TÀI LIỆU THAM KHẢO - moon.vnại số A.pdf · như các tóm tắt lý thuyết vận dụng để nhanh chóng có thể giải bài tập cho cả Toán A, Toán B và Toán

TLTK: LT – TOÁN CAO CẤP A1 - ĐẠI SÔ (NĂM HỌC 2017 -2018)

GIẢNG VIÊN: TS. NGUYỄN ĐỨC TRUNG

Link http://www.moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/1010/7 1

TÀI LIỆU THAM KHẢO

TOÁN CAO CẤP A1 - ĐẠI SỐ


NĂM HỌC: 2017 -2018

TRANG CHỦ:

http://www.moon.vn/DaiHoc/TCC/




LỜI NÓI ĐẦU

CHƢƠNG TRÌNH GIẢNG DẠY TOÁN CAO CẤP

TRÊN MOON.VN NĂM HỌC 2017 - 2018

Chúc mừng các bạn đã bước vào một ngưỡng cửa mới của cuộc đời. Việc đỗ

Đại học mở ra cho các em một trang mới với đầy cơ hội nhưng không kém thách

thức. Thách thức không chỉ ở việc học xa nhà hoặc ở môi trường mà cơ hội tiếp

xúc để hỏi đáp với Giảng viên rất hạn chế trên những giảng đường lớn hàng trăm

Sinh viên mà ở khối lượng kiến thức đồ xộ.

Tại bậc học Đại học, một môn học được chia ra làm các phân môn (hay còn

gọi là học phần). Các học phần có tính độc lập tương đối về nội dung kiến thức nên

được tổ chức học và đánh giá kết quả học tập độc lập hoàn.

Bài tập hoàn toàn được tập trung dồn vào cuối chương hoặc chuyên đề chứ

không theo bài (các buổi học). Các bài tập cũng được giải theo tính chủ động học

tập của Sinh viên. Rất nhiều bạn Sinh viên ngỡ ngàng với việc học ở bậc Đại học

nên kết quả học tập các môn học Đại cương thường thấp hơn những môn học

chuyên ngành ở năm thứ 3, thứ 4 (hoặc thứ 5).

Tuy nhiên, chương trình giảng dạy Toán Cao Cấp tại Moon.vn vấn thiết kế

bài tập tại cuối các bài học lý thuyết (qua Video theo truyền thống ở Moon.vn) và

cuối các chương (Phần luyện tập chuyên đề). Cũng nhằm để làm quen với cách học

ở Đại học, một số video bài tập được đưa ra với mục đích hướng dẫn các em cách

làm bài tập và trình bầy ở bậc Đại học.

Thầy thiết kế chương trình với lịch phát sóng sớm để các em có cơ hội tiếp

cận sớm với kiến và kỹ năng làm bài tập tốt. Hy vọng với sự chuẩn bị sớm và tốt,

các em sẽ thành đạt bởi theo kinh nghiệm: 95% thành công do việc chuẩn bị.




Để các bạn Sinh viên tiện theo dõi chương trình học, Thầy thiết kế chương

trình đào tạo được đánh mã số chi tiết theo các phân đoạn đơn vị kiến thức tuần tự

để các em dễ dàng theo dõi. Các em có thể vào đường link sau để biết rõ về toàn bộ

chương trình: http://www.moon.vn/DaiHoc/TCC/

Tại bậc Phổ thông, các em học một chương trình Toán duy nhất còn đối với

Toán Cao Cấp thì sự khác biệt rất lớn được thể hiện ở từng Trường, thâm chí từng

khối ngành học trong Trường.

Đối với các khối ngành Kỹ thuật, Khoa học (Sư phạm, KHTN), Công nghệ,

chương trình Toán Cao Cấp được học là Toán A gồm có 4 học phần riêng

biệt với đường link chính cho Toán A

(http://www.moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/1010/7):

o Toán A1: Đại số tuyến tính

o Toán A2: Giải tích 1



Đối với các khối ngành Nông – Lâm – Y – Dược, chương trình Toán Cao

Cấp được học là Toán B gồm có 2 học phần riêng biệt với đường link chính

cho Toán B (http://www.moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/1011/7):

o Toán B1: Đại số tuyến tính

o Toán B2: Giải tích

Đối với các khối ngành Kinh tế, Thương mại, Tài chính, Ngân hàng, Luật

hoặc Quản trị kinh doan ... chương trình Toán Cao Cấp được học là Toán C

gồm có 2 học phần riêng biệt với đường link chính cho Toán C

(http://www.moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/1012/7):

o Toán C1: Đại số tuyến tính

o Toán C2: Giải tích

Tại Moon.vn, kiến thức lý thuyết đã được bố trí với các nội dung chi tiết cho

từng khối ngành thông qua hệ thống video bài giảng cùng giáo trình đầy đủ cũng

như các tóm tắt lý thuyết vận dụng để nhanh chóng có thể giải bài tập cho cả Toán

A, Toán B và Toán C. Đi kèm lý thuyết cơ bản là một kho dữ liệu khổng bài tập

được tổng hợp từ các Đề thi giữa và cuối Học kỳ các năm gần đây của các khối

ngành:

http://moon.vn/KhoaHoc/MonHoc/7

http://moon.vn/Pro/7/212






Toán A1, A2, A3 và A4: hơn 3500 bài tập

Toán B1 và B2: gần 2000 bài tập

Toán C1 và C2: gần 2000 bài tập

Các bài tập trọng yếu được quay Video đi kèm lời giải giúp các em ôn tập dễ

dàng, tiếp cận phương pháp giải nhanh chóng và chính xác.

Thầy và đội ngũ các Supper Mods (cũng đều là các Giảng viên dạy Đại học) rất

vui được trao đổi trên diễn đàn Toán cao cấp tại Moon.VN trên Facebook với

đường link sau: https://www.facebook.com/groups/TCC.moon/

Các em cũng có thể thắc trực tiếp với thầy tại trang Facebook cá nhân với

đường link sau: https://www.facebook.com/Thay.Trung.Toan

Chúc các em nhanh chóng thu lượm được những kiến thức, hoàn thiện kỹ năng

và vận dụng sáng tạo !

https://www.facebook.com/groups/TCC.moon/

https://www.facebook.com/Thay.Trung.Toan




MỤC LỤC

MỤC LỤC .................................................................................................................. 5

Chương 1: Ma trận, định thức và hệ phương trình tuyến tính ................................... 8

1.1.Ma trận. ............................................................................................................. 8

1.1.1.Định nghĩa: ................................................................................................. 8

1.1.2.Các khái niệm khác: ................................................................................... 8

1.1.3.Các phép toán trên ma trận. ......................................................................10

1.1.4. Ma trận đối xứng và ma trận phản xứng. ................................................13

1.1.5.Hạng của ma trận. .....................................................................................14

1.1.6.Ma trận nghịch đảo. ..................................................................................14

1.1.7.Đa thức ma trận. .......................................................................................17

1.2..Định thức. ......................................................................................................17

1.2.1.Định thức cấp 2. ........................................................................................17

1.2.2.Định thức cấp 3. ........................................................................................18

1.2.3.Định thức cấp n. ........................................................................................18

1.2.4.Các tính chất của định thức. .....................................................................19

1.3.Hệ phương trình tuyến tính. ............................................................................19

1.3.1.Phương pháp Cramer: ...............................................................................19

1.3.2.Phương pháp Gauss. .................................................................................21

Chương 2 Không gian vecto. ...................................................................................22

2.1. Không gian vectơ, không gian con, không gian con sinh bởi một tập hợp. ..22

2.1.1.Không gian vecto. .....................................................................................22

2.1.2..Không gian vecto con. .............................................................................23

2.1.3.Tập sinh-không gian vecto sinh bởi một tập hợp .....................................23

2.2.Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính. ...................................................23




2.2.1.Tổ hợp tuyến tính. .....................................................................................23

2.2.2.Độc lập tuyến tính. ....................................................................................24

2.2.3.Phụ thuộc tuyến tính. ................................................................................24

2.2.4.Các tính chất. ............................................................................................24

2.2.5.Định lý. .....................................................................................................24

2.3.Cơ sở, số chiều của một không gian vecto. ....................................................25

2.3.1.Cơ sở, số chiều của không gian vecto. .....................................................25

2.3.2.Định lý. .....................................................................................................26

2.4.Tọa độ và ma trận chuyển cơ sở. ....................................................................26

2.4.1.Tọa độ của vecto trong cơ sở. ...................................................................26

2.4.2.Ma trận chuyển cơ sở. ...............................................................................27

2.4.3.Định lý ma trận chuyển cơ sở. ..................................................................27

2.4.4.Công thức đổi tọa độ. ................................................................................27

Chương 3: Ánh xạ tuyến tính. ..................................................................................29

3.1.Ánh xạ tuyến tính. ...........................................................................................29

3.1.1.Định nghĩa. ...............................................................................................29

3.1.2.Các tính chất cơ bản của ánh xạ tuyến tính. .............................................29

3.2.Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính. ................................................................29

3.2.1.Các định nghĩa. .........................................................................................29

3.2.2.Tìm cơ sở cho Imf và Kerf. ......................................................................30

3.2.3.Mối liên hệ giữa số chiều của hạt nhân và ảnh. ........................................31

3.3.Ma trận của ánh xạ tuyến tính. ........................................................................32

3.4.Toán tử tuyến tính. ..........................................................................................33

3.4.1.Định nghĩa: ...............................................................................................33

3.4.2.Cộng và nhân các toán tử tuyến tính. .......................................................34

Chương 4: Giá trị riêng và vecto riêng. ...................................................................35

4.1.Phương trình đặc trưng. ..................................................................................35




4.2.Giá trị riêng, vecto riêng. ................................................................................35

4.3.Chéo hóa ma trận. ...........................................................................................36

Chương 5: Dạng song tuyến tính, dạng toàn phương, tích vô hướng và không gian

Euclid. ......................................................................................................................38

5.1.Ánh xạ song tuyến tính, dạng song tuyến tính. ..............................................38

5.2.Dạng toàn phương. ..........................................................................................38

5.2.1.Định nghĩa. ...............................................................................................38

5.2.2.Phân loại dạng toàn phương. ....................................................................39

5.2.3.Dạng chính tắc của dạng toàn phương. ....................................................39

5.2.4.Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc. ...............................................39

5.3.Tích vô hướng và không gian Euclid. .............................................................42

5.3.1.Định nghĩa. ...............................................................................................42

5.3.2.Trực giao, trực chuẩn. ...............................................................................43

5.3.3.Thuật toán trực giao hóa một họ vecto độc lập tuyến tính. ......................44

Chương 6: Bổ sung về số phức. ...............................................................................45

6.1.Dạng đại số của số phức. ................................................................................45

6.2.Dạng lượng giác của số phức. .........................................................................46

6.3.Dạng mũ của số phức. .....................................................................................47

6.4.Nâng số phức lên lũy thừa. .............................................................................47

6.5.Định lý cơ bản của đại số. ...............................................................................47

6.6. Một số ví dụ ...................................................................................................47




Chƣơng 1: Ma trận, định thức và hệ phƣơng trình tuyến tính

1.1.Ma trận.

1.1.1.Định nghĩa:

Cho m, n là hai số nguyên dương. Ta gọi một ma trận A cấp m x n là một bảng

gồm m.n phần tử ija K i 1,m; j 1,n được sắp xếp thành m dòng và n cột như sau:

11 12 1n

21 22 2n

m1 m2 mn

a a a

a a aA

a a a

Kí hiệu: ij mxnA a .

Các phần tử ở dòng thứ i và cột thứ j được gọi là phần tử ija .

1.1.2.Các khái niệm khác:

1. Ma trận không:

Một ma trận cấp m x n được gọi là ma trận không nếu mọi phần tử đều bằng 0.

2. Ma trận vuông:

Một ma trận ij mxnA a được gọi là ma trận vuông nếu m = n. Lúc đó ta gọi A là

ma trận vuông cấp n, kí hiệu ij nA a .

3. Ma trận đơn vị:

Cho ma trận vuông ij nA a . A được gọi là ma trận đon vị nếu mọi phần tử nằm

trên đường chéo chính bằng 1 còn các phần tử khác đều bằng 0. Lúc đó A được kí hiệu là

nI : ma trận đơn vị cấp n.




Ví dụ: 2 3

1 0 01 0

I ; I 0 1 00 1

0 0 1

4. Ma trận chéo:

Cho ij nA a . A được gọi là ma trận chéo nếu mọi phần tử không thuộc đường

chéo chính đều bằng 0.

Ví dụ:

1 0 0

A 0 2 0

0 0 9

là ma trận chéo.

5. Ma trận tam giác:

Cho ij nA a . A là ma trận tam giác trên nếu mọi phần tử nằm dưới đường chéo

chính đều bằng 0. A là ma trận tam giác dưới nếu mọi phần tử nằm trên đường chéo

chính đều bằng 0. A là một ma trận tam giác nếu nó là ma trận tam giác trên hoặc dưới.

Ví dụ:

1 9 0

A 0 8 5

0 0 9

là ma trận tam giác trên.

2 0 0

B 7 3 0

2 8 5

là ma trận tam giác dưới.

6. Ma trận dòng, cột:

Ma trận ij 11 12 1n1xnA a a a ... a được gọi là ma trận dòng.




Ma trận

11

21

ij mx1

m1

b

bB b

...

b

được gọi là ma trận cột.

7. Ma trận bậc thang:

Ma trận bậc thang là ma trận bậc thang có phần tử khác 0 đầu tiên của dòng trên

nằm về bên trái so với phần tử khác 0 đầu tiên của dòng dưới.

Ví dụ:

3 5 2 7 12 3

0 0 1 9 2 1A

0 0 0 0 4 2

0 0 0 0 0 0

là ma trận bậc thang.

8. Hai ma trận ij mxnA a và ij mxn

B b được gọi là bằng nhau nếu ij ija b với mọi i,

j.

9. Cho ma trận vuông

11 12 1n

21 22 2n

ij n

n1 n2 nn

a a a

a a aA a

a a a

Các phần tử 11 22 nna , a , ...., a gọi là các phần tử thuộc đường chéo chính.

Các phần tử ija i j gọi là các phần tử nằm trên đường chéo phụ.

1.1.3.Các phép toán trên ma trận.

a.Cộng ma trận.

-Định nghĩa: Cho hai ma trận cùng cấp ij mxnA a và ij mxn

B b . Tổng của hai

ma trận A, B là một ma trận ij mxnC c với ij ij ijc a b . Kí hiệu A B C.




Ví dụ:

1 0 2 0 7 9 1 0 0 7 2 9 1 7 11

4 1 5 2 3 8 4 2 1 3 5 8 2 2 13

7 2 3 0 1 1 7 0 2 1 3 1 7 3 4

-Tính chất: Cho A, B, C, 0 là các ma trận cùng cấp, khi đó:

(i) A B C A B C (tính kết hợp)

(ii) A B B A (tính giao hoán)

(iii) A 0 0 A A

(iv) A A A A 0

b. Nhân một phần tử của trường K với ma trận.

-Định nghĩa: Cho ij mxnA a , k K. Phép nhân một phần tử của trường K với

ma trận A cho ta một ma trận ij mxnB b với ij ijb k.a

-Kí hiệu:

11 1n

m1 nn

ka ... ka

kA B ... ... ...

ka ... ka

Đặc biệt khi k 1 K, thay cho (-1)A ta sẽ viết –A và gọi nó là ma trận đối của A.

-Tính chất: Cho A, B là các ma trận cùng cấp, , K. Khi đó:

(i) A B A B

(ii) A A A

(iii) A A A

(iv) 1.A A

c. Phép nhân hai ma trận




-Định nghĩa: Cho ij mxnA a là ma trận cấp m x n trên K và jk nxp

B b là ma

trận cấp n x p trên K. Ta gọi tích của A với B, kí hiệu AB, là một ma trận ik mxpC c

cấp m x p trên K mà các phần tử của nó được xác định như sau:

n

ik ij jk

j 1

c a b ; i 1,m, j 1,p.

Ví dụ: Cho

1 31 2 1

A , B 2 1 .3 1 2

3 1

Tính AB, BA?

1 31.1 2.2 1 .3 1.3 2.1 1 . 11 2 1 2 6

AB 2 13.1 1.2 2.3 3.3 1.1 2. 13 1 2 11 8

3 1

1 3 10 5 51 2 1

BA 2 1 5 5 03 1 2

3 1 0 0 5

*Nhận xét:

1) Điều kiện để phép nhân hai ma trận thực hiện được là số cột của ma trận 1

bằng số dòng của ma trận 2.

2) Phép nhân hai ma trận không có tính giao hoán.

d. Chuyển vị ma trận.

-Định nghĩa: Cho ij mxnA a . Chuyển vị của ma trận A là ma trận B có cấp n x

m và cá phần tử được xác định như sau: ij jib a

Ta kí hiệu ma trận chuyển vị của ma trận A là tA . Nói một cách khác chuyển vị

của ma trận A là ma trận B được suy ra bằng cách đổi dòng thành cột và đổi cột thành

dòng.




Ví dụ: t

3x4

4x3

1 2 11 1 0 2

1 3 0A 2 3 5 0 A

0 5 31 0 3 4

2 0 4

e. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng.

Các phép biến đổi ma trận A thành ma trận A’ sau được gọi là các phép biến đổi

sơ cấp trên dòng.

-Loại 1: Đổi chỗ hai dòng cho nhau, kí hiệu: i jd d

A A'

-Loại 2: Biến dòng i thành c lần dòng i c 0 , kí hiệu: i id cdA A'

-Loại 3: Biến dòng i thành dòng i cộng c lần dòng j c 0, i j , kí hiệu:

i i jd d cdA A'

1.1.4. Ma trận đối xứng và ma trận phản xứng.

-Định nghĩa: Cho A là ma trận vuông cấp n.

+) A gọi là ma trận đối xứng nếu tA A.

+) A gọi là ma trận phản xứng nếu tA A.

Ví dụ:

Cho t

1 2 0 1 2 0

A 2 3 1 A 2 3 1 A

0 1 1 0 1 1

Vậy A là ma trận đối xứng.

Cho t

0 2 1 0 2 1

B 2 0 3 B 2 0 3 B

1 3 0 1 3 0

Vậy B là ma trận phản xứng.




1.1.5.Hạng của ma trận.

Cho ma trận ij mxnA a và ij mxn

B b là ma trận bậc thang nhận được từ A

bằng một số hữu hạn các phép biến đổi sơ cấp. Khi đó số dòng (cột) khác không của B

được gọi là hạng của A, kí hiệu là rank A hoặc r A .

Ví dụ: Tìm hạng của ma trận

1 2 3

A 4 5 6

3 3 9

Dùng phép biến đổi sơ cấp trên dòng đưa ma trận A về dạng bậc thang:

3 3 22 2 1

3 3 1

d d 3dd d 4d

d d 3d

1 2 3 1 2 3 1 2 3

A 4 5 6 0 3 6 0 3 6 B

3 3 9 0 9 18 0 0 0

Ma trận bậc thang B có hai dòng khác 0 nên rank(A) = 2.

1.1.6.Ma trận nghịch đảo.

1) Định nghĩa:

Cho ma trận ij nA a ta nói A khả nghịch nếu B thỏa mãn

nBA AB I

Ta nói B là ma trận nghịch đảo cua A, kí hiệu 1B A .

A khả nghịch nếu và chỉ nếu det A 0.

2) Tính chất:

Nếu A, B là hai ma trận khả nghịch thì:




11

1 1 1

1 tt 1

1 1

(i) A A

(ii) AB B A

(iii) A A

1(iv) cA A

c

(v) Nếu A khả nghịch thì 11det A det A

3) Phương pháp tìm ma trận nghịch đảo bằng biến đổi sơ cấp.

Người ta chứng minh được kết quả sau: Cho A là ma trận khả nghịch, khi đó

những phép biến đổi sơ cấp trên dòng nào biến A thành nI thì chúng cũng biến

nI (theo

thứ tự đó) thành 1A .

Từ đó ta có phương pháp tìm ma trận nghịch đảo như sau:

Để tìm ma trận 1A với

11 12 1n

21 22 2n

n1 n2 nn

a a ... a

a a ... aA

... ... ... ...

a a ... a

Ta lập ma trận

11 12 1n

21 22 2n

n

n1 n2 nn

a a ... a 1 0 ... 0

a a ... a 0 1 ... 0A | I

... ... ... ... ... ... ... ...

a a ... a 0 0 ... 1

Dùng phép biến đổi sơ cấp dòng đối với nA | I để biến A thành nI khi đó

nI

biến thành 1A .

Ví dụ: Tìm 1A với

1 3 2

A 1 4 2

1 3 3




Ta có: 2 2 1

3 3 1

d d d

3 d d d

1 3 2 1 0 0 1 3 2 1 0 0

A | I 1 4 2 0 1 0 0 1 0 1 1 0

1 3 3 0 0 1 0 0 1 1 0 1

1 1 3

1 1 2

d d 2d 1

3d d 3d

1 0 0 6 3 2

0 1 0 1 1 0 I | A

0 0 1 1 0 1

Vậy 1

6 3 2

A 1 1 0

1 0 1

4) Tìm ma trận nghịch đảo nhờ định thức.

Ta gọi ma trận phụ hợp AP của ma trận A là ma trận được xác định như sau:

A jiijP A

Để tìm 1A ta thực hiện hai bước:

- B1: Tính D det A

- B2: Lập ma trận phụ hợp AP . Khi đó

1

A

1A P .

D

Ví dụ: Cho

1 3 2

A 1 4 2

1 3 3

Ta có D det A 1.




1 1 1 2 1 3

11 12 13

2 1 2 2 2 3

21 22 23

3 1 3 2 3 3

31 32 33

4 2 1 2 1 4A 1 6; A 1 1; A 1 1;

3 3 1 3 1 3

3 2 1 2 1 3A 1 3; A 1 1; A 1 0;

3 3 1 3 1 3

3 2 1 2 1 3A 1 2; A 1 0; A 1 1

4 2 1 2 1 4

Khi đó 1

A

6 3 21

A P 1 1 0D

1 0 1

1.1.7.Đa thức ma trận.

-Định nghĩa: Cho A là một ma trận vuông trên K và

n

0 1 np x a a x ... a x K x là một đa thức của biến x với hệ số trên K. Khi đó

ma trận n

0 1 na I a A ... a A

Trong đó I là ma trận đơn vị cùng cấp với A, được gọi là giá trị của đa thức p x

tại x A, kí hiệu p A . Nó cũng được gọi là đa thức ma trận.

A gọi là một nghiệm ma trận cảu đa thức p x nếu đa thức ma trận p A 0

(ma trận không cùng cấp với A).

1.2..Định thức.

1.2.1.Định thức cấp 2.

Cho ma trận ij 2A a , định thức cấp 2 của ma trận A được xác định và kí hiệu

như sau:

11 12

11 22 21 12

21 22

a adetA A a a a a

a a




Ví dụ: Cho 1 2

A3 1

ta có

1 2det A 1.1 2. 3 7.

3 1

1.2.2.Định thức cấp 3.

Cho ij 3A a , định thức cấp 3 của ma trận A được xác định và kí hiệu như sau:

11 12 13

21 22 23 11 22 33 12 23 31 21 32 13 13 22 31 12 21 33 23 32 11

31 32 33

a a a

det A a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a

a a a

1.2.3.Định thức cấp n.

Cho ij nA a ta kí hiệu A i, j là ma trận có được từ A bằng cách bỏ dòng i và

cột j

Ví dụ: Cho

1 3 4

A 4 5 6

3 2 3

thì 1 4

A 2,23 3

Phần bù đại số của phần tử ija là một số được xác định và kí hiệu như sau:

i j

ijA 1 det A i, j

Cho ij nA a , định thức cấp n của ma trận A được định nghĩa là:

11 12 1n

n21 22 2n

pj pj

j 1

n1 n2 nn

a a ... a

a a ... adet A a A

... ... ... ...

a a ... a

(khai triển theo dòng p) hoặc

n

iq iq

i 1

det A a A

(Khai triển theo cột q).




Ví dụ: Cho

1 1 2 2

1 2 1 2A .

2 1 2 1

2 2 2 1

Tính detA?

Ta khai triển theo dòng 1:

1 1 1 2

11 12

1 3 1 4

13 14

2 1 2 1 1 2

A 1 1 2 1 3; A 1 2 2 1 0;

2 2 1 2 2 1

1 2 2 1 2 1

A 1 2 1 1 3; A 1 2 1 2 0

2 2 1 2 2 2

Do đó 4

1j 1j

j 1

det A a A 1. 3 1.0 2.3 2.0 3

1.2.4.Các tính chất của định thức.

1) Nếu đổi dòng thành cột, cột thành dòng thì định thức không thay đổi.

2) Nếu đổi chỗ hai dòng cho nhau thì định thức đổi dấu, tức là i jd d

A A'

thì

det A det A'.

3) Từ một dòng (một cột) ta cộng vào một dòng khác (cột khác) sau khi nhân một

số c 0 thì định thức không đổi, tức là i i jd d cd

A A'

khi đó det A'=detA.

4) Ta có thể đưa thùa số chung c 0 ra ngoài định thức, tức là i id cdA A'

khi đó detA' cdet A.

5) Cho hai ma trận vuông A, B khi đó det(AB) det A.det B.

1.3.Hệ phƣơng trình tuyến tính.

1.3.1.Phương pháp Cramer:

Hệ phương trình gồm n phương trình và n ẩn:




11 1 12 2 1n n 1

21 1 22 2 2n n 2

n1 1 n2 2 nn n n

a x a x ... a x b

a x a x ... a x b3.1

...

a x a x ... a x b

Đặt D det A và jD là định thức có được bằng cách thay cột j của D bởi cột tự

do. Khi đó hệ Cramer có nghiệm duy nhất xác định theo công thức:

1 2 n1 2 n

D D Dx , x ,..., x .

D D D

Ví dụ: Giải hệ

1 2 3

1 2 3

1 2 3

x x x 1

2x 6x x 0

3x 4x 2x 0

Ta có

1 1 1

A 2 6 1 , D det A 11 0.

3 4 2

1 2 3

1 1 1 1 1 1 1 1 1

D 0 6 1 8, D 2 0 1 7, D 2 6 0 26

0 4 2 3 0 2 3 4 0

Vậy hệ có nghiệm duy nhất 1 2 3

8 7 26x , x , x

11 11 11

*Định lí Kronecker-Capelli

Hệ (3.1) có nghiệm khi và chỉ khi r(A) r(A | B). Hơn nữa:

(i) r(A) r(A | B) n : hệ có nghiệm duy nhất.

(ii) r(A) r(A | B) n : hệ có vô số nghiệm.

(iii) r(A) r(A | B) : hệ vô nghiệm.




1.3.2.Phương pháp Gauss.

B1: Lập ma trận mở rộng của A:

111 12 1n

21 22 2n 2

m1 m2 mn m

ba a ... a

a a ... a bA | B

... ... ... ... ...

a a ... a b

B2: Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng đưa ma trận A | B về ma trận A' | B'

trong đó A’ là ma trận bậc thang (rút gọn). Dựa vào định lí Kronecker_capelli để kết luận

nghiệm.


1 2 3

1 2 3

1 2 3

x 2x x 1

2x 5x x 6

x 4x 2x 2

Ma trận hóa hệ trên ta được:

1 2 1 1 1 2 1 1 1 0 3 7 1 0 0 40

2 5 6 6 0 1 1 4 0 1 1 4 0 1 0 15

1 4 2 2 0 2 3 3 0 0 1 11 0 0 1 11

Hệ có nghiệm duy nhất là 1 2 3x 40, x 15, x 11.


1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

x 2x 3x x 1

3x x 5x 3x 1

4x _3x 8x 4x 0

Ta có

1 2 3 11 1 2 3 1 1

A | B 3 1 5 31 0 7 4 0 4

4 3 8 4 0 0 0 0 0 2

Suy ra r A | B 3, mà r A 2 r A | B . Vậy hệ vô nghiệm.




Chƣơng 2 Không gian vecto.

2.1. Không gian vectơ, không gian con, không gian con sinh bởi một tập hợp.

2.1.1.Không gian vecto.

-Định nghĩa: Tập hợp V được gọi là một không gian vecto trên nếu ta

định nghĩa hai phép toán cộng (+) và nhân vô hướng (.) trên V thỏa 10 tiên đề sau:

u,v,w V; ,

1) u,v V, u v V

2) u v v u

3) u v w u v w

4) 0 V, u 0 0 u u

5) u V, ( u) : u ( u) 0

1') u V, , u V

2') u u u

3') u u u

4') u v u v

5')1u u

-Tính chất:Từ các tiên đề trên ta suy ra được vài tính chất sau của không gian vecto:

1) 0 0

2) 0u 0

3) 1 u u

4) u 0 0 u 0

u u, u 0

u v, 0 u v

5) Vecto 0 là vecto đối (-u) của u tồn tại duy nhất.

6) u, v, w V:u w v w u v




2.1.2..Không gian vecto con.

Định nghĩa: Cho V là không gian vecto trên R và W V. W được gọi là

không gian con của V nếu W cũng là không gian vecto trên R với các phép toán cộng và

nhân như trên V.

Kí hiệu: W V.

Định lý sau cho ta điều kiện cần và đủ để tập W là không gian con của V: Cho V

là không gian vecto trên R và W V. W là không gian con của V khi và chỉ khi

u,v W, R :u v W và u W.

Ví dụ: Xét 3

1 2 3 1W x ,x ,x / x 0 . Khi đó W là không gian con của 3.

Thật vậy 3

1 2 3 1 2 3x ,x ,x , y ,y ,y sao cho 1 1x y 0. Ta có:

1 1 1 1 2 2 3 3

3

1 1 2 3 1 2 3

x y 0 x y ,x y ,x y W

x 0 x ,x ,x x , x , x

2.1.3.Tập sinh-không gian vecto sinh bởi một tập hợp

Cho V là không gian vecto trên R và 1 nu ,...,u V. Gọi S là tập tất cả các tổ

hợp tuyến tính của 1 nu ,...,u . Khi đó S là một không gian con của V, ta nói S là không

gian con của V sinh bởi 1 nu ,...,u . Ký hiệu là 1 nS u ,...,u

Quy ước 0 . Nếu S V thì ta nói S sinh ra V hay S là tập sinh của V.

2.2.Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính.

2.2.1.Tổ hợp tuyến tính.

Cho V là không gian vecto trên và các vecto 1 nu, u ,...,u V. Ta nói u là tổ

hợp tuyến tính của hệ vecto 1 nu ,...,u khi và chỉ khi tồn tại 1 2 n, ,..., sao cho

1 1 n nu u ... u .




Ta cũng nói u biểu thị tuyến tính được qua hệ vecto 1 nu ,...,u

Ví dụ: Trong 3, xét các vecto 1 2 3u 2,3,1 , u 2,1,3 , u 2,0,0 , u 1,1, 1 .

Khi đó 1 2 3u u u 2u nên u là tổ hợp tuyến tính của các vecto

1 2 3u ,u ,u .

2.2.2.Độc lập tuyến tính.

Hệ vecto 1 nu ,...,u được gọi là độc lập tuyến tính nếu 1 1 n nu ... u 0 thì

1 n... 0.

Ví dụ: Hệ 1 2 3u 1,1,2 , u 1, 1, 1 , u 2,1,1 là ĐLTT vì từ

1 2 3xu yu zu 0 ta suy ra x y z 0.

2.2.3.Phụ thuộc tuyến tính.

Hệ vecto 1 nu ,...,u được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu tồn tại i i 1,na

thỏa

n2

i

i 1

a 0

sao cho 1 1 n nu ... u 0.

Ví dụ: Trong 3 xét các vecto 1 2 3u 1,1,2 , u 2,0,1 , u 1, 1, 3 . Khi đó

1 2 3u u u 0 nên hệ các veco 1 2 3u ,u ,u là phụ thuộc tuyến tính.

2.2.4.Các tính chất.

1) Mọi hệ chứa vecto 0 đều phụ thuộc tuyến tính.

2) Mọi hệ chứa một hệ con phụ thuộc tuyến tính thì phụ thuộc tuyến tính.

3) Tập hợp 1 nS u ,...,u là phụ thuộc tuyến tính khi iu S sao cho

iu là tổ hợp

tuyến tính của các vecto cfon lại trong S.

4) Mọi hệ con của hệ độc lập tuyến tính thì độc lập tuyến tính.

5) Tập hợp 1 nS u ,...,u là đọc lập tuyến tính nếu mọi iu không là tổ hợp tuyến

tính của các vecto còn lại trong S.

6) Tập hợp S V hoặc là tập độc lập tuyến tính hoặc phụ thuộc tuyến tính.

2.2.5.Định lý.

Trong không gian n cho hệ vecto




1 11 12 1n 2 21 22 2n m m1 m2 mnu a ,a ,...,a ,u a ,a ,...,a ,...,u a ,a ,...,a

Đặt

11 12 1n

21 22 2n

m1 m2 mn

a a ... a

a a ... aA

... ... ... ...

a a ... a

Khi đó 1 nu ,...,u là đọc lập tuyến tính khi và chỉ khi rank A m.

Khi m = n thì 1 nu ,...,u là độc lập tuyến tính khi và chỉ khi rank A n det A 0.

Ví dụ: Cho các vecto 1 2 3u 2,1, 1,1 , u 1, 1, 1,2 , u 1,0, 2,1 . Khi đó ta

có ma trận

2 1 1 1

A 1 1 1 2

1 0 2 1

có r(A) 3 nên hệ vecto 1 2 3u ,u ,u là ĐLTT.

Ví dụ: Xét hệ vecto 1 2 3u 2,1, 1 , u 1,1, 1 , u 3,2, 2 . Khi đó ma trận

2 1 1

A 1 1 1

3 2 2

có det A 0 nên họ 1 2 3u ,u ,u là PTTT.

2.3.Cơ sở, số chiều của một không gian vecto.

2.3.1.Cơ sở, số chiều của không gian vecto.

Cho V là không gian vecto V. Tập B V được gọi là cơ sở của V nếu B độc

lập tuyến tính và sinh ra V.

Khi đó số vecto của B được gọi là số chiều của V. Kí hiệu là dimV.

Ví dụ: Trong không gian vecto 3, hệ vecto B 1,0,0 ; 0,1,0 ; 0,0,1 độc

lập tuyến tính đồng thời B sinh ra V nên B 1,0,0 ; 0,1,0 ; 0,0,1 là cơ sở của 3

và được gọi là cơ sở chính tắc của 3.




2.3.2.Định lý.

Cho V là không gian vecto trên R và 1 nB u ,...,u là cơ sở của V, B' V. Khi

đó:

(i) Nếu B’ có nhiều hơn n vecto thì B’ phụ thuộc tuyến tính nên B’ không là cơ

sở của V.

(ii) Nếu B’ có ít hơn n vecto thì B’ không sinh ra V nên B’ không là cơ sở của V.

(iii) Nếu B’ có đúng n vecto thì B’ là cơ sở của V B’ sinh ra V B’ độc lập

tuyến tính.

2.4.Tọa độ và ma trận chuyển cơ sở.

2.4.1.Tọa độ của vecto trong cơ sở.

Nếu 1 2 nB u ,u ,...,u là cơ sở được sắp cảu không gian vecto V trên R và

u V. Khi đó ta có mọi vecto u V đều được viết duy nhất dưới dạng

1 1 2 2 n nu u u ... u .

Kí hiệu là

1

2

B

n

u...

và gọi là tọa độ của vecto u trong cơ sở B.

Ví dụ: Cho các vecto 3

1 2 3u 1,2,3 ; u 1,1,0 ; u 0,1,1 ; u 1,0,1 .

Khi đó 1 2 3B u 1,1,0 , u 0,1,1 , u 1,0,1 là cơ sở của 3 và ta có

1 2 3u 0u 2u u nên B

0

u 2

1

Cho B là cơ sở của không gian vecto hữu hạn chiều trên R. Khi đó:

, u,v V, ta có B B Bu v u v




2.4.2.Ma trận chuyển cơ sở.

Giả sử 1 nB u ,...,u và 1 nB' u ',...,u ' là hai cơ sở được sắp của không gian

vecto V. Ma trận 1 2 nB B BP u ' u ' ... u ' được gọi là ma trận chuyển cơ sở từ B

sang B’ và ta kí hiệu là P B B'

Ví dụ: Cho 1 2 3B e 1,0,0 , e 0,1,0 , e 0,0,1

1 2 3B' u 1,1,0 , u 0,1,1 , u 1,0,1

Là hai cơ sở của 3.

Ta có 1 2 3B B B

1 0 1

u 1 ; u 1 ; u 0

0 1 1

nên

1 0 1

P B B' 1 1 0

0 1 1

2.4.3.Định lý ma trận chuyển cơ sở.

Cho A, B, C là các cơ sở được sắp của không gian vecto V có số chiều n. Khi đó:

(i) Ma trận chuyển cơ sở từ A sang B là duy nhất.

(ii) nP A A I

(iii) 1

P A B P B A

(iv) P A B P B C P A C

2.4.4.Công thức đổi tọa độ.

Cho 1 2 nB u ,u ,...,u và 1 2 nB' u ', u ',...,u ' là hai cơ sở được sắp của không

gian vecto V, P B B' là ma trận đổi cơ sở từ B sang B’, u V. Khi đó:

B B'

u P B B' u hay 1

B' Bu P B B' u




Ví dụ: Trong 3 cho hai cơ sở 1 2 3B u 1,1,1 , u 1,1,2 , u 1,2,3 và

1 2 3B' u ' 2,1, 1 , u ' 3,2,5 , u ' 1, 1,1

Khi đó 1 2 3B B B

4 0 1 4 0 1

u ' 1 , u ' 4 , u ' 4 P B B' 1 4 4

1 1 2 1 1 2

Áp dụng công thức trên ta được: B B'

4 0 1 0 1

u P B B' u 1 4 4 1 0

1 1 2 1 1




Chƣơng 3: Ánh xạ tuyến tính.

3.1.Ánh xạ tuyến tính.

3.1.1.Định nghĩa.

Cho V và U là hai không gian vecto trên trường K. Ánh xạ f : V U được gọi là

ánh xạ tuyến tính nếu thỏa mãn hai điều kiện:

, , V

(ii) f

(i) f f f

a. a.f , a , V

Ta có thể viết lại thành: f a a.f f , a , , V

3.1.2.Các tính chất cơ bản của ánh xạ tuyến tính.

Cho U, V là các không gian vecto và f : V U là ánh xạ tuyến tính. Khi đó:

1) V Uf 0 0 do f f với mọi V.

2) Với mọi 1 2 n 1 2 na ,a ,...,a , , ,..., V:

1 1 2 2 n n 1 1 2 2 n nf a a ... a a f a f ... a f

3) Ánh xạ tuyến tính biến hệ phụ thuộc tuyến tính thành hệ phụ thuộc tuyến tính. Tức là

nếu 1 2 n, ,..., là hệ phụ thuộc tuyến tính trong V thì 1 2 nf , f ,...,f là hệ

phụ thuộc tuyến tính trong U.

4) Ánh xạ tuyến tính không làm tăng hạng của một hệ vecto, nghĩa là với mọi

1 2 n, ,.., V ta luôn có 1 2 n 1 2 nrank f , f ,...,f rank , ,...,

3.2.Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính.

3.2.1.Các định nghĩa.

Cho V, U là các không gian vecto, f : V U là ánh xạ tuyến tính.

Kí hiệu 1

Ukerf f 0 x V | f x 0 V và gọi là hạt nhân của ánh xạ

tuyến tính f.




Kí hiệu Imf f V f x | x V U và gọi là ảnh của ánh xạ tuyến tính f.

3.2.2.Tìm cơ sở cho Imf và Kerf.

Để tìm cơ sở của Imf ta tìm cơ sở 1 n,..., của V. Khi đó:

1 nImf f ,...,f và hệ con độc lập tuyến tính tối đại cảu hệ

1 nf ,...,f là cơ sở của Imf.

Để tìm cơ sở cho Kerf ta chỉ cầnt ìm cơ sở cho không gian nghiệm của hệ phụ

thuộc tuyến tính Uf x 0

Ví dụ: Cho ánh xạ tuyến tính 4 4f : với

f x,y,z, t x 2y 4z 7t, 3x 2y 5t,2x y z 2t,3x y 3z t

Tìm cơ sở cho Imf và Kerf.

Giải:

Tìm cơ sở của Imf.

Chọn một cơ sở tùy ý của 4 , chẳng hạn ta chọn cơ sở chính tắc như sau:

1

2

3

4

f e f 1,0,0,0 1, 3,2,3

f e f 0,1,0,0 2, 2,1,1

f e f 0,0,1,0 4,0, 1, 3

f e f 0,0,0,1 7,5, 2, 1

Tìm cơ sở của Imf từ một tập sinh:

Lập ma trận

1

2

3

4

f e 1 3 2 3

f e 2 2 1 1

4 0 1 3f e

7 5 2 1f e




Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng để đưa ma trận về dạng bậc thang

4 4 2

3 3 2 4 4 3 2

2 2 1 3 3 2

1

d d 3d2d d 2d d d d d

d d 2d d d d

1 3 2 3 1 3 2 3 1 3 2 3

2 2 1 1 0 4 3 5 0 4 3 5

4 0 1 3 0 4 3 5 0 0 0 0 0

7 5 2 1 1 1 1 2 0 0 0 0 0

Imf có một cơ sở là 1 21, 3,2,3 , 0,4, 3, 5 và dimImf 2

Tìm cơ sở của Kerf:

Ta giải hệ phương trình tuyến tính

x 2y 4z 7t 0

3x 2y 5t 0

2x y z 2t 0

3x y 3z t 0

Ma trận mở rộng của hệ là

1 2 4 7 0 1 0 2 1 0

3 2 0 5 0 0 1 3 4 0...

2 1 1 2 0 0 0 0 0 0

3 1 3 1 0 0 0 0 0 0

Nghiệm z,t tùy ý, x 2z t, y 4t z

Cho 1z 1, t 0 2, 3,1,0

Cho 2z 0, t 1 1,4,0,1

Vậy cơ sở của Kerf là 1 22, 3,1,0 , 1,4,0,1 , dimKerf 2

3.2.3.Mối liên hệ giữa số chiều của hạt nhân và ảnh.

Cho ánh xạ tuyến tsinh f :V U. Khi đó dimKerf dimImf dimV.




3.3.Ma trận của ánh xạ tuyến tính.

Cho V và U là các không gian vecto, 1 n,..., là cơ sở của V, 1 m,..., là cơ

sở của U và f : V U là ánh xạ tuyến tính. Do if U nên if biểu thi tuyến

tính được qua cơ sở nên ta có hệ sau:

1 11 1 12 2 1m m

2 21 1 22 2 2m m

n n1 1 n2 2 nm m

f a a ... a

f a a ... a

...

f a a ... a

Khi đó ma trận

11 21 n1

12 22 n2

1m 2m nm

a a ... a

a a ... aA

... ... ... ...

a a ... a

được gọi là ma trận của f trong cặp cơ sở

, và kí hiệu là

f,

A

Trường hợp đặc biệt, khi f là phép biến đổi tuyến tính của V, f : V V và

thì ma trận của f trong cặp cơ sở , được gọi là ma trận của f trong cơ

sở và kí hiệu là

fA

Ví dụ: Cho ánh xạ tuyến tính 2 3f : , với 1 2 1 2 1 2 2f x ,x x 2x ,x x , x

1 2: 1,1 , 1,0 là cơ sở của

2.

1 2 3: 1,1,1 , 1,2,1 , 1,3,2 là cơ sở của

3.

Tìm ma trận của f trong cặp cơ sở ,

Giải:

Giả sử: 1 1 1 2 2 3 3f a a a 1 và 2 1 1 2 2 3 3f b b b 2




Khi đó ma trận của ãnh ạ f trong cặp cơ sở , là:

1 1

f 2 2,

3 3

a b

A a b

a b

Từ (1) và (2) ta có 2 hệ:

1 2 3

1 2 3

1 2 3

a a a 3

1 a 2a 3a 0

a a 2a 1

và 1 2 3

1 2 3

1 2 3

b b b 1

2 b 2b 3b 1

b b 2b 0

Vì ma trận hệ số của hai phương trình trên là như nhau nên ta sẽ giải một lúc hai

hệ trên bằng ma trận mở rộng:

1 1 1 31 1 1 1 3 1 1 1 1 3 1 1 1 1 3 1

1 2 3 0 1 0 3 2 3 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1

1 1 2 1 0 0 2 1 4 1 0 2 1 4 1 0 0 1 6 3

Từ ma trận bậc thang sau cùng ta được:

Hệ (1): 1 2 3a 8, a 5, a 6

Hệ (2): 1 2 3b 4, b 2, b 3

Vậy

f,

8 4

A 5 2

6 3

3.4.Toán tử tuyến tính.

3.4.1.Định nghĩa:

Một ánh xạ tuyến tính f : V V từ không gian vecto V lên chính nó gọi là một

toán tử tuyến tính trên V.

Ví dụ: Ánh xạ 2 2:f xác định bởi ; ;f x y x y x y là một toán tử tuyến tính.

-Một toán tử tuyến tính trong không gian n được xác định một cách duy nhất bởi

một ma trận vuông A cấp n x n.




3.4.2.Cộng và nhân các toán tử tuyến tính.

-Phép cộng: Tổng của hai toán tử tuyến tính A và B là toán tử tuyến tính C, mà nó

thiết lập cho mỗi vecto x một vecto tương ứng Ax+Bx. Nói cách khác:

.C A B Cx Ax Bx

-Phép nhân: Tích của hai toán tử tuyến tính A và B là toán tử C, thể hiện sự hoàn

thành liên tiếp, đầu tiên là toán tử B và sau đó là toán tử A. Nói cách khác:

x x .C AB C A B

-Các tính chất của phép cộng và phép nhân các toán tử tuyến tính:

1

2

3

4

A B B A

A B C A B C

A BC AB C

A B C AC BC

C A B CA CB




Chƣơng 4: Giá trị riêng và vecto riêng.

4.1.Phƣơng trình đặc trƣng.

Cho A là ma trận vuông cấp n. Ta gọi đa thức đặc trưng của ma trận A là đa thức

A np x det A x.I

Phương trình đặc trưng là phương trình A np x det A x.I 0

Ví dụ: Tìm đa thức và phương trình đặc trưng của ma trận:

2 2 1

A 2 2 0

3 1 1

Có 3 2

A 3

2 x 2 1

p x det A x.I 2 2 x 0 x 5x 7x 8

3 1 1 x

Phương trình đặc trưng là 3 2x 5x 7x 8 0

4.2.Giá trị riêng, vecto riêng.

Các nghiệm thực của đa thức đặc trưng Ap x gọi là giá trị riêng của ma trận A.

Nếu 0 là một giá trị riêng của A thì 0 ndet x .I A 0. Do đó, hệ phương trình thuần

nhất:

1

0 n

n

x 0

A x .I ... ...

x 0

Có vô số nghiệm. Không gian nghiiệm của hệ 0 n.I A X 0 gọi là không

gian con riêng của ma trận A ứng với giá trị riêng 0. Các vecto khác không là nghiệm

của hệ 0 n.I A X 0 được gọi là các vecto riêng của ma trận A ứng với giá trị riêng

0x .




Phương pháp tìm giá trị riêng vecto riêng.

B1: Tìm đa thức đặc trưng A np x det A x.I

B2: Giải phương trình đa thức cấp n theo biến x: Ap x 0 để tìm các giá trị riêng i.

B3: Đối với mỗi trị riêng i , tìm các vecto riêng tương ứng bằng cách giải hệ phương

trình tuyến tính thuần nhất iA I X 0.

4.3.Chéo hóa ma trận.

- Định nghĩa: Ta nói ma trận A chéo hóa được nếu A đồng dạng với một ma trận

chéo D, nghĩa là tồn tại một ma trận P không suy biến sao cho 1P AP D. Khi đó ta nói

ma trận P là chéo hóa A và D là dạng chéo của A.

-Kiểm tra một ma trận có chéo hóa được hay không:

+Nếu A có n trị riêng khác biệt thì A chéo hóa được.

+Gọi 1 2 k, ,..., là tất cả những trị riêng khác nhau của A, iE là không gian

đặc trưng tương ứng với i và i in dimE . Khi đó:

(i) A chéo hóa được.

(ii) Đa thức đặc trưng của A có dạng 1 kn n

1 kx ... x

(iii) 1 2 kn n ... n n

-Thuật toán:

B1: Tìm đa thức đặc trưng rồi viết về dạng 1 kn n

1 k...

B2: Tìm các trị riêng i cùng các số bội in tương ứng.

B3: Với mỗi i, tìm cơ sở, số chiều idimV của các không gian riêng.

Nếu i idimV n thì A không chéo hóa được.

Nếu i idimV n thì A chéo hóa được.




B4: Lập P là ma trận tạo bởi bằng cách dựng lần lượt các vecto cơ sở thành các cột

rồi tìm ma trận chéo hóa được 1D P AP.

Ví dụ: Chéo hóa ma trận

3 2 0

A 2 3 0

0 0 5

Giải:

B1: Đa thức đặc trưng 2

Ap A I 5 1

B2: Trị riêng A 1 2p 0 5 boi 2 , 1 boi1

B3: Không gian riêng với 1 12 dimV 2, cơ sở 1e 1,1,0 ; 0,0,1

Với 2 21 dimV 1 cơ sở 2e 1,1,0

B4: Lập

1 0 1

P 1 0 1

0 1 0

khi đó ma trận chéo hóa được là 1

5 0 0

P AP 0 5 0

0 0 1




Chƣơng 5: Dạng song tuyến tính, dạng toàn phƣơng, tích vô

hƣớng và không gian Euclid.

5.1.Ánh xạ song tuyến tính, dạng song tuyến tính.

Giả sử L, M, N là các không gian vecto trên trường số K.

Ánh xạ f : LxM N

x,y f x,y

Được gọi là ánh xạ song tuyến tính nếu nó tuyến tính đối với mỗi biến, nghĩa là:

1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2

(i) x ,x L, y M : f x x , y f x , y f x , y ;

(ii) x L, y M, K : f x, y f x, y ;

(iii) x L, y , y M : f x, y y f x, y f x, y ;

(iv) x L, y M, K : f x, y f x, y .

Đặc biệt, nếu N K mà do L, M là các không gian vecto trên trường số K nên

ánh xạ song tuyến tính: f : LxM K

x,y f x,y

Được gọi là dạng song tuyến tính.

Ví dụ: Cho 2 2f : x được xác định như sau:

2

1 2 1 2x x ,x , y y ,y

1 1 1 2 2 1f x,y x y 2x y 3x y là một dạng song tuyến tính.

5.2.Dạng toàn phƣơng.


Dạng toàn phương trên n là đa thức đẳng cấp bậc 2 của n biến

1 2 nx ,x ,...,x :




111 12 1n

n n21 22 2n 2T

ij i j 1 2 n

i 1 j 1

n1 n2 nn n

xa a ... a

a a ... a xQ x a x x X AX x x ... x

... ... ... ... ...

a a ... a x

trong đó A

là ma trận đối xứng.

Ma trận A được gọi là ma trận của dạng toàn phương.

Ví dụ: 1T 2

2 1 2 1 1 2 2

2

x3 2Q x X AX x x 3x 4x x 5x

2 5 x

là dạng

toàn phương trên 2 với ma trận

3 2A

2 5

5.2.2.Phân loại dạng toàn phương.

Dạng toàn phương Q x được gọi là:

1) Xác định dương nếu Q x 0, x 0.

2) Nửa xác định dương nếu Q x 0, x 0.

3) Xác định âm nếu Q x 0, x 0.

4) Không xác định dấu nếu ngoài các trường hợp trên.

5.2.3.Dạng chính tắc của dạng toàn phương.

Dạng toàn phương Q x được gọi là ở dạng chính tắc nếu

2 2 2

1 1 2 2 n nQ x a x a x ... a x

5.2.4.Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc.

1.Phương pháp biến đổi trực giao.

B1: Viết ma trận A của dạng toàn phương.

B2: Tìm các trị riêng của ma trận A.




B3: Kết luận dạng chính tắc cần tìm là 2 2 2

1 1 2 2 n nQ' y y y ... y với

1 2 n, ,..., là các trị riêng của A.

Ví dụ: Tìm dạng chính tắc của dạng toàn phương sau:

2 2 2

1 2 3 1 2 1 3 2 32 2 4 2x x x x x x x x x

Ta có 2 2 2

1 2 3 1 2 1 3 2 32 2 4 2Q x x x x x x x x x

Ma trận của nó là

1 1 2

1 2 1

2 1 1

A

Phương trình đặc trưng của ma trận A là

1 23

3

1 1 21

1 2 1 9 8 02

2 1 1

A

Vậy Q có dạng chính tắc là 2 2 2

1 2 32zz z đối với biến mới 1 2 3, , .z z z

2.Phương pháp Jacobi.

B1: Viết ma trận A của dạng toàn phương.

B2: Tính các định thức của ma trận vuông i , i 1,n

B3: Kết luận dạng chính tắc là 1 n 1

1 2 n

1...


2 2 2

1 2 3 1 2 1 3 2 32 2 4 2x x x x x x x x x

Ta có 2 2 2

1 2 3 1 2 1 3 2 32 2 4 2Q x x x x x x x x x




Ma trận của nó là

1 1 2

1 2 1

2 1 1

A

Ta nhận thấy 1 2 3

1 11, 3, det 8

1 2A

Vậy Q có dạng chính tắc 2 2 2

1 2 3

1 1 3

1 3 8y y y

hay 2 2 2

1 2 3

1 3

3 8y y y đối với biến

mới 1 2 3, , .y y y

3.Phương pháp Lagrange.

B1: Chọn một số hạng có chứa 2

k kkx a 0

B2: Tách biểu thức tọa độ của dạng toàn phương thành 2 nhóm: một nhóm có

chứa kx , nhóm còn lại không chứa

kx .

B3: Trong nhóm thứ nhất ta lập thành tổng bình phương.

B4: Quay lại bước 1, 2, 3 cho nhóm thứ hai và cứ thế tiếp tục cho đến khi tìm

được dạng chính tắc.


2 2 2

1 2 3 1 2 1 3 2 32 2 4 2x x x x x x x x x

Ta viết lại 2 2 2

1 1 2 1 3 2 3 2 32 4 2 2Q x x x x x x x x x

2 2 2

1 2 3 2 3 2 3

22 2 2

1 2 3 2 3 3 3

22 2

1 2 3 2 3 3

2 3 3 2

1 12 3 3

3 3

1 82 3

3 3

x x x x x x x

x x x x x x x

x x x x x x




Đặt 1 1 2 3 2 2 3 3 3

12x , , .

3t x x t x x t x thì Q có dạng chính tắc là

2 2 2

1 2 3

83

3t t t đối với biến mới

1 2 3, , .t t t

*Nhận xét: Một dạng toàn phương có thể có nhiều dạng chính tắc. Tuy nhiên các

dạng chính tắc này đều có điểm chúng là số các hệ số dương và âm là bất biến.

5.3.Tích vô hƣớng và không gian Euclid.


Một tích vô hướng là , : VxV

u,v u,v

Thỏa: (i) u,v là một số hoàn toàn xác định

(ii) u,v v,u , u,v V

(iii) u v,w u,w v,w , u,v,w V

(iv) ku,v k u,v , k , u,v V

(v) u,u 0, u V

u,u 0 u 0 V

Ví dụ: Với hai ma trận trong 1 2 1 2

2

3 4 3 4

: , u u v v

u vu u v v

M

Hãy chứng minh rằng biểu thức 1 1 2 2 3 3 4 4, :u v u v u v u v u v là một tích

vô hướng.

Ta phải kiểm tra 5 tiên đề của tích vô hướng.




Xét các phần tử bất kì của 1 2 1 2 1 2

2

3 4 3 4 3 4

: , , w=u u v v w w

u vu u v v w w

M

(1) 1 1 2 2 3 3 4 4, :u v u v u v u v u v là một số hoàn toàn xác định.

(2) , ,u v v u vì 1 1 2 2 3 3 4 4,v u v u v u v u v u

(3) , , ,u w v u v w v

Vì 1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4,u w v u w v u w v u w v u w v

1 1 2 2 3 3 4 4 1 1 2 2 3 3 4 4

, ,

u v u v u v u v w v w v w v w v

u v w v

(4) , , , .ku v k u v k

Vì 1 1 2 2 3 3 4 4 1 1 2 2 3 3 4 4, ,ku v ku v ku v ku v ku v k u v u v u v u v k u v

(5) , 0u u vì 2 2 2 2

1 2 3 4, 0u u u u u u

Hơn nữa nếu 0 0

0 0u

thì 2 2 2 2, 0 0 0 0 0u u

Ngược lại nếu , 0u u tức là nếu 2 2 2 2

1 2 3 4 0u u u u thì

2 2 2 2

1 2 3 40, 0, 0, 0u u u u tức là 1 2 3 40, 0, 0, 0u u u u và

0 0

0 0u

Vậy 1 1 2 2 3 3 4 4, :u v u v u v u v u v là một tích vô hướng trong 2.M

5.3.2.Trực giao, trực chuẩn.

1.Trực giao: u, v trực giao u,v 0

2.Trực chuẩn: u, v trực chuẩn u,v 0

u v 1




5.3.3.Thuật toán trực giao hóa một họ vecto độc lập tuyến tính.

1 2 mS u ,u ,...,u ĐLTT

B1: Đặt 1 1v u

B2: Tính 2 1

2 2 1

1 1

u ,vv u v

v ,v

B3: Tính 3 2 3 1

3 3 2 1

2 2 1 1

u ,v u ,vv u v v

v ,v v ,v

.... 1 2 mS' v ,v ,...,v trực giao, 1 m

1 m

v vS'' ,....

v v

trực chuẩn.

Ví dụ: Trong 3 với tích vô hướng Euclid hãy trực giao sau đó trực chuẩn họ:

1 2 3S u 1,0,0 , u 3,1, 2 , u 0,1,1

Đặt 1 1v u 1,0,0

Tính 2 1

2 2 1

1 1

u ,vv u v 3,1, 2 3 1,0,0 0,1, 2

v ,v

Tính 3 2 3 1

3 3 2 1

2 2 1 1

u ,v u ,v 1 6 3v u v v 0,1,1 0,1, 2 0 0, ,

v ,v v ,v 5 5 5

Họ vecto trực giao xác định từ S là 1 2 3

6 3S' v 1,0,0 ,v 0,1, 2 ,v 0, ,

5 5

và

họ vecto trực chuẩn là

1 2 31 2 3

1 2 3

v v 1 2 v 2 1S'' w 1,0,0 ,w 0, , ,w 0, ,

v v v5 5 5 5




Chƣơng 6: Bổ sung về số phức.

6.1.Dạng đại số của số phức.

-Định nghĩa số i: Số i được gọi là đơn vị ảo, là một số sao cho 2i 1.

-Định nghĩa số phức: Cho a và b là hai số thực và i là đơn vị ảo, khi đó z a bi

được gọi là số phức. Số thực a được gọi là phần thực và số thực b được gọi là phần ảo

của số phức z. Phần thực của số phức z a bi được kí hiệu là Re(z). Phần ảo của số

phức z a bi được kí hiệu là Im(z).

-Khi cộng (trừ) hai số phức ta cộng (trừ) phần thực và phần ảo tương ứng.

-Khi nhân hai số phức ta thực hiện giống như nhân hai biểu thức đại số với chú ý 2i 1.

-Muốn chia hai số phức ta nhân tử và mẫu cho số phức liên hợp của mẫu.

-Số phức z a bi được gọi là số phức liên hợp của số phức z a bi.

*Tính chất của số phức liên hợp:

Cho z và w là hai số phức, z và w là hai số phức liên hợp tương ứng. Khi đó:

(i) z z là một số thực.

(ii) z.z là một số thực.

(iii) z z khi và chỉ khi z là một số thực.

(iv) z w z w

(v) z.w z.w

(vi) z z

(vii) n

nz z với mọi n .




6.2.Dạng lƣợng giác của số phức.

Modun của số phức z a bi là một số thực dương được định nghĩa như sau

2 2mod(z) z a b

Nếu coi số phức z a bi là một điểm có tọa độ a,b thì

2 22 2z a b a 0 b 0 là khoảng cách từ điểm a,b đến gốc tọa độ.

Góc được gọi là argument của số phức z và được kí hiệu là arg(z) .

Tìm argument số phức 2 2

2 2

a acos

r a b

b bsin

r a b

hoặc b

tana

với 0 2

Dạng lượng giác của số phức z a bi là z r cos isin

Nhân hai số phức ở dạng lượng giác: modun nhân với nhau và argument cộng lại.

Chia hai số phức ở dạng lượng giác: modun chia cho nhau và argument trự ra.




6.3.Dạng mũ của số phức.

Định lý Euler: ie cos isin .

6.4.Nâng số phức lên lũy thừa.

Lũy thừa bậc n của i: Giả sử n là số tự nhiên, khi đó n ri i với r là phần dư của n chia

cho 4.

Ví dụ: Tính 1987z i

31987 4.496 3 z i i

Công thức De-Moivre: Cho r 0, cho n là số tự nhiên. Khi đó

n nr cos isin r cosn isinn

Khai căn bậc n của số phức

n nnk

2k 2kz r cos isin z r cos isin

n n

6.5.Định lý cơ bản của đại số.

Đa thức P z bậc n có đúng n nghiệm kể cả nghiệm bội.

Ví dụ: Giải phương trình sau trong 9: z i 0

9 9 9z i z i z cos isin2 2

k

k2 k22 2z cos isin , k 0,1,...,8

9 9

6.6. Một số ví dụ

Ví dụ 1: Tìm số phức z biết (1)

Giải:

3

2 2 1z z i i




Giả sử z a bi z a bi

(1) 3 2 2 32( ) (2 3.2 3.2 )(1 )a bi a bi i i i i

23 11 11 2 2 13 9a bi i i i i

133 13 13

939 3

9

a az i

bb

Ví dụ 2: Cho 1 22 3 , 1z i z i . Tính 1 23z z ; ; 3

1 23z z

Giải:

+) 1 23 2 3 3 3 5 6z z i i i

+) 1 2

2

2

3 4 13 4 7

1 1 2

i iz z i i

z i i

1 2

2

49 1 5 2

4 4 2

z z

z

+) 3

1 23 2437z z

Ví dụ 3: Tìm môđun của z biết

2(1 2) 1

2 (1)2

i iz z

i

Giải:

Giả sử ,z a bi a b

(1) 2 2a bi a bi

2

(2 2 2) 2 (4 2 2) 4 2 23

4 5

i i ia bi

i

2 2 (8 12 6 )(1 ) (11 2)(1 )a bi a bi i i i i i

1 2

2

z z

z

2 2

1 23 5 6 61z z

3 2 3

1 23 8 36 54 27 3 3 49 6z z i i i i i

2 2(1 2) 1 2 2 2 2

2 2

i i i i i

i i




4 2 2 4 2 2;

15 5a b

32 4 16 2 144 72 144 2 225 128 2

225 15z

Ví dụ 4: Tìm tất cả các số phức z, biết

Giải:

Giả sử ,z a bi a b

2 2 2 2 2 2 2 2(1) 2a bi a b a bi a b i abi a b a bi

Vậy 1 1 1 1

0; ;2 2 2 2

z z i z i

Ví dụ 5: Tìm các căn bậc hai của số phức 5 12z i

Giải:

Giả sử ( ) ;m ni m n là căn bậc hai của z

Ta có:

2 2 2 2 22 5 12 2 5 12m mni n i i m mni n i

22 (1)z z z

2

2

1 1;

2 22 0

2 2 0 0; 02 0

1 1;

2 2

a b

b ab a bi abi b a

b ab

a b

2( ) 5 12m ni i




2 22 2 5(1)

56

2 12 (2)

m nm n

mn mn

Thay (2) vào (1) ta có:

4 2 2 25 36 0 4; 9( )n n n n loai

2 3

2 3

n m

n m

Vậy z có hai căn bậc hai là và 3 2 .i

Ví dụ 6: Tìm các căn bậc hai của số phức 164 48 5z i

Giải:

Giả sử là căn bậc hai của z

Ta có: 2( ) 164 48 5m ni i

2 22 164 48 5m mni n i

Thay (2) vào (1) ta có: 2 2 4 224 5

( ) 164 164 2880 0m m mm

2

2 4 265 36 5n n n

n

3 2i

( ) ;m ni m n

2 22 2 164(1)

16424 5

2 48 5 (2)

m nm n

mn nm




2 216; 180( )m m loai

Vậy z có hai căn bậc hai là 4 6 5 , 4 6 5i i

Ví dụ 7: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z sao cho 2 3z i

uz i

là một số

thuần ảo.

Giải:

Giả sử , khi đó

2 2

2 3 ( 2 ( 3) )( ( 1) )

( 1) ( 1)

a bi i a b i a b iu

a b i a b

Tử số bằng 2 2 2 2 3 2(2 1)a b a b a b i

u là số thuần ảo khi và chỉ khi

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm ( 1; 1)I , bán kính

bằng 5 , khuyết 2 điểm (0;1) và (-2;-3).

Ví dụ 8: Tìm tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn

) 3 4b z z i ) 4c z i z i

Giải:

a) Đặt

4 6 5

4 6 5

m n

n m

( , )z a ib a b R

2 2 2 22 2 3 0 ( 1) ( 1) 5

2 1 0 ( ; ) (0;1), ( 2; 3)

a b a b a b

a b a b

) 3z

az i

,z x yi x y




Ta có: 2

22 2 2 2 9 93 9 1

8 64z z i x y x y x y

Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn tâm 9

0;8

I

, bán kính 3

.8

R

b) Đặt

Ta có 2 22 23 4 3 4 6 8 25z z i x y x y x y

Vậy tập hợp các điểm M là đường thẳng 6x 8 25.y

c) Đặt

Ta có 2 22 24 1 1 4z i z i x y x y

22

2 2 22 2 2

22 22

2 2 2 22

22

2 2

1 4

1 16 8 1 1

1 16 1 16

4 4 8 4 8 162 1 4

1 16 1

1 23 4

4 3

x y

x y x y x y

x y x y

x y y y yx y y

x y

x y

y

Ta thấy các điểm nằm trong hình tròn (1) và trên elip (2) và tung độ các điểm nằm

trên elip luôn thỏa mãn điều kiện

Vậy tập hợp các điểm M là elip có phương trình 2 2

1.3 4

x y

,z x yi x y

,z x yi x y

4.y




Ví dụ 9: Viết số phức sau dưới dạng đại số:

9

5

3

1

iz

i

Giải:

+ Xét 1

3 13 2 2 os isin

2 2 6 6z i i c

+ Xét 2

1 11 2 2 os isin

4 42 2z i i c

5

5

2

5 5 5 52 os isin 4 2 os isin

4 4 4 4z c c

Ví dụ 10: Tìm phần thực và phần ảo của số phức sau:

2008

2009

2 6

5sin isin

3 6

iz

Giải:

9 9 9

1

9 92 os isin 2 os isin

6 6 2 2z c c

9

1

5

2

3 3 1 164 2 os isin 64 2 64 64

4 4 2 2

zz c i i

z

2008

2008

2009 2009

1 32 2

2 6 2 2

5sin isin os isin

3 6 6 6

ii

z

c




2008

2009

2 2 os isin3 3

os isin6 6

c

c

2008 2008 2008

2 2 os isin3 3

2009 2009cos isin

6 6

c

3012 3012669 6692 os isin 2

2 2c i

Do đó: phần thực bằng 0; phần ảo bằng -23012

.

2008 2008 2009 2008 2009

2 2 os isin3 6 3 6

c

Documents

TÀI LIỆU THAM KHẢO - moon.vnại số A.pdf · như các tóm tắt lý thuyết vận dụng để nhanh chóng có thể giải bài tập cho cả Toán A, Toán B và Toán