TESIS DE MAESTRÍA EN CIENCIAS - Tecnológico Nacional de

cenidet

Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico

Departamento de Ingeniería Electrónica

TESIS DE MAESTRÍA EN CIENCIAS

“Desarrollo de un Sistema de Detección de Fallas Utilizando un

Enfoque Multi-Modelos LIT Aplicado a un Intercambiador de

Calor”

presentada por

BETTY YOLANDA LÓPEZ ZAPATA Ingeniera electrónica por el I. T. de Tuxtla Gutiérrez

como requisito para la obtención del grado de:

Maestría en Ciencias en Ingeniería Electrónica

Director de tesis:

Dr. Manuel Adam Medina

Co-Director de tesis:

Dr. Carlos Manuel Astorga Zaragoza

Jurado:

Dr. Luis Gerardo Vela Valdés – Presidente

Dr. Alejandro Rodríguez Palacios – Secretario

Dr. Manuel Adam Medina – Vocal

Dr. Carlos Astorga Zaragoza – Vocal Suplente

Cuernavaca, Morelos, México. 13 de Noviembre de 2009

Dedicatoria

A Dios

Por permitirme llegar a este momento tan especial en mi vida. Por los triunfos y los

momentos difíciles que me han enseñado a valorarte cada día más.

A mis Padres.

A quien les debo todo en la vida, les agradezco el cariño, la comprensión, la paciencia y el

apoyo incondicional que me han brindado para culminar mis estudios de maestría. Sin su

ejemplo no hubiera llegado hasta aquí. ¡Los quiero mucho!

A mis Hermanos.

Porque siempre he contado con ellos para todo, gracias a la confianza que siempre nos

hemos tenido; por el apoyo y amistad.

¡Gracias!

A mis Familiares.

A todos mis familiares que me resulta muy difícil poder nombrarlos en tan poco espacio, sin

embargo de un modo particular a la familia Amores Farías, ya que siempre he contado con

su apoyo y amor incondicional. A mi tío Raciel por ser un ejemplo a seguir.

A mis amigos.

Por estar siempre ahí, por sus consejos, por todo lo que han aportado a mi vida y por todos

los buenos momentos que pasamos juntos.

A mis maestros.

Gracias por su tiempo, por su apoyo así como por la sabiduría que me transmitieron en el

desarrollo de mi formación profesional, en especial: al Dr. Manuel Adam Medina por haber

guiado el desarrollo de este trabajo y llegar a la culminación del mismo.

Agradecimientos

A mi mamá porque siempre me hizo sentir que nunca estaba sola y que ella estaba cerca en

todo momento, por cuidarme, por confiar en mí y por hacer que siempre viera el lado

positivo de las cosas. A mi papá por darme su confianza y hacer sentirme segura. A ambos

por sus sabios consejos y por darme el ímpetu y las ganas de superarme día a día. Asimismo

les doy las gracias por ser mi inspiración.

A mi hermana Jeanette porque aun estando lejos siempre me hiciste sentir cerca de la

familia, porque siempre seguirás siendo mi mejor amiga. Te quiero mucho. A mis sobrinos

Diego y Daniel porque los siento parte de mi y por los momentos que me han regalado.

A mi hermano Rodolfo, siempre he contado contigo, gracias por las llamadas y la

confianza que me tienes.

A mis abuelitas Yoli y Betty porque siempre estuve en sus oraciones y se preocupaban por

mí, las quiero.

A la familia Amores Farías por el apoyo y cariño que siempre me han demostrado, en

especial a Gabby gracias por escucharme y por todas tus recomendaciones.

A mi tío Raciel gracias por exhortarme a salir siempre adelante y hacerme ver que hay que

visualizar el futuro, así mismo te agradezco por enseñarme que en la vida hay que tener

objetivos y luchar con todo para conseguirlos

A mi primo Luis gracias por escucharme y brindarme ayuda, gracias también por los

consejos y por ser como eres.

A mis primas Teresita y Ana gracias porque el tiempo que estuve en Cuernavaca, las

conocí mucho mejor y me hicieron saber que no importa el lugar ni la distancia, uno

siempre tiene una familia cerca con quien contar.

A la familia Morán Farías gracias porque me hicieron sentir parte de su familia y siempre

estuvieron conmigo.

A Karla, gracias por ser mi amiga, por esa alegría que contagias, por el apoyo, por los

consejos, por ser de las pocas personas que es muy sincera conmigo y siempre ha estado a

un lado de mí.

A Juan, gracias porque a pesar del todo el tiempo que ha transcurrido, aun seguimos al pie

del cañón, tanto para las cosas buenas como para las malas, por hacerme ver las cosas de

otra perspectiva y siempre estar ahí.

Agradecimientos

A Oscar gracias por tu amistad, por tus comentarios, por tu apoyo, por los buenos

momentos y por mostrarme la gama de opciones que existen para molestar a la gente. TQ

A Paty gracias por ser tan diferente, por ver la vida de diferente forma y enseñarme esa

forma tan tuya de ver las cosas, gracias por esos partidos de basket.

A Ricardo gracias por la paciencia, apoyo y las enseñanzas que me brindaste, pero te

agradezco mucho más la amistad que me ofreciste.

A Tomás gracias por las platicas en el jardín, por los consejos, por bajarme de mi nube y

ser sincero conmigo.

A Adriana Tellez, por tus comentarios tan acertados y por todas las veces que revisaste mi

trabajo.

A Pia, Rachel y Mai por dejarme tratarlas, por el tiempo que convivimos, por ser todas

unas bilingües, por sus comentarios, pero especialmente a Mai por el cariño que siempre

me demostró.

A todas aquellas personas muy especiales que conocí y que llenaron de alegría mi vida,

Gracias (Fabby, Wendy, Noe, Edwing, Elena, Saul, Samuel, Javier, Mario, Julio, Héctor,

Valezka).

Al Dr. Manuel Adam Medina por su esfuerzo y dedicación. Sus conocimientos, sus

orientaciones, su Paciencia, y motivación, que han sido fundamentales para la culminación

de este trabajo.

A mis revisores: Dr. Alejandro Rodríguez Palacios y Dr. Luis Gerardo Vela Valdés por

sus comentarios y consejos acertados, que contribuyeron al buen desarrollo de esta tesis.

Dr Alejandro gracias por ser un amigo.

Al CENIDET por permitirme crecer profesionalmente; y a todo el personal que labora en

el centro, por todas las finas atenciones prestadas durante mi estancia.

Finalmente a CONACYT por el apoyo económico que me brindaron para la realización del

trabajo.

Resumen

En este tema de tesis se desarrolló un método de diagnóstico de fallas basado en multi-

modelos utilizando filtros de Kalman desacoplados, con el residuo insensible a fallas que

generaron los filtros y por medio de la probabilidad Bayesiana se obtuvo la estimación de

la función de activación que da la contribución de cada modelo, y con el residuo sensible

a fallas, se detectó, localizó y estimo la falla. Este método aborda sistemas no lineales

continuamente diferenciables mediante el enfoque multi-modelos. El método de

diagnóstico desarrollado se validó tanto en simulación como de manera experimental en

un intercambiador de calor tipo tubos concéntricos. Este proceso está representado por la

maqueta de laboratorio o planta piloto RCT 100. Para la validación de los modelos se

presentan pruebas experimentales. Para facilitar al usuario la visualización del enfoque

mencionado se desarrolló una interfaz gráfica que indica el elemento dañado, muestra la

estimación de las temperaturas de salida del intercambiador de calor, expone las

probabilidades calculadas y muestra el residuo sensible a fallas.

Abstract

In this thesis topic a fault diagnosis method based on multi-model using decoupled Kalman

filters was developed, with the residue insensitive to faults generated through filters and

Bayesian probability we got the estimate of the activation function which gives the

contribution of each model, and the fault-sensitive residue we detected, located and

estimated the fault. This method deals with continuously differentiable nonlinear systems

using multi-model approach. The diagnostic method developed was validated on

simulation and experimentally in a heat exchanger. This process model is represented with

a bench-scale pilot plant RCT 100. For the purpose of validated the models, we presented

experimental evidence. To facilitate user viewing the above approach, a graphical

interface that shows the damaged item was developed the estimated temperature of heat

exchanger outlet, the calculated probabilities and the residue susceptible to fail.

I

Tabla de Contenido

LISTA DE FIGURAS V

TABLAS IX

NOTACIÓN XI

INTRODUCCIÓN 1

1. DIAGNÓSTICO DE FALLAS Y MULTI-MODELOS 5

1.1 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA 6

1.2 OBJETIVO GENERAL 6

1.2.1 OBJETIVOS ESPECÍFICOS 6

1.3 ALCANCES Y LIMITACIONES 7

1.4 MOTIVACIÓN Y JUSTIFICACIÓN 7

1.5 APORTACIONES 8

1.6 ESTADO DEL ARTE 9

1.6.1 CLASIFICACIÓN DE LOS DIFERENTES MODELOS MÚLTIPLES 9

1.6.2 ENFOQUE DE MODELOS MÚLTIPLES LINEALES 10

1.6.2.1 GENERALIDADES 10

1.6.3 DIAGNÓSTICO DE FALLAS 11

1.6.3.1 GENERALIDADES DEL DIAGNÓSTICO DE FALLAS 12

1.6.3.2 LA TAREA DEL DIAGNÓSTICO DE FALLAS BASADO EN EL MODELO 13

1.6.3.3 MÉTODOS DE GENERACIÓN DE RESIDUOS BASADOS EN MODELOS

LINEALES 15

1.6.4 DIAGNÓSTICO DE FALLAS CON MULTI-MODELOS 16

1.7 METODOLOGÍA 19

2. MODELADO DEL INTERCAMBIADOR DE CALOR 21

2.1 GENERALIDADES 22

2.1.1 CLASIFICACIÓN DE LOS INTERCAMBIADORES DE CALOR 23

2.2 MODELADO DEL INTERCAMBIADOR DE CALOR 25

2.2.1 MODELO DE PARÁMETROS CONCENTRADOS 25

2.2.2 MODELO DE DIFERENCIAS DE TEMPERATURA A LA ENTRADA 28

Tabla de Contenido

II

2.2.3 MODELO DE DIFERENCIAS DE TEMPERATURA MEDIA LOGARÍTMICA 29

2.3 INTERCAMBIADOR DE CALOR DE TUBOS CONCÉNTRICOS, RCT 100 30

2.3.1 DESCRIPCIÓN DEL PROTOTIPO 30

2.3.2 DIMENSIONES Y PARÁMETROS DEL INTERCAMBIADOR DE CALOR 32

2.4 VALIDACIÓN FUERA DE LÍNEA DEL INTERCAMBIADOR DE CALOR 34

2.4.1 VARIABLES Y PARÁMETROS 34

2.4.2 PROTOCOLO DE PRUEBAS 35

2.4.3 EXPERIMENTOS 36

2.4.4 RESULTADOS DE LA SIMULACIÓN Y EXPERIMENTALES DE LA VALIDACIÓN

DEL SISTEMA 36

2.5 CONCLUSIONES 38

3. DESARROLLO DE UN SISTEMA DE DIAGNÓSTICO DE FALLAS. ENFOQUE

MULTI-MODELOS 41

3.1 REPRESENTACIÓN DE SISTEMAS NO LINEALES EN TIEMPO DISCRETO 42

3.2 CONMUTACIÓN ENTRE LOS MODELOS 43

3.3 PROBLEMÁTICA DE LA GENERACIÓN Y EVALUACIÓN DE RESIDUOS 47

3.4 ALTERNATIVA DE SOLUCIÓN 51

3.5 DISEÑO DE UN BANCO DE FILTROS DESACOPLADOS 52

3.6 ESTRUCTURA DEL NUEVO DISEÑO DEL FILTRO DE KALMAN DESACOPLADO 54

3.7 ESTIMACIÓN DE LA FUNCIÓN DE ACTIVACIÓN 56

3.8 DETECCIÓN, LOCALIZACIÓN Y ESTIMACIÓN DE FALLAS 57

3.9 CONCLUSIONES 58

4. PRUEBAS Y RESULTADOS 59

4.1 MODELO DEL PROCESO RCT 100 59

4.1.1 PUNTOS DE OPERACIÓN 60

4.1.2 MÉTODO DE LINEALIZACIÓN 62

4.2 VALIDACIÓN EN SIMULACIÓN 63

4.2.1 FILTRO DE KALMAN ESTÁNDAR (FK) 63

4.2.2 MULTI-MODELO BASADO EN EL FILTRO DE KALMAN ESTÁNDAR 65

4.2.3 MULTI-MODELO BASADO EN EL FILTRO DE KALMAN DESACOPLADO 68

4.3 VALIDACIÓN FUERA DE LÍNEA 73


4.3.1.1 FALLAS PARCIALES 75

4.4 VALIDACIÓN EN LÍNEA 77

4.4.1 INTERFAZ GRÁFICA 77


4.5 CONCLUSIONES 82

Desarrollo de un sistema de detección de fallas utilizando un enfoque multi-modelos LIT aplicado a un intercambiador de calor

III

5. CONCLUSIONES 83

5.1 ACTIVIDADES FUTURAS 85

5.2 ACTIVIDADES REALIZADAS ALREDEDOR DE LA TESIS 85

BIBLIOGRAFÍA 87

A. PARÁMETROS DEL INTERCAMBIADOR DE CALOR 93

B. PROBABILIDAD DE BAYES 95

C. LINEALIZACIÓN 99

D.FILTRO DE KALMAN 101

E. PARÁMETROS DEL INTERCAMBIADOR DE CALOR, VALIDACIÓN EN LÍNEA 105

F. INTERFAZ GRÁFICA 107

Tabla de Contenido

IV

V

Lista de figuras

1.1 Clasificación de los algoritmos de modelos múltiples…………………………… 9

1.2 Curva de respuesta de un sistema no lineal representado por sistemas lineales……………………………………………………………………..10

1.3 Tipos de fallas……………………………………………………………………….. 11

1.4 Representación de un proceso industrial sujeto a entradas desconocidas….. 13

1.5 Método de detección y localización de fallas…………….………………………. 14

2.1 Intercambiador simple de tubos concéntricos…………………………………… 22

2.2 Clasificación de los intercambiadores de calor………………………………….. 24

2.3 Diseño de un proceso de intercambio de calor en contracorriente……….……25

2.4 Representación del intercambiador de calor a través de una celda en contracorriente…………………………………………………………………….….26

2.5 Intercambiador de calor RCT 100………………………………………………… 30

2.6 Diagrama de la instrumentación del intercambiador de calor…………………. 31

2.7 Tarjeta de adquisición de datos USB6008 y sistema de

acondicionamiento de señal…………………………………………………………….31

2.8 Diagrama de la fuente de corriente controlada por voltaje………………...…...32

2.9 Válvula de control del intercambiador de calor…………………………………..32

2.10 Dimensiones de los tubos del intercambiador de calor………………………..33

2.11 Validación fuera de línea del intercambiador de calor…………………………35

2.12 Flujo de entrada (vc)……………………………………………………………….37

2.13 Comparación de Tco del proceso con Tco de los modelos ITD y LMTD……...37

2.14 Comparación de Tho del proceso con Tho de los modelos ITD y LMTD……...38

3.1 Conmutación entre los modelos……………………………………….…..………43

3.2 Generador de residuos………………………………………………………….….51

Lista de Figuras

VI

3.3 Esquema general multi-modelos con un banco filtros de Kalman

desacoplados……………………………………………………………………………58

4.1. Retrato Fase del proceso del intercambiador de calor………….……………...61

4.2 Diseño de la estructura Multi-modelo basado en filtro de Kalman……….…….63

4.3 Filtro de Kalman estimando las temperaturas de salida, Tco y Tho….……….…64

4.4 Estructura del sistema de diagnóstico de fallas con multi-modelo basado

en filtro de Kalman………………………..…………………………………………….65

4.5 Entrada U, flujo de agua fría………………………………………………………66

4.6 Probabilidad asociada a cada modelo con FK…..……………………………….66

4.7 Transición entre los modelos con FK……..………………………………………67

4.8 Probabilidad asociada al modelo en presencia de fallas………………………..67

4.9 Comparación entre y estimada……………………………….……………69

4.10 Comparación de con estimada…………………………………………..69

4.11 Probabilidad asociada a cada modelo con FKD………………………………..70

4.12 Residuo sensible a las falla ………………...……………………………...71

4.13 Comportamiento dinámico del residuo insensible a fallas………………..…...72

4.14 Comparación de con estimada en presencia de falla…………………72

4.15 Probabilidad asociada al modelo con FKD, validación fuera de línea……….73

4.16 Transición entre los modelos 2 y 3 con FKD……………………………………74

4.17 Comparación de las salidas a) y estimada

b) y estimada con FKD…………………………………………………………..74

4.18 Probabilidad asociada al modelo con falla en Tho……….……………………. .75

4.19 Comparación de la salida y estimada………………..………………… 75

4.20 Residuo sensible a las fallas validación fuera de línea………...……………...76

4.21 Residuo sensible a fallas a) falla intermitente, b) falla progresiva….…76

4.22 Interfaz gráfica del diagnóstico de fallas por multi-modelos del intercambiador de calor……………………………………………………………..77


VII

4.23 Comparación entre y con y estimadas…………..………… 78

4.24 Residuo sensible a las fallas y probabilidad de cada modelo………………...78

4.25 Flujo de entrada vc………………………………………………………………..79

4.26 Probabilidad asociada a cada modelo con falla, en línea……………………..79

4.27 Residuo sensible a la falla ………………………….……………………80

4.28 Falla en sensor de agua de calentamiento Tho…………………………………80

4.29 Residuo sensible a fallas, validación en línea….……………………………….81

4.30 Falla en sensor de agua de enfriamiento Tco (línea azul)……………………..81

D1.1 Representación de un sistema con ruido de entrada y de medición.………102

D1.2 Formas de estimación FK……………………………………………………….102

D1.3 Comparación de Tco y Tho con sus estimadas, FK1………………………….104

D1.4 Comparación de Tco y Tho con sus estimadas, FK3……………………….....104

F1.1 Comparación de Tco y Tho con sus respectivas estimadas…………………..107

F1.2 Residuo sensible a las fallas y probabilidad de los modelos………………..107

Lista de Figuras

VIII

IX

Tablas

2.1 Dimensiones del intercambiador RCT 100……………………………………….33

2.2 Índices de desempeño……………………………………………………………...38

3.1 Comportamiento del residuo insensible a las fallas ( ) y

del sensible a estas ( )……………………………………..………………………….55

4.1 Puntos de operación del proceso….……………………………………………....64

4.2 Índices de desempeño FK………………………………………………………….65

4.3 Índices de desempeño MML basado en FK……………………………………...69

4.4 Índices de desempeño MML basado en FKD……………………………………73

4.5 Puntos de operación, validación en línea…………………………………….…..79

A1.1 Parámetros del intercambiador de calor RCT100, modelo no lineal………..93

C1.1 Parámetros del intercambiador de calor RCT100, modelo lineal…..………..99

E1.1 Parámetros del intercambiador de calor RCT100, validación en línea…….105

Tablas

X

XI

Notación

Letras mayúsculas

A Matriz de transición de estados.

Área.

B Matriz de distribución de entradas.

C Matriz de distribución de salidas.

Cp Calor específico.

D Matriz de transferencia directa.

F Matriz de distribución de fallas.

I Matriz identidad.

K Ganancia del filtro de Kalman.

L Matriz de desacoplamiento del sistema.

P Matriz de covarianza del error de estados.

R Matriz de covarianza del ruido en la salida.

Temperatura.

S Conjunto de matrices y vectores.

Coeficiente de transferencia de calor.

Volumen de los tubos de intercambio de calor.

X Vector de estados

Y Vector de salidas

Vector de estados estimado.

Y Vector de la salida estimada.

Notación

XII

Letras minúsculas

Vector de fallas.

g Función continuamente diferenciable.

k Tiempo de muestreo.

dk Instante de tiempo en el que ocurre la falla.

ek Instante de tiempo en el que cambia el punto de operación.

r Residuo.

u Vector de entradas.

v Vector de ruido a la entrada.

Flujo del líquido.

w Vector de ruido a la salida.

Función continuamente diferenciable.

Letras griegas

Matriz constante arbitraria.

Representa la propagación de los errores de modelado.

Residuo insensible a las fallas.

Diferencia de temperatura entre los fluidos.

jX Vector constante que dependen del j-ésimo modelo lineal.

jY Vector constante que dependen del j-ésimo modelo lineal.

iX j

Matriz de distribución del error de modelado asociada a la ecuación de estado del

. sistema.

iY j

Matriz de distribución del error de modelado asociada a la ecuación de salida.

Error de estimación de los estados.


XIII

Magnitud de los errores de modelado entre el sistema representado por el j-ésimo

modelo lineal y el i-ésimo filtro lineal.

Representa la propagación de la falla.

Densidad.

Matriz de detectabilidad.

Función de ponderación.

Matriz de covarianza de los residuos.

Matriz de la dinámica del sistema afectada por la falla.

Residuo sensible a las fallas.

Caracteres especiales

Cálculo de probabilidad de Bayes.

Distribución normal (con media cero y matriz de covarianza).

Letras subíndices

c Lado de contacto frío del intercambiador de calor.

h Lado de contacto caliente del intercambiador de calor.

H Histórica.

In Entrada en el intercambiador de calor.

i Indicador del modelo lineal.

j Indicador del filtro lineal.

k Tiempo de muestreo.

o Salida en el intercambiador de calor.

x Vector de entrada.

y Vector de salida.

Notación

XIV

Letras superíndices

e Punto de operación.

i Indicador del modelo lineal.

j Indicador del filtro lineal.

m Número total de salidas.

n Número total de estados.

p Número total de entradas.

q Número total de fallas.

T Transpuesta.

1

Introducción

El desarrollo del diagnóstico y de la automatización se realiza principalmente en el

dominio de los estudios de los sistemas lineales. Sin embargo, la mayoría de los

procesos industriales son de naturaleza no lineal. Con el objetivo de resolver el

problema del diagnóstico para estos procesos y con la hipótesis de la

representación de un sistema no lineal exacto, muchos trabajos presentados

consisten en generar residuos desacoplados de las fallas para alguna clase

particular de sistemas no lineales, como los sistemas bilineales [1] y los sistemas

polinomiales.

En las técnicas dedicadas al diagnóstico de sistemas no lineales, es necesario

citar los artículos dedicados al desacoplamiento exacto de las fallas. Hammouri y

colaboradores [2] y DePersis e Isidori [3] utilizan métodos geométricos. Así como

Alcorta-García y Frank [4] usan métodos analíticos. Estos métodos se utilizan si

existe una descripción matemática del sistema. Desgraciadamente, esta condición

no se satisface fácilmente, debido a la complejidad de los sistemas no lineales.

Esta complejidad hace difícil efectuar un desacoplamiento de las fallas.

Si las representaciones no lineales son difíciles de obtener, existe otro tipo de

representación. Ésta consiste en definir diferentes puntos de funcionamiento y

considerar un modelo lineal alrededor de cada punto de operación. El método

concerniente al estudio de sistemas basado en el enfoque multi-modelos,

constituye otra manera de representar de forma aproximada la dinámica de un

sistema no lineal.

En el marco de los enfoques multi-modelos, se puede constatar que existen un

gran número de trabajos en términos de modelado y de control. Éstos utilizan el

principio “divide y vencerás” [5, 6], para la representación del comportamiento

dinámico de sistemas no lineales.

En los sistemas no lineales, el enfoque multi-modelos aparece en los años

noventas del siglo pasado, principalmente en el dominio de control basado en la

lógica difusa. Ésta ha permitido realizar el control de sistemas no lineales descritos

por modelos lineales interpolados. Éstos se han desarrollado a partir de

algoritmos de partición, permitiendo determinar el campo de funcionamiento de los

modelos locales, pero igualmente ayuda a la definición de la estructura, como el

de Takagi- Sugeno [7].

Un vasto estudio sobre estas diferentes técnicas se encuentra en Gasso [8]. En

donde un análisis a nivel de la estructura y de la selección de los modelos se ha

Introducción

2

realizado. También define los modelos en la forma de reglas de inferencia, donde

el algoritmo de identificación está definido a partir de una base de datos

Entrada/Salida. Esta base permite determinar el orden del modelo local y el

número de reglas.

Fuera de la utilización de la lógica difusa, el enfoque de los modelos múltiples

interpolados se basa en la descripción del comportamiento dinámico del sistema

no lineal, definido a partir de la interpolación de modelo lineales invariantes en el

tiempo. Estos últimos se establecen alrededor de diferentes puntos de

funcionamiento. En el marco de este enfoque, un sistema no lineal puede ser

linealizado alrededor del punto de funcionamiento, o bien ser el resultado de un

modelado de diversos puntos de operación.

Aparte de la lógica difusa, pocos métodos sobre el diagnóstico de fallas con base

en modelos múltiples se han tratado. Se puede mencionar Bhagwat y

colaboradores [9], quienes proponen un método que permite detectar y localizar

las fallas durante el periodo de transición o pasaje de un modelo al otro. La

evaluación de estos residuos se ejecuta con tareas de fallas, cartas lógicas

(Simulink-Stateflow) permitiendo la detección y la localización de las fallas en línea

[9]. En éste, la selección del modelo se efectúa con el conocimiento, que el pasaje

de modelos representativos se realiza, solamente al modelo siguiente o

precedente.

En este trabajo el interés es la estimación de la función de activación de modelos

representativos del sistema y la realización del método de detección de fallas por

medio de técnicas completamente analíticas.

Así en presencia de fallas, se busca calcular o estimar la función de activación de

manera independiente a las fallas, ya que si no, el sistema de lazo cerrado tiene el

riesgo de ser inoperante.

En el trabajo de investigación a realizar, se propone: Un esquema de diagnóstico

de fallas en los sistemas no lineales representado en la forma de modelos

múltiples interpolados.

El contenido de este documento está dividido en cinco capítulos que se describen

a continuación.

En el Capítulo 1 se presentan las causas que motivan el desarrollo de esta tesis

así como su planteamiento, para después establecer las bases de la teoría de

multi-modelos; posteriormente se mencionan las definiciones y funciones básicas

del diagnóstico de fallas en un panorama general.


3

En el Capítulo 2 se presentan los conceptos básicos del proceso de intercambio

de calor y los tipos de intercambiadores de calor, así como el desarrollo del

modelado matemático del intercambiador de calor tipo tubos concéntricos.

En el Capítulo 3 se presenta el desarrollo de un sistema de diagnóstico de fallas

por multi-modelos LIT con filtros de Kalman y se presenta el por qué del desarrollo

de un sistema de diagnóstico de fallas por multi-modelos LIT con filtros de Kalman

desacoplados.

En el Capítulo 4 se muestra la aplicación del enfoque multi-modelos LIT con filtros

de Kalman desacoplado al intercambiador de calor tipo tubos concéntricos.

También se muestran los resultados obtenidos a través de este algoritmo y los

resultados obtenidos con multi-modelos y filtro de Kalman.

En el Capítulo 5 se presentan las conclusiones obtenidas, así como el panorama

del trabajo en el futuro y los trabajos que se realizaron alrededor de esta

investigación.

Para la mejor comprensión y complementación del trabajo se presenta un

apartado de anexos.

Introducción

4

5

Capítulo 1

1. Diagnóstico de fallas y multi-

modelos

El objetivo de este capítulo es dar un panorama general o una descripción de la

presente investigación, así como presentar las definiciones básicas del diagnóstico

fallas y de la teoría multi-modelos.

En la Sección 1.1 se presenta el planteamiento del problema. En la Sección 1.2 se

expone el objetivo general y los objetivos particulares a alcanzar en esta

investigación. En la Sección 1.3 se describen los alcances y limitaciones del

trabajo. En la Sección 1.4 se explica el por qué de esta investigación. En la

Sección 1.5 se muestran las aportaciones del trabajo realizado. En la Sección 1.6

se presenta el estado del arte que permite abordar el tema del presente trabajo de

tesis, en donde se muestran las definiciones del diagnóstico de fallas, se presenta

la teoría de multi-modelos y se exhiben los trabajos realizados en diagnóstico de

fallas con multi-modelos. Finalmente en la Sección 1.7 se expone la metodología

propuesta para el desarrollo de este trabajo.

CAPITULO 1

6

1.1 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA Los sistemas (procesos, plantas industriales, etc.) son de suma importancia en

nuestros días. El desempeño de los sistemas involucra la supervisión. Esta última

se basa en la Inspección y la Seguridad (IS). La IS utiliza tácticas en forma precisa

como: la detección y localización de fallas FDI (por su acrónimo en inglés Fault

Detection and Isolation) y el control tolerante a fallas FTC (por su acrónimo en

inglés Fault Tolerant Control).

La FDI se ha llevado a cabo con enfoques lineales para sistemas no lineales. Pero

esto restringe el desempeño de la FDI alrededor del punto de operación y no a

toda la zona de operación del sistema. Por otro lado los métodos FDI no lineales

que se han desarrollado en los últimos años son muy eficientes. Sin embargo, los

requerimientos de modelados matemáticos exactos, gasto computacional elevado,

trabajo en línea, complejidad, etc, conllevan a una limitación en el desempeño del

enfoque.

Así, una pregunta que se puede hacer es: ¿Cómo hacer una FDI de buen

desempeño en un sistema no lineal (SNL) aprovechando las facilidades que

presentan los métodos de diagnóstico de sistemas lineales (SL)?.

1.2 OBJETIVO GENERAL El objetivo del trabajo de investigación consiste en diseñar y desarrollar un

sistema que permita detectar, localizar y estimar las fallas bajo la representación

de un enfoque multi-modelos lineales invariantes en el tiempo aplicado a un

intercambiador de calor.

1.2.1 OBJETIVOS ESPECÍFICOS

1. Modelado y representación del sistema no lineal: Intercambiador de calor, RCT 100 (que se encuentra ubicado en el laboratorio de electrónica del CENIDET).

2. Desarrollo de un esquema multi-modelo Lineal Invariante en el Tiempo (LIT) para la representación de la planta.


7

3. Diseño e implementación de un sistema para la detección, localización y estimación de las fallas de sensor en un intercambiador de calor a nivel simulación y a nivel experimental.

1.3 ALCANCES Y LIMITACIONES

Alcances: En este trabajo se desarrolla e implementa un sistema de diagnóstico de fallas para el intercambiador de calor, el cual detecta, localiza y estima las fallas de sensores del intercambiador de calor y deja abierta la puerta para implementar un control tolerante a falla. En este trabajo se estudia y desarrolla un modelo matemático simplificado del intercambiador de calor tipo enfriador de tubos concéntricos que permite desarrollar filtros que estiman las variables de salida del intercambiador de calor. Se diseña una interfaz gráfica la cual permite detectar, localizar y estimar las fallas del intercambiador de calor en línea. Limitaciones: Por la elección de la planta de trabajo, en este caso el intercambiador de calor está limitado a sólo poder detectar una falla de sensor. La falla se detecta un tiempo de muestreo después de que aparece la falla, debido al diseño del filtro. El intercambiador de calor no está totalmente instrumentado, ya que no cuenta con sensores de flujo. El diseño del FDI que se presenta sólo detecta, localiza y estima fallas de sensores.

1.4 MOTIVACIÓN Y JUSTIFICACIÓN

El presente trabajo está basado en el desarrollo de un enfoque analítico para la

detección y localización de fallas. Y está focalizado en una estructura multi-

modelos lineales. Ésta permite abordar el diagnóstico de fallas en sistemas no

lineales.

El enfoque mencionado, aprovecha la simplicidad de los métodos lineales en el

diagnóstico y detección de fallas FDD (por su acrónimo en inglés Fault Diagnostic

and Detection), además garantiza el diagnóstico en una mayor zona de

CAPITULO 1

8

funcionamiento del sistema no lineal. Todo esto se lleva acabo estableciendo un

compromiso satisfactorio de simplicidad contra eficiencia, con el fin de asegurar el

mejor desempeño del esquema de diagnóstico.

El enfoque mencionado se aplica a un intercambiador de calor ya que los

intercambiadores de calor son equipos utilizados con gran demanda en los

procesos industriales. Tener totalmente instrumentados dichos equipos es muy

costoso, debido a esto se tiene una instrumentación incompleta; por lo tanto,

considerar redundancia física en los sensores no es factible. Esto trae como

consecuencia que al presentarse algún tipo de falla, el sistema deje de operar y

por lo tanto, se presenten pérdidas económicas y riesgos en las personas que

laboran en la planta; es por ello que se buscan ciertas alternativas para poder

detectar las fallas.

Una de las alternativas es desarrollar algoritmos que permitan estimar variables

del proceso, además, detectar, localizar y estimar las fallas. Cabe aclarar que con

esto se tiene un notable ahorro económico. Por un lado, al utilizar observadores de

estado, es decir, sensores virtuales en vez de sensores físicos y, por otro lado,

evitar las pérdidas económicas y físicas que se tendrían al no detectar y localizar

las fallas a tiempo.

1.5 APORTACIONES

Las aportaciones de este trabajo de tesis son las siguientes:

I En el trabajo de tesis se aborda el estudio del diagnóstico de fallas basado en modelos múltiples. La aportación de este trabajo es el estudio y desarrollo de un sistema de diagnóstico de fallas con un enfoque multi-modelos utilizando filtros de Kalman. Existen escasos trabajos reportados en la literatura del enfoque multi-modelos utilizando filtros de Kalman y aun más para un intercambiador de calor, por lo que se considera como una aportación original. II En este trabajo de tesis se estudia y se mejora el modelo matemático lineal del intercambiador de calor tipo tubos concéntricos que se encuentra en el CENIDET. Esta mejora del modelo se hizo basado en el estudio de Escobar y colaboradores [10]. III Se aporta una interfaz gráfica con el software de LabView® en la que se ilustra la detección, localización y estimación de las fallas en línea, además que muestra la contribución de los modelos y la estimación de los estados Tco y Tho del intercambiador de calor.


9

1.6 ESTADO DEL ARTE

1.6.1 CLASIFICACIÓN DE LOS DIFERENTES MODELOS MÚLTIPLES

El enfoque de modelos múltiples recibe el nombre de algoritmo de modelo múltiple

no conjugado [11]. En 1984 Blom presentó el enfoque llamado modelos múltiples

conjugados. Sin embargo, este enfoque lo explicó Blom y Bar-Shalom hasta 1988

[12]. A este enfoque comúnmente se le llama algoritmo multi-modelo de estructura

fija.

Los algoritmos de modelos múltiples con estructura fija se definen con un banco

de filtros de Kalman en paralelo, donde cada uno de los filtros describe a un

modelo en particular. Su característica principal es que una vez definidos los

modelos, éstos no se pueden cambiar más; esto significa que los conjuntos de

modelos definidos son constantes o fijos. La otra característica es que los modelos

pueden ser conjugados o no conjugados.

A mediados de los años 90, apareció el enfoque llamado algoritmo de estructura

variable que se define como una sucesión del conjunto de modelos.

En el caso de los algoritmos considerados de estructura fija, se encontraron varias

aplicaciones y representaciones con variaciones significativas. Para tener una idea

general, se presenta una clasificación global de los algoritmos basados en

modelos múltiples como se puede observar en la Figura 1.1. La presente

clasificación es la reagrupación de los algoritmos Modelos Múltiples (MM).

Figura 1.1 Clasificación de los algoritmos de modelos múltiples.

CAPITULO 1

10

1.6.2 ENFOQUE DE MODELOS MÚLTIPLES LINEALES

1.6.2.1 GENERALIDADES

En el contexto de algoritmos de modelos múltiples de tipo fijo, el enfoque multi-modelo lineal se utiliza para las tareas de estimación o identificación, el control y el diagnóstico de fallas. [13, 14] Para lograr el enfoque MM, se debe descomponer un sistema no lineal, en varios regímenes de funcionamiento. Se utiliza un modelo lineal en cada punto de operación. En este trabajo, el interés se centra en sistemas no lineales continuamente diferenciables para su aplicación en el diagnóstico. En la Figura 1.2, se muestra la importancia de elegir los modelos lineales que representarán al sistema no lineal. Se observa la curva de funcionamiento de un sistema no lineal, con la identificación de determinados puntos de funcionamiento. Cada uno de los puntos de operación mencionados se seleccionan para la definición de un comportamiento dinámico lineal en todo el régimen de funcionamiento del sistema no lineal [15]. En la Figura 1.2 se observan 3 puntos de operación diferentes. Cada uno de estos puntos define un comportamiento dinámico.

Figura 1.2 Curva de respuesta de un sistema no lineal representado por sistemas lineales [16].

Existen tres criterios para la elección de un modelo lineal más adecuado [17]: Los puntos de operación elegidos deben ser estables.

Los puntos de operación seleccionados deben tener un buen desempeño.

La conmutación entre los modelos debe ser eficiente y sin pérdidas.


11

El primer criterio garantiza un funcionamiento en todos los puntos de operación,

sin riesgos de inestabilidad. El segundo criterio permite tener un buen desempeño

en cada uno de los modelos locales y el tercer criterio permite encontrar un

método que reduzca las pérdidas de conmutación [15, 18]. Cabe mencionar que

entre más modelos se tengan, se va a tener más carga computacional y

problemas en la conmutación entre los modelos. Así que, tener más modelos no

va de la mano con una mejor estimación.

1.6.3 DIAGNÓSTICO DE FALLAS

Se entiende por falla, todo cambio en el comportamiento de alguno de los

componentes del sistema. Es decir, que ya no puede satisfacer la función para la

cual ha sido diseñado [19].

Existen varias clases de fallas que pueden presentarse en diversos sistemas.

Incluso existen diversas clasificaciones de las fallas, como se muestran en la

Figura 1.3 [20].

Las fallas se pueden clasificar por su ubicación en aditivas y multiplicativas como

se puede observar en la Figuras 1.3a y 1.3d [21]. Las fallas aditivas representan

aumentos o decrementos en los estados del sistema y corresponden a fallas en

sensores y actuadores. Las fallas multiplicativas representan aumentos o

decrementos de los parámetros del sistema y corresponden a fallas en sus

componentes internos.

Figura 1.3 Tipos de fallas [22].

CAPITULO 1

12

Por su número, las fallas se clasifican en únicas y múltiples. Las fallas se clasifican

por su temporalidad en súbitas y progresivas como se puede observar en las

Figuras 1.3b y 1.3e. En las fallas súbitas el residuo cambia de valor

instantáneamente, mientras que en las fallas progresivas, el residuo cambia de

valor gradualmente. Por su duración las fallas se clasifican en, intermitentes y no

intermitentes como se observa en las Figuras 1.3c y 1.3f. Las fallas intermitentes

se presentan por lapsos de tiempo, mientras que las fallas no intermitentes se

presentan continuamente.

1.6.3.1 GENERALIDADES DEL DIAGNÓSTICO DE FALLAS

El diagnóstico de fallas en un proceso dinámico, es una técnica encargada de

detectar la presencia de fallas o comportamientos anormales en el proceso.

También se encarga de identificar y localizar el componente o la causa que originó

dicha anormalidad.

Tres son los objetivos del diagnóstico de fallas [19]:

• Detección de la falla: Decisión de si existe o no una falla, así como la

determinación de su instante de aparición.

• Localización de la falla: Localización del componente en el cual se ha

producido la falla.

• Identificación y estimación de la falla: Identificación del tipo de falla y

estimación de su magnitud.

En el dominio del diagnóstico, ciertos términos se emplean comúnmente. Algunas

definiciones importantes para esta investigación, se definen a continuación [23]:

Detectabilidad: es la aptitud del diagnóstico para poder detectar la presencia de fallas en el proceso.

Aislamiento: es la capacidad del diagnóstico para encontrar el origen de una falla.

Sensibilidad: Caracteriza la aptitud del sistema, para detectar fallas de una

cierta amplitud, en función de la relación de la amplitud del ruido de medición con el de las fallas.


13

Robustez: Determina la capacidad del sistema para detectar las fallas independientemente de los errores de modelado, de ruido o de perturbaciones.

El diagnóstico de fallas se puede abordar desde diferentes enfoques como:

Enfoques libres de un modelo (redundancia física).

Enfoques basados en un modelo (redundancia analítica).

De estos enfoques se quiere precisar, que el diagnóstico de fallas basado en

modelos se efectúa a través de la evaluación continua entre el modelo matemático

y las mediciones del proceso [20].

1.6.3.2 LA TAREA DEL DIAGNÓSTICO DE FALLAS BASADO EN EL MODELO

El diagnóstico de fallas se aplica a procesos industriales. Éstos se representan por

una relación causal ligando las señales de entradas y salidas medidas en el

sistema. El sistema se somete a entradas desconocidas no medibles como se

puede observar en la Figura 1.4, en donde, estas entradas representan anomalías

en el funcionamiento del proceso (perturbaciones). Las perturbaciones alteran de

manera permanente al sistema, contrariamente a las fallas que se presenta en

forma inesperada.

Figura 1.4 Representación de un proceso industrial sujeto a entradas desconocidas.

Con el fin de realizar la tarea del diagnóstico de fallas diferentes métodos se han

desarrollado. Estos últimos se dividen en dos grandes clases:

1. Los métodos inductivos o deductivos. En este marco, el tipo de

razonamiento utilizado constituye la principal característica de estos métodos. A

partir de un conocimiento a priori de la falla, el método deductivo estudia el efecto

CAPITULO 1

14

de las fallas en el sistema. La comparación de efectos inducidos con respecto a

los efectos posibles, permite afirmar o no la existencia de la falla [23].

2. Los métodos externos e internos se basan en el conocimiento del modelo.

Los métodos externos están fundados en el conocimiento de un experto humano,

mientras que los métodos internos dependen del conocimiento resultante de los

modelos matemáticos o físicos [24].

En esta investigación se obtuvo el modelo matemático del sistema con el que se

hace la comparación de las mediciones del sistema con la información obtenida

del modelo [25]. El principio del diagnóstico basado en el modelo se ilustra en la

Figura 1.5.

Figura 1.5 Método de detección y localización de fallas.

Cualquier método para la FDI se descompone en tres etapas:

1. Generación de residuos. Ésta consiste en comparar los valores de salida del

sistema estudiado con los valores de salida del modelo matemático calculado, la

diferencia entre estos valores se conoce como residuo. El residuo permite evaluar

la diferencia concerniente a las condiciones normales de funcionamiento.

Dos tipos de enfoques distintos se utilizan comúnmente para generar residuos

[26]. El primer enfoque considera residuos de tipo direccional, ya que son

definidos de tal manera, que toman una dirección particular en el espacio de

residuos, cuando ocurre la falla. El segundo enfoque utiliza residuos

estructurados. Estos se generan de manera que sean sensibles a ciertas fallas e

insensibles a otro tipo de fallas. Así que, se forma una estructura de diagnóstico

de tipo dedicada.

2. La evaluación de residuos. Los residuos se comparan respecto a los límites

definidos con anterioridad, de esta comparación resulta que un vector de síntomas

se genera. El problema de la evaluación consiste en definir un umbral con el fin de


15

detectar la presencia de cambios. Así, en funcionamiento normal, los residuos

generados son estadísticamente nulos y se desvían notablemente de cero en

presencia de fallas.

3. La decisión. Consiste en la comparación de un vector de síntomas con el

conjunto de firmas de referencia, de buenos y malos funcionamientos unidos

dentro de una tabla de firmas, llamada matriz de diagnóstico [27]. La decisión

permite identificar las fallas, es decir localizar la causa de la anomalía en el

sistema. Así que, un sólo residuo es suficiente para detectar la presencia de una

falla en el sistema, de lo contrario se necesitan varios residuos con el fin de

encontrar la causa de la falla.

1.6.3.3 MÉTODOS DE GENERACIÓN DE RESIDUOS BASADOS EN MODELOS

LINEALES

El modelo tiene por objetivo describir el comportamiento de un sistema dinámico

por medio de ecuaciones diferenciales ordinarias. Este modelo puede obtenerse

por modelado o por técnicas de identificación.

Para efectuar el diagnóstico de fallas en el contexto lineal, primero se debe

considerar el modelo lineal invariante en el tiempo, este modelo se describe por la

ecuación de estados en tiempo discreto siguiente [23]:

(1.1)

Donde representa el vector de estados, representa el vector de

entradas, representa el vector de salidas, es el período de muestreo.

son matrices con valores constantes conocidos y de dimensiones

apropiadas. Existen diferentes representaciones de las fallas en sistemas LIT:

1. Sea un modelo lineal único acompañado de las matrices de fallas

con direcciones precisas.

2. Sea para cada tipo de fallas una i-ésima representación particular del

sistema .

Estas representaciones conducen a diferentes métodos de generación de residuos

con fines de diagnóstico. Por ejemplo: El método de desacoplamiento.

CAPITULO 1

16

En el marco del estudio de sistemas lineales en presencia de fallas, estas últimas

se modelan en la forma aditiva clásica siguiente [23]:

(1.2)

En donde, representa el vector de fallas, y , son dos matrices de

dimensiones apropiadas, que expresan la distribución de la fallas.

A partir de esta representación analítica, la síntesis de residuos por el método de

desacoplamiento de las fallas se determina utilizando: a) observadores para

entradas desconocidas (en donde un análisis bibliográfico se presenta en el tercer

capítulo del libro de Chen y Patton [28]) o b) por filtros de detección (en donde

una edición especial le ha sido dedicada completamente en Edelmayer [29]) o c)

por ecuaciones de paridad estructurada considerando la redundancia temporal

[21]. Infinidad de trabajos se han desarrollado en libros y revistas, con el manejo

de estos enfoques, que no describiremos aquí. Contrario a esto y dada la

importancia y la contribución a la propuesta, la sección siguiente se dedicará a

mencionar los métodos basados en multi-modelos lineales.

1.6.4 DIAGNÓSTICO DE FALLAS CON MULTI-MODELOS

La ingeniería de control se enfrenta a las tendencias actuales de la industria para

la reducción de costos mientras mantiene o mejora la calidad del producto y

garantiza su confiabilidad. Los sistemas, hoy en día son cada vez más complejos y

consideran un gran número de lazos de control coordinados por un gran número

de agentes autónomos, en este ámbito, la ingeniería de control tiende a la solución

de problemas en procesos a gran escala, [30-33].

Para los sistemas que requieren seguridad de alto nivel, como es el caso de las

aeronaves, plantas nucleares y plantas químicas donde se realizan procesos

peligrosos, es particularmente importante la implementación de un esquema de

diagnóstico de fallas [34]. En este tipo de sistemas, la consecuencia de una falla

en algún componente del sistema puede ser catastrófica, esto hace que se genere

una demanda considerable en confiabilidad, seguridad y tolerancia a fallas [35,

36].

Algunas técnicas de detección y diagnóstico de fallas se han desarrollado a partir

del análisis de los cambios en las señales, donde tienen lugar las técnicas para el


17

seguimiento y el diagnóstico de errores en sistemas dinámicos [21, 28]. Otra

posibilidad es mejorar la fiabilidad y la seguridad de las máquinas mediante la

medición de señales de entrada y salida. Las relaciones inherentes y la

redundancia analítica se pueden utilizar para detectar y localizar fallas en forma

temprana, puesto que los cambios en los parámetros de las señales de los

procesos están muy bien adaptadas para este fin [37, 38].

Algunos de los principales enfoques de diagnóstico de fallas para sistemas no

lineales desarrollan técnicas para la generación de residuos, como: observadores

de entradas desconocidas, observadores desacoplados y observadores no

lineales adaptables [3, 39].

Dentro de las técnicas de modelado dinámico se encuentra el enfoque basado en

modelos múltiples [40], donde en algunos casos los observadores [16, 41] y filtros

de Kalman [42, 43] se han utilizado para generar residuos para la detección de

fallas.

Este enfoque consiste básicamente en la descomposición de la región de

operación del proceso en una serie de regímenes de funcionamiento; cada

régimen de funcionamiento es un simple modelo local al cual es posible aplicarle

una ley de control [12, 44]. Esta estructura permite resolver problemas a partir de

la división de un sistema no lineal en un número de subsistemas más simples que

se pueden controlar independientemente y donde las soluciones individuales

producen la solución del problema original.

Recientemente para el modelado y control de sistemas no lineales se ha utilizado

el enfoque de modelos múltiples [43, 45]. Este esquema representa un marco

conceptual con una estructura modular que evalúa el sistema con respecto a un

conjunto de modelos. El seguimiento de un índice de desempeño permite

determinar el comportamiento del sistema con respecto a los modelos individuales

y consecuentemente a una situación específica del sistema.

Algunos de estos métodos utilizan redes neuronales [46] o la aplicación con base

en modelos autónomos adaptables tipo Takagi-Sugeno [47]. Otros estudios han

utilizado bancos de filtros de Kalman, desarrollados para detectar, aislar y estimar

fallas, cuando el modelo del sistema se define alrededor de un punto de operación

[48].

Más reciente, la efectividad de la estrategia se desarrolló para diagnóstico de

fallas y control en sistemas industriales reales [42]. Otro enfoque desarrollado en

CAPITULO 1

18

caso de fallas se presentó por [16], donde con observadores politópicos de

entradas desconocidas se desarrolla una estrategia FDI, que determina el modelo

más adecuado según el punto de operación en el cual esté funcionando el

sistema. El cálculo de las funciones de ponderación es importante cuando se

quieren implementar técnicas de control, como es el caso de la estrategia de

ganancia programada [49], de controladores interpolados [50] o de conmutación

entre controladores [46].

Una metodología de diagnóstico de fallas utilizando el enfoque multi-modelo, es el

llamado múltiples modelos interactivos IMM (Interacting Multiple Models por su

acrónimo en inglés), donde considera los modelos lineales con conocimiento de

las fallas representados por una combinación convexa dentro de un conjunto; en

esta técnica los sistemas se describen en forma de sistemas estocásticos híbridos

que permiten el tratamiento de los modos de fallas, teniendo en cuenta la

probabilidad de que éstas ocurran [51].

Diferentes estudios sobre enfoques de FDI se han desarrollado basados en

modelos lineales o linealizados alrededor de algún punto de operación, por lo que

varios trabajos se han reportado y han dado lugar a esquemas FDI sofisticados,

considerando la presencia o ausencia de ruido dentro del modelado [21, 28], y

más recientemente en los trabajos presentados en [43, 52].

Cuando el rango de operación del proceso llega a ser mayor al modelo linealizado

y por consiguiente no es capaz de representar la dinámica del sistema, una

alternativa de solución es el uso de métodos no lineales; algunos trabajos que se

han reportado están basados en observadores no lineales bajo enfoques

analíticos [39] y geométricos [3] donde se requiere de un modelo suficientemente

preciso de la planta. Este requerimiento se ha resuelto con métodos basados en

redes neuronales [46] y en sistemas de lógica difusa basados en la estructura de

Takagi-Sugeno [53].

A partir del diagnóstico se consideran también diferentes principios acerca de la

tolerancia a fallas con diversas formas de redundancia a partir del estudio de las

fallas. Se presentan entonces diferentes métodos para la detección de fallas con la

utilización de componentes de bajo costo y un análisis de los principios de diseño

tolerante a fallas de sensores y actuadores [54].

En este ámbito, la detección de fallas de manera oportuna permite aplicar planes

de mantenimiento sin detener el funcionamiento del proceso y contar con el tiempo

necesario para permitir acciones de reconfiguración del sistema [55]. Esta

implementación se dificulta cuando dichas estrategias están basadas en modelos


19

no lineales, por lo que los métodos de múltiples modelos lineales son una buena

alternativa de solución para la identificación del modelo más representativo del

sistema y para diseñar e implementar la ley de control [16, 42].

Con el fin de representar el comportamiento dinámico del sistema, un enfoque

basado en varios modelos lineales invariantes en el tiempo, se ha desarrollado

[46, 49]. Sin embargo, el método no estaba enfocado a FDI hasta que autores

como [23, 40, 43] lo proponen como un nuevo esquema de diagnóstico de fallas

para sistemas no lineales, donde el sistema de diagnóstico posee la capacidad de

detectar fallas múltiples que se presenten en forma simultánea o secuencial en

sensores y/o actuadores.

Dentro de los esquemas de diagnóstico que se han aplicado se encuentra el

trabajo de Niemann y colaboradores [56], donde a partir del uso de modelos

múltiples, se aplica un método de diagnóstico de fallas activo sobre un sistema de

turbinas de viento. Otra aplicación se observa en [9] donde se utilizan filtros de

Kalman y observadores en lazo abierto para la estimación de estados y la

generación de residuos; esta metodología se aplica a un reactor de pH.

En procesos químicos, un esquema de diagnóstico y localización de fallas se

desarrolla por [35], las simulaciones muestran la efectividad del algoritmo sobre un

reactor operado por lotes; dicho algoritmo utiliza filtros de Kalman para detectar la

falla y para determinar su causa.

Otro trabajo es el esquema de diagnóstico de fallas basado en múltiples filtros de

Kalman propuesto por los autores en [57], donde la eficacia de la propuesta se

demuestra mediante la realización de estudios de simulación en dos procesos: un

reactor continuamente agitado (CSTR) y una columna de destilación binaria de

alta pureza. También en intercambiadores de calor, los autores en [6, 58]

presentan un algoritmo FDI basado en modelos múltiples.

1.7 METODOLOGÍA La metodología empleada para desarrollar el tema de tesis es la siguiente: 1. Se estudió el estado del arte sobre multi-modelos, diagnóstico de fallas e intercambiadores de calor. 2. Desarrollar el modelo matemático del intercambiador de calor de tipo tubos concéntricos.

CAPITULO 1

20

3. Validar experimentalmente el modelo. Esto se llevó a cabo para poder comprobar que el modelo matemático representa correctamente a la planta. 4. Estudiar y diseñar esquema multi-modelos basado en filtros de Kalman, aplicados al intercambiador de calor. 5. Validar el enfoque multi-modelo basado en filtros de Kalman. Dicha validación se lleva a cabo con datos experimentales de la planta piloto. 6. Validar el sistema de detección de fallas con el enfoque multi-modelo basado en filtros de Kalman. 7. Problemática de la generación y evaluación de residuos en los sistemas no lineales basados en un enfoque multi-modelos LIT. 8. Diseñar multi-modelos basado en filtros de Kalman desacoplados aplicados al intercambiador de calor. 9. Validar el sistema de detección de fallas con el enfoque multi-modelo basado en filtros de Kalman. Dicha validación se lleva a cabo con datos experimentales de la planta piloto. 10. Simular y validar el enfoque multi-modelo basado en filtros de Kalman desacoplados. Dicha validación se lleva a cabo con datos experimentales de la planta piloto. 11. Implementar el enfoque multi-modelo basado en filtro de Kalman desacoplado en interfaz gráfica. 12. Redactar el documento de tesis 13. Generar publicaciones

21

Capítulo 2

2. MODELADO DEL

INTERCAMBIADOR DE CALOR

El objetivo de este capítulo es presentar el desarrollo y la implementación del

modelo matemático del intercambiador de calor tipo tubos concéntricos, el cual

funciona como un enfriador. También se presentan los experimentos que validan

dicho modelo.

En este capítulo se presenta el modelado del intercambiador de calor. El modelo

de este proceso es un caso de modelo con parámetros distribuidos que en teoría

del control normalmente se lleva a un modelo con parámetros agrupados (en

inglés, lumped parameter models) mediante el seccionamiento del intercambiador

de calor. En la Sección 2.1 se presentan los conceptos básicos y generalidades de

los intercambiadores de calor. En la Sección 2.2 se obtiene el modelo matemático

a partir de balances de energía del intercambiador de calor donde se obtienen dos

modelos basados en las definiciones formales del coeficiente de transferencia de

calor: el modelo de diferencia de temperaturas a la entrada (ITD por su acrónimo

en inglés) y el modelo de diferencia de temperaturas media logarítmica (LMTD por

su acrónimo en inglés). En la Sección 2.3 se describe la planta en la que se

desarrolla este trabajo de investigación. En la Sección 2.4, se hace una

CAPÍTULO 2

22

comparación de los dos modelos obtenidos del intercambiador de calor, además,

los dos modelos se validan fuera de línea con datos experimentales provenientes

de la planta piloto que se menciona en la sección 2.3. Finalmente, en la Sección

2.5 se proporcionan las conclusiones que se desprenden de este capítulo.

2.1 GENERALIDADES

El rol de los intercambiadores de calor ha adquirido una gran importancia ante la

necesidad de ahorrar energía y disponer de equipos óptimos no sólo en función de

su análisis térmico y del rendimiento económico de la instalación, sino también en

función de otros factores como el aprovechamiento energético del sistema y la

disponibilidad y cantidad de energía y de materias primas necesarias para cumplir

una determinada función.

Desde el momento en que un intercambiador de calor se instala y se pone en

funcionamiento dentro de un proceso de transferencia térmica, se precisa un

determinado gradiente de temperatura para efectuar la transferencia de calor; la

magnitud de este gradiente se puede reducir utilizando un intercambiador mayor,

pero a su vez implica un mayor costo, tanto de tipo económico, como energético.

Los intercambiadores de calor son tan importantes y tan ampliamente utilizados en

la industria, que su diseño ha experimentado un gran desarrollo, existiendo en la

actualidad normas ideadas y aceptadas por TEMA que especifican con detalle los

materiales, métodos de construcción, técnicas de diseño y sus dimensiones.

El intercambiador de calor más básico se compone de un tubo dentro de otro tubo,

como se puedo observar en la Figura 2.1; este montaje de corrientes paralelas

funciona, tanto en contracorriente como en paralelo, circulando el fluido caliente o

el frío a través del espacio anular, mientras que el otro fluido circula por la tubería

interior.

Figura 2.1 Intercambiador simple de tubos concéntricos.


23

Cuando las temperaturas Th del fluido del lado caliente y Tc del fluido del lado frío

son variables de un punto a otro, a medida que el calor va pasando del fluido más

caliente al más frío, la velocidad de intercambio térmico entre los fluidos también

variará a lo largo del intercambiador, porque su valor depende, en cada sección,

de la diferencia de temperaturas entre los fluidos caliente y frío.

En un flujo paralelo, la temperatura final del fluido más frío nunca puede llegar a

ser igual a la temperatura de salida del fluido más caliente. Sin embargo, en un

flujo en contracorriente, la temperatura final del fluido más frío (que es el que se

calienta) puede superar la temperatura de salida del fluido más caliente (que se

enfría), puesto que existe un gradiente de temperaturas favorable a todo lo largo

del intercambiador de calor.

En un intercambiador en contracorriente, los coeficientes de transferencia de calor

del lado de la carcasa y del lado de los tubos deben ser del mismo orden de

magnitud y ser de un valor grande para obtener un coeficiente global satisfactorio.

2.1.1 CLASIFICACIÓN DE LOS INTERCAMBIADORES DE CALOR

Los intercambiadores de calor son equipos que propician el flujo de energía

térmica entre dos o más fluidos a diferentes temperaturas. Los intercambiadores

de calor se utilizan en una amplia variedad de aplicaciones como: procesos

químicos e industria alimenticia, ingeniería ambiental, industria manufacturera y

además diversas aplicaciones de tecnología espacial [59].

Estos equipos se pueden clasificar según los criterios presentados a continuación

[59] y en la Figura 2.2 se observa esta clasificación:

Recuperación/Regeneración.

Geometría de construcción: Tubos, planos y superficies extendidas.

Dirección de los flujos: Flujo Paralelo, contra flujo y flujo cruzado.

Mecanismo de transferencia de calor: De una fase y de dos fases.

Proceso de transferencia: Contacto directo e indirecto.

CAPÍTULO 2

24

1) Recuperación/Regeneración

a) Recuperador. b) Regenerador.

2) Geometrías de construcción

c) Tubular. d) Planas. e) Otras. 3) Dirección de los fluidos

f) Paralelos. g) Contrarios. h) Cruzados. 4) Mecanismo de transferencia de calor

i) Una fase. j) Evaporacción. k) Condensación.

5) Proceso de transferencia

l) Directo. m) Indirecto.

Figura 2.2 Clasificación de los intercambiadores de calor [60].


25

2.2 MODELADO DEL INTERCAMBIADOR DE CALOR

El objetivo del modelado del intercambiador de calor es obtener un modelo cuasi

exacto en las aproximaciones de los estados del sistema. La dinámica de los

intercambiadores se representa principalmente de dos posibles maneras: a través

de modelos de parámetros distribuidos y a través de modelos de parámetros

concentrados.

2.2.1 MODELO DE PARÁMETROS CONCENTRADOS

Considere el intercambiador de calor tipo doble tubo (o de tubos concéntricos) con

flujos a contracorriente de longitud L, tal como se muestra en la Figura 2.3, se

considera este tipo intercambiador ya que es igual al de la planta piloto a utilizar.

Por simplicidad de lenguaje, se mencionará como “tubo” cuando se refiera al tubo

interno y “casco o coraza” cuando se refiera al tubo externo o región anular. El

flujo en el tubo es el lado caliente del intercambiador de calor y el flujo en la región

anular que rodea al tubo es el lado frío. La temperatura del líquido no sólo cambia

con el tiempo t sino también a lo largo de la dirección axial x del valor Tcin y Thin en

la entrada al valor Tco y Tho en la salida respectivamente.

Figura 2.3 Diseño de un proceso de intercambio de calor en contracorriente [61].

El modelo de parámetros concentrados se basa en la división del intercambiador

de calor en un número finito de elementos, llamados secciones o celdas. Este

procedimiento de seccionamiento asume que cada elemento se comporta como

un tanque perfectamente agitado, y en consecuencia la temperatura del fluido se

considera uniforme [62]. En la Figura 2.4 se observa la representación del

intercambiador de calor de una celda en configuración contracorriente.

CAPÍTULO 2

26

Figura 2.4 Representación del intercambiador de calor a través de una celda en contracorriente.

Considere las siguientes suposiciones [10, 63]: S1 Flujos de entrada y salida iguales, implican volumen constante en ambos

tubos.

S2 El coeficiente de transferencia de calor (U) tiene una dependencia del flujo y de

la temperatura de cada fluido, y no se considera como constante.

S3 Las propiedades físicas y químicas de los fluidos se mantienen constantes.

S4 No existe transferencia de calor entre el tubo externo y el medio ambiente.

S5 No hay almacenamiento de energía calorífica en las paredes de los tubos.

S6 Las temperaturas de entrada al sistema son medibles.

La dinámica del sistema se obtiene a través de un balance de energía que se

aplica a cada una de las celdas y se define de la siguiente manera [64]:

flujodetrabajo

másflechadetrabajo

salrededorelossobre

sistemaelporhechoTrabajo

reacciónoradiación

conducciónpor

sistemaal

adicionadoCalor

difusiónoconvección

porsistemadelsale

quepotencialocinética

energíadeFlujo

difusiónoconvección

porsistemaalentra

quepotencialocinética

energíadeFlujo

sistemadeldentro

potencialycinética

ienergíalade

cambiodeRapidez

:

,internainterna

nterna

(2.1)

Aplicando la ecuación (2.1) al elemento externo del intercambiador de calor de una

celda en contracorriente (ver Figura 2.4) se tiene [65]:

(2.2)


27

Donde: AI es el área de transferencia de calor, Cp es el calor específico, ρh es la

densidad del fluido, U es coeficiente de transferencia de calor inicial y V es el

volumen (ver glosario de términos).

El lado izquierdo de esta ecuación representa la rapidez de variación de energía

calorífica acumulada en la celda. En el lado derecho se tienen los flujos de energía

transportada por los fluidos (transferencia de calor por convección) sumados con

el flujo de energía calorífica que se transfiere del tubo caliente al tubo frío

(transferencia de calor por conducción).

Despejando se tiene:

(2.3)

De igual forma se procede con el elemento interno de la celda (ver Figura 2.4).

Aplicando el balance energía y despejando se tiene:

(2.4)

En los trabajos [13,21], se propone emplear el modelo matemático descrito en las

ecuaciones (2.3) y (2.4), considerando el parámetro U como constante así como

las propiedades físicas (ρh y Cp), sin embargo, al considerar el parámetro U

constante se limita el rango de validez del modelo para realizar estimaciones,

dado que el error en la estimación es mayor a medida que el parámetro U no

corresponde a las condiciones de operación del sistema. Por lo anterior, este

modelo es únicamente válido para los valores del coeficiente de transferencia de

calor para los que se diseño el modelo [10].

Con el objetivo de realizar la estimación de las variables de estado de manera

precisa, el método que se propone utilizar en este trabajo es el de implementar

ecuaciones algebraicas para estimar en línea el coeficiente de transferencia de

calor [10]. Para ello es necesario conocer la cantidad de calor que ingresa al

sistema y la cantidad de flujo de calor que se transfiere al fluido de enfriamiento.

En la ecuación (2.5) se muestra la estimación. Con estas variables estimadas

(Qh,c), se puede estimar el coeficiente de transferencia de calor en línea para cada

fluido. Lo cual permite tener aproximaciones de las variables de estado con un

mínimo de error al emplear el modelo descrito en las ecuaciones (2.3) y (2.4), esto

se demuestra en la Sección 2.4.

CAPÍTULO 2

28

(2.5)

(2.6)

La diferencia de temperaturas entre los fluidos T en las ecuaciones (2.3) y (2.4),

es la fuerza conductora que da lugar a la transferencia de calor por convección. La

fuerza conductora se expresa en términos de la diferencia de temperaturas a la

entrada (ITD) y la diferencia de temperaturas media logarítmica (LMTD).

2.2.2 MODELO DE DIFERENCIAS DE TEMPERATURA A LA ENTRADA

El modelo de diferencias de temperatura a la entrada es uno de los más sencillos

y tiene un grado de precisión razonable [38]. El modelo se puede desarrollar a

partir de las ecuaciones (2.3) y (2.4) quedando de la siguiente forma:

(2.7)

(2.8)

La particularidad de este modelo es que está, de manera directa, en la forma de la

clase de sistemas no lineales que es afín a los estados y depende de los

parámetros, definido como [61]:

donde es una matriz de dimensión .


29

2.2.3 MODELO DE DIFERENCIAS DE TEMPERATURA MEDIA LOGARÍTMICA

El modelo de diferencias de temperatura media logarítmica se ha utilizado por

varios autores [60, 61]. El modelo se puede desarrollar a partir de las ecuaciones

(2.3) y (2.4) quedando de la siguiente forma:

(2.9)

(2.10)

Donde

(2.11)

Hay que resaltar que la ecuación (2.11) se convierte en una forma indeterminada

cuando lo que es un problema para el modelo (2.9) y (2.10). Sin

embargo, como se prueba en [66] si se considera

Resulta en una diferencia de temperatura además permite apreciar la media

logarítmica diferenciable bien definida para cada y positiva.

El modelo de diferencias de temperatura media logarítmica obtenido al igual que el

modelo de diferencia de temperaturas a la entrada están de manera directa en la

forma de la clase de sistemas no lineales que es afín a los estados y depende de

los parámetros, quedando definidos los estados y parámetros como [61]:

donde es una matriz de dimensión . El modelo de diferencia de temperatura

media logarítmica también se considera para el diseño de observadores no

lineales.

CAPÍTULO 2

30

La parte no lineal del sistema en ambos modelos se encuentra en los flujos de

entrada ( ), en el coeficiente de transferencia de calor ( ) y en la diferencia de

temperaturas entre los fluidos para el modelo LMTD.

Con base en las definiciones de la diferencia de temperaturas a la entrada y la

diferencia de temperaturas media logarítmica, en la sección 2.4 se procederá a

validar los modelos del intercambiador de calor.

2.3 INTERCAMBIADOR DE CALOR DE TUBOS CONCÉNTRICOS, RCT 100

2.3.1 DESCRIPCIÓN DEL PROTOTIPO

El intercambiador de calor de la Figura 2.5 es un banco de pruebas. Su uso se

aplica en procesos de enfriamiento. Éste puede ser configurado en flujo paralelo y

en contra flujo y puede combinarse en serie o en paralelo con otros

intercambiadores de calor para formar un sistema.

Figura 2.5 Intercambiador de calor RCT 100.

El diseño e instrumentación del intercambiador de calor de tubos concéntricos de

la Figura 2.6 se desarrolló por Didatec Technologies. Este sistema opera como

enfriador de procesos, el agua de calentamiento fluye a través del tubo interno y el

agua de enfriamiento fluye por la sección anular (parte externa del tubo interno).


31

Figura 2.6 Diagrama de la instrumentación del intercambiador de calor.

La planta piloto o banco de pruebas cuenta con la siguiente instrumentación:

Tcin y Tho se miden con dos termómetros de vidrio SIKA® (TI1 y TI2

respectivamente).

Tco y Thin se miden con transmisores de temperatura Engelhard Pyro-

Controle Pt-100, (TT1 y TT2 respectivamente).

y se miden por rotámetros de platon de sección variable (FI1 y FI2

respectivamente).

Para la adquisición de datos se utiliza una tarjeta de adquisición de datos USB-

6008 de bajo costo, lo cual permite una fácil comunicación entre las señales

adquiridas y el software empleado para el desarrollo de la interfaz gráfica

(LabView®). En la parte inferior derecha de la figura 2.7 se observa el convertidor

de corriente a voltaje.

Figura 2.7 Tarjeta de adquisición de datos USB6008 y sistema de acondicionamiento de señal.

CAPÍTULO 2

32

Figura 2.8 Diagrama de la fuente de corriente controlada por voltaje.

En la Figura 2.8 se muestra el diagrama del convertidor voltaje a corriente, este

dispositivo envía la señal de corriente en mA al transductor de presión de la

válvula que se puede observar en la Figura 2.9, haciendo posible la manipulación

de la posición de la válvula.

Figura 2.9 Válvula de control del intercambiador de calor.

2.3.2 DIMENSIONES Y PARÁMETROS DEL INTERCAMBIADOR DE CALOR

En esta sección se muestran las dimensiones y cálculo de los parámetros del

intercambiador de calor RCT 100. Para poder determinar algunos de los

parámetros del intercambiador de calor es necesario conocer las dimensiones

físicas del intercambiador de calor. La Figura 2.10 muestra las mediciones físicas

realizadas a los tubos del intercambiador de calor


33

Figura 2.10 Dimensiones de los tubos del intercambiador de calor.

Con base en las medidas físicas se realizaron los siguientes cálculos para obtener

las áreas de flujo, contacto y volúmenes ocupados por los fluidos del lado frío y

caliente del intercambiador de calor. Para el flujo del lado caliente se tienen los

siguientes parámetros:

Tabla 2. 1 Dimensiones del intercambiador RCT 100

Constantes Valores Unidades

L 790 mm Di 5 mm De 6.2 mm Dintc 16 mm Dextc 18 mm

Para el flujo del lado frío se obtiene primero el volumen en el interior del casco

Vintc y posteriormente el volumen ocupado por el tubo Vtubo, la diferencia entre

los dos volúmenes determina el volumen ocupado por el fluido del flujo frío.

Entonces los cálculos de áreas y volúmenes para el lado frío son:

(2.12)

CAPÍTULO 2

34

Donde: es la longitud del tubo, con los diferentes subíndices son los diámetros

de los tubos (ver Figura 2.10), es el volumen en el interior del tubo, es el

volumen en el tubo, es el volumen del flujo del fluido frío y con los diferentes

subíndices son la áreas de los tubos.

Los valores de las propiedades físicas de los fluidos (ρ, Cp) se presentan en el

Anexo A.

2.4 VALIDACIÓN FUERA DE LÍNEA DEL INTERCAMBIADOR DE CALOR

El modelo del intercambiador de calor tipo doble tubo en configuración

contracorriente que está localizado en el laboratorio de control en el cenidet, se

valida fuera de línea. El método para validar el modelo que se obtuvo se describe

a continuación.

2.4.1 VARIABLES Y PARÁMETROS

Antes de proponer el protocolo de pruebas es necesario determinar cuáles son las

variables del proceso y cuáles los parámetros.

Las variables del proceso se clasifican de la siguiente manera:

* Variables medibles

Tcin, Thin, Tco, Tho, c y h


35

* Variables manipuladas

Thin, c y h

* Variables de entrada

Tcin, Thin, c, y h

* Variables de salida

Tco y Tho

Los parámetros del proceso son: AI, cpc, cph, ρhc, ρhh, Vc, Vh y U, cuyos valores se

pueden consultar en el Anexo A.

2.4.2 PROTOCOLO DE PRUEBAS

El protocolo para la validación del modelo es el siguiente:

1. El tipo de validación a utilizar será el de fuera de línea (ver Figura 2.11).

2. Las mediciones provenientes de los transmisores de temperatura de entrada y

salida se almacenan en un vector de datos.

Figura 2.11 Validación fuera de línea del intercambiador de calor [67].

CAPÍTULO 2

36

3. Los vectores que se obtuvieron en el punto anterior se simulan con la finalidad

de compararlos con los modelos LMTD e ITD.

4. Los vectores de entrada que se obtienen del proceso, se aplican a los modelos

LMTD e ITD y la respuesta dinámica se compara con los vectores de salida del

proceso.

5. Las condiciones iníciales del modelo se consideran iguales a las condiciones

iníciales del proceso.

2.4.3 EXPERIMENTOS

Se realizan diferentes pruebas experimentales en las que se utiliza el protocolo de

pruebas que se definió en el apartado anterior. A continuación se especifica una

de las pruebas hechas, en la cual se varía el flujo de agua fría.

a) Se mantienen fijas las temperaturas de entrada y el flujo de entrada del lado

frio se varía de tal manera que simule una señal como la que se muestra en la

Figura 2.12.

b) Las temperaturas Tcin, Thin y el flujo de entrada del agua caliente ( ) se

mantienen fijas.

c) Las variaciones de lectura de las temperaturas de entradas y salidas,

consecuencia de la variación del flujo de agua fría, se registraron en un vector

de datos.

2.4.4 RESULTADOS DE LA SIMULACIÓN Y EXPERIMENTALES DE LA

VALIDACIÓN DEL SISTEMA

Los resultados experimentales de la validación fuera de línea de los modelos del

intercambiador de calor se ilustran gráficamente en la Figura 2.13 y Figura 2.14

donde la escala del tiempo está en minutos.

Para la realización del experimento, los valores de los parámetros de la planta que

se usan para el experimento se encuentran en el Anexo A y son los mismos que

se utilizaron para la parte de simulación.

La temperatura de entrada del lado frío se mantienen constante en Tcin = 29°C y

Thin=81°C, y sólo se varió el flujo de entrada del lado frio como se muestra en la


37

Figura 2.12. Se hace la variación en porque es una entrada del sistema e

influye en las variables de estado. Específicamente, en esta prueba se realiza el

cambio en el flujo de manera descendente ya que se inicia con una temperatura

de salida de Tho de 72 °C, y se busca la temperatura más alta de Tho con la menor

entrada de flujo que en este caso fluctúa en 2.6x10-6 m3/s.

En la Figura 2.13 para el flujo en frío, se comparan las gráficas de la temperatura

de salida Tco del intercambiador de calor y la temperatura de salida Tco de los

modelos ITD y LMTD. Similarmente, en la Figura 2.14 para el flujo en caliente, se

comparan las gráficas de la temperatura de salida Tho del intercambiador de calor

y la temperatura de salida Tho de los modelos ITD y LMTD.

Figura 2.12 Flujo de entrada (vc).

Figura 2.13 Comparación de Tco del proceso con Tco de los modelos ITD y LMTD.

CAPÍTULO 2

38

Figura 2.14 Comparación de Tho del proceso con Tho de los modelos ITD y LMTD.

En cada gráfica se observa que las temperaturas de salida de los modelos ITD y

LMTD siguen el comportamiento de las temperaturas reales del intercambiador de

calor, para darle validez, cuantitativamente, se calcula el error cuadrático medio

(ECM) y la norma euclidiana (ver Tabla 2.2):

Tabla 2.2 Índices de desempeño

Modelo LMTD 1celda Modelo ITD 1celda

ECM Tco 0.0427 0.0183

Tho 0.0072 0.0052

Norma Euclidiana 0.0433 0.0190

Como se puede observar cualitativamente y cuantitativamente el mejor modelo es

el ITD, ya que en análisis dinámico para la planta no se pueden considerar

promedios sino incrementos por lo tanto se utiliza el ITD, una ventaja es que el

modelo ITD es más simple y tiene una excelente aproximación, por eso a partir de

este momento será el modelo que se tomará para el trabajo.

2.5 CONCLUSIONES

En la Teoría de Control, los sistemas con parámetros distribuidos (ecuaciones

diferenciales parciales) normalmente se discretizan en sistemas con parámetros

concentrados (ecuaciones diferenciales ordinarias) para poder aplicar los

conceptos tradicionales de control automático. Al hacer la discretización y tomar el

modelo más simple que es el de una celda, se pudo observar que la estimación es

eficiente como se mostró en las Figuras 2.13 y 2.14.


39

El modelo de diferencia de temperatura a la entrada fue el que mostró un mejor

ajuste a los datos reales del proceso, aunque la diferencia entre un modelo y otro

es mínima, se eligió el modelo de diferencia de temperatura ya que en análisis

dinámico para la planta no se pueden considerar promedios sino incrementos y

otra ventaja del ITD es que es un modelo más simple que nos genera una

caracterización del modelo de forma precisa.

Se concluye que empleando el método utilizado por Escobar y colaboradores [10]

de estimar el coeficiente de transferencia de calor para cada fluido y considerarlo

en un modelo simplificado de una celda (sin ser necesarios modelos de un mayor

número de celdas), es posible estimar los estados del sistema con un error

mínimo.

CAPÍTULO 2

40

41

Capítulo 3

3. DESARROLLO DE UN SISTEMA DE

DIAGNÓSTICO DE FALLAS.

ENFOQUE MULTI-MODELOS

El objetivo de este capítulo es presentar el diseño y desarrollo de un sistema de

diagnóstico de fallas basado en modelos múltiples. Como objetivos particulares se

tienen: la detección, localización y estimación de la falla; así como la estimación

de la función de activación que da la contribución de cada modelo.

Para cumplir con los objetivos, se propone utilizar un banco de filtros de Kalman,

estándar. Al utilizar el banco de filtros de Kalman estándar se puso en evidencia el

no poder estimar la función de activación y detectar, localizar y estimar fallas

simultáneamente. Debido a esto se propone un banco de filtros de Kalman

desacoplados.

El diseño de un banco de filtros de Kalman desacoplados cumple con los

objetivos, dado que cada filtro de Kalman desacoplado permite generar 2 residuos:

un residuo que es sensible a las fallas y permite la detección, localización y

estimación de ésta, y el otro residuo que es insensible a fallas que con ello permite

la estimación de la función de activación.

CAPÍTULO 3

42

En la Sección 3.1 se presenta la representación de sistemas no lineales en tiempo

discreto y la representación de un sistema por multi-modelos lineales se

desarrolla. En la Sección 3.2 se describe el desarrollo del pasaje entre los

modelos, utilizando la probabilidad Bayesiana. La Sección 3.3 se enfoca en la

estructura multi-modelo con filtro de Kalman estándar, en esta sección se hace un

estudio del residuo, con el cual se observa que existe un problema para la

estimación de la función de activación en presencia de fallas. En la Sección 3.4, se

presenta la solución al problema de la estimación de la función de activación en

presencia de fallas. En la Sección 3.5 y 3.6 se desarrolla el diseño y la estructura

del banco de filtros de Kalman desacoplados. En la Sección 3.7 se describe el

nuevo diseño para la estimación de la función de activación. En la Sección 3.8 se

realiza la nueva estructura con la cual se hará la detección, localización y

estimación de las fallas. Finalmente en la Sección 3.9 se proporcionan las

conclusiones que se desprenden de este capítulo.

3.1 REPRESENTACIÓN DE SISTEMAS NO LINEALES EN TIEMPO DISCRETO

En el contexto de algoritmos de modelos múltiples de tipo fijo, el enfoque multi-

modelo lineal se utiliza para las tareas de estimación o identificación, el control y el

diagnóstico de fallas [13]. Para lograr el enfoque multi-modelos lineales (MML), se

debe descomponer un sistema no lineal, en varios regímenes de funcionamiento

lineal.

El interés se centra en sistemas no lineales continuamente diferenciables para su

aplicación en el diagnóstico. Las ecuaciones de un SNL para la representación de

espacio de estados en tiempo discreto se presentan en la ecuación (3.1):

kwkUkXgkY

kvkUkXzkX

,,

,,1

(3.1)

Donde:

nRX es el vector de estados. pRU es el vector de entradas.

nRv es el vector de ruido del sistema o a la entrada. mRY es el vector de salidas medidas. mRw es el ruido en la salidas medidas.

z y g son funciones no lineales continuamente diferenciables.


43

El funcionamiento del sistema no lineal se describe a través de un conjunto de

múltiples modelos lineales como [68]:

)()()()(

)()()(

kwkuDkXCkY

kvkuBkXAkX

jYjjjjj

jXjjjjj

j

j

1

(3.2)

Donde: j representa al modelo lineal y M es el número total de

modelos lineales utilizados, , , y son matrices con dimensiones

apropiadas, con y como vectores constantes que dependen del j-ésimo

modelo lineal.

3.2 CONMUTACIÓN ENTRE LOS MODELOS

Cuando se habla de la conmutación entre los modelos, se refiere a la transición

entre un punto de operación y otro, esta idea queda clara si se observa la Figura

3.1.

Figura 3.1 Conmutación entre los modelos lineales diferentes.

Si existe un gran número de modelos lineales, es posible hacer una mejor

estimación del SNL. Sin embargo, el problema de la conmutación de los modelos

se complica. Por eso hay un compromiso entre la exactitud de la estimación

(relacionado con el número de modelos) y la carga de cálculo computacional.

La estructura de los modelos lineales locales se válida en la vecindad del punto de

operación. La estructura de cada modelo lineal local está definida por las

ecuaciones siguientes:

CAPÍTULO 3

44

kfFkvkUDkXCkY

kfFkwkUBkXAkX

jj

jj

YjYjj

XjXjj

)( 1

(3.3)

donde: , , y son matrices con dimensiones apropiadas, y son las

matrices de distribución de fallas de actuadores y sensores respectivamente, es

el vector de fallas.

El sistema lineal definido por la ecuación (3.3) se establece mediante el siguiente

conjunto de matrices:

MjvFDC

wFBAS

jYYjj

jXXjj

j

jj

jj ,...,2,1,

(3.4)

Con el fin de representar el sistema no lineal (3.1), el conjunto de matrices que se

definió en (3.4) se utiliza en cada instante de muestreo, la sucesión de matrices

[69], se define como:

1,0:11

kkSkkS j

M

jjjj

M

j (3.5)

Donde es una función de ponderación.

Sin perder la generalidad del método, las fallas de sensores se pueden considerar

como incertidumbres estructuradas, pudiéndose interpretar matemáticamente

como fallas de componentes [70]. Así se tendría un único vector de fallas

, y el conjunto de matrices se reescribe como:

MjvDC

wFBAS

jYjj

jjXjj

j

j

j ,...,,, 21

(3.6)

En el marco de MML, caracteriza en cada período de muestreo al sistema no

lineal (3.1). La suma de las contribuciones de cada uno de los modelos lineales en

un instante de muestreo, permite la reconstrucción del sistema completo. Esta

reconstrucción se conoce como modelo global lineal.

La ponderación probablemente desempeña el papel más importante en un

enfoque MM ya que ésta calcula el peso a la contribución de cada modelo.

La ponderación determina al mejor modelo lineal o la contribución de cada uno de

ellos en cada instante de tiempo. La ponderación ha recibido diversos nombres,


45

tales como: probabilidad de validación [13, 71], trayectoria de referencia [72] o

función mínima [73, 74].

La probabilidad de validación se definió para cada modelo local. La probabilidad

se representa por el vector :

NT

N Rkkkk )(,...,)()()( 21 (3.7)

La probabilidad es una función de ponderación de cada modelo [13, 17, 73].

El valor máximo de la probabilidad es la unidad y la probabilidad de cada modelo

puede tomar valores entre cero y uno, pero la suma de éstos deber ser siempre

igual a uno [13, 17, 73]:

(3.8)

(3.9)

Esto significa que la probabilidad del modelo lineal más cercano al modelo no

lineal en un instante da la mayor contribución al modelo global reconstruido. Es

decir, que el valor de la probabilidad es igual o tiende a “1”. Por el contrario, para

el modelo más lejano la probabilidad tiende a cero [13, 17, 72, 75].

Se propone el método Bayesiano para la conmutación entre los modelos. La

probabilidad de Bayes está definida mediante una probabilidad condicional: a

partir de que ha ocurrido el suceso B se deducen las probabilidades del suceso A.

Una de las razones principales por las cuales se utiliza la probabilidad Bayesiana

es que lejos de operar en un vacío total de información, el modelo de análisis

Bayesiano exige contemplar formal y explícitamente el conocimiento previo.

Una explicación del teorema de Bayes con más detalles se puede encontrar en el

Anexo B. El objetivo es desarrollar un método de estimación de probabilidades

Bayesianas en el contexto MM.

Para determinar las probabilidades de cada uno de los modelos del enfoque multi-

modelo LIT, se utiliza la probabilidad Bayesiana. Se inicia con el establecimiento

de las condiciones de la función de validación de los elementos utilizados.

La salida medida del SNL se representa por y la salida histórica medida por

. La probabilidad condicional indica la

CAPÍTULO 3

46

probabilidad de que el modelo j es la mejor descripción del sistema conociendo la

salida histórica en el instante [13].

Aplicando el teorema de Bayes, se obtiene:

i HH

HH

HH

HH

kYjkYjkYf

kYjkYjkYf

kY

kYjkYjkYf

kYkYjkYj

1|1,|

1|1,|

1|1,|

1,||

(3.10)

donde: es la función de densidad de probabilidad (FDP) del j-

ésimo modelo en el instante .

La ecuación anterior describe cómo una nueva salida del sistema influye en la

predicción de la validación del modelo [13].

En caso de que exista un ruido en el estado y un ruido a la salida, los filtros

pueden estimar el estado y la salida . Cuando un filtro lineal se utiliza con un

sistema lineal o linealizado cuyas estadísticas (media y covarianza) de la

distribución de probabilidad Gaussiana (DGP por sus siglas en inglés) se conocen,

entonces una estimación del filtro con distribución de probabilidad Gaussiana

también se conocerá.

Los residuos (que son la diferencia entre la salida real y la salida estimada) tienen

una distribución Gaussiana conocida [76].

(3.11)

donde: r es el residuo y es el error de estimación.

La estimación de un modelo lineal estocástico se puede obtener a través de un

filtro de Kalman estándar ó simplemente filtro de Kalman. Esto último implica que

los residuos (para cada modelo) con una DGP tienen estadística conocida,

donde i es el número de filtros de Kalman a utilizar.

Esta característica de los filtros de Kalman puede utilizarse en combinación con la

regla de Bayes para la estimación de la distribución de probabilidad de los

variables del sistema. La probabilidad condicional del i-ésimo conjunto de

parámetros se determina con base en la diferencia entre la salida actual y la salida

estimada del j-ésimo modelo [76].


47

El enfoque que se presenta en los artículos como el de Lainiotis y colaboradores

[77-80] se considera un trabajo básico para el enfoque MM. Donde los autores

establecen un banco de filtros de Kalman en paralelo.

Así, si el i-ésimo filtro describe exactamente al sistema, los residuos son de

media cero, y la covarianza de los residuos se define como: ,

donde es la covarianza del error de estados del i-ésimo filtro de Kalman, basado

en el j-ésimo modelo, y es la covarianza del ruido en la salida del j-ésimo

modelo. Bajo la hipótesis de estado estacionario:

21

1

2

2

1

1

)(det

)()()(exp

)(|)(

|,|

k

krkkr

kikrf

ikYfkYikYf

i

N

Tii

ii

H

i

(3.12)

Por lo tanto, la ecuación (3.12) sustituye a la ecuación (3.10) para obtener un

algoritmo que permita estimar la validez del modelo [13, 76, 81-83].

Basada en la función de distribución de probabilidad, una probabilidad

normalizada, que se denota por , se calcula por el teorema de Bayes

como:

M

h ih

iii

krxk

krxkkr

1

1

(3.13)

Por tanto, el algoritmo de probabilidad estimada puede asegurar un modelo tal que

la probabilidad converja a uno, mientras que los otros modelos asociados

converjan a cero o determinar los pesos según el grado de contribución de cada

modelo.

3.3 PROBLEMÁTICA DE LA GENERACIÓN Y EVALUACIÓN DE RESIDUOS

Retomando la ecuación (3.4) y sin perder generalidad, de acuerdo a [70], en

presencia de fallas en sensores y actuadores, el sistema se representa por un

sistema multi lineal con presencia de fallas de sistema, se expresa en espacio de

estado en tiempo discreto de la siguiente manera:

CAPÍTULO 3

48

jkYkjk

jkXkjkjkjk

vXCY

fFUBXAX

j

j

,1

(3.14)

La matriz de distribución de fallas está representada por

. Alrededor del j-ésimo punto de

operación, se asume que .

Con la suposición, que el sistema evoluciona en torno al j-ésimo punto de

operación. Se propone un i-ésimo filtro de Kalman (donde

representa el número de filtros de Kalman) que se define:

,)()(ˆ)(ˆ

,)(ˆ)()()()(ˆ)(ˆ

i

i

Yiii

Xiiiiii

kUDkXCkY

kYkYkKkUBkXAkX

1

(3.15)

donde denota el vector de estado estimado y es la estimación de

la salida obtenida del filtro lineal basado en el i-ésimo modelo lineal. es

la matriz de ganancia del filtro de Kalman.

Los filtros de Kalman permiten obtener el error de estado estimado

y los vectores de residuos de salida . Para

comprender mejor el comportamiento de los residuos, se propone estudiar al

conjunto de residuos con diferentes condiciones de funcionamiento.

Caso 1. Cuando el modelo es igual al estimador ( ) en ausencia de fallas

( ), entonces el vector de error de estimación ( ) y el vector de residuos de

salida ( ) son equivalentes a:

(3.16)

y

(3.17)


49

La primera situación se considera como elemental, es decir, que el modelo lineal

presente y el filtro son de forma idéntica.

Caso 2. Cuando el modelo es igual al estimador ( ) y en el sistema se tiene

presencia de fallas ( ), entonces la estimación de vector de error ( ) y el

vector de residuos de salida ( ) son equivalentes a:

(3.18)

y

(3.19)

El funcionamiento de un banco de filtros de Kalman conduce a la obtención de

vectores de error de estimación y residuos corrompidos por la presencia de fallas.

Caso 3. Cuando el modelo j es diferente del estimador ( ) en ausencia de

fallas ), entonces la estimación de vector de error ( ) y el vector de residuos

de salida ( ) se representa de la forma siguiente:

(3.20)

y

(3.21)

donde que corresponde a la amplitud de la diferencia entre el

sistema no lineal representado por j-ésimo modelo lineal y el i-ésimo filtro de

Kalman. y , son matrices de distribución de

CAPÍTULO 3

50

errores de modelado asociado, con las ecuaciones de estado, y la ecuación de

salida respectivamente. Los vectores de error de estimación y de residuo están

afectados por la presencia de una distancia entre la representación del j-ésimo

modelo y el i-ésimo filtro de Kalman.

Caso 4. Cuando el modelo es diferente del estimador ( ) y en el sistema

existe una falla ( ), entonces la estimación de vector de error ( ) y el vector

de residuos de salida ( ) se representan de la forma siguiente:

(3.22)

y

(3.23)

También en este caso, los vectores de error de estimación y de residuo se

ven afectados por la presencia de incertidumbres en el sistema, distancia entre el

modelo y el estimador y por la presencia de fallas. Teniendo en cuenta estas

diferentes situaciones, se concluye que el diagnóstico de fallas de un banco de

filtros de Kalman no es factible. Además, el uso de la probabilidad Bayesiana no

se puede considerar para determinar el modelo más representativo del sistema ya

que utiliza el vector de residuo para calcularse y este se encuentra corrompido por

la falla.

En resumen el uso de los filtros de Kalman permite establecer las siguientes

propiedades residuales Mii ,,1, :

(3.24)

donde: es la distribución normal (con media cero y matriz de covarianza).


51

Como se puede observar en la ecuación (3.24) en la última evaluación del residuo,

el residuo está corrompido por dos informaciones a la vez, por lo tanto no se

tendría la elección del modelo adecuado, ni una detección y localización de fallas

(FDI) correcta.

3.4 ALTERNATIVA DE SOLUCIÓN

De acuerdo a la ecuación (3.24) específicamente en el caso 4, el FDI no se

obtiene correctamente, ya que el vector de residuos se corrompe al mismo tiempo

por cambios en los puntos de operación y por la presencia de las fallas.

De ahí la importancia de un nuevo generador de residuos que esté desacoplado

de las fallas: que permita generar dos residuos: 1. Que sea insensible a las fallas

y permita la interpolación del modelo y 2. Que sea sensible a la falla y que localice,

detecte y estime la falla (ver Figura 3.2).

Figura 3.2 Generador de residuos.

Se ha examinado la detección y localización de fallas en el intervalo de operación

descrito por una estructura de modelos múltiples y la estimación de la función de

activación de estos modelos. Estos dos estudios han resaltado las debilidades del

método tradicional utilizado para la estimación de la función de activación (Bayes)

o para la detección y aislamiento de fallas (Kalman).

Con este método (Multi-modelos utilizando un banco de filtros de Kalman en

paralelo) no se alcanzan los objetivos deseados debido a que la generación de

CAPÍTULO 3

52

residuos se ve afectada simultáneamente por dos informaciones diferentes: el

cambio de punto de funcionamiento y la presencia de fallas.

El objetivo está en encontrar el modelo lineal más representativo

del sistema en cada instante de tiempo y al mismo tiempo, detectar, localizar y

estimar las faltas. Para esto se toman trabajos hechos previamente [23, 84] donde

el primero obtiene el diseño de un filtro de Kalman desacoplado basado en

incertidumbres y el segundo obtiene el diseño de un filtro de Kalman desacoplado

de fallas en un esquema multi-modelo. Con base al diseño de [23] se obtendrá un

nuevo generador de residuos que permita la disociación de los efectos de errores

de modelado y las fallas. Este nuevo generador de residuos proporcionará una

residuo insensible a las fallas, pero sensible a los cambios de punto de operación,

y un segundo residuo sensible a las fallas.

3.5 DISEÑO DE UN BANCO DE FILTROS DESACOPLADOS

Una solución para resolver el problema mencionado, se basa en el diseño de un

filtro de Kalman desacoplado de las fallas (FDF) [23], bajo la suposición de que

ocurra una falla en el tiempo y que cambie el punto de operación en el

tiempo y exprese el vector de residuo del i-ésimo filtro de Kalman como

[1]:

i

kj

i

kj

i

kjkk

kkkkk

i

kj

i

X

i

k

i

k

eee

dddjfffrr

1,1,,,

11,,

(3.25)

con

j

ji

kk

ji

kk

ikk

F

F

F

C d

d

d 2,

1,

,

(3.26)

y

,

1

12,

1,

,

iY

ik

iX

iY

ik

iX

ikk

iY

ik

iX

ikk

ikk

jj

jeje

jeje

e

K

K

K

C

(3.27)


53

donde

,

1

,

,,

k

kk

iikkk

ed

edL

.iiki

ik CKAL

(3.28)

La ecuación (3.25) permite confirmar que el residuo se corrompe por las fallas y

los errores de modelado. Por lo tanto, el objetivo es generar residuos insensibles a

fallas pero sensibles sólo a errores de modelado, esto es:

.,,1 ,0 MiFCKA ii

i

ki (3.29)

Si la ecuación (3.29) se satisface y si el número de fallas es estrictamente menor

al número de salidas (i.e. imqFCrango ii , ), una solución a la ecuación

(3.29) se propone en [84], donde el autor parametrizó una ganancia del filtro de

Kalman como:

(3.30)

Con donde , es una matriz

constante arbitraria definida, a fin que la matriz sea de rango completo. Por lo

tanto, el residuo que se definió en la ecuación (3.25) bajo las condiciones de la

nueva ganancia de Kalman (3.30) llega a ser;

.1,1,,,

1,

i

kj

i

kj

i

kjkk

kii

i

kj

i

X

i

k

i

k

eee

jfFCrr

(3.31)

El filtro de Kalman también minimiza la traza de la matriz de varianza-covarianza

del error de estimación. Esta minimización se lleva a cabo bajo la existencia y

condiciones de estabilidad que se presentan y estudian en [84].

CAPÍTULO 3

54

3.6 ESTRUCTURA DEL NUEVO DISEÑO DEL FILTRO DE KALMAN

DESACOPLADO

De acuerdo a la ecuación (3.30), cada filtro de Kalman que se obtuvo en la

ecuación (3.15), se describe por [23]:

,ˆˆˆ1 iX

i

kki

i

kiiki

i

ki

i

k YYKUBXAX

,ˆîY

i

kik XCY (3.32)

donde:

,1

iTiki

Tiki

ik VCPCCPAK

(3.33)

i

Ti

ki

i

k

T

i

i

kiki

i

ki

i

k QKVKCKAPCKAP

1 (3.34)

con

,

,

(3.35)

De acuerdo a la ecuación (3.30) y a las propiedades de las matrices previas, un

vector de residuos se obtiene.

,~ˆ

î

kik

ik

iki

iki

ikki

ikki r

r

r

YY

YY

(3.36)

donde es el vector de residuos desacoplado de fallas y es el

vector de residuos sensible a fallas. Debido a las propiedades de las matrices

y cada residuo de la ecuación (3.36) se desarrolla de acuerdo

a la ecuación (3.31) en vectores insensibles y sensibles a fallas,

respectivamente. Como se expresa:


55

,1,1,,,

,

i

kj

i

kj

i

kjkki

i

kj

i

X

i

ki

i

k

eee

jr

(3.37)

y

.,1,,,

,1

i

vj

i

kj

i

kjkki

i

kj

i

X

i

kik

i

k

eee

jrf

(3.38)

Las ecuaciones (3.37) y (3.38) indican que un banco de filtros de Kalman

desacoplados proporciona una solución al problema de estimación de la función

de activación y diagnóstico de fallas en un enfoque multi-modelo gracias al cálculo

de estos residuos.

La Tabla 3.1, muestra el comportamiento del sistema no lineal en ausencia de

fallas ), y en presencia de fallas ), cuando el sistema está descrito por

un conjunto finito de modelos lineales.

Esta tabla muestra los vectores de residuos ), y ), para cada filtro

diseñado. Los residuos siguen una ley Gaussiana, de media cero o diferente de

cero.

Tabla 3.1 Comportamiento del residuo insensible a las fallas ( ) y del sensible a estas ( )

1 2 j M 1 2 . . . M

1 0 … …

0 … 0 …

2 0 … …

0 … 0 …

i . . .

.

.

.

.

.

.

. .

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

. .

.

.

.

.

M … 0 …

… 0 … 0

En ausencia de fallas o en presencia de estas ( ó ), los residuos

insensibles a las fallas ( permiten estimar la función de activación que pondera

la contribución de cada modelo. El vector de residuos sensible a las fallas ( )

CAPÍTULO 3

56

permite detectar, localizar y estimar la falla. Cabe mencionar que en ausencia de

fallas ( ), el vector de residuos ( ) es igual a cero para .

3.7 ESTIMACIÓN DE LA FUNCIÓN DE ACTIVACIÓN

La estimación de la función de activación se basa en la determinación del punto de

funcionamiento válido en un momento dado. Esta estimación no se degrada por

los efectos de los fallas.

Para determinar la estimación de la función de activación, se supone que el

sistema no lineal trabaja alrededor del punto de funcionamiento j-ésimo, el residuo

insensible a fallas ( ) tiene las siguientes propiedades de acuerdo a la Tabla 3.1:

(3.39)

Se considera al residuo alrededor del punto de funcionamiento j-ésimo, este

residuo sigue una distribución Gaussiana, por lo tanto, el vector de residuos

se pueden utilizar para calcular la densidad de la probabilidad:

21

1

)(det2

)()()(2

1exp

k

kkk

i

N

T

ii

i

i

(3.40)

donde es la matriz de covarianza del residuo , igual a

, donde los términos con barra se encuentran especificados en la

ecuación (3.35). La nueva probabilidad desacoplada de las fallas se expresa

como:

M

h ih

iii

kxk

kxkk

1

1

(3.41)

El algoritmo de probabilidad permite obtener el j-ésimo modelo lineal que describe

el comportamiento del sistema no lineal en presencia o ausencia de fallas. La

probabilidad de Bayes permite determinar el punto de operación en torno al cual el

sistema no lineal evoluciona [43].


57

Los modos de probabilidad, , desacoplados de fallas, se utilizan para aislar el

punto de operación y por lo tanto, definir una función de activación para cada

modelo aun con los efectos de las fallas. La estimación de la función de activación

se utiliza para describir el comportamiento general del sistema como una

interpolación lineal de modelos múltiples. Ya que se tiene la selección del modelo,

se propone una metodología para llevar a cabo el diagnóstico de fallas.

3.8 DETECCIÓN, LOCALIZACIÓN Y ESTIMACIÓN DE FALLAS

Para detectar y localizar las fallas, se toma una decisión lógica que se define por

dos factores: la función de activación , y el residuo . Para realizar

estas tareas, se sigue una lógica elemental, con la ayuda del método de la

probabilidad , se utiliza un procedimiento de decisión que conduce a la

utilización del residuo del modelo correspondiente, a fin de que la decisión

lógica permita hacer la detección, localización y estimación de las fallas

correspondientes.

En el contexto de la evaluación de las fallas, hay que señalar que este banco de

filtros de Kalman desacoplados permite estimar la magnitud de la falla

correspondiente a la combinación de cada filtro determinado por la función de

activación.

Las fallas que se consideran en este estudio son fallas aditivas (sensor o

actuador). Se hace una estimación de las fallas utilizando el modo de probabilidad

, así, el vector de magnitud estimada de las fallas asociadas con las fallas

se define utilizando la función de ponderación relacionada con el

banco de residuos sensibles a los fallas:

(3.42)

La evaluación de este vector de residuos permite detectar y localizar las fallas,

además estimar la magnitud y la aparición de la misma [43].

En la Figura 3.3 se muestra en forma de diagrama de bloques el método

sintetizado y analizado en este capítulo. En el siguiente capítulo se demuestra

mediante una planta piloto la eficacia del método.

CAPÍTULO 3

58

Figura 3.3 Esquema general multi-modelos con un banco filtros de Kalman desacoplados.

3.9 CONCLUSIONES

Los resultados al evaluar el banco de residuos de la estructura multi-modelos con

filtro de Kalman permiten concluir que cuando existe cambio de modelo y

presencia de fallas, la estructura multi-modelos con filtro de Kalman no es capaz

de estimar correctamente la función de activación.

Debido a lo anterior se presenta una solución en la que se tiene una estructura

multi-modelo con filtro de Kalman desacoplado, este filtro permite tener dos

residuos: un residuo insensible a las fallas y el otro sensible a fallas.

Con el residuo insensible a las fallas, se calcula la función de ponderación de cada

modelo, por medio de la probabilidad Bayesiana, por lo tanto, el pasaje de

modelos no se ve afectado por la presencia de fallas. Con el residuo sensible a

fallas, se detecta, se localiza y se estima la falla.

Se puede concluir que se tiene un enfoque que permite detectar, localizar y

estimar las fallas y a la vez determinar la contribución de cada modelo por medio

de la estimación de la función de activación.

59

Capítulo 4

4. PRUEBAS Y RESULTADOS

En este capítulo se presentan los resultados basados en la estructura multi-

modelos con filtro de Kalman desacoplados aplicado a la planta piloto RCT 100.

En la Sección 4.1 se realiza la linealización del modelo matemático del

intercambiador de calor ITD, también se presentan los puntos de operación

utilizados para este trabajo y se presenta el diagrama de fase del sistema no

lineal. En la Sección 4.2 se presenta la validación en simulación de los filtros de

Kalman, de la estructura multi-modelo con filtros de Kalman y de la estructura

multi-modelo con filtros de Kalman desacoplados en paralelo. La Sección 4.3 se

enfoca en la validación fuera de línea de la estructura multi-modelo con filtros de

Kalman desacoplados. En la Sección 4.4, se describe la interfaz gráfica

desarrollada para la validación en línea del sistema de diagnóstico de fallas en el

intercambiador de calor. Finalmente en la Sección 4.5 se proporcionan las

conclusiones que se desprenden de este capítulo.

4.1 MODELO DEL PROCESO RCT 100

En el Capítulo 2, se obtuvo el modelo no lineal del intercambiador de calor

(ecuaciones (2.7) y (2.8)) que se reescriben a continuación:

CAPÍTULO 4

60

Basándose en este modelo se procede a la linealización, pero antes, se eligen los

puntos de operación en los cuales se trabaja.

4.1.1 PUNTOS DE OPERACIÓN

Se procede a elegir los puntos de operación, primero, al igual que cuando se desarrollo el modelo no lineal del intercambiador de calor, se toman ciertas suposiciones para el modelo lineal y son: S1 el volumen en el tubo y en la sección anular son constantes;

S2 el coeficiente de transferencia de calor (U) tiene una dependencia del flujo y de

la temperatura de cada fluido, y no se considera como constante, así que en

cada punto de operación elegido se tiene un valor de coeficiente de

trasferencia de calor apropiado para cada modelo;

S3 no hay transferencia de calor entre el tubo exterior y el medio ambiente;

S4 las propiedades físicas del agua se evalúan en función de la temperatura

mediante correlaciones empíricas;

S5 no hay almacenamiento de energía en las paredes del tubo;

S6 las entradas al sistema son medibles;

S7 el flujo frío ( ) se varía para cada punto de operación, esto quiere decir que se

toma como una entrada de manera implícita.

Lo anterior es válido en el subconjunto de espacio de estado del sistema y queda

definido por

(4.1)

Donde: .

La naturaleza del proceso de transferencia de calor da una idea físicamente

razonable para la definición de como subconjunto de espacio de estado del

sistema (ecuación (2.7) y (2.8)).


61

Debido al calor absorbido por el fluido frío a lo largo el tubo externo, su

temperatura de salida, , no puede ser menor o igual a . Tampoco puede ser

mayor o igual que porque el fluido frío no puede absorber el total (o más) de la

energía calorífica llevada por el fluido caliente a lo largo del tubo interno [85].

Con base en lo mencionado, se eligen los puntos de operación. Para este caso,

los puntos de operación elegidos no están ligados a un proceso. Lo que se

requiere es probar la eficacia del método multi-modelo en toda la zona de

operación.

Se tomó en cuenta que los intercambiadores se utilizan en aplicaciones como:

procesos industriales, ya sea químicos, generación de energía, petroquímica,

papel y pulpa, petrolera, farmacéutica, por mencionar algunas de las más

importantes; los intercambiadores de calor tubo y coraza se requieren

habitualmente para su uso en diversas etapas de los procesos mencionados, los

puntos de operación se pueden elegir basados en la producción que se requiera o

en la calidad de la materia prima.

Se realiza el retrato fase para visualizar las trayectorias que seguiría el sistema

para cualquier punto de operación. Este retrato fase se hizo con el programa

Pplane7 de Matlab®, para ello se utilizaron las ecuaciones (2.7) y (2.8) que

describen el comportamiento dinámico del intercambiador de calor. Como se

puede observar en la Figura 4.1 no importan las condiciones iniciales del proceso

ya que a cualquier condición, este va a converger a un punto de equilibrio que está

ubicado en 26 °C y =67 °C.

Figura 4.1. Retrato Fase del proceso del intercambiador de calor.

CAPÍTULO 4

62

4.1.2 MÉTODO DE LINEALIZACIÓN

La linealización generalmente consiste en una expansión en series de Taylor de la

ecuación de estado (no-lineal) alrededor de un punto de operación definido

naturalmente por el sistema o seleccionado para satisfacer alguna necesidad de

control o requerimiento de operación.

Al llevar a cabo esta expansión sólo se considera el término lineal y se desprecian

los términos de orden superior de la expansión en Serie de Taylor. Esta

linealización del sistema sólo se válida en la vecindad del punto de operación.

Extendiendo al caso vectorial la expansión en series de Taylor hecha para el caso

escalar se tiene:

opop uxdx

dfA

,

nnA dim

opop uxu

fB

,

pnB dim

(4.2)

opop uxx

gC

,

nmC dim

opop uxu

gD

,

pmD dim

Donde n es el número de variables de estado, p es el número de entradas y m es

el número de salidas.

En este proyecto se trabaja con dos linealizaciones [65], en la primera linealización

se toman como entradas los flujos:

(4.3)

BuxuNAxx i

00

01

1 vcN

vh

N 10

002

22

22

khkh

kckcA

Vh

ThinVc

Tcin

B

0

0

10

01C


63

Como se puede observar de la ecuación (4.3) queda un sistema bilineal, donde se

tienen a los estados multiplicando a la entrada, y lo que se busca es un sistema

LIT. Por lo que se toma una segunda opción donde se toman las temperaturas

como entradas y el flujo se supone constante.

(4.4)

Donde: , , , , el desarrollo completo

de la linealización y los valores de las variables se presentan en el Anexo C.

4.2 VALIDACIÓN EN SIMULACIÓN

4.2.1 FILTRO DE KALMAN ESTÁNDAR (FK)

Para implementar los filtros de Kalman, se trabaja con los modelos lineales que se

presentan en el Anexo C y con la teoría estudiada en [81, 82], (ver Figura 4.2).

Figura 4.2 Diseño de la estructura Multi-modelo basado en filtro de Kalman.

212

221

khkhkh

kckckcA

10

01

kh

kcB

10

01C

CAPÍTULO 4

64

Los puntos de operación en los que se linealiza el modelo del intercambiador de

calor se muestran en la Tabla 4.1, son 3 puntos de operación los que se eligieron,

como se mencionó anteriormente, la elección de estos puntos de operación está

basada en las consideraciones que se establecieron en la Sección 4.1.1. Las

condiciones iníciales de los filtros son iguales que las condiciones iníciales del

modelo. Tabla 4.1 Puntos de operación del proceso

Tcin Thin Tco Tho vc

FK M1 29 °C 81 °C 47.4 °C 72 °C 7.5x10-6 m3/s

FK M2 29 °C 81.2 °C 50.88 °C 73 °C 5.7x10-6 m3/s

FK M3 30 °C 81.4 °C 61.5 °C 76 °C 2.6x10-6 m3/s

En la Figuras 4.3a y 4.3b, se comparan las temperaturas de salida del segundo

filtro de Kalman, las gráficas de los otros filtros se pueden observar en el Anexo D.

En cada gráfica se observa que las temperaturas de salidas estimadas por el filtro

convergen a las temperaturas del modelo del intercambiador de calor ITD en el

entorno del punto de operación elegido.

(a)

(b)

Figura 4.3 Filtro de Kalman estimando las temperaturas de salida, Tco y Tho.


65

Para darle validez, cuantitativamente, se calcula el error cuadrático medio (ECM):

Tabla 4.2 Índices de desempeño FK

FKE

ECM Tco 0.0511

Tho 0.0738

Como se puede observar cualitativamente y cuantitativamente la estimación del

filtro de Kalman es satisfactoria toda vez que convergen desde el inicio y va

siguiendo el comportamiento del sistema lineal calculado.

4.2.2 MULTI-MODELO BASADO EN EL FILTRO DE KALMAN ESTÁNDAR

Para desarrollar la estructura multi-modelo lineales (MML) se cuenta con los filtros

de Kalman (FK) mencionados en el capítulo anterior. La implementación de la

estrategia de ponderación de cada de uno de los modelos que dará la estimación

de la función de activación se define, para así poder hacer la reconstrucción de un

modelo global [23]. Todo esto basado en la probabilidad de Bayes.

Figura 4.4 Estructura del sistema de diagnóstico de fallas con Multi-modelo basado en filtro de

Kalman.

El banco de residuos de Kalman permitirá la generación de vectores de residuos

(donde M=3) correspondiente a cada uno de los modelos. A partir de

estos residuos se cálcula la probabilidad asociada a cada modelo. El pasaje entre

CAPÍTULO 4

66

un modelo a otro depende de los intervalos de evolución de la entrada que es

similar a lo que representa el modo de probabilidad , como se puede

observar en la Figura 4.5 y 4.6.

Figura 4.5 Entrada U, flujo de agua fría.

Figura 4.6 Probabilidad asociada a cada modelo con FK.

En la Figura 4.6, la probabilidad del modelo 1 ( ) se representa por el color

azul, la del modelo 2 ( ) por el color verde y la del modelo 3 ( ) por el

color rojo. Del modelo 2 al modelo 3, hay una zona de transición que se puede

observar en la Figura 4.7. Como se ilustra en la Figura 4.7 la transición es de

aproximadamente 5 segundos, mientras la contribución del modelo 1 va

disminuyendo la contribución del modelo 2, va aumentando, esto se debe al

cambio en el flujo de entrada que representa un cambio en el punto de operación.

φr1(k) φr2(k) φr3(k)


67

Figura 4.7 Transición entre los modelos con FK.

El desempeño del método MML basado en el filtro de Kalman tiene limitaciones en

presencia de fallas. La Figura 4.8b, muestra el comportamiento del modo de

probabilidad cuando una falla se produce en el instante kd=1625 con una

amplitud de 3 °C en el sensor Tho.

a) Entrada y falla de amplitud 3 °C en el instante kd=1625.

b) Probabilidad .

Figura 4.8 Probabilidad asociada a los modelos lineales en presencia de fallas, .

φr1(k) Φr2(k)

φr3(k)

Cambio inesperado de

modelo, cuando se

presenta la falla

φr1(k) φr2(k)

3 °C

CAPÍTULO 4

68

El resultado que se ilustra en la Figura 4.8b, describe un cambio de modelo en el

instante kd=1625 que es en el instante que ocurre la falla, cambia del modelo 2 al

3, que indica un cambio de modelo no deseado ocasionado por la falla. En este

caso en específico cambia al modelo 3, ya que como la falla es de 3 °C el modelo

3 sería el modelo más aproximado.

Debido a lo anterior en la Figura 4.8b, se puede apreciar el comportamiento

inadecuado de la función de activación del modelo.

Se puede concluir que en presencia de fallas, la función de activación del modelo

no es capaz de elegir o determinar la contribución del modelo adecuado, por lo

tanto, se necesita un vector de residuos insensible a las fallas que determine la

contribución de los modelos de manera correcta, sin que se vea afectado por la

propagación de la falla. También se requiere un residuo que sea sensible a las

fallas para efectuar la detección, localización y estimación de las mismas.

4.2.3 MULTI-MODELO BASADO EN EL FILTRO DE KALMAN DESACOPLADO

Estimación de la función de activación: solución desarrollada

En el mismo contexto como fue descrito en la Sección 4.2.2, un banco de tres

filtros de Kalman desacoplados se utiliza para obtener la solución propuesta [86].

Con el fin de diseñar un filtro de Kalman desacoplado (FKD) que detecte fallas de

sensor, se utiliza la técnica de estados aumentados (ver ecuación 3.14), donde las

fallas de sensor se consideran como fallas de componente [70]. Con esto las fallas

de sensor se pueden detectar, localizar y estimar.

Cada FKD está diseñado con los criterios estudiados en [84], la condición del

rango se debe satisfacer, ya que uno de los criterios para el

desarrollo del filtro de Kalman desacoplado es que el número de fallas sea

estrictamente menor al número de salidas. Este nuevo filtro de Kalman

desacoplado obtiene 2 residuos , con ellos se vuelve a calcular la

probabilidad de Bayes utilizando el residuo insensible a las fallas [23].

Se utilizan las mismas condiciones de operación, es decir, los mismos puntos de

operación de la Tabla 4.1 y la misma señal de entrada de la Figura 4.5.

Primeramente en la Figura 4.9 y Figura 4.10 se pueden observar la estimación de

las variables de estado Tco y Tho respectivamente, se ilustra que solo al inicio la

temperatura estimada no sigue correctamente a la temperatura real, pero ahí se


69

puede apreciar una excelente estimación, se calcula el error cuadrático medio y la

norma euclidiana, se muestra en la Tabla 4.3:

Tabla 4.3 Índices de desempeño MML basado en FK

MML+FKD

ECM Tco 0.0016

Tho 0.0026

Norma Euclidiana 0.0122

Los índices de desempeño muestran un error menor al 1%, quiere decir que el

error de estimación entre la temperatura real y la estimada es menor a 0.5 °C.

La probabilidad asociada a cada modelo se muestra en la Figura 4.11, como se

puede apreciar al igual que en la Figura 4.6, la transición de un modelo a otro se

hace de manera correcta, esta transición se hace en ausencia de fallas y ahora el

residuo que se utiliza para la probabilidad Bayesiana es .

Figura 4.9 Comparación entre Tco y estimada.

Figura 4.10 Comparación de Tho con estimada.

CAPÍTULO 4

70

Figura 4.11 Probabilidad asociada a cada modelo con FKD.

Ahora se comprueba el desempeño del enfoque MML basado en FKD en

presencia de fallas. Una falla se produce en el instante kd=1625 con una amplitud

de 3 °C en el sensor Tho al igual que con el enfoque MML basado en FK.

En la Figura 4.8a, se muestra la señal de entrada y el momento en que se genera

la falla, donde se puede apreciar la amplitud y el instante de la falla que es de 3°C

en el tiempo kd=1625.

En la Figura 4.12a, se ilustra el residuo sensible a las fallas , que se

calcula con la ecuación (3.42) que se muestra a continuación:

donde se puede constatar que en el tiempo kd=1625 se produce una falla de

magnitud 3 °C (ver Figura 4.12b).Eso quiere decir que el enfoque utilizado detecta,

localiza y estima la falla.

En la Figura 4.13, se presenta el comportamiento dinámico del residuo insensible a

fallas . En la Figura 4.13a se puede apreciar el comportamiento individual

de cada uno de los residuos . Como se puede observar en la Figura 4.13b, la

función de activación de los modelos, es válida aun en presencia de fallas. Esto

quiere decir que el pasaje de modelos se ve influenciado únicamente por el

cambio de modelo y no por la ocurrencia de fallas.

φγ1(k) Φγ2(k)

φγ3(k)


71

a) Residuo sensible a las falla.

b) Acercamiento del residuo sensible a falla.

Figura 4.12 Residuo sensible a las falla .

En la Figura 4.14 se observa la comparación de Tho con Tho estimada en presencia

de falla. Con lo presentado, se pone en evidencia que en presencia de fallas, el

enfoque multi-modelos basado en el filtro de Kalman desacoplado, logra detectar,

localizar y estimar la falla, además de que la función de activación no se ve

afectada por la presencia de las fallas, por lo tanto, da la contribución adecuada a

cada modelo. Ahora se propone validar el método experimentalmente.

°C

°C

CAPÍTULO 4

72

a) Evolución de .

b) Probabilidad asociada al modelo en presencia de fallas.

Figura 4.13 Comportamiento dinámico del residuo insensible a fallas.

Figura 4.14 Comparación de Tho con estimada en presencia de falla.

°C


73

4.3 VALIDACIÓN FUERA DE LÍNEA


La validación se hace fuera de línea con datos tomados del intercambiador de

calor, las fallas fueron de sensor y se utiliza el comando step de Matlab®, para

simular fallas abruptas, ahí se le dio la amplitud y el momento de aparición de la

falla. Se toma la misma falla con una amplitud de 3 °C en el sensor Tho en el

tiempo kd=1625.

Primero se observó el comportamiento en ausencia de fallas del sistema de

diagnóstico de fallas y estimación de la función de activación, en la Figura 4.15 se

observa la transición entre los modelos. Como se puede apreciar en la Figura

4.15, al inicio hay conflicto en la ponderación del modelo pero esto se debe a que

los modelos 1 y 2 están muy cercanos entre sí de manera que las contribuciones

se aproximan. En la Figura 4.16, se hace un acercamiento para ver la transición

entre los modelos 2 y 3, ya que en la Figura 4.15, pareciera que el cambio fuera

abrupto y como se puede observar no es así.

En la Figura 4.17 se presentan las salidas del intercambiador de calor, Tco y Tho

con sus estimadas respectivamente, como se puede observar se tiene una

estimación muy precisa que se corrobora con el cálculo del error cuadrático medio

y la norma euclidiana de la Tabla 4.4. En los índices desempeño se tiene un error

menor al 1%, que en grados es menor a 0.5°C.

Tabla 4.4 Índices de desempeño MML basado en FKD

MML+FKD

ECM Tco 0.0016 Tho 0.0027

Norma Euclidiana 0.0126

Figura 4.15 Probabilidad asociada al modelo lineal con FKD, validación fuera de línea.

φγ1(k) φγ2(k) φγ3(k)

CAPÍTULO 4

74

Figura 4.16 Transición entre los modelos 2 y 3 con FKD.

a)

b)

Figura 4.17 Comparación de las salidas a) Tho y estimada b) Tco y estimada con FKD.

φγ2(k) φγ3(k)


75

4.3.1.1 FALLAS PARCIALES

A continuación se presenta el comportamiento en presencia de fallas de la

estructura multi-modelo basado con FKD bajo las condiciones de operación del

sistema mencionadas en la Sección 4.2.1 y que se ilustra en la Figura 4.4.

En la Figura 4.18 se observa la transición de los modelos y en la Figura 4.19 se

muestra la salida del intercambiador de calor con estimada, y en la Figura

4.20 se muestra el residuo sensible a las fallas ( ).

Se puede verificar en la Figura 4.18, que la transición de los modelos no se ve

afectada por la presencia de la falla. En la Figura 4.19 se puede ver claramente la

afectación de la falla de 3 °C en Tho y en la Figura 4.20 el residuo muestra la

magnitud y el tiempo de ocurrencia de la falla.

Figura 4.18 Probabilidad asociada al modelo con falla en Tho.

Figura 4.19 Comparación de la salida Tho y estimada.

φ1(k) φ2(k) φ3(k)

CAPÍTULO 4

76

Figura 4.20 Residuo sensible a las fallas, validación fuera de línea.

El sistema también se probó con fallas intermitentes, fallas progresivas y pérdida

total de alguno de los sensores, la Figura 4.21a muestra el residuo sensible a

fallas ( ), corrompido por una falla intermitente en el sensor Tho, y en la Figura

4.21b muestra al residuo sensible a fallas corrompido por una falla progresiva en

el sensor Tho.

a)

b)

Figura 4.21 Residuo sensible a fallas a) falla intermitente, b) falla progresiva.


77

Como se pudo observar, la validación fuera de línea basada en el enfoque multi-

modelos utilizando el filtro de Kalman desacoplado para el diagnóstico de fallas

presenta resultados satisfactorios que corroboran los de simulación.

4.4 VALIDACIÓN EN LÍNEA

4.4.1 INTERFAZ GRÁFICA

El sistema FDI se programó en una interfaz gráfica diseñada en el software

LabView®, esta interfaz gráfica cuenta con el monitoreo de los estados del

sistema, el monitoreo de la probabilidad de cada modelo lineal y el monitoreo del

residuo sensible a la falla. Así como un sistema de alarmas para cuando se

detecta la falla en los sensores de salida.

Figura 4.22 Interfaz gráfica del diagnóstico de fallas por multi-modelos del intercambiador de calor.

En la Figura 4.22 se muestra la interfaz gráfica desarrollada para el diagnóstico de

fallas basada en filtros de Kalman desacoplados. Esta interfaz se desarrolla para

monitorear en línea las temperaturas de entrada (Tcin, Thin) y salida del

intercambiador de calor (Tco, Tho). Las temperaturas mencionadas, tienen como

objetivo principal ilustrar la detección, localización y estimación de la falla ( ),

y la estimación de la función de activación ( ).

CAPÍTULO 4

78

Figura 4.23 Comparación entre Tco y Tho medias con y estimadas, en línea.

Figura 4.24 Residuo sensible a las fallas y probabilidad de cada modelo.

En la Figura 4.23 se muestran las pantallas donde se visualiza la comparación de

las salidas reales del intercambiador ), con las salidas estimadas ( ).

Además, de que muestra numéricamente el valor de estas variables. En la Figura

4.24 se presentan las gráficas donde se visualiza el residuo sensible a las fallas

( ), y la probabilidad de los modelos ( ), también se muestra numéricamente

la estimación de la falla y la probabilidad de cada uno de los modelos.

El sistema de detección de fallas se diseñó para que a partir de un estado estable

del sistema sea capaz de detectar y diagnosticar una falla en cualquier sensor de

temperatura (Tco, Tho) a la salida del intercambiador de calor. Las condiciones en

las que se llevó a cabo la prueba experimental son las siguientes, Tcin= 30 °C,

Thin=81 °C, vc=400 cm3/min, vh=1.67X10-5 m3/s, los parámetros del intercambiador

de calor son previamente calculados para cada modelo lineal, ver Anexo E.


79


Se utilizan los puntos de operación de la Tabla 4.5 y la señal de entrada de la

Figura 4.25. Como se puede observar, se hicieron cambios en los puntos de

operación del sistema. Se produce una falla en el instante kd=200 con una pérdida

total en el sensor Tho, el sensor se recupera en el tiempo kd 450.

Tabla 4.5 Puntos de operación, validación en línea.

Tcin Thin Tco Tho vc

FK D M1 30 81 49.2 72.5 400

FK D M2 30 81 46.6 71.5 525

FKD M3 30 81 45.4 71 615

Figura 4.25 Flujo de entrada .

Figura 4.26 Probabilidad asociada a cada modelo lineal, en presencia de falla, en línea.

φγ1(k) φγ2(k) φγ3(k)

CAPÍTULO 4

80

Figura 4.27 Residuo sensible a la falla .

En la Figura 4.26, se presenta la probabilidad de cada modelo. Como se puede

observar la función de activación de los modelos es válida aún en presencia de

fallas. Esto quiere decir que el pasaje de modelos está bajo la influencia

únicamente del cambio de modelo y no por la ocurrencia de la falla.

En la Figura 4.27, se puede observar el residuo sensible a las fallas ( ), donde

se puede constatar que en el tiempo kd=200 se produce una falla de pérdida total

del sensor. Eso quiere decir que el enfoque empleado detecta, localiza y estima la

falla.

Figura 4.28 Falla en sensor de agua de calentamiento Tho.

La Figura 4.28 muestra el sistema FDI, cuando el estado medido (Tho) presenta

una falla en el sensor (pérdida total del sensor), la falla se detecta como se ilustra

en la Figura 4.27 y la alarma se activa inmediatamente (ver Figura 4.22)

proporcionando la información del sensor que presenta la falla.

Inicia la falla

Recuperación

del sensor

Falla en sensor

Tho


81

En la Figura 4.28 se proporciona toda la información de la prueba, indicando el

momento en el que se presenta la pérdida total del sensor (Tho) y su

restablecimiento. Como se puede observar, existe pérdida total del sensor (Tho),

asimismo la estimación ( ) es buena, toda vez que en cuanto se recupera el

sensor (Tho) la señal estimada conserva el valor de temperatura que la señal real.

Por lo que se puede apreciar también que ambas señales poseen casi los mismos

valores, independientemente que la señal real hubiera o no desaparecido. Por lo

que la señal estimada realiza la misma función que la real y que según las

necesidades la puede llegar a sustituir.

El sistema FDI se diseña para detectar la falla de cualquiera de los dos sensores

de salida del intercambiador de calor (Tco o Tho). En la Figura 4.29 se muestra el

residuo sensible a la falla ( ). En la Figura 4.30 se ilustra la pérdida total del

sensor de agua fría (Tco) en el tiempo kd=500, este sensor se restablece en el

tiempo kd=700.

Figura 4.29 Residuo sensible a fallas, validación en línea.

Figura 4.30 Falla en sensor de agua de enfriamiento Tco.

Inicia la falla

Recuperación

del sensor

Falla en sensor

Tho

CAPÍTULO 4

82

Se pone en evidencia que en presencia de fallas, el enfoque multi-modelos

basado en filtros de Kalman desacoplado, logra detectar, localizar y estimar la

falla, además de que la función de activación no se ve afectada por la presencia

de las fallas y además determinó contribución del mejor modelo.

4.5 CONCLUSIONES

Se concluye que los estados estimados que se obtuvieron a través de la estructura

multi-modelos con filtros de Kalman estándar y filtros de Kalman desacoplado,

obtienen una excelente representación del sistema no lineal en ausencia de fallas,

gracias a que se considera el coeficiente de transferencia de calor variable para

cada punto de operación, eso permite tener excelentes aproximaciones de los

estados.

Se concluye que gracias a la obtención de un buen modelo no lineal del

intercambiador de calor pasar de la validación por simulación a la validación fuera

de línea y en línea no fue complicado y se obtuvieron buenos resultados.

Los resultados que se obtuvieron en simulación de la estructura multi-modelo con

filtro de Kalman estándar permiten concluir, que efectivamente cuando el residuo

se ve afectado por dos informaciones que son: el cambio de modelo y la presencia

de fallas, la estructura multi-modelos con filtro de Kalman no se puede determinar

correctamente las fallas y tampoco estimar la función de activación.

Se puede concluir, que los resultados que se obtuvieron para la validación en línea

y fuera de línea de la estructura multi-modelo con filtro de Kalman desacoplado

fueron bastante satisfactorios por lo que se tiene que el enfoque permite detectar,

localizar y estimar las fallas y a la vez determinar la contribución de cada modelo

por medio de la estimación de la función de activación.

Se implementó una interfaz gráfica con la cual se puede detectar, localizar y

estimar fallas en línea de la planta piloto RCT 100, de una manera dinámica y

eficiente, además de ser interactiva.

83

Capítulo 5

5. CONCLUSIONES

Se concluye que el modelo de diferencia de temperaturas a la entrada (ITD)

representa mejor al intercambiador de calor en comparación con el modelo de

diferencia de temperatura media logarítmica (LMTD), ya que el error cuadrático

medio del modelo ITD es menor. Otra razón del porque el modelo ITD representa

mejor al intercambiador de calor es que el modelo ITD para cambios bruscos de

flujo responde mejor que el LMTD, y que para procesos dinámicos se necesita

temperaturas puntuales y no promedios. Una ventaja del modelo ITD es que es

más simple que el otro. Se concluye que aún con una representación simple

(modelado con una celda) y utilizando ITD se tiene una excelente aproximación al

modelo real.

Se concluye que utilizando el valor del coeficiente de transferencia de calor

específico para cada punto de operación se obtienen modelos lineales con

excelentes desempeños, ya que el error cuadrático medio es de 0.0016 para Tco y

de 0.0026 para Tho, donde esto representa una diferencia menor de 0.5°C de las

temperaturas reales con las estimadas. Así se demuestra que lo presentado en

[10] acerca del coeficiente de transferencia de calor variable con respecto al calor

y al flujo, también es válido para modelos lineales. Con base en lo anterior se

concluye que utilizando el valor específico del coeficiente de transferencia de calor

para cada punto de operación el valor de la ganancia de los filtros de Kalman

estándar (K) y la ganancia de los filtros de Kalman desacoplados no es mayor a 1.

CAPÍTULO 5

84

Gracias a la obtención de un buen modelo no lineal del intercambiador de calor

que permite un buen modelo lineal hace que se pase de la validación por

simulación a la validación fuera de línea y en línea sin complicaciones y además

con excelentes resultados.

Los resultados al evaluar el banco de residuos a partir de la estructura multi-

modelos con filtro de Kalman estándar permiten concluir que cuando existe

cambio de modelo y presencia de fallas, la estructura multi-modelos con filtro de

Kalman no es capaz de estimar correctamente la función de activación.

Se presenta una estructura multi-modelo basado en filtros de Kalman

desacoplado, este filtro nos permite tener dos residuos: un residuo insensible a las

fallas y el otro sensible a éstas.

Se calculó una nueva función de ponderación para cada modelo, por medio de la

probabilidad Bayesiana basada en el residuo insensible a fallas, por lo tanto, el

pasaje de modelos no se afecta por la presencia de fallas. Con el residuo sensible

a fallas y el apoyo de la función de ponderación, se detecta, se localiza y se

estima la falla o las fallas.

Se puede concluir, que se tiene un esquema de diagnóstico que permite detectar,

localizar y estimar las fallas y a la vez determinar la contribución de cada modelo

por medio de la estimación de la función de activación.

La aplicación a un intercambiador de calor permite corroborar el mal

funcionamiento de la estructura multi-modelo con filtro de Kalman estándar. De

igual manera se puede corroborar que la solución propuesta si satisface la teoría

estudiada para diagnosticar fallas de manera eficaz.

Se concluye que el prototipo utilizado es un buen caso de estudio para demostrar

el desempeño de la teoría multi-modelos ya que se tienen diferentes puntos de

operación en los cuales trabaja (proceso industriales, petroquímica, petrolera, etc.)

pero para emplear el sistema de diagnóstico de fallas desarrollado se está limitado

a considerar sólo una falla (ya que la planta piloto sólo cuenta con dos salidas) por

lo tanto sería recomendable utilizar otro prototipo con más de dos salidas.

Se diseñó una interfaz gráfica realizada en LabView® con la cual se puede ilustrar

de forma simple y eficaz como detectar, localizar y estimar fallas en línea de la

planta piloto RCT 100.


85

En este trabajo de tesis se obtuvo el aprendizaje de la teoría y la técnica multi-

modelo enfocada al diagnóstico de fallas, además se corroboró el método

propuesto con una planta piloto.

5.1 ACTIVIDADES FUTURAS

Implementar un control tolerante a fallas.

Considerar fallas de actuador.

Comprobar la teoría con otra planta piloto, para afirmar la generalización del

método.

5.2 ACTIVIDADES REALIZADAS ALREDEDOR DE LA TESIS

State variables estimation for a counter-flow double-pipe heat exchanger using Multi-linear Model. Presentado por: Betty López Zapata, R.F. Escobar, Manuel Adam Medina, Carlos M. Astorga Zaragoza, en el Congreso de Electrónica, Robótica y Mecánica automotriz, en la ciudad de Cuernavaca, Morelos, del 22 al 25 de septiembre de 2009.

Diagnóstico de Fallas utilizando el enfoque Multi-Modelos aplicado a un intercambiador de calor. Presentado por: Betty López Zapata, Manuel Adam Medina, R.F. Escobar, Carlos M. Astorga Zaragoza, en el Congreso de la Asociación Mexicana de Control Automático, en la ciudad de Zacatecas, Zacatecas, del 30 de septiembre al 2 de octubre de 2009.

Obtención del primer lugar en el XXIV Concurso Nacional de Creatividad

fase local, con el proyecto FDI y Control Tolerante a fallas basados en

observadores de estado, celebrado en la ciudad de Cuernavaca, Morelos.

Obtención del quinto lugar en el XXIV Concurso Nacional de Creatividad

fase regional y nacional, con el proyecto FDI y Control Tolerante a fallas

basados en observadores de estado, celebrado en la ciudad de Tepic,

Nayarit del 28 al 30 de septiembre de 2009.

CAPÍTULO 5

86

87

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BIBLIOGRAFÍA

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86. Betty López Zapata, M.A.M., Ricardo Escobar y Carlos Astorga, "Diagnóstico de fallas en intercambiadores de calor: Enfoque multi-modelos". Asociación mexicana de control automático, 2009.

93

ANEXOS

A. PARÁMETROS DEL INTERCAMBIADOR DE CALOR Los valores de los parámetros del intercambiador de calor RCT100 se

proporcionan en la Tabla A1.1.

Tabla A1.1.- Parámetros del intercambiador de calor RCT100, modelo no lineal

Constantes Valores Unidades

Vc 134.99x10-6 m3

Vh 15.512x10-6 m3 Cpc 4174 J/Kg°C Cph 4191 J/Kg°C ρhc 988.8 Kg/ m3 ρhh 973.7 Kg/ m3 AI 0.014 m2 U 1160 W/ m2-°C

Donde: AI Área.

Cp Calor específico.

ρh Densidad del fluido.

U Coeficiente de transferencia de calor inicial.

V Volumen.

ANEXOS

94


95

B. PROBABILIDAD DE BAYES

Sea x una variable aleatoria discreta que representa el resultado de un

experimento, de una prueba. Una variable es aleatoria, si se repite k veces el

experimento, bajo las mismas condiciones, y se obtienen k resultados diferentes,

más o menos dispersos al azar. El número de veces que un resultado particular

(evento) se produce, dividido por el número total de las pruebas realizadas, se

llama frecuencia relativa de ocurrencias. Cuando el número de pruebas tiende a

infinito, se habla de la probabilidad de ocurrencias del evento. Donde aPx , es la

probabilidad de ocurrencias del evento ax :

N

anaP x

Nx

lim (B1.1)

Donde xn es el número de veces que el evento ax se produce y N es el

número total de pruebas.

Para simplificar, se considera que los eventos ia son disjuntos, a fin de que dos

eventos puedan ocurrir simultáneamente. Si hay eventos disjuntos posibles

Maaa ,,, 21 , entonces:

M

i

ix anN1

Se tiene

M

i

M

i

ixix

N

M

i

ix

NaP

N

an

N

an

N

N

1 1

1 limlim1

(B1.2)

Esto significa que la suma de las probabilidades de un conjunto disjunto de

eventos posibles es igual a la unidad.

Dos pruebas se llevan a cabo simultáneamente y es interesante considerar la

probabilidad de ocurrencias ax durante la primera prueba de ocurrencias, y

by en la segunda

ANEXOS

96

N

anaP x

Nx

lim y

N

bnbP

y

Ny

lim (B1.3)

Las dos probabilidades no describen por completo los resultados de la prueba, ya

que se puede estar interesado en la probabilidad del evento en conjunto ax y

by . Suponiendo que este evento se produce ban yx ,, a la vez, la probabilidad

ax y by es la siguiente:

N

banbaP

yx

Nyx

,lim,

,

,

(B1.4)

Si sólo nos interesa la variable x , el número de veces que el evento ax se

produce es el siguiente:

M

i

yxx banan1

, , (B1.5)

Si existen yM eventos disjuntos

yMbbb ,,, 21 . En combinación de (B1.1) y (B1.4),

se tiene que:

yM

i

iyxx baPaP1

, , (B1.6)

Del mismo modo, se obtiene:

xM

i

iyxy baPbP1

, , (B1.7)

Si existen xM eventos disjuntos xMaaa ,,, 21 . Las funciones aPx y bPy se

llaman probabilidades marginales.

Uno puede conocer la probabilidad de ocurrencias del evento by condicionada

por el hecho de que el evento ax , ocurrió, durante N pruebas, el evento ax

ocurrió anx veces, y también en conjunto ax y by se produjo ban yx ,,

veces.

Para determinar la probabilidad condicional de by sabiendo que ax , no es

necesario considerar las repeticiones del evento ax , pues se sabe que ax . El


97

obtener la probabilidad condicional tomando el límite, cuando N tiende a infinito

de la relación entre el número de veces que el evento ax ocurrió es:

aP

baP

N

anN

ban

an

banabP

x

yx

x

yx

Nx

yx

Nxy

,

,

lim,

lim,

,

,

(B1.8)

Donde abPxy

es la probabilidad condicional de by sabiendo que ax , del

mismo modo, se obtiene baPyx

.

bP

baPbaP

y

yx

yx

,, (B1.9)

La probabilidad condicional conjunta baP yx ,,, es el producto de sus

probabilidades marginales.

bPaPbaP yxyx ,, (B1.10)

Por cada evento posible a y b son independientes. La probabilidad condicional de

,by a sabiendas que ax , es independiente de a :

bPabP yxy y de forma similar aPbaP xyx

Finalmente, si se combinan las ecuaciones (B1.8) y (B1.9) para eliminar la

probabilidad conjunta baP yx ,,, el resultado es:

bP

aPabPbaP

y

xxy

yx (B1.11)

Esta ecuación se llama la regla de Bayes. La regla de Bayes se puede representar

de forma generalizada, como

xM

i

ixixy

xxy

yx

aPabP

aPabPbaP

1

(B1.12)

ANEXOS

98


99

C. LINEALIZACIÓN

A partir de que se tiene el sistema no lineal del intercambiador de calor, se trabajó

en este proyecto con dos linealizaciones basadas en Hangos [65], la primera toma

a los flujos como entradas, pero queda un sistema bilineal, y se necesita un

sistema lineal e invariante en el tiempo.

Por lo que se toma una segunda opción en donde se toman las temperaturas

como entradas y el flujo se supone constante.

La linealización queda de esta manera:

Donde: , , , ,

Como se trabaja en determinados puntos de operación, no hay inconveniente en

tomar el flujo como entrada, mientras que en cada uno de los modelos lineales se

tome constante. En la Tabla C1.1 se muestran los valores con los cuales se

calculan las matrices A y B del modelo lineal.

Tabla C1.1 Parámetros del intercambiador de calor RCT100, modelo lineal

Constantes Valores Valores Valores Unidades

Vc 134.99x10-6 134.99x10-6 134.99x10-6 m3

Vh 15.512x10-6 15.512x10-6 15.512x10-6 m3 Cpc 4181 4181 4181 J/Kg°C Cph 4191 4191 4191 J/Kg°C ρhc 988.8 990 990.5 Kg/ m3 ρhh 976.8 977.4 977.6 Kg/ m3 AI 0.01538752 0.01538752 0.01538752 m2 UC 1650 1700 1776.9 W/ m2-°C Uh 1500 1750 2059 W/ m2-°C

212

221

khkhkh

kckckcA

Vh

vhVc

vc

B

0

0

BuAxx

10

01C

ANEXOS

100

Las matrices de los tres puntos de operación elegidos quedaron de la siguiente

manera ya transformadas en tiempo discreto mediante el retenedor de orden cero

con un tiempo de muestreo de 0.25:


101

D.FILTRO DE KALMAN

Lo interesante del filtro de Kalman es precisamente su habilidad para predecir el

estado de un sistema en el pasado, presente y futuro, aún cuando la naturaleza

precisa del sistema modelado se conoce. En la práctica, las variables de estado

individuales de un sistema dinámico no se pueden determinar exactamente por

una medición directa. Dado lo anterior, su medición se realiza por medio de

procesos estocásticos que involucran algún grado de incertidumbre en la

medición.

Se considera la ecuación de estado y de salida de un sistema de la forma:

Donde las matrices A, B y C son constantes de dimensiones conocidas y además

los ruidos blancos de medida y del sistema y son estacionarios, es decir con matrices de covarianza constantes. Los ruidos blancos deben ser de media cero e independientes y por lo tanto cumplen:

jkwwE

RwwE

jkvvE

QvvE

wvEvwE

wEvE

T

jk

T

kk

T

jk

T

kk

TT

0

0

0

0

Las matrices de covarianza deben ser, diagonales y por lo tanto simétricas de los ruidos del sistema. Las matrices de convarianza Q (positiva semidefinida) y de medida R (positiva definida) son conocidas. El ruido del sistema se considera que se genera en su interior o bien que se introduce a la entrada del sistema, y el ruido de medida es el error que se comete al medir la salida, es decir, es el error de medición de los sensores. La figura (D1.1) aclara estos dos conceptos:

(D1.1)

(D1.2)

ANEXOS

102

Figura. D1.1 Representación de un sistema con ruido de entrada y de medición.

El problema consiste en estimar el valor óptimo del vector de estado x(k), basándose en las medidas ruidosas y(0), y(1), y(2),..., y(k) que serán conocidas, además de tener en cuenta que el vector de estado estará contaminado con el ruido del sistema. Esta problemática se aborda de tres formas diferentes, figura (D1.2):

Predicción: Se obtiene la estimación x (k +1) conociendo las medidas: y(0), y(1), y(2),..., y(k).

Filtrado: Se obtiene la estimación x (k) conociendo las medidas: y(0), y(1),..., y(k).

Alisado: Se obtiene la estimación x (k -1) conociendo las medidas: y(0), y(1),..., y(k).

Figura. D1.2 Formas de estimación FK.

El criterio para obtener el óptimo de la ganancia K es el de minimizar el índice de

comportamiento:

Es decir la matriz de covarianza del error e(k) es mínima, estando el error definido como:

El objetivo es encontrar la mejor estimación de todas las variables x , que define el

estado del sistema, teniendo en cuenta las medidas que se llevan a cabo

periódicamente en la presencia de ruido.

(D1.3)

(D1.4)


103

Para estimar el estado x , de acuerdo a las medidas a su disposición, es necesario

procesar la señal, para que pueda obtener una estimación de x .

Para estimar el estado del sistema, se propone un algoritmo de Kalman. El filtro de Kalman estima los estados de un proceso y utiliza la retroalimentación. Se puede decir que el filtro estima los estados en el tiempo y ello obtiene el retorno estado, bajo la forma de medidas ruidosas, las ecuaciones se clasifican de la forma siguiente:

- actualización de los estados - actualización de las medidas

La primera es responsable de la proyección con anticipación (en tiempo) del

estado actual y del error de estimación, para obtener una estimación a priori para

el paso de tiempo siguiente. El segundo incorpora nuevas medidas en la

estimación a posteriori para obtener una estimación mejorada gracias a un retorno

de estado.

Las ecuaciones se conocen como: las ecuaciones de predicción y ecuaciones del

estimador:

,1|ˆ1ˆ kkxCky e

,1|ˆ kkxCkYkr e

,|1

1

RCkkPCk T

p

,| kCkkPkK T

p 1

,1|ˆˆ krkKkkxkx pe

,1|1| kkPCkKkkPkP p

T

pe

,ˆ1|ˆ kBUkxAkkx ep

,1| QAkPAkkP T

ep

donde Knxm es la ganancia del filtro de Kalman, ex n es el estado estimado,

px n es el estado predicho, eP nxn es la matriz de covarianza del estado

(D1.5)

(D1.6)

(D1.7)

(D1.8)

(D1.9)

(D1.10)

(D1.11)

(D1.12)

ANEXOS

104

estimado, pP nxn es la matriz de covarianza del estado predicho, r es el error de

medición o la innovación, m es la matriz de varianza del error de salida, A

nxn es la matriz de la evolución, Bnxp es la matriz de entrada, C mxn es la

matriz de la salida, R es la matriz de covarianza en razón al ruido de salida, Q es

la matriz de covarianza debido al ruido de estado. Todas las matrices tienen

dimensiones adecuadas.

Se anexan las estimaciones de los modelos restantes. Para el modelo 1, las temperaturas de salida se muestran en la Figura D1.3.

figura D1.3 Comparación de Tco y Tho con sus estimadas, FK1.

Para el modelo 3, las temperaturas de salida se muestran en la figura D1.4.

figura D1.4 Comparación de Tco y Tho con sus estimadas, FK3.

Tanto en las Figuras D1.3 y D1.4 se puede observar que la temperatura estimada de Tco al inicio sigue el comportamiento de Tco pero no logra alcanzar el valor deseado, como transcurre el tiempo esta logra alcanzar el valor de Tco real.


105

E. Parámetros del intercambiador de calor, validación en

línea

Los valores con los cuales se calcularon cada uno de los modelos lineales son los

siguientes:

Tabla E1.1 Parámetros del intercambiador de calor RCT100, validación en línea.

Constantes Valores Valores Valores Unidades

Vc 134.99x10-6 134.99x10-6 134.99x10-6 m3

Vh 15.512x10-6 15.512x10-6 15.512x10-6 m3 Cpc 4181 4181 4181 J/Kg°C Cph 4191 4191 4191 J/Kg°C ρhc 988.8 990 990.5 Kg/ m3 ρhh 976.8 977.4 977.6 Kg/ m3 AI 0.01538752 0.01538752 0.01538752 m2 UC 1500 1600 1655 W/ m2-°C Uh 1950 1980 2010 W/ m2-°C

Las matrices de los tres puntos de operación elegidos quedaron de la siguiente

manera ya transformadas en tiempo discreto mediante el retenedor de orden cero

con un tiempo de muestreo de 0.25:

ANEXOS

106


107

F. INTERFAZ GRÁFICA

Se puede observar en la Figura F1.1 la comparación de las temperaturas

( y de las temperaturas estimadas , en la interfaz gráfica

desarrollada en el programa de LabView®.

Figura F1.1 Comparación de Tco y Tho con sus respectivas estimadas.

En la Figura F1.2 se observa el residuo sensible a las fallas y la probabilidad del

modelo.

Figura F1.2 Residuo sensible a las fallas y probabilidad de los modelos.

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TESIS DE MAESTRÍA EN CIENCIAS - Tecnológico Nacional de