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CONTENIDO I : DIVISIÓN DE UN SEGMENTO.
SEGMENTOS PROPORCIONALES.
La razón entre dos trazos es el cuociente entre los números que expresan sus longitudes, si se han medido en la misma unidad.Ejemplo : Los trazos y están en la razón de 3 : 4 , porque la unidad “d” cabe 3 veces en y 4 veces en .
“ Dos trazos son proporcionales a otros dos , cuando la razón que existe entre las dos primeras , es igual a la razón entre las dos últimas “ .
Ejemplo : Si se dan los 4 trazos siguientes : a = 4 cm ; b = 2 cm c = 6 cm ; d = 3 cm
La razón entre los dos primeros trazos es :
La razón entre los dos últimos trazos es :
Se dice , entonces que los trazos “a” y “b” son PROPORCIONALES
con “c” y “d” , es decir :
DIVIDIR UN TRAZO EN UNA RAZON DADA. Problema: Dividir un trazo AB en un número cualquiera de partes iguales.
Solución : Sea , el segmento. Lo dividimos en 5 partes iguales. Se traza un rayo indefinido AC ( línea auxiliar ).A partir del punto “A” , se divide en 5 partes de igual longitud arbitraria. Se une C con B.Por los puntos de división de ,se trazan paralelas a .
A B
C
Se ve interesante el tema... Y es Geometría… será más entretenido . Ahora comenzaré a investigar de qué se trata
a b c d
A B
C D
d
Estas paralelas , que determinan partes iguales sobre , determinan también partes iguales sobre .
Ejemplo : Dado el trazo y sea C ese punto. A C B
Supongamos que
Se dice en este caso que “ C divide interiormente al trazo “ en la razón 3 : 4.
PROCEDIMIENTO PARA DIVIDIR UN TRAZO INTERIORMENTE.
Problema : Dividir un trazo interiormente en la razón 2 : 3.Solución : Sea el trazo dado . Por los extremos del segmento se trazan L1 y L2 tales que L1 // L2 Se hace : = 2 unidades arbitrarias = 3 unidades arbitrarias Se une E con F y se obtiene el punto C
Resulta :
Teorema : Sobre la prolongación de un trazo , existe un sólo punto cuyas distancias a los extremos del trazo están en una razón dada.
Sea D el punto dado en la prolongación de . Supongamos que
Se dice que “ D divide exteriormente al segmento “ en la razón de 4 : 3 .PROCEDIMIENTO PARA DIVIDIR UN TRAZO EXTERIORMENTE.
Problema : Dividir exteriormente un trazo en la razón de 3 : 2 . Solución : Sea el trazo dado. Por los extremos del segmento se trazan L1 y L2 tales que L1 // L2 Se hace : = 3 unidades arbitrarias.
Teorema : En un trazo existe un sólo punto C cuyas distancias a los extremos A y B del trazo , están en una razón dada.
E
A C B
F
L1
L2
A B C
A B D
EF
L1
L2
= 2 unidades arbitrarias. Se une E con F y se prolonga hasta intersectar la proyección de en D.
Resulta :
DEFINICIÓN: Dividir un trazo armónicamente, es dividirlo interior y exteriormente en una razón dada
PROCEDIMIENTO PARA DIVIDIR UN SEGMENTO ARMÓNICAMENTE EN UNA RAZÓN DADA
Problema : Dividir un trazo dado , armónicamente , en la razón de 5 : 3 .
Solución : - Se dibuja el segmento .
- En ambos extremos copiamos sobre segmentos paralelos las longitudes 5 y 3 dando origen a los puntos R y T .
- Uniendo R y T se determina el punto P de división interior de
- Así , P divide interiormente al trazo en
la razón 5 : 3 es decir :
- En dirección opuesta a dibujamos de longitud 3.
- Se une R con S y se prolonga hasta intersectar la proyección de en D y encontramos el punto exterior D .
Así, D divide exteriormente al trazo en la razón 5 : 3
TEOREMA DE THALES
Teorema 1 : Si varias paralelas determinan segmentos iguales en una de dos rectas transversales, determinan también segmentos iguales en la otra transversal. Es decir, según la figura :
A B D
R
S
L1
L2
T
P
A A’
B B’
C C’
t t’
Si // ; t y t’ son dos transversales y si = entonces
d
d
dd
d
40 c
m
A
B C
M N
Teorema 2 : ( Teorema de Thales )
Si varias paralelas cortan a dos transversalesentonces estas determinan en ellas segmentoscorrespondientes proporcionales. Es decir :
Teorema 3 : Si una recta es paralela a unode los lados de un triángulo, entonces los otros dos lados quedan divididos en segmentos proporcionales.
Es decir, en el triángulo ABC :
Teorema 4 : ( Recíproco ) Si una recta divide dos lados de un triángulo en segmentos proporcionales, entonces es paralela al tercer lado.Es decir , en el triángulo ABC , anterior si
Teorema 5 : El segmento que une los puntos medios de un triángulo, es paralela al tercer lado e igual a su mitad.Es decir , en el triángulo ABC :
Teorema 6 : La bisectríz de un ángulo de un
A A’
B B’
C C’
t t’
Si t y t’ son dos transversales, y si // // si = entonces
Si // entonces
A
B C
D E
Si entonces //
Si M y N son los puntos medios de y
entonces y
A
B CD
triángulo divide al lado opuesto en dos segmentosproporcionales a los lados que forman ese ángulo.Es decir, en el triángulo ABC :
E J E R C I C I O S.
149. En la fig., si // , = 12 150. Si // //
Para la siguiente figura, L1 // L2 .
151. = 2x - 1 , = x + 3 = x + 4 , = x - 1
152. = 2x , = 3x
= x + 1 , = 2x - 1
Determina el valor de “x” en cada caso :
153. En el triángulo ABC , biseca el ángulo B , entonces x = ?
154. Encuentra , si // = 9 , = 2 , = 8
En los ejercicios 160 y 161, la recta que paralela al tercer lados. Encuentra la medida155.
intersecta a dos de los lados del triángulo es que falta156.
Si biseca al ángulo A entonces
A
B C
D E
x
X + 4
5
A
B
E
F
C
D
4 7
2x+15x–4
AE
B
D
CL1
L2
C
B
AD2x 3x - 1
C
A B
D E
A C
6 x
43
A C
9
x
4
9
157. es bisectriz 158. es bisectriz
159. //
PARECIDOS, PERO .... NO IGUALES.
- Dos figuras son semejantes si tienen la misma
forma, no necesariamente el mismo tamaño.
C1
A
BD
X+12x - 5
3 B
12
C
A
D
X+1
x - 3
15
A
C
B D
x + 4
x + 13
10
4
- Dos triángulos son semejantes si tienen sus ángulos respectivamente congruentes y si sus lados homólogos son proporcionales. ( lados homólogos son los opuestos a ángulos iguales ) Es decir :
ABC A’B’C’ ( triángulo ABC es semejante al triángulo A’B’C’ )ssi :
i) A = A’ ; B = B’ ; C = C’
ii)
Ejemplo : Los triángulos siguientes son semejantes : En efecto : A = A’ ; B = B’ ; C = C’
Postulado : en el triángulo ABC :
Si // , entonces :
Ejemplo : En el triángulo GAW ,
= 4 , = 8 , = 5Encuentra =
CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOSCRITERIO ángulo - ángulo ( A - A ) Si dos ángulos de un triángulo son congruentes a dos ángulos de un segundo triángulo, entonces estos dos triángulos son semejantes. Es decir , en los triángulos ABC y DEF : A = D y B = E
Entonces ABC DEF
B’
C’
A’
a’
c’
b’
B
C
A
a
c
b
6
10
8C A
B
C’ A’
B’
3
4
5
C
A B
A’ B’
W
A G
K Q
BA
C
D E
F
Ejemplo : Según la figura, si ,
¿ es ABC DCE ?
Si , entonces ( alternos internos entre paralelas )
y ( alternos internos entre paralelas)
por lo tanto : ABC DCE
CRITERIO lado - ángulo - lado ( L .A .L ) Dos triángulos son semejantes si tienendos lados proporcionales y congruentesel ángulo comprendido entre ellos. decir , en los triángulos ABC y DEF ,
Ejemplo : ¿ Son semejantes los triángulos ?
como
entonces CRJ LBQ
CRITERIO lado - lado - lado ( L . L . L . ) Dos triángulos son semejantes si tienen sustres lados respectivamente proporcionales.
Es decir , en los triángulos ABC y DEF :
Ejemplo : ¿ son semejantes los triángulos TMQ y CJX ?
como
A B
C
D E
B
A
C
E F
D
Si A = D y
Entonces ABC DEF
C
R J
15
1235º
QB
L
35º
10
8
Si
Entonces ABC DEF
A
B C
D
E F
T
Q
MJ
CX
18
12
15
108
12
entonces ABC DEF
E J E R C I C I O S.
160. Encuentra el valor de , = 25
161. Se sabe que y que biseca .
Demostrar que QPX QPR
¿Para cuáles de los siguientes ángulos , el
162. R = 62º ; N = 73º V = 62º ; B = 73º
163. Q = 80º ; R = 71º V = 71º ; X = 70º
RNQ es semejante al VBX ?
164. Dado que T = NGV
Demostrar que NGV NTX
165. Dado que R = W
Demostrar que JYW JMR
166.
167.
15
3
A
BE
C
D P
QX
R
Q
R N
X
V B
N
G
V
X T
R N
J
Y W
Según la fig. ; = 4 , = 6 , = 15 , =?
Dado que .
Demostrar que: LKM BCM
L
K
M
C
BL M
K N
J
168. 169.
¿ En qué casos el ABC DEF ?
170.
171.
172.
173.
174. Demostrar que el triángulo cuyos vértices son los puntos medios de los lados de un triángulo dado es semejante al triángulo dado.
175. 176.
Hipótesis :
Tesis : WTZ VWX
X
W Z
VY
T
Hipótesis : ;
Tesis : FBE DEC
AB
D
F
E
C
BA
C
E D
F
En el triángulo GHK , ;
Demostrar que =
Según la figura, ;
Demostrar que : =
PG H
RQ
K
P
R
Q
T
S
