UNIVERSIDAD NACIONAL DE LA PLATA FACULTAD DE INGENIERAREA
DEPARTAMENTAL ELECTROTECNIATEORA de CIRCUITOSIAo 2011Clase XIIIng.
Eduardo Ariel PonzanoJefe de Trabajos PrcticosPOLIARMNICASCampo de
Aplicacin:Hasta ahora estudiamos FEM y corrientes
alternassinusoidales en circuitos lineales con parmetros R, L y C
concentrados, tanto funcionando en rgimen permanente como
transitorio.Analizaremos hoy herramientas para resolver circuitos
que:a) Son excitados por fuentes peridicas no sinusoidales, y/ob)
Contienen componentes pasivos no lineales (Por ejemplo, componentes
electrnicos, arcos elctricos, inductores con ncleo de hierro,
etc.).Mediante el desarrollo en serie trigonomtrica de Fourier, es
posible representar cualquier funcin peridica no sinusoidal
integrable en su perodo, mediante la sumatoria de un trmino
constante ms una sucesin (Tericamente infinita) de funciones
sinusoidales cuyas frecuencias son mltiplos enteros (Armnicas) de
la correspondiente al primer trmino de ese tipo, denominada
frecuencia fundamental.Como se ver luego en algunos ejemplos
prcticos, usualmente unos pocos trminos permiten una representacin
bastante cercana a la realidad de la funcin peridica original.Por
esa razn al captulo del anlisis de circuitos aplicando estas
herramientas, se lo denomina usualmente poliarmnicas.SERIES DE
FOURIERForma trigonomtrica de la serie de Fourier:donde:o bien:En
las expresiones anteriores, k toma valores de nmeros naturales (1,
2, 3, 4, ) y dan lugar, en la sumatoria de la serie de Fourier, a
los trminos que se denominan componente fundamental o primera
armnica cuando k=1 (Tiene igual pulsacin que la f(t) original),
segunda armnica cuando k=2 , tercera armnica cuando k=3 y as
sucesivamente.Para poder calcular los coeficientes aky bkes
necesario que f(t) sea integrable a lo largo de todo su perodo T
(Debe tener en T un nmero finito de mximos y mnimos, y ser contnua
o tener un nmero finito de discontinuidades en dicho intervalo).
AkakbkkPARTICULARIDADES DE LAS f(t)La f(t) pueden presentar
caractersticas particulares. Identificarlas previamente evita la
realizacin de algunos clculos, de acuerdo a que:Sean pares; en ese
caso f(t) es simtrica respecto del eje de ordenadas, es decir f(t)
= f(-t). En tales casos, la serie carece de trminos en seno, o sea
bk= 0 para todo k > 1. Sean impares; en ese caso f(t) es
simtrica respecto del origen de coordenadas, es decir f(t) =
-f(-t). En tales casos, la serie carece de trminos en coseno, o sea
ak= 0 para todo k > 1.Tengan simetra de media onda; en ese caso
f(t) es simtrica respecto del eje de abcisas. En tales casos, la
serie carece de armnicas pares y de trmino constante , o sea a0= 0
y ak= bk= 0 para todo k par.Tengan simetra de cuarto de onda; si
f(t) tiene simetra de media onda y adems es par o impar, se dice
que f(t) tiene simetra de cuarto de onda par (a0= bk= 0 y ak 0 slo
si k impar) o impar (a0= ak= 0 y bk 0 slo si k impar)
respectivamente.Simetra media onda(y de cuarto de onda)f(t)tf(t)
imparf(t)tf(t) parf(t)tCOEFICIENTES Y SIMETRASRESOLUCIN DE
CIRCUITOSUnafuente de FEM poliarmnica se puede representar , de
acuerdo a la serie trigonomtrica de Fourier, como la suma de una
componente constante (continua) y de n (tericamente n ) fuentes
sinusoidales puras con frecuencias, mltiplos naturales de la
fundamental (, 2, 3, 4, ), como expresa la ecuacin
siguiente:donde:siendo k= 1,2,3,4, +-+ + + + +- - - - -E0e1(t)
e2(t) e3(t) e4(t) e5(t)e(t)Si la fuente poliarmnica e(t) alimenta
un circuito serie RLC con componentes lineales, apa-recer en rgimen
permanente una corriente i(t) tambin poliarmnica, que no
puedecalcularse aplicando al conjunto el mtodo fasorial (El mtodo
fasorial slo es aplicable para funciones sinusoidales puras).
Aplicando entonces valores instantneos:RESOLUCIN DE
CIRCUITOSdonde:con k= 1,2,3,4, A travs de este ejemplo hemos visto
que el proceso de resolucin pasa por determinar la respuesta
instantnea en rgimen permanente del circuito a cada una de las
fuentes (Contnua y sinusoidales) en las que se descompone la
excitacin poliarmnica, y luego sumar las respuestas instantneas de
rgimen permanente individuales para hallar la respuesta poliarmnica
en rgimen permanente. siendo:y:VALOR EFICAZ DE UNA POLIARMNICAEl
valor eficaz de una FEM poliarmnica de perodo T viene dado por la
expresin:Anlogamente, para una intensidad de corriente poliarmnica
de perodo T resulta:=+ =12 20nn efefE E E=+ =12 20nn efefI I
IPOTENCIAS EN POLIARMNICASEl valor de la potencia instantnea en
poliarmnicas viene dado por la expresin:Anlogamente, para la
potencia reactiva:Operando, resulta como expresin de la potencia
activa la siguiente:Observamos que:POTENCIAS EN POLIARMNICASEn
poliarmnicas se verifica que:Finalmente, definiremos como factor de
potencia al calculado mediante la expresin:Siendo D la denominada
potencia de deformacin, medida en [VAD]:Podemos pues en este caso
hablar de un paraleleppedo de potencia:PQDSCUESTIONARIOa) Para
analizar que tipos de circuitos se aplica el desarrollo en serie de
Fourier ?b) Cul es el efecto de las condiciones de simetra de una
onda poliarmnica sobre los coeficientes de la serie de Fourier?c)
Cmo se calcula el valor eficaz de una onda poliarmnica?d) Qu
expresiones matemticas permiten calcular las potencias activa,
reactiva, de deformacin y aparente?Resolucin:La corriente por el
resistor R, por el capacitor C y por la fuente sern
respectivamente:Luego:L j RUIABR +=C jUIABC 1=||.|
\|++ = + = C jL j RU I I IAB C R f1CR j LCC jL j RUL j
RUIIABABfR + =((
||.|
\|+++=2111( ) ( ) ( ) ( )222 22221 11CR LCCRjCR LCLCIIfR + + =(
) ( ) ( ) ( )2222222221 11(((
+ +(((
+ =CR LCCRCR LCLCIIfR ()|.|
\| =LCCR21arctan Resolucin:Supongamos ahora que alimentamos el
circuito con la fuente if( t) = 2 + 1 sen(314 t) + 0,5 sen(628 t)
[A]. Haciendo que las fuentes acten de a una tenemos:( ) ( ) | | A
t i t if R20 0= == = ( )( )( )L j RCL j RC jL j Rt it
ifR3143141314314131414 . 3314+||.|
\| + +===( )( )( )L j RCL j RC jL j Rt it ifR6286281628628162814
. 3628+||.|
\| + +===( ) ( ) ( ) ( ) | | A t i t i t i t iR R R R 628 314 0
0 = = = =+ + = Resolucin:Las impedancias y ngulos de fase sern para
la frecuencia fundamental y para la tercer y quinta armnica
respectivamente las siguientes:Las componentes de las cadas de
tensin en la carga (iguales a la FEM del generador)
sern:Reemplazando valores puede comprobarse si alguna de las tres
armnicas de tensin y corriente estn en fase entre s.Es todo
.Gracias y a trabajar
