TEORIA SUCESIONES Y PROGRESIONES A) CONCEPTO DE SUCESIN A.1 Definicin: Se llama sucesin a un conjunto de nmeros dispuestos uno a continuacin de otro. a1, a2, a3 ,..., an 3, 6, 9,..., 3n Los nmeros a1, a2 , a3 , ...; se llaman trminos de la sucesin. El subndice indica el lugar que el trmino ocupa en la sucesin. El trmino general es an es un criterio que nos permite determinar cualquier trmino de la sucesin. A.2 Determinacin de una sucesin: - Por el trmino general an= 2n-1 a1= 2 1 - 1 = 1 a2= 2 2 - 1 = 3 a3= 2 3 - 1 = 5 a4= 2 4 - 1 = 7 1, 3, 5, 7,..., 2n-1 No todas las sucesiones tienen trmino general. Por ejemplo, la sucesin de los nmeros primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,... - Por una ley de recurrencia Los trminos se obtienen operando con los anteriores. Escribir una sucesin cuyo primer trmino es 2, sabiendo que cada trmino es el cuadrado del anterior. 2, 4, 16, ... Sucesin de Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, ...

Los dos primeros trminos son unos y los dems se obtienen sumando los dos trminos anteriores.

B) OPERACIONES CON SUCESIONES Dadas las sucesiones an y bn: an= a1, a2, a3, ..., an bn= b1, b2, b3, ..., bn B.1 Suma de sucesiones (an) + (bn) = (an + bn) (an) + (bn) = (a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3, ..., an + bn) Propiedades 1. Asociativa: (an + bn) + cn = an + (bn + c n) 2. Conmutativa: an + bn = bn + a n 3. Elemento neutro (0) = (0, 0, 0, ...) an + 0 = an 4. Sucesin opuesta (-an) = (-a1, -a2, -a3, ..., -an) an + (-an) = 0 B.2 Diferencia de sucesiones (an) - (bn) = (an - bn) (an) - (bn) = (a1 - b1, a2 - b2, a3 - b3, ..., an - bn)

B.3 Producto de sucesiones (an) (bn) = (an bn) (an) (bn) = (a1 b1, a2 b2, a3 b3, ..., an bn) Propiedades 1. Asociativa: (an bn) c n = an (bn c n) 2. Conmutativa: an bn = bn a n 3 Elemento neutro (1) = (1, 1, 1, ..) an 1 = an 4. Distributiva respecto a la suma an (bn + c n) = an bn + an c n B.4 Sucesin inversible Una sucesin es inversible o invertible si todos sus trminos son distintos de cero. Si la sucesin bn es inversible, su inversa es:

B.5 Cociente de sucesiones Slo es posible el cociente entre dos sucesiones si el denominador es inversible.

C) TIPOS DE SUCESIONES C.1 Sucesiones convergentes Las sucesiones convergentes son las sucesiones que tienen lmite finito.

Lmite = 0

Lmite = 1 C.2 Sucesiones divergentes Las sucesiones divergentes son las sucesiones que no tienen lmite finito.

Lmite = C.3 Sucesiones oscilantes Las sucesiones oscilantes no son convergentes ni divergentes. Sus trminos alternan de mayor a menor o viceversa. 1, 0, 3, 0, 5, 0, 7, ... C.4 Sucesiones alternadas Las sucesiones alternadas son aquellas que alternan los signos de sus trminos. Pueden ser: - Convergentes 1, 1, 0.5, 0.5, 0.25, 0.25, 0.125, 0.125,.. Tanto los trminos pares como los impares tienen de lmite 0. - Divergentes 1, 1, 2, 4, 3, 9, 4, 16, 5, 25, ... Tantos los trminos pares como los impares tienen de lmite +. - Oscilantes 1, 2, 3, 4 ,5, ..., (1)n n

C.5 Sucesiones montonas

- Sucesiones estrictamente crecientes Se dice que una sucesin es estrictamente creciente si cada trmino es mayor que el anterior. an+1 > an 2, 5, 8, 11, 14, 17,... 5 > 2; 8 > 5; 11 > 8; ... - Sucesiones crecientes Se dice que una sucesin es creciente si cada trmino es mayor o igual que el anterior. an+1 an 2, 2 , 4, 4, 8, 8,... 2 2; 4 2; 4 4; ... - Sucesiones estrictamente decrecientes Se dice que una sucesin es estrictamente decreciente si cada trmino de la sucesin es menor que el anterior. an+1 < an 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6,... 1/2 < 1; 1/3 < 1/2 ; 1/4 < 1/3; ... - Sucesiones decrecientes Se dice que una sucesin es decreciente si cada trmino de la sucesin es menor o igual que el anterior. an+1 an - Sucesiones constantes Se dice que una sucesin es constante si todos su trminos son iguales, an= k. an = an+1

5, 5, 5, 5, ... - Sucesiones acotadas inferiormente Una sucesin est acotada inferiormente si todos sus trminos son mayores o iguales que un cierto nmero K, que llamaremos cota inferior de la sucesin. an k A la mayor de las cotas inferiores se le llama extremo inferior o nfimo. Si el nfimo de una sucesin es uno de sus trminos se le llama mnimo. Toda sucesin acotada inferiormente es creciente. - Sucesiones acotadas superiormente Una sucesin est acotada superiormente si todos sus trminos son menores o iguales que un cierto nmero K', que llamaremos cota superior de la sucesin. an k' A la menor de las cotas superiores se le llama extremo superior o supremo. Si el supremo de una sucesin es uno de sus trminos se llama mximo. Toda sucesin acotada superiormente es montona decreciente. - Sucesiones acotadas Una sucesin se dice acotada si est acotada superior e inferiormente. Es decir si hay un nmero k menor o igual que todos los trminos de la sucesin y otro K' mayor o igual que todos los trminos de la sucesin. Por lo que todos los trminos de la sucesin estn comprendidos entre k y K'. k an K'

D) PROGRESIONES ARITMTICAS Una progresin aritmtica es una sucesin de nmeros tales que cada uno de ellos (salvo el primero) es igual al anterior ms un nmero fijo llamado diferencia que se representa por d. 8, 3, -2, -7, -12, ... 3 - 8 = -5 -2 - 3 = -5 -7 - (-2) = -5 -12 - (-7) = -5

d= -5. D.1 Trmino general de una progresin aritmtica 1. Si conocemos el 1er trmino. an = a1 + (n - 1) d 8, 3, -2, -7, -12, .. an= 8 + (n-1) (-5) = 8 -5n +5 = = -5n + 13 2. Si conocemos el valor que ocupa cualquier otro trmino de la progresin. an = ak + (n - k) d a4= -7 y d= -5 an = -7+ (n - 4) (-5)= -7 -5n +20 = -5n + 13 D.2 Interpolacin de trminos en una progresin aritmtica Interpolar medios diferenciales o aritmticos entre dos nmeros, es construir una progresin aritmtica que tenga por extremos los nmeros dados. Sean los extremos a y b, y el nmero de medios a interpolar m.

Interpolar tres medios aritmticos entre 8 y -12.

8, 3, -2, -7 , -12. D.3 Suma de trminos equidistantes de una progresin aritmtica Sean ai y aj dos trminos equidistantes de los extremos, se cumple que la suma de trminos equidistantes es igual a la suma de los extremos. ai + aj = a1 + an

a3 + an-2 = a2 + an-1 = ... = a1 + an 8, 3, -2, -7, -12, ... 3 + (-7) = (-2) + (-2) = 8 + (-12) -4 = -4 = -4

D.4 Suma de n trminos consecutivos de una progresin aritmtica

Calcular la suma de los primeros 5 trminos de la progresin : 8, 3, -2, -7, -12, ...

E) PROGRESIONES GEOMTRICAS Una progresin geomtrica es una sucesin en la que cada trmino se obtiene multiplicando al anterior una cantidad fija r, llamada razn.

Si tenemos la sucesin: 3, 6, 12, 24, 48, ... 6/3 = 2 12/6 = 2 24/12 = 2 48/24 = 2 r= 2. E.1 Trmino general de una progresin geomtrica 1. Si conocemos el 1er trmino. an = a1 rn-1 3, 6, 12, 24, 48, .. an = 3 2n-1 = 3 2n 2-1 = (3/2) 2n 2. Si conocemos el valor que ocupa cualquier otro trmino de la progresin. an = ak rn-k a4= 24, k=4 y r=2. an = a4 rn-4 an = 24 2n-4= (24/16) 2n = (3/2) 2n

E.2 Interpolacin de trminos en una progresin geomtrica Interpolar medios geomtricos o proporcionales entre dos nmeros, es construir una progresin geomtrica que tenga por extremos los nmeros dados. Sean los extremos a y b, y el nmero de medios a interpolar m.

Interpolar tres medios geomtricos entre 3 y 48.

3, 6, 12, 24 , 48. E.3 Suma de n trminos consecutivos de una progresin geomtrica

Calcular la suma de los primeros 5 trminos de la progresin: 3, 6, 12, 24, 48, ...

E.4 Suma de los trminos de una progresin geomtrica decreciente

Calcular la suma de los trminos de la progresin geomtrica decreciente ilimitada:

E.5 Producto de dos trminos equidistantes Sean ai y aj dos trminos equidistantes de los extremos, se cumple que el producto de trminos equidistantes es igual al producto de los extremos. ai . aj = a1 . an

a3 an-2 = a2 an-1 = ... = a1 an 3, 6. 12, 24, 48, ... 48 3 = 6 24 = 12 12 144 = 144 =144 E.6 Producto de n trminos equidistantes de una progresin geomtrica

Calcular el producto de los primeros 5 trminos de la progresin: 3, 6, 12, 24, 48, ...

D) TRMINO GENERAL (CLCULO) 1. Comprobar si la sucesin es una progresin aritmtica. 8, 3, -2, -7, -12, ... 3 - 8= -5 -2 - 3 = -5 -7 - (-2) = -5 -12 - (-7) = -5 d= -5. an= 8 + (n - 1) (-5) = 8 -5n +5 = -5n + 13

2.Comprobar si la sucesin es una progresin geomtrica. 3, 6, 12, 24, 48, ... 6/3=2 12 / 6 = 2 24 / 12 = 2 48 / 24 = 2 r= 2. an = 3 2 n-1

3. Comprobar si los trminos de la sucesin son cuadrados perfectos. 4, 9, 16, 25, 36, 49, ... 22, 32, 42, 52, 62, 72, ... Observamos que las bases estn en progresin aritmtica, siendo d = 1, y el exponente es constante. bn= 2 + (n - 1) 1 = 2 + n -1 = n+1 Por lo que el trmino general es: an= (n + 1)2 Tambin nos podemos encontrar con sucesiones cuyos trminos son nmeros prximos a cuadrados perfectos. 5, 10, 17, 26, 37, 50, ... 22 +1 , 32 +1, 42 +1, 52 +1, 62 +1 , 72 +1, ... Hallamos el trmino general como vimos en el ejemplo anterior y le sumamos 1. an= (n + 1) 2 + 1 6, 11, 18, 27, 38, 51, ... 22 +2 , 32 +2, 42 +1, 52 +2, 62 +2 , 72 +2, ... an= (n + 1)2 + 2 3, 8, 15, 24, 35, 48, ... 22 -1 , 32 -1, 42 -1, 52 -1, 62 -1 , 72 -1, ... an= (n + 1)2 - 1 2, 7, 14, 23, 34, 47, ... 22 -2 , 32 -2, 42 -2, 52 -2, 62 -2 , 72 -2, ... an= (n + 1) 2 - 2 4. Si los trminos de la sucesin cambian consecutivamente de signo. Si los trminos impares son negativos y los pares positivos: Multiplicamos an por (-1)n. -4, 9, -16, 25, -36, 49, ... an= (-1)n (n + 1)2 Si los trminos impares son positivos y los pares negativos: Multiplicamos an por (-1)n-1.

4, -9, 16, -25, 36, -49, ... an= (-1)n-1 (n + 1)2 5. Si los trminos de la sucesin son fraccionarios (no siendo una progresin). Se calcula el trmino general del numerador y denominador por separado. an= bn /c n 2/4, 5/9, 8/16, 11/25, 14/36,... Tenemos dos sucesiones: 2, 5, 8, 11, 14, ... 4, 9, 16, 25, 36, ... La primera es una progresin aritmtica con d= 3, la segunda es una sucesin de cuadrados perfectos. an= (3n - 1)/(n + 1)2