TERMO GERAL E SOMA DE TODOS OS TERMOS

Correção das últimas atividadesEx. 15Calcule a razão das seguintes progressões

aritméticas.a)(-7,-3,1,...)a2-a1 = a3-a2 = r

-3-(-7) = 1-(-3)=r -3+7 = 1+3 4 = 4 =r

Ex. 15b)a2-a1 = a3-a2 = r

,...4

3,2

1,4

1

4

1

2

1

A razão é 4

1r

c)

,...6

19,

6

11,2

1

a2-a1 = a3-a2 = r

2

1

6

11r

3

4

6

8

6

311r = 4/3

Ex. 16 Vamos fazer apenas a questão (b)a4=3 e r=5/2

a5=a4+r

a5=

a6=

a4=a3+r

2

53

2

56

2

11

2

5

2

118

2

16

2

53 3 a

32

53 a

2

1

2

56

2

533

a

22

4

2

4

2

5

2

12

a

2

9

2

5

2

41 a

8,

2

11,3,

2

1,2,

2

9PA

Ex. 18 Calcular a razão e classificar em crescente, decrescente ou constante.

a) , nan 32 *n

1 nn aar

33232

33232

13232

nnr

nnr

nnr

3r

Como r=3, r>0, então a PA é crescente

b)

183

,9

1

1

nn aa

a 2

n

n

099

9)1827(

9)1893(

)183( 11

12

r

r

r

aar

aar

Como r=o, então a PA é constante

12

2

2

12

122

9

1827

1893

183

183

aa

a

a

aa

aa

nan 46 *n

4

22

)46()86(

)146()246(12

r

r

r

r

aar

Como r=-4, r<0, então a PA é decrescente

c)

426

)2(6

)86()126(

)246()346(23

r

r

r

r

aar

Termo Geral da P.A.Uma PA é uma sequência onde o segundo termo é igual ao primeiro mais a razão, o terceiro é o segundo mais a razão e assim por diante.

Vejamos isto em escrita matemática:

a1 = a1+0r = a1

a2 = a1 + r

a3 = a2 + r = (a1+r) + r = a1 + 2r

a4 = a3 + r = (a1+2r) + r = a1 + 3r

a5 = a4 + r = (a1+3r) + r = a1 + 4r

e assim por diante até chegarmos à generalização:

an = a1 + (n-1)r

an = último termo ou um termo qualquer;

a1 = primeiro termo

n = número de elementos ou a posição do

termo “an ".

r = razão da P.A.

Soma dos termos de uma PASe quiséssemos somar todos os termos de uma

determinada PA, como deveríamos proceder?

Johann Carl Friedrich Gauss Aos sete anos entrou para a escola. Segundo uma história famosa, seu diretor, Butner, pediu que os alunos somassem os números inteiros de 01 a 100, mal havia enunciado o problema e o jovem Gauss colocou sua lousa sobre a mesa, dizendo: ligget se! Sua resposta, 5050, foi encontrada através do raciocínio que demonstra a fórmula da soma de uma progressão aritmética.

(fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gauss)

Imagine que queremos a soma dos 10 primeiros números ímpares.

(1,3,5,7,9,11,13,15,17,19)A idéia é bem simples: 1 + 3 + 5 + 7+9+11+13+15+17+19+19+17+15+13+11+ 9 +7+5 + 3 + 120+20+20+20+20+20+20+20+20+20Ou seja temos 10 x 20 = 200Mas perceba que somamos duas vezes esta

sequência, logo precisamos dividir por 2, então:

Temos 200/2 = 100. logo a soma dos 10 primeiros números ímpares é 100.

Isto, porém, só é possível com uma PA finita.Óbvio, pois se a PA cresce infinitamente como

vamos somar todos os termos? Esta soma irá crescer infinitamente da mesma forma.

DEEERRRR!!!!!!!

Traduzindo para a escrita matemática:Sn=a1+a2+a3+...+an-2+an-1+an I

Sn=an+an-1+an-2+...+a3+a2+a1 II

Somando-se a exemplo do que fizemos com os números ímpares: I+II

Sn=a1+a2+a3+...+an-2+an-1+an

+ Sn=an+an-1+an-2+...+a3+a2+a1

2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+...+(an-2+a3)+(an-1+a2)+(an+a1)

Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+...+(an-2+a3)+(an-1+a2)+(an+a1)

2

Como sabemos que as somas dentro dos parênteses são sempre iguais, ou seja:

(a3+an-2)=(a2+an-1)=(a1+an), e que temos n parcelasTemos:

Sn= n(a1+an) 2

Onde:

Sn=Soma dos n termos da PA

n= número de termos e/ou parcelas.

a1= primeiro termo

an= último termo

EXEMPLOVamos voltar aos números ímpares;

Para somar os primeiros 10 números ímpares temos:

Sn= soma que queremos;a1 = 1 (primeiro termo);

n = 10 (número de termos);an = 19 (último termo).

Sn= n(a1+an)

2

1002

20102

)191(10

Sn

Sn

Atividades para fixaçãoPáginas 229-230:

30, 31, 32, 42, 45, 49Páginas 235-236:

66, 67, 68, 74

Sn= n(a1+an) an = a1 + (n-1)r r = a2-a1

2