Teorijske Distribucije Vjerovatnoce

Teorijske distribucije vjerovatnoe


Neprekidne distribucije vjerovatnoe

Neprekidna uniformna

distribucija

Normalna distribucija

vjerovatnoe

Hi-kvadrat

distribucija

Studentova

distribucija

Ficher-Snedecerova

distribucija

Prekidne distribucije vjerovatnoe

Uniformni zakon

vjerovatnoe

Bernoullijeva distribucija

vjerovatnoe

Binomna distribucija

vjerovatnoe

Poissonova distribucija

vjerovatnoe

Hipergeometrijska distribucija

vjerovatnoe

Distribucije vjerovatnoeema 5.2.

2


Prekidna uniformna distribucija vjerovatnoe

Populacija je sastavljena od elemenata oznaenih brojevima od 1 do n od kojih svaki ima jednaku vjerovatnou da bude izabran.

Sluajni eksperiment : 1 element se bira sluajno.

X je sluajna varijabla jednaka broju elementa koji je

izabran

Skup realizacija je : X() = {1, 2, .., n}

Vjerovatnoa svake realizacije:

Zbir vjerovatnoa:

1)( ixp

nxXp i

1

3 Statistika u drutvenim naukama

Prekidna uniformna distribucija vjerovatnoe

Sluajna varijabla je rasporeena prema uniformnoj distribuciji ako sve realizacije x varijable X imaju jednaku vjerovatnou u intervalu (1, n).

nUX d ,1~

n

pnxpx xx1

je gdje ,,..,1),,(


Bernoulli-jeva distribucija vjerovatnoe

Ako posmatramo sluajni eksperiment koji moe imati samo dva ishoda (rezultata) koji se mogu oznaiti sa uspjeh i neuspjeh. To je alternativna situacija iji ishodi su komplementarni i zbir njihovih vjerovatnoa je jednak jedinici.

X je sluajna prekidna varijabla indikator dogaaja.

X uzima vrijednost 1 ako je ishod uspjeh i odgovarajua vjerovatnoa je jednaka p

X uzima vrijednost 0 ako je ishod neuspjeh i odgovarajua vjerovatnoa je jednaka (1-p)=q


Bernoulli-jeva distribucija vjerovatnoe, cont.

Bernoulli-jev zakon (distribucija) vjerovatnoe X

X slijedi Bernoulli-jev zakon vjerovatnoe koji zavisi od parametra p .

ppXD

1

10:)(

ppppxXEi

ii

1)1(0)(2

1

)(~ pBX

)1(2 ppXX



ppX

1

10

22 )(][)( XEXEXVar

)1(22 ppppX

ppX

1

102

Poseban sluaj gdje je zakon vjerovatnoe od X2 jednak zakonu vjerovatnoe od X.

)1( ppX



p

1-p

0 1x 0 x

Bernoullijeva distribucija vjerovatnoe

1

1-p

1

Bernoullijeva distribucija i funkcija distribucije Grafik 5.12.

Funkcija distribucije vjerovatnoe f (x)


Binomna distribucija vjerovatnoe

Ako ponavljamo n puta sukcesivno sluajni eksperiment koji ima dva mogua ishoda (uspjeh i neuspjeh) pod uslovom da vjerovatnoa p ostaje nepromjenjena i da su ishodi eksperimenta nezavisni (izvlaenje se vri sa ponavljanjem) dobijamo n Bernoulli-jevih varijabli koje su rasporeene prema istoj distribuciji vjerovatnoe koja je funkcija p i meusobno su nezavisne.

X je sluajna prekidna varijabla jednaka broju ishoda koje smo oznaili kao uspjeh, a koje smo dobili ponavljanjem n identinih i nezavisnih sluajnih eksperimenata.


Binomna distribucija vjerovatnoe, cont.

X je rasporeena prema binomnoj distribuciji vjerovatnoe i zavisi od parametara n i p to oznaavamo kao:

Skup realizacija X je:

Vjerovatnoe realizacija predstavljaju lanove razvijenog binoma:

),( pnBX

nX ,.......,3,2,1,0)(

n0,..,k ,)1(

knk pp

k

nkXp



knkkn ppCkXp )1(

xnxx

n ppCxp )1()(

n.0,...,k ,)!(!

!

knk

n

k

nC kn



Funkcija distribucije vjerovatnoe je jednaka:

n

j

k

jj

knkk

n

xx

njxxxqpC

x

xF

je ako ,1

1,1,jeako,

0 je ako ,0

0

1



Ako je X sluajna prekidna varijabla koja se ponaa prema binomnoj distribuciji vjerovatnoe sa parametrima n i p :

Tada je: )( pBX i

n

i

iXX1

Ako za svako i:

n sluajnih varijabli Xi su nezavisne

n

i

iXEXE1

)(

n

i

iXE1

)(

Za svako i: pXE i )(

Dakle: pnpppXEXEn

i

i

....)()(1



n

i

iX X1

22

Za svako i : qpppX i )1()(2

tada je :

)1()1(....)1()1(2 pnpppppppX

Poto su n sluajnih varijabli Xi nezavisne na osnovu osobine aditivnosti varijanse slijedi:

Ako ),(~ pnBX pnXE )( )1(2 pnpX

n

i

iX X1

22 )(



Binomna distribucija je simetrina ako je p=q=0,5.

Koeficijent asimetrije:

Koeficijent spljotenosti:

npq

pq 2

3

)(

npq

pq6134



0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6

1

Binomna distribucija vjerovatnoe B(6, 0,5) i funkcija distribucije vjerovatnoeGrafik 5.13.

F (x )p

x x


Poissonova distribucija vjerovatnoe

Kada sluajna prekidna varijabla X moe uzimati kao vrijednosti nulu i sve pozitivne cijele brojeve X()=(0,1,2,..,+) kojima odgovaraju vjerovatnoe date slijedeim izrazom

!)(

xexXp

x


Poissonova distribucija vjerovatnoe, cont.

Tada je varijabla X rasporeena prema Poisson-ovom rasporedu i funkcija je parametra =np>0

e je baza pirodnog logaritma-Neperov broj

XP()

2X

1

3 ,1

43

npXE )(



Funkcija distribucije vjerovatnoe

brojprirodan cijeli za ,1 je ako ,!

0 je ako 0,

0

jjxjk

e

x

xF j

k

k



Poisson-ova distribucija je granini sluaj binomne distribucije.

Ako je vjerovatnoa p vrlo mala i broj ponavljanja sluajnog eksperimenta n veliki tj.: p < 0,1 ; n > 50 ili p < 0,05 ; n > 30 binomna distribucija se moe aproksimirati Poisson-ovom distribucijom.

Poisson-ova distribucija se naziva i distribucija malih vjerovatnoa ili distribucija rijetkih fenomena. Ovaj model rasporeda ima veliku praktinu primjenu posebno u teoriji redova ekanja.


Hipergeometrijska distribucija vjerovatnoe

Hipergeometrijska distribucija vjerovatnoe zavisi od tri parametra: H(N, n, p).

Ova dsitribucija predstavlja zbir n sluajnih Bernouilli-jevih zavisnih varijabli. Radi se dakle o izvlaenju bez ponavljanja.


Hipergeometrijska distribucija vjerovatnoe, cont.

N = N1 + N2 broj elemenata skupa

N1 broj povoljnih ishoda ili broj elemenata skupa koji posjeduje traeno obiljeje

N2 = N - N1 broj nepovoljnih ishoda ili broj elemenata skupa koji ne posjeduju traeno obiljeje

k broj povoljnih ishoda ili broj elemenata u uzorku koji posjeduju dato obiljeje.

NNn 1Nk ,


Hipergeometrijska distribucija vjerovatnoe, cont.

1

)(

N

NN

k)p(X

)}Nmin(n,),...,N-n {max(0,)X(

212

1

N

NN

21

12

21

N

nN

N

N

N

Nn

N

NnXE

C

CC

n

knkn

knk


Tabela: Prekidne distribucije vjerovatnoe Prekidne

distribucije

Distribucije vjerovatnoe

Oekivana vrijednost

Varijansa

Uniformna

~U 1, X n npnxpx xx

1 je gdje ,,...,1,,

1

2

nE X

12

122 n

Bernoullijeva

X~Bernoulli (p)

p p-1

1 0:)(XD

pXE )(

qpppx 12

Binomna

X ~ B(n,p)

xnxxn ppCxp

1

pnXE )(

pnpx 1 2

Poissonova

X ~ P , 2,718,!x

p X x e e n px

E X

2x

Hipergeo-

metrijska

H(N,n,p)

n

N

kn

N

k

N

C

CC

n

N

kn

N

k

N

kXp

21

21

1N

E X nN

1

212

N

nN

N

N

N

Nn




Neprekidna uniformna

distribucija

Normalna distribucija

vjerovatnoe

Hi-kvadrat

distribucija

Studentova

distribucija

Ficher-Snedecerova

distribucija


Uniformni zakon

vjerovatnoe

Bernoullijeva distribucija

vjerovatnoe

Binomna distribucija

vjerovatnoe

Poissonova distribucija

vjerovatnoe

Hipergeometrijska distribucija

vjerovatnoe

Distribucije vjerovatnoeema 5.2.



Neprekidna uniformna distribucija

Varijabla X ima neprekidni uniformni raspored u intervalu [a; b] ako je:

1) X() = [a;b]

2) Funkcija gustoe vjerovatnoe f je definisana kao:

abxfbaxako

xfbaxako

1)(;

0)(;


Neprekidne distribucije vjerovatnoe, cont.

Funkcija distribucije vjerovatnoe

x

dxxfxXPxF )()(

bx

bxazaab

ax

ax

xF

za 1,

za,0



12 i

2

2

2 abbaXE

; ~ baUX



a b x

1

b-a

Neprekidna uniformna distribucija vjerovatnoeGrafik 5.22.

f (x)



a b x

1

Funkcija neprekidne uniformne distribucije vjerovatnoe Grafikon 5.23.

F(x)


Normalna distribucija vjerovatnoe (Laplace-Gauss-ova distribucija)

Varijabla X ima Laplace-Gauss-ov zakon vjerovatnoe koji zavisi od parametara ako : 1) X() = R (skup realnih brojeva) tj. X(-; +) 2) Funkcija gustine vjerovatnoe f je definisana za svako x : 2

2

1

2

1)(

x

exf

= 3,14 ... E(X)=

2 i 2,~ NX


Normalna distribucija vjerovatnoe (Laplace-Gauss-ova distribucija), cont.

Funkcija distribucije vjerovatnoe je jednaka:

x x

dxexF

2

2

1

2

1)(



-3 -2 +2 +3

Normalna distribucija N (;2)Grafik 5.24.

- +

f(xi)

xi



0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30

Poreenje normalnih distribucija sa razliitim aritmetikim sredinama i jednakim varijansama

Grafik 5.26.

N1 N2f(xi)

xi

4,5 21 N

4,8 22 N


Standardizovana normalna distribucija

Z ima normalnu distribuciju ije parametre treba odrediti (koristei linearnost oekivane vrijednosti):

);( NX

XZ

baXXZ

1

i

0)(1

)1

()(

XEXEZE


Standardizovana normalna distribucija, cont.

Primjenjujui osobinu nelinearnosti varijanse dobijamo

1)(1

)1

()(2

22

2

22

XXZ

)1;0(NZ



-3 -2 2 3

Standardizovana normalna distribucija

N (0;1)Grafik 5.28.

-1 10

f(zi)

zi



Standardizovani oblik normalne distribucije je

Funkcija distribucije vjerovatnoe standardizovanog normalnog rasporeda je data slijedeim izrazom:

1f(z)dz ,2

1)(

-

2

2

z

ezf

dz2

1f(z)dz)( 2

2

z zz

ezF


Karakteristini intervali normalne distribucije

);( NX Pretpostavka:

kXkp Traimo:

Koristiemo standardiziranu varijablu

i traimo odgovarajuu povrinu.

kZkpkXkp

)1;0(NZ Ako:


Karakteristini intervali normalne distribucije, cont.

%68 Xp

%9522 Xp

%10033 Xp



-3 -2 +2 +3

68,3%

95,4%

f (xi)

Karakteristini intervali normalne distribucijeGrafik 5.33.

- + xi

99,7%



-3 -2 2 3

68,3%

95,4%

f (xi)

Grafik 5.34. Karakteristini intervali standardizovane normalne distribucije

-1 1 xi

99,7%

0


Aproksimacije distribucija vjerovatnoe

Binomna i Poisson-ova

Binomna i normalna

Poisson-ova i normalna


Aproksimacije distribucija vjerovatnoe, cont.

10%n

N

30

0,10

n

p

( , , )H N n p ( , )B n p ( )P

10%

30

n

N

n

20

10

(1 ) 10

n

np

n p

15

( , )N

Uslovi za aproksimacijeema 5.1.

*J.J. Droesbeke: Elments de statistiques, Ellipses Paris et Editions de lUniversit libre de Bruxelles, Bruxelles,1977, str.262.


Hi-kvadrat (2) distribucija

Ako posmatramo n sluajnih varijabli: X1, X2,..., Xn koje su nezavisne i svaka ima normalnu standardizovanu distribuciju.

Ako je varijabla X jednaka zbiru kvadrata varijabli Xi:

kaemo da varijabla X ima hi-kvadrat distribuciju sa n stepena slobode:

22

2

1

2

1

2 .... n

n

i

i XXXXX

2

slobodestepeninX


Hi-kvadrat (2) distribucija, cont.

Ova distribucija se primjenjuje kada analiziramo znaajnost razlika stvarnih (empirijskih) i oekivanih (teorijskih) frekvencija, vrijednosti varijabli itd.

Definie se kao zbir kvadrata razlika izmeu stvarnih i oekivanih vrijednosti prema oekivanim vrijednostima:

gdje je mi stvarna a ei oekivana frekvencija.

n

i i

ii

e

em

1

22 )(



Hi kvadrat moe uzeti vrijednosti od 0 do beskonano i zavisi o broju stepena slobode (degrees of freedom- df).

Df se definie kao broj nezavisnih observacija umanjen za broj ogranienja koja se nameu tim observacijama.


Hi kvadrat distribucija je data slijedeim izrazom:

n

nXE

dff

en

fn

n

2

)(

1)()( ,0)(

)(

22

1)(

2

2

0

22

22

2

2

2

2

2




2 distribucijaGrafik 5.42.

2n, /2 2

n, 1-/2

f ( 2 )

02



Gama funkcija koja se koristi u definisanju hi kvadrat distribucije data je slijedeim izrazom:

0

1 0 ,)( dxex x



Funkcija distribucije vjerovatnoe je jednaka

Najea primjena hi kvadrat distribucije je u testiranju

1. Oblika distribucija

2. Nezavisnosti modaliteta 2 obiljeja skupa

3. Odreivanje intervala povjerenja za varijansu

022

0

22

2

2

2

2 )()(

22

1)(

2 2

Rden

F

j n

nj


Studentova t-distribucija

Ako je Z sluajna varijabla koja ima normalnu standardiziranu distribuciju i

Ako je X sluajna varijabla koja ima hi kvadrat distribuciju sa n stepena slobode.

Ako je varijabla T varijabla jednaka

Ako su Z i X nezavisne tada T slijedi Studentovu distribuciju sa n stepena slobode.

n

X

ZT


Studentova t-distribucija, cont.

Za sluajnu varijablu T kaemo da ima Studentovu distribuciju vjerovatnoe ako je njena funkcija vjerovatnoe za t jednaka

2

12

1

2

2

1

1)(

n

n

t

n

n

ntf

f(t) > 0 i f(t) = f(-t) 54 Statistika u drutvenim naukama


Funkcija distribucije vjerovatnoe:

4

63 ,0

2,2

,0)(

43

2

n

nn

n

TE

jt

jjn dttfttPtS )()()(



Studentova distribucijaGrafik 5.43.

-tn 0

f (t)

tn t


Centralna granina teorema

Normalna distribucija je fundamentalna distribucija vjerovatnoe i ova distribucija se koristi u velikom broju sluajeva koji su vezani za primjenu centralne granine teoreme.

Posmatrajmo seriju od n sluajnih varijabli (prekidnih ili neprekidnih)

nXXX ,...,, 21


Centralna granina teorema, cont.

Ako su ove sluajne varijable meusobno nezavisne i ako sve imaju istu distribuciju (bilo koju ali istu), tada njihov zbir

(kada n postaje vrlo velik) tei prema normalnoj distribuciji.

Ova teorema ima vrlo iroko podruje primjene, posebno u oblasti teorije uzoraka.

iX

n

i

iX1


Documents

Teorijske Distribucije Vjerovatnoce