Teorija Skupova

UNIVERZITET U TUZLIPRIRODNO-MATEMATICKI FAKULTET

N.Okicic

Teorija skupova

- Skripta -

Tuzla, 2008

Sadrzaj

1 Od paradoksa do aksiomatske teorije 11.1 O paradoksima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Paradoksi u teoriji skupova . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Izbjegavanje paradoksa ili podjele medju matematicarima 51.4 Zermelo-Frenkelov sistem aksioma teorije skupova . . 9

2 Operacije sa skupovima, relacije i funkcije 142.1 Operacije sa skupovima . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.2 Aksiom izbora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.3 Relacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.4 Funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3 Kardinalni brojevi 273.1 Ekvipotentnost skupova . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.2 Konacni i beskonacni skupovi . . . . . . . . . . . . . . 313.3 Prebrojivi skupovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.4 Neprebrojivi skupovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.5 Hipoteza continuuma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.6 Aritmetika kardinalnih brojeva . . . . . . . . . . . . . . 45

i

Glava 1

Od paradoksa do aksiomatsketeorije

1.1 O paradoksima

Rijec ”paradoks” poznata je vecini. Kada u obicnom govoru kazemoda je nesto paradoksalno, podrazumijevamo da je to ”nesto” neost-varivo ili da je nemoguce (najcesce kao ”skoro nemoguca” stvar).Najlakse za shvatiti, paradoks ili antinomija predstavlja rasudji-vanje koje nas obavezno dovodi do protivurjecnosti, bez obzira ko-liko nam polazne pretpostavke izgledale tacne, a pravila rasudji-vanja ispravna. Krajem XIX vijeka pojavili su se neki paradoksikoji u pocetku nisu shvatani previse ozbiljno. Kada je B. Russell1

1902. godine objavio svoj paradoks, koji se nalazi u osnovi tadasnjeteorije skupova, to je izazvalo pravu krizu u svijetu matematike ali ifilozofije. Naime, sa malim izmjenama u formulaciji tog paradoksa,moze se doci do kontradikcije koja se moze formulisati na jezikuvecine logickih pojmova.Naravno da Rusellov paradoks nije prvi paradoks u svijetu matem-

atike. Jos u doba Stare Grcke poznati su neki od njih ali sto jejako bitno, njihovim razrjesavanjem dolazilo je do naglog razvojaodredjene matematicke discipline. Tako je problem nesamjerljivedijagonale doveo do razvoja citave matematicke oblasti, tzv. teorije

proporcija iz koje ce se kasnije razviti teorija iracionalnih brojeva.Takodje, poznati Zenonov 2 paradoks o Ahilu i kornjaci (i njemusrodni) doveli su do razvoja teorije ekshaustije, a koji se zasniva

1Bertrand Arthur William Russell, britanski filozof (1872-1970)2Zenon od Eleje, grcki filozof (oko 490 p.n.e.- oko 430 p.n.e.)

1

1.1. O paradoksima

na cinjenici da se jedna konacna velicina ne moze izgraditi odbeskonacno mnogo, beskonacno malih velicina. To ce ustvari nestokasnije uzrokovati razvoj integralnog racuna. Pocetkom XIX vi-jeka nepazljivo i bezobzirno koristenje beskonacno malih velicinace ponovo uzrokovati krizu matematike, a koja ce biti otklonjenaradovima Cauchyja 3 i Weierstrassa4, cime ce matematicka analizabiti postavljena na mnogo zdravijoj osnovi.Otkrivanje paradoksa na kraju XIX vijeka dovodi do naglog razvoja

i zainteresovanosti za matematicku logiku, sto ce bitno uticati narazvoj i kretanja u modernoj matematici, a takodje i na logiku kaofilozofsku disciplinu.Navedimo neke od paradoksa, srodne Rusellovom paradoksu:Paradoks lazova

Ovaj paradoks izveden je iz poznate konstrukcije kritskog filozofaEpimenida5;

”Ja sam kricanin, a svi kricani lazu.”

Ocigledna je kontradiktornost gornje izjave. Naime, ako ja jesamkricanin onda zbog njihove ”lazljivosti” ja nisam kricanin.Ovaj se paradoks moze iskazati i na razne druge nacine, npr.

”Ja lazem sada.” ili ”Ova izjava je lazna.”

Prema nekim istoricarima, ovaj paradoks je prvi formulisao Eubu-lid iz Mileta (4. v p.n.e), koji ga je dao u obliku

”Covjek kaze da laze. Da li je to sto govori istinito ili lazno?”

Kataloski paradoksPosmatrajmo biblioteku koja pravi bibliografski katalog svih (i samonjih) kataloga koji ne navode sami sebe. Da li ce se u tom katalogunavoditi i biblioteka koja ga pravi?Paradoks brice

U jednom selu postoji brico koji brije sve one ljude koji ne brijusami sebe. Ko brije bricu?Grellingov6 paradoks

U svakom jeziku postoje rijeci koje su ”samoopisne”. Npr. rijec”bosanski” je bosanska rijec, ”viseslozno” je viseslozna rijec, ”kratak”

3Augustin Louis Cauchy, francuski matematicar (1789-1857)4Karl Theodor Wilhelm Weierstrass, njemacki matematicar (1815-1897)5Epimenides, grcki filozof (VI/VII v.p.n.e.)6Kurt Grelling, njemacki matematicar (1886-1942)

2

1.2. Paradoksi u teoriji skupova

je kratka rijec, ”ispravno” je ispravna rijec, ”apstraktno” je apstrak-tna rijec itd. Ali rijec ”dug” ocigledno nije duga rijec. Rijeci poput”udoban”, ”zanosan”, ”uskoro” i sl. jasno, nemaju ovu osobinusamoopisnosti. Ako rijeci bez osobine samoopisnosti nazovemoneinspirativnim, da li je rijec ”neinspirativno” neinspirativna?Paradoksi (oni koje poznajemo) se mogu podjeliti po mnogim osno-

vama, npr. sintaksni, semanticki, geometrijski, fizicki i sl. Za nasinteresantna podjela je u sljedece dvije grupe, semanticki paradoksii skupovni paradoksi. U semanticke spadaju: paradoks lazova(Epimenidov paradoks), paradoks brice, Grelingov paradoks, Beri-jev, Risharov i svi paradoksi oblika:

Ne postoji istina!

Njihova osnova su pojmovi: istina, laz, izrazivost.U skupovne paradokse spadaju: Burali-Fortijev, Cantorov, Ras-

sellov . Njihov izvor su pojmovi skup i kljucne skupovne operacijei relacije, kardinalni broj i ordinalni broj.

1.2 Paradoksi u teoriji skupova

Jednu od najznacajnijih matematickih teorija, teoriju skupova, njentvorac G. Cantor7 razvijao je neaksiomatski. Odatle i naziv za tuteoriju, naivna teorija skupova (kako je razvijena i obrazlozena,tu nema mjesta nikakvoj naivnosti). Naknadnom analizom je za-kljuceno da je Cantor sve rezultate izveo oslanjajuci se na tri ak-sioma, koje nigdje nije jasno fomulisao i precizirao. To su:

• Aksioma jednakosti: Dva skupa su jednaka ako i samo akoimaju iste elemente.Formulski izrazeno: (∀z)(z ∈ x ⇔ z ∈ y) ⇔ x = y.

• Aksioma apstrakcije: Za svako svojstvo S (duzine 1), postojiskup X ciji su elementi upravo oni koji imaju svojstvo S.Formulski izrazeno: (∀S)(∃X) X = {x| S(x)}.

• Aksioma izbora: Za svaku familiju A nepraznih disjunktnihskupova, postoji funkcija f (tzv. izborna funkcija), koja svakomskupu X iz A dodjeljuje po jedan njegov element.Formulski izrazeno: (∀A)(∃f)(∀X ∈ A) f(X) ∈ X.

7Georg Cantor, njemacki matematicar (1845-1918)

3

1.2. Paradoksi u teoriji skupova

Za aksiom izbora, po formulaciji najslozeniji, pokusavalo se veomadugo cak i poslije stvaranja aksiomatskih teorija skupova, pokazatida ona slijedi iz ostalih aksioma. Medjutim, slicno kao kod V pos-tulata u Euklidovim Elementima, pokazalo se da je aksiom izboranezavisan od ostalih aksioma, pa su u skladu sa tim rezultatomkasnije razvijane aksiomatske teorije skupova sa aksiomom izborakao i one bez nje.Aksiom apstrakcije izgledao je sasvim prihvatljivo i potpuno prirod-

no, tako da niko nije ni slutio da ce upravo on pokrenuti citavulavinu paradoksa, lavinu koja je zaprijetila da porusi matematickugradjevinu, pa i cijelokupnu klasicnu nauku.Redovima mnogih matematicara s kraja XIX vijeka, kao sto su

Bolzano8, Weierstrass pa i Cantor, postavljane su osnove matematic-ke analize. Medjutim, 1895. Cantor uocava prvi paradoks u svojojteoriji. U svojoj prepisci sa Hilbertom9 on ga iznosi ali ga ne pub-likuje. Obzirom da se odnosio na prilicno tehnicki dio teorije dobrouredjenih skupova, on se nadao da bi uz male ispravke u nekimdokazima mogao izbjeci to neugodno pojavljivanje. 1897. to istouocava Burali-Forti10 i publikuju taj paradoks koga i danas znamopod imenom Burali-Fortijev paradoks. On glasi:Skup svih ordinala W je dobro uredjen skup i on ima ordinal veciod bilo kog ordinala iz W . Ali to bi onda znacilo da je W veci odsvih ordinala, pa i od samog sebe.Dvije godine kasnije Cantor uocava slican paradoks i u teoriji kar-

dinalnih brojeva.Cantorov paradoksPo Cantorovoj teoriji, partitivni skup nekog skupa ima kardinal veciod kardinala samog skupa. Ako sa U obiljezimo skup svih skupova,tada P (U) ima veci kardinal od U , a to je nemoguce jer P (U) ⊆ U .1901. Russell uocava slicnu situaciju i konstruise novi paradoks,

mnogo elementarniji od Cantorovog jer ne zahtijeva ni podskupoveni partitivne skupove.Russellov paradoksNeka je S = {X| X /∈ X}, tj. S je skup svih onih skupova koji nisuelementi samog sebe. Da li je S element samog sebe? Odgovor na

8Bernardus Placidus Johann Nepomuk Bolzano, italijanski filozof (1781-1848)

9David Hilbert, njemacki matematicar (1862-1943)10Cesare Burali-Forti, italijanski matematicar (1861-1931)

4

1.3. Izbjegavanje paradoksa ili podjele medju matematicarima

ovo pitanje je kontradiktoran, naime on dovodi do situacije

S ∈ S ⇔ S /∈ S .

Russell obavjestava Fregea11 o svom paradoksu i publikuje ga 1903.godine ali za razliku od Burali-Fortijevog i Cantorovog, ovaj paradoksnailazi na veliki odjek i bio je prava pometnja u matematickim kru-govima koji su se u to vrijeme bavili fundamentalnim problemima.Tako ce Dedekind objavljivanje svog rada o prirodi i smislu bro-jeva prolongirati za izvjesno vrijeme, a Frege koji je privodio krajusvoj veliki rad o formalnim sistemima ce u predgovoru rada priz-nati da je Russellov paradoks uzdrmao fundamente njegovog rada.Poincare12, jedan od vodecih matematicara tog doba, inace do tadaveliki pristalica Cantorovog rada, od pojave Russellovog paradoksapostaje totalni protivnik Cantorove teorije skupova.U sustini, Russellov i paradoks o brici imaju isti korijen. Medju-

tim, paradoks o brici jednostavno rjesavamo tako sto kazemo daje brico ”kontradiktoran” i konstatujemo da takvo selo ne mozepostojati. Ali tako nesto ne mozemo primjeniti kod Russsellovogparadoksa jer nije jasno zasto onako napravljen skup S ne bi pos-tojao, odnosno zasto je on ”samokontradiktoran”. Sta vise, akoto i prihvatimo tako, postavlja se pitanje da li postoji jos takvihskupova, bolje reci, a koliko jos ima takvih skupova koji su ”samo-kontradiktorni”?Iako Cantor nije uspio da rijesi ove probleme oko pojave ovih

paradoksa, on ni u jednom trenutku nije odustao od svoje teorijeskupova. Sama cinjenica da cak i mi danas o tim pojavama govo-rimo u terminima ”paradoks” ili ”antinomija”, a ne ”kontradikcija”,govori da je Cantor bio u pravu sa svojim stavom. Kako to receHilbert ipak vecina matematicara ”ne zeli biti izgnana iz raja u kojinas je Cantor uveo ”.

1.3 Izbjegavanje paradoksa ili podjele medju

matematicarima

Sustinski se u modernoj matematici razlikuju tri matematicka pravca(pokreta): formalizam, intuicionizam i logicizam. Njihova gledanjana matematiku nisu obavezno toliko protivurjecna kako se to ponekad

11Gottlob Frege, njemacki matematicar (1848-1925)12Jules Henri Poincare, francuski matematicar (1854-1912)

5


zeli prikazati, ali se razlicitim oblastima problema bave na bitno ra-zlicite nacine.FORMALIZAM U najkracem, formalizam tezi zasnivanju potpunih

aksiomatskih sistema. Tendencija potice jos od Euklida, a osnivacmodernog pravca je D. Hilbert. Ugao posmatranja matematickihproblema je sljedeci: postoje sintaksa i semantika, tj. iskazanost(mogucnost zapisa) i samo znacenje iskaza matematike. Jedan for-malista se ne bavi mnogo pitanjem sadrzaja i istinosti u logickom ifilozofskom smislu. Hilbert je namjeravao da stvori precizan i detal-jan matematicki jezik koji ce omoguciti formalizaciju cak i samogcina matematickog dokazivanja. On je zakljucio da mogu posto-jati dokazi o egzistenciji nekog objekta koji se ne mogu sprovesti ukonacnom broju koraka. Medjutim, ukoliko bi takav dokaz narusiokonvencije matematickog izvodjenja i dokazivanja, takvu greskubismo mogli pronaci na sasvim konacan i izvodljiv nacin. Za-kljucuje se po principu iskljucenja treceg (tj. stav ili jeste tacanili nije tacan, formalno: p ili ne p) da su navedeni dokazi korek-tni jer nisu nekorektni. Iz ovakvog pristupa onda imamo ([2], str.61). ”... Moramo ispitivati ne tvrdnje, vec metode dokazivanja.Klasicnu matematiku moramo gledati kao kombinatornu igru os-novnim simbolima i moramo finitnim kombinatornim sredstvimaustanoviti do kojih nas kombinacija osnovnih simbola dovode metodekonstrukcije ili ”dokazi”.”Jos jedna vazna crta formalizma jeste da pravi razliku izmedju po-jmova istinito i smisleno. Ovo je na neki nacin distinkcija izmedjulogickog i formalnog jer npr. i 1 + 1 = 2 i 1 + 1 = 1 jesu (formalno)smisleni iskazi, gde je prvi tacan, a drugi nije, dok 1 + +1 = ili= +1 + 1 nisu smisleni, pa se ne moze ni govoriti o istinosti tihiskaza, odnosno formalnih zapisa.INTUICIONIZAM Jedan od najvecih kriticara Cantorove teorije bes-

konacnih skupova bio je Kronecker. Isao je cak dotle da tu teoriju(a na zalost i samog Cantora) smatra ”ludom” i ”suvise divljom”,jednom rijecju, zaista neprimjerenom matematici. Ovim svojim ne-milosrdnim i ostrim stavovima on je bio preteca pravca koga jeformulisao L.E.J. Brouwer13. Intuicionista uzima prirodne brojevepotpuno konstruktivno. Polazi od prirodne, apriorne ituicije prirod-nih brojeva, odnosno njihove strukture unutar misljenja, a ne odprirodnih brojeva kao zaista postojecih objekata ili pak svojstavanekih drugih postojecih objekata. Ovo je samo na prvi pogled mist-

13Luitzen Egbertus Jan Brouwer (1881-1966), holandski matematicar

6


ifikacija; bas naprotiv, intuicionista upravo zeli da izbjegne svakuvrstu mistifikacije koju implicitno pronalazi u teoriji skupova. Otome A. Heyting 14 kaze ([2], str. 49): ”Ni prirodnim brojevima nibilo kakvim drugim matematickim objektima ne pripisujemo egzis-tenciju nezavisnu od naseg misljenja, tj. transcendentnu egzis-tenciju. Mada bi moglo biti istinito da se svaka misao odnosi naneki objekat poiman kao da postoji nezavisno od nje, ovo pitanjemozemo ostaviti otvorenim.” Dakle, to pitanje je za intuicionistepotpuno irelevantno. Otuda pristalica ovoga pravca smatra daje moguce konstruktivno praviti beskonacan skup (tzv. poten-cijalna beskonacnost ) ali nikada se ne moze zaista i napravitibeskonacan skup (tj. aktuelna beskonacnost). Postojanje aktuelnebeskonacnosti trebalo bi da bude bez znacaja za nas, pa se samimtim logicki kvantifikator ”postoji” (∃) moze smisleno upotrebljavatisamo za konacne skupove. Po tumacenju intuicionista, mi sma-tramo da posjedujemo aktuelnu beskonacnost u masti, ali je nikak-vim svojim (vremenski i prostorno) ogranicenim konstruktivnimpostupkom ne mozemo realizovati. Intuicionista iz ovoga daljezakljucuje da klasicna matematika nije zapisiva jer podrazumevakoriscenje nekonstruktivnih simbola kao sto su ”...” (u znacenju:i tako dalje - u beskonacnost), a koji jednostavno zavaravaju, neopisuju nikakav konstruktivan postupak, pa su zato i neupotre-bljivi. Postavlja nam se razumno pitanje kako simbol beskonacnostimoze oznaciti nesto tako neobuhvatno (govorimo o matematickim,po mogucnosti netranscendentnim objektima). Ljudi u svom prakti-cnom djelovanju cesto pribjegavaju ovakvim ”precicama” koje nisutoliko odraz inteligentnosti i dosjetke, koliko su jedino moguce.Ako bi intuicionista u krajnjoj konsekvenci i dozvolio mogucnostpostojanja nekonstruktivnih matematickih objekata, opet bi mo-gao s punim pravom da nas upita: ”na osnovu kojih to pravilasmijemo da svedemo nekonstruktivnost na sasvim konstruktivnusimboliku?”. Intucionista, kao izvorni konstruktivista, na osnovusvega ovoga i dalje ce tvrditi da su ljudi prevashodno konstruk-tivna, algoritamska bica, bez obzira na sav njihov afinitet za tran-scendentnim. Transcendentno i jeste transcendentno zato sto jevan domasaja naseg konstruktivistickog iskustva i istog takvogpromisljanja stvrnosti. Intuicionizam primjecuje, pored nezapi-sivosti nekonstruktivne matematike, i problem sa logi-ckim prav-ilom iskljucenja treceg - ono je odbaceno za potencijalno beskonacne

14Arend Heyting (1898-1980), holandski logicar i matematicar

7


i prihvaceno za aktuelno konacne skupove. Ovo se opravdava,izmedju ostalog, i konstatacijom da su matematika i logika dosledo svojih zakljucaka posmatranjem konacnih skupova. Heyting cedodatno razjasniti ovakve stavove ([2], str.50). ”... Matematicki ob-jekti po svojoj prirodi zavise od ljudskog misljenja (prim. zato stonastaju apstrahovanjem). Njihovo je postojanje zajamceno u onojmjeri u kojoj je ustanovljeno misljenjem. Oni imaju svojstva u onojmjeri u kojoj ih misljenje moze izdvajati. Vjeru u transcendentnuegzistenciju, nepodrzanu pojmovima, valja odbaciti kao sredstvomatematickog dokazivanja.”LOGICIZAM Kao sto i sama rijec kaze, pristalice ovog pravca pre-

vashodno daju logici na znacaju. U svome djelu ”Principia mathe-maticae”, B. Russell je, kao osnivac pravca, izlozio osnovne postavkekoje se mogu sazeti u sljedecu formulaciju: ”Matematika se skorou potpunosti moze svesti na logiku”, tj. Matematika je preve-diva na logiku. Nasuprot Hilbertovom tvrdjenju da je rijec samo obezsadrzinskoj igri simbola, Russell tvrdi da se matematika sastojiod recenica oblika, ako A, onda B (tj. A ⇒ B) i intrigantno dodajeda niko ne zna sta je A, a sta B. U fizici npr., A je eksperiment, a Bje rezultat eksperimenta. Imajuci ovo u vidu, R. Carnap15 navodisljedece o logicistickom pogledu na matematiku ([2], str. 39-40).”... Russell je stoga s pravom oklijevao da ih predstavi kao logickeaksiome (prim. misli se na dva aksioma o egzistenciji- aksiomubeskonacnosti i aksiomu izbora) jer logika ispituje samo moguceentitete i ne moze nista tvrditi o postojanju. Russell je nasao izlaz izove poteskoce ovakvim rasudjivanjem: Kako je i matematika cistoformalna nauka, i ona moze da o postojanju tvrdi samo uslovno,a ne kategoricki- ako neke strukture postoje, onda postoje i nekedruge strukture cija je egzistencija logicka posljedica egzistencijeonih prvih. Stoga je on preoblikovao matematicku recenicu, rec-imo R, ciji dokaz zahtijeva aksiomu beskonacnosti (B) ili aksiomuizbora (A) (prim. koje su veoma sporne sa logicke, a pogotovokonstruktivisticke tacke gledista) u uslovnu recenicu; ne tvrdimoR, nego U ⇒ R, odnosno A ⇒ R. Ta je uslovna recenica ondaizvodljiva iz logickih aksioma. Zahvaljujuci logicistickom pristupu,dobili smo mogucnost koriscenja racunara svodjenjem matematikena logiku, a logike, na elektricne impulse, ali je vazna cinjenicada bez intuicionisticke konstruktivnosti ne bi bilo pojma i primjenealgoritma onakvog kakav je danas.

15Rudolf Carnap (1891-1970), njemacki filozof

8

1.4. Zermelo-Frenkelov sistem aksioma teorije skupova

Formalisticki pristup je u krajnjoj konsekvenci takodje dopriniosistematizaciji i uopstenju algoritmike, pa na osnovu samo ovogjednog vrlo vaznog primjera, uvidjamo sav znacaj koriscenja svegaonoga sto predstavlja prednost pojedinog matematickog pravca.Ovo nas, kao sto smo vec ranije uocili, upucuje na cinjenicu da seovi pravci ne razlikuju u tolikoj mjeri da bi onemogucili napredakmatematike, vec da realno, kroz svojevrsnu medjusobnu konkuren-ciju, omogucuju plodnu matematicku sintezu, pri cemu ipak zadrz-avaju sve svoje osobenosti.

1.4 Zermelo-Frenkelov sistem aksioma teorije

skupova

Kao sto smo vidjeli, jedan od nacina izbjegavanja paradoksa je ipostavljanje teorije, pa i teorije skupova, na aksiomatsku osnovu.Prvi aksiomatski sistem teorije skupova dao je E. Zermelo16 1908.

godine. 1922. A. Fraenkel17 ce dopuniti Zermelov sistem aksiomate je tako dobijen sistem aksioma koga danas nazivamo ZF-sistem

aksioma za teoriju skupova. U razlicitim knjigama mogu se naci ra-zliciti spiskovi ovih aksioma. To ne treba da zbunjuje jer ZF-sistemaksioma nije nezavisan sistem, pa redoslijed ili zamjena neke odaksioma su stvar autora.Iako cemo mi ovdje postaviti detaljno ZF-sistem, treba napomenuti

da je u upotrebi i NGB-sistem aksioma koga je prvo postavio von

Neumann18, a kasnije je dopunjen od strane R. Robinsona19, P.

Bernaysa i K. Godela.U izlaganju ZF-sistema navodit cemo semanticki zahtjev aksioma

kao i njegov formalni zapis u jeziku matematicke logike. Pri tomecemo podrazumijevati univerzalnu zatvorenost formula (tj. podrazu-mijevat cemo univerzalne kvantifikatore za sve slobodne promjenljive).Simbol ”=” koristiti cemo za oznacavanje jednakosti objekata. Takodjecemo koristiti i binarni relacijski simbol ”∈”, a po dogovoru, um-jesto iskaza ¬(x ∈ y), upotrebljavacemo oznaku x /∈ y. Pojam ”skup”je primitivni pojam teorije skupova, i kao takav ne definisemo ga.

16Ernst Friedrich Ferdinand Zermelo, njemacki matematicar (1871- 1953)17Adolf Abraham Halevi Fraenkel, njemacko-izraelski matematicar (1891-

1965)18John von Neuman, austro-ugarski matematicar (1903-1957)19Abraham Robinson, USA matematicar (1918-1974)

9


Axiom 1. Aksiom ekstenzionalnostiDva su skupa jednaka ako imaju iste elemente.

(∀z)(z ∈ X ⇔ z ∈ Y ) ⇔ X = Y .

Jednakost dva skupa oznacavat cemo uobicajenim logickim sim-bolom ”=”, npr. A = B. Cinjenicu o nejednakosti dva skupa zapi-sivat cemo simbolom A 6= B, a ona znaci da postoji element koji sene nalazi u oba skupa. Iz aksioma ekstenzionalnosti kao posebnovazno, proizilazi sljedece

{a, d, c, b} = {a, b, c, d} i {a, a, c, a, b, b} = {a, b, c} ,

tj. redosljed navodjenja elemenata skupa i njihovo ponavljanje,nisu bitni u zapisu skupa.

Axiom 2. Aksiom praznog skupaPostoji skup koji nema niti jednog elementa.

(∃S)(∀x)x /∈ S .

Skup cije postojanje smo uveli gornjom aksiomom, nazivat cemoprazan skup i za njegovo oznacavanje koristit cemo oznaku ∅.Prostim koristenjem Aksioma 1, lahko se je uvjeriti da je takavskup jedinstven. Zaista, ako bi postojala dva takva skupa ∅1 i ∅2

i pri tome da je ∅1 6= ∅2, tada bi prema aksiomu ekstenzionalnostipostojao element koji nije u oba skupa. Medjutim, to bi se protivilocinjenici da oba ova skupa nemaju elemenata.Iz egzistencije praznog skupa slijedi da postoji i skup ciji je ele-

ment prazan skup, {∅}. Jasno je pri tome da ∅ 6= {∅}. Sta vise, naosnovu prvog aksioma imamo da je uvijek A 6= {A} i da je A ∈ {A}.

Axiom 3. Aksiom paraAko su X i Y skupovi, onda postoji skup Z koji sadrzi tacno X i Ykao elemente.

(∃Z)(∀z)(z ∈ Z ⇔ (z = X ∨ z = Y )) .

Skup {X,Y } se naziva neuredjen par skupova X i Y i pri tome jedakle {X,Y } = {Y,X}. Ako je pritome jos i X = Y , onda imamo{X,Y } = {X,X} = {X}.

Axiom 4. Aksiom unijeAko je X skup, onda postoji skup U koji sadrzi sve elemente eleme-

nata od X.

(∃U)(∀z)(z ∈ U ⇔ (∃Y )(Y ∈ X ∧ z ∈ Y )) .

10


Skup U koga smo uveli gornjom aksiomom je, na osnovu Aksioma1, jedinstven i za njega cemo koristiti oznaku ∪X. Ako je X ={A,B}, onda cemo koristiti oznaku A ∪ B.Neka su A i B proizvoljni skupovi. Tada vrijedi

X = {A,B} 6= ∪X = A ∪ B .

Ako je X = {A}, tada je ∪X = A i sta vise, ∪∅ = ∅. Iz aksioma unijedirektno slijedi i osobina ∅ ∪ A = A, za proizvoljan skup A.Na osnovu ovih cetiri aksiome imamo egzistenciju sljedecih skupova:

∅, {∅} , {∅, {∅}} , {∅, {∅, {∅}}} ...

Prije naredne aksiome uvedimo novi simbol. Za proizvoljne skupoveA i B pisemo A ⊆ B ako vrijedi osobina (∀x)(x ∈ A ⇒ x ∈ B). Tadakazemo da je skup A podskup skupa B.

Axiom 5. Aksiom o partitivnom skupuAko je X proizvoljan skup, postoji skup P ciji su elementi svi pod-

skupovi skupa X.

(∃P )(∀z)(z ∈ P ⇔ z ⊆ X) .

Jedinstvenost i ovom aksiomom uvedenog skupa je lahko dokazivakoristeci Aksiom 1, i za njega cemo koristiti oznaku P(X), a zvatcemo ga partitivni skup skupa X.Uocimo da je pomocu Aksioma 5 uveden skup svih podskupova

nekog skupa ali da nam nije poznato postojanje niti jednog konkret-nog podskupa datog skupa. Takav skup ocigledno mora imatikarakteristiku da ”sakuplja” elemente iz datog skupa, a sa za-jednickom im nekom osobinom. Naravno, upravo ovakvo ”saku-pljanje” objekata na osnovu neke njima zajednicke osobine, cinisustinu pojma skupa, pa svaka formalna teorija koja ima za cilj daopise intuitvnu teoriju skupova, mora izrazavati ovaj semantickizahtjev. S druge strane, nekriticko i previse slobodno primjenji-vanje ovog zahtjeva je i dovodilo do pojave paradoksa u naivnojteoriji skupova. Da bi pokusali pomiriti ova dva zahtjeva, uvodimosljedeci aksiom

Axiom 6. Aksiom podskupa (komprehenzije, izdvajanja)Neka je A zadani skup i P (x) predikat koji za svako x ∈ A ima smisla

(za svako x ∈ A, P (x) je iskaz). Tada postoji skup B ciji su elementi

oni i samo oni elementi iz skupa A za koje je predikat P tacan.

(∃B)(∀x)(x ∈ B ⇔ (x ∈ A ∧ P (x))) ,

11


gdje je P (x) proizvoljan predikat koji ne sadrzi slobodnu promjenljivu

B.

Neka je P (x) proizvoljan predikat arnosti 1, npr. 1 < x ≤ 2, x jeparan broj, x je rjesenje jednacine ex + x = 0, i sl. Kada varijabli xdamo neku vrijednost iz oblasti definisanosti predikata, on postajeiskaz koji dakle moze biti ili tacan ili netacan. Neka je A oblastdefinisanosti predikata P (x). Simbolom

{x| x ∈ A ∧ P (x)} ili {x ∈ A| P (x)} ,

oznacavat cemo skup svih onih elemenata iz skupa A za koje jepredikat P (x) tacan. To znaci

a ∈ {x ∈ A| P (x)} ⇔ τ (P (a)) = ⊤ .

Pored ovog nacina zapisivanja skupa koristit cemo i nacin zapisi-vanja pojedinacnih elemenata skupa, npr.

A = {a1, a2, .., an} .

Jasno je da za svaki predikat P (x) imamo po jednu aksiomu, pase za ovaj aksiom kaze da predstavlja ”semu aksioma”. Medju-tim i pored toga, Aksiomom 6 nije moguce konstruisati skup svihskupova, odnosno ”univerzalni skup”, pa su time otklonjeni svinavedeni paradoksi koji su se pojavljivali u naivnoj teoriji skupova.Dakle, uloga Aksioma 6 je konstruisati sto vise skupova ali pri tomeizbjeci bar poznate paradokse naivne teorije skupova.Sa ovih prvih 6 aksioma moguce je uvesti sve pojmove sa kojima

se sluzimo u ”svakodnevnoj” matematici. Ono sto se moze prim-jetiti, da one daju samo konacne skupove, tj. beskonacan skupnije moguce konstruisati pomocu njih. Zato uvedimo sljedeci ak-siom koji ce obezbjediti postojanje i ovakvih skupova.

Axiom 7. Aksiom beskonacnostiPostoje beskonacni skupovi.

(∃S)(∅ ∈ S ∧ (∀x)(x ∈ S ⇒ x ∪ {x} ∈ S)) .

Sa sljedece dvije aksiome cemo prosiriti ali i dodatno ogranicitimogucnosti pravljenja novih skupova.

Axiom 8. Aksiom zamjeneFunkcija preslikava skup u skup.

(∀A)((∀x ∈ A)(∃!y)P (x, y) ⇒ (∃z)(∀x ∈ A)(∃y ∈ z)P (x, y)) ,

za sve predikate f(x, y) koji nemaju slobodnu promjenljivu y.

12


Prostije receno, gornji aksiom nam kaze sljedece: Neka je A zadaniskup i P (x, y) predikat arnosti 2 koji ima osobinu da za proizvoljnoa ∈ A, postoji jedinstven b, takav da je τ (P (a, b)) = ⊤. Tada postojijedinstven skup B ciji su elementi svi skupovi y za koje postojix ∈ A, takav da je τ (P (x, y)) = ⊤.”Naivno” tumacenje gornjeg aksioma je: Ako je na skupu A defin-

isana funkcija f i za svako a ∈ A je f(a) skup, tada je B = {f(a)| a ∈ A}takodje skup. Ovaj aksiom je Frenkel dodao na Zermelov sistemaksioma i on kao i Aksiom 6 predstavlja semu aksioma.Sa ovom aksiomom smo prosirili mogucnosti gradnje skupova, a

sada cemo napraviti dodatna ogranicenja.

Axiom 9. Aksioma fundacije ili o zabrani losih skupovaNe postoje skupovi sa osobinama:

X ∈ X, X ∈ Y ∧ Y ∈ X, X1 ∋ X2 ∋ X3 ∋ ... ∋ Xn ∋ ...

X 6= ∅ ⇒ (∃Y ∈ X)(∀t)¬(t ∈ X ∧ t ∈ Y ) .

Aksiom 9 zbilja iskljucuje mnoge ”patoloske” skupove ali takodjeje mnoge stvari moguce dokazati ne koristeci ga. Formalni sistemkoji se koristi aksiomama od 1-8 cesto se obiljezava sa ZF−, doksvih izlozenih devet aksioma predstavlja ZF teoriju skupova.

13

Glava 2

Operacije sa skupovima,relacije i funkcije

Vecina stvari ove glave je poznata citaocu. Mnoge od tih stvari naovom mjestu cemo uvesti strogo precizno, drzeci se naravno ak-siomatike koju smo upravo uveli ali ce mnogi detalji takodje biti ipreskoceni i ostavljeni citaocu da prodje taj put od ZF teorije dodokaza da su novouvedeni objekti zaista dobro definisani. Pre-vashodni cilj ove glave je dakle, da fiksiramo i usvojimo notaciju iterminologiju koja ce u daljem biti koristena.

2.1 Operacije sa skupovima

Za obiljezavanje skupova uglavnom cemo koristiti velika slova abecede(A,B,C, ..., X, Y, Z, ...).Aksiom para nam je obezbjedjivao postojanje dvoelementnog skupa.

Zato dokazimo

Teorem 2.1.1. Neka je n proizvoljan prirodan broj i neka su X1, X2, ..., Xn

skupovi. Tada postoji skup ciji su elementi ti skupovi, tj. postoji skup

{X1, X2, ..., Xn}.

Dokaz : Neka je n ∈ N i X1, ..., Xn proizvoljni skupovi. Na osnovu

Aksioma 3, postoji skup {X1, X2}. Tada na osnovu Aksioma 4,primjenjenom na skup S = {{X1, X2} , {X3}}, postoji skup

∪S = {X1, X2} ∪ {X3} = {X1, X2, X3} .

Postupak sada ponavljamo primjenjujuci aksiom unije na skup L ={{X1, X2, X3} , {X4}}. U konacno mnogo koraka, primjenjujuci istu

14

2.1. Operacije sa skupovima

semu, dolazimo do postojanja skupa

{X1, X2, ..., Xn−1} ∪ {Xn} = {X1, X2, ..., Xn} ,

sto je i trebalo dokazati. ♣

Kao sto smo vidjeli, aksiom unije nam je garantovao postojanjeunije skupa A, tj.

∪A = {x| (∃X ∈ A)x ∈ X} .

Lema 2.1.2. Unija je jedinstveno odredjen skup.

Ako je A = {X,Y }, tada smo rekli da cemo koristiti oznaku

∪A = X ∪ Y .

Neka je A = {Ai| i ∈ I}, tada za uniju skupa A koristimo oznaku

⋃

i∈I

Ai ,

gdje je I neki skup indeksa. U slucaji konacnosti tog skupa, npr.I = {1, 2, ..., n}, koristimo oznaku

n⋃

i=1

Ai ,

a ako je I = N, onda koristimo oznaku

∞⋃

i=1

Ai .

Definicija 2.1.1. Neka je L ⊆ P(A). Presjek skupa L, u oznaci ∩L, je

skup koji se sastoji od onih i samo onih elemenata koji su elementi

u svakom skupu iz L, tj.

∩L = {x| (∀Y ∈ L) x ∈ Y } .

Za razliku od unije koja je uvedena aksiomatski, cinjenicu da je”presjek” dobro definisan skup, ostavljamo citaocu da dokaze.

Lema 2.1.3. Presjek je jedinstveno odredjen skup.

15


Ako je L = {X,Y }, tada presjek ∩L zapisujemo sa X ∩ Y . Slicnokao i kod unije, ako je L = {Ai| i ∈ I}, imamo

⋂

i∈I Ai, odnosno zakonacan i beskonacan presjek koristimo oznake

n⋂

i=1

Ai ,

∞⋂

i=1

Ai .

Definicija 2.1.2. Za skupove X i Y kazemo da su disjunktni ako

vrijedi

X ∩ Y = ∅ .

Aksiomom specifikacije nam je omoguceno iz datog skupa izdvojitineki njegov dio, koga smo nazvali podskupom. Uvedimo novi pojami formalno.

Definicija 2.1.3. Za skup X kazemo da je podskup skupa Y i pisemo

X ⊆ Y , ako vrijedi

(∀x)(x ∈ X ⇒ x ∈ Y ) .

Teorem 2.1.4. Za proizvoljan skup X vrijedi,

1. X ⊆ X.

2. ∅ ⊆ X.

Dokaz :

1. Da je tvrdnja tacna, slijedi iz cinjenice da je iskaz p ⇒ p tau-tologija, tj. uvijek vrijedi x ∈ X ⇒ x ∈ X.

2. Ako bi postojao skup X za koga ne vrijedi ∅ ⊆ X, to bi znaciloda postoji bar jedan element skupa ∅ koji nije u skupu X. Ali,prazan skup nema elemenata, pa takvo sto nije moguce.

♣

Definicija 2.1.4. Ako vrijedi X ⊆ Y i X 6= Y , kazemo da je X pravi

podskup od Y i pisemo X ⊂ Y .

Teorem 2.1.5. Za osobinu ”biti podskup” vrijedi:

1. (∀X) X ⊆ X.

2. (∀X,Y )(X ⊆ Y ∧ Y ⊆ X ⇒ X = Y ).

16


3. (∀X,Y, Z)(X ⊆ Y ∧ Y ⊆ Z ⇒ X ⊆ Z).

Iz gornje cinjenice direktno slijedi osobina

Lema 2.1.6. Za proizvoljan neprazan skup X vrijedi

x ∈ X ⇒ {x} ⊆ X .

Definicija 2.1.5. Neka su X i Y proizvoljni skupovi. Razlika skupova

X i Y , u oznaci X \Y , je skup koji se sastoji od onih elemenata skupa

X koji se ne nalaze u skupu Y , tj.

X \ Y = {x| x ∈ X ∧ x /∈ Y } .

Ako je Y ⊂ X, umjesto o razlici skupova X \ Y , govorimo o kom-plementu skupa Y u odnosu na skup X i koristimo oznaku CX(Y ).Ukoliko su svi skupovi koje posmatramo podskupovi nekog skupaU , koga tada nazivamo univerzalni skup ili univerzum, koristimooznaku C(X) (ili Xc) za CU(X) = U \ X.Ovdje treba napomenuti da ne postoji skup koji bi predstavljao ap-solutni komplement datog skupa, tj. za zadati skup B, ne postojiskup A = {x| x /∈ B}. Naime, ako bi takav skup postojao, onda bina osnovu aksioma unije i A∪B bio skup, sto bi znacilo da je A∪Bskup svih skupova, a takav na osnovu ZF sistema aksioma nijemoguc.Aksiom para nam je dozvoljavao napraviti dvoclani skup, koji je

predstavljao neuredjen par skupova. Sada cemo definisati uredjenipar skupova pomocu koga cemo moci uvesti jos jednu operaciju saskupovima.

Definicija 2.1.6. Skup {{x} , {x, y}} nazivamo uredjeni par s prvim

elementom x i drugim elementom y i oznacavamo ga sa (x, y).Element x u uredjenom paru (x, y) nazivamo prva komponenta, a

element y nazivamo druga komponenta uredjenog para.

Ocigledno vrijedi

(x, y) = {{x} , {x, y}} 6= {{y} , {x, y}} = (y, x) .

Gornju cinjenicu izrazavamo lemom

Lema 2.1.7. Uredjeni par (x, y) jednak je uredjenom paru (a, b) ako

i samo ako vrijedi x = a i y = b.

17


Definicija 2.1.7. Direktni, Kartezijev ili Descartesov proizvod skupova

X i Y , u oznaci X×Y , je skup svih uredjenih parova kod kojih je prva

komponenta iz skupa X, a druga komponenta iz skupa Y .

X × Y = {(x, y)| x ∈ X ∧ y ∈ Y } .

Teorem 2.1.8. Kartezijev proizvod skupova je skup.

Dokaz : Nije tesko vidjeti da smo definiciju Kartezijevog produkta

mogli uvesti i sa

X × Y = {z ∈ P(P(X ∪ Y ))| (∃x ∈ X)(∃y ∈ Y )z = (x, y)} . (1)

Zato pokazimo da je X × Y iz gornje jednakosti, dobro definisanskup.Neka su x ∈ X i y ∈ Y proizvoljni elementi. Tada X ∪ Y je skupna osnovu aksioma unije i x, y ∈ X ∪ Y . Na osnovu aksioma opartitivnom skupu, P(X ∪Y ) je skup i pri tome je {x} , {x, y} ∈ P(X ∪Y ). Ali tada {{x} , {x, y}} ∈ P(P(X ∪ Y )) i to je opet zbog Aksioma5, skup. Dakle, (x, y) = {{x} , {x, y}} ∈ P(P(X ∪ Y )), pa na osnovuAksioma 6, postoji skup (1). ♣

Uopstavajuci pojam uredjenog para, mozemo definisati i pojamuredjene n-torke (n ∈ N).

Definicija 2.1.8. Neka je n proizvoljan prirodni broj. Uredjenu n-

torku definisemo kao

1. (x1) = x1, za n = 1.

2. (x1, x2, ..., xn) = ((x1, x2, ..., xn−1), xn), za n > 1.

Sada Kartezijev proizvod skupova X1, X2, ..., Xn definisemo kao skup

X1 × X2 × · · · × Xn = {(x1, x2, ..., xn)| (∀i)(1 ≤ i ≤ n ⇒ xi ∈ Xi)} .

Specijalno, ako je X1 = X2 = · · · = Xn = X, govorimo o n-tom(direktnom) stepenu skupa X, u oznaci Xn. Direktan produktmozemo definisati i za proizvoljnu familiju skupova. Naima, ako

imamo {Xi| i ∈ I}, gdje je I proizvoljan skup indeksa, onda sa∏

i∈I

Xi

oznacavamo direktan produkt familije skupova {Xi| i ∈ I}.

18

2.2. Aksiom izbora

2.2 Aksiom izbora

Neka je zadata neprazna familija nepraznih skupova F = {Xi| i ∈ I}.

Da li je skup∏

i∈I

Xi takodje neprazan?

Ako je familija konacna, npr. F = {X1, X2, ..., Xn}, onda prostimbiranjem po jednog elementa xi iz svakog od nepraznih skupova Xi

(i = 1, 2, ..., n), formiramo n-torku (x1, x2, ..., xn) koja pripada

n∏

i=1

Xi, tj.

produkt nije prazan skup.Ako je familija F beskonacna, postavlja se pitanje da li i sadamozemo izabrati po jedan element iz svakog od skupova Xi (i ∈ I)?Pitanje mozemo postaviti i ovako: neka je zadata beskonacna famil-ija F nepraznih disjunktnih skupova, da li postoji skup S kojisadrzi po tacno jedan element iz svakog skupa te familije (takavskup onda bi zvali izborni skup)? Ako je odgovor ”DA”, sto basi nije ocigledno ili nije jednostavno za pokazati, onda nas sistemaksioma moramo dopuniti sa jos jednom aksiomom.

Axiom 10. Aksiom izbora Za svaki skup X, nepraznih i disjunk-

tnih skupova, postoji skup S koji sadrzi po jedan i samo po jedan

element svakog skupa iz X.

(∀x, y ∈ X)(x 6= ∅∧(x 6= y ⇒ x∩y = ∅)) ⇒ (∃S)(∀z ∈ X)(∃!u) u ∈ z∩S .

Definicija 2.2.1. Neka je {Xi| i ∈ I} neprazna familija nepraznih

skupova i neka je X = ∪i∈IXi. Funkcija f : {Xi| i ∈ I} → X, sa

osobinom da je za svako i ∈ I, f(Xi) ∈ Xi, naziva se funkcija izbora.

Teorem 2.2.1. (Zermelo)

Za svaku nepraznu familiju skupova, postoji funkcija izbora.

Dokaz : Za svako i ∈ I formirajmo direktni proizvod Xi × {i} = X ′i,

tj. X ′i = {(x, i)| x ∈ Xi}. Familija {X ′

i| i ∈ I} se sastoji od medjusobnodisjunktnih skupova. Naime, ako je i 6= j, onda je i X ′

i ∩ X ′j = ∅

jer su svi (x, i) ∈ X ′i i (x, j) ∈ X ′

j medjusobno razliciti po drugojkomponenti. Prema aksiomu izbora postoji skup S koji sadrzi jedani samo jedan element svakog od skupova X ′

i (i ∈ I). To znaci da jeS ∩X ′

i = (x∗, i) za neko x∗ ∈ Xi i za svako i ∈ I, pa mozemo definisatifunkciju f : {Xi| i ∈ I} → ∪i∈IXi, zadatu sa

f(Xi) = x∗ ∈ Xi ,

19

2.2. Aksiom izbora

a to znaci da je f funkcija izbora. ♣

Dakle, ovim teoremom tvrdimo da aksiom izbora povlaci posto-janje izborne funkcije. Medjutim, vrijedi i obrat.

Teorem 2.2.2. Ako za nepraznu familiju skupova postoji izborna

funkcija, tada vrijedi aksiom izbora.

Dokaz : Neka je {Xi| i ∈ I} neprazna familija nepraznih i disjunkt-

nih skupova. Za tu familiju, na osnovu Zermelove teoreme, postojifunkcija izbora f : {Xi| i ∈ I} → ∪i∈IXi, takva da je f(Xi) ∈ Xi (i ∈ I).Dakle, funkcija f pridruzuje svakom Xi tacno jedan element skupaXi, pa skup

S = {f(Xi)| i ∈ I} ,

ima trazenu osobinu iz aksioma izbora. ♣

Teorem 2.2.1 i Teorem 2.2.2 nam pokazuju ekvivalentnost ak-sioma izbora i postojanja funkcije izbora. Sta vise, iz ovoga vidimoda aksiom izbora vrijedi i kada posmatrana familija skupova sadrziproizvoljne skupove, a ne obavezno disjunktne.Teorija skupova u kojoj uvodimo ZF sistem aksioma plus aksiom

izbora (AC), oubicajeno se oznacava sa ZFC. Mnogi matematicari,ukljucujuci i samog Cantora, koristili su neki oblik aksiome izboraali je nisu eksplicitno navodili. Prvi put je eksplicitno iskazuje G.Peano1 1890. jer je u dokazu jedne teoreme u teoriji obicnih difer-encijalnih jednacina imao potrebu za tvrdnjom koju daje aksiomizbora. B. Russell je aksiom izbora 1906 iskazao sa,Ako je X familija nepraznih disjunktnih skupova, tada je

∏X 6= ∅.

Zbog ”jednostavnosti” i ”ociglednosti” aksioma izbora, preovladavautisak da bi se on mogao izbjeci i dokazati pomocu ostalih aksiomaZF teorije. Mnogi su to i pokusali ali nikome to do danas nije posloza rukom. To je samo produkovalo da danas imamo oko stotin-jak ekvivalenata aksiomi izbora. Upravo to ce onda baciti sumnjuna ”jednostavnost” i ”ociglednost” aksioma izbora. Ipak, rjesenje”sumnje” o AC razrijesio je K. Godel2 1939. On je dokazao sljedeciteorem.

Teorem 2.2.3. (O saglasnosti ZF sa AC)

AC je saglasan sa ZF teorijom, tj. ako je ZF teorija neprotivurijecna,

onda je takva i teorija ZFC.

1Giuseppe Peano, italijanski matematicar (1858-1932)2Kurt Godel, njemacki matematicar (1906-1978)

20

2.3. Relacije

Tezim se pokazalo da li se ili ne, AC moze izvesti iz ZF teorije. Tajproblem ce biti rijesen 1963. od strane Cohena, koji ce pokazati daje problem sa AC slican V Euklidovom postulatu u geometriji.

Teorem 2.2.4. (O nezavisnosti AC o ZF)

AC je nezavisna od ZF teorije, tj. ako je ZF teorija neprotivurijecna,

onda je takva i teorija ZF+¬ AC

Koliko god ove teoreme formalno u potpunosti razrjesavaju statusAC u odnosu na ZF teoriju, dopustamo da ce neki citaoci i daljeostati u dilemi: ” Da li je AC, u stvari, tacna ili ne?” Nikakav ”ustvari” ne postoji. ZF teorijom opisujemo samo zamisljene objekte,a koje u stvari niti smo konstruisali niti vidjeli. Ako se dogovorimoda je svijet koga opisuje ZF teorija, svijet skupova, onda je taj opisnepotpun. Naime, postoje svijetovi u kojima je AC tacna, a postoje isvijetovi u kojima AC ne vazi. Ali je vazno da u svijetu koga opisujeZF teorija AC nije istovremeno i tacna i netacna. Dakle, pitanjeprihvatanja ili odbacivanja AC nosi iskljucivo filozofski karakter.

2.3 Relacije

Definicija 2.3.1. Neka je n ∈ N proizvoljan i neka su X1, X2, ..., Xn

skupovi. n-arna relacija na skupovima X1, X2, ..., Xn je proizvoljan

podskup skupa X1 × X2 × ... × Xn.

Ako je X1 = X2 = · · · = Xn = X, govorimo o n-arnoj relaciji na skupu

X.

Specijalno, kada imamo dva skupa X i Y , govorimo o dvoclanoj ilibinarnoj relaciji iz skupa X u skup Y . Dakle, binarna relacija izskupa X u skup Y je proizvoljan podskup ρ ⊆ X ×Y . Ako je X = Y ,i ρ ⊆ X × X, kazemo da je ρ binarna relacija na X.Za binarnu relaciju ρ, umjesto oznake (x, y) ∈ ρ uobicajeno se ko-

risti neka od sljedecih oznaka

ρ(x, y) , xρy , x ≡ y(mod ρ) , x ≡ρ y .

Definicija 2.3.2. Neka je ρ ⊆ X × Y proizvoljna binarna relacija.

1. Skup

D1(ρ) = {x ∈ X| (∃y ∈ Y ) (x, y) ∈ ρ} ,

nazivamo domen ili lijevo podrucje relacije ρ.

21

2.3. Relacije

2. Skup

D2(ρ) = {y ∈ Y | (∃x ∈ X) (x, y) ∈ ρ} ,

nazivamo kodomen ili desno podrucje relacije ρ.

Definicija 2.3.3. Neka su X,Y i Z proizvoljni skupovi. Neka je ρ1 ⊆X×Y i ρ2 ⊆ Y ×Z. Pod kompozicijom relacija ρ1 i ρ2, podrazumijevamo

skup

ρ2 ◦ ρ1 = {(x, z)| (∃y ∈ Y )((x, y) ∈ ρ1 ∧ (y, z) ∈ ρ2)} ⊆ X × Z .

Lema 2.3.1. Za proizvoljne ρ1 ⊂ X × Y i ρ2 ⊆ Y × Z vrijedi,

1. D1(ρ2 ◦ ρ1) = D1(ρ1).

2. D2(ρ2 ◦ ρ1) = D2(ρ2).

3. D2(ρ1) = D1(ρ2).

Definicija 2.3.4. Neka je ρ ⊆ X × Y . Inverzna relacija relacije ρ, je

relacija

ρ−1 = {(y, x)| (x, y) ∈ ρ} ⊆ Y × X .

Ocigledno iz definicije slijedi idenpotentnost inverznosti relacije,tj. za proizvoljnu relaciju vrijedi (ρ−1)

−1= ρ. Takodje iz definicije

inverzne relacije direktno imamo (X × Y )−1 = Y × X.

Definicija 2.3.5. Neka je X neprazan skup. Relaciju ∆ ⊂ X × X,

definisanu sa

∆ = {(x, x)| x ∈ X} ,

nazivamo dijagonalna relacija skupa X.

Dokazi za sljedeca dva tvrdjenja ostavljena su citaocu za vjezbu.

Lema 2.3.2. Neka su zadate relacije ρ1 ⊆ X × Y , ρ2 ⊆ Y × Zi ρ3 ⊆Z × W . Tada vrijedi

1. (ρ2 ◦ ρ1)−1 = ρ−1

1 ◦ ρ−12 .

2. (ρ3 ◦ ρ2) ◦ ρ1 = ρ3 ◦ (ρ2 ◦ ρ1).

Lema 2.3.3. Neka su zadate relacije ρ1, ρ2 ⊆ X × Y . Tada vrijedi

1. (ρ1 ∪ ρ2)−1 = ρ−1

1 ∪ ρ−12 .

2. (ρ1 ∩ ρ2)−1 = ρ−1

1 ∩ ρ−12 .

22

2.4. Funkcije

Relacije kao specijalna vrsta skupova, imaju neke svoje vazne os-obine. Sljedecom definicijom uvodimo najvaznije od tih osobina.

Definicija 2.3.6. Neka je ρ ⊆ X × X.

1. Za ρ kazemo da je refleksivna, ako vrijedi ∆ ⊆ ρ.

2. Za ρ kazemo da je antirefleksivna, ako vrijedi ∆ ∩ ρ = ∅.

3. Za ρ kazemo da je simetricna, ako vrijedi ρ−1 = ρ.

4. Za ρ kazemo da je antisimetricna, ako vrijedi ρ ∩ ρ−1 = ∆.

5. Za ρ kazemo da je asimetricna, ako vrijedi ρ ∩ ρ−1 = ∅.

6. Za ρ kazemo da je tranzitivna, ako vrijedi ρ ◦ ρ ⊆ ρ.

7. Za ρ kazemo da je povezana, ako vrijedi ((X × X) \ ∆) ∩ ρ 6= ∅.

Ove se osobine mogu iskazati i na drugaciji nacin. Tako imamo

(∀x ∈ X) xρx ( refleksivnost ) .

(∀x ∈ X) ¬(xρx) ( antirefleksivnost ) .

(∀x, y ∈ X)(xρy ⇒ yρx) ( simetricnost ) .

(∀x, y ∈ X)(xρy ∧ yρx ⇒ x = y) ( antisimetricnost ) .

(∀x, y ∈ X)(xρy ⇒ ¬(yρx)) ( asimetricnost ) .

(∀x, y, z ∈ X)(xρy ∧ yρz ⇒ xρz) ( tranzitivnost) .

(∀x, y ∈ X)(x 6= y ⇒ xρy ∨ yρx) ( povezanost ) .

2.4 Funkcije

Definicija 2.4.1. Za relaciju f ⊆ X × Y , koja zadovoljava osobine

1. (∀x ∈ X)(∃y ∈ Y ) (x, y) ∈ f ,

2. (x, y1) ∈ f ∧ (x, y2) ∈ f ⇒ y1 = y2,

23

2.4. Funkcije

kazemo da je funkcija ili preslikavanje, definisana na skupu X sa

vrijednostima u skupu Y .

Za funkciju kazemo da preslikava skup X u skup Y i to zapisujemo

sa f : X → Y . Umjesto (x, y) ∈ f , uobicajeno pisemo y = f(x), y = fxili f : x 7→ y. Pri tome, element x ∈ X nazivamo original, a element

y = f(x) ∈ Y nazivamo slika.

Skup X = D1(f) nazivamo domen ili podrucje originala, a skup D2(f) ⊆Y nazivamo kodomen ili podrucje slika funkcije.

Kao sto vidimo, funkcija je specijalan slucaj relacije. Tako je idijagonalna relacija ∆ ⊆ X × X, primjer funkcije koju nazivamoidentiteta ili identicko preslikavanje, idX : X → X, definisana saidX(x) = x, za proizvoljno x ∈ X. Preslikavanje i : X → Y , definisanosa i(x) = x (x ∈ X), gdje je X ⊆ Y , nazivamo inkluzija ili inkluzivnopreslikavanje.Ako f : X → Y i ako je A ⊆ X, preslikavanje f |A : A → Y , zadato saf |A(x) = f(x) (x ∈ A), nazivamo restrikcija preslikavanja f na skupA.Ako sa Y X oznacimo sva preslikavanja iz X u Y , tada ako je f ⊆

X ×Y neko od tih preslikavanja, jasno f ∈ P(X ×Y ). Ali tada vrijediY X ⊆ P(X × Y ), pa je na osnovu aksioma specifikacije Y X skup, tj.mozemo pisati

Y X = {f | f : X → Y } .

Teorem 2.4.1. Ako je f ∈ Y X i g ∈ ZY onda je i g◦f ⊆ X×Z funkcija.

Dokaz : Kako je f ∈ Y X i g ∈ ZY , to na osnovu kompozicije relacija

imamo

g ◦ f = {(x, z)| (∃y ∈ Y ) ((x, y) ∈ f ∧ (y, z) ∈ g), x ∈ X, z ∈ Z}

= {(x, z)| (∃y ∈ Y ) (y = f(x) ∧ z = g(y)), x ∈ X, z ∈ Z}

= {(x, z)| z = g(f(x)), x ∈ X, z ∈ Z}

= {(x, z)| z = (g ◦ f)(x), x ∈ X, z ∈ Z} ,

tj.g ◦ f = {(x, z)| z = (g ◦ f)(x)} ⊆ X × Z .

Pokazimo jos da su za relaciju g ◦ f zadovoljeni uslovi Definicije2.4.1.Kako je f funkcija, onda za svako x ∈ X, postoji y ∈ Y , tako da jey = f(x). To isto vazi i za funkciju g, pa specijalno za y = f(x) ∈ Y ,

24

2.4. Funkcije

postoji z ∈ Z, tako da je z = g(y). Dakle, za svako x ∈ X, postojiz ∈ Z, takav da je

z = g(y) = g(f(x)) = (g ◦ f)(x) ,

a to znaci da je zadovoljen prvi uslov.Neka su sada (x, z1), (x, z2) ∈ g ◦ f . Ovo znaci da je z1 = g(f(x)),odnosno z2 = g(f(x)). Stavljajuci da je y = f(x), ovo bi znacilo da je(y, z1), (y, z2) ∈ g, a kako je g funkcija, zakljucujemo da mora vrijeditiz1 = z2. ♣

Funkciju g ◦f , uvedenu gornjom teoremom, nazivamo kompozicijafunkcija f i g. Sljedece tvrdjenje je direktna posljedica osobinarelacija te je ostavljeno citaocu za vjezbu da ga dokaze.

Lema 2.4.2. Kad god su definisane sljedece kompozicije, vrijedi

1. U opstem slucaju, f ◦ g 6= g ◦ f .

2. f ◦ (g ◦ h) = (f ◦ g) ◦ h.

3. id ◦ f = f i f ◦ id = f .

Definicija 2.4.2. Neka je f : X → Y proizvoljna funkcija.

1. Za f kazemo da je injektivno preslikavanje ili injekcija, ako vri-

jedi

(∀x1 ∈ X)(∀x2 ∈ X)(∀y ∈ Y )((x1, y) ∈ f ∧ (x2, y) ∈ f ⇒ x1 = x2) .

2. Za f kazemo da je surjektivno preslikavanje ili surjekcija, ako

vrijedi

(∀y ∈ Y )(∃x ∈ X) (x, y) ∈ f .

3. Za f kazemo da je bijektivno preslikavanje ili bijekcija, ako vri-

jedi

(∀y ∈ Y )(∃x ∈ X)(∀x′ ∈ X)((x, y) = (x′, y) ∈ f ⇒ x = x′) .

Za injektivno preslikavanje kazemo jos i da je to ”1-1” (jedan-jedan) preslikavanje, a to u stvari znaci, pojednostavljeno govoreci,da jednakim slikama odgovaraju jednaki originali. Primjenimo likontrapoziciju implikacije, ovo iskazujemo sa ”razlicitim original-ima odgovaraju razlicite slike”.

25

2.4. Funkcije

Surjektivno preslikavanje nazivamo i ”na” preslikavanje jer, pojed-nostavljeno govoreci, ovo znaci da je svaki element y ∈ Y slika barjednog elementa x ∈ X. Ovo znaci D2(f) = Y .Na kraju, bijektivnost preslikavanja znaci istovremenost injektivnostii surjektivnosti preslikavanja. U kontekstu ovog pojednostavlji-vanja, bijektivnost znaci da je svaki element y ∈ Y slika tacnojednog originala x ∈ X.

Definicija 2.4.3. Neka je f ∈ Y X . Kazemo da je:

1. f monomorfizam ako

(∀g1 ∈ XZ)(∀g2 ∈ XZ)(f ◦ g1 = f ◦ g2 ⇒ g1 = g2) .

2. f je epimorfizam ako

(∀g1 ∈ ZY )(∀g2 ∈ ZY )(g1 ◦ f = g2 ◦ f ⇒ g1 = g2) .

3. f je izomorfizam ako

(∃g ∈ XY )(g ◦ f = idX ∧ f ◦ g = idY ) .

Teorem 2.4.3. Neka je f ∈ XY . Tada vrijedi:

1. f je monomorfizam ako i samo ako je f injektivno preslikavanje.

2. f je epimorfizam ako i samo ako je f surjektivno preslikavanje.

3. f je izomorfizam ako i samo ako je f bijektivno preslikavanje.

Teorem 2.4.4. Neka su f ∈ Y X i g ∈ ZY . Tada vrijedi:

1. Ako su f i g monomorfizmi, onda je i g ◦ f monomorfizam.

2. Ako su f i g epimorfizmi, onda je i g ◦ f epimorfizam.

3. Ako su f i g izomorfizmi, onda je i g ◦ f izomorfizam.

26

Glava 3

Kardinalni brojevi

Najpoznatiji pristup pojmu kardinalnog broja jeste preko pojma tzv.ekvipotentnih skupova. Prema tom pristupu, svaka klasa skupovapredstavlja kardinalni broj (koji odgovara tim skupovima). Dakle,svakom skupu cemo na jednoznacan nacin pridruziti njegov kar-dinalni broj i dva skupa ce imati isti kardinalni broj samo ako suekvipotentni. Mnogo stroziji pristup proizilazi iz stava da svi objektisa kojima radimo (pa i kardinali) su skupovi, a time bi kardinaletrebalo uvesti kao specijalne ordinale.

3.1 Ekvipotentnost skupova

Definicija 3.1.1. Za skupove A i B kazemo da su ekvipotentni i

pisemo A ∼ B, ako i samo ako postoji bijekcija f : A → B.

Primjer 3.1. Posmatrajmo skupove N = {1, 2, 3, ...} i 2N = {2, 4, 6, ...}.Neka je f : N → 2N, zadato sa f(n) = 2n (n ∈ N). Lahko se provjeravada je preslikavanje f injektivno i surjektivno, tj. bijekcija, pa daklevrijedi N ∼ 2N. Primjetimo da je 2N ⊂ N. ♦

Primjer 3.2. Neka je X = {a, b, c} i Y = {1, 2, 3, 4, 5}. Jasno je da nepostoji bijekcija izmedju skupova X i Y , pa dakle vrijedi X ≁ Y . ♦

Teorem 3.1.1. Neka je U univerzum svih posmatranih skupova.

Relacija ”biti ekvipotentan” je relacija ekvivalencije na U .

Dokaz : Da bi dokazali izrecenu tvrdnju, treba dokazati da data

relacija ima osobine refleksivnosti, simetricnosti i tranzitivnosti.

27

3.1. Ekvipotentnost skupova

Za proizvoljan A ∈ U mozemo posmatrati identicno preslikavanjeidA : A → A, idA(x) = x, koje je ocigledna bijekcija, pa dakle vrijediA ∼ A, tj. ”∼” je refleksivna.Neka su A,B ∈ U i neka postoji bijekcija f : A → B. f je izomor-fizam, pa postoji g : B → A, takvo da je f ◦ g = idX. Ali tada je i gizomorfizam, tj. bijekcija, a to znaci da vrijedi B ∼ A. Dakle, ”∼” jesimetricna relacija.Neka su sada A,B,C ∈ U i neka postoje bijekcije f : A → B ig : B → C. Tada je i preslikavanje h = g ◦ f : A → C bijektivno(Teorem 2.4.4), a to znaci A ∼ C, pa je ”∼” tranzitivna.Na osnovu svega ovoga zakljucujemo da je ”∼” relacija ekvivalen-

cije. ♣

Kako svaka relacija ekvivalencije ”razbija” skup na kom je defin-isana na disjunktne klase ekvivalencija, jasno je onda da jednuklasu ekvuvalencije cine skupovi koji su medjusobno ekvipotentni.

Definicija 3.1.2. Svakoj klasi ekvivalencije relacije ”∼” pridruzujemo

broj koga nazivamo kardinalni broj. Svaki skup iz iste klase ima isti

kardinalni broj i u tom slucaju govorimo o kardinalnom broju skupa,

sto cemo zapisivati sa card(A).

Dakle, za dva skupa A i B kazemo da imaju isti kardinalni broj,card(A) = card(B), ako vrijedi A ∼ B.

Definicija 3.1.3. Skup A ima kardinalni broj manji ili jednak od

kardinalnog broja skupa B, card(A) ≤ card(B), ako i samo ako postoji

B′ ⊆ B, takav da je

card(A) = card(B′) .

Lema 3.1.2. Neka su A i B proizvoljni skupovi. Tada vrijedi, card(A) ≤card(B) ako i samo ako postoji injektivno preslikavanje f : A → B.

Dokaz : Neka je card(A) ≤ card(B). Na osnovu Definicije 3.1.3, to

znaci da postoji B′ ⊆ B takav da je card(A) = card(B′), a to znaci dasu skupovi A i B′ ekvipotentni, pa postoji bijekcija g : A → B′. Nekaje i : B′ → B inkluzivno preslikavanje. Svaka inkluzija je injektivnopreslikavanje, pa je i f = i ◦ g injektivno preslikavanje i pri tomef : A → B.Neka je sada f : A → B injekcija. Posmatramo li skup f(A) ⊆ B,

onda je preslikavanje f : A → f(A), koje dobijemo tako da suzimokodomen preslikavanja f na skup f(A), i surjekcija, tj. ono je bi-jektivno preslikavanje. Ovo opet znaci da su skupovi A i B′ = f(A)ekvipotentni i pri tome je B′ ⊆ B, pa vrijedi card(A) ≤ card(B). ♣

28


Primjetimo da ako vrijedi X ⊆ Y , onda mozemo posmatrati inkluziv-no preslikavanje i : X → Y , i(x) = x, a kako je inkluzivno preslika-vanje injektivno, onda vrijedi card(X) ≤ card(Y ).U dokazima narednih tvrdjenje bit ce nam potrebna dva pojma

koji nisu bitno vezani za teoriju skupova, te ih zbog toga necemoni definisati formalno. Za preslikavanje f : X → X kazemo da imasvojstvo fiksne tacke ako postoji x ∈ X, takav da je f(x) = x. Zapreslikavanje f : X → X kazemo da je uzlazno ako za proizvoljneA,B ∈ P (X) iz A ⊆ B slijedi f(A) ⊆ f(B).

Lema 3.1.3. Neka je X proizvoljan skup i P(X) njegov partitivni

skup. Ako je f : P(X) → P(X) uzlazno preslikavanje, tada f ima

svojstvo fiksne tacke.

Dokaz : Oznacimo sa

L = {Y ∈ P(X)| Y ⊆ f(Y )} .

Ovaj skup nije prazan jer bar ∅ ∈ L (prazan skup je podskup bilokog skupa). Definisimo dalje skup K na sljedeci nacin

K = ∪L = ∪{Y | Y ∈ L} ∈ P(X) .

Kako je L neprazan, na osnovu aksioma unije, skup K postoji.Za proizvoljno Y ∈ L je Y ⊆ K, a onda zbog uzlaznosti preslika-

vanja f imamo da je f(Y ) ⊆ f(K). Kako je Y ∈ L, onda je Y ⊆ f(Y ),pa dakle imamo da je za svako Y ∈ L, y ⊆ f(K). Onda i njihovaunija ima istu osobinu, tj.

K = ∪{Y | Y ∈ L} ⊆ f(K) . (1)

S druge strane, kako su K, f(K) ∈ P(X) i zbog K ⊆ f(K), na osnovuuzlaznosti preslikavanja imamo f(K) ⊆ f(f(K)). Ovo onda znaci daje f(K) ∈ L, pa je tim prije zadovoljeno

f(K) ⊂ ∪L = K . (2)

Iz (1) i (2) imamo da vrijedi f(K) = K, tj. f ima svojstvo fiksnetacke. ♣

Iskazimo sada jedan od najvaznijih teorema teorije skupova.

Teorem 3.1.4. (Cantor-Bernstein-Schroder)

Ako za proizvoljne skupove X i Y vrijedi

card(X) ≤ card(Y ) i card(Y ) ≤ card(X) ,

onda vrijedi card(X) = card(Y ).

29


Dokaz : Neka vrijedi

card(X) ≤ card(Y ) i card(Y ) ≤ card(X) ,

to znaci da postoje injektivna preslikavanja

f : X → Y i g : Y → X .

Da bi pokazali ekvipotentnost skupova X i Y , moramo pronaci nekobijektivno preslikavanje sa X na Y .Posmatrajmo kao prvo preslikavanje h : P(X) → P(X), zadato sa

A ⊆ X , h(A) = X \ g(Y \ f(A)) .

Neka su A,B ⊆ X takvi da je A ⊆ B. Tada imamo

A ⊆ B ⇒ f(A) ⊆ f(B)

⇒ Y \ f(A) ⊇ Y \ f(B)

⇒ g(Y \ f(A)) ⊇ g(Y \ f(B))

⇒ X \ g(Y \ f(A)) ⊆ X \ g(Y \ f(B))

⇒ h(A) ⊆ h(B) .

Dakle, preslikavanje h je uzlazno preslikavanje, pa na osnovu Leme3.1, h ima fiksnu tacku, tj. postoji K ⊆ X, takav da je h(K) = K,odnosno

K = X \ g(Y \ f(K)) .

K

X

g(Y \ f(K))

f(K)

Yf

g

30

3.2. Konacni i beskonacni skupovi

Za ovako odredjen skup K, definisimo sada funkciju φ : X → Y ,zadatu sa

φ(x) =

{f(x) ; x ∈ K

g−1(x) ; x ∈ X \ K

Zbog izbora skupa K jasno je da je ovo preslikavanje injektivno.Osim toga je

φ(X) = φ(K) ∪ φ(X \K) = f(K) ∪ g−1(X \K) = f(K) ∪ (Y \ f(K)) = Y ,

pa zakljucujemo da je φ i surjektivno preslikavanje.Dakle, pronasli smo bijekciju φ : X → Y , pa vrijedi card(X) =card(Y ). ♣

Teorem 3.1.5. Neka su X,Y i Z proizvoljni skupovi za koje vri-

jedi X ⊆ Y ⊆ Z. Ako je card(X) = card(Z), onda vrijedi card(X) =card(Y ) = card(Z).

Dokaz : Kao sto je napomenuto iza Leme 3.1.2, iz X ⊆ Y slijedi da

jecard(X) ≤ card(Y ) . (3)

Isto tako iz Y ⊆ Z imamo card(Y ) ≤ card(Z), a zbog pretpostavkecard(X) = card(Z), onda vrijedi

card(Y ) ≤ card(X) = card(Z) . (4)

Iz (3) i (4), na osnovu Cantor-Bernsteinove teoreme zakljucujemoda vrijedi card(X) = card(Y ). ♣

Primjer 3.3. Neka je A = [0, 4] i B = [0, 2] ∪ [3, 4]. Ocigledno je B ⊆ A,pa vrijedi card(B) ≤ card(A).Posmatrajmo preslikavanje f : A → B, zadato sa f(x) = 1

2x. f

je ocigledno injektivno preslikavanje pa na osnovu Leme 3.1.2 jecard(A) ≤ card(B). Sada na osnovu Cantor-Bernsteinove teoremezakljucujemo da vrijedi card(A) = card(B) ♦

3.2 Konacni i beskonacni skupovi

Definicija 3.2.1. Za skup X kazemo da je beskonacan ako i samo

ako postoji element α koji ne pripada skupu X, tako da vrijedi

card(X ∪ {α}) = card(X) .

Ako skup nije beskonacan onda kazemo da je konacan.

31


Primjer 3.4. Posmatrajmo skup N = {1, 2, 3, ...}. Oznacimo sa N0 =N∪{0}. Neka je f : N0 → N, zadato sa f(n) = n+1. Zbog linearnosti, fje bijektivno preslikavanje, a to znaci card(N) = card(N0). Na osnovugornje definicije, skup N je dakle beskonacan skup (ovdje je α = 0).♦

Sljedecim teoremom dajemo jednu karakterizaciju beskonacnihskupova.

Teorem 3.2.1. Skup je beskonacan ako i samo ako je ekvipotentan

svom pravom podskupu.

Dokaz : Neka je A beskonacan skup. Tada postoji α /∈ A, takav

da je card(A) = card(A ∪ {α}). To opet znaci da postoji bijekcijaf : A ∪ {α} → A. Ali tada je i preslikavanje

f |A : A → A \ {f(α)}

takodje bijekcija, a to znaci da je A ekvipotentan skupu A \ {f(α)},medjutim ocigledno je A \ {f(α)} ⊂ A.Neka je sada A ekvipotentan svom pravom podskupu A′. Tada

ocigledno postoji x0 ∈ A \ A′ i pri tome vrijedi

A′ ⊂ A′ ∪ {x0} ⊆ A .

Zbog A ∼ A′, na osnovu Leme 3.1.5 imamo

card(A′) = card(A′ ∪ {x0}) = card(A) .

Neka je α /∈ A proizvoljan. Iz A ∼ A′, onda je A∪{α} ∼ A′∪{α}. Kakoje card(A′ ∪ {x0}) = card(A′ ∪ {α}), zakljucujemo da je card(A∪ {α}) =card(A′∪{x0}) = card(A), a ovo upravo znaci beskonacnost skupa A.♣

Teorem 3.2.2. Skup je konacan ako i samo ako je svako injektivno

preslikavanje tog skupa u samog sebe ujedno i surjekcija.

Dokaz : Neka je X konacan skup i neka je f : X → X injektivno

preslikavanje. Pretpostavimo da f nije surjektivno preslikavanje,tj neka je f(X) ⊂ X. Oznacimo sa X ′ = f(X). Tada je f : X → X ′

bijekcija, pa zakljucujemo da su X i X ′ ekvipotentni skupovi, a tona osnovu Teorema 3.2.1 znaci da je X beskonacan skup. To je

32


kontradikcija sa konacnoscu skupa X, pa zakljucujemo da f morabiti surjektivno preslikavanje.Neka je sada svaka injekcija f : X → X ujedno i surjekcija. Pret-

postavimo da je X beskonacan skup. To znaci da je X ekvipotentannekom svom pravom podskupu X ′, tj. postoji bijekcija g : X → X ′.Posmatrajmo sada preslikavanje f = i◦g : X → X, gdje je i : X ′ → Xinkluzivno preslikavanje. Kako je svako inkluzivno preslikavanjeinjektivno i kako je g takodje injektivno (g je bijekcija), onda jei njihova kompozicija, tj. preslikavanje f , injektivno. Zbog po-lazne pretpostavke f je tada i surjektivno preslikavanje, tj. vrijedif(X) = X. Ali tada imamo

X = f(X) = (i ◦ g)(X) = i(g(X)) = g(X) = X ′ ,

sto je kontradikcija sa pretpostavkom da je X ′ pravi podskup od X.Dakle, X nemoze biti beskonacan skup, tj. on je konacan skup. ♣

Teorem 3.2.3. Neka je A beskonacan skup i neka je A ⊆ X. Tada

je i X beskonacan skup.

Dokaz : Neka je A beskonacan skup i A ⊆ X. Zbog beskonacnosti,

A je ekvipotentan svom pravom podskupu, tj. postoji A′ ⊂ A, takoda je A′ ∼ A, odnosno postoji bijekcija f : A → A′. Oznacimo saX ′ = X \ A ∪ A′. Zbog A′ ⊂ A, jasno je X ′ ⊂ X. Posmatrajmo sadapreslikavanje F : X → X ′ zadato sa

F (X) =

{f(x) ; x ∈ A

x ; x ∈ X \ A

Iz same konstrukcije preslikavanja F jasno je da je to bijektivnopreslikavanje, a to znaci da je X ekvipotentan svom pravom pod-skupu X ′, pa je X beskonacan skup. ♣

Teorem 3.2.4. Ako je A konacan skup i ako je X ⊆ A, onda je i Xkonacan skup.

Dokaz : Neka je A konacan i X ⊆ A. Pretpostavimo da X nije

konacan, tj. neka je X beskonacan skup. To bi prema gornjojteoremi znacilo da je i A beskonacan skup sto bi bila kontradikcija.Dakle, X mora biti konacan skup. ♣

33


Teorem 3.2.5. Za proizvoljan prirodan broj n, skup An = {1, 2, 3, ..., n}je konacan skup.

Teorem 3.2.6. Za razlicite prirodne brojeve m i n, skupovi Am i An

nisu ekvipotentni.

Dokaz : Pretpostavimo da postoje m,n ∈ N, m 6= n takvi da je Am ∼

An. Ne gubeci na opstosti, neka je m < n. Tada je ocigledno Am ⊂ An

i dakle, An je ekvipotentan svom pravom podskupu sto bi znaciloda je An beskonacan skup, a to prema Teoremi 3.2.5 nije moguce.♣

Teorem 3.2.7. Neka je X proizvoljan konacan skup. Tada, ili je

X = ∅ ili postoji n ∈ N, tako da je X ∼ An.

Na osnovu gornje teoreme konacne skupove mozemo preciznijeokarakterisati. Naime, neka je X konacan skup i neka je X 6= ∅.Tada je za neko n ∈ N, X ∼ An, tj. postoji bijekcija f : An → X. Akostavimo da je f(1) = x1, f(2) = x2, ..., f(n) = xn, imamo da je skupX zadat sa svojim elementima

X = {x1, x2, ..., xn} .

Osim toga svaki se konacan skup nalazi u onoj klasi ekvivalen-cije relacije ” ∼ ” u kojoj se nalazi njemu odgovarajuci An. Tadaza konacan skup X koji je ekvipotentan sa An, kazemo da mu jekardinalni broj jednak n, tj.

card(X) = card(An) = n , n ∈ N .

Specijalno, uzimamo da vrijedi card(∅) = 0. Iz gornjeg imamo da susvi prirodni brojevi ukljucujuci nulu, kardinalni brojevi. Za njih seveze i uobicajeno shvatanje kardinala kao ”broja elemenata skupa”,sto u generalnom shvatanju pojma kardinalnih brojeva nije prih-vatljivo. Takve kardinalne brojeve nazivamo konacni kardinali, akao sto cemo vidjeti u daljem, postoje takodje i beskonacni kardi-nali, koji su naravno vezani za beskonacne skupove.Kao sto smo to vec imali prilike vidjeti, vrijedi N ∼ 2N, tj. skup

prirodnih brojeva je ekvipotentan svom pravom dijelu, pa je onkao takav beskonacan skup. Kardinalno broj skupa N oznacavamosimbolom ”ℵ0”. Znak ℵ je prvo slovo hebrejske azbuke i cita se”alef”. Dakle,

card(N) = ℵ0 ,

34

3.3. Prebrojivi skupovi

je kardinalni broj koji pridruzujemo svim skupovima koji su ekvipo-tentni skupu prirodnih brojeva i on predstavlja nas prvi beskonacnikardinalni broj. Sada se namece potreba za jos jednom relacijommedju kardinalnim brojevima.

Definicija 3.2.2. Neka su X i Y proizvoljni skupovi. Kazemo

card(X) < card(Y )def⇔ card(X) ≤ card(Y ) ∧ card(X) 6= card(Y ) .

Gornju definiciju smo mogli iskazati i na nacin da postoji injek-tivno preslikavanje f : X → Y , a da pri tome vrijedi X ≁ Y . Drzecise ovoga, iz do sada poznatih nam stvari, imamo

∅ ⊂ A1 ⊂ A2 ⊂ · · · ⊂ An ⊂ · · · ⊂ N ,

pa tada za uvedene kardinale vrijedi veza

0 < 1 < 2 · · · < n < · · · < ℵ0 .

3.3 Prebrojivi skupovi

Prvi beskonacni kardinalni broj vezali smo za skup prirodnih bro-jeva pa za njega vezemo i posebnu klasu skupova.

Definicija 3.3.1. Za skup X kazemo da je prebrojiv ako je X ∼ N,

tj. ako vrijedi

card(X) = card(N) = ℵ0 .

Za skup X kazemo da je najvise prebrojiv ako je card(X) ≤ ℵ0.

Termin ”prebrojiv” dolazi iz sljedeceg rezonovanja. Kako je X ∼ N,postoji bijekcija f : N → X, tako da je f(n) = xn ∈ X, pa je dakle

X = {x1, x2, ..., xn, ...} ,

tj. elemente skupa X mozemo prikazati u obliku niza.

Teorem 3.3.1. Svaki podskup prebrojivog skupa je konacan ili pre-

brojiv skup.

Dokaz : Neka je X prebrojiv skup i neka je A ⊆ X.

Ako je A konacan skup, tvrdnja je tacna. Zato pretpostavimo da jeA beskonacan skup i pokazimo da on mora biti prebrojiv.

35


Zbog prebrojivosti skupa X, postoji bijekcija f : N → X. Skup Aje podskup od X i beskonacan je, pa mozemo sprovesti sljedecukonstrukciju:Neka je i1 ∈ N najmanji prirodni broj za koga vrijedi f(i1) ∈ A.Dalje neka je i2 ∈ N prvi prirodni broj za koga je i2 > i1 i f(i2) ∈A. Nastavljajuci ovakav postupak, neka je in+1 > in i f(in+1) ∈ A,formiramo niz prirodnih brojeva i1 < i2 < · · · < in < · · · , za koje jef(in) ∈ A, n ∈ N. Oznacimo sada

g(n) = f(in) , n ∈ N .

Jasno je da g : N → A i na osnovu konstrukcije, g je bijektivnopreslikavanje (jer je f bijekcija), a to znaci da je card(A) = card(N) =ℵ0. ♣

Teorem 3.3.2. Svaki beskonacan skup sadrzi prebrojiv podskup.

Dokaz : Neka je X beskonacan skup. Postoji x1 ∈ X jer X nije

prazan skup. Tada zbog beskonacnosti vrijedi X \ {x1} 6= ∅, papostoji x2 ∈ X \ {x1}. Neka smo na ovaj nacin ”pronasli” elementex1, x2, ..., xn ∈ X. Tada opet zbog beskonacnosti skupa X, postojixn+1 ∈ X \ {x1, x2, ..., xn}.Na ovaj nacin smo formirali skup A = {x1, x2, ..., xn, ...} ⊆ X. Pos-

matrajmo sada preslikavanje f : N → A, zadato sa f(n) = xn. Jasnoje da je to bijektivno preslikavanje, pa je A prebrojiv skup. ♣

Teorem 3.3.3. Neka je X beskonacan skup, a Y prebrojiv ili konacan

skup. Tada vrijedi

card(X ∪ Y ) = card(X) .

Dokaz : Ne gubeci na opstosti, pretpostavimo da su skupovi X

i Y disjunktni (u suprotnom sljedece razmisljanje bi sproveli naskupovima X i Y \X). Kako je X beskonacan, prema Teoremi 3.3.2,postoji prebrojiv podskup

A = {x1, x2, ..., xn, ...} ⊆ X .

Ako je Y prebrojiv skup, tj. Y = {y1, y2, ..., yn, ...}, definisimo pres-likavanje f : X → X ∪ Y , sa

f(x) =

x ; x ∈ X \ Axn ; x = x2n

yn ; x = x2n−1

, n ∈ N .

36


Neka je z ∈ X ∪Y proizvoljan. Tada ako z ∈ Y , onda je z = yi, a tadaza x = x2i−1, vrijedi f(x) = z.Ukoliko je z ∈ X, onda ako je z ∈ X \ A, f(z) = z, a ako z ∈ A, ondaje z = xi za neko i ∈ N, pa je za x = x2i, f(x) = z.Iz svega ovoga zakljucujemo da je f surjektivno preslikavanje.Neka su sada x′, x′′ ∈ X, x′ 6= x′′. Razmatrajmo sljedece slucajeve:

Ako su x′, x′′ ∈ X \ A, tada je f(x′) = x′ 6= x′′ = f(x′′).Ako su x′, x′′ ∈ A, tada je x′ = xi i x′′ = xj, za neke i, j ∈ N (i 6= j). Akosu oba indeksa parna, tj. i = 2i′ i j = 2j′, tada je

f(x′) = xi′ 6= xj′ = f(x′′) .

Ako su oba neparni, tj. i = 2i′ − 1 i j = 2j′ − 1, tada je

f(x′) = yi′ 6= yj′ = f(x′′) .

Ako je jedan paran a drugi neparan, npr. i = 2i′ i j = 2j′ − 1, tada je

f(x′) = xi′ 6= yj′ = f(x′′) .

Dakle, za x′ 6= x′′, vrijedi f(x′) 6= f(x′′), tj. preslikavanje f je injek-tivno. Uz ranije pokazanu surjektivnost, preslikavanje f je bijek-cija, pa vrijedi

card(X) = card(X ∪ Y ) ,

sto je i trebalo pokazati.U slucaju da je Y konacan skup, tj. Y = {y1, y2, ..., yn}, posmatramo

preslikavanje f : X → X ∪ Y , definisano sa

f(x) =

x ; x ∈ X \ Ayi ; x = xi (i = 1, 2, ..., n)xk ; x = xn+k

Slicnim detaljisanjem kao gore, pokazuje se da je f bijekcija, saistim zakljuckom da vrijedi

card(X) = card(X ∪ Y ) .

♣

Teorem 3.3.4. Konacna unija prebrojivih skupova je prebrojiv skup.

37


Dokaz : Neka su Xi (i ∈ N) prebrojivi skupovi. Posmatramo li uniju

dva prebrojiva skupa X1 ∪ X2, na osnovu prethodne teoreme ovomozemo shvatiti kao uniju beskonacnog i prebrojivog skupa, pavrijedi

card(X1 ∪ X2) = card(X1) = ℵ0 .

Neka je sada za proizvoljno n ∈ N, X1 ∪X2 ∪ · · · ∪Xn prebrojiv skup.Tada ponovo na osnovu prethodne teoreme vrijedi

card

(n⋃

i=1

Xi ∪ Xn+1

)

= card

(n+1⋃

i=1

Xi

)

= ℵ0 .

♣

Teorem 3.3.5. Skup N × N je prebrojiv.

Dokaz : Posmatrajmo funkciju f : N × N → N, zadatu sa

f(n,m) = 2n3m .

Neka su (n1,m1), (n2,m2) ∈ N × N i neka vrijedi f(n1,m1) = f(n2,m2).To znaci da je 2n13m1 = 2n23m2. Bez umanjenja opstosti, neka jen1 ≥ n2. Djeleci posljednju jednakost sa 2n2, dobijamo

2n1−n23m1 = 3m2 .

Desna strana je neparan broj, a da bi to bila i lijeva strana, zbogumnoska 2a, mora biti n1 − n2 = 0, tj. mora biti n1 = n2. Ali to ondadaje

3m1 = 3m2 ,

pa mora biti i m1 = m1. Dakle, mora biti (n1,m1) = (n2,m2), pa jepreslikavanje f injektivno, te vrijedi

card(N × N) ≤ card(N) . (5)

Posmatrajmo sada preslikavanje g : N → N × N, zadato sa g(n) =(n, 1). Ako je za neke n,m ∈ N, g(n) = g(m), to znaci jednakosturedjenih parova (n, 1) = (m, 1), sto opet daje n = m. Dakle, pres-likavanje g je injektivno te vrijedi

card(N) ≤ card(N × N) . (6)

Iz (5) i (6), na osnovu Cantor-Bernsteinove teoreme, zakljucujemo

card(N × N) = card(N) = ℵ0 .

♣

38


Posljedica 3.3.6. Direktni proizvod dva prebrojiva skupa je prebro-

jiv skup.

Teorem 3.3.7. Direktni proizvod konacno mnogo prebrojivih skupova

je prebrojiv skup.

Dokaz : Dokaz ove cinjenice se sprovodi potpunom matematickom

indukcijom. ♣

Posljedica 3.3.8. Prebrojiva unija prebrojivih skupova je prebrojiv

skup.

Teorem 3.3.9. Skup cijelih brojeva Z je prebrojiv skup.

Dokaz : Skup Z se moze prikazati u sljedecem obliku

Z = N ∪ {0} ∪ (−N) ,

gdje je −N = {−n| n ∈ N}. Preslikavanje f : N → −N, zadato saf(n) = −n je ocigledna bijekcija, pa vrijedi card(−N) = card(N) = ℵ0.Kako je N beskonacan skup, vrijedi

card(N ∪ {0}) = card(N) = ℵ0 .

Skup Z je sada kao unija dva prebrojiva skupa i sam prebrojivskup. ♣

Teorem 3.3.10. Skup racionalnih brojeva Q je prebrojiv skup.

Dokaz : Prikazimo skup Q u obliku

Q = Q− ∪ {0} ∪ Q+ ,

gdje su Q− i Q+ skupovi negativnih i pozitivnih racionalnih brojevarespektivno. Preslikavanje f : Q+ → Q−, zadato sa f(q) = −q jeocigledna bijekcija, pa vrijedi card(Q−) = card(Q+). Kako je N ⊂ Q+ iN beskonacan skup, to je i Q+ beskonacan skup, a onda vrijedi

card(Q+ ∪ {0}) = card(Q+) .

Dakle, za dokaz gornje cinjenice dovoljno je pokazati da vrijedicard(Q+) = ℵ0.Kako se svaki pozitivan racionalan broj moze na jedinstven nacin

prikazati kao kolicnik dva relativno prosta prirodna broja, tj. za

39

3.4. Neprebrojivi skupovi

q ∈ Q+, postoje jedinstveni m,n ∈ N, m i n relativno prosti, tako daje

q =m

n,

definisimo preslikavanje f : Q+ → N × N, zadato sa

q =m

n∈ Q+ , f(q) = (m,n) .

Za m1

n1

, m2

n2

∈ Q+, ako je f(m1

n1

) = f(m2

n2

), to znaci da je

(m1, n1) = (m2, n2) ,

a iz jednakosti dva uredjena para zakljucujemo da je m1 = m2 in1 = n2, tj. m1

n1

= m2

n2

, pa je f injektivno preslikavanje. Na osnovuLeme 3.1.2 ovo znaci da je card(Q+) ≤ card(N × N) = ℵ0. S drugestrane, iz N ⊂ Q+ imamo da je ℵ0 = card(N) ≤ card(Q+). Sadana osnovu Cantor-Bernsteinove teoreme imamo card(Q+) = ℵ0. Izsvega recenog vrijedi

card(Q) = ℵ0 .

♣

3.4 Neprebrojivi skupovi

U dosadasnjem izlaganju upoznali smo sve konacne kardinale (n ∈N0) i jedan beskonacni kardinal (ℵ0). Naravno da je smisleno zapi-tati se da li postoje i neki drugi beskonacni kardinali? Odgovor jepotvrdan, kao sto to tvrdi sljedeci Teorem.

Teorem 3.4.1. (Cantor)

Za proizvoljan skup vrijedi

card(X) < card(P(X)) .

Dokaz : Posmatrajmo preslikavanje f : X → P(X), definisano sa

f(x) = {x} , x ∈ X .

Jasno je da vrijedi

x, y ∈ X , x 6= y ⇒ {x} 6= {y} ,

40


tj. f(x) 6= f(y), pa je f injektivno preslikavanje. To znaci da je onda

card(X) ≤ card(P(X)) . (7)

Pretpostavimo sada da postoji injektivno preslikavanje φ : P(X) →X. Skup

A = {φ(S)| S ⊆ X , φ(S) /∈ S}

je prema aksiomi specifikacije dobro definisan. Medjutim, pret-postavimo li da je φ(A) ∈ A, zbog definicije skupa A imali bi daφ(A) /∈ A. Isto tako, ako φ(A) /∈ A, i kako je A ⊆ X imali bi daφ(A) ∈ A. Dakle, vrijedilo bi

φ(A) ∈ A ⇔ φ(A) /∈ A ,

a to je kontradikcija. U nju smo dospjeli pod pretpostavkom dapostoji injektivno preslikavanje φ. Ono dakle ne postoji, pa vrijedi

card(X) 6= card(P(X)) . (8)

Iz (7) i (8), na osnovu Definicije 3.2.2 imamo

card(X) < card(P(X)) .

♣

Dakle, kardinalni broj partitivnog skupa je strogo veci od kardi-nalnog broja samog skupa. Time je potvrdjeno da beskonacnihkardinala zaista ima, sta vise ima ih beskonacno mnogo jer vijedi

ℵ0 = card(N) < card(P(N)) < card(P(P(N)))...

Jedan od tih kardinala za nas je posebno interesantan. Dokazimoprvo sljedeca tvrdjenja.

Teorem 3.4.2. Skup realnih brojeva R, ekvipotentan je proizvoljnom

intervalu (a, b) (a, b ∈ R, a < b).

Dokaz : Posmatrajmo preslikavanje f : (−1, 1) → R, definisano sa

f(x) = tan πx2

. Iz poznavanja elementarnih funkcija znamo da jefunkcija f bijekcija, tj. vrijedi R ∼ (−1, 1).Neka je sada (a, b) ⊆ R proizvoljan interval. Uvedimo preslikavanje

g : (−1, 1) → (a, b), zadato sa g(x) = a−b2

x + a+b2

. Funkcija g je linearnafunkcija, dakle bijekcija, pa vrijedi (−1, 1) ∼ (a, b). Iz tranzitivnostirelacije ∼, zakljucujemo R ∼ (a, b). ♣

41


Kako je N ⊂ R i N beskonacan skup, to je i R beskonacan skup, ana osnovu gornje teoreme je takav i proizvoljan interval (a, b). Tadaonda vrijedi

card((a, b)) = card([a, b)) = card((a, b]) = card([a, b])

jer je [a, b) = (a, b) ∪ {a} i [a, b] = (a, b) ∪ {a, b}.

Teorem 3.4.3. Skup realnih brojeva nije prebrojiv.

Dokaz : Zbog ekvipotentnosti skupa R sa proizvoljnim intervalom,

dovoljno je pokazati neprebrojivost skupa (0, 1). Pretpostavimo daje (0, 1) prebrojiv skup. To znaci da mozemo pisati (0, 1) = {x1, x2, ..., xn, ...}.Svaki se element x ∈ (0, 1) moze zapisati u obliku beskonacnog dec-imalnog broja

x = 0, a1a2.... , ai ∈ {0, 1, 2, ..., 9} ,

pri cemu nisu skoro sva decimalna mjesta jednaka 0 (npr. umjesto0, 5 = 0, 500... mozemo pisati 0, 5 = 0, 4999...). Dakle, sve elementeskupa (0, 1) mozemo poredati u niz

x1 = 0, x11x12x13...x1n...

x2 = 0, x21x22x23...x2n...

x3 = 0, x31x32x33...x3n...

.....................................

xn = 0, xn1xn2xn3...xnn...

.....................................

Konstruisimo sada broj y = 0, y1y2....yn... na sljedeci nacin; neka je

yi =

{1 ; xii 6= 12 ; xii = 1

Jasno je da se y razlikuje od bilo kog xi upravo u i-toj decimali, alipri tome je y ∈ (0, 1). Dakle, y /∈ {x1, x2, ..., xn, ...} pa dakle imamokontradikciju.Pretpostavka da je (0, 1) prebrojiv skup dovela nas je u kontradik-

ciju, te on nije prebrojiv skup, a samim tim ni skup R nije prebrojiv.♣

42


Uvedimo sada oznakucard(R) = c ,

tj. uveli smo oznaku za novi beskonacni kardinalni broj koji nazi-vamo continuum. Zbog N ⊂ R je ℵ0 ≤ c, a na osnovu gornje teoremeje ℵ0 6= c. Dakle vrijedi

Posljedica 3.4.4. ℵ0 < c.

Za dokaz sljedece tvrdnje trebat ce nam sljedeci stav.

Lema 3.4.5. Za proizvoljan skup X vrijedi, card(P(X)) = card({0, 1}X),gdje je {0, 1}X = {f | f : X → {0, 1}}.

Dokaz : Neka je A proizvoljan skup. Funkciju

χA(x) =

{1 ; x ∈ A0 ; x /∈ A

nazivamo karakteristicna funkcija skupa A.Posmatrajmo sada preslikavanje f : P(X) → {0, 1}X, definisano sa

A ⊂ X , f(A) = χA .

Kako je proizvoljna funkcija φ iz {0, 1}X ustvari neka karakteristicnafunkcija, tj. φ = χB za neko B ⊆ X, jasno je da je f surjekcija.Neka su sada A,B ⊆ X i f(A) = f(B). Tada je χA = χB, a to znacisljedece:Ako je x ∈ A, onda iz χA(x) = 1 = χB(x), zakljucujemo da x ∈ B,odnosno A ⊆ B.Isto tako iz x ∈ B i χB(x) = 1 = χA(x), zakljucujemo da x ∈ A, tj.B ⊆ A.Zajedno, gornje nam daje da vrijedi A = B, a to onda znaci in-jektivnost preslikavanja f . Dakle, f je bijektivno preslikavanje pavrijedi

P(X) ∼ {0, 1}X .

♣

Definicija 3.4.1. Neka je card(A) = a i card(B) = b. Vrijednost ab

definisemo kao card(AB), tj.

ab = card(AB) = (card(A))card(B) .

Teorem 3.4.6. c = 2ℵ0.

43


Dokaz : Posmatrajmo preslikavanje f : R → P(Q), zadato sa

x ∈ R , f(x) = {q ∈ Q| q < x} ∈ P(Q) .

Neka su x′, x′′ ∈ R takvi da je x′ 6= x′′. Neka je npr. x′ < x′′. Ociglednovrijedi

{q ∈ Q| q < x′} ⊆ {q ∈ Q| q < x′′} ,

a zbog poznatog stava da se izmedju svaka dva realna broja nalaziracionalan broj, postoji q0 ∈ Q, takav da je x′ < q0 < x′′. Ovo znaci daje q0 ∈ f(x′′) i q0 /∈ f(x′). Dakle, vrijedi f(x′) 6= f(x′′), a ovo onda znacida je f injektivno preslikavanje. Na osnovu Leme 3.1.2 imamo

card(R) = c ≤ card(P(Q)) ,

a kako je

card(P(Q)) = card({0, 1}Q) = (card({0, 1}))card(Q) = 2ℵ0 ,

imamoc ≤ 2ℵ0 . (9)

Posmatrajmo sada preslikavanje g : {0, 1}N → [0, 1), zadato sa

f ∈ {0, 1}N , g(f) = 0, f(1)f(2)f(3)...f(n)...

Neka su sada f1, f2 ∈ {0, 1}N proizvoljne i neka je g(f1) = g(f2). Ovoznaci jednakost

0, f1(1)f1(2)...f1(n)... = 0, f2(1)f2(2)...f2(n)... ,

a kako je to jednakost decimalnih zapisa, jednake moraju biti odgo-varajuce cifre tih zapisa, tj.

f1(1) = f2(1), f1(2) = f2(2), . . . , f1(n) = f2(n), . . .

Medjutim, ovo nije nista drugo do jednakost ovih preslikavanja,f1 = f2. Dakle, preslikavanje g je injektivno, pa zakljucujemo

card({0, 1}N) ≤ card([0, 1)) = c .

Kako jecard({0, 1}N) = (card({0, 1}))card(N) = 2ℵ0 ,

imamo2ℵ0 ≤ c . (10)

Iz (9) i (10), na osnovu Cantor-Bernsteinove teoreme zakljucujemojednakost

c = 2ℵ0 .

♣

44

3.5. Hipoteza continuuma

3.5 Hipoteza continuuma

Za do sada uvedene kardinale imamo sljedece relacije,

0 < 1 < 2 < · · · < n < · · · ℵ0 < c < · · ·

Pri tome je ℵ0 = card(N) i c = card(R). Neka je sada X proizvoljanbeskonacan podskup od R. Zbog njegove beskonacnosti, sigurnopostoji injekcija f : N → X, pa tada vrijedi

ℵ0 ≤ card(X) .

Kako je uz to X ⊂ R, onda je

card(X) ≤ c .

Dakle, za ovakav skup X vrijedi

ℵ0 ≤ card(X) ≤ c .

Postavlja se pitanje, da li se u gornjoj vezi znakovi ”≤” mogu za-mjeniti sa znakom ”<”? Drugacije receno, da li postoji skup sakardinalnim brojem k, takav da vrijedi

ℵ0 < k < c ?

Pretpostavka o nepostojanju takvog kardinala (tj. skupa) poznataje pod nazivom Hipoteza continuuma i to je jedan od Hilbertovihproblema, koji na zalost do danas jos nije rijesen. P. Cohen je1963 ”rjesio” dati problem, a odgovor je glasio ”takav skup postojii ne postoji”. Naime, danas postoje dvije teorije skupova, ona kojakaze da takav skup ne postoji i ona koja postojanje tog skupa neiskljucuje. Obje teorije su ispravne jer do danas niti jedna od ovedvije pretpostavke nije dovela do nesaglasnosti neke od tih dvijuteorija.

3.6 Aritmetika kardinalnih brojeva

Prvo definisimo osnovne operacije sa kardinalnim brojevima, a tosu uobicajeno sabiranje, mnozenje i stepenovanje.

Definicija 3.6.1. Neka su X i Y skupovi ciji su kardinalni brojevi

card(X) = a i card(Y ) = b.

45

3.6. Aritmetika kardinalnih brojeva

1. Neka su X i Y disjunktni skupovi. Tada, a + bdef= card(X ∪ Y ).

2. a · bdef= card(X × Y ).

3. ab def= card(XY ).

Gornja definicija ne zavisi od izbora skupova. Naime, neka sunpr. X,X ′, Y, Y ′ skupovi takvi da je X ∩ Y = ∅, X ′ ∩ Y ′ = ∅, X ∼ X ′ iY ∼ Y ′. Tada postoje bijekcije f : X → X ′ i g : Y → Y ′. Posmatramoli preslikavanje h : X ∪ Y → X ′ ∪ Y ′, zadato sa

h(x) =

{f(x) ; x ∈ Xg(x) ; x ∈ Y

jasno je da je h bijekcija jer su takve f i g, a to onda znaci da jeX ∪ Y ∼ X ′ ∪ Y ′.Takodje, posmatramo li preslikavanje k : X × Y → X ′ × Y ′,

k(x, y) = (f(x), g(y)) ,

zakljucujemo da je X × Y ∼ X ′ × Y ′.

Teorem 3.6.1. Neka su α, β i γ proizvoljni kardinalni brojevi. Tada

vrijedi:

1. α + β = β + α.

2. α + (β + γ) = (α + β) + γ.

3. α · β = β · α.

4. α · (β · γ) = (α · β) · γ.

5. α · (β + γ) = α · β + α · γ.

Dokaz : Dokaz gornjih tvrdjenja se svodi na koristenje osnovnih

skupovnih relacija i nalazenje prostih bijektivnih preslikavanja, stogasu ostavljeni citaocu za vjezbu. ♣

Teorem 3.6.2. Neka su α, β i γ proizvoljni kardinalni brojevi. Tada

vrijedi:

1. αβ+γ = αβ · αγ.

2. (α · β)γ = αγ · βγ.

46


3.(αβ)γ

= αβ·γ.

Teorem 3.6.3. Neka je α proizvoljan kardinalni broj. Tada vrijedi:

1. α + 0 = α.

2. α · 1 = α.

3. 0 · α = 0.

4. α1 = α.

5. 1α = 1.

Dokaz : Neka je A skup takav da je card(A) = α. Od ranije imamo

card(∅) = 0 i card({∅}) = 1. Sada imamo:

1. Na osnovu definicije zbira je α + 0 = card(A ∪ ∅). Na osnovuaksioma unije je A ∪ ∅ = A, to onda vrijedi A ∪ ∅ ∼ A, tj.card(A ∪ ∅) = card(A).

2. Na osnovu definicije mnozenja imamo α · 1 = card(A × {∅}).Posmatrajmo preslikavanje f : A×{∅} → A, zadato sa f(x, ∅) =x. Ono je ocigledno bijekcija pa je card(A × {∅}) = card(A).

3. 0 ·α = card(∅×A) i card(∅) = 0. Prema aksiomi praznog skupavrijedi (∀x) x /∈ ∅, a to onda znaci da je ∅ × A = ∅, te vrijedicard(∅ × A) = card(∅).

4. Na osnovu definicije stepenovanja imamo α1 = card(A{∅}). Ra-zlicitih preslikavanja iz jednoclanog skupa ({∅}) u proizvol-jan skup (A) ima tacno onoliko na koliko nacina mozemo tomjednom elementu pridruziti jedan element tog skupa. Dakle,ocigledno je A{∅} ∼ A, tj. card(A{∅}) = card(A).

5. 1α = card(

{∅}A)

i 1 = card({∅}). Kako je {∅}A = {f | f : A → {∅}} =

{f}, tj. imamo jednoclan skup (preslikavanje koje svaki el-

ement iz A slika u ∅), to vrijedi card(

{∅}A)

= card({f}) =

card({∅}).

♣

Teorem 3.6.4. Neka je α proizvoljan beskonacan kardinalni broj.

Tada vrijedi

47


1. (∀n ∈ N) α + n = α.

2. α + ℵ0 = α.

Dokaz : 1. Neka je A beskonacan skup, takav da je card(A) = α

i neka je n ∈ N proizvoljan. Tada je card(An) = n, pa na osnovudefinicije sabiranja imamo α+n = card(A∪An). Na osnovu Teoreme3.3.3, vrijedi

card(A ∪ An) = card(A) ,

a to upravo znaci α + n = α.2. Na isti nacin kao i gore imamo α + ℵ0 = card(A ∪ N), ali zbog

Teoreme 3.3.3 je card(A ∪ N) = card(A), pa tvrdnja vrijedi. ♣

Teorem 3.6.5. Vrijede sljedeca tvrdjenja:

1. (∀n ∈ N) ℵ0 · n = ℵ0.

2. ℵ0 · ℵ0 = ℵ0.

Dokaz : 1. Neka je n ∈ N proizvoljan. ℵ0 · n = ℵ0 · (1 + 1 + · · · + 1)︸︷︷︸

n−puta

.

Koristeci osobinu 5. Teoreme 3.6.1, dalje imamo

ℵ0 · n = ℵ0 · 1 + ℵ0 · 1 + · · · + ℵ0 · 1︸︷︷︸

n−puta

.

Kako je ℵ0 · 1 = ℵ0 (osobina 3. Teorem 3.6.3), dalje imamo

ℵ0 · n = ℵ0 + ℵ0 + · · · + ℵ0︸︷︷︸

n−puta

= card(N ∪ N ∪ · · · ∪ N) .

Na osnovu Teoreme 3.3.4 je card(N ∪ N ∪ · · · ∪ N) = ℵ0, te konacnoimamo

ℵ0 · n = ℵ0 .

2. ℵ0 · ℵ0 = card(N×N), a na osnovu Teoreme 3.3.5 je card(N×N) =ℵ0, cime je tvrdnja dokazana. ♣

Teorem 3.6.6. Vrijede tvrdjenja:

1. c · c = c.

2. (∀n ∈ N) cn = c.

48


Dokaz : 1.

c · c = 2ℵ0 · 2ℵ0

= 2ℵ0+ℵ0

= 2card(N∪N)

= 2ℵ0 = c .

2. Ova tvrdnja se dokazuje matematickom indukcijom i ostavljenaje citaocu za vjezbu. ♣

Teorem 3.6.7. Neka su α, β i γ proizvoljni kardinalni brojevi i neka

je α ≤ β. Tada vrijedi:

1. α + γ ≤ β + γ.

2. α · γ ≤ β · γ.

3. αγ ≤ βγ.

4. γα ≤ γβ.

Teorem 3.6.8. Vrijede relacije:

1. nℵ0 = (ℵ0)ℵ0 = cℵ0 = c, za n ≥ 2.

2. nc = (ℵ0)c = cc = 2c, za n ≥ 2.

Dokaz : 1. Kako vrijedi 2 ≤ n ≤ ℵ0 ≤ c, koristeci relaciju 3.

prethodne teoreme imamo

2ℵ0 ≤ nℵ0 ≤ (ℵ0)ℵ0 ≤ cℵ0 ,

a kako je 2ℵ0 = c i

cℵ0 =(2ℵ0

)ℵ0

= 2ℵ0·ℵ0 = 2ℵ0 = c ,

zakljucujemo da u gornjim nejednakostima svugdje moraju stajatijednakosti.2. Ponovo iz 2 ≤ n ≤ ℵ0 ≤ c, koristeci relaciju 4. gornje teoreme

imamo2c ≤ nc ≤ ℵc

0 ≤ cc . (11)

Zbogcc =

(2ℵ0

)c= 2ℵ0·c = 2c ,

zakljucujemo da u (11) svugdje moraju biti jednakosti. ♣

49

Literatura

[1] S. G. Simpson: Mathematical Logic, The Pensilvania State Uni-versity, 2005.

[2] Z. Silic: Novija filozofija matematike, Nolit, Beograd 1987.

[3] M. Vukovic: Matematicka logika 1, Sveuciliste u Zagrebu, Za-greb 2006.

[4] Dj. Kurepa : Teorija skupova, Skolska knjiga, Zagreb, 1951

[5] K. Kuratowski, A. Mostowski: Set Theory, North-Holland,1967.

[6] S. Presic i drugi: Problem postojanja u matematici,Matematicki Insti- tut, Beograd, 1979.

[7] Z. Sikic: Kako je stvarana novovjekovna matematika, Skolskaknjiga, Zagreb, 1989.

[8] K. Devlin: The Joy of Sets, Springer-Verlag, 1993.

[9] J. Thomas: Set Theory, Third Millennium Edition, SpringerMonographs in Mathematics, Berlin, New York, Springer-Verlag 2003.

50

Documents

Teorija Skupova