TESTIRANJE ZNAČAJNOSTI RAZLIKE - Универзитет 11/21/2012 1 TESTIRANJE ZNAČAJNOSTI RAZLIKE Beograd, 2012 Ass. dr Zoran Bukumirić Z-TEST I T-TEST Z-TEST I T-TEST z-testom

11/21/2012

1

TESTIRANJE ZNAČAJNOSTI RAZLIKE

Ass. dr Zoran Bukumirić Beograd, 2012

Z-TEST I T-TEST

Z-TEST I T-TEST

z-testom i Studentovim t-testom testiramo razliku:

jedne aritmetičke sredine i pretpostavljene vrednosti

dve aritmetičke sredine

dva nezavisna uzorka

dva zavisna uzorka

11/21/2012

2

Z-TEST I T-TEST

Pretpostavke za izvođenje:

obe varijable koje se testiraju moraju biti numeričke

normalna raspodela ili aproksimacija normalne raspodele (CV<30%) obe varijable

PROCEDURA TESTIRANJA HIPOTEZA

1. Formulisati nultu i alternativnu hipotezu

2. Odrediti nivo značajnosti (α-nivo)

3. Odabrati odgovarajući test

4. Izračunati empirijsku vrednost testa (statistika testa) na osnovu primenjene formule

5. Odrediti teorijsku vrednost testa (oblast odbacivanja) tj. granične vrednosti

6. Doneti statistički zaključak

11/21/2012

3

Formulisati Odrediti Odabrati Izračunati empirijsku Odrediti teorijsku Statistički H0 i H1 nivo značajnosti test vrednost testa vrednost testa zaključak

Nulta hipoteza , ne postoji razlika aritmetičkih sredina:

H0: μ1 = μ2

Alternativna (radna) hipoteza

-dvostrana hipoteza , postoji razlika aritmetičkih sredina bez obzira na smer razlike: H1: μ1 ≠ μ2

-jednosmerna hipoteza , postoji razlika aritmetičkih sredina u jednom smeru tj. da jedna veća od druge: H1: μ1 < μ2 H1: μ1 > μ2

Nivo značajnosti (α-nivo) je maksimalna verovatnoća greške I tipa koju je istraživač

spreman da prihvati u svom istraživanju.

α-nivo je najčešće 0,05 ili 0,01.


11/21/2012

4

MALI UZORCI n ≤ 30 t-test

VELIKI UZORCI n > 30 z-test


NEZAVISNI UZORAK Jedinice u jednom uzorku su različite i nezavisne od jedinica u drugom uzorku. Jedinica posmatranja može biti samo u jednom uzorku.

ZAVISNI UZORAK Jedinice jednog uzorka povezane su sa jedinicama drugog uzorka. Ponovljena merenja na istim jedinicama posmatranja (pre i posle)

Izračunati empirijsku vrednost testa (statistika testa) na osnovu primenjene formule.


11/21/2012

5


Odrediti teorijsku vrednost testa iz tablica. Teorijska vrednost testa je maksimalna vrednost testa za koju još uvek važi H0.

zt – teorijska vrednost z-testa Određuje se na osnovu: jednosmerne ili dvosmerne H1

nivoa značajnosti (α-nivo)

Nivo značajnosti

0,05 0,01

Dvosmerno testiranje 1,96 2,58

Jednosmerno testiranje 1,64 2,33


t-test Određuje se iz tablica t raspodele na osnovu: jednosmerne ili dvosmerne H1

nivoa značajnosti (α-nivo) broja stepena slobode (DF)

za dvosmernu H1

α-nivo od 0,05 DF=9

Stepen slobode

jednosmerno testiranje (verovatnoća rizika)

0,05 0,025 0,01 0,005

dvosmerno testiranje (verovatnoća rizika)

0,10 0,05 0,02 0,01 1 6,314 12,706 31,821 63,657 2 2,920 4,303 6,965 9,925 3 2,353 3,182 4,541 5,841 4 2,132 2,776 3,747 4,604 5 2,015 2,571 3,365 4,032 6 1,943 2,447 3,143 3,707 7 1,895 2,365 2,998 3,500 8 1,860 2,306 2,896 3,355 9 1,833 2,262 2,821 3,250

10 1,812 2,228 2,764 3,169

Stepen slobode


0,05 0,025 0,01 0,005


0,10 0,05 0,02 0,01 1 6,314 12,706 31,821 63,657 2 2,920 4,303 6,965 9,925 3 2,353 3,182 4,541 5,841 4 2,132 2,776 3,747 4,604 5 2,015 2,571 3,365 4,032 6 1,943 2,447 3,143 3,707 7 1,895 2,365 2,998 3,500 8 1,860 2,306 2,896 3,355 9 1,833 2,262 2,821 3,250

10 1,812 2,228 2,764 3,169

Stepen slobode


0,05 0,025 0,01 0,005


0,10 0,05 0,02 0,01 1 6,314 12,706 31,821 63,657 2 2,920 4,303 6,965 9,925 3 2,353 3,182 4,541 5,841 4 2,132 2,776 3,747 4,604 5 2,015 2,571 3,365 4,032 6 1,943 2,447 3,143 3,707 7 1,895 2,365 2,998 3,500 8 1,860 2,306 2,896 3,355 9 1,833 2,262 2,821 3,250

10 1,812 2,228 2,764 3,169

Stepen slobode


0,05 0,025 0,01 0,005


0,10 0,05 0,02 0,01 1 6,314 12,706 31,821 63,657 2 2,920 4,303 6,965 9,925 3 2,353 3,182 4,541 5,841 4 2,132 2,776 3,747 4,604 5 2,015 2,571 3,365 4,032 6 1,943 2,447 3,143 3,707 7 1,895 2,365 2,998 3,500 8 1,860 2,306 2,896 3,355 9 1,833 2,262 2,821 3,250

10 1,812 2,228 2,764 3,169

tt=2,262

11/21/2012

6

Poređenje empirijske i teorijske vrednosti metoda.

Ako je empirijska vrednost testa u oblasti odbacivanja odbaciti nultu i prihvatiti alternativnu hipotezu. U protivnom, zadržati nultu hipotezu.

te > tt H1 p<0,05

te < tt H0 p>0,05


ze > zt H1 p<0,05

ze < zt H0 p>0,05

Testiranje značajnosti razlike aritmetičkih sredina – jedan uzorak

Testiramo nultu hipotezu da je aritmetička sredina populacije jednaka nekoj specifikovanoj vrednosti:

H0 : = 0

- nepoznata aritmetička sredina populacije iz koje potiče uzorak,

0 -specifikovana vrednost koja je pretpostavljena na osnovu ranijih istraživanja ili teorijskog modela.

11/21/2012

7


z-test veliki uzorak (n>30) poznata varijansa populacije (SD2)

t-test mali uzorak (n≤30) nije poznata varijansa populacije (SD2)

n

SD

Xx

SE

Xxz

x

- aritmetička sredina uzorka x

-standardna greška aritmetičke sredine populacije n

SDSEx

- specifikovana vrednost populacije X

n

sd

Xx

SE

Xxt

x

Pretpostavke za izvođenje:

slučajno biran uzorak

numerički kontinuirani podaci

normalna raspodela u populaciji


11/21/2012

8


Primer 1: Ispitivana je telesna masa na rođenju u jednoj opštini u toku jedne godine. Aritmetička sredina slučajnog uzroka, veličine 50, iznosila je 3530 g. Prethodna istraživanja ukazivala su na aritmetičku sredinu 3550 g, i standardnu devijaciju SD=149g.

Da li se može reći da je došlo do promene telesne mase na rođenju?

Testirati na nivou značajnosti od 0,05.

H0: μ = 3550g

H1: μ ≠ 3550g

α-nivo = 0,05

poznata SD2 populacije

n>30

948,01,21

20

50

149

35503530

z

ze < zt H0 p>0,05

ze = 0,948

zt =1,96

Zaključak: Dobijena zed vrednost (0,948) je manja od teorijske (1,96), za dvosmerno testiranje i nivo značajnosti 0,05, pa prihvatamo H0 i zaključujemo da nije došlo do značajne promene telesne mase na rođenju u poslednjoj godini u odnosu na protekli period (p>0,05).

xSE

Xxz


11/21/2012

9

Testiranje značajnosti razlike aritmetičkih sredina – dva nezavisna uzorka

Testiramo nultu hipotezu da su aritmetičke sredine osnovnih skupova iz kojih su dobijeni uzorci jednake

H0 : 1 = 2

Uslovi za testiranje:

normalnost podataka

jednakost varijansi

nezavisnost uzoraka


z-test SD2 u populaciji poznate uzorci veliki ili mali

t-test za dva nezavisna uzorka SD2 u populaciji nepoznate uzorci mali (n ≤ 30)

z-test SD2 u populaciji nepoznate uzorci veliki (n > 30)

2

2

2

1

2

1

21

n

SD

n

SD

xxz

2

2

2

1

2

1

21

n

sd

n

sd

xxz

2121

2

22

2

11

21

11

2

)1()1(

nnnn

sdnsdn

xxt

221 nnDF

11/21/2012

10

Primer 2: Dve grupe lečene su tretmanima A i B. Sedimentacija eritrocita (mm/h) ispitanika u istraživanju iznosi:

Tretman A: 15 17 20 14 19 17 18 19

Tretman B: 16 14 17 15 18 17 16

Da li se ova dva tretmana razlikuju prema sedimentaciji eritrocita?


Poznato je da ispitivana varijabla ima normalnu raspodelu u populaciji.


Tretman A Tretman B

15 -2,38 5,66 16 -0,14 0,02

17 -0,38 0,14 14 -2,14 4,58

20 2,62 6,86 17 0,86 0,74

14 -3,38 11,42 15 -1,14 1,30

19 1,62 2,62 18 1,86 3,46

17 -0,38 0,14 17 0,86 0,74

18 0,62 0,38 16 -0,14 0,02

19 1,62 2,62

Σ 139 28,88 113 10,86

38,178

139

1

1

1

n

xx

14,167

113

2

2

2

n

xx

27,4

7

88,29

11

2

112

1

n

xxsd

81,1

6

86,10

12

2

222

2

n

xxsd

35,1

7

1

8

1

278

81.1)17(27.4)18(

14,1638,17

11

2

)1()1(

2121

2

22

2

11

21

nnnn

sdnsdn

xxt

211 xx 222 xx 11 xx 22 xx 1x 2x


11/21/2012

11

za dvosmerna H1

α-nivo od 0,05 DF=13 tt=2,160

Stepen slobode


0,05 0,025 0,01 0,005


0,10 0,05 0,02 0,01 1 6,314 12,706 31,821 63,657 2 2,920 4,303 6,965 9,925 3 2,353 3,182 4,541 5,841 4 2,132 2,776 3,747 4,604 5 2,015 2,571 3,365 4,032 6 1,943 2,447 3,143 3,707 7 1,895 2,365 2,998 3,500 8 1,860 2,306 2,896 3,355 9 1,833 2,262 2,821 3,250

10 1,812 2,228 2,764 3,169 11 1,796 2,201 2,718 3,106 12 1,782 2,179 2,681 3,054 13 1,771 2,160 2,650 3,012


te < tt H0 p>0,05

te = 1,35

tt =2,160

Zaključak: Dobijena t statistika (1,35) manja je od granične (2,160) za dvosmerno testiranje, DF=13 i nivo značajnosti 0,05. Zaključujemo da između ispitanika na tretmanima A i B ne postoji statistički značajna razlika prema sedimentaciji eritrocita (t=1,351; DF=13; p>0,05).

H0: A = B

H1: A B

α-nivo = 0,05


11/21/2012

12

Testiranje značajnosti razlike aritmetičkih sredina – dva zavisna uzorka

Test je zasnovan na razlici opservacija pre-posle ili razlici mečovanih opservacija.

Testiramo nultu hipotezu da je aritmetička sredina razlika pre-posle jednaka 0.

H0 : d = 0

Uslovi za testiranje:

normalnost podataka

jednakost varijansi

zavisni uzorci

Primer 3: Deset bolesnika od hronične opstruktivne bolesti pluća praćeno je u toku 5 godina. Date su vrednosti vitalnog kapaciteta pluća (mL) na početku i kraju tog perioda:

Prvo merenje:

2960 2820 2990 3050 2670 2900 3180 3220 3490 2890

Drugo merenje:

2700 2640 2920 2850 2580 2790 2810 2970 2750 2680

Da li je došlo do promene vitalnog kapaciteta u posmatranom periodu?



11/21/2012

13

prvo

merenje

drugo

merenje

x1 x2 d=x2-x1 d2

2960 2700 –260 67600

2820 2640 –180 32400

2990 2920 –70 4900

3050 2850 –200 40000

2670 2580 –90 8100

2900 2790 –110 12100

3180 2810 –370 136900

3220 2970 –250 62500

3490 2750 –740 547600

2890 2680 –210 44100

Σ -2480 956200

)110(1010

6150400956200

248

)1(

2

2

nnn

dd

dt

91101 nDF

24810

2480

n

dd

028,4


dvosmerna H1

za α-nivo od 0,05 DF=9 tt=2,262

Stepen slobode


0,05 0,025 0,01 0,005


0,10 0,05 0,02 0,01 1 6,314 12,706 31,821 63,657 2 2,920 4,303 6,965 9,925 3 2,353 3,182 4,541 5,841 4 2,132 2,776 3,747 4,604 5 2,015 2,571 3,365 4,032 6 1,943 2,447 3,143 3,707 7 1,895 2,365 2,998 3,500 8 1,860 2,306 2,896 3,355 9 1,833 2,262 2,821 3,250

10 1,812 2,228 2,764 3,169 11 1,796 2,201 2,718 3,106 12 1,782 2,179 2,681 3,054 13 1,771 2,160 2,650 3,012


11/21/2012

14

te > tt H1 p<0,05

te = 4,028

tt = 2,262

Zaključak: Dobijena statistika t-testa (4,028) je veća od granične vrednosti (2,262) za dvosmerno testiranje, DF = 9 i nivo značajnosti od 0,05. Došlo je do značajnog smanjenja vitalnog kapaciteta u posmatranom periodu (t = 4,028; DF=9; p<0,05).

H0: d = 0

H1: d 0

α-nivo = 0,05


Zadatak1: Deset dijabetičara je pre terapije imalo sledeće vrednosti glikemije:

14,99 12,21 9,38 16,99 6,44 10,66 17,98 13,10 9,21 6,16 mmol/L

Posle odgovarajuće terapije kod istih bolesnika vrednost šećera u krvi iznosila je:

10,05 8,22 7,33 10,49 9,44 6,99 11,27 7,16 5,83 8,88 mmol/L

Da li je terapija uspešno delovala?


Zadatak 1

11/21/2012

15

Pre

terapije

Posle

terapije

x1 x2 d=x2-x1 d2

14,99 10,05 -4,94 24,40

12,21 8,22 -3,99 15,92

9,38 7,33 -2,05 4,20

16,99 10,49 -6,5 42,25

6,44 9,44 3,00 9,00

10,66 6,99 -3,67 13,47

17,98 11,27 -6,71 45,02

13,1 7,16 -5,94 35,28

9,21 5,83 -3,38 11,42

6,16 8,88 2,72 7,40

Σ - - -31,46 208,36

91101 nDF

146,310

46,31

n

dd

)1(

2

2

nnn

dd

dt

854,2

215,1

146,3

)110(1010

31,46-36,208

146,32

Zadatak 1

dvosmerna H1

za α-nivo od 0,05 DF=9 tt=2,262

Stepen slobode


0,05 0,025 0,01 0,005


0,10 0,05 0,02 0,01 1 6,314 12,706 31,821 63,657 2 2,920 4,303 6,965 9,925 3 2,353 3,182 4,541 5,841 4 2,132 2,776 3,747 4,604 5 2,015 2,571 3,365 4,032 6 1,943 2,447 3,143 3,707 7 1,895 2,365 2,998 3,500 8 1,860 2,306 2,896 3,355 9 1,833 2,262 2,821 3,250

10 1,812 2,228 2,764 3,169 11 1,796 2,201 2,718 3,106 12 1,782 2,179 2,681 3,054 13 1,771 2,160 2,650 3,012

Zadatak 1

11/21/2012

16

te > tt H1 p<0,05

te = 2,854

tt = 2,262

Zaključak: Dobijena statistika t-testa (2,854) je veća od granične vrednosti (2,262) za dvosmerno testiranje, DF = 9 i nivo značajnosti od 0,05. Došlo je do značajnog smanjenja glikemije nakon primene terapije (t = 2,854; DF=9; p<0,05).

H0: d = 0

H1: d 0

α-nivo = 0,05

Zadatak 1

Documents

TESTIRANJE ZNAČAJNOSTI RAZLIKE - Универзитет 11/21/2012 1 TESTIRANJE ZNAČAJNOSTI RAZLIKE Beograd, 2012 Ass. dr Zoran Bukumirić Z-TEST I T-TEST Z-TEST I T-TEST z-testom