TESIS · 2017. 9. 1. · René Tolentino Eslava • Ing. Jaime Carrasco Rendón • Ing. Joel Enrique Barrientos Nicolás • Ing. Juan Sánchez Vergara . Índice Tiburcio Fernández

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN

UNIDAD PROFESIONAL ZACATENCO

DOCTORADO EN CIENCIAS EN INGENIERÍA MECÁNICA OPCIÓN ENERGÉTICA

FLUJO INVERSO INDUCIDO POR UN FLUJO EN TORBELLINO EN EL INTERIOR DE UN TUBO DE SECCIÓN TRANSVERSAL

CIRCULAR

TESIS QUE PARA OBTENER EL GRADO DE DOCTOR EN CIENCIAS EN

INGENIERÍA MECÁNICA PRESENTA:

TIBURCIO FERNÁNDEZ ROQUE

DIRECTORES DE TESIS: DR. JOSÉ FÉLIX VÁZQUEZ FLORES DR. MIGUEL TOLEDO VELÁZQUEZ

MÉXICO D. F. FEBRERO DEL 2008

INSTITUTO POLlTÉCNICO NACIONAL SECRETARIA DE INVESTIGACIÓN Y POSGRADO

CARTA CESIÓN DE DERECHOS En la Ciudad de México, D. F., el día 08 del mes de Febrero del año 2008,

el que suscribe, Tiburcio Fernández Roque, alumno del Programa de

Doctorado en Ciencias en Ingeniería mecánica, Opción Energética, con

número de registro A040489, adscrito a la Sección de Estudios de

Posgrado e Investigación de la E.S.I.M.E. Unidad Zacatenco, manifiesta

que es autor intelectual del presente Trabajo de Tesis bajo la dirección del

Dr. José Félix Vázquez Flores y del Dr. Miguel Toledo Velázquez y cede

los derechos del trabajo intitulado Flujo Inverso Inducido por un Flujo en Torbellino en el Interior de un Tubo de Sección Transversal Circular al

Instituto Politécnico Nacional para su difusión con fines académicos y de

investigación.

Los usuarios de la información no deben reproducir el contenido textual,

gráficas o datos del trabajo sin el permiso expreso del autor y/o director del

trabajo. Este puede ser obtenido escribiendo a la siguiente dirección:

[email protected]. Si el permiso se otorga, el usuario deberá dar el

agradecimiento correspondiente y citar la fuente del mismo.

Tiburcio Fernández Roque

Dedicatoria

Tiburcio Fernández Roque i SEPI-ESIME Zacatenco-IPN

Dedicatoria

A mi esposa Norma Argentina Flores Artaza

y a nuestro hijo Jesús Alejandro

Agradecimientos

Tiburcio Fernández Roque ii SEPI-ESIME Zacatenco-IPN

Agradecimientos Agradezco infinitamente a todas las instituciones, empresas y personas que de una u otra forma apoyaron la realización de este trabajo y todo el proceso requerido para llegar a la consecución de los objetivos del autor. Instituciones:

• Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología • Instituto Politécnico Nacional • Sistema de Becas de Exclusividad de COFAA • Comité Técnico de Prestaciones a Becarios del I.P.N., COTEPABE • ESIME Ticoman • Laboratorio de Ingeniería Térmica e Hidráulica Aplicada, LABINTHAP, de la SEPI

de ESIME Zacatenco. • Laboratorio de Aerodinámica de la ESIME Ticoman • Laboratorio de Eléctrica-Electrónica de la ESIME Ticoman

Empresas:

• Pillar Mexicana S. A. de C. V. • Taller Tecnometalics S. A. de C. V. Personas:

• Dr. José Félix Vázquez Flores • Dr. Miguel Toledo Velázquez • Dr. Samuel Alcántara Montes • Dr. Florencio Sánchez Silva • Dr. Pedro Quinto Diez • Dr. Ignacio Carbajal Mariscal • M. en C. Willibaldo Tolentino Eslava • Dr. José Ángel Ortega Herrera • Dr. Simón López Ramírez

• Ing. Miguel Álvarez Montalvo • Ing. Porfirio Sarmiento Mendoza • M. en C. Jorge Sandoval Lezama • Ing. Fausto Rodríguez Ibarra • M. en C.. René Tolentino Eslava • Ing. Jaime Carrasco Rendón • Ing. Joel Enrique Barrientos Nicolás • Ing. Juan Sánchez Vergara

Índice

Tiburcio Fernández Roque iii SEPI-ESIME Zacatenco-IPN

Índice Dedicatoria Agradecimientos Nomenclatura Relación de Figuras y Tablas Resumen Abstract Introducción Antecedentes Planteamiento del Problema Motivación Alcance (Objetivos Particulares) Objetivo Capítulo I.- Flujo en Torbellino 1.1.- Introducción. 1.2.- Descripción del Flujo en Torbellino 1.3.- Generación del Flujo en Torbellino 1.4.- Revisión de Artículos Sobre Flujo en Torbellino en el Interior de un Tubo de Sección Transversal Circular 1.5.- Métodos de Medición del Flujo en Torbellino 1.5.1.- Ventajas de la Anemometría de Hilo y Película Caliente 1.5.2.- Problemas Significativos del Sistema HWA y Soluciones Propuestas 1.5.3.- Restricciones del Sistema HWA y Aplicaciones del Sistema LDA 1.5.4.- Medición de la Velocidad Media 1.6.- Técnicas para Medir Flujos Inversos Empleando el Sistema HWA 1.6.1.- El Método de Anemometría del Hilo Caliente Volador 1.6.2.- Sensores de Película Dividida 1.7.- Comentario Final Capítulo II.- Turbulencia 2.1.- Introducción 2.2.- El Problema de la Turbulencia 2.3.- Definición de Turbulencia 2.4.- Descripción de la Turbulencia 2.5.- Modelos de Cerramiento 2.6.- Clasificación del Flujo Turbulento 2.7.- Ecuaciones de Navier-Stokes

iiivi

viiixii

xiiixivxvixvi

xviixviiixviii

11123

89

10121213141516

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Índice

Tiburcio Fernández Roque iv SEPI-ESIME Zacatenco-IPN

2.8.- Ecuaciones de Navier-Stokes Promediadas con el Método de Reynolds 2.8.1.- Ecuación para el Transporte de los Esfuerzos de Reynolds 2.8.2.- Ecuación para la Energía Cinética Turbulenta 2.9.- Significado de los Términos de las Ecuaciones de Balance de la Energía Cinética y de los Esfuerzos de Reynolds. Capítulo III.- El Modelo de Turbulencia Basado en el Transporte de los Esfuerzos de Reynolds 3.1.- Introducción 3.2. Antecedentes 3.3.- Modelos de Cerramiento de Segundo Momento 3.4.- Procedimiento para Cerrar a las Ecuaciones de Transporte de los Esfuerzos de Reynolds 3.4.1- Modelos para la Parte Lenta 3.4.2.- Modelos para la Parte Rápida 3.4.3.- Expansión de ijklM en Potencias de ijb 3.5.- Ecuaciones y Constantes Empleadas en el Programa Fluent Capítulo IV.- Simulación Numérica Empleando Fluent 4.1.- Introducción 4.2.- El Método del Volumen Finito 4.2.1.- La Estrategia de la Dinámica de Fluidos Computacional (CFD) 4.2.2.- Discretización Utilizando el Método del Volumen Finito 4.3.- Solución Empleando Fluent 4.3.1.- Desarrollo del Modelo Computacional 4.3.2.- Selección del Criterio de Convergencia 4.3.3.- Procedimiento de Solución 4.4- Resultados Obtenidos Capítulo V.- Experimentación Empleando Anemometría de Hilo Caliente (Técnica del Hilo Caliente Volador) 5.1.- Introducción 5.2.- Principio Básico del Sistema de Anemometría de Hilo Caliente Volador 5.3- Descripción del Equipo Experimental 5.4.- Descripción del Sistema de Anemometría. 5.5.- Equipo para Mover al Sensor 5.5.1.- Servo-motor Lineal, Servo-amplificador y Controlador 5.5.2.- Tablero de Control 5.5.3.- Soporte del Sensor del Hilo Caliente 5.5.4.- Integración de los Componentes 5.6.- Mediciones Realizadas 5.6.1.- Frecuencia de Muestreo 5.6.2.- Velocidad del Motor Lineal

30323333

39

39414244

46505458

62626364656666687073

77

777779798080828384848586

Índice

Tiburcio Fernández Roque v SEPI-ESIME Zacatenco-IPN

5.6.3.- Condición de Giro del Tubo 5.6.4.- Perfil de Velocidad y de RMS (Turbulencia) con el Sensor Fijo 5.6.5.- Velocidades del Flujo para Diferentes Velocidades de Giro del Ventilador. 5.6.6.- Velocidad Relativa Axial Para Diferentes RPM y Posiciones Radiales 5.6.7.- Velocidad Axial para Diferentes RPM y Posiciones Radiales 5.6.8.- Velocidad Tangencial para Diferentes RPM y Posiciones Radiales 5.7.- Incertidumbre de las Mediciones Realizadas Capítulo VI.- Análisis de Resultados 6.1.- Introducción 6.2.- Perfiles de Velocidad Axial para Cada Velocidad de Giro del Ventilador 6.3. Cálculo de la Intensidad del Torbellino 6.4.- Variación de la Velocidad Máxima del Flujo Axial Inverso 6.5.- Variación del Radio para la Velocidad Axial Cero 6.6.- Comparación con los Resultados Obtenidos con Fluent 6.7.- Comparación con los Resultados de Osami Kitoh Conclusiones Recomendaciones y Sugerencias Bibliografía y Referencias Apéndice.- Figuras con las mediciones correspondientes a las velocidades de giro del ventilador de 500 a 1300 rpm.

868990

90

919197

989899

107108109109115

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120

123

Nomenclatura

Tiburcio Fernández Roque vi SEPI-ESIME Zacatenco-IPN

Nomenclatura

Símbolo Descripción

Re Número de Reynolds r Posición radial dentro del tubo

r0 ó R Radio del tubo

x Estación o posición axial a lo largo del tubo x, y, z Sistema de coordenadas cartesianas.

mU Velocidad axial media general

mW Velocidad tangencial media general

Ω ó IT Intensidad del torbellino o Número de Squire W ó θu Velocidad tangencial media

ρ Densidad del fluido q ó Vt Velocidad resultante

t Tiempo E Voltaje 321 u,u,u componentes de la velocidad 321 x,x,x Coordenadas tridimensionales L Longitud promedio de la escala de los remolinos ν Viscosidad cinemática del fluido u~ Velocidad instantánea p~ Presión instantánea U Velocidad media u Fluctuación de velocidad P Presión media p Fluctuación de presión k Energía cinética por unidad de masa

Nomenclatura

Tiburcio Fernández Roque vii SEPI-ESIME Zacatenco-IPN

Símbolo Descripción

ijε Tensor de disipación de la turbulencia ε Razón de disipación de la energía cinética turbulenta V Volumen S Superficie ijP Tensor de la razón de la producción de la energía turbulenta

w,,u υ Componentes de la velocidad Tν Viscosidad turbulenta ijφ Correlación velocidad-gradiente de presión o tensor de redistribución ijΠ Tensor de redistribución ijS Tensor de razón media de deformación ijΩ Tensor de la razón de rotación ijδ Delta de Kronecker ijD Tensor de redistribución de la energía turbulenta ijb Tensor de anisotropía

Índice de Figuras y Tablas

Tiburcio Fernández Roque SEPI-ESIME Zacatenco-IPN viii


Figura Descripción Página

1.1 Perfil de velocidad de un flujo en torbellino. 2 1.2 Inyectores tangenciales para generar el flujo en torbellino. 3 1.3 Alabes fijos para generar el torbellino. 3 1.4 Perfiles de velocidad axial reportados por Chen, Haynes y Fletcher 5 1.5 Perfiles de velocidad axial reportados por Moene 6 1.6 Perfil de Velocidad axial reportado por Chang y Dhir 6 1.7 Perfil de velocidad total reportado por Widmann, Charagundla y Presser 6 1.8 Perfiles de velocidad axial reportados por Chang y Chen 7 1.9 Perfil de velocidad axial reportado por Fernández 7 1.10 Perfiles de velocidad reportados por Cantrak, Benisek y Nedeljkovie 7 1.11 Perfiles de velocidad axial reportados por Kitoh 8 1.12 Sensor de presión miniatura de cinco orificios. 13 1.13a Campo de velocidades de un flujo inverso unidimensional 14 1.13b Señal del hilo caliente linealizada de un flujo inverso unidimensional 14 1.14 Sensor de película con triple división para mediciones de flujos inversos

bidimensionales 16

2.1 Remolinos turbulentos en una capa de mezclado plana 20 2.2 Turbulencia producida por una rejilla 20 2.3 Vistas instantáneas y promediadas en el tiempo de un chorro con flujo

cruzado 22

2.4 Escalas grandes y pequeñas de una explosión. 23 2.5 Simulación de la vorticidad en una caja de turbulencia isotrópica 25 2.6 Esquema que sugiere la distorsión de los remolinos debido a un flujo con

deformación uniforme 26

2.7 Simulación de la transición de un chorro laminar a uno turbulento 27 2.8a Estela turbulenta atrás de una bala. 28 2.8b Esquema que sugiere las estructuras grandes y pequeñas de una capa cortante libre

en función del número de Reynolds 28

2.9 Remolinos en forma de gancho (hairpin) del flujo en un canal a bajo número de Reynolds

28

2.10 Rollos y costillas en la transición de una capa de mezclado 29 2.11 Esquema mostrando el principio de la longitud de mezcla 35


Tiburcio Fernández Roque SEPI-ESIME Zacatenco-IPN ix

Figura Descripción Página3.1 Triángulo de las invariantes de la anisotropía. 49 3.2 Contribución de las partes rápida y lenta en el modelo de redistribución del

flujo en un canal plano para los modelos SSG e IP 57

3.3 Valores para los componentes del tensor de redistribución para el flujo en un canal plano, comparados con los valores obtenidos mediante DNS

58

4.1 Comparación de un dominio continúo y uno discreto. 64 4.2 Celda típica en la discretización mediante el método del volumen finito. 65 4.3 Modelo computacional y condiciones de frontera establecidos. 67 4.4 Variación de la velocidad tangencial máxima con el número de celdas. 67 4.5 Variación de la velocidad axial máxima con el número de celdas. 68 4.6 Variación del flujo inverso axial máximo con el número de celdas. 69 4.7 Acercamiento del modelo computacional final 69 4.8 Variación del perfil de velocidad con el criterio de convergencia para un

flujo turbulento sin torbellino en la estación x/d=6. 70

4.9 Perfiles de velocidad axial y tangencial en la entrada del tubo para una velocidad de giro de 400 rpm.

71

4.10 Perfiles de velocidad axial en la estación x/d=6. 72 4.11 Perfiles de velocidad tangencial en la estación x/d=6. 72 4.12 Acercamiento de la zona de cambio de signo de la velocidad axial. 73 4.13 Variación de la intensidad del torbellino con el número de Reynolds. 74 4.14 Variación del flujo inverso máximo con la intensidad del torbellino. 74 4.15 Variación del flujo inverso máximo con la intensidad del torbellino. 75 4.16 Variación del coeficiente de presión en la estación x/d=6 para 400 rpm. 76 4.17 Variación del coeficiente de presión con la distancia axial para 400 rpm. 76 5.1 El principio de medición con un sensor de hilo caliente volador 78 5.2 Sensores de hilo caliente empleados 80 5.3 Componentes del servo-motor lineal 81 5.4 Dimensiones del servo-motor lineal 81 5.5 Servoamplificador y controlador del servomotor lineal 82 5.6 Tablero de control del servomotor lineal 83 5.7 Soporte del sensor de hilo caliente 83 5.8 Vista general del equipo experimental 84 5.9 Variación de la velocidad media y la RMS con la frecuencia de muestreo 85 5.10 Variación de la velocidad media y la RMS con el tiempo de muestreo 86 5.11 Velocidades del servo-motor lineal 87 5.12 Velocidades con el tubo sin girar 87 5.13 Velocidades con el tubo girando en el sentido de las manecillas del reloj 88 5.14 Velocidades con el tubo girando en sentido contrario a las manecillas del

reloj 88


Tiburcio Fernández Roque SEPI-ESIME Zacatenco-IPN x

Figura Descripción Página5.15 Perfil de velocidad con el sensor fijo y diferentes condiciones de giro del

tubo (estación x/d=6 y 400 rpm de velocidad de giro del ventilador) 89

5.16 Perfil de RMS con el sensor fijo y diferentes condiciones de giro del tubo (estación x/d=6 y 400 rpm de velocidad de giro del ventilador)

90

5.17 Velocidad relativa para 2000 rpm 91 5.18 Velocidad axial relativa en 0 cm (400 rpm) 92 5.19 Velocidad axial relativa en 1 cm (400 rpm) 92 5.20 Velocidad axial relativa en 2 cm (400 rpm) 93 5.21 Velocidad axial relativa en 3 cm (400 rpm) 93 5.22 Velocidad axial relativa en 4 cm (400 rpm) 94 5.23 Velocidad axial relativa en 5 cm (400 rpm) 94 5.24 Velocidad axial relativa en 6 cm (400 rpm) 95 5.25 Velocidad axial relativa en 7 cm (400 rpm) 95 5.26 Velocidad axial relativa en 8 cm (400 rpm) 96 5.27 Perfiles de velocidad axial (sensor 55p61 fijo) 96 5.28 Perfiles de velocidad tangencial (sensor 55p61 fijo) 97 6.1 Velocidad del servo-motor lineal 100 6.2 Velocidades en 0 cm para 400 rpm 101 6.3 Velocidades en 1 cm para 400 rpm 101 6.4 Velocidades en 2 cm para 400 rpm 102 6.5 Velocidades en 3 cm para 400 rpm 102 6.6 Velocidades en 4 cm para 400 rpm 103 6.7 Velocidades en 5 cm para 400 rpm 103 6.8 Velocidades en 6 cm para 400 rpm 104 6.9 Velocidades en 7 cm para 400 rpm 104 6.10 Velocidades en 8 cm para 400 rpm 105 6.11 Perfil de velocidad axial para 400 rpm 105 6.12 Perfiles de velocidad axial 106 6.13 Variación de la intensidad del torbellino con el número de Reynolds 108 6.14 Variación de la velocidad del flujo inverso máxima con la intensidad del

torbellino. 109

6.15 Acercamiento de la gráfica de perfiles de velocidad axial 110 6.16 Variación del radio para U=0 con la intensidad del torbellino 110 6.17 Perfiles de velocidad axial adimensional experimentales 111 6.18 Perfiles de velocidad tangencial adimensional experimentales, con respecto

a Um 111

6.19 Perfiles de velocidad axial adimensional obtenidos con Fluent 112 6.20 Perfiles de velocidad tangencial adimensionales obtenidos con Fluent 112


Tiburcio Fernández Roque SEPI-ESIME Zacatenco-IPN xi

6.21 Variación de la intensidad del torbellino con el número de Reynolds, sensor

55P61 114

6.22 Perfiles de velocidad axial y tangencial adimensionales obtenidos por Kitoh [3]

115

Tabla Descripción Página1.1 Resumen de la revisión de artículos de investigación. 5 4.1 Velocidad angular, axial y número de Reynolds en la entrada. 71 6.1 Velocidad axial en función de la posición radial y de la velocidad de giro

del ventilador 106

6.2 Velocidad tangencial en función de la posición radial y de la velocidad de giro del ventilador

107

6.3 Variación de la intensidad del torbellino con el número de Reynolds 107

Resumen

Tiburcio Fernández Roque SEPI-ESIME Zacatenco-IPN xii

Resumen

A pesar de que el flujo en torbellino ha sido investigado intensamente en años recientes, aún existen aspectos relevantes de dicho flujo que requieren mayor investigación y análisis. Entre estos se encuentran los fenómenos conocidos como rompimiento del vórtice (vortex breakdown) y el flujo axial inverso inducido. Con relación al flujo axial inverso, en la literatura revisada se encontró que existen discrepancias en cuanto a su detección y medición incluso empleando sistemas de anemometría y experimentos semejantes. Este hallazgo es la motivación principal para realizar esta investigación y el aspecto determinante para darle un enfoque experimental. La técnica de medición empleada para encontrar la velocidad del flujo inverso axial es la conocida como “hilo caliente volador” ya que es una de las técnicas recomendadas para tal fin. Aquí se describen los diversos componentes que se tuvieron que comprar, diseñar y construir con el fin de instrumentar la técnica empleando el sistema de anemometría de hilo caliente a temperatura constante que tiene el Laboratorio de Ingeniería Térmica e Hidráulica Aplicada (LABINTHAP) de la SEPI de la ESIME Zacatenco. El flujo en torbellino se generó con un ventilador axial sin estatores y se hizo circular a través de un tubo corto (x/d<7) de sección transversal circular. Las mediciones se realizaron en el interior de los 20 cm finales del tubo y en los 35 cm iniciales del chorro generado en la descarga. Los resultados obtenidos permiten establecer la existencia del flujo axial inverso hasta un radio de aproximadamente 2 cm de la sección transversal, aunque este no es continuo a lo largo del recorrido del sensor de hilo caliente y que la mayor duración e intensidad del flujo axial inverso se produce tanto en el eje del chorro como en el eje del tubo. También se obtuvieron los perfiles de velocidad axial para velocidades de giro del ventilador desde 400 rpm hasta 1300 rpm con incrementos de 100 en 100 rpm. Con el sensor de hilo caliente fijo y para las mismas velocidades de giro del ventilador, se determinó el perfil de velocidad tangencial. Empleando ambos perfiles se determinó que la intensidad del torbellino se incrementa ligeramente de forma lineal con el número de Reynolds en un rango de 8 000 a 35 000.

Adicionalmente al trabajo experimental, se realizó un análisis del fenómeno mediante la

técnica de la Dinámica de Fluidos Computacional empleando el paquete Fluent y el modelo de turbulencia de esfuerzos de Reynolds. Los resultados obtenidos permiten establecer que en general Fluent reproduce las características básicas del flujo en torbellino como lo son el flujo inverso, los gradientes de presión adversos longitudinal y radial, las regiones de vórtice forzado y vórtice libre pero que con relación a la magnitud de las velocidades, los resultados de Fluent presentan una diferencia notable con respecto a las mediciones experimentales principalmente con relación a la velocidad tangencial máxima.

Palabras claves: Flujo en torbellino, flujo axial inverso, hilo caliente volador, intensidad

del torbellino, turbulencia, modelo de turbulencia de esfuerzos de Reynolds.

Abstract

Tiburcio Fernández Roque xiii SEPI-ESIME Zacatenco-IPN

Abstract

Axial Reversal Flow Induced by a Swirling Flow through a Circular Cross-Section Pipe

Although the swirling flow has been investigated intensely in the recent years, still there exist relevant aspects about this flow that need major investigation and analysis. Between these aspects are the phenomena known as vortex breakdown and the axial reversal induced flow. Regarding the axial reversal flow, in the reviewed papers appears discrepancies about its detection and measurement even using both similar experiments and anemometry systems. This fact is the main motivation to realize this investigation and the principal factor to give it an experimental approach. The technique used to detect and measure the speed of the axial reversal flow is the flying hot-wire anemometry since it is one of the recommended techniques for such aim. Many components had to be bought, designed and constructed with the aim to implement the technique using the constant temperature hot-wire anemometry system located at Laboratorio de Ingeniería Térmica e Hidraúlica Aplicada (LABINTHAP) of the SEPI of the ESIME Zacatenco. The swirling flow was generated by an axial fan without straighteners. This flow was conducted through a circular cross-section short pipe (x/d<7). The measurements were realized inside the final 20 cm of the pipe and in the initial 35 cm of the swirl jet generated in the discharge. The obtained results allow to establish the existence of the axial reversal flow up to a radio of approximately 2 cm of the transversal section, although this one is not continuum along the movement of the hot wire sensor and that the largest duration and intensity of the axial reversal flow takes place both in the axis of the swirl jet and in the axis of the pipe. Also the profiles of axial velocity were obtained for speeds of rotation of the fan from 400 rpm to 1300 rpm with increases of 100 in 100 rpm. With the fixed hot-wire sensor and for the same fan speeds, the tangential velocity distribution were obtained. Using both profiles, it was determined that the swirl intensity increases lightly of linear form with the number of Reynolds in a range of 8 000 to 35 000. Additionally to the experimental work, an analysis of the phenomenon was realized by means of the Computational Fluids Dynamics technique using the program Fluent and the Reynolds stress turbulence model. The obtained results allow establishing that in general Fluent reproduces the basic features of the swirling flow such as the reverse flow, the longitudinal and radial adverse pressure gradients, the forced and free vortex regions but regarding the magnitude of the speeds exist a notable difference with the experimental measurements principally regard to the maximum tangential speed. Keywords: Swirling flow, axial reversal flow, flying hot-wire anemometry, swirl intensity, turbulence, Reynolds stress turbulence model.

Introducción

Tiburcio Fernández Roque SEPI-ESIME Zacatenco-IPN xiv

Introducción El flujo en torbellino ha atraído la atención de la comunidad científica en años recientes debido a la gran variedad de estructuras de flujo que generan y a que sus aplicaciones son muy diversas. En un extremo del espectro de aplicaciones se encuentran las relacionadas con la comprensión, predicción y control de flujos en torbellinos que ocurren en forma natural en fenómenos tales como remolinos, tornados, trombas y huracanes. En otro extremo se encuentra la generación deliberada de flujos en torbellino aplicada a diversos desarrollos tecnológicos. Una de las aplicaciones mas extendidas es en la estabilización de flamas en hornos, calderas y cámaras de combustión, en donde el flujo en torbellino mezcla al combustible y al aire en una zona de flujo recirculante que provoca una flama compacta y estable. Otros desarrollos tecnológicos en los cuales el flujo en torbellino desempeña un papel importante son los separadores de agua-aceite y los separadores ciclónicos de partículas sólidas. Adicionalmente se ha reportado que el flujo en torbellino mejora la transferencia de calor encontrándose incrementos entre 6 y 8 veces en el coeficiente de transferencia local y entre 20 y 40 % de mejoría en la transferencia de calor global.

Así mismo, de la revisión hemerográfica realizada se determinó que entre los aspectos relevantes del flujo en torbellino que aún requieren mayor investigación y análisis se encuentran los fenómenos conocidos como rompimiento del vórtice (vortex breakdown) y el flujo axial inverso inducido, este último es el tema que se analiza en el presente trabajo. La motivación fundamental para seleccionar al flujo inverso inducido como tema de tesis doctoral surgió de la imposibilidad de medirlo con la instrumentación disponible cuando el autor desarrolló su trabajo de tesis de maestría y también de la revisión hemerográfica realizada principalmente debido a las contradicciones encontradas en cuanto a la detección y medición de dicho flujo inverso. Por lo anterior el enfoque dado a este trabajo ha sido el experimental empleando la técnica de anemometría denominada en este trabajo como hilo caliente volador (Flying Hot-Wire) con el fin de aportar una base de datos que permita analizar el comportamiento del flujo en torbellino y aclarar las contradicciones encontradas al respecto. Adicionalmente se le ha dado un enfoque numérico a partir del análisis del fenómeno mediante el paquete de Dinámica de Fluidos Computacional FLUENT. Por lo anterior, el trabajo fue estructurado en 6 capítulos mismos que se describen brevemente a continuación. En el capítulo I, Flujo en torbellino, se presenta una descripción de los rasgos característicos del flujo en torbellino así como una revisión de diversos artículos con relación a la medición del flujo inverso; adicionalmente se presenta información relacionada con las técnicas mas adecuadas para la medición del flujo inverso tal como la anemometría Láser-Doppler y la anemometría de hilo caliente y en particular la técnica del hilo caliente volador la cual se emplea en el desarrollo de la parte experimental de este trabajo y que es descrita en el capítulo V. El capítulo I es de vital importancia ya que ahí se demuestra que existen contradicciones en cuanto a la medición del flujo inverso y en la simulación numérica del mismo con base en la información reportada en los artículos revisados y que por lo tanto es necesario obtener mayor información experimental con el

Introducción

Tiburcio Fernández Roque SEPI-ESIME Zacatenco-IPN xv

fin de aclarar los desacuerdos y contradicciones y así lograr una mayor comprensión de dicho fenómeno. Este capítulo deja ver la importancia de desarrollar la parte experimental y sobre todo la posibilidad de realizar aportaciones importantes al conocimiento científico del flujo en torbellino en cuanto a la detección y medición del flujo inverso que se presenta bajo ciertas condiciones determinadas por el Número de Reynolds y la Intensidad del Torbellino. En el capítulo II, Turbulencia, se presenta información relacionada con la turbulencia: sus rasgos característicos, una clasificación de la misma, la cual permite establecer que el flujo que aquí se analiza cae en la categoría de los flujos complejos tridimensionales y los métodos de análisis. Así también se presenta el desarrollo de las ecuaciones para el análisis estadístico de la turbulencia y la interpretación física que se hace de cada uno de los términos que forman parte de las ecuaciones de transporte de la energía cinética turbulenta y de la ecuación de transporte de los esfuerzos de Reynolds. En el capítulo III, Modelo de Turbulencia Basado en el Transporte de los Esfuerzos de Reynolds, se presenta el modelo de turbulencia que se considera a la fecha que es el mas adecuado para estudiar flujos turbulentos complejos como el que aquí se analiza. Este modelo es el que está basado en el transporte de los esfuerzos de Reynolds por lo cual se le denomina Modelo de Esfuerzos de Reynolds o RSM por sus siglas en inglés. Aquí se presenta el desarrollo matemático de las diversas ecuaciones constitutivas necesarias para lograr el cerramiento del sistema de ecuaciones que se obtiene al promediar las ecuaciones de Navier-Stokes. Los capítulos II y III se incluyen con la finalidad de mostrar la complejidad de la teoría existente alrededor de los flujos en torbellino y de tener un conocimiento mas completo de las ecuaciones que utiliza y resuelve el paquete de dinámica de fluidos computacional empleado, FLUENT. Así mismo permiten ver la necesidad de emplear el análisis numérico para la obtención de resultados aproximados que posibiliten caracterizar al flujo inverso objeto de análisis y obviamente de contar con una técnica mas accesible y económica que sustituya hasta cierto límite a las técnicas experimentales adecuadas a este tipo de flujos, mismas que, como queda de manifiesto en el capítulo V, es bastante sofisticada, cara y aun no totalmente desarrollada, por lo menos en nuestro país. En el capítulo IV, Simulación Numérica Empleando Fluent, se presentan las soluciones numéricas obtenidas empleando el paquete FLUENT. Para esto se empleó un modelo de solución eje-simétrico con torbellino de un tramo de tubo de 1.38 m de largo y de 0.092 m de radio el cual se discretizó en un malla estructurada de 16836 celdas. Como ya se indicó, el modelo de turbulencia empleado es el basado en el transporte de los esfuerzos de Reynolds (RSM). Con fines de comparación, las soluciones obtenidas corresponden a las velocidades medias generales obtenidas en la parte experimental. En el Capítulo V, Experimentación Empleando Anemometría de Hilo Caliente (Técnica del Hilo Caliente Volador) se presenta el desarrollo de la parte experimental empleando la técnica que denominamos Hilo Caliente Volador, la cual es una traducción casi literal del inglés (Flying Hot-Wire). Hubo sugerencias para cambiar el nombre de la técnica utilizada, sin embargo al no encontrar ninguna referencia en español relacionada

Introducción

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con dicha técnica y dado que se considera que dicho nombre da una idea general de lo que consiste, se decidió mantener la denominación antes indicada. En este capítulo se describe en que consiste la técnica, los componentes del sistema, los cuales a excepción del sistema de anemometría de hilo caliente, fueron seleccionados y comprados o diseñados y construidos de forma específica para el desarrollo de la tesis. Es importante resaltar que esta es la primera tesis en la que se aplica dicha técnica en nuestro país y que por lo tanto aun no está totalmente desarrollada, creando una posibilidad importante para la generación de una línea de investigación. En el capítulo VI, Análisis de Resultados, se muestra en detalle la forma en que las mediciones se procesaron y los resultados obtenidos mas importantes, destacando las correlaciones entre la intensidad del torbellino y el número de Reynolds para el flujo en torbellino generado por un ventilador axial que se conduce por un tubo corto de sección transversal circular, algo que se considera una aportación importante ya que en las referencias analizadas no se encontraron correlaciones entre tales variables. ANTECEDENTES El tema que aquí se propone es una continuación del trabajo “Análisis del Flujo de Aire Generado por un Ventilador Axial en el Interior de un Tubo Circular Giratorio”, desarrollado por el autor de este trabajo para obtener el grado de Maestro en Ciencias en Ingeniería Mecánica por la SEPI de la ESIME Zacatenco, ya que en dicho trabajo, aun cuando se demostró de forma indirecta la existencia del flujo inverso, no fue posible medirlo con las técnicas empleadas (tubo Pitot y anemometría de hilo caliente). Adicionalmente, de la revisión de artículos relacionados con el tema propuesto, se ha encontrado que algunos autores empleando el mismo sistema de anemometría (hilo caliente) y otros empleando anemometría láser, reportan la medición del flujo inverso, mientras que otros no lo reportan. Esta inconsistencia encontrada reforzó la necesidad de buscar una técnica experimental diferente para medir dicho flujo inverso. Dada la experiencia del autor con el manejo del sistema de anemometría de hilo caliente, la técnica que se propuso y se utilizó es la del hilo caliente volador, la cual tiene como base el sistema de anemometría de hilo caliente a temperatura constante que tiene el Laboratorio de Ingeniería Térmica e Hidráulica Aplicada (LABINTHAP) de la SEPI de la ESIME Zacatenco. Una vez determinada la técnica experimental, gran parte del trabajo desarrollado se enfocó a establecer y conseguir los dispositivos necesarios para implementar la técnica y a la realización de la mediciones establecidas. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA El flujo en torbellino es un fenómeno que se presenta generalmente cuando existe alguna frontera sólida que gira tal como el flujo generado por un ventilador, una hélice o un disco de álabes de un compresor o bien por la rotación que induce al fluido una superficie con la capacidad de generar una fuerza aerodinámica como los alabes fijos de un estator o el movimiento de un ala. Para cierta combinación de los números adimensionales de Reynolds, Re, e Intensidad del Torbellino, Ω, los flujos en torbellino llegan a una condición denominada Rompimiento del Vórtice en la cual la zona de succión del torbellino se hace

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más grande produciendo cambios notables en el campo de flujo tal como puntos de estancamientos y flujo recirculante que dan la impresión de que en el flujo se encuentran inmersos cuerpos de revolución imaginarios. Cuando un flujo en torbellino se conduce a través de un tubo de sección transversal circular, después de que se ha producido el rompimiento del vórtice, si se incrementa la intensidad del torbellino, el eje del tubo se llena con una región de flujo inverso, el cual se mantiene si las condiciones del flujo no cambian. Puesto que el flujo inverso inducido por un flujo en torbellino no se puede medir con anemometría convencional (con tubo pitot o hilo caliente convencional) y dado que aun empleando instrumentación y técnicas mas sofisticadas como la anemometría Láser-Doppler existen contradicciones en la detección y medición del flujo inverso, se ha propuesto la técnica del hilo caliente volador para detectar la existencia de dicho flujo y determinar el perfil de velocidad axial correspondiente. MOTIVACIÓN La principal motivación para escoger el tema a investigar lo proporciona la revisión bibliográfica realizada con relación al flujo en torbellino en tubos de sección transversal circular. Se encontró que existe desacuerdo en cuanto a la detección y medición del flujo axial inverso que se induce en el núcleo de un flujo en torbellino ya que existen discrepancias entre los resultados reportados y en algunos casos resultados totalmente contradictorios, incluso empleando sistemas de anemometría y experimentos semejantes. Los principales desacuerdos encontrados se pueden resumir como sigue: a).- Un primer desacuerdo es el relacionado con el valor de la intensidad del torbellino para el cual aparece el flujo inverso. El menor valor de la intensidad de torbellino para el cual se reporta flujo inverso es de 0.42 [3], sin embargo algunas referencias aun generando valores de intensidad de torbellino mayores a 0.42 no reportan el flujo inverso, como Chen, Haynes y Fletcher [8] y Moene [9]. Además estos autores reportan que la velocidad axial en el eje del tubo aumenta en lugar de disminuir, esta se incrementa desviándose ligeramente del perfil turbulento típico para el flujo desarrollado en un tubo. b).- Otro desacuerdo es en lo que se refiere a la instrumentación para detectar el flujo inverso, ya que Chang y Dhir [1] y Kitoh [3] empleando sensores de presión total lograron determinar la dirección del flujo en la región de flujo inverso, mientras que Widmann et al. [6] empleando un sensor de presión de 5 orificios y Fernández [7] empleando un tubo Pitot-estático concluyen que en la región del núcleo del torbellino el flujo no se puede alinear con dicha instrumentación, es decir no se puede encontrar la dirección del flujo medio, por lo que estos autores no reportan mediciones del flujo inverso. c).- Empleando anemometría Láser–Doppler, Moene [9] no reporta el flujo inverso mientras que Chang y Chen [10], muestran mediciones realizadas por P. A. Dellenback, empleando un sistema de anemometría semejante al utilizado por Moene [9], en las cuales si se reporta flujo inverso. d).- Con respecto al sistema de anemometría a temperatura constante (CTA), se encuentra también que Chang y Dhir [1], empleando sensores de hilo caliente unidimensionales y

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Kitoh [3] empleando sensores de hilo caliente bidimensionales en X reportan el flujo inverso, mientras que Fernández [7], empleando el mismo tipo de sensor que Chang y Dhir [1], reporta que no pudo medir el flujo inverso. De igual forma, Cantrak et al. [11], empleando sensores de hilo caliente tridimensionales tampoco reportan el flujo inverso. ALCANCE (OBJETIVOS PARTICULARES) 1.- Seleccionar y comprar y diseñar y construir los componentes del dispositivo electro-mecánico necesario para mover el sensor de hilo caliente para realizar las mediciones requeridas. 2.- Realizar mediciones del perfil de velocidades utilizando la técnica del hilo caliente volador y el prototipo experimental empleado para el desarrollo de la tesis de maestría del autor de este trabajo doctoral. 3.- Describir y Analizar las ecuaciones constitutivas empleadas en el modelo de turbulencia de esfuerzos de Reynolds y mostrar su aplicación al flujo en torbellino a través de un tubo circular empleando el paquete FLUENT. 4.- Validar los resultados proporcionados por FLUENT con los datos experimentales obtenidos en el punto 2. OBJETIVO GENERAL Analizar experimental y numéricamente al flujo en torbellino a través de un tubo de sección transversal circular empleando la técnica del hilo caliente volador y el paquete de dinámica de fluidos computacional (CFD) FLUENT con el fin de establecer el perfil de velocidades axial de dicho flujo y demostrar la existencia del flujo inverso inducido en el eje del tubo.

Capítulo I Flujo en Torbellino

Flujo en Torbellino

Tiburcio Fernández Roque 1 SEPI-ESIME Zacatenco-I.P.N.

1.1.- INTRODUCCIÓN El flujo en torbellino ha atraído la atención de la comunidad científica en años recientes debido a la gran variedad de estructuras de flujo que generan y a que sus aplicaciones son muy diversas. En un extremo del espectro de aplicaciones se encuentran las relacionadas con la comprensión, predicción y control de flujos en torbellinos que ocurren en forma natural en fenómenos tales como remolinos, tornados, trombas y huracanes. En otro extremo se encuentra la generación deliberada de flujos en torbellino aplicada a diversos desarrollos tecnológicos. Una de las aplicaciones mas extendidas es en la estabilización de flamas en hornos, calderas y cámaras de combustión, en donde el flujo en torbellino mezcla al combustible y al aire en una zona de flujo recirculante que provoca una flama compacta y estable. Otros desarrollos tecnológicos en los cuales el flujo en torbellino desempeña un papel importante son los separadores de agua-aceite y los separadores ciclónicos de partículas sólidas. Adicionalmente y de acuerdo con Chang y Dhir [1], el flujo en torbellino mejora la transferencia de calor encontrándose incrementos entre 6 y 8 veces en el coeficiente de transferencia local y entre 20 y 40 % de mejoría en la transferencia de calor global. En dispositivos tecnológicos experimentales o de uso práctico, el flujo en torbellino se puede producir de diversas formas: inyectando fluido de forma tangencial a un tubo, colocando álabes en la entrada del fluido o bien empleando hélices o ventiladores axiales que no tengan enderezadores de flujo. Vyas y Majdalani [2] indican que entre los aspectos relevantes del flujo en torbellino que aún requieren mayor investigación y análisis se encuentran los fenómenos conocidos como rompimiento del vórtice (vortex breakdown) y el flujo axial inverso inducido, este último es el tema que se analiza en el presente trabajo. 1.2.- DESCRIPCIÓN DEL FLUJO EN TORBELLINO El flujo en torbellino en el interior de un tubo de sección transversal se caracteriza porque su campo de velocidades es tridimensional aunque la componente radial es pequeña comparada con la velocidad axial por lo que generalmente se acepta que el flujo en torbellino principalmente está formado por la componente tangencial y por la componente axial como se muestra en la figura 1 [3]. La componente de velocidad que tiene mas influencia y que establece las características únicas del flujo en torbellino es la componente tangencial. La distribución radial de dicha velocidad va evolucionando conforme el flujo se mueve corriente abajo. En general, el perfil de velocidad tangencial tiende a desaparecer mientras que el perfil de velocidad axial tiende al perfil típico del flujo turbulento desarrollado en un tubo. El flujo en torbellino se caracteriza por el parámetro adimensional Intensidad del Torbellino, Ω, definido como el flujo de cantidad de movimiento angular adimensional y que de acuerdo con Kitoh [3] se calcula con la siguiente fórmula:

∫=Ω 230

2 /2 mUrdrUWr ρππρ (1.1)

Flujo en Torbellino


en donde U, W y Um son las velocidades medias axial, tangencial y general, respectivamente, r y r0 son la posición radial y el radio del tubo, respectivamente y ρ es la densidad del fluido.

Figura 1.1.- Perfil de velocidad de un flujo en torbellino. (Tomada de Kitoh [3])

Bajo ciertas condiciones dinámicas que dependen del número de Reynolds, eR , y de la intensidad del torbellino, Ω , un flujo en torbellino que se conduce a través de un tubo de sección transversal circular genera un fenómeno conocido como Rompimiento del Vórtice, el cual pasa por diversas transiciones hasta que para un cierto valor de intensidad del torbellino se forma una especie de burbuja que se asemeja a un cuerpo de revolución imaginario colocado en el centro del tubo que se caracteriza por tener varios puntos de estancamiento libres en el eje de la burbuja y ser una zona de flujo recirculante [4]. Si se continua incrementando la intensidad del torbellino, la burbuja se mueve corriente arriba hasta que llega hasta el aparato generador del torbellino, lo cual provoca que el tubo completo se llene con una región de flujo inverso la cual se ubica en el núcleo del torbellino (a lo largo del eje del tubo), situación que ya no cambia mientras se mantengan las condiciones del flujo (Re y Ω ). De acuerdo con Harvey [5], la aparición del rompimiento del vórtice establece la separación entre dos tipos de flujo en torbellino: aquellos que no presentan flujo axial inverso y los que si lo presentan. 1.3.- GENERACIÓN DEL FLUJO EN TORBELLINO A nivel experimental, el flujo en torbellino básicamente se genera mediante tres mecanismos: 1.- Mediante la inyección de flujo en forma tangencial al tubo principal. Los tubos por donde se inyecta tangencialmente el flujo generalmente son de menor diámetro que el tubo principal y pueden ser desde un tubo hasta seis como se muestra en la figura 2 (tomada de Chang y Dhir [1]).

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2.- Empleando álabes fijos o de inclinación variable a la entrada del tubo como se muestra en la figura 3 (tomada de Kitoh [3] y Widmann, Charagundla y Presser [6]). 3.- Empleando un ventilador axial de 6 palas sin estator, como en la referencia [7].

Figura 1.2.- Inyectores tangenciales para generar el flujo en torbellino.

Figura 1.3.- Alabes fijos para generar el torbellino.

De los resultados reportados en las referencias antes mencionadas, al parecer no influye la forma de generar el torbellino ya que no se observa diferencias en el comportamiento del flujo, el cual es semejante al de la figura 1. Sin embargo no se puede establecer con certeza el efecto que pueda tener el método de generación del torbellino ya que existen dudas en cuanto a la medición del flujo inverso, aspecto que se analiza enseguida. 1.4.- REVISIÓN DE ARTÍCULOS SOBRE FLUJO EN TORBELLINO EN EL INTERIOR DE UN TUBO DE SECCIÓN TRANSVERSAL CIRCULAR De acuerdo con la revisión de diversos artículos de investigación relacionados con el flujo en torbellino en tubos de sección transversal circular, existe desacuerdo en cuanto a la detección y medición del flujo axial inverso que se induce en el núcleo del torbellino ya que

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existen discrepancias entre los resultados reportados y en algunos casos resultados totalmente contradictorios incluso empleando sistemas de anemometría y experimentos semejantes. Los resultados de las referencias consultadas respecto al flujo inverso se resumen en la tabla 1. De dicha tabla se obtienen las siguientes conclusiones: 1.- El flujo inverso se reporta tanto en experimentos que emplean aire como fluido de trabajo como con los que emplean agua. 2.- El menor valor de intensidad de torbellino para el cual se reporta flujo inverso es de 0.42, sin embargo algunas referencias aun generando valores de intensidad de torbellino mayores a 0.42 no reportan el flujo inverso, como Chen, Haynes y Fletcher [8], figura 4 y Moene [9], figura 5. Adicionalmente, estos autores reportan que la velocidad axial en el eje del tubo aumenta en lugar de disminuir, como se observa en las figuras 4 y 5, esta velocidad se incrementa desviándose ligeramente del perfil turbulento típico para el flujo desarrollado en un tubo. 3.- Para medir el flujo en torbellino se emplean sensores de presión (anemometría basada en el tubo de pitot), sensores de hilo caliente uni, bi y tridimensionales (anemometría a temperatura constante) y anemometría Láser-Doppler. 4.- Existen discrepancias en cuanto a que Chang y Dhir [1] y Kitoh [3] empleando sensores de presión, lograron determinar la dirección del flujo en la región de flujo inverso como se muestra en la figura 6, mientras que Widmann, Charagundla y Presser [6] concluyen que en la región del núcleo del torbellino el flujo no se puede alinear con un sensor de presión tipo Pitot, es decir no se puede encontrar la dirección del flujo medio, incluso utilizando un sensor de presión de 5 orificios, por lo que no reportan mediciones del flujo inverso, figura 7. 5.- Moene [9] empleando anemometría Láser–Doppler no reporta el flujo inverso, figura 5, ni siquiera la disminución típica de velocidad axial en el núcleo del torbellino, mientras que Chang y Chen [10], muestran mediciones realizadas por P. A. Dellenback, empleando un sistema de anemometría semejante al utilizado por Moene, en las cuales si se reporta dicho flujo inverso, tal y como se indica en la figura 8. 6.- Se encuentra también que Chang y Dhir [1], empleando sensores de hilo caliente unidimensionales reportan mediciones del flujo inverso, figura 5, mientras que Fernández [7], empleando el mismo tipo de sensor que en la referencia [1], reporta que no pudo medir el flujo inverso, figura 9. De igual forma, Cantrak, Benisek y Nedeljkovie [11], empleando sensores de hilo caliente tridimensionales tampoco reportan el flujo inverso, figura 10. Kitoh [3] empleando sensores de presión y de hilo caliente bidimensionales reporta flujo inverso a partir de una intensidad de torbellino de 0.42, figura 11. 7.- De acuerdo con Fernández [7] y Bruun [12], el flujo axial inverso inducido por un torbellino no se puede medir a través del registro de la presión estática y total empleando un tubo Pitot ni con anemometría de hilo caliente empleando sensores convencionales.

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Tabla 1.1.- Resumen de la revisión de artículos de investigación.

Referencia Generación del Torbellino

Intensidad del

Torbellino, ΩSistema de Medición Fluido de

Trabajo Flujo Axial Inverso

[1] Cuatro y seis inyectores tangenciales

2.114 y 4.45 * Hilo caliente, sensores 55P11 y 55P12 de Dantec y sensor de presión total para determinar la dirección del flujo

Aire Si, para los dos valores de Ω.

[3] 24 álabes en la entrada

De 0.07 hasta 1.42

Hilo caliente, sensores bidimensionales en X y tubo Pitot de tres orificios para medir Ω

Aire Si, a partir de Ω= 0.42.

[6] 12 álabes

0.49, el tubo es anular.

Tubo Pitot de 5 orificios Aire Experimentalmente no lo pudieron medir. Numéricamente si (emplearon Fluent)

[7] Ventilador axial de 6 aspas sin enderezadores de flujo

De 0.56 a 0.61 Hilo caliente, sensor unidimensional 55P11 de Dantec,

Aire No. Pero la velocidad axial en el centro es mínima, como en la figura 1.

[8] dos inyectores tangenciales

0.051, 0.33 y 0.834 *

Sensor de presión de 4 orificios

Aire No. Pero la velocidad axial en el centro aumenta, no sigue el perfil de la figura 1.

[9] 18 álabes con una tobera central

0.25 y 0.45 Anemometría Láser-Doppler

Agua No. La velocidad axial en el centro aumenta, no sigue el perfil de la figura 1.

[10] Un inyector tangencial

0.6, 0.98, 1.16 y 1.23

Anemometría Láser-Doppler de dos componentes

Agua Si, para todos los valores de Ω

[11] No indica 0.229 y 0.429 Hilo caliente, sensores tridimensionales

No indica No. Sigue el perfil de la figura 1.

• Calculados con la ecuación (10) de la referencia [1].

Figura 1.4.- Perfiles de velocidad axial reportados por Chen, Haynes y Fletcher [8].

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Figura 1.5.- Perfiles de velocidad axial reportados por Moene[9]

Figura 1.6.- Perfil de Velocidad axial reportado por Chang y Dhir [1].

Figura 1.7.- Perfil de velocidad total reportado por Widmann, Charagundla y Presser [6]

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Figura 1.8.- Perfiles de velocidad axial reportados por Chang y Chen [10].

Figura 1.9.- Perfil de velocidad axial reportado por Fernández [7].

Figura 1.10.- Perfiles de velocidad reportados por Cantrak et al [11].

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Figura 1.11.- Perfiles de velocidad axial reportados por Kitoh [3].

1.5.- METODOS DE MEDICION DEL FLUJO EN TORBELLINO Con el fin de determinar la técnica más adecuada para medir el flujo inverso generado en el interior de un tubo cuando circula por este un flujo en torbellino, se presenta información obtenida de Bruun [12] con relación a dos métodos con posibilidades de ser empleadas con el sistema de anemometría de hilo caliente que se tiene en el Laboratorio de Ingeniería Térmica e Hidráulica Aplicada (LABINTHAP) de la SEPI de ESIME Zacatenco. Estos dos métodos son la del hilo caliente volador y la de sensores de película con triple división. Adicionalmente se presenta información con respecto a las ventajas y desventajas de la anemometría de hilo caliente respecto a la anemometría Láser-Doppler. La anemometría de hilo caliente (HWA por sus siglas en inglés) se basa en la transferencia de calor por convección de un hilo (alambre muy delgado) o de una película caliente colocado en el flujo de un fluido. Cualquier cambio en las condiciones del flujo que afecte la transferencia de calor del elemento caliente será detectado prácticamente de forma instantánea por el sistema de HWA a temperatura constante. Por tanto el sistema HWA puede ser utilizado para proporcionar información relacionada con, por ejemplo, la velocidad y la temperatura del flujo, cambios de la concentración en las mezclas de gas y cambios de fase en flujos multi-fásicos.

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1.5.1.- Ventajas de la Anemometría de Hilo y Película Caliente El sistema HWA es probablemente la principal herramienta de investigación para la mayoría de los flujos turbulentos de aire/gas. Para mediciones en flujos de baja y moderada intensidad de la turbulencia (menor que ~ 25%) las ventajas principales del sistema HWA convencional son: l.- Costos.- Los sistemas de HWA son relativamente bajos, en comparación con sus principales competidores, anemómetros Láser-Doppler (LDA por sus siglas en inglés). 2.- Frecuencia de Respuesta.- Un sensor de hilo caliente estándar operado en combinación con un sistema moderno de anemometría a temperatura constante (CTA por sus siglas en inglés) en condiciones óptimas tiene, excepto para bajas velocidades, una respuesta de frecuencia plana desde 0 hasta 20-50 Khz. Las mediciones hasta varios cientos de kilohertz son, por lo tanto, fáciles de obtener. En contraste, las mediciones con un sistema LDA normalmente son restringidas a menos de 30 kilohertz. 3.- Tamaño del Sensor.- Un sensor típico de hilo caliente tiene un diámetro de cerca de 5 mμ y 1.25 milímetros de largo, aunque elementos de alambre tan pequeños como l mμ por 0.25 milímetros han sido utilizados. En contraste, un área de medición típica del sistema LDA es de 50 mμ por 0.25 milímetros. 4.- Mediciones de Velocidad.- Sensores de hilo Caliente con uno o más alambres son comercialmente disponibles, los cuales permiten la medición de una, dos o tres componentes del vector de la velocidad en puntos especificados del campo de flujo. Ambos sistemas, HWA y LDA tienen un rango de velocidad muy amplio, desde una velocidad muy baja hasta flujos de alta velocidad (compresibles). 5.- Mediciones de Temperatura.- Mediciones simultáneas de los campos fluctuantes de velocidad y temperatura se pueden obtener usando un sensor con varios hilos, los cuales generalmente tienen un hilo funcionado en el modo de ‘hilo frío’. 6.- Flujos Bifásicos.- Los sensores de película caliente se pueden utilizar para mediciones en flujos que contienen una fase turbulenta continua y burbujas distribuidas (flujo de líquido/gas o líquido/líquido). Cuando una burbuja golpea al sensor, ocurrirá una interacción entre el sensor y la interfase y entre la burbuja y la fase continua. Sin embargo, en el supuesto de que la burbuja sea de un tamaño más grande que el tamaño del elemento sensor, este proceso de interacción se puede utilizar para propósitos de análisis de la señal. En la aplicación de esta técnica no existe ninguna restricción significativa sobre la concentración de la burbuja (fracción vacía). En contraste, si una técnica de LDA se aplica a un flujo burbujeante, entonces una fracción vacía baja debe ser usada debido al requerimiento de una trayectoria óptica clara.

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7.- Exactitud.- Los sistemas HWA y LDA pueden dar resultados similares, muy exactos, (0.1-0.2%) en experimentos cuidadosamente controlados. Sin embargo, en muchas aplicaciones prácticas, un 1 % de exactitud es más probable para ambos sistemas. 8.- Relación Señal-Ruido.- Los anemómetros de hilo caliente claramente son superiores puesto que pueden tener niveles de ruido muy bajos. Una resolución de una parte en 10 000 se logra fácilmente, mientras que con un LDA una parte en 1000 es difícil de alcanzar con la tecnología actual. 9.- Selección del Sensor y Análisis.- Un sistema HWA es relativamente simple de operar si la selección y el uso de los sensores así como la calibración, la adquisición de datos y el análisis relacionado con el procedimiento de medición son realizados dentro de la estructura lógica preestablecida. 10.- Análisis de la Señal.- La salida que proporciona un sistema HWA es una señal analógica continua. Por lo tanto el análisis se puede hacer sobre un muestreo convencional/condicional en función del tiempo y de la frecuencia. 11.- Información Espacial.- El uso de dos o más sensores espacialmente separados permite hacer mediciones de las correlaciones espacial y temporal de las fluctuaciones turbulentas. Combinaciones de hilos calientes conjuntamente con muestreos condicionales pueden identificar el desarrollo espacial y temporal de estructuras de escala grande dentro de los flujos turbulentos. 12.- Sensores Especiales.- Sensores HWA especiales y el análisis de la señal relacionada, se puede utilizar para evaluar cantidades turbulentas tales como intermitencia, relación de disipación, vorticidad, etc. 1.5.2.- Problemas Significativos del Sistema HWA y Soluciones Propuestas Flujos con Alta Intensidad de la Turbulencia.- El sistema convencional HWA se restringe a flujos con baja y moderada intensidad de la turbulencia. Para altas intensidades de la turbulencia pueden ocurrir errores a partir de dos fuentes. Para sensores de un solo hilo (alambre) y sensores con configuración en X, los errores pueden ser causados al despreciar los términos de mayor orden en la expansión de la serie empleada para determinar la velocidad. Puesto que el principio de operación del sistema HWA se basa en la cantidad de calor que disipa el sensor debido a la velocidad del flujo y no de la dirección de esta, el segundo tipo de error se refiere generalmente como un error de rectificación. Debido a su simetría rotacional, el hilo caliente es insensible a la inversión de la dirección del flujo, lo cual puede ocurrir en flujos con alta intensidad de la turbulencia. También, para sensores en X y con triple hilo (3W), ocurre ambigüedad en la señal cuando el vector velocidad queda fuera del ángulo adecuado de aproximación. No existen técnicas de compensación satisfactorias para estos errores para los sensores de HWA estacionarios. Un sistema de anemometría de hilo caliente volador (FHA por sus siglas en inglés) se puede utilizar para resolver el problema de rectificación. Este método es equivalente al cambio de la frecuencia en los sistemas de LDA. Un sistema de anemometría alternativo es la técnica

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del anemómetro del hilo pulsante (PWA) [12]. Recientemente Persoons et al [13] han propuesto una técnica alternativa que consiste en hacer oscilar a bajas frecuencias el sensor de hilo caliente (OHW por sus siglas en inglés). Perturbaciones del sensor.- Al colocar un sensor en el flujo se modificará el campo local del flujo. Sin embargo, para un sensor bien diseñado, los errores correspondientes serán a menudo muy pequeños y las perturbaciones relacionados con el flujo generalmente son incorporados dentro del procedimiento de ca1ibración. Sin embargo, un sensor estacionario podría modificar perceptiblemente cualquier fenómeno sensible a las perturbaciones del flujo como por ejemplo, separación del flujo. En este caso, un sistema FHA o LDA debe ser utilizado. Rotura del Sensor.- Aunque un sensor de hilo o película caliente es un instrumento muy delicado, si se maneja cuidadosamente puede durar muchos meses o años. Para estudios de flujos de aire de baja velocidad la causa más común de la rotura del sensor es el manejo incorrecto de los operadores inexpertos. Para evitar pérdidas de tiempo y, para sensores multi-hilos, reparaciones costosas, los investigadores novatos debe ser cuidadosamente capacitados en la manera segura de quitar (y de re-emplazar) los sensores de su estuche. También, la colocación de un sensor de hilo caliente en un pasaje estrecho o a través de un agujero de montaje se debe hacer siempre usando un sistema de guía especialmente diseñado y no a mano. Insistiendo en estas instrucciones simples, se puede reducir la rotura manual de los sensores de manera notable. La rotura del sensor puede también ocurrir debido a “incendio”. Esto ocurrirá si el factor de sobrecalentamiento accidentalmente se fija demasiado alto, o debido a un proceso de envejecimiento cuando el sensor se opera frecuentemente con un factor de sobrecalentamiento alto. En flujos de alta velocidad, los sensores pueden ser dañados o rotos debido al impacto de partículas relativamente finas por lo que todos los túneles de viento empleados con fines de investigación deben contar con un filtro de aire adecuado. Contaminación.- El depósito de impurezas del flujo sobre el sensor puede alterar dramáticamente la calibración característica y reducir la frecuencia de respuesta. Cuando ocurre esto, el sensor debe ser calibrado nuevamente y, en caso necesario, primero se limpia y después se vuelve a calibrar. Esto puede ocasionar grandes pérdidas de tiempo por lo que se recomienda ampliamente que un filtro sea incorporado en la facilidad experimental que genera el flujo a estudiar siempre que sea posible. Un método común de remover el polvo de un sensor es cepillarlo muy cuidadosamente con un pincel. Sin embargo, la contaminación puede ser causada por gotas de aceite en el flujo de aire, o por escamas y fango en flujos de agua. Dependiendo del grado de contaminación, puede ser posible quitar tales depósitos empapándolos en un líquido con algunas características solventes. El arremolinamiento del sensor o la agitación acústica del líquido acelerará este proceso. Los solventes usados comúnmente son el alcohol desnaturalizado, la acetona y el tetracloruro de carbono. Los sensores de hilo caliente adecuados para ser utilizados en agua se limpian frotándolos con una esponja de algodón sumergida en ácido acético. Después de la limpieza, el sensor se debe lavar en agua destilada y dejar que se seque antes de la recalibración.

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1.5.3.- Restricciones del Sistema HWA y Aplicaciones del Sistema LDA Los sistemas HWA y LDA son técnicas complementarias. Cada una tiene sus propias ventajas y limitaciones exclusivas y existe un número significativo de situaciones del flujo donde ambas técnicas se pueden utilizar con éxito. La principal desventaja del sistema HWA es que no se recomienda su uso en ambientes hostiles, tal como el proceso de combustión, donde el sensor puede dañarse. El sistema LDA es la opción práctica para tales aplicaciones. Los flujos turbulentos de gas o de líquido con partículas sólidas o gotas finas también son estudiados normalmente con las técnicas del sistema LDA. Para estudios de flujo de líquidos, el sistema LDA se prefiere a menudo puesto que el requisito de sembrado de partículas se satisface generalmente con las partículas finas que en forma natural se mueven con el flujo y debido a que los sensores del sistema HWA presentan el problema de ensuciamiento mencionado antes. En flujos con alta intensidad de la turbulencia, un sistema LDA con cambio de frecuencia puede proporcionar resultados sin ambigüedades, lo cual no es el caso para un sistema estacionario de un sistema con sensor de hilo caliente. Los métodos FHA, PWA o OHW se pueden utilizar para solucionar este problema. Sin embargo, los métodos de LDA tienen varias restricciones. Los sistemas de LDA son más costosos y pueden ocurrir problemas de efectos diagonales y de siembra de partículas. Las medidas simultáneas de velocidad y de temperatura (sensor ‘hilo frío’) pueden no ser confiables debido a la contaminación del sensor ‘hilo frío’ por las partículas que de forma natural contiene el fluido (agua) o debido al sembrado de partículas (aire). El sistema LDA no da una señal continua y la información espectral es mucho más difícil de evaluar. Finalmente, el sistema LDA no puede proporcionar información más avanzada sobre la turbulencia del flujo, lo cual si se puede obtener con el sistema HWA. 1.5.4.- Medición de la Velocidad Media Si solamente se requiere información de la velocidad media, entonces los sensores de presión son a menudo utilizados, en el supuesto de que la intensidad de la turbulencia es tan baja que el flujo inverso no ocurre. Para campos de flujo con una dirección del flujo medio conocida, la velocidad media se mide generalmente con un sensor Pitot-estático convencional. Los sensores de cinco agujeros se han utilizado extensivamente en los campos de flujo que contienen tres componentes de la velocidad media. Estos sensores se componen generalmente de un cuerpo aerodinámico formado con una toma central de presión total y cuatro tomas de presión estática dispuestos de forma simétrica. Los sensores se emplean en modo estacionario o en modo “nulo”. En el modo nulo, se rota el sensor de modo que cada toma lateral lea la misma presión. La orientación correspondiente del sensor identifica la dirección del flujo medio. Sin embargo, este método es incómodo por lo que la mayoría de los sensores de presión se emplean en el modo estacionario, en el cual se miden las diferencias de presión de arriba a abajo y de lado a lado. Entonces se utilizan las curvas de calibración para encontrar la dirección del flujo y la magnitud de la velocidad media. Muchas geometrías diferentes de sensores de presión han sido investigadas, sin embargo el sensor más extensivamente usado y estudiado es el sensor de cinco tubos de presión.

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Sensores miniatura de este tipo, como se muestran en la figura 12, han sido fabricados y probados para reducir los errores de resolución espacial y efectos de bloqueo. También se ha propuesto el uso de un sensor de cuatro orificios y uno de siete orificios. La empresa Dantec [14] vende sensores de hasta 18 orificios. El de siete orificios tiene la ventaja de que el rango útil de ángulos de flujo es mayor que el rango de un sensor de cinco agujeros con una geometría similar, mientras que el de 18 se utiliza para medir velocidades en regiones de flujo inverso en donde la variación es de ± 170º, pero obviamente mientras mayor sea el número de orificios se aumenta la complejidad de la calibración. Las lecturas de presión son influenciadas por la estructura del flujo turbulento, pero la mayoría de los estudios comparativos han encontrado que el sistema HWA y los sensores de presión dan una exactitud similar para el vector de la velocidad media.

Figura 1.12.- Sensor de presión miniatura de cinco orificios especial para medir las tres componentes de la velocidad media en flujos de baja velocidad. Algunos campos de flujo tienen variaciones grandes en la dirección del flujo medio. Un sensor de presión se puede utilizar inicialmente para identificar esta dirección en cada punto de medición y después hacer las mediciones con un sensor de hilo caliente alineado con las direcciones identificadas. Sin embargo, para la mayoría de estudios con el sistema HWA que involucran la medición de cantidades turbulentas, el uso de un sensor de presión adicional agrega mayor complejidad al procedimiento experimental sin ningún aumento en la exactitud de las cantidades medidas. 1.6.- TÉCNICAS PARA MEDIR FLUJOS INVERSOS EMPLEANDO EL SISTEMA HWA Los flujos inversos ocurren en muchos usos prácticos de la ingeniería; estos flujos pueden ser causados, por ejemplo, en flujos alrededor de obstáculos, sobre expansiones repentinas en conductos y tuberías, separación de flujo en superficies con grandes curvaturas y por

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flujos en torbellino los cuales se pueden generar en las cámaras de combustión o por ventiladores axiales operando sin estatores. Estos flujos no se pueden estudiar con sensores estándar del sistema HWA puesto que un sensor con un solo hilo caliente cilíndrico no puede detectar una inversión de la dirección del flujo debido a la simetría rotacional del elemento de detección. La ambigüedad de la señal para un sensor con un solo hilo caliente colocado en un flujo unidimensional que invierte su dirección periódicamente (valores negativos de U) se ilustran en la figura 13. La salida de voltaje linealizada del sistema HWA, E en la figura 13(b) exhibe el plegamiento o rectificación típico de la señal del anemómetro (áreas sombreadas), cuando ocurre la inversión del flujo. Debido a esta rectificación, el valor medio medido, mU , será demasiado alto y 2

mu será demasiado bajo. La ambigüedad de la señal también ocurrirá para los sensores con dos hilos en X y con triple hilo (3W) cuando el vector cae fuera del ángulo de aproximación aceptado para el arreglo de los hilos calientes.

Figura 1.13.- (a) Campo de velocidades de un flujo inverso unidimensional y (b) la correspondiente señal del hilo caliente linealizada, tomada de [12]. Enseguida se describen dos métodos con posibilidades de ser utilizados para medir el flujo inverso. 1.6.1.- El Método de Anemometría del Hilo Caliente Volador Una gran atención se ha dedicado al método de anemometría del hilo caliente volador (FHA) y a los procedimientos de análisis de la señal de los sensores de hilo caliente en movimiento. Esta técnica consiste de un sensor uni o bidimensional que se mueve con velocidad conocida a lo largo de una trayectoria establecida, por lo que el sensor mide una velocidad relativa igual a la diferencia de la velocidad del flujo con la del sensor con la condición de que velocidad relativa permanezca dentro de la región aceptada por el sensor. Para el caso uni-dimensional, la velocidad del sensor debe ser en contra de la dirección del

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flujo y de mayor magnitud que la velocidad del flujo inverso a medir [13]. Existen referencias que indican que desde 1966 se ha empleado dicha técnica para medir espectros unidimensionales y la estructura de pequeña escala de la turbulencia atmosférica con un sensor de un solo hilo caliente fijado a un avión. Este método también fue utilizado para estudiar la estela de vórtices de un avión. Diversas investigaciones han utilizado un de sensor de hilo caliente colocado en un brazo giratorio para analizar los vórtices desprendidos de la punta de un ala rectangular. Adicionalmente este método se ha empleado para estudiar flujos en Turbomaquinaria en la década de los 70’s y 80’s. Más recientemente el método FHA ha sido utilizado para estudiar la estructura de la turbulencia originada por una rejilla. También se han realizado mediciones casi-instantáneas de la velocidad en puntos múltiples con un sensor giratorio en X. Finalmente, algunos investigadores han estudiado el campo del flujo en un motor de combustión interna con una sensor de hilo caliente en movimiento [12]. A pesar de lo antes mencionado, no se ha encontrado estudios de un flujo en torbellino en un tubo empleando esta técnica por lo cual se cree que este trabajo es el primero de este tipo. En el capítulo V se describe con mayor detalle esta técnica. 1.6.2.- Sensores de Película Dividida Se han desarrollado y aplicado sensores de película dividida a diversas condiciones en las que aparecen flujos inversos bidimensionales o tridimensionales. El diámetro de la fibra sobre la cual se depositan las películas es grande ( d 150≥ mμ ) comparado con el diámetro de un hilo caliente por lo que la frecuencia de respuesta de éstos sensores en flujos de aire es algo pobre. Es por lo tanto improbable que los sensores de película dividida se pueden utilizar en estudios de turbulencia precisos en flujos de aire, pero pueden proporcionar resultados razonablemente exactos de la velocidad media e información relacionada con, por ejemplo, inestabilidades de baja frecuencia del flujo separado detrás de escalones. El funcionamiento del sensor de película dividida en flujos de líquidos es mucho mejor, puesto que la turbulencia tiene una frecuencia mucho más baja. La empresa DISA [12] ha desarrollado un sensor con tres películas colocadas en trayectorias paralelas, cubriendo cada una 120° de la superficie lateral de una fibra de cuarzo común de 400 mμ de diámetro. El sensor, que se muestra en la figura 14, puede cubrir los 360° completos en un plano; dicho sensor es adecuado para mediciones de flujos inversos bidimensionales con el sensor colocado perpendicularmente al flujo. Durante la calibración, el sensor se expone a un rango determinado de velocidades y se gira 360° alrededor del eje del sensor en cada una de las velocidades de calibración, mientras que se lee la salida del sensor en las posiciones angulares seleccionadas. El procedimiento de calibración, que requiere 135 combinaciones de flujo y de ángulo, es desarrollado automáticamente por computadora. Se establece un conjunto de 135 constantes de calibración, las cuales describen completamente las relaciones entre las tres salidas del sensor, la velocidad y el ángulo del flujo. Se ha estimado que con este sensor, el vector velocidad se puede medir con una exactitud de ± 3% y el ángulo del flujo con una desviación estándar menor a 0.5°. La empresa Dantec [14] tiene sensores semejantes, sin embargo su uso requiere un software diferente al que se tiene instalado en el LABHINTAP.

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Figura 1.14.- Sensor de película con triple división para mediciones de flujos inversos bidimensionales. 1.7.- COMENTARIO FINAL De acuerdo con la información antes presentada y aún con las contradicciones encontradas de la revisión de los artículos mostrados en la tabla 1, se considera que la instrumentación adecuada para medir el flujo inverso requiere el empleo de tecnología avanzada, principalmente anemometría Laser-Doppler ó velocimetría por imagenes de partícula (PIV) lo cual requiere el uso también de un rayo Laser ó bien el método del hilo caliente volador, instrumentación no muy común y generalmente con disponibilidad muy limitada en los laboratorios de mecánica de fluidos, aerodinámica o hidráulica de los centros de investigación mexicanos. En cuanto al método del hilo caliente volador, aún cuando es una técnica recomendada por Bruun [12], en la investigación hemerográfica realizada, no se encontró ninguna referencia que haya reportado su uso en la medición del flujo inverso generado por un flujo en torbellino que se conduce a través de un tubo. Al parecer esta técnica representa un campo de investigación casi virgen sobre todo en su aplicación al flujo tema de esta tesis y que además es factible implementarla con los recursos disponibles en el LABINTHAP de la ESIME Zacatenco. Para esto se requiere conseguir o desarrollar un dispositivo que mueva al sensor de hilo caliente con una velocidad controlada y adecuada a la velocidad del flujo objeto de estudio. Adicionalmente, al buscar métodos alternativos para medir el flujo inverso con la instrumentación disponible en el LABINTHAP de la ESIME Zacatenco y en el laboratorio de Aerodinámica de la ESIME Ticoman, se encontró que un anemómetro de aspas detecta la región de flujo inverso ya que al ser colocado en el centro del tubo, invariablemente (sin importar la velocidad del flujo empleada) las aspas del anemometro llegan al reposo. Este hallazgo establece la posibilidad de medir con mayor presición el flujo inverso si se cuenta

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con sensores de aspas de diámetro pequeño (el sensor mas pequeño que se puede conseguir comercialmente es de 1.2 cm de diametro). Una de las ventajas de esta técnica es que permite determinar visualmente la existencia del flujo inverso, a partir del cambio en el sentido de giro de las aspas del sensor. El inconveniente principal de esta técnica es que las velocidades medidas son velocidades promedio (en función del area que cubren las aspas) y no puntuales como las que proporcionan los demas sistemas de anemometría mencionados. Dada la experiencia del autor de este trabajo con el sistema de anemometría de hilo caliente, se determinó emplear el método del hilo caliente volador y enfocar los esfuerzos en la obtención de los accesorios necesarios para tal fin, mismos que se desciben con detalle en el capítulo V. Finalmente se puede establecer que el flujo inverso inducido por un flujo en torbellino que se mueve en el interior de un tubo de sección transversal circular, es un área de investigación que presenta aún muchas dudas e inconsistencias desde el punto de vista experimental y que se requiere mayor información cuantitativa para establecer resultados y conclusiones definitivas. Todos los esfuerzos que aporten datos númericos y cualitativos encaminados a descifrar el enigma que representa el flujo inverso son relevantes y necesarios para incrementar nuestro acervo científico en el área de la dinámica de fluidos. Con este trabajo se pretende aportar un pequeño grano de arena en dicho sentido.

Capítulo II Turbulencia

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2.1.- INTRODUCCIÓN La turbulencia es un fenómeno siempre presente en la dinámica del flujo de un fluido. Comprender y modelar el movimiento turbulento de un fluido ha estimulado por décadas la creatividad de científicos e ingenieros. A menudo el objetivo es desarrollar métodos para predecir el campo de flujo de dispositivos prácticos. Para tal fin, se crean modelos analíticos los cuales se resuelven mediante códigos de computadora. En el centro de este esfuerzo está un amplio conjunto de investigaciones que van desde las mediciones experimentales hasta el análisis matemático. Los avances en la velocidad de cómputo están llevando a un incremento en el número de aplicaciones en la predicción del flujo turbulento. El análisis de flujos mediante computadoras está llegando a ser una parte integral del proceso de diseño en muchas industrias. Conforme se incrementa el uso de modelos de turbulencia en la dinámica de fluidos computacional, se requieren modelos más sofisticados para simular los fenómenos cada vez más complejos que van surgiendo. El incremento de la complejidad en las aplicaciones, requiere investigación mas creativa en el modelado de la turbulencia para la ingeniería. Este capítulo se desarrolla con la finalidad de ubicar al flujo en torbellino dentro del contexto de los flujos turbulentos y de establecer las ecuaciones básicas que rigen al tipo de flujo considerado en esta investigación. Como se verá, el modelo matemático que se emplea son las ecuaciones de Navier-Stokes para un flujo incompresible y con viscosidad constante. Para poder utilizar ciertos modelos de turbulencia, las ecuaciones de Navier-Stokes se deben transformar en las Ecuaciones de Navier-Stokes Promediadas con el Método de Reynolds (RANS por sus siglas en inglés). Aquí se muestra la metodología para promediar las ecuaciones de Navier-Stokes, las complicaciones que surgen con dicho modelo, el método para obtener la ecuación de transporte para los esfuerzos de Reynolds, mismas que son el punto de partida para el modelo de turbulencia que se aplica en la solución numérica obtenida con el programa Fluent así como el procedimiento seguido para cerrar el sistema de ecuaciones. La información que aquí se presenta fue obtenida principalmente de la referencia 15. 2.2.- EL PROBLEMA DE LA TURBULENCIA El problema de la turbulencia es un tema de discusión bastante antiguo entre los investigadores dedicados a la dinámica de los fluidos. Este no es un problema de una ley física; es más bien un problema de descripción. La turbulencia es un estado del fluido en movimiento y se describe mediante leyes dinámicas ya conocidas, las ecuaciones de Navier-Stokes. En principio, la turbulencia es simplemente una solución, bastante compleja, de dichas ecuaciones. El reto de la descripción se encuentra precisamente en dicha complejidad, es decir, como se puede representar el comportamiento tan intrigante y complicado del movimiento turbulento de un fluido de una manera adecuada a las necesidades de la ciencia y de la ingeniería. Observar el movimiento turbulento es fascinante: se hace visible mediante ondas de humo en la atmósfera, por las deformaciones de la superficie libre de un fluido en las estelas de

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barcos y mediante muchas técnicas de laboratorio que involucran humo, burbujas, tinta, etc. Las simulaciones por computadora e imágenes digitales procesadas muestran detalles intrincados del flujo. Sin embargo los ingenieros necesitan números y los científicos necesitan ecuaciones además de descripciones e impresiones. ¿Como se puede desentrañar la complejidad de la turbulencia? Ese es precisamente el punto medular de la turbulencia como área de estudio o línea de investigación. 2.3.- DEFINICIÓN DE TURBULENCIA Dos rasgos característicos del movimiento turbulento son su capacidad de agitar a un fluido y su capacidad de disipar energía. Lo primero hace que se mezcle el calor o material introducido en el flujo. Sin turbulencia las sustancias podrían ser llevadas a lo largo de líneas de corrientes del flujo y difundirse lentamente mediante transporte molecular; con turbulencia, estas se dispersan rápidamente a través del flujo. La disipación de energía mediante remolinos (eddies) turbulentos incrementa la resistencia a fluir a través de tubos e incrementa la resistencia al avance sobre objetos inmersos en el flujo. El movimiento turbulento es altamente disipativo porque contiene pequeños remolinos que tienen gradientes de velocidad grandes, sobre los cuales actúa la viscosidad. De hecho, otra característica de la turbulencia es su rango continuo de escalas de los remolinos. El remolino de mayor tamaño lleva la mayor energía cinética, estos remolinos producen remolinos más pequeños mediante un proceso no lineal. Los nuevos remolinos producen remolinos aún más pequeños y así sucesivamente en una “cascada” de energía hacia remolinos de escalas más y más pequeñas hasta cierto límite. Los remolinos más pequeños se disipan por viscosidad. La producción de escalas cada vez más pequeñas se conoce como cascada de energía [16]. Este es un concepto de primordial importancia para la comprensión de la agitación de las partículas y de la disipación de energía en un flujo turbulento. La energía que se vierte primero se produce en el movimiento medio ordenado. Las perturbaciones pequeñas extraen energía del flujo medio y producen fluctuaciones turbulentas irregulares. Estas son capaces de mantenerse por si mismas y propagarse mediante extracción adicional de energía. Esto se conoce como la producción y transporte de la turbulencia. Una comprensión detallada de tal fenómeno no existe a la fecha. Ciertamente esos fenómenos son altamente complejos y sirven para enfatizar que el problema real de la turbulencia es el análisis de un fenómeno bastante complejo. El término remolino (eddy), empleado antes, puede ser imaginado como un movimiento en torbellino alrededor de un vórtice. En algunos casos esto puede ser una imagen mental adecuada. Sin embargo, el término generalmente resulta ser muy ambiguo. Los contornos de velocidad en una capa de mezclado plana despliegan irregularidades de escalas grandes y pequeñas como se muestra en la figura 2.1. Aquí se ilustra una estructura con rasgos de escala grande y sobrepuesto un movimiento aleatorio de escala pequeña. Muy a menudo la imagen detrás del término remolino es esta clase de perspectiva sobre las escalas del movimiento. En vez de espiras vorticales, los remolinos son una impresión de rasgos vistos en una gráfica de contorno. En la figura 2.1, los remolinos grandes se observan como masas o bultos grandes, los remolinos pequeños se observan como un fondo de apariencia granulosa.

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Figura 2.1.- Remolinos turbulentos en una capa de mezclado plana, tomada de [15].

Un método simple para producir turbulencia es colocar una rejilla normal al flujo en un túnel de viento. La figura 2.2 muestra una visualización con humo de la turbulencia corriente abajo de las barras de la rejilla. La parte superior de la figura muestra contornos de velocidad obtenidos mediante una simulación numérica de la turbulencia de la rejilla. En ambos casos se obtiene la impresión de que, en promedio, la escala de las fluctuaciones de velocidad se incrementa con la distancia corriente abajo. En este sentido, el tamaño promedio de los remolinos se hace más grande con la distancia desde la rejilla.

Figura 2.2.- Turbulencia producida por una rejilla, tomada de [15].

2.4.- DESCRIPCIÓN DE LA TURBULENCIA El análisis del flujo turbulento inevitablemente lleva a una descripción estadística. Los remolinos individuales ocurren aleatoriamente en el espacio y en el tiempo y consisten de

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regiones irregulares de velocidad o vorticidad. En el nivel estadístico, la turbulencia se puede reproducir y someterla a estudios sistemáticos. Las estadísticas, tal como la velocidad promedio, o su variancia, son ordenadas y se desarrollan de forma regular en espacio y tiempo. Estas proporcionan una base para las descripciones teóricas y para una diversidad de métodos de predicción. Sin embargo, no existen ecuaciones exactas para las cantidades estadísticas. El objetivo de las investigaciones en este campo ha sido desarrollar modelos matemáticos y conceptos físicos en lugar de leyes exactas del movimiento. La teoría estadística es un camino para desentrañar la complejidad de la turbulencia. El modelado matemático es un camino para predecir los flujos. La alternativa para modelar la turbulencia sería resolver las ecuaciones de Navier-Stokes tridimensionales en función del tiempo para obtener el campo de flujo caótico y entonces promediar las soluciones para poder obtener las estadísticas del flujo. Tal aproximación se conoce como Simulación Numérica Directa (DNS por sus siglas en inglés). La simulación numérica directa no es práctica para el análisis de la mayoría de los flujos de interés para la ingeniería ya que los modelos de ingeniería tienen por objeto evitar los detalles del flujo caótico y predecir las estadísticas del flujo turbulento directamente. Una gran atención se ha puesto sobre los modelos de cerramiento para ingeniería los cuales deben predecir las propiedades promedio del flujo sin requerir detalles del campo aleatorio; deben hacerlo en geometrías complejas para las cuales no existan datos experimentales detallados; deben ser tratables numéricamente y no requerir tiempo de cómputo excesivo. Estos retos hacen al modelado estadístico de la turbulencia un campo interesante. El objetivo de las teorías y modelos de turbulencia es describir el movimiento turbulento mediante métodos analíticos. El método particular a emplear depende de los objetivos que se persigan: (1) entender como el movimiento caótico se produce a partir de las ecuaciones que lo modelan, (2) construir analogías fenomenológicas del movimiento turbulento, (3) deducir propiedades estadísticas del movimiento aleatorio o bien (4) desarrollar herramientas de cálculo semi-empíricas. El enfoque seguido en la información que aquí se muestra pretende analizar los dos últimos objetivos. El primer paso en la teoría estadística de la turbulencia es comprimir la información contenida en el campo aleatorio de remolinos en un campo de flujo estadístico. En particular, la velocidad turbulenta es un campo tridimensional ( )321 ,, uuu en función de cuatro variables independientes ( )txxx ,,, 321 . Este es un campo de flujo irregular que varía rápidamente, tal como el producido por las ondas de una nube de humo generado por el movimiento en remolino del chorro mostrado en la figura 2.3 o el más explosivo ejemplo de la figura 2.4. Prácticamente en todos los casos de interés para la ingeniería, esta información es mucho más de lo que se podría usar, aún si se dispusiera de datos completos, por lo cual deben ser reducidas a unos pocos números o funciones útiles mediante un promediado. La imagen de la parte derecha de la figura 2.4 se ha hecho borrosa para sugerir la información reducida en una representación de promedios. Las estructuras de escala pequeña son suavizadas mediante el promediado. Un promedio real, en este caso podría requerir que se repita la explosión muchas veces y sumar las imágenes; aún los remolinos más grandes se podrían perder al suavizar la imagen. Un flujo estacionario puede ser promediado en el tiempo como se ilustra en la imagen de la derecha

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de la figura 2.3. Nuevamente, toda representación del movimiento en remolino se pierde en la vista promediada.

Figura 2.3.- Vistas instantáneas y promediadas en el tiempo de un chorro con flujo cruzado. El chorro sale de la pared de la izquierda y entra a un flujo que va de abajo hacia arriba, tomada de [15]. Un ejemplo de la gran simplificación lograda por la representación obtenida mediante la teoría estadística lo proporciona la turbulencia generada por una rejilla. Cuando el aire fluye a través de las barras de la rejilla la velocidad del fluido que se produce es un campo complejo esencialmente aleatorio, tridimensional y dependiente del tiempo, que desafía cualquier descripción analítica (figura 2.2). Este campo de velocidad podría ser descrito estadísticamente por su varianza, 2q , la cual se define como el valor promedio de

23

22

21 uuu ++ sobre planos perpendiculares al flujo, como una función de la distancia

corriente abajo de la rejilla proporcionando una función suave que caracteriza al campo de flujo complejo. De hecho, la dependencia de 2q con la distancia corriente abajo de la rejilla generalmente se representa con buena aproximación mediante una ley exponencial:

nxq −∝2 donde n es cercano a 1. La longitud promedio de la escala de los remolinos crece como 2/1 nxL −∝ . Esto proporciona una fórmula simple que concuerda con la impresión creada por la figura 2.2 en cuanto al incremento del tamaño de los remolinos con x . Para entender la simplificación que una descripción estadística parece ofrecer, es que esta es realmente una simplificación si las estadísticas del flujo de algún modo pueden ser obtenidas sin tener que resolver por completo, en primera instancia, el campo de velocidades complejo y después calcular los promedios; por ejemplo, tratar de predecir el chorro suave de la derecha de la figura 2.3 sin emplear el movimiento de los remolinos de la figura de la izquierda. Desafortunadamente no existen ecuaciones exactas que describan al flujo promedio y por lo tanto se hace necesario el uso de modelos semi-empíricos. Se podría pensar que una ecuación para la velocidad promedio se puede obtener promediando las ecuaciones para la velocidad instantánea. Este podría ser el caso si las ecuaciones fueran lineales, lo cual, desafortunadamente, las ecuaciones de Navier –Stokes no lo son. Al

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promediarlas resulta un sistema de ecuaciones no cerrado, es decir, menor número de ecuaciones que incógnitas.

Figura 2.4.- Escalas grandes y pequeñas de una explosión. La foto de la izquierda se representa borrosa para sugerir el efecto de un promediado de conjunto, tomada de [15]. 2.5.- MODELOS DE CERRAMIENTO Las teorías estadísticas de la turbulencia intentan obtener información (estadística) ya sea mediante aproximaciones sistemáticas hacia el sistema no cerrado de ecuaciones promediadas o mediante la intuición y la analogía. Generalmente, la intuición y la analogía ha sido lo mas exitoso: la teoría de Kolmogorov sobre el subrango inercial y la ley logarítmica de Prandtl para la capa límite son ejemplos famosos de intuición. Los modelos de cerramiento de ingeniería son en este mismo sentido una combinación de análisis sistemático, intuición y analogía con el fin de cerrar el sistema de ecuaciones. Por ejemplo, Prandtl dedujo una analogía entre el transporte turbulento del momentum promediado generado por los remolinos turbulentos y la teoría cinética de gases cuando propuso su modelo de la “longitud de mezcla”. Con esto, Prandtl obtuvo un modelo útil para predecir capas límites turbulentas. El término flujos de ingeniería implica que los flujos surgen de una configuración que tiene aplicaciones tecnológicas. El interés podría ser la caída de presión en un flujo a través de un conjunto de tubos intercambiadores de calor o a través de un canal con nervaduras a todo lo largo del mismo. La turbulencia disipa energía e incrementa la caída de presión, luego nuestro interés podría ser también la transferencia de calor de un chorro de enfriamiento. La turbulencia en el chorro restriega y choca con una superficie, mejorando el enfriamiento. Mucho de la física de estos flujos se retiene en las ecuaciones de Navier-Stokes promediadas. Los rasgos principales del flujo contra la superficie o el flujo separado detrás de los tubos, serán reproducidos por dichas ecuaciones si los efectos disipativos y de

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transporte de la turbulencia son representados adecuadamente por un modelo, el cual también debe cerrar el conjunto de ecuaciones. Predecir un campo de flujo promediado, tal como el que sugiere el promediado temporal que se muestra en la figura 2.3, no es fácil. Conceptualmente, el campo promediado es fuertemente afectado por el movimiento irregular, el cual ya no está presente en la vista borrosa. La influencia de este movimiento turbulento irregular debe ser representada si se desea predecir de forma exacta al flujo medio. La representación debe ser construida de tal manera que permita un amplio rango de aplicaciones. En flujos inestables o transitorios, como el de la figura 2.4, es irrazonable repetir el experimento varias veces para obtener las estadísticas del flujo; sin embargo, no hay dificultades conceptuales para desarrollar un método de predicción estadístico. El tema del modelado de la turbulencia es ciertamente ambicioso en sus objetivos. Los modelos para propósitos generales son normalmente formulados en términos de ecuaciones diferenciales. Por ejemplo, un modelo ampliamente utilizado para resolver flujos de ingeniería, el modelo ε−k , consiste de ecuaciones de transporte diferenciales para la energía turbulenta, k, y para su razón de disipación, ε . Para su solución, se crea una viscosidad turbulenta o aparente con el propósito de predecir el flujo medio. Otros modelos representan las influencias turbulentas mediante un tensor de esfuerzos, para lo cual se requieren modelos de transporte o fórmulas algebraicas para dichos esfuerzos. El enfoque aquí es análogo al modelado en el área de esfuerzos en sólidos, aunque hay una diferencia: Los esfuerzos macroscópicos en sólidos son causados por el movimiento y la interacción molecular mientras que los esfuerzos de Reynolds no son una propiedad del material; son una propiedad del movimiento del fluido; son una representación promediada de la convección aleatoria. Cuando se modelan los esfuerzos de Reynolds, nuestro interés está en representar las propiedades del campo de flujo, no las propiedades de un material. Por tal razón, la analogía de un modelo constitutivo debería ser moderada por cierta comprensión de los aspectos del movimiento turbulento que los modelos pretenden representar. En situaciones prácticas, las ecuaciones o relaciones para el cerramiento no son exactas o derivables. Estas requieren del empirismo. Consecuentemente, cualquier modelo de cerramiento tiene un rango limitado de uso, implícitamente limitado por su contenido empírico. En el transcurso del tiempo una cantidad de modelos semi-empíricos muy útiles han sido desarrollados para calcular flujos de ingeniería. Sin embargo, este continúa siendo una activa y productiva área de investigación ya que conforme se incrementa la potencia en el cómputo, modelos mas elaborados, precisos y flexibles llegan a ser posibles. 2.6.- CLASIFICACION DEL FLUJO TURBULENTO La distinción más amplia entre los diversos tipos de flujo turbulento que existen es entre flujos homogéneos y no-homogéneos. La definición de homogeneidad espacial es que las estadísticas del flujo no son función de la posición. La homogeneidad en tiempo se le denomina estacionalidad. Las estadísticas de la turbulencia homogénea no son afectadas por una posición arbitraria del origen de coordenadas del sistema de referencia; la homogeneidad ideal implica que el flujo no está limitado (no tiene fronteras). En un laboratorio, se puede lograr una homogeneidad aproximada; por ejemplo, los soplos de

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humo de la figura 2.2 son estadísticamente homogéneos en la dirección y : el tamaño promedio es independiente de y . El tamaño de los remolinos se incrementan con x , por lo tanto x no es una dirección de homogeneidad. Los flujos idealizados se emplean para formular teorías y modelos. La idealización típica es turbulencia homogénea e isotrópica ya que su alto grado de simetría facilita el análisis. La isotropía significa que no existe preferencia direccional. Si imaginamos que movemos una rejilla en todas las direcciones posibles dentro de un gran tanque lleno de agua, la turbulencia resultante podría no tener una dirección preferente, como lo ilustra la figura 2.5. Esta figura muestra el campo de vorticidad instantáneo en una caja de turbulencia homogénea e isotrópica, simulada por computadora. En cualquier punto y en cualquier instante, una fluctuación de velocidad en la dirección 1x podría ser tan probable y tan parecida como una fluctuación en la dirección 2x o en cualquier otra dirección. Con este tipo de flujo se obtiene una relativa simplificación matemática.

Figura 2.5.- Simulación de la vorticidad en una caja de turbulencia isotrópica, tomada de [15].

El siguiente nivel de complejidad es la turbulencia homogénea y anisotrópica. En este caso la intensidad de las fluctuaciones de velocidad no es la misma en todas las direcciones. Estrictamente, podría ser cualquiera de la velocidad o la longitud de la escala lo que pudiera variar o ser ambas las que tengan dependencia direccional, esto último es lo que sucede generalmente. La anisotropía puede ser producida mediante una razón de deformación, como se sugiere en la figura 2.6, en donde se muestra esquemáticamente como una razón de deformación homogénea distorsiona los remolinos turbulentos. Los remolinos son estirados en la dirección de la razón de deformación positiva y comprimidos en la dirección de deformación negativa. En esta ilustración la mejor forma de visualizar los remolinos es pensar que son vórtices que son distorsionados por el flujo medio. Las formas alargadas son síntomas de la existencia de anisotropía tanto en la velocidad como en la longitud de la escala por lo que para preservar la homogeneidad, la razón de deformación debe ser uniforme en el espacio. En general, la homogeneidad requiere que el flujo medio tenga un

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gradiente constante; esto es, la velocidad debería ser de la forma ijiji BxAU += , donde ijA y iB son independientes de la posición. Los gradientes del flujo medio imponen razones de rotación y deformación sobre la turbulencia, pero estas distorsiones son independientes de la posición, por lo que la turbulencia permanece homogénea.

Figura 2.6.- Esquema que sugiere la distorsión de los remolinos debido a un flujo con deformación uniforme, tomada de [15]. Una forma de categorizar a los flujos turbulentos no-homogéneos es por su velocidad media. Un flujo cortante turbulento, tal como una capa límite o un chorro, se denomina así porque tiene un esfuerzo cortante medio. En un flujo separado las líneas de corriente medias se separan de la superficie. La turbulencia siempre tiene esfuerzos cortantes y el flujo alrededor de los remolinos cerca de las paredes comúnmente incluirán la separación; por lo tanto estos términos podrían ser ambiguos a menos que se refieran únicamente al flujo medio. Los flujos no-homogéneos más simples son los flujos cortantes paralelos o auto- semejantes. El término paralelo significa que la velocidad no es una función de la coordenada paralela a su dirección. El flujo en una tubería, bastante lejos de su entrada corriente abajo, es un flujo paralelo, ( )rU . El flujo medio es en la dirección x y es una función de la dirección perpendicular, r . Todas las estadísticas son funciones de r únicamente. Los flujos auto-semejantes son análogos a los flujos paralelos, pero no son estrictamente paralelos. Los flujos auto-semejantes incluyen a los chorros, estelas y capas límites turbulentas. Por ejemplo, el ancho de una capa de mezclado, )(xδ , se desarrolla con la distancia corriente abajo. Pero si la coordenada transversal a la corriente, y , es normalizada con δ , la velocidad llega a ser paralela con la nueva variable: U como una función de ηδ ≡/y , es independiente de x . Nuevamente, existe dependencia en una sola coordenada, η ; la dependencia respecto a la distancia corriente abajo es parametrizada con

)(xδ . Los flujos con esfuerzos cortantes paralelos y auto-semejantes también son clasificados como flujos “completamente desarrollados”. La figura 2.7 muestra la transición del flujo en un chorro a partir de un estado laminar, a la izquierda, a un estado turbulento. No importa si es un chorro laminar pasando una

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transición o un flujo turbulento evolucionando en un chorro, la región corriente arriba contiene un núcleo central en el cual la turbulencia penetrará conforme el flujo evoluciona corriente abajo. Un estado completamente desarrollado se alcanza solamente después de que la turbulencia ha penetrado al chorro.

Figura 2.7.- Simulación de la transición de un chorro laminar a uno turbulento, tomada de [15].

Los flujos cortantes lejos de la pared o flujos cortantes libres, a menudo contienen alguna indicación de movimiento en remolino de escala grande con un movimiento de escala pequeña más errático sobrepuesto; un ejemplo es la estela turbulenta ilustrada en la figura 2.8. Todas estas escalas de movimiento irregular constituyen a la turbulencia. La distribución de velocidad fluctuante sobre el rango de escalas se llama espectro de la turbulencia. Flujos totalmente turbulentos tienen un espectro continuo, que van desde las escalas mas grandes, las escalas con mayor energía que causan las hendeduras principales en la figura 2.8 hasta los remolinos mas pequeños, que se ven como un mordisqueo en los bordes. Un caso extremo lo proporciona la nube de polvo de la explosión mostrada en la figura 2.4 en donde un rango amplio de escalas se puede ver en el penacho que se eleva desde la superficie. Los remolinos más grandes que se pueden identificar se les ha dado el nombre de “estructuras coherentes”. Las capas límites, al igual que los flujos cortantes libres, también contienen un espectro de movimiento en remolino. Sin embargo, las escalas grandes aparecen menos coherentes que en las capas cortantes libres. Los remolinos más grandes en las capas límites se describen como vórtices en herradura o en gancho, como se muestra en la figura 2.9. En las capas cortantes libres, los remolinos grandes podrían ser rollos que se extienden transversalmente al flujo y costillas de vórtices, que se vierten en la dirección de la corriente, como se observa en la figura 2.10. En todos los casos un fondo de movimiento irregular está presente, como en la figura 2.7. A pesar del esfuerzo por identificar formas reconocibles de remolinos, el rasgo dominante del flujo turbulento es su naturaleza caótica altamente irregular. En las discusiones sobre turbulencia invariablemente se incluye una categoría de flujos complejos. Esto puede significar relativamente complejos, incluyendo efectos del gradiente de presión sobre las capas cortantes delgadas, capas límites sujetas a curvatura o deformación transversal, capas cortantes delgadas tridimensionales y flujos semejantes; o podría significar bastante complejo y abarcar la gama completa. Desde un punto de vista teórico, los flujos complejos son aquellos en los cuales sus estadísticas dependen de más de una coordenada y posiblemente también del tiempo. En estos se incluyen perturbaciones a las capas cortantes básicas lo cual corresponde al caso de flujos turbulentos relativamente complejos. La categoría de flujos bastante complejos incluye flujos de ingeniería reales:

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chorros que chocan, separación de capa límite, flujo alrededor de obstáculos, el flujo en torbellino en el interior de un tubo, etc. Para propósitos del presente trabajo, es suficiente englobar a los flujos bastante y relativamente complejos en una sola categoría de flujos turbulentos complejos.

Figura 2.8.- a) Estela turbulenta atrás de una bala. b) Esquema que sugiere las estructuras grandes y pequeñas de una capa cortante libre en función del número de Reynolds, tomada de [15].

Figura 2.9.- Remolinos en forma de gancho (hairpin) del flujo en un canal a bajo número de

Reynolds, tomada de [15].

Turbulencia


Figura 2.10.- Rollos y costillas en la transición de una capa de mezclado, tomada de [15].

2.7.- ECUACIONES DE NAVIER-STOKES El flujo turbulento es descrito por las ecuaciones de Navier-Stokes, la ecuación de continuidad y, para flujo compresible, las ecuaciones de energía y de estado. Aquí se considera solamente flujo incompresible, es decir un flujo con densidad constante, con viscosidad dinámica constante. La derivación de las ecuaciones antes mencionadas se puede encontrar en diversos libros relacionados con flujos viscosos y turbulencia tales como White [17], Hinze [18] y Batchelor [19]. El problema de la turbulencia como se presenta aquí, es el de describir las estadísticas del campo de velocidad, sin utilizar datos del flujo aleatorio. Parece ser razonable empezar por intentar derivar las ecuaciones para las estadísticas del flujo. Para este fin se deben obtener las ecuaciones promediadas de Navier-Stokes, con la esperanza de encontrar ecuaciones que gobiernen a la velocidad media, los esfuerzos de Reynolds, etc. Desafortunadamente, las ecuaciones promediadas no son cerradas. En este sentido, son deficientes para conseguir leyes que describan las estadísticas del flujo. Sin embargo las ecuaciones de Reynolds promediadas dan una idea de los factores que describen a la evolución del flujo medio y de los esfuerzos de Reynolds. En las secciones que siguen se establece la interpretación física de los diferentes términos que aparecen en las ecuaciones no cerradas y en el siguiente capítulo se muestra como se hace el cerramiento de las ecuaciones empleando el modelo de transporte de los esfuerzos de Reynolds. Las ecuaciones que modelan al flujo viscoso e incompresible, sin importar si es laminar o turbulento, son:

iiijjit upuuu ~~1~~~ 2∇+∂−=∂+∂ νρ

2.1) 0~ =∂ iiu

Turbulencia


La primera ecuación expresa la conservación del momentum, mientras que la segunda expresa la incompresibilidad del fluido, lo cual es equivalente a la conservación de la masa para el presente caso. La tilde sobre las variables dependientes significa que estas son instantáneas. Stokes mostró que el flujo de Poiseuille es una solución de estas ecuaciones ya que la fórmula de Poiseuille para la caída de la presión en función del gasto volumétrico concuerda adecuadamente con los experimentos hasta cierta velocidad, después de la cual el gasto calculado es menor que los valores que arrojan los experimentos. Stokes argumentó que las ecuaciones (2.1) no eran deficientes sino que el movimiento del fluido desarrollaba inestabilidades a velocidades altas, sugiriendo que las ecuaciones eran válidas, pero que se requería una solución transitoria. En 1883 Osborne Reynolds, desarrolló un experimento para ilustrar que la caída en el gasto (o incremento en el coeficiente de fricción) correspondía a la ocurrencia de inestabilidades. Aunque las observaciones de Reynolds confirmaron la hipótesis de Stokes, estas no demostraron que las ecuaciones (2.1) describen las inestabilidades del flujo. Sin embargo, para apoyar dicha hipótesis, Reynolds inventó lo que ahora se conoce como el promediado de Reynolds ya que en su época no existían métodos para resolver las ecuaciones inestables completas, por lo que decidió promediarlas para así remover las inestabilidades. Reynolds mostró que arriba de un cierto valor del número que ahora lleva su nombre (el número de Reynolds), el movimiento inestable era consistente con las ecuaciones promediadas. La idea de estudiar a las ecuaciones promediadas puso las bases para la teoría estadística de la turbulencia. Actualmente se sabe que el flujo del experimento de Reynolds llegaba a ser inestable y que había una transición hacia la turbulencia arriba del número de Reynolds crítico. Stokes y Reynolds afirmaban que este proceso estaba descrito por las ecuaciones de Navier-Stokes. Como resultado de años de investigación, incluyendo la simulación de la turbulencia mediante computadora, ha sido convincentemente probado que las ecuaciones (2.1) son las ecuaciones que describen al flujo turbulento de un fluido. Las únicas dudas que han surgido es con respecto a sí aceleraciones grandes podrían ocurrir de tal forma que violen la relación lineal esfuerzo-deformación para los fluidos newtonianos, o aún mas, violar la suposición del medio continuo. Estas dudas han sido desechadas. 2.8.- ECUACIONES DE NAVIER STOKES PROMEDIADAS CON EL MÉTODO DE REYNOLDS Sí las ecuaciones de Navier-Stokes fueran la solución directa para el problema de la turbulencia, no habría necesidad de tantas investigaciones, reportes y libros escritos sobre el tema. La dificultad estriba en que el fenómeno de la turbulencia es la solución completa a estas ecuaciones, una solución compleja caótica en espacio y tiempo. Tales soluciones no son fácilmente obtenidas aún con el uso de un conjunto de supercomputadoras en paralelo. Por lo tanto, se requiere un nivel mucho más simple de descripción: una de las cuales es el enfoque estadístico. No existe un sistema de ecuaciones cerrado para las estadísticas del flujo turbulento ya que las ecuaciones obtenidas promediando las leyes exactas (2.1) contienen más incógnitas que ecuaciones como se muestra en seguida.

Turbulencia


La velocidad instantánea se descompone en la suma de su velocidad media y una fluctuación de velocidad en la forma: uUu +=~ , donde uU ~≡ . Si se sustituye esta descomposición en las ecuaciones (2.1) se obtiene

( ) ( ) ( ) ( ) ( )iiijjit uUpPuUuUuU +∇++∂−=+∂+++∂ 21 νρ

(2.2) ( ) 0=+∂ ii uU

El promedio de estas ecuaciones se obtiene colocando una barra sobre cada uno de los términos, notando que las reglas UU = y 0=u producen

43421 ijjiiijjit uuUPUUU ∂−∇+∂−=∂+∂ 21 νρ

(2.3) 0=∂ iiU

Estas son las ecuaciones de Navier-Stokes promediadas de Reynolds (RANS), las cuales, con respecto a la velocidad media, son casi las mismas que las ecuaciones (2.1) para la velocidad instantánea total, excepto por el término resaltado en la ecuación del momentum. Este término es una derivada del tensor de esfuerzos de Reynolds, el cual se obtiene de la derivada convectiva, después de aplicar la condición de continuidad y escribir

( )jiijii uuuu ∂=∂ . Por tanto, estrictamente, los esfuerzos de Reynolds no son esfuerzos por completo; estos son efectos promediados de la convección de la turbulencia. Sin embargo se sabe que los efectos de un promediado de conjunto de la convección pueden ser difusivos; aquí es el momentum lo que se difunde. Al nivel molecular, el momentum se difunde por viscosidad y aparece en las ecuaciones (2.1) como esfuerzo viscoso, es decir, el término que contiene a la viscosidad cinemática, ν ; la naturaleza difusiva análoga del término jiuu es el origen del término “esfuerzos de Reynolds”. Esto también ayuda a entender porque los esfuerzos de Reynolds a menudo son modelados por una viscosidad turbulenta y de los gradientes de velocidad media: [ ]jiijTji UUuu ∂+∂≈− ν . Las ecuaciones para el flujo medio (2.3) no son cerradas debido a que son un conjunto de 4 ecuaciones ),,i( 321= con 10 incógnitas ( )ij,,,i,uuy,,i,U,P jii ≤== 321321 . Las seis incógnitas extras son las componentes del tensor de esfuerzos de Reynolds. El problema estadístico para la media, o primer momento, representado por las ecuaciones (2.3) requiere el conocimiento de la covarianza, o segundo momento. Esto es así porque las ecuaciones de Navier-Stokes tienen una no-linealidad de segundo grado y puesto que cualquier no-linealidad causa que los momentos de las ecuaciones sean no cerradas, las ecuaciones para el primer momento contienen segundos momentos, las ecuaciones para el segundo momento contienen terceros momentos y así sucesivamente hasta el límite establecido. Aquí solamente se considera el segundo nivel de jerarquía ya que este es el

Turbulencia


nivel más alto utilizado directamente en modelos de cerramiento de momentos en un solo punto. 2.8.1.- Ecuación para el transporte de los esfuerzos de Reynolds Las ecuaciones dinámicas para el tensor de esfuerzos de Reynolds pueden ser obtenidas de las ecuaciones para la fluctuación de velocidad como se muestra a continuación. Después de sustraer (2.3) de (2.2) se obtiene

( ) iiikikkikkikkit upuuuuUuuUu 21∇+∂−=−∂+∂+∂+∂ ν

ρ (2.4)

Multiplicando esta ecuación por ju , promediando y agregando el resultado a la misma ecuación con i y j invertidos se obtiene las ecuaciones para el tensor de esfuerzos de Reynolds ( ijRS ). Simbólicamente, los pasos son:

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]jjiiijij uUNSuUNSuuUNSuUNSuRS +−+++−+= donde ‘NS’ representa a las ecuaciones de Navier-Stokes. La ecuación final es:

( )

ji

producción

jkkiikkj

turbulentotransporte

jikk

disipación

jkik

ciónredistribu

jiijjikkjit

uuUuuUuu

uuuuupupuuuUuu

2

21

∇+∂−∂−

∂−∂∂−∂+∂−=∂+∂

ν

νρ

4444 34444 21

434214342144 344 21

(2.5)

Speziale [20] establece que si la ecuación de conservación de la cantidad de movimiento fluctuante, ecuación (2.4) se establece en la forma de un operador, tal como 0=iuL , la ecuación de transporte de los esfuerzos de Reynolds, ecuación (2.5), también se puede obtener a partir de la siguiente operación:

0=+ ijji uuuu LL la cual representa el segundo momento de la ecuación (2.4). La complicada ecuación (2.5) recibe el nombre de ecuación de transporte de los esfuerzos de Reynolds. Obviamente, es una ecuación no cerrada para el segundo momento. La terminología usual para los términos de la derecha se indica en la misma ecuación. El término final no se identifica: es simplemente el transporte viscoso (difusión) molecular; este y el término de producción son cerrados debido a que solamente contienen la variable dependiente jiuu y los gradientes del flujo medio.

Turbulencia


2.8.2.- Ecuación para la energía cinética turbulenta La ecuación de la energía cinética turbulenta, para el caso de un flujo de densidad y viscosidad constante, es la mitad de la traza de (2.5), la cual se obtiene estableciendo ji = y sumando respecto a i :

kUuuuuuuupukUkproducción

ikki

turbulentotransporte

iikk

disipación

ikik

difusiónpresión

iikkt2

211

∇+∂−∂−∂∂−∂−=∂+∂

−

ννρ 43421

4342143421

43421

(2.6)

donde iiuuk 2/1≡ es realmente la energía cinética por unidad de masa. 2.9.- SIGNIFICADO DE LOS TÉRMINOS DE LAS ECUACIONES DE BALANCE DE LA ENERGÍA CINÉTICA Y DE LOS ESFUERZOS DE REYNOLDS. Las anotaciones en las ecuaciones (2.5) y (2.6) indican interpretaciones físicas de los términos individuales. El término marcado como disipación está precedido por un signo negativo y representa el decaimiento de la turbulencia. Speziale [20] indica que la ecuación de transporte de la razón de disipación turbulenta se puede obtener mediante la siguiente operación:

( ) 02 =∂∂

∂∂

ijj

i uxx

uLν

de lo cual se obtiene:

( )( ) ( )

( ) ( ) ενν

ννν

νννεε

222

22

222

∇+∂∂∂∂−

∂∂∂−∂∂∂−∂∂∂−

∂∂∂−∂∂∂−∂∂∂−=∂+∂

imkimk

kmmkimimkkkmkmik

ijkijkikjkjiikkjijiit

uu

upuuuuuu

UuuUuuUuuU

(2.7)

en donde ε es la razón de disipación escalar. El significado físico de las 7 correlaciones de alto orden del miembro derecho de la ecuación (2.7) es el siguiente: los primeros cuatro términos dan lugar a la producción de la disipación, los dos siguientes términos representan la difusión turbulenta de la disipación y el siguiente representan la destrucción turbulenta de la disipación. El último término representa la disipación molecular (viscosa). La razón de disipación escalar se obtiene a partir del tensor de disipación de la ecuación (2.5), jkikij uu ∂∂≡ νε 2 , al determinar la mitad de la traza de dicho tensor, es decir,

ijεε 21≡ ó 2uuu ikik ∇=∂∂ νν . ε representa la razón de disipación de la energía cinética

turbulenta y siempre se debe cumplir que 0≥ε . Las componentes de ijε permiten que cada

Turbulencia


uno de los componentes del tensor de esfuerzos de Reynolds disipen a una razón diferente. ijε es una matriz definida positiva.

El término de transporte se denomina así porque redistribuye la energía en el espacio sin crearla o destruirla. En otras palabras el término de transporte es conservativo. Los términos conservativos tienen la forma de la divergencia de un flujo. Por el teorema de la divergencia, la integral de tales términos sobre un volumen de fluido es igual al flujo a través de la superficie del volumen:

dSuuundVuuu iikS kV iikk ∫∫ =∂ ˆ

mostrando matemáticamente que este término ni produce ni destruye energía dentro del volumen. El término presión-difusión se llama así porque también es de forma conservativa. Sin embargo, esta es una terminología bastante peculiar porque los efectos de la presión son no locales e instantáneos en un flujo incompresible, mientras que la difusión ocurre lentamente, disminuyendo los gradientes locales. Afortunadamente el término presión-difusión generalmente es pequeño comparado con los otros en la ecuación (2.6). El efecto físico de los términos de transporte es esparcir los esfuerzos de Reynolds en el espacio. Generalmente se supone que estos manejan la distribución espacial hacia la uniformidad, en analogía al gradiente de difusión mediante un proceso molecular. Mientras que esto no es necesariamente cierto, es un buen entendimiento en la gran mayoría de flujos. La razón de producción de la energía turbulenta es ikki Uuu ∂−=P . Notese que el signo negativo es incluido en la definición de P . A pesar de su nombre, este término no representa la producción neta de energía. Este representa la razón a la cual la energía es transferida del flujo medio a las fluctuaciones turbulentas. Debe observarse también que un término igual y opuesto aparece en la ecuación para la energía del flujo medio. Por lo anterior, un modelo de turbulencia debe respetar la conservación de la energía neta, lo cual se comprueba si la ecuación para la energía total, kU +22/1 , no contiene un término de producción. En la mayoría de los casos la energía turbulenta se genera a partir del esfuerzo cortante medio, lo cual podría ser considerado como un proceso de inestabilidad que toma lugar continuamente dentro del flujo, tal como lo ilustra el experimento de Reynolds. Un proceso adicional es que los vórtices turbulentos son estirados e intensificados por la razón de deformación media, ver figura 2.6. La ecuación (2.6) se refiere solamente a los efectos promedio de tales procesos. Intuitivamente uno espera que el flujo de energía promedio sea desde el flujo medio ordenado hacia la turbulencia desordenada. Sin embargo no hay garantía de que 0≥P , ya que P puede ser negativo en flujos sujetos a fuerzas estabilizantes muy poderosas, tal como la aceleración centrífuga. Sin embargo en la mayoría de los flujos totalmente turbulentos el término de producción de la energía turbulenta es positivo.

Turbulencia


Para ver porque esto es así, considere el argumento basado en la longitud de mezclado, figura 2.11. Sea el flujo medio una capa cortante paralela, )(yU , en la dirección x . El único gradiente de velocidad medio diferente de cero es UU y∂=∂ 12 , por tanto

Uu y∂−= υP . Un elemento de fluido inicialmente localizado en 0Yy = será desplazado convectivamente por la velocidad turbulenta y en el tiempo t estará en la posición

( ) ∫+=t

'dt)'t(YtY00 υ . Suponga que el elemento retiene su velocidad inicial en x , )( 0YU ,

despreciando u en comparación con U . Cuando esta llega a ( ) ytY = la velocidad

instantánea será la velocidad de la partícula ( )0~ YUu = . Ya que ∫−=

t'dt)'t(yY

00 υ esta

velocidad es equivalente a ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −= ∫

t'dt)'t(yUu~

0υ . Ya que por definición la fluctuación de

velocidad es Uuu −= ~ y siguiendo la línea de razonamiento establecida, u es igual a

( ) ( ) ( )∫∫ ∂−≈−⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −=

t

y

tU'dt'tyU'dt'tyUu

00υυ (2.8)

Para la aproximación se empleó el primer término de una serie de Taylor, la cual se

justifica formalmente si el desplazamiento, ∫≡t

m 'dt)'t(l0υ , es pequeño comparado con la

escala de la variación del flujo medio, δ , tal que las derivadas de mayor orden en la serie de Taylor se pueden despreciar.

Figura 2.11.- Esquema mostrando el principio de la longitud de mezcla, tomada de [15].

Los esfuerzos cortantes de Reynolds, υu , se encuentran multiplicando (2.8) por )(tυ y promediando

∫ ∂−=t

yUdtttu0

')'()( υυυ (2.9)

A la integral del término con la barra se le denomina viscosidad turbulenta. Por tanto

Turbulencia


Uu yT∂−= νυ . (2.10) Es claro ahora porque un signo negativo se incluye en la definición de producción de energía:

( )2UUu yTy ∂=∂−= νυP (2.11) de donde se observa que P es positivo si la viscosidad turbulenta Tν es positiva. En situaciones donde 0<P el modelo de viscosidad turbulenta (2.10) podría no ser válido debido a que no es aceptable una viscosidad negativa. Si 0>∂ Uy entonces la ecuación (2.8) muestra que una υ positiva se correlaciona con una

u negativa. Esto es un entendimiento intuitivo de porque υu tiende a ser negativa en flujos cortantes paralelos, independientemente de la suposición de una viscosidad turbulenta específica. El movimiento hacia arriba lleva paquetes de fluido con velocidad media menor hacia regiones de velocidad más alta, donde encuentran una fluctuación u negativa. La tendencia general para υu es que sea negativa en flujo cortante ya que P tiende a ser positiva. Los términos de la ecuación de balance para los esfuerzos de Reynolds (2.5) tienen una interpretación semejante que para los términos de la ecuación de balance de la energía cinética (2.6). El tensor de producción, a partir de (2.5) es

jkkiikkjij UuuUuu ∂−∂−=P (2.12) En flujos cortantes paralelos, la velocidad es )( 21 xU en notación tensorial. Usando esto en (2.12) da UuUuu y∂−=∂−= υ22 122111P . Esto es el doble de la ecuación (2.11). La energía

fluye desde el esfuerzo cortante medio hacia la componente en dirección del flujo, 21u . Por

otra parte 03322 ==PP en un flujo cortante paralelo; no hay producción de 22u o 2

3u . La única forma en que la energía puede ser obtenida para estas componentes es mediante la alimentación desde la componente a lo largo de la corriente hacia los otros componentes de esfuerzo normal. El único término nuevo en la ecuación de balance de esfuerzos de Reynolds (2.5) es el denotado con el término “redistribución”. Este juega precisamente el papel de alimentar la varianza desde uno de los componentes de los esfuerzos de Reynolds hacia los otros. La terminología redistribución, implica que la varianza es cambiada entre componentes de

jiuu sin alterar la energía total, kk uu2/1 . El efecto cualitativo de la redistribución es generalmente cambiar energía desde los componentes mas grandes del tensor de esfuerzos de Reynolds hacia los componentes mas pequeños. Estrictamente hablando, si la redistribución ocurre sin generación de energía neta, la traza del término de redistribución debería desaparecer. La traza del término denotado como redistribución en (2.5) no

Turbulencia


desaparece; por tanto, este no define exactamente al tensor de redistribución. Podría ser más exacto simplemente llamarlo la correlación velocidad-gradiente de presión. Este se denota con el símbolo ijφ .

( )pupu jiijij ∂+∂≡ρ

φ 1 (2.13)

Este tiene una traza ( ) pukkkk ∂= ρφ /2 , la cual es estrictamente cero si la turbulencia es homogénea espacialmente. (Homogeneidad en la dirección kx implica que las derivadas de las estadísticas desaparecen en esa dirección, 0=∂ k ). La fórmula

ijkkijij δφφ31

−=Π (2.14)

es una definición mas apropiada del tensor de redistribución. Este tensor sin traza se obtiene restando a la ecuación (2.13) un tercio de su traza por el tensor identidad. Otra aproximación comúnmente usada para evitar agregar un término de redistribución, es

( ) ( )ijjiijjijiij uuppupupupu ∂+∂+∂+∂−=∂−∂− en donde al primer término de la derecha se le denomina “presión-difusión” y al segundo “presión-deformación”. El término presión-deformación es redistributivo porque tiene traza cero. Hasta cierto punto la diferencia entre separar la presión-deformación o retener un tensor de redistribución es un asunto de semántica. Tiene poca relación con los modelos de cerramiento, excepto en análisis de flujos cercanos a una pared; en ese contexto es preferible retener ijΠ debido a que este desaparece en las paredes cuando se aplica la condición de no deslizamiento. En turbulencia homogénea, los términos presión-deformación y de redistribución son idénticos. Nuevamente recordemos que la homogeneidad implica que las derivadas espaciales de todas las estadísticas de las fluctuaciones son cero. Sin embargo, las derivadas del flujo medio, ijU∂ , no necesariamente son cero; estas necesitan solamente ser independientes de la posición, x : esto es así porque la homogeneidad requiere que los coeficientes en la ecuación para jiuu sean constantes y también los coeficientes involucrados en las derivadas de U , pero no U misma. Por tanto, el flujo medio general para el cual la turbulencia puede ser homogénea es de la forma )()( tBxtAU ijiji += . A es una matriz que determina a la razón media de deformación ( ijS ) y a la razón de rotación ( ijΩ ).

( ) ( )ijjiijjiij AAUUS +=∂+∂≡21

21

Turbulencia


(2.15)

( ) ( )ijjiijjiij AAUU −=∂−∂≡21

21Ω

Las ecuaciones para la turbulencia homogénea se obtienen haciendo cero a las derivadas espaciales de las estadísticas en (2.5) y (2.6). La ecuación para la energía cinética turbulenta es

ε−=∂ Pkt . (2.16) Note que ε no es cero en la turbulencia homogénea: es una estadística de las derivadas no una derivada de las estadísticas. La energía cinética turbulenta, k , evoluciona de acuerdo con (2.16) como consecuencia del desbalance entre la producción, kk/ PP 21= y la disipación, ε . Fijando las derivadas espaciales a cero en la ecuación (2.5), se obtiene

ijijijjit uu εφ −+−=∂ P (2.17) empleando las notaciones introducidas previamente para los tensores de redistribución, producción y disipación. El gradiente del flujo medio aparece en la definición de ijP lo cual explica porque la turbulencia no puede ser homogénea a menos que los gradientes de velocidad sean independientes de la posición.

Capítulo III Modelo de

Turbulencia de Esfuerzos de

Reynolds

Modelo de Turbulencia de Esfuerzos de Reynolds

Tiburcio Fernández Roque SEPI-ESIME Zacatenco-I.P.N. 39

3.1.- INTRODUCCIÓN A pesar de más de un siglo de investigación, la turbulencia permanece como el mayor problema no resuelto de la física clásica. Mientras la mayoría de los investigadores concuerdan que la física básica de la turbulencia puede ser descrita por las ecuaciones de Navier-Stokes, las limitaciones en la capacidad de las computadoras hacen que sea imposible, por ahora y en el futuro previsible, resolver directamente estas ecuaciones para los flujos turbulentos complejos de interés tecnológico. De ahí, virtualmente todos los cálculos científicos y de ingeniería de flujos turbulentos no triviales, para altos números de Reynolds, se basan en algún tipo de modelado. Este modelado puede tomar una variedad de formas, una de las cuales es el modelo de turbulencia de los esfuerzos de Reynolds (RSM), el cual permite hacer cálculos del primer y segundo momento en un-punto, tales como la velocidad media, la presión media y la energía cinética turbulenta. Ya que la mayoría de los flujos prácticos de ingeniería implican geometrías complejas con fronteras sólidas, para números de Reynolds que son bastante más altos que aquellos que son accesibles para la solución de las ecuaciones de Navier-Stokes mediante simulaciones directas (DNS), el enfoque mas utilizado es realizar tales cálculos aplicando el modelo de esfuerzos de Reynolds. Las ecuaciones para las estadísticas del flujo turbulento son pocas comparadas con las incógnitas que aparecen en ellas. Estas no forman un sistema de ecuaciones cerrado. El propósito del modelado de cerramientos es formular ecuaciones adicionales tal que se obtenga un sistema que se pueda resolver. Cuando el propósito es predecir flujos no-homogéneos, posiblemente en geometrías complejas de interés para la ingeniería, entonces las ecuaciones para el cerramiento deben contener un cierto grado de empirismo. Es preferible generalmente para la parte empírica establecer un pequeño número de constantes del modelo determinadas experimentalmente, sin embargo, algunas veces se emplean funciones para fijar las curvas experimentales: esto es especialmente cierto en los modelos mas simples, tal como el cerramiento mediante integrales o el de longitud de mezcla. Al adoptar formas funcionales, se supone implícitamente que los flujos turbulentos exhiben alguna clase de comportamiento universal. Desafortunadamente, la universalidad no se aplica a los flujos complejos empleados en ingeniería, los cuales también deben poder predecir los modelos de cerramiento que se propongan. Los modelos mas elaborados, modelos que emplean ecuaciones de transporte, resuelven ecuaciones diferenciales parciales para minimizar la necesidad de formas funcionales específicas. Considerese el problema de predecir el campo de flujo medio. Como ya se mencionó, las 4 ecuaciones (2.3) para el flujo medio contienen 10 incógnitas. Para cerrar estas ecuaciones se requiere una formulación semi-empírica para predecir el tensor jiuu . Por ejemplo, los esfuerzos de Reynolds podrían explícitamente ser relacionados con el flujo medio a través de una ecuación constitutiva Newtoniana con una viscosidad turbulenta o aparente:

kSuu ijijTji δν 3/22 +−= . El término ‘semi-empírico’ implica que algunos términos del modelo se deben obtener a partir de una combinación de análisis, dinámica de fluidos y datos experimentales. Un ejemplo de esto, es la obtención de la ley logarítmica de Prandtl,



Uyuu y* ∂=− κυ , la cual se dedujo mediante un razonamiento dimensional, pero la constante κ fue determinada experimentalmente. Algunas veces se piensa equivocadamente que los coeficientes empíricos son perjudiciales para el modelado de la turbulencia. Realmente, lo contrario es lo correcto. Los modelos de cerramiento son capaces de predecir las estadísticas de flujos turbulentos muy complejos mediante la solución de un sistema relativamente simple de ecuaciones (por lo menos en la mayoría de los modelos). Si no se emplearan constantes empíricas, el cerramiento se tendría que hacer ya sea con leyes exactas de la dinámica de fluidos o con una aproximación derivada de forma sistemática. Tal grado de exactitud en las leyes es imposible en modelos que predicen flujos de ingeniería. La alternativa es usar ecuaciones que no son derivadas sistemáticamente y que tienen una componente empírica. El modelo entonces llega a ser un método para usar datos obtenidos a partir de flujos simples, que pueden ser estudiados en experimentos reproducibles y de ahí predecir flujos bastante más complejos. Habiendo ponderado el problema de predecir la velocidad media, iU , y habiendo reconocido que la ecuación exacta de su evolución contiene jiuu , se podría pensar en derivar la ecuación exacta para jiuu (la cual es la ecuación 2.5.) esperando alcanzar el cerramiento. Sin embargo, el problema se complica más: no solamente aparece un momento adicional, kji uuu , sino que también aparece la correlación velocidad-gradiente de presión, pu ji∂ . Hay ahora dos causas para la falta de cerramiento: la no-linealidad y la no-localidad. La no-linealidad cuadrática en las ecuaciones de Navier-Stokes resulta en una jerarquización de los momentos en cuanto a que la ecuación del momento enésimo contiene al momento de velocidad ( 1+n )ésimo. La formación de las ecuaciones de momento sucesivamente mas altas hacen que no se alcance el cerramiento y rápidamente llega a ser impráctica. La segunda causa para no conseguir el cerramiento surge a partir de la estadística de dos (o más) puntos que aparece en las ecuaciones de momento, las cuales se deducen para un solo punto. La presión es un efecto no local de las fluctuaciones de la velocidad turbulenta (la presión se rige por una ecuación de Poisson elíptica o no local); la correlación velocidad-gradiente de presión pu ji∂ implícitamente introduce la correlación de velocidad entre dos puntos. En este caso se podría considerar una jerarquía de correlaciones multi-puntuales, sin embargo para dos puntos esta llega a ser impráctica. En una geometría tridimensional, la correlación para dos puntos ( ) ( )'xuxu ji es una función de seis coordenadas, ( )', xx . Si modelar en tres dimensiones ya es un reto; sería muy difícil hacer un ejemplo para modelarlo en seis dimensiones. El tipo de modelado que se analiza aquí es el que se usa ampliamente en la dinámica de fluidos computacional (CFD por sus siglas en inglés) y que está incorporado en el programa que se utilizó para realizar el análisis numérico en este trabajo. Este es el tipo de CFD que es usado en virtualmente todas las aplicaciones industriales para el cálculo del flujo turbulento. Los modelos de turbulencia se proponen con el fin de satisfacer las necesidades del análisis asistido por computadora. Sin embargo, la finalidad de lo que en este capítulo



se presenta no está dirigido a mostrar el desarrollo de los códigos, sino en mostrar como se desarrolló el modelo de turbulencia basado en los esfuerzos de Reynolds, cual es el proceso matemático y en donde aparece el empirismo. 3.2. ANTECEDENTES Como ya se indicó, el concepto del promediado de Reynolds fue introducido por Sir Osborne Reynolds en su investigación sobre turbulencia de la última parte del siglo XIX. Unos años antes, en 1877, Boussinesq había introducido el concepto de viscosidad turbulenta, la cual sirvió de base para un cerramiento sencillo de las ecuaciones promediadas de la turbulencia. Sin embargo, no fue hasta después de 1920 que el primer cálculo exitoso de un flujo turbulento práctico fue logrado basado en las ecuaciones de Navier-Stokes Promediadas de Reynolds (RANS) y en un modelo de viscosidad turbulenta. Esto fue en gran parte debido al trabajo pionero de 1925 de Prandtl, quien introdujo el concepto de la longitud de mezclado como una base para la determinación de la viscosidad turbulenta. El modelo de la longitud de mezclado llevó a soluciones de forma cerrada para los flujos turbulentos en tubos y en canales que fueron notablemente exitosos al apegarse en gran medida a los datos experimentales existentes. Un gran número de investigadores dedicados a la turbulencia, sobre todo von Kárman entre 1930 y 1948, hicieron contribuciones adicionales al enfoque de la longitud de mezclado, la cual continuó siendo un área sumamente activa de investigación hasta el período posterior a la segunda guerra mundial. Por esa época, se hizo evidente que las suposiciones básicas detrás del enfoque de la longitud de mezclado, la cual hace una analogía directa entre los procesos de transporte turbulentos y los procesos de transporte moleculares, eran poco realistas ya que los flujos turbulentos no tienen una separación bien definida de escalas. Con el objetivo de desarrollar modelos más generales, en 1945, Prandtl relacionó la viscosidad turbulenta con la energía cinética turbulenta, la cual fue obtenida a partir de una ecuación de transporte en forma separada. Esta idea fue la precursora de los modelos de turbulencia de una ecuación, o modelos llamados de lk − , en donde la escala de la longitud turbulenta es especificada empíricamente y la energía cinética turbulenta, k , es obtenida del modelado de una ecuación de transporte. Sin embargo, estos modelos aun padecen de las deficiencias intrínsecas a todos los modelos de viscosidad turbulenta: la incapacidad para tomar en cuenta apropiadamente la curvatura de las líneas de corriente, las fuerzas de cuerpo y los efectos históricos en los componentes individuales de los esfuerzos de Reynolds. En 1951 Rotta estableció las bases para el cierre completo de las ecuaciones que gobiernan la turbulencia, lo cual cambió el rumbo del modelado de los esfuerzos de Reynolds. Este nuevo enfoque de Rotta, que ahora se conoce como cerramiento de segundo orden o segundo momento (SMC por sus siglas en inglés), se basó en la ecuación de transporte de los esfuerzos de Reynolds. Utilizando parte de las ideas estadísticas de A. M. Kolmogoroff de los años cuarenta e introduciendo algunas ideas enteramente nuevas, Rotta consiguió cerrar la ecuación de transporte de los esfuerzos de Reynolds. Este nuevo cierre de los esfuerzos de Reynolds, a diferencia de los modelos de la viscosidad turbulenta, toma en cuenta tanto los efectos históricos como los no-locales en la evolución del tensor de esfuerzos de Reynolds, característica cuya importancia había sido reconocida desde mucho



antes. Sin embargo, ya que este enfoque requiere la solución de seis ecuaciones de transporte adicionales para los componentes individuales del tensor de esfuerzos de Reynolds, en las siguientes dos décadas no fue computacionalmente posible resolver los flujos complejos de ingeniería basados en un cerramiento completo de segundo orden. Por los años setenta del siglo XX, con la mayor disponibilidad de computadoras de alta velocidad, un nuevo empuje en el desarrollo y en la implementación de modelos de cierre de segundo orden empezó con el trabajo de autores como Daly y Harlow en 1970 y Donaldson en 1972. En un trascendental artículo del año 1975, Launder, Reece y Rodi (21) desarrollaron un nuevo modelo de cerramiento de segundo orden que mejoró significativamente el trabajo de Rotta. Modelos más sistemáticos para la correlación presión-deformación y para los términos de transporte turbulento fueron derivados por Launder, Reece y Rodi; una ecuación de transporte para la razón de la disipación turbulenta fue resuelta también en conjunto con el modelo de transporte de los esfuerzos de Reynolds. Sin embargo, lo que es más importante, Launder, Reece y Rodi mostraron cómo los modelos de cerramiento de segundo orden podrían ser calibrados y aplicados a la solución de flujos turbulentos prácticos. Cuándo el modelo de Launder, Reece y Rodi es contraído y complementado con una representación de viscosidad turbulenta para los esfuerzos de Reynolds, se obtiene un modelo de dos ecuaciones, conocido como modelo ε−k . A causa del substancialmente más bajo esfuerzo computacional requerido, el modelo ε−k es todavía uno de los modelos de turbulencia mas comúnmente utilizados para la solución de problemas prácticos de ingeniería. Aunque el modelo de dos ecuaciones fue el primer modelo de esfuerzos de Reynolds sencillo y completo en ser desarrollado, estos presentan deficiencias significativas que hacen su aplicación precaria a flujos turbulentos complejos. Como se mencionó antes, los modelos de dos ecuaciones del tipo de viscosidad turbulenta tienen las siguientes importantes deficiencias: (a) la incapacidad para tomar en cuenta apropiadamente la curvatura de las líneas de corriente, a la deformación rotacional y otros efectos de las fuerzas de cuerpo y (b) despreciar los efectos no-locales e históricos sobre las anisotropías en los esfuerzos de Reynolds. La mayor parte de estas deficiencias están ligadas íntimamente a la suposición de que hay una separación bien definida de escalas en el nivel del segundo momento, es decir, en el nivel del tensor de esfuerzos de Reynolds. Mientras algunas de las deficiencias citadas antes pueden ser superadas parcialmente utilizando los modelos de dos ecuaciones con una corrección algebraica no lineal para la viscosidad turbulenta, las mejoras mas importantes sólo pueden ser logradas con cierres de orden más altos, siendo el más sencillo de estos, los modelos de cerramiento de segundo orden. 3.3.- MODELOS DE CERRAMIENTO DE SEGUNDO MOMENTO Los modelos de cerramiento de segundo orden están basados en la ecuación de transporte de los esfuerzos de Reynolds, (2.5). Ya que esta ecuación toma en cuenta automáticamente la convección y la difusión de los esfuerzos de Reynolds, los modelos de cerramiento de segundo orden (a diferencia de los modelos de viscosidad turbulenta) son capaces de tomar en cuenta efectos históricos y no-locales fuertes. Además, ya que la ecuación de transporte de los esfuerzos de Reynolds contiene términos de convección y de producción que se ajustan por sí mismos automáticamente en flujos turbulentos con líneas de corriente



curvadas o en un sistema con rotación (mediante la adición de factores de escala o términos de Coriolis), los flujos turbulentos complejos que involucran estos efectos generalmente se describen mejor con dichos modelos. Las limitaciones del modelo ε−k surgen principalmente de representar a la turbulencia por su energía cinética, la cual es un escalar y de la suposición que se hace para la viscosidad turbulenta. Lo primero no representa correctamente a la turbulencia anisotrópica, lo segundo supone un equilibrio instantáneo entre el tensor de esfuerzos de Reynolds y la razón de deformación media. Una desventaja en la representación de la fluctuación de la velocidad turbulenta únicamente con la magnitud del escalar k es que a veces una fuerza externa actúa sobre una componente de manera mas fuerte que en otras, produciendo componentes de energía muy diferentes: 222 wu ≠≠ υ . Esto se conoce como ‘anisotropía de los esfuerzos normales’, con relación a la diferencia con las componentes de la diagonal del tensor de esfuerzos de Reynolds en su forma isotrópica ijji kuu δ3/2= . Por ejemplo, una estratificación estable de

la densidad en la dirección y suprimirá a 2υ ; de forma semejante, la curvatura estable de las líneas de corriente suprimirá a la componente dirigida hacia el centro de curvatura. La anisotropía existe en todos los flujos reales. En flujos cortantes paralelos, la anisotropía dominante es el esfuerzo cortante. Los modelos de viscosidad turbulenta se diseñan para representar a los esfuerzos cortantes pero no son diseñados para representar anisotropía en los esfuerzos normales. El cerramiento del segundo momento (SMC), denominado también como: cerramiento de segundo orden, Modelo de los Esfuerzos de Reynolds (RSM) o Transporte de los Esfuerzos de Reynolds (RST)), incorpora mucho de esos efectos debido a que se basa en las ecuaciones de transporte de los esfuerzos de Reynolds. Por ejemplo, los efectos de la curvatura aparecen en esas ecuaciones a través del tensor de producción ijP . El precio que se paga por el incremento de contenido físico en el modelo es que se deben resolver más ecuaciones y las matemáticas también llegan a ser más complicadas. Una desventaja de la representación de la viscosidad turbulenta es que causa que los esfuerzos de Reynolds cambien instantáneamente cuando la razón de deformación media cambia por lo que los desequilibrios cambian rápidamente las condiciones del flujo. Los modelos constitutivos algebraicos, en general, suponen un equilibrio instantáneo entre los esfuerzos turbulentos y la razón de deformación media y en algunos casos con la razón de rotación media. Un ejemplo citado frecuentemente de discrepancia entre los esfuerzos y la razón de deformación es la capa límite tridimensional. Conforme la capa limite progresa corriente abajo, la dirección del flujo medio cambia de dirección. Esto podría ser causado por una obstrucción o por un gradiente de presión transversal al flujo. El ángulo del esfuerzo cortante medio horizontal medido respecto a la dirección x está dado por

( )UW yy ∂∂− /tan 1 . El ángulo del esfuerzo cortante de Reynolds horizontal, ( )υυ uw /tan 1− , también cambia de dirección, pero se retrasa respecto de la dirección del esfuerzo cortante medio. La fórmula lineal para la viscosidad turbulenta no toma en cuenta este retraso.



3.4.- PROCEDIMIENTO PARA CERRAR LAS ECUACIONES DE TRANSPORTE DE LOS ESFUERZOS DE REYNOLDS La esencia del modelo de cerramiento del segundo momento se puede describir con referencia a la turbulencia homogénea. Bajo la condición de homogeneidad la ecuación de transporte exacta es la (2.16), la cual es

( ) ijijijijijjit uu εδεφεδ 32

32 −−−+=∂

444 3444 21P . (3.1)

En donde ε es la razón de disipación de k tal que iiεε 2/1≡ . Además, la traza de (3.1) es dos veces la ecuación de k . En este sentido, el modelo SMC puede ser considerado como una extensión del modelo ε−k para obtener una mejor representación de la anisotropía del esfuerzo cortante. La variable dependiente en (3.1) es ( )tuu ji . El corchete inferior señala a los términos que son nuevos y no cerrados. La ecuación para ε puede ser la que se utiliza en el modelo

ε−k y que es la siguiente

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+∂+

−=∂+∂ ε

σν

νε

εεε

εεj

Tjjjt T

CCU 21P

o alguna semejante, tal que el último término de (3.1) sea cerrado. En esta ecuación

ε/kT = es la escala de tiempo. Los gradientes del flujo medio deben ser constantes para la turbulencia homogénea y por tanto se considera que pueden ser conocidos; estos determinan el tipo de flujo, tal como deformación homogénea, esfuerzo cortante homogéneo, etc. La forma explicita para el tensor de producción es establecida en (2.11), jkkiikkjij UuuUuu ∂−∂−=P , la cual

involucra a la variable dependiente jiuu y los gradientes de flujo dados, por lo que es un término cerrado. El modelado involucra el desarrollo de fórmulas y ecuaciones para relacionar a los términos no cerrados con los gradientes del flujo medio y a la variable dependiente, jiuu . El término no cerrado se denota como

( )ijijij εδεφ 32

ij −+−=D (3.2)

Esta ecuación recibe el nombre de tensor de redistribución. Para propósitos del modelado, la disipación anisotrópica ha sido incluida también. Entonces (3.1) se puede escribir de forma compacta como



ijijijjit uu εδ32−+=∂ DP (3.3)

Para poder cerrar esta ecuación de transporte, el término desconocido ijD debe ser modelado en términos de cantidades ya conocidas. Lo que se requiere es una función

( )ijijjiijij kUuuF δε ,,,,∂=D Esta ecuación debe ser escrita en una manera consistente dimensionalmente: el tensor de redistribución ijD tiene las mismas dimensiones que la razón de disipación, ε , la cual puede ser utilizada para normalizar a ijF . El gradiente de velocidad media ijU∂ tiene dimensiones de t/1 , por lo que puede ser adimensionalizado como ε/ijUk∂ . Es común

adimensionalizar a jiuu con k y restarle ijδ3/2 para formar un tensor sin traza llamado tensor de anisotropía

ijji

ij kuu

b δ32−≡ (3.4)

Se puede verificar que 0=iib . Con estas adimensionalizaciones, la dependencia funcional de ijD se escribe de forma mas apropiada como

( )ijijijijij Ukb δεε ,/, ∂= FD (3.5) Una suposición de números de Reynolds altos está implícita en (3.5): la dependencia sobre la viscosidad molecular se puede agregar a través del número de Reynolds de la turbulencia

εν/2k . Este parámetro es importante en el modelado de flujos cerca de la pared pero es secundario en flujos homogéneos. Hay una suposición implícita de localidad en (3.5): en el caso de flujo homogéneo, la localidad es en el tiempo. En particular F podría ser una funcional de ( )'tbij , tt ≤' . Sin embargo, todos los modelos SMC de uso corriente emplean un modelo de redistribución temporalmente local; todas las variables en (3.5) son evaluadas en el mismo tiempo t . Los efectos históricos están presentes pero solamente a través de la ecuación de evolución (3.3). Es práctica común separar a D en contribuciones lentas y rápidas, rápidalenta DD + y modelar sus dependencias funcionales, rápidalenta FF + , de forma separada. Los términos que no dependen de ijU∂ se denominan términos lentos del modelo de redistribución. Los términos rápidos dependen de los gradientes de velocidad; estos son generalmente tensores lineales con ijU∂ . La terminología ‘rápida’ y ‘lenta’ se originó por la idea de que solamente los primeros términos se alteraban instantáneamente con los cambios en el flujo medio.



En ocasiones es deseable trabajar con el tensor de anisotropía, ijb . La ecuación (3.3) puede ser rearreglada y obtener la ecuación de evolución para ijb

( )Tk

bk

bSUbUbb ijijijijijjkjkjkikijt

FP+++−−∂−∂−=∂

εδ32

34 (3.6)

Como ya se indicó, ijS es la razón del tensor de deformación. Esta forma emplea al tensor de producción como una función de ijb

ijikjkjkikij SUbUb

k 34−∂−∂−=

P

La ecuación de evolución (3.6) debe preservar la condición de que 0=iib : para asegurar esto, se debe imponer la condición 0=iiF . La ecuación (3.6) debe preservar también la condición de simetría jiij bb = , por lo que una condición adicional es jiij FF = . 3.4.1.- Modelos para la parte lenta El término lento está asociado con el problema de regreso a la isotropía. Para aislar a los términos lentos considere el caso de 0=∂ ijU . Entonces no hay preferencia direccional impuesta sobre la turbulencia y por tanto no hay fuerzas que conduzcan hacia la anisotropía. En el caso de (3.5) llega a ser [ ]δε ,bijij FD = . El modelo mas comúnmente usado para la redistribución lenta es el modelo de Rotta

ijlentoij bC ε1−=D . (3.7)

Esta es una relajación lineal del tensor de anisotropía ijb hacia 0, o de jiuu hacia ijkδ3

2 . Por esta razón se le llama modelo de regreso a la isotropía. Los valores empíricos típicos de

1C están en el rango de 1.5-2.0. El modelo de Rotta generalmente es bastante efectivo, sin embargo, se ha comprobado que la dependencia más general para la redistribución lenta es el siguiente modelo

( )ijkkijn

ijlentaij bbCbC δεε 2

312

11 −+−=D (3.8) Recuerdese que 2

ijb es definida como la matriz por si misma: kjikij bbb =2 . El término que contiene ijδ hace consistente a la ecuación (3.8) con la condición de traza cero 0=kkD .

Los coeficientes 1C y nC1 pueden ser funciones de los invariantes 22

1kkb bII −= y

33

1kkb bIII = . Para el modelo de Rotta, .1 constC = y 01 =nC .



En ausencia de gradientes del flujo, la ecuación de evolución (3.6) combinada con la (3.8) llega a ser

( ) ( )T

bbC

Tb

Cb ijkkijnijijt

δ23

12

111−

+−∂ (3.9)

El estado isotrópico es 0=ijb . La condición para que este sea un equilibrio estable es

11 >C . Intuitivamente se cree que la turbulencia debería conducir al flujo hacia la isotropía en ausencia de fuerzas externas ya que se han desarrollados experimentos sobre turbulencia homogénea en los que inicialmente existía turbulencia anisotrópica, observándose que esta cedía hacia la isotropía. Se puede escoger un sistema coordenado en el cual ijb es diagonal debido a que es un tensor simétrico. Este sistema se conoce como el sistema de ejes principales. Con gradientes de flujo, la dirección de los ejes principales podría girar en el tiempo. Sin embargo, por (3.9), eso no pasa porque cuando ji ≠ esa ecuación da 0=ijtbd si 0=ijb inicialmente, es decir, no se generan componentes fuera de la diagonal y b permanece diagonal. La condición libre de traza 0=kkb muestra que el tensor de anisotropía es de la forma

( )2211

22

11

000000

bbb

bb

+−= (3.10)

Nótese que ( )2211

222

211

2 2 bbbbbkk ++= y dejando Tdtd =τ . Entonces las ecuaciones de evolución llegan a ser

( ) ( )( )22112223

22113

1111111 1 bbbbCbCb n +−+−=∂τ

(3.11) ( ) ( )( )2211

2113

22223

1122122 1 bbbbCbCb n +−+−=∂τ

Si 01 =nC y 11 >C se obtiene un decaimiento exponencial hacia la isotropía. Los estados de una y dos componentes de velocidad y el estado eje-simétrico son referencias para caracterizar la anisotropía. Partiendo de 3

22111 −= kub y 20 2

1 ≤≤ ku se encuentra que 11b vale entre 3

2− y 34 . Cuando 3

211 −=b la turbulencia tiene dos

componentes diferentes de cero, 22u y 2

3u ; cuando 34

11 =b tiene solamente una,

022

23 == uu y ku 22

1 = . Estas condiciones definen los estados de una y dos componentes. El otro estado especial es la condición eje-simétrica 2211 bb = ; entonces b tiene la forma



11

22

11

2000000

bb

bb

−=

Si 011 <b entonces 2

1u y 22u son menores que k3

2 y 23u es mayor a dicho valor. Esto se

conoce como el caso de expansión eje-simétrica. Tal anisotropía podría ser producida por la expansión en el plano normal al eje 3x y una compresión a lo largo de ese eje. La turbulencia se puede imaginar como que ha sido aplastada a lo largo del eje 3x y estirada a lo largo de los ejes 1x y 2x . Estirando la vorticidad a lo largo de 1x y de 2x se amplifica la

componente de la turbulencia 23u . El caso opuesto 011 >b es el de contracción eje-

simétrica a lo largo de 1x y 2x , con estiramiento a lo largo de 3x . El estado de turbulencia se puede caracterizar con los invariantes 2

21

kkb bII −= y 3

31

kkb bIII = . De la ecuación (3.10)

( )2211222

211 bbbbIIb ++−= ,

(3.12) ( ) 3

11112221122

211 bIIbbbbbIII bb +=+−= .

El estado eje-simétrico es 2

113bIIb −= y 3112bIIIb −= o ( ) 2332 bb IIIII ±= . El signo +

corresponde a la expansión eje-simétrica, el signo – a la contracción eje-simétrica. En el estado de dos componentes, 3

211 −=b , se encuentra que 27

83

2 −−= bb IIIII . El mínimo del segundo invariante está en 112

122 bb −= y es igual a 2

1143 b− . Esto se

encuentra minimizando la expresión (3.12) con respecto a 22b para una 11b establecida. Ya que 3

411 ≤b , el rango de bII es 3

40 ≤−≤ bII . Rearreglando la segunda ecuación (3.12) en la forma

112

11 bIIIbIIII bbb −==− se posibilita identificar el rango para bIII . Para un valor dado de bIII , el mínimo de bII

ocurre en ( ) 2311 2bIIIb −= y es igual a ( ) 3223 bIII . Ya que 3

211 −>b , el máximo de bII

dado bIII es bIII23

94 + . Estos límites de bII pueden ser reestablecidos como

( ) 2332 bb IIIII ±= y 278

32 −= bb IIIII . El resultado final es que el rango de valores

factibles de bIII está dentro del triángulo curvilíneo

( )( ) ( ) 3423

278

3223 03232 ≤−≤≤≤−− bbbbb II,IIIIIII,IImax



mostrado en la figura 3.1. El max de la izquierda es la línea recta 278

32 −bII cuando

31>bII . Esta línea recta es el estado de dos componentes. Los lados curvilíneos del

triángulo son los estados eje-simétricos.

Figura 3.1.- Triángulo de las invariantes de la anisotropía. Las líneas sólidas se dibujan con

711 .C = , 0511 .C n = ; las líneas punteadas con ( ) 32

bb IIIII ∝ , tomada de [15].

Ahora se considera la evolución de la anisotropía, ecuación (3.11). El regreso a la isotropía en el plano bb IIIII − de la figura 3.1 consiste de una trayectoria que empieza dentro del triángulo y se mueve hacia el origen. Cuatro de tales trayectorias se muestran en la figura. Las líneas punteadas corresponden al modelo lineal de Rotta. Se comprueba que el modelo lineal produce la trayectoria ( ) 23

00 IIIIIIIIII bb = que se origina en ( )00 II,III y fluye hacia ( )0,0 . Las líneas sólidas corresponden al modelo no-lineal cuadrático, con las constantes

711 .C = y 0511 .C n = utilizado por Speziale y colaboradores quienes también corrigieron el coeficiente de Rotta para flujos cortantes con la siguiente expresión

εP9.07.11 +=C La tendencia del modelo no-lineal de virar hacia la expansión eje-simétrica concuerda cualitativamente con datos experimentales, pero ha sido cuestionado en cuanto a que si el regreso a la isotropía se puede describir solamente con una función de b , por ejemplo, la anisotropía de la disipación, ( )ijij εδε 3

2− , necesitaría ser incluida. Cuando un eigenvalor de jiuu llega a ser cero, la turbulencia alcanza un estado de dos componentes. Cualquier disminución adicional producirá la condición no real de que una de las componentes de energía, por ejemplo 2

1u , llegue a ser negativa. Valores negativos de 21u se les denomina estados no-factibles debido a que estadísticas reales no pueden tener



una varianza negativa. De aquí, cualquier violación a la factibilidad ocurrirá con una trayectoria que cruza a través del estado de dos componentes; es decir, si cruza el límite superior del triángulo de la figura 3.1. Si 02

1 <u la componente del tensor de anisotropía correspondiente es menor que 32− . En

general un modelo de turbulencia no asegura incondicionalmente que 32

11 −≥b . Una condición que garantiza esto se le llama condición de factibilidad. Claramente, 11b no cae por debajo de 3

2− si 011 >bdt cuando 32

11 −=b . En el caso de la ecuación (3.11), cuando

32

11 −=b

( ) ( )[ ]92

22322

221132

11 1 −−+−−= bbCCbd nτ .

El lado derecho tiene un valor mínimo de [ ]nCC 13

213

2 1−− cuando 34

22 =b . Requiriéndose que este sea positivo para obtener la condición de factibilidad

( )1123

1 −< CC n . (3.13) El valor marginal ( )112

31 −= CC n se utilizó en la figura 3.1. Cuando 01 =nC se recobra la

condición 11 >C . 3.4.2.- Modelos para la parte rápida La parte rápida del modelo ijD se define como la porción del modelo que explícitamente involucra a los componentes del tensor ijU∂ . Un buen acuerdo de investigación sobre el modelo SMC se ha enfocado en el modelo presión-deformación rápida para la turbulencia homogénea. Fuera de la vecindad de las paredes, la casi-homogeneidad podría ser una aproximación razonable aún cuando el flujo no sea estrictamente homogéneo; por lo tanto los conceptos desarrollados con referencia al flujo homogéneo son de amplio interés. Sin embargo, en algunas regiones, tal como en la inmediata vecindad de las paredes, las suposiciones son irreales y la mayoría de los modelos fallan. Lo que aquí se presenta se restringe a la turbulencia homogénea. La contribución de la presión al término de redistribución es

( ) ρφ pupu jiijij ∂+∂= . En turbulencia homogénea esto es igual al negativo de la correlación presión-deformación,

( ) ρφ ijjiij uup ∂+∂−=



Por tanto, se requiere un modelo de cerramiento que relacione esto con el tensor de esfuerzos de Reynolds. Un primer paso es relacionar la presión con la velocidad. En flujo incompresible, la presión satisface a la ecuación de Poisson

kllk u~u~p~ ∂∂−=∇ ρ2 , la cual se encuentra tomando la divergencia de las ecuaciones de Navier-Stokes y aplicando la condición de continuidad. Recordando que uUu~ += es la velocidad total, la ecuación para las fluctuaciones de presión se encuentra restando su promedio al lado derecho:

( ) lkklkllkkllk uUuuuup ∂∂−∂∂−∂∂−=∇ ρρ 22 (3.14) La forma del lado derecho es la motivación para descomponer a la redistribución en la suma de una parte rápida y una lenta: el primer término no depende explícitamente de la velocidad media y por lo tanto es asociada con la parte ‘lenta’ de la redistribución; el último término es la parte ‘rápida’. Una terminología mas adecuada podría ser partes ‘lineal’ y ‘no-lineal’ en alusión a la naturaleza de la dependencia respecto a u . La parte rápida o lineal es también lineal respecto al gradiente de velocidad media. Este término es lo que se analiza enseguida. La ecuación

lkkl uUp ∂∂−=∇ ρ22 (3.15) tiene la solución formal

( ) ( )'xd

'xuUxp l

'kkl 32

41

x'x −∂∂

= ∫∫∫∞

∞−

ρπ

(3.16)

en un espacio no limitado. Esta solución se obtiene con la función de Green para un espacio libre x'x −π41 para la ecuación de Laplace. Diferenciando (3.16) con respecto a ix e integrando por partes se obtiene

( ) ( )

( )

( ) x'x'x

x'

x'x'x

x'

x'x'x

x'

3

3

3

121

121

121

duU

dx

uU

dx

uUxp

l'k

'ikl

'l'kkl

il

'kkli

i

−∂∂∂=

−∂∂

∂∂−=

−∂∂

∂∂=∂

∫∫∫

∫∫∫

∫∫∫

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

πρ

ρπ

ρπ



en donde el hecho de que klU∂ρ es constante en flujo homogéneo ha sido usado para sacarla de la integral. El siguiente paso es formar la correlación velocidad-gradiente de presión

( ) ( ) ( ) ( )[ ] x'x'x

x'xx'x 312

duuuuU

pupu

l'k

'jil

'k

'ij

kl

jiijij

−∂∂+∂∂

∂−=

∂−∂−=−

∫∫∫∞

∞−πρ

ρφ

(3.17)

Aunque la cantidad del lado izquierdo es una correlación de un solo punto, el integrando de la derecha contiene correlaciones de dos puntos. Esto verifica la observación de que los esfuerzos de Reynolds son no-cerrados porque dependen de efectos no locales: las ecuaciones para un punto contienen correlaciones para dos puntos. Esta no-localidad se debe a que las fuerzas de presión actúan a distancia. La función de Green reduce las fluctuaciones de presión distantes, pero la caída es lenta, de la forma r1 . En turbulencia homogénea, las correlaciones de dos puntos son una función solamente de la diferencia entre los puntos. Una correlación de la forma ( ) ( )x'bxa es una función del tipo

( )x'xab − . La derivada con respecto a 'x se distingue de aquella con respecto a x , por lo que ( ) ( ) ( ) ( )( )'xbxa'xbxa 'x'x ∂=∂ ; la derivada en 'x no opera sobre ( )xa . Debido a esto

último, el término entre paréntesis de la ecuación (3.17), ( ) ( )'l

'k

'ij uu xx ∂∂ es equivalente a

( ) ( )[ ]'lj

'k

'i uu xx∂∂ ; y debido a lo primero, esto es equivalente a ( )ξljki uu∂∂ con ( )x'xξ −= . La derivada es con respecto a la posición relativa del vector ξ . Con estas

sustituciones la ecuación (3.17) llega a ser

[ ]( )( ) ( ) ( ) ( )[ ]

klijkl

likjljkikl

ktij

UM

uuuuU

dluiukjlujuki

U

∂=

∂∂∇+∂∂∇∂=

∂∂+∂∂∞

∞−

∂−=−

−−

∫∫∫

ξξ

ξξ

ξ

1212

3

2

12

ξξ

πφ

(3.18)

donde ( ) 12 −

∇ξ representa simbólicamente la integral convolución: es decir, es una notación

corta para la integración sobre la función x'x −− π41 . El significado de la ecuación (3.18) es que el lado derecho de la primer línea es una integral definida, por lo que las componentes de M son constantes. El tensor de cuarto orden ijklM se define como



( ) ( ) ( ) ( )[ ]ξξ likjljkiijkl uuuuM ∂∂∇+∂∂∇=−− 12122 ξξ (3.19)

Una normalización de M que se obtiene de (3.19) es

( ) ( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ] lililjji

liljjiijkl

uuuuuu

uuuuM

22

2

12

21212

=+∂∂∇=

∇∇+∂∂∇=

−

−−

ξ

ξξ

ξ

ξξ

(3.20)

notando que la inversa del Laplaciano por el Laplaciano es la identidad,

( ) 1212 =∇∇−

y aplicando la condición de continuidad para establecer 0=∂∂ ljji uu . Esta última etapa está basada en razonamientos previos acerca de las funciones de correlación homogéneas, aplicadas en sentido inverso:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) 0=⋅∇∂=∂∂=

∂∂=−∂∂=∂∂

xx'uxx'

xx'xx'ξ

l'ilj

'j

'i

lj'

j'

ilji

j'

iljji

uuu

uuuuuu

En adición a la normalización, M debe preservar la simetría en i , j y la propiedad de traza cero al contraerse sobre ji = que están construidos en el tensor de anisotropía. En resumen, las siguientes condiciones se imponen a M :

jiklijkl MM = ; 0=iiklM ; liijjl uuM 2= . (3.21)

La primera establece la simetría en i y j ; la segunda preserva 0=iib y la tercera normaliza a M . Algunas veces se argumenta que la condición adicional 0=ijkkM debería ser impuesta sobre la base de la condición de continuidad. Mientras esto parece atractivo, y se obtiene de (3.19), realmente no es constrictivo. Sería incorrecto caracterizar a 0=ijkkM como una condición de incompresibilidad porque el tensor de esfuerzos de Reynolds para un solo punto no da información directa sobre la compresibilidad de la turbulencia. Solamente la correlación de dos puntos puede satisfacer una condición de cero divergencia,

( ) ( ) 0=∂ xu'xu lj'j . En el término para la redistribución rápida klijkl UM ∂ los dos últimos

índices de M se contraen. Las únicas constricciones aparentes para la evolución de los esfuerzos de Reynolds son aquellas originadas por los dos primeros índices. Para imponer

0=ijkkM se tendría que constreñir en exceso al modelo, sin motivo alguno. Basado en (3.18), la contribución rápida a (3.5) se representa como



klijklrápida

ijrápidaij UM ∂== FD ε (3.22)

ijklM es un tensor no especificado que está condicionado por (3.21). Existe aún

considerable libertad en como seleccionarlo. Enseguida se muestra una de las formas posibles. 3.4.3.- Expansión de ijklM en potencias de ijb La dependencia de (3.5) sobre los gradientes medios está expresada por la forma (3.22). Los argumentos restantes de ijF muestran que ijklM es una función adimensional de ijb y de ijδ . Una técnica que ha sido empleada para desarrollar fórmulas de cerramiento es la expansión en potencias de ijb . El primer término en esta expansión es a la potencia cero, lo cual significa que involucra solamente a ijδ ; la siguiente involucra a ijb a la primera potencia. De acuerdo con el teorema de Cayley-Hamilton, la expansión tensorial podría parar en un orden 2

ijb . Sin embargo, aquí solamente se emplea la expansión hasta la primera potencia, para la derivación del Modelo Lineal General. Los coeficientes en la expansión tensorial podrían ser funciones de los invariantes. En ese caso el modelo derivado en primera instancia podría ser llamado Modelo General Casi-Lineal. En principio la expansión en potencias de la anisotropía debería incluir expansión de los coeficientes, lo cual fue hecho por Speziale et al. Ya que se necesitan cuatro subíndices, el primer término en la series de potencias consiste del producto de dos s'δ . La forma mas general se obtiene mediante una combinación lineal de todos los posibles productos diferentes:

jkiljlikklijijkl CBAM δδδδδδ ++=0 (3.23) La simetría en los índices i y j , en la primer igualdad de (3.21), requiere que CB = . La segunda igualdad de (3.21) entonces requiere que

( ) 0=++ jkiljlikklii BA δδδδδδ (3.24) Pero δ es justamente la matriz identidad, por lo que 3=iiδ y klilik δδδ = . Por tanto, la ecuación anterior es ( ) 023 =+ klBA δ , o BA 23 −= . Finalmente, el último término de (3.21) se puede escribir como

( )ililijjl bkM δ322 += (3.25)

La expresión (3.23) es el primer término en la expansión en potencias de ijb . Solamente el término ilδ de la ecuación (3.25) contribuye en este orden; por lo tanto esta constricción sobre (3.24) con BA 3

2−= , se reduce a



( ) ( )ililijjl kBBM δδ 3

23

20 24 =+−= (3.26) Por tanto kB 5

2= , kA 54−= y

( )kM klijjkiljlikijkl δδδδδδ 46615

10 −+= , (3.27) la cual, no tiene constantes empíricas. Sustituyendo esto en (3.22) y usando la condición de incompresibilidad, 0=∂ iiU , se obtiene

( )jiijrápidaij UUk ∂+∂= 5

20D . (3.28) Esta perturbación principal de la isotropía es denominada en ocasiones como la constricción de Crow. El Modelo Lineal General (GLM) se obtiene llevando la expansión en potencias de ijb hasta el término lineal. Por analogía con (3.23), el siguiente término es de la forma

( ) ( )klijikjljkilklijiljljlikklijijkl bbbCbbbCAbM δδδδδδδ 32

232

31 −++−++= (3.29)

donde las dos primeras condiciones de (3.21) han sido ya impuestas. La última constricción es ilijjl kbM 21 = , por lo tanto

kCCA 2331

2310 ++

Sin embargo, sustituyendo 1

ijklM en (3.22) se obtiene

( )( )lkklijkijkkjik

lkklijikjkjkikrápidaij

UbUbUbkC

UbUbUbkC

∂−∂+∂+

∂−∂+∂=

δ

δ

32

3

32

21D

por lo tanto el valor de A , y la normalización de la constricción, son irrelevante. Las dos constantes libres 3C y 2C se escogen de forma empírica. Sumando 1rápidaD a 0rápidaD se obtiene el modelo GLM

( ) ( )( )lkklijkijkkjik

lkklijikjkjkikjiijrápidaij

UbUbUbkC

UbUbUbkCUUk

∂−∂+∂+

∂−∂+∂+∂+∂=

δ

δ

32

3

32

252D

(3.30)

Casos especiales de (3.30) son los modelos de Launder, Reece & Rodi (LRR) y el modelo de la Isotropización de la Producción (IP) de Launder. Un ejemplo del Modelo General Casi-Lineal es el modelo SSG de Speziale.



La fórmula (3.30) se puede rearreglar en dos formas que aparecen en la literatura. Estas lo expresan en términos del tensor de producción como

( )[ ] ( )( ) ( )PPP

D

ijijijij

jiijrápidaij

DCC

UUkCC

δδ 32

332

2

3232

52

−−−−

∂+∂+−= (3.31)

la cual es obtenida sustituyendo ijjiij kuub δ3

2−= , ikkjjkkiij UuuUuu ∂−∂−=P ,

kkPP 21= y definiendo

kikjkjkiij UuuUuuD ∂−∂−= ; o bien, esta puede ser expresada en función de la razón de deformación y de la razón de rotación como

( )( )( )( )kijkkjik

lkklijkijkkjikijrápidaij

bbCCk

SbSbSbCCkkS

Ω+Ω−+

−+++=

32

32

3254 δD

(3.32)

la cual se obtiene sustituyendo ijijji SU Ω+=∂ , jiij SS = y jiij ΩΩ = . Con lo anterior, la ecuación (3.3) de evolución de los esfuerzos de Reynolds

ijlentaij

rápidaijijjit uu εδ3

2−++=∂ DDP se ha cerrado. El cerramiento explicito es simplemente reemplazar rápidaD con (3.31) y

lentaD con (3.7) y emplear la ecuación para ε antes indicada. La forma (3.31) fue introducida por Launder et al. quienes impusieron la constricción adicional 0=ijkkM para eliminar una de las constantes empíricas. Como ya se mencionó, esto no es necesario y no se utiliza en otros modelos. En el modelo LRR

( ) 1182 += cC y ( ) 11283 −= cC . en donde c es una constante empírica a la cual se le dio el valor de 0.4. El modelo IP que es el modelo SMC mas comúnmente empleado utiliza

532 =C y 03 =C La forma (3.32) fue empleada por Speziale y colaboradores con 412502 .C = y

212503 .C = , quienes también agregaron el término



ijb*s kSIIC− (3.33)

con 650.C*

s = a la ecuación (3.32), lo cual es consistente con la expansión de la anisotropía hasta el primer orden.

Figura 3.2.- Contribución de las partes rápida y lenta en el modelo de redistribución del flujo en un canal plano para los modelos SSG e IP, tomada de [15]. La importancia relativa de los modelos de redistribución rápido y lento depende un poco de las condiciones del flujo. La separación entre estas partes para los modelos IP y SSG se muestra en la figura 3.2 para el flujo en un canal plano. Los valores dependen del modelo, pero ambas componentes, lenta y rápida, hacen una contribución significante a través del flujo. Ambas contribuciones a la componente a lo largo de la corriente, 11D , son negativas y ambas contribuciones a la componente normal a la pared, 22D , son positivas. Estas

corresponden a la redistribución desde 2u hacia 2υ .

Se debe advertir que las predicciones de estos modelos no son correctas en la región 80≤+y . El gran pico negativo en la parte rápida del modelo SSG para 12D es un notable

ejemplo de esta falla: 12D debería ser positivo cerca de la pared, como lo muestran los datos obtenidos mediante DNS de la figura 3.3. El comportamiento erróneo viene de que

12D en la ecuación (3.31) contiene a Uu y∂2 . Cerca de la pared ambas, Uy∂ y 2u llegan a

ser grande. El comportamiento de ijD cerca de la pared produce predicciones bastante irregulares debido al modelo de redistribución.



Figura 3.3.- Valores para los componentes del tensor de redistribución para el flujo en un canal plano, comparados con los valores obtenidos mediante DNS, tomada de [15].

Nótese que 12P contiene Uy∂ en la forma Uy∂− 2υ . Cerca de la pared 2υ es pequeña. El modelo IP se comporta mejor que el modelo SSG cerca de la pared porque contiene solamente a 12P , y no a 12D . Este modelo es bastante intuitivo: el modelo rápido para la isotropización de la producción contrarresta al tensor de producción. Cerca de la pared, la producción de υu se suprime, comportamiento que reproduce el modelo IP. 3.5.- ECUACIONES Y CONSTANTES EMPLEADAS EN EL PROGRAMA FLUENT Las ecuaciones y constantes implementadas en Fluent son las siguientes [22]: (a).- El Término de Difusión T

ijD :

jik

ji

k

t

k

Tij uu

xuu

xD 2∇=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂

∂∂

= νσμ (3.34)

en donde kt σμν = , con 820.k =σ para el caso de un flujo turbulento homogéneo bidimensional y tμ es la viscosidad turbulenta la cual se calcula con la siguiente expresión:



ερμ μ

2kCt = (3.35)

donde 090.C =μ (b).- El Término Presión-Deformación Lenta

lentaijijji,ij kuukC D=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −−≡ δ

ερφ

32

11 (3.36)

con 811 .C = . (c).- El Término Presión-Deformación Rápida:

( ) ( ) rápidaijijijijij,ij CPCRPC D=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −−−+−≡ δφ

32

22 (3.37)

donde 6002 .C =

( )ρ

ρ ijikkjjkkiij UuuUuuP

P=∂+∂−=

jikkij uuUC ρ∂=

( )jkmmiikmmjkij uuuuR εερ +Ω= 2

kkPP21

= y

kkCC21

= .

(d) La Reflexión de la Pared, w

ijφ

dCknnnnnn

kC

dCknnuunnuunnuu

kC

lki,jkkj,ikijmk,km

'

lkikjkjjiijmkmk

'wij

εφφδφε

εδεφ

23

2222

23

1

23

23

23

23

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−=

(3.38)



en donde 5.0'1 =C , 3.0'

2 =C , kn es la componente kx del vector unitario normal a la pared, d es la distancia normal a la pared y κμ /4/3CCl = , donde 09.0=μC y 41.0=κ . (e).- El Modelo Presión-Deformación Cuadrático:

( )( )

( )ikjkjkik

ijmnmnikjkjkik

ijijij*

ijmnmnkjikij*

ij

bbkC

SbSbSbkC

kSbbCC

bbbbCbPCC

Ω+Ω+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −++

−+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −++−=

ρ

δρ

ρ

δρερεφ

5

4

33

211

32

31

(3.39)

en donde

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛ +−−=

k

kuub

ijji

ij ρ

δρρ

232

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

+∂

∂=

j

i

i

jij x

uxu

S21 y ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

−∂

∂=Ω

j

i

i

jij x

uxu

21

las constantes son:

431 .C = , 811 .C* = , 242 .C = , 803 .C = , 313 .C* = , 2514 .C = , 405 .C = (f).- La Energía Cinética Turbulenta

ρεσμ

μρ −+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

∂∂

= iijk

t

j

Pxk

xDtDk

21 (3.40)

en donde 820.k =σ (g).-La Rapidez de Disipación

kCP

kC

xxDtD

iij

t

j

2

21 21 ερεε

σμ

μερ εεε

−+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

∂∂

= (3.41)

donde 0.1=εσ , 44.11 =εC , 92.12 =εC .



En forma resumida, el procedimiento de solución consiste en que todos los términos indicados en las ecuaciones (3.34) a (3.41) se sustituyen en la ecuación de transporte de los esfuerzos de Reynolds (2.5) y se resuelven en forma simultánea con las ecuaciones de continuidad y de Navier-Stokes promediadas con el método de Reynolds (RANS), ecuaciones (2.3) y con la ecuación de la energía cinética turbulenta, ecuación (2.6) empleando el método de discretización conocido como volumen finito (FVM). La discretización mediante este método se realiza básicamente en dos pasos que involucra primero la transformación de las ecuaciones que rigen al fenómeno en un sistema de ecuaciones de balance semidiscretas, las que, en un segundo paso, se transforman en un conjunto de ecuaciones algebraicas, las cuales se resuelven mediante algún método numérico. En el siguiente capítulo, se presenta información básica respecto al método del volumen finito.

Capítulo IV Simulación

Numérica Empleando

Fluent

Simulación Numérica Empleando Fluent


4.1.- INTRODUCCIÓN Los modelos de cerramiento se desarrollan básicamente para ser utilizados en códigos de dinámica de fluidos computacional (CFD) con la finalidad de predecir los campos de flujo medios y, posiblemente los componentes de los esfuerzos de Reynolds. La única información que estos modelos proporcionan son estadísticas de bajo orden. Cualquier estructura determinística en el flujo se debe calcular como parte del flujo; es erróneo suponer que dichas estructuras están representadas por el cerramiento de la turbulencia. Por otra parte, se debe suponer que cualquier característica estocástica del flujo está representada en un nivel estadístico por el cerramiento. Los cerramientos de segundo momento tienen mayor fidelidad en la representación de la física de la turbulencia, ya que retienen las cualidades de las ecuaciones de transporte de los esfuerzos de Reynolds. Sin embargo, las dificultades computacionales que este cerramiento presenta son múltiples: La ausencia de un término viscoso numéricamente estabilizante en las ecuaciones del flujo medio, el fuerte acoplamiento entre los componentes de esfuerzos de Reynolds a través de la producción y la redistribución, el mayor número de ecuaciones y otras propiedades computacionalmente adversas llevan al código a una lenta y débil convergencia. El método preciso para implementar las ecuaciones de transporte para las variables de la turbulencia en un código de computadora que empleé las ecuaciones promediadas de Navier-Stokes (RANS) es una función del algoritmo numérico. Es práctica común desacoplar el solucionador (solver) del modelo de turbulencia del solucionador para el flujo medio. La única comunicación desde el modelo de turbulencia es mediante una viscosidad turbulenta que se transmite al flujo medio. El solucionador del flujo medio puede entonces calcular las ecuaciones de Navier-Stokes con viscosidad variable. La mayoría de códigos de CFD incorporan varios modelos de viscosidad turbulenta; el aislar la solución del modelo de turbulencia de la solución del flujo medio simplifica la implementación de varios modelos. Como regla, se ha observado que los modelos de turbulencia se resuelven mas fácilmente con esquemas numéricos implícitos, mientras que los esquemas explícitos se prefieren para el flujo medio. También se ha comprobado que la discretización de primer orden en contra del flujo (upwind) de la derivada convectiva es aceptable para las variables de la turbulencia. Esto no es aceptable para el flujo medio debido a la excesiva difusión numérica; así mismo se argumenta que las ecuaciones de la turbulencia son dominadas por términos fuente y sumidero, por lo que las inexactitudes en el término de convección son cuantitativamente pequeñas. Las soluciones con convección de primer orden y con orden mayor son bastante parecidas. Sin embargo donde la producción es pequeña o los cambios son rápidos, existen inexactitudes locales. Una estrategia estándar es calcular primero una solución preliminar con la convección de primer orden y después reconverger la solución con un orden mayor de exactitud. Esto a menudo es efectivo debido a que muchos modelos de turbulencia son computacionalmente consistentes. Los cálculos de bajo orden generan una solución cercana a la solución de mayor orden. Empezando con una solución preliminar se logra que la convergencia a la solución más exacta sea más fácil. En el mismo sentido, se utiliza una solución obtenida con la viscosidad turbulenta para iniciar un cálculo empleando el cerramiento de segundo momento. En cuanto al método de discretización, los que se utilizan más ampliamente son el método de diferencias



finitas, el método del volumen finito o el del elemento finito. El método empleado por el programa Fluent es el del volumen finito, el cual se describe someramente a continuación. 4.2.- EL MÉTODO DEL VOLUMEN FINITO El método del volumen finito tiene más de treinta años de haber surgido y aun continúa desarrollándose. Fue introducido en el campo de la dinámica de fluidos computacional independientemente por McDonald en 1971 y por MacCormack y Paullay en 1972 para resolver las ecuaciones de Euler bidimensionales en función del tiempo y fue extendido a tres dimensiones por Rizzi en 1973. Este método tiene una gran aplicación en un gran número de campos de la ciencia y la tecnología, en donde se utiliza para resolver una gran variedad de ecuaciones diferenciales parciales que modelan diversos fenómenos físicos. Las aplicaciones más notables del método se encuentran en el campo de la dinámica de fluidos computacional, en problemas tales como el análisis de flujos sobre cuerpos aerodinámicos (perfiles, alas, aviones y vehículos terrestres), flujos en conductos y sus accesorios tales como codos, contracciones, expansiones y válvulas así como en fenómenos de transferencia de calor y de transporte en medios porosos en los que ha sido utilizado con gran éxito. El método del volumen finito es un método de discretización conservativo en el que la formulación integral de las leyes de conservación fundamentales son discretizadas directamente en el espacio físico y puede ser implementado sobre una malla completamente arbitraria teniendo un gran número de opciones para definir los volúmenes de control sobre los cuales se expresan las leyes de conservación. El tipo de mallas que emplea el método son las mallas estructuradas, que es el tipo de mallas clásico (empleadas en el método de las diferencias finitas), o las mallas no-estructuradas, celdas triangulares y cuadriláteras en dos dimensiones y tetraedros o hexaedros en tres dimensiones, las que le dan mayor flexibilidad al método cuando se analizan geometrías complejas. La capacidad para tener flexibilidad en la forma y ubicación del volumen de control dentro de una malla, junto con la exactitud para evaluar flujos en las superficies de control hacen al método del volumen finito una elección popular para resolver numéricamente ecuaciones diferenciales parciales lineales y no-lineales. El método del volumen finito tiene la importante propiedad de asegurar que las cantidades básicas como lo son la masa, el momentum y la energía son conservadas en un nivel discreto. La conservación se satisface sobre un volumen de control, sobre un grupo de volúmenes de control y sobre el dominio completo de la solución. La unión de todos los volúmenes de control proporciona la solución de todo el dominio y los flujos a través de la superficie de una celda entre dos volúmenes de control adyacentes deben ser calculados empleando formulaciones independientes a la celda en la cual son aplicadas. Este requerimiento asegura que la propiedad de conservación sea satisfecha. En ausencia de términos fuente, las ecuaciones para el volumen finito expresan una analogía discreta de las leyes de conservación, es decir, la variación del valor promedio de una cantidad física dada de una celda sobre un intervalo de tiempo es igual a la suma de los flujos intercambiados entre las celdas vecinas. Otra propiedad importante del método es que permite una aplicación natural de las condiciones de frontera en la formulación.



4.2.1.- La Estrategia de la Dinámica de Fluidos Computacional (CFD) En términos generales, la estrategia de la Dinámica de Fluidos Computacional es sustituir el dominio continuo de un problema por un dominio discreto usando un enrejado o malla. En el dominio continuo, cada una de las variables del flujo se define en cada punto del dominio. Por ejemplo, la presión p en un dominio unidimensional continuo se muestra en la parte izquierda de la figura 4.1 y se representa como

10),( <<= xxpp En el dominio discreto, cada variable del flujo se define sólo en los puntos de la malla. De este modo, en el dominio discreto mostrado a la derecha de la figura 4.1, la presión será definida sólo en los N puntos del enrejado lo cual se representa simbólicamente como:

( ) Nixpp ii ,,2,1, K==

Figura 4.1.- Comparación de un dominio continuo y uno discreto.

En un análisis mediante CFD, la solución se encuentra directamente para las variables relevantes del flujo sólo en los puntos de la malla. Los valores en otras posiciones se determinan interpolando los valores en los puntos del enrejado. Las ecuaciones diferenciales parciales que determinan el problema y las condiciones de frontera correspondientes se definen en términos de las variables continuas p , V

r, etc. Éstos

se pueden aproximar en el dominio discreto en términos de las variables discretas ip , iVr

, etc. El sistema discreto es un conjunto de ecuaciones algebraicas acopladas en función de las variables discretas cuyo tamaño depende del enrejado definido. Establecer el sistema discreto y resolverlo, lo cual finalmente es un problema de inversión de una matriz, implica un número muy grande de cálculos iterativos lo cual se puede hacer mediante una computadora digital adecuada. Esta idea se puede extender en general a cualquier tipo de dominio.



4.2.2.- Discretización Utilizando el Método del Volumen Finito Con el fin de ejemplificar el método del volumen finito, considérese un dominio computacional (enrejado o malla) en 2-D formado por cuadriláteros o por triángulos o en 3D por hexaedros, tetraedros o prismas. En el método del volumen finito, tales formas geométricas (cuadriláteros, hexaedros, etc.) se les denomina comúnmente “celdas” y a un punto del enrejado “nodo”. En el enfoque del volumen finito, la forma integral de las ecuaciones de conservación son aplicadas al volumen de control definido por una celda para obtener las ecuaciones discretizadas para dicha celda. Por ejemplo, la forma integral de la ecuación de continuidad para flujo estacionario e incompresible es

∫ =⋅S

dSnV 0ˆr

(4.1)

en donde la integración es sobre la superficie S del volumen de control y n̂ es la normal hacia afuera de la superficie. Físicamente, esta ecuación significa que el flujo de volumen neto a través del volumen de control es cero. Ahora considere la celda rectangular mostrada en la figura 4.2. La velocidad en la cara i es jiuV iii

ˆˆ υ+=r

. La aplicación de la ecuación de conservación de la masa, ecuación (4.1) al volumen de control definido por la celda mostrada en la figura 4.2 y considerando que en las caras 1 y 2 el flujo es de entrada mientras que en las caras 3 y 4 es de salida, se obtiene

04321 =Δ+Δ+Δ−Δ− xyuxyu υυ Esta es la forma discreta de la ecuación de continuidad para la celda y es equivalente a sumar los flujos de masa a través del volumen de control e igualarlos a cero. Por lo tanto, esto asegura que el flujo neto a través de la celda sea cero, es decir, que la masa es conservada por la celda. Por lo general los valores en los centros de las celdas son los que se almacenan. Los valores en las caras 1u , 2υ , etc. son obtenidos mediante una interpolación apropiada de los valores en el centro de celdas adyacentes.

Figura 4.2.- Celda típica en la discretización mediante el método del volumen finito.



Del mismo modo, se puede obtener las ecuaciones discretizadas para la conservación de la cantidad de movimiento y para la energía para la celda. Estas ideas se pueden extender para cualquier forma de celda en 2-D o en 3-D y para cualquier ecuación de conservación. Es conveniente llamar la atención en el hecho de que cuando se utiliza un código para el método del volumen finito, tal como el utilizado por FLUENT, la solución que se encuentra es tal que la masa, la cantidad de movimiento, la energía y cualquier otra cantidad importante para el problema se conservan para cada una de las celdas. 4.3.- SOLUCIÓN EMPLEANDO FLUENT En lo que sigue se presentan los detalles de la simulación numérica realizada al flujo en torbellino objeto de análisis de este trabajo. El tipo de solución realizada es mediante un modelo viscoso eje-simétrico empleando el modelo de turbulencia basado en el transporte de esfuerzos de Reynolds (RSM). La justificación de utilizar el modelo eje-simétrico radica en el hecho de que la velocidad radial es pequeña, como máximo el 0.25 % de la velocidad media general, de acuerdo con Kitoh [3]. El análisis se realizó resolviendo el problema primeramente en la condición sin rotación del flujo con el fin de determinar las condiciones mas adecuadas del modelo computacional (malla y criterio de convergencia principalmente) y posteriormente aplicando una rotación al flujo desde 400 rpm hasta 1300 rpm con incrementos de 100 rpm y empleando una velocidad axial a la entrada del tubo que corresponde a la velocidad media obtenida experimentalmente. La aplicación de la velocidad angular a la entrada del tubo establece la rotación del fluido como si fuera un sólido rígido (vórtice forzado), es decir, la velocidad tangencial se incrementa proporcionalmente con la posición radial, siendo cero en el centro del tubo y máxima para un radio igual al radio del tubo. El modelo computacional analizado consiste de un tramo de tubo de 1.38 m de longitud y un radio de 0.092 m. Después de probar diversas configuraciones de la solución (configuración del modelo computacional, número de celdas, esquemas de discretización, criterio de convergencia y procedimiento para la solución), los resultados que aquí se reportan son los que se consideran reproducen de mejor manera el fenómeno ya que generan el flujo inverso buscado aun cuando los valores de velocidad tangencial difieren en un alto porcentaje con los resultados experimentales obtenidos (ver capítulo VI). 4.3.1.- Desarrollo del Modelo Computacional El modelo computacional se realizó con el pre-procesador específico de FLUENT el cual es un módulo de dibujo denominado GAMBIT el cual además permite realizar el mallado y aplicar las condiciones de frontera. Ya que la velocidad radial es pequeña, el tipo de solución seleccionado es el eje-simétrico por lo cual únicamente se dibuja un plano que abarca la mitad de la vista lateral del tubo, es decir, en este caso el tubo se representa con un rectángulo de 1.38 m de largo por 0.092 m de alto y las condiciones de frontera empleadas son: para el lado inferior: AXIS (eje); para el lado superior: WALL (pared); para el lado izquierdo: VELOCITY INLET (entrada) y para el lado derecho: PRESSURE OULET (salida) tal y como se muestra en la figura 4.3.



Figura 4.3.- Modelo computacional y condiciones de frontera establecidos.

Con el fin de determinar el número de celdas mas adecuado, se realizaron diferentes corridas empleando modelos computacionales con diferentes cantidades de celdas, utilizando para cada modelo una malla estructurada con celdas rectangulares de dimensiones iguales. En cada modelo computacional la longitud de las celdas se mantuvo constante (0.01 m) y se varió la altura de la misma utilizando los siguientes valores 0.01, 0.005, 0.0025, 0.001, 0.00075, 0.0005 m. A partir de la comparación tomando como base los perfiles de velocidad axial y tangencial obtenidos experimentalmente, se llegó a la conclusión de que Fluent tiende a proporcionar velocidades tangenciales mayores y velocidades axiales menores, el criterio para seleccionar el número de celdas fue la obtención de la menor velocidad tangencial máxima y la mayor velocidad axial máxima así como la velocidad máxima del flujo inverso. En las figuras 4.4, 4.5 y 4.6 se muestra el comportamiento de estas velocidades en función del número de celdas.

Figura 4.4.- Variación de la velocidad tangencial máxima con el número de celdas.

De las figuras 4.4 a 4.6 se observa que la menor velocidad tangencial máxima y la velocidad del flujo inverso axial máximo se obtiene para una malla de 16974 celdas, mientras que la



velocidad axial máxima se obtiene con una malla de 5106 celdas y después continua disminuyendo con el incremento del número de celdas. Por lo anterior se decidió emplear una malla de 16974, aunque el número de celdas varió ligeramente al realizar la variación progresiva de la altura de las celdas desde la pared hasta una distancia de 0.0199 m y establecer la región de la capa límite cerca de la pared del tubo, quedando finalmente la malla de 16836 celdas (138X122), la cual se muestra en la figura 4.7. 4.3.2.- Selección del Criterio de Convergencia Para determinar el criterio de convergencia mas adecuado en la solución del flujo objeto de análisis, se empleó la malla seleccionada y se resolvió para el caso del flujo sin torbellino empleando los siguientes criterios de convergencia: 0.001, 0.0005, 0.0001, 0.00001, 0.000001. La característica física del flujo utilizada para seleccionar el criterio de convergencia fue que el perfil de velocidad axial para flujo turbulento en la estación de análisis (x/d=6) fuera no desarrollado como lo establece la información experimental proporcionada por Fox [23], quien indica que la longitud para flujo desarrollado, eL , se determina con la siguiente ecuación:

ned

e R.dL 44= (4.2)

en donde n es un exponente que depende del número de Reynolds.

Figura 4.5.- Variación de la velocidad axial máxima con el número de celdas.



Figura 4.6.- Variación del flujo inverso axial máximo con el número de celdas.

Figura 4.7.- Acercamientos del modelo computacional final

Para nuestro caso, el número de Reynolds mas grande analizado es de 35010, para el cual n es aproximadamente 71 [23]. Por lo anterior la relación longitud/diámetro requerida para que el flujo turbulento sin torbellino se desarrolle es de:



61193501044 71

.)(.dLe ==

Por lo tanto, se comprueba que en la estación 6=dx el flujo es no desarrollado. Con esto se determina que el criterio de convergencia mas adecuado para producir un flujo no desarrollado es el de 0.0005, como se observa en la figura 4.8.

Figura 4.8.- Variación del perfil de velocidad con el criterio de convergencia para un flujo

turbulento sin torbellino en la estación 6=dx . 4.3.3.- Procedimiento de Solución Aun cuando el manual del usuario de Fluent [22] recomienda realizar un proceso de solución que contempla iniciar con la solución del flujo turbulento sin torbellino e ir incrementando paulatinamente la velocidad angular en la entrada del tubo hasta alcanzar la condición de giro deseada, se encontró que la aplicación directa de la velocidad angular establecida proporciona mejores resultados. Por tal motivo este fue el procedimiento utilizado para determinar los perfiles de velocidad axial y tangencial para velocidades de giro desde 400 hasta 1300 rpm con incrementos de 100 rpm. Un perfil típico de la velocidad axial media y su correspondiente perfil de velocidad tangencial en la entrada del tubo se muestra en la figura 4.9, la cual corresponde a la velocidad angular de 400 rpm. En la tabla 4.1 se muestran los valores de la velocidad axial media para cada una de las rpm de giro del flujo a la entrada del tubo así como el número de Reynolds correspondiente. Los perfiles de velocidad axial para cada rpm de giro en la estación 6=dx se muestran en la figura 4.10 mientras que los perfiles de velocidad tangencial se muestran en la figura 4.11.



Figura 4.9.- Perfiles de velocidad axial y tangencial en la entrada del tubo para una velocidad

de giro de 400 rpm. Con el fin de determinar la variación del radio del núcleo con la intensidad del torbellino, en la figura 4.12 se muestra un acercamiento de la figura 4.10 para la zona en que se produce el cambio de signo en la velocidad axial.

Tabla 4.1.- Velocidad angular, axial y número de Reynolds en la entrada Velocidad Tangencial

rpm Velocidad axial media

m/s No. de Reynolds

400 0.6422 7825 500 0.8789 10710 600 1.1164 13604 700 1.3607 16581 800 1.6252 19804 900 1.9058 23223 1000 2.1519 26222 1100 2.3828 29036 1200 2.6207 31935 1300 2.8731 35010



Figura 4.10.- Perfiles de velocidad axial en la estación 6=dx .

Figura 4.11.- Perfiles de velocidad tangencial en la estación 6=dx .



Figura 4.12.- Acercamiento de la zona de cambio de signo de la velocidad axial.

4.4- RESULTADOS OBTENIDOS Con el fin de comparar los resultados obtenidos con Fluent con los resultados experimentales que se muestran en el capítulo V, los perfiles de velocidad de las figuras 4.10 y 4.11 (los cuales se obtienen con base en las 122 filas (123 nodos) que contiene el mallado del modelo computacional) se redujeron a 10 puntos los cuales corresponden a las posiciones radiales en las cuales se midió la velocidad experimentalmente. Con estos valores y la ecuación (1.1) se determinó la intensidad del torbellino para cada velocidad de giro utilizada. En la figura 4.13 se muestra la variación de la intensidad del torbellino con el número de Reynolds, la cual se aproxima a una variación lineal cuya ecuación es:

38231102 6 .Rx e +=Ω − (4.3)

En la figura 4.14 se muestra la variación de la velocidad del flujo axial inverso máximo con la intensidad del torbellino, la cual se aproxima con la siguiente correlación:

3058473634 .IT.Uinv +−= (4.4) la cual predice que el flujo inverso aparece cuando la intensidad del torbellino es mayor que 1.3766.



Figura 4.13.- Variación de la intensidad del torbellino con el número de Reynolds.

Figura 4.14.- Variación del flujo inverso máximo con la intensidad del torbellino.



En la figura 4.15 se muestra la variación de la posición radial en la que se obtiene la velocidad tangencial máxima y el cambio de signo de la velocidad axial, es decir para 0=U , en función de la intensidad del torbellino. Como se observa ambas posiciones no siguen una tendencia definida pero se puede establecer que ambos radios prácticamente permanecen constantes siendo el 34 % del radio del tubo en donde se ubica la velocidad axial cero y el 70 % del radio del tubo donde se obtiene la velocidad tangencial máxima.

Figura 4.15.- Variación de la posición radial para la velocidad tangencial máxima y para la

velocidad axial cero.

Otros resultados obtenidos son los relacionados con la variación del coeficiente de presión estática radial, figura 4.16 y longitudinalmente, figura 4.17. Estas figuras reflejan la existencia de gradientes de presión adversos radial y longitudinal, los cuales se consideran necesarios para producir el flujo inverso. En la figura 4.17 se observa además que la gráfica del coeficiente de presión correspondiente a un radio de 0.05 m, con excepción del tramo inicial de 10 cm, prácticamente corresponde a la línea para un coeficiente de presión igual a cero lo cual indica que a lo lago de esa posición radial el gradiente de presión es cero y que por arriba de esta se tienen gradientes de presión favorables y por tanto velocidades axiales positivas mientras que por debajo de la línea para m.r 050= los gradientes de presión son adversos generándose el flujo axial inverso.



Figura 4.16.- Variación del coeficiente de presión en la estación x/d=6 para 400 rpm.

Figura 4.17.- Variación del coeficiente de presión con la distancia axial para 400 rpm.

Capítulo V Experimentación

Empleando Anemometría de

Hilo Caliente (Técnica del Hilo

Caliente Volador)

Experimentación Empleando Anemometría de Hilo Caliente (Técnica del Hilo Caliente Volador)

Tiburcio Fernández Roque SEPI-ESIME Zacatenco-IPN 77

5.1.- INTRODUCCIÓN La medición exacta de flujos altamente turbulentos y de flujos inversos ha estado históricamente limitada debido a la incapacidad de las técnicas de medición para medir fluctuaciones amplias en el ángulo con el cual incide el flujo y en particular a la aparición de flujos inversos, es decir, en sentido contrario al flujo medio general. Las técnicas como la anemometría Láser Doppler logran salvar estos problemas utilizando una técnica denominada cambio de frecuencia, pero padecen de otros problemas como los analizados en el capítulo I [24]. La anemometría de hilo caliente pulsado, aunque es capaz de medir amplias desviaciones en el ángulo del flujo, es relativamente inexacto y presenta el inconveniente de requerir sensores especiales [12, 25, 26, 27]. La Velocimetría de Imagen de Partículas (PIV por sus siglas en inglés) es capaz de medir el flujo inverso, sin embargo la técnica no está suficientemente desarrollada para medir con exactitud la turbulencia [27]. La medición con un sensor de hilo caliente fijo, ofrece alta exactitud con flujos en que la intensidad de la turbulencia es baja, pero está limitado en el rango de ángulos de flujo, los cuales no pueden ser medidos en forma exacta [12, 13, 25, 26, 27, 28 y 29]. Adicionalmente, como se explicó en el capítulo I, el sensor de hilo caliente fijo es incapaz de medir flujos inversos debido a un problema de ambigüedad direccional que presenta el sistema de adquisición de datos al rectificar los voltajes que se miden [12, 13, 27, 29]. Una forma de extender el rango de aplicaciones de la anemometría de hilo caliente es mover el sensor a una velocidad relativamente alta en contra del flujo que se quiere medir ya que con una velocidad suficientemente alta, el flujo inverso y flujos con alta turbulencia serán registrados por el sensor que se mueve como pequeñas perturbaciones, por lo que el sensor es capaz de medir con gran exactitud. Este sistema permitió que las estelas turbulentas detrás de diversos cuerpos romos fueran medidas por primera vez en forma exacta [27]. Puesto que en el Laboratorio de Ingeniería Térmica e Hidráulica Aplicada (LABINTHAP) de la SEPI de la ESIME Zacatenco se cuenta con el sistema de anemometría de hilo caliente a temperatura constante así como la experiencia en la utilización de dicho equipo, se tomó la decisión de seleccionar, adquirir y construir el equipo y accesorios necesarios para emplear tal sistema de anemometría e implementar la técnica del hilo caliente volador para realizar la etapa experimental requerida para analizar el flujo inverso objeto de estudio. En lo que sigue se presentan los detalles de dicha técnica así como la descripción de los trabajos realizados para implementarla y las mediciones efectuadas para analizar el flujo en torbellino a través de un tubo de sección transversal circular. Por las características del equipo que genera el flujo en torbellino, el sistema que se adaptó para analizar el flujo en torbellino permite realizar mediciones en los 20 cm finales del tubo y en los 35 cm iniciales fuera del tubo, a lo largo del chorro en torbellino que se genera cuando el flujo abandona el tubo. 5.2.- PRINCIPIO BÁSICO DEL SISTEMA DE ANEMOMETRÍA DE HILO CALIENTE VOLADOR Como ya se explicó, una de las restricciones principales de la anemometría de hilo caliente estacionario es la incapacidad de medir y de interpretar correctamente los flujos que contienen flujo inverso. Puesto que el sensor de hilo caliente responde a la velocidad



relativa a los hilos, este problema puede ser superado usando un sensor de hilo caliente en movimiento, lo cual da lugar a la técnica conocida como anemometría mediante un hilo caliente volador (FHA por sus siglas en inglés). El principio básico del método FHA se puede explicar haciendo referencia a la figura 5.1. Considérese una superficie con una región de flujo separado bi-dimensional y un sistema de coordenadas fijo en el espacio, en el cual el vector velocidad del flujo, V , y sus componentes de velocidad U y V deben ser evaluados. Determinado por la geometría del mecanismo del sistema FHA, los hilos del sensor, generalmente una configuración en X aunque también se han utilizado sensores unidimensionales [13], seguirán una curva establecida; por ejemplo, la curva (a) en la figura 5.1. En el tiempo t, el sensor se supone que está en una posición conocida ( px , py ) y que se mueve con una velocidad también

conocida, pV .

Figura 5.1.- Principio de medición con un sensor de hilo caliente volador, adaptada de [12]. El sensor de hilo caliente móvil se expone a una velocidad relativa, rV , y es éste vector velocidad el que normalmente se mide y se evalúa en términos de las componentes de velocidad ( '

rU , 'rV ) en un sistema coordenado alineado con el vástago del sensor. En el

supuesto de que la orientación del vástago del sensor relativo al sistema coordenado fijo en el espacio sea conocida, las componentes de la velocidad correspondientes al sistema fijo en el espacio ( rU , rV ) pueden ser evaluados. Habiendo medido pV y rV el vector velocidad del flujo, V , se obtiene de

rp VVV += (5.1) como se ilustra en la figura 5.1, con la condición de que la magnitud de la velocidad del sensor, pV , sea mayor que la magnitud de la velocidad del flujo, V , entonces el vector de



la velocidad relativa permanecerá dentro del cuadrante de aproximación del sensor y la señal del hilo caliente se puede interpretar en forma única. Considerando una trayectoria del sensor en línea recta, como la utilizada en este trabajo, un sistema coordenado xy semejante al mostrado en la figura 5.1 y que la velocidad del sensor es en sentido x negativo, entonces la velocidad relativa tendrá sentido x positivo si se cumplen las siguientes condiciones: a).- Si la velocidad del flujo es en sentido x positivo, ya que la velocidad relativa, rV , medida siempre será mayor que la velocidad del sensor pV y la resultante, V , siempre tendrá sentido positivo. b).-Si la velocidad del flujo es en sentido x negativo y su magnitud es menor que la velocidad del sensor, ya que la velocidad relativa medida será menor que la velocidad del sensor y al realizar la suma vectorial indicada por la ecuación (5.1), la resultante tendrá signo negativo, es decir, el flujo será un flujo inverso. Resulta fácil ver que si el flujo es en sentido x negativo y su magnitud es mayor que la velocidad del sensor, la velocidad relativa debería ser en sentido x negativo pero como aparece nuevamente la ambigüedad en la rectificación de la señal, el sistema de medición reportará un valor positivo y la técnica del hilo caliente volador ya no es aplicable. 5.3- DESCRIPCIÓN DEL EQUIPO EXPERIMENTAL El equipo empleado para generar el flujo en torbellino es el mismo que el autor utilizó para realizar su tesis de maestría, por lo que aquí solamente se describe someramente dicho equipo y se remite a los lectores que deseen mas detalles al respecto a la referencia [7]. El equipo mencionado consta de un ventilador de seis aspas de 300 mm de diámetro accionado por un motor monofásico de 0.125 H.P. y un reóstato que permite regular las rpm del motor en el rango de 400 a 4800 rpm. El ventilador, al que se le quitaron los enderezadores de flujo, se acopla con una tobera metálica a un tubo de sección transversal circular que tiene un diámetro interno de 184 mm y 1380 mm de longitud. El tubo circular está formado por tres tramos de tubos, los dos tramos de los extremos son fijos y miden 300 mm y 250 mm y el tramo central mide 750 mm. Este tubo tiene la posibilidad de girar a 800 rpm apoyado en baleros de bolas de 200 mm de diámetro interior al ser accionado por un motor trifásico de 3/4 de H.P @ 1740 rpm y una reducción de poleas y banda. 5.4.- DESCRIPCIÓN DEL SISTEMA DE ANEMOMETRÍA (Anemómetro de Hilo Caliente a Temperatura Constante) De igual manera que en el punto 5.3, el sistema de anemometría empleado se describe de manera somera, para una descripción detallada del sistema y la operación del mismo puede consultarse los manuales de instalación y guía del usuario [30, 31]. El sistema de anemometría de hilo caliente a temperatura constante utilizado es el denominado Streamline fabricado por Dantec. El sistema básico StreamLine consiste de:



• Una armadura o gabinete que contiene un transductor de temperatura ambiente y un puerto serie de comunicación.

• Tres módulos de anemómetros de temperatura constante (CTA por sus siglas en inglés).

• El software denominado Stream ware. Adicionalmente se utilizó un sistema de calibración de los sensores de hilo caliente que consiste de:

• Una unidad de flujo la cual es independiente del gabinete del sistema de anemometría.

• Un módulo de calibración el cual está colocado en el gabinete del sistema de anemometría.

• Un cable de conexión entre la unidad de flujo y el modulo de calibración. Los sensores de hilo caliente empleados se muestran en la figura 5.2. El sensor unidimensional 55P11 se empleó para medir la velocidad axial, U, y el 55P13, también unidimensional, se utilizó para medir la componente tangencial, W. Ambos sensores se colocaron de tal forma que la componente a medir no fuera afectada por la componente restante. El sensor bidimensional en X 55P61 proporciona directamente tanto la velocidad axial, U , como la tangencial, W . Todos los sensores son fabricados por la empresa Dantec.

Figura 5.2.- Sensores de hilo caliente empleados.

5.5.- EQUIPO PARA MOVER AL SENSOR 5.5.1.- Servo-motor Lineal, Servo-amplificador y Controlador El dispositivo seleccionado para mover el sensor de hilo caliente es un equipo fabricado por la empresa Yaskawa denominado Sigma Trac Linear Servo System, el cual consiste de un servo-motor lineal que está compuesto de una bobina móvil formada por un núcleo de hierro laminado y de una guía magnética fija, como se muestra en la figura 5.3. La bobina móvil del motor lineal está compuesta de un núcleo de hierro laminado y de varios devanados insertados en las ranuras localizadas sobre el núcleo. La unidad de bobinas completa, está encapsulada de forma permanente con una resina térmicamente conductiva que le da rigidez estructural. La guía magnética del servomotor lineal está hecho de una fila de magnetos de tierras raras colocados de manera precisa sobre uno de los lados de una



placa de acero al níquel. Los magnetos tienen una cubierta de acero inoxidable que los protegen contra posibles daños.

Figura 5.3.- Componentes del servo-motor lineal. El modelo de servomotor adquirido es el STF20090-D, el cual tiene una carrera L2 de 595 mm y una longitud total de 910 mm. En la figura 5.4 se muestra la vista superior y un corte transversal con las dimensiones del motor.

Figura 5.4.- Dimensiones del servo-motor lineal.

En la vista superior se muestran los barrenos en donde se instala la carga de trabajo, lo cual en nuestro caso es el soporte del sensor de hilo caliente el cual se muestra mas adelante. El servomotor lineal cuenta con un encoder que le permite realizar movimientos precisos del orden de micras de metro. Para el óptimo funcionamiento del servomotor se requiere de un servo amplificador (se adquirió el Sigma II, marca Yaskawa) y de un controlador específico para el servo-amplificador (se compró el controlador Legend-MC, también



marca Yaskawa). El Servo-amplificador y el controlador se muestran en la figura 5.5. El controlador Legend-MC tiene un CPU Motorola de 25 mHz con entradas y salidas digitales de 24 VDC. Además el controlador proporciona un ambiente de programación de texto estructurado y la posibilidad de desarrollar varios modos de movimiento. La empresa que vendió el controlador, a solicitud del autor de este trabajo, le instaló un programa con una rutina que permite seleccionar 5 velocidades de avance diferentes y el retroceso a una sola velocidad del servomotor. El sistema funciona con corriente alterna de 125 volts, tiene una potencia de 125 Watts, una aceleración máxima de 50 m/s2 y una velocidad máxima de 5 m/s de acuerdo a las especificaciones indicadas en el manual. Como se mostrará después, la velocidad máxima lograda fue de aproximadamente 3 m/s.

Figura 5.5.- Servo-amplificador y controlador del servomotor lineal.

5.5.2.- TABLERO DE CONTROL Para accionar el motor y producir diversas velocidades en el servomotor lineal se requiere de un tablero de control que mediante interruptores operados manualmente permiten seleccionar la velocidad que se desea utilizar así como el avance y el regreso del mismo. El tablero de control cuenta con cinco interruptores, cada uno selecciona una velocidad diferente desde 1 m/s hasta 5 m/s en incrementos de 1 m/s. Además tiene un interruptor para el avance del motor y otro para el regreso. También cuenta con un interruptor de límite que es el que permite fijar la posición de inicio del motor lineal en el encendido del sistema y un interruptor para el paro de emergencia del motor. En el tablero de control está también una fuente de 24 volts de corriente continua que es la que alimenta las entradas y salidas digitales del controlador del motor lineal. Es conveniente indicar que este tablero de control fue diseñado y construido por el autor de la tesis y por el M. en C. Jorge Sandoval Lezama,



profesor de la academia de Eléctrica-Electrónica de la ESIME Ticoman. La figura 5.6 muestra una foto de este tablero.

Figura 5.6.- Tablero de control del servomotor lineal.

5.5.3.- SOPORTE DEL SENSOR DEL HILO CALIENTE Para poder fijar el sensor de hilo caliente al servomotor lineal se diseño y construyó el soporte que se muestra en la figura 5.7. El soporte es totalmente de aluminio con excepción de los prisioneros que tiene para fijar los diversos elementos. Dicho soporte fue construido por el Dr. José Félix Vázquez Flores en su taller particular. En la misma figura se muestra el soporte que se construyó para sostener el cable del sensor al momento de estar en movimiento y evitar que se deteriore con el rozamiento o bien que pudiera dañarse al atorarse con algún elemento del conjunto.

Figura 5.7.- Soporte del sensor de hilo caliente.



5.5.4.- INTEGRACIÓN DE LOS COMPONENTES Para poder utilizar el servomotor lineal se diseñó una mesa soporte que integra a dicho motor con el servo-amplificador, el controlador y el tablero de control. La mesa fue construida por la empresa Tecnometalics S. A. de C. V. Dicha mesa soporte tiene la posibilidad de moverse transversalmente con una carrera de 30 cm, con la finalidad de poder hacer las mediciones del flujo a lo largo del diámetro del tubo y determinar el perfil de velocidades. La mesa soporte se instaló en la descarga del equipo que genera el flujo en torbellino. La instalación completa se muestra en la figura 5.8.

Figura 5.8.- Vista general del equipo experimental.

5.6.- MEDICIONES REALIZADAS Para la obtención de los datos definitivos se tomó el criterio de repetir tres veces cada medición y utilizar el promedio de las mismas para el procesamiento de la información obtenida. Dado que el accionamiento del servo-motor lineal es mediante un interruptor manual, existe el inconveniente de que se debe apretar el botón correspondiente dentro del tiempo de adquisición de datos ya que si se hace antes no se captura el inicio del movimiento del motor lineal o por el contrario si se hace después, es posible que no se capture el final del recorrido. Por lo anterior, aunque el recorrido del motor lineal se logra en 0.379 segundos, se definió un tiempo de adquisición de un segundo, lo cual es adecuado para que el operador del motor lineal tenga el tiempo de reaccionar y apretar el botón de arranque. Para establecer las mejores condiciones en la obtención de los datos definitivos se probaron diversas situaciones de operación de los diversos componentes, tales como las cinco velocidades posibles del servomotor lineal, diversas rpm del ventilador y tres



condiciones posibles de giro del tramo de tubo central por donde circula el flujo en torbellino (este tubo puede girar a 800 rpm en ambos sentidos alrededor de su eje). Los experimentos más representativos se detallan a continuación. 5.6.1.- Frecuencia de Muestreo Con el sensor 55P11 fijo, se determinó la velocidad media y la raíz media cuadrática de las fluctuaciones de velocidad (RMS) en el centro del tubo empleando la velocidad mas baja del ventilador (400 rpm), diferentes frecuencias de muestreo desde 1 hasta 5 khz y un tiempo de un segundo para la adquisición de los datos con el fin de determinar la frecuencia de adquisición de datos mas adecuada. Los resultados se muestran en la figura 5.9, en donde se muestra también el valor promedio tanto para la velocidad media como para el valor RMS.

Figura 5.9.- Variación de la velocidad media y la RMS con la frecuencia de muestreo.

Aunque el valor promedio de la velocidad media y de la RSM se aproximan a los valores obtenidos con las frecuencia de 0.5, 2, 3, 3.5 y 4.5 khz, con la finalidad de facilitar la obtención y el manejo de los datos se decidió emplear una frecuencia de 1 khz y una muestra de 1000 datos en un segundo. Adicionalmente se realizó la medición de las velocidades del servomotor y relativa del flujo en las rpm y posición antes indicadas empleando frecuencias hasta de 50 khz, notándose poca variación en las gráficas de la velocidad contra tiempo obtenidas. Esto reforzó la decisión de utilizar la frecuencia de 1 khz.



También se obtuvo la velocidad media y la RMS en función del tiempo para una frecuencia de muestreo de 1 khz. Esto se muestra en la figura 5.10 para la velocidad media en el eje del tubo (r=0 cm) y 400 rpm del ventilador. Como se observa, la velocidad media se incrementa con el tiempo de muestreo hasta un valor máximo para 20 segundos. Dado que las mediciones definitivas se realizaron con el sensor en movimiento y las velocidades empleadas en el análisis del flujo son velocidades instantáneas, no es importante el tiempo de muestreo por lo que se decidió utilizar un tiempo de muestreo de 1 segundo con el fin de facilitar la obtención de los datos y la manipulación de los mismos.

Figura 5.10.- Variación de la velocidad media y la RMS con el tiempo de muestreo.

5.6.2.- Velocidad del Motor Lineal La obtención de las velocidades del servomotor lineal se efectúo con el sensor 55P11 y sin estar operando el ventilador con el fin de obtener la velocidad del sensor, pV . Esto se muestra en la figura 5.11. Como se observa las velocidades no inician en cero ya que el rango de velocidades para la curva de calibración del sensor no permite establecer como velocidad mínima cero. Para el caso de la figura 5.11 la velocidad mínima de calibración establecida fue de 0.2 m/s, para las mediciones finales se utilizó una velocidad mínima de calibración de 0.1 m/s. 5.6.3.- Condición de Giro del Tubo Como ya se indicó, el tramo de tubo central del dispositivo empleado para generar el flujo en torbellino puede girar alrededor de su eje a 800 rpm en ambos sentidos. Estas mediciones se realizaron con el fin de establecer cual es la mejor condición del tubo central, fijo o girando en alguno de los sentidos posibles, con respecto a la magnitud del flujo inverso generado. Estas mediciones se realizaron con el sensor 55P11 a lo largo del eje del flujo (posición radial 0 cm) empleando la velocidad del motor lineal 2, VML2, que es de



aproximadamente 2 m/s y la velocidad del flujo producida con la mínima velocidad de giro del ventilador (400 rpm), denominada VR4. Estas tres mediciones se muestran en las figuras 5.12, 5.13 y 5.14, en donde además se muestra la diferencia de ambas velocidades, es decir, la velocidad del flujo, VF4. Para los casos en que el tubo gira se ha añadido las siglas TGD cuando el tubo gira en sentido de las manecillas del reloj, viendo desde la descarga del tubo o TGI si gira en sentido contrario. El ventilador gira en sentido contrario a las manecillas del reloj viendo desde la descarga del tubo.

Figura 5.11. Velocidades del servo-motor lineal.

Figura 5.12.- Velocidades con el tubo sin girar.



Figura 5.13.- Velocidades con el tubo girando en el sentido de las manecillas del reloj.

Figura 5.14.- Velocidades con el tubo girando en sentido contrario a las manecillas del

reloj.



En las figuras 5.12, 5.13 y 5.14, el número de muestras se recortó al tiempo de recorrido del motor lineal. Para esto se tomó como referencia el punto en donde los valores de velocidad tienen una tendencia a incrementarse en forma casi constante. Como se observa, cuando el tubo gira en el sentido de las manecillas del reloj, la velocidad relativa es mayor que la velocidad del sensor, por lo que no aparece ninguna zona de velocidad negativa lo cual indica que la intensidad del torbellino disminuye, mientras que cuando el tubo gira en sentido contrario, aún y cuando la intensidad del torbellino debe ser mayor, las magnitudes de las velocidades negativas son menores que cuando el tubo no gira. Se considera que la velocidad relativa es sobrevalorada debido a que la turbulencia es muy grande. Por tal razón, para realizar las mediciones finales se decidió emplear la condición en la que el tubo no gira. 5.6.4.- Perfil de Velocidad y de RMS (Turbulencia) con el Sensor 55P11 Fijo Con el fin de verificar lo indicado en el párrafo anterior, con relación a la mayor turbulencia del flujo cuando el tubo gira en sentido contrario a las manecillas del reloj, se midió la velocidad adentro del tubo en la estación x/d=6 (20 cm antes de la descarga) desde el centro del tubo hasta un radio de 8 cm. En la figura 5.15 se muestran los perfiles de velocidad media y en la figura 5.16 el perfil de RMS, para las tres condiciones de giro del tubo central. Como se observa en la figura 5.15, con el sensor fijo no se obtiene el flujo inverso aun cuando el experimento se repitió para diferentes frecuencias de muestreo, desde 0.5 hasta 5 khz con incrementos de 0.5 khz.

Figura 5.15.- Perfil de velocidad con el sensor fijo y diferentes condiciones de giro del tubo

(estación x/d=6 y 400 rpm de velocidad de giro del ventilador).



Figura 5.16.- Perfil de RMS con el sensor fijo y diferentes condiciones de giro del tubo

(estación x/d=6 y 400 rpm de velocidad de giro del ventilador). 5.6.5.- Velocidades del Flujo para Diferentes Velocidades de Giro del Ventilador. Con el fin de determinar cual es la velocidad de flujo máxima que se puede medir con la velocidad de 2m/s del servo-motor lineal, se midió la velocidad en el eje del tubo (posición 0 cm) para diferentes rpm del ventilador, iniciando en la mínima (400 rpm) hasta 1300 rpm en incrementos de 100 rpm y para 2000 rpm. Estas mediciones se muestran en las figuras 5.17 para 2000 rpm y 5.18 para 400 rpm y en las figuras A-P500.a, A-P600.a, A-P700.a, A-P800.a, A-P900.a, A-P1000.a, A-P1100.a, A-P1200.a, A-P1300.a del apéndice para las restantes velocidades de giro. Analizando las figuras indicadas, se encuentra que para una velocidad de giro del ventilador de 1300 rpm es bastante difícil determinar en donde empieza y en donde termina el movimiento del servomotor y que para 2000 rpm esto es prácticamente imposible debido a la gran turbulencia que se genera en el centro del tubo, tal y como se muestra en la figura 5.17. Por lo anterior se estableció que la máxima velocidad de giro del ventilador para la cual es posible medir el flujo inverso con la velocidad de 2 m/s del servomotor lineal es la de 1300 rpm. 5.6.6.- Velocidad Relativa Axial Para Diferentes RPM y Posiciones Radiales El perfil de velocidad axial relativa del flujo analizado se midió tanto con el sensor 55P11 como con el 55P61 para velocidades de giro del ventilador desde 400 hasta 1300 rpm con incrementos de 100 rpm y desde el centro del tubo hasta un radio de 8 cm con incrementos de 1 cm. Debido al riesgo de que el sensor pudiera golpear con la pared del tubo no se



hicieron mediciones mas cerca de la pared (radio igual 9.2 cm). Dado que el sensor unidimensional (55P11) es afectado por la velocidad tangencial principalmente cerca de la pared, como se puede observar en la figura 5.15 se decidió utilizar como mediciones definitivas las realizadas con el sensor 55P61. Así mismo, se decidió combinar las mediciones realizadas con dicho sensor en estado estacionario con las realizadas estando en movimiento. Para las velocidades en la zona de flujo inverso se utilizaron las mediciones obtenidas con el sensor 55P61 móvil, mientras que para la zona anular se emplearon las velocidades obtenidas con el sensor 55P61 fijo. En las figuras 5.18 a la 5.26 se muestran las mediciones de la velocidad axial relativa para cada una de las posiciones radiales establecidas empleando la velocidad de giro de 400 rpm y la velocidad lineal 2 (aproximadamente 2 m/s). En el apéndice se muestran las velocidades relativas para cada una de las rpm indicadas y para posiciones radiales hasta 3 cm, la cual es la máxima ubicación para la cual se detectó el flujo axial inverso.

Figura 5.17.- Velocidad relativa para 2000 rpm.

5.6.7.- Velocidad Axial para Diferentes RPM y Posiciones Radiales (Sensor Fijo) Utilizando el sensor 55P61 fijo se determinó la velocidad axial, U , para las diferentes velocidades de giro del ventilador y para las diferentes posiciones radiales establecidas. Los perfiles de velocidad obtenidos se muestran en la figura 5.27. 5.6.8.- Velocidad Tangencial para Diferentes RPM y Posiciones Radiales (Sensor Fijo) Empleando el sensor 55P61 se determinó la velocidad tangencial, W , para las diferentes velocidades de giro del ventilador y para las diferentes posiciones radiales establecidas. Los perfiles de velocidad obtenidos se muestran en la figura 5.28.



Figura 5.18- Velocidad axial relativa en 0 cm (400 rpm).

Figura 5.19.- Velocidad axial relativa en 1 cm (400 rpm)



Figura 5.20.- Velocidad axial relativa en 2 cm (400 rpm).





Figura 5.23.- Velocidad axial relativa en 5 cm (400 rpm)








Figura 5.27.- Perfiles de velocidad axial (sensor 55P61 fijo).



Figura 5.28.- Perfiles de velocidad tangencial (sensor 55P61 fijo).

5.7.- Incertidumbre de las Mediciones Realizadas El análisis detallado de incertidumbre de las mediciones obtenidas considerando la instrumentación, equipo de calibración y condiciones experimentales fue realizado en el trabajo de tesis de maestría del autor de esta investigación [7], con base en el procedimiento establecido en la referencia [31]. La estimación de la incertidumbre total se realizó tomando en cuenta la incertidumbre individual de cada componente del equipo experimental y un nivel de confianza del 95%. Para este trabajo, se realizó el cálculo de la incertidumbre para las velocidades de 0.5 m/s y 5 m/s resultando una incertidumbre del 11% y del 3.5 % respectivamente, notándose que esta tiene una gran dependencia principalmente del valor de la velocidad medida y de la pendiente de la curva de calibración. Por lo anterior, para los valores de velocidad medidos en este trabajo, se puede establecer que la incertidumbre se encuentra en el rango de 3.5 a 11%.

Capítulo VI Análisis de Resultados

Análisis de Resultados


6.1.- INTRODUCCIÓN El principal objetivo del análisis de la información experimental obtenida es determinar la velocidad axial instantánea en cada posición radial y para cada velocidad de giro del ventilador. Esto se realizó a partir de las sobreposición de las gráficas de velocidad contra tiempo para la velocidad del servomotor lineal, VML2 (velocidad del sensor) y la de la velocidad relativa, VR. La velocidad del flujo, VF, se obtiene restando a la velocidad relativa la velocidad del sensor, ecuación (5.1). Para facilitar el manejo de los datos, los cuales son 1000 valores de velocidad por cada medición, se empleó el paquete Excel para graficar los datos y realizar la resta de velocidades indicada. A partir de las gráficas de velocidad relativa se determinó los puntos en donde inicia y termina el movimiento del sensor y de la gráfica correspondiente a la diferencia de velocidades se obtuvo la velocidad instantánea en el punto establecido, posición axial x/d=6. Dado que la velocidad axial se vuelve positiva a partir de un radio mayor a 3 cm, se decidió utilizar, para los radios mayores a 3 cm las velocidades obtenidas con el sensor 55P61 fijo. Una vez determinada la velocidad instantánea en cada posición radial y para cada rpm, se elaboró el perfil de velocidad axial correspondiente a dicha velocidad de giro del ventilador. Con los perfiles de velocidad axial obtenidos se calculó la velocidad axial media general para cada rpm, lo cual se realizó también con los perfiles de velocidad media tangencial, obteniéndose la velocidad tangencial media general correspondiente. Para calcular esta velocidad se utilizaron los perfiles obtenidos con el sensor 55P61 fijo. Las velocidades medias generales se determinaron con la siguiente ecuación:

( )2

0

0

0

2

r

rdrrVV

r

m

∫= (6.1)

en donde V(r) es la función que representa a la distribución de velocidad correspondiente, ro es el radio del tubo y r cualquier posición radial ubicada entre 0 y ro. Así mismo, a partir de los perfiles de velocidad axial y tangencial se obtuvo la intensidad del torbellino, Ω , con la ecuación (1.1):

∫=Ω 230

2 /2 mUrdrUWr ρππρ (1.1)

En los casos en donde es aplicable, la información obtenida se presenta en forma adimensional. Para adimensionalizar las velocidades se empleó la velocidad axial media general, Um, Las curvas en función de la posición radial adimensional, r/ro, se realizaron tomando en cuenta la mitad del tubo ya que se puede considerar que el flujo prácticamente es simétrico.



Tanto las velocidades medias generales como la intensidad del torbellino se calcularon utilizando el paquete Matlab. Las funciones del Matlab que se aplicaron son la función polyfit con la cual se realizó el ajuste de regresión de los datos experimentales a curvas polinomiales y la función trapz con la cual se realizó la integración numérica a partir de las funciones polinomiales obtenidas. Con la velocidad axial media general se calculó el número de Reynolds con la siguiente ecuación:

νdU

R me = (6.2)

en donde d es el diámetro del tubo, 0.184 m, y ν es la viscosidad cinemática del aire. Para los cálculos realizados se empleó un valor de 1.51 x 10-5 m2/s a 20° C. Finalmente con los valores de la intensidad del torbellino para cada número de Reynolds y empleando la función polyfit del matlab se obtuvo una correlación polinomial, la cual se compara con la obtenida con el sensor de hilo caliente fijo y con la obtenida numéricamente utilizando el paquete Fluent. 6.2.- PERFILES DE VELOCIDAD AXIAL PARA CADA VELOCIDAD DE GIRO DEL VENTILADOR Para obtener el perfil de velocidad axial para una determinada velocidad de giro del ventilador, se requiere obtener la velocidad instantánea en cada posición radial, desde 0 hasta 8 cm, y hacer la consideración de que en la pared del tubo (radio de 9.2 cm) la velocidad es cero con base en la condición de no-deslizamiento. La velocidad instantánea para cada posición radial se obtuvo al hacer la resta gráfica entre la velocidad relativa correspondiente y la velocidad del sensor utilizada y que fue la velocidad VML2 del servomotor lineal (aproximadamente de 2 m/s) a las cuales previamente se les ha determinado la posición de inicio y término de la carrera del servomotor lineal. La carrera del servomotor lineal se determinó a partir de la figura 6.1, la cual fue obtenida de la figura 5.11 quitando las partes de velocidad constante inicial y final. De la figura 6.1 se determinó que la carrera del servomotor lineal es de 0.379 segundos y calculando el área bajo la curva se obtuvo que la carrera es de 559 mm de los cuales 108 mm corresponden a la etapa de aceleración, 359 mm a la etapa con velocidad aproximadamente constante y 92 mm a la etapa de frenado. El punto donde se determina la velocidad instantánea para elaborar los perfiles de velocidad es el correspondiente a 0.283 segundos de carrera que corresponde a la parte final de la etapa de velocidad constante y que se ubica a 10 cm dentro del tubo a partir de la descarga y que aproximadamente coincide con la estación x/d=6.



En las figuras 6.2 a 6.10 se muestran las gráficas para cada posición radial para una velocidad de giro del ventilador de 400 rpm. Como se observa, para un radio de 4 cm la velocidad del flujo es positiva en cualquier punto de la carrera del servomotor por lo que se decidió utilizar para los radios desde 4 a 8 cm las velocidades obtenidas con el sensor 55P61 fijo (figura 5.27). En el apéndice se muestran las gráficas para las demás velocidades de giro. Como ya se indicó, el punto de inicio de la carrera del servomotor cuando existe el flujo de aire en torbellino (la velocidad relativa) se determinó gráficamente tomando en consideración el punto donde la velocidad empieza a incrementarse de forma constante; en algunos casos donde esto era difícil de obtener, debido a la fluctuación de la velocidad, se determinó primeramente el final del recorrido que en la mayoría de los casos resultó mas fácil de encontrar y después, con base en el tiempo de recorrido de 0.379 segundos se determinó el inicio de la carrera. Utilizando estas gráficas, se determinó la velocidad correspondiente al tiempo 0.283 segundos, la cual se considera como la velocidad instantánea en el punto establecido. Con las velocidades para cada posición radial se construyó el perfil de velocidades axial correspondiente a la velocidad de giro del ventilador de 400 rpm, la cual se muestra en la figura 6.11. Con las velocidades para cada posición radial y para cada revolución de giro se elaboró la tabla 6.1, la cual se utilizó para elaborar la figura 6.12 en donde se muestran los perfiles de velocidad axial para cada velocidad de giro del ventilador.

Figura 6.1.- Velocidad del servo-motor lineal, VML2.



Figura 6.2.- Velocidades en 0 cm para 400 rpm.

















Figura 6.11.- Perfil de velocidad axial para 400 rpm.



Tabla 6.1.- Velocidad axial en función de la posición radial y de la velocidad de giro del ventilador.

RADIO cm

U400 m/s

U500 m/s

U600 m/s

U700 m/s

U800 m/s

U900 m/s

U1000m/s

U1100 m/s

U1200 m/s

U1300m/s

0 -0.417 -0.519 -0.664 -0.800 -1.005 -1.206 -1.351 -1.410 -1.467 -1.5561 -0.227 -0.255 -0.310 -0.364 -0.416 -0.468 -0.593 -0.640 -0.821 -0.9102 0.050 0.102 0.264 0.470 0.614 0.881 1.000 1.250 1.380 1.514 3 0.9 1.4375 1.783 2.104 2.441 2.7745 3.153 3.469 3.8855 4.12454 1.2045 1.479 1.834 2.198 2.539 2.9115 3.2335 3.5815 3.9455 4.29755 1.1775 1.481 1.8265 2.151 2.482 2.837 3.172 3.5165 3.8265 4.10556 1.1075 1.4195 1.742 2.0625 2.357 2.731 3.0755 3.4195 3.6855 3.95157 1.0805 1.3845 1.6835 2.0195 2.2985 2.634 3.018 3.236 3.525 3.816 8 1.014 1.2535 1.6415 1.8965 2.2525 2.4945 2.764 2.988 3.3265 3.674

9.2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Figura 6.12.- Perfiles de velocidad axial. Como se observa de las figuras 6.2 a 6.5, para el caso de la velocidad de giro del ventilador de 400 rpm, desde el centro del tubo hasta un radio de aproximadamente 3 cm existe una velocidad negativa, es decir el flujo inverso, aunque esta no es constante durante todo el recorrido. Dado que para elaborar el perfil de velocidad, esta se determinó en un punto específico (para un tiempo de 0.283 s), para el radio de 3 cm la velocidad resultó ser positiva como se puede observar en la tabla 6.1. Por otra parte, de las figuras 6.6 a 6.10 se observa que en ningún punto del recorrido se obtuvo una velocidad negativa. A partir de la figura 6.12 se determina que con el incremento de la velocidad de giro del ventilador se incrementa la velocidad del flujo inverso en el centro del tubo y la velocidad axial máxima, la cual se produce invariablemente para un radio de 3.4 cm.



6.3. CÁLCULO DE LA INTENSIDAD DEL TORBELLINO Para el cálculo de la intensidad del torbellino se utilizaron los perfiles de velocidad tangencial obtenidos con el sensor 55P61 fijo, figura 5.28, cuyos valores se muestran en la tabla 6.2. Empleando los datos de las tablas 6.1 y 6.2, la ecuación 1.1 y las funciones polyfit y trapz del matlab se calculó la intensidad del torbellino para cada velocidad de giro de ventilador. Los cálculos se muestran en la tabla 6.3, en donde además se muestra el número de Reynolds correspondiente y la velocidad máxima del flujo axial inverso. En la figura 6.13 se muestra la gráfica de la variación de la intensidad del torbellino con el número de Reynolds, de la cual se observa que en general la intensidad del torbellino aumenta ligeramente con el número de Reynolds y con la velocidad de giro del ventilador. Tabla 6.2.- Velocidad tangencial en función de la posición radial y de la velocidad de giro

del ventilador. RADIO

cm W400 m/s

W500 m/s

W600 m/s

W700m/s

W800m/s

W900m/s

W1000m/s

W1100 m/s

W1200 m/s

W1300m/s

0 -0.002 0.0115 0.045 0.0665 0.065 0.085 0.105 0.062 0.0215 0.10451 0.0845 0.154 0.2515 0.2735 0.4475 0.4555 0.5225 0.691 0.7025 0.78052 0.329 0.488 0.6395 0.7615 0.9885 1.016 1.221 1.4395 1.552 1.79453 0.4635 0.636 0.8655 1.0605 1.292 1.4735 1.6905 1.9025 2.1095 2.308 4 0.5235 0.6895 0.9105 1.1385 1.3305 1.569 1.7735 2.024 2.228 2.479 5 0.475 0.662 0.8555 1.043 1.236 1.4345 1.658 1.8465 2.0275 2.287 6 0.41 0.5865 0.7615 0.9505 1.1335 1.3045 1.5295 1.6235 1.842 2.047 7 0.4035 0.5665 0.7175 0.902 1.097 1.2415 1.4265 1.5675 1.71 1.96058 0.367 0.5005 0.7145 0.8785 1.071 1.2235 1.3845 1.5595 1.777 1.9165

9.2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Tabla 6.3.- Variación de la intensidad del torbellino con el Número de Reynolds

RPM Um m/s

Re Ω o IT max−invU m/s

400 0.64 7825.4834 0.4451 -0.417 500 0.88 10709.775 0.4432 -0.519 600 1.12 13603.815 0.4574 -0.664 700 1.36 16580.715 0.4632 -0.800 800 1.63 19803.762 0.462 -1.005 900 1.91 23222.993 0.4494 -1.206 1000 2.15 26221.828 0.4557 -1.351 1100 2.38 29035.444 0.4541 -1.410 1200 2.62 31934.358 0.4611 -1.467 1300 2.87 35009.96 0.4666 -1.556



Empleando la función polyfit del Matlab se determinó que la mejor correlación entre el número de Reynolds y la intensidad del torbellino es la correlación lineal siguiente:

44460105 7 .RX e +=Ω − (6.2) En la misma figura 6.13 se muestra graficada la ecuación (6.2).

Figura 6.13.- Variación de la intensidad del torbellino con el número de Reynolds.

6.4.- VARIACIÓN DE LA VELOCIDAD MÁXIMA DEL FLUJO AXIAL INVERSO Con los datos de la velocidad axial en el eje del tubo (velocidad del flujo inverso máxima) y la intensidad del torbellino para cada velocidad de giro del ventilador de la tabla 6.3 se elaboró la figura 6.14. La correlación más adecuada entre estas variables es la variación lineal siguiente:

65.1204.30max +Ω−=−invU (6.3) la cual predice que el flujo inverso aparece cuando la intensidad del torbellino es mayor que 0.42.



Figura 6.14.- Variación de la velocidad del flujo inverso máxima con la intensidad del

torbellino.

6.5.- VARIACIÓN DEL RADIO PARA LA VELOCIDAD AXIAL CERO Con el fin de visualizar de forma mas clara la posición del radio para el cual se alcanza la velocidad axial cero, se realizó un acercamiento de dicha zona a partir de la figura 6.12. El acercamiento se muestra en la figura 6.15. La variación del radio para el cual se obtiene la velocidad axial cero se muestra en la figura 6.16. De esta figura se observa que dicha variación no sigue una tendencia definida, sin embargo en la figura 6.15 se observa que para valores bajos de rotación del ventilador (400 a 900 rpm), el radio para el cual se alcanza una velocidad axial cero tiende a disminuir conforme las rpm de giro del ventilador se incrementan. 6.6.- COMPARACIÓN CON LOS RESULTADOS OBTENIDOS CON FLUENT Puesto que los valores de velocidad axial y tangencial y de la intensidad del torbellino obtenidos experimentalmente difieren considerablemente de los obtenidos con el paquete de DFC Fluent, con el fin de comparar las tendencias que arrojan los dos métodos de análisis empleados, se adimensionalizaron ambos conjuntos de perfiles en función de la velocidad media axial para cada velocidad de giro del ventilador. Estos perfiles se muestran en las gráficas 6.17 a 6.20.



Figura 6.15.- Acercamiento de la gráfica de perfiles de velocidad axial.

Figura 6.16.- Variación del radio para U=0 con la intensidad del torbellino.



Figura 6.17.- Perfiles de velocidad axial adimensional experimentales

Figura 6.18.- Perfiles de velocidad tangencial adimensional experimentales, con respecto a

Um.



Figura 6.19.- Perfiles de velocidad axial adimensional obtenidos con Fluent.

Figura 6.20.- Perfiles de velocidad tangencial adimensionales obtenidos con Fluent.



Comparando los perfiles de velocidad axial adimensional, figuras 6.17 y 6.19 se determina que: a).- El rango para la velocidad axial inversa experimental va de –0.53 a –0.65, mientras que Fluent proporciona un rango que va de –0.83 a -1.02 correspondiendo en ambos casos el mayor valor para una velocidad de giro del ventilador de 400 rpm y el menor para 1300 rpm. b).- El radio para velocidad axial cero se ubica experimentalmente entre el 15 y el 22.5 % del radio del tubo mientras que Fluent proporciona un rango que va del 32.6 al 35.9%. Sin embargo ambos métodos arrojan el resultado de que el radio para U=0 es mayor cuando la velocidad de giro del ventilador es de 400 rpm y menor para 1300 rpm y que disminuye con el incremento de la velocidad de giro alcanzando el menor radio para una velocidad de 900 rpm y que dicho valor ya no cambia con el incremento de la velocidad de giro. c).- El rango obtenido para la velocidad axial adimensional máxima experimental es de 1.29 a 1.45 veces la velocidad axial media, mientras que Fluent proporciona un rango que va del 1.44 a 1.52. Con ambos métodos se obtiene que el valor máximo de la velocidad axial adimensional corresponde a una velocidad de giro de 400 rpm y disminuye con el incremento de las rpm, aunque esta variación no es muy clara en las curvas experimentales. d).- La ubicación de la velocidad axial adimensional máxima tanto experimental como numérica corresponde al 80% del radio del tubo aunque la forma de la parte superior de las curvas experimentales son prácticamente planas en una gran región del tubo, desde el 45% hasta el 85% del radio del tubo. Por su parte, las curvas de velocidad axial adimensional obtenidas con Fluent muestran claramente que la velocidad axial adimensional máxima disminuye con el incremento de la velocidad de giro hasta una velocidad de 900 rpm, a partir de la cual ya no cambia. Así mismo, la posición de la velocidad axial máxima se mantiene invariable. Con respecto a los perfiles de velocidad tangencial adimensional, figuras 6.18 y 6.20, se observa que: e).- Las curvas experimentales indican que el valor máximo de la velocidad tangencial adimensional está en el rango de 0.78 a 0.86, mientras que Fluent arroja que el rango es de 1.61 a 1.79, coincidiendo ambos en que el menor valor corresponde a una velocidad de giro de 400 rpm y el máximo para 1300 rpm. f).- La ubicación de la velocidad tangencial adimensional máxima, de manera experimental se encuentra que está al 43.5% del radio del tubo y que esta no varía con la velocidad de giro del ventilador. Por su parte Fluent arroja que la velocidad tangencial adimensional máxima se ubica en un rango que va del 69.6% al 71.8 % correspondiendo el menor valor a la velocidad de giro de 400 rpm y la máxima a 1300 rpm. g).- Un dato importante encontrado se relaciona con la forma de la pendiente de las curvas en la región en la que se considera que el torbellino se comporta como un vórtice forzado (desde el centro del tubo hasta donde se alcanza la velocidad máxima); como se puede



observar tanto en las figuras 6.17 y 6.19, dicha pendiente no es recta, aunque en las gráficas experimentales la curvatura es pequeña siendo esta mas notable cuando la velocidad de giro es baja (400 a 700 rpm). Lo anterior indica que el comportamiento del núcleo del torbellino difiere un poco del comportamiento como sólido rígido y por tanto que la velocidad tangencial no es directamente proporcional al radio. Esto se hace mas evidente en los resultados proporcionados por Fluent a pesar de que en la entrada del modelo computacional se estableció una velocidad tangencial que varía directamente con la posición radial como se puede ver en la figura 4.9. Con relación a la intensidad del torbellino, la diferencia entre los resultados obtenidos con ambos métodos es muy grande; esto se debe principalmente a que Fluent proporciona velocidades tangenciales mucho mayores (el doble en las velocidades máximas) que las obtenidas experimentalmente, aunque existe semejanza en la tendencia a incrementar ligeramente la intensidad del torbellino con el número de Reynolds. Finalmente se compara la variación de la intensidad del torbellino tomando en cuenta el flujo axial inverso con la intensidad del torbellino calculada con base en los perfiles de velocidad axial y tangencial obtenidos con el sensor 55P61 fijo (sin considerar el flujo axial inverso), cuya gráfica se muestra en la figura 6.21. En la misma figura se muestra la variación de la intensidad del torbellino considerando el flujo axial inverso en función de la velocidad de giro del ventilador. Como se observa, la intensidad del torbellino con el sensor fijo es menor y presenta una mayor tasa de crecimiento con el incremento de las rpm.

Figura 6.21.- Variación de la intensidad del torbellino con la velocidad de giro del

ventilador, sensor 55P61.



6.7.- COMPARACIÓN CON LOS RESULTADOS DE OSAMI KITOH Con el fin de facilitar la comparación de los resultados experimentales obtenidos en este trabajo con los presentados por Kitoh [3], en la figura 6.22 se muestran los perfiles adimensionales de la velocidad axial (6.22a) y de la velocidad tangencial (6.22b) obtenidos por dicho autor, los cuales corresponden a diversas intensidades de torbellino desde 0.12 hasta 1.18 obtenidos en diversas estaciones axiales.

Figura 6.22.- Perfiles de velocidad axial y tangencial adimensionales reportados por

Kitoh[3]. De la figura 6.22a se observa que: a).- El valor de la velocidad adimensional del flujo inverso va de -0.35 a -0.75. Con respecto a las mediciones realizadas, se observa una gran diferencia, del -34% con respecto al valor inferior y del +15% con respecto al limite superior. En los valores reportados por Kitoh, la menor velocidad adimensional del flujo inverso corresponde al menor valor de la intensidad de torbellino (0.42). En este aspecto, el comportamiento encontrado con nuestras mediciones y las calculadas con Fluent difieren notablemente de la reportada por Kitoh ya que el valor mayor de velocidad adimensional se encontró que corresponde a la menor velocidad de giro del ventilador, que corresponde también al menor valor de intensidad de torbellino calculado (0.44). Sin embargo Kitoh reporta que el flujo axial inverso aparece para una intensidad de torbellino mayor a 0.42, lo cual coincide con el valor determinado a partir de la ecuación (6.3).



b).- La posición radial para la cual se obtiene una velocidad axial de cero se ubica en un rango que va del 6% al 26% del radio del tubo, correspondiendo el menor valor para la intensidad del torbellino de 0.42 y el valor mayor para la intensidad del torbellino máxima (1.18). La diferencia con nuestros valores es del –60% para el límite inferior y del 16% para el límite superior. Aquí también se encuentra un comportamiento contrario con respecto a que el mayor radio para velocidad axial cero se produce para la menor velocidad de giro del ventilador y por tanto para la menor intensidad de torbellino. c).- La velocidad axial adimensional máxima tiene un rango que va de 1.15 a 1.35, valores que tienen una diferencia del –10.8% para el límite inferior y del –6.9% para el límite superior con respecto a los valores obtenidos en este trabajo. Se puede decir que esta es una de las características del flujo en torbellino en la que se tiene mayor coincidencia con respecto a los valores reportados por Kitoh. d).- La velocidad axial máxima se ubica en un rango que va del 79% al 86% del radio del tubo, lo cual arroja una diferencia con nuestros valores del –1.3% para el límite inferior y del 7.5% para el límite superior. Esta es otra característica en la cual existe una gran coincidencia con Kitoh. Sin embargo la forma de la cúspide de las curvas obtenidas por Kitoh difiere notablemente con las obtenidas en el presente trabajo, pareciéndose más a las obtenidas numéricamente con Fluent. Con respecto a los perfiles de velocidad adimensional tangencial, figura 6.22b, se observa que: e).- La velocidad adimensional tangencial máxima va de 1.2 a 2, lo cual representa una diferencia con respecto a nuestros valores del 53.8% para el límite inferior y del 132.6% para el límite superior, existiendo coincidencia en que el menor valor corresponde a la menor intensidad del torbellino y el valor mayor a la mayor intensidad de torbellino. f).- La ubicación de la velocidad tangencial adimensional máxima se encuentra en un rango que va del 6% al 46% del radio del tubo, lo cual representa una diferencia del –86.2% para el límite inferior y del 5.7% para el limite superior con respecto a los datos experimentales aquí obtenidos. g).- Con respecto a la pendiente de la curva en la zona del núcleo del torbellino (comportamiento del fluido como sólido rígido), se observa que Kitoh reporta dicho comportamiento lo cual difiere de nuestras mediciones y de las determinadas con Fluent. La comparación de la variación de la intensidad de torbellino con el número de Reynolds no se realiza debido a que Kitoh reporta mediciones para solo tres valores de número de Reynolds y dos de ellos (10000 y 150000) son mucho mayores al mayor número de Reynolds obtenido en nuestros experimentos; además, como se indicó, los diferentes valores de la intensidad de torbellino reportados por Kitoh fueron obtenidos en diferentes estaciones del tubo y se deben al decaimiento de la intensidad del torbellino por la fricción con la pared del tubo y no a la variación del número de Reynolds.

Conclusiones


Conclusiones En esta investigación se ha puesto de manifiesto que aun no existe un acuerdo general en cuanto a la detección y a la medición del flujo axial inverso inducido por un flujo en torbellino en el interior de un tubo y que la aparición de dicho flujo inverso al parecer esta influenciada por el método de generación del torbellino, aspecto que no fue abordado en este trabajo pero que sin duda requiere mayor investigación y análisis. Uno de los aspectos que quedó debidamente comprobado es que el flujo axial inverso no se puede medir con anemometría basada en presiones (tubo Pitot-estático y tubos de varios orificios) ni con anemometría de hilo caliente con sensores fijos aun y cuando existen artículos que reportan mediciones con dichas técnicas. De igual manera ha quedado de manifiesto que las técnicas mas adecuadas para medir el flujo axial inverso son la velocimetría por imagen de partículas (PIV), la anemometría Laser-Doppler y la técnica del hilo caliente volador. Para la realización de este trabajo se seleccionó la técnica del hilo caliente volador, la cual fue descrita en detalle así como los trabajos realizados para implementar dicha técnica. De igual manera se describió el procedimiento utilizado para determinar la velocidad del flujo el cual tiene el inconveniente de que depende de la determinación del inició y final de la carrera del servo-motor y de la suposición de que el perfil de velocidad del servo-motor no cambia en cada medición. Con el procedimiento establecido se encontró que el flujo axial inverso existe a lo largo del chorro generado en la descarga y en los 20 cm finales del tubo y que este se presenta en un radio de aproximadamente 2 cm de la sección transversal del tubo. También se encontró que el flujo inverso no es continuo a lo largo de los recorridos en las posiciones radiales en las que se presenta (0 a 2 cm) y que resulta complicado establecer un perfil de velocidad empleando pocas mediciones (3) para una misma velocidad de giro del ventilador, dado que las mediciones no se realizan en el mismo instante. Para lograr esto se necesitaría colocar varios sensores de hilo caliente en el mismo soporte separados convenientemente y moviéndose juntos. Sin embargo con los criterios establecidos fue posible establecer los perfiles de velocidad axial en la estación 6/ =dx del tubo para velocidades de giro del ventilador desde 400 hasta 1300 rpm así como la variación de la intensidad del torbellino con el número de Reynolds. Con relación a la

Conclusiones


intensidad del torbellino, se encontró que esta aumenta ligeramente con el número de Reynolds, lo cual concuerda con la idea de que debería mantenerse constante dado que el ángulo de ataque de las palas se mantiene constante y que este resultado se contrapone con el mayor incremento que tiene la intensidad del torbellino a partir de las mediciones realizadas con el sensor fijo. Otro resultado interesante encontrado se refiere a la forma de la pendiente de la curva del perfil de velocidad tangencial en la zona que se considera que se comporta como vórtice forzado (rotación como sólido rígido) la cual va desde el centro del tubo hasta la posición radial donde se alcanza la velocidad tangencial máxima. De las mediciones realizadas se encuentra que en esta zona la gráfica no es recta como se ha considerado, sino que presenta una pequeña curvatura. Así también se observó que cuando el tubo gira en sentido contrario al sentido del ventilador, el flujo axial inverso se elimina (como era de esperarse), sin embargo cuando el tubo gira en el mismo sentido que el ventilador, no se detectó un incremento en la magnitud de la velocidad del flujo axial inverso, como se esperaba, sino que por el contrario disminuyó, a pesar de que en la zona de velocidad axial positiva se reflejó un incremento, lo cual hace suponer que dicho aumento en la velocidad del flujo inverso si ocurre físicamente pero que la instrumentación no lo logra detectar. Se considera que una causa posible para que esto suceda se debe atribuir al incremento de la turbulencia en la zona del núcleo. Con relación al análisis mediante la Dinámica de Fluidos Computacional empleando el paquete Fluent y el modelo de turbulencia de esfuerzos de Reynolds, se puede concluir que en general Fluent reproduce el comportamiento experimental obtenido en nuestras mediciones y con las reportadas por Kitoh ya que, aun y cuando el perfil de velocidad tangencial de entrada utilizado corresponde a una rotación como sólido rígido, este evoluciona dentro del tubo generando los dos comportamientos que se obtienen experimentalmente, es decir, como vórtice forzado en el núcleo y como vórtice libre en la región anular. Un aspecto notable es que Fluent reproduce la curvatura obtenida experimentalmente en la zona del núcleo de la gráfica de la velocidad tangencial contra posición radial, en donde diversos autores consideran que el flujo se comporta como sólido rígido, aunque la concavidad de la curva que proporciona Fluent es mucho mas grande. También, Fluent reproduce los gradientes de presión adversos tanto radial como longitudinal encontrados experimentalmente por Kitoh y en las mediciones realizadas para la tesis de maestría del autor de esta investigación. Sin embargo las diferencias con respecto a valores específicos son notables, particularmente con respecto a la velocidad tangencial máxima, la velocidad máxima del flujo inverso y el radio para velocidad axial cero. Por lo anterior, se puede concluir que el análisis numérico del flujo en torbellino en el interior de un tubo que proporciona Fluent presenta resultados no satisfactorios, lo cual obliga a concluir que dichos resultados no son validados experimentalmente por lo que es necesario continuar con un análisis mas detallado de la influencia de las variables utilizadas en los cálculos realizados con Fluent con el fin de lograr la calibración adecuada. Finalmente es conveniente mencionar que aunque el análisis numérico es una herramienta de gran ayuda para el diseño y análisis de ingeniería, presenta el inconveniente de que en casos en los que el fenómeno que se analiza presenta incongruencias o que todavía no existe una explicación aceptada y validada, como lo es el caso del flujo inverso inducido

Conclusiones


por un flujo en torbellino, es necesario contar con una base de datos experimentales confiables (Benchmark) con los cuales comparar los resultados que arroje el análisis numérico y obtener una validación del paquete de DFC utilizado. Al realizar la validación se determinan los ajustes necesarios a las constantes del modelo a utilizar y al procedimiento a seguir para obtener resultados lógicos, útiles y de manera más económica para la solución de problemas de ingeniería. Recomendaciones para trabajos futuros Puesto que esta investigación experimental es la primera que se realiza a nivel nacional empleando la técnica del hilo caliente volador, su instrumentación ha presentado algunos inconvenientes que han generado incertidumbre en las mediciones realizadas. Sin embargo, con la idea de que el sistema de hilo caliente volador implementado en el LABINTHAP sea confiable y permita continuar con la investigación experimental del fenómeno analizado en este trabajo y que las mediciones obtenidas lleguen a conformar una base de datos aceptada como patrón para el flujo en torbellino en un tubo de sección transversal circular y para el chorro en torbellino que se genera en la descarga del tubo, es necesario tomar acciones en las siguientes direcciones: 1.- En primer término es indispensable sincronizar el inicio del movimiento del servomotor lineal con el inicio de la adquisición de datos por parte del sensor de hilo caliente o por lo menos establecer en forma exacta el inicio de la carrera del servomotor. 2.- Automatizar el procesamiento de las mediciones realizadas con el fin de que se puedan obtener velocidades medias en cada posición radial aun y cuando estas sean obtenidas en diferentes instantes. Esto al mismo tiempo permitirá calcular también la intensidad de la turbulencia, los esfuerzos de Reynolds normales (axial y tangencial) y los correspondientes esfuerzos cortantes. 3.- Incrementar la velocidad del servo-motor lineal con el fin de poder obtener mediciones del flujo axial inverso para mayores velocidades de giro del ventilador. 4.- Construir un modelo experimental que permita cambiar el ángulo de paso de las palas del ventilador con el fin de cambiar la intensidad del torbellino. 5.- Analizar con mas detalle el efecto del giro del tubo en la intensidad del torbellino y determinar la causa de porque cuando el tubo gira en el mismo sentido que el ventilador el flujo axial inverso no incrementa su magnitud como es de esperarse.

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Tiburcio Fernández Roque SEPI-ESIME-Zacatenco 120

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Apéndice

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a b

c d

Figura A-500.- Velocidades para una velocidad de giro del ventilador de 500 rpm.

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TESIS · 2017. 9. 1. · René Tolentino Eslava • Ing. Jaime Carrasco Rendón • Ing. Joel Enrique Barrientos Nicolás • Ing. Juan Sánchez Vergara . Índice Tiburcio Fernández