Tieu Luan-Ung Dung Ly Thuyet Galois Trong Phep Dung Hinh

8/12/2019 Tieu Luan-Ung Dung Ly Thuyet Galois Trong Phep Dung Hinh

http://slidepdf.com/reader/full/tieu-luan-ung-dung-ly-thuyet-galois-trong-phep-dung-hinh 1/26

B GIÁO DC VÀ ĐÀO TO

TRƯNG ĐI HC QUY NHƠN

*********

HÀ DUY NGHĨA

NG DNG LÝ THUYT GALOATRONG PHÉP DNG HÌNH

TIU LUN LÝ THUYT TRƯNG

Quy nhơn, tháng 12 năm 2009



B GIÁO DC VÀ ĐÀO TO

TRƯNG ĐI HC QUY NHƠN

*********

HÀ DUY NGHĨA

NG DNG LÝ THUYT GALOATRONG PHÉP DNG HÌNH

CAO HC TOÁN KHÓA 11Chuyên ngành: Đi s và lý thuyt s

TIU LUN LÝ THUYT TRƯNG

Ngưi hưng dn khoa hc

TS. NGUYN THÁI HÒA

Quy nhơn, tháng 12 năm 2009

i



MC LC

Trang ph bìa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iMc lc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Li m đu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

Chương 1 Kin thc cơ s 4

1.1 M rng Galoa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.1 Khái nim m rng Galoa và ví d . . . . . . . . . . . . 4

1.1.2 Các đc trưng ca m rng Galoa . . . . . . . . . . . . 4

1.2 M rng căn và m rng căn bc hai . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2.1 M rng căn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2.2 M rng căn bc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Chương 2 áp dng lý thuyt galoa trong phép dng hình 12

2.1 Khái nim và tính cht v đim và s dng đưc . . . . . . . . . 122.2 Mt s bài toán áp dng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2.1 Bài toán 1: Chia ba mt góc . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2.2 Bài toán 2: Gp đôi mt hình lp phương . . . . . . . . . 15

2.2.3 Bài toán 3: Cu phương đưng tròn . . . . . . . . . . . . 16

2.2.4 Bài toán 4: Chia đưng tròn thành n phn bng nhau . . 16

2.3 Mt vài phép dng hình c th . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.3.1 Dng đa giác đu 5 cnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.3.2 Dng đa giác đu 15 cnh . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.3.3 Dng đa giác đu 17 cnh . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Kt lun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Tài liu tham kho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1



LI M ĐU

Lý thuyt Galoa là mt trong nhng lý thuyt đp đ nht ca đi s, nótp hp nhiu kin thc và phương pháp ca các lĩnh vc toán hc khác nhau

nhm gii quyt bài toán c đin và nhng vn đ quan trng khác ca đi s

hin đi.

Mt trong nhng ng dng ch yu đó là tìm nghim căn thc ca phương

trình đa thc, đc bit ch ra đưc phương trình bc ln hơn bn không th

gii đưc bng căn thc. Mt khác, lý thuyt Galoa cho phép xác đnh đa giác

đu n cnh dng đưc bng thưc k và compa và li gii cho bài toán dng

hình c đin.

Tiu lun này tôi gii thiu v ng dng ca lý thuyt Galoa trong

phép dng hình , tiu lun gm 2 chương cùng vi phn m đu, kt lun và

danh mc các tài liu tham kho.

Chương 1: Gii thiu mt khái nim v m rng Galoa, các đnh lý ca m

rng Galoa , trong đó m rng căn bc hai là phn ng dng quan trng cho

lý thuyt dng hình chương sau.

Chương 2: Là phn chính ca tiu lun, phn đu ca chương gii thiu

v đim dng đưc, s dng đưc,chng minh tp hp các s dng đưc lp

thành mt trưng, và đc bit chng minh đnh lý v điu kin đ v s dng

đưc. Phn sau ca chương là áp dng lý thuyt đ gii quyt các bài toán

dng hình c đin và các bài toán dng hình c th. Kin thc trong chương

này đưc tham kho t tài liu [1],[2].

Mc dù bn thân đã rt c gng trong hc tp, nghiên cu và đưc s hưng

dn nhit tình ca thy giáo hưng dn, nhưng do năng lc ca bn thân và

thi gian còn hn ch nên tiu lun khó tránh khi nhng thiu sót. Tôi rt

mong nhn đưc s góp ý ca quý thy cô và các bn đ tiu lun đưc hoàn

thin hơn.

2



Cui cùng tôi xin chân thành cm ơn TS. Nguyn Thái Hòa ngưi đã tn

tình giúp đ, cùng tp th lp cao hc toán khoá 11 to điu kin cho tôi hoàn

thành tiu lun này.

. Tác gi

3



Chương 1

KIN THC CƠ S

1.1 M rng Galoa

1.1.1 Khái nim m rng Galoa và ví d

Đnh nghĩa 1.1.1. M rng bc hu hn F ca trưng K đưc gi là m rng

Galoa nu nó là chun tc và tách đưc.

Ví d 1.1.2. 1) Trưng chia đưng tròn Rn trên Q là mt m rng Galoa vi

nhóm Galoa đng cu vi nhóm nhân Z∗n các lp kh nghch.

2) Trưng hu hn F q , q = pn là m rng Galoa trên trưng con nguyên

t Z p. Nó có nhóm Galoa G = G(F/Z p) là nhóm xyclic sinh bi t đng cu

ψ : a −→ a p

vi mi a ∈ F q .

1.1.2 Các đc trưng ca m rng Galoa

Đnh lý 1.1.3. Cho F là m rng bc hu hn trên K vi nhóm Galoa G. Khi

đó các điu kin sau tương đương:

(i) F là m rng Galoa trên K .

(ii) K = F G

(nghĩa là tp các phn t ca F bt bin dưi mi t đng cu ca nhóm Galoa G đúng bng K ).

(iii) Cp ca nhóm Galoa G đúng bng bc ca m rng [F : K ].

Chng minh. (i) ⇒ (ii) Nu F là m rng Galoa trên K thì F là trưng nghim

ca mt đa thc tách đưc trên K ( [1], H qu 6.3 ). Khi đó theo ([1], Đnh

lý 1.3) ta có (ii).

(ii) ⇔ (iii) Gi s cp ca G bng n. Khi đó theo ([1], Mnh đ 3.1.1),ta

4



có n =

F : F G. Bi vy nu F G = K thì hin nhiên n = [F : K ]. Ngưc li,

nu n = [F : K ] thì [F : K ] =

F : F G, do đó K = F G (vì K ⊂ F G).

(iii) ⇒ (i) Do F là m rng bc hu hn trên K nên F đi s trên K . Gi s α

là phn t tùy ý thuc F . Ta s xây dng đa thc ti tiu p(x) ca nó. Gi α =

α1, α2,...,αm là tt c các nh phân bit ca α bi các t đng cu σ thuc G.

Đt αi = σi(α) và σ1 = idF

Khi đó m ≤ n (n là cp ca G và bng [F : K ]). Xét đa thc

p(x) = (x− α1)(x− α2)...(x− αm) (1.1)

Các h t ca p(x) là nhng đa thc đi xng cơ bn ca các αi, vì vy chúnglà bt bin đi vi các t đng cu σ ∈ G (do mi σ cm sinh mt phép th

trên tp hp {α1, α2,...,αm}). Nghĩa là các h t này thuc K (do (iii) ⇔ (ii)).

Vy p(x) ∈ K [x].

Nu g(x) ∈ K [x] là nhân t bt kh quy ca p(x) nhn α = α1 làm nghim thì

g(x) cũng nhn mi phn t liên hp ca nó αi = σi(α) làm nghim. Điu này

chng t p(x) chia ht g(x) và do đó p(x) = g(x) (vì g(x) là bt kh quy).Như vy p(x) là đa thc ti tiu ca α và điu đó chng t tính tách đưc ca

F trên K .Bây gi gi s q (x) là đa thc bt kh quy trên K và có mt nghim

α ∈ F . Theo chng minh trên p(x) chính là đa thc (1.1), nó phân rã hoàn

toàn trong F . Điu này chng t tính chun tc ca F trên K .

Đnh lý 1.1.4. Trưng F là m rng Galoa trên trưng K khi và ch khi F là

trưng nghim ca đa thc tách đưc trên K .

Chng minh. Điu kin cn chính là ([1],H qu 2.62). Ngưc li, nu F là

trưng nghim ca đa thc tách đưc thì ([1], Đnh lý2.6.5) cp ca nhóm

Galoa G = G(F/K ) bng bc ca m rng [F : K ]. Khi đó theo Đnh lý 1.1.3,

F là m rng Galoa trên K .

Nhn xét 1.1.5. Đnh lý trên cho ta mt du hiu tin li đ nhn bit mt

m rng Galoa . Nó cho thy hu ht nhng m rng trưng mà chúng ta

5



thưng gp đu là nhng m rng Galoa. Chng hn, mi đa thc p(x) bt

kh quy trên trưng K có đc s 0 đu là tách đưc do đó trưng nghim ca

đa thc đó là mt m rng Galoa trên K .

Nhn đnh trên có th phát biu trong h qu sau.

H qu 1.1.6. Nu trưng F là m rng ca trưng K có đc s 0 thì các

điu sau tương đương:

(i) F là m rng Galoa.

(ii) F là m rng bc hu hn và chun tc.

(iii) F là trưng nghim ca mt đa thc nào đó trên K .

Chng minh. (i) ⇔ (ii) Nu K có đc s 0 thì mi m rng chun tc đu là

m rng tách đưc . Do đó ta có (i) ⇔ (ii).

(ii) ⇔ (iii) là ni dung ca ([1],Đnh lý 2.6.1).

Đnh lý 1.1.7 (V các phn t liên hp). Cho F là m rng Galoa trên

K . Khi đó hai phn t ca F liên hp trên K khi và ch khi tn ti K −đng

cu bin mt phn t thành phn t khác.

Chng minh. Gi s c là phn t tùy ý ca m rng chun tc F trên K . Xét

các phn t

ϕ1(c) = c, ϕ2(c),...,ϕn(c) (1.2)

trong đó ϕ1 = idF , ϕ2,...,ϕn là tt c các t đng cu thuc nhóm Galoa

G = G(F/K ). Vi mi t đng cu các phn t ca dãy (1.2) bin thành dãy

ϕϕ1(c), ϕϕ2(c),...,ϕϕn(c)

tc là mt hoán v nào đó ca dãy (1.2). Vì vy các h t ca đa thc

g(x) =

ni=1

(x− ϕi(c))

gi bt đng vi mi phn t ϕ, do đó thuc trưng K .

Do c = ϕ1(c) nên đa thc g(x) và đa thc ti tiu p(x) ca c có nghim chung

6



(khi đó do đa thc p(x) bt kh quy nên g(x) chia ht cho p(x)). Mt khác

theo ([1],B đ2.6.4) các phn t ϕ1(c), ϕ2(c),...,ϕn(c) (có th trùng nhau) liên

hp vi c, nên cũng là nghim ca p(x). Bi vy mi nghim ca g(x) đu là

nghim ca p(x). Gi s

g(x) = [ p(x)]k[q 1(x)]k1...[q r(x)]kr

Bi vì mi nghim ca g(x) là nghim ca p(x) và không mt nghim nào ca

các đa thc q i(x)(i = 1,...,r) có th là nghim ca p(x) (do tính bt kh quy

ca mi đa thc này), nên các đa thc q i(x)(i = 1,...,r) không th có nghim,

tc là q i(x) = 1. Vyg(x) = [ p(x)]k

T đó đc bit suy ra rng các phn t

ϕ1(c), ϕ2(c),...,ϕn(c)

vét cn ht (có th có s lp li) tt c các liên hp ca c.

1.2 M rng căn và m rng căn bc hai1.2.1 M rng căn

Đnh nghĩa 1.2.1. M rng F ca trưng cơ s K gi là m rng căn nu tn

ti dãy m rng

K = K 0 ⊂ K 1 ⊂ ... ⊂ K s = F (1.3)

sao cho K i = K i−1(θi), θnii = ai ∈ K i−1.

Lưu ý rng trong dãy trên mi trưng con K i có th không là m rng chun

tc ca trưng con K i−1, cũng như trưng con F có th không là chun tc

trên K

B đ 1.2.2. Gi s K là trưng tùy ý, E là m rng chun tc có bc hu

hn trên K và F là m rng chun tc có bc hu hn trên E . Khi đó F là m

7



rng chun tc trên K nu và ch nu F là trưng nghim trên E ca mt đa

thc trên K .

Chng minh. (⇒

) Nu F là m rng chun tc trên K thì F là trưng nghim

ca đa thc f (x) ∈ K [x]( [1], Đnh lý 2.6.1) và vì vy F là trưng nghim ca

đa thc f (x) trên E .

(⇐) Ngưc li gi s rng F = E (u1,...,un) trong đó u1,...,un là mi

nghim ca mt đa thc g(x) ∈ K [x],E = K (v1,...,vm) trong đó v1,...,vm là

mi nghim ca g(x). Khi đó

F = (v1, . . ,vm, u1,...,un)

nghĩa là F là trưng nghim ca đa thc f (x).g(x) ∈ K [x] và do đó F chun

tc trên K .

Đnh lý 1.2.3. Mi m rng căn F ca trưng cơ s K đưc cha trong mt

m rng F đng thi là m rng căn và chun tc trên K , khi đó ta nói rng

F là m rng căn và chun tc trên K .

Chng minh. Chng minh đnh lý bng cách quy np theo đ dài ca dãy(1.3)

Vi s=1 ta có F = K 1 = K (c), cm = a ∈ K .

Gi ζ căn nguyên thy bc m và xét m rng F = K (c, ζ ), d thy F là trưng

nghim ca thc xm − a, do đó F là chun tc trên K . Mt khácF có dãy m

rng căn

K ⊂ K (ζ ) ⊂ K (ζ, c)

Vy đnh lý đúng cho s = 1

Xét m rng căn F vi dãy (1.3) có đ dài s > 1. Bi vì E = K s−1 là m rng

căn ca K vi đ dài s− 1 nên theo gi thit quy np tn ti m rng căn E

chun tc trên K và cha E , K ⊂ E ⊂ E .

Theo gi thit F = K s là m rng căn đơn ca tưng E = K s−1, tc là

F = E (θ), θn = u ∈ E .

8



Xét đa thc ti tiu g(x) ca u trên trưng cơ s K , do E chun tc và

u ∈ E ⊂ E nên E cha tt c cá nghim u − 1 = u, u2,....,ur ca g(x). Đi

vi mi i = 1, 2,...,r ta xét phương un − ui = 0. Gi s ci là nghim tùy ý ca

phương trình này, xét m rng F = E (ζ, c1,...,cr) trong đó ζ là căn nguyên

thy bc n ca đơn v. Do c1 = θ nên F ⊂ F , hơn th na trên trưng E, F

có dãy căn

E = E − 0 ⊂ E 1 ⊂ ... ⊂ E r+1 = F (1.4)

trong đó

E 1 = E 0(ζ ), E i = E i−1(ci), i = 1, 2,...,r + 1

theo gi thit quy np E là m rng căn ca K nên dãy căn bt đu t K và

kt thúc E . Tip ni dãy này vi dãy (1.4) ta đưc dãy căn bt đu t K .

Như vy là F là m rng căn ca K , Bây gi ta chng t F là m rng chun

tc trên K . Xét đa thc G(x) = g(xn). Th thì G(x) ∈ K [x]. Do

G(x) = (xn − u1)...(xn − un)

nên các phn t c1, c2,...,cr là nghim ca đa thc G(x). Mi nghim còn lica đa thc này nhn đưc t phép nhân mi nghim c1,...,cr vi các lũy tha

ca ζ . Vì vy F cha trưng nghim Q ca G(x) trên trưng E . Mt khác

F = E (c1,...,cr) ⊂ Q.

Vy F = Q, nghĩa là F là trưng nghim trên E ca đa thc G(x) ∈ K [x] theo

B đ 1.2.2, F chun tc trên K . Đnh lý đưc chng minh.

1.2.2 M rng căn bc hai

Đnh nghĩa 1.2.4. Mt m rng F ca trưng K đưc gi là m rng bc

hai (M rng Pythagore) nu F = K (u1,2 ,...,un), trong đó u21 ∈ K và u2

i ∈K (u1,2 ,...,u1−1), (i = 2,..,n).

Mnh đ 1.2.5. Bc [F : K ] ca m rng căn bc hai là lu tha ca 2, tc

là bng 2n.

9



Chng minh. Tht vy nu u2 ∈ E và u /∈ E thì u là nghim ca đa thc bt

kh quy x2 − a ∈ E [x] và do đó

[E (u) : E ] = 2.

T đó, nu là m rng căn bc hai ca K thì d dàng chng minh đưc đng

thc [F : K ] = 2n.

Mnh đ 1.2.6. Gi s F là m rng chun tc trên K có bc [F : K ] = 2n,

khi đó F là m rng căn bc hai trên K .

Chng minh. Theo gi thit F là m rng Galoa trên K vi nhóm Galoa G =G(F/K ) có cp 2n, ta tha nhn rng mi nhóm có cp là lũy tha ca s

nguyên t là gii đưc. Như vy nhóm Galoa G là gii đưc vi vi dãy gii

đưc

G = H 0 ⊃ H 1 ⊃ ...H n = {e}

mà các thương H i−1/H i là nhóm xiclic cp 2. Gi s

K = K 0 ⊂ K 1 ⊂ K n = F

là dãy trưng con tương ng ca trưng F ta có

[K i : K i−1] = 2 ⇒ K i = K i−1(ui).

vi ui là nghim ca đa thc x2 − a ∈ Ki− 1[x] điu này chng t F là m

rng căn bc hai trên K .

Mnh đ 1.2.7. Mi m rng căn bc hai F trên K cha trong mt m rng

căn bc hai chun tc.

Chng minh. Gi s F là m rng căn bc hai chun tc trên K , khi đó theo

Mnh đ 1.2.5

[F : K ] = 2n.

Bây gi ta chng minh mnh đ quy np theo n.

10



Vi n = 1 thì F = K (u) vi u2 = K . Rõ ràng F là trưng nghim ca đa

thc x2 − a ∈ K [x] nên F chun tc trên K .

Vi n > 1, gi s F = K (u1, u2,...,un)vi u21 ∈ K và u2

i ∈ K (u1, u2,...,ui−1), i =

1, 2...,n. Khi đó đt u = un ta có F = E (u), E = K (u1, u2,...,un−1), u2 ∈ E .

Theo gi thit quy np, E cha trong m rng căn bc hai chun tc E , Xét

đa thc ti tiu f (x) ca u2 trên trưng K , do u2 ∈ E và E chun tc trên K

nên trong E có s phân tích

f (x) = (x− c1)...(x− cm)

trong đó c1 = u2,Đt g(x) = f (x2) th thì g(u) = 0. Gi F là trưng nghimca g(x) trên E . Do g(x) ∈ K [x] nên theo B đ 1.2.2 ta có F là chun tc

trên K , ngoài ra

F ⊂ F , (F = E (u))

Sau cùng ta có

F = E (γ 1,...,γ m)

trong đó γ 2i = ci Do γ 2i ∈ E nên γ 2 ∈ E (γ 1,...,γ i−1).

Như vy F là m rng căn bc hai caE và do đó là m rng căn bc hai

ca K .

11



Chương 2

ÁP DNG LÝ THUYT GALOATRONG PHÉP DNG HÌNH

Trong chương này, chúng tôi s dng lý thuyt m rng trưng đ tìm ra

câu tr li cho 3 bài toán dng hình xut hin thi Hy Lp c đi và xét bài

toán dng đa giác đu n-cnh bng thưc k và compa.Ba bài toán dng hình c đin đó là:

• Bài toán chia ba mt góc : Chia mt góc thành ba phn bng nhau.

• Bài toán gp đôi hình lp phương : Dng mt hình lp phương có

th tích gp hai ln th tích mt hình lp phương cho trưc.

• Bài toáncu phương đưng tròn : Dng mt hình vuông có din tích

bng din tích mt hình tròn cho trưc.

2.1 Khái nim và tính cht v đim và s dng đưc

Đnh nghĩa 2.1.1. Trong mt phng R2 cho 2 đim P 0(0; 0), P 1(1; 0). Mt

đim P ∈ R2 gi là dng đưc bng thưc k và compa nu tn tai dãy hu

hn P 0, P 1,...,P n sao cho P = P n và vi mi j

≥ 2 đim P j xác đnh t

S j−1 = {P 0, P 1,...,P j1} bi mt trong ba phép dng sau.

Giao ca hai đưng thng phân bit, trong đó mi đưng thng qua 2 đim

bt kỳ ca S j−1

Giao ca mt đưng thng qua hai đim ca S j−1 và đưng tròn có tâm ti

mt đim S j−1 có bán kính bng khong cách gia hai đim trong S j−1.

Giao ca hai đưng tròn phân bit, trong đó mi đưng tròn có tâm ti

đim ca S j−1 có bán kính bng khong cách gia hai đim trong S j−1.

12



Đnh nghĩa 2.1.2. Mt đưng thng gi là dng đưc nu nó đi qua hai đim

dng đưc, mt đon thng gi là dng đưc nu nó đi qua hai đim dng

đưc, mt đưng tròn gi là dng đưc nu nó có tâm là mt đim dng đưc

và có bán kính bng khong cách gia hai đim dng đưc.

Mt s thc x đưc gi là dng đưc (bng thưc k và compa) nu (x; 0) ∈R2 dng đưc, Khi đó đ dài ca đon thng dng đưc là s thc dng đưc.

Mt góc β gi là đng đưc nu cosβ là s thc dng đưc.

Mnh đ 2.1.3. Đim (a, b) dng đưc khi và ch khi a, b dng đưc.

Chng minh. Nu a, b dng đưc, tc là các đim (a, 0), (b, 0) dng đưc, suyra (0, b) dng đưc. Đim (a, b) dng đưc vì nó là đim th 4 ca hình bình

hành có 3 đim (0, 0), (a, 0), (0, b) dng đưc.

Ngưc li nu (a, b) là đim dng đưc, xét hai đưng tròn tâm (0, 0) và

(1, 0) đi qua (a, b). Giao đim ca chúng là (a, b) và (a,−b), đưng thng qua

hai đim này ct trc hoành ti (a,0) nên (a,0) không dng đưc. Đim (0,b)

dng đưc vì nó là đnh th 4 ca hình bình hành có 3 đim (0, 0), (a, 0), (a, b)dng đưc, suy ra (b, 0) dng đưc.

Đnh lý 2.1.4. Tp tt c các s dng đưc là trưng con ca trưng R, Hơn

na, nu c dng đưc và c > 0 thì √

c dng đưc.

Chng minh. Gi E là tp tt c các s dng đưc, cho a, b ∈ E ta có −a ∈ E ,

ngoài ra do (a, 0) và (b, 0) dng đưc, đim gia Q = (a+b2

, 0) dng đưc. Giao

đim ca trc hoành và đưng tròn tâm Q qua (0, 0) là (a + b, 0) do đó a + b

dng đưc.

Đ chng minh ab ∈ E , ta ch cn xét trưng hp ab = 0 và b = 1. Do (b−1)

dng đưc nên đim (0, b − 1) dng đưc, do đó (a, b − 1) dng đưc. Giao

đim ca đưng thng qua (0, b) và (a, b − 1) vi trc hoành là đim (ab, 0).

Vy (ab) dng đưc.

Ta chng minh rng a−1 ∈ E , nu a = 0. Do a ∈ E ta có 1 − a ∈ E , hay

13



đim (0, 1 − a) dng đưc, do đó đim (1,1-a) dng đưc. Đưng thng qua

(0, 1) và (1, 1− a) ct trc hoành ti (a−1, 0). Vy a−1 ∈ E .

Điu này suy ra E là mt trưng.

Cho c ∈ E và c > 0, do 12

(1 − c) là dng đưc, đim Q(0, 1−c2

) dng đưc.

Đưng tròn tâm Q qua (0,1) ct trc hoành ti hai đim có ta đ (u, 0) và

(−u, 0) vi u > 0. Theo đnh lý Pythagore, ta có u2 + 1

4(1 − c)2 = 1

4(1 + c)2,

suy ra u2 = c do đó u =√

c, vy √

c dng đưc.

Đnh lý 2.1.5. Cho P = (α, β ) ∈ R2, là đim dng đưc, khi đó [Q(α, β ) :

Q] = 2r, vi r∈N.

Chng minh. ChoP 0, P 1,...,P n là dãy hu hn các đim dng đưc. Đt K 0 =

K 1 = Q và K j = K j−1(α j , β j), vi 2 ≤ j ≤ n và P j = (α j, β j). D dàng thy

đưc rng các s thc α j, β j là nghim ca đa thc bc 1 hoc bc 2 có h

t trongK j−1. Do đó [K j : K j−1] = 2t vi t ∈ N suy ra [K n : Q] = [K n :

Q(α, β )][Q(α, β ) : Q] = 2m,vi m ∈ N, Do đó Q(α, β ) : Q] = 2r, n ∈ N

H qu 2.1.6. Nghim ca đa thc p(x) bt kh quy trên trưng K là dng

đưc bng thưc và compa khi và ch khi bc ca trưng nghim E ca đa thc

p(x) trên K là lũy tha ca 2.

Chng minh. Tht vy, nu nghim x0 ca p(x) là dng đưc bng thưc và

compa thì nó cha trong m rng căn bc hai F ca K và do đó cha trong m

rng căn bc hai chun tc F . vì trưng nghim E chưa trong F và [F : K ] = 2n

nên [E : K ] = 2m. Điu ngưc li hin nhiên.

2.2 Mt s bài toán áp dng

2.2.1 Bài toán 1: Chia ba mt góc

Cho góc α, hãy dng góc α3

.

Gii

14



Đt a = cos α và ta có u là nghim ca phương trình 4x3 − 3x = a. Đt x = z 2

ta đưa phương trình trên v dng

f (x) = z 3

−3z

−1

là bt kh quy trên Q = Q(1).

Gi s f (z ) bt kh quy trên Q(a). Gi v là mt nghim ca f (z ) và F là

trưng nghim ca nó ta có dãy m rng trưng

Q(a) ⊂ Q(a, v) ⊂ F

T đó

[F : Q] = [F : Q(a, v)][Q(a, v) : Q(a)].

Bi vì [Q(a)(v) : Q(a)] = 3 nên

[F : Q(a)] = 2m

Do đó cos α3 là không dng đưc , nghĩa là α

3 là không dng đưc .

2.2.2 Bài toán 2: Gp đôi mt hình lp phương

Hãy dng cnh ca hình lp phương có th tích gp đôi th tích hình lp

phương đơn v.

Gii

Gi a là cnh ca hình lp phương cn dng. Th thì a là nghim ca đa thc

x3−2. Đa thc này bt kh quy trên Q. Gi α là mt nghim, còn F là trưng

nghim ca đa thc này ta có dãy m rng trưngQ ⊂ Q(α) ⊂ F

T đó

[F : Q] = [F : Q(α)][Q(α) : Q].

Bi vì [Q(α) : Q] = 3 nên

[F : Q]

= 2m

Điu này chng t bài toán không gii đưc .

15



2.2.3 Bài toán 3: Cu phương đưng tròn

Dng hình vuông có din tích bng din tích hình tròn có bán kính 1(Nói

cách khác là dng đim (√

π, 0) trong R2).

Gii

Vì (√

π là siêu vit trên Q nên [Q(√

π) : Q] = ∞, do đó áp dng Đnh lý 2.1.5

ta suy ra không dng đưc đim (√

π, 0) trong R2.

Vy không th dng đưc hình vuông có din tích bng hình tròn có bán

kính cho trưc.

2.2.4 Bài toán 4: Chia đưng tròn thành n phn bng nhau

Đ gii quyt bài toán này trưc ht ta chng minh b đ sau.

B đ 2.2.1. Nu n = p.q, ( p, q ) = 1 thì đưng tròn chia đưc thành n phn

bng nhau khi và ch khi nó chia đưc thành p, q phn bng nhau.

Chng minh. (⇒) Gi s chia đưc đưng tròn thành n phn bng nhau, tc

là dng đưc cung 2πRn . Khi đó ta có th vit

1

p = q 1

n và 1

q = p 1

n

và vì vy các cung 2πR p

, 2πRq

là dng đưc .

(⇐) Gi s đưng tròn chia đưc thành p, q phn bng nhau. Do p và q

nguyên t cùng nhau nên tn ti các s nguyên u, v sao cho

up + vq = 1

T đó chia c hai v ca đng thc ta đưc

1

n = u

1

q + v

1

p

Điu này chng t cung 2πRn

là dng đưc .

Tr li bài toán, không làm mt tính tng quát ta gi s đưng tròn có bán

kính R = 1. Đ chia đưng tròn thành n phn bng nhau ta cn dng cos 2πn

16



thay cho góc 2πn . Gi ζ là căn nguyên thy bc n ca đơn v ta có

ζ = cos 2π

n + i sin

2π

n

ζ −1 = cos 2πn − i sin 2π

n

T đó

cos 2π

n =

1

2(ζ + ζ −1) ∈ Q(ζ + ζ −1) = Q0

Bi vy theo Mnh đ 1.2.5 ta có cos 2πn

dng đưc khi và ch khi

[Q0 : Q] = 2r

Mt khác ta có

[Q(ζ ) : Q(ζ + ζ −1)] = 2

vì ζ và ζ −1 là các nghim ca đa thc trên Q(ζ + ζ −1):

x2 − (ζ + ζ −1)x + 1

Do đó[Q(ζ ) : Q] = 2[Q(ζ ) : Q0]

Do nhn đnh va nêu trên ta thy đng thc

[Q(ζ ) : Q] = 2m

là điu cn và đ đ dng đưc cos 2πn .

Vi nhng kho sát trên ta có th chng minh mnh đ sau

Mnh đ 2.2.2. Đưng tròn có th chia đưc thành n phn bng nhau bi

thưc k và compa nu và chi nu n có dng

n = 2kq 1...q s

trong đó k là s t nhiên, còn q i là nhng s nguyên t l dng 22r

+ 1 (s

nguyên t Phecma).

17



Chng minh. Theo b đ ta ch cn xét trưng hp n = q k.

Xét trưng hp chia đưng tròn Rn = Q(ζ ), ζ n = 1, ta có

[Q

(ζ ) :Q

] = ϕ(n) = q

k

−1

(q − 1).

Mt khác theo nhn đnh trên bài toán là gii đưc khi và ch khi

q k−1(q − 1) = 2m.

Nu q = 2 thì đng thc trên xy ra khi k = 1 và q = 2m + 1. Nu m = ab ,b

l thì

q = (2a)b + 1 = (2a + 1).M,M > 1

Điu này trái vi gi thit q nguyên t. Vy m = 2r và do đó q = 22r

+ 1.

2.3 Mt vài phép dng hình c th

2.3.1 Dng đa giác đu 5 cnh

Bài toán cũng có nghĩa là chia đưng tròn thành năm phn bng nhau. Đlàm điu đó ta cn dng đon thng có d dài bng cos 2π

5 thay cho góc 2π

5 .

Gi ζ là căn nguyên thy bc 5 ca đơn v ta có

ζ = cos 2π

5 + i sin

2π

5 , i2 = −1.

và

cos 2π

5 = 1

2

ζ + ζ −1

Ta cn tìm m rng căn bc hai cha cos 2π5 . Xét dãy các m rng trưng

Q ⊂ Q

ζ + ζ −1 ⊂ Q (ζ ) = R5

Đa thc xác đnh ca ζ trên Q là

F 5(x) = x4 + x3 + x2 + x + 1

18



T đó [Q(ζ ) : Q] = 4 và do đó

[Q(ζ + ζ −1) : Q] = 2

Như vy ζ + ζ −1 có đa thc xác đnh bc hai, ta tìm đa thc đó. Bi vì ζ tha

mãn phương trình F 5(x) = 0 và ζ −1 = ζ 4 nên

(ζ + ζ −1)2 = ζ 2 + 2 + ζ 3

= (−1− ζ − ζ 4) + 2

ζ + ζ −1 = −1− (ζ + ζ −1)

T đó suy ra ζ + ζ −1

là nghim ca phương trình

x2 + x− 1 = 0

Bi vy ta có đưc biu thc cn tìm

2cos 2π

5 = ζ + ζ −1 =

−1 +√

5

2

Biu thc trên đây cho phép dng cos 2π5

như sau:

Trưc ht dng đưng tròn (O, R = 1) ri tip đó thc hin các phép dng:

Dng √ 5

2 =

12 +

1

2

2

Dng đưng tròn (C,BC ). Khi đó OK = −1+√ 5

2 . Chia đôi OK ta đưc OI =

cos 2π5 . Cung

AM là cung cn dng.


Bài toán cũng có nghĩa là chia đưng tròn thành 15 phn bng nhau.

Ta có 15 = 3× 5. Khi đó 1 = 2× 3− 5 và do đó

1

15 =

2

5 − 1

3

Đng thc này cho phép ta dng cung 2π15 theo các cung 2π

5 và 2π3 .

19



Hình 2.1: Chia đưng tròn thành 5 phn bng nhau


Bài toán cũng có nghĩa là chia đưng tròn thành 17 phn bng nhau.

Ta phi dng cos 2π17

= 1

2(ζ + ζ −1) vi ζ = e

2πi

17 . Ta cn tìm m rng căn bc hai

cha cos 2π5 . Xét dãy các m rng trưng

Q ⊂ Q

ζ + ζ −1 ⊂ Q (ζ ) = R17

Ta có [Q(ζ ) : Q(ζ + ζ −1)] = 2 vì ζ là nghim ca phương trình

x2 − (ζ + ζ −1)x + 1 = 0

Bây gi ta hãy xét các m rng trưng trung gian gia Q và Q(ζ + ζ −1). Nhóm

Galois ca R17 trên Q là nhóm xyclic cp 16:

G = σ16 (Z17)∗ =

316

Trong G có dãy gii đưc

G ⊃ G1 =

σ28 ⊃ G2 =

σ44 ⊃ G3 =

σ82 ⊃ E

Dãy trưng tương ng là

Q ⊂ K 1 = Q(α) ⊂ K 2 = Q(β ) ⊂ K 3 = Q(γ ) ⊂ R17

Đ tìm các phn t nguyên thy α, β,γ ta xét bng sau:

20



i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

3i(mod17) 1 3 9 10 13 5 15 11 16 14 8 7 4 12 2 6

ζ i = ζ 3i

ζ 1 ζ 3 ζ 9 ζ 10 ζ 13 ζ 5 ζ 15 ζ 11 ζ 16 ζ 14 ζ 8 ζ 7 ζ 4 ζ 12 ζ 2 ζ 6

Các chu kì Gaoxơ tám hng t là

α0 = ζ 1 + ζ 9 + ζ 13 + ζ 15 + ζ 16 + ζ 8 + ζ 4 + ζ 2

α1 = ζ 3 + ζ 10 + ζ 5 + ζ 11 + ζ 14 + ζ 7 + ζ 12 + ζ 6

Bi vì α0 + α1 = −1 và α0α1 = −4 nên α0 và α1 là các nghim ca đa thc

x2 + x−

4∈Q[x].

Suy ra α0 = −1

2 +

√ 17

2 ; α1 = −1

2 −

√ 17

2 .

Các chu kì Gaoxơ bn hng t là

β 0 = ζ + ζ 13 + ζ 16 + ζ 4

β 1 = ζ 3 + ζ 5 + ζ 14 + ζ 12

β 2 = ζ 9 + ζ 15 + ζ 8 + ζ 2

β 3 = ζ 10 + ζ 11 + ζ 7 + ζ 6

Ta có

β 0 + β 2 = α0

β 0β 2 = −1và

β 1 + β 3 = α1

β 1β 3 = −1

Suy ra β 0, β 2 (tương ngβ 1, β 3 ) là nghim ca đa thc

x2 − α0x− 1 ∈ K 1[x]

(tương ng x2

− α0x− 1 ∈ K 1[x] ).Vy

β 0,2 = α0

2 ± 1

2

α20 + 4

β 1,3 = α1

2 ± 1

2

α21 + 4

Cui cùng các chu kì Gaoxơ hai hng t là:

γ 0 = ζ + ζ 16 = ζ + ζ −1 = 2 cos 2π17

γ 1 = ζ 13 + ζ 4

21



Và do γ 0 + γ 1 = β 0 γ 0 − γ 1 = β 1 nên γ 0 và γ 1 là nghim ca đa thc

x2 − β 0x + β 1 ∈ K 2[x]

γ 0,1 = β 02 ± 1

2

β 20 − 4β 1

T đó ta suy ra cách dng cos 2π17

như sau:

- Dng đưng tròn (O,OB = 1) ;

- Dng BC =

12 + ( 14

)2 - Dng đưng tròn (C,BC ). Khi đó OD = α02 ,

OE = α12

và

- Dng đưng tròn (D,DB) ta đưc OF = β 0

- Dng đưng tròn (E,EB) ta đưc OG = β 1

Vì 12

β 20 − 4β 1 =

β 02

2 − √ β 12

, nên ta dng như sau:

- Dng đưng tròn đưng kính AG ta đưc OJ =√

β 1;

- Dng đưng tròn

J, OF 2

ta đưc OK = 1

2

β 20 − 4β 1.

T đó dng đưc

2cos 2π

17 = ζ + ζ −1 = γ 0 =

β 0

2 +

1

2 β 2

0 −4β 1

T đó ta có th dng đưc cung

SP = 2π17

như hình v.

Hình 2.2: Hình chia đưng tròn thành 17 phn bng nhau

22



KT LUN

Trong tiu lun "ng dng ca lý thuyt Galoa trong phép dng hình" tácgi đã hc tp, nghiên cu và trình bày các vn đ sau:

1.Trình bày ng dng ca lý thuyt Galoa trong phép dng hình, c th

chng minh đnh lý v điu kin đ cho đưng vic chia đưng tròn thành n

phn bng nhau.

2.Áp dng đ gii các bài toán dng hình c đin như không th chia góc

thành 3 phn bng nhau bi thưc k và compa, dng hình vuông có cùng din

tích vi hình tròn,...Đc bit đã nêu phương pháp dng c th chia đưng tròn

thành 5,15,17 phn bng nhau bàng thưc k và compa.

Trong khuôn kh mt tiu lun và hn ch v thi gian cũng trình đ nên

mt vài vn đ chưa đưc trình bày, như chia đưng tròn thành n phn bng

nhau vi n = 20, 24,...trong thi gian đn tôi s tip tc nghiên cu đ b

sung. Mc dù tht c gng nhưng s không tránh khi nhng thiu sót, rt

mong đưc lưng th, ch bo ca Thy cô giáo và các bn đ bài tiu lun

hoàn thin hơn.

23



TÀI LIU THAM KHO

1. Nguyn Tin Quang Cơ s lý thuyt trưng và lý thuyt Galoa . Nhà xutbn Đi hc sư phm, Hà ni, 2007.

2. Nguyn Chánh Tú Lý thuyt m rng trưng và Galoa , Hu, 2006.

3. Nguyn Tin Quang Đi s và s hc - Tp 3 , Nhà xut bn giáo dc,

1987.

Documents

Tieu Luan-Ung Dung Ly Thuyet Galois Trong Phep Dung Hinh