Tesis de Maestría en Ciencias

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

SECRETARÍA DE INVESTIGACIÓN Y POSTGRADO

SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSTGRADO E INVESTIGACIÓN, ESIME

MAESTRÍA EN CIENCIAS EN INGENIERÍA DE

TELECOMUNICACIONES

Solución de la Ecuación de Pocklington Para Alambres de Geometría Arbitraria Usando Una Segmentación No-Equidistante Por Medio de las

Raíces de los Polinomios de Legendre

TESIS QUE PARA OBTENER EL GRADO DE: MAESTRO EN CIENCIAS

PRESENTA:

Víctor Barrera Figueroa

DIRECTOR DE TESIS: Dr. Jorge Roberto Sosa Pedroza

México D.F., a 27 de abril de 2007

INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL

SECRETARIA DE INVESTIGACION Y POSGRADO

CARTA CESION DE DERECHOS

En la Ciudad de México, D. F., el día 23 del mes Mayo del año 2007

el que suscribe Víctor Barrera Figueroa alumno del Programa de

Maestría en Ciencias en Ingeniería de Telecomunicaciones

con número de registro B041155 adscrito a la Sección de Estudios de Posgrado e Investigación de la

E.S.I.M.E. Unidad Zacatenco, manifiesta que es autor intelectual del presente Trabajo de Tesis

bajo la dirección del Dr. Jorge Roberto Sosa Pedroza y cede los derechos del

trabajo intitulado: Solución de la Ecuación de Pocklington Para Alambres de Geometría Arbitraria Usando Una Segmentación No-Equidistante Por Medio de las Raíces de los

Polinomios de Legendre

al

Instituto Politécnico Nacional para su difusión, con fines Académicos y de Investigación.

Los usuarios de la información no deben reproducir el contenido textual, graficas o datos del trabajo

sin el permiso expreso del autor y/o director del trabajo. Este puede ser obtenido escribiendo a la

siguiente dirección: Cda. Alfonso Ortiz Tirado 10, Col. Jorge Negrete, C.P. 07280, Del. Gustavo A. Madero, México, D.F., e-mail: [email protected], [email protected]

Si el permiso se otorga, el usuario deberá dar el agradecimiento correspondiente y citar la fuente

del mismo.

Nombre y Firma

Víctor Barrera Figueroa

« ... Après cela, je regardai, et voici, une porte était ouverte dans le ciel. La première voix que j'avais entendue, comme le son d'une trompette, et qui me parlait, dit: Monte ici, et je te ferai voir ce qui doit arriver dans la suite. Aussitôt je fus ravi en esprit. Et voici, il y avait un trône dans le ciel, et sur ce trône quelqu'un était assis. Celui qui était assis avait l'aspect d'une pierre de jaspe et de sardoine; et le trône était environné d'un arc-en-ciel semblable à de l'émeraude. Autour du trône je vis vingt-quatre trônes, et sur ces trônes vingt-quatre vieillards assis, revêtus de vêtements blancs, et sur leurs têtes des couronnes d'or. Du trône sortent des éclairs, des voix et des tonnerres. Devant le trône brûlent sept lampes ardentes, qui sont les sept esprits de Dieu. Il y a encore devant le trône comme une mer de verre, semblable à du cristal. Au milieu du trône et autour du trône, il y a quatre êtres vivants remplis d'yeux devant et derrière... »

Dedicatoria A quienes han estado conmigo, apoyándome, motivándome y creyendo en mí, dedico esta Tesis. En especial dedico este trabajo a mi madre, Irene Consuelo Figueroa Arriaga y a mis hermanos Óscar Montoya Figueroa, Irene Teresa Barrera Figueroa y José Luis Campos Figueroa, quienes me brindan su cariño incondicionalmente. También dedico este trabajo a todos los profesores que han sembrado en mí la simiente de buscar el conocimiento y compartirlo. Finalmente, dedico este trabajo a mis verdaderos amigos, ellos saben quienes son.

Agradecimientos Agradezco a todas aquellas personas que me dan su cariño, confianza y respaldo para la realización de este humilde trabajo. En especial, y con grande respeto, agradezco a: M. en C. Fernando Navarrete Montes de Oca (†): Desde donde esté le reitero mi agradecimiento y mi cariño, y refrendo el camino que alguna vez delineamos. Su lugar continúa presente con nosotros por siempre. Dr. Jorge Roberto Sosa Pedroza: Gracias por toda la confianza, amistad, generosidad y apoyo que me ha brindado. De mi parte le reitero mi lealtad, amistad y cariño, valores imperecederos que le ofrezco respetuosamente. Dr. José Luis López Bonilla: Gracias por el conocimiento, confianza y amistad que me dedica. Especialmente por encender la llama en la búsqueda del Verdadero Conocimiento. Mi respeto y mi cariño para su persona. M. Sp. S. José Torres: Gracias por su cariño, comprensión y ayuda en los momentos oscuros que viví. Esencialmente por mostrarme un camino para llegar al Verdadero Conocimiento y vivir de Él. Mi cariño por siempre. Al Instituto Politécnico Nacional, por su generosidad al hacerme lo que soy y darme lo que tengo por medio de la educación y la preparación, necesarias para superar las barreras y ayudar a los que vienen detrás de nosotros. A la familia Figueroa por los valores que me inculcaron, el cariño siempre presente para conmigo y por darme un lugar en su hondura. A todos aquellos amigos verdaderos que estarán por siempre conmigo. Gracias.

Solución de la Ecuación de Pocklington Para Alambres de Geometría Arbitraria Usando Una Segmentación No-Equidistante Por Medio de las Raíces de los Polinomios de Legendre

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Boltzmann había aludido a la idea de que el Universo parecía descansar en dos columnas: la mecánica y el electromagnetismo, cuando puso por acápite de su trabajo sobre la teoría de Maxwell la pregunta de Fausto en el drama de Goethe: “War es ein Gott der diese Zeichen scrieb?” (“¿Fue Dios el que escribió estos signos?”). El relato bíblico contenido en el Génesis podría volver a escribirse en un lenguaje moderno: “Hágase la luz” se convertiría en:

, ,

, 0 .

C S S v

C S S

d d d dvt

d d dt

ρ∂• = − • • =∂

∂ • = + • • = ∂

∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫∫

∫ ∫∫ ∫∫

s a a

s a a

BE D

DH J B


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Resumen

Para determinar el comportamiento electromagnético de una antena, es necesario conocer su distribución de corriente. Esta importante información puede conseguirse en tres principales formas: midiéndola en el laboratorio, estimándola de acuerdo a la experiencia del investigador y determinándola por medio de métodos numéricos. A partir de los años 60, con la introducción de las computadoras electrónicas en el quehacer científico, el último método surge como una atractiva opción para analizar antenas, pero conforme las computadoras se popularizaron, los métodos numéricos se constituyeron como la principal técnica de desarrollo para el investigador. Entre los principales métodos numéricos aplicados al electromagnetismo se tiene el método de Bubnov-Krylov-Galerkin, también conocido como método de momentos, y el método de las Diferencias Finitas en el Dominio del Tiempo, prácticamente usado para resolver las ecuaciones de Maxwell en forma diferencial.

El método de momentos ha encontrado gran aplicación en la solución numérica de ecuaciones integrales como la Ecuación Integral del Campo Eléctrico (EFIE), la Ecuación Integral del Campo Magnético (MFIE), la Ecuación de Hallén y la Ecuación de Pocklington, transformándolas en ecuaciones matriciales fáciles de resolver con los métodos del Álgebra Lineal. El método supone que la distribución de corriente se puede expresar como una combinación lineal de funciones de base, definidas en un pequeño subdominio del alambre, donde se consigue determinar los coeficientes de la expansión por medio de la inversión numérica de la matriz de impedancias y el producto matricial de ésta con la matriz de voltajes.

El uso de funciones base subdominio puede interpretarse físicamente como que el alambre de la antena ha sido dividido en pequeños segmentos, tradicionalmente, de igual longitud, sin embargo, el método nunca ha restringido la forma de segmentación, exigiendo solamente que los segmentos sean colineales para conservar la independencia lineal del sistema de ecuaciones. Una de las desventajas de la segmentación equidistante es la aparición del fenómeno de Runge-Borel, el cual desaparece al considerar una segmentación no-equidistante. En esta Tesis se presenta una aplicación original e innovadora, hasta ahora no encontrada en la literatura especializada, para dividir la antena de acuerdo a la forma en que se distribuyen las raíces de los polinomios de Legendre en el dominio [ ]1,1− . Con esta

segmentación se evita la aparición del fenómeno de Runge-Borel en la interpolación de la distribución de corriente en el alambre, se consigue que la condición de frontera del campo eléctrico se cumpla más uniformemente sobre la superficie del alambre y se obtienen mejores soluciones de la ecuación integral de Pocklington para antenas de geometría arbitraria, con el menor error posible. El uso de estas raíces está motivado por la técnica de cuadratura de Gauss, quien buscando reducir el error asociado en la integración numérica, determinó que las raíces de los polinomios de Legendre, minimizan el error al máximo respecto a otras técnicas de cuadraturas.

Los resultados mostrados en el Capítulo V de esta Tesis demuestran la efectividad del método, por medio de una comparación entre la clásica segmentación equidistante y la no- equidistante. Estos resultados fueron escogidos para la antena dipolar eléctrica, sin embargo, se ha comprobado su validez en diferentes publicaciones para antenas de otras geometrías, y se espera aplicar la técnica para alambres gruesos y antenas planares y dieléctricas.


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Abstract

For determining the electromagnetic behavior in an antenna, it is necessary to know its current distribution. Such important information can be reached by means of three mainly ways: measuring it in laboratory, estimating it in accordance with researcher’s experience and getting it by using numerical methods. Starting in the 60’s years, with the introduction of the electronic computers in the scientific framework, the last option springs forth like an attractive choice for analyzing antennas, but in agreement with the computer’s popularity, the numerical methods have been set up as the main technique of development for the researcher. Between the most used numerical methods applied in electromagnetism we have the Bubnov-Krylov-Galerkin Method, also known as the Method of Moments, and the Finite Difference Time Domain Technique, mainly used for solving Maxwell’s equations in differential form.

The Method of Moments has found many applications in solving integral equations, like the Electric Field Integral Equation (EFIE), the Magnetic Field Integral Equation (MFIE), Hallén’s equation and Pocklington’s equation, turning them in matrix equations easier to solve with standard Linear Algebra techniques. The method establishes that the current distribution can be expressed like a linear combination of basis functions, which are defined in a small subdomain in the antenna’s wire, where the task is determining the expansion coefficients by means of numerical inversion of the impedance matrix and the matrix product of it with the voltage matrix.

The use of subdomain basis functions can be thought like if the wire were divided into small segments, commonly, of equal length, however, the method has never restricted the dividing way, limiting only the segments to be collinear in order to keep the linear independence of the matrix equation. A disadvantage of equidistant segmentation is the appearance of Runge-Borel phenomenon, which disappears when a non-equidistant segmentation is used. In this Thesis, an original e innovative application, not found until now in specialized literature, for dividing the antenna in accordance with the way Legendre’s polynomial roots are distributed in the domain[ ]1,1− , is presented. By using such

segmentation, the occurrence of Runge-Borel phenomenon is avoided in the interpolation made with the wire’s current distribution, the electric field boundary condition is satisfied more uniformly on the antenna’s surface, and better solutions are gotten for Pocklington’s equation in antennas with arbitrary geometry with the less possible error. The use of these roots is inspired in Gauss’s quadrature technique, who looking for minimizing the associated error in numerical integration, determined that Legendre’s polynomial roots decreased the error at maximum with respect with other quadrature techniques.

Results shown in Chapter 5 demonstrate the effectiveness of the method, by means of a

comparison between the classical equidistant segmentation and the non-equidistant segmentation. Such results were gotten for the electric dipolar antenna, however, its validity has been proven in several papers for antennas with others geometries than the linear one, and it is expected to apply the technique to thick wire antennas, planar and dielectric ones.


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Contenido

Objetivo 6 Metas 7 Justificación 8 Índice de Figuras y Tablas 9 Introducción 11 Capítulo I: Estado del Arte en Electromagnetismo Computacional 16

Introducción 17 1.1. Estado del Arte: Electromagnetismo Computacional 18 1.2. El enfoque de Harrington 20 1.3. El trabajo de Pocklington 21 1.4. El análisis de Hallén 22 1.5. El método de Champagne: Segmentos curvos 24 1.6. El enfoque de King: Análisis de Fourier en Antenas de Lazo Circulares 26 1.7. El trabajo de Burke y Poggio: Programa NEC 28 1.8. Análisis de Butler y Wilton 30 1.9. El trabajo de Tapan Sarkar et al 30 1.10. Análisis de D. H. Werner et al: Aislamiento de singularidades 31 1.11. La propuesta de Tetriakov Y., Pan G 32 1.12. Diversos trabajos 33 1.13. Conclusiones del Capítulo I 33 Referencias 34

Capítulo II: Ecuaciones Integrales en Antenas 37

Introducción 38 2.1. Ecuaciones de Maxwell 39 2.2. Relaciones de energía y potencia 42 2.3. La ecuación de onda y su solución: Funciones potenciales 44 2.4. Ecuación para una corriente uniforme 48 2.5. Ecuación integral para una corriente no uniforme 51 2.6. Ecuación integral para un alambre delgado de geometría arbitraria 54 2.7. Ecuación integral de Pocklington generalizada 56 2.8. Conclusiones del Capítulo II 59 Referencias 59

Capítulo III: El Método de Bubnov-Krylov-Galerkin 61

Introducción 62 3.1. El método de Bubnov-Krylov-Galerkin 63 3.2. La elección de las funciones base y peso en el método de momentos 68 3.3. El método de Galerkin 69 3.4. La técnica del ajuste de puntos y el método de los mínimos cuadrados 71 3.5. Análisis del error en el método de momentos 72 3.6. Solución del método de momentos a la ecuación de Pocklington 75 3.7. Patrón de radiación de la antena 79 3.8. Conclusiones del Capítulo III 81 Referencias 82


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Capítulo IV. Segmentación Equidistante y No-Equidistante para el Método de Momentos 83 Introducción 84 4.1. Interpolación Lagrangiana con puntos sencillos 85 4.2. Interpolación Lagrangiana con puntos dobles 86 4.3. El método de la cuadratura Gaussiana 88 4.4. El fenómeno de Runge-Borel y las raíces de Legendre 91 4.5. Cuadratura Gaussiana aplicada a la solución del método de momentos 94 4.6. Segmentación equidistante en el método de momentos 97 4.7. Segmentación no-equidistante en el método de momentos 98 4.8. Conclusiones del Capítulo IV 102 Referencias 103

Capítulo V. Resultados Comparativos para la Segmentación Equidistante y No-Equidistante 104

Introducción 105 5.1. Análisis de la estabilidad en función de las raíces de Legendre

para la cuadratura de los elementos matriciales 106 5.1.1. Segmentación equidistante 106 5.1.2. Segmentación no-equidistante 108

5.2. Análisis de la estabilidad en función del número de segmentos 110 5.2.1. Segmentación equidistante 110 5.2.2. Segmentación no-equidistante 112

5.3. Análisis de la estabilidad en función del radio del conductor 114 5.3.1. Segmentación equidistante 114 5.3.2. Segmentación no-equidistante 116

5.4. Análisis de la condición de frontera sobre la superficie del conductor 117 5.4.1. Segmentación equidistante 118 5.4.2. Segmentación no-equidistante 120

5.5. Gráficas de distribución de corriente 121 5.6. Gráficas del patrón de radiación 123 5.7. Conclusiones del Capítulo V 124 Referencias 125

Capítulo VI. Conclusiones, Aportaciones y Trabajos Futuros 126 6.1. Conclusiones generales 127 6.2. Aportaciones 131

6.2.1. Representación vectorial de la geometría de la antena 131 6.2.2. Deducción de la ecuación de Pocklington en términos de la Teoría de Circuitos 132 6.2.3. Metodología para determinar las raíces de los polinomios de Legendre 132 6.2.4. Justificación del método de la cuadratura Gaussiana 132 6.2.5. Presentación del método de la segmentación no-equidistante 132 6.2.6. Análisis de la condición de frontera del campo eléctrico 133 6.2.7. Desarrollo de un programa para la solución del problema 133 6.2.8. Algoritmo para determinar el patrón de radiación 133

6.3. Trabajos futuros 134 Referencias 134

Anexos 135

Publicaciones generadas por esta Tesis 136


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Objetivo

El objetivo que logra esta Tesis es obtener soluciones numéricas a la ecuación integral de Pocklington generalizada, aplicada a antenas de alambre delgado de geometría arbitraria por medio del método de momentos, al considerar una segmentación no-equidistante basada en la manera no uniforme en que se distribuyen las raíces de los polinomios de Legendre en el dominio [ ]1,1− . Las soluciones conseguidas de esta forma evitan la aparición del fenómeno

de Runge-Borel y cuentan con el error numérico más pequeño posible, respecto a la bien conocida segmentación equidistante encontrada en toda la literatura del electromagnetismo computacional. Este tipo de segmentación no-equidistante no ha sido encontrado en publicaciones, artículos o libros especializados hasta este momento, razón por la cual el autor de esta Tesis considera que se trata de una aplicación original e innovadora de las raíces de los polinomios de Legendre. La segmentación no-equidistante presentada en este trabajo tiene por objetivo ampliar el ámbito de aplicación del método de momentos en la búsqueda de mejores soluciones numéricas. Otro objetivo afín a esta Tesis consiste en desarrollar un programa de cómputo que permita analizar las antenas por medio de la segmentación no-equidistante.


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Metas

El análisis de antenas por medio del método de momentos ha sido desarrollado durante casi 40 años, donde diversas técnicas reducen los tiempos de máquina, la memoria usada y mejoran los algoritmos de cálculo propios para cada aplicación. Cientos de trabajos y publicaciones se encuentran en las bibliotecas de las universidades, mostrando las virtudes del método. El trabajo que se presenta en esta Tesis exhibe las metas que conforman su contenido. La primera de ellas presenta el Estado del Arte de los trabajos más relevantes relacionados con el estudio de antenas. La segunda meta es presentar una forma diferente de analizar la ecuación de Pocklington basada en la Teoría de Circuitos, fundamentada en el trabajo de Aharoni. La tercera meta se asienta en presentar una metodología basada en el Análisis Vectorial para tratar la geometría de las antenas de manera más eficiente. Esta consiste en expresar tanto el eje del alambre como el filamento equivalente de corriente por medio de ecuaciones vectoriales parametrizadas respecto a su longitud de arco, lo cual permite expresar las características geométricas de cada antena por medio del vector tangente a cada curva. La cuarta meta consiste en introducir de manera formal el método de Bubnov-Krylov-Galerkin y sus diferentes técnicas, en términos de espacios lineales de funciones. La quinta meta radica en presentar un algoritmo original para calcular las raíces de los polinomios de Legendre, la cual tiene mejor desempeño que las funciones encontradas en programas como MATLAB. La sexta meta se encarga de presentar la metodología para dividir la antena de manera no-equidistante y, finalmente, la séptima meta consigue demostrar la efectividad de la segmentación no-equidistante al confirmar que la condición de frontera del campo eléctrico se satisface más adecuadamente con esta segmentación que con la equidistante, además de presentarse diversos análisis que apoyan esta afirmación. Paralela a estas metas existe una de desarrollar un programa basado en el lenguaje C++ que permita determinar la distribución de corriente en el alambre, como primera instancia.


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Justificación

El método de momentos y la ecuación de Pocklington forman una pareja única para el análisis de antenas, ya que con la introducción de las computadoras electrónicas en el ámbito del electromagnetismo, se han obtenido soluciones numéricas que concuerdan correctamente con el comportamiento medido experimentalmente en diversas antenas. Tales soluciones reflejan el verdadero comportamiento que tiene la distribución de corriente en el alambre de la antena, con lo cual se puede determinar su comportamiento eléctrico y calcular sus parámetros, como la impedancia de entrada, la ganancia, la directividad, el patrón de radiación, entre otros.

Tradicionalmente, el método de momentos divide el alambre en pequeños segmentos de igual longitud en los cuales se modela su distribución de corriente por medio de una función base definida solamente en tal segmento. La condición de frontera del campo eléctrico se fuerza a cumplirse en puntos discretos sobre el alambre, donde a cada segmento le corresponde uno de ellos. Esta técnica corresponde al método del ajuste de puntos, también conocida como acoplamiento puntual. Cuando la condición de frontera del campo eléctrico se fuerza a cumplirse en todo el segmento, se utiliza otro conjunto de funciones, conocidas como funciones peso o de prueba, con las cuales se toma el producto interno con la ecuación integral. El producto interno con cada función peso produce una ecuación, y el conjunto de estas forma una ecuación matricial que puede resolverse con las técnicas usuales del Álgebra Lineal. Existe un caso concreto, cuando el operador de la ecuación es auto-adjunto, donde el conjunto de funciones base es el mismo que el de las funciones peso, conocido como método de Galerkin, el cual resulta más difícil de implementar que la técnica del ajuste de puntos, debido a la integración requerida por el producto interno.

En la técnica del método de momentos, los segmentos siempre se han considerado de igual longitud, ya que no había por qué pensar en otra manera de construirlos, ya que una segmentación equidistante resulta ser trivial. Sin embargo, la segmentación equidistante produce soluciones inestables porque aparece el fenómeno de Runge-Borel en los datos interpolados. Esto resulta ser una desventaja para tal segmentación tan obvia. Para evitar que las soluciones sean inestables y mejorar su convergencia, para evitar el fenómeno de Runge-Borel y obtener más datos de corriente que los calculados, y para hacer cumplir más adecuadamente la condición de frontera del campo eléctrico se propone un método de segmentación no-equidistante para la construcción de los segmentos de la antena.

El método de momentos no limita la forma en que debe segmentarse la antena, simplemente exige que los segmentos sean colineales, para conservar la independencia lineal de las ecuaciones que forman la matriz. Por lo tanto, basándonos en la forma en que se distribuyen las raíces de Legendre, se propone en esta Tesis un método no-equidistante que ofrece todas las virtudes anteriores, además de ofrecer soluciones numéricas con el menor error posible, respecto a cualquier segmentación que pueda practicarse a la antena. De esta forma, el trabajo queda justificado por la innovación, el desarrollo y el análisis realizado, basado en la búsqueda de mejores soluciones para la ecuación de Pocklington.

Se desea que este trabajo y las publicaciones que ha generado, permitan profundizar en el futuro sobre las ventajas de aplicación de la ecuación de Pocklington y su solución por el método de momentos


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Índice de Figuras Capítulo I

Figura 1.1. a) Vectores de un segmento curvo. b) Función base en el segmento curvo. 24

Figura 1.2. Antena de lazo circular. 26 Capítulo II

Figura 2.1. Condiciones de frontera de las componentes tangenciales y normales. 40

Figura 2.2. Elemento infinitesimal lineal de corriente. 45 Figura 2.3. Fuente arbitraria de corriente. 47 Figura 2.4. Cargas oscilantes en los extremos del conductor debidas a F . 49 Figura 2.5. Líneas estacionarias de corriente. 53 Figura 2.6. Cálculo de la capacitancia mutua

klC . 53 Figura 2.7. Vectores asociados de un alambre delgado de geometría arbitraria. 55

Capítulo III

Figura 3.1. a) Dominio y rango del operador L . b) Norma mínima para la mejor representación de g . 68

Figura 3.2. Modelo del generador Delta-Gap aplicado a la antena. 77 Figura 3.3. a) Cálculo del campo lejano para el patrón de radiación de la antena.

b) Detalle geométrico de los vectores de posición. 80 Capítulo IV

Figura 4.1. Mapeo de coordenadas del eje ξ al eje x . 91 Figura 4.2. Fenómeno de Runge-Borel. 91 Figura 4.3. Polinomios de Legendre y Chebyshev. 92 Figura 4.4. Algoritmo para la localización de las raíces de Legendre. 94 Figura 4.5. Método de la burbuja para la ordenación de las raíces. 94 Figura 4.6. Segmentación equidistante del alambre de geometría arbitraria. 98 Figura 4.7. Segmentación no-equidistante en términos de las raíces de Legendre. 100

Capítulo V 5.1. Análisis de la estabilidad en función de las raíces de Legendre para la cuadratura de los elementos matriciales

Figura 5.1. Función peso delta de Dirac, segmentación equidistante. 106 Figura 5.2. Función peso pulsos, segmentación equidistante. 107 Figura 5.3. Función peso triángulos, segmentación equidistante. 107 Figura 5.4. Función peso pedazos senoides, segmentación equidistante. 107 Figura 5.5. Función peso delta de Dirac, segmentación no-equidistante. 108


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Figura 5.6. Función peso pulsos, segmentación no-equidistante. 108 Figura 5.7. Función peso triángulos, segmentación no-equidistante. 108 Figura 5.8. Función peso pedazos senoides, segmentación no-equidistante. 109

5.2. Análisis de la estabilidad en función del número de segmentos

Figura 5.9. Función peso deltas de Dirac, segmentación equidistante. 110 Figura 5.10. Función peso pulsos, segmentación equidistante. 111 Figura 5.11. Función peso triángulos, segmentación equidistante. 111 Figura 5.12. Función peso pedazos senoides, segmentación equidistante. 111 Figura 5.13. Función peso deltas de Dirac, segmentación no-equidistante. 112 Figura 5.14. Función peso pulsos, segmentación no-equidistante. 112 Figura 5.15. Función peso triángulos, segmentación no-equidistante. 112 Figura 5.16. Función peso pedazos senoidales, segmentación no-equidistante. 113

5.3. Análisis de la estabilidad en función del radio del conductor

Figura 5.17. Función peso deltas de Dirac, segmentación equidistante. 114 Figura 5.18. Función peso pulsos, segmentación equidistante. 115 Figura 5.19. Función peso triángulos, segmentación equidistante. 115 Figura 5.20. Función peso pedazos senoidales, segmentación equidistante. 115 Figura 5.21. Función peso deltas de Dirac, segmentación no-equidistante. 116 Figura 5.22. Función peso pulsos, segmentación no-equidistante. 116 Figura 5.23. Función peso triángulos, segmentación no-equidistante. 116 Figura 5.24. Función peso pedazo senoidal, segmentación no-equidistante. 117

5.4. Análisis de la condición de frontera sobre la superficie del conductor

Figura 5.25. Función peso delta de Dirac, segmentación equidistante. 118 Figura 5.26. Función peso pulsos, segmentación equidistante. 119 Figura 5.27. Función peso triángulos, segmentación equidistante. 119 Figura 5.28. Función peso pedazos senoidales, segmentación equidistante. 119 Figura 5.29. Función peso delta de Dirac, segmentación no-equidistante. 120 Figura 5.30. Función peso pulsos, segmentación no-equidistante. 120 Figura 5.31. Función peso triángulos, segmentación no-equidistante. 120 Figura 5.32. Función peso pedazos senoidales, segmentación no-equidistante. 121

5.5. Gráficas de distribución de corriente

Figura 5.33. Distribución de corriente en un dipolo eléctrico de 2L λ= . 122

Figura 5.34. Distribución de corriente en un dipolo eléctrico de L λ= . 122 Figura 5.35. Distribución de corriente en un dipolo eléctrico de 2L λ= . 122

5.6 Gráficas del patrón de radiación

Figura 5.36. Patrón de radiación de la antena dipolo para diferentes longitudes. 123

Índice de Tablas Capítulo V

Tabla 5.1. Raíces de Legendre necesarias para el cálculo de cuadraturas. 109 Tabla 5.2. Número de segmentos necesarios para alcanzar la convergencia 113


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Introducción

En el análisis numérico se denomina interpolación al procedimiento de construir nuevos puntos a partir de un conjunto discreto de puntos dados. En la ingeniería y las ciencias es común disponer de un cierto número de puntos a partir de un muestreo o un experimento con los que se desea construir una función que los ajuste, es decir, que pase por los puntos originales y con la cual puedan determinarse puntos que no fueron medidos o muestreados. Otro problema ligado a la interpolación es la aproximación de una función dada por una más sencilla, mediante la cual pueda simplificarse algún cálculo que requiera muchos pasos. Dentro de los tipos de interpolación polinomial, el más general es el esquema lagrangiano, en el cual dados n puntos 1 2, , , nx x x⋯ , se construye un polinomio interpolante ( )1Poln x− de

orden 1n− el cual ajusta en los valores muestreados ( ) ( ) ( )1 2, , , nf x f x f x⋯ :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 11

Pol , Pol , 1,2, , ,n

n k k n j jk

x f x p x x f x j n− −=

= = =∑ ⋯ (1)

donde la función ( )kp x se define por:

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ), , ,k n

k k k j jkk k k

x F xp x x p x

x x x

ϕϕ δ

ϕ= = =

− (2)

donde jkδ es la delta de Kronecker y ( )nF x es el polinomio fundamental expresado por:

( ) ( )( ) ( )1 2 .n nF x x x x x x x= − − −⋯ (3)

Cuando dos de los puntos de muestreo kx xα ε= + y kx xβ ε= − se aproximan tanto que

acaban colapsando, es decir, cuando 0ε → , el polinomio interpolante se convierte en:

( ) ( )( )

( )( ) ( ) ( )

( )( )

( )( )

2 1 21

2 21Pol 1 ,

3

nk k k

n kk k k k kk

F x F x f x F x f xx x x

F x F x F x x xx x−

=

′′′ ′= − − + ′′ ′′ ′′ −− ∑ (4)

Consideremos la función ( )f x que es la integral indefinida de una función dada ( )g x :

( ) ( ) ( ) ( ), .f x g x dx C f x g x′= + =∫ (5)

En este problema existen los valores dados ( )kg x que corresponden a ( )kf x′ , los cuales son

necesarios para una interpolación con puntos dobles, sin embargo existe el problema de que no conocemos los valores de ( )kf x necesarios para efectuarla. Podemos superar esto al

colocar los puntos kx en posiciones tales que sus pesos automáticamente se hagan cero, de

forma tal que la interpolación (o extrapolación) contiene sólo datos conocidos. Supongamos que queremos evaluar la integral definida:


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( ) ( ) ( ) ( )1

1

1 1 , 1 0 ,A g x dx f f f−

= = − − − =∫ (6)

donde se ha fijado una de las constantes de integración y considerar esta condición como un dato adicional a los datos kx ya dados. Esto significa que el polinomio fundamental ( )F x es

ahora de orden 2 1n+ porque hemos añadido un punto simple, 1x = − a los n puntos dobles

kx . El punto 1x = − es un punto simple ya que no tenemos razón para suponer que ( )f x′

deba conocerse en este punto, por lo tanto:

( ) ( ) ( )( ) ( ) 2

1 21 .nF x x x x x x x x= + − − − ⋯ (7)

Ahora, el factor de ( )f x que se hace cero demanda la siguiente condición:

( )

( )( )( ) ( ) ( )

( )( )( ) ( )2

2 1 11 0 , 1 0 .

3 3k k k

k kk k kk

F x F x f x F xx x x x

F x F x F xx x

′′′ ′′′− − = ⇒ − − = ′′ ′′ ′′−

(8)

No podemos satisfacer esta condición simultáneamente para varios valores de x , pero nuestro objetivo es obtener ( )1f , y de esta manera podemos identificar el valor de x con 1x = . La

condición (8) puede escribirse como:

( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )1 2

11 0 , ,

1k

k nk k

G xx x G x x x x x x x

x G x

′′− + − = = − − − ′+

… (9)

la cual evaluada en 1x = demanda que:

( ) ( ) ( )21 2 0 ,k k k kx G x x G x′′ ′− − = (10)

ya que ( ) 0kG x = podemos modificar (10) de la siguiente manera sin alterar la igualdad:

( ) ( ) ( )2

22

1 2 1 0 ,kx x

d dx x n n G x

dx dx=

− − + + =

(11)

El operador diferencial de ( )G x tiene la propiedad de que elimina la potencia nx y de

esta manera transforma un polinomio de orden n en uno de menor orden. Pero un polinomio de orden menor que n no puede hacerse cero en n puntos sin hacerlo idénticamente. Y de esta forma, la ecuación diferencial (11), que es la ecuación diferencial de Legendre, debe cumplirse para ( )G x no sólo en los puntos kx sino en cualquier lugar. Esto identifica a ( )G x

como proporcional al polinomio de Legendre de n -ésimo orden ( )nP x :

( ) ( ) ( )( )

2!

, 2 .2 !

nn n n

nG x c P x c

n= = (12)


- 13 -

Por lo tanto, los ceros de la cuadratura gaussiana son de esta forma identificados con los ceros del n -ésimo polinomio de Legendre. Finalmente, el problema de la cuadratura gaussiana queda expresado por la siguiente fórmula:

( ) ( )( ) ( )

2

221 1

2 1, ,

1

nk

k x kk n k

xA g k

n P xω ω

= +

−= =

+ ∑ (13)

donde kω son los pesos de la cuadratura. El método no se restringe únicamente a intervalos de

integración de [ ]1,1− , sino que puede usarse para intervalos de [ ],a b mediante un simple

mapeo de coordenadas

[ ], 1,1 .2 2

b a b ax ξ ξ+ −= + ∈ − (14)

El hecho de que una integración pueda implementarse como una suma, por medio de las

raíces de los polinomios de Legendre, motiva a realizar la segmentación no-equidistante de una antena de alambre delgado de geometría arbitraria, de acuerdo a cómo se distribuyen éstas. La forma de dividir la antena consiste en colocar una raíz en el centro de cada segmento. La manera de localizar los extremos de cada segmento una vez que se han colocado las raíces mapeadas ns′ es por medio de la siguiente relación: 1 02 , 0,1, , , 0 .n n nSeg s Seg n N Seg−= − = =⋯ (15)

En una antena de geometría arbitraria, Fig. 1, cuyo eje se describe por la ecuación

vectorial ( )sr y cuyo filamento equivalente de corriente se describe por la ecuación vectorial

( )s′ ′r , el campo eléctrico tangencial isE está expresado por medio de la ecuación de

Pocklington:

( ) ( )

( ) ( ) ( )( )( )0

2 2 2 2 25

1, ,

ˆ ˆ ˆ ˆ, 1 3 3 ,4

Lis

jkR

E K s s I s dsj

K s s R k R jkR jkR k RR

eωε

π

−

′ ′ ′= −

′ ′ ′= − − • + + − • •

∫

s s R s R s

(16)

donde ′= −R r r es el vector diferencia entre un punto en el eje y otro en el filamento equivalente de corriente ( )I s′ , s y ˆ′s son los vectores tangentes unitarios a las curvas r y

′r , parametrizadas respecto a su longitud de arco, k es el número de onda, ω es la frecuencia angular de la corriente y ε es la permitividad eléctrica del medio que rodea al alambre. Según el método de momentos, la corriente se expresa como una combinación lineal de N funciones base ( )ni s′ propuestas:

( ) ( ) ( ) ( ) [ ]1 1

1, , , 0, ,

n

N Ni

n n s n n nn n

I s c i s E c i s K s s ds Ljωε= = ∆

′ ′ ′ ′ ′= ⇒ = − ∆ ⊂∑ ∑ ∫ (17)

donde n∆ es el dominio de ni .


- 14 -

Para obtener el sistema de ecuaciones, se realiza el producto interno con el conjunto de N funciones peso mw :

( ) ( ) [ ]1

1, , 0, , 1,2, , ,

m m n

Ni

m s n m n mn

w E ds c w i s K s s ds ds L m Njωε =∆ ∆ ∆

′ ′ ′= − ∆ ⊂ =∑∫ ∫ ∫ ⋯ (18)

donde m∆ es el dominio de mw . De acuerdo a la cuadratura de gaussiana, las integrales se expresan como:

( ) ( ) ( )1 1 1

1, ,

4m

N M Pi m n

m s n i j m i n j i jn i j

w E ds c w s i s K s sj

ωυωε = = =∆

∆ ∆ ′ ′= − ∑ ∑∑∫ (19)

donde M y P son el número de raíces de Legendre usadas para efectuar la integración, is

son las raíces mapeadas en m∆ y iω son los pesos correspondientes, y js ′ son las raíces

mapeadas en n∆ y jυ son los pesos correspondientes. El sistema de ecuaciones (19) puede

escribirse en forma matricial como: ( ) [ ]( ) ,m mn nV Z C= (20)

donde ( )mV es el vector columna de voltajes. Cuando a la antena se le conecta un generador

delta-gap con fasor de voltaje V en el m -ésimo segmento, esta matriz toma la forma:

( )

1

2

1

2

0

.

0

m

N

is

is

mmm

iN s

w E ds

w E ds Vw dsV

w E ds

∆

∆

∆

∆

= = ∆

∫

∫∫

∫

⋮

⋮⋮

(21)

Figura 1. Antena de alambre delgado de geometría arbitraria.


- 15 -

Los elementos de la matriz de impedancia [ ]mnZ y la matriz de corriente se calculan con:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] 1

1 1

, , .4

M Pm n

mn i j m i n j i j n m mni j

Z w s i s K s s C V Zj

ωυωε

−

= =

∆ ∆ ′ ′= − =∑∑ (22)

Cabe recordar que los coeficientes calculados de las funciones base corresponden a los

centros de los segmentos, los cuales están colocados de manera no equidistante. Para obtener Q valores equidistantes de corriente sobre la estructura del alambre se realiza un proceso de interpolación lagrangiana con puntos simples, como se muestra a continuación:

( ) ( ) ( )( )1 1

'' , 1,2, , , ' ,

N Ni

n n ii n i i

q s LI q s c i s q Q s

s Q

ϕϕ= =

∆′∆ = = ∆ =

′∑∑ɶ ⋯ (23)

donde ( )'I q s∆ɶ es el polinomio interpolante de la corriente que determina su valor en el q -

ésimo punto equidistante de la antena; is′ son las N raíces de Legendre mapeadas en [ ]0,L

que sirvieron para dividir la antena de forma no equidistante, y la función auxiliar iϕ se

define en términos del polinomio fundamental ( )nF s′ como:

( ) ( ) ( )1

,N

ni j

jij i

F ss s s

s sϕ

=≠

′′ ′ ′= = −

′ ′− ∏ (24)

El trabajo que se presenta en esta Tesis está dividido en seis capítulos. En el Capítulo I,

se presenta un estudio del Estado del Arte en el electromagnetismo computacional y el método de momentos aplicado a la teoría de antenas. En el Capítulo II se presenta un análisis de las ecuaciones integrales en alambres delgados basado en la Teoría de Circuitos, teoría fundamental de la Ingeniería Eléctrica. Este enfoque, propuesto por Aharoni, le da significado físico a la ecuación integral, expresándola en términos de acoplamientos entre condensadores e inductores, elementos infinitesimales de circuito que conforman la antena. A continuación, el Capítulo III aborda el método de momentos, presentándolo en términos de espacios lineales de funciones, con el fin de mostrar las diferentes técnicas reunidas por Harrington, ampliamente usadas en la materia. Dentro de los métodos numéricos mostrados en esta Tesis se presenta el de la interpolación polinomial Lagrangiana con puntos simples y dobles. Este humilde concepto matemático es capaz de desarrollar un arsenal de herramientas tan poderosas como las transformadas integrales de Fourier y Laplace, la serie de Taylor e hipergeométrica, las ecuaciones diferenciales de Legendre, Chebyshev, Laguerre, etc., métodos de cuadratura, por sólo mencionar las más destacadas. En el Capítulo IV, a partir de la interpolación con puntos dobles se justifica el uso de las raíces de Legendre para el cálculo de cuadraturas y se presenta un algoritmo, original del autor de esta Tesis, para determinar todas las raíces de cualquier polinomio de Legendre. En este mismo capítulo se presenta y justifica la segmentación no-equidistante aplicada al método de momentos. En el Capítulo V se muestran resultados comparativos entre ambas segmentaciones, haciendo resaltar el hecho de que la no-equidistante resulta ser más eficiente y hace cumplir las condiciones de frontera del campo eléctrico de manera más adecuada que la equidistante. Finalmente, en el Capítulo VI se presentan las conclusiones generales, el trabajo a futuro y las aportaciones hechas con este humilde trabajo.


Capítulo I: Estado del Arte en Electromagnetismo Computacional

- 16 -

Capítulo I

Estado del Arte en Electromagnetismo

Computacional



- 17 -

Introducción

El electromagnetismo es una rama de la Física Clásica dedicada al estudio del campo electromagnético generado por una distribución de cargas eléctricas, la cual comprende tanto su distribución espacial como su variación temporal. El concepto matemático de campo ha sido muy generoso en el enfoque que el electromagnetismo le da a los fenómenos que estudia, ya que la formulación matemática se simplifica y hace resaltar las simetrías intrínsecas entre la electricidad y el magnetismo. En tiempos de Michael Faraday sólo se conocían tres fuerzas fundamentales en la Naturaleza, la eléctrica, la magnética y la gravitacional, las cuales se representan mediante leyes del inverso del cuadrado de la distancia. La ley de la gravitación universal fue deducida por Isaac Newton a partir de las leyes de Keppler, ésta establece que la fuerza es más intensa mientras tengan más masa los puntos materiales del sistema gravitacional, pero disminuye al aumentar la distancia entre éstos. Charles Coulomb obtuvo la ley de atracción de cargas eléctricas a partir de su célebre balanza de torsión. Biot y Savart, investigando la fuerza entre elementos de corriente, se dieron cuenta que la ley para el campo magnético era similar a aquellas encontradas por Newton y Coulomb para el campo gravitacional y el campo eléctrico, respectivamente. Posteriormente, las fuerzas eléctrica y magnética se fusionaron en una sola, la fuerza electromagnética, y aparecieron dos nuevas: La fuerza débil, responsable de la desintegración radiactiva de algunos núcleos atómicos y la fuerza fuerte, responsable de la formación de éstos a partir de neutrones y protones [1].

Gracias a los trabajos de Maxwell, el electromagnetismo pudo proporcionar respuestas sobre la naturaleza de la luz, y los experimentos de Hertz pudieron demostrar que las ondas de radio se propagan con la misma velocidad que la luz visible. De acuerdo al carácter ondulatorio de la luz se estableció también que el campo electromagnético se propaga como una onda; tanto el campo eléctrico como el magnético se entrelazan entre sí para crearla. Si uno de los dos desaparece, la onda no se propaga. La existencia de la onda electromagnética es una consecuencia del movimiento acelerado de la distribución de carga eléctrica; la radiación es la respuesta que se presenta ante un observador en movimiento relativo acelerado en un sistema de referencia con respecto a la distribución de carga. Si el movimiento no es acelerado sino uniforme, se presentarán separados el campo eléctrico y el magnético y la radiación no ocurrirá. Si entre el observador y la distribución de carga no existe movimiento relativo, el observador sólo registrará el campo eléctrico. Por lo tanto, toda la información de un sistema eléctrico depende de manera exclusiva de la distribución de carga eléctrica y del movimiento relativo acelerado, en otras palabras, la información depende de la distribución de corriente [2].

En términos prácticos, cualquier conductor que transporte una corriente variable en el tiempo radiará energía electromagnética. El efecto es más pronunciado cuando las dimensiones de los conductores son comparables con la longitud de onda de la corriente. Si el sistema ha sido diseñado ex profeso para funcionar como radiador, la radiación es un efecto esperado de las condiciones en la frontera en los conductores. Si el sistema no fue diseñado para esto, la radiación se considera una pérdida de energía. En términos generales, cualquier sistema que transporta energía electromagnética se conoce como línea de transmisión y si el sistema radía energía se conoce como antena [3].

Las antenas se pueden clasificar de acuerdo a la forma en que se construyen. Existen antenas lineales construidas a partir de alambres, y antenas planares elaboradas a partir de placas conductoras, grupos de alambres o dieléctricos. Las antenas lineales se construyen con alambres delgados, cuyas dimensiones son comparables con la longitud de onda, lo cual



- 18 -

simplifica considerablemente el análisis matemático. Estas son las que se analizan en esta Tesis. Anteriormente sólo se fabricaban antenas formadas por conductores rectos, pero actualmente se han investigado las propiedades geométricas de los conductores respecto a las características de radiación. De esta forma se tienen antenas de lazo circulares, dipolos doblados, antenas helicoidales, antenas espirales, antenas de cruz, entre otras [4]. Por lo tanto, se debe contar con un modelo matemático que tome en cuenta la geometría intrínseca de la antena. El modelo más general corresponde a las ecuaciones de Maxwell con sus apropiadas condiciones en la frontera. Otros modelos más simplificados son la ecuación de Hallén y la ecuación de Pocklington [5]. La primera es una ecuación para el potencial eléctrico y la segunda es para el campo eléctrico. Estos modelos se expresan en términos de ecuaciones integrales que en la mayoría de los casos son difíciles de resolver analíticamente, por lo cual siempre se busca una solución aproximada obtenida por métodos numéricos. El modelo usado en este trabajo será el de Pocklington [6]. 1.1. Estado del Arte: Electromagnetismo Computacional

Originalmente el análisis de las antenas se basaba en el estudio de las líneas de transmisión en corto circuito o en circuito abierto, donde la antena se consideraba una extensión final de estas. De esta forma se suponía que la distribución de corriente en la antena sería aproximada a la que existe en la línea de transmisión cerca del extremo final. Este análisis, meramente aproximado, llega a proporcionar respuestas adecuadas cuando la geometría de la antena no es complicada y cuando su longitud es múltiplo impar de 2λ , como por ejemplo, en dipolos [7]. Un detalle importante es que para poder considerar la antena como una extensión de la línea de transmisión, es necesario que exista un correcto acoplamiento de impedancias entre estas. Esto presupone conocer la impedancia de entrada de la antena, lo cual, sin duda, es tan complicado como conocer su distribución de corriente.

Posteriormente, el análisis de las antenas se centró en la medición de la distribución de corriente a lo largo de todos sus conductores, lo cual produjo una representación adecuada de la forma en que la corriente se distribuye en función de su geometría [8]. Las mediciones podían ser difíciles de realizar pero los resultados obtenidos fueron de mucha utilidad para los investigadores de los años 60. En esa época apareció un importante elemento de análisis para las antenas, las computadoras. Sólo las grandes universidades, empresas y bancos contaban con tales máquinas programables, capaces de realizar una gran cantidad de operaciones en un tiempo muy corto. Las computadoras permitieron implementar formulaciones numéricas para problemas científicos que no podían resolverse de forma directa por métodos analíticos. Generalmente estas formulaciones implicaban el cálculo de complicadas operaciones matemáticas que requerían gran cantidad de pasos y recursos de cálculo. Gracias a la programación de estas máquinas se produjeron resultados que popularizaron su uso.

De esta forma, las ecuaciones integrales para las antenas pudieron resolverse con gran exactitud gracias a un método numérico que reunía, organizaba y fundamentaba un gran conjunto de técnicas hasta ese entonces organizadas pobremente, el método de momentos. Roger Harrington en un esfuerzo por unificar estas técnicas formuló el método que desde entonces ha sido ampliamente usado en el análisis de problemas electromagnéticos [9]. El método, también conocido como método de Bubnov-Krylov-Galerkin, transforma la ecuación integral en una ecuación matricial capaz de resolverse con las técnicas estándar del álgebra lineal. El método se basa en las relaciones intrínsecas que existen entre un sistema de



- 19 -

ecuaciones lineales y las ecuaciones integrales. La convergencia del método tiende a aumentar frecuentemente cuando el número de ecuaciones e incógnitas aumenta. La exactitud conseguida es tan satisfactoria con respecto a las mediciones realizadas que el método pasa a formar la primera opción de análisis por los ingenieros en telecomunicaciones.

El método de momentos supone que la distribución de corriente puede representarse en términos de una combinación lineal de un conjunto de funciones propuestas, conocidas como funciones base; el objetivo es determinar los coeficientes de la expansión. Para encontrarlos se realiza el producto interno de la ecuación integral resultante con otro conjunto de funciones linealmente independientes, conocidas como funciones peso. Esto produce un sistema de ecuaciones lineales que puede resolverse con el método de Gauss-Jordan, por ejemplo. Existe un conjunto ilimitado de funciones base que puedan usarse, pero usualmente se clasifican en dos grupos: funciones base subdominio y de dominio completo. El dominio de definición de las primeras corresponde a una pequeña porción de la longitud de la antena. Para las segundas el dominio de definición equivale a toda la longitud del alambre. Las funciones subdominio más comunes son las triangulares, pedazos senoidales y pulsos, y las funciones de dominio completo más comunes son las senoidales, cosenoidales y algunos polinomios como los de Chebyshev, Legendre y Laguerre [10].

El uso de funciones subdominio puede interpretarse en que la antena fue dividida en pequeños segmentos los cuales usualmente tienen la misma longitud, aunque esto no es una condición necesaria. Si el número de segmentos es grande, entonces cada uno de ellos puede considerarse aproximadamente recto, y su distribución de corriente aproximadamente constante. En cada segmento, debido al producto interno con las funciones peso, se fuerzan las condiciones de frontera a cumplirse sobre la superficie del conductor, es decir, la componente tangencial del campo eléctrico total debe ser cero. Si las funciones peso corresponden a deltas de Dirac, las condiciones de frontera se cumplen solamente en el punto donde la delta tiene su centro, el cual generalmente (aunque no necesariamente) es el centro del mismo segmento. Respecto a la ecuación matricial, cada término se calcula a partir de una o varias integraciones que tienen que evaluarse por medio de técnicas de cuadraturas. La más eficiente es la de Gauss-Legendre ya que produce el menor error posible respecto a otras cuadraturas. Si se utilizan como funciones peso deltas de Dirac, se cuenta con la ventaja de que el número de integraciones se reduce en una unidad [11].

Los métodos de cuadratura producen la aproximación de una integral en términos de una suma finita de términos. Los primeros métodos de cuadratura se basaban en el Teorema Fundamental del Cálculo Integral, donde el resultado se expresa en términos de la suma de las áreas de los trapecios construidos debajo de la gráfica de la función. Las bases de todos ellos son iguales, lo que implica que para cubrir correctamente el área de la función se necesita un gran número de trapecios. Esto se refleja en el tiempo de máquina necesario para calcular la integral. Los otros métodos de cuadratura se basan en la interpolación del integrando que es aproximado por un polinomio que resulta fácil de integrar. El resultado es más exacto cuando el polinomio es más cercano al integrando. Los métodos de interpolación polinomial más adecuados a la cuadratura son los basados en las raíces de los polinomios de Legendre y Chebyshev. De esta forma se consiguen dos objetivos, reducir el tiempo de cálculo y reducir el error asociado en la integral [12].

La solución de la ecuación integral puede pensarse en términos de una cuadratura gaussiana. Las raíces de Legendre se mapean en toda la longitud de la antena y se calculan los pesos de la cuadratura. Cada uno de ellos se multiplica por el valor de la corriente evaluada en



- 20 -

la correspondiente raíz mapeada. Para determinar el valor de la corriente en los puntos de muestreo de la cuadratura, se necesita el método de momentos, que divide la antena en pequeños segmentos. Por lo tanto, ya que las raíces de Legendre no son equidistantes y como se necesita calcular la corriente en cada una de ellas, entonces los segmentos dejan de ser equidistantes, para que cada raíz se coloque en el centro de cada segmento.

El método de momentos no exige que los segmentos sean equidistantes, lo único que pide es que sean colineales y no se traslapen, para conservar la independencia lineal del sistema de ecuaciones. Por lo tanto, una segmentación no-equidistante propuesta a partir de la distribución de las raíces de Legendre resulta aceptable para el método de momentos. En esta segmentación, los extremos de cada segmento se calculan a partir de que cada raíz se coloca en el centro de cada uno de ellos. Existe otra forma alterna para dividir la antena que consiste en colocar las raíces en los extremos de los segmentos, pero al implementar esta opción no se consiguen adecuados resultados. El hecho de que se divida de acuerdo con las raíces de Legendre asegura que la solución de le ecuación integral tendrá el menor error posible. Esto por sí mismo constituye una gran ventaja respecto a la segmentación equidistante. La única dificultad aparente de este esquema de segmentación quizá consista en el cálculo de las raíces del polinomio, ya que no existe una fórmula analítica que las contenga, como es el caso de las raíces de los polinomios de Chebyshev, sin embargo, existen algoritmos basados en el método de Newton que permiten calcularlas y ordenarlas [13].

El esquema de segmentación no-equidistante propuesto en esta Tesis no ha sido encontrado en algún texto de la literatura especializada. Por esta razón, el autor de este trabajo considera que se trata de un tema original e innovador. Original porque hasta este momento siempre se ha encontrado el esquema de segmentación equidistante en todas las investigaciones del electromagnetismo computacional. Innovador porque se propone un uso alternativo a las raíces de los polinomios de Legendre, empleadas solamente en las técnicas del análisis numérico. En esta Tesis las raíces de Legendre aparecen de manera muy natural en la formulación del análisis electromagnético de la radiación emitida por la antena [14].

En los siguientes epígrafes se presentan algunos de los trabajos más significativos relacionados con el tema desarrollado en esta Tesis, que pueden considerarse que forman el Estado del Arte en el método de momentos y el Electromagnetismo Computacional. 1.2. El enfoque de Harrington

Harrington consigue su ecuación integral con la aplicación de las ecuaciones de Maxwell expresadas en términos de las funciones potenciales vectorial magnética A y escalar eléctrica Φ , que para el caso armónico se escriben como [15]:

( ) ( ) ( ) ( )1, ,

4 4

jkR jkR

v vdv dv

R R

e eρµπ πε

− −′ ′′ ′= Φ =∫∫∫ ∫∫∫

J r rA r r (1.1)

donde J es la densidad de corriente de conducción, ρ es la densidad de carga eléctrica y R es la distancia entre un punto fuente y uno de observación. Estas funciones satisfacen el teorema de Helmhöltz, por lo que el campo eléctrico queda expresado como: .jω= −∇Φ −E A (1.2)



- 21 -

Al hacer la sustitución de (1.1) en (1.2) y al aplicar la ecuación resultante a un alambre recto de longitud L que yace sobre el eje Z , se tiene que el campo eléctrico “impreso” es:

( ) ( )2

2

1,

4

L jkRiz

L

I zE j I z dz

j z z R

eωµωε π

−

−

′∂ ∂′ ′= − ′∂ ∂ ∫ (1.3)

donde ( )I z′ es la corriente eléctrica distribuida a lo largo del alambre.

1.3. El trabajo de Pocklington

Pocklington escribió su celebre trabajo en 1897 mientras investigaba la propagación de ondas eléctricas en alambres conductores [16]. Históricamente, el trabajo de Pocklington sirvió de base para el de Hallén y el de Harrington. El análisis supone que se trata de un conductor perfecto, de forma cilíndrica recta, cuyo radio es mucho menor que la longitud de onda de la corriente. Las ondas en el alambre satisfacen la siguiente ecuación diferencial:

2

22 2

1,

c t

∂∇ − =∂

FF 0 (1.4)

donde F es un vector normal a la superficie del alambre. La respuesta del problema consiste en formar una solución con suficiente generalidad por medio de una combinación lineal de soluciones más simples. Las constantes de proporcionalidad se deducen a partir de otra ecuación diferencial que se resuelve por medio de aproximaciones. La solución más simple, obtenida por Hertz, es la siguiente:

( )2 2 2

22

ˆ ˆ ˆ , ,j kr t

x y zkx z y z z R

e ω+ ∂ Π ∂ Π ∂ Π= + + + Π Π = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ F a a a (1.5)

donde k es el número de onda de la oscilación. Esta solución expresa que la fuerza eléctrica debida a una oscilación hertziana con el elemento ds como eje, se compone por dos fuerzas. La primera se relaciona con la función potencial s∂Π ∂ , y la segunda, paralela a ds, es 2k Π . Si se coloca un gran número de estos elementos consecutivamente para formar una curva, donde ds es un elemento diferencial de arco a los cuales se les atribuye una intensidad λ , se consigue un sistema de fuerzas que satisface la ecuación de propagación de la onda:

2 ˆ ,d

ds k dsds

λ λ= −∇ Π + Π∫ ∫F s (1.6)

donde s es un vector tangente a la curva. Esta es la solución general de la ecuación que puede resolverse aproximadamente al considerar un punto a una pequeña distancia ε de la curva:

2 ln ,j td dds

ds dseωλ λ εΠ = −∫ (1.7)

por lo tanto, de acuerdo a esta aproximación, la fuerza será el siguiente vector:



- 22 -

2 ˆ2 ln .j tdk

dseωλε λ = − ∇ −

F s (1.8)

La fuerza tangencial a lo largo del alambre debe de ser cero, de tal forma que el sistema de fuerzas sea una solución de (1.6), por lo tanto:

2

22

2ln 0 , .j t jksdk

dse eωλε λ λ

− + = ⇒ =

(1.9)

Esta ecuación implica que la onda se propaga con velocidad uniforme c y con amplitud

constante, lo cual corresponde a lo esperado para un conductor recto. Para obtener una mejor representación de la fuerza eléctrica es necesario hacer otra aproximación donde se considere que en cualquier punto tangencial al eje del conductor, ésta se obtiene como la suma de una cantidad finita más un término que contenga lnε . Supongamos que movemos la curva a través de una pequeña distancia proporcional a 2ε . El efecto es cambiar el valor de la componente tangencial en la sección transversal por una cantidad finita que varía como el coseno de algún ángulo azimutal y la paralela al eje del alambre por una cantidad proporcional a ε . Con tal cambio se puede eliminar la componente tangencial para la sección transversal, mientras la componente paralela es inalterada. Por lo tanto se puede continuar derivando la condición en la superficie de (1.6) al integrar a lo largo del eje del alambre:

2ˆ ˆ 0 .d

ds k dss ds

λ λ∂ Π + • Π =∂ ∫ ∫s s (1.10)

La ecuación anterior debe resolverse iterativamente, a menos que puedan hacerse simplificaciones que permitan tener una fórmula analítica para λ . La ecuación de Pocklington corresponde a la componente tangencial de la fuerza eléctrica:

2

22

.ds k dss

λ λ∂ Π= + Π∂∫ ∫F (1.11)

La ecuación de Pocklington [17] es deducida formalmente en el siguiente capítulo en

términos de elementos discretos de circuitos eléctricos, lo cual relaciona el kernel de la integral con una impedancia mutua debida al acoplamiento inductivo y capacitivo entre dos secciones diferenciales del conductor. Matemáticamente se expresa como:

( )2

21ˆ ˆ .

4

jkRiE I s k ds

j s s R

eωε π

− ∂′ ′ ′= − + • ′∂ ∂ ∫ s s (1.12)

1.4. El análisis de Hallén

Hallén analizó la distribución de corriente en alambres cilíndricos rectos por medio de los potenciales retardados. Él consigue una ecuación integral para la corriente eléctrica en términos del potencial eléctrico, donde se toma en cuenta la condición en la frontera sobre la superficie del conductor del campo eléctrico, cuya componente tangencial debe ser cero [18]:



- 23 -

( ) ( )21,S k

jωµε = + ∇ ∇ • = E r A A 0 (1.13)

donde Sr representa la superficie del conductor. Si se supone que el conductor es delgado y

que yace sobre el eje Z , entonces sólo se considera la componente zA del potencial

magnético vectorial, quedando la siguiente ecuación diferencial:

2

22

0 ,zz

d Ak A

dz+ = (1.14)

cuya solución consiste en la suma de dos funciones linealmente independientes:

( )

sen cos ,jkR

z

I zA B k z C kz dz

R

e−′′= − + = ∫ (1.15)

donde B y C son constantes de integración. La componente zA del potencial magnético

vectorial se expresa en términos de la corriente eléctrica. Si el conductor es excitado con una fuente de voltaje V , entonces se tiene que 02B V Z= , donde 0Z es la impedancia intrínseca

del medio, mientras que la constante C debe obtenerse en el proceso de la solución de (1.15) al considerar la condición de frontera en los extremos del alambre. Por lo tanto se tiene:

( )

0

cos sen ,2

jkRI z Vdz C kz k z

R Z

e−′′ = −∫ (1.16)

la cual es válida para conductores rectos. Para conductores de geometría arbitraria, existe una formulación análoga a (1.12) obtenida por Mei [19] que se expresa como:

( ) ( )2

0 0

ˆ ˆ ,4 4

s sjkR jkRisI s k d ds j E d A

s R R

e e ξ ωε ξ ξπ π

− − ∂′ ′ ′− • = + ′∂ ∫ ∫ ∫ξ s (1.17)

donde ξ es un vector unitario tangente a la curva, relacionado con la variable de integración ξ , que es una variable muda. El kernel de esta ecuación tiene la siguiente propiedad:

( ) ( ), , ,K s s K s ss s

∂ ∂′ ′= −′∂ ∂

(1.18)

razón por la cual se dice que el kernel es de ciclo cerrado. Este kernel es apropiado para estructuras simétricas, tales como dipolos, antenas circulares y helicoidales. Al desarrollar la integración de (1.17) se tiene la ecuación generalizada de Hallén:

( ) ( ) ( )0 0

cos sen ,sjkR

is

jI s ds C ks E k s d

R Z

e ξ ξ ξ−

′ ′ = − −∫ ∫ (1.19)

donde C es la constante de integración que debe calcularse a partir de las condiciones en la frontera en los extremos del conductor.



- 24 -

1.5. El método de Champagne: Segmentos curvos

El método de los segmentos curvos es una técnica basada en el método de momentos, el trabajo de Pocklington y Harrington, para modelar estructuras de geometría arbitraria [20]. Su modelo matemático es la Ecuación Integral del Campo Eléctrico (EFIE), la cual se presenta en términos de los potenciales retardados. La ecuación integral que resulta toma en cuenta las variaciones circunferenciales de la corriente; la condición de frontera del campo eléctrico se fuerza en toda la superficie del alambre. En esta técnica, cada segmento en que se divide el alambre se modela por medio de una ley cuadrática en donde se utilizan tres vectores de posición nr , 1 2n+r y 1n+r , Fig. 1.1. Cada segmento curvo se ajusta de manera más aproximada

a la forma del alambre que algún segmento lineal. Matemáticamente se define por:

( ) ( ) ( ) [ ]1 1 2

1 12 2 1 4 1 , 0,1 ,

2 2n n n nξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ+ + = − + − − + − ∈

r r r r (1.20)

donde ξ es el parámetro normalizado de la curva y 1,2, ,n N= ⋯ . Para encontrar la variación de la curva conforme aumenta ξ , se calcula el vector tangente a cada segmento es: ( ) ( ) ( ) ( )1 1 24 1 4 3 4 1 2 .n n n nξ ξ ξ ξ+ += − + − + −l r r r (1.21)

Figura 1.1. a) Vectores de un segmento curvo. b) Función base en el segmento curvo.

La longitud de arco de la curva se define como una función del parámetro normalizado ξ :

( ) ( ) ( )0

.n n n dξ

σ ξ ξ ξ ξ= •∫ l l (1.22)

El campo eléctrico radiado puede calcularse como una representación combinada del

potencial vectorial magnético ( )A r y el potencial escalar eléctrico ( )Φ r :

( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

( )

tan tan,

1, ,

4 2 4 2

i

jkR jkR

S

S S

j

dS dSa R j a R

e eω

µπ π πωε π

− −

= + ∇Φ

′ ′′ ′ ′= Φ = − ∇ • ′ ′

∫ ∫

E r A r r

I r I rA r r

r r

(1.23)

donde r se encuentra sobre la superficie del alambre y iE es el campo eléctrico “impreso”.



- 25 -

La corriente I se expresa como una combinación lineal de N funciones base ( )nΛ r :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1

, , .N N N

n n n n n nn n n

I I I= = =

≈ = Φ = Φ∑ ∑ ∑I r Λ r A r A r r r (1.24)

Si se considera el siguiente cambio de variable, [ ] [ ]1, 0,1 ,n nσ σ σ ξ−∈ → ∈ que realiza un

mapeo de σ a ξ , entonces los potenciales de la expansión (1.24) quedan como:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1

20 0

,8

jkR jkRn n

n n n

d dd d d d

R d R d

e eπ π

π π

σ ξ σ ξµ ϕ ξ ϕ ξπ ξ ξ

+ −− −+ −

− −

′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′= + ′ ′

∫ ∫ ∫ ∫A r Λ r Λ r (1.25)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1

20 0

1,

8

jkR jkRn n

S n S n

d dd d d d

j R d R d

e eπ π

π π

σ ξ σ ξϕ ξ ϕ ξ

π ωε ξ ξ

+ −− −+ −

− −

′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′Φ = − ∇ • + ∇ • ′ ′

∫ ∫ ∫ ∫r Λ r Λ r

donde d dσ ξ es el Jacobiano de la transformación. ( )nΛ r y su divergencia se definen por:

( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

ˆ , si ,, si ,

ˆ1 , si ,

0 , en otro lado ., en otro lado ,

n n n

nnn n n n S n

S dS

dS

ξ ξ ξσ ξξ ξ

+ + +

±±− − −

= ∈ ± ∈ = = − ∈ ∇ • =

Λ r l rr

Λ r Λ r l r Λ r

0

(1.26)

El signo + identifica el segmento en el cual ( )nΛ r tiene una pendiente positiva y el signo −

identifica al de la pendiente negativa. Al sustituir (1.26) en (1.25):

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 1

0 0

1 1

0 0

, 1 , ,4

1, , ,

4

n n n

n n n

d d

d dj

µ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξπ

ξ ξ ξ ξ ξ ξπωε

+ − + −

+ − + −

′ ′ ′ ′ ′ ′= + = + −

′ ′ ′ ′Φ = Φ + Φ = − −

∫ ∫

∫ ∫

A r A r A r K K

r r r k k

(1.27)

donde ( ),ξ ξ± ′K y ( ),ξ ξ+ ′k son los kerneles del alambre con segmentos curvos:

( ) ( ) ( ) ( )1 1ˆ, , , .2 2

jkR jkRn

n

dd d

d R R

e eπ π

π π

σ ξξ ξ ξ ϕ ξ ξ ϕ

ξ π π

± − −± ± ±

− −

′ ′ ′ ′ ′ ′= = ′

∫ ∫K l k (1.28)

Para calcular los coeficientes de la expansión de corriente se utiliza el método de Galerkin en la ecuación (1.23), donde las funciones peso son ( )mΛ r . El producto interno es:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1

1 1 11

,m m m

m m m

Ni

m n n m n mn

d I j d dσ σ σ

σ σ σ

σ ω σ σ+ + +

− − −=

• = • + ∇Φ •

∑∫ ∫ ∫E Λ r A r Λ r r Λ r (1.29)

donde 1,2, ,m N= ⋯ , el cual forma un sistema de N ecuaciones con N incógnitas. El primer término del lado derecho de (1.29) se expresaría como:



- 26 -

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1

0 0

ˆ ˆ1 .m mAmn m n m n

d dZ j d d

d d

σ ξ σ ξω ξ ξ ξ ξ ξ ξ

ξ ξ

+ −+ −

= • + − • ∫ ∫l A r l A r (1.30)

El segundo término del lado derecho de (1.29) quedaría como:

( ) ( ) ( )1

1

1 1

0 0

.m

m

nmn m n n

dZ d d d

d

σ

σ

σ ξ ξσ

+

−

Φ − +Φ= Λ = Φ − Φ∫ ∫ ∫r r r (1.31)

El lado izquierdo de la ecuación (1.29) corresponde a los elementos de la matriz de voltajes:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1

0 0

ˆ ˆ1 .m mi im m m

d dV d d

d d

σ ξ σ ξξ ξ ξ ξ ξ ξ

ξ ξ

+ −+ −= • + − •∫ ∫l E l E (1.32)

Finalmente, el sistema de ecuaciones queda como: [ ]( ) ( ) , .A

mn n n mn mn mnZ I V Z Z ZΦ= = + (1.33)

Aunque el método toma en cuenta la variación circunferencial de la corriente, su

implementación computacional es complicada, debido a las integraciones que se realizan para calcular los elementos (1.33). El método propuesto en esta Tesis reduce considerablemente los recursos de cómputo y el tiempo de máquina utilizados para una exactitud semejante [21]. 1.6. El enfoque de King: Análisis de Fourier en Antenas de Lazo Circulares

La antena de lazo circular consiste en un anillo perfectamente conductor excitado por un generador Delta Gap en 0ϕ = , Fig. 1.2. Para esta antena 2 2a b≪ , que equivale a 1ka ≪ . La

ecuación integral para la corriente ( )I ϕ puede obtenerse de la ecuación en la frontera sobre

la superficie del alambre [22]:

( )0

0

0 , 0 ,.

, 0 ,

eeV

E E bd Vb

π

ϕ ϕπ

ϕδ ϕϕ

ϕ −

≠= − = = −∞ =

∫ (1.34)

Figura 1.2. Antena de lazo circular.



- 27 -

A continuación se define la relación de potenciales retardados para el campo eléctrico en coordenadas cilíndricas. Ya que el radio del conductor es pequeño y debido a la idealización del generador Delta Gap, el campo eléctrico sólo debe tener variaciones en ϕ :

( )0 1

.eV

j Ab ϕ

δ ϕω

ρ ϕ∂Φ= +∂

(1.35)

De acuerdo a la ecuación de continuidad, los potenciales retardados se definen por:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )0

0

0

22

2

1, cos ,

4 4

1, 4sen , 2 sen .

2 2 2

jk bR

IW d A I W d

j b

AW d R A a

R b

e

π π

ϕπ π

π

π

ϕ µϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕπωε ϕ π

ϕ ϕ ψϕ ϕ ψπ

− −

−

−

′∂− ′ ′ ′ ′ ′ ′Φ = − = − −′∂

′− ′− = = + =

∫ ∫

∫

(1.36)

Al sustituir (1.36) en (1.35) se tiene una ecuación integral:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

00 0 2

0

1, cos ,

4e j

V M I d M k b Wk b

π

π

ζδ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕπ ϕ−

∂′ ′ ′ ′ ′ ′= − − = − + − ∂ ∫ (1.37)

donde 0 0 0ζ µ ε= es la impedancia intrínseca del medio. Una solución de la ecuación

integral puede obtenerse en forma de una expansión en serie. Esto se consigue al desarrollar tanto el kernel como la corriente con una serie de Fourier:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

, ,

1 1, .

2 2

jm jnm n

jm jnm n

W K I I

K W d I I d

e e

e e

ϕ ϕ ϕ

π πϕ ϕ ϕ

π π

ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕπ π

∞ ∞′− − ′−

−∞ −∞

′− ′±

− −

′ ′− = =

′ ′ ′= − =

∑ ∑

∫ ∫ (1.38)

Al sustituir (1.38) en (1.37) se tiene que:

( ) ( ) ( ) ( )2

01 1

0

.2

jm jmm m m m

k b mM K K K a

k be eϕ ϕ ϕ ϕϕ ϕ

∞ ∞′ ′− − − −

− +−∞ −∞

′− = + − =

∑ ∑ (1.39)

Al sustituir (1.39) en (1.37) resulta:

( ) ( )0 00 .

4 2e jn jn jn

n n n

j jV a I d a Ie e e

πϕ ϕ ϕ

π

ζ ζδ ϕ ϕ ϕπ

∞ ∞′− −

−∞ −∞−

′ ′= =∑ ∑∫ (1.40)

Esta es una serie de Fourier con los coeficientes 0 2n nj a Iζ . Estos pueden ser evaluados

de la manera usual, pero la función delta de Dirac permite un resultado más simple:

( )0 0 00

0

1, .

2 2 2

e ee jnn n

nn

j a I V jVV d I

ae

πϕ

π

ζ δ ϕ ϕπ π ζ π−

= = ⇒ = −∫ (1.41)



- 28 -

Por lo tanto, la serie de Fourier que representa la corriente es:

( ) 0

10 0

1 cos2 .

e

n

jV nI

a a

ϕϕζ π

∞ ′ = − +

∑ (1.42)

A pesar de que la distribución de corriente se expresa de manera tan simple, la evaluación de los coeficientes na implica una gran dificultad computacional, ya que:

( )02

01 1 2

0

1, .

2 4

jk bR jn

n n n n n

k b na K K K K d d

k b R

e eπ π θ

π π

ψ θπ

−

+ −− −

= + − = ∫ ∫ (1.43)

La evaluación de nK ha sido la mayor dificultad en la solución del problema de la

antena circular. La solución analítica para los coeficientes nK es:

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

02

0 0 2 2

0

11

0 0

1 1,

2

12 2 1 ln 4 , sen sen ,

k b

n n n n

n

n mm

na naK C x jJ x dx

b b

C m n x x m dπ

π

γ θ θ θπ

±

−−

=

= + − Ω +

= − + + Ω = −

∫

∑ ∫

K J

(1.44)

donde 0.5772γ = ⋯ es la constante de Euler-Mascheroni, mΩ es la función de Lommel-

Weber, 0J es la función modificada de Bessel de primer tipo, 0K es la función modificada de

Bessel de segundo tipo, y 2nJ es la función de Bessel de primer tipo. El número de funciones

que deben de calcularse para cada nK representa un gran reto computacional, razón por lo cual se suele usar una representación aproximada. Además de esto, la evaluación de las integrales dadas en (1.44) tienen que realizarse numéricamente. Todo esto hace el método de Fourier difícil de implementar computacionalmente. El método propuesto en esta Tesis evita estas complicaciones, proporcionando una solución computacional más fácil de implementar, donde se optimizan los recursos de cómputo y se consigue una exactitud similar [23]. 1.7. El trabajo de Burke y Poggio: Programa NEC

El código NEC (Numerical Electromagnetic Code) fue desarrollado por G. J. Burke y A. J. Poggio en el Laboratorio Lawrence Livermore durante los años 70 para modelar la respuesta electromagnética de antenas y otras estructuras metálicas por medio de la solución de ecuaciones integrales mediante el método de momentos [24]. El código combina una ecuación integral para superficies suaves y otra para alambres, lo cual le da versatilidad para modelar diferentes estructuras radiantes. La ecuación integral para alambres se deduce a partir de la EFIE (Electric Field Integral Equation) la cual fuerza la condición de frontera del campo eléctrico sobre la superficie de este:

( ) ( )2

2ˆ ˆ ˆ ,4

jkI

L

jI s k ds

k s s

eηπ

′− − ∂′ ′ ′− • = − • − ′ ′∂ ∂ − ∫

r r

s E r s sr r

(1.45)



- 29 -

donde η es la impedancia intrínseca del vacío. Para las placas conductoras, la ecuación integral se obtiene a partir de la MFIE (Magnetic Field Integral Equation) donde se fuerza la condición de frontera del campo magnético sobre la superficie:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0

0 0 0 00

1 1ˆ ˆ ,

2 4

jkI

S S

S

dAe

π

′− − ′ ′ ′− × = − + × ×∇ ′−

∫r r

n r H r J r n r J rr r

(1.46)

donde n es un vector normal a la superficie, SJ es la densidad superficial de corriente y 0r es un punto en la superficie. Para la ecuación (1.45), su solución con el método de momentos utiliza la siguiente función de expansión: ( ) ( ) ( )sen cos , 2 ,n n n n n n n nI s A B k s s C k s s s s= + − + − − < ∆ (1.47)

donde ns es el valor en el centro del segmento n∆ . De las constantes nA , nB y nC , dos de ellas se eliminan por condiciones locales de la continuidad de la carga eléctrica en la interfase entre dos segmentos, quedando sólo una que se determina por la ecuación matricial resultante. Si los dos segmentos tienen el mismo radio, la ecuación de continuidad establece que:

.I

j qs

ω∂ = −∂

(1.48)

Si a un segmento se le unen otros más, la Ley de Kirchhoff de corrientes establece que en la unión, la corriente total es cero. Por lo tanto, la ecuación de continuidad quedaría como:

en la unión

,2

lns

I Q

ska

γ

∂ =∂ −

(1.49)

donde Q es la carga total en la vecindad de la unión y a es el radio del conductor.

El código NEC ha ganado mucha popularidad desde su aparición, por lo que han aparecido diferentes versiones. Desde la original, basada en tarjetas perforadas para las computadoras de los años 70, hasta las más recientes basadas en instrucciones de 16 y 32 bits para computadoras personales. Durante mucho tiempo NEC fue la única herramienta usada por ingenieros para modelar antenas ya que además de calcular la distribución de corriente, determina el patrón de radiación y otros parámetros como la impedancia de entrada. En las versiones de 16 bits el único limitante era la memoria, ya que había un valor máximo de 1 MB que podía direccionar el microprocesador. Esto limitaba el número de segmentos en que se dividía la antena y por lo tanto la exactitud del resultado. Las versiones de 32 bits no cuentan con problemas de memoria, ya que el microprocesador trabaja en modo protegido, por lo que en teoría el programa puede usar toda la memoria de la computadora. Las últimas versiones cuentan con interfases gráficas de usuario lo cual facilita su uso, llegando a ser prácticamente intuitivo. Las interfases muestran la configuración de los alambres y las superficies metálicas en una vista tridimensional, así como gráficas de la distribución de corriente y del patrón de radiación. La gran desventaja de NEC radica en que los alambres de geometría arbitraria deben modelarse a partir de segmentos rectos, con lo cual no se representa correctamente la estructura original.



- 30 -

Para el caso de las antenas de alambre, el método propuesto en esta Tesis no precisa representar la antena como una sucesión de segmentos rectos, como lo hace NEC, sino que por medio de una ecuación vectorial que describe el eje del alambre y al filamento equivalente de corriente, se consigue caracterizar la geometría de la antena, lo cual facilita su desarrollo computacional. Otra de las ventajas del método propuesto es la ecuación integral usada, la cual se resuelve con una expansión de funciones que no requieren evaluar la condición de continuidad de carga eléctrica en la interfase de los segmentos. La representación vectorial de la antena es otra de las aportaciones hechas por el autor de esta Tesis. 1.8. Análisis de Butler y Wilton

En este trabajo se analiza el desempeño de las ecuaciones de Hallén y Pocklington para las funciones base trigonométrica, pedazo senoidal y pulso, en conductores delgados rectos que actúan como radiadores, por medio del método de momentos [25]. El trabajo aborda siete combinaciones entre las funciones base y las ecuaciones integrales, donde se normalizan los resultados respecto a los obtenidos con el procedimiento de Galerkin-senoidal, para 31 segmentos y se grafican en función de N . Butler y Wilton subrayan que para calcular las constantes para la función trigonométrica se necesita incrementar el número de ecuaciones ó resolver una ecuación auxiliar en diferencias finitas.

El trabajo se centra en conductores de radios 0.001a λ= y 0.0001a λ= con longitudes

de 2L λ= y L λ= . Butler y Wilton concluyen que la ecuación de Pocklington converge pobremente con la técnica del ajuste de puntos para pedazos senoidales, ya que el campo varía rápidamente en la unión de los segmentos debido a la discontinuidad de la derivada de la corriente. La convergencia se mejora notablemente con el método de Galerkin para pedazos senoidales, aunque esto significa una integración extra para el producto interno de la función peso.

Cuando se analiza la función peso trigonométrica, forzando a que la derivada de la corriente sea continua en la interfase de los segmentos, se mejora la convergencia de la solución ya que se evitan las singularidades. Otro análisis se realiza a la ecuación de Hallén con la técnica del ajuste de puntos usando funciones base pulso. Ya que en esta ecuación no existen derivadas, la solución es más independiente a la discontinuidad entre los segmentos. Butler y Wilton concluyen que para una correcta convergencia de la solución de la ecuación de Pocklington, se deben suprimir o suavizar las discontinuidades en la aproximación de la corriente y su derivada en la unión de los segmentos. 1.9. El trabajo de Tapan Sarkar et al

En este trabajo se analiza la estabilidad numérica de la técnica del ajuste de puntos, del método de Galerkin y del de mínimos cuadrados, así como se plantean los requisitos formales que deben cumplir las funciones base en el método de momentos [26]. Las funciones base deben encontrarse en el dominio del operador y satisfacer sus condiciones de frontera y de diferenciabilidad, para el caso de operadores integro-diferenciales. También, el conjunto de funciones base debe formar un conjunto completo en el dominio del operador.



- 31 -

La técnica del ajuste de puntos utiliza como función peso la delta de Dirac, lo cual reduce el trabajo numérico. Sin embargo, es poco exacta y es difícil conocer a priori los lugares donde colocar las deltas. Para mejorar el desempeño se propone aumentar el número de segmentos y reducir el grado del polinomio en cada uno de ellos. Tapan Sarkar recomienda que, por formalidad matemática, no debe usarse el método de Galerkin en el operador de Pocklington ya que es no auto-adjunto, sin embargo, en un plano práctico, los resultados que se consiguen concuerdan correctamente con los esperados. Una consecuencia de un operador auto-adjunto, es que en el método de Galerkin el conjunto de funciones base es el mismo que el de las funciones peso.

En el método de los mínimos cuadrados las funciones peso ( )nfL deben formar un

conjunto completo, de tal forma que g se encuentre en el dominio del operador adjunto. Para encontrar los coeficientes de la expansión se necesita minimizar la siguiente norma:

( )2

1

.N

n nn

f gα=

−∑ L (1.50)

Este método es de los más seguros numérica y matemáticamente cuando no se cuenta con información sobre la naturaleza del operador y de la solución exacta. 1.10. Análisis de D. H. Werner et al: Aislamiento de singularidades

Existe en la ecuación de Pocklington una singularidad presente en el kernel que ocurre cuando ′→r r . Aunque la ecuación se deduce para alambres delgados, su singularidad evita que el radio del conductor tienda a cero indefinidamente. La propuesta de Werner consiste en aislar del kernel la singularidad [27], de tal forma que el kernel modificado que se consigue se comporta adecuadamente en algunas técnicas numéricas cuando 0R→ . Para un alambre recto, el kernel puede reducirse como [28]:

( ) ( )( ) ( )22 2 25

1 2 3 , .jkR

K z,z jkR R a kaR R z z aR

e−

′ ′= + − + = − + (1.51)

En el límite cuado 0a → para z z′= ocurre una singularidad de tercer orden. Para extraerla, el kernel se expresa como: ( ) ( ) ( ) ( ) ,S SK z,z K z,z K z,z K z,z′ ′ ′ ′= − + (1.52)

donde SK corresponde a la parte singular y el término entre corchetes es una función que

varía suavemente. Al hacer un desarrollo en serie de Taylor de la función exponencial con cinco términos, el corchete se puede expresar como:

( ) ( ) ( )( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

22 2

5

2 2 22

5

1 1 2 3

2 2 2 3 2,

jkR

S

jkR jkR R a kaRK z,z K z,z

R

R ka kR j kR ka

R

e− + − + − +′ ′− =

+ − + +

(1.53)



- 32 -

el cual representa a una función que varía lentamente y que satisface el siguiente límite:

( ) ( )

30

2lim .

3S

R

K z,z K z,zj

k→

′ ′−= − (1.54)

Con este desarrollo, los elementos de auto-impedancia de la matriz de impedancias, para

la técnica del ajuste de puntos con funciones base pulsos, pueden expresarse como:

( ) ( ) ( )

( )( )

02 22 2

2022

0 02

2 20

2

2 2 2 20

44 6 3

22 1 ln 1 ,

2 4 2

, , 2 ,

jkR

nn

kh khj dZ k dz ka

dz R

kakh h r h k hrj

a r kr

R z a r h a h

e ηπωε π

ηπ

∆ −

−∆

∆ ′= + ≈ − −

+ + − − + −

′= + = + = ∆

∫

(1.55)

donde ∆ es la longitud del segmento. De esta forma, se obtiene una integración más suave. 1.11. La propuesta de Tetriakov Y., Pan G

Recientemente se han usado wavelets como funciones base en el método de momentos, debido a las rápidas propiedades de convergencia de la transformación Malvar (coseno suave local, SCL), propuesto por Tetriakov y Pan [29], la cual es útil para caracterizar radiadores eléctricamente grandes, donde el kernel se comporta de forma oscilatoria. En este trabajo se comparan los resultados obtenidos con los de los métodos estándar. Los sistemas trigonométricos localmente suaves (SLT), propuestos por Malvar, Coifman y Meyer, son funciones trigonométricas multiplicadas por una ventana en forma de campana suavizada, que forman una base ortogonal en 2L . De igual forma que las wavelets, los sistemas SLT construyen sus funciones base por medio de la traslación y expansión de funciones simples.

Las wavelets encuentran muchas aplicaciones en la solución de ecuaciones integrales, con lo cual se obtienen escasas matrices de impedancia. Esto es debido a sus características de ortogonalidad, análisis de multiresolución y que los momentos se hacen cero. Sin embargo, a pesar de estas ventajas, las wavelets, definidas en todo el eje real, tienen que restringirse a un dominio o intervalo finito para los problemas prácticos del electromagnetismo. En esta propuesta se aplica la transformación Malvar a un radiador delgado, el cual se divide en segmentos, donde cada función base se superpone a las de los segmentos contiguos para formar una solución continua.

El procedimiento de Tetriakov consiste en hacer un mapeo del alambre de forma arbitraria a intervalos rectos, los cuales se dividen en subintervalos , 0,1, , 1jI j M= −⋯ . A

continuación se definen jN funciones SCL en cada j -ésimo subintervalo para formar una

expansión de la corriente en el alambre:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )11

, , ,0 0

2 1, cos ,

2

jNM

j k j k j k j jj k j j

I s q s s b s k sI I

πψ ψ α−−

= =

= = + −

∑∑ (1.56)



- 33 -

donde ( )jb s es la ventana con forma de campana e 1,j j jI α α + = es la longitud del

subintervalo. Los coeficientes de la expansión se determinan por medio del método de Galerkin, por lo que las funciones peso corresponden también a ,j kψ . De esta forma, los

elementos de la matriz de impedancia se calculan con la siguiente integración doble:

( ) ( ) ( ), , ,, ,j jk jN k j N j k j kA K s s s s ds dsψ ψ

′′ ′ ′ ′+ + ′ ′ ′= ∫∫ (1.57)

donde ( ),K s s′ es el kernel de la ecuación de Pocklington. Los autores comparan la solución

de la técnica del ajuste de puntos con funciones base pulso, con la del método de Galerkin usando wavelets para un dipolo de L λ= y 0.0135a λ= . Los resultados que se consiguen tienen una diferencia del 2%, con una ganancia en el tiempo de cómputo de hasta 15 veces con respecto al acoplamiento puntual. 1.12. Diversos trabajos

El método de momentos y las ecuaciones integrales han sido aplicados por diferentes investigadores para determinar la distribución de corriente en las antenas. Las aplicaciones no consisten solamente en antenas de alambre delgado, sino también antenas gruesas, líneas de transmisión de par torcido [30], efectos disipativos entre la tierra y la antena [31], antenas planares [32] y líneas de microcinta [33], por sólo mencionar algunas. Otras líneas de investigación se centran en el procedimiento numérico en sí mismo, donde se intenta reducir los tiempos y recursos de cómputo, por medio de diferentes técnicas para resolver la ecuación matricial. Por ejemplo, Kluskens definió un algoritmo para simplificar la solución de la ecuación integral [34]. 1.13. Conclusiones del Capítulo I

Desde los trabajos pioneros de Hertz y Pocklington, la investigación en antenas se ha centrado en determinar su distribución de corriente. A lo largo de los años se ha mostrado la incapacidad de contar con soluciones analíticas debido a la complejidad de las ecuaciones integrales que modelan las estructuras radiantes. Por esta razón la investigación en antenas se basa en encontrar soluciones y métodos numéricos para cada tipo de problema. Las principales técnicas numéricas son el método de momentos y el método de diferencias finitas en el dominio del tiempo. La primera está mejor adaptada a resolver ecuaciones integrales mientras que la segunda fue diseñada ex profeso para ecuaciones diferenciales. A partir de esta base teórica se han analizado diversos tipos de antenas para determinar sus parámetros eléctricos. Los objetivos que se persiguen en el diseño de antenas se centran principalmente en sus características de radiación: Patrón de radiación, ganancia directiva, lóbulos principales y secundarios, ancho efectivo del haz, etc. De aquí surge la necesidad de contar con herramientas confiables para caracterizar a las antenas.



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En este capítulo se presenta una recopilación de los trabajos que el autor de esta Tesis considera más destacados para los propósitos de ésta. Estos trabajos toman como modelo matemático la ecuación de Pocklington y la ecuación EFIE, resolviéndolas con el método de momentos, que ha sido una herramienta sumamente poderosa para el electromagnetismo computacional, debido a que transforma las ecuaciones operador en ecuaciones matriciales más fáciles de resolver. Cualquier técnica numérica debe establecer criterios de convergencia, ofrecer pruebas del balance de energía (la energía entregada a la antena debe ser igual a la energía radiada más la energía perdida), ofrecer reciprocidad al intercambiar los puntos fuente con los puntos de observación, y satisfacer las condiciones de frontera del problema, como son las de los extremos finales de la antena y la condición del campo eléctrico sobre su superficie. Referencias [1] Robert Eisberg, Robert Resnick, Física Cuántica, Átomos, Moléculas, Sólidos, Núcleos y Partículas. Editorial Limusa. México D. F. 2000. [2] Marcelo Alonso, Edward J. Finn, Física Vol. II Campos y Ondas. Addison Wesley Longman. México D. F. 1998. [3] Jorge Sosa Pedroza, Lizbeth Ortega Lara, Líneas de Transmisión y Guías de Onda. Editorial Limusa, México D. F. 1994. [4] Andrés Lucas-Bravo, Jorge Sosa-Pedroza, Víctor Barrera-Figueroa, “Caracterización y Análisis De Una Antena de Cruz” en: Memorias del 8º Congreso Nacional de Ingeniería Electromagnética y de Sistemas, México D. F., Noviembre 2004. [5] Hisamatsu Nakano, Helical and Spiral Antennas, A Numerical Approach. Jhon Wiley & Sons, Inc. United Kingdom 1987. [6] S. A. Schelkunoff, Advanced Antenna Theory, John Wiley & Sons, Inc. N. Y. 1952. [7] E. C. Jordan, Ondas Electromagnéticas y Sistemas Radiantes, Paraninfo, Madrid 1973. [8] John D. Krauss, Ronald J. Marhefka, Antennas For All Applications. McGraw Hill, 3rd edition. New York 2002. [9] Roger F. Harrington, “Matrix Methods for Field Problems” in: Proceedings of the IEEE, Feb. 1967, Vol. 5, No. 2, p.p. 136-149. [10] Roger F. Harrington, Field Computations By Moment Method. Robert E. Krieger Publishing Company, Inc. 1986, Florida USA. [11] Richard C. Booton, Computational Methods for Electromagnetics and Microwaves. John Wiley & Sons, Inc. New York 1992. [12] Margarita Suárez Alonso, Matemática Numérica. IPN-Ministerio Superior de Cuba, 1997, México D.F.



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[13] Víctor Barrera-Figueroa, Jorge Sosa-Pedroza, José Luis López-Bonilla, “Multiple root finder algorithm for Legendre and Chebyshev polynomials via Newton’s method” in: Annales Mathematicae et Informaticae, 33 (2006) p.p. 3-13. [14] Víctor Barrera-Figueroa, Jorge Sosa-Pedroza, José Luis López-Bonilla, “Segmentación no-equidistante de antenas delgadas de geometría arbitraria por medio del uso de las raíces de los polinomios de Legendre” en: Memorias del 9º Congreso Nacional de Ingeniería Electromagnética y de Sistemas, México D. F., Noviembre 2006. [15] K. Fong Lee, Principles of Antenna Theory, John Wiley & Sons, Inc. New York 1984. [16] H. C. Pocklington, “Electrical Oscillations in Wires”, in: Cambridge Phil. Soc. Proc. 9, October 1897. p.p. 324-332, London England. [17] Jorge Sosa-Pedroza, José Luis López-Bonilla, Víctor Barrera-Figueroa, “La ecuación generalizada de Pocklington para antenas de alambre de forma arbitraria”, en: Científica, Vol. 9, No. 2, 2005, p.p. 83-86, México D.F. [18] W. K. H. Panofsky & M. Phillips, Classical Electricity and Magnetism. Addison Wesley, Reading Massachussets, 2nd Ed. 1962. [19] Keneth K. Mei, “On The Integral Equations Of Thin Wire Antennas” in: IEEE Trans.on Antennas And Propagation, May 1965, Vol. AP-13, No. 3, p.p. 374-378. [20] Champagne J., Nathan II, T. Williams, Jeffery and R. Wilton, Donald, “The use of curved segments for numerically modeling thin wire antennas and scatterers”, in: IEEE Trans. on Antennas and Propagation, Vol. 40, No. 6, p.p. 682-689, June 1992. [21] Jorge Sosa-Pedroza, Víctor Barrera-Figueroa, José Luis López-Bonilla, “Pocklington’s Equation Method Versus Curved Segments Technique For The Numerical Study Of Circular Antennas” in: Apeiron, Vol. 13, No. 2, April 2006, p.p. 260-273. [22] Robert E. Collin, Francis J. Zucker, Antenna Theory Part I, Inter-University Electronics Serie, New York 1969, p.p. 459-481. [23] Víctor Barrera-Figueroa, Jorge Sosa-Pedroza, José Luis López-Bonilla, “Numerical Approach To King’s Analytical Study For Circular Loop Antenna” in: Journal of Discrete Mathematical Sciences & Cryptography, 10, No. 1 (2007), p.p. 83-92. [24] G. J. Burke, A. J. Poggio, Numerical Electromagnetic Code, Method Of Moments, Lawrence Livermore Laboratory, Livermore, January 1981. [25] Chalmers M. Butler, D. R. Wilton, “Analysis of Various Numerical Techniques Applied to Thin Wire Scatterers”, in: IEEE Trans. on Antennas and Propagation, Vol. AP-23, No. 4, p.p. 422-428, July 1975. [26] Tapan K. Sarkar, Antonije R. Djordjevic and Ercument Arvas, “On the Choice of Expansion and Weighting Functions in the Numerical Solution of Operator Equations” in: IEEE Trans. on Antennas and Propagation, September 1985, Vol. AP-33, No. 9, p.p. 988-996.



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[27] D. H. Werner, P. L. Werner, J. K. Breakall, “Some Computational Aspects of Pocklington’s Electric Field Equation for Thin Wires” in: IEEE Trans. on Antennas and Propagation, April 1994, Vol. 42, No. 4, p.p. 561-563. [28] Víctor Barrera-Figueroa, Jorge Sosa-Pedroza, José Luis López-Bonilla, “Simplification of Pocklington’s Equation Kernel for Arbitrary Shaped Thin Wires” in: Revista Cubana de Física, Vol. 21, No. 1, 2004, p.p. 21-28. [29] Y. Tretiakov, G. Pan, “Malvar Wavelet Based Pocklington Equation Solutions to Thin Wire Antennas and Scatterers” in: Progress in Electromagnetics Research, PIER 47, 2004, p.p. 123-133. [30] Kent Chamberlin, Ken Komisarek, Kondagunta Sivaprasad, “A Method of Moment Solution To The Twited-Pair Transmission Line” in: IEEE Trans. on Electromagnetic Compatibility, February 1995, Vol. 37, No. 1, p.p. 121-126. [31] Dragan Poljak, Vicko Doric, “Wire Antenna Model For Transient Analysis Of Simple Grounding Systems, Part I: The Vertical Grounding Electrode” in: Progress in Electromagnetics Research, PIER (Published by MIT, USA), June 2006, Vol. 64, p.p. 149-166. [32] Y. Lin, L. Zafia, “Moment Method Solution Of The Near-Field Distribution and Far-Field Patterns Of Microstrip Antennas” in: IEEE Proceedings, October 1985, Vol. 132 Pt. H., No. 6, p.p. 369-374. [33] L. Shafai, A. A. Sebak, “Radiation Characteristics And Polarisation Of Ondulated Microstrip Line Antennas” in: IEEE Proceedings, December 1985, Vol. 132 Pt. H., No. 7, p.p. 433-439. [34] Michael S. Kluskens, “A New Algorithm For The Complex Exponential Integral In The Method Of Moments” in: IEEE Transactions on Antennas and Propagation, May 2000, Vol. 47, No. 5, p.p. 803-807.


Capítulo II: Ecuaciones Integrales en Antenas

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Capítulo II

Ecuaciones Integrales En Antenas



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Introducción

Las ecuaciones de Maxwell constituyen uno de los más grandes logros de la Física clásica; su majestuosa elegancia y simplicidad, y las inmensas aplicaciones que de ellas se han obtenido proporcionan los cimientos para que este perfecto edificio permanezca erguido toda la eternidad. Su importancia radica en su extraordinario poder para representar todos los fenómenos electromagnéticos no cuánticos por medio de un sistema de ecuaciones. James Clerk Maxwell fue capaz de resumir el inmenso legado de experimentación de Coulomb, Ampere, Gauss, Faraday y otros por medio de la introducción del concepto de campo y la corriente de desplazamiento, unificando los hasta ese momento incompatibles fenómenos del magnetismo y la electricidad en un solo concepto: el campo electromagnético. Con Maxwell el concepto de campo obtiene gran relevancia ya que es la herramienta que describe los fenómenos físicos a través de una formulación matemática precisa. Los campos son características físicas que adquiere el espacio y que manifiestan su existencia en nuestra vida cotidiana influyendo en la materia. El campo asigna a cada punto del espacio una propiedad física que puede medirse y representarse por medio de vectores o escalares.

En su formulación original de 1865, Maxwell propone un sistema de 20 ecuaciones con 20 incógnitas. Más tarde en 1873, inventó una formulación más simplificada que no tuvo éxito. Sin embargo, la formulación moderna se debe a Oliver Heaviside y Josiah Willard Gibbs, quienes en 1884 reformularon las ecuaciones originales utilizando la notación vectorial. Esto proporcionó una muy elegante y sencilla versión que mostraba las increíbles simetrías intrínsecas entre las ecuaciones y entre los campos, haciendo más fácil su utilización e inspirando aplicaciones posteriores. Finalmente, el gran éxito fue alcanzado con el descubrimiento de las ondas electromagnéticas por parte de Hertz, quien, basado en la predicción de Maxwell de dicho fenómeno, fue capaz de generarlas y detectarlas en el laboratorio en 1887. La importancia del legado de Maxwell se pone de manifiesto con lo expresado por Emilio Segrè [1]:

“Si Rafael volviera a la vida y tuviera que pintar una nueva Escuela de Atenas de la Física, pienso que tendría que incluir a Einstein junto con Galileo, Newton y Maxwell señalando a los cielos, mientras que Faraday y Rutherford apuntarían hacia la Tierra.”

Otro de los grandes logros obtenidos por la teoría electromagnética fue la teoría de la

relatividad especial de Einstein [2], quien trataba de determinar si las ecuaciones de Newton y Maxwell combinadas satisfacían la relatividad galileana. Einstein y Poincaré descubrieron independientemente que las ecuaciones de Maxwell también satisfacían un principio de relatividad [3]. Es sorprendente el hecho de que todas las derivaciones teóricas del edificio newtoniano han estado esencialmente asociadas con el comportamiento de la luz. No sólo la bella teoría de Maxwell, sino también la teoría de la relatividad especial y general de Einstein, la teoría de la mecánica cuántica y finalmente la electrodinámica cuántica.

En este capítulo se presenta la teoría de las ecuaciones integrales usadas en alambres conductores. Se comienza con las ecuaciones de Maxwell y sus condiciones en la frontera, las relaciones de energía del campo electromagnético y el uso de los potenciales retardados. Después se presenta el caso de la ecuación para una corriente uniforme y posteriormente se expone la ecuación integral para una corriente no uniforme, a partir de la cual se deduce la ecuación generalizada de Pocklington, que será el modelo matemático utilizado en esta tesis en antenas de alambre delgado de geometría arbitraria.



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2.1. Ecuaciones de Maxwell

La electrodinámica moderna se basa en las ecuaciones de Maxwell y en sus relaciones constitutivas [4]. La ley de Gauss-Maxwell manifiesta que el flujo eléctrico que atraviesa cualquier superficie cerrada es igual a la carga eléctrica neta encerrada por ésta; para el campo magnético esta ley demanda la no existencia de monopolos magnéticos. La ley de Faraday-Maxwell establece que un campo magnético variable induce un campo eléctrico también variable. Finalmente, la ley de Ampere-Maxwell postula que un campo eléctrico variable induce un campo magnético también variable. Las relaciones constitutivas establecen correspondencias entre las intensidades de los campos eléctrico y magnético y sus respectivas densidades de flujo.

Matemáticamente las ecuaciones de Maxwell se expresan por un sistema de ecuaciones diferenciales parciales, aunque su forma integral también es frecuente, la cual se obtiene usando los teoremas de Stokes y de Gauss-Ostrogradsky [5]:

, ,

, ,

, ,

0 , 0 .

C S

S v

C S

S

d dt t

d dv

d dt t

d

∂ ∂∇× = − • = − •∂ ∂

∇ • = • =

∂ ∂ ∇× = + • = + • ∂ ∂

∇ • = • =

∫ ∫∫

∫∫ ∫∫∫

∫ ∫∫

∫∫

s a

a

s a

a

B BE E

D D

D DH J H J

B B

p p

(2.1)

Las relaciones constitutivas se expresan como: 0 0, , .r rε ε µ µ σ= = =D E B H J E (2.2)

Los vectores E y H representan las intensidades de los campos eléctrico y magnético, y los vectores D y B son sus respectivas densidades. El vector J especifica la densidad de corriente eléctrica de conducción, en tanto que p define la densidad de carga eléctrica. El

vector t∂ ∂D constituye la densidad de corriente eléctrica de desplazamiento descubierta por

Maxwell, mientras que t∂ ∂B se relaciona con la FEM inducida [6]. Las constantes

universales 0µ y 0ε se conocen, respectivamente, como la permeabilidad magnética y la permitividad eléctrica del espacio libre, cuyos valores en el sistema MKS son1:

2 2

7 120 02

Kg C s

C m Kg m4 10 , 8.854 10 .µ π ε− −= × = × (2.3)

La permeabilidad relativa rµ y la permitividad relativa rε son cantidades

adimensionales que definen las propiedades del medio [7]. En un medio lineal ellas son independientes de la intensidad de los campos, en caso opuesto el medio es no lineal. Si éstas no son funciones de la posición, el medio es homogéneo, de otra forma es no homogéneo. En

1 J. Aharoni, Op. Cit. pág. 4.



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un medio isotrópico ellas son escalares, mientras que en uno anisotrópico son tensoriales2. Si dependen de la frecuencia ω del campo, el medio se conoce como dispersivo, en caso contrario es no dispersivo; para estos medios el análisis se realiza con modelos cuánticos donde participa la estructura atómica del medio [8]. El parámetro constitutivo σ representa la conductividad eléctrica3, y clasifica al medio a través del factor de disipación4 σ ωε : Si

1σ ωε ≫ , el medio es un buen conductor, si 1σ ωε ≪ , el medio es un dieléctrico.

El transporte de carga eléctrica en los medios materiales exige una ecuación de continuidad, que relacione la densidad de corriente de conducción con la de carga eléctrica:

, .S v

d dvt t

∂ ∂∇ • = − • = −∂ ∂∫∫ ∫∫∫aJ Jp p

(2.4)

Esta ecuación establece que ante un exceso del flujo de corriente en una región puntual del medio, la carga positiva en ella disminuye con una rapidez t−∂ ∂p igual al flujo neto de la misma. Esta ecuación responde al principio de la conservación de la carga eléctrica, según el cual las cargas no se crean ni se destruyen, aunque cantidades iguales de cargas positivas y negativas pueden ser simultáneamente creadas (obtenidas) por procesos de separación, o destruidas (pérdidas) por procesos de recombinación [10].

La forma diferencial de las ecuaciones de Maxwell exige que los campos y sus derivadas, sean univaluados, acotados y continuos. En la discontinuidad de dos medios, Fig. 2.1, las derivadas carecen de significado5, por lo que los campos deben regirse por las condiciones en la frontera. Si los dos medios son dieléctricos, en la interfase de estos no pueden existir cargas eléctricas libres, ya que siempre aparecen ligadas creando pequeños dipolos debidos a los efectos de la polarización en los medios6.

Figura 2.1. Condiciones de frontera de las componentes tangenciales y normales. 2 Los tensores

rµ y rε de segundo orden se expresan con las siguientes matrices:

, .xx xy xz xx xy xz

r yx yy yz r yx yy yz

zx zy zz zx zy zz

ε ε ε µ µ µε ε ε µ µ µε ε ε µ µ µ

= =

ε µ

3 En el modelo de la respuesta dieléctrica universal (UDR) [9], la conductividad eléctrica se incrementa a altas frecuencias de acuerdo a:

( ) ( )0 ,nAσ ω σ ω= +

donde A es una constante positiva y 0.6 1.0n< < . 4 Edward C. Jordan, Keith G. Balmain, Op. Cit. pág. 155. 5 Constantine A. Balanis, Op.Cit. p. 13. 6 William H. Hayt, Op. Cit. pág. 155.



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Al construir un pequeño rectángulo de perímetro 0C y área 0S cuya altura y∆ tiende a cero, Fig. 2.1a, y al aplicar las leyes de Faraday-Maxwell y Ampere-Maxwell, se deduce que en la frontera las componentes tangenciales del campo eléctrico y magnético son continuas: ( ) ( )2 1 2 1 1 2 finitos .ˆ ˆ, , ,σ σ× − = × − =n E E 0 n H H 0 (2.5)

Al aplicar la ley de Gauss-Maxwell del campo eléctrico y magnético a un pequeño cilindro de área lateral 1A con tapas de área 0A cuya altura y∆ tiende a cero, Fig. 2.1b, se deduce que en

la frontera las componentes normales del campo eléctrico y magnético son discontinuas: ( ) ( )2 2 1 1 2 2 1 1 1 2finitos .ˆ ˆ0 , 0 , ,ε ε µ µ σ σ• − = • − =n E E n H H (2.6)

Si uno de los medios es un conductor eléctrico, las cargas libres en su superficie forman

una densidad Sρ que es sometida a las fuerzas de Lorentz ante la presencia del campo,

estableciendo una densidad de corriente superficial7 SJ . En la interfase las componentes

tangenciales del campo magnético son discontinuas por una cantidad igual a SJ y las

componentes normales del campo eléctrico son discontinuas por una cantidad igual a Sρ :

( ) ( )2 1 2 2 1 1ˆ ˆ, .S Sε ε ρ× − = • − =n H H J n E E (2.7)

Si el medio 1 es un conductor perfecto, los campos eléctrico y magnético en su interior son cero, por lo que las condiciones en la frontera se reducen a: 2 2 2ˆ ˆ, .S Sρ ε× = • =n H J n E (2.8)

De estas ecuaciones se concluye que el campo eléctrico E es normal a la superficie del conductor y que el campo magnético H es tangente a la misma8. La simplicidad de estas condiciones hace a los conductores perfectos muy útiles en el trabajo teórico.

En muchos problemas de la ingeniería eléctrica, los campos y las fuentes que se presentan tienen un carácter oscilatorio, que en su forma más general se expresan por:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

ˆ ˆ ˆ, , cos , , Re Re ,



x

y

z

j j t j tx ax x x ax x ax x

j j t j ty ay y y ay y ay y

j j t j tz az z z az z az z

x y z t x y z E

x y z t x y z E

x y z t x y z E

e e e

e e ee e e

ϕ ω ω

ϕ ω ω

ϕ ω ω

ω ϕ

ω ϕ

ω ϕ

= + = =

= + = =

= + = =

a a a

a a a

a a a

E

E

E

E E

E E

E E

(2.9)

donde las amplitudes axE , ayE , azE y las fases xϕ , yϕ y zϕ son funciones espaciales. Las

amplitudes multiplicadas por sus respectivas fases, corresponden a las componentes de un vector complejo ˆ ˆ ˆ

ax x ay y az zE E E+ +E a a a= , conocido como amplitud compleja del campo:

Re .j teω= EE (2.10)

7 Constantine A. Balanis, Op.Cit. pág. 18. 8 J. Aharoni, Op. Cit. pág. 4.



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Si al mismo sistema se le aplica otra fuente que esté 90º desfasada respecto a la primera, entonces su campo se determinará por:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

ˆ ˆ, , sen , , Im ,

ˆ ˆ, , sen , , Im , Im .

ˆ ˆ, , sen , , Im ,

j tx ax x x ax x

j t j ty ay y y ay y

j tz az z z az z

x y z t x y z E

x y z t x y z E

x y z t x y z E

ee ee

ω

ω ω

ω

ω ϕ

ω ϕ

ω ϕ

′ = + = ′ ′ = + = ⇒ =

′ = + =

a a

a a E

a a

E

E E

E

E

E

E

(2.11)

Si el sistema es lineal, como aquellos que se rigen por las ecuaciones de Maxwell, la aplicación simultánea de los campos (2.9) y (2.11), el último multiplicado por la unidad imaginaria j , producirá el campo resultante: .jωtj e′+ = EE E (2.12)

La ventaja de utilizar vectores complejos se demuestra al emplearlos directamente en las ecuaciones de Maxwell, ya que el operador t∂ ∂ se sustituye por jω y viceversa9. Esto

permite suprimir el factor j teω por encontrarse en ambos lados de la ecuación. Por lo tanto, las ecuaciones de Maxwell para el caso armónico se escriben en forma compleja como:

( )

, ,

, ,

, ,

0 , 0 ,

, .

C S

S v

C S

S

S v

j d j d

d dv

j d j d

d

j d j dv

ω ω

ρ ρ

ω ω

ωρ ω ρ

∇× = − • = − •

∇ • = • =

∇× = + • = + •

∇ • = • =

∇ • = − • = −

∫ ∫∫

∫∫ ∫∫∫

∫ ∫∫

∫∫

∫∫ ∫∫∫

E B E s B a

D D a

H D J H s D J a

B B a

J J a

(2.13)

2.2. Relaciones de energía y potencia

El campo electromagnético es capaz de transportar información a grandes distancias10. Para sostenerlo, se usan generadores que transfieren energía entre las terminales del sistema. Éstos pueden modelarse con un campo de fuerzas F relacionado con la FEM en el conductor, con las mismas dimensiones que E , cuya función es mantener una corriente eléctrica “impresa” 0J equivalente a σF que debe sumarse a la ley de Ampere-Maxwell:

( ) ( ), .jσ ωε σ∇× = + + + =H E F E E F J (2.14)

Tomando el producto punto de E con el complejo conjugado de (2.14), y el producto punto de ∗H con la ley de Faraday-Maxwell es posible obtener la relación del balance de la energía. Al restar ambos resultados se tiene:

9 Esto es muy similar a lo encontrado en la Teoría de Circuitos, donde la transformada de Laplace sustituye el operador t∂ ∂ por la

frecuencia compleja s , y en el caso estacionario, ésta frecuencia se sustituye por la frecuencia angular real s jω⇔ . La transformada de

Laplace se usa para convertir las ecuaciones integro-diferenciales en simples ecuaciones algebraicas, más fáciles de resolver. 10 Constantine A. Balanis, Op.Cit. pág. 20.



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( ) ( ) ( )2 20 ,jσ ω ε µ∗ ∗ ∗∇ • × + • + − − =E H E E F E H (2.15)

donde ( ) ( ) ( )σ σ∗ ∗ ∗ ∗• + = + − • +E E F E F F E F . Al sustituir y dividir entre dos resulta:

2

2 21 1 1 12 ,

2 2 4 4 2jω µ ε

σ∗ ∗ ∇ • × + + + = •

JE H H E F J (2.16)

y al integrar (2.16) sobre cualquier volumen del campo se deduce que:

2

2 21 1 1 12 ,

2 4 4 2 2S v v vd j dv dv dvω µ ε

σ∗ ∗ × • + + + = •

∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫

JE H a H E F J (2.17)

donde ˆd da=a n es un elemento diferencial de superficie. La ecuación (2.17) representa la forma integral del balance de la energía electromagnética en el dominio v y expresa que el trabajo hecho por la FEM equivale al cambio experimentado en la energía eléctrica y magnética del campo, más la energía que ha fluido por el volumen considerado, más la energía que se ha generado en forma de calor. De acuerdo al teorema de Poynting, el vector

complejo 2d∗× •∫∫ E H a representa la rapidez del flujo de energía promedio saliente de la

superficie S; su parte real representa la potencia real y su parte imaginaria representa la

potencia reactiva11. Los términos 2

2dvε∫∫∫ E y 2

2dvµ∫∫∫ H corresponden a la energía

eléctrica y magnética promedio almacenada en el volumen v12. La integral 2

2dv σ∫∫∫ J es

la potencia total promedio disipada en forma de calor. El trabajo total promedio hecho por la

FEM para establecer la corriente se representa por 2dv∗•∫∫∫F J . La potencia promedio

entregada por la fuente, que consiste en calor y radiación, se expresa frecuentemente en términos de un fasor de corriente I que fluye a través de algún área de referencia como:

2 21 1

,2 2h rW R I R I= + (2.18)

donde hR es la resistencia óhmica y rR es la resistencia de radiación.

En un campo electromagnético que realiza oscilaciones forzadas existe una continua

transformación de energía eléctrica en magnética y viceversa, donde los promedios de ambas no tiene que ser necesariamente iguales, ya que en general, raramente lo son. Ahora, ya que el campo está en estado oscilatorio, la densidad de energía en cualquier tiempo no puede permanecer estacionaria, lo que implica que la fuente absorba y aporte energía periódicamente; el exceso de energía magnética sobre la energía eléctrica tiene un comportamiento pulsante del campo a la fuente y de nuevo al campo. Esta diferencia de energías promedio, multiplicada por dos veces la frecuencia es igual a la potencia pulsante promedio. La aparición de 2ω está relacionada con la naturaleza cuadrática de la potencia. 11 J. Aharoni, Op. Cit. pág. 17. 12 Edward C. Jordan, Keith G. Balmain, Op. Cit. pág. 196.



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2.3. La ecuación de onda y su solución: Funciones potenciales

Para simplificar el análisis de problemas electromagnéticos con valores en la frontera, se utilizan el potencial vectorial magnético A y el potencial escalar eléctrico Φ , conocidos como potenciales retardados. Aunque los campos E y H representan cantidades que se pueden medir, A y Φ son, estrictamente hablando, herramientas matemáticas que surgen naturalmente al considerar que H debe ser proporcional al rotacional de un vector A :

.µ = ∇ ×H A (2.19) Al sustituir en la ecuación de Faraday-Maxwell se tiene: ( ) ,jω∇× + =E A 0 (2.20)

lo cual implica que el operando del rotacional sea igual al gradiente de algún campo Φ : .jω= −∇Φ −E A (2.21) Al sustituir (2.19) y (2.21) en las ecuaciones de Ampere-Maxwell y Gauss-Maxwell resulta: ( ) 2 , .j jω µε ωµε µ ε ωε ρ∇× ∇× − + ∇Φ = ∇ •∇Φ + ∇ • = −A A J A (2.22)

La arbitrariedad de Φ se manifiesta en que ∇×∇Φ ≡ 0. De acuerdo al teorema de Helmhöltz13, al haber definido a ∇× A por (2.19), exige describir a ∇ • A para determinar completamente a A [11]. Esto se logra definiendo: ,jωµε∇ • = − ΦA (2.23) que se conoce como condición calibradora de Lorenz14. Al aplicarla, y de acuerdo a la identidad vectorial ( ) ( ) 2∇× ∇ × ≡ ∇ ∇ • − ∇A A A , se tiene que:

2 2 2 2, ,ω µε ρ ε ω µε µ∇ Φ + Φ = − ∇ + = −A A J (2.24) que son ecuaciones de onda no homogéneas, siendo la primera una ecuación escalar y la segunda una vectorial, que en coordenadas cartesianas puede dividirse en tres ecuaciones: 2 2 2 2 2 2, , .x x x y y y z z zA A J A A J A A Jω µε µ ω µε µ ω µε µ∇ + = − ∇ + = − ∇ + = − (2.25)

13 El teorema de Helmhöltz establece que cualquier campo vectorial V que satisface:

0 , ,∞ ∞

∇ • = ∇× =V V 0

puede ser descrito como la suma de una parte irrotacional y una parte solenoidal, ,= −∇Φ + ∇×V A donde:

, .4 4v v

dv dvπ π∇ • ∇ ×′ ′Φ = − = −

′ ′− −∫∫∫ ∫∫∫V V

Ar r r r

14 Esta norma suele atribuirse a H. A. Lorentz, aunque su autor fue Ludvig Valentin Lorenz, danés, en 1867. Existen otras normas, como la de Coulomb, 0∇ • =A , la cual reduce la ecuación de onda en la de Poisson, con la desventaja de dar potenciales sin retardo. Otra norma

es la condición calibradora de Poincaré, 0• =r A , que es el análogo de la norma de Coulomb en el espacio recíproco: 0• =k A , donde

= ℑ AA es la transformada de Fourier tridimensional de A . Esta norma se usa principalmente en problemas de electrodinámica

cuántica y gravitación, por lo que no se encuentran aplicaciones en la teoría electromagnética clásica.



- 45 -

Por la semejanza entre las ecuaciones escalares, al resolver alguna de ellas, las demás quedan resueltas por analogía. La solución general se obtiene con el método de la función de Green [12], el cual obtiene la solución particular cuando la función fuente equivale a una delta de Dirac15, que corresponde a la fuente radiante más simple: un elemento infinitesimal lineal de corriente, representado por ( )ˆδ ′−a r r , donde ′r localiza la fuente radiativa y a determina la

dirección de la corriente [13]. Para simplificar el análisis, sin perder generalidad, se considera que la fuente se localiza en el origen y se dirige a lo largo del eje z , como se muestra en la Fig. 2.2. De acuerdo a esto, el vector A tendrá solamente la componente en z , por lo que su ecuación de onda se expresa como:

( ) ( )2 2 ,zk A µδ∇ + = − r (2.26)

donde k ω µε= es el número de onda de la oscilación. Debido a la simetría esférica

involucrada, zA es función de r solamente, por lo que el operador de Helmhöltz queda como:

( )2 22

1.zr k A

r r rµδ ∂ ∂ + = − ∂ ∂

r (2.27)

Esta ecuación diferencial define las funciones esféricas de Bessel de orden cero de primer y segundo tipo (de Neumann) definidas por16:

( ) ( ) ( ) ( )0 0

cos 2 sen 2sen cos, .

kr krkr krj kr n kr

kr kr kr kr

π π− −= = = = (2.28)

Figura 2.2. Elemento infinitesimal lineal de corriente.

Para satisfacer la condición de radiación17 en el infinito se debe de usar una combinación lineal de funciones esféricas de Bessel [14,15], conocidas como funciones esféricas de Hankel de primer y segundo tipo: 15 El método de la función de Green puede analizarse al considerar el siguiente teorema:

Teorema. Si ( ),G x y satisface la ecuación operador lineal ( )u ρ=L , en la cual ρ se sustituye por la delta de Dirac ( )δ −x y ,

entonces la solución de la ecuación es:

( ) ( ) ( )3,u G dρ= ∫x x y y y

ℝ

Demostración. Al sustituir la solución general en la ecuación operador se tiene:

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 3 3, , .u G d G d dρ ρ δ ρ ρ= = = − =∫ ∫ ∫L L x y y y L x y y y x y y y x

ℝ ℝ ℝ

La función ( ),G x y se conoce como función de Green para el operador L y las condiciones de frontera dadas y tiene la siguiente

propiedad de simetría: ( ) ( ), ,G G=x y y x . 16 Edward C. Jordan, Keith G. Balmain, Op. Cit. Apéndice II, p.p. 812-817.



- 46 -

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 20 0 0 0 0 0, .

jkr jkr

h kr j kr jn kr j h kr j kr jn kr jkr kr

e e−

= + = − = − = (2.29)

De ambas, sólo la de segundo tipo corresponde a una onda viajera que se propaga y se atenúa al alejarse de la fuente. Por lo tanto, la solución para zA debe tener la forma:

,jkr

zA jC kre−= (2.30)

donde C se determina al integrar zA en una pequeña esfera cuyo radio r tiende a cero:

2 2

0 0lim lim .z zv vr r

A dv k A dv µ→ →

∇ + = −∫∫∫ ∫∫∫ (2.31)

La integración de 2

zk A tiende a cero ya que v es proporcional a 3r y zA decrece de acuerdo

a 1r − . Por lo tanto, al aplicar el teorema de la divergencia se tiene:

2 2

0 0 0ˆlim lim lim , ,z z z rv v Sr r r

A dv A dv A d d r dµ→ → →

∇ = ∇ •∇ = ∇ • = − = Ω∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫ S S a (2.32)

donde dΩ es el elemento diferencial de ángulo sólido, por lo tanto:

( )4 4

2

0 00 0

4lim lim .jkr jkrz

r r

A jC j Cr d jkr d

r k ke e

π π π µ− −

→ →

∂ Ω = − + Ω = − = −∂∫ ∫ (2.33)

Por lo tanto, la solución de la ecuación de onda (2.26) es: 4 ,jkr

zA reµ π−= (2.34)

la cual puede generalizarse para un elemento infinitesimal de corriente localizado en ′r y con dirección a , simplemente al cambiar el origen del sistema de coordenadas y notando que A debe tener la misma dirección que a . Por lo tanto, las funciones de Green en el espacio libre para las ecuaciones de onda de A y Φ son:

( ) ( )ˆ 1, .

4 4jk jke eµ

π πε′ ′− − − −= Φ =

′ ′− −r r r ra

A r rr r r r

(2.35)

17 La función ( )0j kr , para oscilaciones puramente radiales, en una esfera de radio a tiene los eigenvalores dados por

( )0 cuando0 , 0 , ,n n nj k a k a n k a a nπ π= ⇒ = ∆ = → → ∞ ∈ℤ

donde nk∆ es la diferencia entre dos eigenvalores sucesivos, que tiende a cero conforme el dominio de

0j crece indefinidamente, con lo que

se obtiene un espectro continuo de eigenvalores. Por lo tanto, 0j debe considerarse como una eigenfunción del espacio infinito. De esta

forma, si un problema electromagnético será resuelto para un número de onda dado k , se puede sumar siempre la función 0j a la solución

conseguida. Por lo tanto, los problemas oscilatorios no están determinados únicamente por sus fuentes en un dominio finito. Éste resultado paradójico muestra que la condición de que la solución se haga cero en el infinito no es suficiente, ya que debemos reemplazarla por una más fuerte que establece que las fuentes del campo no deben comportarse como sumideros de energía. Para la eigenfunción espacial u se tiene la condición general de radiación de Arnold Sommerfeld (1909):

( ) ( )2 , lim 0 ,jkr jkrrr

u jr r u jkue e−

→∞= − ∂ − =

que garantiza la unicidad de la solución del problema oscilatorio. Debemos estar convencidos que la solución del problema matemático es idéntica a la solución que se realiza en la Naturaleza



- 47 -

A partir de las funciones de Green se tiene la solución general de las ecuaciones de onda:

( ) ( ) ( ) ( )1, ,

4 4

jkR jkR

v vdv dv

R R

e eρµπ πε

− −′ ′′ ′= Φ =∫∫∫ ∫∫∫

J r rA r r (2.36)

donde R ′= −r r es la distancia entre el punto fuente denotado por ′r y el punto campo

(punto de medición) simbolizado por r , como se muestra en la Fig. 2.3. Asumiendo la dependencia temporal se tiene:

( ) ( ) ( ) ( )1' , ' ,

4 4

j t j tj t j t

v vdv dv

R R

e ee eω ω

ω ω ρµπ πε

∗ ∗′ ′= Φ =∫∫∫ ∫∫∫

J r rA r r (2.37)

donde *t , conocido como tiempo de retardo, es el tiempo necesario para que el efecto producido por la fuente se propague hasta un observador situado a una distancia R , en el mismo marco de referencia18. Este se obtiene de expresar el exponente de la función exponencial de la siguiente manera:

,kR R

t kR t t tc

ω ω ω ωω

∗ − = − = − =

(2.38)

donde c es la velocidad de propagación de la onda en el medio. Para el caso general, donde la corriente y la carga eléctrica varían en el tiempo de forma arbitraria, las soluciones de la ecuación de onda se escriben como19:

( ) ( ) ( ) ( ), ,1, ' , , ' .

4 4v v

t R c t R ct dv t dv

R R

µπ πε

′ ′− −= Φ =∫∫∫ ∫∫∫

r rr r

JA

p (2.39)

Figura 2.3. Fuente arbitraria de corriente.

Esta solución es mucho más general que (2.36) ya que no está atada a una dependencia

armónica en el tiempo. Si J y p se expresan de acuerdo a las integrales de Fourier20:

( ) ( ) ( ) ( ), ,j t j tt d t de eω ωω ω ω ω∞ ∞− −

−∞ −∞= =∫ ∫J Jp p (2.40)

18 El retardo que sufren los potenciales es debido a que la velocidad de propagación c es finita. Para una sola carga eléctrica representada por su línea universo en el espacio-tiempo, el retardo se determina trazando un cono de luz desde algún punto de ésta hasta que corte la trayectoria del observador. Para una distribución arbitraria de corriente eléctrica, el retardo significa que el efecto que se mide en un tiempo

t∗ ocurrió anteriormente en un tiempo t . 19 Edward C. Jordan, Keith G. Balmain, Op. Cit. p.p. 358-365. 20 Wolfang Pauli, Op. Cit. p.p. 126-132.



- 48 -

entonces la soluciones correspondientes quedarán expresadas por:

( ) ( ) ( ) ( ), .j t j tt d t de eω ωω ω ω ω∞ ∞− −

−∞ −∞Φ = Φ =∫ ∫A A (2.41)

Por lo tanto, las soluciones (2.40) son válidas mientras J y p puedan expresarse como una integral de Fourier en el tiempo. En la forma dada por (2.41), A y Φ son llamados potenciales retardados, debido al tiempo necesario para que sus efectos se propaguen hasta el punto donde se desean medir; ellos satisfacen la condición de radiación. Otra solución de la ecuación de onda son los potenciales avanzados, expresados por:

( ) ( ) ( ) ( ), ,1, ' , , ' ,

4 4v v

t R c t R ct dv t dv

R R

µπ πε

′ ′+ += Φ =∫∫∫ ∫∫∫

r rr r

JA

p (2.42)

los cuales representan ondas esféricas que llegan a la fuente. A pesar de ser soluciones de la misma ecuación diferencial, no pueden encontrarse físicamente ya que en un espacio infinito, la Naturaleza favorece a los potenciales retardados21. 2.4. Ecuación para una corriente uniforme

Para analizar el problema de un conductor que transporta una corriente uniforme debe suponerse que todas las dimensiones del conductor son menores que la longitud de onda de la corriente. De esta manera el problema se reduce a la obtención de ciertos parámetros ( )L,C,R

y a la solución de un sistema de ecuaciones lineales para la corriente. Para comenzar, en la ecuación del balance de la energía (2.17) se sustituyen la ley de Faraday-Maxwell y la ley de Ampere-Maxwell, que producen la siguiente ecuación:

2

.v v v

dv dv dvσ

∗ ∗− • + = •∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫J

E J F J (2.43)

Al expresar el campo E en términos de los potenciales retardados llegamos a:

2

,v v v v

dv j dv dv dvωσ

∗ ∗ ∗•∇Φ + • + = •∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫J

J A J F J (2.44)

y al aplicar la identidad vectorial ( )ψ ψ ψ•∇ = ∇ • − ∇ •G G G , obtenemos:

( )2

.v v v v v

dv dv j dv dv dvωσ

∗ ∗ ∗ ∗∇ • Φ − Φ∇ • + • + = •∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫J

J J A J F J (2.45)

De acuerdo al teorema de la divergencia y la ecuación de continuidad jωρ∗ ∗∇ • =J se tiene: 21 Los potenciales avanzados dejaron de usarse desde la década de 1970 con las investigaciones de Claudio Teitelboim, ya que su uso entraba en conflicto con el concepto de causalidad física de la teoría de la relatividad. Desde entonces, en la electrodinámica sólo se emplean potenciales retardados.



- 49 -

2

,nS v v v vda j dv j dv dv dvω ρ ω

σ∗ ∗ ∗ ∗Φ − Φ + • + = •∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫

JJ A J F J (2.46)

donde nJ es la componente normal de la corriente en la superficie, la cual equivale a la densidad de carga superficial sobre el conductor. Por simplicidad, la ecuación anterior se escribe sin el término de la integral de superficie, considerando que ρ representa tanto a las cargas volumétricas como a las superficiales, por lo tanto:

2

.v v v v

j dv j dv dv dvω ρ ωσ

∗ ∗ ∗− Φ + • + = •∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫J

A J F J (2.47)

Al expresar los potenciales retardados A y Φ en términos de J y ρ , se tiene:

2

.4 4

jkr jkr

v v v v v v

j jdvdv dv dv dv dv

r r

e eω ρρ ωµπε π σ

∗ − ∗ −∗− •′ ′+ + = •∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

JJ JF J (2.48)

De acuerdo a la hipótesis de la uniformidad de la corriente, al considerar una sección transversal del conductor, Fig. 2.4, ésta puede escribirse como:

,a

I d= •∫∫ J a (2.49)

donde a es el área de la sección considerada e I es la corriente eléctrica total que atraviesa la sección considerada. Al sustituir en (2.48) se tiene que:

2 2

ˆ ˆ ˆ.

4 4

jkr jkr

v v v v v v

j j I I dvdv dv dv dv I I I dv

r a r a a

e eω ρρ ωµπε π σ

∗ − ∗ −∗ ∗′• •′ ′− + + =∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

s s F s (2.50)

Figura 2.4. Cargas oscilantes en los extremos del conductor debidas a F .

Ya que la carga en los extremos forma una densidad superficial Sρ distribuida

uniformemente, ésta contribuye por medio de una integral de superficie. Existe una carga total

AQ en el extremo A y BQ en el extremo B , las cuales se relacionan entre sí de acuerdo a:

,A SA A B SB B

A B

Q da Q da Qρ ρ= = − = =∫∫ ∫∫ (2.51)



- 50 -

donde Ada y Bda son elementos diferenciales de superficie de los extremos A y B ,

respectivamente. Al usar la ecuación de continuidad ,I j Qω= − el primer término de la ecuación (2.50) queda como:

2 2 22 .

jkr jkr jkr jkrS S A A B B A B

A B A BS S A A B B A B

da da da da da da da daI I

r a r a r a a r

e e e eρ ρω

∗ − − − −∗

′ ′

′ ′ ′= + −

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ (2.52)

Al sustituir en la ecuación (2.50) y al dividir por I ∗ resulta:

2 2

2

24

ˆ ˆ,

4

jkr jkr jkrA A B B A B

A B A BA A B B A B

jkr

l

v v

da da da da da daI dlI

j a r a r a a r a

j Idv dv F dl

a r

e e e

eω πε σ

ωµπ

− − −

′ ′

−

′ ′+ − +

′• ′+ =

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫s s

(2.53)

donde dl es un elemento diferencial de trayectoria. La ecuación anterior corresponde a la Ley de Kirchhoff de Voltajes22 para un circuito serie RLC en el estado estacionario [16]:

( ) 1,I j L j C R IZ Vω ω − − + = =

(2.54)

donde Z es la impedancia compleja del circuito. La ecuación (2.54) expresa la forma compleja generalizada de la ley de Ohm para corrientes armónicas23. Los parámetros son:

12 2

2

12 ,

4

ˆ ˆ, , .

4

jkr jkr jkrA A B B A B

A B A BA A B B A B

jkr

l

v v

da da da da da daC

a r a r a a r

dlL dv dv R V F dl

a r a

e e e

eπε

µπ σ

− − −−

′ ′

−

′ ′= + −

′• ′= = =

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫s s

(2.55)

En este caso la autoinductancia L y la capacitancia C son cantidades complejas y no reales como ocurre con los circuitos ordinarios. Esto se debe a la aparición de jkre− dentro de las integrales debido al retardo que sufre el campo electromagnético en propagarse en el espacio.

El procedimiento utilizado para obtener la ecuación (2.54) puede generalizarse para un circuito formado por n mallas con n corrientes uniformes circulantes 1 2, , , nI I I⋯ [17]:

1 1

1, 1,2, , ,

n n

kl kl l kl l kl lkl

j L R I Z I V k nj C

ωω= =

+ + = = =

∑ ∑ ⋯ (2.56)

22 La Ley de Kirchhoff de voltajes expresa que la suma de las caídas de voltaje en una malla cerrada es igual a cero:

0 .iV =∑

Esta es una muy buena aproximación cuando la longitud de onda es pequeña comparada con las dimensiones del circuito. En general, la ley debe modificarse para incluir la autoinducción de voltaje sobre la propia malla producida por la corriente I que la circula:

,i sV j L Iω= −∑

donde sL es la autoinductancia de la malla. Constantine A. Balanis, Op.Cit. p. 8.

23 J. Aharoni, Op. Cit. pp. 87-116.



- 51 -

donde klZ es la impedancia mutua entre la k -ésima y la l -ésima mallas, la cual tiene la

propiedad de ser simétrica kl lkZ Z= . Los parámetros del circuito se determinan de acuerdo a:

1 1,

4

ˆ ˆ, ,

4

klkl kl kl

kl

jkrjkr jkr jkrBk BlAk Al Ak Bl Bk Al

klAk Al kl Bk Bl kl Ak Bl kl Bk Al kl

jkrk l kl

kl k l klkl k l

da dada da da da da daC

a a r a a r a a r a a r

dlL dv dv R

r a a a

ee e e

eπε

µπ σ

−− − −−

−

= + − −

•= =

∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫

∫∫ ∫s s

(2.57)

donde klL es la inductancia mutua entre los inductores k -ésimo y l -ésimo, klC es la

capacitancia mutua entre los condensadores k -ésimo y l -ésimo y klR es la resistencia mutua

entre las k -ésima y l -ésima resistencias, donde kldl es un elemento diferencial del alambre

que es común a las k -ésima y la l -ésima mallas. 2.5. Ecuación integral para una corriente no uniforme

Cuando las dimensiones del conductor son comparables o mayores a la longitud de onda, la corriente deja de ser uniforme, por lo que se necesita establecer una ecuación integral que la describa. Una ecuación integral tridimensional tiene la siguiente forma general:

( ) ( ) ( ) ( ), , , , ; , , , , , , ,f x y z K x y z x y z f x y z dx dy dz g x y z′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′+ =∫∫∫ (2.58)

donde ( ), ,f x y z es una función que debe ser determinada. La función ( ), ,g x y z y el kernel

( ), , ; , ,K x y z x y z′ ′ ′ son conocidos, el cual en general cumple con la propiedad de simetría:

( ) ( ), , ; , , , , ; , , .K x y z x y z K x y z x y z′ ′ ′ ′ ′ ′= (2.59)

La ecuación (2.58) es una ecuación integral de segundo tipo, mientras que en una ecuación integral de primer tipo, la función desconocida no aparece afuera de la integral24:

( ) ( ) ( ), , ; , , , , , , .K x y z x y z f x y z dx dy dz g x y z′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ =∫∫∫ (2.60)

Consideremos una ecuación integral unidimensional, la cual contiene a x y x′

solamente. En cierto sentido, ésta debe considerarse como equivalente a un número infinito de ecuaciones lineales. De esta forma:

24 Sea ( )tϕ una función desconocida, ( )f x una función dada y ( ),K x t el kernel de la integral. Una ecuación integral de Fredholm de

primer y segundo tipo son ecuaciones de la forma:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , , .b b

a af x K x t t dt x f x K x t t dtϕ ϕ ϕ= = +∫ ∫

Una ecuación integral de Volterra de primer y segundo tipo son ecuaciones de la forma:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , , ,x x

a af x K x t t dt x f x K x t t dtϕ ϕ ϕ= = +∫ ∫

donde el límite superior es variable. Los métodos para calcular este tipo de ecuaciones dependen de las propiedades del kernel [18].



- 52 -

( )( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

1 ,

1 ,, .

1 ,

n n

n n

n n nn n n

K f K f K f g

K f K f K f gf k K k l f l g k

K f K f K f g

+ + + + =

+ + + + = ⇒ + =

+ + + + =

∑

…

…

⋮

…

(2.61)

De manera similar a cuando una suma se considera una integral, los índices k y l se convierten en continuos y la ecuación anterior puede escribirse como:

( ) ( ) ( ) ( ), .f k K k l f l dl g k+ =∫ (2.62)

Cualquier sistema infinito de ecuaciones lineales es numerable, mientras que una ecuación integral sugiere un sistema infinito de ecuaciones innumerable. Con esto en mente, el concepto de equivalencia entre una ecuación integral y un sistema infinito de ecuaciones lineales es muy útil. En estos sistemas no se puede hablar de dimensiones mayores, pero (2.62) puede generalizarse en una ecuación bidimensional de la siguiente manera:

( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2, , ; , , , .f k k K k k l l f l l dl dl g k k+ =∫ (2.63)

Siempre que los índices de un sistema lineal de ecuaciones tengan cierta relación con un conjunto discontinuo de puntos en un espacio n-dimensional, en el límite se obtiene una ecuación integral de n dimensiones.

Supongamos que en un conductor dado existe una corriente distribuida en líneas de flujo estacionario, Fig. 2.5a, cada una de ellas descrita por el vector tangente unitario

( )ˆ , ,x y zs que señala la dirección del flujo en la línea. Todos los puntos de una misma línea de

corriente mantienen la misma intensidad25. En general, la línea de flujo estacionario quedará descrita en términos de dos funciones linealmente independientes 1g y 2g :

( ) ( ) ( ) ( )1 2 ˆ, , , , , sen , , cos , , .x y z t g x y z t g x y z t x y zω ω= + J s (2.64)

Si se supone que cada línea de flujo se compone de un gran número de elementos, Fig. 2.5b, a lo largo de los cuales la corriente es uniforme, y entre los cuales no existen resistencias mutuas, se tendrá el siguiente sistema:

1

1, ,

n

kl l k k k kl kll kl

K I V R I K j Lj C

ωω=

= − = +∑ (2.65)

por lo tanto, los parámetros del sistema deben calcularse cuando los elementos de corriente se hacen infinitesimales. El término de klL se convierte en:

( ) ( ) ( )

( ), , ; , , ˆ ˆ, , , ,ˆ ˆ

lim .4 4 , , ; , ,

kljkr x y z x y zjkr

k lkl k l k l

nkl k l

x y z x y zL dv dv dl dl

r a a r x y z x y z

eeµ µπ π

′ ′ ′−−

→∞

′ ′ ′ ′••= =′ ′ ′∫∫

s ss s(2.66)

25 En general, el vector J describe una elipse y no una línea, sin embargo, en los alambres las elipses acaban degenerándose en su eje mayor, convirtiéndose en líneas de flujo esencialmente paralelas al eje del alambre



- 53 -

El término de 1klC− , Fig. 2.6a, se calcula por medio de:

14 limklkl kl kl

kl kl kl kl

jkrjkr jkr jkrBk BlAk Al Ak Bl Bk Al

kln

Ak Al kl Bk Bl kl Ak Bl kl Bk Al kl

jkr jkr jkr jkr

kl kl kl kl

da dada da da da da daC

a a r a a r a a r a a r

r r r r

ee e e

e e e e

πε−− − −

−

→∞

′ ′ ′′ ′′− − − −

= + − −

= − − − = ∇ ′ ′ ′′ ′′

∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫

( )

( ) ( )

ˆ , ,

ˆ ˆ, , , , ,

k k

jkr jkr

B A k

jkr

k l

x y z dlr r

x y z x y z dl dlr

e e

e

− −

−

− ∇ •

′ ′ ′ ′ ′= ∇ ∇ • •

s

s s

(2.67)

donde se usó la siguiente relación entre la diferencia de valores de una función en términos de su gradiente, Fig. 2.6b:

( ) ( ) ( ) ( )Af r - f r = A • f r dls , ′ ′ ′∇ (2.68)

Figura 2.5. Líneas estacionarias de corriente.

Figura 2.6. Cálculo de la capacitancia mutua

klC . Los términos que corresponden a kR , a kV y a lI se obtienen por medio de:

ˆ ˆlim , lim , ,k kk k k k k k l l ln n

k

dl dlR V d dl I a

a aσ σ→∞ →∞= = = • = • = •∫ ∫F l F s J s (2.69)

donde ,k la es la sección transversal del elemento. El sistema de ecuaciones quedaría como:

1

ˆˆ ˆ , .

nk k k

kl k k k l k k kl kl k ll k

a dlK a dl dl dl K K dl dl

aσ=

•• = • − =∑J s

J s F s (2.70)

Al dividir por kdl y al quitar el producto punto con el vector s se tiene:

1

.n

kkl k k l k

l

K a dlσ=

= −∑J

J F (2.71)

En el límite, cuando n → ∞ , se tiene una ecuación integral, donde l ldl = dva ′ :



- 54 -

( ) ( ) ( ) ( )

( )

,

ˆ ˆ 1ˆ ˆ .

4 4

v

-jkr -jkr

x, y,zK x,y,z; x , y ,z x , y ,z dv x, y,z

j •K x, y,z; x , y ,z

r j r

e eσ

ωµπ ω πε

′ ′ ′ ′ ′ ′ ′+ =

′ ′ ′ ′ ′ ′= + ∇ ∇ • •

∫J

J F

s ss s

(2.72)

La ecuación integral de segundo tipo anterior expresa una generalización de la teoría de los circuitos, que toma en cuenta que la corriente en el conductor no es uniforme. La ecuación (2.72) es una exacta consecuencia de las leyes de Maxwell al considerar las líneas de flujo estacionarias26. Para alambres delgados, la ecuación anterior puede reducirse a una ecuación unidimensional con cierta exactitud. En muchos casos, σ es tan grande que el término σJ puede despreciarse; matemáticamente esto es quizá una desventaja, ya que una ecuación integral de segundo tipo es más fácil de resolver que una de primer tipo. Sin embargo, debido a que σ → ∞ , la corriente se confina en la superficie del conductor y las líneas de flujo serán conocidas con un mayor grado de precisión. Finalmente, si =F 0 , la ecuación integral se convierte en una ecuación homogénea que tendrá soluciones complejas solamente para ciertos eigen-valores de k , cuyas partes reales darán las frecuencias libres de oscilación y las partes imaginarias darán las constantes de atenuación, esta última debida a la radiación. 2.6. Ecuación integral para un alambre delgado de geometría arbitraria

La mayoría de las antenas se fabrican por conductores cilíndricos delgados que, en un aspecto práctico, tienen diámetros menores que 100λ [19]. En la teoría, para evitar singularidades, el radio a del conductor nunca debe hacerse infinitamente delgado. Para estos conductores, se necesita determinar la distribución de corriente transversal y longitudinal, ésta última satisface una ecuación integral unidimensional.

En un alambre delgado el flujo de corriente está principalmente confinado a lo largo de éste, de tal forma que s y ˆ′s tienen prácticamente la misma dirección que la tangente a la curva ( )sr que representa el eje del alambre. De hecho, las líneas de flujo están ligeramente

dobladas hacia los lados, causando la aparición de cargas superficiales sobre el alambre.

El alambre de geometría arbitraria que se considera a continuación, Fig. 2.7, tiene una sección transversal circular de radio a y su eje se representa por el vector de posición ( )sr ,

respecto al sistema de coordenadas cartesianas XYZ, el cual se encuentra parametrizado respecto a su longitud de arco s [20]:

( ) ( ) ( )0

.t d d

s t dd d

ξ ξξ

ξ ξ= •∫

r r (2.73)

En cada punto de la curva existen tres vectores formando una base ortonormal que define un sistema local de coordenadas cilíndricas. Estos son los vectores unitarios tangente ( )ˆ ss ,

normal ( )ˆ sn y binormal ( )ˆ sb , que forman el triedo de Frenet-Serret, definidos por:

26 J. Aharoni, Op. Cit. pp. 126-131.



- 55 -

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆˆ, ,

ˆ ˆ1 ˆˆ ˆ ˆ, , ,

d s dx s dy s dz ss x s y s y s s

ds ds ds ds

d s d ss s s s K

K ds ds

= + + = = + +

= = × =

rr i j k s i j k

s sn b s n

(2.74)

donde K es la curvatura del eje del alambre. Los vectores n y b forman el plano normal, en el cual yace la sección transversal del conductor, cuyos puntos con coordenadas cilíndricas

( ), ,0ρ ϕ se expresan por el siguiente vector referido al sistema local de coordenadas:

( ) ˆˆ, cos sen , 0 , 0 2 .aρ ϕ ρ ϕ ρ ϕ ρ ϕ π= + ≤ ≤ ≤ ≤a n b (2.75)

El mismo punto respecto al sistema de coordenadas cartesianas XYZ toma la forma:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ˆˆ, , , cos sen .s s s s sρ ϕ ρ ϕ ρ ϕ ρ ϕ= + = + +P r a r n b (2.76)

Entonces, la distancia R entre dos puntos del alambre se determina por27:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 1 1 1 1 2 1 2 2 1 1, , , , , , .R s s s sρ ϕ ρ ϕ ρ ϕ ρ ϕ= − = − + −P P r r a a (2.77)

Figura 2.7. Vectores asociados de un alambre delgado de geometría arbitraria.

Por lo tanto, la ecuación integral para el alambre delgado es:

( ) ( ) ( )

2

0 0 0

1ˆ ˆ ˆ ˆ .

4 4

L a -jkR -jkRs, j• s , d d ds s,

R j R

e eπρ ωµ ρ ρ ρ ϕ ρσ π ω πε

′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′+ + ∇ ∇ • •

∫ ∫ ∫J

s s s s J = F (2.78)

27 En particular, si el alambre es recto y se encuentra localizado sobre el eje Z , entonces:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 1 2 1 2 2 1 1ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ , , , ,s s s s s s s s= = = = = =n n i b b j r k r k

por lo tanto, la distancia entre los dos puntos del alambre es:

( ) ( )2 2 22 1 2 1 2 1 2 12 cos .R s s ρ ρ ρ ρ ϕ ϕ= − + + − −



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Puede verse que ahora la corriente deja de ser función de la variable azimutal ϕ , ya que, por la hipótesis del alambre delgado, no existen variaciones circunferenciales en la distribución de corriente. También debe notarse que la corriente es función del radio vector ρ , que representa la profundidad en el radio del alambre, ya que se considera que la conductividad σ de éste es finita lo que provoca que las diferentes capas concéntricas de corriente en el alambre no fluyan en fase. Para un alambre perfecto, la corriente estará concentrada en su superficie y en muchos de los casos la distribución circunferencial será la misma que aquella de cargas estáticas en un alambre infinitamente largo28. 2.7. Ecuación integral de Pocklington generalizada

La ecuación integral de Pocklington es el modelo matemático que representa el caso hipotético en que la densidad de corriente J se concentra en un filamento sobre un conductor perfecto. Esta ecuación fue propuesta por H. C. Pocklington en 1897 [21] para un alambre cilíndrico recto, basado en el trabajo hecho por Hertz [22], para determinar las oscilaciones eléctricas en alambres conductores. La ecuación de Pocklington que a continuación se presenta es una generalización natural para alambres delgados de geometría arbitraria, la cual se basa en las siguientes hipótesis: 1. El material conductor con el que se construye el alambre se considera perfecto: σ → ∞ ,

por lo que el término σJ de la ecuación (2.78) se puede despreciar, transformándola en una ecuación integral de primer tipo. En la práctica, esto corresponde a una muy buena aproximación para materiales como el aluminio, el cobre o la plata, en los cuales las conductividades son del orden de 71 10 Siemens× .

2. La corriente en el alambre está confinada completamente en su superficie: ( ) ( )s,a s=J J .

Esto es una consecuencia natural de la hipótesis anterior, ya que en los conductores perfectos, el campo electromagnético se anula en su interior. En la práctica esto es una muy buena aproximación en altas frecuencias, ya que por el efecto piel, la corriente tiende a acumularse en la superficie formando una capa delgada pero finita de grosor δ igual a:

2 .δ ωµσ= (2.79) 3. La variación circunferencial de la corriente puede despreciarse, es decir, la densidad de

corriente no es función de la variable azimutal ϕ . La relativamente baja variación de J respecto a ϕ y ρ en una distancia a lo largo de s del orden de 2a justifica esta suposición.

4. La densidad J puede sustituirse por un filamento de corriente I sobre el alambre:

2 .aπ=I J (2.80)

Ya que J forma una capa uniforme de corriente, entonces puede suponerse que ésta colapsa en una línea infinitesimal sobre la superficie del alambre, la cual forma una curva

28 J. Aharoni, Op. Cit. pág. 138.



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paralela al eje del alambre. De esta forma, el volumen que ocupa el alambre se considera como parte del medio de propagación del campo29.

5. La condición en la frontera del campo eléctrico necesita ser forzada en la dirección axial

solamente. Debido a que el alambre es suficientemente delgado, la condición de frontera del campo eléctrico no necesita aplicarse alrededor del alambre, ya que la corriente varía principalmente a lo largo de s.

Al aplicar estas hipótesis a la ecuación integral (2.78), es posible transformarla en una

ecuación unidimensional. El término de la reactancia capacitiva quedaría como:

2

ˆ ˆ ˆ ,-jkR -jkR -jkR

R s R s s R

e e e ∂ ∂′ ′ ′ ′∇ ∇ • • ∇ • ′∂ ∂ ∂ s s = s = (2.81)

donde R es solamente función de s. Por lo tanto:

( ) ( )2 2

20 0 0

1 1ˆ ˆ .

4 4

L a -jkR -jkRj• s d d ds s

a R j s s R

e eπ ωµ ρ ρ ϕπ π ω πε

∂′ ′ ′ ′ ′ ′+ ′∂ ∂ ∫ ∫ ∫ s s I = F (2.82)

Ya que el integrando es función de s, es posible efectuar las integraciones respecto a ρ y ϕ :

( ) ( )2

0

1ˆ ˆ .

4 4

L -jkR -jkRj• s ds s

R j s s R

e eωµπ ω πε

∂′ ′ ′+ ′∂ ∂ ∫ s s I = F (2.83)

En esta ecuación el campo F corresponde a la componente tangencial del campo eléctrico radiado, de esta forma, tanto la corriente I como el campo F pueden expresarse como: ( ) ( ) ( ) ( )ˆ ˆ, ,S

ss I s s E s′ ′ ′= =I s F s (2.84)

donde el subíndice s denota la componente tangencial y el superíndice S denota que el campo es radiado. Al aplicar la condición en la frontera del campo eléctrico sobre la superficie del conductor se tiene: ( ) ( ), , ,S I

s sE s a E s a= − (2.85)

donde I

sE es la componente tangencial del campo eléctrico “impreso”. Por lo tanto, la

siguiente ecuación es conocida como la ecuación integral generalizada de Pocklington:

( ) ( )2

2

0

1ˆ ˆ .

4 4

L -jkR -jkRIsE s k • I s ds

j s s R R

e eωε π π

∂ ′ ′ ′= − + ′∂ ∂ ∫ s s (2.86)

El término ( ), 4jkRG s s Re π−′ = corresponde a la función de Green para el espacio libre

(2.35). El tener como denominador a R provoca una singularidad cuando el punto de observación corresponde al punto fuente. Para evitar esto, se elige convenientemente colocar 29 Constantine A. Balanis, Op.Cit. p.p. 718-725.



- 58 -

a los puntos de observación en el eje del alambre, y a los puntos fuentes sobre su superficie. Consecuentemente, si ( )sr representa el eje del alambre, entonces la curva paralela que

representa al filamento de corriente es:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ˆ ˆ ˆ ,s s a s x s y s z s′ ′ ′ ′= + = + +r r n i j k (2.87)

por lo tanto, la distancia entre los dos puntos es:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2.R s s x s x s y s y s z s z s′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′= − = − + − + − r r (2.88)

A partir de esta ecuación, es posible desarrollar el operador de diferenciación iterada que actúa sobre la función de Green:

( ) ( )

22 2 2

2

3

2 2.

4 4

-jkR-jkR

R R RR jkR k R jkR

s s s ss s R R

e eπ π

∂ ∂ ∂+ + − −∂ ′ ′∂ ∂ ∂ ∂= −′∂ ∂

(2.89)

A partir de (2.88) se calculan las derivadas siguientes:

( )( )22

3

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ, , ,

RR R R

s R s R s s R

′ ′• − • •′∂ • ∂ • ∂= = − = −′ ′∂ ∂ ∂ ∂

s s R s R sR s R s (2.90)

y al sustituir en (2.89) se tiene:

( ) ( )( )2 2 22

5

ˆ ˆ ˆ ˆ1 3.

4 4

-jkR-jkR

R jkR k R jkR

s s R R

e eπ π

′ ′ + • − − + • •∂ =′∂ ∂

s s R s R s (2.91)

De esta forma, la ecuación integral (2.86) toma la siguiente forma:

( ) ( ) ( )( )( )2 4 2 3 2 25

0

1ˆ ˆ ˆ ˆ3 3 .

4

L -jkRIsE s k R R jkR • jkR k R Ids

j R

eωε π

′ ′ ′= − − − + − • • ∫ s s + R s R s (2.92)

En el caso particular de que el alambre sea recto y se localice centrado sobre el eje Z , se tiene la siguiente ecuación integral comúnmente encontrada en la literatura especializada30:

( ) ( )( ) ( ) ( )22 25

0

11 2 3 .

4

L -jkRIsE s jkR R a kaR I z dz

j R

eωε π

′ ′= − + − + ∫ (2.93)

30 Constantine A. Balanis, Op.Cit. pág. 720.



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2.8. Conclusiones del Capítulo II

En este capítulo se presenta un modelo matemático que establece una relación entre la distribución de corriente en el alambre delgado y el campo eléctrico tangencial a su superficie, conocido como ecuación generalizada de Pocklington. En su forma original, Pocklington considera a un alambre cilíndrico recto, pero aquí se presenta una generalización para cualquier alambre delgado. La forma presentada en este capítulo constituye una de las aportaciones del autor, ya que la geometría del alambre se analiza vectorialmente por medio de una curva que representa su eje y una curva que representa el filamento de corriente. La información sobre la geometría del alambre se encuentra principalmente en los vectores unitarios s y ˆ′s . Este enfoque es completamente radical al generalmente usado en algunas formulaciones y programas comerciales, como el software NEC. En estos, un alambre de geometría arbitraria se descompone en pequeños pedazos rectos, en los cuales se aplican las soluciones clásicas. Esto, sin embargo, resulta complicado para antenas como las helicoidales, espirales, circulares y de cruz, donde su longitud total cubre varias longitudes de onda, y por consiguiente, el número de pedazos rectos en que se tiene que dividir la antena es considerable. En cambio, al expresar a la antena por medio de los vectores que la describen, se evitan estos problemas y se respeta su particular forma intrínseca. En el siguiente capítulo se presentan algunas técnicas numéricas para obtener soluciones computacionales de la ecuación de Pocklington. En especial, se expone un importante método usado para resolver ecuaciones integrales como (2.92), conocido como el método de momentos, el cual transforma la ecuación operador en una ecuación matricial que puede resolverse con los métodos convencionales del análisis numérico. Referencias [1] Emilio Segrè, De los Rayos X a los Quarks. Los físicos modernos y sus descubrimientos. Folios Ediciones. 1983. Cap. V, pág. 89. [2] Robert M. Wald, Espacio, Tiempo y Gravitación. La teoría del “Big Bang” y los agujeros negros. Fondo de Cultura Económica. Breviarios 315. 1984. Cap. II, p.p. 26-50. [3] Roger Penrose, La Mente Nueva del Emperador. En torno a la cibernética, la mente y las leyes de la física. Fondo de Cultura Económica. Selección de obras de ciencia y tecnología. 1989. Cap. V, p.p. 182-269. [4] Vladislav V. Kravchenko, Propagación de Ondas Electromagnéticas. Apuntes de clase. Cap. I, p.p. 1-15. [5] Edward C. Jordan, Keith G. Balmain, Ondas Electromagnéticas y Sistemas Radiantes. Paraninfo. Madrid, 1973. Cap. IV, p.p. 124-137. [6] J. Aharoni, Antennae. An introduction to their theory. Clarendon Press. Oxford 1946. Cap. I, pág. 4. [7] Constantine A. Balanis, Advanced Engineering Electromagnetics. John Wiley & Sons, Inc. 1989. Cap. I, p.p. 2-32.



- 60 -

[8] Wolfgang Pauli, Electrodynamics. Pauli Lectures on Physics. Dover Publications, Inc. New York 1973. Vol. I. Cap. IV, p.p. 109-146. [9] S. Panteny, R. Stevens, and C. R. Bowen, “The Frequency Dependent Permittivity and AC Conductivity of Random Electrical Networks”, in: Taylor & Francis Journals. Ferroelectrics, 2005, Vol. 319, p.p. 199-208. [10] William H. Hayt, Jr., Teoría Electromagnética. Mc Graw Hill, 5ª Ed. 1991. Cap. V, p.p. 126-167. [11] W. K. H. Panofsky & M. Phillips, Classical Electricity and Magnetism. Addison Wesley, Reading Massachussets, 2nd Ed. 1962. Chapter 1. [12] Jerrold E. Marsden, Anthony J. Tromba, Cálculo Vectorial. Addison Wesley Iberoamericana, 3ª Ed. 1991. p.p. 548-560. [13] Robert E. Collin, Francis J. Zucker, Antenna Theory, McGraw Hill, Inter-University Electronics Series. Part I. 1969. Chapter 2. [14] Arnold Sommerfeld, Partial Differential Equations in Physics, Lectures on Theoretical Physics, 1949, Academic Press, Inc. London. p.p 188-193. [15] Arnold Sommerfeld, Ann. Phys. 28, 1909, p.p. 665-736. [16] William H. Hayt Jr., Jack E. Kemmerly, Análisis de Circuitos en Ingeniería, McGraw Hill, 5ª Ed. 1993. p.p. 245-266. [17] Enrique Bustamante Llaca, Modern Analysis of Alternating Current Networks. Limusa, Vol. I y Vol. II. [18] Vladimir Ivanovich Krylov, Approximate Calculation of Integrals. MacMillan, NY. 1962. p.p. 277-281. [19] John D. Kraus, Ronald J. Marhefka, Antennas, For All Applications. McGraw Hill, 3rd Ed. 2002. p.p. 37-39, 165-173. [20] Erwin Kreyszig, Matemáticas Avanzadas Para Ingeniería. Limusa. 1996. México D.F., p.p. 435-442. [21] H. C. Pocklington, “Electrical Oscillations in Wires”, in: Cambridge Phil. Soc. Proc. 9, October 1897. p.p. 324-332, London, England. [22] H. Hertz, “The Forces Of Electric Oscillations Treated According To Maxwell’s Theory” in: Nature, Feb. 21, 1889, p.p. 402-404, 450-452.


Capítulo III: El Método de Bubnov-Krylov-Galerkin

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Capítulo III

El Método de Bubnov-Krylov-Galerkin



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Introducción

El análisis numérico surgió como alternativa a las técnicas del análisis puro para proporcionar respuestas aproximadas a problemas que carecían de soluciones analíticas. Estas técnicas tuvieron un gran auge durante el siglo XX debido al uso de las computadoras en las cuales fueron programadas, sin embargo, muchas de ellas provienen de siglos pasados donde su desarrollo era limitado, debido a que generalmente sus procedimientos requerían una gran cantidad de pasos que sin más herramientas eran realizados a mano. Como ejemplo se puede citar el método que Newton usó para determinar los ceros en las funciones. Los métodos numéricos resultan ser curiosamente sencillos y fáciles de comprender, sin embargo, bajo tal sencillez se acumula todo un arsenal de conceptos matemáticos que, para la mayoría de los especialistas, pasan desapercibidos. Tal es el caso de la interpolación Lagrangiana, concepto del cual se desprenden herramientas como la transformada de Laplace y la transformada de Fourier, por citar sólo algunas.

Los métodos numéricos aplicados al electromagnetismo aparecieron durante la Segunda Guerra Mundial, cuando fue necesario analizar problemas de radiación de microondas [1]. En esta etapa, el conjunto de técnicas que existía se encontraba pobremente organizado y muchas de ellas carecían del formalismo que necesitan las matemáticas puras. Sin embargo, en 1967 Roger F. Harrington logró agruparlas en un método más general conocido como el método de momentos [2]. El formalismo que aplica Harrington se basa en el uso de espacios lineales de funciones y operadores, conceptos ya usados por la teoría cuántica en los años de 1920, y generaliza el antiguo método de Galerkin, inventado en 1915 con el cual una ecuación operador se transforma en una ecuación matricial. El método de momentos encuentra su nicho en problemas descritos por ecuaciones integrales, aunque su aplicación no se restringe tan sólo a éstos. Actualmente revivió un antiguo procedimiento conocido como el método de las Diferencias Finitas en el Dominio del Tiempo, propuesto por Kane Yee en 1966, el cual se encuentra mejor adaptado a resolver problemas descritos por ecuaciones diferenciales. A este conjunto de métodos numéricos aplicados a la teoría electromagnética se le conoce de forma general como Electromagnetismo Computacional.

En la teoría electromagnética, el concepto clave que acumula toda la información de un sistema radiante es su distribución de corriente. El conocerla permite determinar el comportamiento eléctrico del sistema, como por ejemplo, su patrón de radiación, su impedancia de entrada, su ganancia directiva, etc., los cuales son sumamente útiles para el correcto desempeño de los sistemas de comunicaciones. Los modelos que describen la distribución de corriente del sistema se basan en las ecuaciones de Maxwell, como ya se ha presentado en el capítulo anterior, siendo los más representativos la ecuación de Pocklington y la ecuación de Hállen. La solución analítica de las mismas es, en la mayoría de los casos, imposible, por lo que se recurre al uso de técnicas numéricas, las cuales proporcionan soluciones sorprendentemente precisas. Por esta razón, existe una amplia investigación sobre cómo mejorar el desempeño de los métodos numéricos en los problemas de la ingeniería eléctrica, buscando una reducción de los recursos de máquina usados, una simplificación en los algoritmos y la aplicación de éstos a nuevos problemas de interés.

En este capítulo se presenta el método Bubnov-Krylov-Galerkin, mejor conocido como el método de momentos y se detallan características sobre su utilización en los problemas electromagnéticos. Se muestran algunas variantes del método, se investigan las propiedades matemáticas de las funciones base y peso y se discute sobre los errores que influyen en la solución numérica del método.



- 63 -

3.1. El método de Bubnov-Krylov-Galerkin

El método de Bubnov-Krylov-Galerkin es una técnica numérica sumamente útil en la ingeniería eléctrica debido a que proporciona una solución aproximada a una ecuación operador, por medio de una expansión en una serie de la función desconocida, transformándola en una ecuación matricial, la cual puede resolverse con los métodos estándar del análisis numérico, como el método de Gauss-Jordan [3]. El método es relativamente antiguo y fue creado por el ingeniero mecánico ruso A. Galerkin en 1915, sin embargo, su uso se limitaba a aquellas situaciones donde las técnicas del análisis fallaban, dejándolo como última opción. El método fue utilizado con éxito durante la Segunda Guerra Mundial en el Laboratorio de Radiación del MIT por Schwinger y otros para resolver problemas de microondas, convirtiéndose en una herramienta valiosa. Con la llegada de las computadoras en los años sesentas, el método se popularizó enormemente ya que producía soluciones con gran exactitud. En especial, Roger F. Harrington reunió todas las técnicas numéricas hasta entonces conocidas y las agrupó en una más general conocida como el método de momentos. El método también es conocido como el método de residuos ponderados, el método de proyecciones y el método de Bubnov-Krylov-Galerkin.

El método se basa en el hecho de que la mayoría de las funciones pueden representarse como una combinación lineal de un conjunto de funciones de expansión, las cuales son linealmente independientes entre sí [4]. Por lo tanto, en términos de espacios lineales de funciones, cada uno de los coeficientes de la serie corresponde a la proyección de la función original respecto a la función base correspondiente del sub-espacio de funciones de Hilbert. Esto es análogo a expresar un vector cualquiera como una combinación lineal de un conjunto de vectores que forman una base ortogonal; las componentes del vector corresponden a las proyecciones de éste sobre los vectores de la base. En la práctica el conjunto de funciones de expansión es finito, lo cual produce soluciones aproximadas, cuya exactitud depende del número de términos de la serie.

Sea una ecuación no homogénea expresada en términos de un operador lineal L : ( ) ,f g=L (3.1)

donde la función desconocida f corresponde al dominio del operador y se conoce como la función de campo o función respuesta, la función conocida g corresponde al rango del operador y se conoce como la función fuente. En un problema determinístico, la solución de (3.1) es única, por lo que existe sólo una función f asociada a la función g : ( )1 ,f g−= L (3.2)

donde 1−L es el operador inverso del problema. Si g y 1−L son conocidos, entonces (3.2) representa la solución buscada, sin embargo, en la mayoría de las ocasiones es imposible obtener en forma analítica el operador inverso, por lo que se recurre al método de momentos. Su formulación consiste en expresar a f como una combinación lineal de N funciones linealmente independientes entre sí, conocidas como funciones base:

1 1 2 21

,N

N N n nn

f f f f fα α α α=

= + + + =∑… (3.3)



- 64 -

donde las constantes nα son los coeficientes a determinar. Para una solución exacta del problema se considera un número infinito de términos, por lo que el conjunto de funciones base forman un sub-espacio lineal de funciones en el espacio de Hilbert, sin embargo, en términos prácticos, la suma es usualmente finita, con lo cual se obtiene una solución aproximada. Al sustituir (3.3) en (3.1), y debido a la linealidad del operador se tiene:

( )1

.N

n nn

f gα=

=∑ L (3.4)

Dependiendo de la naturaleza de las funciones empleadas se utiliza algún producto

interno adecuado para el problema1, el cual satisface las siguientes propiedades:

, , ,

, , , ,

0 , 0,,

0 , 0.

f g g f

f g h f h g h

ff f

f

α β α β

∗

=

+ = +

> ≠= =

(3.5)

El producto interno ,f g denota la proyección de f en la dirección de g . A continuación

se propone otro conjunto de N funciones linealmente independientes en el dominio de L , conocidas como funciones peso o funciones prueba 1 2, , , Nw w w⋯ , con las cuales se toma el

producto interno con (3.4). Esto es necesario ya que la sola ecuación (3.4) con N incógnitas no proporcionaría un vector solución único; al tomar el producto punto se genera un sistema lineal de N ecuaciones cuyas N incógnitas se determinan si el sistema es no singular:

( )1

, , , 1,2, , ,N

n m n mn

w f w g m Nα=

= =∑ L ⋯ (3.6)

el cual puede escribirse en forma matricial como:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

[ ]( ) ( )

1 1 1 2 1 1 1

2 1 2 2 2 2 2

1 2

, , , ,

, , , ,, .

,, , ,

N

Nmn n m

N NN N N N

w f w f w f w g

w f w f w f w gL g

w gw f w f w f

αα

α

α

= =

L L L

L L L

L L L

⋯

⋯

⋮ ⋮⋮ ⋮ ⋱ ⋮

⋯

(3.7)

Si [ ]mnL es no singular, entonces existe su inversa y los coeficientes de la expansión son:

( ) [ ] ( )1.n mn mL gα −= (3.8)

1 El producto interno de dos funciones es una generalización del producto punto entre vectores:

1

, .N

n nn

f g=

• = =∑f g f g

Al calcular las proyecciones de un vector respecto a una base ortogonal se utiliza este producto. En el caso de un espacio de Hilbert, las proyecciones se calculan por medio del producto interno, el cual para funciones reales y funciones vectoriales complejas se expresa por:

, , , .b

a Sf g f g dx ds∗= = •∫ ∫∫f g f g



- 65 -

En forma matricial, la solución del problema se determina al construir el siguiente vector fila:

( ) [ ] ( )( ) ( )[ ] ( )1

1 2 , .n N n n n mn mf f f f f f f L gα −= = =ɶ ɶ ɶ⋯ (3.9)

El nombre del método proviene de la terminología original donde ( )nx f x dx∫

corresponde al n -ésimo momento de ( )f x . Cuando nx se reemplaza por una función

arbitraria mw , la integral continúa llamándose momento de ( )f x . El nombre de método de

residuos ponderados proviene de la siguiente interpretación [5]. Si (3.4) representa una aproximación de la función ( )g x , entonces la diferencia entre ésta y la solución exacta,

conocida como residuo, es:

( ) ( ) ( )1

.N

n nn

r x g x fα=

= −∑ L (3.10)

El producto interno del residuo con cada función peso se conoce como residuo ponderado. La ecuación (3.6) se obtiene de hacer todos los residuos ponderados igual a cero,

, 0, 1,2, ,mr w m N= ∀ = ⋯ .

El nombre de método de proyecciones proviene de la interpretación en términos de

espacios lineales de funciones del método. Las funciones base nf generan un sub-espacio con

el cual se intenta aproximar a f , y las funciones peso mw generan otro en el cual se proyecta

( )fL , entonces se establece un residuo igual al vector nulo en éste sub-espacio. Los

productos internos con cada mw en (3.6) son proporcionales a las componentes mw de (3.4), por lo tanto, alternativamente se puede decir que cada componente del residuo es cero en el sub-espacio de funciones peso, lo que equivale a decir que el residuo es ortogonal a cada mw .

Una de las principales tareas para un problema en particular es la elección de las funciones nf y mw . Las nf deben escogerse de tal forma que aproximen razonablemente bien

a f y la elección de mw es tal que el producto interno ,mw g sea relativamente

independiente a las propiedades de g [6]. Algunos factores adicionales para la elección de las funciones son: la exactitud de la solución buscada, la facilidad de la evaluación de los elementos de la matriz y el tamaño de la matriz que será invertida. Lo más importante del

método radica en la obtención de la matriz [ ] 1

mnL−

, la cual da cierta representación al

operador inverso 1−L . De esta forma, se tiene siempre una solución (usualmente aproximada)

para cualquier función excitación. Por lo tanto, la matriz [ ] 1

mnL−

toma el papel análogo de una

función de transferencia de la teoría de los circuitos; determinarla implica conocer completamente al sistema.

Dentro del método de momentos existen ciertas técnicas que permiten modificar el operador L de tal forma que el trabajo para evaluar los elementos matriciales pueda reducirse sensiblemente. A continuación se exponen las técnicas más comunes:



- 66 -

1. Método de las eigenfunciones. Este método es un caso especial cuando las funciones base propuestas corresponden con eigenfunciones del operador L y cuando las funciones peso corresponden con eigenfunciones del operador adjunto2 aL . Por supuesto que es difícil encontrar tales funciones, pero una vez que se encuentran, la solución del problema ( )f g=L es simple ya que la matriz [ ]mnL se convierte en

diagonal, cuyos elementos equivalen a los eigenvalores nλ del problema, cuando las

eigenfunciones están normalizadas o biortogonalizadas. La matriz inversa [ ] 1

mnL−

se

calcula fácilmente al tomar el recíproco de los eigenvalores, lo cual reduce considerablemente el tiempo de cálculo y permite considerar matrices de dimensiones infinitas para soluciones exactas.

2. Operador extendido. Un operador se define por una operación que es aplicada a su

dominio, el cual consisten en un espacio de funciones. Este dominio se puede “extender” para redefinir la operación, de tal forma que pueda aplicarse a nuevas funciones que no pertenecían al dominio original, siempre y cuando la operación extendida no cambie a la original en su dominio. Si el operador original es auto-adjunto se acostumbra hacer que el extendido sea auto-adjunto también. Con este procedimiento se puede usar una clase más amplia de funciones para la solución con el método de momentos.

3. Operador aproximado. En algunos problemas complejos generalmente es necesario

aproximar el operador para obtener soluciones más fácilmente. Por ejemplo, para un operador diferencial, la aproximación por diferencias finitas es una opción conveniente, y para un operador integral, la aproximación se obtiene al aproximar el kernel de la operación. Cualquier método por el cual una ecuación funcional se reduce a una ecuación matricial puede interpretarse en términos del método de momentos. Por lo tanto, cualquier solución matricial usando el operador aproximado corresponderá a una solución empleando la aproximación de la función.

4. Soluciones de perturbación. Algunas veces el problema estudiado es sólo ligeramente

diferente (perturbado) de un problema que puede resolverse exactamente (problema no perturbado). Una solución de primer orden del problema perturbado puede entonces obtenerse al usar la solución del problema no perturbado como una base del método de momentos. Soluciones de perturbación de alto orden pueden obtenerse al usar las soluciones no perturbadas más términos de corrección en el método de momentos.

5. Método de Galerkin. Esta técnica se presenta cuando el operador del problema es igual

a su operador adjunto, a=L L , es decir, L es auto-adjunto, lo cual permite que las funciones base y peso sean iguales [7], ( ) ( )n nf x w x= . Este método tiene la ventaja

de producir una matriz [ ]mnL simétrica, sin embargo, computacionalmente es más

difícil calcular sus elementos. En el caso en que a≠L L la técnica se conoce como el método de Petrov, que fue quien extendió el método de Galerkin a estos casos.

2 Un operador adjunto aL es aquel que cumple con la siguiente propiedad:

( ) ( ), , af g f g=L L

para toda f en el dominio de L . Un operador auto-adjunto es aquel que cumple con la propiedad de que a =L L , donde el dominio de

aL es el mismo que el de L .



- 67 -

Existen otras técnicas donde no interviene la forma del operador, sino las propiedades de las funciones base y peso. En la primera de ellas se elige como función peso a la función delta de Dirac, la cual permite simplificar la integración del producto interno de los elementos matriciales debido a su propiedad de muestreo:

( ) [ ][ ]

( ) ( ) ( ) [ ][ ]

0

0

0

0 0

0

0

1 si , ,

0 si , ,

si , ,

0 si , .

b

a

b

a

x a bx x dx

x a b

f x x a bf x x x dx

x a b

δ

δ

∈− = ∉

∈− = ∉

∫

∫

(3.11)

Por lo tanto, si las posiciones de las deltas de Dirac se colocan de modo que nunca coincidan entre sí, para conservar la independencia lineal, se tiene que la solución es:

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )( )

( )

1 1 1

2 2 2

1 21 1

1 2 2 2

1 2

.

N N N

m m

Nx x x x x x

Nx x x x x x

N NNx x x x x x

w x x

f f f g x

f f f g x

g xf f f

δ

αα

α

= = =

= = =

= = =

= − ⇒

=

L L L

L L L

L L L

⋯

⋯

⋮ ⋮⋮ ⋮ ⋱ ⋮

⋯

(3.12)

El uso de la función delta de Dirac significa que las condiciones de frontera del problema se satisfacen sólo en ciertos puntos discretos. En los demás puntos, no se garantiza que las condiciones de frontera se satisfagan. Este procedimiento se conoce como: método de ajuste de puntos, método de colocación, o método del acoplamiento puntual.

En la siguiente técnica, las funciones base nf se encuentran definidas sólo en una

pequeña sección del dominio de f , por lo que cada nα de la expresión (3.3) afecta la

aproximación de f sobre una pequeña sección de la región de interés. Esta técnica se conoce como el método de las funciones base subdominio y generalmente simplifica la evaluación y la forma de la matriz [ ]mnL , ya que se combina comúnmente con el uso de la técnica del

ajuste de puntos [8]. Ya que las funciones base son distintas de cero en una pequeña región del dominio de f , reciben el nombre de funciones base subdominio, y su uso equivale a dividir tal dominio en N segmentos no traslapados que por simplicidad son colineales y de igual longitud, aunque no necesariamente. Entre este tipo de funciones base, las más comunes son las siguientes:

1. Función pulso. Se define de acuerdo a:

( ) 11 si ,

0 en otro lugar .n n

n

x x xf x +≤ ≤

=

(3.13)

Su uso equivale a obtener una representación en forma de escalera de la función ( )f x y

su principal ventaja radica en su simplicidad matemática y su sencillez de programación.



- 68 -

2. Función triangular. Esta función se determina por medio de:

( )

11

1

11

1

si ,

si ,

0 en otro lugar .

nn n

n n

nn n n

n n

x xx x x

x x

x xf x x x x

x x

−−

−

++

+

− ≤ < − −= ≤ ≤ −

(3.14)

El uso de esta función implica cubrir dos segmentos por cada una de ellas, por lo que dos funciones base consecutivas acaban traslapándose entre sí. La representación gráfica de

( )f x es más suave, pero se incrementa el trabajo computacional. Estas funciones fueron

usadas en muchos trabajos de Harrington y en el programa MININEC para alambres delgados.

3. Función pedazo senoidal. Esta función se especifica de acuerdo a:

( )( )

1 1

sensi

sen0 en otro lugar.

nn n

n

k x x xx x xf x k x − +

∆ − − ≤ ≤= ∆

(3.15)

Los pedazos senoidales fueron usados por primera vez por Richmond en la formulación de Galerkin desarrollada con la ecuación integral de reacción. Estas funciones son muy eficientes computacionalmente para alambres delgados, debido en parte a que la distribución de corriente tiende a ser senoidal conforme el radio del conductor tiende a cero. Su uso demuestra una rápida convergencia en el método.

3.2. La elección de las funciones base y peso en el método de momentos

En el método de momentos las funciones base nf sirven para aproximar a la función f

por medio de una combinación lineal Nf de N términos, en donde se busca determinar sus coeficientes. La elección de estas se basa en las condiciones en la frontera y por las propiedades de diferenciabilidad del operador L . Más formalmente, ellas necesitan estar en el dominio de L , denotado por ( )D L , y su elección no depende de la forma en que se elijan las

funciones peso [9]. En la ecuación operador: ( ) ,f g=L (3.16)

el operador mapea cada elemento f del dominio, al elemento g en el rango de L , denotado

por ( )R L , como se ve en la Fig. 3.1a.



- 69 -

Figura 3.1. a) Dominio y rango del operador L . b) Norma mínima para la mejor representación de g .

Cada ( )N Ng f= L debe estar en ( )R L , y el trabajo de las funciones peso es hacer que

el residuo N NR g g= − sea pequeño. En el método de momentos las funciones peso son usadas para crear un sistema consistente de ecuaciones. Esto se logra al tomar el producto interno de cada función peso con el operador actuando sobre la expansión de funciones base. Para cada problema se debe escoger un producto interno apropiado, el cual, en general, no es un producto interno “simétrico”. Una forma conveniente de expresarlo es:

( ) ( ), ,L

C D C z D z dz∗= ∫ (3.17)

donde D∗ denota el complejo conjugado de D . Un producto interno “simétrico” se expresa de manera similar, pero sin usar la conjugación, lo cual no define una norma3 a menos que las funciones sean reales. El concepto de norma es importante para definir un criterio de error, el cual no se consigue con un producto simétrico.

Para una representación única de la norma mínima, Ng debe ser ortogonal al residuo

Ng g− , como se muestra en la Fig. 3.1b, pero también, de acuerdo a la formulación del

método de momentos, las funciones peso deben ser ortogonales a NR :

( ), , , 0 , 1,2, , .N m N m N mR w g f w g g w m N= − = − = =L ⋯ (3.18)

Por lo tanto, las funciones peso forman una base ortogonal capaz de representar cualquier excitación g en ( )R L .

3.3. El método de Galerkin

Para obtener una solución con el método de momentos, es necesario establecer el

conjunto de funciones base 1

N

n nf

= que pertenezcan a ( )D L y el conjunto de funciones peso

1

N

m mw

= que sean parte de ( )R L . Por lo tanto, si el rango del operador se conoce, entonces

pueden elegirse las funciones peso y se puede construir el sistema de ecuaciones:

3 Una norma en los espacios de funciones lineales se define por ,X X X= .



- 70 -

( )1

, , , 1,2, , .N

n n m mn

f w g w m Nα=

= =∑ L ⋯ (3.19)

En particular, si ( )R L es un subespacio de ( )D L , entonces puede aplicarse el método de

Galerkin, de otra forma, el método no debería ser usado. Ya que generalmente es difícil conocer el rango del operador, una forma de elegir a las funciones peso es por medio del operador adjunto aL , cuyo dominio cubre el rango de L , es decir:

( ) ( ) ,aR D⊂L L (3.20)

por lo tanto, las funciones peso deben de estar necesariamente en ( )aD L . Cuando ( )R L no

se conoce, y ( ) ( )aD D≠L L , no hay razón para suponer que pueda aplicarse el método.

Frecuentemente, en el método de Galerkin, las funciones peso son del tipo subdominio.

La justificación matemática es que se puede conseguir una exactitud arbitrariamente buena al hacer que los subintervalos sean suficientemente pequeños. Sea ( )NP g una función lineal

continua que coincide con g en los puntos jz , la cual es lineal en el subintervalo

1, , 1,2, ,j jz z j N+ = ⋯ , entonces:

( ) ( ) ( )1

,N

N j jj

P g g z e z=

=∑ (3.21)

donde ( )je z es una función subdominio lineal (por ejemplo, una función triangular) que toma

el valor de 1 en jz y 0 en los demás nodos y ( )jg z es el valor de la función correspondiente

al nodo jz , de tal forma que NP es una proyección lineal con norma unitaria del espacio de

funciones continuas en el intervalo [ ],a b al subespacio NS representado por 1 2, , , Ne e e⋯ :

11max 0 ,N j j

j NS z z−≤ ≤

= − → (3.22)

entonces es evidente la siguiente condición de convergencia:

( )max 0 , , .NP g g N z− → → ∞ ∀ (3.23)

Sin embargo, si g no es cero en los puntos extremos ,a b, entonces la convergencia mencionada ocurre sólo en forma cuadrática media. Por lo tanto, para aplicar el método de Galerkin, las funciones base nf deben cubrir tanto el dominio como el rango del operador.

Se ha mostrado que la distribución de corriente en un alambre se modela con la

ecuación de Pocklington, y si el alambre no forma un lazo cerrado, la corriente debe ser cero en los extremos. Sin embargo, el operador adjunto no cumple con esta condición en la



- 71 -

frontera4, y por lo tanto ( ) ( )aD D≠L L . Más aún, si el alambre es excitado uniformemente

por una onda plana normal incidente, el uso de pedazos senoidales como funciones base no reconstruye a una función constante a pesar de que en los extremos se fuerza la condición de frontera. Por lo tanto, estas no deberían usarse como funciones peso, ya que no cubren el rango del operador.

Un argumento que se presenta para usar el método de Galerkin es que la ecuación de Pocklington no es válida en los extremos del alambre, ya que en estos puntos los campos son infinitos, y por lo tanto el campo eléctrico tangencial será cero en todos los puntos menos en los extremos que quedan excluidos. Una forma de solucionar el problema es trabajando con la ecuación integral de Hállen, la cual es válida en todo el alambre, incluidos sus extremos, porque esta representa el potencial, y la ecuación de Pocklington representa el campo eléctrico.

Otro argumento de mayor fuerza es que la discusión mostrada anteriormente es matemáticamente correcta, sin embargo, no implica que el uso de ciertas funciones peso produzca resultados correctos cuando se aplique a la ecuación de Pocklington o a la ecuación de Hallen para estructuras con extremos abiertos. Incluso existe evidencia de que si uno escoge apropiadamente a las funciones base, la diferencia entre los resultados teóricos y numéricos es pequeña para el problema en cuestión. 3.4. La técnica del ajuste de puntos y el método de los mínimos cuadrados

La técnica de ajuste de puntos es un método muy socorrido por su simplicidad, ya que el uso de deltas de Dirac, simplifica el sistema (3.19) de la siguiente forma:

( ) ( )1

.n

N

n n nn z z

f g zα= =

=∑ L (3.24)

Hay, sin embargo, dificultades con este método. En general, para un operador dado, no es posible determinar a priori cuáles puntos de ajuste son los adecuados. En algunos casos, el uso de las raíces de los polinomios de Chebyshev de N -ésimo orden hace que la proyección del operador diverja menos rápido, lo cual los habilita como una opción conveniente para el ajuste de puntos. Sin embargo, uno debe ser cuidadoso con la selección de los puntos de ajuste, los cuales deben de estar lejos de las regiones donde los campos son pequeños.

En el método de los mínimos cuadrados, las funciones peso de hecho se preseleccionan y se definen por ( )nfL , el cual necesariamente tiene que formar un conjunto completo.

También es importante señalar que g debe estar en el dominio del operador adjunto; si esta

condición no se satisface, la solución clásica de este método está indefinida, porque ( )a gL es

indeterminado. La solución calculada por el método de los mínimos cuadrados se obtiene de la solución de:

4 Para un alambre recto, el operador y el operador adjunto de la ecuación de Pocklington son:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2

2 22 2

, , , , , .4

jkRad d

I k I z G z z dz W k W z G z z dz G z zdz dz R

eπ

−∗ ′ ′ ′ ′ ′= + = + = ′

∫ ∫L L



- 72 -

( )( ) ( ) ,a af g=L L L (3.25)

sin embargo, numéricamente siempre se puede definir una solución con mínimos cuadrados ya que para este caso no se está resolviendo el problema en un espacio con infinitas soluciones, sino que se resuelve para las incógnitas nα para una función base dada nf , con lo

cual se minimiza la siguiente norma:

( )2

1

.N

n nn

f gα=

−∑ L (3.26)

El método de los mínimos cuadrados es, matemática y numéricamente, la técnica más segura a utilizar cuando se conoce muy poco sobre la naturaleza del operador y la solución exacta. 3.5. Análisis del error en el método de momentos

En los problemas de radiación y dispersión electromagnética, generalmente los operadores integrales empleados no son auto-adjuntos, por lo que las soluciones clásicas de convergencia de los métodos numéricos basados en estos operadores no son aplicables [10]. Para analizar el error asociado en estos problemas, se contaba con dos enfoques principales: métodos de validación y el punto de vista analítico matemático. El primero consiste en hacer ensayos comparativos en problemas de prueba respecto a soluciones analíticas o mediciones realizadas. Este enfoque es indirecto porque los errores obtenidos para los casos de prueba podrían no extrapolarse confiablemente a otros problemas debido a fenómenos intrínsecos de estos, tales como resonancia, efectos de borde, o defectos de segmentación.

En el segundo enfoque las dificultades computacionales se incrementan. Este consiste en revisar las condiciones de frontera sobre el conductor e inferir la exactitud de los campos o corrientes calculados. Otra manera consiste en determinar las soluciones numéricas para una serie de segmentaciones de refinamiento creciente, con lo cual es posible calcular la exactitud del problema al suponer que la convergencia se rige por una ley de potencias de dichas soluciones. Aunque las pruebas comparativas siempre consisten esencialmente en verificar los métodos numéricos, las estimaciones teóricas del error son preferibles para grandes colecciones de casos de prueba

La solución de error del método de momentos decae asintóticamente de acuerdo a alguna potencia del tamaño de los elementos de la segmentación conforme ésta se hace más pequeña. El exponente se determina por las características de la superficie del radiador y la elección de las funciones base. Estos resultados se obtienen desde el punto de vista de los espacios de Sobolev de orden fraccionario5, los cuales pueden interpretarse físicamente como funciones espaciales de corrientes y campos incidentes evaluados en superficies: el rango y el dominio de los operadores integrales de radiación y dispersión.

5 Un espacio de Sobolev es un espacio normado de funciones obtenidas al imponer sobre una función f y sus derivadas débiles arriba de

algún orden k la condición de una norma infinita pL , para un valor dado de 1p ≥ . Su nombre es en honor de Sergei L. Sobolev. Los

espacios de Sobolev admiten la norma natural:

( ) ( ) ( )( )1

,0 0

.pk k p

i i

k p pi i

f f f t dt= =

= =∑ ∑ ∫



- 73 -

Una pregunta incluso más fundamental que la tasa de convergencia asintótica de un método numérico es, en primer lugar, sí o no la solución converge a la respuesta correcta para un problema dado. La exactitud del método de momentos depende del problema físico a resolver, la segmentación usada para representarlo y la técnica seleccionada. Los parámetros que afectan la exactitud son:

• Problema: 1. Características de la superficie radiadora: Bordes, esquinas y puntos singulares. 2. Geometría del radiador: Resonancias ficticias y reales para cavidades abiertas. 3. Campo electromagnético incidente o excitación: Ángulo de incidencia, tipos de

fuentes. 4. Fenómenos en bajas frecuencias. 5. Tipo de resultado numérico final: Corriente, campo eléctrico total o campo

dispersado.

• Segmentación: 1. Densidad de segmentación: Elementos por unidad de longitud de onda. 2. Irregularidad del tamaño de los elementos y defectos de la segmentación. 3. Error geométrico en la discretización: Facetas planas o curvas.

• Técnica numérica:

1. Formulación de la ecuación integral: EFIE, MFIE, CFIE. 2. Funciones base y peso: Tipos y orden de los polinomios. 3. Reglas de cuadratura usadas para evaluar los elementos de las matrices. 4. Algoritmos de solución de sistemas lineales de ecuaciones: Factorización

directa o iterativa.

Los errores más bajos están asociados con radiadores de superficies suaves, segmentaciones de alta densidad, segmentos regulares, facetas curvas que conforman su superficie, funciones base polinomiales de alto grado y reglas de cuadratura de alto orden. Aunque lo inverso no es cierto, todos los factores que determinan la tasa de decaimiento asintótico también afectan al error inicial. Para simplificar el problema del análisis del error, sólo se estudia la dependencia de la densidad de segmentación en la tasa de decaimiento asintótico, sin tomar en cuenta los demás factores.

La principal dificultad con las estimaciones asintóticas es que no proporcionan información sobre el error para una segmentación dada, porque sólo se provee el exponente de decaimiento o el orden del error. Este orden es independiente de la frecuencia, geometría del radiador y efectos físicos como la resonancia. Al calcular las soluciones en dos o más segmentos que son suficientemente pequeños, el exponente de decaimiento puede usarse para estimar el error absoluto, sin embargo, en problemas prácticos de electromagnetismo, el más llano cambio en la segmentación es difícil de programar. Otra limitación es que sólo se dispone de estimaciones asintóticas para la corriente en el radiador, por lo que en parámetros derivados, como la impedancia de la antena, esta información no se tiene. Las estimaciones de error asintótico están dadas también en términos de normas de Sobolev, que podrían no ser computables.

Los principios más simples del análisis del error en el método de momentos son el de la aproximación y la optimización. En el primero, de todas las posibles combinaciones lineales de funciones base, se obtiene una aproximación para la corriente obtenida por el método de



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momentos, en la cual existe una función que es óptima o la más cercana a la corriente exacta del radiador, definida con respecto a la norma de Sobolev de la solución de error. El término de aproximación del error está dado por el error de esta solución óptima relativa a la solución exacta. En general, un método numérico no devuelve la mejor o más óptima solución posible en la aproximación buscada. Sin embargo, en muchos casos, la solución numérica se acerca a la óptima combinación de funciones base. Esto proporciona al análisis del error un primer intento para demostrar que la solución numérica obtenida con el método de momentos es cercana a la solución óptima, de tal forma que la solución de error es cercana a la aproximación del error. Con tal resultado, el problema del análisis del error se reduce al siguiente: Dado un particular conjunto de funciones base, ¿cuál es el error de la mejor combinación lineal posible relacionada con la corriente exacta? Esta pregunta puede responderse sin un conocimiento detallado de los métodos numéricos o incluso de la solución exacta, todo lo que se requiere es cierta clase de suavidad en la solución.

Existen dos tipos de resonancias que afectan las simulaciones con el método de momentos. La primera es la resonancia interna. En un conductor eléctrico perfecto cerrado, existen frecuencias en las cuales el interior del conductor entra en resonancia. Ya que el modo de resonancia interna no puede ser excitado por campos externos, no hay impacto físico en las propiedades radiativas del objeto. Sin embargo, existe un impacto numérico en el método de momentos, ya que el modo de resonancia conduce al eigen-valor cero para el operador de la EFIE. Esto provoca que la matriz del método de momentos se haga singular, lo que produce un error cuando el sistema de ecuaciones se resuelve. El segundo tipo de resonancia física ocurre en cavidades abiertas. Para un cuerpo conductor perfecto las cavidades resonantes abiertas tienen un factor Q finito y pueden ser excitadas por campos externos, lo que conduce a un eigen-valor de la matriz del método de momentos con una pequeña pero finita parte real que representa las pérdidas del modo resonante a través de la cavidad abierta al exterior.

En los párrafos anteriores se ha supuesto que los elementos de la matriz del método de momentos pueden evaluarse exactamente. En las simulaciones numéricas se usan reglas de integración de alto orden, de tal forma que los elementos de la matriz son efectivamente exactos. El error en la cuadratura numérica reduce la tasa de convergencia de la solución asintótica del método de momentos.

En la práctica se puede incurrir en errores al resolver el sistema lineal de ecuaciones usando métodos de factorización directa o algoritmos iterativos. En estructuras radiativas grandes, el número de incógnitas requeridas por el método de momentos puede ser enorme, por lo que el uso de métodos iterativos puede ser inevitable. Estos métodos generan una solución aproximada en cada paso del algoritmo, con un costo computacional de una o dos multiplicaciones matriciales por iteración. El algoritmo debe ejecutarse en tal número de pasos que el error de la solución aproximada sea pequeño comparado con los otros tipos de errores. La pregunta en relación con esta técnica es: ¿Cuántas iteraciones se requieren para que un método iterativo converja con un error dado? En la práctica, el número de iteraciones requeridas es altamente sensible al tipo de problema resuelto. Un método podría converger en decenas de iteraciones para un simple problema de prueba, y en muchos cientos para una geometría más complicada. Esto conduce a una falta de robustez y confiabilidad para los programadores del método de momentos. Al cambiar la formulación integral puede, en algunos casos, reducirse el número de iteraciones requeridas, pero para algunos problemas la convergencia es lenta a pesar del tipo de formulación. Por lo tanto, los estudios teóricos que analizan la convergencia de métodos iterativos en problemas de electromagnetismo computacional son de interés.



- 75 -

3.6. Solución del método de momentos a la ecuación de Pocklington

La ecuación de Pocklington es el modelo matemático que describe la distribución de corriente en una antena delgada de geometría arbitraria:

( ) ( ) ( )( )( )2 4 2 3 2 25

0

1ˆ ˆ ˆ ˆ3 3 .

4


j R

eωε π

′ ′ ′= − − − + − • • ∫ s s + R s R s (3.27)

El conocer cómo se distribuye la corriente a lo largo de ésta, proporciona toda la

información necesaria para determinar los parámetros de la antena, tales como su patrón de radiación, su impedancia de entrada y su ganancia directiva, entre otros. Por lo tanto, el objetivo será proporcionar una solución numérica a la ecuación de Pocklington por medio del método de momentos. La solución numérica se convierte en la opción más recomendable, ya que la obtención de soluciones analíticas constituye una tarea prácticamente imposible para la mayoría de las antenas encontradas en la práctica. La solución con el método de momentos proporciona una interpretación adecuada en términos de la teoría de los circuitos de las matrices que deben calcularse.

De acuerdo a la formulación del método, la distribución de corriente debe expresarse en términos de las proyecciones nc sobre el subespacio finito de las N funciones base ( )ni s′ :

( ) ( )1

.N

n nn

I s c i s=

′ ′=∑ (3.28)

En el límite cuando N → ∞ , (3.28) resultará en una igualdad. Al sustituir en (3.27) se tiene:

( ) ( ) ( ) [ ]1

1, , 0, ,

n

NIs n n n

n

E s c K s s i s ds Ljωε = ∆

′ ′ ′= − ∆ ∈∑ ∫ (3.29)

donde el kernel de la integral se define por:

( ) ( ) ( )( )( )2 4 2 3 2 25

ˆ ˆ ˆ ˆ, 3 3 ,4

-jkR

K s s k R R jkR • jkR k RR

eπ

′ ′ ′= − − + − • • s s + R s R s (3.30)

y donde n∆ representa el dominio de la función base ( )ni s′ . Para este problema, un producto

interno adecuado para una función peso subdominio será el siguiente:

[ ]0

, , 0, ,m

L

m m m mw f w f ds w f ds L∆

= = ∆ ∈∫ ∫ (3.31)

donde m∆ representa el dominio de la función peso ( )mw s . Por lo tanto, al tomar el producto

interno de (3.29) con las funciones peso se tiene el siguiente sistema de ecuaciones:

( ) ( )1

1, , 1,2, , .

m m n

NI

m s n m nn

w E ds c w K s s i s ds ds m Njωε =∆ ∆ ∆

′ ′ ′= − =∑∫ ∫ ∫ ⋯ (3.32)



- 76 -

El sistema lineal (3.32) puede escribirse en forma matricial como: [ ]( ) ( ) ,mn n mZ c v= (3.33)

donde los elementos de la matriz [ ]mnZ y la matriz ( )mv se calculan de acuerdo a:

( ) ( )1, , , , 1,2, , .

m n m

Imn m n m m sZ w K s s i s ds ds v w E ds m n N

jωε ∆ ∆ ∆

′ ′ ′= − = =∫ ∫ ∫ ⋯ (3.34)

Si la matriz [ ]mnZ es no singular, entonces la solución del sistema lineal de ecuaciones será:

( ) [ ] ( )1.n mn mc Z v

−= (3.35)

Para calcular los elementos de las matrices [ ]mnZ y ( )mv se necesita efectuar la

integración resultante de la operación del producto interno, más la propia integración del kernel ( ),K s s′ en el caso de [ ]mnZ . Las integraciones en (3.34) son difíciles de realizar

analíticamente, por lo que se recurre a una aproximación numérica mediante el método de la cuadratura de Gauss.

La ecuación de Pocklington fue deducida en términos de un sistema infinito de redes eléctricas acopladas, en las cuales la corriente se considera uniforme, y para las cuales se determinan los parámetros eléctricos en función de la geometría del alambre. De esta forma, a

[ ]mnZ se le llama convenientemente matriz de impedancias, a ( )mv se le conoce como matriz

de voltajes y ( )nc corresponde a la matriz de corrientes, aún cuando sus unidades sean mΩ ,

V m y A m, respectivamente. Esta interpretación asume que el alambre que constituye la antena se forma por N pequeños segmentos cuyos extremos definen un par de terminales en el espacio, de tal manera que los N pares de terminales forman una red de N puertos, donde el alambre de la antena se obtiene al poner en corto-circuito cada uno de ellos. La matriz de impedancias de la red se determina al aplicar una fuente de corriente a cada puerto con lo cual se calcula el voltaje en circuito abierto para cada uno de ellos. La matriz de admitancias es la inversa de la matriz de impedancias; una vez que ésta se conoce, las corrientes de cada puerto (la distribución de corriente en el alambre) se determina para cada excitación de voltaje en particular (campo aplicado) por medio de una multiplicación de matrices.

El análogo de la matriz de admitancias [ ] 1

mnZ−

con la función de transferencia ( )H s de

un sistema es evidente; sin importar cómo esté formado un sistema, la función de transferencia lo trata como una caja negra y proporciona para cada excitación una respuesta única, de igual forma que como cada vector de voltajes produce un vector de corrientes único.

Esto deja de lado a la matriz ( )mv , dándole toda la importancia a [ ] 1

mnZ−

. De esta forma, al

igual que en la función de transferencia se busca la respuesta cuando la excitación es una delta de Dirac, en la solución del método de momentos la excitación de la antena se elige de manera análoga con un generador altamente idealizado conocido como generador Delta-Gap. Esto es necesario ya que la distribución del campo eléctrico impreso tangencial se desconoce, con lo cual no podrían calcularse los elementos de ( )mv definidos por (3.34).



- 77 -

En la modelación de sistemas electromagnéticos se tienen varios modelos de generadores que eliminan el problema de conocer la distribución del campo eléctrico en las superficies estudiadas. En el método de momentos los modelos más usados para estructuras radiativas son el generador Delta-Gap y el generador de anillo magnético (Magnetic Frill Generator), mientras que en estructuras dispersivas el más usado es el modelo de una onda plana incidente. La solución dada por (3.35) es suficientemente general para considerar que la antena trabaje tanto como radiador como dispersor.

El generador Delta-Gap surge de la suposición de que el campo eléctrico impreso IsE se

encuentra confinado sólo en una pequeña separación practicada en el alambre de la antena (el gap), por lo que en los demás lugares es exactamente igual a cero. Esta separación gap∆ se

considera tan pequeña que el campo eléctrico es constante en esta región, como se ve en la Fig. 3.2, y se relaciona con el voltaje V aplicado por una línea de transmisión balanceada, de acuerdo a:

.

si ,ˆ ,

0 fuera del gapgap gap

gapgapI I I Is s gap s

V sV ds E ds E E

∆ ∆

∆ ∈ ∆= • = = ∆ =

∫ ∫E s (3.36)

Generalmente se toma la separación del gap menor que alguno de los segmentos en que fue dividido el alambre y se considera que el fasor de voltaje del generador es unitario.

Figura 3.2. Modelo del generador Delta-Gap aplicado a la antena.

El modelo Delta-Gap simplifica la matriz de voltajes, dejando como único elemento diferente de cero, aquél que corresponde al m-ésimo segmento donde se conectó éste:

( ) ( )

0

.

0

m

mmgap

Vw s dsv

∆

= ∆

∫

⋮

⋮

(3.37)

Algunas veces a la antena se le acoplan impedancias a lo largo de ella, con el fin de

modificar la distribución de corriente en el alambre. Una impedancia Z puede introducirse en la solución del método de momentos si se considera que se conecta al m -ésimo segmento del alambre, el cual, normalmente está sometido a una diferencia de potencial mv . La caída de

potencial provocada por la impedancia es entonces:



- 78 -

.m m mV v c Z= − (3.38) Al sustituir en el sistema (3.33) se tiene:

11 12 1 1 1 1

21 22 2 2 2 2

1 2

1 2

.

m N

m N

m m mm mN m m m

N N Nm NN N N

Z Z Z Z c v

Z Z Z Z c v

Z Z Z Z c v c Z

Z Z Z Z c v

= −

⋯ ⋯

⋯ ⋯

⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮

⋯ ⋯

⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮

⋯ ⋯

(3.39)

Al desarrollar el producto de las matrices se ve que el m-ésimo elemento del vector columna de voltajes es:

( )1 1

1 1

,

,m m mm N mN m m

m m mm N mN m

c Z c Z c Z v c Z

c Z c Z Z c Z v

+ + + + = −+ + + + + =⋯ ⋯

⋯ ⋯ (3.40)

por lo tanto, la ecuación matricial (3.39) queda como:

11 12 1 1 1 1

21 22 2 2 2 2

1 2

1 2

.

m N

m N

m m mm mN m m

N N Nm NN N N

Z Z Z Z c v

Z Z Z Z c v

Z Z Z Z Z c v

Z Z Z Z c v

= +

⋯ ⋯

⋯ ⋯

⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮

⋯ ⋯

⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮

⋯ ⋯

(3.41)

Se concluye entonces que conectar una impedancia en el m-ésimo elemento es lo mismo que sumar su valor al elemento mmZ de la matriz de impedancias. Esto proporciona además una

manera muy conveniente de considerar la impedancia interna del generador Delta-Gap sZ , si

es que fuese necesario considerarla. Para un sistema de comunicaciones bien acoplado, donde se evitan reflexiones de energía, la impedancia interna del generador sZ debe ser igual a la

impedancia de entrada de la antena inZ . La forma de determinar este importante parámetro es por medio de la corriente en el segmento donde se conecta el generador y su voltaje [11]:

( ) .inm

VZ

I s= (3.42)

Debido a que la solución matricial depende de las distintas combinaciones de funciones

base y peso, a continuación se muestra la forma que toman los elementos matriciales al usar como funciones base, pulsos y como funciones peso, deltas de Dirac, pareja que proporciona la forma más sencilla de evaluar. De la ecuación (3.34), al sustituir ( ) ( )m mw s s sδ= − , donde

ms representa el centro de la delta, y al sustituir la función base pulso se tiene:



- 79 -

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

1 1, ,

, , 1,2, , .

m n n

m

mn m n m

I Im m s s m

Z s s K s s i s ds ds K s s dsj j

v s s E ds E s m n N

δωε ωε

δ∆ ∆ ∆

∆

′ ′ ′ ′ ′= − − = −

= − = =

∫ ∫ ∫

∫ ⋯

(3.43)

De esta forma, el uso de la función delta de Dirac permite prescindir de la evaluación de la integración más externa. La única integración que queda es para los elementos de [ ]mnZ , la

cual puede efectuarse al realizar una cuadratura Gaussiana. La evaluación de los elementos de

( )mv es aún más fácil, ya que solo es necesario conocer el valor del campo eléctrico impreso

tangencial en los puntos donde las deltas de Dirac tienen sus centros. Si la antena se alimenta con un generador Delta-Gap, entonces el campo eléctrico sólo es diferente de cero en aquel segmento donde el generador se conecta. Matricialmente, el sistema de ecuaciones quedaría como:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 2

1 2

1 2

1 1 1

1

2 2 22

, , , 0

, , ,1.

, , ,0

N

N

N

gap

N

N N N

K s s ds K s s ds K s s ds

cK s s ds K s s ds K s s ds Vc

j

cK s s ds K s s ds K s s ds

ωε

∆ ∆ ∆

∆ ∆ ∆

∆ ∆ ∆

′ ′ ′ ′ ′ ′

′ ′ ′ ′ ′ ′ − = ∆ ′ ′ ′ ′ ′ ′

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

⋯

⋮

⋯

⋮⋮ ⋮ ⋱ ⋮

⋮⋯

(3.44)

3.7. Patrón de radiación de la antena

Las características de radiación del sistema pueden calcularse una vez que se conoce la distribución de corriente en la antena. La forma de determinar el patrón de radiación que se presenta a continuación constituye una aportación hecha por el autor. Esta formulación no se basa en arreglos de antenas ni en fuentes puntuales, sino que toma en consideración la geometría de la antena para determinar el vector potencial magnético en un punto retirado de la antena, con el cual se calculan las componentes del campo eléctrico lejano. A partir de los potenciales retardados se tiene que el potencial vectorial magnético producido por un filamento de corriente es:

( ) ,4

jkR

s

s dsR

eµπ

−

′

′ ′= ∫A I (3.45)

donde R es la distancia entre un punto de la antena definido por ( )s′ ′r y un vector fijo en el

espacio r , alejado suficientemente de la misma, como se ve en la Figura 3.3. La relación entre los vectores es la siguiente: .′= −R r r (3.46) Debido a la lejanía del punto de medición, r es prácticamente paralelo a R , por lo tanto:



- 80 -

cos , cos ,R r rr r

ξ ξ′•′= − =

′r r

(3.47)

donde ξ es el ángulo entre los vectores r y ′r . La ecuación (3.47) permite aproximar la integral (3.45), ya que el denominador puede expresarse aproximadamente por r , sin embargo, en la función exponencial esto no debe hacerse ya que ésta determina la fase de A . Al sustituir obtenemos:

( ) .4

jkrjk r

s

s dsr

e eµπ

−′•

′

′ ′= ∫r rA I (3.48)

Figura 3.3. a) Cálculo del campo lejano para el patrón de radiación de la antena. b) Detalle geométrico de los vectores de posición.

De acuerdo al método de momentos, la corriente en el alambre se expresa en términos de una serie, donde cada segmento de corriente tiene la dirección de ( )ˆ s′ ′s , por lo tanto:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1

ˆ ˆ, .4

n

jkrN Njk r

n n n nn n

s c i s s c i s s dsr

e eµπ

−′•

= = ∆

′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′= =∑ ∑ ∫r rI s A s (3.49)

La integración expresada en (3.49) puede desarrollarse en términos de una cuadratura gaussiana. El vector potencial así obtenido se encuentra referenciado en el sistema rectangular XYZ. Para expresarlo en función de las coordenadas esféricas se calculan las proyecciones en dirección de los vectores unitarios ˆθa y ˆϕa . El campo eléctrico, en términos del potencial

magnético es:

( )2

1.j j

kω ω = − + ∇ ∇ • ≈ −

E A A A (3.50)

La aproximación anterior es válida para el campo lejano debido a que el término

( )∇ ∇ • A sólo contribuye con las componentes 21 r , 31 r , 41 r , etc., los cuales se atenúan



- 81 -

rápidamente de acuerdo a la potencia de r , llegando a ser despreciables en el campo lejano. Las componentes del campo eléctrico que definen el patrón de radiación son [12]:

( ) ( )

( ) ( )

1

1

ˆ ˆ ˆ ,4

ˆ ˆ ˆ ,4

n

n

jkr Njk r

n nn

jkr Njk r

n nn

E j A j j c i s s dsr

E j A j j c i s s dsr

e e

e e

θ θ θ θ

ϕ ϕ ϕ ϕ

µω ω ωπ

µω ω ωπ

−′•

= ∆

−′•

= ∆

′ ′ ′ ′= − = − • = − •

′ ′ ′ ′= − = − • = − •

∑ ∫

∑ ∫

r r

r r

A a s a

A a s a

(3.51)

tal que:

ˆ ˆ ˆ ˆcos cos cos sen sen , sen cos ,dx dy dz dx dy

ds ds ds ds dsθ ϕθ ϕ θ ϕ θ ϕ ϕ′ ′ ′ ′ ′′ ′• = + − • = − +′ ′ ′ ′ ′

a s a s (3.52)

donde ( ), ,r θ ϕ son las coordenadas esféricas del punto lejano.

3.8. Conclusiones del Capítulo III

En este capítulo se presentó la solución numérica de la ecuación integral de Pocklington por medio del método de momentos, el cual la trasforma en una ecuación matricial cuya solución se basa en los métodos numéricos clásicos de inversión de matrices. El método de momentos se apoya en los conceptos de operadores y espacios lineales de funciones para representar aproximadamente la corriente en el conductor por medio de una expansión en términos de funciones base; el objetivo del método es determinar los coeficientes de cada una de ellas. Esto en cierta manera es análogo al método de Fourier para determinar los coeficientes de la serie de una función, donde en este caso, tanto las funciones base como las funciones peso son trigonométricas.

Dentro de las especializaciones del método de momentos se destacan principalmente dos de ellas: el método del ajuste de puntos y el método de Galerkin. El primero de ellos permite reducir significativamente el trabajo computacional al eliminar la integración del producto interno. Este método se acostumbra usar con funciones base subdominio, las cuales dividen al conductor en segmentos colineales, donde la corriente se considera aproximadamente constante. En un punto de cada segmento se cumplen las condiciones de frontera del campo eléctrico en la superficie del alambre, lo cual corresponde al uso de funciones peso delta de Dirac, sin embargo, en los demás puntos estas condiciones de frontera podrían no cumplirse. La principal ventaja de este método es su simplicidad computacional, la cual se refleja en el uso de pocos recursos de cómputo y en una rápida velocidad de procesamiento. El método de Galerkin se presenta cuando el operador del problema L equivale a su operador auto-adjunto aL , lo cual trae como consecuencia que tanto las funciones base como las funciones peso sean iguales. Algunas veces en la literatura se acostumbra a escribir que el método se presenta cuando n mf w= sin tomar en cuenta las propiedades del operador, lo cual podría ser incorrecto para algunos operadores. La principal ventaja del método es producir una matriz [ ]mnZ simétrica, la cual resulta más fácil de invertir

que alguna otra matriz, sin embargo, esta bondad se ve relegada por la dificultad de calcular los elementos mnZ donde sí se tiene que efectuar la integración del producto interno.



- 82 -

Finalmente en este capítulo se presenta un algoritmo para determinar numéricamente el patrón de radiación de la antena. La ventaja de este método reside en el enfoque vectorial que se tiene de la curva que representa el alambre y de la simplicidad que tiene la expresión del campo eléctrico. Con el desarrollo de los productos escalares indicados, el campo eléctrico se calcula alternativamente para cada valor de θ y ϕ con un valor de r fijo, de tal forma que se cubre el espacio que rodea la antena, con lo cual se obtiene el patrón de radiación. Referencias [1] Roger F. Harrington, “Origin and Development of the Method of Moments for Field Computation” in: B. J. Strait Editor, SCEE Press, 1980, p.p. 43-47. [2] Roger F. Harrington, “Matrix Methods for Field Problems” in: Proceedings of the IEEE, Feb. 1967, Vol. 5, No. 2, p.p. 136-149. [3] Roger F. Harrington, Field Computations By Moment Method. Robert E. Krieger Publishing Company, Inc. 1986, Florida USA, p.p. 1-21. [4] Michel M. Ney, “Method of Moments as Applied to Electromagnetic Problems” in: IEEE Trans. on Microwave Theory, Oct. 1985, Vol. MTT-33, No. 10, p.p. 972-979. [5] S. R. Singh, “Some Convergence Properties Of The Bubnov-Galerkin Method” in: Pacific Journal of Mathematics, 1976, Vol. 65, No. 1, p.p. 217-221. [6] Kunio Sawaya, “Numerical Techniques for Analysis of Electromagnetic Problems” in: IEEE Trans. Commun., March 2000, Vol. E83-B, No. 3, p.p. 444-452. [7] Tapan K. Sarkar, “A note on the Choice Weighting Functions in the Method of Moments” in: IEEE Trans. on Antennas and Propagation, April 1985, Vol. AP-33, No. 4, p.p. 436-441. [8] D. R. Wilton, C. M. Butler, “Efficient Numerical Techniques for Solving Pocklington’s Equation and their Relationships to Other Methods” in: IEEE Trans. on Antennas and Propagation, January 1976, Vol. AP-24, p.p. 83-86. [9] Tapan K. Sarkar, Antonije R. Djordjevic and Ercument Arvas, “On the Choice of Expansion and Weighting Functions in the Numerical Solution od Operator Equations” in: IEEE Trans. on Antennas and Propagation, September 1985, Vol. AP-33, No. 9, p.p. 988-996. [10] Karl F. Warnick, Weng Cho Chew, “Error Analysis of the Moment Method” in: IEEE Antennas and Propagation Magazine, December 2004, Vol. 46, No. 6, p.p. 38-52. [11] C. H. Tang, “Input Impedance of Arc Antennas and Short Helical Radiators” in: IEEE Trans. on Antennas and Propagation, January 1964, Vol 12, p.p. 2-9. [12] Constantine A. Balanis, Advanced Engineering Electromagnetics. John Wiley & Sons, Inc. 1989. Cap. VI, p.p. 285-305.


Capítulo IV: Segmentación Equidistante y No-Equidistante Para El Método de Momentos

- 83 -

Capítulo IV

Segmentación Equidistante y No-Equidistante

Para el Método de Momentos



- 84 -

Introducción

El método de momentos transforma la ecuación integral de Pocklington en una ecuación matricial. Esto no debe parecernos extraño, ya que entre una ecuación integral y una matricial siempre existe una relación directa que se hace más evidente conforme el orden del sistema de ecuaciones tiende a infinito, en ese momento la solución discreta y la continua son equivalentes entre sí. Sin embargo, en términos prácticos el orden del sistema no puede considerarse infinito, aunque sí suficientemente grande, lo cual generará un error en la solución del problema, que debe minimizarse conforme se requiera una solución más exacta.

La discretización de la ecuación integral se debe al uso de funciones base y peso subdominio, lo cual se traduce en una división de la antena en pequeños segmentos, los cuales pueden considerarse aproximadamente rectos y en los cuales la corriente que los circula es prácticamente constante. Al aumentar el número de segmentos, se modela mejor a la forma original del alambre, por lo que se reduce el error del problema. Convencionalmente, en la literatura, los segmentos siempre se han considerado equidistantes desde que se analizan antenas numéricamente, ya que esto parece ser la elección más natural y apropiada, sin embargo, el método de momentos no restringe la manera en que debe dividirse la antena, por lo cual es posible proponer un esquema de segmentación no-equidistante.

El esquema de segmentación que se propone en esta Tesis se basa en la forma en que se distribuyen las raíces de los polinomios de Legendre. La motivación proviene de su uso en el método de integración Gaussiana; ya que el modelo de Pocklington es una ecuación integral, es posible desarrollarlo como una cuadratura, la cual intrínsecamente discretiza el resultado al expresarlo como una suma finita. Si se hace coincidir esta discretización con la del método de momentos, se tiene que los segmentos dejan de ser equidistantes. De esta forma, existen dos maneras naturales de segmentar la antena: colocando las raíces en los extremos de cada segmento, o colocándolas en los centros. La primera forma implica necesariamente que el número de raíces de Legendre sea mayor por una unidad que el número de segmentos, y en la segunda, los dos números resultan iguales. Ambas propuestas fueron implementadas mientras se trabajaba en el programa y el autor puede concluir que los mejores resultados se obtienen cuando las raíces se colocan en el centro de cada segmento. Al usar esta segmentación se garantiza que la función interpolante que representa la corriente nunca presentará el fenómeno de Runge-Borel, y que la integral de la corriente tendrá el mínimo error posible. El autor de este trabajo también considera que esta técnica es original e innovadora, ya que hasta este momento no se ha encontrado un esquema de segmentación semejante ni una aplicación original de las raíces de Legendre en el Electromagnetismo Computacional, como la que aquí se presenta.

En este capítulo se exhibe un conjunto de técnicas numéricas sumamente útiles que servirán como sustento para la solución de la ecuación de Pocklington generalizada por medio del método de momentos. Aquí se explica el método de la interpolación lagrangiana, con puntos sencillos y con puntos dobles, con lo cual se deduce que los mejores puntos para efectuarla, sin la aparición del fenómeno de Runge-Borel, corresponden a aquellos definidos por las raíces de los polinomios de Legendre. A partir de esto, se presenta el método de la cuadratura de Gauss, el cual aproxima una función a integrar por medio de un polinomio interpolante, minimizando al máximo el error cometido en la integración numérica; este tema será muy útil para desarrollar la ecuación integral de la corriente del alambre en términos de una cuadratura.



- 85 -

4.1. Interpolación Lagrangiana con puntos sencillos

En el análisis numérico se denomina interpolación al procedimiento de construir nuevos puntos a partir de un conjunto discreto ya dado [1]. En la ingeniería y las ciencias es común disponer de un cierto número de valores a partir de un muestreo o un experimento con los que se desea construir una función que los ajuste y con la cual puedan determinarse valores que no fueron medidos o muestreados. Otro problema ligado a la interpolación es la aproximación de una función dada por una más sencilla, mediante la cual pueda simplificarse algún cálculo complicado. Dentro de los tipos de interpolación se tienen las trigonométricas y las polinomiales, dentro de las cuales, el esquema más general es el lagrangiano [2]. En la interpolación lagrangiana se define un polinomio interpolante ( )1Poln x− de grado 1n− , a

partir de un conjunto dado de n puntos 1 2, , , nx x x⋯ , el cual ajusta al conjunto de valores

muestreados ( ) ( ) ( ) 1 2, , , nf x f x f x⋯ . Primero se construye el polinomio fundamental:

( ) ( )( ) ( )1 2 ,nF x x x x x x x= − − −… (4.1)

a partir del cual se obtienen las siguientes funciones auxiliares:

( ) ( ), 1,2, , .k

k

F xx k n

x xϕ = =

−⋯ (4.2)

A continuación se construyen los siguientes polinomios auxiliares:

( ) ( )( ) ( ) si

si

1 ,,

0 ,k

k k j jkk k

j kxp x p x

j kx

ϕδ

ϕ=

= = = ≠ (4.3)

los cuales se comportan como deltas de Kronecker. En esto reside la genial idea de Lagrange, con la cual el polinomio interpolante coincide con los valores de muestreo:

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )1 11 1

Pol , Pol , 1,2, , .n n

kn k n j j

k k k k

F x f xx f x p x x f x j n

F x x x− −= =

= = = =′ −∑ ∑ ⋯ (4.4)

Al realizar el proceso de interpolación se comete un error igual a: ( ) ( ) ( ) ( )1Pol , 0 , 1,2, , ,n n n kx f x x x k nη η−= − = = ⋯ (4.5)

que puede estimarse por medio del método de la función de Green para resolver la siguiente ecuación diferencial, obtenida al derivar n veces la ecuación anterior:

( ) ( ) ( ) ( ) ,n nn x f xη = (4.6)

cuya solución corresponde a:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ]1 1

1, , , , ,n nx xn n

n nx xx f x G x x dx f x G x x dx x x xη ′ ′ ′ ′ ′= = ∈∫ ∫ (4.7)



- 86 -

donde ( ),G x x′ es la función de Green de la ecuación diferencial (4.6). Esta función, para un

valor fijo de x , no cambia su signo conforme x′ varía en el intervalo [ ]1, nx x . La integral

( )1

,nx

xG x x dx′ ′∫ es independiente de x , por lo que vale lo mismo sin importar qué ( )f x se tome.

Por lo tanto se elige que:

( ) ( ) ( )( ) ( )1

1 2, ,! !

nx n

x

F x x x x x x xG x x dx

n n

− − −′ ′ = =∫

⋯ (4.8)

y al sustituir en (4.7) se tiene que:

( ) ( ) ( ) ( ) [ ]1, , .!

nn n

F xx f x x x x

nη = ∈ (4.9)

En el caso particular en que los n puntos colapsen en uno sólo, x a= (puntos equidistantes), el error resultante corresponde al de la serie de Taylor finita:

( ) ( ) ( ) ( ) [ ], , .!k

n

nn x a

x ax f x x a x

nη →

−→ ∈ (4.10)

4.2. Interpolación Lagrangiana con puntos dobles

Lo que a continuación se presenta es el estudio del polinomio interpolante de Lagrange cuando dos puntos están tan cercanos entre sí que acaban colapsando en el mismo lugar kx .

Sean los puntos kx xα ε= + y kx xβ ε= − , donde ε corresponde a un infinitésimo1. El

polinomio fundamental es entonces:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )1 .nF x x x x x x x x x x x x x xα β α β= − − − − = Φ − −⋯ ⋯ (4.11)

De acuerdo al algoritmo de Lagrange, las funciones auxiliares para α y β son:

( ) ( )( ) ( ) ( )( ), ,

F x F xx x x x x x

x x x xα β β αα β

ϕ ϕ= = Φ − = = Φ −− −

(4.12)

y los polinomios auxiliares nos quedan:

( ) ( )( )

( )( )( ) ( ) ( )

( )( )( )

( ), .2 2

k k

k k

xx x x x x x xp x p x

x x xxβα

α βα α β β

ϕϕ ε εϕ ε ε ε εϕ

Φ − + Φ − −= = = =

Φ + − Φ − (4.13)

Los términos del polinomio de Lagrange que corresponden a xα y xβ son:

1 Lanczos, Linear Differential Operators, Op. Cit. p.p. 534-536.



- 87 -

( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ), , , ,

2k

k k k kk

x x xf x p x f x f x f x f x

xα β α βε

ε ε εε ε

Φ − ±′= ± ± ≈ ±

± Φ ± (4.14)

donde el signo positivo corresponde a α y el negativo a β . Por lo tanto, al sumarlos se tiene:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ),

2 2k kk k k k

k k k k

f x p x f x p x

f x x f x xx x x x x x x x

x x x x

α α β β

ε ε ε εε ε ε ε ε

+

′Φ Φ− + − − − + − −= − + + Φ + Φ − Φ + Φ −

(4.15)

donde ( ) ( ) ( )k k kx x xε ε ′Φ ± = Φ ± Φ . Por lo tanto, al sustituir y desarrollar (4.15) resulta:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ), , 1 .2

kkk

k k k

x f xx xf x p x f x

x x f xα β α βε ε

ε ε ′Φ − ± = ± ± ′Φ ± Φ

(4.16)

Los siguientes miembros de la ecuación anterior pueden expresarse como:

( ) ( ) ( ) ( )( )1 , 1 ,

2 2kk k

k k kk k

xx x x xx x x

x x x

ε ε ε εε ε

′Φ − ± − ′= ± Φ ± Φ = Φ ± − Φ (4.17)

por lo tanto, al sustituir en (4.16) se tiene:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( )( )

1

, , 1 1 1 .2

k kkk

k k k k

x f x xx xf x p x f x

x x x f x xα β α βε ε ε

ε

− ′ ′Φ Φ −= ± ± ± ± Φ − Φ

(4.18)

Al hacer el desarrollo de Newton del binomio de abajo se tiene la aproximación:

( )( )

( )( )

1

1 1 ,k k

k k

x x

x xε ε

− ′ ′Φ Φ

± ≈ Φ Φ ∓ (4.19)

de esta forma, al sustituir en (4.18) se llega a:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( )( ), , 1 1 1 .

2k kk

kk k k k


x x x f x xα β α βε ε ε

ε ′ ′Φ Φ −= ± ± ± Φ − Φ

∓ (4.20)

Al desarrollar los términos entre corchetes se tiene:

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

11 1 1 1 ,k k k k

k k k k k k

f x x f x x

x x f x x f x x x x

ε ε ε ε ′ ′ ′ ′Φ Φ

± ± ≈ ± + − − Φ − Φ ∓ (4.21)

donde se despreciaron los términos que contenían a 2ε y 3ε , ya que estos tienden a cero con mucha mayor rapidez que ε , por lo tanto, los dos términos del polinomio interpolante son:



- 88 -

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( )( ), ,

11 .

2k kk

kk k k k


x f x x x xα β α β εε

′ ′Φ Φ− = ± ± + − Φ − Φ (4.22)

Al desarrollar para ( )kf x y ( )kf x′ , y al tomar el límite cuando 0ε → obtenemos:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ), ,kk k k k k k k j jk

k k

x xf x p x f x f x f x x x p x

x xδ

′Φ Φ ′= + − − = Φ Φ (4.23)

En el límite se llega a una interpolación que es adecuada para ambas ( )kf x y ( )kf x′ en el

punto crítico kx . Ahora el factor kx x− del polinomio fundamental aparece elevado al

cuadrado, por lo que kx se ha convertido en un punto doble. Si todos los puntos son dobles,

entonces el valor de ( )if x y su derivada ( )if x′ se satisfacen exactamente en kx , por lo

tanto, el polinomio interpolante de grado 2 1n− ajusta a ( )f x y ( )f x′ en todos los puntos

de muestreo. El polinomio fundamental es ahora:

( ) ( )( ) ( ) 2

1 2 ,nF x x x x x x x= − − − ⋯ (4.24)

el cual permanece positivo durante todo el rango [ ]1, nx x en vez de cambiar de signo de punto

en punto, como el polinomio (4.1). Convenientemente, el polinomio interpolante se expresa utilizando a ( )F x y sus derivadas:

( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2

2

2

2

,

2 ,

2 4 ,

6 6 .

k

k k

k k

k k

F x x x x

F x x x x x x x

F x x x x x x x x

F x x x x x x x x

= Φ −

′ ′= Φ − + − Φ

′′ ′ ′′= Φ + − Φ + − Φ

′′′ ′ ′′ ′′′= Φ + − Φ + − Φ

(4.25)

Al evaluar (4.25) en kx x= y al sustituir en (4.23), se tiene que:

( ) ( )( )

( )( ) ( ) ( )

( )( )

( )( )

2 1 21

2 2Pol 1 .

3

nk k k

n kk k k k kk

F x F x f x F x f xx x x

F x F x F x x xx x−

=

′′′ ′= − − + ′′ ′′ ′′ −− ∑ (4.26)

4.3. El método de la cuadratura Gaussiana

Consideremos el problema de calcular el valor aproximado de la integral de ( )g x :

( ) ( ) ( ) ( ), ,f x g x f x g x dx C′ = = +∫ (4.27)



- 89 -

en el cual se han proporcionado los valores ( )kg x , que corresponden a ( )kf x′ , con los que

se pretende implementar el esquema de interpolación con puntos dobles. Sin embargo, se tiene el problema de no contar con los valores de ( )kf x necesarios para el algoritmo. Esto se

supera al colocar los puntos kx en posiciones tales que sus pesos se hagan cero automáticamente. De esta forma, la interpolación (o extrapolación) tendrá sólo datos conocidos. Supongamos que se quiere calcular aproximadamente la integral definida:

( ) ( ) ( )1

11 1 .A g x dx f f

−= = − −∫ (4.28)

Debido a que ( )f x tiene una constante de integración libre, se puede definir que:

( )1 0 ,f − = (4.29)

y considerar esta condición como un dato adicional a los kx datos ya dados. Esto significa que

el polinomio fundamental ( )F x es ahora de grado 2 1n+ , porque se ha añadido el punto

sencillo 1x = − , a los n puntos dobles. El punto 1x = − se considera sencillo ya que no existe una razón para suponer que ( )f x′ deba conocerse en este lugar, por lo tanto:

( ) ( ) ( )( ) ( ) 2

1 21 .nF x x x x x x x x= + − − − ⋯ (4.30)

Ahora el factor de ( )kf x que hace cero la ecuación (4.26), demanda la siguiente condición:

( )

( )( )( ) ( ) ( )

( )( )( ) ( )2

21 0 , 1 0 ,

3 3k k k

k kk k kk

F x F x f x F xx x x x

F x F x F xx x

′′′ ′′′− − = ⇒ − − = ′′ ′′ ′′−

(4.31)

la cual no puede satisfacerse simultáneamente para varios valores de x , pero el objetivo es obtener ( )1f , ecuación (4.28), por lo tanto se puede identificar el valor de x con 1x = . Sea

el siguiente polinomio G :

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( )

1 2

2

2

2

,

1 ,

4 2 1 ,

6 6 2 1 3 .

nG x x x x x x x

F x x G x

F x GG x GG G

F x GG G x GG G G

= − − −

= +

′′ ′ ′′ ′= + + +

′′′ ′′ ′ ′′′ ′ ′′= + + + +

⋯

(4.32)

Al evaluar (4.32) en kx x= , y al sustituir en (4.31) se tiene:

( ) ( ) ( )21 2 0,k k k kx G x x G x′′ ′− − = (4.33)

ecuación que puede ser modificada y escrita en forma de operador como:



- 90 -

( ) ( ) ( )2

22

1 2 1 0, .k

d dx x n n G x x x

dx dx

− − + + = =

(4.34)

La adición del último término no altera el resultado, ya que ( ) 0kG x = . De esta forma, la

ecuación diferencial (4.34), que es la ecuación diferencial de Legendre [3], debe cumplirse no sólo en los puntos kx sino en cualquier lugar. Esto identifica a ( )G x como proporcional al

polinomio de Legendre de n -ésimo grado ( )nP x :

( ) ( ) ( )( )

2!

, 2 .2 !

nn n n

nG x c P x c

n= = (4.35)

Por lo tanto, los ceros de la cuadratura gaussiana corresponden a los ceros del n -ésimo polinomio de Legendre. Finalmente, el problema de la integración numérica queda expresado por la siguiente fórmula:

( ) ( )( ) ( )

2

221 1

2 1, ,

1

nk

k k kk n k

xA g x

n P xω ω

= +

−= =

+ ∑ (4.36)

donde kω corresponde a los pesos de la cuadratura. El error producido en la cuadratura se

calcula de acuerdo al término del residuo de la interpolación lagrangiana de ( )g x :

( )

( )

( ) ( )( )

4 22 1

2

!2 .

2 1 !2 !

nn

n

n g x

nnη +=

+ (4.37)

El método de la cuadratura gaussiana no se restringe únicamente a intervalos de

integración de [ ]1,1− , sino que puede usarse para intervalos de [ ],a b mediante un simple

mapeo de coordenadas. Sea la siguiente integral que se desea calcular, la cual está sujeta al mapeo de la Fig. 4.1:

( ) [ ], , 1,1 .2 2

b

a

b a b aA g x dx x ξ ξ+ −= = + ∈ −∫ (4.38)

Al sustituir en la integral se tiene:

( )1

1

,2 2 2

b

a

b a b a b ag x dx g dξ ξ

−

− + − = +

∫ ∫ (4.39)

y al aplicar la cuadratura gaussiana resulta:

( ) ( )1 1

,2 2 2 2

b n n

k k k kk ka

b a b a b a b ag x dx g g xω ξ ω

= =

− + − − = + =

∑ ∑∫ (4.40)



- 91 -

donde kξ son las raíces del polinomio de Legendre de n -ésimo grado y kx son las raíces

mapeadas en [ ],a b .

Figura 4.1. Mapeo de coordenadas del eje ξ al eje x .

4.4. El fenómeno de Runge-Borel y las raíces de Legendre

En el campo del análisis numérico, el fenómeno de Runge-Borel es un problema que se presenta al usar la interpolación polinomial cuando los puntos de muestreo son equidistantes. Fue descubierto por Carle David Tolmé Runge y Félix Édouard Justin Émile Borel cuando investigaban el comportamiento del error usando interpolación polinomial para aproximar ciertas funciones. Ellos apreciaron que el error en ciertas funciones tendía al infinito cuando el grado del polinomio interpolante se incrementaba y cuando se usaba una segmentación equidistante del dominio [ ],a b de la función a interpolar.

( ) ( )1lim max Pol .nn a x b

f x x−→∞ ≤ ≤ − = ∞

(4.41)

En la Fig. 4.2 se muestra la interpolación de la función de Runge-Borel2, en la que se intenta ajustar la función con polinomios de quinto y noveno grado, en donde el error se incrementa notablemente en los extremos:

( ) 2

1.

1 25f x

x=

+ (4.42)

Figura 4.2. Fenómeno de Runge-Borel.

2 Lanczos, Applied Analysis, Op. Cit., pág. 348.



- 92 -

El error no proviene del esquema de interpolación, sino de la forma equidistante en que se localizan los puntos. Sin embargo, el problema se elimina cuando se elige una localización no equidistante. Las formas más comunes de hacerlo es por medio de las raíces de los polinomios de Legendre y las de Chebyshev [4], Fig. 4.3. Su uso garantiza que el error disminuya a cero conforme se incrementa el grado del polinomio, con lo cual se evita la aparición del fenómeno de Runge-Borel. De ambos tipos de raíces, las de Chebyshev encuentran más aplicaciones en la ingeniería ya que pueden determinarse analíticamente por medio de una fórmula cosenoidal3. Sin embargo, el uso de las raíces de Legendre garantiza que la cuadratura de la función interpolada tendrá el menor error posible, aún cuando no existe una fórmula que las calcule.

Figura 4.3. Polinomios de Legendre y Chebyshev.

Sea el siguiente polinomio de Legendre de n -ésimo grado expresado en términos de sus n raíces: ( ) ( )( ) ( )1 2 ,n nP x c x x x x x x= − − −⋯ (4.43)

donde c es alguna constante. Para determinar aproximadamente las raíces del polinomio se usa el método de Newton4 [5], con el cual se encuentra la primera raíz por medio de la siguiente fórmula recursiva [6]:

( )( )1 1 .n

n

P xx x

P x= −

′ (4.44)

3 Las raíces del polinomio de Chebyshev de n -ésimo grado se calculan por medio de:

2 1cos , 1,2, , .

2k

kx k n

nπ− = =

⋯

4 También se puede usar el método de Newton modificado, donde se usa la aproximación de segundo grado del desarrollo de Taylor:

( ) ( ) ( ) ( )( )2

0 0 0 0 0

1' '' ,

2y f x f x x x f x x x≈ + − + −

a partir del cual se tiene la siguiente fórmula recursiva:

( ) ( )( ) ( ) ( )

1 11 2

1 1 1

2 ', 1,2,3,

2 ' ''

n nn n

n n n

f x f xx x n

f x f x f x

− −−

− − −

= − =−

⋯

donde n es el número de iteración. A pesar de que el número de iteraciones se reduce, su implementación computacional es más difícil y los recursos de cálculo son más grandes que en el método normal.



- 93 -

Una vez hallada ésta, se construye el polinomio ( )g x de grado 1n− , el cual no tiene a 1x

como su raíz:

( ) ( ) ( )( ) ( )2 31

.nn

P xg x c x x x x x x

x x= = − − −

−… (4.45)

Al aplicar el método de Newton se determina la segunda raíz, y el procedimiento se repite sucesivamente hasta obtener las demás. En el k -ésimo paso se calcula la k -ésima raíz por medio del siguiente polinomio:

( ) ( )( )

( )( )1

1

, .'

n kk kk

ki

i

P x g xg x x x

g xx x

−

=

= = −−∏

(4.46)

En esta fórmula es necesario determinar la derivada de (4.46), que equivale a:

( )( )

( ) ( )1

11

1

1 1' ,

k

n nki i

ii

g x P x P xx x

x x

−

−=

=

′= − − −∑

∏ (4.47)

de esta manera, al sustituir (4.46) y (4.47), se tiene la siguiente fórmula recursiva5:

( )

( ) ( )1

1

, 1,2, , .1

n kk k k

n k n ki k i

P xx x k N

P x P xx x

−

=

= − =′ −

−∑⋯ (4.48)

Para este método numérico es más conveniente usar la forma recursiva de los polinomios de Legendre6:

( ) ( )0 1 2 1

2 3 11, , , 0,1,2, .

2 2n n n

n nP x P x x P xP P n

n n+ ++ + = = = − = + +

⋯ (4.49)

Computacionalmente, el método puede expresarse por medio del diagrama de flujo de la

Fig. 4.4, el cual garantiza la localización de todas las raíces del polinomio, pero no garantiza que éstas aparezcan ordenadas correctamente. Para hacerlo, se implementa el clásico método de la burbuja, como se muestra en la Fig. 4.5.

5 Si se utiliza el método de Newton modificado, la fórmula recursiva que se obtiene es la siguiente:

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

122

21

2, 1,2, , ,

1

k kk k

k

k k k k ki k i

f x B xx x k N

B x f x f x f x f xx x

−

=

= − =

′ ′′+ − + − ∑

⋯

donde:

( ) ( ) ( )1

1

1, 1,2, , .

k

k k ki k i

B x f x f x k Nx x

−

=

′= − =−∑ ⋯

6 Para los polinomios de Chebyshev se tiene la siguiente fórmula recurrente:

( ) ( )0 1 2 11, , 2 , 0,1,2, .n n nT x T x x T xT T n+ += = = − = ⋯



- 94 -

Figura 4.4. Algoritmo para la localización de las raíces de Legendre.

Figura 4.5. Método de la burbuja para la

ordenación de las raíces. 4.5. Cuadratura gaussiana aplicada a la solución del método de momentos

El método de la cuadratura gaussiana puede aplicarse a la obtención de la solución numérica del sistema de ecuaciones producido por el método de momentos. De esta forma, las integrales debidas al producto interno entre la ecuación integral y las funciones peso y la integral de la propia ecuación de Pocklington pueden calcularse muy adecuadamente como una cuadratura, donde se garantiza que el error generado siempre será menor respecto a otros métodos de integración numérica.

Para los elementos de la matriz de impedancia:

( ) ( )

( ) ( ) ( )( )( )2 4 2 3 2 25

1, , , 1,2, , ,

ˆ ˆ ˆ ˆ, 3 3 ,4

m n

mn m n

-jkR

Z w K s s i s ds ds m n Nj

K s s k R R jkR • jkR k RR

eωε

π

∆ ∆

′ ′ ′= − =

′ ′ ′= − − + − • •

∫ ∫

s s + R s R s

⋯

(4.50)

se comienza aplicando el método de la cuadratura gaussiana a la integral interna:

( ) ( ) ( ) ( )1

, , , 1,2, , ,2

n

Pn

n j j n jj

K s s i s ds K s s i s n Nω=∆

∆′ ′ ′ ′ ′≈ =∑∫ ⋯ (4.51)

donde P es el número de raíces de Legendre utilizadas en la cuadratura, js′ son las raíces

mapeadas en n∆ y jω son sus pesos correspondientes. Al calcular ahora la cuadratura de la

integral externa resulta:

( ) ( ) ( )1 1

, , , 1,2, , ,4

Q Pm n

mn i j m i i j n ji j

Z w s K s s i s m n Nj

υ ωωε = =

∆ ∆ ′ ′≈ − =∑∑ ⋯ (4.52)



- 95 -

donde Q (no necesariamente igual a P ) es el número de raíces de Legendre usadas para esta

cuadratura, is son las raíces mapeadas en m∆ y iυ son sus pesos correspondientes.

Para los elementos de la matriz de voltajes:

, 1,2, , ,m

Im m sv w E ds m N

∆

= =∫ ⋯ (4.53)

al aplicar el método de la cuadratura gaussiana, se tiene:

( ) ( )1

, 1,2, , .2

QIm

m i m i s ii

v w s E s m Nυ=

∆≈ =∑ ⋯ (4.54)

En el caso en que se utilicen como funciones peso, deltas de Dirac, los elementos de la

matriz de impedancia quedarían como:

( ) ( ) ( ) ( )1 1

, , ,

, 1,2, , ,m n n

mn m n mZ s s K s s i s ds ds K s s dsj j

m n N

δωε ωε∆ ∆ ∆

′ ′ ′ ′ ′= − − = −

=

∫ ∫ ∫

⋯

(4.55)

donde ms son los lugares donde se localizan los centros de las deltas. Al aplicar el método de la cuadratura gaussiana se tiene que:

( )1

, , , 1,2, , .2

Pn

mn j m jj

Z K s s m n Nj

ωωε =

∆ ′= − =∑ ⋯ (4.56)

La evaluación de los elementos de la matriz de voltaje no requieren la evaluación de alguna integral, ya que debido al teorema de muestreo de la función delta de Dirac, sus valores corresponden al valor del campo eléctrico en los puntos donde las deltas son colocadas:

( ) ( ) , 1,2, , .m

I Im m s s mv s s E ds E s m Nδ

∆

= − = =∫ ⋯ (4.57)

Si la antena se alimenta con un generador Delta-Gap, entonces el campo eléctrico sólo es diferente de cero en aquél segmento donde éste se conecta. Matricialmente, el sistema de ecuaciones quedaría como:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 1 2 1 11 1 1

1

1 2 2 2 2 21 1 1

1 21 1 1

, , , 0

, , ,1

2

, , ,

P P P

j j j j N j jj j j

P P P

j j j j N j jj j j

NP P P

j N j j N j N j N jj j j

K s s K s s K s s

c

K s s K s s K s s c

j

c

K s s K s s K s s

ω ω ω

ω ω ωωε

ω ω ω

= = =

= = =

= = =

′ ′ ′∆ ∆ ∆ ′ ′ ′∆ ∆ ∆− = ′ ′ ′∆ ∆ ∆

∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑

⋯

⋯

⋮⋮ ⋮ ⋱ ⋮

⋯

.

0

gap

V

∆

⋮

⋮

(4.58)



- 96 -

La propuesta de este trabajo consiste en dividir el alambre en segmentos no equidistantes. Esto pudiera significar una desventaja cuando se necesite realizar una gráfica de la distribución de corriente a partir de M puntos equidistante. Para superar esto se recurre a un proceso de interpolación lagrangiana con puntos sencillos:

( ) ( ) ( )( )1 1

, 0,1,2, , , ,N N

in in

i n i i

q s LI q s c i s q M s

s M

ϕϕ= =

′∆′ ′ ′∆ = = ∆ =

′∑∑ɶ ⋯ (4.59)

donde Iɶ es el polinomio interpolante de la corriente, q es el número del punto equidistante,

s′∆ es el tamaño del segmento equidistante, y las funciones auxiliares iϕ se definen por:

( ) ( ) ( )1

.N

i jjij i

F ss s s

s sϕ

=≠

′′ ′ ′= = −

′ ′− ∏ (4.60)

El número de puntos a interpolar M podría ser diferente del número de segmentos N en que se dividió el alambre. Sin embargo, si la división realizada fue equidistante, entonces es necesario que M N= para evitar la aparición del fenómeno de Runge-Borel. En cambio, si la división se realizó de acuerdo a la forma en que se distribuyen las raíces de Legendre o de Chebyshev en el dominio [ ]1,1− , se garantiza que el fenómeno no se presentará y podrán

obtenerse tantos datos equidistantes interpolados como fuesen necesarios.

Al calcular el patrón de radiación, se llega también a una forma integral que puede evaluarse fácilmente implementando una cuadratura. Primeramente, el vector potencial magnético se expresa como:

( ) ( )1

ˆ .4

n

jkr Njk r

n nn

c i s s dsr

e eµπ

−′•

= ∆

′ ′ ′ ′= ∑ ∫r rA s (4.61)

Al aplicar el método de cuadratura de Gauss se tiene:

( ) ( ) ( )1 1

ˆ ,8

j

jkr N Pjk s r

n n j n j jn j

c i s sr

e eµ ζπ

−′ ′•

= =

′ ′ ′= ∆∑∑r r

A s (4.62)

donde P es el número de raíces de Legendre usadas en la cuadratura, jζ son los pesos de la

cuadratura y js′ son las raíces mapeadas en n∆ . El vector potencial así obtenido se encuentra

referenciado en el sistema rectangular XYZ. Para encontrar el campo eléctrico en función de las coordenadas esféricas se deduce que:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )1 1

1 1

ˆ ˆ ,8

ˆ ˆ ,8

j

j

jkr N Pjk s r

n n j n j jn j

jkr N Pjk s r

n n j n j jn j

jE j A c i s s

r

jE j A c i s s

r

e e

e e

θ θ θ

ϕ ϕ ϕ

ωµω ζπ

ωµω ζπ

−′ ′•

= =

−′ ′•

= =

′ ′ ′= − = − ∆ •

′ ′ ′= − = − ∆ •

∑∑

∑∑

r r

r r

s a

s a

(4.63)



- 97 -

4.6. Segmentación equidistante en el método de momentos

El esquema de segmentación equidistante ha sido el único encontrado en la literatura, para segmentar a la antena para utilizar el método de momentos [7]. Este surge de manera natural al realizar la discretización de la ecuación de Pocklington, ya que en realidad no existe justificación alguna para complicar más el problema y proponer algún otro tipo de segmentación. Sin embargo, como se ha expuesto anteriormente, es necesario buscar segmentaciones alternativas para mejorar la solución numérica y evitar problemas como el fenómeno de Runge-Borel presente en la segmentación equidistante.

En la segmentación equidistante, cada segmento en que fue dividida la antena, tiene la misma longitud de arco, como se muestra en la Fig. 4.6:

1 2 , .N

L

N∆ = ∆ = = ∆ = ∆ ∆ =… (4.64)

Esto permite expresar a los elementos de la matriz de impedancia como:

( ) ( ) ( )2

21 1

, , , 1,2, , ,4

Q P


LZ w s K s s i s m n N

jNυ ω

ωε = =

′ ′≈ − =∑∑ ⋯ (4.65)

donde js′ son las P raíces mapeadas en n∆ y is son las Q raíces mapeadas en m∆ . Los

elementos de la matriz de voltajes quedarían como:

( ) ( )1

, 1,2, , .2

QI

m i m i s ii

Lv w s E s m N

Nυ

=≈ =∑ ⋯ (4.66)

Si se utiliza la técnica del ajuste de puntos, los elementos de la matriz de impedancia se

determinan por:

( )1

, , , 1,2, , .2

P

mn j m jj

LZ K s s m n N

jNω

ωε =

′= − =∑ ⋯ (4.67)

Si se supone que las deltas de Dirac se colocan en el centro de cada segmento, entonces ms es:

( )2 11

, 1,2, , .2 2m

m Ls m m N

N

− = − ∆ = =

⋯ (4.68)

Para el cálculo del campo eléctrico lejano, las ecuaciones de sus componentes esféricas

quedarían como:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )1 1

1 1

ˆ ˆ ,8

ˆ ˆ .8

j

j

jkr N Pjk s r

n j n j jn j

jkr N Pjk s r

n j n j jn j

j LE c i s s

rN

j LE c i s s

rN

e e

e e

θ θ

ϕ ϕ

ωµ ζπ

ωµ ζπ

−′ ′•

= =

−′ ′•

= =

′ ′ ′= − •

′ ′ ′= − •

∑∑

∑∑

r r

r r

s a

s a

(4.69)



- 98 -

En el caso equidistante, los valores de corriente obtenidos no necesitan interpolarse para obtener la gráfica de la distribución de corriente. Sin embargo, si se interpolaran M valores de corriente a partir de los N valores obtenidos con el método de momentos, entonces se presentaría el fenómeno de Runge-Borel para cualquier valor M N≠ . Esto constituye una gran desventaja, ya que si la gráfica de distribución de corriente requiere de más de N puntos (más resolución), entonces necesariamente se tiene que aumentar el número de segmentos de la antena y por lo tanto se incrementa el número de incógnitas del sistema de ecuaciones, lo cual se refleja en mayor tiempo de máquina. El fenómeno de Runge-Borel en la interpolación de valores de corriente no se debe al método de Lagrange, al método de Gauss de cuadratura o al método de momentos, sino que se debe exclusivamente al hecho de haber segmentado equidistantemente la antena.

Figura 4.6. Segmentación equidistante del alambre de geometría arbitraria. 4.7. Segmentación no-equidistante en el método de momentos

Se ha comprobado que en cualquier proceso de interpolación, el fenómeno de Runge-Borel desaparece al considerar una interpolación no-equidistante. En especial se ha comprobado la eficiencia del uso de las raíces de los polinomios de Chebyshev y Legendre para realizar el procedimiento de interpolación; las raíces de los polinomios, mapeadas en el intervalo de interés [ ],a b , sirven como los puntos 1 2, , , nx x x⋯ en los cuales debe de

muestrearse la función ( )f x que será aproximada con el polinomio de Lagrange ( )1Poln x− .

De ambos tipos de raíces, las de Legendre son más efectivas que las de Chebyshev, sin embargo su desventaja está en poderlas determinar, ya que se requiere de algún algoritmo numérico que las calcule. A pesar de que las raíces de Chebyshev pueden determinarse por medio de una fórmula analítica, su desempeño es inferior aunque aceptablemente bueno respecto a las raíces de Legendre.



- 99 -

El método de momentos ha demostrado sus virtudes en transformar una ecuación operador en una simple ecuación matricial, que puede resolverse fácilmente con algoritmos computacionales. Al resolver la ecuación de Pocklington, los coeficientes de las funciones base forman un vector columna:

( ) [ ]1 2, , , ,T

n Nc c c c= ⋯ (4.70)

el cual permite expandir la corriente en el alambre en términos de las funciones base:

( ) ( )1

.N

n nn

I s c i s=

′ ′=∑ (4.71)

En busca de un esquema de segmentación no-equidistante, las fórmulas anteriores siguen siendo válidas, pero ahora los valores de la corriente medidos en los puntos donde ( ) 1ni s′ = ,

que generalmente corresponden a los puntos centrales de los dominios de las funciones base, dejan de ser equidistantes, por lo que se necesita aplicar un método de interpolación para poder determinar en puntos equidistantes el valor de la corriente que necesita ser graficada. Al abordar el método de interpolación se tiene que garantizar la no aparición del fenómeno de Runge-Borel. Esto queda asegurado al utilizar las raíces de los polinomios de Legendre; por lo tanto, los puntos centrales de los dominios de las funciones base, deben de corresponder a las raíces del polinomio mapeadas en [ ]0,L . De aquí se desprende que el número de raíces

debe de ser igual al número de funciones base, el cual no necesariamente es igual al número de segmentos en que se divide el alambre7.

El método de momentos, por medio de las funciones base subdominio, discretiza la ecuación de Pocklington. El dominio de cada una de ellas corresponde a uno o dos segmentos en que se divide el alambre. Por lo tanto, la discretización de la ecuación de Pocklington equivale a dividir la antena en N segmentos, los cuales son aproximadamente rectos y en los cuales la corriente total es aproximadamente constante. Si tomamos en cuenta que las funciones base deben de colocarse ahora bajo un esquema no-equidistante, entonces la distribución de las raíces del polinomio de Legendre implica otra discretización del dominio de la corriente ( )I s′ . Por lo tanto, existen al menos dos formas de apostar las raíces en los

segmentos de la antena: en el centro de cada uno de ellos o en los extremos de éstos. Al implementar esta última forma se ve que para N segmentos se necesitarían 1N + raíces; esto no parece ser muy natural, y de hecho al programarlo, las soluciones obtenidas se comportan muy inestablemente. La siguiente forma consiste en centrar cada raíz dentro de cada segmento; al implementar esta otra forma se necesitan N raíces para N segmentos. Esta solución, cuya naturalidad es evidente, se comporta sin inestabilidad alguna, por lo que fue el esquema utilizado en este trabajo de tesis.

Ahora que se sabe que cada raíz debe de estar en el centro de cada segmento, lo siguiente es determinar la longitud n∆ de cada uno de ellos. Esta se determina por las diferencias de coordenadas de los extremo de éstos. Consideremos la Fig. 4.7. Ya que se conoce que cada raíz se localiza en el centro de cada segmento, entonces, las coordenadas de cada segmento son:

7 Cuando las funciones base cubren más de un segmento, como las triangulares o pedazos senoidales, el número de funciones base es menor por una unidad al número de segmentos.



- 100 -

Figura 4.7. Segmentación no-equidistante en términos de las raíces de Legendre.

( )( )( )( )( )( )

0

1 1 0 0 1 0

2 2 1 1 2 1

3 3 2 2 3 2

4 4 3 3 4 3

5 5 4 4 5 4

6 6 5 5 6 5

0 ,

2 2 ,

2 2 ,

2 2 ,

2 2 ,

2 2 ,

2 2 .

Seg

Seg s Seg Seg s Seg

Seg s Seg Seg s Seg

Seg s Seg Seg s Seg

Seg s Seg Seg s Seg

Seg s Seg Seg s Seg

Seg s Seg Seg s Seg

== − + = −

= − + = −

= − + = −

= − + = −

= − + = −

= − + = −

(4.72)

A partir de estas relaciones, resulta evidente la siguiente ecuación recursiva: 12 , 0,1, , ,n n nSeg s Seg n N−= − = ⋯ (4.73) donde 0 0Seg = . Como es de esperarse, la última coordenada del extremo del último segmento, debe ser igual a la longitud del alambre, es decir: , 2 1, .NSeg L N m m= = + ∈Z (4.74) Sin embargo, esto sólo resulta cierto si N es un número impar. Para valores pares de N la relación anterior no se cumple, siendo NSeg mayor que L. Esto no debe de verse como un

error en la forma en que se segmenta el alambre, ya que la ecuación (4.73) fuerza a que cada raíz se encuentre en el centro de cada segmento. Esto simplemente significa que para segmentaciones pares, la convergencia tiende a ser mucho menor que en el caso impar8. De hecho, conforme N crece, la igualdad (4.74) se cumple correctamente para N par: lim , 2 , .N

NSeg L N m m

→∞= = ∈Z (4.75)

Puede verse que el fenómeno de la paridad aparece incluso si se comienza a medir a

partir del extremo final del alambre hacia el inicio de éste. Las coordenadas de cada segmento se calculan recursivamente por: 1 2 , , 1, ,1 ,n n nSeg s Seg n N N− = − = − ⋯ (4.76) donde NSeg L= . Ahora, para un valor par de N , se tiene que 0 0Seg < .

8 De hecho, en la mayoría de los métodos numéricos, la paridad tiende a ser un factor que determina la convergencia del método. Por ejemplo, en la interpolación trigonométrica, se aprovecha esta propiedad para acelerar la exactitud de la función interpolante; esto se logra al construir una función impar a partir de una par.



- 101 -

Desde este punto de vista, sin importar en qué sentido se calculen las coordenadas de cada segmento, la paridad de N hace aparecer el fenómeno. El hecho de que 0 0Seg < no debe verse tampoco como un error, simplemente significa que las segmentaciones pares convergen más lentamente que las impares. Conforme N crece se cumple la siguiente identidad: 0lim 0 , 2 , .

NSeg N m m

→∞= = ∈Z (4.77)

Podría pensarse también que el efecto desaparecerá al utilizar las raíces de algún otro

polinomio, pero como se ve en las fórmulas (4.73) y (4.76), los valores de ns podrían ser los de las raíces de cualquier polinomio. Esto significa que el tipo de raíces utilizadas no soluciona el fenómeno. El fenómeno de la paridad sólo desaparece si la segmentación es equidistante; de acuerdo a la fórmula (4.73) se tiene que:

( )12 2 1 ,N N N N

LSeg s Seg s N

N−= − = − − (4.78)

donde Ns se calcula de acuerdo a (4.68):

( )2 1

,2N

N Ls

N

−= (4.79)

por lo tanto, al sustituir en (4.78) se tiene:

( ) ( )2 1 1

.N

N L N LSeg L

N

− + −= = (4.80)

De esta forma, en la segmentación no-equidistante, el fenómeno de la paridad debe

verse como una característica intrínseca del método. Por lo tanto, es conveniente utilizar sólo valores impares de N para que los resultados sean adecuados. Empero, el utilizar un valor par de N produce soluciones inestables en la distribución de corriente. Esta inestabilidad se aprecia como una pequeña oscilación superpuesta en la gráfica de la corriente; la amplitud de la oscilación disminuye conforme la segmentación es más densa. Por lo tanto, es responsabilidad del usuario determinar la paridad de la segmentación; el autor de este trabajo sugiere utilizar solamente valores impares.

Para la segmentación no-equidistante, los elementos de las matrices del método de momentos siguen calculándose con las siguientes fórmulas:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

1 1

1

, ,4

, 1,2, , ,2

Q Pm n


QIm

m i m i s ii

Z w s K s s i sj

v w s E s m n N

υ ωωε

υ

= =

=

∆ ∆ ′ ′≈ −

∆≈ =

∑∑

∑ ⋯

(4.81)

donde la longitud del segmento se determina por: 1 , 1,2, , .n n nSeg Seg n N−∆ = − = ⋯ (4.82)



- 102 -

4.8. Conclusiones del Capítulo IV

En este capítulo se presentaron los métodos de interpolación lagrangiana y cuadratura gaussiana, con los cuales se puede concluir que el uso de las raíces de los polinomios de Legendre permite la construcción de un polinomio interpolante en el cual se garantiza la ausencia del fenómeno de Runge-Borel y además se garantiza que la integración de este polinomio corresponderá a la que tenga el menor error posible. Estas herramientas son muy útiles para optimizar la solución del método de momentos de la ecuación de Pocklington. La dificultad del uso de las raíces de Legendre reside en determinarlas, ya que no existe una fórmula analítica que las proporcione, como en el caso de las raíces de los polinomios de Chebyshev. Sin embargo, en este capítulo se presentó un método numérico para determinarlas, el cual constituye una aportación hecha por este autor. El algoritmo no sólo es útil para polinomios de Legendre, sino también para cualquier otro polinomio donde se busquen sus ceros. Los resultados obtenidos con este método resultan algunas veces más exactos que los conseguidos con programas como MATLAB, además de consumir muy pocos recursos de cómputo y presentar un rápido desempeño.

También se presenta en este capítulo un esquema de segmentación no-equidistante para dividir la antena y aplicar el método de momentos. Este esquema se basa en cómo se distribuyen las raíces de los polinomios de Legendre en el dominio [ ]1,1− , pero mapeadas a lo

largo de toda la longitud del alambre. La segmentación surge de manera natural al considerar la discretización intrínseca del método de momentos; para evitar la aparición del fenómeno de Runge-Borel, los centros de los segmentos no equidistantes tienen que coincidir con las raíces de Legendre mapeadas en [ ]0,L . De esta forma, se consiguen dos objetivos: La no aparición

del fenómeno de Runge-Borel en los valores interpolados de corriente obtenidos a partir de los valores de corriente no equidistantes y la segmentación no-equidistante de la antena.

El esquema de segmentación equidistante resulta la forma más trivial en que puede dividirse la antena. En este esquema la longitud de todos los segmentos es la misma. La ventaja más evidente de este esquema es la simplicidad de la implementación computacional del método de momentos. Su desventaja más grande reside en la aparición del fenómeno de Runge-Borel. En contraste, el esquema de segmentación no-equidistante es un poco más complicado de implementar computacionalmente, ya que implica calcular N raíces de Legendre. Sin embargo, su ventaja más grande consiste en que se garantiza la no aparición del fenómeno de Runge-Borel, y se garantiza que el error de los valores interpolados de corriente es el menor posible.

Debe mencionarse que las virtudes del esquema no-equidistante desaparecen conforme N se hace más grande. Esto se debe a que las raíces de Legendre comienzan a distribuirse más uniformemente en el dominio [ ]1,1− , de tal forma que para valores suficientemente

grandes de N no existirán diferencias entre una segmentación equidistante y una no-equidistante. El poder de las raíces de Legendre se aprecia para valores pequeños de N .

También se encontró que en la segmentación no-equidistante aparece el fenómeno de la paridad del número de segmentos. Este fenómeno surge como una consecuencia lógica de forzar a que cada raíz se encuentre en el centro de cada segmento. Esto no debe verse como un defecto del método, simplemente significa que para valores pares de N , la convergencia del método es menor que para valores impares. Conforme N crece, la paridad deja de considerarse como una limitante del método. La inestabilidad de la paridad se presenta como



- 103 -

una rápida oscilación superpuesta a la gráfica de la distribución de corriente. En términos matriciales, la inestabilidad se debe a que, para un generador Delta-Gap conectado en el centro de la antena, la matriz de voltajes deja de ser simétrica. La amplitud de la oscilación decrece conforme N aumenta, lo cual provoca que la matriz de voltajes se convierta en simétrica. El fenómeno de la paridad y la inestabilidad de la gráfica de corriente no es algo que antes haya llamado la atención, ya que en la segmentación equidistante éstos nunca se presentan. El estudio de este fenómeno constituye otra de las aportaciones del autor de esta tesis. Referencias [1] C. Lanczos, Applied Analysis. Dover. 1988. New York. [2] C. Lanczos, Linear Differential Operators . Dover. 1997. New York. [3] M. Abramowitz, I. A. Stegun, Handbook of mathematical functions. Wiley and Sons. 1972. New York. [4] J. C. Mason, D. C. Handscomb, Chebyshev Polynomials. Chapman & Hall – CRC Press. 2002. [5] Margarita Suárez Alonso, Matemática Numérica. IPN-Ministerio Superior de Cuba, 1997, México D.F., p.p. 37-50. [6]Víctor Barrera-Figueroa, Jorge Sosa-Pedroza, José Luis López-Bonilla, “Multiple root finder algorithm for Legendre and Chebyshev polynomials via Newton’s method” in: Annales Mathematicae et Informaticae, Nov. 2006, Vol. 33, p.p. 3-13. [7] Constantine A. Balanis, Advanced Engineering Electromagnetics. Jhon Wiley & Sons. 1989, Canada, p.p. 670-742.


Capítulo V: Resultados Comparativos Para la Segmentación Equidistante y No-Equidistante

- 104 -

Capítulo V

Resultados Comparativos Para la Segmentación

Equidistante y No-Equidistante



- 105 -

Introducción

Para resolver las ecuaciones integrales, que representan la distribución de corriente en los conductores que forman la antena, es necesario aplicar métodos numéricos ya que no es posible obtener soluciones analíticas debido a su dificultad matemática. El más adecuado para estos propósitos es el método de momentos, el cual produce una ecuación matricial que puede resolverse con los métodos estándar del álgebra lineal. Usualmente se utilizan funciones base subdominio para desarrollar la corriente desconocida, aunque a veces se emplean funciones de dominio completo. El hecho de usar funciones base subdominio puede interpretarse en que el alambre está siendo dividido en pequeños segmentos, los cuales pueden considerarse aproximadamente rectos y en los cuales sólo está definida la función base correspondiente.

Comúnmente se utilizan segmentos de igual longitud, ya que este tipo de segmentación es la más trivial y la que puede programarse más rápidamente. Los segmentos tienen que ser colineales para conservar la independencia lineal del sistema de ecuaciones. Sin embargo, una segmentación equidistante no es el único esquema permitido, ya que el método de momentos no restringe el tamaño de los segmentos. Por esta razón, en esta Tesis se propone una segmentación no-equidistante basada en la forma en que se distribuyen las raíces de los polinomios de Legendre en [ ]1,1− . Esta segmentación es una propuesta innovadora que

disminuye los errores asociados con el método numérico, debidos entre otras cosas a la cuadratura gaussiana aplicada a la ecuación de Pocklington. La segmentación no-equidistante también tiene como objetivo reducir los recursos de cómputo, tanto de memoria como de tiempo de ejecución.

En esta segmentación no-equidistante, el número de raíces de Legendre tiene que ser igual al número de segmentos en que se divide el alambre. Cada raíz se coloca en el centro de cada segmento de tal forma que es posible determinar los extremos de éste. En el capítulo anterior se vio que cuando N es impar, la suma de las longitudes de todos los segmentos es igual a la longitud total del alambre, pero cuando N es par esta igualdad no se cumple. Solamente cuando el número de segmentos sea suficientemente grande, la suma de las longitudes de los segmentos tenderá como límite al valor de la longitud del alambre. Este fenómeno de paridad no debe verse como un error en el método de segmentación, ya que significa que para segmentaciones pares la convergencia del método es más lenta respecto a las impares.

En este capítulo se presentan los resultados comparativos entre la segmentación equidistante y la no-equidistante, para diferentes combinaciones de funciones base y peso. Se compara el número de raíces necesarias para las cuadraturas gaussianas de los elementos de la ecuación matricial, además del número de segmentos en que se divide la antena para determinar la tasa de convergencia de las soluciones. También se determina el rango de valores en donde el radio del conductor no indetermina el kernel de Pocklington. Finalmente, la prueba que demuestra de manera contundente la eficacia del método es la verificación de la condición de frontera del campo eléctrico en la superficie del conductor. Para la segmentación equidistante esta condición no se cumple adecuadamente, e incluso el campo tiende a infinito en los extremos de la antena. La segmentación no-equidistante elimina estos problemas, uniformizando la condición de frontera y evitando que el campo se indetermine en los extremos de la antena. Todos estos resultados comparativos se presentan para la antena dipolo, la cual será el objeto de estudio de este capítulo y el parámetro de comparación de los resultados será la magnitud de la impedancia de entrada de la antena. Las conclusiones obtenidas resultan ser válidas para cualquier otra geometría de la antena.



- 106 -

5.1. Análisis de la estabilidad en función de las raíces de Legendre para la cuadratura de los elementos matriciales

Para calcular los elementos de la ecuación matricial es necesario realizar las siguientes integraciones por medio de métodos numéricos:

( ) ( )1, ,

, , 1,2, , .

m n

m

mn m n

Im m s

Z w K s s i s ds dsj

v w E ds m n N

ωε ∆ ∆

∆

′ ′ ′= −

= =

∫ ∫

∫ ⋯

(5.1)

El más adecuado es el método de cuadratura de Gauss-Legendre, de entre otras técnicas como la regla de Simpson o la de Newton-Cotes [1]. La cuadratura gaussiana reduce el error numérico al mínimo, además del tiempo necesario para calcular la integración, el cual resulta ser menor que el de las otras técnicas de cuadratura. Las cuadraturas para los elementos matriciales se expresan como:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

1 1

1

, ,4

, , 1,2, , ,2

Q Pm n


QIm

m i m i s ii

Z w s K s s i sj

v w s E s m n N

υ ωωε

υ

= =

=

∆ ∆ ′ ′≈ −

∆≈ =

∑∑

∑ ⋯

(5.2)

donde ,m n∆ es la longitud del ,m n-ésimo segmento, equidistante o no-equidistante, y P , Q

son el número de raíces usadas para la integración.

En el análisis que sigue a continuación se determina la estabilidad de la magnitud de la impedancia de entrada en función del número de raíces usadas para las cuadraturas (5.2). Para simplificar el análisis se considera que P Q= . Para diferentes combinaciones de funciones base y peso se determina el número mínimo de raíces con las cuales se consigue la estabilidad de la solución. Los datos del dipolo son: 0.5 , 100, 28, 0.05 .gapL a L N Lλ= = = ∆ =

5.1.1. Segmentación equidistante

Figura 5.1. Función peso delta de Dirac, segmentación equidistante.



- 107 -

Figura 5.2. Función peso pulsos, segmentación equidistante.

Figura 5.3. Función peso triángulos, segmentación equidistante.

Figura 5.4. Función peso pedazos senoides, segmentación equidistante.



- 108 -

5.1.2. Segmentación no-equidistante

Figura 5.5. Función peso delta de Dirac, segmentación no-equidistante.

Figura 5.6. Función peso pulsos, segmentación no-equidistante.

Figura 5.7. Función peso triángulos, segmentación no-equidistante.



- 109 -

Figura 5.8. Función peso pedazos senoides, segmentación no-equidistante.

De acuerdo a las gráficas anteriores, la estabilidad depende de las funciones base y peso usadas. La función peso que hace más inestable la solución es la delta de Dirac. En la Tabla 5.1 se muestra el número de raíces necesarias para alcanzar la estabilidad en las cuadraturas gaussianas de los elementos matriciales. Para la segmentación equidistante, se necesita un promedio de 33 raíces, mientras que para la segmentación no-equidistante se necesitan 31 raíces. En ambos casos el número es mucho menor que el necesario por la regla de cuadratura de Simpson, donde es necesario al menos 90 subintervalos para llegar a la estabilidad.

Tabla 5.1. Raíces de Legendre necesarias para el cálculo de cuadraturas Segmentación equidistante

Combinación Función Base-Función Peso

Número de raíces P



Pulsos Deltas 18 Pulsos Pulsos 19 Triángulos Deltas 50 Triángulos Pulsos 28 Senoides Deltas 50 Senoide Pulsos 28





Pulsos Triángulos 39 Pulsos Senoides 30 Triángulos Triángulos 39 Triángulos Senoides 30 Senoides Triángulos 39 Senoides Senoides 30

Segmentación no-equidistante Combinación

Función Base-Función Peso Número

de raíces P Combinación

Función Base-Función Peso Número

de raíces P Pulsos Deltas 22 Pulsos Pulsos 33 Triángulos Deltas 33 Triángulos Pulsos 33 Senoides Deltas 42 Senoide Pulsos 33








- 110 -

5.2. Análisis de la estabilidad en función del número de segmentos

En el método de momentos se establece un procedimiento para transformar la ecuación integral en una ecuación matricial. El número de ecuaciones e incógnitas es igual al número de funciones base en que se desarrolla la corriente desconocida. Sin embargo, existe un detalle respecto al número de funciones base y el número de segmentos, los cuales no necesariamente resultan ser iguales. Cuando se usan como funciones base o peso las funciones triangulares o los pedazos senoidales el número de segmentos es mayor por una unidad que el número de funciones. Esto se debe a que el dominio de definición de estas dos funciones alcanza dos segmentos del alambre, lo cual se refleja en el hecho de que dos funciones sucesivas parecen estar traslapadas entre sí en el segmento que comparten. Para las funciones pulsos y deltas de Dirac, este pormenor pasa desapercibido ya que el número de segmentos corresponde al número de funciones base y peso. Este detalle no se ha encontrado mencionado en la literatura especializada, y el autor de esta Tesis considera que es un hecho importante que debe indicarse para abordar correctamente de manera computacional el procedimiento del método de momentos.

La equivalencia entre un sistema de ecuaciones y una ecuación integral resulta evidente cuando el número de ecuaciones tiende a infinito. En el momento en que los índices k y l se hacen continuos la suma siguiente se convierte en una ecuación integral:

( )( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

11 1 12 2 1 1

121 1 22 2 2 2

1 1 2 2

1 ,lim , ,

1 ,

, .1 ,

NN N

NlN N

N N NN N N

K f K f K f gf k K k l f l g k

K f K f K f g

f k K k l f l dl g kK f K f K f g

→∞ =

+ + + + = ⇒ + =

+ + + + = ∴ + =+ + + + =

∑

∫

…

…

⋮

…

(5.3)

Conforme se incrementa N , la solución obtenida corresponde efectivamente a la de la

ecuación integral. En el análisis que sigue se determina la estabilidad de la magnitud de la impedancia de entrada en función de N . Los datos del dipolo son: 0.5 , 100, 33,L a L Pλ= = =

0.05 .gap L∆ =


Figura 5.9. Función peso deltas de Dirac, segmentación equidistante.



- 111 -



Figura 5.12. Función peso pedazos senoides, segmentación equidistante.



- 112 -


Figura 5.13. Función peso deltas de Dirac, segmentación no-equidistante.





- 113 -

Figura 5.16. Función peso pedazos senoidales, segmentación no-equidistante.

De acuerdo a las gráficas anteriores, la estabilidad depende fuertemente de las funciones base y peso seleccionadas. La función peso que hace más inestable la solución es la delta de Dirac, sobre todo en la segmentación equidistante, donde se vuelve divergente, Fig. 5.9. En la Tabla 5.2 se muestra el número de segmentos necesarios para llegar a la estabilidad numérica. Para la segmentación equidistante, se necesita un promedio de 27 segmentos, mientras que para la segmentación no-equidistante se necesitan hasta 26. Esta ligera reducción se ve reflejada en un tiempo de máquina menor para solucionar la ecuación matricial.

Tabla 5.2. Número de segmentos necesarios para alcanzar la convergencia Segmentación equidistante


Segmentos N


Segmentos N

Pulsos Deltas 20 Pulsos Pulsos 28 Triángulos Deltas 18 Triángulos Pulsos 30 Senoides Deltas 18 Senoide Pulsos 30


Segmentos N


Segmentos N


Segmentación no-equidistante Combinación

Función Base-Función Peso Segmentos

N Combinación

Función Base-Función Peso Segmentos

N Pulsos Deltas 20 Pulsos Pulsos 26 Triángulos Deltas 16 Triángulos Pulsos 30 Senoides Deltas 20 Senoide Pulsos 30


Segmentos N


Segmentos N




- 114 -

5.3. Análisis de la estabilidad en función del radio del conductor

En el modelo de la ecuación de Pocklington existe una singularidad intrínseca que indetermina el kernel cuando 0R→ .

( ) ( ) ( )( )( )2 4 2 3 2 25

0

1ˆ ˆ ˆ ˆ3 3 .

4


j R

eωε π

′ ′ ′= − − − + − • • ∫ s s + R s R s (5.4)

Este caso ocurre cuando el punto de observación corresponde al punto fuente. Para evitar este problema, en esta Tesis, los puntos de observación se colocan sobre el eje del alambre y los puntos fuentes se localizan sobre la línea equivalente de corriente, en la superficie del alambre. Cuando las coordenadas s y s′ coinciden, la distancia mínima entre los puntos es:

( ) ( ) ,s s

R s s a′=

′ ′= − =r r (5.5)

lo cual impide que la integral se indetermine. Sin embargo, al ser esta distancia igual al radio del conductor, dependemos de qué tan pequeño sea éste para que la integral se haga singular. El modelo de Pocklington es apropiado para alambres delgados, sin embargo, debemos restringir los valores de a para evitar que el radio se haga infinitamente delgado. Kraus estableció un rango de valores para que un alambre se considere delgado [2]: 60 100 .L a L≤ ≤ (5.6) Matemáticamente, D. H. Werner propuso una alternativa para aislar la singularidad en la ecuación de Pocklington para alambres rectos [3]. Para alambres de geometría arbitraria, no existe un procedimiento análogo, por lo cual se necesita determinar el rango de valores donde la solución sea estable. En el análisis que sigue se determina la estabilidad de la magnitud de la impedancia de entrada en función de a . Los datos del dipolo son:

0.5 , 33, 28, 0.05 .gapL P N Lλ= = = ∆ =


Figura 5.17. Función peso deltas de Dirac, segmentación equidistante.



- 115 -



Figura 5.20. Función peso pedazos senoidales, segmentación equidistante.



- 116 -


Figura 5.21. Función peso deltas de Dirac, segmentación no-equidistante.





- 117 -

Figura 5.24. Función peso pedazo senoidal, segmentación no-equidistante.

De acuerdo a las gráficas anteriores, se muestra que el modelo de Pocklington es válido,

en promedio, para el siguiente rango de valores del radio del conductor, sin importar en gran medida la combinación de funciones base y el tipo de segmentación:

.35 105

L La≤ ≤ (5.7)

Este rango varía para las condiciones con que se analice la antena. La relación (5.7) contiene a la propuesta por Kraus para especificar a los alambres delgados. Arriba del límite superior, la solución de la ecuación diverge, debido a que el kernel de la integral se hace singular. Por lo tanto, para evitar este problema, el radio del alambre debe quedar restringido a la relación definida por (5.7). 5.4. Análisis de la condición de frontera sobre la superficie del conductor

En un conductor perfecto el campo electromagnético no puede existir en su interior, por lo que no puede haber cargas oscilantes dentro del material, a excepción de su superficie, donde el campo induce su movimiento, creando una densidad superficial de corriente que se somete a las fuerzas de Lorentz. Cuando el conductor actúa como radiador, la diferencia de potencial con que se excita induce el movimiento de cargas eléctricas que establecen una corriente “impresa” en su superficie. Esta corriente genera un campo eléctrico que se propaga como una onda, pero en la superficie del conductor su componente tangencial se anula. Cuando el conductor actúa como dispersor, el campo incidente induce una corriente “impresa” la cual genera un campo disperso, de tal forma que la componente tangencial del campo total es cero. La aparición del campo disperso es una consecuencia de la naturaleza del problema, la cual hace cumplir la condición de frontera del campo eléctrico. La mayoría de los conductores con que se fabrican antenas pueden considerarse prácticamente perfectos, ya que σ → ∞ . Sin embargo, un análisis más detallado debería considerar la finitud de la conductividad eléctrica, ya que por el efecto piel, se establece una densidad de corriente con un espesor igual a la profundidad de penetración δ [4]. El modelo de Pocklington considera que 0δ = , de tal forma que toda la corriente puede considerarse concentrada en un filamento equivalente sobre la superficie del alambre. Esta condición se cumple adecuadamente cuando la frecuencia de la corriente es realmente alta, lo cual se verifica en las antenas que trabajan en las bandas de los MHz y GHz.



- 118 -

El modelo del generador Delta-Gap supone que el campo eléctrico con que se excita la antena se encuentra confinado en una pequeña separación gap∆ practicada en el conductor de

esta. Fuera de la separación el campo eléctrico es cero.

.

si ,ˆ ,

0 fuera del gapgap gap

gapgapI I I Is s gap s

V sV ds E ds E E

∆ ∆

∆ ∈ ∆= • = = ∆ =

∫ ∫E s (5.8)

Una vez que se conoce la distribución de corriente, es posible calcular el campo eléctrico en la superficie del alambre de acuerdo a:

( ) ( ) ( )1

1, ,

n

NIs n n

n

E s c K s s i s dsjωε = ∆

′ ′ ′= − ∑ ∫ (5.9)

donde la integración dentro de la suma se realiza en términos de una cuadratura gaussiana:

( ) ( ) ( )1 1

1, ,

2

N PI n ns j j n j

n j

cE s K s s i s

jω

ωε = =

∆ ′ ′= − ∑∑ (5.10)

siendo P el número de raíces usadas en la integración, jω son los pesos de la cuadratura y js′

son las raíces mapeadas en n∆ . Lo que se espera es que el campo eléctrico sea cero en todos los puntos de la superficie de la antena, menos en el área de excitación del generador. En el análisis que sigue se determina si la condición de frontera del campo eléctrico se satisface en el centro y los extremos de cada segmento, en función de diferentes combinaciones de funciones base y peso y del tipo de segmentación. Los datos del dipolo son:

0.5 , 33, 58, 100, 0.05 .gapL P N a L Lλ= = = = ∆ =


Figura 5.25. Función peso delta de Dirac, segmentación equidistante.



- 119 -



Figura 5.28. Función peso pedazos senoidales, segmentación equidistante.



- 120 -


Figura 5.29. Función peso delta de Dirac, segmentación no-equidistante.





- 121 -

Figura 5.32. Función peso pedazos senoidales, segmentación no-equidistante. 5.5. Gráficas de distribución de corriente

La solución de la ecuación de Pocklington obtenida por el método de segmentación no-equidistante consiste en un conjunto de puntos que no pueden graficarse en primera mano ya que no se encuentran distribuidos uniformemente. Esto no es una desventaja de la técnica, ya que con un procedimiento estándar de interpolación lagrangiana se pueden graficar más o menos de los valores no-equidistantes obtenidos. Si se decide graficar más valores que los conseguidos, entonces se ahorra el trabajo de cálculo necesario para obtenerlos, ya que el procedimiento de interpolación es muy fácil de implementar y no requiere grandes recursos de cálculo. El graficar menos resultados no es algo muy común de encontrar, pero el procedimiento presentado en esta Tesis contempla este caso. El proceso de interpolación lagrangiana con puntos sencillos obtiene un desarrollo polinomial de la corriente:

( ) ( ) ( )( )1 1

, 0,1,2, , , ,N N

in in

i n i i

q s LI q s c i s q M s

s M

ϕϕ= =

′∆′ ′ ′∆ = = ∆ =

′∑∑ɶ ⋯ (5.11)

donde Iɶ es el polinomio interpolante de la corriente, q es el número del punto equidistante,

s′∆ es el tamaño del segmento equidistante, M es el número de puntos a interpolar y las funciones auxiliares iϕ se definen por:

( ) ( ) ( )1

,N

i jjij i

F ss s s

s sϕ

=≠

′′ ′ ′= = −

′ ′− ∏ (5.12)

donde ( )F s′ es el polinomio fundamental, formado por los puntos de muestreo no-

equidistantes js′ . En las gráficas que se presentan a continuación, los datos del problema son:

33 , 0.05 , 100 .gapP L a L= ∆ = = El número de segmentos y las dimensiones de la antena

cambian para cada gráfica.



- 122 -

Figura 5.33. Distribución de corriente en un dipolo eléctrico de 2L λ= .

Figura 5.34. Distribución de corriente en un dipolo eléctrico de L λ= .

Figura 5.35. Distribución de corriente en un dipolo eléctrico de 2L λ= .



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5.6. Gráficas del patrón de radiación

El patrón de radiación, además de mostrar gráficamente aquellas zonas donde la antena entrega su radiación, proporciona información suficiente para determinar la directividad D y la ganancia G de la antena, las cuales se calculan a partir de:

( )

4

4, , 0 1,

,n

D G kD kP d

π

πθ ϕ

= = ≤ ≤Ω∫∫

(5.13)

donde k es la eficiencia de la antena, la cual se relaciona con sus pérdidas, dΩ es un elemento diferencial de ángulo sólido y ( ),nP θ ϕ es el patrón de potencia normalizado, el cual

queda expresado en términos del vector de Poynting1 ( ),S θ ϕ :

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )2 2

0max

, ,,, , , .

,n n

E ESP S

S Zθ ϕθ ϕ θ ϕθ ϕ

θ ϕ θ ϕθ ϕ

+= = (5.14)

De acuerdo a (5.14), es necesario encontrar las componentes complejas del vector del campo eléctrico. Éstas, para un valor de r bastante alejado de la antena, se calculan de acuerdo con:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )1 1

1 1

ˆ ˆ ,8

ˆ ˆ .8

j

j

jkr N Pjk s r

n n j n j jn j

jkr N Pjk s r

n n j n j jn j

jE c i s s

r

jE c i s s

r

e e

e e

θ θ

ϕ ϕ

ωµ ζπ

ωµ ζπ

−′ ′•

= =

−′ ′•

= =

′ ′ ′= − ∆ •

′ ′ ′= − ∆ •

∑∑

∑∑

r r

r r

s a

s a

(5.15)

En las gráficas que se muestran a continuación se grafica Eθ para una antena dipolo de

diferentes longitudes. Las diferencias respecto a las gráficas encontradas en la literatura se deben a que en el análisis clásico se supone una distribución senoidal de corriente, mientras que el análisis numérico demuestra que la distribución no es senoidal. Los datos del problema son: 40, 33 , 0.05 , 100 , 100000 m, =0 rad.gapN P L a L r ϕ= = ∆ = = =

Figura 5.36. Patrón de radiación de la antena dipolo para diferentes longitudes.

1 John D. Kraus, Op. Cit. pág. 15, 165-186.



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5.7. Conclusiones del Capítulo V

En este capítulo se presentaron diferentes análisis de estabilidad para comparar los resultados obtenidos con la segmentación equidistante y la no-equidistante. El parámetro de referencia que se eligió fue la magnitud de la impedancia de entrada, porque comprende la corriente en el punto donde se conecta el generador Delta-Gap. La metodología comprende cuatro análisis de convergencia y estabilidad de la solución numérica.

El primer análisis involucra la estabilidad de la solución en función del número de

raíces de Legendre usadas para realizar las cuadraturas gaussianas. El segundo análisis comprende la estabilidad de la solución en función del número de segmentos en que se divide el alambre. La estabilidad depende de las combinaciones de funciones base y peso hechas. De las gráficas anteriores se demuestra que la función peso delta de Dirac hace divergente a la solución para cualquier función base usada. Esta divergencia es más evidente en la segmentación equidistante que en la no-equidistante.

El tercer análisis estudia la estabilidad de la solución en función del radio del conductor. El modelo de Pocklington supone que el radio es muy delgado, de tal forma que no existan variaciones circunferenciales en la distribución de corriente. Sin embargo, el admitir esta infinita delgadez produce una indeterminación en la solución ya que el kernel de la ecuación se hace singular. El rango de valores para conseguido para la estabilidad depende de las condiciones con que se analiza el problema.

El cuarto análisis que se presenta es el que demuestra la validez de la técnica no-equidistante empleada, ya que se verifica que se cumpla la condición de frontera del campo eléctrico sobre la superficie del conductor. Este análisis no ha sido encontrado por el autor de esta Tesis en la literatura especializada, y debería realizarse como prueba final para comprobar la efectividad del método numérico empleado para analizar a la antena. Al probar la condición de frontera en la segmentación equidistante se demuestra la aparición del fenómeno de Runge-Borel en la unión de los segmentos; como se explicó en el Capítulo IV, este fenómeno depende exclusivamente de la segmentación equidistante.

De las gráficas del campo eléctrico se muestra la validez del generador Delta-Gap, ya que se puede apreciar un gran pico en el lugar donde se conecta la fuente. Las diferencias con el modelo idealizado se ponen en evidencia al resaltar que la forma de este campo no es la de un pulso, sino la de una campana y que su dominio no abarca sólo a gap∆ sino a varios

segmentos de la antena. No obstante lo anterior, el uso del generador Delta-Gap sigue siendo muy recomendable como una primera aproximación a la distribución del campo eléctrico, ya que éste, así como la distribución de corriente, son funciones desconocidas al momento de analizar la antena.

Las gráficas de distribución de corriente presentadas en la última sección de este capítulo demuestran el hecho interesante de que las partes real o imaginaria de la corriente pueden tener valores negativos. Sin embargo, esto no resulta tan evidente ya que prácticamente todas las gráficas de corriente encontradas en la literatura muestran la magnitud de esta por ser el parámetro más fácil de medir experimentalmente.



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Referencias [1] Margarita Suárez Alonso, Matemática Numérica. IPN-Ministerio Superior de Cuba, 1997, México D.F. [2] John D. Kraus, Ronald J. Marhefka, Antennas, For All Applications. McGraw Hill, 3rd Ed. 2002. [3] D. H. Werner, P. L. Werner, J. K. Breakall, “Some Computational Aspects of Pocklington’s Electric Field Equation for Thin Wires” in: IEEE Trans. on Antennas and Propagation, April 1994, Vol. 42, No. 4, p.p. 561-563. [4] R. Neri Vela, Líneas de Transmisión. McGraw Hill, 1ª Ed. 1999. Cap. 2, p.p. 34-40.


Capítulo VI: Conclusiones, Aportaciones y Trabajos Futuros

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Capítulo VI

Conclusiones, Aportaciones y Trabajos Futuros



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6.1. Conclusiones generales

El trabajo teórico de Maxwell, así como el experimental de Hertz, proveyeron los cimientos de la tecnología del siglo XX. En el siglo XIX, aún sin comprender la naturaleza de la electricidad y el magnetismo, aparecieron numerosas aplicaciones prácticas que comenzaron a ocuparse del trabajo realizado por los humanos. La electricidad y el magnetismo pronto ocuparían el pináculo de la ciencia y la tecnología haciendo el trabajo cotidiano más fácil de realizar. Pronto se descubriría que entre la fuerza eléctrica y la magnética existía una relación muy íntima, ya que ambas correspondían a diferentes aspectos de un mismo fenómeno: el campo electromagnético. Este descubrimiento debería catalogarse como el más importante en el siglo de Maxwell [1]. Entre las demás fuerzas de la naturaleza continúa sin existir relaciones entre ellas, hasta que se descubrió la fuerza electro-débil, la cual relaciona la fuerza débil, responsable de la desintegración radiactiva del núcleo, con la fuerza electromagnética [2]. Esperemos ser capaces de poder contemplar la gran teoría de unificación, tan buscada por Einstein, que permita encontrar las relaciones faltantes con la fuerza fuerte y la gravitacional y obtenga la cuantización de esta última. La Teoría de las Cuerdas, con sus diez dimensiones, parece ser un buen intento en esta difícil tarea [3], pero muchas personas, incluido el autor de esta Tesis, están seguras que la descripción de la Naturaleza siempre tiende a ser más sencilla y humilde; quizá, como dijo Feynman, debamos buscar el adecuado sistema de coordenadas para contemplar a nuestro Universo [4].

Las ecuaciones de Maxwell, con su gran belleza matemática, han proporcionado respuestas a cualquier problema electromagnético no-cuántico, permitiendo predecir la existencia de las ondas electromagnéticas. Su solución, para un problema en particular, es difícil de encontrar, razón por la cual se emplean herramientas matemáticas que, sin tener significado físico o posibilidad de medirse, ofrecen un punto de partida más amigable para solucionar el sistema de Maxwell. Estas herramientas son los potenciales retardados, funciones matemáticas que demuestran que los efectos producidos por las cargas y las corrientes eléctricas tardan en propagarse al punto de observación. Este retardo aparece como una consecuencia natural de Ley de Relatividad. Hasta la década de 1970 dejaron de usarse los potenciales avanzados en la electrodinámica, porque aunque son soluciones correctas de la ecuación de onda, violan el principio de causalidad física. Con los potenciales retardados es posible escribir ecuaciones integrales que describan el campo electromagnético en términos de la distribución de cargas y corrientes eléctricas [5]. Entre estas ecuaciones, las más generales son la Ecuación Integral del Campo Eléctrico (EFIE) y la Ecuación Integral del Campo Magnético (MFIE), donde de nuevo aparece la simetría y la sencillez intrínseca de las ecuaciones de Maxwell.

Cuando la EFIE se aplica a un alambre delgado se obtiene una ecuación integral unidimensional, llevando la integración a lo largo de la longitud del alambre. Si en especial se aplica la condición de frontera en la superficie del conductor, se obtiene la ecuación integral de Pocklington, que apareció por primera vez en 1897. El modelo de Pocklington ha tenido gran popularidad porque forma una buena mancuerna con el método de momentos en la teoría de antenas, donde lo más usual es hallarla definida para alambres delgados. Cuando el alambre adquiere otra geometría diferente a la recta, es necesario incorporar los cambios de trayectoria en el alambre al incluir el producto punto de los vectores unitarios tangentes al eje del alambre y al filamento equivalente de corriente. La ecuación de Pocklington es válida mientras se cumpla la hipótesis del alambre delgado, la cual establece que en tales conductores, las variaciones circunferenciales de corriente pueden despreciarse y toda la corriente puede suponerse concentrada en un filamento equivalente sobre la superficie del



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alambre. La hipótesis supone que el radio de este es mucho menor que su longitud y la longitud de onda. También se supone que la corriente se encuentra confinada en la superficie del alambre, lo cual se consigue al incrementar la frecuencia, debido al efecto piel. Si la hipótesis del alambre delgado no se cumple, entonces el modelo de Pocklington no debería aplicarse.

La ecuación de Pocklington puede deducirse a partir de la EFIE, sin embargo, el enfoque que se presenta en el Capítulo II resulta atractivo por estar expresado en términos de la Teoría de Circuitos. Aharoni obtiene la Ecuación Integral del Campo Eléctrico expresándola en términos de las leyes de Kirchhoff. Esta perspectiva por sí misma es valiosa, ya que considera que cuando el número de mallas del circuito tiende a infinito, el sistema de ecuaciones equivale a una ecuación integral. Esta equivalencia es en la que se basa el método de momentos para obtener una solución que converja a la del operador original. El kernel de la ecuación integral corresponde a los términos de capacitancias e inductancias mutuas entre las diferentes mallas eléctricas diferenciales que conforman el conductor de la antena. Por lo tanto, tiene sentido llamar a las matrices obtenidas con el método de momento como: matriz de impedancias, matriz de corrientes y matriz de voltajes.

La ecuación de Pocklington es una ecuación integral, porque la corriente incógnita aparece dentro del operador integral, y corresponde a una ecuación de primer tipo porque la incógnita no aparece fuera del operador. Para determinar la distribución de corriente se aplica el método de momentos, que es un procedimiento numérico que reúne todo un conjunto de técnicas, relacionadas entre sí, para ofrecer soluciones aproximadas a una ecuación operador. El método fue popularizado por Roger F. Harrington en 1967, sin embargo, formalmente la técnica debería llamarse método de Bubnov-Krylov-Galerkin, en honor a los investigadores que lo descubrieron y desarrollaron. El objetivo de la técnica es transformar una ecuación operador, en este caso una ecuación integral, en una ecuación matricial que, por medio de técnicas de inversión y producto de matrices, puede resolverse más fácilmente que la ecuación original. Para lograr esto, la corriente incógnita se expresa como una combinación lineal de funciones base, definidas por nosotros, donde los coeficientes del desarrollo deben determinarse; de esta manera, la ecuación se transforma en una de tantas incógnitas como elementos tenga la expansión. Para formar un sistema consistente de ecuaciones, se necesitan tantas de éstas como de incógnitas. Para encontrar las demás ecuaciones se define un conjunto de funciones linealmente independientes, conocidas como funciones peso o prueba, con las cuales se realiza el producto interno con la primera ecuación. De esta forma, el sistema de ecuaciones puede expresarse en forma matricial, para determinar su solución numérica.

La solución conseguida depende de las combinaciones de funciones base y peso usadas. En el caso de que se utilicen por funciones peso deltas de Dirac, el método adquiere el nombre de Técnica de Ajuste de Puntos. La gran ventaja de esta función peso es que disminuye el número de integraciones en una unidad, debido a sus propiedades de muestreo. La gran desventaja es la inestabilidad de la solución, la cual se muestra en las gráficas correspondientes del Capítulo V; para esta función peso existe muy poca estabilidad cuando se usa por función base a la función pulso, y la estabilidad aumenta considerablemente al usar funciones triangulares o pedazos senoidales. Cuando el operador de la ecuación es auto-adjunto, las funciones base equivalen a las funciones peso y la técnica se conoce como método de Galerkin. En el caso de la ecuación de Pocklington se ha demostrado que no corresponde a un operador auto-adjunto, sin embargo, el uso del método de Galerkin produce excelentes resultados con una rápida convergencia y una gran estabilidad. Formalmente, este método no debería de usarse para la ecuación de Pocklington, pero los resultados que se



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consiguen justifican su empleo. La única desventaja del método de Galerkin es el tiempo que se necesita para encontrar la integración del producto interno, además de la propia integración de la ecuación operador.

Las funciones base usadas en el método de momentos sólo están definidas en un pequeño intervalo dentro de la longitud del alambre, fuera de éste valen cero. Éstas se conocen como funciones base subdominio y su uso puede interpretarse físicamente como que la antena ha sido dividida en pequeños segmentos donde cada función base existe. Para conservar la independencia lineal del sistema de ecuaciones, los segmentos deben ser colineales entre sí. Tradicionalmente se ha establecido que todos tengan la misma longitud, aunque el método no limita esta tendencia. La gran desventaja de los segmentos equidistantes es la aparición del fenómeno de Runge-Borel en los datos de corriente interpolados. Este fenómeno hace que la solución se indetermine en ciertos lugares del dominio de la corriente, tomando valores infinitos en esos lugares. El fenómeno no se debe a problemas en la técnica de interpolación o en el método de momentos, sino que es provocado únicamente porque los segmentos son de igual longitud. La segmentación equidistante se ha usado porque es la forma más fácil de dividir el alambre, es el método trivial.

En esta Tesis se propone un método no-equidistante para dividir la antena con el cual se evita la aparición del fenómeno de Runge-Borel. Este método se basa en la forma en cómo se distribuyen las raíces de los polinomios de Legendre en su correspondiente dominio. Las raíces se agrupan más cercanamente en los extremos del dominio que en su centro. Esta segmentación está motivada por el método de cuadratura de Gauss, el cual también hace uso de ellas. En el método de Gauss, donde se busca encontrar la cuadratura de alguna función, se determina que los puntos de muestreo donde debe de evaluarse la función corresponden a aquellos de las raíces de Legendre, pero mapeados en los límites de integración. La cuadratura calculada consigue tener el menor error posible respecto a las demás técnicas de cuadratura, además de que se evita la aparición del fenómeno de Runge-Borel en la interpolación del integrando. Por lo tanto, si consideramos que resolver la ecuación integral equivale a encontrar la cuadratura del kernel por la corriente desconocida, resulta evidente que el integrando debe evaluarse en puntos discretos donde se encuentran las raíces de Legendre. Pero hacer esta evaluación equivale al procedimiento del método de momentos, donde se trata de determinar el valor de la corriente en puntos discretos del alambre. Por lo tanto, las raíces de Legendre deben encontrarse en el centro de cada segmento y por consiguiente los segmentos tendrán diferentes longitudes. Esta segmentación no-equidistante produce soluciones con el menor error posible además de evitar el fenómeno de Runge-Borel, siempre presente en los métodos numéricos que impliquen segmentaciones equidistantes.

En la segmentación no-equidistante usada en esta Tesis, se presenta un fenómeno de paridad en el número de segmentos en que se divide la antena. Cuando este número es par, la suma de las longitudes de los segmentos es ligeramente mayor que la longitud del alambre, y conforme el número de segmentos se hace más grande, la suma de longitudes converge hacia el verdadero tamaño de la antena. Cuando el número de segmentos es impar, el fenómeno de paridad no se presenta. Esto no debe verse como un error o una desventaja del método, simplemente debe considerarse que la convergencia en el caso de una segmentación par es más lenta que en una impar. De hecho, fenómenos de paridad análogos aparecen en múltiples métodos numéricos, como una consecuencia de la discretización de las ecuaciones operador.

En todas las técnicas numéricas deben practicarse análisis de estabilidad y convergencia, para analizar el comportamiento de sus soluciones. Tales estudios fueron



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realizados en esta tesis para comprobar la eficiencia de la técnica no-equidistante. El primer análisis involucra la estabilidad de la solución en función del número de raíces de Legendre usadas para realizar las cuadraturas gaussianas. Se llega a la conclusión de que con 33 raíces para la segmentación equidistante y 31 para la no-equidistante se consigue la estabilidad de la solución numérica. Ambos números son relativamente pequeños respecto al número de subintervalos necesarios en la regla de cuadratura de Simpson. Esto se refleja en un tiempo de máquina pequeño para calcular cada integral de la ecuación matricial. Respecto a las combinaciones de funciones, se muestra en este análisis que la función peso delta de Dirac es la que inestabiliza más la solución, sobre todo cuando la función base corresponde a la triangular o al pedazo senoidal.

El segundo análisis comprende la estabilidad de la solución en función del número de segmentos en que se divide el alambre. Se concluye que con un promedio de 27 divisiones para la segmentación equidistante y 26 para la no-equidistante se llega a la estabilidad de la solución. Con un número pequeño de segmentos como el conseguido en esta Tesis, se demuestran las virtudes del uso de las raíces de Legendre, ya que conforme N aumenta, los segmentos tienden a agruparse equidistantemente, con la consecuente aparición del fenómeno de Runge-Borel. Otra ventaja de este número pequeño de segmentos es el tiempo de cómputo necesario para encontrar la solución. Por lo tanto, para la segmentación no-equidistante es más aconsejable que N no aumente indefinidamente, ya que en ese caso no habría diferencia con la segmentación equidistante. Para ésta, siempre es aconsejable que el número de segmentos sea suficientemente grande para que la solución de la ecuación matricial tienda a la de la ecuación integral. Respecto a las combinaciones de funciones, se demuestra que la función peso delta de Dirac hace divergente a la solución para cualquier función base usada. Esta divergencia es más evidente en la segmentación equidistante que en la no-equidistante.

El tercer análisis estudia la estabilidad de la solución en función del radio del conductor. El modelo de Pocklington supone que el radio es muy delgado, de tal forma que no existan variaciones circunferenciales en la distribución de corriente. Sin embargo, el admitir esta infinita delgadez produce una indeterminación en la solución ya que el kernel de la ecuación se hace singular. Kraus estableció un rango de valores donde una antena se considera delgada. El análisis realizado demuestra la validez de su resultado, ya que su rango se encuentra contenido en el obtenido en esta Tesis: 35 105 .L a L≤ ≤ Este rango es relativamente independiente de la combinación de funciones base y peso usadas y del tipo de segmentación empleado, por lo que concluimos que depende exclusivamente del modelo matemático empleado, la ecuación de Pocklington. El usar un radio de conductor que rebase este rango hace que la solución diverja rápidamente.

El cuarto análisis que se presenta es el que demuestra la validez de la técnica no-equidistante empleada, ya que se verifica que se cumpla la condición de frontera del campo eléctrico sobre la superficie del conductor. Este análisis no ha sido encontrado por el autor de esta Tesis en la literatura especializada, y debería realizarse como prueba final para comprobar la efectividad del método numérico empleado para analizar a la antena. Al probar la condición de frontera en la segmentación equidistante se demuestra la aparición del fenómeno de Runge-Borel en la unión de los segmentos; como se explicó en el Capítulo IV, este fenómeno depende exclusivamente de la segmentación equidistante y de las funciones usadas para interpolar. Con las gráficas mostradas se puede apreciar que la magnitud del campo eléctrico es del orden de los 10V m, mientras que en las gráficas de segmentación no-

equidistante, la magnitud del campo eléctrico es del orden de los 110 V m− . Esta reducción



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apreciable del orden de la magnitud muestra que la condición de frontera se satisface mejor por medio de una segmentación no-equidistante. Incluso para el caso en que se use como función peso la función triangular o el pedazo senoidal, con la función base pulso, se demuestra claramente que en el caso equidistante la magnitud del campo eléctrico en la superficie del alambre es del orden de los 600V m, mientras que en el caso no-equidistante

se tiene un orden de 60V m. Estas gráficas en especial se obtienen al considerar que la función base pulso abarca dos segmentos, de igual forma que la función triangular y el pedazo senoidal, empleadas como funciones base.

De este último análisis se desprende otra observación relacionada con el campo eléctrico en los extremos de la antena. Para la segmentación equidistante el campo realmente tiende a infinito, como puede apreciarse en las figuras correspondientes, sin embargo, con la segmentación no-equidistante, el campo se acota a un orden de magnitud menor a los 60V m

en el peor caso, y a un orden de magnitud menor a los 30V m en el mejor caso. Los casos patológicos corresponden a aquellos donde la función base es el pulso y la función peso es la triangular o el pedazo senoidal.

De las gráficas del campo eléctrico se muestra la validez del generador Delta-Gap, ya que se puede apreciar un gran pico en el lugar donde se conecta la fuente. Las diferencias con el modelo idealizado se ponen en evidencia al resaltar que la forma de este campo no es la de un pulso, sino la de una campana y que su dominio no abarca sólo a gap∆ sino a varios

segmentos de la antena. No obstante lo anterior, el uso del generador Delta-Gap sigue siendo muy recomendable como una primera aproximación a la distribución del campo eléctrico, ya que éste, así como la distribución de corriente, son funciones desconocidas al momento de analizar la antena.

Las gráficas de distribución de corriente presentadas en la última sección de este capítulo demuestran el hecho interesante de que las partes real o imaginaria de la corriente pueden tener valores negativos. Sin embargo, esto no resulta tan evidente ya que prácticamente todas las gráficas de corriente encontradas en la literatura muestran la magnitud de esta por ser el parámetro más fácil de medir experimentalmente. 6.2. Aportaciones

Este trabajo de tesis presenta las ventajas de una segmentación no-equidistante respecto a la clásica equidistante, que clásicamente se ha usado en el análisis de antenas. El autor del mismo enlista las aportaciones hechas en esta tesis: 6.2.1. Representación vectorial de la geometría de la antena

En programas como NEC, una antena de geometría arbitraria se modela al conectar en serie un gran número de pequeños conductores rectos para aproximar la antena original. En esta representación, con un número finito de elementos rectos, ocurren errores para modelar las antenas, en especial, cuando curvatura de la antena es muy pronunciada. En esta tesis se usa una ecuación vectorial para modelar tanto el eje de la antena como el filamento equivalente de corriente, el cual resulta ser una curva paralela al eje. Con esta representación se consigue modelar todos los detalles de la antena, sin importar la curvatura que presente. Las ecuaciones vectoriales están parametrizadas respecto a su longitud de arco, lo cual



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permite “linealizar” el alambre y considerarlo como recto en el dominio del parámetro de su longitud de arco. Finalmente, la representación vectorial permite manipular correctamente la geometría de la antena en el programa de cómputo desarrollado, donde se implementaron funciones de usuario que devuelven el vector de posición de la curva para la medida de longitud de arco pasada como parámetro por valor. 6.2.2. Deducción de la ecuación de Pocklington en términos de la Teoría de Circuitos

En diversos trabajos se presentan deducciones formales para obtener la ecuación de Pocklington a partir de la Ecuación Integral del Campo Eléctrico. En este trabajo, la ecuación de Pocklington es deducida por el autor de esta Tesis basándose en el trabajo de Aharoni. En este enfoque, se considera que la antena se forma de un gran número de circuitos RLC infinitesimales, los cuales se encuentran acoplados únicamente de manera inductiva y capacitiva. La ecuación integral se obtiene de hacer tender al infinito el número de mallas eléctricas consideradas, de tal forma que en el límite existe una equivalencia entre el sistema ecuaciones de los circuitos eléctricos y la ecuación integral buscada. Al considerar la relación con las leyes de Kirchhoff tiene sentido llamar a las matrices obtenidas con el método de momentos, matriz de impedancias, matriz de voltajes y matriz de corrientes. 6.2.3. Metodología para determinar las raíces de los polinomios de Legendre

El trabajo de esta Tesis se basa en las raíces de los polinomios de Legendre, las cuales demuestran sus virtudes en diversos métodos numéricos donde se han aplicado con éxito, el único problema consistía en poderlas determinar para cualquier orden del polinomio. A diferencia de las raíces de los polinomios de Chebyshev, no existe una fórmula analítica para determinar las de Legendre, por lo que es necesario hacerlo por medio de métodos numéricos. En esta tesis se presenta un algoritmo original para determinar y ordenar las raíces obtenidas, el cual consigue mejores resultados que el programa MATLAB para una precisión equivalente. La menor precisión conseguida en las raíces es de 121 10−× , lo cual resulta más que suficiente para los propósitos de esta Tesis. 6.2.4. Justificación del método de la cuadratura Gaussiana

La cuadratura Gaussiana es usada como la base para obtener la segmentación no-equidistante de la antena. Este método de integración numérica consigue el menor error numérico posible respecto a otras técnicas de cuadraturas debido al uso de las raíces de los polinomios de Legendre. La justificación del método se presenta en un estudio de interpolación con puntos dobles. En este análisis se demuestra que para conseguir el menor error posible en la cuadratura, los puntos de muestreo deben corresponder a las raíces de ciertos polinomios que satisfacen una ecuación diferencial de segundo orden. Estos polinomios corresponden a los de Legendre y por lo tantos los puntos de muestreo son sus raíces. 6.2.5. Presentación del método de la segmentación no-equidistante

Esta aportación corresponde al trabajo principal desarrollado en esta Tesis. Corresponde a un método innovador y original del uso de las raíces de Legendre en el electromagnetismo computacional. Hasta el momento, no se ha encontrado en la literatura especializada un método siquiera semejante para dividir la antena. El método de momentos continúa siendo objeto de investigación, buscando siempre un código computacional reducido, que minimice



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sus recursos de cálculo, el tiempo de cómputo y la memoria usada. El método no-equidistante presentado en el Capítulo IV, pretende aportar sus virtudes al método de momentos, las cuales ya fueron tratadas anteriormente. 6.2.6. Análisis de la condición de frontera del campo eléctrico

Todo método numérico debe garantizar que las soluciones obtenidas satisfacen las hipótesis de las cuales se partieron. En el caso de la solución de la ecuación de Pocklington, la hipótesis que se verifica es la condición de frontera del campo eléctrico en la superficie del alambre. En la literatura consultada, este estudio nunca fue encontrado; el autor de esta Tesis considera que la condición de frontera debe verificarse en cualquier propuesta numérica para analizar antenas, la validez del algoritmo se determinaría con esta comprobación. Para el caso de la segmentación no-equidistante se comprueba que la condición de frontera se satisface de una mejor manera que en la segmentación equidistante. 6.2.7. Desarrollo de un programa para la solución del problema

A lo largo del desarrollo de esta Tesis se ha preparado un programa de cómputo basado en lenguaje C++, orientado a objetos, para obtener soluciones con el método de momentos de la distribución de corriente a lo largo de antenas de alambre delgado. El programa cuenta con diversas librerías para el manejo de números complejos, vectores, matrices y polinomios de Legendre. Por el momento el programa sólo es capaz de determinar la distribución de corriente, pero no de graficarla. Se eligió la programación orientada a objetos para usar las propiedades de encapsulamiento de los datos y herencia de los objetos, muy adecuados para los propósitos de esta tesis. El compilador usado es Visual C++ 6.0, para construir aplicaciones de 32 bits para evitar limitaciones en el tamaño de las matrices usadas, ya que en 32 bits, el microprocesador trabaja en modo protegido y se tiene acceso a toda la memoria de la computadora en forma lineal. 6.2.8. Algoritmo para determinar el patrón de radiación

El patrón de radiación proporciona la información necesaria sobre las regiones donde la antena concentra la energía que radía. Esta información se determina para lugares muy alejados de la antena, donde comúnmente se encuentran los equipos receptores. Lo más común es determinar esta información para una geometría esférica, estando la antena en el centro del sistema de coordenadas. Gráficamente, el patrón de radiación se encuentra dibujado en forma polar, aunque también son comunes gráficas rectangulares del mismo. Por medio del potencial vectorial magnético se determina el campo eléctrico lejano en sus componentes angulares, sobre una superficie de referencia. Este potencial está expresado en términos de la distribución de corriente de la antena; de esta forma, el algoritmo presentado, determina tales componentes por medio de cuadraturas gaussianas. Este algoritmo se diferencia de otros basados en arreglos de fuentes puntuales, los cuales son muy estudiados en la literatura especializada.



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6.3. Trabajos Futuros

Se pretende continuar el desarrollo del método usado en esta Tesis para analizar no sólo antenas de alambre delgado, sino también antenas gruesas y antenas planares. Además de esto se planea analizar los efectos mutuos entre dos antenas acopladas, todo esto para analizar en término final cualquier tipo de antena. Además de esto, se planea analizar el efecto de los planos de tierra en la distribución de corriente. Otra tarea que se desea abordar es referente a la polarización de la antena, la cual se determina por medio de la dirección del vector del campo eléctrico. Otro trabajo a futuro consiste en mejorar el programa de cómputo para poder determinar el patrón de radiación y las gráficas de distribución de corriente, además de construir una interfase gráfica de usuario para que pueda escribirse en ella la ecuación de la curva que representa al alambre. Los trabajos futuros relacionados con este tema resultan ser numerosos y con el desarrollo de ellos, seguramente aparecerán más aportaciones y aplicaciones para contribuir en la formulación del método de momentos. Referencias [1] J. Clerk Maxwell, “A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field” in: Philosophical Transactions of the Royal Society of London, Dec. 155, 1865, p.p. 459-512. [2] J. Hucks, “Global Structure of the Standard Model, Anomalies, and Charge Quantization”, 1991, Phys. Rev. D 43, p.p. 2709–2717. [3] Aharony, O. S.S. Gubser, J. Maldacena, H. Ooguri, Y. Oz. "Large N Field Theories, String Theory and Gravity", 2000, Phys. Rept. 323, p.p. 183-386. [4] Richard Feynman, Lectures on Physics. Pearson Educación, 2000, Cap. 12-11. [5] Alfred Landé, “On Advanced and Retarded Potentials”, Phys. Rev. 80, 1950, p. 283.

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Tesis de Maestría en Ciencias