Teoria de Los Wavelets

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CAPTULO 2

TEORA DE WAVELETS

Para nuestro estudio diremos que la Teora de es el conjunto formado por: lasWaveletswavelets, la Transformada Continua de Wavelets y la Transformada Discreta deWavelets. De este modo nos referiremos de aqu en adelante a lo que es y lo quecomprende sta Teora la cual es una herramienta matemtica reciente, basada en laTeora de Conjuntos y representaciones cuadradas integrables, que permiten presentaruna seal o un campo tanto en escala, espacio y posibles direcciones [JAL00]. En esteCaptulo se explicar lo que son las dando algunos ejemplos de ellas, sewaveletsdefinirn las Transformadas Continua y Discreta de y se expondrn lasWaveletsprincipales ventajas que tiene sobre las Transformadas de Fourier.

2.1 Introduccin

La Teora de Wavelets trabaja de manera similar que la Teora de Fourier, la cualdice que una seal se compone de una serie de funciones sinusoidales y de sta forma esms sencillo su anlisis. Recordando un poco, la transformada de Fourier (FT) de la sealB> esta definida por:

JX0 B>/ .>(_

_3# 0>1 (5)

La Transformada de Fourier trabaja bien si la seal esta compuesta de unosB>cuantos componentes estacionarios [ALA03]. Sin embargo, algn cambio repentino en eltiempo, en una seal no estacionaria, es separada del eje de frecuencias. ParaB>contrarrestar estas desventajas se ha modificado la Tranformada de Fourier dando origena lo que es la Short Time Fourier Transform (STFT) tambin conocida como laTransformada de Gabor. La STFT aplica una funcin utilizada como ventana de1>anlisis que se mueve sobre los datos para determinar el espectro. La expresin que nospermite este anlisis es:

CAPTULO 2: TEORA DE WAVELETS 18

WXJX, 0 B>1 > ,/ .>(_

_ 3# 0>1 (6)

donde la variable indica la posicin en la que se hace el anlisis y denota el complejo, conjugado. La desventaja que presenta esta transformada es que la ventana de anlisis esde un tamao fijo y por eso no puede adaptarse a las caractersticas de la seal en ciertospuntos interesantes de analizar.

Por lo visto anteriormente es que ha cobrado tanta fuerza la Teora de Wavelets,dado que mantiene las ideas principales de un anlisis tiempo-frecuencia utilizando unaventana de anlisis diferente. En este caso se requiere de una que examinawaveletcuidadosamente a la seal de inters. Recordando un poco la historia podemos decir que:

"En los aos 88 y 89, los trabajos de Daubechies, que construyo wavelets desoporte compacto, y Mallat que estableci la conexin con el procesadodiscreto de la seal, determinaron la gran difusin de la transformada waveleten el mbito del procesado de la seal."[GAR03].

2.2 Qu son las wavelets?

Las son familias de funciones que se encuentran en el espacio y se empleanwaveletscomo funciones de anlisis, examinan a la seal de inters para obtener sus caractersticasde espacio, tamao y direccin; la familia est definida por:

2 + , + !2l+l+,B,+ (7)

y son generadas a partir de funciones madre . A esa funcin madre se le agregan un2Bpar de variables que son la escala ( ) que permite hacer dilataciones y contracciones de la+seal y la variable de traslacin ( ), que nos permite mover a la seal en el tiempo. Estas,variables son nmeros reales y obviamente para una escala de 0 la funcin seindetermina. Las se usan en el procesamiento de seales por sus caractersticas,waveletsJalali las describe a continuacin:

"They have the best possible simultaneous concentration in time and infrequency, the set of their finite linear combinations is closed under FourierTransforms, pointwise multiplication and convolution. The scalar product ofany two members of this set is given by an explicit formula. And they are amongthe very few classes of functions where the transition from one to moredimensions is immediate." [JAL00].


Existen diferentes que ya son utilizadas de forma constante y que tienenwaveletsdefiniciones establecidas. Sin embargo, la eleccin de un tipo de depende de lawaveletaplicacin especfica que se le vaya a dar. Actualmente existen muchas aplicaciones enlas que las actan de manera directa, de acuerdo con Kobayashi [KOB99] laswaveletspatentes en Estados Unidos durante el periodo de 1991 a 1998 bajo la palabra sewaveletincrementaron de 3 a 92, lo que nos permite tener una idea de su utilidad y lo que en unfuturo se puede esperar de ellas. Por otro lado la investigacin en este campo se haincrementado notablemente como lo vemos en la figura 4.

Figura 4. Nmero de publicaciones por ao del tema Wavelet.

2.3 Momentos de desvanecimiento

Este concepto es muy importante, ya que nos permite conocer la forma de la y eswaveletun parmetro para saber que tan hbil es la para suprimir un polinomio dado. Lawaveletsuavidad de la esta limitada por el nmero de momentos de desvanecimiento quewavelettenga. El -simo momento de la calculan con la siguiente integral [POL96]:3 wavelet se

(_

_32BB .B ! (8)

de lo anterior se determina que una function tiene momentos de desvanecimiento si la@integral es cero para De donde se toma que todas las seales que tengan3 ! @ "la forma polinomial del tipo:

CB - B"7!

@7

7 (9)


tienen cero coeficientes de wavelet, el concepto de coeficientes se explicar ms adelanteen la seccin 2.5.2. El orden de una transformada de es, normalmente, dado porwaveletel nmero de momentos de desvanecimiento que existan. Otra forma de ver este conceptoes pensar en que la palabra momento se refiere a un promedio, as que cuando el valorpromedio de una es cero, se tiene un momento de desvanecimiento, y loswaveletpolinomios de grado menor a sern eliminados.@

Existen otras carctersticas importantes de las wavelets tales como el soportecompacto, que es la propiedad de que la wavelet sea de duracin finita, lo que permiteuna menor complejidad en los clculos, mejor resolucin en tiempo y pobre resolucin enfrecuencia [POL96]. Tambin est la propiedad de simetra que permite que los filtrossean de fase lineal. La ortogonalidad es la propiedad que se logra cuando el productopunto de dos vectores es igual a cero y es importante en los estudios encontrar este tipode caractersticas para que los anlisis sean estables. Por esa razn las simulacionesfuturas tomarn en cuenta a las ortogonales.wavelets

2.4 Ejemplos de wavelets

Dentro de las ms famosas y utilizadas podemos citar la que es la mswavelets Haarsimple y la ms antiga, se describe con la siguiente funcin :

2B " ! B

" B "!

otro valor.

(10)

"#

"#

y su grfica se muestra en la figura 5. Ah podemos ver que efectivamente es una waveletsencilla. Sin embargo es muy utilizada para anlisis de seales usando transformadasdiscretas y continuas. Tiene un slo momento de desvanecimiento.

Figura 5. Wavelet Haar.


Otra que es muy utilizada en el anlisis de seales es la .wavelet Mexican hatCuyo nombre proviene de la forma que describe su grfica que esta definida por:

7/B2B #" B /$

# B##

1 (11) Esta es la segunda derivada de la funcin de densidad de probabilidadwaveletGaussiana. Como vemos en la figura 6 es simtrica, caracterstica que le permiteexaminar a las seales de un modo simtrico y lineal en la fase, igual que la ondita .HaarNo todas las onditas son simtricas pero tambien se utilizan en los anlisis dependiendodel objetivo que se quiera lograr con ellas.

Figura 6. Wavelet Mexican Hat.

Podemos nombrar otra como que puede tener un orden Nwavelet Daubechiesdependiendo del nmero de momentos de desvanecimiento que se deseen, N es un enteropositivo y denota el nmero de coeficientes de filtro que tiene esa ; por ejemplo lawaveletDaubechies wavelet Haar de orden 1 ( ) es la que hemos visto anteriormente..,"

En la figura 7 podemos ver la de orden 5 ( ), donde elwavelet Daubechies .,&nmero de momentos de desvanecimiento es igual al orden de la . Para este casowaveletla wavelet tienen los siguientes coeficientes de filtro pasa bajas de descomposicin.,&- .,& 0.0033, -0.0126, -0.0062, 0.0776, -0.0322, -0.2423, 0.1384, 0.7243, 0.6038,0.1601}. Podemos ver que existe una relacin del doble entre los nmeros de coeficientesde filtro y los momentos de desvanecimiento.

Esta cuenta con las caractersticas de ortogonalidad y biortogonalidad,waveletademas de que se pueden realizar las transformadas de discretas y continuas conwaveletsella.


Figura 7. Wavelet Daubechies de orden 5.

La posee las caractersticas de ortogonalidad y biortogonalidad ywavelet Symmlettambin permite realizar las transformadas continua y discreta de . Posee lawaveletscualidad de tener diferentes ordenes, de este modo podemos ver en la figura 8 la waveletSymmlet de orden 2 ( ) cuyos coeficientes de filtro pasa bajas de descomposicin=C7#son { -0.1294 0.2241 0.8365 0.4830 . Como se aprecia es asimtrica. El- =C7#nmero de momentos de desvanecimiento es directamente proporcional al orden de lawavelet.

Figura 8. Wavelet Symmlet de orden 2.

Una con mayor nmero de momentos de desvanecimiento es la ,wavelet Coifletcuya grfica se muestra en las figura . Para cada orden diferente de la se tienen* wavelet2N momentos de desvanecimiento. Puede ser simtrica o asimtrica dependiendo delorden N de la con que se trabaje. Los coeficientes de filtro pasabajas dewaveletdescomposicin de la wavelet coif1 son { -0.0157 -0.0727 0.3849 0.8526- -930"0.3379 -0.0727 Para este caso la relacin entre momentos de desvanecimento y nmero de coeficientes se ha perdido.


Figura 9. Wavelet Coiflet de orden 1.

La es otra muestra muy comn de estas funciones finitas. Estawavelet Gaussianase define como la derivada de la funcin de densidad de probabilidad Gaussiana.Matemticamente esta definicin se aprecia como:

1+?=B 8 G8 / 8..B B# (12)

donde es una constante determinada por de . Con estaG8 # 89


En la figura 11 podemos ver que la es simtrica. Por otro ladowavelet Morletdebemos comentar que no posee caractersticas de ortogonalidad ni biortogonalidad,adems de que slo es til para realizar la Transformada Continua de . Existenwaveletsmuchas otras en la literatura entre ellas podemos encontrar la ywavelets Meyer, SplineBiorthogonal, para mayores detalles se puede consultar [JAL00], [KOB99], [MAT00] y[TRE00].

Figura 11. Wavelet Morlet.

Como podemos ver existen una gran variedad de que se han desarrolladowaveletsa lo largo de 12 aos, que es aproximadamente el tiempo que tiene de haber nacido esteconcepto y con l todos los anlisis que ms adelante se explicarn. Todas estasfunciones comparten la caracterstica de ser funciones finitas, propiedad que seaprovecha y que es manipulada mediante las variables de dilatacin y traslacin. Estosvalores determinan que tan abierta o cerrada estar la seal y tambin nos darainformacin sobre el lugar donde se centrar la seal en el plano que se est utilizando. Acontinuacin se presentarn los principales anlisis que permiten hacer las sobrewaveletsseales de inters. De esa forma se podr apreciar mejor la manera en que son utilizadasy aprovechadas las caractersticas de estas funciones tan peculiares.

2.5 Transformadas de wavelets

Las Transformadas de comprenden la Transformada Continua de y laWavelets WaveletsTransformada Discreta de . Estas son las herramientas matemticas queWaveletspermiten el anlisis de seales de manera muy similar que lo hacen las Transformadas deFourier dando informacin en el dominio del tiempo y en el dominio de la frecuencia.Como menciona :Daubechies


"... the wavelet transform is a tool that cuts up data or functions or operatorsinto different frequency components, and then studies each component with aresolution matched to its scale" [JAL00].

2.5.1 Transformada Continua de Wavelets

Ahora que conocemos las propiedades que tienen las y ya que sabemos sobre elwaveletstipo de anlisis que se puede realizar utilizndolas, trabajaremos en definir formalmentelo que es la Transformada Continua de .Wavelets

Para hacer el anlisis de una seal vamos a multiplicar cada punto de dicha sealpor la que se haya elegido, cuyas caractersticas de escala y traslacin sernwaveletpermanentes para todo el proceso, despus cada una de las muestras que se obtienen sevan a sumar y de este modo tendremos la seal traslada del dominio del tiempo aldominio de la frecuencia y el tiempo. Este proceso es el mismo que utiliza laTransformada de Periodo Corto de Fourier (STFT), sin embargo existen algunasdiferencias en los resultados, Polikar las menciona en su tutorial:

"The Fourier transforms of the windowed signals are not taken, and thereforesingle peak will be seen corresponding to a sinusoid, i.e., negative frequenciesare not computed. The width of the window is changed as the transform iscomputed for every single spectral component, which is probably the mostsignificant characteristic of the wavelet transform." [POL96].

La Transformada Continua de de una seal est definida por laWavelets 0Bsiguiente ecuacin:

G[X+ , 2 0 B .B + , + !" B ,l+l + ( a b (14)

donde es la escala y es la traslacin, ambos nmeros reales, y es la funcin a+ , 0Banalizar. Por supuesto que si la escala es cero la no existir y el anlisis sewaveletindeterminar. La variable de escala puede ser vista como donde denota la+ + 000 !!frecuencia central de la wavelet. De esta manera tendremos que la ecuacin (14) sepuede expresar tambin de la siguiente manera:

G[X, 0 2 B , 0 B .B + , + !0 00 0 ( a b9 ! (15)esta transformada permite la representacin de la seal en el plano tiempo-escala.0B


Lo siguiente es explicar como la CWT transforma la seal de un dominio a otroque depende de 2 variables. La variable de escala lleva en si la informacin del ladilatacin y la contraccin de la seal, pero podra verse desde otro punto de vista dondelo que cambia es la frecuencia y con ello al dilatarse la frecuencia se reduce y alcontraerse la frecuencia aumenta. Aqu es justamente donde se aprovecha estcaracterstica de las para obtener la informacin de la seal y conocer suswaveletscomponentes de frecuencia.

En el dominio del tiempo el anlisis es ms sencillo ya que la variable detraslacin tiene la informacin de tiempo, pues nos indica en que lugar del eje del tiempose encuentra la . De este modo se van completando los datos en forma de unawaveletmatriz, donde para cada integral que resolvamos tendremos un punto del planotraslacin-escala, que es equivalente a tener la informacin en el plano tiempo-frecuencia.

En la figura 12 podemos ver el comportamiento de la variable de escala, mientrasque en la figura 13 se muestra la variable de traslacin. Obviamente para obtener unarepresentacin completa del plano traslacin-escala (tiempo-frecuencia) debemos derealizar un barrido desde el inicio de la seal de inters hasta el final de la misma. Ytambin desde los niveles de escala que sean necesarios, porque como podemos apreciarpuede ser que en algn momento nuestra no alcance a cubrir la totalidad de lawaveletseal de inters.

Figura 12. Variable de escala


(a)

(b)

Proceso de anlisis en diferente escala y traslacin.Figura 13.(a) escala fija a 1 y traslacin variante, (b) escala fija a 20 y traslacin variante.

Ahora veremos un ejemplo de lo que es la Transformada de Continua deWavelets, Polikar en [POL96] nos sugiere una seal mostrada en la figura 14. Podemosver que las componentes de frecuencia que tiene son de 30,20,10 y 5Hz. La transformadade la seal se muestra en la figura 15. Los ejes que se manejan son traslacin y escala.

Es importante aclarar que el proceso de transformacin de una seal es reversible,a esto es a lo que en la literatura se le conoce como la Trasformada Inversa Continua deWavelets (ICWT). Esta transformacin inversa esta dada por la siguiente ecuacin:


Figura 14. Seal senoidal Figura 15. Transformada Continua de wavelets.

0B ., .+"GG[X+ ,2

+#B,+

#G( ( (16)

donde es una constante que se determina por la que se ha utilizado en laGG# wavelettransformacin. Esta constante se conoce como constante de admisibilidad y est definidacomo:

G # . _lL ll lG (1 ===__ # (17)donde es la Transformada de Fourier de que es la funcin madre de laL 2B=wavelet utilizada en la transformacin inicial. Bsicamente la debe tener un valorGG finito para que se pueda hacer una transformacin inversa y eso se va a dar en la granmayora de los casos [POL96]. A este proceso de reconstruccin de la seal se le conocecomo sntesis de la seal y generalmente se realiza despus del proceso de anlisis odescomposicin de esa misma seal. Esta herramienta matemtica tambin puede sertomada en cuenta para analizar seales que no son continuas. A continuacin se presentael mismo anlisis pero para seales discretas.

2.5.2 Transformada Discreta de Wavelets

Para explicar como se realiza la transformacin de una seal discreta partamos del hechode que contamos con un par de escalas que cumplen con la condicin que+ +! "corresponden aproximadamente a dos frecuencias , una forma natural de0 0! "discretizar los parmetros de tiempo y escala es submuestrear de acuerdo a la regla de


Nyquist, los coeficientes en escala en a la razn de los coeficientes en la+ " 00 3/=37+9"escala . Para +! wavelets discretas los parmetros de escala y traslacin son elegidos talque en el nivel la es veces el ancho de Esto significa que el4 2Bwavelet + 2+ B +4 4 4! ! !parmetro de escala es y el parmetro de traslacin + , 5, + 4 5+ 4 4! !

4!

[ALA03] De este modo la familia de esta dada por: wavelets

2 B + 2+ B 5, 45 !! !44# (18)

y de esta forma la Transformada Discreta de Wavelets tiene la forma:

. + 0B2+ B 5, .B45 ! !4

!4#( (19)

Para recuperar de los coeficientes { debe existir la siguiente condicin0B . 45de estabilidad,

Ell0Bll l. l Fll0Bll#E F# # #

4 545"" (20)

con y para todas las seales en . Entonces la frmula deE ! F _ 0B P # reconstruccin esta determinada por:

0B . 2 B#E F""4 5

45 45 (21)

Entre ms cercanos sean y ms aproximada ser la reconstruccin. CuandoE FE F " la familia de wavelets es ortonormal [ALA03].

De lo anterior surge un concepto importante que es el Anlisis de Multiresolucin(MRA), que como lo dice el nombre es un anlisis de la seal a estudiar de tal modo quecada componente de frecuencia es analizado con una resolucin diferente. Esto es unaalternativa ms sobre la STFT que analiza todas las componentes de frecuencia a unamisma resolucin dada. En general, las ventajas que ofrece este mtodo es que, con eluso de a altas frecuencias se tiene una buena resolucin en tiempo y pocawavelets,resolucin en frecuencia , mientras que para bajas frecuencias los resultados son buenaresolucin en frecuencia y poca resolucin en tiempo [POL96].

La figura 16 nos muestra que los ejes que se manejan son tiempo y frecuencia,aqu se ejemplifica lo que se mencion anteriormente. Cabe sealar que para la STFT lasventanas seran de igual dimensin para todos los casos ya que la funcin utilizada para


ese anlisis no se dilata ni se contrae, lo que representa una ventaja de la WT sobre laSTFT, ya que se puede tener mayor detalle del comportamiento de la seal, dada laresolucin que puede alcanzar.

Figura 16. Plano tiempo-frecuencia analizado con la WT.

Para el caso de la transformacin discreta debemos tomar en cuenta un muestreoque convierta la seal continua en discreta. El muestreo que se utiliza est basado en elAnlisis de Multiresolucin; entendiendo por resolucin el nmero de niveles dedescomposicin en el dominio de las diferente a los que estamoswavelets. Este muestreo, acostumbrados a realizar cotidianamente, se realiza en base una serie de filtros pasa altasy filtros pasa bajas. Y de este modo se van obteniendo las muestras de bajas y altasfrecuencias. Para esta labor se han diseado un par de trminos importantes que son elDecimado (Down sampling) y Undecimado (Up sampling) [BGG98] que propiamente serefieren al sentido en el que se realiza el muestreo. El decimado se refiere a incrementaren nmero de muestras, mientras que el undecimado se refiere a decrementar el nmerode las mismas.

Por filtro debemos entender un sistema que tiene una ecuacin de diferencia C8y una respuesta al impulso , donde y es un nmero entero que denota el28 8 # NNnmero de niveles de descomposicin. El valor de indica el nmero de muestra que se8est trabajando, todas las muestras estn igualmente espaciadas. El proceso de filtrar unafuncin corresponde a la operacin matemtica de la convolucin que est definidaB8de la siguiente manera [PRO88]:

C8 B828 B728 7"7_

_(22)

A partir de estos conceptos podemos explicar el proceso que se realiza paratransformar una seal al dominio de tiempo y frecuencia. El proceso consiste en una serie


de filtrados repetitivos usando el concepto de decimado, es decir, al principio se utilizaun filtro pasa bajas y otro pasa altas con frecuencia de corte de la mitad de la mximacomponente de frecuencia de la seal a analizar.

Posteriormente el resultado se vuelve a filtrar bajo las mismas caractersticas, lafrecuencia de corte del segundo filtro es la mitad de la mxima componente de frecuenciade la seal que va a entrar a ese filtro, de este modo el proceso se repite y la salida decada filtro va generando un par de muestras ms a las que se tenan inicialmente. Esteproceso se realiza de este modo ya que como se est trabajando con una sealdiscretizada no se podra realizar el mismo proceso que se hizo con la transformadacontinua. El siguiente paso es explicar cmo se obtiene la informacin de tiempo yfrecuencia en este caso. Resulta que al filtrar la seal de sta manera se van generandolos siguientes resultados:

"In summary, the lowpass filtering halves the resolution, but leaves the scaleunchanged. The signal is then subsampled by 2 since half of the number ofsamples are redundant. This doubles the scale." [POL96].

Gracias a eso se obtiene la informacin de la seal, tal y como se hizo con lasseales continuas. Este proceso se puede explicar mejor viendo la figura 17. En ellapodemos apreciar como ingresa la seal a analizar a un par de filtros, uno de ellos es pasabajas y el otro es pasa altas, los cuales se identifican por la especificacin de ancho debanda de la seal a la salida de cada uno, la cual va de la mitad del ancho de banda de laseal de entrada a uno de los extremos. Por ejemplo, tenemos que la seal que entra va de! 18 28 a . El filtro pasa altas es representado por , mientras que el pasa bajas es .1

La salida de ambos filtros se vuelve a enviar a otro par de filtros de las mismascaractersticas. De ste modo se va reduciendo el ancho de banda de la seal y eso setraduce en la reduccin a la mitad de la resolucin. Lo que significa que a mayor nmerode etapas de filtrado se tendr una mayor resolucin.

La salida de los filtros pasa altas se van eliminando por la regla de Nyquist quedice que para poder reconstruir una seal a partir de sus muestras es necesariosmuestrearla al menos con el doble de la frecuencia de esa seal, por lo que la informacinen la salida de los filtros pasa altas no es necesaria. Conforme se van agregando lasetapas de filtrado se va aumentando el nivel de descomposicin de la seal.N


Figura 17. Proceso de Transformacin Discreta de Wavelets.

La explicacin matemtica de este proceso se basa en que los parmetros son+ ,muestreados sobre una rejilla conocida como Paradyadic grid en el plano tiempo-escala.ello tenemos que y con lo que la ecuacin (18) muestra una familia de+ # , "! !wavelets ortonormales de la siguiente forma:

2 B # 2# B 545 44# (23)

y la ortonormalidad se define como:

( _

_45 4 5

w w

2 B2 B.B " 4 4 8 8!w wsi y cualquier otro caso (24)

A continuacin se explica formalmente el Anlisis de Multiresolucin que sedefine como una secuencia de subespacios cerrados {V con las4 # P 4 siguientes propiedades:

3 P ...V V V V V# " ! " # # _______33 P V {0}, y, V+ -4 44 4 # 333 a4 B8 B#8 V V 4 4"

3@ a5 B8 B8 5 V V ! !

@ 8 # # 8 5 4 5 Existe una funcin (n) V tal que { 9 9 9 ! 45 44#


satisface la ecuacin (20) y forma una base ortonormal de V!

"Property (i) denotes the succesive subspaces that are used to represent thedifferent resolutions or scales, while property (ii) guarantees the completenessof these subspaces and ensures that lim Property (iii)4_ 4B 8 B8denotes that V consists of all rescaled versions of V , while property (iv)4" 4means that any translated version of a function belongs to the same space asthe original. Finally, in property (v), the function (.) is called the scaling9function in the multiresolution analysis" [ALA03].

Como la idea del anlisis de multiresolucin es determinar una seal comoB8un lmite de aproximaciones sucesivas, las diferencias entre las dos aproximacionessucesivas en la resolucin 2 y 2 dan los de la seal en la resolucin 2 . En4" 4detallesotras palabras, despus de elegir una resolucin inicial J, cualquier seal B8 P # puede ser expresada como [ALA03]:

B8 - 8 . 2 8" ""5 5

N 5 45 45N 54N

_

9 (25)

donde los o coeficientes de {d son definidos por:detalles wavelets 45

. # B82 # 8 5.845 45 4_

_4#( (26)

y las aproximaciones o coeficientes de escala { se expresan de la siguiente manera:- 45

- # B8 # 8 5.845 45 4_

_4#( 9 (27)

de esta manera queda realizado el Anlisis de Multiresolucin en la seal B8expresandola en trminos de los coeficientes de y en coeficientes de escalawavelets[ALA03]. Este proceso es el que se ha mostrado en la figura 17 y se reafirma con estosconceptos ms formales en la figura 18. El simbolo 2 significa que se hace laoperacin de Decimado.

Figura 18. Anlisis de Multiresolusin de la seal x(n).DWT.


La principal diferencia que existe entre entre este mtodo y la Transformada deFourier es que la informacin de la localizacin de las componentes de frecuencia a lolargo del tiempo no se pierde. Sin embargo la resolucin de ese dato depende de el nivelen el que se encuentre. Los filtros se encuentran relacionados por la siguiente ecuacin[POL96]:

1P " 8 " 288 (28)

Donde es el filtro pasa altas, es el pasa bajas y es la longitud, en18 28 Pmuestras, del filtro que se utilizar en la transformacin. A los filtros que cumplen consta condicin se les conoce como Filtros Espejo de Cuadratura (QMF). La salida de losfiltros se puede expresar de la siguiente manera:

C 5 B81 8 #52312 "n

(29)

C 5 B82 8 #569A "n

(30)

donde y son las salidas de los filtros pasa altas y pasa bajasC 5 C 52312 69Arespectivamente. De este modo y cumpliendo las caractersticas requeridas se puedeanalizar una seal continua que previamente se muestre para hacerla discreta. Y porsupuesto que el proceso es reversible mediante la Transformada Inversa Discreta deWavelets de la ecuacin (25) y donde haciendo algunos despejes se obtiene:

B8 C 51 8 #5 C 52 8 #5"5_

_2312 69A (31)

la cual se realiza por medio de las salidas de los filtros pasa altas y pasabajas multiplicadapor su respuesta al impulso considerando el proceso de decimado y undecimado. Estosresultados son sumados desde la primer muestra hasta la ltima y ya con eso se hareconstruido la seal discreta en el tiempo. Este proceso se muestra en la figura 19.

Figura 19. Anlisis de Multiresolusin de la seal x(n).IDWT


2.6 Aplicaciones

Los procesos que se han mencionado anteriormente son las principales herramientas quese utilizan en el procesamiento y anlisis de seales, pero quizs se est preguntando paraque se utilizan estas Transformaciones en la vida real. La respuesta a esta pregunta es loque se explicar en sta seccin.

La Teora de tiene muchas aplicaciones reales que comprenden laWaveletsdeteccin de discontinuidades y puntos de ruptura en las seales, la identificacin defrecuencias puras, la reduccin de ruido en seales, la compresin de seales,aproximacin de funciones, mtodos espectrales para resolver ecuaciones diferenciales,anlisis de fluidos turbulentos, entre otros [JAL00]. La que ms nos interesa estudiar es,lgicamente, aquella aplicacin con la que es posible reducir el ruido de las seales deinters. Sin embargo, mencionaremos brevemente cmo es que se consiguen algunasotras aplicaciones de las que se han mencionado anteriormente.

La que resulta muy fcil de entender a simple vista es la identificacin defrecuencias puras, pues como hemos visto la Transformada de (en sus 2waveletsversiones) nos permite conocer las frecuencias que tienen la seal analizada, de estemodo y con un tratamiento de extraccin de la informacin adecuado para evitar que stainformacin se corrompa es muy fcil identificar estas frecuencias puras.

La siguiente es la deteccin de discontinuidades y puntos de ruptura en lasseales, es posible utilizar las para estos propsitos pues sus procesos dewaveletsanlisis de multiresolucin nos permite conocer en que momento se presentan loscambios de frecuencias en la seal analizada, de ste modo podemos detectar algn puntoen el que la seal tenga un cambio que puede ser un punto de ruptura o unadiscontinuidad.

La compresin de seales es, quizs, la aplicacin ms famosa de la Teora dewavelets, dado que el FBI (Federal Bureau of Investigation) la ha utilizado para guardarlas imgenes de las huellas digitales en sus archivos[JAL00]. Esta aplicacin es posiblegracias a los coeficientes de que es informacin que sin ser la imagen mismawaveletposee los recursos suficientes, como hemos visto antes, para sintetizar la seal original,de este modo el total de informacin a guardar se reduce considerablemente, ya que no se


guarda la imagen como tal, sino los coeficientes de que en comparacin sonwavelet notablemente menos informacin.

Despus continan otro tipo de aplicaciones que son propiamente los objetivos deestas aplicaciones y donde no se usan directamente los mtodos aqu estudiados, pero sicooperan con la obtencin del resultado final. Entre estas se encuentran las mencionadasanteriormente, mtodos espectrales para resolver ecuaciones diferenciales y anlisis defluidos turbulentos. Para mayor detalle se pueden consultar las siguientes fuentes[KOB99] y [BGG98]. Es importante aclarar que no son todas las aplicaciones que existenpara las , esto es slo una prueba muy pequea de lo que se puede conseguirwaveletsaplicando las Transformadas o las por si solas. Tal y como lo marca la historia,Waveletsel lmite es nuestra imaginacin.

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