TEORIJA INFORMACIJA 1.docx

7/23/2019 TEORIJA INFORMACIJA 1.docx

1/76


2/76

Ka)o ,o4e %a e ,eri )o(iina in+or,a$i!a? Ka)o ,o4e %a e o2ez2e%i )ore)tnot in+or,a$i!e? ta %a e ra%i a)o !e in+or,a$i!a iz,en!ena z2opri"t#a re/a)a? Ko(i)o !e potre2no ,e,ori!e %a 2i e " n!o! a"#a(a ne)a in+or,a$i!a?

Ono#ne o%o#ore na pret7o%na pitan!a' )o!i " 2aza ,o%erne TEORIJE INFORMACIJA0in+or,ationt7eor9 %ao !e poznati a,eri)i ,ate,atiar' in4en!er e(e)trote7ni)e i na"ni) " o2(atra"nar)e te7ni)e3 K(o% enon 0C(a"%e E3 >7annon " #o, ra%"

A Mat7e,ati$a( T7eor9 o+ Co,,"ni$ation o2!a#(!eno, " aopi" T7e e(( >9te,Te$7ni$a(Jo"rna( o)to2ra 1BD3 =o%ine

Claude Elwood Shannon (1916-2001)Ota$ Teori!e in+or,a$i!aOta$ Teori!e pro!e)to#an!a %iita(ni7 )o(aKari!era* e(( La2oratorie 01B1-1B' MIT01BGH-1

Sadraj informacije ta !e a%r4a! in+or,a$i!e #a)e por")e? enono# o%o#or !e* >a%r4a! in+or,a$i!e ne)e por")e ato!i e o% niza !e%ini$a i n"(a)o!e iz#or in+or,a$i!e e,it"!e3


3/76

8a)(e' e(e,entarna !e%ini$a in+or,a$i!e !e 2inarna !e%ini$a* bit' )o!a ,o4e 2iti 1 i(i 'tano i(i netano'%a i(i ne' $rno i(i 2e(o' it%3 Je%an o% ono#ni7 pot"(ata Teori!e in+or,a$i!a !e %a in+or,a$i!" ,o4e,o tretirati )ao,er(!i#" &zi)"#e(iin"' )ao /to " 2rzina' ,aa' "tina3 5retpota#i,o %a ne)o 2a$a no#i< ,i(ionp"ta i zapi"!e

rez"(tat e)#en$i!a(no3 A)o 4e(i o#" e)#en$" %a aop/ti ne)o, %r"o,' )o(i)o ," !epotre2no 2ita? A)o !e no#i< ipra#an' %#a ,o"


4/76

enon !e ta)o:e po)azao )a)o e ,o4e preneti in+or,a$i!a )ana(o, " pri"t#" /",a'a "etano/


5/76

5ri!e,ni) "zi,a #e


6/76

/!antitati!na mera informacije 5retpota#i,o %a na, !e za%ata) %a iza2ere,o ne)i "re:a! iz )ata(oa " )o,e !epri)azano n raz(iiti7,o%e(a* Wx1'x2,...,xnX 5o4e(!na )o(iina in+or,a$i!e I(xk), )o!a !e " #ezi a iz2oro, o%re:eno ,o%e(axk ,ora2iti +"n)$i!a#ero#atno o2ziro, %a " o#e )o(iine in+or,a$i!a !e%na)e' (e%i*

Me:" ne)o(i)o re/en!a o#e +"n)$iona(ne !e%naine' na!#a4ni!a !e*

Ta)o' )a%a tatiti)i e)peri,ent i,a n !e%na)o #ero#atni7 i7o%a' re%n!a )o(iinain+or,a$i!e " #ezii7o%a !e (o n .

Loarita,)a ,era in+or,a$i!e i,a po4e(!n" oo2in" a%iti#noti' poo%n" tatiti)neza#ine e)peri,ente. Na!!e%nota#ni!i pri,er !e iz2or iz,e:" %#a !e%na)o #ero#atna ("a!a3 Ko(iinain+or,a$i!e " #ezi iz2ora !e%no o% %#a !e%na)o #ero#atna ("a!a %a!e JE8INICQ

INFORMACIJE poznat" )ao IT3


7/76

LEKCIJA * Mate,ati)e ono#e Teori!e In+or,a$i!a

4e%e ideje i oblati verovatnoeA)o poto!i N ,o"


8/76

5o(e%n!a !e%naina e eto "zi,a )ao %e&ni$i!a nea!i"no"ti.3era informacije

8a 2i e %o/(o %o mere informacije po,atra e %e/a#an!e %oa:a!a )o!e i,a #ero#atno


9/76

3ko je "ek!enca od 2' bacanja bi-a, na #rimer g#gg##g###g#ggg#g#gg#g# ona "e mo4e#red"ta!iti "a 2' bita10110010001011101011010

Entro#ija5retpota#i,o %a i,a,o na rapo(aan!" n i,2o(a Wa1,a2,...,anX' i %a ne)i iz#or ener/e nizo#i7 i,2o(a3 Ne)aiz#or eneri/e i,2o(e a #ero#atnoi,2o(i e eneri/"neza#ino' i,2o( )o!i (e%i ne za#ii o% pret7o%no3 Ko!a !e re%n!a #re%not in+or,a$i!e )o!"%o2i!a,o o% #a)o i,2o(a " o#o, niz"?A)o po,atra,o i,2o( ai' on noi -og(1#i) in+or,a$i!e pri #a)o, po!a#(!i#an!" " niz"3 A)o !eniz %"4ine N on%a


10/76

Ko(i)o in+or,a$i!e "eni) %o2i!a iz !e%ne o$ene )o!" !e %o2io iz ne)o pre%,eta? a#ii o% )"pa o$ena )o!i,a e "eni) o$en!"!e3 Ma)i,a(na in+or,a$i!a e %o2i!a a)o " #e o$ene !e%na)o #ero#atne3 Tri ("a!a o$en!i#an!a*13O$ene S pro/ao' pao [ 12it3O$ene S 1' ' ' ' G [ 3 2ita3O$ene S 1' 1\'-''333'\'G-'G [ 'H 2ita8a)(e' po#ere%n!a %"4ina rei za o#a! ("a! !e 13 2it3

Entropi!a %a!e %on!" rani$" %"4ine )o%a za 2i(o )o!" /e," )o%iran!a i,2o(-po-i,2o(3 A)o era"na entropi!a " 2iti,a I )oriti 2inarni ite,' on%a !e*

enon !e i/ao i %a(!e a o#i, raz,atran!e, i po)azao %a o#a rani$a #a4i i za ("a! pri,enepro/ireno )o%iran!a' %e e i,2o(i r"pi/" " rei pre )o%iran!a3=enera(iana +or,a orn!e ne!e%na)oti nazi#a e ;enono!a teorema be8mnog kodiranja.


11/76

LEKCIJA * Kana(i za preno in+or,a$i!a

/omuni%aciona mrea Ko,"ni)a$ioni ite, e ato!i o% iz#ora )o,"ni)a$i!e' a %e&niani, a(+a2eto, 0)"po,i,2o(a' pri!e,ni)a na o%re%i/t" i )o,"ni)a$iono )ana(a' )o!i i7 po#ez"!e3 >ite, e ,o4e opiati po,o


12/76

H(Y|X) S apoteriorna entropi!a iz(aza' ,era neiz#enoti a)o !e po(at i,2o( xk %a (i


13/76

Ta)o:e !e i ,atri$a #ero#atno(((#a)i e,ito#ani i,2o( o%o#ara !e%no, i a,o !e%no, pri,(!eno, i,2o(". Entropi!e na iz#or" i na o%re%i/t" " !e%na)e.

>#e in%i#i%"a(ne "(o#ne entropi!e " !e%na)e n"(i' zato /to !e #a)i pri,(!eni i,2o( o%re:ena,o po(ati, i,2o(o, i o2rn"to3i%retan %anal a nea!inim ulaom-ilaom Q o#o! #rti )ana(a ne poto!i )ore(a$i!a iz,e:" po(ati7 i pri,(!eni7 i,2o(a* #a)i po(ati9,2o( "(azno a(+a2eta xi ,o4e 2iti pri,(!en )ao 2i(o )o!i i,2o( iz(azno a(+a2eta j a

!e%na)o, #ero#atno


14/76

5o(e%n!e %#e re(a$i!e po)az"!" %a o#a! )ana( ne prenoi ni)a)#" in+or,a$i!"' i,2o( )o!i !epri,(!en ne za#ii o% i,2o(a )o!i !e po(at3 Kana( 2ez /",a !e )ana( 2ez "2ita)a' a(i ne prenoini)a)#" in+or,a$i!". Kana( a /",o, !e )ana( a potp"ni, "2it)o,' a in+or,a$i!a )o!a e prenoi pre%ta#(!a it/",. O#a %#a )ana(a " e)tre,ni )ana(i3 Rea(ni )ana(i za preno in+or,a$i!a " ne%e " re%ini'iz,e:" o#a %#a)ana(a3

no!ne relacije entro#ija %omuni%aciono" %anala imeAu d!a @!ora5re,a %e&ni$i!i !e*

Ta)o %a !e*

F"n%a,enta(ne enono#e ne!e%na)oti*

Q(o#ne entropi!e ni)a%a ni" #e


15/76

5ajamna informacija

O#a #ero#atno


16/76

5reneta in+or,a$i!a #i7 paro#a i,2o(a I0


17/76

Ma)i,a(na 2rzina prenoa ,o4e e %e&niati )ao proiz#o% ,a)i,a(ne 2rzine enerian!ai,2o(a i ,a)i,a(ne )o(iine in+or,a$i!e po i,2o(" 0/to o%o#ara )apa$itet" )ana(a*7 = !max(7Ui,2>7Uc

>roto% informacijaQ t#arnoti 2rzina ra%a )o,"ni)a$iono ite,a i preneena in+or,a$i!a i,a!" ,an!e #re%notio% ,a)i,a(ni7' pa e ,o4e re


18/76

5retpota#i,o %a e kti i,2o( "k po!a#(!"!e a #ero#atnoreB% %odiranje

5re&) )o%iran!e znai %a ni !e%na )o%na re ni!e pre&6 ne)e %r"e )o%ne reiPrimerC

8a (i !e )o% I pre&) )o%?Ni!e] it n"(a !e )o%na re i,2o(a "0, a(i !e i pre&) 00' )o%ne rei i,2o(a "2 3 it 1, )o%na reza "1, ta)o:e !e i pre&) "11' )o%no! rei i,2o(a "'38a (i !e )o% II pre&) )o%? 8A]


19/76

8a (i !e )o% III pre&) )o%? NE] 5re&) )o% i,a znaa!n" )ara)teriti)" S on !e "#e) !e%noznano%e)o%a2i(an3>reB% %odiranje #rimer

Ko!i !e pre&) )o%? Ko%o#i I i I3Dafmeno!o %odiranje #rimer #reB% %odiranja no!na ideja* >#a)o, i,2o(" %o%e(ite)#en$" 2ita pri2(i4no!e%na)" po %"4ini )o(iini in+or,a$i!e )o!" prenoi3Dafmeno! al"oritam %odiranja* Kora) 1* >i,2o(e iz#ora iz(itati po opa%a!"


20/76

B"rednje 30 \ 30 \ 30 \ 310 \ 310 3

obine Dafmeno!o" %odiranja Va+,eno#o )o%iran!e )oriti %"4e )o%ne rei za i,2o(e a ,an!o, #ero#atno


21/76

*ta je +multimedija,. M"(ti,e%i!a 0M"(ti,e%ia ne,a tri)tn" %e&ni$i!". Q )onte)t" o#o )"ra ,"(ti,e%i!a ")az"!e na ra"nar)" te7no(oi!" 0,"(ti,e%ia $o,p"tin)o!a e)oriti za e&)ani!" )o,"ni)a$i!" )ori/


22/76

/om#reija #odata%a #ojmo!i

Ko,prei!a 2ez "2ita)a* re)ontr"iani po%a$i !e%na)i "(azni, Ko,prei!a a "2i$i,are)ontr"iani po%a$i apro)i,ira!" "(azne Ko,preioni o%no 02ro! 2ita za prezenta$i!""(aza U 02ro! 2ita )o%a/om#reija #odata%a entro#ija ro! 2ita neop7o%an %a e )o%ira iz#or a %on!e trane !e oranien entropi!o, iz#ora. Samoinformacija %oa:a!a3 %e&niana !e -ogbP(3)%e !e P(3) #ero#atnoi,2o( a ,an!o, #ero#atno GH Z 1UGH Z (o01UGH D 2ita ta !e a $rno-2e(o, (i)o, )o!a i,a a,o ni#oa iGG?5retpota#(!a!"rocena entro#ijea a a 2 2 2 2 $ $ $ $ % %

A)o " i,2o(i tatiti)i neza#ini' on%a !e*

50a U1


23/76

502 U150$ U150% U1Entropi!a* V b-50aZ(o50ac \ b-502Z(o502c \b-50$Z(o50$c \ b-50%Z(o50%c 13BG 2ita

*eme %odiranja

A(+a2et iz#ora* A W1' ' ' X501 31G50 31G50 3G50 3G

Entropi!a iz#ora > 13G 2ita

/om#reija #odata%a a "ubicima Oi, )o,prei!e 2ez "2ita)a' ,o4e e i %a(!e re%")o#ati 2ro! 2ita )o!i pre%ta#(!a!","(ti,e%i!a(nia%r4a!3 To e poti4e o%2a$i#an!e, nepotre2ne in+or,a$i!e3 Me%i!)i a%r4a!i' )ao /to " (i)e' a"%io i #i%eo ,o" e ,o%i&)o#ati 2ez oz2i(!ne re%")$i!e)#a(iteta3 >tan%ar%i )o,prei!e ,"(ti,e%i!a(ni7 po%ata)a " J5E=' M5E=' it%3&te'enje informacije (ditortion) O/teE - Mean >"are Errormean( ==ori" decoded==2) O%no ina(-/", 0>NR - >ina( to Noie RatioS4 F 10Glo"10(Si"nalH>ower3SE) (d)

Jun%cija o&te'enja informacija F"n)$i!a o/te


24/76

5niformna %alarna %!antiacija5retpota#i,o %a ex na(azi " ope" b6,in' 6,a6c3 Ope e %e(i na N "ni+or,ni7 reiona 2ezpre)(apan!a3 Ta%a !e )#antiza$ioni )ora) *

K#antizator 0o%a2ira f06 ,apira #re%not x " )#antiza$ion" #re%not reiona )o!o! pripa%atren"tna #re%notx3Kre&%a %!antiacije 8a 2i e ,ini,izira(a #re%not re/)e )#antiza$iona #re%not tre2a %a 2"%e na re%ini inter#a(ao%("i#an!a. A)o !e 6 ("a!na pro,en(!i#a' on%a !e f06 "ni+or,no %itri2"irano " inter#a(" b-8U' 8Uc 3

/!antiacija %odne re@i

K#antiza$iona #re%not ,o4e %a o%o#ara 2inarno! )o%no! rei3Q orn!e, pri,er"' )o%na re o%o#ara in%e)" #a)e )#antiza$ione #re%noti3Krejo! %od (KraL code)

Ko%ne rei e raz(i)"!" a,o za 1 2it o% "e%ni7 )o%ni7 rei3 =re!o# )o% !e otporni!i na re/)e o%priro%no 2inarno )o%a3Mrednot jedno" bita A)o !e 2ro! )#antiza$ioni7 inter#a(a N' on%a !e potre2no (o0N 2ita %a 2i e pre%ta#i(e #e

)#antiza$ione #re%noti a "ni+or,no %itri2"irano 6' o%no ina( - /", 0>NR za f06 !e propor$iona(no a (o0N H3n' %e !e Nn4euniformni odabira@ (%!antiator) a a"%io i #iz"e(ne po%at)e to(eran$i!a o/te


25/76

?>EK tandard mere %om#reije binarne "-ike 2itaUpi)e("'raHnar"ka gra6ka 2itaUpi)e("' gra"ca-e "-ike D 2itaUpi)e("'"-ike boji 1H' i(i #i/e 2itaUpi)e(" >tepen )o,prei!e*

ro! 2ita po pi)e(" " )o,pri,o#ano! (i$i

>re%n!e)#ar%ratnare/)a*


26/76

LEKCIJA G* Teori!a in+or,a$i!a i "pra#(!an!e re/)a,a ")o,"ni)a$iono, )ana("

ete%cija "re&a%a Tri prit"pa e )orite " 2or2i proti# re/a)a )o!e e !a#(!a!" " )o,"ni)a$iono, )ana(" to)o,

prenoain+or,a$i!a13 Kori/


27/76

A)o e re/)a %oo%i(a' na%a,o e %a pa)et ,o4e 2iti pono#o po(at i(i )orio#an. Na%a,o e !er "#e) poto!e ne)e )ateori!e re/a)a )o!e pro:" a %a ni" %ete)to#ane3ete%cija "re&%e7 #rimer A)o !e pri,(!ena e)#en$a 2ita 1011 ona


28/76

A)o e e)#en$a za pro#er" ipra#noti o)#ira napra#i ta)o %a !e L, on%a !e o)#ir J nkK \ R

Ta%a !e

Jer !e " ,o%"(arno! arit,eti$i #a)i 2ro! a2ran a o2o, !e%na) !e n"(i' t!3 LUP \ LUP Rez"(tat %e(!en!a !e 2ez otat)a ]

CC al"oritam7 #olinomne o#eracije

Q pret7o%no, pri,er" !e P 1111 O#o e ,o4e pre%ta#iti " po(ino,no! +or,i )ao P0


29/76

5re%a!ni) #r/i ,apiran!e k-2itno 2(o)a po%ata)a " n-2itni 2(o) )o!i e nazi#a )o%na re' )oritetr")t"ra re/a)a !e ta)#a %a +or,ira no#" )o%n" re' )o!a !e 2(i)a ne)o! #a(i%no! )o%no! rei. A(i 2(i)a )o%na re ni!e !e%na)a po(ato! )o%no! rei. 5ri!e,ni) rinci#i Va,ino#o rato!an!e Ne)a " %ate %#e e)#en$e!1 1111' ! 111 Va,ino#o rato!an!e pre%ta#(!a 2ro! 2ita )o!i e raz(i)"!" " o#e %#e e)#en$e %0!1 ' ! Ne)a !e pri,(!ena )o%na re* 1 5ri,(!ena )o%na re ni!e #a(i%na 8ete)to#ana !e re/)alo% %odo!i a %ore%ciju "re&%e

>rimer* Ne)a !e k ' n G

Ne)a !e pri,(!ena )o%na re* 1 5ri,(!ena )o%na re ni!e #a(i%na 8ete)to#ana !e re/)a

a li "re&%a moe biti %ori"o!ana. Ne ,o4e,o 2iti i"rni. 1' ' ' ' i(i a) G 2ita ,o4e 2iti preneto a re/)o, z2o pri"t#a /",a. 5o/to !e a,o !e%an 2it raz(iit iz,e:" pri,(!ene )o%ne rei i rei ' (e%i %a !e%01' 1 8#a 2ita !e raz(i)e iz,e:" 1 i 111' pa !e %01'111 Tri 2ita !e raz(i)e a 1111' pa !e %01'1111 ;etiri 2ita raz(i)e !e a 111' pa !e %01'111

Na!#ero#atni!e !e %a !e po(ata )o%na re Iz(az iz %e)o%era !e 2(o) po%ata)a 3 5ra#i(o %e)o%o#an!a* Kao po(at" )o%n" re "zeti na!2(i4" )o%n" re pri,(!eno! )o%no! rei 0",i(" Va,ino#o rato!an!a a/to !e o#o pra#i(o ipra#no? Ko(i)o !e ,an!e #ero#atno %a e %oo%e %#e re/)e neo !e%na?Qzeti%a !e ER S it Error Rate 0#ero#atno


31/76

Q)"pan 2ro! )o%ni7 rei !e G ' o% )o!i " #a(i%ne.

O% D neipra#ni7 )o%ni7 rei' i,a rato!an!e 1 o% #a(i%ni7 )o%ni7 rei. Q D ("a!e#a rato!an!e neipra#ni7 )o%ni7 rei o% #a(i%ne rei !e . 5ri!e,ni) ne zna )o!" re %a o%a2ere' O%(")a o )ore)$i!i e ne ,o4e %oneti' =re/)a e ,o4e %ete)to#ati' a(i ne i )orio#ati3 a)(!"a)* " o#o, pri,er" re/)a 1 2ita e ,o4e )orio#ati' a re/)a 2ita e ,o4e a,o%ete)to#ati3lo% %odo!i a %ore%ciju "re&%e

a )o% )o!i e ato!i o% )o%ni7 rei oznaeni7 a wi' ,ini,a(no Ve,ino#o rato!an!e e%e&ni/e )ao

5ri,er* !1 1111' ! 111' dmin Ma)i,a(an 2ro! re/a)a )o!e e ,o" )orio#at!e

>i,2o( znai zao)r"4i#an!e na pr#i ,an!i inti%4er3

a na/ pri,er tcorr 0-1U 1' /to znai %a re/)a 1 2ita ,o4e 2iti )orio#ana3 =re/)a 2ita izaz#a#e re/)e 2ita ,o" e %ete)to#ati. =re/)a 2ita ,o4e izaz#ati pore/n" %ete)$i!"3

>(e%e


32/76

Ko%o#an!e ,o4e o,o"top-an%-@ait ARf =o-a$)-N ARf >e(e$ti#e Repeat ARf 5roto)o( za (an!e pot#r%a 0A$) " #i, ARf proto)o(i,a 2aziran !e na )(izno, prozor"3 5roto)o( TC5 )oriti !e%n" o% #erzi!a =o-a$)-N proto)o(a3

Ko-ac%-4 O =o-a$)-N proto)o( /a(!e )","(ati#ne pot#r%e pri!e,a pa)eta

etranmiija #a%eta u $C>


33/76

TC5 iz#or #r/i retran,ii!" pa)eta )a%a pretpota#i %a !e pa)et iz"2(!en*13 Ne,a pot#r%e %a !e pa)et pri,(!en' i(i )a%a ite)ne #re,e %e&niano za e)an!e pot#r%e0ti,eo"t3 i/e pot#r%a e pri,i za iti pa)et po%ata)a

>rijem !i&etru%ih #ot!rda

A)o e pri,i #i/e pot#r%a " niz" za iti pa)et' ,atra e %a !e pa)et iz"2(!en3 Ta%a TC5 #r/i retran,ii!" ono /to ,atra %a !e iz"2(!eno' ne e)a!"e,ent >#a)a #eza i,a a,o 1 ;ao#ni)3erenje !remena retanmiije

a(!e e +a!( o% Arona )a Neon" 3 I)(!"i e Et7ernet #eza Arona " to)" tran+era i ,eri#re,e po)"/a!a retran,ii!e e,enta za )o!i ni!e ti(a pot#r%a33erenje !remena retanmiije7 inter#retacija reultata Inter#a(i iz,e:" po)"/a!a retran,ii!e " 0" e$ 1.0', ', , 12, 2, O, ,, , , , ,. re,e iz,e:" retran,ii!a e "%#otr"a#a 0E6ponentia( a$)o^ A(orit7, ;ao#ni) ne po#e


34/76

LEKCIJA H* ero#atno


35/76

A)o " %#a %oa:a!a A i tatiti)i neza#ini' on%a

5r0Aj 5r0A5r0' Aj enera(no ni" prazni )"po#i3

>rimer a!inih do"aAaja

Q tor2i i,a H (opti$a3 (opti$e " $r#ene a (opti$e " p(a#e3 Iz#(ai,o 1 (opti$" ("a!no iz tor2e 02ez za,ene i(i #ra


36/76

ero#atno


37/76

/olmo"oro!i a%iomi An%re! Ko(,ooro# 01B-1BD R")i ,ate,atiar Tri a)io,a #ero#atno


38/76

>tri)tna rani$a prenoa in+or,a$i!a Ko(,ooro#a )o,p(e)not Mera a(orita,)o in+or,a$iono a%r4a!a ne)o niza F"n)$i!a )o!a e ne ,o4e izra"nati

eterminiti@%a informacija I0 Raz,atra e )"p a(ternati#a*X Wa1, a2, a', Aa5X Ka%a !e i7o% a'' )a4e,ox = a' I0X !e )o(iina in+or,a$i!e potre2na %a pe$i&$ira i7o%X I0X (oX Je%ini$a !e 2it 02inar9 %iit O%no 2ita i 2inarni7 $i+ara !e W' 1XX B )"p #i7 2inarni7 nizo#a %"4ine 2ita I0X (o (o 2ita

Mea informacija i teorije !ero!atno'eR Iznena:"!"


39/76

)o!i eneri/e 6' o%a2er" oni )o!i e za"ta#e )a% izra"na!" 6' i iza2ere ona! )o!i !e na!,an!i3Neati#no re/en!e pro2(e,a za"ta#(!an!a 07a(tin pro2(e, %o)az"!e %a !e po%#"eni )ora)neo%re:en3

Ta)o !e i Ko(,ooro#a )o,p(e)not neo%re:ena3

Jormalna deBnicija /olmo"oro!e %om#le%notiQ(o#na Ko(,ooro#a )o,p(e)not *5Q(x?) = minR?#? C # q 0,1S and Q(#,) = xT=%e !e# opix 0)ao /to !e ne)i prora, i Qni#erza(na T"rino#a Ma/ina Q proiz#o%i

x )a%a %o2i!e# i ne)" %o%atn" in+or,a$i!"38r"i, rei,a' to !e na!)ra


40/76

/ri#tolo"ija7 terminolo"ija Kriptora&!a 0$r9ptorap79 Na")a o /i+ro#an!" i(i )ri#an!" ta!ni Kriptpoana(iza 0$r9ptana(9i Na")a o %e/i+ro#an!" por")a i(i ot)ri#an!" )o%a i /i+ara Kripto(oi!a 0$r9pto(o9 Ko,2ina$i!a )riptora&!e i )riptoana(ize

/ri#to"raBja* >)ri#eno pian!es*ifro!anje* Mate,ati)i pot"p$i ,o%i&)a$i!e po%ata)a' ta)#i %a ,o%i&)o#ane po%at)e ,o"proitati a,o )orini$i a o%o#ara!"


41/76

- za #a)i no#i )o% e t#r%i %a a !e ne,o"A8 " "/(e " I #et)irat.II #et)i rat* Kriptoana(iz" )orite o2e trane3 5o(!)i i ritan)i )riptoana(itiari " /i+r" Eni,a' za )o!" e ,atra(o %a !e nepro2o!na3 Koriti(i " #o!" eni!a(not' nepa4n!"Ne,a$a i ,e7ani)e prora"ne31BH* 8iue i Ve((,an pre%(a4" no#"' a,2i$iozn" i%e!" )riptora&!" a !a#ni, )(!"e,2aziran" na ra"nar)o, pro2(e," 0)o!i e (a)o %e&ni/e a te/)o re/a#a.1B* Ri#et' >7a,ir i A%(e,an 0R>A pre%(a4" %r"i ite, /i+ro#an!a 2aziran na !a#no, )(!"".1B* T#r%i e %a ne)e /e,e /i+ro#an!a ota!" nepro2o!ne i pore% ne#i:eni7 napa%a i "potre2e(!"%)i7 i ra"nar)i7 re"ra.1BD-ti7* >i"rnot Interneta pota!e #a4no pitan!e S CCA i"rnono /i+ro#an!e' CMA i"rnonipotpi' n"(to znan!e' e(e)tron)i no#a$' e(e)tron)o (aan!e I a")$i!e' o"#an!e pri#atnoti' 3338ANA>* Raz2i!an!e /i+ara e ne ,atra na!#a4ni!i, pretn!a,a " ra"nar)o, #et"3*ifro!anje i de&ifro!anje

>(e%eI>TEM*5 S )"p por")aC S )"p /i+rataK S )"p )(!"e#aE05'K C S +"n)$i!a /i+ro#an!a80C'K5 S +"n)$i!a %e/i+ro#an!a


42/76

/ri#toanalia7 na#ad na ono!u &ifrataKriptoana(itiar i,a /i+rate o% #i/e por")a' %o2i!ene iti, a(orit,o, za /i+ro#an!eKriptoana(itiar tre2a %are)ontr"i/e te)to#e /to #i/e por")a' i(i !o/ 2o(!e' %a re)ontr"i/e )(!" )o!i !e )ori/


43/76

5otre2an 2ro! )(!"e#a 0p_0p-1U *

/ri#toitem ja!nim %lju@em

5oznat ta)o:e )ao a(orita, !a#no )(!"a Raz(iiti " )(!"e#i za /i+ro#an!e i %e/i+ro#an!e Je%an )(!" e ne ,o4e izra"nati iz %r"o K(!" za /i+ro#an!e e zo#e !a#ni )(!"' a )(!" za %e/i+ro#an!e ta!ni )(!" 5re%noti* 2o(!i ,ena%4,ent )(!"e#a Ne%ota$i* pori!i' )o,p(e)ni!i 5ri,eri* R>A' 8iue-Ve((,an' E( =a,a(' it%3 5oznat ta)o:e )ao a(orita, !a#no )(!"a Raz(iiti " )(!"e#i za /i+ro#an!e i %e/i+ro#an!e Je%an )(!" e ne ,o4e izra"nati iz %r"o K(!" za /i+ro#an!e e zo#e !a#ni )(!"' a )(!" za %e/i+ro#an!e ta!ni )(!"

/lai@na %ri#to"raBja7 #a#ir i olo!%a 34UJE$S/ 3E4 0Cezaro#a i a&na /i+rai!e)ti#no pre(i)a#an!e S #a)i zna) por")e pre(i)a#a e " tano !e%an zna) /i+rata>UIUJE$S/ 3E4 0ienereo#a i 5(a9+airo#a /i+ra 5re(i)a#an!e 1 S n' #a)i zna)por")e pre(i)a#a e " !e%an o% n %oz#o(!eni7 zna)o#a' za#ino o% a(orit,a I %"4ine )(!"a>UIK3S/ 3E4 05(a9+airo#a i Vi(o#a /i+ra i!e)ti#no pre(i)a#an!e' pri e," e )aoono#na !e%ini$a)o!a e "ptit"i/e "zi,a niz o% #i/e zna)o#a 0po(ira,

ri"inalna Cearo!a &ifra


44/76

>#a)o (o#o por")e za,en!"!e e " /i+rat" tretr")t"ra rei e o"#a pri /i+ro#an!" Raz2i!a por")" na 2(o)o#e ite %"4ine % %+n % %z e(i)i pro2(e, !e +re)#en$i!a (o#a e't'a'o " npr3 na!e/VVL ULQVXNapa% 2r"ta(na i(a* Intenzi#no pretra4i#an!e- a)o !e )"p )(!"e#a %o#o(!no ,a(i po)"/a#a e a ,o"


45/76

%09' )1 NQL>@RJQ8ILM8%09' ) MTKRfITCVKLC%09' ) L>JfQ5V>=JK%09' ) KRI5TO=RAFIJA

Statiti@%i na#ad na Cearo!u &ifrui+rat* 5>VVL ULQVXFre)#en$i!a (o#a " /i+rat"*=31 V31 K31 O3R3 Q31 31Qpore:"!e e a +re)#en$i!o, (o#a " en(e)o, !ezi)"

Fre)#en$i!a (o#a " en(e)o, !ezi)"0iz#or 8ennin

+0$ !e +re)#en$i!a (o#a $ " /i+rat" v0i wx$xG+0$p0$-i [ )ore(a$i!a (o#a " en(e)o, !ezi)" i /i+rat"' "z pretpota#)" %a !e)(!" iv0i 31p0H-i \ 31p0-i \ 31p01-i \ 3p01-i \ \ 3p01-i \ 31p0-i \ 31p0G-i%e !e p06 +re)#en$i!a (o#a 6 " en(e)o, !ezi)" >TATI>TI;KA ANALIA*

Tra4i e ,a)i,a(na )ore(a$i!a]

Kore(a$i!a v0i za x i x G

REQLTAT ANALIE* i+rat S 5>VVL ULQVX Na!#ero#atni!i )(!" na 2azi vi H' v0i 3HH


46/76

por")a MYIIB JBVB3i 1' v0i 3HGpor")a3 P>5MWi ' v0i 3GGpor")a >MBBV WVLBKi 1' v0i 3GGpor")a WJ33K BKX3Z

Je%ina en(e)a +raza !e za i ' ta)o %a !e )(!" i(i 8

>erfe%tna tajnot (>erfect SecrecL)

Q(o#na #ero#atno


47/76

5ret7o%ni rez"(tat po)az"!e %a Cezaro#a /i+ra i,a per+e)tn" ta!not a)o e )oriti neza#ian )(!"za #a)i )ara)terpor")e )o!a e /i+r"!e3

5#ra!ljanje %ri#to"raf%im %lju@e!ima


48/76

/ri#to"raBja i ra@unari

F"n)$ionian!e a#re,eni7 )riptora+)i7 ite,a !e " potp"noti zano#ano na ,ate,ati)i,a(orit,i,a' a n!i7o#a i,p(e,enta$i!a e pro#o%i na ra"nari,a3

LEKCIJA D* Kriptora&!a - i,etrini 2(o)o#)i A(orit,i

A,eri)i Nationa- Yrea of Ztandard" 0N> zapoeo !e 1B3 o%3 prora, za/tite po%ata)aN> !e 1B3 rapiao !a#ni )on)"r za )riptoite,' a "(o#i,a* >i"rnot (e4i " )(!""' a ne " ta!noti a(orit,a. E&)anot. 5otp"na pe$i&)a$i!a i (a)o raz",e#an!e a(orit,a. E)ono,inot i,p(e,enta$i!e. 8ot"pnot #i, )orini$i,a. Mo" e6port (a

Na pono#(!eno, )on)"r" 1B3 o%ine po2e%io !e a(orita, )o!i !e raz#io ti, )riptora+a &r,eIM3Kara)teriti)e a(orit,a "*13 >i,etrian.3 (o)o#)i ori!entian.3 ano#an na "potre2i Feite(o#e ,re4e3A(orita, !e na)on iz,ena " )o!i,a !e "et#o#a(a A,eri)a na$iona(na aen$i!a za 2ez2e%not0N>A1BH3 o%ine pri7#a


49/76

+ES, SI3E$IV4 U/MS/I UKI$3

Ono#ni )ora$i a(orit,a 8E>*13 Ini$i!a(na per,"ta$i!a3 1H r"n%i o2ra%e po%ata)a 0pro/iren!e' `OR )(!"e,' "ptit"$i!a


50/76

3 a#r/na' in#erzna per,"ta$i!a

1H itera$i!a 8E> a(orit,a zano#ano !e na Feite(o#o! ,re4i

Ini$i!a(na i in#erzna per,"ta$i!a " &)ne' #r/e e pre,a ta2e(a,a


51/76


52/76

ES 7 >-%utije

Mo%erna )riptora&!a )oriti 2(o)o#e 2ita za /i+ro#an!eU%e/i+ro#an!e 5-)"ti!e 05-2o6 ' %e 5 potie o% per,"ta$i!a' #r/e tranpozi$i!" na ni#o" 2ita3 Mo" ei,p(e,entirati 7ar%#er)i i(i o+t#er)i' a(i !e 7ar%#er)a i,p(e,enta$i!a 2r4a3

SI3E$IV4I U/MS/I UKI$3I=enera(na /e,a n-2it y n-2it per,"ta$i!e


53/76

F"n)$i!a pro/iren!a niza o% 2ita pro/ir"!e %o niza o% D 2ita pre,a &)no! ta2e(i 0E Fi)naza#r/na per,"ta$i!a r/i e pre,a ta2e(i 5


54/76

+ES, SI3E$IV4 U/MS/I UKI$3 Qpotre2a )!"a " !e%no! o% 1H r"n%i

Kori/-)"ti!a 0>-2o6 za pret#aran!e D-2itno " -2itni niz3

Kori/-)"ti!a 0>-2o6 za pret#aran!e D-2itno " -2itni niz3 Koriti e D >-)"ti!a3

Jormiranje %lju@e!a7 O%2a$"!" e 2ito#i parnoti 0D'1H'333'H


55/76

GH-2itni )!" e %e(i na a D 2ita 0L'R 1H D-2itni7 pot)(!"e#a e +or,ira raz(iiti, po,eran!e, " (e#o L i R 0za 1 i(i 2ita

5oetna per,"ta$i!a )(!"a


56/76

>(a2i )(!"e#i eneri/" !e%na)e pot)(!"e#e " #a)o! r"n%i111111111F1F1F1FEEEEEEEEF1F1F1F1FEFEFEFEFEFEFEFE8e(i,ino (a2i )(!"e#i eneri/" a,o raz(iita )(!"a1FE1FE1FE1FE i FE1FE1FE1FE11FE1FEEF1EF1 i EF1EF1F1EF1E1E1E1F11F1 i E1E1F11F111FFE1FFEEFEEFE i FE1FFE1FFEEFEE11F11F1E1E i F11F1E1E1EFEEFEF1FEF1FE i FEEFEEFEF1FEF15oten$i!a(no (a2i )(!"e#i eneri/" a,o pot)(!"a

a %e/i+ro#an!e 8E> )oriti e iti a(orita, )ao i za /i+ro#an!e3 5ot)(!"e#i e )orite o2rn"ti, re%o(e%o,E+e)at (a#ine " 8E>* 0a pro,ena 2ita " te)t"' )(!" !e iti 02 pro,ena 2ita " )(!""' te)t !e iti 5o(e %o r"n%e pri2(i4no po(o#ina 2ita /i+rata !e pro,en!ena


57/76

ES %ri#toanalia

8E> S 7ar%#er)a re/en!a za )riptoana(iz"* Ra"nar )o/ta o)o G Ot)ri#a )(!" za GH ao#a Ipit"!e DD ,i(i!ar%i )(!"e#a " e)"n%i

+ES, diferencijalna %ri#toanalia

Ono#na i%e!a*


58/76

Q "/tini to !e napa% na o%a2ran" por")"' pretpota#(!a e %a napa%a pozna!e par por")a-/i+rat Raz(i)a* {5 51 | 5' { C C1 | C 8itri2"$i!a { C a)o !e poznato { 5 ,o4e %a ot)ri!e in+or,a$i!" o )(!"" 0ne)e o% 2ito#a )(!"a 5o(e ot)ri#an!a ne)i7 2ito#a )(!"a' )oriti e r"2a i(a za ot)ri#an!e ota(i7 2ito#a3 Iznena:"!" !e otporan na %i+eren$i!a(n" )riptoana(iz". Q #re,e pro!e)to#an!a 8E> pro!e)tanti " zna(i za %i+eren$i!a(n" )riptoana(iz"' pa " a "ini(iotporni,na o#" #rt" napa%a. 5roti# 8E> )o!i i,a D r"n%i potr2no !e D poznati7 paro#a por")a-/i+rat. 5roti# 8E> )o!i i,a 1H r"n%i za napa% !e potre2no poznati7 paro#a por")a-/i+rat. 5ra)tino3 8i+eren$i!a(na )riptoana(iza ni!e e&)ana proti# 8E>3 =(a#na (a2ot 8E> !e )rata))(!"]uina %lju@a a &ifro!anje

5re 1BBH3 o%ine " >A8 iz#ozna %oz#o(a za )riptoite,e orania#a(a !e %"4in" )(!"a na 2ita. 8ana' i %a(!e e ,atra ne(ea(no, iz#oz )ripto o+t#era a )(!"e, %"4i, o% H 2ita' 2eza"toriza$i!e #(a%e >A8. 3 o%ine !e pre%(o4eno %a e %"4ina )(!"a (ea(ni7 e)portni7 ite,a po#e


59/76

ES EWI3I EC* E(e$troni$ Co%e2oo) Mo%e 0por")a e %e(i na 2(o)o#e o% H 2ita

CC* Cip7er (o$) C7ainin 0/i+rat pret7o%no 2(o)a )oriti e za /i+ro#an!e nare%no 2(o)a

CF* Cip7er Fee%a$) 0ot#oreni te)t e ita 2it po 2it' !1' i(i zna) po zna)' !D


60/76

OF* O"tp"t Fee%a$) 0re4i, (ian CF' raz(i)a !e " "(azno, po%at)" za +"n)$i!" e

Simetri@an %ri#toitem ES NI>T 0Nationa( Intit"te o+ >tan%ar% an% Te$7no(o9 ->A8 !e 13 o%ine o2!a#i(a tan%ar% zai,etrine)riptora+)e a(orit,e AE> 0A%#an$e% En$r9ption >tan%ar% )o!i tre2a %a za,eni pret7o%nitan%ar% 8E>08ata En$r9ption >tan%ar%3 a AE> a(orita, iza2ran !e Ri!n%ae( a(orita, )oa " rea(izo#a(i e(i!)i itra4i#ai* Joan8ae,en i in$ent


61/76

Ri!,en3 Ri!n%ae( pre%ta#(!a 2(o) /i+ar)i a(orita, )o!i po%r4a#a pro,en(!i#" %"4in" 2(o)a in+or,a$i!e01D' 1B i GH 2ita )ao i pro,en(!i#" %"4in" )(!"a 01D' 1B i GH 2ita3Kora$i AE> /i+ro#an!a*13Ne(inearna za,ena 2a!to#a po,o"23 9te>"2neza#ino tran+or,i/e #a)i 2a!t ,atri$e >tate335ro,ena ,eta 2a!to#a "n"tar ito re%a 0>7i+tRo3 >7i+tRo $i)(i)i po,era #rte ,atri$etate33Tran+or,a$i!a 2a!to#a "n"tar ite )o(one 0Mi6Co(",n3 Mi6Co(",n ,no4i )o(one ,atri$e>tate &)ni, po(ino,o,33>a2iran!e po ,o%"(" %#a a o%o#ara!"


62/76

LEKCIJA B* Kriptora&!a - ai,etrini 2(o)o#)i

A(orit,i

*IJM4?E - UKI$3I S ?M4I3 /U?5VE3

a&to e %oriti %ri#to"raBja a ja!nim %lju@em. Raz#i!ena !e " $i(!" re/a#an!a %#a )(!"na pro2(e,a* itribucija %lju@e!a S )a)o %a e o2ez2e%i i"rna )o,"ni)a$i!a' enera(no' 2ez potre2e %ae o(an!a,o naCentar za %itri2"$i!" )(!"e#a

i"italni #ot#ii S )a)o %a e #eri&)"!e %a !e por")a ti(ao% na#e%eno po/i(!ao$a ne%irn"ta a !a#n" "potre2" " raz#i(i @7it&e(% 8iue i Martin Ve((,an 0>tan+or% Qni#erzitet'1BH3 O% rani!e !e poznata " )riptora+)o!

/ara%teriti%e %ri#to"raBje a ja!nim %lju@em A(orit,i )riptora&!e a !a#ni, )(!"e, 2azirani " na %#a )(!"a' i!e " )ara)teriti)e* Ra"nar)i !e neiz#o%(!i#o %a e o%re%i )(!" za %e/i+ro#an!e a)o e zna a(orita, i )(!" za/i+ro#an!e Ra"nar)i !e (a)o %a e /i+r"!eU%e/i+r"!e por")a )a%a " poznati re(e#antni )(!"e#i za/i+ro#an!eU%e/i+ro#an!e i(o )o!i o% )(!"e#a 0!a#ni i(i ta!ni ,o4e e )orititi za /i+ro#an!e' a %r"i e on%a ,o4e )orititza %e/i+ro#an!e

0" ne)i, /e,a,a*IJM4?E SI3E$IV4I UKI$3I


63/76

3atemati@%e ono!e al"oritma S 8a 2i e raz",eo R>A a(orita, potre2no !e pozna#ati (e%e


64/76

8e&ni$i!a * Na!#eA ?O!(ero#a Teore,a* ao(n)mod 4 F 1%e !e "cd(a:4)F 1R>A a(orita,*


65/76

4 F # G Po(4)F(#-1)(P-1)5a4(!i#o o%a2rani e i % %a 2i 2i(i in#erzni po mod o(4)Ta%a !e e G d F 1%Go(4) za ne)o )Ta)o %a !e * Cd F (3e)d F 31%Yo(4) F 31G(3(n))%F 31G(1)% F 31 F 3 mod 4R>A 5ri,er 1

Iza2eri prote 2ro!e#e p i *pF1Z i !F113 Izra"na! n* n Fp"! F1ZG11F1[Z3 Izra"na! 7 o(n)F(p#1)(!$1)F16G10F1603 Iza2eri )(!" e 0"cd(e:160)F1)7 eFZG3 O%re%i )(!" % 0%"e&1 mod 160 \ % X 160) re%not % !e dF2]: jer je 2]GZF161F 1G1601H3 O2!a#i !a#ni )(!" KQ* /5FZ:1[Z;3 ;"#a! ta!ni' pri#atni )(!" KR* /F2]:1Z:11;0n5ri,er /i+ro#an!aU%e/i+ro#an!a*Ne)a !e %ata por")a 3 F [[ . 0DD1Di+ro#an!e* C F [[Z mod 1[Z F 118e/i+ro#an!e* 3 F 112] mod 1[Z F [[Im#lementacija S%ri#toitema (1)Oo2a A /a(!e /i+ro#an" por")" VELLO O oo2i ' oo2a #r/i %e/i+ro#an!e por")eIm#lementacija S %ri#toitema (2)Oo2a 2ira# i [ GB i ra"na

ati, o%a2ere e 1 i po,o


66/76

Im#lementacija S %ri#toitema (N)8o2i!eni /i+rat oo2a A /a(!e oo2i

01, 2, ', , G)=(G'G'1H'H'1HBB)=GG1 HH1HBB

Oo2a po,o


67/76

3 5otpii#an!e5or")a

>UE3 SI3E$IV4ID SIS$E3 *IJM4?_ A' )o!i /a(!e /i+ro#an" por")" )a )oriti !a#ni )(!"' )o!i pripa%a ' zna!"


68/76

>re#oru%a a duinu %lju@a S /ri#toitema

_ Qo2ia!ena %"4ina )(!"a a(orit,a R>A !e 1 2ita_ i+ro#an!e a )(!"e, %"4ine G1 2ita #i/e e ne ,atra i"rni,_ a potp"n" i"rnot prepor""!e e %"4ina )(!"a D' o%nono BH 2ita re,e /i+ro#an!a i %e/i+ro#an!a !e %"4e a)o " )(!"e#i %"4i_ obar je onaj %lju@ %oji je do!oljno du"a@a% da bi bio i"uran: a do!oljno %rata% da bibio #o"odan au#otrebu a tano!i&ta !remena #otrebno" a &ifro!anjede&ifro!anje5#ra!ljanje %lju@e!ima

Si"urnot &ema a ja!nim %lju@em Kao i )o% i,etrini7 ite,a 2r"ta(na i(a ipiti#an!a ,o"


69/76

Si"urnot S Mo"a,o pri,a(a$ )o,e !e in+or,a$i!a na,en!ena ,o4eraz",eti pri,(!en" por")"5ot#r:i#an!e por")e 0Meae A"t7enti$ationIz#or po%ata)a8a (i e ,o4e poti


70/76

>ot!rAi!anje identiteta %orini%a (5er uthentication)Qer A"t7enti$ation #eri&)a$i!a i%entiteta

Qpotre2a ta!no )(!"aKoriti e i,etrian )(!"Koriti e !e%no)ratnoKo,"ni)a$i!a !e %#o,erna

Qpotre2a !a#no )(!"a


71/76

i"italni #ot#i8iita(ni, potpio, e oi"ra#a po"z%ani %o)az i%entiteta potpini)a' i %o)az poto!an!apo%ata)a35ro2(e,i )o!i e !a#(!a!"* i+ar)i ite,i a !a#ni, )(!"e#i,a' )ao I ite,i za %iita(ni potpi ,o" 2iti #eo,a pori Ta)o:e' " ne)i, ("a!e#i,a' %"4ina %iita(no potpia ,o4e 2iti #e


72/76

Mo4e %a #eri&)"!e a,o interitet po%ata)a

I!od #oru%e7 hah fun%cija

Va7 +"n)$i!a !e ,ate,ati)a !e%naina )o!a )reira iz#o% o% oriina(ne por")e. Iz#o% por")e e )oriti za enerian!e !e%int#eno potpia )orite


73/76

MeriB%acija di"italno" #ot#ia +hah, al"oritmom 5ro$e #eri&)a$i!e e o%#i!a " (e%e


74/76

Dah fun%cija7 3er%le-am"ard %ontru%cija (i!or wi%i#edia)

3C - 3ea"e uthentication Code (I!or lajda7 wi%i#edia)

3C - 3ea"e uthentication Code

MAC /e,a !e +a,i(i!a 7a7-a' )o!a e )oriti za pot#r:i#an!e i%entiteta po/i(!ao$a MAC CK0M 5o/i(!a(a$ i pri,a(a$ )orite iti )(!" K


75/76

5o/i(!a(a$ /a(!e 0M' C)0M 5ri,a(a$ pri,a 0`' i #eri&)"!e %a !e CK0`' a)o !e ta)o on%a e por")a pri7#ata )ao %a !e%o/(a o%, na#e%eno po/i(!ao$a 8a 2i 2i(o i"rno' napa%a ne ,e %a 2"%e " ,o"


76/76

)ZG1 8o%atna %"4ina* H-2ita pre%ta#(!a!" reprezenta$i!" %"4ine oriina(ne por")e' po(e%o%a#an!atota(na%"4ina )ZG1 2itaIni$i!a(ni M8 2a+er* 1D-2itni 2a+er a%r4i ,e:"rez"(tate I )onaan 0 6 -2itni reitri' AC85or")a e o2ra:"!e po 2(o)o#i,a %"4ine G1 2ita* r"n%e o2ra%e>(ina tr")t"ra' raz(iite (oi)e +"n)$i!e >>#a)a r"n%a "zi,a "(az G1 2ita I #re%noti reitara AC8' zati, ,o%i&)"!e #re%notreitara AC8Iz(az* iz po(e%n!e r"n%e 1D-2itni iz#o%3N7 dobre trane>#a)i 2it por")e "tie na #a)i 2it iz#o%a 07a7 $o%eKo,p(e)no pona#(!an!e ono#ni7 +"n)$i!a,a(a #ero#atnotan%ar% 0FI5> 5Q 1DIz(az* 1H-2itni iz#o% por")e 0%iet

3N - SD-1eo,a (ini>i"rnot* Iz#o% por")e >VA !e 2ita %"4i>VA !e 2ez2e%ni!iOtpornot na )o(izi!" !e znatno #eVA i,a #i/e a(orita,)i7 )ora)a %a proiz#e%e1H-2itni iz(az >VA !e pori!iJe%nota#not i )o,pa)tnot* M8G i,a #i/e interni7 )ora)a a pro,ena,a a%r4a!a 2a+era >VA !e !e%nota#ni!i>rimer &ifro!anja fajla %ori&'enjem #aword-a

Documents

TEORIJA INFORMACIJA 1.docx