Teorie řízení technologických procesů Ikatedry.fmmi.vsb.cz/Opory_FMMI/638/638-Teorie_rizeni_technologickych_procesu_I.pdf• Vytvořit všechny programy, které jsou v zadání

1

Vysoká škola báňská – Technická univerzita Ostrava

Teorie řízení technologických

procesů I testovací učební text

Milan HEGER, Alois BURÝ

Ostrava 2017

2

POKYNY KE STUDIU

Teorie řízení technologických procesů I

Pro předmět Teorie řízení technologických procesů I jste obdrželi studijní balík obsahující

integrované skriptum pro kombinované studium obsahující i pokyny ke studiu.

Prerekvizity

Nejsou nutnou podmínkou.

Cílem předmětu a výstupy z učení

Cílem předmětu je seznámení s problematikou automatického řízení a problematice řešení

úloh řízení technologických agregátů obecně.

Po prostudování předmětu by měl student být schopen:

výstupy znalostí:

Student bude znát základní pojmy a vztahy teorie automatického řízení.

Student bude znát základní principy řízení.

Student bude znát vlastnosti dynamických systémů.

Student bude znát funkce řídicích systémů.

výstupy dovedností:

Student bude umět klasifikovat a aplikovat jednotlivé metody teorie automatického řízení v

praxi.

Student bude umět navrhovat postupy pro automatické řízení jednotlivých technologických

agregátů.

Student bude umět analyzovat problematiku technické aplikace automatického řízení

technologických agregátů.

Pro koho je předmět určen

Předmět je zařazen do bakalářského studia na FMMI, ale může jej studovat i zájemce

z kteréhokoliv jiného oboru, pokud splňuje požadované prerekvizity.

Studijní opora se dělí na části, kapitoly, které odpovídají logickému dělení studované látky,

ale nejsou stejně obsáhlé. Předpokládaná doba ke studiu kapitoly se může výrazně lišit, proto

jsou velké kapitoly děleny dále na číslované podkapitoly a těm odpovídá níže popsaná

struktura.

Při studiu každé kapitoly doporučujeme následující postup:

• Pozorně přečíst teoretickou část kapitoly.

• Ihned si na počítači vyzkoušet všechny, byť jen dílčí příklady.

3

• Vytvořit všechny programy, které jsou v zadání úloh k řešení a snažit se je tvůrčím

způsobem modifikovat.

Způsob komunikace s vyučujícími:

Podrobnější pokyny, tak jako úkoly, programy a projekty budou zadány vyučujícím na

počátku přímé kontaktní výuky. Výsledky budou kontrolovány dle pokynů vyučujícího.

Konzultace je možno domluvit s vyučujícím přímo ve výuce nebo e-mailem s vyučujícím,

který naleznete v kontaktech VŠB-TU Ostrava.

K orientaci v textu vám mohou sloužit následující ikony:

Čas ke studiu: xx hodin

Na úvod kapitoly je uveden čas potřebný k prostudování látky. Čas je orientační a může vám

sloužit jako hrubé vodítko pro rozvržení studia celého předmětu či kapitoly. Čas strávený nad

každou kapitolou bude značně závislý na množství příkladů, které budete řešit samostatně na

počítači a hloubce jejich propracování.

Cíl: Po prostudování tohoto odstavce budete umět

popsat ...

definovat ...

vyřešit ...

Nejprve se seznámíte s cíli, kterých máte dosáhnout po prostudování této kapitoly. Jde o

konkrétní dovednosti, znalosti a praktické zkušenosti, které studiem kapitoly získáte.

Výklad

Následuje výklad studované látky, zavedení nových pojmů, jejich vysvětlení, vše

doprovázeno obrázky, tabulkami, příklady a odkazy na výukové programy s animacemi.

Shrnutí pojmů

Na závěr kapitoly jsou stručně zopakovány významné pasáže a pojmy, které si máte osvojit.

Otázky

4

Pro ověření, že jste dobře a úplně látku kapitoly zvládli, máte k dispozici několik

teoretických, ale i praktických otázek.

Úlohy k řešení

Protože většina teoretických pojmů tohoto předmětu má bezprostřední význam a využití v

praxi, jsou Vám nakonec předkládány i praktické úlohy k řešení. V nich je hlavní význam

předmětu, a to schopnost aplikovat čerstvě nabyté znalosti při řešení reálných situací.

Spojení s pedagogem

Pro studenty kombinovaného studia jsou přednášející a cvičící pedagogové

připraveni konzultovat probíranou problematiku formou e-mailu, které je aktuálně snadné

získat v kontaktech VŠB-TU Ostrava.

Úspěšné a příjemné studium s touto učebnicí Vám přeje autor výukového materiálu

Milan Heger © M. Heger – A. Burý

Obsah

1. ZÁKLADNÍ POJMY Z OBLASTI SYSTÉMŮ A ŘÍZENÍ .......................................... 6 1.1. Systémy a řízení ...................................................................................................................... 6

2. LOGICKÉ OBVODY A JEJICH ÚLOHA V ŘÍZENÍ ............................................... 11

5

2.1. Teorie logických obvodů ....................................................................................................... 11 3. KOMBINAČNÍ LOGICKÉ OBVODY A JEJICH ÚLOHA V ŘÍZENÍ ................... 22

3.1. Teorie kombinačních logických obvodů ............................................................................... 22

4. SEKVENČNÍ LOGICKÉ OBVODY A JEJICH ÚLOHA V ŘÍZENÍ ...................... 24 4.1. Teorie sekvenčních logických obvodů .................................................................................. 24

ELEMENTÁRNÍ SEKVENČNÍ LOGICKÝ OBVOD ........................................................... 25 5. KLOPNÉ OBVODY A JEJICH APLIKACE .............................................................. 28

5.1. Teorie klopných obvodů ........................................................................................................ 28 5.2. RS klopný obvod ................................................................................................................... 29 5.3. JK klopný obvod ................................................................................................................... 30 5.4. T klopný obvod ..................................................................................................................... 31 5.5. D klopný obvod ..................................................................................................................... 32

6. DYNAMICKÉ SYSTÉMY A JEJICH APLIKACE ................................................... 35 6.1. Teorie dynamických systémů ................................................................................................ 35

7. POPIS LINEÁRNÍCH DYNAMICKÝCH SYSTÉMŮ ............................................... 37 7.1. Možnosti popisu lineárních dynamických systémů ............................................................... 37

8. CHARAKTERISTIKY DYNAMICKÝCH SYSTÉMŮ ............................................. 40 8.1. Charakteristiky dynamických systémů v časové oblasti ....................................................... 40

9. FREKVENČNÍ CHARAKTERISTIKY ....................................................................... 45 9.1. Frekvenční přenos a frekvenční charakteristiky .................................................................... 45

10. ROZDĚLENÍ ZÁKLADNÍCH DYNAMICKÝCH SYSTÉMŮ A JEJICH

MATEMATICKÝ POPIS ..................................................................................................... 53 10.1. Základní dynamické systémy ............................................................................................ 53

11. BLOKOVÁ ALGEBRA ................................................................................................. 57 11.1. Teorie blokové algebry ...................................................................................................... 57

12. REGULAČNÍ OBVOD .................................................................................................. 61 12.1. Struktura regulačního obvodu ........................................................................................... 61

13. REGULÁTORY .............................................................................................................. 66 13.1. Struktura a popis regulátorů .............................................................................................. 66

14. SIMULACE REGULAČNÍCH OBVODŮ ................................................................... 72 14.1. Pojem simulace .................................................................................................................. 72

6

1. Základní pojmy z oblasti systémů a řízení

1.1. Systémy a řízení

Čas ke studiu: 1 hodina

Cíl Po prostudování tohoto odstavce budete umět

definovat základní pojmy automatického řízení

popsat a rozdělit systémy

vyřešit vztahy mezi systémy, řízením, ovládáním a regulací

určit vztahy automatického řízení s ostatními oblastmi IT

Výklad

V reálném světě se setkáváme s různými objekty, z kterých je tvořen vesmír. Od známých i

neznámých galaxií, přes hvězdy, sluneční soustavy a planety přes jednotlivě rostliny a

živočichy až po molekuly, atomy, jejich jádra a elektrony a další částice, které třeba budou

objeveny až za několik let. Z hlediska kybernetiky a teorie řízení budeme každý takový

objekt, který chceme zkoumat nebo nějakým způsobem na něj působit, nazývat systém.

Z uvedeného výčtu objektů bude tedy možno systémy dělit podle různých hledisek a je zde

také možno vypozorovat, že některé systémy jsou součástí (podsystémem) systémů jiných.

Výběr a označení objektu zájmu za systém budou tedy závislé na potřebné rozlišovací úrovni

zkoumání.

Definice a rozdělení systémů z hlediska teorie řízení

Systém je definován jako účelově uspořádaná množina prvků a množina vazeb mezi nimi,

se specifickým chováním, které spolu určují vlastnosti celku.

Pro práci se složitými a rozsáhlými objekty, jako jsou například výrobní a technologické

metalurgické procesy, je nutný systémový přístup, který spočívá v tom, že jevy vyskytující se

při řešení vzniklých problémů, jsou chápany komplexně, ve všech souvislostech a ve svém

dynamickém vývoji.

7

Prvek je část systému, který tvoří na dané rozlišovací úrovni dále nedělitelný celek.

Rozlišovací úroveň charakterizuje stupeň podrobnosti zkoumání systému. Změnou

rozlišovací úrovně se může prvek stát systémem a naopak.

Podsystém je podmnožina systémových prvků a vazeb, která je z nějakého důvodu vyčleněna

ze systému. Většinou je chápana jako nový systém.

Každý systém existuje v určitém specifickém okolí. Je proto výhodné omezit se pouze na

podstatné okolí, které je se systémem v přímé interakci.

Pokud neexistují vazby mezi prvky sledovaného systému a okolím, pak takový systém

nazýváme uzavřený neboli izolovaný.

Pokud existují vazby mezi prvky sledovaného systému a okolím, pak takový systém

nazýváme otevřený.

Výstupem systému budeme označovat vazby, kterými působí systém na okolí.

Aby byl systém pozorovatelný, musí mít alespoň jeden výstup.

Vstupem systému budeme označovat vazby, jejichž prostřednictvím působí okolí na systém.

Aby byl systém řiditelný, musí mít alespoň jeden vstup.

Chování systému je způsob specifické reakce systému na podněty z okolí.

Řízení, ovládání a regulace

Řízení je možno chápat jako cílevědomé působení řídicího systému (ŘS) na řízený objekt

(ŘO) a to tak, aby byly za všech reálných okolností splněny požadované cíle řízení.

Problematikou řízení technických systémů se zabývá technická kybernetika.

Rozhodující pro rozlišení dvou základních přístupů k řízení je využití tzv. zpětné vazby

(znalosti skutečné hodnoty výstupu řízeného objektu řídicím systémem).

8

Řízení bez zpětné vazby

Není li při řízení využita zpětná vazba, hovoříme o dopředném řízení nebo ovládání.

Řízení se zpětnou vazbou

Je-li při řízení využita zpětná vazba, hovoříme o regulaci.

Automatizace, automatické a automatizované systémy řízení

Automatizace může být chápána jako cílevědomý proces zavádění a využívání prostředků

automatizační techniky do všech oblastí lidské činnosti.

Cílem jejího zavádění je snaha o stálé zvyšování efektivity lidských činností.

Automatické řízení je řízení, které je realizováno výlučně prostředky automatizační

techniky.

Automatizované řízení je řízení člověkem, které je racionalizované za pomoci prostředků

automatizační techniky.

Vazba na technické prostředky řízení metalurgických procesů, identifikaci, modelování

a simulaci

Problematika řízení v tomto učebním textu bude výhradně zaměřena na informační stránku.

Technická řešení spojená s fyzikální stránkou řízených procesu a tomu odpovídající technické

Řídicí systém

Řízený objekt

cíl řízení výsledek řízení působení ŘS na ŘO

Řídicí systém

Řízený objekt

cíl řízení výsledek řízení působení ŘS na ŘO

zpětná vazba

9

prostředky budou zmíněny jen okrajově, neboť jim je věnováno několik základních předmětů

oboru (technické prostředky, počítačové sítě, řídicí systémy, PLC apod.).

Identifikace slouží k získání potřebných informací o sledovaném objektu a jejím cílem je

vytvořit některý z jeho matematických popisů.

Modelování slouží k získání matematických nebo jiných modelů sledovaného objektu

potřebných pro možné simulace.

Simulace slouží k experimentování s matematickým nebo jiným modelem za účelem získání

potřebných informací o sledovaném objektu.

Shrnutí pojmů kapitoly (podkapitoly)

V této kapitole jste se seznámili s následujícími pojmy, které byly v textu rozebrány, a které je

nutné znát (můžete je stručně charakterizovat):

Systém ……………………………………………………………………….

Prvek systému ……………………………………………………………………….

Podsystém ……………………………………………………………………….

Vstup systému ……………………………………………………………………….

Výstup systému ……………………………………………………………………….

Chování systémů ……………………………………………………………………….

Řízení ……………………………………………………………………….

Ovládání ……………………………………………………………………….

Regulace ……………………………………………………………………….

Automatizace ……………………………………………………………………….

Automatizovaný systém ……………………………………………………………………….

Automatický systém ……………………………………………………………………….

Identifikace ……………………………………………………………………….

Modelování ……………………………………………………………………….

Simulace ……………………………………………………………………….

10

Otázky k probranému učivu

o

1. Co znamená pojem systém?

2. Co znamená pojem prvek systému?

3. Co znamená pojem podsystém?

4. Co znamená pojem řízení?

5. Co znamená pojem ovládání?

6. Co znamená pojem regulace?

7. Co znamená pojem automatizace?

8. Co znamená pojem automatizovaný systém?

9. Co znamená pojem automatický systém

10. Co znamená pojem identifikace

11. Co znamená pojem modelování

12. Co znamená pojem simulace

11

2. Logické obvody a jejich úloha v řízení

V technické praxi, ale i při běžných lidských činnostech se setkáváme s mnoha typy řízení,

které se mohou ve svém přístupu diametrálně lišit. Někdy je nutné rozhodnout se výběrem

jedné ze dvou opačných řešení a na základě tohoto rozhodnutí buď provést, nebo naopak

neprovést nějakou operaci.

Jako příklad může sloužit rozhodnutí, zda si s sebou vzít deštník, na základě zjištění toho,

jestli venku prší nebo neprší. Také rozhodnutí, zda v daný okamžik otevřít dvířka pece, může

být jednoznačně určeno tím, že je v tento okamžik splněn nějaký ukazatel toho, že je vsázka

pece právě připravena k odebrání z pece.

Oba případy mají něco společného. Míra reakce řídicího systému není přímo závislá na

konkrétní okamžité hodnotě nějaké sledované fyzikální veličiny (není klasickou

matematickou funkcí, např. y(t) = 10*u(t)). Řídicí systém generuje na svém výstupu

rozhodnutí, která nabývají pouze jednu ze dvou protichůdných hodnot (z matematického

hlediska označovaných jako výroky, které mohou z informačního hlediska nabývat pouze

dvou hodnot: true-false, nebo česky: ano-ne). Tato rozhodnutí jsou generována na základě

logického posouzení okamžité kombinace dvouhodnotových vstupních hodnot.

Logický obvod

2.1. Teorie logických obvodů

Čas ke studiu: 5 hodin


definovat základní logické funkce

popsat logický obvod logickou funkcí

Logický obvod

Vstupy

Výstupy

12

vyřešit minimalizaci logické funkce

Automatické řízení logického typu je realizováno pomocí logických obvodů (logických sítí,

logických systémů), viz. obrázek 3.

z

x u LO ŘO

y

Obr.3 Blokové schéma obvodu řízení logického typu

Do logických obvodů (LO) vstupují dvouhodnotové signály y od snímačů, které informují o

stavech řízeného objektu (ŘO). Logické obvody pak působí na řízený objekt

dvouhodnotovými řídícími (ovládacími) signály u, které jej přes patřičné akční členy uvedou

do požadovaného stavu. A to podle algoritmu, který je dán návrhem logického obvodu, a

který respektuje vnější řídící povely x i poruchové vlivy z působící na objekt řízení.

Přičemž řídicí systém (logický obvod) působí na objekt řízení konečným počtem řídicích akcí

(konečný automat).

Logické obvody jsou takové technické systémy, které zpracovávají dvouhodnotové (binární) signály,

ať již je jejich fyzikální realizace z elektromechanických, elektronických, pneumatických nebo

hydraulických obvodů.

Pozn.: Logické obvody se široce používají při automatickém řízení logického typu, kontrole různých

technologických procesů, při automatickém řízení dopravy, při řízení spojení a dálkovém přenosu

zpráv ve spojovací technice, při řízení práce číslicových počítačů a mikroprocesorových systémů, atd.

Formální logika

13

Při návrhu logického obvodu, jenž by vytvářel binární výstupní (ovládací) signály podle požadované

zákonitosti (algoritmu), je nutno tuto zákonitost matematicky formulovat. K získání matematického

popisu funkce logického obvodu se používá pravidel a zákonů formální logiky. Formální logika

pracuje s výroky. Základním pojmem pro logické vztahy je výrok. Výrokem se rozumí každá věta, o

které můžeme rozhodnout, zda je pravdivá či nepravdivá.

Příklad výroku: „Výrobní stroj pracuje (produkuje).“ Toto je výrok, protože má smysl se zeptat: Je

pravda, že výrobní stroj pracuje? A odpověď by byla (dle konkrétní situace): Ano je to pravda

(TRUE). Nebo: není to pravda (FALSE). V tomto smyslu výroky mají určitou hodnotu (TRUE či

FALSE) a jsou nositeli elementární informace.

Matematicky můžeme výroky formulovat, přiřadíme – li pravdivosti daného výroku pravdivostní

hodnotu. Například bude –li výrok pravdivý, bude jeho pravdivostní hodnota rovna 1, bude –li

nepravdivý bude jeho pravdivostní hodnota rovna 0. Vlastní slovní vyjádření výroku se pak nahradí

vhodným symbolem. Například písmenem z abecedy (a,b,c,d,e,f,......), nebo písmenem s indexem ( x1,

x2, x3,....., y1, y2,....., u1,u2, ...), apod.

Logické funkce

Ze dvou nebo i více jednoduchých výroků lze jejich vhodným spojováním získat výroky nové, jejichž

pravdivost či nepravdivost závisí na způsobu jejich spojení a na pravdivostních hodnotách

jednoduchých výroků. Nejčastěji používaným názvem těchto složených výroků je logická funkce.

Přitom se příslušné jednoduché výroky označují jako logické proměnné, které mohou nabývat

pravdivostních hodnot 1 nebo 0 (logické jedničky nebo logické nuly).

Základní logické funkce

Nejjednodušší logickou funkcí je logická funkce negace. Vstupní logická proměnna je zde označena

písmenem a (může nabývat hodnoty logické jedničky a nebo logické nuly). Výstupní logickou

proměnnou je u (která nabývá také dvou hodnot logické nuly a jedničky a to inverzně). Její

algebraický zápis je uveden ada). Definice pomocí kombinační tabulky je adb). Obecná obdélníková

značka logického prvku , který realizuje logickou funkci negace je uvedena adc).

14

Negace: a) au

b) c)

a u

0 1

1 0

Další základní logické funkce jsou tvořeny jakožto výsledek kombinací dvou vstupních logických

proměnných (zde označených písmeny a a b). Funkce logického součtu je definována v kombinační

tabulce adb), algebraický zápis této funkce je ada), obecná obdélníková značka prvku, který realizuje

tuto funkci je adc).

Logický součet: a) bau

b) c)

b a u

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

Logický součin: a) u = a . b

b) c)

b a u

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1

Tyto tři elementární logické funkce tvoří úplný soubor logických funkcí tak, jak jej stanovil irský

matematik Henry Boole. Vlastností úplného souboru logických funkcí je, že pomocí něj se dají

vyjádřit všechny ostatní logické funkce. Respektive dají se realizovat pomocí logických prvků: typu

negace (NOT), logického součinu (AND) a logického součtu (OR). Takže realizace dalších

jednoduchých logických funkcí pro dvě vstupní proměnné a jednu výstupní logickou proměnnou je

právě pomocí těchto prvků a nejsou vyráběny ani prezentovány odpovídající logické prvky. Výjimku

tvoří Shefferova a Peirceova funkce, které samy o sobě mají vlastnost úplného souboru logických

funkcí to znamená, že pomocí každé z těchto funkcí lze realizovat funkce ostatní.

15

Implikace: a) bau

b)

b a u

0 0 1

0 1 0

1 0 1

1 1 1

Ekvivalence: a) bau

b)

b a U

0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 1 1

Nonekvivalence: a) bau

b)

b a U

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 0

Inhibice:

a) bau /

b)

b a U

0 0 0

0 1 1

1 0 0

1 1 0

Zpětná implikace u1, zpětná inhibice u2, nulová funkce u3, jednotková funkce u4,

aserce“a“ u5, aserce „b“ u6.

b a u1 u2 u3 u4 u5 u5

0 0 1 0 0 1 0 0

0 1 1 0 0 1 1 0

1 0 0 1 0 1 0 1

1 1 1 0 0 1 1 1

16

Shefferova funkce: a) bau .

b) c)

b a u

0 0 1

0 1 1

1 0 1

1 1 0

Shefferova logická funkce je realizována logickým prvkem (hradlem) typu NAND, jehož obdélníková

grafická značka je uvedena adc).

Peirceova funkce: a) bau

b) c)

b a u

0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 1 0

Peirceova funkce, je realizována logickým prvkem (hradlem) typu NOR, viz. adc).

Jak již bylo výše uvedeno, Shefferova a Peirceova funkce mají samy o sobě vlastnost úplného souboru

logických funkcí a to znamená, že pomocí každé z těchto funkcí lze realizovat funkce ostatní a to

včetně funkcí negace, logického součtu a logického součinu, což je s výhodou používáno při realizaci

logických obvodů na úrovni TTL logiky (číslicových integrovaných obvodů).

Booleova algebra

Tato logická algebra se opírá o úplný soubor logických funkcí, tvořený třemi elementárními logickými

funkcemi: logickým součtem, logickým součinem a negací. Priorita vazeb logických proměnných

v logických rovnicích (funkcích) je tato: 1. negace 2. logický součin 3. logický součet. Axiomatická

pravidla této logické algebry slouží k minimalizaci, čili zjednodušování logických funkcí.

zákon komutativní a + b = b + a a . b = b . a

zákon asociativní a + (b + c) = (a + b) + c a . (b . c) = (a . b) . c

zákon distributivní a + b . c = (a + b) . (a + c) a . (b + c) = a . b + a . c

zákon dvojí negace a = a

zákon vyloučeného třetího a + a = 1 a . a = 1

zákon absorpce a + a = a a . a = a

17

zákon agresivity hodnot 0 a 1 a + 1 = 1 a . 0 = 0

zákon neutrality hodnot 0 a 1 a + 0 = a a . 1 = a

zákony de Morganovy ba = a . b ba. = a + b

odvozená pravidla absorpce a + a . b = a . (1 + b ) = a a + a . b = a .(1 + b) = a

Úplná disjunktní a úplná konjunktní normální forma

Úplná disjunktní normální forma (ÚDNF) vyjadřuje logickou funkci zadanou kombinační tabulkou,

algebraickým výrazem (logickou rovnicí) ve tvaru logických součtů mintermů. Přičemž každý

minterm je tvořen logickým součinem logických proměnných, respektive jejich negací. S tím, že je –li

v daná logická funkce v tabulce charakterizována n proměnnými, pak každý minterm musí obsahovat

n těchto logických proměnných.

Obdobně úplná konjunktní normální forma (ÚKNF) je algebraickým vyjádřením logické funkce,

zadané kombinační tabulkou, ve tvaru logických součinů maxtermů (logických součtů) logických

proměnných. V každém maxtermu musí být n logických proměnných, je-li logická funkce

v kombinační tabulce zadána n logickými proměnnými.

Logickou funkci, převedeme na ÚDNF tak, že procházíme v kombinační tabulce výstupní logickou

proměnnou, a kde tato obsahuje logickou jedničku, pak odpovídající kombinace logických

proměnných vypisujeme ve tvaru mintermu. Tyto mintermy se pojí operandem logického součtu.

V daném mintermu je logická proměnná zastoupena svou původní hodnotou jestliže v dané kombinaci

v tabulce je uvedena logická jednička a má-li však hodnotu logické nuly, pak je zastoupena svou

negací.

Příklad

Převeďte logickou funkci vyjádřenou v kombinační tabulce do úplné disjunktní normální formy.

a 0 1 0 1 0 1 0 1

b 0 0 1 1 0 0 1 1

c 0 0 0 0 1 1 1 1

u 0 0 1 0 0 1 0 1

Řešení : u = .a b. c + a.b .c + a.b.c

Pozn. Vyjádření ÚKNF se realizuje obdobně s tím, že se berou v úvahu maxtermy, kde výstupní

logická proměnná u má hodnotu 0. Maxtermy se pak spojují operandem logického součinu. V daném

18

maxtermu jsou logické proměnné vyjádřeny svými negacemi, nabývají – li hodnot logické jedničky a

naopak.

Grafická minimalizační metoda

Minimalizace logických funkcí užitím zákonů Booleovy algebry je někdy dosti obtížná. Obtíž-

nost se zvětšuje, je-li logická funkce zadána větším počtem mintermů či maxtermů.

Proto se používají k minimalizaci různé metody, z nichž je velmi výhodná metoda

Kaurnaughovy mapy, pro čtyři až pět logických proměnných. Lze ji použít i pro

šest logických proměnných, dále pak již jen s doplňujícími šablonami.

Tato grafická minimalizační metoda spočívá ve dvou krocích :

1) Vytvoření grafické mapy a zapsání dané logické funkce ve tvaru ÚDNF nebo ÚKNF do

mapy.

2) Grafická minimalizace logické funkce v mapě a výpis výsledné minimalizované

logické funkce.

ad 1) Zápis (záznam) logické funkce do mapy.

Obecně je velikost mapy (počet políček) dána počtem logických proměnných dle

vztahu:

M = 2n kde n - je počet logických proměnných

a M - je počet políček tvořících mapu (počet kombinací).

Například mapa pro tři logické proměnné má: 23 = 8 políček, pro čtyři-šestnáct, pro pět-třicet dva a

pro šest proměnných-šedesát čtyři políček.

Převod dané logické funkce z ÚDNF do mapy se provádí tak, že jednotlivé mintermy se prezentují

v mapě hodnotou logické jedničky, dle příslušného grafického označení logických proměnných

po stranách mapy. Zbylá políčka mapy se vyplní hodnotou logické nuly. (V případě ÚKNF je

tomu obráceně).

ad2) Grafická minimalizace

Grafická minimalizace se opírá o představu tzv. sousedních políček sousedících spolu přes hrany (ne

přes vrcholy). Sousední políčka lze graficky sdružovat, čímž dochází k minimalizaci, protože

spojením dvou sousedních políček obsahujících jedničky, do jediného útvaru nazvaného dvojice

se vyloučí jedna logická proměnná. Při zpětném výpisu, takto zminimalizované logické funkce

z mapy, se na spojená políčka pohlíží jako na jeden útvar, který představuje jeden logický součin.

19

Sousední políčka lze graficky sdružovat do dvojic, čtveřic, osmic, šestnáctic, atd. Dvojice je

potom popsána logickým součinem o jednu proměnnou „chudším“, o kterou se právě dvě sousední

políčka liší a která se tímto vy-eliminuje, dle zákonů Booleovy algebry. Čtveřice, tj. grafický

útvar vzniklý sdružením čtyř sousedních políček, je pak určena logickým součinem o dvě logické

proměnné jednodušším. Osmice je pak určena logickým součinem o tři proměnné, jednodušším.

Šestnáctice o čtyři proměnné, atd.

Při čemž při grafické minimalizaci se snažíme sdružovat políčka do co možná největších útvarů

(vyloučí se tím více logických) a dále se snažíme, aby těchto útvarů bylo co nejméně. (Počet

útvarů odpovídá počtu logických součinů, výsledné logické funkce). Označení logických

proměnných na okraji mapy musí být provedeno tak, aby sousední políčka opravdu spolu sousedila

i podle grafické představy a to hranou, nikoliv však vrcholem.

Příklady:

Na obrázcích P1 až P4 je uvedeno pět příkladů grafické minimalizace. V příkladu jež je prezentován

obrázkem P1 obsahovala původní logická rovnice ve tvaru ÚDNF osm mintermů (každý tvořený

logickým součinem čtyř logických proměnných), obr.P2 pak šest mintermů, obr.P4 deset mintermů,

obr. P5 dokonce dvanáct mintermů. Pod každým obrázkem je pak uvedena výsledná minimalizovaná

logická rovnice.

Pozn. Znaménka X některých políčcích mapy (v obr. P3) znamenají, že takováto kombinace logických

proměnných nikdy nenastane a proto můžeme do takového políčka vepsat hodnotu 0, nebo 1 podle toho, co bude

výhodnější s hlediska minimalizace. Z obrázku je vidět, že pro minimalizaci bude výhodné zapojit čtyři políčka

s označením X do dvou čtverců. Do zbylých tří políček s označením X zapíšeme nuly, protože ta nám k

minimalizaci neprospějí.

Obr. P1

20

Obr. P3

Obr. P2

Obr. P4 Obr. P5

Příklad 1.1.

Minimalizujte tuto logickou rovnici: u = a . b . c + a. b . c + a . b . c + a . b . c

Řešení

u = a . b . c + a. b . c + a . b . c + a . b . c = a . c .( b + b ) + a . c ( b + b ) = a . (c + c )= a

Příklad 1.2.

Minimalizujte tuto logickou rovnici: u = a . ( a+b).( a +b)

Řešení

u = a . ( a+b).( a +b) = ( a + a.b). ( a + b) = a .( 1+ b). ( a + b)= a. ( a + b) = a . b

21




Logický obvod ……………………………………………………………….

Logická proměnná ……………………………………………………………….

Logické funkce ……………………………………………………………….

Úplná normální disjunktní forma ……………………………………………………………….

Minimalizace ……………………………………………………………….

Mapa ……………………………………………………………….


13. Co je to logický obvod?

14. Čím se vyznačuje logická proměnná?

15. Jaké základní logické funkce znáte?

16. Co je to úplná normální disjunktní forma?

17. Jaké způsoby minimalizace znáte?

18. Co je to mapa a k čemu slouží?

22

3. Kombinační logické obvody a jejich úloha v řízení

3.1. Teorie kombinačních logických obvodů

Čas ke studiu: 2 hodiny


definovat pojem kombinačních obvod

popsat princip kombinačních obvodů

vyřešit úlohy s použitím kombinačních obvodů

Výklad

Kombinační logické obvody (KLO) realizují logické funkce v závislosti na kombinaci stavů

vstupních logických proměnných.

Analýza KLO znamená, že získáme popis již realizovaného logického obvodu.

Syntéza KLO znamená, že získáme logickou funkcí příp. schéma logického obvodu

(realizaci) na základě požadavků na jeho funkci. Při návrhu KLO budeme využívat právě

syntézu.

Syntéza KLO obvodů obsahuje následující postup:

definice přiřazení logických hodnot vstupním a výstupním proměnným

vyjádření požadované činnosti obvodu prostřednictvím logických funkcí v kombinační

tabulce

převedení logické funkce (logických funkcí) z kombinační tabulky do logické rovnice

(logických rovnic) pomocí ÚDNF (respektive ÚKNF).

minimalizace logické funkce (logických funkcí)

sestavení symbolického schématu pro danou logickou funkci, nebo funkce z

grafických značek logických prvků, mající vlastnost úplného souboru logických funkcí.

realizace logické funkce (funkcí) konkrétními logickými prvky průmyslově

23

vyráběnými.

Příklad 1.3.

Navrhněte kombinační logický obvod (bez posledních dvou bodů syntézy), který bude pro tři vstupní

logické proměnné (a =1, b=1, c=1) vyhodnocovat:

a) překročení mezního stavu u jedné proměnných ze tří (u1)

b) překročení mezního stavu u dvou proměnných ze tří (u2)

c) všech tří proměnných najednou (u3)

Řešení

Kombinační tabulka

a 0 1 0 1 0 1 0 1

b 0 0 1 1 0 0 1 1

c 0 0 0 0 1 1 1 1

u1 0 1 1 0 1 0 0 0

u2 0 0 0 1 0 1 1 0

u3 0 0 0 0 0 0 0 1

ÚDNF:

u1 = a . b . c + a . b . c + a . b . c

u2 = a . b . c + a . b . c + a . b . c

u3 = a . b . c

Pozn. Uvedené tři ÚDNF jsou současně i minimálními logickými výrazy.




Kombinační logický obvod ……………………………………………………………….

Analýza KLO ……………………………………………………………….

Syntéza KLO ……………………………………………………………….


19. Co je to kombinační logický obvod?

20. Co je to analýza KLO?

21. Co je to syntéza KLO?

24

4. Sekvenční logické obvody a jejich úloha v řízení

4.1. Teorie sekvenčních logických obvodů



definovat pojem sekvenční obvod

popsat princip sekvenčních obvodů

vyřešit úlohy s použitím sekvenčních obvodů

Výklad

Sekvenční logické obvody jsou složitější oproti kombinačním logickým obvodům. Ve své

struktuře obsahují i kombinační logické obvody (KLO) a navíc pak ještě i paměťovou část

systému (PČS). Okamžité hodnoty výstupních logických proměnných U1, U2, U3 ... Um jsou

pak určeny nejen okamžitými kombinacemi vstupních logických proměnných X1, X2, X3 ...

Xm, ale také jejich předcházejícími kombinacemi.

x1 u1

x2 u2

x3 . kombinační u3

. logický

xn obvod um

Q1 q1 q2

Qk

paměťová

Qk-1 část

systému qk

Blokové schéma struktury sekvenčního logického obvodu

Předcházející kombinace hodnot vstupních logických proměnných vedly k nastavení

paměťové části systému do určitého stavu, představovaného kombinací hodnot vnitřních

proměnných Q1, Q2, ... Qk. Hodnoty vnitřních stavových proměnných jsou v sekvenčním

25

systému uchovány do následujícího okamžiku v paměťové části. Proměnné q1, q2 až ql jsou

budoucí signály PČS.

Sekvenční logický obvod, nazývaný také sekvenční automat, může být synchronní nebo

asynchronní. U synchronních sekvenčních logických obvodů je každá změna vstupních a

výstupních logických proměnných řízena synchronizačními impulsy, které zajišťují stejné

okamžiky změn všech proměnných v systému. V asynchronních sekvenčních logických

obvodech nejsou zajištěny stejné okamžiky změn logických proměnných. Změny vnitřních

proměnných a výstupních proměnných jsou odvozovány od změn vstupních proměnných.

Vztahy mezi vektorem vstupních logických proměnných [x1, x2,.. xn], vektorem vnitřních

stavů [Q1, Q2,.. Qk] a vektorem výstupních logických proměnných [u1, u2,.. um] jsou určeny

přechodovou funkcí a výstupní funkcí f.

Přechodová funkce určuje pro daný vnitřní stav sekvenčního automatu a pro daný vektor

vstupů následující vnitřní stav :

Q t+1 = (Q t, x t)

Výstupní funkce λ vyjadřuje realizaci vektoru výstupů pro daný sekvenční logický obvod.

Je-li: u t = f (Q t, xt), pak jde o sekvenční automat nazývaný konečný automat Mealyho typu.

Závisí-li vektor výstupních signálů pouze na vnitřním stavu sekvenčního logického automatu

u t = λ (Q t), pak jde o konečný automat Mooreova typu.

Elementární sekvenční logický obvod

Tento elementární automat je nejzákladnějším sekvenčním logickým obvodem a je nazýván

logickým obvodem typu paměť. Elementární sekvenční logický obvod obsahuje jedinou

zpětnovazební smyčku, a tedy i jedinou vnitřní proměnnou, která se navíc ztotožňuje

s výstupní logickou proměnnou (Q=u).

26

Blokové schéma elementárního sekvenčního logického obvodu

Tento obvod si pamatuje předchozí zapůsobení vstupního signálu x1 (inicializační vstup), i

když již dále nemá úroveň logické jedničky, až po dobu, kdy se hodnotou log. 1 vstupu x2 tato

paměť zruší.

Příklad 1.4.

Realizujte pomocí SLO regulaci výšky hladiny v nádobě tak, aby snímač minimální hladiny spustil

čerpadlo a to by se zastavilo až po dosažení maximální hladiny snímané dalším snímačem.

Řešení

Pravdivostní tabulka (čidla max, min, stav čerpadla SČ, aktivace čerpadla Č):

vstupy výstup

min max SČ Č

0 0 0 1

0 0 1 1

0 1 0 X

0 1 1 X

1 0 0 0

1 0 1 1

1 1 0 0

1 1 1 0

Obpovídající mapa:

1 1 1 0

x x 0 0

max

min

SČ

27

Výsledná logická funkce:

SČSČČ minmaxmaxminmax




Sekvenční logický obvod (SLO) ……………………………………………………………….

Synchronní sekvenční logický obvod ……………………………………………………………….

Asynchronní sekvenční logický obvod ……………………………………………………………….

Konečný automat ……………………………………………………………….


22. Co je to sekvenční logický obvod?

23. Jak vypadá popis a schéma SLO?

24. Které základní konečné automaty znáte?

25. Jaký je rozdíl mezi synchronním sekvenčním logickým obvodem a asynchronním sekvenčním

logickým obvodem?

28

5. Klopné obvody a jejich aplikace

5.1. Teorie klopných obvodů



definovat pojem klopný obvod

popsat typy klopných obvodů

vyřešit úlohy za použití klopných obvodů

Výklad

Klopné obvody jsou svou konstrukcí sekvenčními logickými obvody. Jde o nejjednodušší

sekvenční obvody, které jsou schopny „zapamatovat si“ hodnotu jednoho dvojkového čísla –

jeden bit. Z klopných obvodů různých typů je možno sestavit složitější logické obvody –

registry, čítače apod. Jejich název vznikl z principu jejich funkce, kdy se opakovaně

překlápějí z jednoho logického stavu do druhého. Podle toho, kolik mají stabilních stavů (tj.

stavů ve kterých mohou setrvat libovolnou dobu), dělíme klopné obvody:

Monostabilní – mají jeden stabilní stav, z kterého mohou být vstupním signálem na

předem definovanou dobu (τ) překlopeny do stavu nestabilního.

Bistabilní – mají dva stabilní stavy, mezi kterými mohou být v libovolném okamžiku

přepínány vstupními signály.

Astabilní – nemají žádný stabilní stav, opakovaně překlápí na vždy definovanou dobu

(τ1) do stavu „true“ a následně na dobu (τ2) do stavu „false“. Tento proces se neustále

opakuje, ale může být aktivován a deaktivován vstupním signálem.

Klopné obvody se dále dají rozdělit na:

29

Synchronní – ke své činnosti potřebují taktovací pulsy, které inicializují funkci obvodu

s uchováním hodnot vstupů do dalšího taktu. To umožňuje realizovat klopné obvody

tak, aby nehrozilo nebezpečí hazardních stavů.

Asynchronní – pracují bez taktovacích pulsů, výstupy jsou dány logickou kombinací

okamžitých hodnot vstupů (jsou zde i zpětné vazby z výstupů – jde o sekvenční

obvod). Doba, za kterou se změní stav jeho výstupů od okamžiku změny signálů na

řídicích vstupech, závisí jen na době šíření signálů od vstupů k výstupům. Některá

zapojení by proto mohla být zatížena nebezpečím vzniku hazardních stavů.

5.2. RS klopný obvod

Základním, nejjednodušším a nejpoužívanějším typem bistabilních klopných obvodů je RS klopný

obvod. Jeho blokové schéma je na následujícím obrázku:

Pravdivostní tabulka RS klopného obvodu:

R S 1nQ

1nQ

0 0 Předchozí stav nQ Předchozí stav

nQ

0 1 1 0

1 0 0 1

1 1 Nepovolený stav Nepovolený stav

Tímto typem klopného obvodu je realizováno mnoho aplikací, které bychom mohli označit jako

paměť 1b. Má dva stabilní stavy, které si uchovává, dokud není vstupy R nebo S jeho stav změněn a to

tak, že přivedením hodnoty „true“ na vstup S se překlopí jeho výstup Q do hodnoty „true“ (pokud již

v této hodnotě byl, pak v ní nadále zůstane), přivedením hodnoty „true“ na vstup R se překlopí jeho

výstup Q do hodnoty „false“ (pokud již v této hodnotě byl, pak v ní nadále zůstane).

vstupy výstupy

S Q

R Q

R

Q

S

čas

30

Realizace RS klopného obvodu pomocí hradel typu NOR:

5.3. JK klopný obvod

Dalším typem bistabilních klopných obvodů je JK klopný obvod. Odstraňuje problém RS klopného

obvodu s nepovolenými stavy. Jeho blokové schéma je na následujícím obrázku:

Pravdivostní tabulka JK klopného obvodu:

R S 1nQ

1nQ


nQ

0 1 1 0

1 0 0 1

1 1 Negovaný předchozí stavnQ Negovaný předchozí stav

nQ

Tímto typem klopného obvodu jsou realizovány aplikace, které bychom mohli rovněž označit jako

paměť 1b. Má dva stabilní stavy, které si uchovává, dokud není vstupy J nebo K jeho stav změněn a to

tak, že přivedením hodnoty „true“ na vstup J se překlopí jeho výstup Q do hodnoty „true“ (pokud již

R

S

Q

Q

1

1

vstupy výstupy

J Q

K Q

H (synchronní

JK-klopný obvod)

31

v této hodnotě byl, pak v ní nadále zůstane), přivedením hodnoty „true“ na vstup K se překlopí jeho

výstup Q do hodnoty „false“ (pokud již v této hodnotě byl, pak v ní nadále zůstane). Na rozdíl od RS

klopného obvodu po přivedení hodnot „true“ na oba vstupy současně, dojde vždy k překlopení JK

klopného obvodu. Aby pro tento případ bylo zamezeno vzniku hazardního stavu, musí JK klopný

obvod pracovat jako synchronní (tzn. musí obsahovat vstup pro taktovací pulsy, neboli hodinové pulsy

H).

5.4. T klopný obvod

Podobným typem bistabilních klopných obvodů je T klopný obvod. Principiálně zastává funkci JK

klopného obvodu s propojenými vstupy J a K. Jeho blokové schéma je na následujícím obrázku:

Pravdivostní tabulka T klopného obvodu:

T H 1nQ

1nQ


nQ


nQ


nQ

1 1 Negovaný předchozí stavnQ Negovaný předchozí stav

nQ


paměť 1b. Má dva stabilní stavy, které si uchovává, dokud není vstupem T jeho stav změněn a to tak,

že přivedením hodnoty „true“ na vstup T dojde vždy k překlopení T klopného obvodu. Aby pro tento

J

Q

K

čas

H

H (synchronní

T-klopný obvod)

vstup výstupy

Q

T

Q

32

případ bylo zamezeno vzniku hazardního stavu, musí T klopný obvod pracovat rovněž jako

synchronní (tzn. musí obsahovat vstup pro taktovací pulsy, nebo-li hodinové pulsy H). Tyto obvody

bývají rovněž vybaveny vstupy pro převedení obvodu do stavu „true“ a „false“.

Uplatňují se v zapojeních jako děliče kmitočtu a čítače.

5.5. D klopný obvod

Posledním typem bistabilních klopných obvodů je D klopný obvod. Principiálně funguje tak, že

okamžitou logickou hodnotu ze vstupu přenese na výstup. Jeho blokové schéma je na následujícím

obrázku:

Pravdivostní tabulka T klopného obvodu:

D H 1nQ

1nQ


nQ

0 1 0 1


nQ

1 1 1 0


paměť 1b. Má dva stabilní stavy, které si uchovává, dokud není vstupem D jeho stav změněn a to tak,

že přivedením hodnoty „true“ na vstup D dojde vždy k překlopení D klopného obvodu do stavu „true“

a přivedením hodnoty „false“ na vstup D dojde vždy k překlopení D klopného obvodu do stavu

Q

T

čas

H

H (synchronní

D-klopný obvod)

vstup výstupy

Q

D

Q

33

„false“. Aby pro tento případ bylo zamezeno vzniku hazardního stavu, musí D klopný obvod pracovat

rovněž jako synchronní (tzn. musí obsahovat vstup pro taktovací pulsy, nebo-li hodinové pulsy H). I

tyto obvody bývají rovněž vybaveny vstupy pro převedení obvodu do stavu „true“ a „false“.

Uplatňují se v zapojeních jako posuvný registr, převodník z paralelního sériový přenos a opačně.

Příklad 1.5.

Navrhněte RS klopný obvod pomocí hradel typu NAND.

Řešení

Vytvoříme pravdivostní tabulku:

R S nQ

1nQ

0 0 0 0

0 0 1 1

0 1 0 1

0 1 1 1

1 0 0 0

1 0 1 0

1 1 0 X

1 1 1 X

Pro minimalizaci použijeme Svobodovou mapu:

0 1 1 1

0 0 X X

Napíšeme minimalizovanou funkci, která odpovídá popisu dvou smyček z mapy:

RQRSQ nn 1

R

S

Qn Qn

Q

D

čas

H

34

Pro realizaci pomocí hradel typu NAND aplikujeme de Morganovy zákony:

RQRSQ nn 1

Navrhneme zapojení z hradel typu NAND:




Klopný obvod ……………………………………………………………….

RS klopný obvod ……………………………………………………………….

JK klopný obvod ……………………………………………………………….

T klopný obvod ……………………………………………………………….

D klopný obvod ……………………………………………………………….


26. Co je to klopný obvod?

27. Jak pracuje RS klopný obvod?

28. Jak pracuje JK klopný obvod?

29. Jak pracuje T klopný obvod?

30. Jak pracuje D klopný obvod?

35

6. Dynamické systémy a jejich aplikace

6.1. Teorie dynamických systémů

Čas ke studiu: 0,5 hodiny


definovat pojem dynamický systém

popsat typy dynamických systémů

vyřešit úlohy o dynamických systémech

Výklad

Základní rozdělení systémů

Statický systém je takový systém, jehož vstupy a výstupy zůstávají v čase neměnné.

Dynamický systém je takový systém, jehož vstupy a výstupy se v čase obecně mění.

Lineární systém je takový systém, jehož matematický popis vystačí s lineárními operacemi.

Nelineární systém je takový systém, jehož matematický popis obsahuje alespoň jednu nelineární

operaci.

Časově variantní systém je takový systém, jehož matematický popis se v čase mění.

Časově invariantní systém je takový systém, jehož matematický popis zůstává v čase neměnný.

Spojitý systém (analogový) je takový systém, jehož vstupy a výstupy jsou známé v libovolném čase.

Nespojitý systém (digitální) je takový systém, jehož vstupy a výstupy jsou známé v jen v určitých

časových okamžicích.

V této části výuky se budeme zabývat pouze lineárními, časově invariantními, spojitými

dynamickými systémy. I když jde o určitou idealizaci, mnohé systémy námi definovaným

požadavkům s dostatečnou přesností vyhovují a matematický aparát pro řešení úkolů spojených

s těmito systémy je podstatně jednodušší.

36




Statický systém ……………………………………………………………….

Dynamický systém ……………………………………………………………….

Lineární systém ……………………………………………………………….

Nelineární systém ……………………………………………………………….

Časově variantní systém ……………………………………………………………….

Časově invariantní systém ……………………………………………………………….

Spojitý systém ……………………………………………………………….

Nespojitý systém ……………………………………………………………….


31. Co znamená pojem statický systém?

32. Co znamená pojem dynamický systém?

33. Co znamená pojem lineární systém?

34. Co znamená pojem nelineární systém?

35. Co znamená pojem časově variantní systém?

36. Co znamená pojem časově invariantní systém?

37. Co znamená pojem spojitý systém?

38. Co znamená pojem nespojitý systém?

37

7. Popis lineárních dynamických systémů

7.1. Možnosti popisu lineárních dynamických systémů

Čas ke studiu: 1 hodina


definovat lineární dynamické systémy

popsat je diferenciálními rovnicemi a přenosy

vyřešit převod diferenciálních rovnic na přenosy a opačně

Výklad

Popis lineárních systémů je možný několika způsoby:

diferenciální rovnicí

operátorovým přenosem

frekvenčním přenosem

přechodovou charakteristikou

impulsní charakteristikou

frekvenční charakteristikou v komplexní rovině

amplitudo-fázové frekvenčně logaritmické charakteristiky

rozložením pólů a nul přenosu v komplexní rovině

stavovým popisem

Lineární spojitý systém nebo regulační člen se vstupem u(t) a výstupem y(t) je obecně

popsán diferenciální rovnicí

Diferenciální rovnice

Lineární časově invariantní spojitý systém nebo regulovaná soustava se vstupem u(t) a

výstupem y(t) je obecně popsán lineární diferenciální rovnicí s konstantními koeficienty:

any(n) + an-1y

(n-1) + an-2y(n-2) + … + aiy

(i) …+ a2y′′ + a1y′ + a0y = b0u + b1u′ + b2u′′ + … +bmu(m)

38

kde

ai a bj jsou konstanty diferenciální rovnice,

n je řád diferenciální rovnice,

m je řád nejvyšší derivace pravé strany diferenciální rovnice.

Podmínka fyzikální realizovatelnosti systému:

n ≥ m

Časový průběh výstupu y(t) můžeme zjistit dosazením průběhu vstupního signálu u(t) do této

rovnice a jejím vyřešením. Časový průběh výstupu y(t) je také určen počátečními

podmínkami y(0), y′(0), … y(n-1)(0).

Operátorový přenos

Při řešení problematiky automatizace se velmi často používá tzv. Laplaceuv operátorový

přenos, který je definován jako poměr obrazu výstupní veličiny Y(s) lineárního systému

k obrazu vstupního signálu U(s) při nulových počátečních podmínkách.

sU

sYpG

0

1

1

2

2

1

1

0

1

1

2

2

1

1

...

...

asasasasa

bsbsbsbsbpG

n

n

n

n

m

m

m

m

Příklad 1.6.

Zjistěte operátorový přenos systému, který je popsán diferenciální rovnicí:

a1y′(t) + a0y(t) = b0u(t)

Řešení

Provedeme Laplaceovu transformaci rovnice a dostaneme výraz:

a1sY(s) + a0Y(s) = b0U(s)

vytkneme Y(s):

Y(s)(a1s + a0 ) = b0U(s)

39

a nyní vyjádříme poměr obrazu výstupní veličiny Y(s) k obrazu vstupní veličiny U(s) dle

definičního vztahu operátorového přenosu:

01

0

asa

b

sU

sYsG




Popis dynamických systémů ……………………………………………………………….

Lineární dif. rov. s konst. koeficienty ……………………………………………………………….

Operátorový přenos ……………………………………………………………….


39. Čím lze popsat dynamické systémy?

40. Jak vypadá popis pomocí diferenciálních rovnic?

41. Jak vypadá popis pomocí operátorového přenosu?

40

u

y

α

iy

iu

8. Charakteristiky dynamických systémů

8.1. Charakteristiky dynamických systémů v časové oblasti



definovat jednotlivé charakteristiky dynamických systémů

popsat statické a dynamické charakteristiky dynamických systémů

Výklad

Vedle diferenciálních rovnic a operátorových přenosů se v automatizaci často setkáváme

s grafickými časovými průběhy, které rovněž o dynamických systémech mnoho vypovídají a

navíc jsou uživatelsky přívětivější, neboť je s dostatečnou přesností na první pohled vidět o

jaký systém se jedná a jaké jsou jeho parametry. Těmto charakteristikám odpovídají i

matematické funkce, jejichž parametry udávají i kvantitativní parametry sledovaného

systému.

Statická charakteristika

Statická charakteristika je grafickým vyjádřením závislosti hodnoty výstupu systému na

vstupní hodnotě v ustáleném stavu. I když tento typ charakteristik nic nevypovídá o

dynamických vlastnostech systému, je jednou ze základních charakteristik systému a většinou

vypovídá o tom, zda je systém lineární nebo není, jaké má zesílení apod. Charakteristiku je

pak možno popsat obyčejnou obecně nelineární funkcí ve tvaru:

ufy

U lineárních systémů je statická charakteristika přímka

procházející počátkem, její sklon odpovídá zesílení k systému:

i

i

u

ytg

a

bk

0

0

41

Přechodová funkce a přechodová charakteristika

Přechodová funkce lineárního dynamického systému je jeho odezva na vstup ve tvaru

Heavisideova jednotkového skoku. Jde o časový průběh výstupní veličiny systému y(t), která

se v tomto případě označuje h(t). Přechodovou funkci můžeme určit výpočtem z diferenciální

rovnice nebo z obrazového přenosu systému G(s).

Přechodová charakteristika je grafickým vyjádřením přechodové funkce.

Přechodovou funkci získáme z přenosu systému G(s), a to z definice přenosu osamostatněním

Laplaceova obrazů výstupní veličiny a použitím zpětné Laplaceovy transformace L-1.

)()()( 11 sGsULsYLty

Přechodová funkce je pak definována vztahem:

)(1

)()( 11 sGs

LsHLth

kde

H(s) - je Laplaceuv obraz výstupní veličiny

s

1 - je Laplaceuv obraz vstupní veličiny – konkrétně Heavisideova jednotkového skoku

Příklad 1.7.

Určete přechodovou funkci a sestrojte přechodovou charakteristiku systému s operátorovým

přenosem:

01

0

asa

b

sU

sYsG

Řešení

Přechodová funkce je dána vztahem:

)(1

)()( 11 sGs

LsHLth

42

po dosazení obdržíme:

01

011 1)()(

asa

b

sLsHLth

Z Laplaceova slovníku nalezneme odpovídající tvar obrazu:

as

a

s

1

a jemu odpovídá originál v časové oblasti:

ate1

Aby byl obraz podobný, provedeme úpravu našeho výrazu:

1

0

1

0

1

0

0

1

0

1

0

0

011 11)()(

a

as

a

a

sL

a

b

a

as

a

a

sa

bLsHLth

Přechodovou funkci získáme provedením zpětné Laplaceovy transformace.

ta

a

ea

bsHLth 1

0

1)()(0

01

Graf přechodové charakteristiky pro a0 = 1, a1 = 1 a b0 = 1, tedy:

tesHLth 1)()( 1

vypadá následovně:

43

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 1 2 3 4 5

h(t

)

t [s]

Přechodová charakteristika

Impulsní funkce lineárního dynamického systému je jeho odezva na vstup ve tvaru Diracova

impulsu. Jde o časový průběh výstupní veličiny systému y(t), která se v tomto případě

označuje g(t). Přechodovou funkci můžeme rovněž určit výpočtem z diferenciální rovnice

nebo z obrazového přenosu systému G(s).

Impulsní charakteristika je grafickým vyjádřením impulsní funkce.

Impulsní funkci také získáme z přenosu systému G(s), a to z definice přenosu osamostatněním

Laplaceova obrazů výstupní veličiny a použitím zpětné Laplaceovy transformace L-1.

Přechodová funkce je pak definována vztahem:

)()( 1 sGLtg

kde

H(s)- je Laplaceuv obraz výstupní veličiny

1 - je Laplaceuv obraz vstupní veličiny – konkrétně Diracova impulsu

Jelikož mezi přechodovou funkcí a impulsní funkcí platí následující vztahy:

dt

tdhtg )(

a naopak:

44

dgth

t

0

)(

je snadné získat z přechodové funkce impulsní tím, že provedeme derivaci. Rovněž impulsní

charakteristiku můžeme snadno získat grafickou derivací přechodové charakteristiky.




Statická charakteristika ……………………………………………………………….

Přechodová funkce ……………………………………………………………….

Přechodová charakteristika ……………………………………………………………….

Impulsní funkce ……………………………………………………………….

Impulsní charakteristika ……………………………………………………………….


42. Co je to statická charakteristika?

43. Co je to přechodová funkce a charakteristika?

44. Co je to impulsní funkce a charakteristika?

45. Jaký je vztah mezi přechodovou impulsní funkcí?

45

9. Frekvenční charakteristiky

9.1. Frekvenční přenos a frekvenční charakteristiky



definovat frekvenční přenos a frekvenční charakteristiku

popsat dynamické systémy pomocí frekvenčních charakteristik

vyřešit frekvenční charakteristiky dynamických systémů

Výklad

Někdy je výhodné sledovat dynamické systémy ve frekvenční oblasti. V tom případě jde o

odezvu systémů na vstupní harmonický signál:

u(t) = A1(ω) sin(ωt) y(t) = A2(ω) sin(ωt+φ(ω))

kde G(jω) je frekvenční přenos systému a můžeme ho formálně získat z Laplaceova

operátorového přenosu náhradou komplexní proměnné s komplexní proměnnou jω:

G(jω) G(s)

Tvar frekvenčního přenosu obecného lineárního dynamického systému:

0

1

1

2

2

1

1

0

1

1

2

2

1

1

...

...

ajajajaja

bjbjbjbjbjG

n

n

n

n

m

m

m

m

G(jω)

46

Vynesení obou signálů u(t), y(t) do grafu je provedeno na následujícím obrázku. Srovnáme-li

oba signály, můžeme získat dva základní parametry. Prvním je poměr amplitud obou signálů:

A(ω) = A2(ω)/A1(ω) – poměr amplitud mezi výstupním a vstupním harmonickým signálem -

modul frekvenčního přenosu

druhým pak:

φ(ω) – fázový posuv mezi vstupním a výstupním harmonickým signálem - fáze frekvenčního

přenosu.

-1

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 5 10 15

Am

plit

ud

a si

gnál

u

čas [s]

Odezva dynamického systému na harmonický signál

u(t)

y(t)

Frekvenční charakteristiky v komplexní rovině

Tyto dva údaje můžeme vynést jako vektor frekvenčního přenosu G(jω) do komplexní roviny, pro

konkrétní úhlovou frekvenci ω:

A1(ω)

φ(ω)

A2(ω)

φ(ω)

Re

Im

A(ω)

G(jω)

47

Frekvenční přenos G(j) je funkce komplexní proměnné a můžeme ho vyjádřit následujícími

základními tvary:

algebraický (reálnou a imaginární složkou):

G(jω) = Re{ G(jω)}+ j Im{ G(jω)}

exponenciální (amplitudou a fázi):

G(jω) = A(ω) ejφ(ω)

kde A(ω) vypočteme dle vztahu:

22ImRe jGjGA

a φ(ω) vypočteme dle vztahu:

jG

jGarctg

Re

Im

Budeme-li měnit úhlovou frekvenci ω od 0 do , vytvoří koncové body vektorů frekvenčního

přenosu G(jω) tzv. frekvenční charakteristiku v komplexní rovině:

G(jω1) φ(ω)

Re

Im

A(ω)

G(jω0)

G(jωi) G(jωi) G(jωi)

48

Příklad 1.8.

Nakreslete charakteristiku setrvačného členu 1. řádu s následujícím přenosem:

01

0

asa

bsG

pro a1 = a0 = b0 = 1

Řešení

Laplaceuv operátorový přenos změníme na frekvenční přenos:

01

0

aja

bjG

čitatele i jmenovatele přenosu vynásobíme komplexně sdruženým číslem:

jaa

jaa

aja

bjG

10

10

01

0

obdržíme výraz:

22

1

2

0

0100

aa

bjabajG

po dosazení konstant obdržíme výraz:

21

1

jjG

Rozdělíme na reálnou a imaginární část:

21

1Re

jG

21

Im

jG

Nyní do obou výrazů postupně dosazujeme za úhlovou frekvenci čísla od 0 do , hodnotu

Re(G(jωi)) a Im(G(jωi)) vykreslíme do grafu a získáme tak frekvenční charakteristiku.

1 Re

Im

49

Logaritmické frekvenční charakteristiky

Velký význam pro automatizaci mají logaritmické frekvenční charakteristiky. Jejich význam spočívá

v jejich jednoduchém sestrojování i pro složité systémy a hlavně úhlový kmitočet ω je vynášen přímo

na osu x charakteristik, na rozdíl od vykreslování frekvenčních charakteristik v komplexní rovině, kde

je jen parametrem.

Pro odvození potřebných vztahů vyjdeme z exponenciálního vyjádření frekvenčního přenosu:

G(jω) = A(ω) ejφ(ω)

kde

A() - modul frekvenčního přenosu - vypočteme ze vztahu (Pythagorova věta):

jGmjG 22 IRe )A(

a

() - fáze frekvenčního přenosu - vypočteme ze vztahu (z definice tangenty):

jG

jGmarctg

2

2

Re

I )(

Zlogaritmujeme-li výraz pro frekvenční přenos v exponenciálním tvaru, dostaneme následující výraz:

G(jω) = ln(A(ω))+ln( ejφ(ω)) = ln(A(ω)) + jφ(ω) = ln|G(jω)| + j arg G(jω)

Protože se u logaritmických frekvenčních charakteristik vykresluje amplitudová část a fázová

část zvlášť, lze odvozený vztah rozdělit na dvě části a vykreslit. Jen pro logaritmus

amplitudové části se téměř výhradně používá dekadický logaritmus, neboť pak výpočet

snadno vede k vyjádření amplitudy v decibelech [dB]. Výraz pro logaritmickou amplitudu L(

v decibelech je pak dán vztahem:

L(ω) = 20 log(A(ω)) [dB].

Vztah pro výpočet fáze frekvenčního přenosu() vypočteme z původního výrazu:

jG

jGmarctg

2

2

Re

I )(

50

I když je z uvedených vztahů možné vypočítat skutečný graf amplitudové a fázové části

frekvenčně logaritmické charakteristiky, lze s výhodou použít zjednodušené charakteristiky

základních dynamických členů (systémů) a výsledné charakteristiky získat grafickým

sečtením dílčích charakteristik. To je možné proto, že složitá dynamický systém lze rozepsat

na součin (sériové řazení) dílčích jednoduchých systémů. Dostaneme pak vztah:

Gc(jω) = A1(ω) ejφ1

(ω) * A2(ω) ejφ2

(ω) *…* Ak(ω) ejφk

(ω)

po rozdělení obou částí a po logaritmování dostaneme výrazy:

lnGc(jω) = A1(ω) ejφ1

(ω) * A2(ω) ejφ2

(ω) *…* Ak(ω) ejφk

(ω)

L(ω) = 20log(A1(ω) * A2(ω) *…* Ak(ω)) = 20log(A1(ω)) +20log(A2(ω)) +…+20log(Ak(ω))

tedy

L(ω) = 20log(A1(ω)) +20log(A2(ω)) +…+20log(Ak(ω))

φc(ω) = ln ejφc(ω) = ln (ejφ

1(ω) * ejφ

2(ω) *…* ejφ

k(ω)) = ln (ej(φ

1(ω)+ φ

2(ω)+…+φ

k(ω))) = φ1(ω)+

φ2(ω)+…+φk(ω)

tedy

φc(ω) = φ1(ω)+ φ2(ω)+…+φk(ω)

Z uvedeného vyplývá, že výslednou amplitudovou a fázovou část frekvenčně logaritmické

charakteristiky získáme snadno grafickým sečtením amplitudových a fázových částí

frekvenčně logaritmické charakteristiky dílčích částí systému.

51

Příklad 1.9.

Nakreslete frekvenčně logaritmickou charakteristiku dynamického systému 3. řádu s následujícím

přenosem:

1

1

1

11

21

sTsTssG

Řešení

Vidíme, že systém sestává ze tří základních dynamických členů:

jednoho integračního členu:

s

sG1

3

a dvou proporcionálních členů prvního řádu:

1

1

1

1

sT

sG

1

1

2

2

sT

sG

Dílčí charakteristiky vykreslíme a provedeme grafický součet (vybereme úhlovou frekvenci a sečteme

hodnoty decibelů každé dílčí křivky amplitudové části frekvenčně logaritmické charakteristiky. Totéž

uděláme ve fázové části. Protože jde o přímkové úseky, s výhodou využijeme ty frekvence, kde

dochází ke zlomu na některé z dílčích křivek amplitudové části frekvenčně logaritmické

charakteristiky. Výsledek je na následujícím obrázku znázorněn modrou čárou.

ω

ω

0 dB

L [dB]

-φ

- π

0

ω=1

s

sG1

3

stabilní

1

1

1

1

sT

sG 1

1

2

2

sT

sG

1

1

1

11

11

sTsTssGc

52




Frekvenční přenos ……………………………………………………….

Frekvenční charakteristika v komplexní rovině ……………………………………………………….

Frekvenční logaritmická charakteristika ……………………………………………………….

Exponenciální vyjádření frekvenčního přenosu ……………………………………………………….


46. Co je to frekvenční přenos?

47. Které základní frekvenční charakteristiky znáte?

48. Co je to frekvenční charakteristika v komplexní rovině?

49. Co je to frekvenční logaritmická charakteristika?

53

KsG )(1

)(

sT

KsG

10. Rozdělení základních dynamických systémů a jejich matematický popis

10.1. Základní dynamické systémy



rozdělit základní dynamické systémy

popsat základní dynamické systémy

vyřešit matematické úlohy spojené s popisem základních dynamických systémů

Výklad

K usnadnění analýzy spojitých dynamických systémů se zavádějí základní typové dynamické

členy, pomoci níž lze pak prezentovat dynamické vlastnosti soustav a systémů obecně.

Proporcionální dynamické členy 0. řádu a 1.řádu

0. řád 1. řád

obrazový přenos:

kde: K je koeficient proporcionality (u pasivních členů je K menší a nebo rovno 1)

T je časová konstanta (která je vymezena tečnou k přechodové charakteristice)

přechodová charakteristika: 0. řád 1. řád

h h

Kp Kp

t T t

Obr.15 Obr.16

Proporcionální člen 2. řádu

Přechodová charakteristika proporcionálního členu 2. řádu může mít kromě aperiodického

průběhu i kmitavý charakter:

54

sTsG

I

1)(

1)(

sTsT

KsG

I

1)(

sT

sTsG D

Obrazový přenos odpovídající periodické odezvě na skokovou změnu má tvar:

1...2.)(

22

sTsT

KsG

kde: T je tzv. vlastní časová konstanta dynamického členu

ξ je součinitel tlumení vlastních kmitů (ξ< 1)

Pro součinitel: ξ > 1 je pak obrazový přenos proporcionálního členu 2. řádu:

)1.).(1.()(

21

sTsT

KsG kde: T1 a T2 jsou časové konstanty

Pro : ξ = 1 je obrazový přenos: 2)1.(

)(

sT

KsG kde: T je časová konstanta.

Integrační členy ( ideální integrační člen a integrační člen se setrvačností 1. řádu)

ideální se setrvačností 1. řádu

obrazový přenos:

kde: TI je integrační časová konstanta

T je časová konstanta

přechodová charakteristika:

h h

KI

1 t TI t

Derivační členy (ideální a se setrvačností 1. řádu)

ideální se setrvačností 1. řádu

55

sTsG D )(obrazový přenos:

přechodová charakteristika:

h h

t T t

Člen typu dopravní zpoždění

Tento člen má specifické místo mezi typovými elementárními prvky. Nemění tvar procházejícího

signálu, ale způsobuje jeho posun v čase.

Obrazový přenos členu typu dopravní zpoždění je : sT desG

..)(

kde: Td je dopravní zpoždění.

Přechodová charakteristika členu typu dopravní zpoždění je na následujícím obrázku.

Příklad 1.10.

Napište přenos statického systému druhého řádu, který má zesílení 10, časová konstanta je 5 s a

tlumení je 0,2.

Řešení

Do obecného přenosu pro statický systém druhého řádu:

1...2.)(

22

sTsT

KsG

dosadíme za K = 10, T = 5s, = 0,2 a dostaneme:

1.2.25

10)(

2

sssG

56




Základní dynamické systémy ……………………………………………………………….

Proporcionální dynamické členy ……………………………………………………………….

Integrační dynamické členy ……………………………………………………………….

Derivační dynamické členy ……………………………………………………………….

Dopravní zpoždění ……………………………………………………………….


50. Které základní dynamické systémy znáte?

51. Jak vypadá popis proporcionálních dynamických členů?

52. Jak vypadá popis integračních dynamických členů?

53. Jak vypadá popis derivačních dynamických členů?

54. Jak vypadá popis dynamických členů typu dopravní zpoždění?

57

11. Bloková algebra

11.1. Teorie blokové algebry



definovat pojem bloková algebra

popsat jednotlivé typy zapojení bloků

vyřešit úlohy spojené s řazením bloku do celku

Výklad

Regulační systémy, včetně regulovaných soustav, jsou ve svém komplexu složeny z celé řady

elementárních, typových prvků (členů). V zásadě však vazby mezi jednotlivými prvky jsou

trojího druhu: sériové spojení, paralelní spojení a zpětnovazební spojení dynamických prvků.

Pro zjištění výsledných dynamických vlastností regulované soustavy, nebo i celého

regulačního obvodu je nutno stanovit výsledný matematický model ve formě obrazového

přenosu (u lineárních regulačních systémů). Tento obrazový přenos se stanovuje na základě

pravidel blokové algebry.

Sériové spojení dynamických členů

Při tomto spojení prvků je jejich výsledný obrazový přenos : G(s) = G1(s).G2(s)

G1(s) G2(s) Y2(s)= Y(s) U(s)= U1(s) Y1(s)= U2(s)

58

Paralelní spojení dynamických členů

Výsledný obrazový přenos je dán součtem dílčích přenosů : G(s) = G1(s) + G2(s)

Zpětnovazební zapojení dynamických členů - obrazový přenos je: )()(1

)()(

21

1

sGsG

sGsG

Příklad 1.11.

Určete výsledný obrazový přenos systému na obrázku:

Řešení

G1(s)

G2(s)

Y(s)= Y1(s) + Y2(s)

U(s)= U1(s) Y1(s)

Y2(s) U(s)= U2(s)

G1(s)

G2(s)

Y(s)= Y1(s) U1(s)= U(s)- Y2(s)

Y1(s)

Y2(s) U2(s) =Y1(s)

_

+

U(s)

GR(s)

GMČ(s

)

Y(s)

_ U(s)

GS(s)

59

Zpětná vazba je záporná (-) a tak je ve jmenovateli obrazového přenosu znaménko +.

Výsledný obrazový přenos pak je: )().().(1

)().()(

sGsGsG

sGsGsG

MČSR

SR

Příklad 1.12.

Určete výsledný obrazový přenos systému na obrázku:

Řešení

Zpětná vazba je záporná (-) a tak je ve jmenovateli obrazového přenosu znaménko +.

Výsledný obrazový přenos pak je:

)().(1

)().()().()().()().()(

43

34513231

sGsG

sGsGsGsGsGsGsGsGsG




Bloková algebra ……………………………………………………………….

Sériové řazení bloků ……………………………………………………………….

Paralelní řazení bloků ……………………………………………………………….

Antiparalelní řazení bloků ……………………………………………………………….

Zpětná vazba ……………………………………………………………….

G1(s) G3(s) Y(s)

_

U(s)

G4(s) G2(s)

G5(s)

60


55. Co znamená pojem bloková algebra?

56. Jak vypadá sériové řazené bloků a jaký je výsledný přenos?

57. Jak vypadá paralelní řazené bloků a jaký je výsledný přenos?

58. Jak vypadá antiparalelní řazené bloků a jaký je výsledný přenos?

59. Jaké se řeší výsledný přenos složitých konstrukcí blokových schémat?

61

12. Regulační obvod

12.1. Struktura regulačního obvodu



definovat pojem regulační obvod

popsat regulační obvod pomocí přenosů

vyřešit otázky spojené s problematikou regulačních obvodů

Výklad

Automatická regulace je tou oblastí automatického řízení, kdy celý regulační obvod (regulační

systém) má za úkol automaticky eliminovat vliv poruchových veličin, které působí na objekt regulace

– regulovanou soustavu. Blokové schéma základního regulačního obvodu vychází z kybernetického

modelu řízení a je uvedeno na obrázku. Automatický regulační obvod je systémem se zápornou

zpětnou vazbou (platí i pro ruční regulaci). Blokové schéma základního regulačního obvodu je na

následujícím obrázku.

62

V obrázku je:

w(t) – řídící veličina e(t) – regulační odchylka u(t) – akční veličina

y(t) – regulovaná veličina v(t) – poruchová veličina

Regulovaná soustava je technologický objekt regulace, jehož výstupní veličina je regulovaná

(regulovaná veličina).

Regulátor je technické zařízení, které zpracovává vzniklou regulační odchylku dle vztahu:

e(t) = w(t) – y(t), a zasahuje svou akční veličinou u(t) do regulované soustavy tak, aby

regulovaná veličina byla udržována na požadované hodnotě i přes působení poruchy v(t).

Požadovaná (žádaná) hodnota regulované veličiny se nastavuje řídící veličinou w(t).

V základním regulačním obvodu (obvod regulace na konstantní hodnotu) se řídící veličina

nastavuje na konstantní hodnotu w(t) = konst. Hodnota regulované veličiny je neustále

snímána snímačem a přenáší se na porovnávací člen regulátoru, kde se vyhodnocuje regulační

odchylka, která vzniká působením poruchové veličiny nebo při změně žádané hodnoty

regulované veličiny.

Pro návrh (syntézu) regulačního systému je důležité znát statické a dynamické vlastnosti

regulované soustavy, prezentované matematickým modelem. Postup vedoucí na matematický

model regulované soustavy se nazývá identifikací regulované soustavy. Teprve pak lze dle

kritérií vybírat vhodný typ regulátoru a seřizovat jeho parametry pro jeho optimální činnost.

Statické vlastnosti regulované soustavy jsou dány její statickou charakteristikou, jejíž

hodnoty jsou měřeny v ustálených stavech (po proběhnutí přechodných dějů). Statické

charakteristiky lze rozdělit na lineární a nelineární. (V dalším se budeme zabývat pouze

soustavami lineárními, u kterých platí princip superposice.)

Dynamické vlastnosti lineárních regulovaných soustav se prezentují dynamickými

charakteristikami, které mohou být experimentální a algebraické. Algebraické dynamické

charakteristiky se užívají tam, kde známe strukturu systému, chování jeho jednotlivých prvků

a to i s konkrétními číselnými hodnotami konstant a parametrů. Mezi tyto dynamické

charakteristiky lineárních soustav patří: diferenciální rovnice, obrazový přenos, frekvenční

přenos, frekvenční charakteristika v komplexní rovině, frekvenční charakteristika

63

v semilogaritmických souřadnicích. Pro syntézu lineárních regulačních systémů má největší

význam obrazový přenos definovaný na základě Laplaceovy transformace.

Jestliže neznáme strukturu systému (regulované soustavy) a chování jednotlivých prvků, které

soustavu tvoří, nebo známe-li, ale neznáme konkrétní hodnoty konstant a parametrů, pak

použijeme metody experimentální identifikace. Tyto metody jsou založeny na experimentu,

kdy na vstup soustavy přivádíme podnět a na výstupu pak zaznamenáme odezvu, kterou pak

podrobujeme aproximativním metodám vedoucím k získání matematického modelu ve tvaru

obrazového přenosu. Mezi experimentální dynamické charakteristiky soustavy patří:

přechodová charakteristika, impulsní charakteristika, frekvenční charakteristika, amplitudová

a fázová logaritmická frekvenční charakteristika. V dalším se omezíme jen na přechodovou

charakteristiku, kterou získáme tak, že na vstup soustavy přivedeme signál (podnět) ve tvaru

jednotkového skoku a zaznamenáme odezvu soustavy pomocí snímače napojeného na

záznamové zařízení (například zapisovač, měřicí ústřednu nebo počítač).

Základní přenosy regulačního obvodu

– přenos řízení

Využijeme-li algebry blokových schémat na schéma regulačního obvodu, pak vidíme, že je

složen ze sériového řazení bloků a zpětné vazby. Proto přenos řízení můžeme zapsat ve tvaru:

sGsG

sGsG

sW

sYsG

rs

ssw

1

– přenos regulační odchylky e(t) v závislosti na řídicí veličině w(t)

Obdobně můžeme získat přenos regulační odchylky e(t) v závislosti na řídicí veličině w(t):

sGsGsW

sEsG

rs

w

1

1

– přenos regulační odchylky e(t) v závislosti na poruše v(t)

Obdobně můžeme získat přenos regulační odchylky e(t) v závislosti na poruše v(t). Budeme

předpokládat, že poruch vstupuje v součtu s akční veličinou do regulované soustavy, pak:

sGsG

sG

sW

sEsG

rs

sw

1

64

Stojí za povšimnutí, že jmenovatelé všech tří přenosů jsou shodné, což vypovídá o tom, že se

dynamika systému nemění v závislosti na vstupech a je jednoznačně daná pouze vlastnostmi

systému (levou stranou diferenciální rovnice).

Příklad 1.13.

Vypočtěte přenos řízení pro regulovanou soustavu popsanou přenosem:

110

1

ssU

sYsGs

která je řízená regulátorem s přenosem:

ssE

sUsGr

1

1

Řešení

Pro výpočet použijeme přenos řízení:

sGsG

sGsG

sW

sYsG

rs

ssw

1

dosadíme přenosy soustavy a regulátoru a obdržíme:

ss

ss

sW

sYsGw 1

110

11

1

110

1

převedeme na společný jmenovatel:

110

1110

110

1

ss

ss

ss

sW

sYsGw

vykrátíme a upravou obdržíme výsledný výraz:

110

1

1110

12

sssssW

sYsGw

65




Regulační obvod (RO) ……………………………………………………………….

Regulovaná soustava ……………………………………………………………….

Regulátor ……………………………………………………………….

Přenos regulačního obvodu ……………………………………………………………….


60. Co znamená pojem simulace regulační obvod?

61. Co znamená pojem simulace regulátor?

62. Co znamená pojem simulace regulovaná soustava?

63. Co je to identifikace soustavy?

64. Jaké typy přenosů regulačního obvodu znáte?

66

13. Regulátory

13.1. Struktura a popis regulátorů



definovat pojem regulátor

popsat jednotlivé typy regulátorů

vyřešit nastavení typu regulátoru

Výklad

Regulátor je zařízení, kterým se uskutečňuje automatická regulace. Tvoří jej na vstupu

porovnávací člen, ústřední člen, a akční člen, skládající se z výkonového zesilovače a

z regulačního orgánu. Měřící člen regulátoru je tvořen snímačem a porovnávacím členem.

Ústřední člen regulátoru umožňuje nastavování jednotlivých parametrů na regulátoru tak, aby

regulace byla optimální. Ústřední členy spojitých, lineárních regulátorů se sestávají

z typových, elementárních dynamických členů (proporcionálních, integračních a derivačních).

Regulátor typu P (proporcionální regulátor)

U tohoto typu regulátoru lze měnit (nastavovat) jeden parametr: zesílení KR. Pro ideální typ regulátoru

typu P platí obdobný obrazový přenos jako u typového dynamického členu typu proporcionálního 0.

řádu: GR(s) = KR s tím, že KR (zesílení) lze libovolně nastavovat. Přechodová charakteristika odpovídá

charakteristice systému proporcionálního 0. řádu.

Regulátor typu I (integrační regulátor)

Tento regulátor umožňuje měnit (nastavovat) také jeden parametr na jeho ústředním členu, a to

integrační časovou konstantu. Obrazový přenos tohoto regulátoru bez uvažování setrvačnosti (ideální

typ) je obdobný elementárnímu typovému členu integračnímu (ideálnímu) tj.: sT

sGI

R.

1)( a

67

rovněž přechodová charakteristika je obdobná charakteristice ideálního integračního členu s tím, že

její sklon se mění dle nastavené hodnoty TI.

Regulátor typu PI (proporcionálně integrační regulátor)

Ústřední člen PI regulátoru je vytvořen paralelním spojením regulátoru typu P a regulátoru typu I a

proto lze na něm měnit dva parametry (zesílení a integrační časovou konstantu).

Výsledný obrazový přenos je dle pravidla blokové algebry dán jako součet přenosů těchto složek:

sT

sTKsG

I

IRR

.

1..)(

Přechodová charakteristika PI regulátoru je dána grafickým součtem přechodových charakteristik

obou složek.

h

Kp

t

Regulátor typu PD (proporcionálně derivační)

Tento regulátor je vytvořen paralelním spojením P složky a D složky. Tomu i odpovídá obrazový

přenos tohoto regulátoru:

GR(s) = KR + TD .s

Nastavovat (seřízovat) lze zesílení a derivační časovou konstantu. Přechodová charakteristika je dána

grafickým součtem přechodových charakteristik jednotlivých složek, viz. následující obrázek.

h

Kp

t

68

Regulátor typu PID

PID regulátor umožňuje nastavovat na jeho ústředním členu tři parametry: zesílení, integrační časovou

konstantu a derivační časovou konstantu. Je tvořen paralelním spojením všech tří složek

(proporcionální, integrační, derivační). Proto je výsledný obrazový přenos toho regulátoru dán

součtem jednotlivých přenosů:

sT

sTTsTKsG

I

IDIR

.

1....)(

2

Tomuto přenosu odpovídá paralelní řazení jednotlivých složek regulátoru.

Přechodová charakteristika tohoto regulátoru (odezva akční veličiny na skokovou změnu regulační

odchylky) je dána grafickým součtem přechodových charakteristik jednotlivých složek regulátoru.

h

Kp

t

Častěji se pro popis regulátorů používá zápis:

sTsTKsG

I

DR.

1.1)(

Blokové schéma PID regulátoru dle uvedeného popisu je na následujícím obrázku:

1

Y(s) U(s) KR TD.s

sTI

1

69

Vhodnou volbou konstant můžeme volit typ regulátoru:

P: TD = 0, TI = max RKsG )(

PD: TI = max sTKsG DR .1)(

PI: TD = 0

sTKsG

I

R.

11)(

PID:

sTsTKsG

I

DR.

1.1)(

Specifické regulátory

Mezi specifické regulátory můžeme zařadit nelineární regulátory, Smithův regulátor a číslicové

regulátory. Specifické proto, že jejich činnost se od klasických spojitých lineárních regulátorů liší.

Nelineární regulátory se vyznačují tím, že jejich statická charakteristika není lineární. Nejznámnější

nelineátní regulátory jsou dvoupolohové (nebo třípolohové) regulátory, které pracují na jednoduchém

principu kdy:

u(t) = „0“ pro e(t) < 0 a u(t) = „1“ pro e(t) ≥ 0

kde

„0“ znamená zavření přívodu energie do regulované soustavy

„1“ znamená otevření přívodu energie do regulované soustavy

Pro jiné regulované soustavy může být použita inverzní logika, kdy:

u(t) = „1“ pro e(t) < 0 a u(t) = „0“ pro e(t) ≥ 0

Tyto typy regulátoru jsou v praxi velmi rozšířené hlavně proto, že jsou robustní (tzn. nní je třeba

nastavovat při změně dynamických vlastností regulované soustavy). Jejich nevýhodou je, že jejich

přesnost regulace je horší, neboť regulovaná veličina osciluje v mezním cyklu kolem žádané hodnoty.

Smithův regulátor je určen pro kvalitní regulaci regulovaných soustav s nezanedbatelným dopravním

zpožděním. Principem regulátoru je to, že používá paro vlastní regulaci odezvu modelu regulované

soustavy, avšak bez dopravního zpoždění. Tím dostáva mnohem dříve informace o tom, v jakém stavu

70

bude nacházet výstup soustavy za dobu rovnou dopravnímu zpoždění, čímž je mu umožněno provést

včas a správně akční zásah.

Číslicové (diskrétní) regulátory jsou většinou svou funkcí podobné spojitým PID regulátorům, jen

zpracování regulační odchylky je svěřeno počítači. Musí tedy obsahovat A/D převodník, jehož úkolem

je převést spojitý (analogový) signál e(t) na číslicový (digitální) e(kT), který je navíc znám jem

v určitých časových okamžicích kT určených tzv. vzorkovací periodou T. Dále pak algoritmus pro

určení akčního zásahu u(kT), který je nutno převodníkem D/A a tvarovačem zpět převést na spojitý

signál u(t). V současné době je většina moderních regulátorů realizována čislicovými regulátory ne

programovatelnými logickými automaty (PLC). Algoritmy regulárorů tak mohou být složitější (např.

fuzzy control).

Všemi regulátory, zde označenými jako specifické budou zařazeny do výuky navazujících předmětů.

Příklad 1.14.

Určete výsledný obrazový přenos PID regulátoru, který je nastaven následovně:

P: KR = 10

I: TI = 5s

D: TD = 0,1s

Řešení

sssG

.5

1.1,0110)(




Regulátor typu PID ……………………………………………………………….

Nelineární regulátory ……………………………………………………………….

Smithův regulátor ……………………………………………………………….

Číslicové regulátory ……………………………………………………………….


65. Co znamená pojem simulace regulátor?

66. Jaké typy lineárních regulátorů existují?

71

67. Jaké typy specifických regulátorů znáte a jaký je jejich princip?

72

14. Simulace regulačních obvodů

14.1. Pojem simulace



definovat pojem simulace

popsat způsoby simulace regulačních obvodů

vyřešit úlohy spojené se simulací regulačních obvodů

Výklad

Existuje celá řada definicí pojmu simulace, které formulovali významní autoři spojení s

kybernetikou uvedení v literatuře[29]:

Shannon - simulace je proces tvorby modelu reálného systému a provádění experimentů s

tímto modelem za účelem dosažení lepšího pochopení chování studovaného systému či za

účelem posouzení různých variant činnosti systému.

Taylor – simulace je numerická metoda, která spočívá v experimentování s matematickými

dynamickými modely reálných systému na číslicových počítačích.

Dahl – jde o techniku, která nahrazuje dynamický systém modelem s cílem získat informace

o sledovaném systému pomocí experimentů s jeho modelem.

Zeigler - problematiku simulace charakterizuje pomocí tří elementů (reálný systém, model,

počítač) a dvou vztahů – modelového a simulačního.

Pro nás bude představovat simulace dynamických systémů proces analýzy reálného objektu, jeho

identifikaci s cílem získání co nejpřesnějšího matematického modelu popisujícího ty vztahy systému,

které jsou pro řešení zadaného úkolu podstatné, vytvoření algoritmů realizujících zjištěné

matematické vztahy, jejich naprogramování na počítači za účelem zjišťování chování systémů na

předem definované podněty.

73

Pro realizaci simulací existuje poměrně významný komerční produkt Matlab – Simulink. Jde o jednu

z možností jak snadno vytvořit model dynamického systému pomocí základních bloků a jejich

funkčního propojení. Systém je rovněž vybaven mocnými funkcemi vizualizace simulovaných

výsledků.

Naší snahou však nejen z pedagogických důvodů bude snaha o naprogramování nejen libovolného

dynamického systému ale jeho využití pro speciální účely. V této části půjde o naprogramování

regulačního obvodu prostředky nevyužívajícími stavový popis systému, ale vycházející

z diferenciálních a integrálních rovnic popisujících jednodušší dynamické systémy, ať už jde o

regulátory nebo regulované soustavy.

Programování základních operací

V regulaci se setkáváme s rovnicemi, jejichž počítačové řešení vyžaduje znalost základních lineárních

operací, které jsou derivace a integrál.

derivace

Derivace u diskrétních systémů přechází na diferenci.

T

TkukTu

t

tuty

)1()(

integrál

Integrace u diskrétních systémů přechází na sumaci.

TnyTnTuTkTunTyn

k

1)()(0

Vztah vychází z obdélníkové metody, která je nejjednodušší.

Přesnost řešení obou případů je do značné míry závislé na hodnotě t , tedy na periodě vzorkování T.

Ta by měla být co nejkratší, neboť 0t .

dt

tduty

u(t) y(t)

dttuty u(t) y(t)

74

Nyní již stačí znalost programování základních matematických operací a můžeme vytvořit program,

pro realizaci simulací dynamických systémů.

Příklad 1.15.

Naprogramujte proporcionální dynamický systém prvního řádu s oecnou časovou konstantou T a

obecným zesílením k.

Řešení

Proporcionální dynamický systém prvního řáduje popsán operátorovým přenosem:

1

Ts

ksG

jemu odpovídajíci diferenciální rovnice:

tkutytyT

osamostatníme ty :

T

tytku

dt

tdyty

úpravou získáme:

dtT

tytkutdy

a následně:

cdtT

tytkuty

kde c je integrační konstanta vyjadřující počáteční podmínky.

Numerický výpočet vychází ze strategie, že k již vypočteným hodnotám y(kΔt) v čase kΔt připočte

elementární integrál za časový okamžik Δt (tedy do času (k+1)Δt):

tkytT

tkytkkutky

1

kde Δt je perioda vzorkování.

75

Fragment programu v jazyku Delphi by mohl vypadat následovně:

var

Form1: TForm1;

dy,k,u,ys,yn,T,dt:real;

i,n:integer;´

implementation

{$R *.dfm}

procedure DC1R;

begin

dt:= 0.1;

n:=1000;

T:=10;

k:=1;

u:=100;

ys:=0; for i:= 0 to n-1 do

begin

dy:=(k*u-ys)/T*dt;

yn:=ys+dy;

Form1.Memo1.Lines.Add(FloatToStr(ys));

ys:=yn;

end;

end;

procedure TForm1.FormCreate(Sender: TObject);

begin

DC1R;

end;

Při spuštění programu je volána procedura výpočtu přechodové charakteristiky systému, kdy jsou

výstupní hodnoty systému v jednotlivých časových okamžicích vzorkování dt:= 0.1 zapsány do

komponenty memo.




Simulace ……………………………………………………………….

Programování základních operací ……………………………………………………………….


68. Co znamená pojem simulace RO?

69. Jaké prostředky pro simulace existují?

76

Použitá literatura, kterou lze čerpat k dalšímu studiu

[1] ASTRÖM, J., HÄGGLUND, T. PID Controllers: Theory, Design and Tuning. Second Edition.

Research Triangle Park – North Carolina, Instrument Society of America, 1995.

[2] BALÁTĚ, J. Automatické řízení. 1. vyd. Praha: BEN – Technická literatura, 2003. 664 s. ISBN

80-7300-020-2.

[3] BALÁTĚ, J. Vybrané statě z automatického řízení. 2. vyd. Brno: Vysoké učení technické v

Brně, 1996. 359 s. ISBN 80-214-0793-X.

[4] BATESON, R. N. Control system technology. Fifth Edition. Prentice Hall – Upper Saddle

River, New Jersey, 1996. 784 p. ISBN 0-13-226275-4.

[5] DRÁBEK, O. Automatizované systémy řízení. 2. vyd. Pardubice: SPŠ Elektrotechnická a VOŠ

Pardubice, 2000 [cit. 2007-11-20]. Dostupný z www: zde.

[6] FARANA, R., SMUTNÝ, L., VÍTEČEK, A., VÍTEČKOVÁ, M. Zpracování závěrečných

prací z oblasti automatizace a informatiky. 1. vyd. Ostrava: VŠB-TU Ostrava, 2004. 116 s.

ISBN 80-248-0557-X.

[7] LEIGH, J.R. Applied Digital Control: Theory, Design and Implementation. Second Edition.

Prentice Hall International (UK), 1992. 524 p. ISBN 0-13-044249-6.

[8] LEVINE, W.S. The Control Handbook. Ostrava: VŠB-TU Ostrava, 2000. 1548 p. ISBN 0-

8493-8570-9.

[9] MINÁŘ, K. Analýza lineárních regulačních obvodů [online]. Ostrava: VŠB-TU Ostrava, 2000

[cit. 2007-12-20]. Bakalářská práce, vedoucí: Wagnerová, R. Dostupný z www: zde.

[10] NOSKIEVIČ, P. Simulace systémů. 1. vyd. Ostrava: VŠB-TU Ostrava, 1992. 217 s.

ISBN 80-7078-112-2.

[11] Pages of Foundation Wikimedia [online]: Sampling Rate. Available from World Wide

Web: zde.

http://www.upce.cz/priloha/krpvt-asr

http://www.fs.vsb.cz/books/Analyza/prvni.html

http://en.wikipedia.org/wiki/Sampling_rate

77

[12] Pages of Foundation Wikimedia [online]: Nyquist–Shannon sampling theorem.

Available from World Wide Web: zde.

[13] ŠULC, B., VÍTEČKOVÁ, M. Teorie a praxe návrhu regulačního obvodu. Praha:

Vydavatelství ČVUT, 2004. 333 s. ISBN 80-01-03007-5.

[14] ŠVARC, I., ŠEDA, M., VÍTEČKOVÁ, M. Automatické řízení. 1. vyd. Brno:

Akademické nakladatelství CERM, 2007. 324 s. ISBN 978-80-214-3491-2.

[15] ŠVARC, I. Teorie automatického řízení I. Skriptum VUT, Brno, 1989

[16] ŠVARC, I. Teorie automatického řízení II. Skriptum VUT, Brno, 1993

[17] ŠVARC, I. Teorie automatického řízení. Skriptum VUT, Brno, 2003

[18] TŮMA, J. Signal Processing – kapitoly o zpracování signálů. Dokumentace k

programu Signal Analyse. Ostrava: VŠB-TU Ostrava, 2006. 125 s.

[19] VANDOREN, V. Tři tváře PID. Control Engineering Česko, 2007, roč. II, č. 2(3),

s.18 – 20. ISSN 1896-5784.

[20] VÍTEČKOVÁ, M. L- a Z- transformace. Skripta FS VŠB-TUO, Ostrava, 1995, ISBN

80-02-01050-7.

[21] VÍTEČKOVÁ, M. Seřízení regulátorů metodou inverze dynamiky. 1. vyd. Ostrava:

skripta FS VŠB-TU Ostrava, 1998 (dotisk 2000). 56 s. ISBN 80-7078-628-0.

[22] VÍTEČKOVÁ, M., VÍTEČEK, A. Základy automatické regulace. 1. vyd. Ostrava:

VŠB-TU Ostrava, 2006. 200 s. ISBN 80-248-1068-9.

[23] VÍTEČKOVÁ, M. Slovník L- a Z- transformace s řešenými příklady. Skripta FS VŠB-

TUO, Ostrava 2005, ISBN 80-248-0851-X.

[24] VÍTEČEK, A. Matematické metody automatického řízení. Ostrava: VŠB-TU Ostrava,

1988. 156 s.

[25] WITTENMARK, B., ASTRÖM, K.J., ARZEN, K.-E. Computer Control: An

Overview. Department of Automatic Control, Lund, Sweden. Pdf Document, 2001.

http://en.wikipedia.org/wiki/Nyquist%E2%80%93Shannon_sampling_theorem

78

[26] BURÝ,A. Simulace a modelování důlních systémů, VŠB Ostrava, HGF, Moravské

tiskařské závody Ostrava, 1989.

[27] STRAKOŠ,V., BURÝ,A. Základy technické kybernetiky, VŠB Ostrava, HGF, Ediční

středisko VŠB v Ostravě, 1992, ISBN 80 – 7078 – 151 – 3.

[28] BURÝ,A. Teorie systémů a řízení, skriptum, VŠB Ostrava, HGF, Ostrava, 2007

[29] Chobot, M., Turnovcová A.: Modely rozhodovania v konfliktných situáciách a za

neurčitosti, Alfa, 1980

Documents

Teorie řízení technologických procesů Ikatedry.fmmi.vsb.cz/Opory_FMMI/638/638-Teorie_rizeni_technologickych_procesu_I.pdf• Vytvořit všechny programy, které jsou v zadání