Upload
others
View
15
Download
1
Embed Size (px)
Citation preview
THEORY OF STRUCTURES
By
Assoc. Prof. Dr. Sittichai SeangatithSCHOOL OF CIVIL ENGINEERING
INSTITUTE OF ENGINEERINGSURANAREE UNIVERSITY OF TECHNOLOGY
6.4 Influence Lines for Floor Girders
พนเปนพนทางเดยว (one-way slab)พนวางอยบน floor girders แบบ simple supportgirder วางอยบนเสาแบบ simple support
การหา influence line ของแรงเฉอนและของโมเมนตดดทจด P1. วางแรง 1 หนวยไวบนพน (slab)2. หาแรง FB และ FC ทเกดขนบนคานทรองรบพน
3. หาคาแรงปฏกรยาทจดรองรบของ girder ใหมคาเปน F1 และ F2
4. ใช method of sections หาคาของแรงเฉอนและของโมเมนตดดทจด P
Note: MP ขนอยกบตาแหนงของจด PMP = F1(d) - FB(d-s)
VP ไมขนอยกบตาแหนงจด PVP =(F1 - FB)
จงเขยนแผนภาพอนฟลเอนซไลนของแรงเฉอน VCD และโมเมนตดด MF ของคาน
EXAMPLE
1. วางแรง 1 หนวยทตาแหนงของคานทรองรบพน A
0CDV = 0FM =
1.0
2. วางแรง 1 หนวยทตาแหนงของคานทรองรบพน B1.0
0; 1/ 7H yM G= =∑
= 1/71/ 7CD yV G= − = −
6 6 / 7F yM G= =
3. วางแรง 1 หนวยทตาแหนงของคานทรองรบพน C1.0
0; 3/ 7H yM G= =∑
= 3/7
3/ 7CD yV G= − = −
6 18/ 7F yM G= =
4. วางแรง 1 หนวยทตาแหนงของคานทรองรบพน D
5. วางแรง 1 หนวยทตาแหนงของคานทรองรบพน E2 / 7CDV = 2.286FM =
1.0
0CDV = 0FM =
1.0
6 นาขอมลตางๆ ทไดมาเขยนแผนภาพอนฟลเอนซไลน
MFVCD
00E2.2862/7D18/7-3/7C6/7-1/7B00A
EXAMPLE
6.5 Influence Lines for Trusses
โดยการวางแรง 1 หนวยทจดตอของโครงขอหมนทละจด แลววเคราะหหาแรงทเกดขนในชนสวนทตองการหา เราจะเขยนแผนภาพอนฟลเอนซไลนของแรงปฏกรยา แรงทเกดขนในชนสวน และแรงเฉอนในชวงของโครงขอหมนได
จงเขยนแผนภาพอนฟลเอนซไลนของแรงปฏกรยา RA และ RG แรงทเกดขนในชนสวน AH และ BH แรงเฉอน VBI และแรงทเกดขนในชนสวน CI และ CD ของโครงขอหมน
EXAMPLE
โดยการวางแรง 1 หนวยทจดตอของโครงขอหมนทละจด แลววเคราะหหาแรงแรงปฏกรยาทเกดขน เราจะเขยนแผนภาพอนฟลเอนซไลนของแรงปฏกรยาโครงขอหมนไดเชนเดยวกนกบแผนภาพอนฟลเอนซไลนของแรงปฏกรยาของคานชวงเดยว
แผนภาพอนฟลเอนซไลนของแรงปฏกรยา RA และ RG ของโครงขอหมน
1
1
5/6
1/6
4/6
2/6
3/6
3/6
2/6
4/6
1/6
5/6
แผนภาพอนฟลเอนซไลนของแรงในชนสวน AH1. เมอแรง 1 หนวยอยทจด A แลว
2. เมอแรง 1 หนวยอยในชวง B-G แลว
FAH = 01 1
( 2)AH AF R= −
1
2(5 / 6)−
แผนภาพอนฟลเอนซไลนของแรงในชนสวน BH
1. เมอแรง 1 หนวยอยทจด A และจด C ถงจด G แลว
2. เมอแรง 1 หนวยอยทจด B แลว
FBH = 0
1 1
FBH = 1.0
1.0
แผนภาพอนฟลเอนซไลนของแรงเฉอนในชวง DI
1. เมอแรง 1 หนวยอยชวง A-C แลว จาก FBD ของชวง D-G
2. เมอแรง 1 หนวยอยชวง D-G แลว จาก FBD ของชวง A-C
1
DI GV R= −
RG
VDI
-1/3
RA
VDI
DI AV R=3/6 = 1/2
1
แผนภาพอนฟลเอนซไลนของแรงในชนสวน DI
1. เมอแรง 1 หนวยอยชวง A-C แลว จาก FBD ของชวง D-G
2. เมอแรง 1 หนวยอยชวง D-G แลว จาก FBD ของชวง A-C
1
2DI GF R= −
RG
FDI
RA
FDI
2DI AF R=
2 DI DIF V=
2 / 3−
2 / 2
1
แผนภาพอนฟลเอนซไลนของแรงในชนสวน CI
1. เมอแรง 1 หนวยอยชวง A-C แลว จาก FBD ของชวง D-G
2. เมอแรง 1 หนวยอยชวง D-G แลว จาก FBD ของชวง A-C
1
DI GV R=
RG
FCI
1/3RA
FCI
DI AV R= −
-3/6 = 1/2
1
CI DIF V= − แผนภาพอนฟลเอนซไลนของแรงในชนสวน CD
1. เมอแรง 1 หนวยอยชวง A-C แลว จาก FBD ของชวง D-G
2. เมอแรง 1 หนวยอยชวง D-G แลว จาก FBD ของชวง A-C
1
(4 6) / 6 4CD G GF R R= × =
RG
FCD
RA
FCD
4 / 3
1
1
(2x6) / 6 2CD A AF R R= =
6.7 Max. Influence at a Point Due to a Series of Concentrated Loads1. วธการลองผดลองถก (trial-and-error)2. วธการพจารณาการเปลยนแปลงของ functions ของ influence lineคาแรงเฉอนสงสด
(VC)1 = 5(0.75) + 50(0.667) +30(0.5)
= 52.1 kN
(VC)2 = 5(-0.167) + 50(0.75)+ 30(0.583)
= 54.155 kN
(0.75/9)8 = 0.667(0.75/9)6 = 0.50
(-0.25/3)2 = -0.167(0.75/9)7 = 0.583
(VC)3 = 5(0) + 50(-0.083) + 30(0.75)= 26.65 kN
ดงนน กรณท 2 ใหคาแรงเฉอนสงสด
(-0.25/3)1 = -0.083
(VC)max = 54.16 kN
(VC)2 = 54.155 kN(VC)1 = 52.1 kN
คาโมเมนตสงสด
(MC)1 = 5(2.25) + 50(2.00) + 30(1.50)= 156.25 kN-m
(2.25/9)8 = 2.00(2.25/9)6 = 1.50
(MC)2 = 5(1.5) + 50(2.25) + 30(1.75)= 172.5 kN-m
(MC)3 = 5(0) + 50(0.75) + 30(2.25)= 105.0 kN-m
ดงนน กรณท 2 ใหคาโมเมนตสงสด
(2.25/3)2 = 1.50 (2.25/9)7 = 1.75
(2.25/3)1 = 0.75
(MC)1 = 156.25 kN-m 6.8 Absolute Maximum Shear and MomentAbsolute maximum shear
1.0
1.0
1.0
Cantilevered beam Simply-supported beam
Absolute maximum moment
1.0
Cantilevered beamSimply-supported beam
1. สมมตให absolute maximum moment เกดขนทจดทแรง F2 กระทา ซงมระยะ x จากจดกงกลางของคาน
Simply-supported beamF1 F2 F3
d1 d2
L/2 L/2
xFR
x'
(x'-x)
2. หาคาแรงลพธ FR ของแรง F1 F2 และ F3
1 2 3RF F F F= + +
F1 F2 F3
d1 d2
L/2 L/2
xFR
x'
(x'-x)
0;BM =∑ ( )2y RLA L F x x⎡ ⎤′= − −⎢ ⎥⎣ ⎦
( )2
Ry
F LA x xL⎡ ⎤′= − −⎢ ⎥⎣ ⎦
4. ใช method of sections ตดคานระหวางจดรองรบ A และแรง F2
3. ใชสมดลของโมเมนตรอบจด B เพอหาแรงปฏกรยา Ay ของคาน
Ay
F1 F2 F3
d1 d2
L/2 L/2
xFR
x'
(x'-x)
2 1 12yLM A x F d⎡ ⎤= − −⎢ ⎥⎣ ⎦
1 1( )2 2
RF L Lx x x F dL⎡ ⎤ ⎡ ⎤′= − − − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
2
1 14 2R R R RF L F x F x F xx F d
L L′ ′
= − − + −
5. ระยะ x ทเกดคาโมเมนต M2 สงสดจะหาไดจาก 2 0dMdx
=
F1 F2 F3
d1 d2
L/2 L/2
x'/2FR
x'
x'/2
2 2 0R RdM F x F xdx L L
′= − + =
2
2 1 14 2R R R RF L F x F x F xxM F d
L L′ ′
= − − + −
2xx′
=
คาสงสดสมบรณของโมเมนตในคาน simply supported beam มกจะเกดขนทใตแรงทมคาสงสดในกลมนาหนกบรรทกจร โดยใหจดกงกลางระหวางแรงสงสดและแรงลพธของกลมนาหนกบรรทกจรวางอยทจดกงกลางของคาน
กาหนดให L = 18 m และ d1 = 2 m และ d2 = 6 m จงหาคาสงสดสมบรณของโมเมนตทเกดขนบนคาน
EXAMPLE
9 m 9 m2 m 6 m
1. หาคาแรงลพธ FR
FR
25 100 100 225 kNRF = + + =
2. หาระยะทวดจาก FR ไปยงแรงทมคาสงสดในกลมนาหนกบรรทกจร F2
x
225 100(0) 100(6) 25(2)x = + −
2.444 mx =
225 kN
3. วางกลมนาหนกบรรทกจรโดยใหจดกงกลางคานอยทตาแหนง / 2x
9 m 9 m2 m 6 m
225 kN1.222 m1.222 m
4. หาโมเมนต M2 ทเกดขนทหนาตดของคานใตแรง F2
9-1.222 = 7.778 m
0;BM =∑ (18) 225(7.778) 0yA − =
97.225 kNyA =
Ay
7.778 m
2 m25 kN 100 kN
97.225 kN
2 0;M =∑2 25(2) 97.225(7.778) 0M + − =
2 706.22 kN-mM =
5. ตรวจสอบคาโมเมนตทเกดขนทหนาตดของคานใตแรง F3
9 m 9 m2 m 6 m
225 kN1.778 m1.778 m
9-1.778 = 7.222 m
By
0;AM =∑(18) 225(7.222) 0yB − =
90.275 kNyB =
ระยะของ FR และ F3 = 6-2.444 = 3.556 m
90.275 kN7.222 m
M33 0;M =∑3 90.275(7.222) 651.97 kN-mM = =
ดงนน โมเมนตสงสดเกดขนทหนาตดของคานใตแรง F2 ซงเปนแรงทมคาสงสดในกลมนาหนกบรรทกจร และมคา 706.22 kN-m
EXAMPLEกาหนดให L = 18 m และ d1 = 2 m และ d2 = 6 m จงหาคาสงสดสมบรณของแรงเฉอนทเกดขนบนคาน
9 m 9 m
1.0
(VC)1 = 25(1) + 100(8/9) + 100(5/9)= 169.44 kN
2 m 6 m16/18 = 8/9 10/18 = 5/9
2 m 6 m
9 m 9 m2 m 6 m
1.0
(VC)2 = 100(1) + 100(2/3)= 166.67 kN
9 m 9 m2 m 6 m
2 m 6 m12/18 = 6/9 = 2/3
ดงนน คาสงสดสมบรณของแรงเฉอนเกดขนในกรณท 1 และมคา 169.44 kN
จงหาคาสงสดสมบรณของแรงเฉอนและคาสงสดสมบรณของโมเมนตทเกดขนบนคาน
EXAMPLE
1. หาคาแรงลพธ FR
FR = 4.6+8.2+8.2 = 21.0 T
คาสงสดสมบรณของโมเมนตทเกดขนบนคาน
2. หาระยะทวดจาก FR ไปยงแรง 4.6 T
3.750 m
3. วางกลมนาหนกบรรทกจรโดยใหจดกงกลางคานอยทตาแหนงกงกลางระหวางแรงลพธ (21 T) และแรงทมคาสงสด (8.2 T)
4. หาโมเมนตทเกดขนทหนาตดของคานใตแรง 8.2 T
Ay
M2 = 10.74(10.225)-4.6(4.2) = 90.46 T-m
5. ตรวจสอบคาโมเมนตทเกดขนทหนาตดของคานใตแรง 8.2 Tเมอทาการหาคาแรงปฏกรยาทจด B แลว คาโมเมนตทเกดขนทหนาตดของคานใตแรง 8.2 T จะหาไดโดยใช FBD ของสวน 2-B
By(20)By = 21(11.875)
By = 12.469 T
12.469
8.2M3
M3 = 12.469(11.875-4.2)-8.2(1.2) = 85.86 T-m
ดงนน โมเมนตสงสดเกดขนทหนาตดของคานใตแรง 8.2 T ซงเปนแรงทมคาสงสดในกลมนาหนกบรรทกจร และมคา 90.46 T-m
คาสงสดสมบรณของแรงเฉอนทเกดขนบนคาน