Teorie čísel Nekonečno

Teoretická informatikaTomáš Foltý[email protected]

Teorie číselNekonečno

Teoretická informatika

Opakování z minulé přednášky

• Jak je definována podmnožina, průnik, sjednocení, rozdíl?

• Jak je definována uspořádaná dvojice a kartézský součin?

• Co je to relace? Jaké vlastnosti mohou mít relace na množině?

• Co je to zobrazení? Jaké může mít vlastnosti?

• Formulujte alespoň 3 axiomy teorie množin

strana 2


Teorie čísel

• Odvětví matematiky zabývající se čísly– Definice číselných množin

– Definice operací na číselných množinách

– Vlastnosti (zejm. dělitelnost)

– Souvislost s algebrou

• Číselné množinyN – přirozená čísla Z – celá čísla

Q – racionální čísla I – iracionální čísla

R – reálná čísla C – komplexní čísla

strana 3


Přirozená čísla (N)

• Množina spolu se zobrazením succ• Peanovy axiomy

– (!x)(y)(xsucc(y)) … toto číslo značíme 0– (x,y)(succ(x) = succ(y) x = y)– (x)(x+0 = x)– (x,y)(x+succ(y) = succ(x+y))– (x)(x*0 = 0)– (x,y)(x*succ(y) = x*y + x)– Je-li U N taková, že 0U a (x)(xUsucc(x)U),

potom U = N.

strana 4


Přirozená čísla a nula

• Axiomatická definice vyžaduje, aby 0 N• Všeobecně platí, že 0N

– zejména z historických důvodů

• Nadále tedy nulu nebudeme považovat za přirozené číslo– rozlišujeme tedy N a N0.

• Pouze pro potřeby axiomatické výstavby nulu do N zahrneme.

strana 5


Celá čísla (Z)

• K množině N „připojíme“ všechny rozdíly přirozených čísel, které v ní dosud nejsou

• Na množině NN zavedeme relaci – (a,b) (c,d) a+d = b+c

– Tato relace je ekvivalencí

• Množinu celých čísel definujeme jako rozklad příslušný této ekvivalenciZ = NN/

• Teprve nyní lze zavést operaci rozdílu!

strana 6


Racionální čísla (Q)

• Racionální čísla lze vyjádřit jako podíl dvou celých čísel– na přirozených ani celých číslech podíl nelze definovat

• Konstrukce založená na kartézském součinu Z (Z-{0})

• Na něm definujeme relaci – (a,b) (c,d) a*d = b*c– Místo (a,b) píšeme a/b

• Q = Z (Z-{0})/• Operace jsou definovány

– a/b + c/d = (a*d+c*b)/(b*d)– a/b * c/d = (a*c)/(b*d)

strana 7


Reálná čísla (R)

• Na množině Q definujeme řez jako dvojici množin A, B Q, značíme (A/B), které jsou neprázdné, disjunktní a platí ( aA, bB)(a<b)

• Nastávají 3 možnosti– A obsahuje největší číslo, B neobsahuje nejmenší číslo

• např. ({xQ|x5}/{xQ|x>5})– A neobsahuje největší číslo, B obsahuje nejmenší číslo

• např. ({xQ|x<5}/{xQ|x5})– A neobsahuje největší číslo, B neobsahuje nejmenší číslo

• např. ({xQ|x22}/{xQ|x2>2})• Množina reálných čísel je množina všech řezů na Q

R = {(A/B)}

strana 8


Komplexní čísla (C)

• Motivace k zavedení C: Výpočet odmocnin ze záporných čísel

• C = R R• Místo (a,b) píšeme a+bi• Operace:

– (a+bi) + (c+di) = (a+c)+(b+d)i– (a+bi) * (c+di) = (ac-bd)+(ad+bc)i

• Imaginární jednotka i– (0+1i) * (0+1i) = -1+0i

strana 9

Teoretická informatikaTomáš Foltý[email protected]

Nekonečné množiny


O pojmu nekonečno

• Bouřlivý historický vývoj– Potenciální x aktuální nekonečno

• Zenon z Eleje a jeho paradox o Achillovi a želvě

• Aproximativní výpočty – Eudoxos, Archimédes

• Integrální počet – Newton, Leibniz

strana 11


Kardinalita

• U konečných množin máme počet prvků• U nekonečných množin používáme pojem

mohutnost (též kardinalita)• Kdy jsou dvě množiny stejně mohutné?

– Když mezi nimi existuje bijekce• Množiny, které mají stejnou mohutnost jako N,

se nazývají spočetné– Spočetné jsou tedy ty množiny, jejichž prvky lze

uspořádat do posloupnosti• Ostatní nekonečné množiny jsou nespočetné

strana 12


Spočetné množiny

• Označme S množinu všech sudých čísel– S = {2, 4 ,6, …}

• Zobrazení f: N S, f(n) = 2*n je bijekce N na S. Množina S je tedy spočetná.– Sudých čísel je tedy stejný počet jako všech

přirozených čísel• Celek je stejně velký jako jeho část!

• Podobně ukážeme, že Z je spočetná množina– Jak definovat bijekci mezi N a Z?

strana 13


Spočetnost racionálních čísel

• Stejný problém jako spočetnost NN

• Dvojice N čísel uspořádáme do posloupnosti podle obrázku

• Důsledek: Nn je spočetná pro každé přirozené n

NN 1 2 3 … n …

1 (1,1) (1,2) (1,3) … (1,n) …

2 (2,1) (2,2) (2,3) … (2,n) …

3 (3,1) (3,2) (3,3) … (3,n) …

… … … … … … …

m (m,1) (m,2) (m,3) … (m,n) …

… … … … … … …

strana 14


Nespočetnost reálných čísel

• Reálná čísla tvoří nespočetnou množinu– Nelze je uspořádat do posloupnosti– Důkaz G. Cantora (1891)– Metoda diagonalizace

• Ukážeme dokonce, že reálná čísla v intervalu <0,1) tvoří nespočetnou množinu

strana 15


Cantorův důkaz I.

• Důkaz sporem• R čísla z (0,1) – nekonečná posloupnost

nekonečných posloupností číslic desetinných částí

• Zapíšeme do matice M• Pokud takto skutečně vyjádříme všechna čísla,

dokážeme spočetnost• Vezmeme posloupnost číslic na úhlopříčce a

zkonstruujeme číslo d– di = 2, pokud mi,i2, di = 3, pokud mi,i=2

strana 16


Cantorův důkaz II.

• Zkonstruovali jsme reálné číslo d.• To však v matici evidentně není, protože n-tá posloupnost má v n-tém sloupci jinou číslici

• Našli jsme tedy nové reálné číslo• Reálná čísla tedy nelze bezezbytku

seřadit do nekonečné posloupnosti• Reálná čísla jsou tedy nespočetná

strana 17


Kardinální čísla I.

• Mohutnost množiny označuje kardinální číslo

• Mohutnost spočetné množiny (N) je o

– čteme „alef nula“

• Mohutnost R je dána jako mohutnost množiny všech podmnožin spočetné množiny, nazývá se mohutnost kontinua a značí se c– 2o ≤ c

strana 18


Kardinální čísla II.

• Cantorův důkaz ukazuje, že o< 2o

• Aritmetika kard. čísel 2o 2o = 2o

• Z Cantorova důkazu (věty) plyne neexistence největšího kardinálního čísla– Potenční množina má vždy větší mohutnost

• Kardinální čísla netvoří množinu– díky axiomu sjednocení by existovalo největší

kardinální číslo

strana 19


Kardinální čísla III.

• Neexistuje množina všech množin – její potenční množina by byla nejvýše tak

velká jako ona sama

• Známá kardinální čísla jsou konečná (přirozená čísla) a nekonečná (nejmenší je o, větší je např. c)

• Nevíme, zda je c nejmenší nespočetné kardinální číslo– nerozhodnutelný problém teorie množin

strana 20

Documents

Teorie čísel Nekonečno