Trang 1

SỞ GD-ĐT HÀ TĨNH TRƯỜNG THPT MINH KHAI

ĐỀ THI TH Ử ĐẠI H ỌC LẦN 3 NĂM 2012 Môn thi: TOÁN - Kh ối A, B và D

PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)

Câu I (2,0 đ ): Cho hàm số y = -x4 + 2x2 (C)

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (C) 2. Tìm k dương để đường thẳng (a) : y = kx tiếp xúc với đồ thị (C); Tìm giao điểm của (C) với đường thẳng (a) có hoành độ khác 0 và khác hoành độ tiếp điểm.

Câu II (2,0đ): 1.Giải phương trình 6 6sin cos 5

5 8tan( ) tan( )4 4

x x

x xπ π

+ = −+ −

2. Giải bất phương trình 3

12log 2 log

3xx − ≥

Câu III (1,0 đ): Tính tích phân I = 2

1

3 1

2.3 1

x

xdx

−−∫

Câu IV (1,0 đ): Cho hình trụ có đáy lần lượt là các đường tròn (O) , (O’) . Mặt phẳng (α) đi qua trung điểm I của đoạn thẳng OO’ tạo với đáy góc 60o cắt đáy trên theo dây cung AB, cắt đáy dưới theo dây cung CD biết ABCD là hình vuông cạnh a. Tính diện tích toàn phần của hình trụ theo a.

Câu V (1,0đ): Tìm m để phương trình sau có nghiệm : 2 1x x+ + - 2 1x x− + = m.

PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B) A. Theo chương trình Chuẩn Câu VIa (2,0 đ):

1. Cho hai đường thẳng (d1 ) và (d2 ) có phương trình : 1 2

1 2 2

( ) : 2 ;( ) : 2 3

3 3 3 1

x t x u

d y t d y u

z t z u

= + = + = + = − = − + = +

Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều với (d1) và (d2). 2. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho A(1;4) , B(3;2) . Viết phương trình đường tròn đi qua A , B và tiếp xúc với trục hoành.

Câu VIIa (1,0 đ): Tìm số phức z thoả mãn đồng thời : 11

z i

z

− =−

và 13

z i

z i

+ =−

.

B. Theo chương trình Nâng cao

Câu VIb (2,0 đ): 1( 1 đ). Trong không gian cho hai đường thẳng (a) và (b) lần lượt có phương trình :

2

( ) : 3

0

x t

a y t

z

= = =

và

6 3

( ) : 4 2

4

x u

b y u

z

= − + = − =

. Tìm giao điểm của (b) với trục Oz. Viết phương trình mặt cầu có tâm nằm

trên Oz , nhận (a) và (b) làm tiếp tuyến. 2 (1,0 đ) . Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đương thẳng (a) : 3x - 4y+8 = 0 và điểm I(2;1). Tìm toạ độ các đỉnh của hình vuông nhận I là tâm và có 2 đỉnh liên tiếp nằm trên (a).

Câu VIIb (1,0 đ): Chứng minh họ đường cong (Cm ) : 22 (1 ) 1x m x m

yx m

+ − + +=−

(m#-1) luôn tiếp xúc với 1

đường thẳng cố định . (Lưu ý: Thí sinh thi khối B và D không phải làm câu V)

----------Hết-----------

www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam

www.MATHVN.com

Trang 2

TRƯỜNG THPT MINH KHAI – HÀ TĨNH

KỲ THI TH Ử ĐHCĐ LẦN 3 NĂM 2012 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN

(Hướng dẫn chấm gồm 05 trang) Bài NỘI DUNG Điểm

1.1 1,00 TXĐ : D = R lim

xy

→±∞= −∞

y/ = -4x3 + 4x, y/ = 0 ⇔ x=0 x=-1 x=1

(Chú ý: nếu khối B, D cho 0,5 đ)

0,25

Bảng biến thiên :

(Chú ý: Nếu khối B, D cho 0,5 đ)

0,25

Cực đại tại các điểm A(-1;1) , B(1;1); Cực tiểu tại các điểm C(0;0) Hàm số đồng biến trên các khoảng : (-∞ ;-1) và (0;1) Hàm số nghịch biến trên các khoảng : (-1;0) và (1;+∞ )

y// = -12x2 + 4 , y// =

3

303

3

x

x

−=⇔

=

;

Đồ thị hàm số có hai điểm uốn : 1 2

3 7 3 7( , ), ( , )

3 9 3 9U U−

0,25

I (2đ)

Đồ thị :

Đồ thị cắt Ox tại 2

2

x

x

=

= −

Đồ thị nhận Oy làm trục đối xứng

0,25

1.2

1,0

x -∞ -1 0 1 +∞ Y’ + 0 - 0 + 0 - Y

-∞

1 1 0

-∞

-2

2

2

2− -1 1

1

0

y

x

www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam

www.MATHVN.com

Trang 3

k> 0 đường thẳng (a) tiếp xúc với (C )⇔

3

4 2

4 4 (1)

2 (2)

0

x x k

x x kx

k

− + =

− + = >

có nghiệm

Thay (1) vào (2) ⇒ -x4+2x2 = -4x4 +4x2 ⇔ 0

6

3

x

x

=

±=

�������

Đối chiếu ĐK

k>0 có x= 6

3( tm) và khi đó k =

4 6

9

0,5

C) giao với (a) : y = 4 6

9x . Ta có hoành độ giao điểm là nghiệm của

-x4 +2x2 =4 6

9x ⇔ x(x -

63

)2(9x + 6 6 ) = 0

0,25

TMBT : 2 6

( )3

2 6 16,

3 9x y

−= − = − Là toạ giao điểm phải tìm

0,25

1. Giải PT 1,0

Nhận xét 5

tan( ). tan( ) tan( ). tan( ) 14 4 4 4

x x x xπ π π π+ − = + − = −

ĐK : , ( )4

x k k zπ π≠ ± + ∈ .Từ phương trình ta có : 1-

34 sin22x =

58

0,5

⇔ sin22x = 12 ⇔

2sin 2

2

2sin 2

2

x

x

=

= −

⇔ 2x = π4 +k

π2 ⇔ x=

π8 +

kπ4

(TM) ,k∈ z

0,5

2. Giải BPT 1,0

Đk : 0

1

x

x

>∗ ≠

với đk này pt trên⇔ log 3 x - 2 ≥

3

1

log x−

0,25

II (2,0đ)

Đặt log 3 = t .Từ Pt ⇒

2 2 10

t t

t

− + ≥ Nhận xét : t2 -2t +1 ≥ 0 ∀ t∈ R

2 2 10

t t

t

− + ≥ ⇔ t >0

t > 0 ⇒ log 3 x > 0 ⇔ x > 1 (tm)

0,5 0,25

I =2 2 2 2

1 1 1 1

3 1 2.3 1 3 1 2.3 ln 3

2.3 1 2.3 1 2ln 3 2.3 1

x x x x

x x xdx dx dx dx

− − −= = −− − −∫ ∫ ∫ ∫

0,5 III (1,0đ)

I = 1- 1

ln 2.3 12 ln 3

x − 21 = 1- 3

17ln1 1 175 1 log

2 ln 3 2 5= −

0,5

www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam

www.MATHVN.com

Trang 4

Bài NỘI DUNG Điểm Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD ⇒ M, I và N thẳng hàng Góc giữa (α )và đáy hình trụ là góc 'O NI∠ = 060 MN = a

0,25

2 ( ), ( :TPS R l R Rπ= + Bán kính đáy , l =O O/) Trong tam giác ION :

IO/ =IN. /3 3 3

2 4 2

a aOO= ⇒ =

0,25

R = NC2+O/N2 , NC = a2 O/N =

a4 ⇒ R =

5

4

a

0,25

IV (1đ)

STP = 25 3 5 2 5

2 . ( ) (2 3 5)4 2 4 16

a a a aππ + = + ( Đvdt )

0,25

Đặt f(x) = 2 21 1x x x x+ + − − + :TXD D = R

f/ = 2

2 2

1 (2 1). 1 (2 1) 1

2 ( 1)( 1)

xx x x x x x

x x x x

+ − + − − + + + + − +

Lí luận f/ >0 ∀x∈ R

Đặt m = (2x +1) 2 21, (2 1) 1x x n x x x− + = − + + ⇒ m2- n2 = 6x

và dựa vào m > 0 ∀ x > - 12 ; n > 0 ∀ x >

12

(Hoặc lí luận : f/ = 0 vô nghiệm trên R , f/ (0) > 0 ⇒ f/ > 0 ∀ x ∈ R )

0,5

Tính được lim ( ) 1x

f x→±∞

= ±

Lập bảng biến thiên:

0,25

V (1đ)

Từ bảng biến thiên , kết quả bài toán : -1 < m < 1 0,25

I

600

P

L

O

O’

M

N K

x - −∞ +∞ f’ + f 1

-1

Q

www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam

www.MATHVN.com

Trang 5

Bài Nội dung Điểm 1. 1,00

1 2 1 2(2;1;3), (1;2;3); (1; 5;4)d dv v M M − ⇒��� ��� �������

Tích hỗn tạp của chúng là 24# 0 ⇒( d1) và (d2)

chéo nhau Mặt phẳng (P) cần lập phương trình có véc tơ pháp tuyến toạ độ (1;1;-1 ) Pt mặt phẳng (P) có dạng : x+y - z + D =

0,25

A(1;2-3) , B (2;-3;1) .Khoảng cách từA đến (P) bằng khoáng cách từ B đến (P)

⇒ 1 2 3 2 3 1

6 23 3

d DD D

+ + + − − += ⇔ + = −

0,5

⇔ D = -2 ⇒ Phương trình mặt phẳng (P) : x + y - z -2 = 0 0,25

2. 1,00

Gọi I là trung điểm AB⇒ I (2;3) (2; 2)AB −����

Pt trung trực của AB : x- y +1 = 0⇔

⇔ 1

x t

y t

= = +

0,25

Gọi J là tâm đường tròn TMBT⇔ 2 2

( ,(0 ))

( ;1 )(1 ) (3 ) 1

J x

J t tt t t

JA d R

+⇒ − + − = + = =

0,25

⇔ t=1 t=9 với t = 1 ⇒ J(1;2) bk : R =2 Với t = 9 ⇒ J( 9; 10) , R = 10

0,25

VIa (2đ)

các đường tròn thoã mãn bài toán : +( x -1 )2 + (y - 2)2 = 4

+ (x - 9)2 + ( y - 10 )2 = 100

0,25

Gọi Z = x +yi , x,y ∈ R 1

, 0

3

X

Y X

Y

≠ ≠ ≠

Từ bài toán ⇒ 2 2 2 2

2 2 2 2

( 1) ( 10)

( 1) ( 3)

x y x y

x y x y

+ − = − + + + = + −

0,5

VIIa (1đ)

⇔ x=y 8y=8 ⇔ x = y = 1 kết quả : Z = 1+ i

0,5

www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam

www.MATHVN.com

Trang 6

Ghi chú: Đối với thí sinh khối : B,D 1,0 điểm câu V tách ra : + Ý 1 câu I : 0,5 + ý 2 câu I :0,5 Mỗi bài có nhiều cách giải khác nhau ; TS giải đúng cho điểm tôí đa theo bài.

Bài Nội dung Điểm 1. 1,00 Giả sử (b)∩ (0 z ) = A (0;0;a ) A ∈ ( b ) ⇒ A ( 0;0; 4 ) 0,25

Do d(a , b ) = 4 = AO (O là gốc toạ độ ) Tâm mặt cầu TMBT phải là I trung điểm OA ⇒ I ( o;o;2 ) bk : R =2

0,5

Kết quả : pt mặt cầu x2 + y2 + ( z - 2 )2 = 4 0,25

2. 1,00

Chuyển ( a ) về dạng tham số : x=4t y=3t+2 Giả sử hai đỉnh của hình vuông nằm

trên (a ) là A( 4t1; 2+ 3t1) , B (4t2 ; 2 + 3t2 ) .Do I là tâm hìmh vuông nên . 0IA IB = ⇔��� ���

(4t1-2) (4t2 - 2) +(1+ 3t1) (1 + 3t2 ) = 0 (1)

0,25

Gọi H là trung điểm AB .Ta có pt của ( IH ) :2 3

1 4

x u

y u

= + = −

Giải tìm được 1 2

4 13 2( ; 0 `5 5 5

H t t⇒ = − (2)

0,25

Thay (2) vào (1) ⇒ 2

2

3

51

5

t

t

= = −

⇒ 4 7 12 19

( ; ), ( ; )5 5 5 5

A B− (Có thể đổi vai trò A,B)

0,25

VIb (2đ)

Sử dụng tính đối xứng qua I ⇒ Đỉnh đối diện vơi A có toạ độ 14 2

( ; )5 5

−

Đỉnh đối diện với B có toạ độ : 8 14

( ; )5 5

−

Kết quả : các đỉnh hình vuông là : 4 7 12 19 14 2 8 14

( ; ), ( ; ), ( ; ), ( ; )5 5 5 5 5 5 5 5

− − −

0,25

(Cm)không thể tiếp xúc với đường thẳng dạng : x = x0 ⇒ Đường thẳng phải tìm có dạng y =a x + b .Thoả mãn bài toán ⇔ phương trình :

ax + b = 22 (1 ) 1x m x m

x m

+ − + +−

có nghiệm kép x# mvà m #-1

0,25

⇔ (a-2)x2- [ (a-1) m -(b -1)x +( b +1)m +1 ] có nghiệm kép x#m và m#-1

⇔

2

2

( 1) 0, 21

( 1)( 1) 4( 2)( 1) 01

( 1) 4( 2) 0

a aa

a b a bb

b a

− = ≠= − − − − + = ⇔ = − − + + =

0,5

VIIb (1đ)

Với 1

1

a

b

= = −

khi đó nghiệm kép của(*) là x1 = x2 =-1 #m (TM)

Kết quả : Đường thẳng cần tìm là y = x - 1

0,25

www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam

www.MATHVN.com