Teorija Polja

UvodGradijent skalarnog polja

Divergencija vektorskog poljaRotor vektorskog polja

Integralne teoreme u teoriji polja

Repetitorijum teorije polja

Aleksandar Cocic

Aleksandar Cocic Repetitorijum teorije polja




Background ...

Fluid - prikaz na mikro nivou ...

Fluid se sastoji od molekula koji se haoticno krecu koji pri tomkretanju se medjusobno sudaraju.

Vazduh na temperaturi 20 C i atmosferskom pritisku: srednjabrzina kretanja molekula v = 500m/s (!) i pri tome u svakojsekundi ostvari 5 · 109 (!!) sudara sa ostalim molekulima.

Ako hocemo egzaktnu analizu - treba pratiti kretanje svakogmolekula ili grupe molekula (kineticka teorija gasova imatakav pristup)!

Ali ... u kocki stranice 1 mm na normalnim uslovima nalazi se2.504 · 1016 molekula vazduha!!





Background ...










Background ...










Background ...





Ali ...

u kocki stranice 1 mm na normalnim uslovima nalazi se2.504 · 1016 molekula vazduha!!





Background ...










Background

Dakle, potpuno je opravdano da smatramo da za fluid kojiposmatramo vazi pretpostavka o njegovoj neprekidnosti -kontinuumu!

Fluid - makroskopski pristup

Zanima nas kako se menjanju fizicke velicine koje lakomozemo da izmerimo (pritisak, temperatura, gustine), tj. staje posledica kretanja i sudara molekula na makro-nivou

Pretpostavka o kontinuumu je osnovna pretpostavka koja se uvodipri proucavanju mehanike fluida!





Sta je polje?

Polje je kontinualna raspodela neke fizicke velicine opisanakontinualnom funkcijom prostornih koordinata i vremena.

Polje koje se posmatra moze biti

neograniceno

M (x, y, z)

z

x

y

ograniceno





Tipovi polja

U zavisnosti od toga kakvog je tipa fizicka velicina, razlikujemo:

skalarna poljanpr. raspodela temperature u prostoriji - T = T (x, y, z, t)

vektorska poljanpr. brzina u jednom delu reke cije kretanje posmatramo~v = ~v(x, y, z, t)

tenzorska poljanpr. naponsko stanje u fluidu P = P(x, y, z, t)





Karakteristike zajednicke za sve tipove polja

Postoje dve osnovne karakteristike zajednicke za sve tipove polja:

stacionarna (nestacionarna) poljaSva polja u prethodno navedenim primerima su nestacionarnajer su funkcija vremena. Kod stacionarnih polja vrednostfunkcije (skalarna, vektorska ili tenzorska) koja opisuje to poljese u svim njegovim tackama ne menjaju sa vremenom.

homogena (nehomogena) poljaTakodje, sva polja u prethodno navedenim primerima su inehomogena, jer vrednost funkcije koje opisuje polje zavisi odpolozhaja u polju. Ako u svim tackama polja odgovarajucafunkcija ima istu vrednost onda kazemo da se radi ohomogenom polju.





Primer skalarnog polja

Na slici je prikazano promena polja pritiska na automobilu prinjegovom kretanju. Sa plavom bojom su oznacene oblasti sanajnizim pritiskom, dok crvena boja predstavlja oblasti sanajvecim pritiskom.





Primer vektorskog polja

Na slici je prikazano polje brzine prilikom strujanja fluida ublizini cvrste povrsi.





Vazni pojmovi u teoriji polja

Tri vazna operatora koji se definisu u teoriji polja:

Gradijent (grad) skalarnog polja

Divergencija (div) vektorskog polja

Rotor (rot)1 vektorskog polja

Sva tri operatora bice razmatrana sa dva stanovista:

kako ih sracunati za konkretno polje

fizicko znacenje ovih operatora

Nasa dalja razmatranja ce biti vezana za stacionarna polja!































Definicija. Hamiltov operatorPrimeriFizicko tumacenje gradijenta

Definicija gradijenta skalarnog polja

Ako je U = U(x, y, z) neko proizvoljno skalarno polje. Gradijenttog skalarnog polja u Dekartovim koordinatama se definise kao:

gradU =∂U

∂x~i +

∂U

∂y~j +

∂U

∂z~k (1)

Hamiltonov operator ili nabla

U teoriji polja se definise diferencijalno-vektorski operator:

∇ =~i∂

∂x+~j

∂

∂y+ ~k

∂

∂z(2)

koji se naziva Hamiltonov operator ili nabla.

⇒ gradU = ∇U (3)

Vazno - gradU je vektorsko polje!






Definicija gradijenta skalarnog polja

Ako je U = U(x, y, z) neko proizvoljno skalarno polje. Gradijenttog skalarnog polja u Dekartovim koordinatama se definise kao:

gradU =∂U

∂x~i +

∂U

∂y~j +

∂U

∂z~k (1)

Hamiltonov operator ili nabla

U teoriji polja se definise diferencijalno-vektorski operator:

∇ =~i∂

∂x+~j

∂

∂y+ ~k

∂

∂z(2)

koji se naziva Hamiltonov operator ili nabla.

⇒ gradU = ∇U (3)

Vazno - gradU je vektorsko polje!Aleksandar Cocic Repetitorijum teorije polja





Primeri sracuvanja gradijenta skalarnog polja

1. U = x2

∇U =

(∂

∂x~i +

∂

∂y~j +

∂

∂z~k

)x2 =

2x~i

2. U = r2 = x2 + y2 + z2

∇U =

(∂

∂x~i +

∂

∂y~j +

∂

∂z~k

)(x2 + y2 + z2) =

= 2x~i + 2y~j + 2z ~k = 2~r

3. U = ~c · ~r, gde je ~c = c1~i + c2

~j + c3~k konstantni vektor

∇U =

(∂

∂x~i +

∂

∂y~j +

∂

∂z~k

)(c1x + c2y + c3z) =

= c1~i + c2

~j + c3~k = ~c







1. U = x2

∇U =

(∂

∂x~i +

∂

∂y~j +

∂

∂z~k

)x2 = 2x~i

2. U = r2 = x2 + y2 + z2

∇U =

(∂

∂x~i +

∂

∂y~j +

∂

∂z~k

)(x2 + y2 + z2) =

= 2x~i + 2y~j + 2z ~k = 2~r

3. U = ~c · ~r, gde je ~c = c1~i + c2


∇U =

(∂

∂x~i +

∂

∂y~j +

∂

∂z~k

)(c1x + c2y + c3z) =

= c1~i + c2

~j + c3~k = ~c







1. U = x2

∇U =

(∂

∂x~i +

∂

∂y~j +

∂

∂z~k

)x2 = 2x~i

2. U = r2 = x2 + y2 + z2

∇U =

(∂

∂x~i +

∂

∂y~j +

∂

∂z~k

)(x2 + y2 + z2) =

= 2x~i + 2y~j + 2z ~k = 2~r

3. U = ~c · ~r, gde je ~c = c1~i + c2


∇U =

(∂

∂x~i +

∂

∂y~j +

∂

∂z~k

)(c1x + c2y + c3z) =

= c1~i + c2

~j + c3~k = ~c







1. U = x2

∇U =

(∂

∂x~i +

∂

∂y~j +

∂

∂z~k

)x2 = 2x~i

2. U = r2 = x2 + y2 + z2

∇U =

(∂

∂x~i +

∂

∂y~j +

∂

∂z~k

)(x2 + y2 + z2) =

= 2x~i + 2y~j + 2z ~k = 2~r

3. U = ~c · ~r, gde je ~c = c1~i + c2


∇U =

(∂

∂x~i +

∂

∂y~j +

∂

∂z~k

)(c1x + c2y + c3z) =

= c1~i + c2

~j + c3~k = ~c







1. U = x2

∇U =

(∂

∂x~i +

∂

∂y~j +

∂

∂z~k

)x2 = 2x~i

2. U = r2 = x2 + y2 + z2

∇U =

(∂

∂x~i +

∂

∂y~j +

∂

∂z~k

)(x2 + y2 + z2) =

= 2x~i + 2y~j + 2z ~k = 2~r

3. U = ~c · ~r, gde je ~c = c1~i + c2


∇U =

(∂

∂x~i +

∂

∂y~j +

∂

∂z~k

)(c1x + c2y + c3z) =

= c1~i + c2

~j + c3~k = ~c







1. U = x2

∇U =

(∂

∂x~i +

∂

∂y~j +

∂

∂z~k

)x2 = 2x~i

2. U = r2 = x2 + y2 + z2

∇U =

(∂

∂x~i +

∂

∂y~j +

∂

∂z~k

)(x2 + y2 + z2) =

= 2x~i + 2y~j + 2z ~k = 2~r

3. U = ~c · ~r, gde je ~c = c1~i + c2


∇U =

(∂

∂x~i +

∂

∂y~j +

∂

∂z~k

)(c1x + c2y + c3z) =

= c1~i + c2

~j + c3~k = ~c







1. U = x2

∇U =

(∂

∂x~i +

∂

∂y~j +

∂

∂z~k

)x2 = 2x~i

2. U = r2 = x2 + y2 + z2

∇U =

(∂

∂x~i +

∂

∂y~j +

∂

∂z~k

)(x2 + y2 + z2) =

= 2x~i + 2y~j + 2z ~k = 2~r

3. U = ~c · ~r, gde je ~c = c1~i + c2


∇U =

(∂

∂x~i +

∂

∂y~j +

∂

∂z~k

)(c1x + c2y + c3z) =

= c1~i + c2

~j + c3~k = ~c







1. U = x2

∇U =

(∂

∂x~i +

∂

∂y~j +

∂

∂z~k

)x2 = 2x~i

2. U = r2 = x2 + y2 + z2

∇U =

(∂

∂x~i +

∂

∂y~j +

∂

∂z~k

)(x2 + y2 + z2) =

= 2x~i + 2y~j + 2z ~k = 2~r

3. U = ~c · ~r, gde je ~c = c1~i + c2


∇U =

(∂

∂x~i +

∂

∂y~j +

∂

∂z~k

)(c1x + c2y + c3z) =

= c1~i + c2

~j + c3~k = ~c







4. U = f(r), gde je r =√

x2 + y2 + z2.

U je samo funkcija r ⇒ postoji df/dr. Takodje iU = f(x, y, z)

⇒ ∂f

∂x=

df

dr

∂r

∂x

∂f

∂y=

df

dr

∂r

∂y

∂f

∂z=

df

dr

∂r

∂z

⇒ ∇U =∂f

∂x~i +

∂f

∂y~j +

∂f

∂z~k =

df

dr

(∂r

∂x~i +

∂r

∂y~j +

∂r

∂z~k

)Kako je r =

√x2 + y2 + z2 ⇒ ∂r/∂x = x/r; slicno i za

parcijalne izvode r po y i z.

⇒ ∇U =df

dr

(x~i + y~j + z ~k

r

)=

df

dr

(~r

r

)







4. U = f(r), gde je r =√

x2 + y2 + z2.U je samo funkcija r ⇒ postoji df/dr. Takodje iU = f(x, y, z)

⇒ ∂f

∂x=

df

dr

∂r

∂x

∂f

∂y=

df

dr

∂r

∂y

∂f

∂z=

df

dr

∂r

∂z

⇒ ∇U =∂f

∂x~i +

∂f

∂y~j +

∂f

∂z~k =

df

dr

(∂r

∂x~i +

∂r

∂y~j +

∂r

∂z~k

)Kako je r =



⇒ ∇U =df

dr

(x~i + y~j + z ~k

r

)=

df

dr

(~r

r

)







4. U = f(r), gde je r =√


⇒ ∂f

∂x=

df

dr

∂r

∂x

∂f

∂y=

df

dr

∂r

∂y

∂f

∂z=

df

dr

∂r

∂z

⇒ ∇U =∂f

∂x~i +

∂f

∂y~j +

∂f

∂z~k =

df

dr

(∂r

∂x~i +

∂r

∂y~j +

∂r

∂z~k

)

Kako je r =√

x2 + y2 + z2 ⇒ ∂r/∂x = x/r; slicno i zaparcijalne izvode r po y i z.

⇒ ∇U =df

dr

(x~i + y~j + z ~k

r

)=

df

dr

(~r

r

)







4. U = f(r), gde je r =√


⇒ ∂f

∂x=

df

dr

∂r

∂x

∂f

∂y=

df

dr

∂r

∂y

∂f

∂z=

df

dr

∂r

∂z

⇒ ∇U =∂f

∂x~i +

∂f

∂y~j +

∂f

∂z~k =

df

dr

(∂r

∂x~i +

∂r

∂y~j +

∂r

∂z~k

)Kako je r =



⇒ ∇U =df

dr

(x~i + y~j + z ~k

r

)=

df

dr

(~r

r

)







4. U = f(r), gde je r =√


⇒ ∂f

∂x=

df

dr

∂r

∂x

∂f

∂y=

df

dr

∂r

∂y

∂f

∂z=

df

dr

∂r

∂z

⇒ ∇U =∂f

∂x~i +

∂f

∂y~j +

∂f

∂z~k =

df

dr

(∂r

∂x~i +

∂r

∂y~j +

∂r

∂z~k

)Kako je r =



⇒ ∇U =df

dr

(x~i + y~j + z ~k

r

)=

df

dr

(~r

r

)Aleksandar Cocic Repetitorijum teorije polja





Fizicko tumacenje gradijenta skalarnog polja

grad UUr

U+dUr+dr

dr

U=const

M

N

l

Slika 1: Izvod u pravcu lfunkcije U = U(~r)

Pri prelasku iz tacke M u N dolazido promene U:

dU =∂U

∂xdx+

∂U

∂ydy+

∂U

∂zdz (4)

Poslednju jednacinu mozemonapisati i kao:

dU = ∇U · d~r (5)

Neka je ds intenzitet vektora d~r

ds = |d~r|







grad UUr

U+dUr+dr

dr

U=const

M

N

l



dU =∂U

∂xdx+

∂U

∂ydy+

∂U

∂zdz (4)


dU = ∇U · d~r (5)


ds = |d~r|







grad UUr

U+dUr+dr

dr

U=const

M

N

l



dU =∂U

∂xdx+

∂U

∂ydy+

∂U

∂zdz (4)


dU = ∇U · d~r (5)


ds = |d~r|







grad UUr

U+dUr+dr

dr

U=const

M

N

l



dU =∂U

∂xdx+

∂U

∂ydy+

∂U

∂zdz (4)


dU = ∇U · d~r (5)


ds = |d~r|







grad UUr

U+dUr+dr

dr

U=const

M

N

l


dU = ∇U · d~r / : ds

dU

ds= ∇U · d~r

ds(6)

d~r

ds− jedinicni vektor pravca l

Promena U u odredjenom pravcu jejednaka projekciji gradU na tajpravac (komponenti vektora gradU utom pravcu)







grad UUr

U+dUr+dr

dr

U=const

M

N

l


dU = ∇U · d~r / : ds

dU

ds= ∇U · d~r

ds(6)

d~r

ds− jedinicni vektor pravca l

Promena U u odredjenom pravcu jejednaka projekciji gradU na tajpravac (komponenti vektora gradU utom pravcu)






Fizicko tumacenje gradijenta

Izvod dU/ds ima razlicitu vrednost za razlicite pravce!

Kada je ta vrednost maksimalna?

Odgovor: kada su vektori d~r i gradU kolinearni!

Fizicki smisao gradijenta skalarnog polja

U nekoj proizvoljnoj tacki skalarnog polja, vektor gradU pokazujepravac i smer najvece promene U posmatran iz te tacke, i njegovintenzitet je jednak izvodu funkcije U u tom pravcu.




























Graficki prikaz skalarnog polja

Povrsi U(x, y, z) = const se nazivaju ekviskalarne povrsi

Slika 2: Primer jednog skalarnog polja koje zavisi od dve koordinateU = U(x, y). Desni dijagram prikazuje konture U(x, y) = const






Graficki prikaz skalarnog polja

Povrsi U(x, y, z) = const se nazivaju ekviskalarne povrsi

Slika 2: Primer jednog skalarnog polja koje zavisi od dve koordinateU = U(x, y). Desni dijagram prikazuje konture U(x, y) = const






Jos jedna vazna osobina gradijenta skalarnog polja

Pomeramo se iz tacke u kojoj se nalazimo u neku blisku tacku(na rastojanju d~r). Neka su te taccke na istoj ekviskalarnojpovrsi U(x, y, z) = C1, gde je C1 = const.

Pri tome nema promene U ⇒ dU = 0!

Za bilo koje d~r/ds na ekviskalarnoj povrsi U(x, y, z) = const

gradU · d~rds

= 0 (7)

d~r/ds− pravca tangente na ekviskalarnu povrs!








Pri tome nema promene U ⇒

dU = 0!


gradU · d~rds

= 0 (7)











gradU · d~rds

= 0 (7)











gradU · d~rds

= 0 (7)








Vektor gradU je u svakoj tacki polja normalan na povrsiU(x, y, z) = const koje prolaze kroz te tacke.

grad U( )N

grad U( )M

M

N

U=C

U=C1

2

Slika 3: Ortogonalnost vektora gradU i ekviskalarnih povrsi U = const





DefinicijaPrimeriFizicko znacenjeLaplasijan skalarnog polja

Definicija divergencije

Definicija divergencije vektorskog polja

Ako je ~a(x, y, z) vektorska funkcija polozaja u trodimenzionalnomprostoru (vektorsko polje), tj. ~a = ax

~i + ay~j + az

~k, onda jedivergencija tog vektorskog polja definisana kao

div~a =∂ax

∂x+

∂ay

∂y+

∂az

∂z(8)

Ovaj izraz se moze napisati i koriscenjem operatora nabla (vidi jdn.4):

div~a = ∇ · ~a ≡ (∇, ~a) (9)

Vazno: Divergencija vektorskog polja je skalarno polje!






Definicija divergencije

Definicija divergencije vektorskog polja

Ako je ~a(x, y, z) vektorska funkcija polozaja u trodimenzionalnomprostoru (vektorsko polje), tj. ~a = ax

~i + ay~j + az

~k, onda jedivergencija tog vektorskog polja definisana kao

div~a =∂ax

∂x+

∂ay

∂y+

∂az

∂z(8)

Ovaj izraz se moze napisati i koriscenjem operatora nabla (vidi jdn.4):

div~a = ∇ · ~a ≡ (∇, ~a) (9)

Vazno: Divergencija vektorskog polja je skalarno polje!






Primeri odredjivanja divergencije

~a div~a

(1) x~i 1

(2) ~r = x~i + y~j + z ~k 3(3) ~r/r3 0(4) r~c, ~c = const (~r · ~c)/r

(3) Projekcija vektora ~r/r3 na x-osu je x(x2 + y2 + z2)−3/2.

∂

∂x

[x(x2 + y2 + z2)−

32

]= (x2 + y2 + z2)−

32 − 3

2x(x2 + y2 + z2)−

52 2x

= r−3(1− 3x2r−2)

Slicno je i za ostale projekcije, tako da je:

div(~r/r3

)= r−3

[3− 3(x2 + y2 + z2)r−2

]= r−3(3− 3) = 0






Primeri odredjivanja divergencije

~a div~a

(1) x~i 1

(2) ~r = x~i + y~j + z ~k 3(3) ~r/r3 0(4) r~c, ~c = const (~r · ~c)/r

(3) Projekcija vektora ~r/r3 na x-osu je x(x2 + y2 + z2)−3/2.

∂

∂x

[x(x2 + y2 + z2)−

32

]= (x2 + y2 + z2)−

32 − 3

2x(x2 + y2 + z2)−

52 2x

= r−3(1− 3x2r−2)

Slicno je i za ostale projekcije, tako da je:

div(~r/r3

)= r−3

[3− 3(x2 + y2 + z2)r−2

]= r−3(3− 3) = 0






Fizicki smisao divergencije brzine

Fizicki smisao divergencije brzine ce biti objasnjen kasnije, u tokusemestra, jer je u tu svrhu potrebno definisati:

Osnovne integralne teoreme teorije polja

Pojam materijalnog izvoda






Fizicki smisao divergencije brzine

Fizicki smisao divergencije brzine ce biti objasnjen kasnije, u tokusemestra, jer je u tu svrhu potrebno definisati:

Osnovne integralne teoreme teorije polja

Pojam materijalnog izvoda






Laplasijan: div(gradU)

gradU bilo kog skalarnog polja U je vektorsko polje!

Divergencija se moze odrediti za bilo koje vektorsko polje.

div(gradU) =?

∇ · (∇U) =

(~i

∂

∂x+~j

∂

∂y+ ~k

∂

∂z

)·((

~i∂

∂x+~j

∂

∂y+ ~k

∂

∂z

)U

)=

(∂2

∂x2+

∂2

∂y2+

∂2

∂z2

)U =

∂2U

∂x2+

∂2U

∂y2+

∂2U

∂z2

Laplasov operator (Laplasijan)

∆ ≡ ∇2 =∂2

∂x2+

∂2

∂y2+

∂2

∂z2(10)









div(gradU) =?

∇ · (∇U) =

(~i

∂

∂x+~j

∂

∂y+ ~k

∂

∂z

)·((

~i∂

∂x+~j

∂

∂y+ ~k

∂

∂z

)U

)=

(∂2

∂x2+

∂2

∂y2+

∂2

∂z2

)U =

∂2U

∂x2+

∂2U

∂y2+

∂2U

∂z2


∆ ≡ ∇2 =∂2

∂x2+

∂2

∂y2+

∂2

∂z2(10)









div(gradU) =?

∇ · (∇U) =

(~i

∂

∂x+~j

∂

∂y+ ~k

∂

∂z

)·((

~i∂

∂x+~j

∂

∂y+ ~k

∂

∂z

)U

)=

(∂2

∂x2+

∂2

∂y2+

∂2

∂z2

)U =

∂2U

∂x2+

∂2U

∂y2+

∂2U

∂z2


∆ ≡ ∇2 =∂2

∂x2+

∂2

∂y2+

∂2

∂z2(10)









div(gradU) =?

∇ · (∇U) =

(~i

∂

∂x+~j

∂

∂y+ ~k

∂

∂z

)·((

~i∂

∂x+~j

∂

∂y+ ~k

∂

∂z

)U

)

=

(∂2

∂x2+

∂2

∂y2+

∂2

∂z2

)U =

∂2U

∂x2+

∂2U

∂y2+

∂2U

∂z2


∆ ≡ ∇2 =∂2

∂x2+

∂2

∂y2+

∂2

∂z2(10)









div(gradU) =?

∇ · (∇U) =

(~i

∂

∂x+~j

∂

∂y+ ~k

∂

∂z

)·((

~i∂

∂x+~j

∂

∂y+ ~k

∂

∂z

)U

)=

(∂2

∂x2+

∂2

∂y2+

∂2

∂z2

)U =

∂2U

∂x2+

∂2U

∂y2+

∂2U

∂z2


∆ ≡ ∇2 =∂2

∂x2+

∂2

∂y2+

∂2

∂z2(10)









div(gradU) =?

∇ · (∇U) =

(~i

∂

∂x+~j

∂

∂y+ ~k

∂

∂z

)·((

~i∂

∂x+~j

∂

∂y+ ~k

∂

∂z

)U

)=

(∂2

∂x2+

∂2

∂y2+

∂2

∂z2

)U =

∂2U

∂x2+

∂2U

∂y2+

∂2U

∂z2


∆ ≡ ∇2 =∂2

∂x2+

∂2

∂y2+

∂2

∂z2(10)






Primeri odredjivanja Laplasijana. Laplasova jednacina

U ∆U

(1) r2 = x2 + y2 + z2 6(2) xy2z3 2xz3 + 6xy2z(3) 1/r 0

Laplasova jednacina

Parcijalna diferencijalna jednacina

∆U ≡ ∂2U

∂x2+

∂2U

∂y2+

∂2U

∂z2= 0 (11)

se zove Laplasova jednacina. Funkcije koje zadovoljavajuLaplasovu jednacinu se nazivaju harmonijske funkcije.






Primeri odredjivanja Laplasijana. Laplasova jednacina

U ∆U

(1) r2 = x2 + y2 + z2 6(2) xy2z3 2xz3 + 6xy2z(3) 1/r 0

Laplasova jednacina

Parcijalna diferencijalna jednacina

∆U ≡ ∂2U

∂x2+

∂2U

∂y2+

∂2U

∂z2= 0 (11)

se zove Laplasova jednacina. Funkcije koje zadovoljavajuLaplasovu jednacinu se nazivaju harmonijske funkcije.





DefinicijaKako sracunati rotor. PrimeriFizicki smisao rotoraPodela vektorskih polja

Rotor vektorskog polja

Primena operatora nabla na skalarno polje - gradijentskalarnog polja

Skalarni proizvod nable i vektorskog polja ~a - divergencijavektorskog polja

Vektorski proizvod nable i vektorskog polja ~a -∇× ~a ≡ [∇,~a] =?

Definicija rotora

Vektorski proizvod operatora ∇ i vektorskog polja ~a(x, y, z)

rot~a = ∇× ~a ≡ [∇,~a] (12)

naziva se rotor vektorskog polja ~a.










Definicija rotora


rot~a = ∇× ~a ≡ [∇,~a] (12)











Definicija rotora


rot~a = ∇× ~a ≡ [∇,~a] (12)











Definicija rotora


rot~a = ∇× ~a ≡ [∇,~a] (12)







Razvijeni oblik formule za rotor - Dekartove koordinate

rot~a =

∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k∂∂x

∂∂y

∂∂z

ax ay az

∣∣∣∣∣∣ ← (Zapamtiti na ovaj nacin)

=

(∂az

∂y− ∂ay

∂z

)~i +

(∂ax

∂z− ∂az

∂y

)~j +

(∂ay

∂x− ∂ax

∂y

)~k

~a ∇× ~a

(1) −y~i + x~j 2~k

(2) x2y2 ~k 2x2y~i− 2xy2~j







rot~a =

∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k∂∂x

∂∂y

∂∂z

ax ay az


=

(∂az

∂y− ∂ay

∂z

)~i +

(∂ax

∂z− ∂az

∂y

)~j +

(∂ay

∂x− ∂ax

∂y

)~k

~a ∇× ~a

(1) −y~i + x~j 2~k

(2) x2y2 ~k 2x2y~i− 2xy2~j







rot~a =

∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k∂∂x

∂∂y

∂∂z

ax ay az


=

(∂az

∂y− ∂ay

∂z

)~i +

(∂ax

∂z− ∂az

∂y

)~j +

(∂ay

∂x− ∂ax

∂y

)~k

~a ∇× ~a

(1) −y~i + x~j 2~k

(2) x2y2 ~k 2x2y~i− 2xy2~j






Fizicki smisao rotora

Posmatrajmo telo koje rotira konstantnom ugaonom brzinom ωoko ose l

P

O

ΩR

v

θ

l

Slika 4: Fizicki smisao rotora

ω = |~Ω|

~R = x~i + y~j + z ~k

~Ω = Ωx~i + Ωy

~j + Ωz~k

Brzina u tacki P je:

|~v| = ω|~R| sin θ = |~Ω||~R| sin θ

= |~Ω× ~R|








P

O

ΩR

v

θ

l


ω = |~Ω|

~R = x~i + y~j + z ~k

~Ω = Ωx~i + Ωy

~j + Ωz~k


|~v| = ω|~R| sin θ = |~Ω||~R| sin θ

= |~Ω× ~R|








P

O

ΩR

v

θ

l


ω = |~Ω|

~R = x~i + y~j + z ~k

~Ω = Ωx~i + Ωy

~j + Ωz~k


|~v| = ω|~R| sin θ = |~Ω||~R| sin θ

= |~Ω× ~R|








P

O

ΩR

v

θ

l


ω = |~Ω|

~R = x~i + y~j + z ~k

~Ω = Ωx~i + Ωy

~j + Ωz~k


|~v| = ω|~R| sin θ = |~Ω||~R| sin θ

= |~Ω× ~R|







~v = ~Ω× ~R =

∣∣∣∣∣∣~i ~j ~kΩx Ωy Ωz

x y z

∣∣∣∣∣∣= (Ωyz − Ωzy)~i + (Ωzx− Ωxz)~j + (Ωxy − Ωyx)~k

Rotor ~v je:

rot~v ≡ ∇× ~v =

∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k∂∂x

∂∂y

∂∂z

Ωyz − Ωzy Ωzx− Ωxz Ωxy − Ωyx

∣∣∣∣∣∣rot~v = 2Ωx

~i + 2Ωy~j + 2Ωz

~k = 2~Ω







~v = ~Ω× ~R =

∣∣∣∣∣∣~i ~j ~kΩx Ωy Ωz

x y z

∣∣∣∣∣∣= (Ωyz − Ωzy)~i + (Ωzx− Ωxz)~j + (Ωxy − Ωyx)~k

Rotor ~v je:

rot~v ≡ ∇× ~v =

∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k∂∂x

∂∂y

∂∂z

Ωyz − Ωzy Ωzx− Ωxz Ωxy − Ωyx

∣∣∣∣∣∣rot~v = 2Ωx

~i + 2Ωy~j + 2Ωz

~k = 2~Ω







Fizicki smisao rotora brzine - obrtanje krutog tela

Ugaona brzina obrtanja tela je jednaka polovini rotora brzinekretanja u bilo kojoj tacki tela.

~Ω =1

2∇× ~v

Fizicki smisao rotora brzine - mehanika fluida

Rotor primenjen na polje brzine odredjuje novo vektorsko polje -polje vrtloznosti ~ω = ~ω(x, y, z):

~ω =1

2∇× ~v

Vrtloznost predstavlja ugaonu brzinu obrtanja fluidnog delica.







Fizicki smisao rotora brzine - obrtanje krutog tela

Ugaona brzina obrtanja tela je jednaka polovini rotora brzinekretanja u bilo kojoj tacki tela.

~Ω =1

2∇× ~v

Fizicki smisao rotora brzine - mehanika fluida

Rotor primenjen na polje brzine odredjuje novo vektorsko polje -polje vrtloznosti ~ω = ~ω(x, y, z):

~ω =1

2∇× ~v

Vrtloznost predstavlja ugaonu brzinu obrtanja fluidnog delica.






Podela vektorskih polja na osnovu vrednosti divergencije irotora

div~v 6= 0 i rot~v 6= 0 - slozeno polje

div~v 6= 0 i rot~v = 0 - potencijalno (nevrtlozno) polje

div~v = 0 i rot~v 6= 0 - solenoidno polje

div~v = 0 i rot~v = 0 - Laplasovo polje



































Teorema Gaus-Ostrogradskog


Posmatra se zapremina V koju ogranicava zatvorena povrs A. nekifluid.

A

V

dA

n

f

Slika 5: Kontrolna zapremina

Karakteristike polja f na nekojzatvorenoj povrsi A supovezane sa karakteristikamatog polja u zapremini Vogranicenoj tom povrsi

Opsti oblik teoreme

∮A

(~nf) dA =

∫V

(∇f) dV (13)







Posmatra se zapremina V koju ogranicava zatvorena povrs A. nekifluid.

A

V

dA

n

f

Slika 5: Kontrolna zapremina

Karakteristike polja f na nekojzatvorenoj povrsi A supovezane sa karakteristikamatog polja u zapremini Vogranicenoj tom povrsi

Opsti oblik teoreme

∮A

(~nf) dA =

∫V

(∇f) dV (13)







f = U - skalarna funkcija∮A

U~n dA =

∫V∇U dV ⇐⇒

∮A

U~n dA =

∫V

gradU dV

(14)

f = ~v - vektorska funkcija∮A

~v·~n dA =

∫V∇·~v dV ⇐⇒

∮A

~v · ~n dA =

∫V

div~v dV

(15)







f = U - skalarna funkcija∮A

U~n dA =

∫V∇U dV ⇐⇒

∮A

U~n dA =

∫V

gradU dV

(14)

f = ~v - vektorska funkcija∮A

~v·~n dA =

∫V∇·~v dV ⇐⇒

∮A

~v · ~n dA =

∫V

div~v dV

(15)






I na kraju ...

Detaljniju analizu matematickog aparata koji se koristi u teorijipolja mozete naci u

S. Cantrak, HIDRODINAMIKA, Masinski Fakultet Beograd2005 - str. 44-62

Hvala na paznji!






I na kraju ...

Detaljniju analizu matematickog aparata koji se koristi u teorijipolja mozete naci u

S. Cantrak, HIDRODINAMIKA, Masinski Fakultet Beograd2005 - str. 44-62

Hvala na paznji!


Documents

Teorija Polja