Teorija brojeva

Sadrzaj

1 Polje p-adickih brojeva 21.1 Apsolutne vrednosti na poljima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Kompletiranje polja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3 Prsten p-adickih celih i njihov zapis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.4 Algebarska konstrukcija p-adickih brojeva . . . . . . . . . . . . . . 131.5 Diskretna valuacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.6 Adeli nad poljem Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2 p-adicka analiza 202.1 p-adicka integracija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.2 p-adicka Furijeova transformacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.3 Apstraktna harmonijska analiza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3 Lokalna teorija 333.1 Lokalni zeta integral i lokalne funkcionalne jednacine . . . . . . . . 333.2 Racunanje gama faktora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4 Globalna teorija 434.1 Globalni zeta integrali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

1

1 Polje p-adickih brojeva

1.1 Apsolutne vrednosti na poljima

Primer 1. Razmotrimo za pocetak neke poznate primere polja (p je prost broj):

1. Q,R,C2. Q(

√2) = a+ b

√2 | a, b ∈ Q

3. Fp = Z/pZ4. Fp(t) - kolicnicko polje prstena polinoma tj. polje racionalnih funkcija sa

koeficijentima iz Fp5. Fp((t)) - kolicnicko polje prstena formalnih stepenih redova Fp[[t]], gde je

Fp[[t]] =∑

j≥0 ajtj|aj ∈ Fp

4

Podsetimo se sada i pojma karakteristike.

Definicija 1. Neka je K polje sa jedinicom 1k. Njegova karakteristika, u oznacichar(K), je najmanji prirodan broj n za koji vazi da je

∑ni=1 1k = 0. Ako je∑n

i=1 1k 6= 0 za svako n ∈ N, tada kazemo da je char(K) = 0.

Uocimo da za polje K vazi char(K) 6= 0 ako i samo ako je Ker (Z −→ K) 6= 0.Takva polja nazivamo poljima konacne karakteristike.

Posmatrajuci gornje primere polja, mozemo da primetimo da su Q,R,C iQ(√

2)

karakteristike 0, dok su Fp,Fp(t) i Fp((t)) polja konacne karakteristike.Recimo, Fp(t) je konacne karakteristike jer je

p · a(t)

b(t)=p · a(t)

b(t)=p∑n

j=1 ajtj

b(t)=

∑nj=1(p · aj)tj

b(t)= 0.

Kao bitnu osobinu pomenimo i to da svaka ne-nula karakteristika mora bitiprost broj.

U cilju daljeg istrazivanja i rada sa poljima, zelimo da na njima merimo rastoja-nja. To postizemo uvodenjem pojma apsolutne vrednosti pomocu sledece prirodnedefinicije.

Definicija 2. Apsolutna vrednost na polju K je svaka funkcija |·| : K → R≥0

takva da za sve x, y ∈ K vazi:

1. |x| = 0 ako i samo ako je x = 02. |x · y| = |x| · |y|3. |x+ y| ≤ |x|+ |y|

2

Ako apsolutna vrednost dodatno zadovoljava i ultra-metricku nejednakost

|x+ y| ≤ max|x| , |y|,

tada tu apsolutnu vrednost zovemo nearhimedska apsolutna vrednost, dok sve onekoje ovu nejednakost ne zadovoljavaju zovemo arhimedske apsolutne vrednosti.

Pojam apsolutne vrednosti je znacajan jer nam omogucava da na polju uvedemometriku, a samim tim i topologiju, sto nam dalje obezbeduje koriscenje tehnikaanalize na datom polju.

Primer 2.

1. Trivijalna apsolutna vrednost na K je data sa

|x|triv =

0, x = 0

1, x 6= 0

2. Obicna1 apsolutna vrednost na Q je data sa |·|∞ : Q→ R≥0

|x|∞ =

x, x ≥ 0

−x, x < 0

3. p-adicka apsolutna vrednost |·|p : Q→ R≥0 je data sa

|0|p = 0

|x|p =∣∣∣pv a

b

∣∣∣p

= p−v, (ab, p) = 1, v ∈ Z, x 6= 0

4

Primer 3. Konkretni primeri p-adickih apsolutnih vrednosti nekih brojeva su∣∣32 511

∣∣3

= 19

i∣∣3−2 5

11

∣∣3

= 9. 4

Treba proveriti da je p-adicka apsolutna vrednost dobro definisana, tj. dazadovoljava aksiome apsolutne vrednosti. Posto se prva dva uslova iz definicijeaposlutne vrednosti trivijalno proveravaju, navodimo samo deo dokaza koji se od-nosi na nejednakost trougla. Neka su x, y ∈ Q takvi da x = pv a

bi y = pw c

di neka

je, bez umanjenja opstosti, v ≤ w. Tada vazi

|x+ y|p =∣∣∣pv a

b+ pw

c

d

∣∣∣p

=∣∣∣pv (a

b+ pw−v

c

d

)∣∣∣p

=

∣∣∣∣pv ad+ pw−vcb

bd

∣∣∣∣p

,

1∞ posmatramo kao beskonacan prost broj

3

pa je

|x+ y|p ≤ p−v = |x|p = max|x|p , |y|p

,

odakle sledi i |x+ y|p ≤ |x|p + |y|p. Iz dokaza mozemo primetiti da je p-adickaapsolutna vrednost nearhimedska.

Definicija 3. Za dve apsolutne vrednosti |·| i |·|′ na polju K kazemo da su ekvi-valentne ako postoji α ∈ R>0 takvo da vazi

|x|′ = |x|α , za svako x ∈ K.

Sada dolazimo do bitne teoreme, koja nam govori o tome na koliko razlicitihnacina mozemo da merimo na skupu racionalnih brojeva.

Teorema 1 (Ostrovski). Sve netrivijalne apsolutne vrednosti na Q su ekvivalentnejednoj od | · |∞ ili | · |p, gde je p neki prost broj.

Dokazimo za pocetak sledeci stav.

Stav 1. Neka je K polje sa apsolutnom vrednoscu ‖·‖ i 1k multiplikativna jedinicau K. Tada vazi:

1. ‖1k‖ = 12. ‖−x‖ = ‖x‖3. ‖ · ‖ je nearhimedska nad K ako i samo ako je ‖n‖ ≤ 1 za sve n ∈ Z

Dokaz.

1. Deljenjem jednakosti ‖1k‖ · ‖1k‖ = ‖1k · 1k‖ = ‖1k‖ sa ‖1k‖ dobijamo da je‖1k‖ = 1.

2. Kako vazi 1 = ‖1k‖ = ‖(−1k) · (−1k)‖ = ‖−1k‖2 i kako je ‖−1k‖ pozitivanbroj, dobijamo da je ‖−1k‖ = 1. Dalje sledi da je ‖−x‖ = ‖(−1k) · x‖ =‖−1k‖ · ‖x‖ = ‖x‖

3. Ako je ‖·‖ nearhimedska tada vazi

‖n‖ = ‖1k + · · ·+ 1k‖ ≤ max‖1k‖ , . . . , ‖1k‖ = 1

Dokazimo sada obrnut smer. Pretpostavimo da ‖·‖ nije arhimedska. Tadapostoje x, y ∈ K, ‖x‖ ≥ ‖y‖, takvi da je ‖x+ y‖ > max‖x‖ , ‖y‖ = ‖x‖.Deljenjem sa ‖x‖ dobijamo: ∥∥∥1 +

y

x

∥∥∥ > ‖1‖4

Uvedimo sada smenu z = y/x, pri cemu je ‖z‖ = ‖y‖ / ‖x‖ ≤ 1 (*). Tada izprethodne jednakosti dobijamo da vazi ‖z + 1‖ > 1 (**). Sada je:

‖z + 1‖n = ‖(z + 1)n‖ =

∥∥∥∥∥n∑j=0

(n

j

)zj

∥∥∥∥∥ ≤n∑j=0

∥∥∥∥(nj)∥∥∥∥ · ∥∥zj∥∥

Pa, buduci da je, iz pretpostavke, ‖(nj

)‖ ≤ 1 i, iz (*), ‖zj‖ ≤ 1, vazi

‖z + 1‖n ≤∑n

j=0 1 · 1 = n + 1, za svako n ∈ N. Ovo je u kontradikcijisa (**), pa ‖·‖ mora biti arhimedska, cime je dokaz zavrsen.

Posledica 1. Svako polje K konacne karakteristike p ima samo nearhimedskeapsolutne vrednosti. Specijalno, konacna polja imaju samo trivijalne apsolutnevrednosti.

Dokaz. Neka je polje K karteristike p, i neka je ‖·‖ proizvoljna apsolutna vrednostna K. Posmatrajmo utapanje prstena celih brojeva Z u polje K, dato sa n 7→ n·1K .Slika Im (Z) pri ovom utapanju je konacno polje Fp. Kako je p karakteristikapolja K vazi da je np−1 = 1 za svako n 6= 0 jer n ∈ F∗p. Odavde sledi da je1 = ‖np−1‖ = ‖n‖p−1, odnosno da je ‖n‖ = 1. Po stavu 1 dobijamo da je ‖·‖nearhimedska apsolutna vrednost.

Ako je polje K konacno, tada su svi njegovi elementi oblika nK =∑n

i=1 ·1Kza neko prirodno n. Iz prethodnog dela dokaza sledi da za svako nK ∈ K vazi‖nK‖ = 0 za nK = 0K , ili

∥∥np−1K

∥∥ = 1, odnosno ‖nK‖ = 1, za nK 6= 0K . Dakle ‖·‖je trivijalna apsolutna vrednost.

Dokaz teoreme Ostrovskog. Pretpostavimo prvo da je apsolutna vrednost ‖·‖ ar-himedska, i dokazimo da je tada apsolutna vrednost ‖·‖ ekvivalentna ∞-adickojapsolutnoj vrednosti. U nizu ‖1‖, ‖2‖, ‖3‖, . . . mora postojati barem jedan element‖n‖ > 1, jer bi u suprotnom apsolutna vrednost ‖·‖ bila trivijalna ili nearhimed-ska2. Neka je zato b najmanji prirodan broj takav da je ‖b‖ > 1. Broj b mora bitirazlicit od jedinice 1K , jer je ‖1K‖ = 1. Definisimo sada α kao pozitivan realanbroj za koji vazi ‖b‖ = bα = |b|α∞.

Neka je n proizvoljan prirodan broj. Tada broj n mozemo zapisati u bazi b kaon = a0 + a1b+ · · ·+ atb

t, gde je broj t ∈ N0 takav da vazi bt ≤ n < bt+1, a brojevia0, a1, . . . , at pripadaju skupu 0, 1, . . . , b− 1. Tada je

‖n‖ =∥∥a0 + a1b+ · · ·+ atb

t∥∥

≤ ‖a0‖+ ‖a1b‖+ · · ·+∥∥atbt∥∥

2Ovo sledi na osnovu stava 1.

5

= ‖a0‖+ ‖a1‖|b|α∞ + · · ·+ ‖at‖|b|tα∞≤ 1 + bα + · · ·+ btα

= btα(

1 +1

bα+ · · ·+ 1

btα

)≤ Cbtα ≤ Cnα,

gde je C =∑+∞

i=0 b−iα strogo pozitivna konstanta koja ne zavisi od n. Dakle,

‖n‖ ≤ Cnα vazi za svako prirodno n. Specijalno, za proizvoljno N ∈ N, dobijamo∥∥nN∥∥ ≤ C(nN)α

, odnosno vazi ‖n‖ ≤ C1N nα. Pustanjem limesa N → ∞, iz

prethodne nejednakosti dobijamo nejednakost

‖n‖ ≤ nα. (1)

Procenimo sada ‖n‖ odozdo. Iz nejednakosti ‖bt+1‖ = ‖n+ bt+1 − n‖ ≤ ‖n‖+‖bt+1 − n‖, dobijamo nejednakost

‖n‖ ≥∥∥bt+1

∥∥− ∥∥bt+1 − n∥∥

≥ b(t+1)α −(bt+1 − n

)α≥ b(t+1)α −

(bt+1 − bt

)α= b(t+1)α

[1−

(1− 1

b

)α]≥ Dnα,

gde je D = 1 −(1− 1

b

)αpozitivna konstanta koja ne zavisi od n. Dakle za

svako n ∈ N vazi ‖n‖ ≥ Dnα. Odavde kao malopre, zamenom n sa nN i pustanjemlimesa N →∞, dobijamo procenu

‖n‖ ≥ nα. (2)

Kombinujuci nejednakosti (1) i (2) zakljucujemo da za svako n ∈ N vazi

‖n‖ = nα.

Neka je sada mn

proizvoljan pozitivan racionalan broj. Tada je ‖m‖∥∥ nm

∥∥ =∥∥m nm

∥∥ = ‖n‖ = nα, odakle sledi da je∥∥ nm

∥∥ =(nm

)α=∣∣ nm

∣∣α∞. Za proizvoljan

pozitivan broj x vazi ‖−x‖ = ‖−1‖‖x‖ = ‖x‖ = |x|α∞ = |−x|α∞. Ovim je dokazanoda za svako x ∈ Q vazi

‖x‖ = |x|α∞.

Pretpostavimo sada da je apsolutna vrednost ‖·‖ nearhimedska, i dokazimo daje ‖·‖ ekvivalentna nekoj p-adickoj apsolutnoj vrednosti, gde je p prost broj. Kakoje ‖·‖ nearhimedska, svi clanovi niza ‖1‖, ‖2‖, ‖3‖, . . . su manji ili jednaki sa 1.

6

Pritom postoji3 najmanje prirodno b za koje vazi ‖b‖ < 1. Kako b nije 1, postojiprost broj p takav da p | b. Ako b nije samo prosto, tj. ako b 6= p, tada je

1 > ‖b‖ =

∥∥∥∥p bp∥∥∥∥ = ‖p‖

∥∥∥∥ bp∥∥∥∥ = 1 · 1 = 1,

jer su p i bp

prirodni brojevi manji od b. Kako je izvedena nejednakost netacna,zakljucujemo da je b = p prost broj.

Ako bi postojao jos jedan prost broj q, razlicit od p, takav da je ‖q‖ < 1, tadabi iz jednakosti 1 = up+ vq, gde su u i v celi brojevi, sledila netacna nejednakost

1 = ‖1‖ = ‖up+ vq‖ ≤ max ‖up‖, ‖vq‖ = max ‖u‖‖p‖, ‖v‖‖q‖ < 1.

Dakle p je jedinstveni prost broj takav da je ‖p‖ < 1. Neka je sada α pozitivanrealan broj takav da vazi

‖p‖ =1

pα= |p|αp .

Za proizvoljan racionalan broj mn

tada vazi∥∥∥mn

∥∥∥ =

∥∥∥∥pem′n′∥∥∥∥ = ‖pe‖

∥∥∥∥m′n′∥∥∥∥ = |pe|αp

‖m′‖‖n′‖

= |pe|αp =∣∣∣mn

∣∣∣αp,

gde je e ceo broj takav da vazi (pe,m′n′) = 1.

1.2 Kompletiranje polja

Za polje sa apsolutnom vrednoscu (K, |·|) kazemo da je kompletno (u odnosuna |·|) ako je kompletno u odnosu na metriku d(x, y) = |x − y|. Polje sa trivi-jalnom apsolutnom vrednoscu je kompletno. Takode, ako je polje kompletno uodnosu na neku apsolutnu vrednost |·|, onda je ono kompletno i u odnosu na nekuekvivalentnu apsolutnu vrednost.

Ako postoji postoji utapanje i : K → K ′ polja sa apsolutnom vrednoscu (K, |·|)u polje sa apsolutnom vrednoscu (K ′, |·|′), tada za i kazemo da je izometrija akovazi |i(x)|′ = |x| za svako x iz K.

Polje koje je nastalo kompletriranjem polja Q u odnosu na p-adicku apsolutnuvrednost |·|p nazivamo polje p-adickih brojeva, i oznacavamo ga sa Qp. Specijalno,polje ∞-adickih brojeva je dobro poznato polje realnih brojeva R. Egzistencija ijedinstvenost polja Qp slede iz naredne teoreme.

3Ako ovakvo n ne bi postojalo, tada bi apsolutna vrednost ‖·‖ bila trivijalna.

7

Teorema 2. Neka je (K, |·|) polje sa apsolutnom vrednoscu. Tada postoji je-dinstveno, do na izomorfizam, kompletno polje sa apsolutnom vrednoscu (K ′, |·|′)takvo da se se polje K izometricno utapa u polje K ′, i slika polja K pri tom uta-panju je gusta u K ′. Pritom je apsolutna vrednost | · |′ nearhimedska, ako i samoako je to i |·|.

Dokaz. Neka je C(K) skup svih Kosijevih nizova (u odnosu na |·|) u K, i neka suna C(K) definisane operacije + i · na sledeci nacin

(an) + (bn) = (an + bn)(an) · (bn) = (anbn).

Direktno se proverava da je (C(K),+, ·) jedan komutativan prsten sa jedinicom.Neka je sada N(K) skup nula nizova, tacnije neka je

N(K) =

(xn) ∈ C(K)∣∣∣ limx→∞

xn = 0.

Lako se pokazuje da je skup N(K) ideal u prstenu C(K). Stavise taj ideal jemaksimalan. Da bismo to dokazali uzmimo proizvoljan Kosijev niz (xn) koji nijenula niz, i dokazimo da je tada N(K) + (xn)C(K) upravo C(K). Kako (xn) nijenula niz, sledi da postoje prirodan broj n0 i realan broj C > 0, takvi da je |xn| > Cza svaki prirodan broj n ≥ n0. Neka je sada niz (yn) zadat sa

yn =

0 n < n0

1xn

n ≥ n0

Niz (yn) je dobro definisan, Kosijev niz. Niz (xn) · (yn) je takode Kosijev, jer je(xn) ·(yn) = (0, 0, . . . , 0, 1, 1, 1, . . . ). Odavde sledi da jednica prstena C(K) pripadaskupu N(K) + (xn)C(K) jer je

1C(K) = (1, 1, 1, . . . ) = (xn) · (yn)︸ ︷︷ ︸∈(xn)N(K)

+ (1, 1, . . . , 1, 0, 0, . . . )︸ ︷︷ ︸∈N(K)

.

Samim tim ceo prsten C(K) pripada idealu N(K) + (xn)C(K). Dakle, ideal Nje maksimalan, pa je kolicnicki prsten C(K)/N(K) polje. Oznacimo ovo polje saK ′.

Neka je i utapanje polja K u polje K ′ definisano sa

x 7→ [(xn)] = (x, x, x, · · · ) + N(K).

Neka je preslikavanje | · |′ : K ′ → R dato sa

|[(xn)]|′ = limn→∞

|xn| [(xn)] ∈ K ′.

8

Kako je (|xn|) Kosijev niz u R, on konvergira, pa je navedeni limes defini-san. Pritom, ako su (xn) ∈ K i (yn) ∈ K takvi da je [(xn)] = [(yn)] tada jelimn→∞ |xn| = limn→∞ |yn| jer je (xn) = (yn) + (on) gde je (on) neki nula niz.Dakle vrednost |[(xn)]|′ je dobro definisana za svako (xn) ∈ C(K). Direktno sedokazuje da je preslikavanje |·|′ apsolutna vrednost u polju K ′.

Utapanje i je izometrija u odnosu na | · | i | · |′ jer je |i(x)|′ = limn→∞|x| = |x|.Ako je | · | arhimedsko, tada direktno sledi da je arhimedsko i | · |′. Ako je | · |nearhimedsko, tada je nearhimedsko i | · |′ jer je

|[(xn)] + [(yn)]|′ = |[(xn + yn)]|′ = limn→∞

|xn + yn|

≤ limn→∞

max |xn| , |yn| = max |[(xn)]|′, |[(yn)]|′ .

Dokazimo sada da je slika polja K pri utapanju i gusta u K ′. Neka je a ∈ K ′proizvoljno. Tada je a = [(xn)] za neko (xn) ∈ C(K). Neka je niz an∞n=1 u K ′

zadat sa an = i (xn). Niz an ocigledno pripada i slici i(K). Pritom vazi

|an − a|′ = |i(xn)− a|′ = limm→∞

|xn − xn+m| −−−→n→∞

0,

jer je niz (xn) Kosijev u K. Dakle i(K) je gust u K ′.Sada cemo dokazati da je polje K ′ kompletno. Neka je aν∞ν=1 Kosijev niz u

K ′. Elementi ovog niza su klase ekvivalencije Kosijevih nizova u K, odnosno vaziaν = [(xνn)∞n=1]. Kako je i(K) gusto u K ′, nizovi (xνn) se mogu izabrati tako da vazinejednakost

|i(xνn)− aν |′ ≤ 1

2n∀n, ν ∈ N. (3)

Kako je niz (aν) Kosijev, za svako ε > 0 postoji νε ∈ N takvo da je |aνε − aνε+n|′ <ε za svako n ∈ N. Definisimo niz (yn) = (xnn) u polju K. Niz (yn) je Kosijev jervazi

|yn − yn+m| =∣∣xnn − xn+m

n+m

∣∣ =∣∣i (xnn)− i

(xn+mn+m

)∣∣′≤ |i (xnn)− an|′ +

∣∣an − an+m∣∣′ + ∣∣an+m − i

(xn+mn+m

)∣∣′≤ 1

2n+ ε+

1

2n+m< 2ε

za sve m ≥ 0, i za sve n za koje je 2−n < ε/2, i za koje n ≥ νε. Ostaje jos da sedokaze da je limν→∞ a

ν = [(yn)]. Vazi

|aν − [(yn)]|′ = limn→∞

|xνn − yn| = limn→∞

|xνn − xnn|

≤ lim supn→∞

|i (xνn)− aν |′ + |aν − an|′ + |an − i (xnn)|′

9

≤ lim supn→∞

1

2n+ |aν − an|′ + 1

2n

= lim sup

n→∞|aν − an|′ −−−→

ν→∞0,

jer je niz (aν) Kosijev. Pritom je za nejednakost u gornjem izrazu iskoriscenaformula (3).

1.3 Prsten p-adickih celih i njihov zapis

Stav 2 (Formula proizvoda). Neka je 0 6= α ∈ Q onda je:∏ν≤∞

|α|ν = 1.

Primer 4. Neka je α = 32·57

onda je:∏ν≤∞

|α|ν = |α|∞ · |α|2 · |α|3 · |α|5 · |α|7 · |α|11 · · ·

= 32 · 5 · 7 · 1 · 1

32· 1

5· 1

7· 1 · · · = 1.

Proizvod je uvek konacan, jer je |α|ν = 1 za sve sem konacno mnogo ν. 4

Definicija 4. Elemente zatvorenog diska Zp = x ∈ Qp | |x|p ≤ 1 u polju(Qp, |·|p) nazivamo celim p-adickim brojevima.

Primetimo da za x, y ∈ Zp vazi |x+y|p ≤ max|x|p, |y|p ≤ 1 i |xy|p = |x|p|y|p ≤1, iz cega sledi da je (Zp,+, ·) prsten.

Definicija 5. Prsten (Zp,+, ·) nazivamo prstenom celih p-adickih brojeva.

Primetimo da je kodomen p-adicke apsolutne vrednosti diskretan skup 0 ∪pn | n ∈ Z. Dalje nije tesko uociti ni da je svaki zatvoreni disk ujedno i otvoreni obrnuto. Konkretno, na primer, vazi:

Zp = x ∈ Qp | |x|p ≤ 1 = B[0, 1] = B(0, p) = x ∈ Qp | |x|p < p.

Dakle baza topologije polja p-adickih brojeva je data otvorenim, odnosno zatvo-renim loptama oblika a+ pnZp gde a ∈ Qp i n ∈ Z.

Stav 3. Qp je nepovezan.

Dokaz. Neka su x i y razliciti p-adicki brojevi i neka je |x − y|p = p−n. Taday /∈ X = x + pn+1Zp. Sa druge strane Qp \ X = Y 3 y je takode neprazani otvoren. Pa je Qp = X ∪ Y disjunktna unija dva otvorena neprazna skupa,odnosno Qp je nepovezan.

10

Posto svake dve tacke mogu ovako da se razdvoje, Qp je totalno nepovezan,odnosno ne postoji nekonstantna neprekidna funkcija γ : [0, 1]→ Qp.

Lema 1. Za svako x ∈ Qp za koje je |x|p ≤ p−n, gde je n ∈ Z, postoji jedinstvenoa ∈ 0, 1, . . . , p− 1 tako da je |x− apn|p < p−n.

Dokaz. Neka je t = p−nx, onda je |t|p = |p−n|p |x|p ≤ 1 i neka je |t− a|p < 1 ondaje

|x− apn|p = |tpn − apn|p = |t− a|p |pn|p < p−n.

Dakle dovoljno je dokazati tvrdenje za |x|p ≤ 1. Posto je Q gusto u Qp ondapostoji r

s∈ Q, (r, s) = 1 tako da je |x− r

s|p < 1. Sada imamo∣∣∣r

s

∣∣∣p

=∣∣∣rs− x+ x

∣∣∣p≤ max

∣∣∣rs− x∣∣∣p, |x|p

≤ 1⇒ p - s.

Neka je a jedinstveno resenje jednacine as ≡ r (mod p). Onda p | r − as i p - s,dakle | r

s− a|p < 1. Konacno je

|x− a|p =∣∣∣x− r

s+r

s− a∣∣∣p≤ max

∣∣∣x− r

s

∣∣∣p,∣∣∣rs− a∣∣∣p

< 1.

Posledica 2. Za svako x ∈ Zp postoji a0 + a1p+ a2p2 + · · ·+ anp

n = xn ∈ Z takoda |x− xn|p ≤ p−(n+1).

Jedinstvene brojeve ai dobijamo iteracijom prethodne leme, ao je takav da|x− a0|p ≤ p−1, a1 takav da |x− a0 − a1p|p ≤ p−2 i tako dalje. Niz (xn) je Kosijevjer je za svako m > n

|xn − xm|p = |an+1pn+1 + an+2p

n+2 + · · ·+ ampm|p ≤ p−(n+1).

Sada primetimo da je Zp 3 x = [(xn)] odnosno svaki ceo p-adicki broj je klasa nekogniza (xn) celih brojeva. Ocigledno je x = lim

n→∞[i(xn)] = lim

n→∞[i(a0+a1p+· · ·+anpn)]

i kako niz (an) jedinstveno odreduje niz (xn) opravdano uvodimo sledecu oznakuza p-adicki ceo broj x:

∞∑i=0

aipi := x.

Sada p-adicke cele mozemo da vidimo kao elemente skupa

Zp =a0 + a1p+ a2p

2 + · · · | aj ∈ 0, 1, . . . , p− 1.

Dakle u p-adickoj apsolutnoj vrednosti stepeni redovi konvergiraju. Primecujemoda su p-adicki i dekadni zapis veoma slicni.

11

Posledica 3. Z je gust u ZpIz leme 1 takode imamo da je

Zp = pZp t (1 + pZp) t (2 + pZp) t · · · t (p− 1 + pZp).

Slika 1: Fraktalna struktura prstena Z3. Svaki krug na slici predstavlja skupoblika k + 3nZ3 gde n ∈ N0, a k ∈ 0, 1, . . . , 3n − 1. Tako najveci krug na slicipredstavlja sam prsten Z3. Tri manja kruga unutar njega predstavljanju skupove0 + 3Z3, 1 + 3Z3 i 2 + 3Z3. Skup 0 + 3Z3 se deli na skupove 0 + 9Z3, 3 + 9Z3

i 6 + 3Z3, skup 1 + 3Z3 se deli na skupove 1 + 9Z3, 4 + 9Z3 i 7 + 3Z3, a skup0 + 3Z3 se deli na skupove 2 + 9Z3, 5 + 9Z3 i 8 + 3Z3. Ovaj proces se neogranicenonastavlja...

Teorema 3. Zp je kompatkan.

Dokaz. Zp je zatvorena lopta u Qp. Dovoljno je da za svaki niz (xn) nademoKosijev podniz. Neka je n1 najmanje n za koje postoji beskonacno mnogo m takoda |xm − xn|p < 1. Makar jedan od diskova pZp, 1 + pZp, . . . , (p− 1) + pZp sadrzibeskonacno mnogo clanova niza pa n1 postoji. Slicno n2 biramo kao najmanjen > n1 tako da je: |xn1 − xn|p < 1 i postoji beskonacno mnogo m tako da je|xm−xn|p < p−1. Kada smo izabrali n1, n2, . . . , nk, onda nk+1 biramo kao najmanjen > nk tako da je |xnk −xn|p < p−(k−1) i tako da postoji bekonacno mnogo m takoda je |xm − xn|p < p−k. Kako za l > k vazi:

|xnk − xnl |p ≤ max|xnl − xnl−1|p, |xnl−1 − xnl−2|p, . . . , |xnk+1 − xnk |p < p−(k−1)

12

imamo da je (xnk)∞k=1 Kosijev.

Posmatrajmo m = x ∈ Zp | |x|p < 1. Primetimo da za x, y ∈ m vazix + y ∈ m, i da za x ∈ m i za z ∈ Zp vazi xz ∈ m. Dakle, m je ideal prstena Zp.Neka je x ∈ Zp \m. Kako je x 6= 0 postoji y ∈ Qp tako da je xy = 1. Posto je

1 = |1|p = |xy|p = |x|p |y|p = |y|ponda je i y ∈ Zp \m, pa je Z× = Zp \m multiplikativna grupa jedinica.

Stav 4. m je maksimalan ideal prstena Zp.

Dokaz. Pretpostavimo da postoji ideal n ) m. Tada postoji x ∈ n, |x|p = 1.Medutim onda je n ⊇ m+xZp, a kao sto smo malopre uocili 1 ∈ xZp. Dakle 1 ∈ npa je m je maksimalan ideal.

Kako je m jedinstven maksimalan ideal, Zp je lokalni prsten. Za sve ideale Zpvazi da su ili podskup ili nadskup bilo kog drugog ideala i stepeni su ideala m. Ovonam daje veoma jednostavnu algebarsku strukturu, nasuprot strukturi prstena Zkoja ima veoma razgranatu mrezu ideala. Dakle mi smo kompletiranjem prstenaZ pojednostavili njegovu algebarsku strukturu u lokalni prsten.

Neka je x ∈ Qp proizvoljan p-adicki broj sa |x|p = pn, n ≥ 1. Vazi da je

|pnx|p = |pn|p|x|p = p−npn = 1,

pa sledi da x ∈ p−nZp. Svaki p-adicki ceo moze predstaviti kao beskonacna suma,pa je

x =1

pn(a0 + a1p+ a2p

2 + . . . ) = a0p−n + · · ·+ an + an+1p+ . . .

gde je 0 ≤ ai ≤ p− 1. Ovo se naziva Loranov p-adicki razvoj p-adickog broja x.Kada imamo ovakav zapis, mnozenje i sabiranje se rade kao i sa prirodnim

brojevima. Na primer:

(2 · 5−1 + 4 · 50 + 3 · 51 + 2 · 52 + . . . )× (1 · 5−2 + 3 · 5−1 + 2 · 50 + 1 · 51 + . . . )

= 2 · 5−3 + 0 · 5−2 + 1 · 5−1 + 3 · 50 + . . .

1.4 Algebarska konstrukcija p-adickih brojeva

Definicija 6. Neka su A1, A2, . . . , An, . . . skupovi (grupe, prsteni) i fi : Ai+1 → Aipreslikavanja skupova (homomorfizmi grupa, prstena). Par (Ai, fi) se nazivainverzni sistem. Inverzni limes ovog inverznog sistema se definise kao

lim←−Aj :=

(xj)

∞j=1 ∈

∏j≥1

Aj

∣∣∣∣∣ fn(xn+1) = xn,∀n ≥ 1

.

13

Ako su Aj recimo prsteni, vazi

fn(an+1 + bn+1) = fn(an+1) + fn(bn+1) = an + bn

fn(an+1 · bn+1) = fn(an+1) · fn(bn+1) = an · bn,

iz cega sledi da je lim←−Aj potprsten direktnog proizvoda prstena∏

j≥1Aj.

Definicija 7 (Alternativna definicija p-adickih celih). Neka su An = Z/pnZ ifn : Z/pn+1Z → Z/pnZ : fn(x) = x (mod pn). Tada p-adicke cele definisemo kaoinverzni limes Zp := lim←−Z/pnZ.

Polje Qp je polje razlomaka domena Zp.Mozemo da napravimo vezu izmedu ove definicije i predstavljanja p-adickog

broja kao beskonacni razvoj.

lim←−Z/pnZ←→ a0 + a1p+ · · ·+ anpn + · · · | 0 ≤ ai ≤ p− 1,∀i ≥ 0

Neka je x = (x1, x2, . . . ) ∈ lim←−Z/pnZ. Tada mozemo konstruisati4 element oblika∑j≥0 ajp

j, gde su aj zadati kao a0 = x1 i ai = p−i(xi+1 − xi) za svako i ≥ 1.Prvo da vidimo da je funkcija dobro zadata. Treba dokazati da je 0 ≤ ai ≤ p−1

za svako i ≥ 0. Za i = 0 sledi iz 0 ≤ x0 ≤ p − 1, dok za i ≥ 1 sledi iz definicijeobrnutog limesa. Naime, xn+1 ≡ xn (mod pn), pa je xn+1 = apn + xn gde je0 ≤ a ≤ p−1. Dalje sledi da je a = p−n(xn+1−xn) i 0 ≤ a ≤ p−1, sto je i trebalodokazati.

Sa druge strane, ako imamo

x ∈ a0 + a1p+ · · ·+ anpn + · · · | 0 ≤ ai ≤ p− 1, ∀i ≥ 0 ,

uzimamo da je xn =∑n−1

j=0 ajpj. Broj xn je element Z/pnZ, pa ostaje da se dokaze

da je xn+1 ≡ xn (mod pn). Vazi

xn+1 = a0 + a1p+ · · ·+ an−1pn−1 + anp

n = xn + anpn,

iz cega trazeno tvrdenje direktno sledi.

Definicija 8. Niz grupa (prstena)

0 A B C 0f g

nazivamo kratkim tacnim nizom ako je Ker(g) = Im(f), f je 1− 1 i g je na.

4Formalno, xn je koset oblika kZpn , ali ga zbog jednostavnosti poistovecujemo sa predstavni-kom k, 0 ≤ k ≤ pn − 1.

14

Stav 5. Za svako m ≥ 1 imamo sledeci kratak tacan niz aditivnih grupa

0 Zp Zp Z/pmZ 0[pm] πm ,

gde je [pm] mnozenje sa pm, odnosno

[pm] : lim←−Z/pnZ→ lim←−Z/pnZ : [pm](x) = x+ x+ · · ·+ x︸ ︷︷ ︸pm puta

a πm projekcija na m-tu koordinatu.

Dokaz. Lako se vidi da su i [pm] i πm homomorfizmi aditivnih grupa. Dokazimoprvo da su oni 1-1 i NA redom.

Kako je[pm](a0 + a1p+ . . . ) = a0p

m + a1pm+1 + . . . ,

sledi da je [pm] 1-1.Proizvoljan x ∈ Z/pmZ ima svog predstavnika iz [0, pm − 1] kojeg mozemo p-

adicki da predstavimo konacnim razvojem a0+a1p+· · ·+ampm−1, cija je projekcijabas x, pa je πm NA.

Ostaje da se dokaze da je Ker(πm) = Im([pm]). Uzmimo prvo proizvoljan x =(x1, x2, . . . ) ∈ Ker(πm). Tada je πm(x) = 0, odnosno xm = 0. Dalje, xm−1 ≡ xm(mod pm−1), iz cega sledi da je xm−1 = 0. Slicno dobijamo x1 = x2 = · · · = xm = 0.Onda znamo da je x oblika

x = ampm + am+1p

m+1 + · · · = pm(am + am+1p+ . . . ) ∈ Im([pm]).

Sa druge strane, uzmimo x ∈ Im([pm]). Tada je

x = 0 · p0 + 0 · p1 + · · ·+ 0 · pm−1 + ampm + . . .

sto znaci da je

πm(x) ≡ 0 · p0 + 0 · p1 + · · ·+ 0 · pm−1 (mod pm),

iz cega konacno sledi da x ∈ Ker(πm).

Posledica 4. Iz prve teoreme o izomorfizmu grupa znamo da je Zp/Ker(πm) ∼=Im(πm), pa iz tacnosti prethodnog niza znamo Zp/Im([pm]) ∼= Z/pmZ, odnosno,Zp/pmZp ∼= Z/pmZ. Ovo je samo izomorfizam aditivnih grupa, ali se lako dokazujei da su izomorfne kao prsteni. Specijalno, za m = 1 dobijamo Zp/pZp ∼= Z/pZ,sto je polje, pa je i Zp/pZp polje. Tada iz Algebre 2, znamo da je pZp maksimalniideal prstena Zp.

15

1.5 Diskretna valuacija

Definicija 9. Funkcija vp : Zp → Z≥0 ∪ ∞ je p-adicka valuacija:

1. za x = 0, vp(x) =∞2. za x 6= 0, vp(x) := najveci m ∈ Z≥0 tako da x ∈ Im[pm], odnosno najmanji

indeks j ≥ 0 za koji je aj 6= 0 (gde je x =∑

j≥0 ajpj)

Teorema 4. Funkcija vp : Zp → Z≥0 ∪ ∞ ima svojstva:

1. vp(x) =∞ ⇐⇒ x = 02. vp(xy) = vp(x) + vp(y) za sve x, y ∈ Zp3. vp(x+ y) ≥ minvp(x), vp(y) za sve x, y ∈ Zp

Dokaz.

1. Trivijalno.

2. Trivijalno vazi ako je jedan od x, ili y jednak 0. Neka su, zato, oba razlicitaod 0 i neka je vp(x) = m, a vp(y) = n. Tada postoje a, b ∈ Zp takvi da jex = pma, a y = pnb. Sada je xy = pm+nab, a kako je ab ∈ Zp, ovo pripadaskupu Im[pm+n], pa sledi da je vp(xy) ≥ m + n. Obrnuto, ako su p-adickirazvoji za x i y redom sa

x =∞∑i=m

aipi, i y =

∞∑j=n

bjpj,

gde je ambn 6= 0 tada je xy = ambnpm+n + ... pa je vp(xy) ≤ m+ n.

3. Trivijalno vazi ako je jedan od x, ili y jednak 0. Pretpostavimo, odredenostiradi, da je m ≤ n. Sada je Im[pn] ⊆ Im[pm], a kako su ovo aditivne grupe ix ∈ Im[pm], a y ∈ Im[pn] to je x + y ∈ Im[pm] pa je vp(x + y) ≥ m, a m jebas minm,n.

Definicija 10. Funkcija v : R→ Z≥0 ∪ ∞ koja zadovoljava uslove iz prethodneteoreme naziva se diskretna valuacija na prstenu R.

Posledica 5. Prsten Zp je integralni domen.

Dokaz. Neka su a, b ∈ Zp takvi da je ab = 0. Ako bi bilo a, b 6= 0, tada bi vazilo∞ = vp(0) = vp(ab) = vp(a) + vp(b) <∞ - kontradikcija.

Stav 6. Vazi Z×p = Zp \ pZp, odnosno Z×p = x ∈ Zp : vp(x) = 0.

16

Dokaz. Dokazimo prvo da je Z×p ⊆ Zp \ pZp. Primetimo da je vp(1) = vp(1 · 1) =vp(1) + vp(1) iz cega sledi da je vp(1) = 0. Neka je a ∈ Z×p . Tada postoji b ∈ Zptako da je ab = 1. Sada je 0 = vp(1) = vp(ab) = vp(a) + vp(b), a kako su oba brojasa desne strane nenegativna, sledi vp(a) = vp(b) = 0, odakle sledi a ∈ Zp \ pZp.

Dokazimo sada da je Z×p ⊇ Zp \ pZp. Neka je a ∈ Zp \ pZp. Zato je a =a0 + a1p + a2p

2 + . . . gde je a0 6= 0. Znamo da a mozemo videti kao ele-ment (x1, x2, x3, ...) inverznog limesa lim←j Zp/pjZp gde je x1 6= 0 u Z/pZ, paje i invertibilan u Z/pZ. Zato je NZD(x1, p) = 1 i xk ≡ x1 (mod p) =⇒NZD(xk, p) = 1, pa vazi NZD(xk, p

k) = 1, tj. xk je invertibilno u Z/pkZ. Di-rektno se proverava da je (x−1

1 , x−12 , x−1

3 , . . . ) element limesa lim←j Z/pjZ i da je(x1, x2, x3, . . . )(x

−11 , x−1

2 , x−13 , . . . ) = 1.

Posledica 6. Svaki a ∈ Zp \ 0 se moze na jedinstven nacin zapisati u oblikupmu, gde je m ∈ Z≥0, u ∈ Z×p .

Dokaz. Neka je vp(a) = m. Znamo vp(pm) = m i a ∈ Im([pm]) =⇒ a = pmu, za

neki u ∈ Zp. Dakle m = vp(a) = vp(pmu) = vp(p

m) + vp(u), pa je vp(u) = 0, izcega sledi da je u ∈ Zp.Posledica 7. Svaki ideal u prstenu Zp je glavni i oblika 〈pm〉, tj. pmZp.Dokaz. Neka je a proizvoljni nenula ideal. Posmatrajmo5 m = infvp(a) | a ∈a = minvp(a) | a ∈ a. Zato je vp(a) ≥ m za svako a ∈ a, tj. a ∈ Im[pm] zasvako a ∈ a, a Im[pm] je ocigledno ideal generisan sa pm. Odavde je a ⊆ 〈pm〉.Obrnuto, postoji a ∈ a tako da je vp(a) = m. Stoga, a = pmu, za neko u ∈ Zp.Kako je

m = vp(a) = vp(pmu) = vp(p

m) + vp(u) = m+ vp(u),

sledi da je vp(u) = 0. Zato je u ∈ Z×p , pa postoji v ∈ Z×p tako da je uv = 1. Alionda je pm = pm · 1 = pm(uv) = (pmu)v ∈ a pa sledi da je 〈pm〉 ⊆ a.

Posledica 8. Prsten p-adickih celih je glavnoidealski domen i ima tacno jedanmaksimalni glavni ideal.

Definicija 11. Komutativan prsten R koji nije polje i koji

1. je glavnoidealski domen, i2. ima jedinstven maksimalni ideal,

se zove prsten diskretne valuacije.

Teorema 5. Svaki prsten R diskretne valuacije ima diskretnu valuaciju.

Dokaz. Neka je m jedinstveni maksimalni ideal. Kako je domen glavnoidealski, tajideal je generisan nekim elementom π i svi ostali ideali su oblika 〈πk〉, za k ∈ Z≥2.Tada na ovakvom prstenu mozemo da definisemo valuaciju v : R → Z≥0 ∪ ∞,tako da je v(0) =∞, i v(x) = m za x ∈ 〈πm−1〉 \ 〈πm〉.

5Infimum je ovde ujedno i minimum jer su vrednosti valucaije u skupu Z≥0.

17

1.6 Adeli nad poljem QDefinicija 12. Restrikovani direktni proizvod prstena u odnosu na kolekciju pot-prstena Zp

AQ = R×′∏

p<+∞

Qp,

nazivamo prsten adela nad poljem Q, a njegove elemente nazivamo se adelima.Rec restrikovani oznacava da ako x = (x∞, x2, x3, x5, ...) ∈ AQ, tada samo konacnomnogo xp ne pripada Zp.

Treba pokazati da je ovo zaista prsten. Dovoljno je pokazati zatvorenost adi-tivne i multiplikativne operacije zato sto su ostale osobine prstena nasledene izdirektnog proizvoda prstena, a ovo je trivijalno.

Polje racionalnih brojeva Q se moze utopiti dijagonalno u AQ: q 7−→ (q, q, q, ...)pri cemu je ,,prvo“ q iz R, ,,drugo“ iz Q2 itd... Kako imenilac od q ima samokonacno mnogo prostih delilaca, utapanje je dobro definisano.

Na AQ definisemo topologiju preko baze koju cine skupovi oblika

U ×∏p/∈S

Zp

gde S prolazi konacnim podskupovima skupa ∞, 2, 3, 5, 7, ... i ∞ ∈ S, a Uje proizvoljni otvoreni skup u topologiji konacnog direktnog proizoda

∏p∈S Qp.

Na osnovu teoreme Tihonova6 sledi da svaki adel ima kompaktnu okolinu (Zp jekompaktan). Zato ce i prsten adela (kao topoloski prostor) biti lokalno kompaktan.

Definicija 13. Spoljna Radonova mera na (X,B) je Borelova mera µ : B →[0,+∞] za koju vazi da je:

1. lokalno konacna, odnosno za svako x ∈ X postoji otvorena okolina U (x)tacke x tako da µ (U) < +∞

2. spoljno regularna, odnosno za svaki Borel merljiv skup S vazi µ(S) = infµ (U) |S ⊆ U,U je otvoren

3. unutrasnje rergularna na otvorenim skupovima, odnosno za svaki otvorenskup U vazi µ (U) = supµ (K) | K ⊆ U,K je kompaktan.

Definicija 14. Topoloska grupa G je svaki topoloski prostor koji ima strukturugrupe (G, ·) tako da su preslikavanja · : G×G→ G i −1 : G→ G neprekidna.

6Topoloski proizvod proizvoljne kolekcije kompaktnih topoloskih prostora je kompaktan to-poloski prostor u odnosu na topologiju proizvoda.

18

Definicija 15. Borelova mera µ na topoloskoj grupi G je levo invarijantna7 akoza svako g ∈ G i svako S ∈ B vazi µ (gS) = µ (S).

Definicija 16. Leva Harova mera na lokalno kompaktnoj Hauzdorfovoj topoloskojgrupi G je svaka levo invarijantna spoljna Radonova mera.

Teorema 6 (Postojanje i jedinstvenost Harove mere). Neka je G lokalno kom-paktna Hauzdorfova topoloska grupa. Tada:

1. postoji leva Harova mera na G2. svaka druga leva Harova mera je jednaka cµ, c ∈ R.

Primer 5. Lebegova mera na Rn je Harova mera. 4

7Analogno se definise i desna invarijantnost.

19

2 p-adicka analiza

2.1 p-adicka integracija

Lema 2. Grupe (Qp,+) i (Q×p , ·) su lokalno kompaktne Hauzdorfove Abelove to-poloske grupe.

Dokaz za (Qp,+). Za x ∈ Qp x + Zp je kompaktna okolina od x. Ovaj topoloskiprostor je Hauzdorfov jer je metricki prostor, a svaki metricki prostor je Hauzdor-fov. Neka sada xn −→ x i yn −→ y u Qp. Tada vazi

0 ≤ |(xn + yn)− (x+ y)|p ≤ max|xn − x|p , |yn − y|p

−→ 0,

kad n → +∞. Analogno se dokazuje tvrdenje i za operaciju nalazenja inverznogelementa u odnosu na sabiranje.

Grupe (Qp,+) i (Q×p , ·) su Abelove grupe, pa su sve Harove mere iste do narealni umnozak na osnovu prethodne teoreme. Harovu meru na (Qp,+) stogamozemo normirati tako da vazi µ (Zp) = 1.

Lema 3. Za svaki merljiv skup A ⊆ Qp i svako x ∈ Qp vazi µ (xA) = |x|pµ (A).Specijalno, za svaku integrabilnu funkciju f na Qp i ∀x ∈ Qp \ 0 vazi∫

Qp

f(x−1y

)dµ(y) = |x|p

∫Qp

f (y) dµ(y).

Dokaz. Neka je x 6= 0 (jer za x = 0 tvrdenje vazi trivijalno). Definisimo µ : B →[0,+∞] na sledeci nacin: µx (A) := µ (xA). Funkcija µx je takode Harova mera na(Qp,+) jer za sve y ∈ Qp i sve A ∈ B vazi

µx (A+ y) = µ (x (A+ y)) = µ (xA+ xy) = µ (xA) = µx (A) .

Na osnovu teoreme o egzistenciji i jedinstvenosti Harove mere, postoji kon-stanta Mx ∈ R>0 tako da vazi µx = Mxµ. Sada je dovoljno dokazati da jeMx = |x|p.

Kako za A = Zp vazi µ (xA) = µ (xZp) = µx (Zp) = Mxµ (Zp) = Mx, jer jemera µ normirana, dovoljno je dokazati da je µ (xZp) = |x|p.

Ako je x 6= 0 tada je |x|p = pk, za neko k ∈ Z, pa postoji y ∈ Z×p takvo da jex = pky. Imamo xZp = pkyZp = pkZp jer je y invertibilan. Razlikujemo sledecadva slucaja.

20

1. Slucaj k ≥ 0. Skup pkZp je aditivna podgrupa grupa Zp, pa vazi Zp =⊔pk−1j=0 (j + pkZp) i [Zp : pkZp] = [Z : pkZ]. Sa druge strane

1 = µ(Zp) =

pk−1∑j=0

µ(j + pkZp

)=

pk−1∑j=0

µ(pkZp

)= pkµ

(pkZp

)pa je µ

(pkZp

)= p−k

2. Slucaj k < 0 razmatra se analogno prethodnom.

U svakom slucaju za svako k ∈ Z vazi µ (xZp) = |x|p ≡ µ(pkZp

)= p−k.

Definicija 17. Funkcija f : X → C ima kompaktan nosac ako je zatvorenje skupax ∈ X | f(x) 6= 0 kompaktno u X.

Definicija 18. Skup svih neprekidnih funkcija f : X → C sa kompaktnim nosacemoznacavamo sa CC(X).

Definicija 19. Radonov integral na X je svaki C-linearan funkcional I na CC(X)takav da je I(f) ≥ 0 ako je f ≥ 0.

Kad god imamo spoljnu Radonovu meru µ naX imamo njoj pridruzen Radonovintegral Iµ : CC(X)→ C definisan sa Iµ(f) =

∫Xf(x) dµ(x).

Teorema 7 (Risova teorema o reprezentaciji). Neka je X lokalno-kompaktan Ha-uzdorfov prostor. Onda su skupovi Radonove mere µ na X i Radonovi integralina X u bijekciji.

Dakle, pomocu Radanove mere mozemo konstruisati Radonov integral (npr.kao sto na kursu Analize 3 konstruisemo Lebegov integral iz Lebegove mere),ali mozemo i obrnuto, tj. na osnovu Radonovog integrala konstruisemo meruµ(U) := I(χU), gde je χU karakteristicna funkcija skupa U .

Od sada cemo koristiti oznaku∫Qp

f(x) dx :=

∫Qp

f(x) dµ(x),

gde je µ Haarova mera na Qp takva da vazi µ(Zp) = 1.

Stav 7. Mera dx|x|p je Harova mera na (Q×p , ·).

21

Dokaz. Pokazacemo levu invarijantnost mere. Neka je f proizvoljna integrabilnafunkcija na Q×p i neka je y ∈ Q×p proizvoljan nenula skalar.∫

Q×p

f(y−1x

) dx

|x|p=

∫Q×p

|y−1|p f (y−1x)

|y−1|p |x|pdx =

∣∣y−1∣∣p

∫Q×p

f (y−1x)

|y−1x|pdx.

Iz leme 3 vidimo da dalje vazi:∫Q×p

f(y−1x)dx

|x|p=∣∣y−1

∣∣p|y|p

∫Q×p

f(x)

|x|pdx =

∫Q×p

f(x)dx

|x|p.

Primer 6. Odredimo∫pkZ×p

dx|x|p . Znamo da vazi Q×p =

⊔k∈Z p

kZ×p .

vol dx|x|p

(pkZ×p

)= vol dx

|x|p

(Z×p)

jer jedx

|x|pHarova mera

=

∫Z×p

dx

|x|p=

∫Z×p

dx jer je |x|p = 1 za x ∈ Z×p

= voldx(Z×p)

= µ(Z×p)

= µ

(p−1⊔a=1

(a+ pZp)

)jer je Z×p =

p−1⊔a=1

(a+ pZp)

= (p− 1)µ(pZp) jer je µ Harova za (Qp,+), 1 + pZp ≤ Z×pi[Z×p : (1 + pZp)

]= p− 1

=p− 1

p.

4

Definicija 20. Skalirajmo multiplikativnu Harovu meru dx|x|p na sledeci nacin:

d×x :=p

p− 1

dx

|x|p.

Ovo je jedinstvena Harova mera na Q×p takva da vazi vold×x (Z×p ) = 1.

Primer 7. Neka je s ∈ C tako da je <(s) > 1. Tada vazi

22

∫Zp\0

|x|sp d×x =

∞∑k=0

∫pkZ×p|x|sp d

×x =∞∑k=0

∫pkZ×p

p−ks d×x

=∞∑k=0

1

pks

∫pkZ×p

d×x =∞∑k=0

1

pks· 1 =

1

1− 1ps

.

Ovde smo kod prve jednakosti iskoristili da je Zp \ 0 =⊔∞k=0 p

kZ×p .Za Rimanovu zeta-funkciju vazi identitet (Ojlerov proizvod):

ζ(s) =∏p prost

(1 +

1

ps+

1

p2s+

1

p3s+

1

p4s+ · · ·

)=∏p prost

1

1− 1ps

.

Sada vidimo vezu izmedu prethodnog integrala i Rimanove zeta funkcije za kom-pleksne brojeve s takve da je <(s) > 1:

ζ(s) =∏p prost

∫Zp\0

|x|sp d×x.

4

Setimo se da na R imamo C-vektorski prostor Svarcovih funkcija:

S(R) =f : R→ C | f ∈ C∞, (∀m,n ∈ Z≥0) (∃Cmn > 0) |x|m

∣∣f (n)(x)∣∣ ≤ Cmn

.

Definicija 21. Za f ∈ S(R) definisemo Furijeovu transformaciju:

f (y) =

∫R

f (x) e∞ (−xy) dx =

∫R

f (x) e−2πixydx

U prethodnoj definiciji koristili smo funkciju e∞ : R→ T, definisanu sa e∞ (x) =e2πix, gde je T = z ∈ C× | |z| = 1 multiplikativna podgrupa od C×. Kako vazie∞ (x+ y) = e2πi(x+y) = e2πixe2πiy = e∞ (x) e∞ (y), i e∞ : (R,+) → (T, ·), e∞ jeprimer unitarnog karaktera na (R, ·).

Teorema 8 (Formula Furijeove inverzije). Neka je f ∈ S(R). Onda je i f ∈ S (R)

i vaziˆf (x) = f (−x) tj. f (x) =

∫R f (y) e∞ (yx) dy.

Definicija 22. Funkcija f : Qp → C je lokalno-konstantna na nekom podskupuV ⊆ Qp, ako za svako x ∈ V postoji otvorena okolina U ⊆ V tacke x, takva da zasvako u ∈ U vazi f(x) = f(u).

23

Primetimo da je svaka lokalno-konstantna funkcija neprekidna. Na skupu R susve lokalno-konstantne funkcije konstantne (zbog povezanosti skupa R).

Definicija 23. Za funkciju f : Qp → C kazemo da je Brua-Svarcova funkcija, ipisemo f ∈ S(Qp), ako je f lokalno-konstantna na Qp, i f ima kompaktan nosac.

Definicija 24. Neka je A ⊂ Qp. Tada je sa 1A(x) =

1, x ∈ A0, x /∈ A

definisana

karakteristicna funkcija skupa A.

Stav 8. Neka je f : Qp → C Brua-Svarcova funkcija, odnosno f ∈ S(Qp). Ondaje f konacna C-linearna kombinacija karakteristicnih funkcija disjunktnih loptia+ pnZp, za neke a ∈ Qp i n ∈ Z.

Dokaz. Funkcija f je lokalno konstantna, to znaci da je f−1(z) otvoren u Qp, zasvako z ∈ C. Ovo je tacno jer za svako x ∈ f−1(z) postoji otvorena okolina U 3 xza koju je f(U) = z, ali to znaci da je x ∈ U ⊂ f−1(z), pa je zbog proizvoljnostix u inverznoj slici f−1(z) to otvoren skup. Specijalno, f−1(0) je otvoren u Qp,pa je Qp \ f−1(0) zatvoren. Ovo znaci da je

⋃z 6=0 f

−1(z) = Qp \ f−1(0) = supp f

kompaktan podskup od Qp, koji ima otvoren pokrivac f−1(z)|z ∈ C \ 0, papostoje z1, ..., zr ∈ C, za neko r ∈ Z≥0, takvi da je supp f =

⊔rj=1 Uj, gde je

Uj = f−1(zj) za j = 1, ..., r. Dakle f =∑r

j=1 zj · 1Uj . Cilj nam je da svaki od 1Uj

napisemo kao C-linearnu kombinaciju karakteristicnih funkcija disjunktnih lopti

koji su podskupovi od Uj. Svaki Uj se moze zapisati kao⋃x∈Uj(a

jx + pn

jxZp), za

neke ajx ∈ Qp i njx ∈ Z. Kako je Uj zatvoreni podskup kompaktnog skupa suppf ,to je on takode kompaktan, sto znaci da ima konacan pokrivac sacinjenog od lopti

ajx + pnjxZp. Medutim, ako dve zatvorene, a u isto vreme i otvorene, lopte

L = x ∈ Qp | |x− l|p ≤ R i K = x ∈ Qp | |x− k|p ≤ r poluprecnika R i r, gdeje R ≥ r, imaju zajednicku tacku t, tada ce za svaku tacku y manje lopte K davazi |y − l|p ≤ max|y − k|p , |k − t|p , |t− l|p ≤ maxR, r = R, sto znaci da jey ∈ L odnosno K ⊂ L. Dakle, u metrickom prostoru (Qp, | · |p) vazi da su dve lopteili disjunktne ili je jedna podskup druge, sto znaci da se svaki od gore spomenutihskupova Uj moze prekriti disjunktnim loptama ai + pniZp, za 1 ≤ i ≤ Nj. Ovim

smo dobili da je 1Uj =∑Nj

i=1 1ai+pniZp , sto nam zavrsava dokaz.

Posledica 9. Ako je f ∈ S(Qp), onda je∫Qp f(x)dx =

∑rj=1 zj · µ(Uj), gde je

dx = dµ(x) Harova mera na Qp, a Uj lopte oblika a + pnZp, za neke a ∈ Qp in ∈ Z.

Dokaz. ∫Qp

f (x) dx =

∫Qp

r∑j=1

zj · 1Uj (x) dx =r∑j=1

zj

∫Qp

1Uj (x) dx

24

=r∑j=1

zj

∫Uj

dx =r∑j=1

zjµ (Uj) .

Primetimo da je svaki Uj kompaktan, pa su brojevi µ(Uj) konacni.

2.2 p-adicka Furijeova transformacija

Setimo se prvo da je za Svarcovu funkciju f ∈ S(R) njena Furijeova transfor-

macija zadata sa f(y) =∫R f(x) · e∞(−xy)dx, gde je e∞ : (R,+)→ (T, ·) aditivni

(unitarni) karakter definisan sa e∞(x) := e−2πix, a T = z ∈ C : |z| = 1 multi-

plikativna podgrupa grupe (C×, ·). Posto je za Svarcovu f ∈ S(R) i f ∈ S(R),

formula Furijeove inverzije glasi f(x) =∫R f(y)e∞(yx)dy odnosno

ˆf(x) = f(−x).

Cilj nam je da slicne ili iste formule dobijemo za Brua-Svarcove funkcije na Qp.Neka je za x ∈ Qp njegov p-adicki zapis zadat sa

x =∞∑

j=−k

ajpj =

−1∑j=−k

ajpj +

∞∑j=0

ajpj,

gde je∑∞

j=0 ajpj ∈ Zp, a x :=

∑−1j=−k ajp

j takozvani razlomljeni deo p-adickogbroja x. Kako je e∞ uzima vrednost 1 na Z i ima period 1, ona biva efektivnozadata na skupu [0, 1), a kako je x ∈ Q∩ [0, 1), to nas inspirise da damo sledecudefiniciju.

Definicija 25. Aditivni karakter ep : (Qp,+)→ (T, ·) definisemo sa

ep(x) := e−2πix.

Ovako definisan, ep je jedan neprekidni aditivni karakter, koji je i netrivijalan,sto se vidi iz

ep

(1

pn

)= e

−2πipn 6= 1,

za n ≥ 1. Pre sledece leme primetimo da je pnZp ≤ Qp aditivna podgrupa koja jekompaktna, sto nam omogucava konacnost mere tog skupa.

Lema 4. Za svako n ∈ Z imamo∫pnZp

ep (x) dx =

p−n, n ≥ 0

0, n < 0.

25

Dokaz. Ako n ≥ 0 onda pnZp ≤ Zp, ali vazi ep|Zp = 1 pa je∫pnZp

ep (x) dx =

∫pnZp

dx = µ (pnZp) = p−n.

Sa druge strane, ako je n < 0, onda je ep netrivijlan na pnZp, sto smo pokazaligore, to postoji x ∈ pnZp takav da je ep (x) 6= 1. Onda mozemo da uvedemosmenu x = x + y. Primetimo da kada x prolazi pnZp, y takode prolazi pnZp, stosmo obezbedili primedbom pre leme. Dakle, vazi

I =

∫pnZp

ep (x) dx =

∫pnZp

ep (y + x) d(y + x) = ep (x)

∫pnZp

ep (y) dy = ep (x) I

iz cega zakljucujemo I = 0. Primetimo da smo koristili jednakost∫pnZp

ep (y) d(y + x) =

∫pnZp

ep (y) dµ(y + x) =

∫pnZp

ep (y) dµ(y) =

∫pnZp

ep (y) dy,

sto je posledica cinjenice da je mera µ Harova, odnosno translatorno invarijantnana (Qp,+).

Napomenimo samo da cemo karakteristicu funkciju prstena p-adickih celih na-dalje oznacavati sa 1Zp umesto 1Zp radi jednostavnosti zapisa.

Lema 5. Za svako n ∈ Z vazi∫pnZp

ep (−xy) dx =

p−n, y ∈ p−nZp0, y /∈ p−nZp

= p−n · 1p−nZp (y) .

Dokaz. Dokaz ove leme je veoma slican dokazu prethodne. Ako je y ∈ p−nZp ondaxy ∈ (pnZp) · (p−nZp) ≤ Zp sto znaci da je ep (−xy) = 1 odnosno∫

pnZp

ep (−xy) dx =

∫pnZp

dx = µ (pnZp) = p−n.

Sa druge strane, ako y /∈ p−nZp vazi da je y ·pnZp strogi nadskup od Zp, pa postojixy ∈ y · pnZp, odnosno x ∈ pnZp, takvo da je ep(−xy) 6= 1. Dalje, uvodenjemsmene x = z + x i slicnom argumentacijom kao u proslom dokazu, dobijamo davazi

I =

∫pnZp

ep (− (z + x) y) d(z + x) = ep (−xy)

∫pnZp

ep (−zy) dz = ep (−xy) I

odnosno I = 0.

26

Definicija 26. Za Svarcovu funkciju f ∈ S(Qp) definisemo njenu Furijeovu trans-

formaciju f : Qp → C sa

f (y) =

∫Qp

f (x) ep (−xy) dx.

Posledica 10. 1Zp = 1Zp

Dokaz. Iz Leme 3 za n = 0 vidimo da je

1Zp (y) =

∫Qp

1Zp (x) ep (−xy) dx

=

∫Zp

ep (−xy) dx =

1, y ∈ Zp0, y /∈ Zp

= 1Zp (y) .

Posto su nenula vrednosti Svarcove funkcije zadate na konacnom broju dis-junktnih lopti, bice nam korisno za dalji racun da izracunamo Furijeovu transfor-maciju karakteristicne funkcije lopti.

Stav 9. Neka su a ∈ Qp i k ∈ Z proizvoljni. Tada je

1a+pkZp (y) = ep (−ay) p−k · 1p−kZp (y) .

Dokaz.

1a+pkZp(y) =

∫Qp

1a+pkZp(x)ep(−xy) dx =

∫a+pkZp

ep(−xy) dx

=

∫pkZp

ep(−(x+ a)y) dx = ep(−ay)

∫pkZp

ep(−xy) dx

= ep(−ay)p−k · 1p−kZp(y).

Teorema 9 (Formula Furijeove inverzije na Qp). Za svaku f ∈ S, takode f ∈ R i

vaziˆf = f(−x).

27

Dokaz. Izracunali smo

1a+pnZp(y) = ep(−ay)p−n1p−nZp(y).

Kako je Furijeova transformacija aditivna, a f Brua-Svarcova funkcija, dovoljno jedokazati za funkciju kao sto je 1a+pnZp .

ˆ1a+pnZp(y) =

∫Qp

1a+pnZp(x)ep(−xy) dx

=

∫Qp

ep(−ax)p−n · 1p−nZp(x)ep(−xy) dx

= p−n∫

p−nZp

ep (−(a+ y)) dx

= p−npn1pnZp(a+ y)

= 1a+pnZp(−y)

Pretposlednja jednakost vazi prema lemi od proslog casa.

2.3 Apstraktna harmonijska analiza

Definicija 27. Za grupu G kazemo da je LCA-grupa ako je G lokalno kompaktnaAbelova Hausdorfova topoloska grupa.

Primer 8. Grupa (T, ·) je LCA grupa. 4Definicija 28. Karakter na LCA grupi G je svaki neprekidni homomorfizamχ : G→ C×. Skup svih karaktera LCA grupe G oznacavamo sa X(G).

Uvedimo operaciju mnozenja · izmedu dva karatkera sa (χ · ω) (g) := χ (g)ω (g).Moze se dokazati da je sa ovako uvedenom operacijom (X, ·) grupa.

Definicija 29. Unitarni karakter na LCA grupi G je svaki neprekidni homomor-fizam χ : G→ T. Grupu svih unitarnih karaktera LCA grupe G oznacavamo sa Gi nazivamo je Pontrjaginov dual grupe G.

Primer 9. Ako je grupa G kompaktna, onda je svaki karakter na G unitaran. 4Dokaz. Neka je χ : G→ C× proizvoljan karakter na G. Kako su χ i |·| neprekidne,kao i zbog neprekindosti kompozicije neprekidnih funkcija, dobijamo da je |χ|takode neprekidna. Posto je neprekidna slika kompakta takode kompakt, vazi daje Im (|χ|) ⊆ R>0 kompakt. Slika homomorfizma je podgrupa, pa dobijamo da jeIm (|χ|) ≤ (R>0, ·). To znaci da je Im (|χ|) = 1. Naime, ako bi u slici imali nestosto je razlicito od 1, to bi bilo u kontradikciji sa kompaktnoscu. Dakle, Im (χ) ⊆ T,pa je χ unitarni karakter.

28

Definicija 30. Na grupi G definisimo kompakt-otvorenu topologiju kao topologiju

cija je baza otvorenih skupova data kolekcijom skupovaχ ∈ G

∣∣∣ χ(K) ⊆ U, gde

K prolazi kompaktima na G, a U prolazi otvorenim skupovima na T.

Sledeci stav cemo dati bez dokaza.

Stav 10. U odnosu na prethodno zadatu topologiju, Pontrjaginov dual G je takodejedna LCA grupa.

Teorema 10. Za svaku LCA grupu G imamo kanonski izomorfizam LCA grupa

dat sa G→ ˆG, g 7→ (χ 7→ χ(g)).

Primer 10. U sledecoj tabeli navedeno je nekoliko primera grupa i odgovarajucihPontrjaginovih duala.

Grupa G R Qp AQ Z T Zp QDual G R Qp AQ R/Z Z Qp/Zp AQ/Q

4

Definicija 31. Neka je f : G → C Lebeg integrabilna funkcija. Furijeovu trans-formaciju funkcije f definisemo kao funkciju f : G→ C datu sa

f (χ) =

∫G

f (g)χ (g) dg.

Teorema 11. Neka je G LCA grupa, a dg Harova mera na G. Tada postojijedinstvena Harova mera dχ na G takva da za svako f ∈ L1

dg(G) takvo da i

f ∈ L1dg(G) vazi

f (g) =

∫G

f (x)χ (g) dχ.

za skoro svako8 g ∈ G. Tu meru nazivamo Planserelova mera na G.

Dokazimo sada drugu stavku prethodne tabele.

Teorema 12. Grupa (Qp,+) je samodualna, tj.preslikavanje Φ: Qp → Qp, defini-sano sa a 7→ (ep(a, ·) : x 7→ ep(ax)) je izomorfizam LCA grupa.

8Za sve osim g ∈M , gde je M skup mere nula.

29

Dokaz. Za pocetak, dokazimo da je Φ homomorfizam, sto jednostavno dokazujemopomocu cinjenice da je ep aditivni karakter.

Φ (a+ b) (x) = ep ((a+ b)x) = ep (ax+ bx)

= ep (ax) ep (bx) = Φ (a) (x) Φ (b) (x) .

Primetimo da nije bilo neophodno da za ovaj dokaz izaberemo ep vec smo moglida uzmemo bilo koji netrivijalan karakter.

Dokazimo sada da je Φ 1-1. Obelezimo sa 1 trivijalni karakter na Qp. Ako jea = 0 , onda za svako x ∈ Qp vazi ep (ax) = e−2πiax = 1 = 1 (x), pa je Φ (a)trivijalni karakter. Neka je zato a 6= 0, a x ∈ Qp izabrano tako da prethodno nevazi. Zbog konacnosti vp (a) postoji x tako da vazi vp (x) = −vp (a) − 1, i bas tox ce biti ono koje trazimo. Kako smo pronasli x za koje je ep (ax) 6= 1, Φ (a) necebiti trivijalan, pa a /∈ Ker (Φ). Dakle, dobicemo trivijalno jezgro Ker (Φ) = 0,tj. Φ je 1-1.

Da bismo dokazali da je Φ izomorfizam, potrebno je da pokazemo jos da je NA.Neka je χ ∈ Qp proizvoljni unitarni karakter na Qp. Pronadimo b ∈ Qp takvo daje χ (y) = ep (b · y) za svako y ∈ Qp.

Uzmimo polukrug U = <(z) > 0 ∩ T da bude otvorena okolina od 1. χ jeneprekidna funkcija i mora postojati neka kompaktna okolina nule pkZp takva daje χ

(pkZp

)⊆ U . Dalje, posto je χ homomorfizam, a pkZp aditivna podgrupa od

Qp, sledi da je χ(pkZp

)≤ T, sadrzana u U .

Razmislimo o tome kako izgledaju ove podgrupe. Dolazimo do zakljucka datakva moze biti samo trivijalna podgrupa 1.

Oznacimo sa ψ (x) = χ(pkx), takode jedan unitarni karakter na Qp. Prema

prethodnom, ψ (Zp) = 1. Neka je N ∈ Z>0 proizvoljno. Kako je ψ homomorfi-zam, imamo

ψ

(1

pN

)pN= ψ

(1

pN

)ψ

(1

pN

)· · ·ψ

(1

pN

)︸ ︷︷ ︸

pN

= ψ

1

pN+

1

pN+ · · ·+ 1

pN︸ ︷︷ ︸pN

= ψ (1) = 1.

Dakle, ψ(1/pN

)je pN -ti koren iz jedinice. Tacnije, ψ

(1/pN

)pripada grupi

pN -tih korena iz jedinice

exp(2πib/pN

)| 0 ≤ b ≤ pN − 1

. Sada b mozemo da

napisemo u bazi p, tj. postoje cifre 0 ≤ al < p− 1 takve da

ψ

(1

pN

)= exp

(−2πi

∑N−1l=0 alp

l

pN

). (4)

30

Preslikavanje ψ je homomorfizam, pa vazi

ψ

(1

pN

)= ψ

(p

pN+1

)= ψ

(1

pN+1+

1

pN+1+ · · ·+ 1

pN+1

)= ψ

(1

pN+1

)p. (5)

Primenom (4), dobijamo

ψ

(1

pN+1

)= exp

(−2πi

∑Nl=0 a

′

lpl

pN+1

)

za neke cifre a′

l. Ali, iz (5) sledi

exp

(−2πi

∑N−1l=0 alp

l

pN

)=

(exp

(−2πi

∑Nl=0 a

′

lpl

pN+1

))p

= exp

(−2πi

∑Nl=0 a

′

lpl

pN

)

= exp

(−2πi

∑N−1l=0 a

′

lpl

pN

)· exp

(−2πia

′

N

)︸ ︷︷ ︸

=1

Takode,

[0, 1) 3∑N−1

l=0 alpl

pN=

∑N−1l=0 a

′

lpl

pN∈ [0, 1) ,

pa je a′

l = al, za 0 ≤ l ≤ N − 1.Dobijamo p-adicki broj a :=

∑∞l=0 alp

l koji za svako N ∈ Z>0 zadovoljava

ψ

(1

pN

)= exp

(−2πi

a

pN

)= ep

(a · 1

pN

)(6)

Ali onda, ovo vazi i za sve p-adicke brojeve x =∑−1

j=−N xjpj +

∑+∞j=0 xjp

j, jerje

ψ (x) = ψ

(−1∑

j=−N

xjpj

)ψ

(+∞∑j=0

xjpj

)︸ ︷︷ ︸

=1

=−1∏

j=−N

ψ(xjp

j)

=−1∏

j=−N

ψ

pj · · · pj︸ ︷︷ ︸xj

=−1∏

j=−N

ψ(pj)xj (6)

=−1∏

j=−N

ep(a · pj

)=

−1∏j=−N

ep(a · xjpj)

= ep

(a

−1∑j=−N

xjpj

)= ep (a · x) .

31

Dakle,χ(pkx)

= ψ (x) = ep (a · x) .

Svaki broj y ∈ Qp mozemo zapisati kao y = pkx, pa kada zamenimo u prethodnodobijenu jednacinu dobijamo

χ (y) = ep

(a

pky

),

odakle vidimo da je trazeno b = apk

.

32

3 Lokalna teorija

3.1 Lokalni zeta integral i lokalne funkcionalne jednacine

Leonard Ojler je oko 1740. godine posmatrao izraz oblika

ζ(s) =+∞∑n=1

1

ns, (7)

i ustanovio je tada da za realno s > 1 vazi

ζ(s) =∏p prost

1

1− ps. (8)

Nakon Ojlera, matematicari su proucavali red (7) i kada je s kompleksan broj, idokazali su da formula (8) vazi kada je < (s) > 1. Godine 1859. Georg Rimanje objavio rad u kom je dokazao da se kompleksna funkcija ζ (s), kasnije nazvanaRimanova zeta funkcija, moze analiticki produziti do funkcije na kompleksnoj ravnikoja je holomorfna za s 6= 1. Riman je dokazao i funkcionalnu jednacinu

ξ (s) = ξ (1− s) , (9)

gde je ξ (s) = π−s/2Γ (s/2) ζ (s). Riman je takode dokazao da Rimanova zetafunkcija ima beskonacno nula u traci w ∈ C | 0 < <(w) < 1 i postavio jehipotezu da je realan deo svih ovih nula tacno −1/2.

Jedan vek kasnije, Dzon Tejt je u svojoj doktorskoj tezi ponovo dokazao (9),pritom dajuci smisao clanu π−s/2Γ (s/2) u definiciji funkcije ξ. Naime, Tejt jedokazao da ovaj clan dolazi od beskonacno dalekog prostog broja, i da se funkcijaξ elegantnije moze definisati kao

ξ (s) =∏p≤∞p prost

zp (s) ,

gde su zp (s) takozvani zeta integrali koje cemo u nastavku definisati.

Definicija 32. Neka je s kompleksasn broj, i neka je v prost broj ili ∞. Nekaje Φ: Qv → C Brua-Svarcova funkcija, a ω : (Q×v , ·) → (T, ·) unitarni karakter.Lokalni zeta integral definisemo kao

zv (s,Φ, ω) =

∫Q×v

Φ (x)ω (x) |x|sv d×x (10)

gde je d×x = dm|x|∞

ako je v =∞, a d×x = pp−1

dh|x|v

ako je v 6=∞. Pritom su sa dm i

dh redom oznacene Lebegova mera na R i Harova mera na Qp.

33

Stav 11. Lokalni zeta integral (10) je apsolutno konvergentan za sve kompleksnebrojeve s takve da je < (s) > 0.

Dokaz. Primetimo prvo da je |Φ (x)ω (x) |x|sv| = |Φ (x) |x|sv| jer je karakter ω uni-taran. Podelimo integral

∫Q×v|Φ (x) |x|sv| d×x na integrale po skupovima A = x ∈

Q×v | |x|v > 1 i B = x ∈ Q×v | |x|v ≤ 1. Integral∫A|Φ(x) |x|s| d×x konvergira

jer je Φ po pretpostavci Brua-Svarcova funkcija na Qp. Dokazimo da integral poskupu B takode aposlutno konvergira. Neka je σ = < (s). Tada je ||x|sv| = |x|σv .Ako je v prost broj p, tada vazi9∫

B

∣∣∣Φ (x) |x|sp∣∣∣ d×x ∫

B

|x|σp d×x =

∫Zp\0

|x|σp d×x

=+∞∑n=0

∫pnZ×p|x|σp d

×x =+∞∑n=0

∫Z×pp−nσ d×x =

+∞∑n=0

1

pnσ.

Poslednja suma kovnvergira, jer je po pretpostavci σ > 0.Ako je v =∞, tada vazi∫

B

|Φ (x)| |x|sp d×x

∫[−1,1]\0

|x|σ dx

|x|∫

[0,1]

xσ−1 dx.

Pritom poslednji integral apsolutno konvergira za σ > 0.

Teorema 13 (Lokalna funkcionalna jednacina). Neka je s kompleksan broj takavda je 0 < < (s) < 1. Neka je Φ v-adicka Furijeova transormacija Brua-Svarcovefunkcije Φ. Neka je ω konjugovani karakter unitarnog karaktera ω : (Q×v , ·) →(T, ·). Tada lokalni zeta integral zv zadovoljava funkcionalnu jednacinu

zv (s,Φ, ω) = γ (s, ω) zv

(1− s, Φ, ω

), (11)

gde je γ (s, ω) neka meromorfna funkcija po s u traci w ∈ C | 0 < <(w) < 1 kojane zavisi od Φ.

Dokaz. U datoj traci oba integrala u jednacini (11) apsolutno konvergiraju, padefinisu holomorfne funkcije zv(s,Φ, ω) i zv(1− s,Φ, ω). Odavde sledi da je

zv (s,Φ, ω)

zv

(1− s, Φ, ω

)meromorfna funkcija u naznacenoj traci.

9Pritom korsitimo notatciju Vinogradova: f g ako i samo ako f ∈ O(g).

34

Dokazimo jos da gornji kolicnik ne zavisi od izbora funkcije Φ. Uzmimo zatoproizvoljnu funkciju Ψ ∈ S(Qp). Jednakost

zv (s,Φ, ω)

zv

(1− s, Φ, ω

) =zv (s,Ψ, ω)

zv

(1− s, Ψ, ω

)je tacna ako i samo ako je

zv (s,Φ, ω) zv

(1− s, Ψ, ω

)= zv (s,Ψ, ω) zv

(1− s, Φ, ω

). (12)

Sa leve strane jednacine 12 imamo:∫Q×v

Φ (x)ω (x) |x|sv d×x

∫Q×v

Ψ (y)ω (y) |y|1−sv d×y

=

∫Q×v

∫Q×v

Φ (x) Ψ (y)ω(xy−1

)|x|sv |y|

1−sv d×x d×y

=

∫Q×v

∫Q×v

Φ (x) Ψ (xy)ω(y−1)|x|sv |x|

1−sv |y|1−sv d×x d×y

=

∫x∈Q×v

∫y∈Q×v

Φ (x)

∫z∈Qv

Ψ (z) e (−xyz) dz ω (y) |x|v |y|1−sv d×x d×y

=

∫x∈Q×v

∫y∈Q×v

∫z∈Qv

Φ (x) Ψ (z) e (−xyz)ω (y) |x|v |y|1−sv dz

Cdx

|x|vd×y

= C

∫y∈Q×v

∫x∈Qv

∫z∈Qv

Φ (x) Ψ (z) e (−xyz)ω (y) |y|1−sv dz dx d×y,

gde je C = 1 odnosno C = p/(p− 1) ako je v = 1, odnosno v = p.U gornjem izrazu, u prvoj jednakosti je iskoriscen Fubinijev stav i cinjenica da

je ω homomorfizam. Druga jednskost je opravdana smenom promenljive. Trecajednakost sledi na osnovu definicije Furijeove transformacije. Cetvrta jednakost sedobija ponovo primenom Fubinijevog stava, i definicije Harove mere.

Kao sto vidimo, poslednji integral je simetrican po x i z, pa mozemo zamenitiΦ sa Ψ i dobiti desnu stranu jednakosti (12).

Posledica 11. Za kompleksan broj s takav da je 0 < <(s) < 1, i γ(s, ω) iz teoreme13, vazi γ(s, ω)γ(1− s, ω) = ω(−1).

35

Dokaz. Imamo da je

zv

(s,

ˆΦ, ω

)=

∫Q×v

ˆΦ (x)ω (x) |x|sv d

×x =

∫Q×v

Φ (−x)ω (x) |x|sv d×x

=

∫Q×v

Φ (x)ω (−x) |−x|sv d×x =

∫Q×v

Φ (x)ω (−1)ω (x) |x|sv d×x

= ω (−1) zv (s,Φ, ω) .

Iz teoreme 13 i prethodne jednakosti sledi da je

zv (s,Φ, ω) = γ (s, ω) zv

(1− s, Φ, ω

)= γ (s, ω) γ (1− s, ω)ω (−1) zv (s,Φ, ω) .

Odavde, deljenjem10 sa zv (s,Φ, ω), dobijamo da je γ (s, ω) γ (1− s, ω) = ω (−1).

Sada zelimo da za konkretna mesta i karaktere izracunamo gama faktore. Poteoremi 13 gama faktor mozemo izraziti kao kolicnik dva zeta integrala. Postogama faktor ne zavisi od funkcije Φ koja se pojavljuje u definiciji zeta integrala,strategija za racunanje zeta integrala bice pazljivi izbor funkcije Φ za koju je racunposebno jednostavan. Pre samog racuna zeta integrala, uvescemo par definicijakoje ce nam omuguciti klasifikaciju karaktera.

Za svako mesto mesto v, slika apsolutne vrednosti |·|v je multiplikativna grupa.Preciznije, za v =∞ imamo |Q×v |v = R+ a za v = p imamo |Q×v |v = pa | a ∈ Z.Ako je Uv = Ker |·|v. tada imamo kratak tacan niz multiplikativnih grupa

1 Uv Q×v |Q×v |v 1|·|sv ,

pa vazi Q×v ∼= Uv × |Q×v |v.

Definicija 33. Karakter ω : Q×v → C× nazivamo neramifikovan ako je ω |Uv= 1.Ramifikovan karakter je karakter koji nije ramifikovan.

Teorema 14. Karakter ω : Q×v → C× je neramifikovan ako i samo ako je ω = |·|svza neko s ∈ C.

Dokaz. Ocigledno je da je funkcija |·|sv jedan neramifikovan karakter. Dokazimozato drugi smer. Neka je ω jedan neramifikovan karakter. Razlikujemo slucaj kadaje v beskonacno mesto i slucaj kada je v konacno.

10Funkciju Φ uvek mozemo izabrati tako da zv(s,Φ, ω) 6= 0.

36

• v = p. Neka je s ∈ C takvo da je ω(p) = |p|sp. Neka je x ∈ Q×p proizvoljan.Tada je x = pmy gde je m ∈ Z a y ∈ Zp. Sada imamo ω(x) = ω(pmy) =ω(p)mω(y) = |p|−msp · |y|sp = |x|sp jer je |y|p = 1.

• v =∞. Posmatrajmo dijagram:

R×>0 (R,+) C

C×ω

log η

exp

Neramifikovani karakteri grupe Q×v cine jednu podgrupu grupe X(Q×v ) koja jepo prethodnom dokazu izomorfna sa C ako je v = p, odnosno sa C/ 2πi

log pZ ako je

v = p prost. Takode, ova podgrupa je jedan primer Rimanove povrsi, bas kao igrupa X(Q×v ).

<

=

2πilog p

A

A′

Slika 2: U slucaju konacnog mesta, podgrupa neramifikovanih karaktera jeC/ 2πi

log pZ, sto je zapravo cilindar.

Posledica 12. Svaki karakter ω : Q×v → C× je oblika ω = η · |·|sv za neki unitarankarakter η : Q×v → T i neko s ∈ C.

Dokaz. Restrikcija ω |Uv je unitaran karakter jer je Uv kompaktna podgrupa. Dakle|ω|v |Uv= 1, pa je |ω|v neramifikovan karakter. Sada primetimo da je ω = ω

|ω|v |ω|vi tvrdenje sledi.

Sada mozemo klasifikovati sve karaktere grupe Q×v .Neka je prvo v = ∞. Tada je na osnovu prethodnih komentara R× ∼= U∞ ×

R>0 = ±1 × R>0. Svi karakteri grupe R>0 su oblika |·|s za neko s ∈ C. Jedina

37

dva karaktera grupe ±1 su trivijalni karakter i identicko preslikavanje (sgn ·). Izsvega ovoga sledi da su svi karakteri grupe R× ili oblika |·|s ako su neramifikovani, ilioblika sgn (·)|·|s ako su ramifikovani, za neko s ∈ C. Specijalno, unitarni karakterigrupe R× su oblika |·|it ili sgn (·)|·|it za neko t ∈ R.

Neka je sada v = p prost broj. Ako je karakter ω neramifikovan, tada je onodreden svojom vrednoscu u p. Neka je zato ω neramifikovan karakter. Kakoje ω neprekidna funkcija i kako ω preslikava 1Zp u 1C, to mora postojati nekaotvorena okolina u Z×p koja se slika 1C. Otvorene okoline 1 u Z×p su sve oblika1 + pkZp ⊆ Z×p za neko k ≥ 1. Definisimo11 k kao minimalan prirodan broj takavda je ω |1+pkZp≡ 1. Broj pk tada nazivamo konduktor ramifikovanog karakteraω. Kako je 1 + pkZp podgrupa grupe Z×p , nas ramifikovan karakter ω odgovara

karakteru grupe Z×p /(1 + pkZp

). Grupe Z×p /

(1 + pkZp

)i (Z/pkZ)× su izomorfne,

pa neramifikovani karakteri odgovaraju karakterima grupe (Z/pkZ)×, a to su basDirihleovi karakteri.

3.2 Racunanje gama faktora

Na osnovu klasifikacije karaktera sada vidimo da se racunanje gama faktora,γ(s, ω) = zv(s,Φ,ω)

zv(1−s,Φ,ω), svodi na cetiri slucaja:

1. v =∞ i ω ≡ 12. v =∞ i ω = sgn3. v = p i ω je neramifikovan4. v = p i ω je ramifikovan.

Stav 12. Za v =∞, ω ≡ 1 i 0 < <(s) < 1 vazi

γ (s, ω) =π−

s2 Γ(s2

)π−

1−s2 Γ

(1−s

2

) .Dokaz. Kao sto je pomenuto ranije, gama faktore cemo racunati izborom pogodnihfunkcija Φ. U ovom slucaju to ce biti funkcija Φ0 = e−πx

2koja ima zgodnu osobinu

Φ0 = Φ0. Izacunajmo njen zeta integral:

z∞ (s,Φ0, ω) =

∫R×

e−πx2 |x|s∞

dx

|x|∞= 2

∫ ∞0

e−πx2

xsdx

x

=

∫ ∞0

e−y(y

π

) s2 dy

y= π−

s2 Γ(s

2

).

11Definicija ja dobra zbog neprekidnosti i ramifikovanosti karktera ω.

38

Dakle, z∞(s,Φ0, ω) = π−s2 Γ( s

2), a odatle lako zakljucujemo i

z∞

(1− s, Φ0, ω

)= z∞ (1− s,Φ0, ω) = π−

1−s2 Γ

(1− s

2

).

Kako poslednji zeta integral nikada nije nula u posmatranoj traci (0 < <(s) < 1),kolicnik izracunatih integrala je dobro definisan i navedeni stav vazi.

Stav 13. Za v =∞, ω = sgn i 0 < <(s) < 1 vazi:

γ(s, ω) =1

−iπ−

s+12 Γ( s+1

2)

π−1−s+1

2 Γ(1−s+12

).

Dokaz. U ovom slucaju biramo funkciju Φ0 = xe−πx2 ∈ S(R) za koju cemo poka-

zati da ima osobinu Φ0 = −iΦ0:

Φ0(x) =

∫R

ye−πy2

e−2πixydy =

∫R

e−π(y2+2ixy+(ix2)−(ix2))ydy

= e−πx2

∫R

e−π(y+ix)2ydy = e−πx2

∫R+ix

e−πz2

(z − ix) dz

= e−πx2

∫R+ix

e−πz2

zdz − ixe−πx2∫

R+ix

e−πz2

dz

= e−πx2

∫R

e−πz2

zdz − ixe−πx2∫R

e−πz2

dz

= −ixe−πx2 = −iΦ0 (x) .

Izacunajmo zeta integral funkcije Φ0:

z∞ (s,Φ0, ω) =

∫R×

xe−πx2 |x|∞x|x|s∞

dx

|x|∞= 2

∫ ∞0

e−πx2

xs+1 dx

x

=

∫ ∞0

e−y(y

π

) s+12 dy

y= π−

s+12 Γ

(s+ 1

2

),

i zeta integral funkcije Φ0:

z∞

(1− s, Φ0, ω

)= −i

∫R×

xe−πx2 |x|∞x|x|1−s∞

dx

|x|∞= −2i

∫ ∞0

e−πx2

x1−s+1 dx

x

39

=

∫ ∞0

e−y(y

π

) 1−s+12 dy

y= π−

1−s+12 Γ

(1− s+ 1

2

).

Stav 14. Za v = p, ω : Q×p → T neramifkovan i 0 < <(s) < 1 vazi

γ (s, ω) =1− ω (p)/p1−s

1− ω (p)/ps.

Dokaz. U ovom slucaju biramo funkciju Φ0 = 1Zp za koju od ranije znamo da ima

osobinu Φ0 = Φ0.Izacunajmo zeta integral funkcije Φ0

zp (s,Φ0, ω) =

∫Q×p

1Zp (x)ω (x) |x|sp d×x =

∫Zp\0

ω (x) |x|sp d×x

=∞∑k=0

∫pkZ×p

ω (x) |x|sp d×x =

∞∑k=0

∫Z×pω (p)k ω (y) p−ksd×y

=∞∑k=0

(ω (p)

ps

)k ∫Z×p

ω (y) d×y =∞∑k=0

(ω (p)

ps

)k=

1

1− ω (p)/ps.

Odatle dobijamo i

z∞(1− s, Φ0, ω) = z∞(1− s,Φ0, ω) =1

1− ω(p)/p1−s .

Stav 15. Za v = p, ω : Q×p → T ramifkovan, konduktora pr i 0 < <(s) < 1 vazi

γ (s, ω) = pr(s−1)ω (p)−rpr∑j=1

(j,p)=1

ep

(j

pr

)ω (j) .

Dokaz. U ovom slucaju biramo funkciju Φ0 = ep(x)1p−rZp(x). Racunamo zetaintegral od Φ0:

zp(s,Φ0, ω) =

∫Q×p

ep (x)1p−rZp (x)ω (x) |x|sp d×x

40

=

∫p−rZp\0

ep (x)ω (x) |x|sp d×x =

∞∑l=−r

∫plZ×p

ep (x)ω (x) |x|sp d×x

Razmotrimo sta se desava za razlicite vrednosti l.Ako je l ≥ 0, tada je∫plZ×p

ep (x)ω (x) |x|sp d×x = p−ls

∫plZ×p

ω (x) d×x = p−lsω(pl) ∫Z×p

ω (y) d×y = 0,

jer postoji z takvo da je ω(z) 6= 0, pa je uvodenjem smene y = y′z,∫Z×pω(y) d×y =

I = ω(z) · I, pa je I = 0.Ako je −r − 1 ≤ l ≤ −1, tada je, slicno kao u slucaju l ≥ 0,∫

plZ×pep (x)ω (x) |x|sp d

×x =

pr−1∑j=1

(j,p)=1

∫plj(1+pr−1Zp)

ep (x)ω (x) |x|sp d×x

=

pr−1∑j=1

(j,p)=1

p−ls∫plj(1+pr−1Zp)

ω (x) d×x =

pr−1∑j=1

(j,p)=1

ω(plj)p−ls∫

1+pr−1Zp

ω (y) d×y = 0.

Dakle, jedino sto ostaje u zeta integralu je integral za l = −r.

zp (s,Φ0, ω) =

∫p−rZ×p

ep (x)ω (x) |x|sp d×x

=

pr∑j=1

(j,p)=1

∫p−rj(1+prZp)

ep (x)ω (x) |x|spp

p− 1

dx

|x|p

=p

p− 1prs

pr∑j=1

(j,p)=1

∫p−r(j+prZp)

ep (x)ω (x)dx

|x|p

=p

p− 1prs

pr∑j=1

(j,p)=1

ep

(j

pr

)∫p−r(j+prZp)

ω(x)dx

|x|p

=p

p− 1prs

pr∑j=1

(j,p)=1

ep

(j

pr

)ω (p)−r

∫j+prZp

ω (y)dy

|y|p

41

=p

p− 1prsω (p)−r

pr∑j=1

(j,p)=1

ep

(j

pr

)ω (j) p−r

=p

p− 1pr(s−1)ω (p)−r

pr∑j=1

(j,p)=1

ep

(j

pr

)ω (j)

Primetimo da je dobijena suma Gausova.Izracunajmo sada Φ0. Prema lemi od ranije, vazi

Φ0 =

∫Qp

ep (y)1p−rZp (y) ep (−xy) dy =

∫p−rZp

ep ((1− x)y) dy = pr11+prZp (x) .

Sada mozemo da izracunamo i zeta integral od funkcije Φ0.

zp

(1− s, Φ0, ω

)=

∫Q×p

pr11+prZp (x)ω (x) |x|1−sp

p

p− 1

dx

|x|p

= prp

p− 1

∫1+prZp

ω (x) |x|−sp dx = prp

p− 1

∫1+prZp

dx

= prp

p− 1p−r =

p

p− 1

Teorema 15 (Meromorfno prosirenje lokalnih zeta integrala). Lokalni zeta in-tegral, zv (s,Φ, ω), prvobitno definisan na poluravni < (s) > 0, ima meromorfnoprosirenje na celu kompleksnu ravan C.

Dokaz. Racunanjem gama faktora, videli smo da se on, iako originalno definisanna traci 0 < < (s) < 1, moze prosiriti meromorfno na celu kompleksnu ravan.

Posmatrajuci funkcionalnu jednacinu zv (s,Φ, ω) = γ (s, ω) zv

(1− s, Φ, ω

)sada

mozemo da zakljucimo da, buduci da je desna strana meromorfna na poluravni< (s) < 1, leva strana, tj. zeta integral, ima meromorfno prosirenje na celu kom-pleksnu ravan.

42

4 Globalna teorija

4.1 Globalni zeta integrali

Setimo se da polje racionalnih brojeva mozemo utopiti u prsten adela AQ nasledeci nacin q 7→ (q, q, q, . . . ). Ovim utapanjem dobijamo i dejstvo aditivnegrupe polja racionalnih brojeva Q na skup adela AQ dato sa q · (x∞, x2, x3, . . . ) =(q + x∞, q + x2, q + x3, . . . ). Kad god imamo dejstvo neke grupe G na skup Xonda je fundamentalni domen tog dejstva neki izbor po jednog elementa u svakojorbiti. Preciznije, za skup D kazemo da je fundamentalni dejstva Gy X ako

1. za svako x ∈ X postoje d ∈ D i g ∈ G tavi da je x = g · d,2. svaka dva razlicita elementa d i d′ iz D nisu G ekvivalentna.

Primetimo da za dejstvo Gy X sa fundamentalnim domenom D, vazi

X =⊔g∈G

g ·D. (13)

Nama ja cilj da nademo jedan fundamentalni domen dejstva grupe Q na prstenadela AQ. Pre nego sto to ucinimo, dajmo dva jednostavna primera.

Primer 11. Grupa Z dejstvuje na polje R na sledeci nacin: q · r = q + r. Jedanfundamentalni domen ovog dejstva je je poluotvoreni interval [0, 1). 4

Primer 12. Grupa matrica SL(2,Z) dejstvuje na poluravan H = z ∈ C | = (z) > 0na sledeci nacin [

a bc d

]· z =

az + b

cz + d.

Lako se proverava da je gorenavedeno preslikavanje zaista dejstvo grupe SL(2,Z)na kompleksnu ravan C. Potrebno je jos dokazati da navedeno dejstvo ostavlja fik-siran skup C. Medutim to direktno sledi iz toga sto za z ∈ C \ −d/c vaziformula

=(az + b

cz + d

)=

(ad− bc)= (z)

|cz + d|2,

za sve realne brojeve a, b, c i d, i cinjenice da za g ∈ SL(2,Z) vazi det g = 1. Fun-damentalni domen ovog dejstva je skup F =

z ∈ H | −1

2≤ < (z) < 1

2, |z| ≥ 1

koji je prikazan na slici 3.

Kako pri ovom dejstvu matrice A i −1 ·A dejstvuju isto, matrice koje se razli-kuju do na znak indentifikujemo. Time dobijamo projektivnu specijalnu linearnugrupu PSL(2,Z) koju nazivamo modularna grupa.

43

<

=

1

2−1

2

1−1

ϕi i

ϕ

∞

Slika 3: Siva povrsina na levoj strani je fundamentalni domen F . Ako izvrstimoodgovarajucu identifikaciju ivica povrsine F , tada dobijamo povrs prikazanu nadesnoj strani gornje slike. Ova povrs ima spiceve u tackama i i ϕ = 1/2 + i

√3/2,

kao i u beskonacno dalekoj tacki ∞.

Ako H posmatramo kao hiperbolicki prostor, tada elementi grupe PSL(2,Z)dejstvuju kao izometrije prostora H. Koristeci hiperbolicku metriku dH u H, skupF se moze opisati kao

F = z ∈ H | dH (z, 2i) ≤ dH (z, g · 2i) za sve g ∈ SL (2,Z) .

Iz navedene karakterizacije skupa F , vidimo da je on sacinjen od svih onih tacakahiperbolicke ravni cija je hiperbolicka udaljenost do 2i minimalna u odnosu naudaljenosti od bilo koje tacke iz orbite Ω (2i). Primetimo da je to potpuno analognoprimeru 11 gde smo fundamentalni domen mogli da definisemo kao skup tacakarealne prave cija je udaljenost od 1/2 manja od udaljenosti od bilo koje drugetacke iz orbite Ω (1/2) (uz odgovarajucu identifikaciju tacaka 0 i 1).

Lako se moze proveriti da je grupa PSL(2,Z) generisana matricama

S =

[0 −11 0

]i T =

[1 10 1

],

koje su respektivno reda 2 i beskonacnog reda, i medu kojima vazi relacija12

(ST )3 = I. Geometrijski, matrica T deluje na hiperbolicku ravan tako sto jetranslira za 1 u pravcu rasta realne ose, dok S deluje na hiperbolicku ravan takosto izvrsi inverziju u odnosu na jedinicnu kruznicu a zatim i refleksiju u odnosuna imaginarnu osu. Na osnovu formule (13) znamo da je uz pomoc hiperbolickihizometrija S i T moguce poplocati hiperbolicku ravan H slikama fundamentalnogdomena F , sto je prikazano na slici 4.

12Skrenimo paznju da navedene relacije vaze u grupi PSL(2,Z), a ne u SL(2,Z).

44

H

T−2 T−1 I T T 2

T−1S S TS

ST ST−1

Slika 4: Teselacija hiperbolicke ravni slikama fundamentalnog domena F .

4

Vratimo se na zadatak pronalazenja fundamentalnog domena dejstva grupe Qna prsten adela AQ.

Teorema 16 (O slaboj aproksimaciji). Neka su p1, p2, · · · , pn razliciti prosti bro-jevi. Neka su a1, a2, · · · , an proizvoljni racionalni brojevi, i neka su e1, e2, · · · , enproizvoljni celi brojevi. Tada postoji racionalan broj x takav da je |x− ai|pi ≤ peiiza svako 1 ≤ i ≤ n, i za koje vazi |x|q ≤ 1 za sve proste brojeve q razlicite odp1, p2, · · · , pn.

Dokaz. Bez gubitka opstosti mozemo pretpostaviti da je n ≥ 2 i da je ei > 0 zasvako 1 ≤ i ≤ n. Sada razlikujemo tri slucaja:

• Svi a1, a2, . . . , an pripadaju skupu Z i a1 6= 0, a a2 = · · · = an = 0 . Kakoje (pe11 , . . . , p

enn ) = 1, po Bezuovom stavu postoje celi brojevi x i y takvi da

je a1 = pe11 y + x gde pe22 · · · penn | x. Sada je |x − a1|p1 = |pe11 y|p1 ≤ p−e11 i|x− ai|pi = |x− 0|pi = |x|pi ≤ p−eii za svako 2 ≤ i ≤ n.

• Svi a1, a2, . . . , an su proizvoljni celi brojevi. Sada cemo primeniti prvi slucajna n-torke

(a1, 0, 0 · · · , 0) , (0, a2, 0 · · · , 0) , · · · (0, 0, 0 · · · , an) ,

i eksponente e1, e2, . . . , en. Iz prethodnog slucaja dobijamo redom celobrojneaproksimacije x1, x2, . . . , xn. Tada za x = x1 + x2 + · · ·+ xn vazi |x|q ≤ 1 zasve proste q, i za svako 1 ≤ i ≤ n vazi

|x− ai|pi = |x1 − 0 + x2 − 0 + · · ·+ xi − ai + . . . xn − 0|= max |x1 − 0|, |x2 − 0|, . . . , |xi − ai|, . . . , |xn − 0| ≤ p−eii .

45

• Neka su sada a1, a2, . . . , an proizvoljni racionalni brojevi (razlomci). Nekaje s najmanji zajednicki imenilac ovih razlomaka, i neka su celi brojevib1, b2, . . . , bn takvi da je ai = bi/s za sve 1 ≤ i ≤ n. Primenimo prethodnislucaj na n-torku (b1, b2, . . . , bn) i eksponente −ei − vpi(s) (za 1 ≤ i ≤ n).

Time dobijamo ceo broj y takav da je |y − bi|pi ≤ p−ei−vpi (s)i za 1 ≤ i ≤ n,

i za koji je |y|q < q−vq(s) za sve proste q razlicite od p1, p2, · · · , pn. Sada jetrazena aproksimacija racionalan broj x = y/s, jer vazi

|x− ai|pi =

∣∣∣∣ys − bis

∣∣∣∣pi

=|y − bi|pi|s|pi

≤ p−ei−vp(s)i

p−vp(s)i

= p−eii ,

za sve 1 ≤ i ≤ n, i za sve proste q razlicite od p1, p2, · · · , pn vazi

|x|q =∣∣∣ys

∣∣∣q

=|y|q|s|q≤ q

−vq(s)i

q−vq(s)i

≤ 1.

Posledica 13. Neka su p1, p2, · · · , pn razliciti prosti brojevi. Neka su ci ∈ Qpi

proizvoljni p-adicki brojevi. Tada za svako ε ≥ 0 postoji racionalan broj α takavda je |α− ci|pi ≤ ε za svako 1 ≤ i ≤ n. Dodatno, α mozemo izabrati tako danjegov imenilac nema proste faktore razlicite od p1, p2, · · · , pn.

Dokaz. Kako su racionalni brojevi gusti u polju p-adickih brojeva, za svaki p-adickibroj ci mozemo pronaci racionalan broj c′i takav da je |ci − c′i|pi ≤ ε. Primenomteoreme 16 na n-torku (c′1, c

′2, . . . , c

′n) i n-torku ekponenata koji daju gresku manju

od ε, dobijamo racionalan broj α takav da je |α− c′i|pi ≤ ε za svako 1 ≤ i ≤ n.

Sada je |α− ci|pi = max|α− c′i|pi , |c

′i − ci|pi

≤ ε za svako 1 ≤ i ≤ n sto je i

trebalo dokazati.

Kucali: Ana Isakovic, Nikola Ubavic, Uros Dinic, Luka Vukelic, Stefan Mi-trovic, Stanislav Todorovic, Danilo Tosovic, Nikola Sadovek, Magdalena Tarajic.

46