The Logic of Inductive Inference

指導教授：余清祥老師

100354005 黃繼緯100354011 高千涵100354015 黃雅雯100354020 黃于騰100354024 蔡政珈100354026 董恆元

作者： R. A. Fisher

Introduction

• 歸納法：特殊狀況 一般狀況 統計學上由樣本推論至母體，即為歸納法。 是非確定性的推論。

• 演繹法：一般狀況 特殊狀況 古典的機率定理均是演繹性的，並講求嚴謹。 無法舉例而推論成為定理。

演繹法可幫助歸納法的推論。

Introduction• 假設統計資料顯示， 30 歲民眾有 7 成機會活到 40 歲

→ 所有 30 歲的人都有 7 成機會活到 40 歲

→ 小王有 7 成機會能過 40 歲生日

• 另外又有統計資料顯示，吸煙人士有 7 成機會活不到 40 歲

→ 所有 30 歲的人都有 7 成機會機會活不到 40 歲

→ 小王有 7 成機會活不到 40 歲

• 究竟哪個推論較可信？關鍵在於「吸煙會危害健康」

Introduction

• 當由樣本推論母體的時候，數學的量值 ( 此處作者稱為 mathematical likelihood) 可以作為測量此推論合理性依據。

• 任何的母體假設下，從母體抽樣時，被抽出機率為母體參數的函數，而 likelihood 都具有母體參數的資訊。

Introduction• 從所得之觀測值 , 推測究竟參數為何 , 會使得到此一觀測

值之機率最大 , 這也是一種常用的估計方法。 在統計學裡稱為最大概似法 (method of maximum likelihood) 。

實例：1. 教室玻璃被打破了 , 老師從平常最調皮的同學開始問。

2. 有命案發生 , 從現場採到的指紋對象開始追查。

3. 醫生看診常常也是從病人的症狀 , 推測那一種病最易產生此症狀。

Inductive• CASE1( 大樣本、無限樣本 ) ： 先滿足母體參數的估計式具一致性，在大樣本下會近似 常態分配

Bias 因估計式為一致性而趨近 0

作者文中證明了 likelihood 最大時，估計量的變異數滿足： 其中 V 為估計式之變異數 i 為母體一個與估計式獨立的值

在大樣本下，藉由最大化 likelihood 使得估計母體參數最準確。

Inductive• CASE2( 小樣本、有限樣本 ) ：

• 充分統計量：包含樣本中有關母體參數所有訊息的統計量。• 假設擲銅板出現正面的機率為 p ，連續擲了十次觀測其結果。

發現只有第三次、第六次和第七次是反面。• (1) 擲 10 次出現 7 次正面• (2) 3 次反面出現在第三次、第六次和第七次

• 輔助統計量：與母體參數無關的統計量。

• 已知常態分班且甲班平均身高和乙班平均身高相同那麼甲班同學和乙班同學身高的差距就是輔助統計量

• X1,X2 ~iid N(μ, 1) 則 X1-X2~N(0,2)

Inductive Example

Convicted Not Convicted TotalMonozygotic 10 3 13

Dizygotic 2( 假定為 x) 15 18

Total 12 18 30

例： 30 對同性別雙胞胎，其中一人確定為有犯罪的，調查他們的兄弟或姊妹，另一人也有犯罪的人數如下：

若只知邊際值，並假設同卵異卵另一位犯罪機會均為 p ，則我們藉由邊際值推論其機率：

*

Conclusion• 演繹法：從已知事實的前提推理得出「必然性的」結論。如果前提為真，則結論必然為真。

• 歸納法：歸納推論的前提可以預測出高機率的結論，但是無法確保結論為真。

• 因此歸納推論只有概然性，並沒有演繹推論所具備的必然性。然而，要預測將來發生的事件，我們仍須依靠歸納法建立具普遍性的知識。也就是說，在提供知識方面，歸納法佔有一個很重要的位置。

Thank You