Embed Size (px)
Citation preview
Sở GD & ĐT TP HCM ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2012Trường THCS & THPT Nguyễn Khuyến Môn: Toán - Thời gian: 180 phút
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 ðiểm)
Câu I (2 điểm) Cho hàm số . 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. 2. Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau và độ dàiđoạn thẳng AB bằng .Câu II (2 điểm)
1. Giải phương trình
2. Giải hệ phương trình :
Câu III ( 1điểm) Tính tích phân .
Câu IV (1 điểm) Cho hình lăng trụ có đáy ABC là tam giác cân, AB = BC = 3a, . Các mặt phẳng cùng tạo với mặt phẳng góc . Tính
thể tích khối lăng trụ .Câu V (1 điểm) Cho là các số thực dương thoả mãn và .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
II. PHẦN RIÊNG (3 điểm) A. Theo chương trình chuẩn
Câu VI.a.
1. Trong mặt phẳng Oxy, cho hình thoi ABCD có tâm và . Điểm
thuộc đường thẳng , điểm thuộc đường thẳng . Viết phương trình đường chéo
biết đỉnh có hoành độ nhỏ hơn 3. 2. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng
và mặt phẳng . Lập phương
trình đường thẳng (d) song song với mặt phẳng (P) và cắt lần lượt tại A, B sao cho độ dài
đoạn AB nhỏ nhất.
Câu VII.a. Tìm số phức z thỏa mãn .
B. Theo chương trình nâng caoCâu VI.b. (2 điểm)
1. Cho hình thang vuông ABCD vuông tại A và D có đáy lớn là CD, đường thẳng AD có phương trình
3x – y = 0, đường thẳng BD có phương trình x-2y=0, góc tạo bởi hai đường thẳng BC và AB bằng 450. Viết phương trình đường thẳng BC biết diện tích hình thang bằng 24 và điểm B có hoành độ dương.
2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 5; 0), B(3; 3; 6) và đường thẳng
: . Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm B và cắt đường thẳng tại điểm C
sao cho diện tích tam giác ABC có giá trị nhỏ nhất.
1
Câu VII.b. (1điểm) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình: có 2
nghiệm phânbiệt.
..................................................Hết................................................
ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN VI, Năm 2012PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 ðiểm)Câu Nội dung éiểmI
1
Tập xác định: Sự biến thiên: Chiều biến thiên: ; hoặc
Hàm số đồng biến trên các khoảng và ; nghịch biến trên khoảng
Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại ; yCT , đạt cực đại tại ; yCĐ
Giới hạn:
Bảng biến thiên:
Đồ thị:
Nhận xét:
0,25
0,25
0,25
0,25
2 Đặt với . Hệ số góc của tiếp tuyến với (C)
tại A, B là: .
Tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau khi và chỉ khi
. 0,25
2
Độ dài đoạn AB là:
Đặt t = ( a – 1 )2
Với
Với
Vậy hoặc .
0,25
0,25
0,25
II
1
ĐK: pt
+) (t/m đk)
+) t/m đk
KL:………………
0,25
0,25
0,25
0,25
2
Hệ pt . Đặt
Ta có hpt
(vô nghiệm) hoặc hoặc
+) Tìm được 2 nghiệm và
+) Tìm được nghiệm
Kết luận: Hệ phương trình có 3 nghiệm: (2;1), (-2;1), (0;5)
0,25
0,25
0,25
0,25
III
0,25
0,25
3
M
C'
A'
B C
A
B'
H
N
P
Vậy .
0,25
0,25
IV
Gọi H là hình chiếu của trên mp(ABC), M, N, P lần lượt là hình chiếu của H trên
AC, AB và BC.Khi đó
. Vậy góc giữa và là góc Tương tự ta có . Do đó
. Vậy H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC
Theo công thức
Mặt khác
Tam giác vuông có
Từ đó ( đvtt).
0,25
0,25
0,25
0,25
V
Ta có
Từ đó suy ra
Do và nên . Từ đây kết hợp với trên ta được
.
Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 5 đạt khi x=y=z=1
0,25
0,25
0,5
PHẦN RIÊNG (3 điểm)A. Theo chương trình chuẩn
4
VI.a
1
Tọa độ điểm N’ đối xứng với điểm N
qua I là
Đường thẳng AB đi qua M, N’ có phương trình: Suy ra:
Do nên . Đặt , ta có phương trình
Đặt . Do và
nên tọa độ B là nghiệm của hệ:
Do B có hoành độ nhỏ hơn 3 nên ta chọn
Vậy, phương trình đường chéo BD là: .
0,25
0,25
0,25
0,25
2
Đặt , ta có
Do AB song song với (P) nên:
Suy ra:
Do đó:
Suy ra: , ,
Vậy, phương trình đường thẳng (d) là: .
0,25
0,25
0,25
0,25
VII.a
Giả sử , khi đó
TH 1. ta được
TH 2.
Vậy có 3 số phức thỏa mãn là : z = 0 ;
0,25
0,25
0,25
0,25
5
A. Theo chương trình nâng cao
VI.b
1
Tọa độ điểm D là: => D(0;0) O
Vecto pháp tuyến của đường thẳng AD và BD lần lượt là
cos = => =450 =>AD=AB (1)
Vì góc giữa đường thẳng BC và AB bằng 450 => =450 => BCD vuông
cân tại B=>DC=2AB. Theo bài ra ta có:
=>AB=4=>BD=
Gọi tọa độ điểm , điều kiện xB>0
=> Tọa độ điểm
Vectơ pháp tuyến của BC là ( Vì )
=> phương trình đường thẳng BC là:
0,25
0,25
0,25
0,25
2
Phương trình tham số của : .
Điểm C thuộc đường thẳng nên tọa độ điểm C có dạng .
Diện tích ABC là = ≥
Vậy Min S = khi hay C(1; 0; 2).
Đường thẳng BC đi qua đi qua B và nhận làm vectơ chỉ phương nên
có phương trình chính tắc là .
0,25
0,25
0,25
0,25 VII.b
Ta có: nên
Xét , ta có:
+ Bảng biến thiên: x - +
y’ - 0 + y
-1 1
Dựa vào bảng biến thiên ta có:
0,25
0,25
0,25
6
Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi 0,25
TRƯỜNG THPTNGUYỄN XUÂN NGUYÊN
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG CÁC MÔN THI ĐH -CĐNĂM HỌC 2011 -2012Môn: TOÁN, khối A, B
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7 điểm)Câu I (2 điểm)
Cho hàm số = (1). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi .
2. Tìm để hàm số (1) đồng biến trên khoảng .Câu II (2 điểm)
1. Giải phương trình: 2. Giải hệ phương trình:
Câu III (2 điểm)
1. Tính tích phân: I =
2. Cho ba số thực dương , , thay đổi thỏa mãn điều kiện = 1. Chứng minh rằng:
+ cb 1
1+
ac 1
1 + +
Câu IV (1 điểm) Cho hình chóp có đáy là hình thoi tâm , hai mặt phẳng ( ) và ( ) cùng vuông góc với mặt phẳng ( ). Biết , 2 , khoảng cách từ điểm
đến mặt phẳng ( ) bằng . Tính thể tích khối chóp theo .
II. PHẦN RIÊNG (3 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B) A. Theo chương trình ChuẩnCâu V.a (3 điểm)1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có đỉnh A(3; -4). Phương trình đường trung trực cạnh BC, đường trung tuyến xuất phát từ lần lượt là và . Tìm tọa độ các đỉnh , của tam giác ABC.2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường tròn ( ) có phương trình và đường thẳng ( ) có phương trình : . Chứng minh rằng ( ) luôn cắt ( ) tại hai điểm phân biệt A, B . Tìm toạ độ điểm trên đường tròn ( ) sao cho diện tích tam giác lớn nhất.
3 . Giải phương trình:
B. Theo chương trình Nâng cao Câu V.b (3 điểm)1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ , cho điểm (0; 2) và hai đường thẳng , có phương trình lần lượt là và . Gọi là giao điểm của và . Viết phương trình đường
thẳng đi qua M, cắt 2 đường thẳng và lần lượt tại , ( và khác ) sao cho đạt
giá trị nhỏ nhất.2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn ( ): . Viết phươngtrình đường tròn ( ') tâm (5, 1) biết ( ') cắt ( ) tại hai điểm , sao cho .
3. Tính giá trị biểu thức A = ......-
7
----------------------------- Hết -----------------------------
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh .........................................................số báo danh.........................
HƯỚNG DẪN CHẤM THI MÔN TOÁN KHỐI A, B
KỲ THI KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG CÁC MÔN THI ĐH - CĐ NĂM HỌC 2011 - 2012
Câu Đáp án ĐiểmI
(2đ)1. (1 điểm)Với m = 2, 1. TXĐ: D = 2. Sự biến thiên:a) Chiều biến thiên:
; Hàm số đồng biến trên các khoảng (-1; 0) và (1; )Hàm số nghịch biến trên các khoảng (- ; -1) và (0; 1)-----------------------------------------------------------------------------------------------------b) Cực trị:Hàm số đạt cực đại tại x = 0; ycđ = y(0) = 0Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1; yct = y( 1) = -2----------------------------------------------------------------------------------------------------c) Giới hạn tại vô cực:
+
d) Bảng biến thiên Bảng biến thiên
-----------------------------------------------------------------------------------------------------3) Đồ thị:
0,25 đ
0,25đ
0,25 đ
0,25 đ
2) 1 điểmy' =
y' = 0 = 0 ----------------------------------------------------------------------------------------------------TH1: Nếu m- 1 0 m 1Hàm số đồng biến trên khoảng (0; + ). Vậy m 1 thoả mãn ycbt---------------------------------------------------------------------------------------------------
0,25 đ
0,25 đ
8
TH 2: m - 1 > 0 m> 1y' = 0 x = 0, x = Hàm số đồng biến trên các khoảng (- ; 0 ) và ( ; + )Để hàm số đồng biến trên khoảng (1; 3 ) thì m 2-----------------------------------------------------------------------------------------------------Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (1; 3 ) m
0,25 đ
0,25 đII(2 đ)
1. (1 đi ểm)
2cos2x - 1 + 5 = 4sinx - 2sinxcosx - 4cosx + 2cos2x =0--------------------------------------------------------------------------------------------------------
2(sinx - cosx) - sinxcosx -2 = 0Đặt t = sinx - cosx ( - )
sinxcosx =
Phương trình trở thành t2 + 4t - 5 = 0 t = 1; t = -5 (loại)-------------------------------------------------------------------------------------------------------
Với t = 1 sinx - cosx = 1 sin = 1 sin =
--------------------------------------------------------------------------------------------------------
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
2. (1 điểm) x2 -3x(y-1) + y2 + y(x-3) = 0 (x-y)2 + 3(x-y) - 4 + 0-------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------* Với x- y = 1, ta có
x = 1; y = 0 và x= -1; y = -2-----------------------------------------------------------------------------------------------------* Với x - y = -4 ta có (Hệ PT vô nghiệm)
Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm (x; y) = (1; 0) và (x; y) = (-1; -2)
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
III(2 đ)
1. (1 điểm)
I = -2
-----------------------------------------------------------------------------------------------------Ta có
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
0,25 đ
0,25 đ
9
Tính J =
Đặt t = 1 + lnx
J = = = (t - ln ) = 1 - ln2
-------------------------------------------------------------------------------------------------------Vậy I = e - 1 - 2(1- ln2) = e - 3 + 2ln2
0,25 đ
0,25 đ
2. (1 điểm)Do vai trò của a, b, c bình đẳng nên ta giả thiết 0 < a b cKhi đó 0 < 1 + a + b 1 + a + c 1 + b + cvà 0 < 2 + a 2 + b 2 + cTa có
+ + - =
= + +
+ + =
Vậy + cb 1
1+
ac 1
1 + +
IV(1 đ)
Từ giả thiết hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD)nên giao tuyến của chúng là SO (ABCD).
VSABCD = SO.SABCD
Diện tích đáy
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
.Ta có tam giác ABO vuông tại O và AO = ; BO = a , do đó tam giác ABD đều.
Do tam giác ABD đều nên với H là trung điểm của AB, K là trung điểm của HB ta có
và DH = ; OK // DH và OK AB AB
(SOK)Gọi I là hình chiếu của O lên SK ta có OI SK; AB OI OI (SAB) , hay OI là khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SAB)
Tam giác SOK vuông tại O, OI là đường cao
Đường cao của hình chóp .
Thể tích khối chóp S.ABCD:
0,25 đ
0,5 đ
0,25 đ
10
S
A
BK
H
C
O
ID3a
a
Va(3 đ)
1. (1 điểm)Gäi C = (c; 3c - 9) vµ M lµ trung ®iÓm cña BC M(m; 1-m)Suy ra: B= (2m-c; 11 -2m- 3c). ------------------------------------------------------------------------------------------------------
Gọi I lµ trung ®iÓm cña AB, ta có I( ; )
Vì I nằm trên đường thẳng 3x - y - 9 = 0 nªn
m = 2 M(2; -1)Ph¬ng tr×nh BC: x – y - 3=0--------------------------------------------------------------------------------------------------------Täa ®é cña C lµ nghiÖm cña hÖ: Täa ®é cña C = (3; 0), toạ độ B(1; -2)
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
2. (1 điểm)Đường tròn (C) có tâm I(-1; 2), bán kính R = .
Khoảng cách từ I đến đường thẳng ( ) là < R
Vậy đường thẳng ( ) cắt (C) tại hai điểm A, B phân biệt.---------------------------------------------------------------------------------------------------------
Gọi M là điểm nằm trên (C), ta có
Trong đó AB không đổi nên lớn nhất khi lớn nhất.--------------------------------------------------------------------------------------------------------Gọi d là đường thẳng đi qua tâm I và vuông góc với ( ).PT đường thẳng d là 3x + 2y - 1 = 0Gọi P, Q là giao điểm của đường thẳng d vời đường tròn (C). Toạ độ P, Q là nghiệm của hệ phương trình:
P(1; -1); Q(-3; 5)
Ta có ;
---------------------------------------------------------------------------------------------------------Ta thấy lớn nhất khi và chỉ khi M trùng với Q. Vậy tọa độ điểm M (-3; 5).
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
3. (1 điểm)Điều kiện: x > 1
--------------------------------------------------------------------------------------------------------
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
0,25 đ
0,25 đ
0,5 đ
11
(loại)
Vậy PT có nghiệm x =
Vb(3 đ)
1. (1 điểm)Toạ độ điểm A(-1; 1)-----------------------------------------------------------------------------------------------------Ta thấy 2 đường thẳng d1 và d2 vuông góc với nhauGọi là đường thẳng đi qua M, cắt 2 đường thẳng và lần lượt tại , ( và khác
). Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên . Ta có:
(không đổi)
------------------------------------------------------------------------------------------------------
đạt giá trị nhỏ nhất bằng khi H M, hay là đường thẳng đi qua
M và vuông góc với AM.-------------------------------------------------------------------------------------------------------PT đường thẳng : x + y - 2 = 0
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
2. (1 đi ểm)Phương trình đường tròn (C): x2 + y2 – 2x + 4y + 2 = 0 có tâm I(1, –2), bkĐường tròn (C') tâm M cắt đường tròn (C) tại A, B nên AB IM tại trung điểm H củađoạn AB.
Ta có
Gọi Trường hợp 1: Có 2 vị trí cho AB đối xứng qua tâm I.Gọi A'B' là vị trí thứ 2 của ABGọi H' là trung điểm của A'B'
Ta có:
Ta có:
và ;
Ta có:
Vậy có 2 đường tròn (C') thỏa ycbt là: (x – 5)2 + (y – 1)2 = 13hay (x – 5)2 + (y – 1)2 = 43
3
12
