiciones originales ya que el conductor de neutro asegura las tensiones de fase en la estrella. IX - B.2 - Potencia en sistemas equilibrados. Consideremos la fase a de un sistema en estrella, la tensión y la corriente podemos indicarla como: ua = Ûa cos t = |Ua| cos t ia = Îa cos(t+a) = |Ia| cos(t+a) Con esto la potencia instantánea en la fase a tendrá la misma expresión que en un circuito monofásico:

Il2

Il3

Il1

If2

If3

If1

Uf2

Uf1 Uf3

Z2

Z3 Z1

If1

If2

If3


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pa = 2|Ua||Ia| cos t cos(t+a)= = |Ua||Ia| [cos (2t+a) + cos a] En forma semejante podemos poner que: pb = |Ub||Ib| {cos [2(t-120º)+b] + cos b} pc = |Uc||Ic| {cos [2(t-240º)+c] + cos c} donde el ángulo de desfasaje de la fase sería +120º y +240º para un sistema de secuencia negativa o de 0º si el sistema es de secuencia cero u homopolar. Si estamos en sistema equilibrado tendríamos que a = b = c y la potencia instantánea total, igual a la suma de las tres potencias de fase, resultará: pt = pa + pb + pc = |Ub||Ib| {cos(2t+a) + cos[2(t-120º)+a] + + cos[2(t-240º)+a] + 3·cos a} La suma de los tres primeros términos del paréntesis resulta igual a cero con lo que se obtiene que: pt = 3|Ub||Ib| cos a = constante La potencia instantánea total es constante e igual a tres veces la potencia media de cada fase. Para el caso del sistema homopolar la potencia instantánea total es igual a la suma de tres sistemas monofásicos en fase. La potencia media (o activa) por fase es: Pf = Uf·If cos Si la carga es equilibrada la potencia total será: P = 3·Pf = 3·Uf·If cos

Para la conexión en estrella era: flfl V3VyII con lo que la potencia total queda:

cos ·I·U3P ll

Para la conexión en delta era: flfl I3IyVV con lo que la potencia total también queda:

cos ·I·U3P ll


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IX - B.2.1 - Método de los dos vatímetros. Si la alimentación es simétrica, aunque las cargas no lo sean, la potencia total de una carga trifásica con tres conductores viene dada por la suma de las lecturas de dos vatímetros conectados en dos líneas cualesquiera con sus bobinas de tensión conectadas a la tercera. La única restricción es que la suma de las tres corrientes de línea sea cero. Las lecturas de los dos aparatos son: WA = VABIA cos WC = VCBIC cos Aplicando la 1ª ley de Kirchhoff a los nudos A y C de la carga en triángulo se obtiene: IA = IAB + IAC e IC = ICA + ICB que substituidas en las anteriores resultan en: WA = VABIAB cos + VABIAC cos WC = VCBICA cos + VCBICB cos Los términos que expresan las potencias en las cargas AB y CB se reconocen facilmente. Los términos restantes que contienen VABIAC y VCBICA pueden escribirse como VLIAC ya que tanto VAB como VCB son tensiones compuestas entre líneas, e IAC = ICA ya que estamos operando con los módulos eficaces de las corrientes y tensiones. El diagrama fasorial identifica estos términos y de él se deduce que: = 60º + y = 60º - Sumando los dos términos y reemplazando los valores de los ángulos tenemos: VLIAC cos(60º + ) + VLIAC cos(60º - ) que se puede escribir como:

CB C

AB A

A A

B B

C

C

WA

WB

VAB

VBC

VAC

VCB

VCA

ICA

IAC

60º

60º

AB AC

AB AB

CB CB

CB CA

CB CA

AB AC


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VLIAC (cos 60º·cos - sen 60º·sen + + cos 60º·cos + sen 60º·sen ) = VLIAC cos que es la potencia en la fase restante, esto es AC. Debemos indicar que la lectura de uno de los vatímetros puede ser negativa dependiendo del ángulo de fase de las cargas. Si el sistema es simétrico podemos obtener este ángulo ya que la razón entre las lecturas de los dos vatímetros es:

)º30cos(

)º30cos(

WW

C

A

que si la desarrollamos obtenemos que:

AB

AB

WWWW

3tg

Así resulta que lecturas iguales indican factor de potencia unidad, lecturas iguales y opuestas indica carga reactiva pura, un valor algebráicamente mayor de WB respecto de WA indica carga inductiva, y si es mayor WA es capacitiva. Esto es simple si conocemos la secuencia de los vatímetros, de todos modos podemos determinar el ángulo aunque no su signo. La ambiguedad del signo la podemos resolver, obviamente, si conocemos el tipo de carga; de no ser así podemos conectar una carga reactiva de alta impedancia y observar el efecto que produce en las lecturas: si el ángulo aumenta la carga es del mismo tipo que la que estamos agregando. IX - B.3 - Componentes de sistemas simétricos. Un conjunto simétrico de vectores es aquél en que las magnitudes son iguales y están igualmente espaciados en ángulo. En el lenguaje eléctrico esto se denomina equilibrado y, en contraposición al concepto mecánico, la suma de los mismos puede o no ser cero. Es decir que la condición de resultante nula no define eléctricamente al sistema como equilibrado o desequilibrado. Las componentes de un sistema equilibrado pueden entonces ser indicadas como: Isn = I -(n-1)·s·360º/f donde n es el número secuencial de la componente, entero de 1 a f; s el número de secuencia que indica el ordenamiento temporal de las componentes; y f la cantidad de fases del sistema. Con esta estructura podemos, para un sistema trifásico, indicar que si la secuencia es 1 resultará:


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I11 = I 0º I12 = I -120º I13 = I -240º = = I +120º El orden temporal de las componentes es 1-2-3 denominándose entonces a la secuencia 1 secuencia positiva. Si la secuencia es 2 resultará: I21 = I 0º I22 = I -240º = I +120º I23 = I -480º = I -120º El orden temporal de las componentes es 1-3-2 denominándose entonces a la secuencia 2 secuencia negativa. Para la secuencia 3 se tiene que: I31 = I 0º I32 = I -360º = I 0º I33 = I -720º = I 0º que coincide con la de número cero denominada homopolar, donde los tres vectores coinciden. El aumentar el número de secuencia resulta en sistemas que, en régimen permanente, son indistinguibles de los tres ya vistos. Definidas las componentes se puede establecer la relación entre ellas: Is1 = Is2 s·(360º/f) = Is3 2·s·(360º/f) = ... = = Isn (n-1)·s·(360º/f) con f igual al número de fases y s el número de secuencia. En función de lo anterior puede hacerse un simple indicador de secuencia para un sistema trifásico con el siguiente esquema de dos lámparas y un capacitor. Se encenderá con mayor brillo la lámpara de la fase siguiente a la conectada en el punto a.

I21

I23

I22 120º

120º

120º

I11

I12

I13 120º

120º

120º

I31

I33 I32 360º

L1

L2

C a

b

c


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IX - B.4 - Propiedades de los sistemas de secuencia cero. Supongamos tener un sistema equilibrado de secuencia cero, u homopolar, en conexión estrella: Según la definición de corrientes y tensiones de secuencia cero resulta: I0aa' = I0bb' = I0cc' I0n'n = I0aa' + I0bb' + I0cc' V0a'n' = V0b'n' = V0c'n' Puede presentarse mejor el diagrama como: Se observa claramente que la ausencia del neutro implica un circuito abierto y no puede haber corrientes. La ecuación de una fase es: E0 - I0Z - I0Z' - 3I0Zn = 0 E0 = I0(Z - Z' - 3Zn) Luego: I0 = E0/(Z - Z' - 3Zn) Si el sistema se conecta en triángulo no pueden existir corrientes de secuencia cero en la línea por la falta del neutro y

I0aa'

E0b

I0cc'

I0n'n

I0bb'

E0a

E0c

Z'

Z'

Z' n' n

a a'

b b' c c'

Z

Z

Zn

Z

I0

E0 E0 E0 Z'

Z'

Z

Z'

Z

Zn

I0 I0

3I0

V0 Z V0 V0


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por ello la suma vectorial de las corrientes de línea es cero. En los elementos del triángulo puede haber corrientes homopolares. El voltaje terminal de secuencia cero es cero aunque pueden existir tensiones inducidas de esa secuencia en las fases. Las impedancias que ofrecen las máquinas a las distintas secuencias son distintas y pueden calcularse. Si suponemos el esquema siguiente tendremos: E0 - I0Z0 + E0 - I0Z0 + E0 - I0Z0 = 0 3(E0 - I0Z0) = 0 o E0 - I0Z0 = 0 El primer miembro es la tensión terminal de secuencia cero que resulta nula. La corriente es: I0 = E0/Z0 la que circula por los devanados de la máquina y que, siendo la impedancia a esa secuencia usualmente muy pequeña, normalmente es muy grande. Esta situación hace que en la práctica no se conecten las máquinas en triángulo. La corriente en el neutro será tres veces la de cada línea de esa secuencia, pero si conectan con neutro flotante no habrá componentes homopolares. IX - B.5 - Carga desequilibrada conectada en estrella. En un sistema de cuatro conductores circulará corriente por el neutro sólo cuando las cargas estén desequilibradas (asumiendo que las tensiones están equilibradas y no son de secuencia cero). La tensión en cada una de las impedancias de carga será constante con el valor de la tensión de fase (línea a neutro) correspondiente y las corrientes serán distintas y no estarán, en general, desfasadas 120º. Si el sistema es de tres conductores solamente, el punto común de las tres impedancias (centro estrella) no está al potencial del neutro y se designa con la letra "O" en lugar de "N". Las tensiones entre extremos de cada impedancia pueden variar considerablemente desde el valor de la tensión de cada fase. Tiene en este caso particular interés el desplazamiento a "O" desde "N": tensión de desplazamiento del neutro. Veamos por ejemplo el siguiente caso: Un sistema trifásico, CBA, de 208 voltios, tiene una carga en estrella con ZA = 6 0º , ZB = 6 30º y ZC = 5 45º. Obtener las corrientes de línea y la tensión en cada impedancia. Construir el triángulo de tensiones y determinar la tensión de desplazamiento del neutro VON. Se dibuja el esquema del circuito y se eligen las corrientes de malla I1 e I2.

E0

E0

E0

I0

Z0

Z0

Z0

a

b c


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El sistema de ecuaciones en forma matricial es: 6 0º + 6 30º -6 30º I1 208 240º = -6 30º 6 30º + 5 45º I2 208 0º Resolviendo se obtiene que: I1 = 23,3 261,1º Amp. e I2 = 26,5 -63,4º Amp. y con ello que: IA = I1 = 23,3 261,1º IB = I2 - I1 = 15,45 -2,5º IC = -I2 = 26,5 116,6º Las tensiones en las impedancias están dadas por el producto de la corriente por la impedancia en cada una de ellas, es decir: VAO = ZAIA = 139,8 261,1º VBO = ZBIB = 92,7 27,5º VCO = ZCIC = 132,5 161,6º El primer diagrama fasorial muestra el triángulo de las tensiones en las impedancias, al segundo se le agregó el de las tensiones de alimentación con respecto al neutro. En este último se puede ver la tensión de desplazamiento VON la que puede calcularse utilizando cualesquiera de los tres puntos A, B o C. Si utilizamos el punto A se obtiene:

A

B

IA

IB

IC C

208 240º

208 0º

6 30º

6 0º

5 45º

I1

I2

O

O

A

C B

N

VCO VBO

VAO

O

27,5º

161,6º

261,1º


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VON = VOA + VAN = 28,1 39,8º Si se determina una relación para VON independiente de las tensiones de carga, las corrientes y tensiones buscadas pueden obtenerse con mayor facilidad. Para ello se escriben las corrientes de línea en función de las tensiones en las cargas y las admitancias de carga: IA = VAOYA, IB = VBOYB, IC = VCOYC Aplicando la 1ª ley de Kirch- hoff en O tendremos: VAOYA + VBOYB + VCOYC = 0 que puede expresarse como: (VAN+VNO)YA + (VBN+VNO)YB + + (VCN+VNO)YC = 0 de donde:

CBA

CCNBBNAANON YYY

YVYVYVV

Las tensiones de alimentación respecto del neutro se obtienen del triángulo correspondiente para la secuencia dada y las admitancias son las recíprocas de las impedancias de carga que también son datos. Puede entonces calcularse VON y con ella determinar las tensiones en cada carga y las corientes de línea correspondientes. IX - B.6 - Ejemplos de cálculos. Ejemplo nº1: Tres impedancias iguales de 10 30º ohmios, conectadas en estrella, y otras tres también iguales de 15 0º ohmios, igualmente en estrella, están unidas a un mismo sistema trifásico, de tres conductores, de 250 voltios. Hallar la potencia total. Solución: Como las dos cargas están conectadas en estrella, sus impedancias de fase pueden ponerse directamente en un circuito equivalente monofásico. La tensión aplicable a dicho sistema es: VN = VL/ = 250/ = 144,5 ya que el sistema es caracterizado por su tensión de línea. La corriente tendrá un

A

B

IA

IB

IC C

YA

O YB

YC

VAO

3 3 15 0º 10 30º 144,5 0º


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valor de:

º1,182,23º062,9º3045,14º015

º05,144

º3010

º05,144IL

La potencia activa es: P = VLIL cos, donde es el ángulo de la impedancia de carga equivalente. Al calcular IL obtuvimos un ángulo de fase en atraso de 18,1º, lo que indica una carga inductiva y en consecuencia será: P = VLIL cos = ·250·(23,2)·cos 18,1º = 9530 vatios Ejemplo nº2: Un sistema trifásico de tres conductores, 240 voltios y secuencia CBA alimenta a una carga conectada en triángulo en la que ZAB = 25 90º, ZBC = 15 30º y ZCA = 20 0º ohmios. Hallar las intensidades de corriente en las líneas y la potencia total. Solución: Aplicando las tensiones entre líneas de la secuencia CBA y definiendo las corrientes como se indica, se tiene que:

º1506,9º9025

º240240

ZV

IAB

ABAB

º300,16º3015

º0240

ZV

IBC

BCBC

º1200,12º020

º120240

ZV

ICA

CACA

Las corrientes de líneas pueden calcularse en función de las corrientes de fases: º7,24706,6º12012º1506,9III ACABA º306,25º3016º1506,9III BCBAB

º2,1371,27º3016º12012III CBCAC

Por efecto de la carga desequilibrada las corrientes también lo son. La potencia en cada una de las fases, que resultarán distintas, se pueden calcular teniendo en cuenta la tensión, la corriente y el ángulo de la impedancia, o tomando la parte real de la impedancia y multiplicándola por el cuadrado de la corriente circulante por ella.

0Py0R25j0º9025Z ABABAB

W33301613IRPy13R5,7j13º3015Z 22BCBCBCBCBC

W28801220IRPy20R0j20º020Z 22

CACACACACA

3

3 3

A A

B B

C

C

VAB IAB

VBC IBC

VCA

ICA


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La potencia total es la suma de las potencias de las tres fases: PT = PAB + PBC + PCA = 0 + 3330 + 2880 = 6210 W. Ejemplo nº3: Un sistema trifásico de tres conductores, 208 voltios y secuencia ABC alimenta a una carga conectada en estrella en la que ZA = 10 0º, ZB = 15 30º y ZC = 10 -30º ohmios. Hallar las intensidades de corriente en las líneas, las tensiones sobre cada una de las impedancias de carga, y la tensión de desplazamiento del neutro. Solución: Aplicando las tensiones entre las líneas VAB y VBC de la secuencia dada, y definiendo las corrientes de malla I1 e I2 se puede dar solución al problema. La forma matricial del sistema de ecuaciones de Maxwell es: ZA + ZB -ZB I1 VAB = -ZB ZB + ZC I2 VBC el que da como resultado: I1 = 14,15 86,1º e I2 = 10,15 52,7º y con ello podemos calcular las corrientes en cada impedancia: IA = I1 = 14.15 86,1º IB = I2 - I1 = 8,0 -49,5º IC = -I2 = 10,15 (52,7º - 180º) = 10,15 -127,3º Por consiguiente las tensiones desarrolladas serán: VAO = IAZA = 141,5 86,1º VBO = IBZB = 120,0 -19,5º VCO = ICZC = 101,5 -157,3º Si estuviera el conductor de neutro la tensión VAN sería: VAN = |VAB| AB - 30º = 120 90º y la tensión de desplazamiento del neutro está dado por la diferencia entre VAN y VAO, es decir: VNO = VAN - VAO = j120 - (9,6 + j141,2) = -9,6 - j21,2 = 23,3 245,5º

3

A

B

IA

IB

IC C

ZA

O ZB

ZC

I1

VBC

VAB

I2


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Este ejemplo pone en evidencia la importancia del neutro para asegurar la tensión en cada impedancia de carga en forma independiente de las características de las otras.


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Parte C: SISTEMAS TRIFÁSICOS DESEQUILIBRADOS IX - C.1 - Método de las componentes simétricas. Los sistemas desequilibrados deben ser resueltos en forma completa como una red común, no se puede reducir a analizar una sola fase y luego extender el resultado a las otras. En principio no sería necesario pero, dada la importancia que estos sistemas polifásicos tienen, se ha desarrollado un método especial para resolver los problemas de este tipo. El método se denomina de las componentes simétricas y aplica el concepto de descomponer el sistema desequilibrado en sistemas equilibrados. Supongamos tener tres sistemas simétricos de distinta secuencia. Puede verse que la suma vectorial fase a fase de los mismos concluye en un sistema desequilibrado. La teoría de las componentes simétricas dice que, para sistemas lineales, la recíproca es válida, siendo posible descomponer cualquier sistema desequilibrado en un conjunto de sistemas equilibrados de distintas secuencias. Haciendo el análisis para un sistema trifásico tendremos que: 1.- Hay tres sistemas de distinta secuencia. 2.- El único sistema con resultante no nula es el de secuencia cero (homopolar). 3.- Por definición cada fase es la resultante de la suma geométrica de la misma fase de todas las secuencias componentes.

I0a I0b I0c

I1a

I1b

I1c

I2b

I2c

I2a

Ia

Ib

Ic


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4.- La rotación de un cierto ángulo de una fase del sistema original llevará consigo la rotación de igual ángulo de todas las componentes. Por definición del método es: I0a + I1a + I2a = Ia I0b + I1b + I2b = Ib I0c + I1c + I2c = Ic Conforme a la relación entre las componentes de fases de cada secuencia podemos ponerlas a todas en función de la componente de la fase a, llamada componente (o vector) básica de la secuencia. Para

ello introduciremos el operador a ≜ ej2/3 (giro de 120º): I0 + I1a + I2a = Ia I0 + a2I1a + aI2a = Ib I0 + aI1a + a2I2a = Ic Así nos queda un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas que pasaremos a resolver de una manera particular. Primero sumaremos las tres ecuaciones miembro a miembro obteniendo: 3I0 + (1+a2+a)I1a + (1+a+a2)I2a = Ia + Ib +Ic Las sumas indicadas en los paréntesis son iguales a cero y consecuentemente resulta, como esperábamos, que el vector básico de secuencia cero está dado por un tercio de la suma de las tres fases originales. I0 = (Ia + Ib +Ic)/3 Vamos a multiplicar ahora la segunda ecuación por a y la tercera por a2. Esto equivale geométricamente a rotar la fase b en +120º y la fase c en -120º. I0 + I1a + I2a = Ia aI0 + a3I1a + a2I2a = aIb a2I0 + a3I1a + a4I2a = a2Ic Sumando miembro a miembro nos queda ahora: (1+a+a2)I0 + (1+a3+a3)I1a + (1+a2+a4)I2a = Ia + aIb + a2Ic que lleva a: 3I1a = Ia + aIb + a2Ic


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I1a = (Ia + aIb + a2Ic)/3 El vector básico de secuencia positiva resulta igual a un tercio de la suma del vector Ia, más el vector Ib rotado +120º y más el vector Ic rotado -120º. Finalmente multiplicando la segunda ecuación por a2 y la tercera por a resultará en: I2a = (Ia + a2Ib + aIc)/3 Queda así resuelto el problema en forma analítica y, simultáneamente, describiendo el procedimiento geométrico, o gráfico, correspondiente. IX - C.2 - Impedancias desequilibradas conectadas en estrella con neutro. Para resolver un problema de este tipo veremos dos métodos. 1er. método. a) Calcular las corrientes que resultan de las tensiones de secuencia cero, como son distintas se determinan para cada fase (sistema asimétrico). b) Calcular las corrientes que resultan de las tensiones de secuencia positiva y las de secuencia negativa (sistemas simétricos). c) Sumar los tres sistemas encontrados para obtener el resultado buscado. 2do. método. Sea el sistema desequilibrado en conexión estrella: Si indicamos las impedancias serie de la carga y el conductor de línea por fase como Za , Zb y Zc se tendrá que: Va = Za·Ia ; Vb = Zb·Ib y Vc = Zc·Ic Utilizaremos las componentes simétricas de la fase a y neutro.

Ia

Ebn

Ic

In

Ib

Ean

Ecn

Za'n'

Zc'n'

Zb'n' n' n

a a'

b b' c c'

Zaa'

Zbb'

Zn

Zcc'


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V0 = (1/3)(Va + Vb + Vc) = = (1/3)(ZaI0 + ZaI1 + ZaI2 + ZbI0 + ZbI1 -120º + + ZbI2 +120º + ZcI0 + ZcI1 +120º + ZcI2 -120º = = (1/3)I0(Za + Zb + Zc) + (1/3)I1(Za + Zb -120º + Zc +120º) + + (1/3)I2(Za + Zb +120º + Zc -120º) V1 = (1/3)(Va + Vb +120º + Vc -120º) = = (1/3)(ZaI0 + ZaI1 + ZaI2 + ZbI0 +120º + ZbI1 + + ZbI2 -120º + ZcI0 -120º + ZcI1 + ZcI2 +120º = = (1/3)I0(Za + Zb +120º + Zc -120º) + (1/3)I1(Za + Zb -120º + + Zc +120º) + (1/3)I2(Za + Zb -120º + Zc +120º) V2 = (1/3)(Va + Vb -120º + Vc +120º) = = (1/3)(ZaI0 + ZaI1 + ZaI2 + ZbI0 -120º + ZbI1 +120º + + ZbI2 + ZcI0 +120º + ZcI1 -120º + ZcI2 = = (1/3)I0(Za + Zb -120º + Zc +120º) + (1/3)I1(Za + Zb +120º + + Zc -120º) + (1/3)I2(Za + Zb + Zc) Definimos como componentes simétricos de impedancias desequilibradas o impedancias cíclicas a: Z0 = (1/3)(Za + Zb + Zc) Z1 = (1/3)(Za + Zb +120º + Zc -120º) Z2 = (1/3)(Za + Zb -120º + Zc +120º) con lo que será: V0 = Z0I0 + Z2I1 + Z1I2 V1 = Z1I0 + Z0I1 + Z2I2 V2 = Z2I0 + Z1I1 + Z0I2 Cuando las impedancias son equilibradas las tensiones de cada secuencia son debidas a las corrientes de esa secuencia, ya que sólo hay componentes de impedancias de secuencia cero por ser iguales. Considerando por su parte: I0 = (1/3)(Ia + Ib + Ic)


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I1 = (1/3)(Ia + Ib +120º + Ic -120º) I2 = (1/3)(Ia + Ib -120º + Ic +120º) se pueden determinar las admitancias simétricas de un sistema desequilibrado. El concepto de cíclicas proviene de la semejanza formal de las expresiones usadas para evaluarlas con las de las componentes de tensiones y de corrientes, no por que sean fasores (funciones del tiempo). Para los sistemas equilibrados de tensiones o corrientes las componentes pueden ser de sólo de una secuencia (positiva, negativa o cero) pero para las impedancias y admitancias sólo de secuencia cero. Debe señalarse la diferencia fundamental que existe entre componentes simétricas de impedancias (o admitancias) de sistemas desequilibrados e impedancias (o admitancias) a las componentes de corriente o tensión de distintas secuencias en sistemas equilibrados. IX - C.3 - Potencia en función de las componentes simétricas. Dijimos que en un sistema polifásico la potencia activa era la suma de las potencias de cada una de las fases. Sea entonces el sistema de la figura: P = Van·Ian cos + + Vbn·Ibn cos + + Vcn·Icn cos Por su parte las componentes simétricas son: Van = V0 + V1 + V2 Vbn = V0 + V1 -120º + V2 +120º Vcn = V0 + V1 +120º + V2 -120º Ian = I0 + I1 + I2 Ibn = I0 + I1 -120º + I2 +120º Icn = I0 + I1 +120º + I2 -120º

Van Ian

Vbn Ibn

Ian

Ibn

Icn

Zan

Zbn Zcn

a

n

b c Vcn Icn


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Con ello: Pa = V0I0 cos + V0I1 cos + V0I2 cos + + V1I0 cos + V1I1 cos + V1I2 cos + + V2I0 cos + V2I1 cos + V2I2 cos Y similarmente con las otras fases, con lo que por ejemplo obtendríamos: P(V1,I2) = V1I2 (cos + cos + cos ) = = V1I2[cos + cos (120º - ) + cos (120º + )] Si llamamos 12 al ángulo será: P(V1,I2) = V1I2 (cos 12 + cos 120º·cos 12 + sen 120º·sen 12 + + cos 120º·cos 12 - sen 120º·sen 12 ) = = V1I2 (cos 12 + 2(-½)cos 12) = 0 Es decir que las potencias de componentes de distinta secuencia son nulas, y queda finalmente que: P = 3(V0I0 cos + V1I1 cos + V2I2 cos ) IX - C.4 - Componentes simétricas en forma matricial. Por este medio matemático más compacto podemos ahorrar tiempo al resolver los problemas. Definiremos como:

c

b

a

I

I

I

I matriz de las corrientes de línea.

0

2a

1asf

I

I

I

I matriz de las componentes simétricas de la fase a.

1aa

1aa

111

3

1S

2

2 operador para pasar de las corrientes de

V0a I1a

V0a I0a

V0a I2a

V1a I2a

V1a I1a

V1a I0a

V2a I2a

V2a I1a

V2a I0a

V1b I2b

V1c I2c

V1a I2a

V1a I2a

V1a I2a

V1a I2a

V1a I2a

V1a I1a

V2a I2a

V0 I0


Pág. 29 de 32

línea a las componentes simétricas de fase donde a = 1 120º = ej2/3 Con lo definido podemos poner que:

sfIS3I Cada corriente de línea está formada por sus tres componentes simétricas (ecuación de síntesis), la solución para sfI nos da la ecuación de análisis:

IS3

1I 1sf

La matriz inversa de [S] es:

111

aa1

aa1

3

1S 2

2

1

IX - C.4.1 - Potencia. El conjugado hermitiano de una matriz [S] se obtiene primero transponiendo los elementos y tomando el complejo conjugado de cada uno, es decir:

111

aa1

aa1

3

1S 2

2

t

Pero en este caso resulta [S]t = [S]-1 y las matrices que tienen esta identidad se llaman unitarias. En tal caso:

100

010

001

USSSS 1t

Además puede agregarse que si: CBA es ttt BCA La potencia compleja que entra al sistema es: S = Ia*·Van + Ib*·Vbn + Ic*·Vcn Si tenemos:


Pág. 30 de 32

c

b

a

I

I

I

I y

cn

bn

an

V

v

V

V

es: [I]t = [Ia* Ib* Ic*] y con ello resulta que: S = [I]t [V] Si queremos expresarla en función de las componentes simétricas tendremos:

sfIS3I y sfVS3V con:

0

2a

1asf

I

I

I

I y

0n

2an

1ansf

V

v

V

V de donde:

tts

ft SI3I

Que sustituyendo permite llegar a:

sftss

ftts

f VI3VS3SI3S Desarrollando el producto queda: S = 3(Van1·Ia1* + Van2·Ia2* + Vn0·I0*) Esto indica que la potencia de las componentes simétricas pueden superponerse, aún cuando no puede hacerse normalmente con las potencias. Al ser sistemas ortogonales tienen las mismas características que las armónicas. IX - C.4.2 - Potencia en una red general. Podemos relacionar las tensiones y corrientes de una red a través de las ecuaciones de nodo: [Y] [V] = [I] La solución a las mismas dará: [V] = [Y]-1[I] o [V] = [z][I] Si todas las fuentes tienen la misma frecuencia tendremos: S = [I]t[V] = [I]t[z][I] Generalización matricial de las expresiones:


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S = I2 Z o P = I2 R En forma dual se obtendría: S = [V]t[I] = [V]t[y][V] Generalización matricial de las expresiones: S = V2 Y o P = V2 G


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NOTAS Y COMENTARIOS


CAPÍTULO X

ONDAS NO SENOIDALES

Parte A: ANÁLISIS DE FOURIER Parte B: LA INTEGRAL DE FOURIER Parte C: MÉTODO DE CONVOLUCIÓN Parte D: LA FUNCIÓN SISTEMA




Teoría de los Circuitos I - Ing. Jorge M. Buccella - Capítulo X

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ÍNDICE Parte A: ANÁLISIS DE FOURIER 3 A.1 Introducción 3 A.2 Simetrías 5 A.3 Ejemplos de aplicación 7 A.3.1 Onda cuadrada 7 A.3.2 Onda diente de sierra 9 A.3.3 Onda rectificada 9 A.4 Síntesis de ondas 10 A.5 Espectros en frecuencia 11 A.6 Valor medio cuadrático y potencia 12 A.7 Respuesta completa a funciones excitatrices periódicas 13 A.8 Series exponenciales 13 A.8.1 Simetrías 14 A.8.2 Ejemplos de aplicación 14 A.8.2.1 Onda cuadrada asimétrica impar 14 A.8.2.2 Onda cuadrada simétrica impar 15 A.8.2.3 Onda cuadrada asimétrica par 16 A.8.2.4 Onda triangular simétrica par 17 A.8.2.5 Aplicación a un circuito 18 Parte B: LA INTEGRAL DE FOURIER 19 B.1 El pulso recurrente 19 B.2 La integral de Fourier 20 B.2.1 Otra forma de la integral de Fourier 21 B.3 Análisis del pulso rectangular 22 B.4 Síntesis del pulso rectangular 22 B.5 Propiedades de la transformada de Fourier 23 B.6 Significado físico de la transformada de Fourier 24 B.6.1 Ejemplo de cálculo 26 B.7 Convergencia de la integral de Fourier 27 Parte C: EL MÉTODO DE CONVOLUCIÓN 29 C.1 Introducción 29 C.2 Equivalencias de pulsos e impulsos 29 C.3 La integral de superposición o convolución 31 C.3.1 Interpretación gráfica de la integral de superposición o convolución 32 C.4 Evaluación aproximada de la integral de convolución 33 C.5 Evaluación analítica de la integral de convolución 35 C.6 Extensiones del teorema de convolución 36 C.7 Aproximaciones 38 Parte D: LA FUNCIÓN SISTEMA 41 D.1 Relaciones entrada-salida para circuitos lineales 41 D.1.1 Relaciones entrada-salida en el dominio del tiempo 41 D.1.2 Soluciones de la transformada de Fourier 42 D.2 Revisión y clasificación de las funciones de los circuitos 44 D.2.1 La frecuencia compleja 44 D.3 Polos y ceros 46 TOTAL: 46 páginas.


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X - ONDAS NO SENOIDALES

Parte A: ANÁLISIS DE FOURIER X - A.1 - Introducción. Cualquier onda, de cualquier forma, puede analizarse como una serie infinita de ondas senoidales de diferente frecuencia. Esto es básicamente lo expuesto por Fourier en 1822. Era bien conocido que una función puede desarrollarse en forma de una serie geométrica. Por ejemplo:

1/(1 - x) = 1 + x + x2 + x3 + ... + xn + ... con |x| < 1. Si tenemos, por ejemplo, tres puntos en un plano, podemos hacer que una curva del tipo y = a0 + a1x + a2x2 pase por ellos. Reemplazando los valores x,y de cada punto en la ecuación nos dará un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas que nos permitirá determinar los coeficientes "ai" de la ecuación. En general ese desarrollo lo podemos extender a cualquier número de puntos y obtener una serie de cualquier índole; sólo deberemos fijar tantos coeficientes como puntos tengamos para poder calcular su valor. Lo expuesto por Fourier, ampliado incluso a funciones no periódicas, desató una tormenta entre los matemáticos que, pese a la validación que los ensayos físicos ofrecían, no se disipó hasta que en 1933 Norbert Wiener estableció las condiciones exactas bajo las cuales tal expansión era válida. La utilidad de este concepto la podemos sintetizar diciendo que, si desarrollamos una función cualesquiera en sus componentes senoidales, podemos tratar cada una de las componentes por los métodos conocidos y, finalmente, recombinar los resultados en una onda no senoidal que constituye la respuesta buscada. En los circuitos en régimen permanente resistivos puros podemos hallar la respuesta (solución forzada) independientemente de la naturaleza de la excitación si el circuito es lineal. Si el circuito incluye elementos almacenadores de energía podemos hallar esa respuesta solamente para aquellos circuitos y funciones excitatriz a los cuales podemos aplicar el concepto de impedancia, esto es que la excitación debe ser continua, exponencial, senoidal amortiguada. El análisis de Fourier nos permite eliminar esta limitación. Supondremos que la función f(t) cumple con las siguientes propiedades: a) f(t) tiene en cada punto un valor único. b) Condiciones débiles de Dirichlet: ¿Podemos encontrar los coeficientes an y bn?

π

π

2

0n dxcos(nx)f(x)

1a

En el peor de los casos el término coseno puede hacer al integrando siempre positivo. Por lo tanto:


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π

π

2

0n dxf(x)

1a

o, de otra forma, si:

π2

0dxf(x)

existe para cualquier valor de t0, también existen an y bn. Más fácil de evaluar resulta:

π2

0

2 dxf(x)

que representa la energía en un ciclo. c) Condiciones fuertes de Dirichlet: Si se desea una serie uniformemente convergente deben satisfacerse las condiciones fuertes de Dirichlet: 1) f(t) debe ser finita, si f(t) es infinita en algún punto la serie también y no será convergente. 2) Debe tener un número finito de máximos y mínimos, gran número de máximos y mínimos implica el contenido de armónicas elevadas con energía apreciable. Se requieren muchos términos y podría no converger en infinito. 3) Debe tener un número finito de discontinuidades finitas. En la práctica cualquier onda físicamente realizable las cumple. En símbolos, para una función periódica, es decir si f(t) = f(t+T):

f(t) = ½a0 + a1 cos t + a2 cos 2t + a3 cos 3t + ... +

+ b1 sen t + b2 sen 2t + b3 sen 3t + ... es la forma trigonométrica de la serie de Fourier para f(t). Esta serie para ser útil debe converger. Es decir debe tender a f(t) cuando el número de términos es lo suficiente grande. Tal cosa ocurre en la práctica de forma bastante rápida y la función puede representarse adecuadamente con pocos términos, la llamada suma parcial. En las discontinuidades la serie converge al valor medio de las mismas. La serie puede desarrollarse para igualar cualquier función deseada durante cualquier duración finita de tiempo mientras la componente fundamental de la serie pasa por un ciclo completo. Si llamamos t1 al principio y t2 al final del período T de la componente fundamental será t2 - t1 = T y con ello:

T = 2 ; T = 2/ ó = 2/T El método de encontrar los coeficientes, llamado análisis de Fourier, se basa en que las funciones seno y coseno constituyen un sistema ortogonal, esto es el promedio de sus productos en cruz es cero. Resulta conveniente, para simplificar, hacer: x = t = 2t/T ó t = x/ = xT/2 Y con esto resulta: a) para m y n enteros cualesquiera:


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0dxmxsen2

0

0dxmxcos2

0

0dxnxcosmxsen2

0

b) para m y n distintos:

0dxnxsenmxsen2

0

0dxnxcosmxcos2

0

c) para m y n iguales:

2

0

2 dxmxsen 2

0

2 dxmxcos

Para encontrar el coeficiente an multiplicamos ambos miembros por cos nx dx e integramos entre 0 y 2:

π

ππ

πππ

2

0n

2

01

2

0

2n

2

01

2

0

02

0

dxnxcosnxsenb

dxnxcosxsenbdxnxcosa

dxnxcosxcosadxnxcos2a

dxnxcosf(x)

Conforme a lo antes mostrado, el único término no nulo del segundo miembro es el que tiene an. Luego:

ππ

n

2

0adxnxcosf(x) con lo que

π

π2

0n dxnxcosf(x)1/a

Operando similarmente resultará que:

π

π2

0n dxnxsenf(x)1/b

Puede no ser fácil la integración, pero es teóricamente posible. Podemos expresar la serie como:

1m

mm0 mx)senbmxcos(a ½a f(x)

X - A.2 - Simetrías. Podemos demostrar que hay condiciones de simetría que permiten establecer la existencia o no de determinados términos en la serie, lo que nos ahorra trabajo en el cálculo. 1) Función impar: f(x) = -f(-x) sólo tienen términos en senos.

T/2

00

0

T/20

T/2

T/20k dttkcosf(t)dttkcosf(t)

T2

dttkcosf(t)T2

a ωωω

substituyamos la variable t por -t', o sea t' = -t, y hagamos uso del hecho que f(t) = -f(-t) = -f(t'):


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T/2

00

0

T/20k dttkcosf(t)dt')t'k(cos)t'f(

T2

a ωω

0dttkcosf(t)dt')t'(kcos)t'f(T2

aT/2

00

T/2

00k

ωω

y también:

T/2

00k dttksenf(t)

T4

b ω

es decir dos veces la integral de la mitad del intervalo. 2) Función par: f(x) = f(-x) sólo tienen términos en cosenos y la constante.

2/T

00

0

2/T0

2/T

2/T0k

dttksen)t(fdttksen)t(fT2

dttksen)t(fT2

b

substituyamos la variable t por -t', o sea t' = -t, y hagamos uso del hecho que f(t) = f(-t) = f(t'):

2/T

00

0

2/T0k dttksen)t(f'dt)'tk(sen)'t(f

T2

b

0dttksen)t(f'dt)'tk(sen)'t(fT2

b2/T

00

2/T

00k

y también:

2/T

00k dttkcos)t(f

T4

a

es decir dos veces la integral de la mitad del intervalo. 3) Simetría de media onda: en cualquier función periódica es f(t) = f(t + T) y decimos que hay simetría de media onda cuando es f(t) = -f(t - ½T).

0

2/T0

2/T

2/T0k dttkcos)t(f

T2

dttkcos)t(fT2

a

)II(T2

dttkcos)t(f 21

2/T

00

Hacemos t' = t + ½T, entonces:

2/T

02

102

11 dt)T't(kcos)T't(fI

2/T

02't1

002't1

001 'dt)Tksen'tksenTkcos'tk(cos)'t(fI

0T = 2 luego: sen k0½T = sen k = 0


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2/T

001 'dt'tkcos)'t(fkcosI

2/T

02

102

11 dt)Tt(kcos)Tt(fkcosI

2/T

00

2/T

00 dttkcos)t(fkcosdt)tkcos()t(fkcos

Podemos poner ahora que:

2/T

00k dttkcos)t(f)kcos1(

T2

a

Sabiendo que: 1 - cos k = 0 para k = par 1 - cos k = 2 para k = impar resulta que: ak = 0 para k = par

2/T

00k dttkcos)t(f

T4

a para k = impar

Haciendo un estudio similar resultará también que: bk = 0 para k = par

2/T

00k dttksen)t(f

T4

b para k = impar

El hecho de ser par o impar nada tiene que ver con las armónicas pares o impares. Además puede hacerse una función par o impar mediante un cambio de ejes. Vimos entonces que si una onda tiene alguna simetría podemos ahorrar trabajo integrando a través de una parte del ciclo y luego extenderlo al resto. Por ejemplo, si una función es par, o impar, o tiene simetría de media onda, ciertos coeficientes son cero y el cálculo de los restantes puede hacerse integrando de 0 a y multiplicando el resultado por dos. Más aún, si la onda tiene simetría de media onda y además es par o impar, es suficiente integrar de 0 a y luego multiplicar por cuatro. X - A.3 - Ejemplos de aplicación. X - A.3.1 - Onda cuadrada.

f(x)

+1

-1

0 x


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f(x) = +1 para 0 < x < f(x) = -1 para < x < 2 Dada la definición analítica de la función, vemos que requeri-remos de dos integrales para evaluarla en todo el período, por ejemplo:

2

03 dxx3sen)1(dxx3sen)1(1b

2

03 dxx3sendxx3sen1b

203 x3cos)3/1( 3x cos (-1/3)1b

= (1/ {[(1+1)/3] + [(1+1)/3]} = 4/3 = b3 Generalizando:

2

0n dxnxcos)1(dxnxcos)1(1a

0nxsen nx senn/1a 20n

Para a0 resulta ser indeterminada (0/0), por lo que hacemos:

2

00 dxdx/1a (1/)( - 0 - 2 + ) = 0

por otra parte:

2

0n dxnxsen)1(dxnxsen)1(/1b

20n nxcos nx cos n/1b

= (1/n)(1 - 2 cos n + cos n2) = bn que depende si n es par o impar. Para n par:

bn = (1/n)(1 - 2 + 1) = 0 Para n impar:

bn = (1/n)(1 + 2 + 1) = 4/n Es decir que sólo tiene componentes impares del seno.

f(x) = (4/) sen x + (4/3) sen 3x + (4/5) sen 5x + ...

f(x) = (4/)[sen x + (1/3) sen 3x + ... + (1/n) sen nx] con n impar.


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X - A.3.2 - Onda diente de sierra.

f(x) = x/ (- < x < +) Esta forma de expresarla es más conveniente que hacerlo de 0 a 2 pues requeriría de dos ecuaciones no muy fácilmente integrables. En general podríamos tomar el período de c a c+2, pero lo haremos de - a +:

dxnxcosx/1dxnxcos)/x(/1a 2n

nxsen)n/x(nxcos)n/1(/1 22

0)nsennsen)(n/1())ncos(n)(cosn/1(/1 22

dxnxsenx/1dxnxsen)/x(/1b 2n

nxcos)n/x(nxsen)n/1(/1 22

)ncos)(n/2()ncosnnsen)(n/2( 22

de donde para n par: bn = -2/ny para n impar: bn = +2/n luego para la onda diente de sierra tendremos:

f(x) = (2/)[sen x - (1/2)sen 2x + (1/3)sen 3x - (1/4)sen 4x + ...] X - A.3.3 - Onda rectificada. Tanto la onda cuadrada como la diente de sierra tienen impor-tante uso práctico, otra forma usual se encuentra a la salida de los rectificadores, donde interesa la componente constante (de continua) y todas las armónicas son indeseables. Partimos de la corriente de salida de un rectificador de media onda y carga resistiva. Localizamos al eje de forma de obtener una función par. En este caso la serie será de la forma:

f(t) = ½a0 + a1cos t + a2cos 2t + a3cos 3t + ...

f(x) +1

-1

0 x


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Los coeficientes los hallamos por integración entre los límites - y +, ya que en el resto del período la señal es nula, y en ese intervalo la función es: cos t. Luego:

2/

2/n dx)nx)(cosx(cos/1a

si n es distinto de 1:

2/2/n 1)x]sen[(n 1))(2/(n 1)x]-sen[(n 1))-(2/(n/1a

/2]1)sen[(n 1))(1/(n /2]1)-sen[(n 1))-(1/(n/1an

substituyendo los valores de n tendremos: a0 = 2/ a1 = 1/2 a2 = 2/3 a3 = 0 a4 =-2/15 a5 = 0 a6 = 2/35 a7 = 0 con lo que:

f(t) = (1/)[ 1 + (/2) cos t + (2/3) cos 2t - (2/15) cos 4t +

+ (2/35) cos 6t - ... ] la única armónica impar presente es la primera o fundamental. X - A.4 - Síntesis de ondas. Si partimos de la expresión de la onda cuadrada desarrollada en serie y vamos sumando gráficamente términos, veremos que a partir de la séptima armónica la aproximación comienza a ser mejor, pero siempre permanece una variación en la parte superior aplastada con la frecuencia mayor utilizada. Sin embargo la tendencia a que le crezcan orejas existe a ambos lados de la discontinuidad (fenómeno de Gibbs). Con el aumento de los términos las mismas se estrechan pero no disminuyen su amplitud que se establece en un 9% de la discontinuidad. La serie infinita, sin embargo, converge exactamente a la función, excepto en la discontinuidad donde converge al punto medio de la misma.

-/2 0 +/2 + +3/2 +2 +5/2 t

1


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X - A.5 - Espectros en frecuencia. Puede escribirse una serie de Fourier mediante términos que sólo contengan senos o cosenos, independientemente de que sea o no par o impar, utilizando la relación trigonométrica :

a cos x + b sen x = (a2 + b2)½ cos [x - tg-1(b/a)] entonces la serie tendrá la forma:

f(t) = ½a0 + c1 cos (t-1) + c2 cos (2t-2) + ... +

+ cn cos (nt-n) + ... donde:

cn = (an2 + bn2)½ y n = tg-1(bn/an) de otra forma:

n

1n

n0 tncosc2a

)t(f

similarmente podemos hacer:

n

1n

n0 tnsenc2a

)t(f

con:

cn = (an2 + bn2)½ y n = tg-1(an/bn)

n y n están en grados de la armónica enésima, se miden en la misma escala horizontal que n. La graficación de este desarrollo en serie no sería muy clara si lo hiciéramos en función del tiempo, pero podemos hacerlo en función de la frecuencia lo que da lugar a representaciones denominadas Espectros en Frecuencia. Como debemos indicar dos datos para cada componente: amplitud y fase, obtenemos los espectros de Amplitud y de Fase. En ambos casos tendremos sólo valores para un número entero de veces la frecuencia fundamental, lo que implica un espectro de líneas, discreto, y no una curva continua. Si la serie está desarrollada en funciones seno y coseno deberíamos pasarla a la forma de solo términos seno o coseno para que pueda ser representada. Sea:

n

1n

n0 tnsenc2a

)t(f

0 234 c.

Amplitud

c0 c1

c2 c3 c4

c5 c7

c6

Frec.

Espectro de amplitud


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X - A.6 - Valor medio cuadrático y potencia. El valor RMS (medio cuadrático) de la onda total es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de los valores RMS de sus componentes. Es decir que si:

i = I0 + Î1 cos (t-1) + Î2 cos (2t-2) + ...

Irms = (I02 + ½Î12 + ½Î22 + ½Î32 + ... )1/2

o bien: Irms = (I02 + I12 + I22 + I32 + ... )1/2

La demostración (teorema de Parseval) es simple, ya que por definición es:

dtiT1

IT

0

2rms

2

y reemplazando i por los términos de la serie obtendremos lo buscado. La potencia promedio total es, como consecuencia, la suma de las potencias promedio de la componente de corriente continua, de la fundamental y de las armónicas tomadas separadamente.

P = P0 + P1 + P2 + ... =

= V0I0 + |V1||I1| cos 1 + |V2||I2| cos 2 + ... la demostración también parte de la definición:

T

0dti*v)T/1(P

que puede considerarse una generalización de la anterior. Lo importante es que las componentes tensión y corriente de armónicas diferentes no contribuyen a la potencia activa.

0 234 Frec.

Fase

1

2

3

4

5

6

7

8

Frec.

Espectro de fase


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X - A.7 - Respuesta completa a funciones excitatrices periódicas. Podemos ahora representar una función periódica arbitraria como suma infinita de funciones senoidales. Para cada una de estas componentes podemos obtener la respuesta forzada por el análisis simbólico de régimen permanente; la forma de la respuesta natural puede determinarse de la configuración de la red; las condiciones iniciales del circuito permiten, junto con el valor de la respuesta en régimen obtener la amplitud de la solución natural. La suma de ambas nos dará la respuesta completa. Esta solución analítica no es de mucha utilidad ya que no proporciona una visión clara de su naturaleza. Necesitamos un dibujo de la misma como función del tiempo. Esto implica un laborioso cálculo para un número grande de componentes. La suma gráfica de las primeras componentes tampoco resulta cómoda. Se obtiene probablemente una solución más informativa del problema haciendo un análisis transitorio repetido. Sea por ejemplo la señal: La solución en el intervalo 0 a es un incremento exponencial hacia 2,5 amperios (por ejemplo). Al final de este intervalo tenemos así determinado el valor inicial del segundo. Haciendo el mismo análisis sucesivamente tendremos la respuesta completa. X - A.8 - Series exponenciales. Hemos utilizado las formas trigonométricas de las series de Fourier; ahora podemos mejorarla utilizando formas exponenciales del tipo:

f(t) = ... + A-n e-jnt + ... + A-2 e-j2t + A-1 e-jt +

+ A0 + A1 ejt + A2 ej2t + ... + An ejnt + ... que aunque parece diferente a la anterior no lo es, y puede dedu-cirse de la forma trigonométrica utilizando las fórmulas de Euler:

cos x =(ejx + e-jx)/2 sen x =(ejx - e-jx)/2j A partir de ellas se pueden encontrar los coeficientes como:

A0 = ½a0

0 3/2 2 5/2 t t

v(t) 10


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A1 = ½(a1 - jb1) A-1 = ½(a1 + jb1)

An = ½(an - jbn) A-n = ½(an + jbn) es decir que resultan An = A-n*, o sean conjugados. La serie exponencial puede escribirse en forma compacta:

jnx

n

ntjn

n

n eAeA)t(f

Los coeficientes se encuentran más convenientemente de la integral:

2

0

jkx2

0

tjkk dxe)x(f)2/1()t(de)t(f)2/1(A

donde k es entero, de - a + incluyendo el cero. X - A.8.1 - Simetrías. Las condiciones de simetría son también útiles. Por ejemplo: si sólo hay términos seno An es imaginaria pura (ya que an es igual a cero), y si sólo contiene cosenos An es real pura (bn = 0) para todos los n. Por otra parte si hay simetría de media onda resultará An = 0 para n par, y el intervalo de integración puede, en este caso, acortarse a medio período. Nótese que, al no ser la función ejnx impar ni par, no puede acortarse el intervalo de integración en estos casos. Los límites de integración deben estar separados por un período completo a menos que exista simetría de media onda. X - A.8.2 - Ejemplos de aplicación. X - A.8.2.1 - Onda cuadrada asimétrica impar.

f(x) = +2 para 0 < x < f(x) = 0 para < x < 2

Dada la definición analítica de la función, vemos que requeri-remos la integración de 0 a , ya que la función es nula en el resto del período:

0

jkxn dxe2)2/1(A

debemos hacerla separadamente para n = 0 y para n no igual a cero.

0 3 4 x t

f(x) +2


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Para n = 0:

1)02)(2/(dx2)2/1(A0

0

Para n distinta de cero:

)1e()jn/(1e)jn/(1dxe)2/2(A jnx0

jnx

0

jnxn

que depende si n es par o impar.

Para n par: e-jn = +1

Para n impar: e-jn = -1

Es decir que para n par: An = 0

y para n impar: An = 2/jn Es decir que la serie quedará:

f(t) = 1 + 2/j [...-(1/3)e-j3t - e-jt + ejt + (1/3)ej3t +...] X - A.8.2.2 - Onda cuadrada simétrica impar.

f(x) = +1 para 0 < x <

f(x) = -1 para < x < 2 La serie quedará:

f(t) = (2/j)[...- (1/3)e-j3t - e-jt + ejt + (1/3)ej3t +...] es decir igual a la anterior menos 1. Los coeficientes están dados por:

An = 2/jn para n = impar y podemos trazar un espectro como el de la figura siguiente. Como la función es impar todos los términos son imaginarios:

f(t)=(2/j(1/n)ejnt (para n impar positiva o negativa)

0 3 4 x t

f(x) +1

-1


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X - A.8.2.3 - Onda cuadrada asimétrica par. f(x) = +1 para -/2 < x < /2 f(x) = 0 para /2 < x < 3/2 Dada la definición analítica de la función, vemos que requeriremos la integración de -/2 a /2, ya que la función es nula en el resto del período:

/2

/2-

jnx-n dx e 22/A

para n = 0 A0 = 1/2 para n par An = 0 para n impar An = (1/n) (n = ..., -11, -7, -3, +1, +5, +9,...) y An = (-1/n) (n = ..., -9, -5, -1, +3, +7, +11,...) y quedará un espectro:

jAn

2/n

-2/n

2/

-2/

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 n

x x

f(x) +1

An

1/n

-1/n

1/

-1/

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 n

1/ A0


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X - A.8.2.4 - Onda triangular simétrica par. Podemos definir analíticamente la función como: f(x) = (2x/) - 1 0 x f(x) = -(2x/) - 1 - x 0 y establecer que presenta simetría de media onda. Esto nos permite integrar sobre medio ciclo y multiplicar por dos.

0

jnx-n dx1]e-[(2x/p))/1(A

= (2/2n2)( e-jn - 1 ) + (j/n)( e-jn + 1 ) por simetría de media onda: para n par: An = 0 para n impar e-jn = -1 y luego: An = -4/2n2 expresándola como función del tiempo con x = t, resulta: f(x) = (-4/2)[ ... + (1/9) e-j3t + e-jt + ejt + + (1/9) ej3t + ... ]

-

tjn22 e )(1/n)/4()t(f para n impar

x

f(x)

+1

-1


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X - A.8.2.5 - Aplicación a un circuito Veamos la corriente en una bobina ideal como respuesta a una excitación de tensión de onda cuadrada: Z(j) = jL = n1 Zn = jn1L Vn = 2Vmáx/jn para n impar In = Vn/Zn = (2Vmáx/jn)(1/jn1L) = -2Vmáx/n21L = (-Vmáx/21L)(4/2n2) para n impar que corresponde a una onda triangular de amplitud Vmáx/21L.

f(x)

+Vmáx2L

-Vmáx2L

x

0 3 4 t t

v(t) Vmax

-Vmax

+ v(t) -

L

i(t)


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Parte B: LA INTEGRAL DE FOURIER X - B.1 - El pulso recurrente. Los sistemas de transmisión por pulsos están generalizados para los medios de comunicación codificada. Para determinar la fidelidad de transmisión de los mismos es necesario conocer sus componentes de Fourier. Este análisis es, entonces, de vital importancia. Asumiremos tener un pulso rectangular con un intervalo de recurrencia de k veces la duración del pulso. Con ello el análisis será similar a lo visto hasta ahora.

dxe2

Ak/

k/

jnxn

si n = 0 resulta: An = (1/2) [(/k) + (/k)] = 1/k si n 0, entonces:

)j2/()ee)(n/1(e)2jn/1(A k/jnk/jnk/k/

jnxn

An = (1/k){[sen(n/k)]/(n/k)}

tjn 1p/k)}e(np/k)]/(n(1/k){[sen)t(f

Si trazamos el espectro vemos que muestra una envolvente de la forma (sen x)/x, llamada función patrón Sa(x), que permanece igual

0 -/k +/k

2

T

+1

f(t)

T/k

t

[sen(n/k)]/(n/k)

kAn

n/k

1

1 -1 -2 -3 2 3


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independientemente del valor de k. Se notará que la armónica de orden késimo se anula y lo mismo los múltiplos de ella. Sa(x) = 0 para x = k. Las líneas están más juntas a medida que k aumenta, y al mismo tiempo se irán haciendo más cortas en la misma proporción. El límite de esta condición, cuando los pulsos se van haciendo cada vez menos frecuentes y el tiempo entre ellos se incrementa sin límite, es el pulso único no recurrente. Para este caso la frecuen-cia fundamental y por lo tanto la diferencia entre armónicas se va haciendo menor, tendiendo a cero, las líneas del espectro se juntan y se aproxima a un espectro continuo en lugar de uno discreto. Al mismo tiempo las amplitudes de las componentes se aproximan a cero en el límite. Podría deducirse que esto llevaría a perder el concepto pero, al contrario, el límite nos lleva a la integral de Fourier. X - B.2 - La integral de Fourier El análisis y la síntesis de la función temporal se lograron empleando las fórmulas:

n

tjn 1e An)t(f

n

xjne An)x(f

)t(de)t(f21

A tjnn

1

xde)x(f21

A jnxn

Ahora vamos a realizar unos cambios menores. Sacaremos 1 fuera de la integral, cambiamos n1 por n, y los límites de la integral los pondremos en función del período de la fundamental T.

tde)t(f2

A2/T

2/T

tj1n

n

n

tjn

neA)t(f

Si este par de ecuaciones se aplica a una secuencia de pulsos repetitivos T resulta ser el tiempo de un pulso al siguiente y puede ser tan grande como se desee. Consideraremos la posibilidad de encontrar una serie que represente un pulso único. Todo estaría en hacer T tan grande que el pulso anterior y el posterior al considerado se ubicarán infinitamente lejos, pero vimos que aplicando esta operativa al desarrollo encontrado para los pulsos repetitivos hace desaparecer la función An. Pero la función que no se aproxima a cero es la razón An/1, definida como igual a gn, ya que ambos términos tienden a cero cuando T tiende a infinito.


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Luego tenemos:

tde)t(f21

g2/T

2/T

tjn

n

de análisis

n

tjn

neg)t(f de síntesis

ahora hagamos tender T a infinito: 1) 1 ---> 0 y la llamamos d. 2) cada frecuencia armónica se hace indistinguible de la otra, es decir una sucesión continua de frecuencias y en lugar de n consideraremos a variable continua que puede tener cualquier valor. 3) en lugar de una sucesión de valores discretos de gn, uno para cada armónica, tendremos la función continua g(). 4) finalmente, en el límite, la suma de la síntesis de la función f(t) se convierte en una integración. Con estos cambios el par de ecuaciones anterior para la serie de Fourier se convierte en el par de la integral de Fourier:

)j(Ftde)t(f21

)(g tj

de análisis

de)(g)t(f tj de síntesis

que hace para el pulso único lo que la serie de Fourier hace para una repetición cíclica de pulsos. Dibujando su espectro obtenemos una gráfica de g() que sirve para el mismo propósito que la gráfica de An para la onda cíclica. X - B.2.1 - Otra forma de la integral de Fourier. También podríamos haber levantado la indeterminación que aparece cuando el período tiende a infinito analizando el producto de An por T y en tal caso llegaríamos al par de expresiones:

tde)t(f)j(F tj

de análisis

de)j(F21

)t(f tj de síntesis

las que puede verse difieren solamente en el factor 1/2 y que conforman la forma normal en que se utilizarán para la transformada de Laplace.


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X - B.3 - Análisis del pulso rectangular Encontraremos el espectro g() por medio de la integral de Fourier. Usaremos la fórmula:

tde)t(f21

)(g tj

llamada prisma de transformación por dar el espectro.

T

Ttjtj e

1tde)1(

21

)(g

Tsen1

j2ee1 TjTj

)(gTTsenT

La similitud con la fórmula de An de la serie de pulsos es aparente. La diferencia es importante: el pulso rectangular único tiene todas las frecuencias, excepto aquellas que son múltiplos enteros de 1/2T, y su espectro es continuo, mientras que el otro es discreto. X - B.4 - Síntesis del pulso rectangular. La transformación inversa puede hacerse:

deTTsenT

de)(g21

)t(f tjtj

La integración se realiza desarrollando el exponencial por el teorema de Euler y descartando la doble integral infinita de la función impar como cero. La función par remanente se puede escribir:

d)tTsen()tTsen(

)t(f0

para integrar los dos términos de la suma separadamente escribimos: f(t) = f1(t) + f2(t)

f(t)

+1

2T

-T +T 0 t


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La integración infinita de estos dos términos de la forma (sen x)/x da: f1(t) = +1/2 para T+t > 0 = -1/2 para T+t < 0 f2(t) = -1/2 para T-t > 0 = +1/2 para T-t < 0 X - B.5 - Propiedades de la transformada de Fourier. Habíamos llegado a que la transformada de Fourier estaba dada por:

tde)t(f21

)(g tj

o, eliminando el coeficiente 1/2, que aparecerá en la ecuación inversa, (ver X-B.2):

tde)t(f)j(F)(g tj

utilizando la identidad de Euler para reemplazar e-jt obtenemos:

f1(t)

-T +T t

-1/2

f2(t)

-T +T t

-1/2

+1/2

+1/2

-T +T t

f (t) +1


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dt)tsen()t(fjdt)tcos()t(f)j(F

dado que f(t), cos t y sen t son funciones reales, ambas integrales son funciones reales de. Tomando: F(j) = A() + j B() = F(j) ej() tenemos:

dt)tcos()t(f)(A

dt)tsen()t(f)(B

F(j) = [A2() + B2()]1/2 y () = tg-1 [B()/A()] si reemplazamos por - se demuestra que A() y F(j) son funciones pares mientras que B() y () son impares. Si f(t) es una función par de t, entonces el integrando de B() es función impar y los límites simétricos hacen que B() sea nula. Por lo tanto la transformada de Fourier F(j) es real y función par de mientras que la función de fase () es nula o igual a para todo . Sin embargo si f(t) es función impar de t, entonces A()=0, F(j) es impar e imaginaria pura de , y () es ±/2. Finalmente observamos que al reemplazar por - obtenemos el conjugado de F(j). F(-j) = A() - j B() = F*(j) y obtenemos: F(j) F(-j) = F(j) F*(j) = = A2() + B2() = F(j) 2 X - B.6 - Significado físico de la transformada de Fourier Supongamos que f(t) es la tensión a través de, o la corriente que circula por una resistencia de un ohmio. Así f2(t) es la potencia instantánea entregada a la resistencia por f(t). Si la integramos sobre todo el tiempo obtendremos la energía total:

dt)t(fW 21


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que podemos poner conforme a lo que ya sabemos:

dtd)j(Fe)t(fW tj1

como f(t) no es función de la variable podemos introducirla dentro de la segunda integral y cambiar el orden de integración:

ddt)j(Fe)t(fW tj1

si sacamos F(j) de la integral esta se convierte en 2 F(-j), luego:

d)j(F2d)j(F)j(F2W 21

d)j(F2dt)t(fW 221

Esto es el Teorema de Parseval indica que la energía asociada con f(t) se puede obtener de una integración sobre todo el tiempo en el dominio del tiempo o por 2 veces una integración sobre toda la frecuencia en el dominio de la frecuencia. (En 1805, 17 años antes que Fourier publicara su teorema). Consideremos una tensión v(t) cuya transformada es Fv(j) y la energía en la resistencia de 1 es W1r, por ello podremos poner:

d)j(F4d)j(F2W0

2

v

2

vr1

dado que Fv(j)2 es función par de . Con = 2f podemos poner:

df)j(F8df)j(F4W0

2

v22

v2

r1

Si en una representación gráfica de Fv(j)2 dividimos la escala de frecuencia en incrementos df la figura nos muestra que el área de la

Fv(j) 2

0 0

f

d df


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porción diferencial bajo la curva es igual a Fv(j)2 df. La suma de tales áreas a medida que f varía de - a + es la energía total contenida en v(t) en un ohmio. Así Fv(j)2 es la densidad de energía sobre 1, o energía por unidad de ancho de banda, expresada en J/cps, de v(t), y al integrarla sobre el intervalo adecuado podemos calcular la energía total comprendida en ese intervalo. X - B.6.1 - Ejemplo de cálculo. Supongamos la función excitatriz: v(t) = 4 e-3t u-1(t) y definimos un filtro pasabanda ideal con 1 < f < 2. La energía en la salida, vo(t), será por lo tanto igual a la energía de esa parte de v(t) que tiene componentes de frecuencia en los intervalos -2 < f < -1 y 1 < f < 2. Determinemos la transformada:

dt)t(uee4)j(F 1t3tj

v

)j3/(4dte4)j(F0

t)j3(v

Calculamos la energía total en la resistencia de 1 en la señal de entrada por:

d)9/(1/8d)j(F2/1W 22

vv1

Joules)3/8()3/(tg3/1/16d)9/(1/16W0

1

0

2v1

o por:

Joules)3/8(dte16dt)t(vW t6

0

2v1

Sin embargo la energía total en la salida vo(t) es menor:

d16)9/(12/1d16)9/(12/1W4

2

22

4

2o1

)3/2(tg)3/4(tg)3/16(d)9/(1/16W 114

2

2o1


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= W1o = 0,358 Joules Observamos que el filtro pasabanda ideal permite remover energía de intervalos de frecuencia prescriptos mientras retiene la energía contenida en otros. La transformada de Fourier ayuda a describir cuantitativamente la acción del filtro sin evaluar vo(t). X - B.7 - Convergencia en la integral de Fourier. Vimos que no hay inconveniente en calcular la transformación de Fourier g() para una función del tiempo que tiene valor para un intervalo dado y es nula para todo tiempo anterior y posterior al mismo. Pero cuando la función es continua y tiene valor siempre positivo, por ejemplo, la integral tiene a infinito como límite superior. Supongamos la función escalón unitario:

0

tjtj dte1)2/1(dte)t(f)2/1()(g

0

tje)j/1()2/1()(g

y no podemos asignarle valor alguno para e-j, si el exponente fuera real tomaría el valor cero, pero al ser imaginario la función es periódica y no se aproxima a límite alguno. La integral no puede evaluarse, se dice que no converge. Aunque el escalón unitario no da valor alguno para la trans-formada de Fourier, la función algo similar que es nula para t < 0 e igual a e-ct para tiempos positivos, con c real positiva, sí da una transformada de Fourier:

0

tjct dtee)2/1()(g

0

t)jc(e)jc(/1)2/1()(g

aquí e-ct se convierte en cero para t=. Pero haciendo c tan pequeño como se quiera la función puede aproximarse a la función escalón. El límite cuando c --> 0 es la constante. Al mismo tiempo: lím g() = (1/2)(1/j) c-->0 por lo que se encuentra un espectro como límite. Esto sugiere tratar a otras funciones de igual manera. Supón-gase que f(t) es cero para t<0, pero para t>0 tiene un valor tal que la transformada de Fourier no converge. Hacemos: f1(t) = f(t) e-ct con c real positiva, ahora usamos:

f(t)

0 t


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0

tjct1 dtee)t(f)2/1()(g

con lo que la integral converge. Por el uso del factor de conver-gencia podemos encontrar un límite para g1() y de esta manera: g() = lím g1() c-->0

La ecuación anterior puede ponerse:

0

t)jc(1 dte)t(f)2/1()(g

y presentamos un nuevo símbolo: s = + j donde c es un valor particular de , positivo, real y constante. Con ello queda una función de s:

0

s1 dte)t(f)2/1()s(g

o bien:

0

s1 dte)t(f)(g2

que pondremos:

0

sdte)t(f)s(F

Esto es lo mismo que la transformada de Fourier (excepto por el factor 2 que puede obviarse, (ver punto IX - B.2) si s = + j con = c constante real positiva que se requiere que se aproxime a cero como límite. Pero si no se requiere que c tienda a cero tendremos la transformada de Laplace. La transformación inversa de Fourier es:

de)(g)t(f tj

Con s = + j, = c (constante real positiva) y ds = dj resulta que: para s = c + j y para = s = c - jy finalmente g() --> g(s) = 1/2 F(s). Entonces:

jc

jc

stdse)s(F)j2/1()t(f

Si c = 0 tenemos la transformación inversa de Fourier. Si c-->0 es la misma con un factor de convergencia. Y si c no es necesariamente nula tenemos la transformada inversa de Laplace.


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Parte C: EL MÉTODO DE CONVOLUCIÓN X - C.1 - Introducción. Resolveremos una función de excitación arbitraria en una serie de impulsos y encontraremos la respuesta del circuito a ella sumando las respuestas a las funciones impulsivas. Es decir, aplicaremos el principio de superposición. Podemos obtener una respuesta aproximada si dividimos la señal de entrada en una serie de pulsos y luego aproximamos cada pulso con un impulso. Si los pulsos tienen un ancho comparativamente pequeño frente a la constante de tiempo del circuito la aproximación será bastante buena. En el límite podemos tomar un número infinito de pulsos con un ancho prácticamente nulo. La sumatoria del número infinito de respuestas impulsivas resulta ser una integral, y ésta es una representación exacta de la respuesta del circuito. Esta integral se denomina "Integral de Superposición" o "Integral de Convolución". Las propiedades de esta integral son las de conducir a soluciones aproximadas rápidas de problemas complicados, y llevar a la formulación de problemas de circuitos resolubles por grandes computadoras digitales. Es un ejemplo del método matemático de "Kernels" utilizado en ingeniería eléctrica, y el de la función de Green, ampliamente usado en Física. Veremos ahora el problema con respuestas impulsivas que decaen en el tiempo y funciones de entrada del mismo tipo. Es posible extenderlo para incluir señales periódicas, definidas por parámetros estadísticos, o de varias variables. X - C.2 - Equivalencia de pulsos e impulsos. Hemos utilizado los impulsos basándonos en su equivalencia con los pulsos. Vamos ahora a analizar las condiciones de equivalencia. Para el impulso el área es lo importante porque determina la energía que se almacena en el circuito cuando el impulso actúa. Los elementos almacenadores de energía realizan efectivamente la integración y evalúan el área encerrada por el impulso. Realmente no importa la forma, sólo su área. Y es bajo este aspecto que podemos establecer, o no, la equivalencia entre pulso e impulso. Cuantitativamente hay un error entre el pulso y el impulso que crece con el ancho del primero y depende de la relación entre el ancho del pulso y la constante de tiempo del circuito. Veamos un ejemplo:

e(t)

0 t

(1)

e(t)

0 t

1/

e(t) i(t) + -

L R


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Para la excitación impulsiva tendremos que la tensión desar-rolla una corriente inicial igual a 1/L sobre la inductancia y la respuesta es: i(t) = (1/L) e-t/T con T = L/R Para el pulso tenemos dos intervalos: De 0 a : la respuesta a un escalón de amplitud 1/: i(t) = (1/R)( 1 - e-t/T) la corriente establecida luego decae exponencialmente a partir de: i() = (1/R)( 1 - e-/T) que si << T puede aproximarse como: i() = (1/R)[ 1 - 1 + (/T) - (2/2T2) + ... ] = = (1/L)[ 1 - (/2T) ] En el instante para el impulso tendremos una corriente: i(t) = (1/L) e-/T = (1/L)[1 - (/T)] Es decir que la respuesta impulsiva es, en t = , menor que la del pulso en la cantidad: = /2T Siendo el comportamiento a partir de igual en ambos casos, se deduce que el ancho del pulso debe ser pequeño frente a la constante de tiempo del circuito al que se aplica. Las gráficas de las respuestas son: Una muestra más espectacular la tendremos si analizamos la tensión sobre la inductancia en ambos casos. Para el impulso resulta: eL(t) = u0(t) - (R/L) e-t/T u-1(t) impulso más exponencial negativa decreciente. Para el pulso en cambio es: eL(t) = (1/) e-t/T 0 < t <

i(t)

0 t IMPULSO

i(t)

0 t PULSO


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que para t = vale: eL() = (1/)[ 1 - (/T) + (2/2T2) + ... ] 1/T = R/L a partir de queda aproximadamente: eL(t) = - (R/L) e-(t-)/T Las gráficas son: IMPULSO PULSO En una resistencia la diferencia es mayor pero no tiene sentido hacer el reemplazo. X - C.3 - La integral de superposición o de convolución. Supondremos que hemos obtenido la respuesta a un impulso de un circuito y la representamos por h(t). La función de excitación la dividimos en pulsos de ancho . El primer pulso tiene un área aproximada de f1(0), el siguiente de f1(), y así sucesivamente. Cada pulso lo reemplazamos por un impulso de igual área aplicado al comienzo del pulso. (Podría parecer más lógico aplicarlo al centro, pero es inmaterial ya que haremos a tender a cero). De esta forma la expresión aproximada de la excitación en función de esos impulsos es: f1*(t) = f1(0) u0(t) + f1() u0(t-) + f1(2) u0(t-2) + ... Cada uno de estos impulsos al ser aplicados a la red produce la respuesta impulsiva modificada en amplitud por el área del impulso y desplazada en el tiempo al instante en que el impulso ocurre. La respuesta total aproximada resultará así: f2*(t) = f1(0) h(t) + f1() h(t-) + f1(2) h(t-2) + ...

eL(t)

t 0

T

-R/L

eL(t)

t 0

+T

-R/L

R/L


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)nt(h)n(f (t)fN

0n

1*2

[N = número de pulsos]

Si hacemos tender a cero, y la constante de tiempo del circuito no es nula, entonces la respuesta impulsiva y la respuesta al pulso serán iguales. Al mismo tiempo la sumatoria de pulsos tiende a la función primitiva de excitación, siendo el número de ellos infinito. En el límite resulta que el producto n se convierte en una variable continua que podemos llamar T; , el espaciado entre pulsos resulta un diferencial, dT; y, finalmente, la sumatoria se convierte en una integral. La respuesta exacta es entonces:

0

12 dT)Tt(h)T(f)t(f

Esta es la integral de superposición (por su forma de obtención). Es una integral paramétrica que para obtener un valor particular, por ejemplo f2(t1), debe introducirse el valor de t1 en lugar de t y realizar la integración completa en T de 0 a :

0

1112 dT)Tt(h)T(f)t(f

Realmente la integración no requiere extenderse más allá de T = t ya que a partir de ese instante el argumento de la respuesta impulsiva se hace negativo y, por ende, la función resulta nula. Es decir que podemos poner:

1t

01112 dT)Tt(h)T(f)t(f

cada punto de la respuesta requiere la evaluación completa de una integral de este tipo. X - C.3.1 - Interpretación gráfica de la integral de superposición o de convolución. Graficando una respuesta impulsiva típica, h(T), usando T para ello ya que la integración será respecto a esa variable, la curva h(-T) resulta una imagen especular respecto al eje de ordenadas de la anterior. Para obtener h(t-T) la curva última debe desplazarse a la derecha t segundos. El valor h(0) ocurre cuando t = T. Si graficamos la función excitación f1(t) podemos obtener la integral evaluando el producto de f1(T) por h(t-T) y luego en-contrando el área encerrada por este. A medida que t varía de cero a infinito la función mostrada en (c) se desplaza hacia la derecha. Con esto el producto cambia y por


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ende el valor de f2(t). Esencialmente la función h(t-T) se desplaza, o barre, la función f1(t). Por ello se la denomina a veces función de barrido (scanning function). Convolución significa doblado y el elemento principal de esta interpretación gráfica es el replegado de h(T) para obtener h(-T). X - C.4 - Evaluación aproximada de la integral de convolución. Puede ser más fácil evaluar la convolución por un procedimiento similar al desarrollado para obtener la integral que por métodos analíticos o gráficos. En particular cuando sólo se requiere una aproximación que puede obtenerse representando la excitación por un número reducido de impulsos. Veamos el caso de un circuito R-L excitado por tensión: Tomando la corriente como respuesta tendremos para un impulso:

T

h(T)

0 T

(a)

h(-T)

0 T

(b)

h(t-T)

0 T t

(c)

f1(T)

0 t

(d)

0 T

f1(T)h(t-T)

t

(e)

Área=f2(t)


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i(t) = h(t) = e-t u-1(t) Si la función estímulo es un pulso rectangular de amplitud y duración unitarias tendremos que en t = 0 es un escalón unitario cuya respuesta es: i(t) = 1 - e-t para 0 < t < 1 En t = 1 desaparece el pulso y el circuito queda liberado a sí mismo decayendo la corriente a cero con constante de tiempo unita-ria; siendo el máximo valor de i para t = 1 de iMAX = 0,632 amp. Una respuesta aproximada se puede obtener dividiendo el pulso en cuatro de amplitud unitaria y duración 1/4, reemplazándolos por cuatro impulsos equivalentes de área = 1/4 ubicados en t = 1/4, 1/2, 3/4 y 1. La respuesta a cada uno de ellos es una exponencial de amplitud 1/4 aplicada en el instante de ocurrencia del impulso y constante de tiempo unitaria. La aproximación está dentro del 10% del valor correcto lo que puede ser suficiente para un problema real. Cuando la respuesta correcta no se conoce, puede hacerse un segundo cómputo con mayor número de pulsos y si esta respuesta no cambia mucho respecto a la anterior puede darse por buena.

e(t) i(t) + -

L=1 R=1 e(t)

0 t

(1)

i(t)=h(t)

0 t

1

0,632

e(t) i(t)

t t 0 0 1 1

0,71

e(t) i(t)

t t 0 0

1/4

1/4 1/4

1

3/4

1/2

1 3/4 1/2

=1/4 = = =


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X - C.5 - Evaluación analítica de la integral de convolución. La evaluación analítica es a menudo difícil sin una extensa tabla de integrales, pero en algunos casos resulta simple. En general la función de entrada no arranca hasta t = 0 y por lo tanto es deseable multiplicarla por la función u-1(t) para seccionarla, matemáticamente, al origen. Similarmente la respuesta al impulso que ocurre en t = 0 es una función que también comienza en t = 0, la que seccionaríamos al origen multiplicándola por u-1(t). Este término hace que automáticamente la respuesta sea cero hasta que el impulso se haya aplicado. Cuando los impulsos se aplican después de t = 0 es importante que las respuestas sean nulas hasta que tengan efecto los impulsos correspondientes. La función escalón se encarga de eso. Supongamos otra vez el circuito de la figura excitado por un impulso unitario: i(t) = h(t) = e-t u-1(t)

0

00 .Amp1dt)t(u

L1

)0(i

T = L/R = 1seg La respuesta impulsiva describe o caracteriza al circuito (por ello suele llamarse "Función Sistema"). A partir de ella podemos obtener la respuesta a otra excitación, por ejemplo al escalón unitario. Conforme a la integral de convolución la solución será:

0

1 dT)Tt(h)T(u)t(i

en la función h la variable t debe ser reemplazada en el término exponencial y en la función escalón. Entonces:

0

1)Tt(

1 dT)Tt(ue)T(u)t(i

el efecto de las dos funciones escalón es restringir los límites de integración, ya que la primera es nula para valores de T menores que cero y la segunda para valores de T mayores que t. Luego:

)t(u)e1(edTe)t(i 1tt

0

)Tt(t

0

)Tt(

resultado que se aplica para t > 0 y por ello está multiplicado por la función escalón. [La función escalón es la integral de la función impulsiva. La respuesta a la función escalón es la integral de la respuesta al impulso para t = 0 a t = t.]

e(t) i(t) + -

L=1 R=1


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Si consideramos ahora como excitación a la función exponencial estaremos ante el estudio del fenómeno de resonancia que habíamos resuelto por el método de variación de parámetros. Con la integral de convolución tendremos:

0

1)Tt(

1T

R dT)Tt(ue)T(ue)t(i

que podemos reducir a:

t

0

)Tt(TR dTee)t(i

t

01

ttR )t(uetdTe)t(i

la misma respuesta que obtuvimos en su momento. El método analítico es particularmente simple cuando la respuesta h(t) es del tipo exponencial o puede reducirse a ella, es decir desarrollando la función mediante series exponenciales. X - C.6 - Extensiones del teorema de la convolución. La integral de convolución da la función respuesta de un circuito cuando la respuesta al impulso del mismo y la función estímulo son conocidas. Varios teoremas nos permiten operar con esas dos funciones para simplificar la evaluación de la integral. TEOREMA Nº 1: Intercambio de la función estímulo con la función respuesta al impulso. Tenemos la relación básica para la convolución, la respuesta es:

0

12 dT)Tt(h)T(f)t(f

Ya que f1(t) es nula hasta t = 0 podemos cambiar el límite inferior de la integral a -:

dT)Tt(h)T(f)t(f 12

hacemos la substitución: t-T = Z, dT = -dZ con lo que para T = -, Z = + y para T = +, Z = -; luego:

f1(t) f2(t) h(t)


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)dZ()Z(h)Zt(f)t(f 12

si intercambiamos los límites de la integral tendremos:

dZ)Z(h)Zt(f)t(f 12

La variable de la integral es Z pero al poner los límites la Z desaparece y la integral es sólo función de t. La Z es una falsa variable y puede ser cambiada por cualquier otra letra sin alterar los resultados, con lo que queda:

dT)Tt(h)T(fdT)Tt(h)T(f)t(f 112

o, en forma sintética: f2(t) = f1(t) * h(t) = h(t) * f1(t) TEOREMA Nº 2: La derivada de la respuesta de salida puede expresarse como la derivada de la integral de convolución. Si:

dT)Tt(h)T(f)t(f 12

es:

dT

dt)Tt(hd

)T(fdt

)t(fd1

2

o bien, si:

dT)T(h)Tt(f)t(f 12

es:

dT)T(h

dt)Tt(fd

dt)t(fd 12

Sintéticamente: f2'(t) = f1(t) * h'(t) = f1'(t) * h(t) f2'(t) = h'(t) * f1(t) = h(t) * f1'(t) TEOREMA Nº 3: La integral de la función respuesta puede expresarse como la integral de la integral de convolución:

dT)Tt(h)T(f)t(f 12

integrando ambos miembros:


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dTdt)Tt(h)T(fdt)t(f

t

1

t

2

o bien:

dT)Tt(h)T(f)t(f 112

1

dT)Tt(h)T(f)t(f 11

21

La combinación de estos tres teoremas puede explicitarse como: fn-m2 (t) = fn1 (t) * h-m (t) = f-m1 (t) * hn (t) en particular es interesante diferenciar una de las funciones hasta que sea representada por impulsos. La convolución de una señal con un impulso es igual a la señal misma. X - C.7 - Aproximaciones. Si aproximamos una función por segmentos rectos y la derivamos dos veces se tendrá una serie de impulsos, como en el ejemplo siguiente. La convolución de esta segunda derivada con la respuesta impulsiva es muy fácil; es simplemente la suma de varias respuestas impulsivas comenzando en distintos instantes y es rápidamente obtenible por medios gráficos o analíticos.

f(t)

f'(t)

f"(t)

- -

t

t

t


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La respuesta de la red a la función original es la segunda integral de la función obtenida por convolución. En este procedimiento la diferenciación de la entrada violenta a la función, pero la integración la suaviza otra vez. La función respuesta obtenida por convolución, tal como hemos discutido, es solamente una aproximación a la respuesta correcta. Mientras más exactamente es representada la función original por rectas mejor será la aproximación. La mayor ventaja del método es que puede obtenerse fácilmente una estimación del error de la respuesta. La diferencia entre la curva original y la aproximación por segmentos rectos constituye la función error de la excitación, y la respuesta del circuito a esta función es el error de la respuesta. Este puede ser computado de la misma forma que para obtener la función respuesta para la función original. La función error se aproxima por segmentos, se diferencia dos veces, se hace la convolución con la respuesta impulsiva, y la segunda integral de la función obtenida es una aproximación cercana al error de la función respuesta. Los métodos de convolución permiten al analista de circuitos contar con una idea de la respuesta con poco esfuerzo numérico, y la misma formulación puede ser procesada por computadoras digitales cuando se requiere mayor exactitud.-


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NOTAS Y COMENTARIOS


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Parte D: LA FUNCIÓN SISTEMA X - D.1 - Relaciones entrada-salida para circuitos lineales. Un sistema lineal puede definirse como un dispositivo o circuito que obedece a la siguiente ley: Dada una operación (ómicron), señales de entrada f1(t) y f2(t), y dos constantes cuales-quiera a y b, entonces: [af1(t) + bf2(t)] = a[f1(t)] + b[f2(t)] Esto es la respuesta a la suma de dos señales es la suma de las respuestas a las señales individuales. Esta ley describe una amplia variedad de dispositivos lineales bajo condiciones adecuadas de operación. X - D.1.1 - Relaciones entrada-salida en el dominio del tiempo. Dos aplicaciones matemáticas de la ecuación son de uso común. La primera emplea una integral de convolución y es útil cuando se estudian las características de clases de sistemas tales como filtros y amplificadores. La segunda emplea ecuaciones diferenciales y es la obtenida cuando se formula la primer descripción del sistema. Una respuesta impulsiva h(t,u) es la respuesta de un sistema en el instante t a un impulso aplicado en el instante u. Si f(t) es cualquier función de entrada disponible, la respuesta g(t) se obtiene por la ecuación:

du)u(f)u,t(h)t(g

El sistema es causal si h(t,u) = 0 para t < u; el sistema no responde antes que la señal sea aplicada. El sistema es invariante en el tiempo si: h(t,u) = h(t-u,0) h(t-u) para todo valor de t y de u. Cuando la entrada a un sistema invariante se desplaza en el tiempo el único cambio en la salida es el mismo desplazamiento en el tiempo. La relación entrada-salida para un sistema invariante está dada por la integral de convolución:

)t(f*)t(hdu)ut(f)u(hdu)u(f)ut(h)t(g

donde * indica el producto y convolución.


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Si el sistema es, además, casual, el límite inferior de la primer integral puede reemplazarse por t y en la segunda por cero. Dado un circuito con resistores, capacitores, transistores y otros elementos, es normalmente difícil escribir la respuesta impulsiva directamente. En lugar de ello se escriben ecuaciones diferenciales y algebraicas para describir los componentes individuales y las leyes de Kirchhoff para describir sus interconexiones. (ver el método de las ramas o "2b"). Esas ecuaciones son combinadas en una ecuación diferencial para el sistema completo tal como:

)t(fa

dtdf(t)

adt 1n

f(t)d 1na

dtnf(t)dna 011nn

)t(gbdt

dg(t)b

dt 1mg(t)d 1m

bdtmg(t)dmb 011mm

Siendo generalmente m > n. La respuesta impulsiva puede obtenerse por el método de la transformada de Fourier. Las ecuaciones integrales y diferenciales vistas deben ser resueltas cuando se conocen f(t) y se busca g(t) y la tarea no es fácil. Transformarlas al dominio de la frecuencia genera un juego equivalente de ecuaciones algebraicas que pueden ser resueltas fácilmente. Invirtiendo la transformación se produce la salida deseada g(t). Una serie de propiedades de las redes puede ser estudiada directamente en el dominio de la frecuencia y por ende no es siempre necesario recurrir a una inversión formal. Los modelos de sistemas en el dominio de la frecuencia pueden obtenerse con las transformadas de Fourier o de Laplace. X - D.1.2 - Soluciones de la transformada de Fourier. Si f(t) y g(t) son señales de energía finita, la relación entrada-salida en el dominio de la frecuencia (real) es: G(j) = H(j) F(j) donde:

)j(F)j(G

dte)t(h)j(H)t(hF tj

la transformada de Fourier de la respuesta impulsiva es la función de transferencia del sistema. Puede obtenerse esta función en el dominio de s, la frecuencia compleja, por medio de la transformada de Laplace. La función compleja H(j) puede escribirse en los términos de una amplitud real A() y de una función de fase real () como:


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H(j) = A() e-j() donde A(-) = A() y (-) = -() para toda pulsación . La respuesta impulsiva h(t) puede expresarse como:

d)(tcos)(A1de)j(H21)t(h tj

La respuesta al escalón del sistema a(t) es la salida debida a la función escalón u-1(t). En general:

t

dt)t(h)t(a

que puede ponerse:

0

d )]q( - t[ sen ])/[A(1 A(0) ½ a(t)

Sistema lineal u0(t-u) invariante en h(t-u) el tiempo Dominio del tiempo f(t) Convolver con h(t) g(t) entrada salida F(j) Multiplicar por H(j) G(j) Dominio de la frecuencia real Relación entrada-salida a través del dominio del tiempo o de la frecuencia real con el par de transformadas de Fourier.

u0(t) h(t)

t t u u 0 0


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X - D.2 - Revisión y clasificación de las funciones de los circuitos. La función operacional de la red es un operador que relaciona la respuesta de la red a una función fuente. Los tipos de funciones de red son: a) Immitancia Operacional: relaciona una respuesta en tensión a una excitación en corriente, o una en corriente a una fuente de tensión. Una immitancia operacional impulsora relaciona tensión y corriente en el mismo par de terminales, mientras que una de transferencia las relaciona en distinto par de terminales. Si relaciona una respuesta en tensión a una excitación en corriente se denomina impedancia y se indica, en general, por Z(p) con subíndices adecuados. Si la fuente es una tensión y la respuesta una corriente la immitancia se denomina admitancia indicándose con Y(p). La variable p indica la frecuencia compleja como el caso más general. b) Función de Transferencia: relaciona la respuesta en un par de terminales, o rama de la red, o una fuente en otro par de terminales, o rama de la red. c) Función Ganancia: relaciona la respuesta en tensión a una excitación en tensión, o respuesta en corriente a excitación en corriente. Es decir respuesta de la misma magnitud de la excitación. La función puede expresarse como adimensional con módulo y fase, o en decibeles sobre una carga dada. X - D.2.1 - La frecuencia compleja. Consideremos una tensión senoidal amortiguada: v(t) = VMAX e

t cos (t + ) [1] podemos lograr una tensión constante haciendo y iguales a cero. v(t) = VMAX cos = V0 [2] Si sólo es cero tenemos la senoide general: v(t) = VMAX cos (t + ) [3] y si sólo es cero tenemos la exponencial: v(t) = VMAX cos e

t = V0 et [4]

Es decir que la función indicada en [1] incluye como casos particulares a las otras tres. Comparando la exponencial [4] con la representación compleja senoidal con ángulo de fase nulo: v(t) = V0 ej

t


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vemos que la única diferencia estriba en que el exponente es real en un caso e imaginario en el otro. Podemos definir a como una "frecuencia", y la conocemos como la parte real de la frecuencia compleja o, también, frecuencia neperiana en Nepers/seg. Definiremos matemáticamente la frecuencia compleja. Para lo cual establezcamos que cualquier función que puede escribirse: f(t) = K est donde K y s son constantes complejas independientes del tiempo, está caracterizada por la frecuencia compleja s. Por ejemplo: Una tensión constante: v(t) = V0 puede expresarse como: v(t) = V0 e0t Una exponencial: v(t) = V0 e

t puede ponerse de la forma: v(t) = V0 e(

+j0)t La senoidal: v(t) = VMAX cos (t + ) por Euler: cos (t + ) = ½(ej(t+) + e-j(t+)) resulta: v(t) = (½ VMAX ej

) ejt + (½ VMAX e-j) e-jt

tenemos presentes dos frecuencias complejas s1 = j y s2 = -j; complejas conjugadas (s2 = s1*) y los dos valores K son también conjugados. Los dos términos también, lo que se esperaba para obtener una cantidad real. La senoidal amortiguada: v(t) = VMAX e

t cos (t + )= = ½ VMAX e

t (ej(t+) + e-j(t+)) de donde: v(t) = ½ VMAX ej

e(+j)t + ½ VMAX e-j e(-j)t

nuevamente un par de frecuencias complejas conjugadas s1 = +j y s2 = -j. Ejemplos: v(t) = 100 s = 0 v(t) = 5 e-2t s = -2 + 0j v(t) = 2 sen 500t s1 = 500j ; s2 = -500j v(t) = 4 e-3t sen (6t + 10º) s1 = - 3 + 6j ; s2 = - 3 - 6j A la inversa: s = 0 indica una función constante; debe ser real para que la función pueda ser también real. Mientras que s = 5 + 5j indica una exponencial creciente. Un valor puramente imaginario nunca puede asociarse a una cantidad real, para obtener una función real deben considerarse valores asociados de s conjugados. De todas maneras la existencia de una frecuencia compleja puede asociarse a una función senoidal sobreentendiéndose la existencia de la conjugada.


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X - D.3 - Polos y ceros Podemos decir, en general, que para una red lineal la función respuesta y(t), está relacionada a la función fuente (t), a través de una ecuación de equilibrio de la forma: (a0 + a1p + a2p2 + ... + ampm) y(t) = = (b0 + b1p + b2p2 + ... + bnpn) (t) o en forma abreviada: D(p) y(t) = N(p) (t) de donde: y(t) = [N(p)/ D(p)] (t) = H(p) (t) Aquí vemos que D(p) es función del circuito y es común a todas las relaciones que busquemos, mientras que N(p) depende de la respuesta particular que se requiere. N(p) (t) es la función forzante para la respuesta requerida. Si la función fuente es cero la ecuación de equilibrio para cualquier variable del circuito y(t) tiene la misma forma: D(p) y(t) = 0 Esta ecuación homogénea lineal a coeficientes constantes puede resolverse introduciendo los modos Kest de forma que las raíces características son dadas por la solución de la ecuación algebraica D(s) = 0. El polinomio puede factorearse de la forma: D(s) = aMsM + aM-1sM-1 + ... + a1s + a0 = = aM (s - s1) (s - s2) ... (s - sK) donde las si son las raíces del polinomio D(s). Introduciendo el símbolo de productoria:

M

1K

KM )ss(a)s(D

Las raíces sK de D(s) constituyen los valores que harán infinita a la respuesta es decir que representan los polos de H(p). Por su parte podemos hacer el mismo análisis para el polinomio N(p), las raíces del cual nos definen los valores de p (o de s) que hacen cero a H(p) y, por consiguiente, son los ceros de ella.

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Teoría de los Circuitos I