Termodinamica de Sistemas

Electricos y Magneticos

P. L’Huissier V. Pinto M. Ramırez

10 de Diciembre de 2004

Resumen

Dado un sistema determinado en equilibrio termodinamico, es posible realizar un anali-sis de este cuando se le aplica un campo electrico, magnetico, o ambos. Las relacionesobtenidas tendran que ver tanto con la magnitud de los campos aplicados, como con laspropiedades intrınsecas del material.

1. Introduccion

Cuando estudiamos termodinamica, una buena parte del tiempo la dedicamos al estudio delas relaciones que son capaces de generar un cambio de energıa en el sistema. Dentro de esteestudio, los parametros intensivos y extensivos son un tema de vital importancia, sabiendodiferenciar que parametro es intensivo y cual es extensivo, somos capaces de describir cualsera el aporte de trabajo de cierto fenomeno al sistema. Desafortunadamente, no siempre re-sulta evidente cual es el parametro intensivo y cual es el extensivo. Este problema ocasiono queel estudio de un cuerpo en presencia de un campo electrico, o de uno magnetico, no fuera rea-lizado al mismo tiempo en que se desarrollo la termodinamica.

En el ano 1935, E.A Guggenheim (1) aplico Termodinamica a un sistema sometido a un campoelectrico y magnetico. Sus trabajos “ On Magnetic and Electrostatic Energy” y “The Ther-modynamics of Magnetization” explican detalladamente el comportamiento de un cuerpo enestas condiciones. Con esto, sienta una base solida para futuros investigadores, ya que antesde esta publicacion, no existıan trabajos de peso en el area. Posteriormente, en el ano 1955, V.Heine (3) en su trabajo “The thermodinamics of the bodies in static Electromagnetic Fields”realiza el estudio para un cuerpo bajo la accion de los dos campos (electrico y magnetico).

En las siguientes paginas, estudiaremos estos trabajos, y otros mas, con el fin de poder explicar,de manera “sencilla” la Termodinamica de un sistema bajo efectos electromagneticos.

2. Preliminares

Para este trabajo, se utilizan algunos conocimientos de campos electricos y magneticos en lamateria, que recordaremos brevemente a continuacion.

2.1. Polarizacion y Corriente de Desplazamiento

Supongamos un campo electrico ~E uniforme sobre una region determinada del espacio. ¿Que su-cede si colocamos un cuerpo en ese campo? Las mediciones experimentales nos dicen que engeneral el campo electrico ~E tiende a disminuir en presencia de materia.

En una molecula y un atomo, los centros de carga (el equivalente del centro de masa) suelenno estar en el mismo punto. Debido a esto, una fuerza ejercida por un campo externo, ejer-cera un torque que intentara alinear las moleculas con este. Este fenomeno es conocido comopolarizacion.

No es necesario trabajar mucho para darse cuenta de que los dos fenomenos anteriores estanprofundamente relacionados. En efecto, si tenemos una molecula y le aplicamos un campo(digamos producido por carga positiva), este repelera la carga del mismo signo, y atraera a lanegativa. Esto generara un pequeno campo en el sentido contrario a ~E. Puesto que los campospueden superponerse, a pesar de que el campo polar sea pequeno, cuando trabajamos a escalamacroscopica, tenemos del orden de 1023 moleculas, mas que suficiente para tener un efectonotorio.

Supongamos que ~p es el momento dipolar de una molecula, el momento dipolar total de uncuerpo ~P queda definido por

~P =n∑

i=0

~pi

esto es, la suma sobre las n moleculas. Sin entrar en detalles, diremos que el campo electricoefectivo ~D queda determinado por el vector momento dipolar ~P de la forma

~D = ε0~E + ~P

donde ε0 es el coeficiente de permisividad del vacıo. El vector ~D es conocido como la “corrientede desplazamiento”.

Algo importante que mencionar es que, a pesar de que el campo ~E aplicado, sea uniforme, lacorriente de desplazamiento no lo sera. Su valor dependera en gran medida de la geometrıay de la masa del cuerpo. De acuerdo a esto, cuando se hable de “variaciones de la corrien-te de desplazamiento”, en general nos estaremos refiriendo a variaciones “espaciales” y no“temporales”.

2.2. Paramagnetismo, Diamagnetismo y Ferromagnetismo

Supongamos el siguiente experimento. Se genera un campo magnetico uniforme y se colocanuna serie de materiales en este para ver lo que les sucede. Al terminar el experimento, lasconclusiones son las siguientes: existen materiales que son repelidos por el campo, y existenmateriales que son atraıdos por este, (en un rango muy amplio de magnitudes), no importandoel sentido que tenga.

Los materiales que son repelidos por el campo, reciben el nombre de materiales “diamagneti-cos”. El diamagnetismo se caracteriza por tener una magnitud muy pequena aun para camposgrandes. Es una propiedad de casi todas las sustancias organicas, y de muchas inorganicas.A decir verdad el diamagnetismo es una propiedad que tienen todos los cuerpos, solo que lamayoria de las veces, este es mınimo comparado con los otros dos efectos que veremos.

De manera similar al diamagnetismo, existen materiales que son atraıdos hacia el campo. Es-tos reciben el nombre de “paramagneticos”. En general, cuando no detectamos diamagnetismoen un cuerpo, es porque el paramagnetismo es un fenomeno bastante mas poderoso.

Existe un tercer tipo de materiales: los “ferromagneticos”. Estos tienen la caracterıstica prin-cipal de que la fuerza con la que son atraıdos por un campo es hasta 5 ordenes de magnitudmayor que un material paramagnetico.

Los materiales magneticos en general tienen muchas otras propiedades, algunas son que lamagnetizacion depende de la temperatura.

2.3. Momento Magnetico y Campo Magnetico

En el punto anterior, hemos hecho una descripcion macroscopica, pero ¿que pasa si miramosel sistema desde un punto de vista microscopico? De la misma manera que una partıcula pue-de ser polarizada por un campo electrico, es posible que esta sea polarizada por un campomagnetico. Si bien el fenomeno no es exactamente el mismo a nivel microscopico (en el casode la magnetizacion, el spin de giro de los electrones genera un momento magnetico), a nivelmacroscopico el efecto es analogo, esto es, si un cuerpo es colocado en una region con uncampo magnetico uniforme ( ~H), las moleculas se alinearan con este, produciendo un campomagnetico efectivo.

Si denotamos por ~m el momento magnetico de una partıcula, definimos la magnetizacion ~Mde un cuerpo como

~M =n∑

i=0

~mi

De manera similar a la del caso electrico, podemos relacionar la magnetizacion con el campoaplicado ~H y el efectivo ~B con la relacion

~B = µ0

(~H + ~M

)µ0 es conocida como la permeabilidad magnetica del vacıo.

3. Termodinamica con campo electrico

Para esta parte del analisis supongamos un gas polar diatomico sometido a un campo electrico~E constante. El gas es orientado en un instante particular con un angulo θ con respecto a uncampo electrico ~E

−qE

qE

_

+p

θ−q

+q

Figura 1: Fuerzas ejercidas por un campo electrico en una molecula polar diatomica.

la partıcula positiva en el final de la molecula siente una fuerza q ~E, mientras que la partıculanegativa siente −q ~E. La molecula girara y puede ser estirada por las fuerzas debidas al campoelectrico que actua en cada extremo. Entonces, debido al campo, los atomos se mueven d~x− yd~x+, el trabajo hecho en esta molecula es

ðWe1 = (q ~E · d~x+) + (q ~E · d~x−)

= q ~E · d(~x+ − ~x−) (1)

si definimos ~p como

~p = q(~x+ − ~x−)

donde el vector ~p apunta de la carga negativa a la positiva. En terminos de ~p, el trabajo es

ðWe1 = ~E · d~p

Este trabajo es de una molecula polar, para todo el gas sumamos sobre todas las moleculasN en el gas

ðWe =N∑

n=1

~E · d~pn = ~E · d

(N∑

n=1

~pn

)(2)

Donde el termino en parentesis es el momento dipolar total. La ecuacion (2) puede ser escritaen terminos de cantidades macroscopicas con la polarizacion ~P . Luego, (2) se transforma en

ðWe = ~E · d~P . (3)

Ahora, sabemos que en el sistema de unidades MKS la corriente de desplazamiento se puedeescribir como

~D = ε0~E + ~P (4)

Si calculamos el diferencial de ~P y lo reemplazamos en (3), obtenemos

ðWe = ~E · d ~D (5)

Hemos llegado a un poderoso resultado, ya que desde un analisis de fuerzas hemos intuido queel campo electrico es un parametro extensivo y la corriente de desplazamiento un parametrointensivo.Con este resultado podemos postular las energıa libre de Helmholtz, el potencial de Gibbs yla entalpıa, de la forma:

dF = −SdT + ~E · d ~D + µdN (6)

dH = TdS − ~D · d ~E + µdN (7)

dG = −SdT − ~D · d ~E + µdN (8)

donde

F = U − TS (9)

H = U − ~E · ~D (10)

G = U − TS − ~E · ~D (11)

y se pueden demostrar relaciones de Maxwell, por ejemplo

−(

∂S

∂ ~D

)T,N

=

(∂ ~E

∂T

)~D,N

(12)

4. Termodinamica del Campo Magnetico

Los campos magneticos pueden obrar recıprocamente con algunos materiales, haciendo traba-jo sobre ellos. Aquı consideramos el caso mas simple, cuando el trabajo magnetico es el unicomodo reversible posible del trabajo.

En general, una sustancia paramagnetica, diamagnetica, o ferromagnetica puede tener otrosmodos del trabajo. Por ejemplo, el gas del oxıgeno es paramagnetico pero tambien es compresi-ble. Una gotita del oxıgeno lıquido tendra una tension superficial, ası que deformar la gotita esotra forma de trabajo. Pero en la mayorıa de los casos, los materiales magneticos son solidos, yrazonablemente incompresibles. En este caso, la unica forma importante de trabajo es trabajomagnetico, y podemos entonces tratar la sustancia como sustancia magnetica simple. Este esel unico caso que consideraremos aquı. Cuando un campo magnetico externo se aplica a unamuestra, la respuesta de la muestra (los dipolos que se dan vuelta) modifica el valor local delcampo dentro de la muestra. A continuacion veremos dos formas de calcular el trabajo hechopor un campo magnetico.

Consideremos un solenoide, o bobina, como se muestra en la figura 2. Supongamos que el cablecon el cual esta construida tiene resistividad electrica cero (superconductor). Una baterıa esconectada al solenoide, y la fuerza electromotriz (fem) de la baterıa es ajustable a voluntad.El sistema termodinamico esta dentro del solenoide, y el solenoide esta encerrado por paredesadiabaticas.

Bateria, oFEM ajustable

Pared

Adiabatica

Sistema termodinamico

en el solenoide

Cable de

resistividad

cero

Solenoide

− +

Figura 2: Sistema a analizar.

Si no hay cambios en el sistema, y si la corriente I es constante, la baterıa no necesita admi-nistrar fem por la perfecta conductividad del cable.

Sea I la corriente y sea la magnetizacion local del sistema termodinamico ~M (~r). La corriente Ipuede ser alterada a placer controlando la baterıa. La magnetizacion ~M (~r) entonces cambiara.Asumimos que la magnetizacion en cualquier posicion ~r es una funcion uni-valuada de lacorriente

~M (~r) = ~M (~r; I)

Si el sistema termodinamico no estuviera dentro de la bobina, la corriente I producirıa uncampo magnetico (mas exactamente, una densidad magnetica de flujo) ~Be(I). Este “campo”externo puede ser una funcion de la posicion dentro del selonoide, pero es lineal en I. Esto es

~Be = ~bI

donde ~b es un vector funcion de la posicion.

Suponemos que la corriente es aumentada, por lo tanto hay un incremento del campo externo~Be. En respuesta a este cambio, el momento magnetico cambia. En orden de acompanar estoscambios, la baterıa debe entregar trabajo, y buscamos la relacion entre el trabajo hecho y loscambios en ~Be y ~M .

La taza de cambio del trabajo hecho por la baterıa esta dado por

ðWmag

dt= I × (voltaje)

en la cual (voltaje) denota la fem inducida en las bobinas del selonoide por los cambios queocurren en la bobina.

La fem inducida en el selonoide se presenta desde dos fuentes. Una fuente es independientedel sistema termodinamico y sale de un cambio en el flujo asociado con el campo ~Be. Quizasmas que calcular este flujo y voltaje, podemos escribir la contribucion restante al dWmag

directamente. Para un solenoide vacıo el trabajo es el cambio de energıa del campo magnetico,o

ðWmag = d

(1

2µ0

∫B2

e dV

)donde µ0 = 4π × 10−7 [T·m/A], y la integral es tomada sobre todo el volumen del solenoide.

La segunda contribucion al ðWmag resulta desde el sistema termodinamico en sı y consecuen-temente es lo que nos interesa. Es evidente que el cambio de momento magnetico de cadaelemento infinitesimal del sistema contribuye separadamente y aditivamente a la fem inducidatotal, y mas aun, que la fem inducida producida por cualquier carga en el momento dipolarno depende de la naturaleza del dipolo sino que solo de la taza de cambio de este momento yde sus posiciones en el selonoide. Consideremos entonces un modelo particular de un dipoloelemental en la posicion ~r: un pequeno loop de corriente de area ~a y corriente i, con un mo-mento magnetico de ~m = i~a. Si la corriente en el selonoide es I, el campo producido en elpunto ~r es ~Be = ~b (~r) I. Este campo produce un acoplamiento de flujo a traves del pequenoloop de corriente de magnitud ~b (~r) ·~aI. Ası la mutua inductancia entre el selonoide y el loopde corriente es ~b (~r) ·~a. Si la corriente en el loop de corriente cambia, consecuentemente induceun voltaje en el selonoide, dado por

(voltaje) =[~b (~r) · ~a

] di

dt

= ~b (~r) · d~m

dt

=1I

~Be ·d~m

dt

Ası el trabajo hecho por la baterıa es

ðWmag

dt= ~Be ·

d~m

dt

Aunque este resultado ha sido obtenido para un modelo particular de un dipolo elemental, sesostiene para cualquier cambio en el momento del dipolo elemental. En particular, si ~M (~r) esla magnetizacion, o el momento dipolar por unidad de volumen en el sistema en el punto ~r,ponemos

~m =∫

~M (~r) dV

Para obtener el trabajo total, sumamos sobre todos los dipolos elementales, o integramos sobreel volumen de la manera

ðWmag

dt=∫

~Be ·d ~M

dtdV

Sumando las dos contribuciones al trabajo magnetico, encontramos

ðWmag = d

(1

2µ0

∫~B2

e dV

)+∫ (

~Be · d ~M dV)

Este es el resultado fundamental del cual la termodinamica de sistemas magneticos esta basada.

De pasada notamos que el campo local ~H puede ser introducido en lugar del campo externo ~He

notando que la diferencia ~H− ~He es el campo producido por la magnetizacion ~M (~r) actuandocomo una fuente magnetoestatica. En este sentido, V. Heine (3) mostro que

ðWmag =∫

~H · d ~B dV

donde ~H y ~B son valores locales.

Otra forma de calcular el trabajo es la suguiente: definimos el ~H para representar el campoaplicado que existirıa sin la muestra, y el ~B para representar el valor verdadero del campoen la muestra y vemos que el torque ejercido por un campo magnetico sobre un solo dipolomagnetico es:

~τ = ~m× ~H

siendo m = µ0~M .

Entonces el trabajo hecho por el campo magnetico es:

dw = ~H · d~m

Sabiendo que el diferencial de energıa normalizada y el dQ son:

du = dQ + dw

dQ = Tds

Podemos obtener que la energıa normalizada para un sistema con campo magnetico es:

du = Tds + ~H · d~m

con esta relacion podemos hacer un analisis parecido al que hicimos antes para encontrar unaespecie de funciıon de Helmholz, entalpıa y energıa magnetica de Gibbs, (teniendo en cuentaque remplazamos el −v por ~m y el p por el ~H).

h = u− ~H · ~m

f = u− Ts

g = h− Ts = u− ~H · ~m− Ts

Las ecuaciones de estado diferenciadas son:

dh = Tds− ~m · d ~H

df = −sdT + ~H · d~m

dg = −sdT − ~m · d ~H

Experimentalmente es mas facil trabajar con la temperatura y el campo magnetico comovariables independientes, ası que la ecuacion que mas util experimentalmente es g(T, ~H).

5. Aplicaciones

Las aplicaciones en este campo son muchas. En este trabajo revisaremos dos: la desmagneti-zacion adiabatica y la sustancia de Curie.

5.1. Sustancia de Curie

Para los materiales paramagneticos, la tendencia de que los dipolos sean alineados con el cam-po es balanceada por los efectos de colisiones al azar (en un gas) o las vibraciones del enrejado(en un solido), que tienden a seleccionar al azar la direccion del dipolo.

Contamos con que la magnetizacion de un material paramagnetico aumente con ~H en T cons-tante, y disminuya con T en ~H constante. De hecho se encuentra que ~M = f

(~HT

). El f

(~HT

)es una funcion lineal para

(~HT

)pequeno, y alcanza valor asintotico para

(~HT

), puesto que en

este lımite los dipolos se alinean perfectamente y por lo tanto ~M no puede aumentar mas lejos.

Una sustancia de Curie se define como cualquier sustancia que obedezca:

~M = C~H

T

Todas las sustancias paramagneticas tienen este comportamiento para ~HT pequeno.

En terminos de ~m tenemos que:

~m = C ′~H

T

Ası como un gas ideal las sustancias de Curie tienen una energıa interna que solo depende dela temperatura, entonces veamos el diferencial de entropıa:

ds =1T

du−~H

Td~m

Sustituyendo el ~HT :

ds =1T

du− 1C ′ ~md~m

Si comparamos las derivadas cruzadas tenemos que:

∂

∂ ~m

[1T

]u

= − 1C ′

(∂ ~m

∂u

)m

Como el (∂ ~m/∂u) = 0, se tiene que 1/T solo depende de u y no de ~m, por lo tanto tenemosque T depende de u e invirtiendo esto tenemos que u depende de T .

Sabiendo que u = u(T ) podemos integrar la ecuacion para obtener la entropıa de una sustanciade Curie

ds =(

1T

)(du

dT

)dT −

~H

Td~m.

Como por definicion tenemos que:

cm(T ) =du(T )

dT

Siendo cm(T ) el calor especifico de magnetizacion constante, tenemos que el diferencial deentropıa es:

ds =cm(T )

TdT −

~H

Td~m

Usando que ~m = C ′ ~H/T :

ds =cm(T )

TdT − ~m

C ′d~m

como no dependen unas de otras podemos integrar cada parte por separado, entonces obtene-mos:

s(T1, ~m1)− s(T0, ~m0) =∫ T1

T0

cm(T )T

dt− 12C ′

(~m2

1 − ~m20

)En terminos de ~M :

s(T1, ~M1)− s(T0, ~M0) =∫ T1

T0

cm(T )T

dt− µ0

2C

(~M2

1 − ~M20

)Observamos que la entropıa disminuye si una sustancia de Curie se magnetiza isotermicamen-te. Esto tiene sentido fısicamente porque los dipolos magneticos individuales se alinean mascon el campo ~M de aumento, es decir el material se ordena microscopicamente.

Esto tambien significa que el calor que se le debe quitar al material durante la magnetizacionisotermica. Si una muestra se magnetiza reversible en T partiendo de cero a una magnetizacion~M :

Q =µ0M

2

2C

Si de otra forma la muestra se magnetiza de forma adiabatica, es la temperatura la que aumen-tara, de forma analoga si la muestra se desmagnetiza a temperatura constante el calor debeser provisto, si la desmagnetizacion se produce abiabaticamente la temperatura disminuira.

Esta es la base de los refrigeradores magneticos.

5.2. Desmagnetizacion adiabatica

La temperatura mınima a la que se ha llegado es de 20 nK. El proceso al que se llegan aestas temperaturas fue creado en 1927 por William F. Giauque, quien durante sus estudios enBerkley, estudio este tipo de trabajo.

Un dıa en 1933, y despues de 21 horas seguidas de trabajo, hizo su observacion trascenden-tal. Su maquina habıa obtenido una temperatura dentro de un decimo de un grado del ceroabsoluto. Este experimento confirmo la tercera ley de la termodinamica, la cual dice que laentropıa de un cristal puro y perfecto es cero a temperatura cero — los atomos estan per-fectamente alineados y no se mueven. En 1949, recibio el Premio Nobel en quımica por abrirnuevas ventanas de investigacion en quımica y en fısica.

Ahora explicaremos el proceso. En circuntancias normales, en un material paramagnetico los“pequenos imanes” de los electrones se orientan al azar; sin embargo, la mayorıa de ellos sealinean ante la presencia de un campo magnetico. En terminos termodinamicos, la aplicacionde un campo magnetico reduce la entropıa del sistema paramagnetico debido al orden queinduce. Por lo tanto, una sustancia presenta dos curvas entropıa/temperatura (Figura 3).

Ent

ropi

a, S

No MagnetizadoMagnetizado

DesmagnetizacionAdiabatica

MagnetizacionIsotermica

Temperatura, T

A

BC

Figura 3: La curva superior muestra la dependencia de la entropıa del sistema en ausencia decampo magnetico, mientras que la inferior muestra la dependencia cuando existe un campo.

Una muestra de material paramagnetico, como la sal de un metal en transicion, se enfrıahasta 1 K de la manera ya escrita. Lo mas usado es sulfato de gadolonio, ya que cada ion degadolonio tiene muchos electrones, pero se encuentra separado de sus vecinos por una capa demoleculas de agua de solvatacion. Luego, se procede a magnetizar por medio de la aplicacionde un campo magnetico. Durante este proceso, la muestra esta rodeada de gas helio, que pro-porciona un contacto termico con el recipiente frıo. Por tanto, la magnetizacon es isotermica,emanando energıa desde la muestra a medida que los de los electrones se alinean con el campoaplicado. Esta etapa se representa en la figura 3 por la lınea AB. Posteriormente se elimina elcontacto termico entre la muestra y sus alrededores, por lo que se procede a reducir el campomagnetico lentamente a cero. Como no existe flujo de calor en esta ultima etapa adiabaticareversible, la entropıa de la muestra permanece constante, de forma que su estado cambia deB a C en la figura 3. Ahora se encuentra en un estado con temperatura menor, con lo que laetapa de magnetizacion adiabatica enfrio la muestra.

Temperaturas menores pueden alcanzarse con este mismo proceso si en lugar de los momentosmagneticos electronicos se utilizan los momentos magneticos de los nucleos. Este proceso dedesmagnetizacion nuclear adiabatica opera sobre el mismo principio que el metodo electronicoy se ha utilizado para lograr el record mundial.

Ent

ropi

a, S

No MagnetizadoMagnetizado

Temperatura, T(a)

Ent

ropi

a, S

No MagnetizadoMagnetizado

Temperatura, T(b)

Figura 4: En esta ilustracion se muestra la inalcanzabilidad del cero absoluto. En (a) supone-mos que el teorema de Nerst esta errado, mientras que en (b) vemos que las etapas se hacenmas pequenas.

A partir del teorema de Nerst, sabemos que las curvas de entropıa de las sustancias coincidencuando T se aproxima a cero. Se concluye que la desmagnetizacion adiabatica no puede utili-zarse para enfriar un objeto hasta el cero absoluto en un numero finito de etapas. Si el teoremafuese falso, entonces la entropıa se comportarıa de la forma que se muestra en la figura 4(a).La ultima etapa indicada podrıa enfriar el sistema a T = 0. Sin embargo, sabemos que lascurvas coinciden a T = 0 (figura 4(b)), con lo que no existe una secuencia finita de etapas quepueda enfriar el sistema hasta T = 0. Por este metodo (y cualquier otro) el cero absoluto esinalcanzable.

6. Conclusiones

Es posible obtener, de manera clara y precisa, el trabajo realizado por un campo electricoy por el campo magnetico. El analisis termodinamico del sistema ha permitido encontrar lasiguiente relacion para su energıa

dU = TdS − pdV + ~E · d ~D + ~H · d ~M + µdN

Ahora, usando esta expresion, es posible realizar toda la termodinamica que disponemos luegode este curso, para el cuerpo en un campo electromagnetico.

Nos atrevemos a decir que dado cualquier fenomeno nuevo, bastara con determinar queparametro es intensivo y cual es el extensivo para poder hacerle un estudio termodinamico.Desafortunadamente, determinar la condicion de cada parametro puede resultar dificultoso.

7. Bibliografıa

7.1. Papers

(1) On magnetic and Electrostatic Energy, E. A. Guggenheim, Proc. Roy. Soc. 155A, 49,70(1936).

(2) The Thermodynamics of Magnetization, E. A. Guggenheim, Proc. Roy. Soc. 155A,70,101 (1936).

(3) The thermodynamics of bodies in static electromagnetic fields, V. Heine, Proc. CambridgePhil. Soc., 52, 546 (1956).

(4) The thermodynamics of the electric field with special reference to chemical equilibrium,F. O. Koenig, J. Phys. Chem., 41, 597 (1937).

7.2. Libros

(1) Thermodynamics and an introduction to thermostatics, Herbert B. Callen, Apendice B.

(2) Thermodynamics, an advanced treatment for chemists and physicists, E. A. Guggenheim,capıtulo 13.

(3) Thermodynamics for chemist and biologists, Terrel Hill, capıtulo 5.

(4) Physical chemistry, Peter William Atkins, capıtulo 7.

(5) Fundamentos de la teorıa electromagnetica, John R. Reitz y Frederick J. Milford, capıtu-los 4,5,10 y 11.

(6) Electricidad y magnetismo, Edward Purcell, capıtulos 10 y 11.