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Teoría Positiva del Equilibrio
Basado en el capítulo 17 de “Microeconomic
Theory”, Mas-Colell, Whinston and Green, 1995.
Equilibrio: Definiciones y Ecuaciones Básicas
Funciones de Demanda Excedente en Economías de Intercambio Puro
Considere la función de demanda walrasiana
Proposición
En una economía de intercambio puro en la que las preferencias del
consumidor son continuas, estrictamente convexas y localmente no
saciadas, es un vector de precios de un Equilibrio Walrasiano si y sólosaciadas, es un vector de precios de un Equilibrio Walrasiano si y sólo
si:
Sketch de prueba:
- suponga de existe un bien adicional
- Los mercados limpian.
- Las decisiones son óptimas.
Equilibrio: Definiciones y Ecuaciones Básicas
Definición:
La función de exceso de demanda del consumidor i está dada por
La función de exceso de demanda agregada está dada por:
El dominio de la función son un conjunto de vectores de precios no negativos
que incluye a todos los vectores estrictamente positivos.
El dominio de la función son un conjunto de vectores de precios no negativos
que incluye a todos los vectores estrictamente positivos.
En un equilibrio Walrasiano:
(por no saciedad local)
� para cada bien: si
Equilibrio: Definiciones y Ecuaciones Básicas
Proposición:
Suponga que para cada consumidor i, y es continua ,
estrictamente convexa y fuertemente monótona. Suponga también que
. Entonces la función de demanda excedente agregada ,
definida para todos los vectores de precios satisface las siguientes
propiedades:propiedades:
i. continuidad.
ii. homogeneidad de grado cero.
iii. 0 para todo p (Ley de Walras)
iv. Existe un valor tal que para todos los bienes y
precios.
v. Si , donde y para algún , entonces
Equilibrio: Definiciones y Ecuaciones Básicas
Sketch de Prueba:
i-iii por las propiedades de las funciones de demanda.
iv la cota se debe a la no negatividad de las demandas.
v Existe algún consumidor con riqueza positiva (debido a )
Debido a monoticidad fuerte la demanda para alguno de los bienes
cuyo precio converge a cero debe crecer.
Observación:
Debido a la ley de Walras, para verificar que un vector de precios
limpia todos los mercados basta con verificar que limpia todos los
mercados menos uno. Si debido a
y tenemos que:
Equilibrio: Definiciones y Ecuaciones Básicas
Economías con producción:
Suponga que el conjunto de producción es cerrado, acotado por arriba y
estrictamente convexo.
Sean y los beneficios máximos y el vector de producción
que maximiza los beneficios.
La función de demanda excedente con producción es:
Un vector de precios es el vector de precios de un Equilibrio
Walrasiano si y sólo si .
Existencia de un Equilibio Walrasiano
Economías de Intercambio puro:
Ejemplo con dos bienes:
- Por homogeneidad de grado 0 (propiedad ii) se puede normalizar el
precio del bien 2:
- Por ley de Walras (propiedad iii), un equilibrio es la solución a:
Por propiedades iv y v:
- Existe precio suficientemente bajo tal que:
- Existe precio suficientemente alto tal que:
- Por continuidad(propiedad i) existe precio intermedio
tal que
Existencia de un Equilibio Walrasiano
Economías de intercambio puro:
Caso con L bienes:
Proposición:
Suponga que es una función definida para todos los vectores
estrictamente positivos y que satisface las condiciones i-v. Entonces el
sistema de ecuaciones tiene una solución. Por lo tanto, existesistema de ecuaciones tiene una solución. Por lo tanto, existe
un equilibrio Walrasiano en toda economía de intercambio puro en la
que y cada consumidor tiene preferencias continuas,
estrictamente convexas y fuertemente monótonas.
Comentarios:
- La prueba es una aplicación del teorema del punto fijo de Kakutani.
- Se extiende a economías con producción.
Unicidad Local y el Teorema del Indice
Múltiples equilibrios, en general, no pueden ser descartados:
�
(también ver ejemplo 15.B.2 y ejercicio 17.D.1 en el libro)
Una propiedad más débil es la unicidad local (no existe otro equilibrio
arbitrariamente cerca).
Unicidad Local y el Teorema del Indice
• De ahora en más se normaliza el precio del bien L:
� un equilibrio Walrasiano satisface:
donde
Economías Regulares
Definición:Definición:
Un vector de precios es regular is la matriz de efectos de
precios es no-singular, es decir, tiene rango L-1. Si todos los
vectores de precios de equilibrio normalizados son regulares, la
economía es regular.
(La economía del ejemplo anterior no es regular ya que la pendiente de la
función de demanda excedente es cero para precios de equilibrio)
Unicidad Local y el Teorema del Indice
Proposición:
Todo vector de precios (normalizado ) de equilibrio regular p está
localmente aislado (o es localmente único). Es decir existe tal que
si , y entonce . Si la economía es
regular, el número de vectores de precios de equilibrio normalizados es
finito.
Sketch de la prueba:Sketch de la prueba:
La unicidad local es consecuencia del teorema de la función inversa.
El conjunto de precios de equilibrio es acotado (por propiedad v),
cerrado (por continuidad, propiedad i) y es discreto (por unicidad local)
� el conjunto es finito.
Unicidad Local y el Teorema del Indice
Definición
Suponga que es un equilibrio regular de la
economía. Entonces :
donde es el determinante de
Proposición (Teorema del Indice)
Para cualquier economía regular, se cumple:Para cualquier economía regular, se cumple:
Es decir que el números de equilibrios es impar.
Unicidad Local y el Teorema del Indice
Genericidad
¿Qué proporción de las economías son regulares?
Proposición (Debreu 1970)
Para casi cualquier vector de dotaciones inciales la economía definida por es regular.
Observaciones:
- El análisis de genericidad se extiende a economías con externalidades, impuestos y otras imperfecciones.
- Número finito de equilibrios sigue siendo un resultado vago. Porejemplo los equilibrios pueden ser millones y muy diferentes.
Vale todo!
Teorema de Sonnenschein-Mantel-Debreu
Sin imponer restricciones adicionales, ¿qué más se puede decir en
términos de estática comparada o predicción?
La respuesta es que, en general, no podemos imponer restricciones
adicionales a las demandas excedentes (en línea con los resultados sobre
agregación de demandas, Cap. 4):agregación de demandas, Cap. 4):
Proposición:
Suponga que z(.) es una función continua definida en:
y con valores en . Suponga adicionalmente homogeneidad de grado 0 y
que la ley de Walras se satisface. Entonces existe una economía con L
consumidores para los cuales la función de demanda excedente agregada
coincide con en el dominio .
Unicidad del Equilibrio
A lo largo de esta sección las preferencias son continuas, estrictamente
convexas y fuertemente monótonas.
Proposición:
Dada una economía especificada por una tecnología de rendimientos
constantes a escala Y y una demanda excedente agregada z(.), un vector
de precios p es un vector de precios de un equilibrio Walrasiano si y sólo
si:si:
i. para todo
ii. es un nivel de producción factible, es decir
Prueba:
� ii es consecuencias directas de la definición de equilibrio Walrasiano. i se
satisface en por maximización de los beneficios bajo retornos constantes.
ii implica maximización de la utilidad.
Por ley de Walras que junto con i implica maximización
de beneficios. Los mercados limpian.
Unicidad del Equilibrio
Definición (Axioma Débil para funciones de demanda excedente):
La función de demanda excedente satisface el axioma débil de demanda
excedente (ADDE) si para cualquier para de vectores de precios p y p’ se
cumple:
y implica
Este axioma se satisface para demandas individuales pero es un supuestoEste axioma se satisface para demandas individuales pero es un supuesto
fuerte para demandas agregadas.
Unicidad del Equilibrio
Ejemplo de violación del ADDE y multiplicidad:
Suponga que existe un par de vectores de precios p y p’ tal que ,
y . Entonces los dos vectores son de equililbrio con la
siguiente tecnología de rendimientos constantes a escala:
Gráfico con dos bienes:
Unicidad del Equilibrio
Proposición:
Suponga que la función de demanda excedente z(.) es tal que, para cualquier
tecnología con rendimientos constantes a escala Y, la economía formada por
z(.) e Y tiene un único vector de precios de equilibrio. Entonces, z(.) satisface
el axioma débil de la demanda excedente. Si z(.) satsiface el axioma débil de
la demanda excedente, para cualquier tecnología convexa con rendimientos
constantes a escala, el conjunto de precios de equilibrio es convexo (y por lo
tanto, si el conjunto de vectores de precios normalizados de equilibrio estanto, si el conjunto de vectores de precios normalizados de equilibrio es
finito, puedo haber a lo sumo un vector de precios de equilibrio normalizado).
Sketch de prueba:
La primera parte fue probada en el anterior slide.
Para verificar convexidad considere p y p’ vectores de precios de equilibrio.
Considere y muestre que y que p’’ satisface la
condición i de la definición de equilibrio.
Unicidad del Equilibrio
¿Bajo que condiciones se satisface el ADDE?
Si los vectores de dotaciones individuales son proporcionales entre
sí y preferencias homotéticas.
Pero si la proporcionalidad de las dotaciones no se mantiene, ADDE
puede ser violado aún bajo preferencias homotéticas. puede ser violado aún bajo preferencias homotéticas.
Unicidad del EquilibrioDefinición:
La función satisface la propiedad de sustituibilidad bruta (SB) cuando para
cualquier par de vectores y tales que para un bien y
para resulta para .
Aclaración: por homogeneidad de grado 0 también se obtiene
(chequear como ejercicio).
Proposición:
Una función de demanda agregada que satisface la propiedad de
sustituibilidad bruta tiene a lo sumo un equilibrio de intercambio puro; es
decir z(.) tiene a lo sumo una solución normalizada.
Unicidad del Equilibrio
Prueba:
Basta con probar que z(p)=z(p’) sólo se puede satisfacer si existe un k>0 tal
que p=kp’. Por homogeneidad de grado cero podemos asumir y
para un bien . Considere alterar p’ para llegar a p en L-1 pasos
bajando o manteniendo constantes los precios de los bienes distintos de
uno a la vez. Entonces el exceso de demanda del bien no puede bajar y
ya que los vectores de precios son distintos, debe subir al menos una vez.
Por lo tanto . Es decir no es posible que la demanda excedentePor lo tanto . Es decir no es posible que la demanda excedente
sea nula en los dos casos.
Comentarios:
- Con producción los resultados son limitados.
- EDDA no implica SB, SB no implica EDDA.